G. Glaser,
Akademik Ruskej akadémie vzdelávania v Moskve

O Pytagorovej vete a ako ju dokázať

Plocha štvorca postaveného na prepone pravouhlého trojuholníka sa rovná súčtu plôch štvorcov postavených na jeho nohách...

Toto je jedna z najznámejších geometrických teorémov staroveku, nazývaná Pytagorova veta. Dodnes ju pozná takmer každý, kto kedy študoval planimetriu. Zdá sa mi, že ak chceme dať mimozemským civilizáciám vedieť o existencii inteligentného života na Zemi, tak by sme mali poslať do vesmíru obraz pytagorejskej postavy. Myslím si, že ak mysliace bytosti dokážu prijať túto informáciu, pochopia bez zložitého dekódovania signálu, že na Zemi existuje dosť rozvinutá civilizácia.

Slávny grécky filozof a matematik Pytagoras zo Samosu, po ktorom je veta pomenovaná, žil asi pred 2,5 tisíc rokmi. Životopisné informácie o Pytagorasovi, ktoré sa k nám dostali, sú kusé a ani zďaleka nie sú spoľahlivé. S jeho menom sa spája množstvo legiend. Je autenticky známe, že Pytagoras veľa cestoval po krajinách východu, navštívil Egypt a Babylon. V jednej z gréckych kolónií južného Talianska založil slávnu „pytagorejskú školu“, ktorá zohrala významnú úlohu vo vedeckom a politickom živote starovekého Grécka. Práve Pytagoras sa zaslúžil o dôkaz známej geometrickej vety. Na základe legiend, ktoré šírili slávni matematici (Proclus, Plutarch, atď.), sa dlho verilo, že táto veta nebola známa pred Pytagorasom, odtiaľ názov - Pytagorova veta.

Niet však pochýb, že táto veta bola známa už mnoho rokov pred Pytagorasom. 1 500 rokov pred Pytagorasom teda starí Egypťania vedeli, že trojuholník so stranami 3, 4 a 5 je pravouhlý a túto vlastnosť (t. j. inverznú Pythagorovu vetu) použili na zostrojenie pravých uhlov pri plánovaní pozemkov a stavieb budov. A aj dnes vidiecki stavitelia a tesári, ktorí kladú základy chaty, robia jej detaily, nakreslia tento trojuholník, aby získali pravý uhol. To isté sa dialo pred tisíckami rokov pri stavbe veľkolepých chrámov v Egypte, Babylone, Číne a pravdepodobne aj v Mexiku. V najstaršom čínskom matematickom a astronomickom diele, ktoré sa k nám dostalo, Zhou-bi, napísanom asi 600 rokov pred Pytagorasom, je okrem iných návrhov týkajúcich sa pravouhlého trojuholníka obsiahnutá aj Pytagorova veta. Hinduisti túto vetu poznali ešte skôr. Pytagoras teda túto vlastnosť pravouhlého trojuholníka neobjavil, bol zrejme prvým, kto ju zovšeobecnil a dokázal, čím ju preniesol z oblasti praxe do oblasti vedy. Ako sa mu to podarilo, nevieme. Niektorí historici matematiky sa domnievajú, že Pytagorasov dôkaz však nebol zásadný, ale iba potvrdením, overením tejto vlastnosti na množstve konkrétnych typov trojuholníkov, počnúc rovnoramenným pravouhlým trojuholníkom, pre ktorý zrejme vyplýva z obr. jeden.

S Od staroveku matematici nachádzali stále viac a viac dôkazov Pytagorovej vety, stále viac nápadov na jej dôkazy. Je známych viac ako jeden a pol stovky takýchto dôkazov – viac či menej prísnych, viac či menej vizuálnych –, ale túžba zvýšiť ich počet zostala zachovaná. Myslím si, že samostatné „objavenie“ dôkazov Pytagorovej vety bude pre moderných školákov užitočné.

Uvažujme o niekoľkých príkladoch dôkazov, ktoré môžu naznačovať smer takýchto hľadaní.

Dôkaz Pytagoras

";Štvorec postavený na prepone pravouhlého trojuholníka sa rovná súčtu štvorcov postavených na jeho nohách."; Najjednoduchší dôkaz vety získame v najjednoduchšom prípade rovnoramenného pravouhlého trojuholníka. Pravdepodobne sa veta začala ním. Skutočne, stačí sa len pozrieť na usporiadanie rovnoramenných pravouhlých trojuholníkov, aby sme zistili, že veta je pravdivá. Napríklad pre DABC: štvorec postavený na prepone AU, obsahuje 4 počiatočné trojuholníky a štvorce postavené na nohách po dvoch. Veta bola dokázaná.

Dôkazy založené na použití konceptu rovnakej oblasti čísel.

Zároveň môžeme uvažovať o dôkaze, že štvorec postavený na prepone daného pravouhlého trojuholníka je „zložený“ z rovnakých obrazcov ako štvorce postavené na nohách. Môžeme uvažovať aj o takých dôkazoch, v ktorých sa používa permutácia pojmov obrazcov a zohľadňuje sa množstvo nových myšlienok.

Na obr. 2 znázorňuje dva rovnaké štvorce. Dĺžka strán každého štvorca je a + b. Každý zo štvorcov je rozdelený na časti pozostávajúce zo štvorcov a pravouhlých trojuholníkov. Je jasné, že ak od štvorcovej plochy odpočítame štvornásobnú plochu pravouhlého trojuholníka s nohami a, b, zostanú rovnaké plochy, t.j. c 2 \u003d a 2 + b 2. Starovekí hinduisti, ktorým táto úvaha patrí, ju však zvyčajne nezapísali, ale sprevádzali kresbu iba jedným slovom: „pozri! Je celkom možné, že rovnaký dôkaz ponúkol aj Pytagoras.

aditívny dôkaz.

Tieto dôkazy sú založené na rozklade štvorcov postavených na nohách na figúry, z ktorých je možné pridať štvorec postavený na prepone.

Tu: ABC je pravouhlý trojuholník s pravým uhlom C; CMN; CKMN; PO||MN; EF||MN.

Dokážte sami párovú rovnosť trojuholníkov získaných rozdelením štvorcov postavených na nohách a prepone.

Dokážte vetu pomocou tohto oddielu.

 Na základe dôkazu al-Nairiziya bol urobený ďalší rozklad štvorcov na párovo rovnaké útvary (obr. 5, tu ABC je pravouhlý trojuholník s pravým uhlom C).

