Uvažujme sériu prirodzených čísel: 1, 2, 3, , n – 1, n,  .

Ak nahradíme každé prirodzené číslo n v tejto sérii nejaké číslo a n podľa nejakého zákona dostaneme nový rad čísel:

a 1 , a 2 , a 3, , a n –1 , a n , ,

skrátené a tzv číselná postupnosť. Hodnota a n sa nazýva spoločný člen číselnej postupnosti. Obvykle je číselná postupnosť daná nejakým vzorcom a n = f(n), ktorá vám umožňuje nájsť ľubovoľného člena postupnosti podľa jeho čísla n; tento vzorec sa nazýva všeobecný výraz vzorec. Všimnite si, že nie je vždy možné špecifikovať číselnú postupnosť všeobecným výrazovým vzorcom; niekedy je postupnosť špecifikovaná popisom jej členov.

Podľa definície sekvencia vždy obsahuje nekonečný počet prvkov: akékoľvek dva jej rôzne prvky sa líšia aspoň počtom, ktorých je nekonečne veľa.

Číselná postupnosť je špeciálny prípad funkcie. Postupnosť je funkcia definovaná na množine prirodzených čísel a nadobúdajúca hodnoty v množine reálnych čísel, t.j. funkcia tvaru f : N  R.

Následné
volal zvyšujúci sa(ubúdanie), ak existuje n  N
Takéto sekvencie sa nazývajú prísne monotónne.

Niekedy je vhodné použiť ako čísla nie všetky prirodzené čísla, ale len niektoré z nich (napríklad prirodzené čísla začínajúce od nejakého prirodzeného čísla n 0). Na číslovanie je možné použiť aj nielen prirodzené čísla, ale aj iné čísla, napr. n= 0, 1, 2,  (tu sa k množine prirodzených čísel pridáva nula ako ďalšie číslo). V takýchto prípadoch špecifikovaním postupnosti uveďte, aké hodnoty majú čísla. n.

Ak v nejakom poradí pre nejaké n  N
potom sa zavolá sekvencia neklesajúci(nezväčšujúce sa). Takéto sekvencie sa nazývajú monotónna.

Príklad 1 . Číselná postupnosť 1, 2, 3, 4, 5, ... je rad prirodzených čísel a má spoločný výraz a n = n.

Príklad 2 . Číselný rad 2, 4, 6, 8, 10, ... je rad párnych čísel a má spoločný výraz a n = 2n.

Príklad 3 . 1,4, 1,41, 1,414, 1,4142, ... je číselná postupnosť približných hodnôt so zvyšujúcou sa presnosťou.

V poslednom príklade nie je možné uviesť vzorec pre spoločný člen postupnosti.

Príklad 4 . Napíšte prvých 5 členov číselnej postupnosti jej spoločným členom
. Kalkulovať a 1 je potrebné vo vzorci pre bežný výraz a n namiesto n nahraďte 1 na výpočet a 2 − 2 atď. Potom máme:

Test 6 . Spoločným členom postupnosti 1, 2, 6, 24, 120,  je:

1)

2)

3)

4)

Test 7 .
je:

1)

2)

3)

4)

Test 8 . Spoločný člen poradia
je:

1)

2)

3)

4)

Limit poradia čísel

Uvažujme číselnú postupnosť, ktorej spoločný člen sa blíži k určitému číslu ALE so zvyšujúcim sa sériovým číslom n. V tomto prípade sa hovorí, že postupnosť čísel má limit. Tento pojem má presnejšiu definíciu.

číslo ALE sa nazýva limita číselnej postupnosti
:

(1)

ak pre ľubovoľné  > 0 existuje takéto číslo n 0 = n 0 (), v závislosti od , ktoré
pri n > n 0 .

Táto definícia to znamená ALE existuje limit číselnej postupnosti, ak sa jej spoločný člen blíži neurčito ALE s rastúcim n. Geometricky to znamená, že pre ľubovoľné  > 0 možno takéto číslo nájsť n 0 , ktorý počnúc od n > n 0, všetky členy postupnosti sa nachádzajú vo vnútri intervalu ( ALE – , ALE+ ). Zavolá sa postupnosť, ktorá má limit zbiehajúce sa; inak - divergentný.

Číselná postupnosť môže mať iba jednu limitu (konečnú alebo nekonečnú) určitého znamienka.

Príklad 5 . Harmonická postupnosť má ako limit číslo 0. V skutočnosti pre akýkoľvek interval (–; +) ako číslo N 0 môže byť akékoľvek celé číslo väčšie ako . Potom pre všetkých n > n 0 > máme

Príklad 6 . Postupnosť 2, 5, 2, 5,  je divergentná. V skutočnosti žiadny interval s kratšou dĺžkou, napríklad jeden, nemôže obsahovať všetky členy postupnosti, počnúc od nejakého čísla.

Sekvencia je tzv obmedzené ak existuje také číslo M, čo
pre všetkých n. Každá konvergentná postupnosť je ohraničená. Každá monotónna a ohraničená postupnosť má limit. Každá konvergentná postupnosť má jedinečný limit.

Príklad 7 . Následné
sa zvyšuje a obmedzuje. Má limit
=e.

číslo e volal Eulerovo číslo a približne sa rovná 2,718 28.