 Ďalší dôkaz metódou rozkladu štvorcov na rovnaké časti, nazývaný „koleso s lopatkami“, je na obr. 6. Tu: ABC je pravouhlý trojuholník s pravým uhlom C; O - stred štvorca postaveného na veľkej nohe; prerušované čiary prechádzajúce bodom O sú kolmé alebo rovnobežné s preponou.

 Tento rozklad štvorcov je zaujímavý v tom, že ich párovo rovnaké štvoruholníky je možné navzájom zmapovať paralelným prekladom. Mnoho ďalších dôkazov Pytagorovej vety možno ponúknuť pomocou rozkladu štvorcov na čísla.

Dôkazy metódou rozšírenia.

Podstata tejto metódy spočíva v tom, že k štvorcom postaveným na nohách a k štvorcu postavenému na prepone sa pripájajú rovnaké čísla tak, že sa získajú rovnaké čísla.

Platnosť Pytagorovej vety vyplýva z rovnakej veľkosti šesťuholníkov AEDFPB a ACBNMQ. Tu CEP, čiara EP rozdeľuje šesťuholník AEDFPB na dva štvoruholníky s rovnakou plochou, čiara CM rozdeľuje šesťuholník ACBNMQ na dva štvoruholníky s rovnakou plochou; 90° rotácia roviny okolo stredu A mapuje štvoruholník AEPB na štvoruholník ACMQ.

Na obr. 8 Pytagorova figúrka je dotvorená do obdĺžnika, ktorého strany sú rovnobežné so zodpovedajúcimi stranami štvorcov postavených na nohách. Rozdeľme tento obdĺžnik na trojuholníky a obdĺžniky. Od výsledného obdĺžnika najskôr odčítame všetky polygóny 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 a na prepone zostane štvorec. Potom z toho istého obdĺžnika odčítame obdĺžniky 5, 6, 7 a tieňované obdĺžniky, dostaneme štvorce postavené na nohách.

Teraz dokážme, že čísla odčítané v prvom prípade majú rovnakú veľkosť ako čísla odčítané v druhom prípade.

KLOA = ACPF = ACED = a2;

LGBO = CBMP = CBNQ = b2;

AKGB = AKLO + LGBO = c 2 ;

teda c2 = a2 + b2.

OCLP=ACLF=ACED=b2;

CBML = CBNQ = a2;

OBMP = ABMF = c2;

OBMP = OCLP + CBML;

c2 = a2 + b2.

Algebraická metóda dôkazu.

	Ryža. 12 ilustruje dôkaz veľkého indického matematika Bhaskariho (slávneho autora Lilavati, X. 2. storočie). Kresbu sprevádzalo len jedno slovo: POZRITE SA! Medzi dôkazmi Pytagorovej vety algebraickou metódou je na prvom mieste (možno najstarší) dôkaz pomocou podobnosti.
	Predstavme si v modernom podaní jeden z takýchto dôkazov, ktorý patrí Pytagoriovi.

H a obr. 13 ABC - pravouhlý, C - pravý uhol, CMAB, b 1 - priemet ramena b na preponu, a 1 - priemet ramena a na preponu, h - výška trojuholníka ťahaného do prepony.

Z toho, že ABC je podobný ACM, vyplýva

b 2 \u003d cb 1; (jeden)

vyplýva zo skutočnosti, že ABC je podobný BCM

a2 = cca 1. (2)

Sčítaním rovnosti (1) a (2) člen po člene dostaneme a 2 + b 2 = cb 1 + ca 1 = c(b 1 + a 1) = c 2 .

Ak Pytagoras skutočne ponúkol takýto dôkaz, potom poznal aj množstvo dôležitých geometrických teorém, ktoré moderní historici matematiky zvyčajne pripisujú Euklidovi.

Möllmannov dôkaz (obr. 14). Plocha tohto pravouhlého trojuholníka je na jednej strane rovnaká na druhej strane, kde p je semiperimeter trojuholníka, r je polomer kruhu, ktorý je do neho vpísaný Máme:

z čoho vyplýva, že c 2 =a 2 +b 2 .

v druhom

Prirovnaním týchto výrazov dostaneme Pytagorovu vetu.

Kombinovaná metóda

Rovnosť trojuholníkov

c2 = a2 + b2. (3)

Porovnaním vzťahov (3) a (4) dostaneme to

c 1 2 = c 2 alebo c 1 = c.

Trojuholníky - dané a zostrojené - sú teda rovnaké, pretože majú tri zodpovedajúce rovnaké strany. Uhol C 1 je pravý, takže uhol C tohto trojuholníka je tiež pravý.

Staroveké indické dôkazy.

Matematici starovekej Indie si všimli, že na dokázanie Pytagorovej vety stačí použiť vnútro starovekej čínskej kresby. V pojednaní „Siddhanta Shiromani“ („Koruna poznania“) napísanom na palmových listoch najväčším indickým matematikom 20. storočia. Bha-skara umiestnil kresbu (obr. 4)

charakteristické pre indické dôkazy l slovo „pozri sa!“. Ako vidíte, pravouhlé trojuholníky sú tu naukladané tak, aby ich prepona smerovala von a štvorec s 2 presunul sa do „kresla nevesty“ s 2 -b 2 . Všimnite si, že špeciálne prípady Pytagorovej vety (napríklad konštrukcia štvorca, ktorého plocha je dvakrát väčšia obr.4 oblasť tohto námestia) sa nachádzajú v staroindickom pojednaní „Sulva“;

Vyriešili pravouhlý trojuholník a štvorce postavené na jeho nohách, alebo inak povedané, figúry zložené zo 16 rovnakých rovnoramenných pravouhlých trojuholníkov, ktoré sa teda zmestia do štvorca. To je ľalia. malý zlomok bohatstva ukrytého v perle starovekej matematiky – Pytagorovej vete.

Staroveké čínske dôkazy.

Matematické pojednania zo starovekej Číny sa k nám dostali vo vydaní z 2. storočia. pred Kr. Faktom je, že v roku 213 pred Kr. Čínsky cisár Shi Huang-di, ktorý sa snažil odstrániť staré tradície, nariadil spáliť všetky staré knihy. V P c. pred Kr. papier bol vynájdený v Číne a zároveň sa začala rekonštrukcia starých kníh. Kľúč k tomuto dôkazu nie je ťažké nájsť. V starovekej čínskej kresbe sú skutočne štyri rovnaké pravouhlé trojuholníky s nohami a, b a preponou s naukladané G) tak, že ich vonkajší obrys tvorí na obr. 2 štvorec so stranami a + b, a vnútorný je štvorec so stranou c, postavený na prepone (obr. 2, b). Ak štvorec so stranou c vystrihneme a zvyšné 4 tieňované trojuholníky umiestnime do dvoch obdĺžnikov (obr. 2, v), je jasné, že výsledná prázdnota sa na jednej strane rovná S 2 , a na druhej strane - s 2 +b 2 , tie. c 2 \u003d  2 + b 2. Veta bola dokázaná. Všimnite si, že pri takomto dôkaze sa nepoužívajú konštrukcie vo vnútri štvorca na prepone, ktoré vidíme na staročínskej kresbe (obr. 2, a). Starovekí čínski matematici mali zjavne iný dôkaz. Akurát ak do štvorca so stranou s dva tieňované trojuholníky (obr. 2, b) odrežte a pripevnite prepony k ďalším dvom preponám (obr. 2, G), je ľahké to nájsť

Výsledný obrazec, niekedy označovaný ako „stolička nevesty“, pozostáva z dvoch štvorcov so stranami a a b, tie. c 2 == a 2 +b 2 .

H Obrázok 3 reprodukuje kresbu z pojednania "Zhou-bi ...". Tu sa uvažuje Pytagorova veta pre egyptský trojuholník s nohami 3, 4 a preponou 5 jednotiek. Štvorec na prepone obsahuje 25 buniek a štvorec do nej vpísaný na väčšej nohe obsahuje 16. Je zrejmé, že zvyšná časť obsahuje 9 buniek. Toto bude štvorec na menšej nohe.

1

Shapovalová L.A. (stanica Egorlykskaya, MBOU ESOSH č. 11)

1. Glazer G.I. Dejiny matematiky na škole VII - VIII ročníky, príručka pre učiteľov, - M: Školstvo, 1982.

2. Dempan I.Ya., Vilenkin N.Ya. Príručka „Za stránkami učebnice matematiky“ pre žiakov 5.-6. – M.: Osveta, 1989.

3. Zenkevič I.G. "Estetika hodiny matematiky". – M.: Osveta, 1981.

4. Litzman V. Pytagorova veta. - M., 1960.

5. Voloshinov A.V. "Pytagoras". - M., 1993.

6. Pichurin L.F. „Za stránkami učebnice algebry“. - M., 1990.

7. Zemlyakov A.N. "Geometria v 10. ročníku." - M., 1986.

8. Noviny "Matematika" 17/1996.

9. Noviny "Matematika" 3/1997.

10. Antonov N.P., Vygodskii M.Ya., Nikitin V.V., Sankin A.I. "Zbierka úloh zo elementárnej matematiky". - M., 1963.

11. Dorofeev G.V., Potapov M.K., Rozov N.Kh. "Matematická príručka". - M., 1973.

12. Shchetnikov A.I. „Pytagorova doktrína o počte a veľkosti“. - Novosibirsk, 1997.

13. „Reálne čísla. Iracionálne výrazy» 8. stupeň. Vydavateľstvo Tomskej univerzity. – Tomsk, 1997.

14. Atanasyan M.S. "Geometria" stupeň 7-9. – M.: Osveta, 1991.

15. URL: www.moypifagor.narod.ru/

16. URL: http://www.zaitseva-irina.ru/html/f1103454849.html.

V tomto akademickom roku som sa zoznámil so zaujímavou teorémou, známou, ako sa ukázalo, z dávnych čias:

"Štvorec postavený na prepone pravouhlého trojuholníka sa rovná súčtu štvorcov postavených na nohách."

Objav tohto tvrdenia sa zvyčajne pripisuje starovekému gréckemu filozofovi a matematikovi Pythagorasovi (VI. storočie pred Kristom). Štúdium starých rukopisov však ukázalo, že tento výrok bol známy dlho pred narodením Pytagorasa.

Zaujímalo ma, prečo sa v tomto prípade spája s menom Pytagoras.

Relevantnosť témy: Pytagorova veta má veľký význam: používa sa v geometrii doslova na každom kroku. Verím, že diela Pytagora sú stále aktuálne, pretože kamkoľvek sa pozrieme, všade môžeme vidieť plody jeho skvelých myšlienok, stelesnených v rôznych odvetviach moderného života.

Účelom môjho výskumu bolo: zistiť, kto bol Pytagoras a aký vzťah má k tejto vete.

Pri štúdiu histórie vety som sa rozhodol zistiť:

Existujú ďalšie dôkazy tejto vety?

Aký význam má táto veta v živote ľudí?

Akú úlohu zohral Pytagoras vo vývoji matematiky?

Z životopisu Pythagorasa

Pytagoras zo Samosu je veľký grécky vedec. Jeho sláva je spojená s názvom Pytagorovej vety. Hoci už vieme, že táto veta bola známa v starovekom Babylone 1200 rokov pred Pytagorasom a v Egypte 2000 rokov pred ním bol známy pravouhlý trojuholník so stranami 3, 4, 5, stále ju nazývame menom tohto starovekého vedec.

O živote Pytagorasa nie je s istotou známe takmer nič, no s jeho menom sa spája veľké množstvo legiend.

Pytagoras sa narodil v roku 570 pred Kristom na ostrove Samos.

Pytagoras mal pekný vzhľad, nosil dlhú bradu a na hlave zlatý diadém. Pytagoras nie je meno, ale prezývka, ktorú filozof dostal za to, že vždy hovoril správne a presvedčivo, ako grécke orákulum. (Pytagoras - "presvedčivá reč").

V roku 550 pred Kristom sa Pytagoras rozhodne a odchádza do Egypta. Pred Pytagorasom sa teda otvára neznáma krajina a neznáma kultúra. Pytagoras bol v tejto krajine veľmi ohromený a prekvapený a po niekoľkých pozorovaniach života Egypťanov si Pytagoras uvedomil, že cesta k poznaniu, chránená kastou kňazov, vedie cez náboženstvo.