Test 9 . Postupnosť 1, 4, 9, 16,  je:

1) konvergujúce;

2) divergentné;

3) obmedzené;

Test 10 . Následné
je:

1) konvergujúce;

2) divergentné;

3) obmedzené;

4) aritmetický postup;

5) geometrický postup.

Test 11 . Následné nie je:

1) konvergujúce;

2) divergentné;

3) obmedzené;

4) harmonické.

Test 12 . Limit postupnosti daný spoločným výrazom
rovný.

Číselná postupnosť a jej limita predstavujú jeden z najdôležitejších problémov matematiky v celej histórii existencie tejto vedy. Neustále aktualizované poznatky, formulované nové teorémy a dôkazy - to všetko nám umožňuje uvažovať o tomto koncepte z nových pozícií a pod rôznymi

Číselná postupnosť v súlade s jednou z najbežnejších definícií je matematická funkcia, ktorej základom je množina prirodzených čísel usporiadaných podľa jedného alebo druhého vzoru.

Existuje niekoľko možností na vytváranie číselných radov.

Po prvé, túto funkciu je možné špecifikovať takzvaným „explicitným“ spôsobom, kedy existuje určitý vzorec, podľa ktorého možno určiť každý jej člen jednoduchým dosadením poradového čísla do danej postupnosti.

Druhá metóda sa nazýva "rekurzívna". Jeho podstata spočíva v tom, že je uvedených niekoľko prvých členov číselnej postupnosti, ako aj špeciálny rekurzívny vzorec, pomocou ktorého, keď poznáte predchádzajúci člen, môžete nájsť ďalší.

Nakoniec, najvšeobecnejším spôsobom špecifikácie sekvencií je takzvaný, keď je možné bez väčších ťažkostí nielen identifikovať jeden alebo druhý pojem pod určitým poradovým číslom, ale aj pri znalosti niekoľkých po sebe nasledujúcich pojmov dospieť k všeobecnému vzorcu tohto funkciu.

Číselná postupnosť môže byť klesajúca alebo rastúca. V prvom prípade je každý nasledujúci výraz menší ako predchádzajúci a v druhom je naopak väčší.

Vzhľadom na túto tému sa nemožno nedotknúť problematiky limity postupností. Limita postupnosti je také číslo, keď pre ľubovoľnú, vrátane nekonečne malej hodnoty, existuje poradové číslo, po ktorom je odchýlka po sebe nasledujúcich členov postupnosti od daného bodu v číselnej forme menšia ako hodnota určená počas formovanie tejto funkcie.

Koncept limity číselnej postupnosti sa aktívne používa pri vykonávaní určitých integrálnych a diferenciálnych výpočtov.

Matematické postupnosti majú celý rad pomerne zaujímavých vlastností.

Po prvé, každá číselná postupnosť je príkladom matematickej funkcie, preto tie vlastnosti, ktoré sú charakteristické pre funkcie, možno bezpečne aplikovať na postupnosti. Najvýraznejším príkladom takýchto vlastností je ustanovenie o rastúcich a klesajúcich aritmetických radoch, ktoré spája jeden spoločný koncept - monotónne postupnosti.

Po druhé, existuje pomerne veľká skupina sekvencií, ktoré nemožno klasifikovať ani ako rastúce, ani ako klesajúce – ide o periodické sekvencie. V matematike sa za ne považujú tie funkcie, v ktorých existuje takzvaná dĺžka periódy, to znamená, že od určitého okamihu (n) začne fungovať nasledujúca rovnosť y n \u003d y n + T, kde T bude veľmi dlhé obdobie.

Kolíska. Plienky. Plač.
Slovo. Krok. Chladný. doktor.
behať okolo. Hračky. Brat.
Dvor. Hojdačka. MATERSKÁ ŠKOLA.
Škola. Dvojka. Trojka. Päť.
Lopta. Krok. Sadra. Posteľ.
Boj. Krv. Zlomený nos.
Dvor. Priatelia. Párty. sila.
inštitútu. Jar. kríky.
Leto. relácia. Chvosty.
Pivo. vodka. Ľadový gin.
Káva. relácia. Diplom.
Romantizmus. láska. Hviezda.
Arms. pery. Noc bez spánku.
Svadba. Svokra. Svokor. Pasca.
Argumentovať. Klub. Priatelia. Pohár.
Dom. Job. Dom. rodina.
Slnko. Leto. Sneh. Zima.
Syn. Plienky. Kolíska.
Stres. Pani. Posteľ.
Podnikanie. Peniaze. Plán. Avral.
TV set. séria.
Vidiecky dom. Čerešne. Cuketa.
Sive vlasy. Migréna. Okuliare.
Vnuk. Plienky. Kolíska.
Stres. Tlak. Posteľ.
Srdce. Obličky. Kosti. doktor.
Prejavy. Rakva. Rozlúčka. Plač.

životná postupnosť

SEQUENCE - (sekvencia), čísla alebo prvky usporiadané organizovaným spôsobom. Postupnosti môžu byť konečné (s obmedzeným počtom prvkov) alebo nekonečné, ako úplná postupnosť prirodzených čísel 1, 2, 3, 4 ….… …

Vedecko-technický encyklopedický slovník

Definícia:Číselná postupnosť sa nazýva číselný, daný na množine prirodzených čísel N. Pre číselné postupnosti zvyčajne namiesto o f(n) písať a n a označte postupnosť takto: a n ). čísla a 1 , a 2 , …, a n,… volal sekvenčné prvky.