Po jedenástich rokoch štúdia v Egypte odchádza Pytagoras do svojej vlasti, kde po ceste padá do babylonského zajatia. Tam sa zoznámi s babylonskou vedou, ktorá bola rozvinutejšia ako egyptská. Babylončania vedeli riešiť lineárne, kvadratické a niektoré typy kubických rovníc. Po úteku zo zajatia nemohol dlho zostať vo svojej vlasti pre atmosféru násilia a tyranie, ktorá tam vládla. Rozhodol sa presťahovať do Crotonu (grécka kolónia v severnom Taliansku).

Práve v Krotóne sa začína najslávnejšie obdobie v živote Pytagora. Tam založil niečo ako nábožensko-etické bratstvo alebo tajný mníšsky rád, ktorého členovia boli povinní viesť takzvaný pytagorejský spôsob života.

Pytagoras a Pythagorejci

Pytagoras zorganizoval v gréckej kolónii na juhu Apeninského polostrova náboženské a etické bratstvo, napríklad mníšsky rád, ktorý sa neskôr nazýval Pytagorejská únia. Členovia zväzu museli dodržiavať určité zásady: po prvé usilovať sa o to, aby bolo krásne a slávne, po druhé byť užitočné a po tretie usilovať sa o vysoké potešenie.

Systém morálnych a etických pravidiel, ktoré Pytagoras odkázal svojim žiakom, bol zostavený do akéhosi morálneho kódexu pytagorejských „Zlatých veršov“, ktoré boli veľmi populárne v období antiky, stredoveku a renesancie.

Pytagorovský systém štúdií pozostával z troch častí:

Učenie o číslach - aritmetika,

Učenie o postavách - geometria,

Učenie o stavbe vesmíru – astronómia.

Vzdelávací systém stanovený Pytagorasom trval mnoho storočí.

Pythagorova škola urobila veľa pre to, aby dala geometrii charakter vedy. Hlavnou črtou Pytagorovej metódy bola kombinácia geometrie s aritmetikou.

Pytagoras sa veľa zaoberal proporciami a priebehmi a pravdepodobne aj podobnosťou obrázkov, keďže sa mu pripisuje vyriešenie problému: „Postavte tretí, ktorý má rovnakú veľkosť ako jeden z údajov a podobný druhému, na základe dané dve čísla.“

Pytagoras a jeho žiaci zaviedli koncept polygonálnych, priateľských, dokonalých čísel a študovali ich vlastnosti. Aritmetika ako spôsob počítania Pytagorasa nezaujímala a hrdo vyhlásil, že „aritmetiku kladie nad záujmy obchodníka“.

Členovia Pythagorejskej únie boli obyvateľmi mnohých miest v Grécku.

Pytagoriáni do svojej spoločnosti prijímali aj ženy. Únia prekvitala viac ako dvadsať rokov a potom sa začalo prenasledovanie jej členov, mnohí študenti boli zabití.

O smrti samotného Pytagora bolo veľa rôznych legiend. Ale učenie Pytagora a jeho učeníkov žilo ďalej.

Z histórie vzniku Pytagorovej vety

V súčasnosti je známe, že túto vetu neobjavil Pytagoras. Niektorí sa však domnievajú, že to bol Pytagoras, kto prvý poskytol úplný dôkaz, zatiaľ čo iní mu túto zásluhu popierajú. Niektorí pripisujú Pytagorasovi dôkaz, ktorý Euklides podáva v prvej knihe svojich Živlov. Na druhej strane Proclus tvrdí, že dôkaz v Elementoch má na svedomí samotný Euclid. Ako vidíme, história matematiky nemá takmer žiadne spoľahlivé konkrétne údaje o živote Pytagora a jeho matematickej činnosti.

Historický prehľad Pytagorovej vety začnime starovekou Čínou. Tu priťahuje zvláštnu pozornosť matematická kniha Chu-pei. Táto esej hovorí o Pytagorovom trojuholníku so stranami 3, 4 a 5:

"Ak sa pravý uhol rozloží na jednotlivé časti, potom čiara spájajúca konce jeho strán bude 5, keď základňa je 3 a výška je 4."

Je veľmi ľahké reprodukovať ich spôsob konštrukcie. Vezmite lano dlhé 12 m a priviažte ho k nemu pozdĺž farebného pruhu vo vzdialenosti 3 m. z jedného konca a 4 metre od druhého. Medzi stranami s dĺžkou 3 a 4 metre bude uzavretý pravý uhol.

Geometria medzi hinduistami bola úzko spätá s kultom. Je vysoko pravdepodobné, že veta na druhú preponu bola známa už v Indii okolo 8. storočia pred Kristom. Spolu s čisto rituálnymi predpismi existujú diela geometricky teologického charakteru. V týchto spisoch zo 4. alebo 5. storočia pred Kristom sa stretávame s konštrukciou pravého uhla pomocou trojuholníka so stranami 15, 36, 39.

V stredoveku Pytagorova veta definovala hranicu ak nie čo možno najväčšej, tak aspoň dobrých matematických znalostí. Charakteristická kresba Pytagorovej vety, ktorú dnes už školáci občas premenia napríklad na cylindr oblečený v profesorskom alebo mužskom rúchu, sa v tých časoch často používala ako symbol matematiky.

Na záver uvádzame rôzne formulácie Pytagorovej vety preložené z gréčtiny, latinčiny a nemčiny.

Euklidova veta znie (doslovný preklad):

"V pravouhlom trojuholníku sa štvorec strany prekrývajúcej pravý uhol rovná štvorcom na stranách, ktoré zvierajú pravý uhol."

Ako vidíte, v rôznych krajinách a rôznych jazykoch existujú rôzne verzie formulácie známej vety. Vytvorené v rôznych časoch a v rôznych jazykoch odrážajú podstatu jedného matematického vzoru, ktorého dôkaz má tiež niekoľko možností.

Päť spôsobov, ako dokázať Pytagorovu vetu

staroveké čínske dôkazy

V starej čínskej kresbe sú štyri rovnaké pravouhlé trojuholníky s nohami a, b a preponou c naukladané tak, že ich vonkajší obrys tvorí štvorec so stranou a + b a vnútorný tvorí štvorec so stranou c, postavený na hypotenzia

a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab

Dôkaz od J. Gardfielda (1882)

Usporiadajme dva rovnaké pravouhlé trojuholníky tak, aby noha jedného z nich bola pokračovaním druhého.

Plocha uvažovaného lichobežníka sa zistí ako súčin polovice súčtu základov a výšky

Na druhej strane sa plocha lichobežníka rovná súčtu plôch získaných trojuholníkov:

Porovnaním týchto výrazov dostaneme:

Dôkaz je jednoduchý

Tento dôkaz sa získa v najjednoduchšom prípade rovnoramenného pravouhlého trojuholníka.