Číselná postupnosť je zvyčajne určená nastavením n-tý prvok alebo rekurzívny vzorec, podľa ktorého je každý ďalší prvok určený cez predchádzajúci. Možný je aj opisný spôsob určenia číselnej postupnosti. Napríklad:

• Všetci členovia sekvencie sú "1". To znamená, že hovoríme o stacionárnej postupnosti 1, 1, 1, …, 1, ….

• Postupnosť pozostáva zo všetkých prvočísel vo vzostupnom poradí. Takto je daná postupnosť 2, 3, 5, 7, 11, .... Pri tomto spôsobe špecifikácie postupnosti v tomto príklade je ťažké odpovedať, čomu sa rovná povedzme 1000. prvok postupnosti.

Pri opakovanej metóde je uvedený vzorec, ktorý vám umožňuje vyjadriť nčlen sekvencie cez predchádzajúce a špecifikujte 1–2 počiatočné členy sekvencie.

• r 1 = 3; y n =r n-1 + 4 , ak n = 2, 3, 4,…

Tu r 1 = 3; r 2 = 3 + 4 = 7;r 3 = 7 + 4 = 11; ….

• r 1 = 1; r 2 = 1; y n =r n-2 + r n-1 , ak n = 3, 4,…

Tu: r 1 = 1; r 2 = 1; r 3 = 1 + 1 = 2; r 4 = 1 + 2 = 3; r 5 = 2 + 3 = 5; r 6 = 3 + 5 = 8;

Postupnosť vyjadrená rekurzívnym vzorcom y n =r n-1 + 4 možno tiež dať analyticky: y n= y 1 + 4* (n-1)

Kontrola: y2=3+4*(2-1)=7, y3=3+4*(3-1)=11

Tu na výpočet n-tého prvku nepotrebujeme poznať predchádzajúci člen číselnej postupnosti, stačí len nastaviť jeho číslo a hodnotu prvého prvku.

Ako vidíme, tento spôsob zadávania číselnej postupnosti je veľmi podobný analytickému spôsobu zadávania funkcií. Číselná postupnosť je v skutočnosti špeciálnym druhom numerickej funkcie, takže pri postupnosti je možné zvážiť aj množstvo vlastností funkcií.

Číselné rady sú veľmi zaujímavou a poučnou témou. Táto téma sa nachádza v úlohách so zvýšenou náročnosťou, ktoré študentom ponúkajú autori didaktických materiálov, v úlohách matematických olympiád, prijímacích skúšok na vysoké školy a pod. A ak sa chcete dozvedieť viac o rôznych typoch číselných radov, kliknite sem. No, ak je pre vás všetko jasné a jednoduché, ale skúste odpovedať.

Hovhannisyan Eva

Číselné sekvencie. Abstraktné.

Stiahnuť ▼:

Náhľad:

Mestská rozpočtová vzdelávacia inštitúcia
"Stredná škola č. 31"
mesto Barnaul

Číselné postupnosti

abstraktné

Práca dokončená:
Oganesyan Eva,
Žiak 8. ročníka MBOU "Stredná škola č. 31"
vedúci:
Poleva Irina Alexandrovna,
učiteľ matematiky MBOU "Stredná škola č. 31"

Barnaul - 2014

Úvod ………………………………………………………………………………… 2

Číselné postupnosti.…………………………………………………...3

Spôsoby nastavenia číselnej postupnosti………………………...4

Vývoj doktríny progresie………………………………………………..5

Vlastnosti číselných postupností…………………………………………7

Aritmetický postup ................................................................................................ .............9

Geometrická postupnosť……………………………………………….. 10

Záver ………………………………………………………………… 11

Referencie……………………………………………………………………… 11

Úvod

Účel tohto abstraktu– štúdium základných pojmov súvisiacich s číselnými postupnosťami, ich aplikácia v praxi.
Úlohy:

1. Študovať historické aspekty vývoja doktríny progresie;
2. Zvážte spôsoby nastavenia a vlastnosti číselných postupností;
3. Získajte informácie o aritmetických a geometrických postupnostiach.

V súčasnosti sa číselné postupnosti považujú za špeciálne prípady funkcie. Číselná postupnosť je funkciou prirodzeného argumentu. Pojem číselnej postupnosti vznikol a rozvinul sa dávno pred vytvorením teórie funkcie. Tu sú príklady nekonečných číselných postupností známych v staroveku:

1, 2, 3, 4, 5, … - postupnosť prirodzených čísel.

2, 4, 6, 8, 10,… - postupnosť párnych čísel.

1, 3, 5, 7, 9,… - postupnosť nepárnych čísel.

1, 4, 9, 16, 25,… - postupnosť druhých mocnín prirodzených čísel.

2, 3, 5, 7, 11… - postupnosť prvočísel.

1, ½, 1/3, ¼, 1/5,… - postupnosť reciprokých prirodzených čísel.

Počet členov každej z týchto sérií je nekonečný; prvých päť sekvencií monotónne stúpa, posledná monotónne klesá. Všetky uvedené postupnosti, okrem 5., sú uvedené z dôvodu, že pre každú z nich je známy spoločný pojem, teda pravidlo na získanie pojmu s ľubovoľným číslom. Pre postupnosť prvočísel je bežný výraz neznámy, ale už v 3. storočí. pred Kr e. alexandrijský vedec Eratosthenes naznačil spôsob (aj keď veľmi ťažkopádny) na získanie jeho n-tého člena. Táto metóda sa nazývala „Eratosthenovo sito“.

Postupy - konkrétne typy číselných sekvencií - sa nachádzajú v pamiatkach z 2. tisícročia pred Kristom. e.

Číselné postupnosti

Existujú rôzne definície číselnej postupnosti.

Číselná postupnosť – je to postupnosť prvkov číselného priestoru (Wikipedia).

Číselná postupnosť – toto je množina čísel.

Funkcia tvaru y = f (x), xsa nazýva funkcia prirodzeného argumentu respčíselná postupnosťa označujú y = f(n) alebo

, , , …, Zápis ().

Kladné párne čísla vypíšeme vzostupne. Prvé takéto číslo je 2, druhé je 4, tretie je 6, štvrté je 8 atď., takže dostaneme postupnosť: 2; 4; 6; osem; desať….

Je zrejmé, že piate miesto v tejto sekvencii bude číslo 10, desiate - 20, sté - 200. Vo všeobecnosti pre akékoľvek prirodzené číslo n môžete zadať zodpovedajúce kladné párne číslo; rovná sa 2n.

Pozrime sa na inú sekvenciu. Vlastné zlomky s čitateľom rovným 1 vypíšeme v zostupnom poradí:

; ; ; ; ; … .

Pre ľubovoľné prirodzené číslo n môžeme určiť zodpovedajúci zlomok; to sa rovná. Takže na šiestom mieste by mal byť zlomok, tridsiateho - , na tisícke - zlomok .

Čísla, ktoré tvoria postupnosť, sa nazývajú prvé, druhé, tretie, štvrté atď. členov postupnosti. Členy postupnosti sa zvyčajne označujú písmenami s dolnými indexmi označujúcimi poradové číslo člena. Napríklad:, , atď. vo všeobecnosti sa člen postupnosti s číslom n, alebo, ako sa hovorí, n-tý člen postupnosti, označuje. Samotná sekvencia je označená (). Postupnosť môže obsahovať nekonečný počet členov aj konečný počet. V tomto prípade sa nazýva konečný. Napríklad: postupnosť dvojciferných čísel.10; jedenásť; 12; trinásť; …; 98; 99

Metódy špecifikovania číselných postupností

Sekvencie môžu byť špecifikované niekoľkými spôsobmi.

Zvyčajne je vhodnejšie nastaviť poradievzorec jeho spoločného n-tého členu, ktorý vám umožňuje nájsť ľubovoľného člena postupnosti, pričom poznáte jeho číslo. V tomto prípade sa hovorí, že postupnosť je daná analyticky. Napríklad: sled kladných párnych pojmov= 2n.

Úloha: nájdite vzorec pre spoločný člen postupnosti (:

6; 20; 56; 144; 352;…

rozhodnutie. Každý člen postupnosti zapíšeme v nasledujúcom tvare:

n = 1: 6 = 2 3 = 3 =

n=2: 20=4 5=5=

n = 3: 56 = 8 7 = 7 =

Ako vidíte, členy postupnosti sú súčinom mocniny dvoch vynásobených po sebe idúcimi nepárnymi číslami a dva sa zvýšia na mocninu, ktorá sa rovná číslu príslušného prvku. Preto sme dospeli k záveru

Odpoveď: všeobecný vzorec výrazu:

Ďalším spôsobom, ako určiť sekvenciu, je zadať sekvenciu pomocouopakujúci sa vzťah. Nazýva sa vzorec, ktorý vyjadruje ľubovoľný člen postupnosti, počnúc niektorým cez predchádzajúce (jeden alebo viacero). opakujúci (z latinského slova recurro – vrátiť sa).

V tomto prípade je špecifikovaný jeden alebo niekoľko prvých prvkov sekvencie a zvyšok je určený podľa nejakého pravidla.

Príkladom rekurzívne danej postupnosti je postupnosť Fibonacciho čísel - 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... , v ktorej každé nasledujúce číslo začínajúce od tretieho je súčtom dvoch predchádzajúcich. jednotky: 2 = 1 + 1; 3 = 2 + 1 a tak ďalej. Túto sekvenciu možno zadať rekurzívne:

NN = 1.

Úloha: podsekvenciadaný vzťahom recidívy+ , n N, = 4. Napíšte niekoľko prvých členov tejto postupnosti.

rozhodnutie. Nájdite tretí člen danej postupnosti:

+ =

Atď.

Keď sa postupnosti zadávajú opakovane, výpočty sú veľmi ťažkopádne, pretože na nájdenie prvkov s veľkými číslami je potrebné nájsť všetky predchádzajúce členy zadanej postupnosti, napr.musíme nájsť všetkých predchádzajúcich 499 výrazov.

Opisným spôsobompriradenie číselnej postupnosti spočíva vo vysvetlení, z akých prvkov je postupnosť zostavená.

Príklad 1. "Všetci členovia sekvencie sú 1." To znamená, že hovoríme o stacionárnej postupnosti 1, 1, 1, …, 1, ….

Príklad 2. "Sekvencia pozostáva zo všetkých prvočísel vo vzostupnom poradí." Takto je daná postupnosť 2, 3, 5, 7, 11, .... Pri tomto spôsobe špecifikácie postupnosti v tomto príklade je ťažké odpovedať, čomu sa rovná povedzme 1000. prvok postupnosti.