Pravdepodobne sa veta začala ním.

Skutočne, stačí sa len pozrieť na usporiadanie rovnoramenných pravouhlých trojuholníkov, aby sme zistili, že veta je pravdivá.

Napríklad pre trojuholník ABC: štvorec postavený na prepone AC obsahuje 4 počiatočné trojuholníky a štvorce postavené na nohách obsahujú dva. Veta bola dokázaná.

Dôkaz starých hinduistov

Štvorec so stranou (a + b) možno rozdeliť na časti buď ako na obr. 12. a, alebo ako na obr. 12b. Je zrejmé, že časti 1, 2, 3, 4 sú na oboch obrázkoch rovnaké. A ak sa rovní odpočítajú od rovných (ploch), tak zostanú rovní, t.j. c2 = a2 + b2.

Euklidov dôkaz

Po dve tisícročia bol najbežnejším dôkazom Pytagorovej vety, ktorú vynašiel Euklides. Je umiestnená v jeho slávnej knihe „Začiatky“.

Euklides znížil výšku BH od vrcholu pravého uhla k prepone a dokázal, že jej predĺženie rozdeľuje štvorec dokončený na prepone na dva obdĺžniky, ktorých plochy sa rovnajú plochám zodpovedajúcich štvorcov postavených na nohách.

Nákres použitý v dôkaze tejto vety sa žartom nazýva „Pytagorove nohavice“. Dlho bol považovaný za jeden zo symbolov matematickej vedy.

Aplikácia Pytagorovej vety

Význam Pytagorovej vety spočíva v tom, že z nej alebo s jej pomocou možno odvodiť väčšinu geometrických viet a vyriešiť mnohé problémy. Praktický význam Pytagorovej vety a jej inverznej vety navyše spočíva v tom, že sa dajú použiť na nájdenie dĺžok segmentov bez merania samotných segmentov. To, ako to bolo, otvára cestu z priamky do roviny, z roviny do objemového priestoru a ďalej. Práve z tohto dôvodu je Pytagorova veta taká dôležitá pre ľudstvo, ktoré sa snaží objavovať ďalšie dimenzie a vytvárať technológie v týchto dimenziách.

Záver

Pytagorova veta je taká známa, že je ťažké si predstaviť človeka, ktorý o nej nepočul. Dozvedel som sa, že existuje niekoľko spôsobov, ako dokázať Pytagorovu vetu. Preštudoval som si množstvo historických a matematických zdrojov vrátane informácií na internete a uvedomil som si, že Pytagorova veta je zaujímavá nielen svojou históriou, ale aj tým, že zaujíma dôležité miesto v živote a vo vede. Dôkazom toho sú rôzne interpretácie textu tejto vety, ktoré som uviedol v tomto príspevku, a spôsoby jej dôkazov.

Pytagorova veta je teda jednou z hlavných a dalo by sa povedať najdôležitejšou vetou geometrie. Jeho význam spočíva v tom, že z neho alebo s jeho pomocou možno odvodiť väčšinu geometrických teorémov. Pytagorova veta je pozoruhodná aj tým, že sama o sebe nie je vôbec zrejmá. Napríklad vlastnosti rovnoramenného trojuholníka je možné vidieť priamo na výkrese. Ale bez ohľadu na to, ako veľmi sa pozeráte na pravouhlý trojuholník, nikdy neuvidíte, že medzi jeho stranami existuje jednoduchý vzťah: c2 = a2 + b2. Na dokázanie sa preto často používa vizualizácia. Pythagorovou zásluhou bolo, že podal úplný vedecký dôkaz tejto vety. Zaujímavá je osobnosť samotného vedca, ktorého pamäť nie je náhodou zachovaná touto vetou. Pytagoras je úžasný rečník, učiteľ a vychovávateľ, organizátor svojej školy, zameranej na harmóniu hudby a čísel, dobro a spravodlivosť, vedomosti a zdravý životný štýl. Môže dobre slúžiť ako príklad pre nás, vzdialených potomkov.

Bibliografický odkaz

Tumanová S.V. NIEKOĽKO SPÔSOBOV DOKÁZANIA PYTAGOJOVEJ VETY // Začnite vo vede. - 2016. - č. 2. - S. 91-95;
URL: http://science-start.ru/ru/article/view?id=44 (dátum prístupu: 28.02.2020).

Text práce je umiestnený bez obrázkov a vzorcov.
Plná verzia práce je dostupná v záložke „Súbory úloh“ vo formáte PDF

Úvod

V školskom kurze geometrie sa pomocou Pytagorovej vety riešia iba matematické problémy. Bohužiaľ, otázka praktickej aplikácie Pytagorovej vety sa nezohľadňuje.

V tomto smere bolo cieľom mojej práce zistiť rozsah Pytagorovej vety.

V súčasnosti sa všeobecne uznáva, že úspech rozvoja mnohých oblastí vedy a techniky závisí od rozvoja rôznych oblastí matematiky. Dôležitou podmienkou zvyšovania efektívnosti výroby je plošné zavádzanie matematických metód v technike a národnom hospodárstve, čo zahŕňa vytváranie nových efektívnych metód kvalitatívneho a kvantitatívneho výskumu, ktoré umožňujú riešiť problémy nastolené praxou.

Zvážim príklady praktickej aplikácie Pytagorovej vety. Nebudem sa snažiť uvádzať všetky príklady použitia vety – to by bolo sotva možné. Oblasť použitia vety je pomerne rozsiahla a vo všeobecnosti ju nemožno uviesť s dostatočnou úplnosťou.

hypotéza:

Pomocou Pytagorovej vety môžete riešiť nielen matematické problémy.

Pre túto výskumnú prácu je definovaný nasledujúci cieľ:

Zistite rozsah Pytagorovej vety.

Na základe vyššie uvedeného cieľa boli určené nasledujúce úlohy:

Zbierajte informácie o praktickej aplikácii Pytagorovej vety v rôznych zdrojoch a určte oblasti aplikácie vety.

Prečítajte si niekoľko historických informácií o Pythagorovi a jeho vete.

Ukážte aplikáciu vety pri riešení historických problémov.

Spracujte zozbierané údaje k téme.