Tiež číselná postupnosť môže byť daná jednoduchýmzoznam svojich členov.

Vývoj doktríny progresie

Slovo progresia je latinského pôvodu (progressio), doslovne znamená „pohyb vpred“ (ako slovo „pokrok“) a prvýkrát sa s ním stretol rímsky autor Boethius (5.-6. storočie), pokračovať v ňom donekonečna jedným smerom, napr. , postupnosť prirodzených čísel, ich druhé mocniny a kocky. Na konci stredoveku a na začiatku novoveku sa tento výraz prestáva bežne používať. V 17. storočí napríklad J. Gregory namiesto progresie používal termín „séria“ a ďalší významný anglický matematik J. Wallis pre nekonečné rady používal termín „nekonečné postupnosti“.

V súčasnosti považujeme progresie za špeciálne prípady číselných postupností.

Teoretické informácie súvisiace s progresiou sa prvýkrát nachádzajú v dokumentoch starovekého Grécka, ktoré sa k nám dostali.

V Psammite Archimedes po prvý raz porovnáva aritmetické a geometrické postupnosti:

1,2,3,4,5,………………..

10, , ………….

Progresie sa považovali za pokračovanie proporcií, a preto sa epitetá aritmetický a geometrický preniesli z proporcií na proporcie.

Tento pohľad na priebehy si zachovali mnohí matematici 17. a dokonca aj 18. storočia. Takto by sa mala vysvetliť skutočnosť, že symbol nachádzajúci sa v Barrowovi a potom u iných anglických vedcov tej doby na označenie súvislej geometrickej proporcie začal v anglických a francúzskych učebniciach 18. storočia označovať geometrickú progresiu. Analogicky začali označovať aritmetickú progresiu.

Jeden z Archimedových dôkazov, uvedený v jeho diele „Kvadratúra paraboly“, sa v podstate scvrkáva na súčet nekonečne klesajúcej geometrickej progresie.

Na vyriešenie niektorých problémov z geometrie a mechaniky odvodil Archimedes vzorec pre súčet druhých mocnín prirodzených čísel, hoci sa používal aj pred ním.

1/6n(n+1)(2n+1)

Niektoré vzorce súvisiace s progresiou poznali čínski a indickí vedci. Takže Aryabhatta (V. storočie) poznal vzorce pre bežný výraz, súčet aritmetickej progresie atď., Magavira (IX. storočie) použil vzorec: + + + ... + = 1/6n(n+1)(2n+1) a ďalšie zložitejšie rady. Pravidlo na nájdenie súčtu členov ľubovoľnej aritmetickej postupnosti sa však prvýkrát nachádza v Knihe počítadla (1202) od Leonarda z Pisy. V knihe The Science of Numbers (1484) N. Shuke, podobne ako Archimedes, porovnáva aritmetickú postupnosť s geometrickou a uvádza všeobecné pravidlo na sčítanie akejkoľvek nekonečne malej klesajúcej geometrickej postupnosti. Vzorec na sčítanie nekonečne klesajúcej progresie poznal P. Fermat a ďalší matematici 17. storočia.

Problémy pre aritmetické (a geometrické) postupnosti sa nachádzajú aj v starom čínskom traktáte „Matematika v deviatich knihách“, ktorý však neobsahuje návod na použitie žiadneho sčítacieho vzorca.

Prvé progresívne problémy, ktoré sa k nám dostali, sú spojené s požiadavkami ekonomického života a spoločenskej praxe, ako je distribúcia produktov, delenie dedičstva atď.

Z jednej klinopisnej tabuľky môžeme usúdiť, že pri pozorovaní Mesiaca od novu do splnu dospeli Babylončania k tomuto záveru: v prvých piatich dňoch po novom mesiaci dochádza k zvýšeniu osvetlenia mesačného disku podľa zákon geometrickej postupnosti s menovateľom 2. V ďalšej neskoršej tabuľke hovoríme o sčítanej geometrickej postupnosti:

1+2+ +…+ . riešenie a odpoveď S=512+(512-1), údaje v tabuľke naznačujú, že autor použil vzorec.

Sn= +( -1), ale nikto nevie, ako sa k tomu dostal.

Sčítavanie geometrických postupov a zostavovanie zodpovedajúcich úloh, ktoré nie vždy vyhovujú praktickým potrebám, sa zaoberali mnohými milovníkmi matematiky v staroveku a stredoveku.

Vlastnosti poradia čísel

Číselná postupnosť je špeciálnym prípadom numerickej funkcie, a preto sa pri postupnosti zohľadňujú aj niektoré vlastnosti funkcií (obmedzenosť, monotónnosť).

Obmedzené sekvencie

Následná sekvencia () sa nazýva ohraničené zhora, že pre ľubovoľné číslo n, M.

Následná sekvencia () sa nazýva ohraničené zdola, ak existuje takýto počet m, že pre ľubovoľné číslo n, m.

Následná sekvencia () sa nazýva ohraničený , ak je ohraničené zhora a zdola, to znamená, že existuje také číslo M0 , čo pre ľubovoľné číslo n , M.

Následná sekvencia () sa nazýva neohraničený , ak existuje takéto číslo M0, že existuje číslo n také, že M.

Úloha: preskúmať postupnosť = k obmedzeniu.

rozhodnutie. Daná postupnosť je ohraničená, keďže pre ľubovoľné prirodzené číslo n platia nasledujúce nerovnosti:

0 1,

To znamená, že postupnosť je zdola ohraničená nulou a zároveň je zhora ohraničená jednotkou, a teda je aj ohraničená.

Odpoveď: postupnosť je obmedzená - zdola nulou a zhora jednotkou.

Zvyšujúce sa a klesajúce sekvencie

Následná sekvencia () sa nazýva zvyšovanie , ak je každý výraz väčší ako predchádzajúci:

Napríklad 1, 3, 5, 7.....2n -1,... je rastúca postupnosť.

Následná sekvencia () sa nazýva klesajúci , ak je každý výraz menší ako predchádzajúci:

Napríklad 1; je zostupná postupnosť.

Zvyšujúce sa a klesajúce sekvencie sú spojené spoločným pojmom -monotónne sekvencie. Uveďme si ešte niekoľko príkladov.

1; - táto postupnosť sa nezvyšuje ani neznižuje (nemonotónna postupnosť).

2n. Hovoríme o postupnosti 2, 4, 8, 16, 32, ... - rastúca postupnosť.

Vo všeobecnosti, ak a > 1, potom postupnosť= zvyšuje;

ak 0 = klesá.

Aritmetický postup

Číselná postupnosť, ktorej každý člen od druhého sa rovná súčtu predchádzajúceho člena a rovnakého čísla d, sa nazývaaritmetická progresiaa číslo d je rozdiel aritmetickej progresie.

Aritmetický postup je teda číselná postupnosť

X, == + d, (n = 2, 3, 4, ...; a a d sú dané čísla).

Príklad 1. 1, 3, 5, 7, 9, 11, ... je rastúca aritmetická postupnosť, v ktorej= 1, d = 2.

Príklad 2. 20, 17, 14, 11, 8, 5, 2, -1, -4, ... - klesajúci aritmetický postup, v ktorom= 20, d = -3.

Príklad 3. Uvažujme postupnosť prirodzených čísel, ktoré po delení štyrmi majú zvyšok 1:1; 5; deväť; trinásť; 17; 21…

Každý jeho člen, počnúc druhým, sa získa pridaním čísla 4 k predchádzajúcemu členu. Táto postupnosť je príkladom aritmetickej postupnosti.

Je ľahké nájsť explicitný (vzorcový) výrazcez n. Hodnota nasledujúceho prvku sa v porovnaní s predchádzajúcim zvýši o d, teda hodnota prvku n sa zvýši o (n - 1)d v porovnaní s prvým členom aritmetickej postupnosti, t.j.

= + d (n – 1). Toto je vzorec pre n-tý člen aritmetickej progresie.

Toto je sumárny vzorec n členov aritmetického postupu.

Aritmetická progresia je pomenovaná preto, lebo v nej sa každý člen, okrem prvého, rovná aritmetickému priemeru dvoch susediacich s ním - predchádzajúceho a nasledujúceho, skutočne,

Geometrická progresia

Číselná postupnosť, ktorej všetky členy sú nenulové a ktorej každý člen, počnúc druhým, sa získa z predchádzajúceho člena vynásobením rovnakým číslom q, sa nazývageometrický postupa číslo q je menovateľom geometrickej postupnosti. Geometrický postup je teda číselná postupnosť (dané rekurzívne vzťahmi

B = q (n = 2, 3, 4...; b a q sú dané čísla).

Príklad 1. 2, 6, 18, 54, ... - rastúca geometrická postupnosť

2, q = 3.

Príklad 2. 2, -2, 2, -2, ... je geometrická postupnosť= 2, q = –1.

Jednou zo zrejmých vlastností geometrickej postupnosti je, že ak je postupnosť geometrickou postupnosťou, potom postupnosť štvorcov, t.j.; ;…-

je geometrická postupnosť, ktorej prvý člen sa rovná, a menovateľom je.

Vzorec pre n-tý člen geometrickej postupnosti je:

Vzorec pre súčet n členov geometrickej postupnosti:

charakteristickú vlastnosťgeometrická postupnosť: postupnosť čísel je geometrická postupnosť vtedy a len vtedy, ak druhá mocnina každého z jej členov, okrem prvého (a posledného v prípade konečnej postupnosti), sa rovná súčinu predchádzajúceho a nasledujúceho člena,

Záver

Numerické postupnosti študovali mnohí vedci už mnoho storočí.Prvé progresívne problémy, ktoré sa k nám dostali, sú spojené s požiadavkami ekonomického života a spoločenskej praxe, ako je distribúcia produktov, delenie dedičstva atď. Sú jedným z kľúčových pojmov matematiky. Vo svojej práci som sa snažil reflektovať základné pojmy spojené s numerickými postupnosťami, ich nastavovanie, vlastnosti a niektoré z nich som zvážil. Samostatne sa zvažovali priebehy (aritmetické a geometrické) a popísali sa základné pojmy s nimi spojené.

Bibliografia

1. A.G. Mordkovich, Algebra, 10. ročník, učebnica, 2012
2. A.G. Mordkovich, Algebra, ročník 9, učebnica, 2012
3. Skvelý študentský sprievodca. Moskva, "Drofa", 2001
4. G.I. Glaser, Dejiny matematiky v škole,

M.: Osveta, 1964.