Zaoberal som sa vyhľadávaním a zberom informácií – študoval som tlačené materiály, pracoval s materiálmi na internete a spracovával zozbierané údaje.

Metodológie výskumu:

Štúdium teoretického materiálu.

Štúdium výskumných metód.

Praktická realizácia štúdie.

Komunikatívne (metóda merania, kladenie otázok).

Typ projektu: informačný výskum. Práca bola vykonaná vo voľnom čase.

O Pytagorasovi.

Pytagoras je staroveký grécky filozof, matematik a astronóm. Doložil mnohé vlastnosti geometrických útvarov, rozvinul matematickú teóriu čísel a ich proporcií. Významne prispel k rozvoju astronómie a akustiky. Autor „Zlatých veršov“, zakladateľ pytagorejskej školy v Crotone.

Podľa legendy sa Pytagoras narodil okolo roku 580 pred Kristom. e. na ostrove Samos v bohatej kupeckej rodine. Jeho matka, Pythasis, dostala svoje meno na počesť Pythie, kňažky Apolla. Pýthia predpovedala Mnesarchovi a jeho manželke narodenie syna, po Pýthii dostal aj meno. Podľa mnohých starodávnych svedectiev bol chlapec rozprávkovo pekný a čoskoro ukázal svoje vynikajúce schopnosti. Prvé poznatky získal od svojho otca Mnesarcha, klenotníka a rezbára drahokamov, ktorý sníval o tom, že jeho syn bude pokračovať v jeho práci. Ale život rozhodol inak. Budúci filozof prejavil veľké nadanie pre vedu. Medzi učiteľmi Pytagoras boli Pherekides zo Syrosu a starší Germodamant. Prvý vštepil chlapcovi lásku k vede a druhý k hudbe, maľbe a poézii. Následne sa Pytagoras zoznámil so slávnym filozofom – matematikom Thalesom z Milétu a na jeho radu odišiel do Egypta – centra vtedajších vedeckých a výskumných aktivít. Po 22 rokoch života v Egypte a 12 rokoch v Babylone sa vrátil na ostrov Samos, potom ho z neznámych dôvodov opustil a presťahoval sa do mesta Croton v južnom Taliansku. Tu vytvoril pytagorejskú školu (úniu), ktorá študovala rôzne otázky filozofie a matematiky. Vo veku asi 60 rokov sa Pytagoras oženil s Theano, jednou zo svojich žiačok. Majú tri deti a všetky sa stanú nasledovníkmi svojho otca. Vtedajšie historické pomery sa vyznačujú širokým pohybom démos proti moci aristokratov. Na úteku pred vlnami ľudového hnevu sa Pytagoras a jeho študenti presťahovali do mesta Tarentum. Podľa jednej verzie: Kilon, bohatý a zlý muž, prišiel k nemu, ktorý sa chcel v opitosti pripojiť k bratstvu. Keď bol Cylon odmietnutý, začal boj s Pytagorasom. Pri požiari žiaci na svoje náklady zachránili život učiteľke. Pytagoras začal túžiť po domove a čoskoro spáchal samovraždu.

Treba poznamenať, že ide o jeden z variantov jeho životopisu. Presné dátumy jeho narodenia a smrti neboli stanovené, mnohé skutočnosti z jeho života sú protichodné. Jedno je však jasné: tento muž žil a svojim potomkom zanechal veľký filozofický a matematický odkaz.

Pytagorova veta.

Pytagorova veta je najdôležitejším výrokom geometrie. Veta je formulovaná takto: plocha štvorca postaveného na prepone pravouhlého trojuholníka sa rovná súčtu plôch štvorcov postavených na jeho nohách.

Objav tohto výroku sa pripisuje Pytagorasovi zo Samosu (XII. storočie pred Kristom)

Štúdium babylonských klinopisných tabuliek a starých čínskych rukopisov (kópie ešte starodávnejších rukopisov) ukázalo, že slávna veta bola známa dávno pred Pytagorasom, možno niekoľko tisícročí pred ním.

(Ale existuje predpoklad, že Pytagoras jej dal úplný dôkaz)

Existuje však aj iný názor: v pytagorejskej škole bolo úžasným zvykom pripisovať všetky zásluhy Pytagorasovi a trochu si neprivlastňovať slávu objaviteľov, snáď s výnimkou niekoľkých prípadov.

(Iamblichus-sýrsky grécky hovoriaci spisovateľ, autor traktátu "Život Pytagoras." (II. storočie nášho letopočtu)

Takže nemecký historik matematiky Kantor verí, že rovnosť 3 2 + 4 2 = 5 2 bola

poznali Egypťania okolo roku 2300 pred Kristom. e. za čias kráľa Amenechmeta (podľa papyrusu 6619 Berlínskeho múzea). Niektorí veria, že Pythagoras dal vetu úplný dôkaz, zatiaľ čo iní mu túto zásluhu popierajú.

Niektorí pripisujú Pytagorasovi dôkaz, ktorý dal Euklides vo svojich Prvkoch. Na druhej strane Proclus (matematik, 5. storočie) tvrdí, že dôkaz v „Princípoch“ patril samotnému Euklidovi, to znamená, že dejiny matematiky takmer nezachovali spoľahlivé údaje o matematickej činnosti Pytagorasa. V matematike snáď neexistuje žiadna iná veta, ktorá by si zaslúžila všetky druhy prirovnaní.

V niektorých zoznamoch „Začiatkov“ Euklida sa táto veta nazývala „nymfa veta“ pre podobnosť kresby s včelou, motýľom („motýľová veta“), ktorá sa v gréčtine nazývala nymfa. Gréci toto slovo nazývali aj niektoré iné bohyne, ako aj mladé ženy a nevesty. Arabský prekladateľ nevenoval pozornosť kresbe a slovo „nymfa“ preložil ako „nevesta“. Takto sa objavil láskavý názov „veta nevesty“. Existuje legenda, že keď Pytagoras zo Samosu dokázal svoju vetu, poďakoval bohom obetovaním 100 býkov. Odtiaľ pochádza ďalšie meno - "teorém o sto býkoch."

V anglicky hovoriacich krajinách sa tomu hovorilo: "windmill", "peacock tail", "bride's chair", "donkey bridge" (ak ho študent nevedel "prejsť", tak to bol skutočný "osol")

V predrevolučnom Rusku sa kresba Pytagorovej vety pre prípad rovnoramenného trojuholníka nazývala „Pytagorove nohavice“.