1. "Matematika v škole", časopis, 2002.
2. Vzdelávacie online služby Webmath.ru
3. Univerzálna populárno-vedecká online encyklopédia "Krugosvet"

Vida r= f(X), X O N, kde N je množina prirodzených čísel (alebo funkcia prirodzeného argumentu), označovaná r=f(n) alebo r 1 ,r 2 ,…, y n,…. hodnoty r 1 ,r 2 ,r 3 ,… sa nazývajú prvý, druhý, tretí, ... člen postupnosti.

Napríklad pre funkciu r= n 2 možno napísať:

r 1 = 1 2 = 1;

r 2 = 2 2 = 4;

r 3 = 3 2 = 9;…y n = n 2 ;…

Metódy nastavenia sekvencií. Sekvencie môžu byť špecifikované rôznymi spôsobmi, z ktorých tri sú obzvlášť dôležité: analytické, popisné a opakujúce sa.

1. Postupnosť je daná analyticky, ak je daný jej vzorec n- člen:

y n=f(n).

Príklad. y n= 2n- 1 – postupnosť nepárnych čísel: 1, 3, 5, 7, 9, ...

2. Opisný spôsob, ako špecifikovať číselnú postupnosť je, že vysvetľuje, z akých prvkov je sekvencia zostavená.

Príklad 1. "Všetky členy postupnosti sa rovnajú 1." To znamená, že hovoríme o stacionárnej postupnosti 1, 1, 1, …, 1, ….

Príklad 2. "Sekvencia pozostáva zo všetkých prvočísel vo vzostupnom poradí." Takto je daná postupnosť 2, 3, 5, 7, 11, .... Pri tomto spôsobe špecifikácie postupnosti v tomto príklade je ťažké odpovedať, čomu sa rovná povedzme 1000. prvok postupnosti.

3. Opakovaný spôsob určenia postupnosti je, že je uvedené pravidlo, ktoré umožňuje počítať n-tý člen postupnosti, ak sú známe jeho predchádzajúce členy. Názov rekurentná metóda pochádza z latinského slova opakujúce sa- vráť sa. Najčastejšie sa v takýchto prípadoch uvádza vzorec, ktorý umožňuje vyjadrenie nčlen sekvencie cez predchádzajúce a špecifikujte 1–2 počiatočné členy sekvencie.

Príklad 1 r 1 = 3; y n = y n–1 + 4 ak n = 2, 3, 4,….

Tu r 1 = 3; r 2 = 3 + 4 = 7;r 3 = 7 + 4 = 11; ….

Je možné vidieť, že sekvenciu získanú v tomto príklade možno špecifikovať aj analyticky: y n= 4n- 1.

Príklad 2 r 1 = 1; r 2 = 1; y n = y n –2 + y n-1 ak n = 3, 4,….

Tu: r 1 = 1; r 2 = 1; r 3 = 1 + 1 = 2; r 4 = 1 + 2 = 3; r 5 = 2 + 3 = 5; r 6 = 3 + 5 = 8;

Postupnosť zložená v tomto príklade je špeciálne študovaná v matematike, pretože má množstvo zaujímavých vlastností a aplikácií. Volá sa Fibonacciho postupnosť – podľa talianskeho matematika z 13. storočia. Rekurzívne definovať Fibonacciho postupnosť je veľmi jednoduché, ale analyticky veľmi ťažké. n Fibonacciho číslo je vyjadrené ako jeho poradové číslo nasledujúcim vzorcom.

Na prvý pohľad vzorec pre n Fibonacciho číslo sa zdá byť nepravdepodobné, pretože vzorec, ktorý špecifikuje postupnosť iba prirodzených čísel, obsahuje druhé odmocniny, ale platnosť tohto vzorca pre prvých pár môžete skontrolovať „ručne“. n.

Vlastnosti číselných postupností.

Číselná postupnosť je špeciálny prípad numerickej funkcie, preto sa pri postupnosti zvažuje aj množstvo vlastností funkcií.

Definícia . Následná sekvencia ( y n} sa nazýva rastúci, ak každý z jeho členov (okrem prvého) je väčší ako predchádzajúci:

r 1 r 2 r 3 r n n +1

Definícia.Sekvencia ( y n} sa nazýva klesajúci, ak každý z jeho členov (okrem prvého) je menší ako predchádzajúci:

r 1 > r 2 > r 3 > … > y n> y n +1 > … .

Rastúce a klesajúce sekvencie spája spoločný pojem - monotónne sekvencie.

Príklad 1 r 1 = 1; y n= n 2 je rastúca postupnosť.

Nasledujúca veta je teda pravdivá (charakteristická vlastnosť aritmetickej progresie). Číselná postupnosť je aritmetická vtedy a len vtedy, ak sa každý jej člen, okrem prvého (a posledného v prípade konečnej postupnosti), rovná aritmetickému priemeru predchádzajúceho a nasledujúceho člena.

Príklad. V akej hodnote Xčíslo 3 X + 2, 5X- 4 a 11 X+ 12 tvorí konečnú aritmetickú postupnosť?

Podľa charakteristickej vlastnosti musia dané výrazy vyhovovať vzťahu

5X – 4 = ((3X + 2) + (11X + 12))/2.