Tieto "nohavice" sa objavia, keď na každej strane pravouhlého trojuholníka postavíte štvorce smerom von.

Koľko rôznych dôkazov Pytagorovej vety existuje?

Od čias Pytagorasa sa ich objavilo viac ako 350. Veta bola zapísaná do Guinessovej knihy rekordov. Ak analyzujeme dôkazy vety, potom používajú niekoľko zásadne odlišných myšlienok.

Oblasti použitia vety.

Je široko používaný pri riešení geometrickýúlohy.

S jeho pomocou môžete geometricky nájsť hodnoty druhých odmocnín celých čísel:

Aby sme to dosiahli, postavíme pravouhlý trojuholník AOB (uhol A je 90 °) s nohami jednotky. Potom je jeho prepona √2. Potom postavíme jeden segment BC, BC je kolmý na OB, dĺžka prepony OS=√3 atď.

(táto metóda sa nachádza u Euklida a F. Kirenského).

Úlohy v kurze fyzika strednej škole vyžadujú znalosť Pytagorovej vety.

Ide o úlohy súvisiace so sčítaním rýchlostí.

Pozor na snímku: úloha z učebnice fyziky pre 9. ročník. V praktickom zmysle to možno formulovať takto: pod akým uhlom k toku rieky by sa mala loď prepravujúca pasažierov pohybovať medzi mólami, aby dodržala harmonogram? (Móla sú na opačných brehoch rieky)

Keď biatlonista strieľa na terč, robí „korekciu vetra“. Ak vietor fúka sprava a športovec strieľa v priamom smere, guľka pôjde doľava. Aby ste zasiahli cieľ, musíte posunúť zameriavač doprava o vzdialenosť posunutia strely. Boli pre nich zostavené špeciálne tabuľky (na základe dôsledkov súdruha Pytagorasa). Biatlonista vie, pod akým uhlom má posunúť zameriavač pri známej rýchlosti vetra.

astronómia - aj široký priestor pre aplikáciu vety dráha svetelného lúča. Obrázok ukazuje dráhu svetelného lúča z A do B a späť. Dráha lúča je kvôli prehľadnosti znázornená zakrivenou šípkou, v skutočnosti je svetelný lúč rovný.

Aká je dráha lúča? Svetlo sa pohybuje tam a späť rovnakým spôsobom. Aká je polovica dráhy, ktorú lúč prejde? Ak označíme segment AB symbol l, polovičný čas ako t, a tiež označujúci rýchlosť svetla písmenom c, potom bude mať naša rovnica tvar

c*t=l

Toto je výsledok času stráveného na rýchlosti!

Teraz sa skúsme pozrieť na rovnaký jav z inej referenčnej sústavy, napríklad z kozmickej lode prelietajúcej okolo pohyblivého lúča rýchlosťou v. Pri takomto pozorovaní sa zmenia rýchlosti všetkých telies a nehybné telesá sa začnú pohybovať rýchlosťou v v opačnom smere. Predpokladajme, že sa loď pohybuje doľava. Potom sa dva body, medzi ktorými zajačik beží, budú pohybovať doprava rovnakou rýchlosťou. Navyše, zatiaľ čo zajačik beží svojou cestou, východiskovým bodom A posunie a lúč sa vráti do nového bodu C.

Otázka: Koľko času sa bude bod pohybovať (aby sa zmenil na bod C), kým sa svetelný lúč pohybuje? Presnejšie: čomu sa rovná polovica tohto offsetu? Ak polovicu doby dojazdu lúča označíme písmenom t" a polovičná vzdialenosť AC list d, potom dostaneme našu rovnicu v tvare:

v * t" = d

list v označuje rýchlosť kozmickej lode.

Ďalšia otázka: akou dráhou sa v tomto prípade bude pohybovať lúč svetla?(Presnejšie, aká je polovica tejto cesty? Aká je vzdialenosť od neznámeho objektu?)

Ak polovicu dĺžky dráhy svetla označíme písmenom s, dostaneme rovnicu:

c*t" = s

Tu c je rýchlosť svetla a t" je rovnaký čas, ako je uvedené vyššie.

Teraz zvážte trojuholník ABC. Je to rovnoramenný trojuholník, ktorého výška je l, ktorý sme predstavili pri posudzovaní procesu z pevného hľadiska. Keďže pohyb je kolmý l, potom ju to nemohlo ovplyvniť.

Trojuholník ABC zložený z dvoch polovíc - identických pravouhlých trojuholníkov, ktorých prepony AB a pred Kr musia byť spojené s nohami podľa Pytagorovej vety. Jedna z nôh je d, ktorú sme práve vypočítali, a druhá vetva je s, cez ktorú prechádza svetlo a ktorú sme tiež vypočítali. Dostaneme rovnicu:

s 2 = l 2 +d 2

Toto je Pytagorova veta!

Fenomén hviezdna aberácia, objavený v roku 1729, spočíva v tom, že všetky hviezdy v nebeskej sfére opisujú elipsy. Hlavná poloos týchto elips je pozorovaná zo Zeme pod uhlom 20,5 stupňa. Tento uhol je spojený s pohybom Zeme okolo Slnka rýchlosťou 29,8 km za hodinu. Aby bolo možné pozorovať hviezdu z pohybujúcej sa Zeme, je potrebné nakloniť tubus ďalekohľadu dopredu pozdĺž pohybu hviezdy, pretože zatiaľ čo svetlo sa pohybuje po dĺžke ďalekohľadu, okulár sa pohybuje dopredu spolu so zemou. Sčítanie rýchlostí svetla a Zeme sa robí vektorovo, pomocou tzv.

Pytagoras. U 2 \u003d C 2 + V 2

C je rýchlosť svetla

V-pozemná rýchlosť

tubus ďalekohľadu

Na konci devätnásteho storočia vznikli rôzne predpoklady o existencii obyvateľov Marsu podobných ľuďom, bol to výsledok objavov talianskeho astronóma Schiaparelliho (otvoril kanály na Marse, ktoré boli dlho považované za umelé). . Prirodzene, živú diskusiu vyvolala otázka, či je možné s týmito hypotetickými tvormi komunikovať pomocou svetelných signálov. Parížska akadémia vied dokonca stanovila cenu 100 000 frankov pre prvého človeka, ktorý nadviaže kontakt s nejakým obyvateľom iného nebeského telesa; toto ocenenie ešte len čaká na šťastlivca. Ako vtip, aj keď nie úplne nerozumný, sa rozhodlo vyslať signál obyvateľom Marsu v podobe Pytagorovej vety.