Riešenie tejto rovnice dáva X= –5,5. S touto hodnotou X dané výrazy 3 X + 2, 5X- 4 a 11 X+ 12 naberá hodnoty -14,5, –31,5, –48,5. Toto je aritmetický postup, jeho rozdiel je -17.

Geometrická progresia.

Číselná postupnosť, ktorej všetky členy sú nenulové a ktorej každý člen, počnúc druhým, sa získa z predchádzajúceho člena vynásobením rovnakým číslom q, sa nazýva geometrická postupnosť a číslo q- menovateľ geometrickej postupnosti.

Geometrický postup je teda číselná postupnosť ( b n) dané rekurzívne vzťahmi

b 1 = b, b n = b n –1 q (n = 2, 3, 4…).

(b a q- dané čísla, b ≠ 0, q ≠ 0).

Príklad 1. 2, 6, 18, 54, ... - rastúca geometrická postupnosť b = 2, q = 3.

Príklad 2. 2, -2, 2, -2, ... – geometrický postup b= 2,q= –1.

Príklad 3. 8, 8, 8, 8, … – geometrický postup b= 8, q= 1.

Geometrický postup je rastúca postupnosť, ak b 1 > 0, q> 1 a znižovaním, ak b 1 > 0, 0q

Jednou zo zrejmých vlastností geometrickej postupnosti je, že ak je postupnosť geometrickou postupnosťou, potom postupnosť štvorcov, t.j.

b 1 2 , b 2 2 , b 3 2 , …, b n 2,... je geometrická postupnosť, ktorej prvý člen sa rovná b 1 2 a menovateľ je q 2 .

Vzorec n-člen geometrickej postupnosti má tvar

b n= b 1 q n– 1 .

Môžete získať vzorec pre súčet členov konečnej geometrickej progresie.

Nech existuje konečná geometrická postupnosť

b 1 ,b 2 ,b 3 , …, b n

nechať byť S n - súčet jej členov, t.j.

S n= b 1 + b 2 + b 3 + … +b n.

To sa uznáva qč 1. Určiť S n použije sa umelý trik: vykonajú sa nejaké geometrické transformácie výrazu S n q.

S n q = (b 1 + b 2 + b 3 + … + b n –1 + b n)q = b 2 + b 3 + b 4 + …+ b n+ b n q = S n+ b n q– b 1 .

teda S n q= S n +b n q – b 1 a teda

Toto je vzorec s umma n členov geometrickej progresie pre prípad, keď q≠ 1.

o q= 1 vzorec nemožno odvodiť samostatne, je zrejmé, že v tomto prípade S n= a 1 n.

Geometrická progresia je pomenovaná preto, lebo v nej sa každý člen okrem prvého rovná geometrickému priemeru predchádzajúcich a nasledujúcich členov. Skutočne, odvtedy

b n = b n- 1 q;

bn = bn+ 1 /q,

teda, b n 2= b n– 1 miliárd + 1 a platí nasledujúca veta (charakteristická vlastnosť geometrickej postupnosti):

číselná postupnosť je geometrická postupnosť vtedy a len vtedy, ak druhá mocnina každého z jej členov, okrem prvého (a posledného v prípade konečnej postupnosti), sa rovná súčinu predchádzajúceho a nasledujúceho člena.

Limit sekvencie.

Nech existuje postupnosť ( c n} = {1/n}. Táto postupnosť sa nazýva harmonická, pretože každý jej člen, počnúc druhým, je harmonickým priemerom medzi predchádzajúcimi a nasledujúcimi členmi. Geometrický priemer čísel a a b je tam číslo

V opačnom prípade sa postupnosť nazýva divergentná.

Na základe tejto definície je možné napríklad dokázať existenciu limity A = 0 pre harmonickú postupnosť ( c n} = {1/n). Nech ε je ľubovoľne malé kladné číslo. Zvažujeme rozdiel

Existuje taký Nže pre každého n≥ N nerovnosť 1 /N? Ak sa berie ako N akékoľvek prirodzené číslo väčšie ako 1/ε , potom pre všetkých n ≥ N nerovnosť 1 /n ≤ 1/N ε , Q.E.D.

Niekedy je veľmi ťažké dokázať existenciu limity pre určitú postupnosť. Najbežnejšie sekvencie sú dobre preštudované a sú uvedené v referenčných knihách. Existujú dôležité vety, ktoré umožňujú dospieť k záveru, že daná postupnosť má limitu (a dokonca ju vypočítať) na základe už preštudovaných postupností.

Veta 1. Ak má postupnosť limitu, potom je ohraničená.

Veta 2. Ak je postupnosť monotónna a ohraničená, potom má limitu.

Veta 3. Ak postupnosť ( a n} má limit A, potom sekvencie ( môcť}, {a n+ c) a (| a n|} mať limity cA, A +c, |A| respektíve (tu c je ľubovoľné číslo).

Veta 4. Ak postupnosti ( a n} a ( b n) majú limity rovné A a B pa n + qb n) má limit pA+ qB.

Veta 5. Ak postupnosti ( a n) a ( b n) majú limity rovné A a B v uvedenom poradí, potom sekvencia ( a n b n) má limit AB.

Veta 6. Ak postupnosti ( a n} a ( b n) majú limity rovné A a B v uvedenom poradí a navyše b n ≠ 0 a B≠ 0, potom sekvencia ( a n / b n) má limit A/B.

Anna Chugainová