Nie je známe, ako to urobiť; ale každému je zrejmé, že matematický fakt vyjadrený Pytagorovou vetou sa odohráva všade, a preto by obyvatelia iného sveta ako my mali chápať takýto signál.

mobilné pripojenie

Kto v dnešnom svete nepoužíva mobilný telefón? Každý mobilný účastník sa zaujíma o jeho kvalitu. A kvalita zasa závisí od výšky antény mobilného operátora. Na výpočet, v akom polomere je možné prijímať prenos, používame Pytagorova veta.

Aká je maximálna výška antény mobilného operátora, aby mohla prijímať vysielanie v okruhu R=200 km? (Polomer Zeme je 6380 km.)

rozhodnutie:

Nechať byť AB = x , BC=R=200 km , OC= r = 6380 km.

OB=OA+ABOB=r+x.

Pomocou Pytagorovej vety dostaneme Odpoveď: 2,3 km.

Pri stavbe domov a chát často vzniká otázka dĺžky krokiev pre strechu, ak už boli vyrobené trámy. Napríklad: plánuje sa postaviť sedlovú strechu v dome (sekčný tvar). Akú dĺžku by mali mať krokvy, ak sú nosníky AC=8 m., a AB=BF.

rozhodnutie:

Trojuholník ADC je rovnoramenný AB=BC=4 m, BF=4 m. Ak predpokladáme, že FD=1,5 m, potom:

A) Z trojuholníka DBC: DB=2,5 m.

B) Z trojuholníka ABF:

okno

V budovách Gotický a románsky štýl horné časti okien sú členené kamennými rebrami, ktoré plnia nielen úlohu ozdoby, ale prispievajú aj k pevnosti okien. Obrázok ukazuje jednoduchý príklad takéhoto okna v gotickom štýle. Spôsob jeho konštrukcie je veľmi jednoduchý: Z obrázku je ľahké nájsť stredy šiestich oblúkov kružníc, ktorých polomery sa rovnajú

šírka okna (b) pre vonkajšie oblúky

polovičná šírka, (b/2) pre vnútorné oblúky

Stále existuje úplný kruh dotýkajúci sa štyroch oblúkov. Keďže je uzavretý medzi dvoma sústrednými kružnicami, jeho priemer sa rovná vzdialenosti medzi týmito kružnicami, t.j. b / 2, a preto sa polomer rovná b / 4. A potom sa to vyjasní

polohu jeho stredu.

AT románska architektúra motív zobrazený na obrázku sa často nachádza. Ak b stále označuje šírku okna, potom polomery polkruhov budú rovné R = b / 2 a r = b / 4. Polomer p vnútorného kruhu možno vypočítať z pravouhlého trojuholníka znázorneného na obr. bodkovaná čiara. Prepona tohto trojuholníka, ktorý prechádza dotykovým bodom kružníc, sa rovná b/4+p, jedna vetva sa rovná b/4 a druhá je b/2-p. Podľa Pytagorovej vety máme:

(b/4+p)2 = (b/4)2 +(b/4-p) 2

b 2 / 16+ bp / 2 + p 2 \u003d b 2 / 16 + b 2 / 4 - bp / 2 + p 2,

Vydelením b a získaním podobných výrazov dostaneme:

(3/2) p=b/4, p=b/6.

V lesnom priemysle: pre potreby stavby sa guľatina píli na rezivo, pričom hlavnou úlohou je získať čo najmenej odpadu. Najmenšie množstvo odpadu bude vtedy, keď má lúč najväčší objem. Čo by malo byť v sekcii? Ako je zrejmé z riešenia, prierez musí byť štvorcový, a Pytagorova veta a ďalšie úvahy umožňujú vyvodiť takýto záver.

Tyčinka najväčšieho objemu

Úloha

Z valcovej guľatiny je potrebné vyrezať obdĺžnikový nosník najväčšieho objemu. Aký tvar má mať jeho prierez (obr. 23)?

rozhodnutie

Ak sú strany pravouhlého rezu x a y, potom podľa Pytagorovej vety

x 2 + y 2 \u003d d 2,

kde d je priemer guľatiny. Objem dreva je najväčší, keď je jeho prierez najväčší, t.j. keď xy dosiahne najväčšiu hodnotu. Ale ak xy je najväčšie, potom súčin x 2 y 2 bude tiež najväčší. Keďže súčet x 2 + y 2 je nezmenený, potom podľa toho, čo bolo dokázané skôr, súčin x 2 y 2 je najväčší, keď

x 2 \u003d y 2 alebo x \u003d y.

Takže prierez lúča by mal byť štvorcový.

Dopravné úlohy(tzv. optimalizačné úlohy; úlohy, ktorých riešenie umožňuje odpovedať na otázku: ako disponovať finančnými prostriedkami na dosiahnutie veľkých výhod)

Na prvý pohľad nič zvláštne: zmerajte výšku od podlahy po strop v niekoľkých bodoch, odpočítajte niekoľko centimetrov, aby sa skrinka neopierala o strop. Keď to urobíte, v procese montáže nábytku môžu nastať ťažkosti. Nábytkári totiž montujú rám tak, že skriňu postavia do vodorovnej polohy a keď je rám zložený, zdvihnú ho do zvislej polohy. Zvážte bočnú stenu skrinky. Výška skrine by mala byť o 10 cm menšia ako vzdialenosť od podlahy k stropu za predpokladu, že táto vzdialenosť nepresiahne 2500 mm. A hĺbka skrine je 700 mm. Prečo 10 cm a nie 5 cm alebo 7 a čo s tým má spoločné Pytagorova veta?

Takže: bočná stena 2500-100=2400(mm) - maximálna výška konštrukcie.

Bočná stena v procese zdvíhania rámu musí voľne prechádzať vo výške aj diagonálne. Autor: Pytagorova veta

AC \u003d √ AB 2 + BC 2

AC= √ 2400 2 + 700 2 = 2500 (mm)

Čo sa stane, ak sa výška skrinky zníži o 50 mm?

AC= √ 2450 2 + 700 2 = 2548 (mm)

Uhlopriečka 2548 mm. Takže nemôžete dať skriňu (môžete zničiť strop).

Bleskozvod.

Je známe, že bleskozvod chráni pred bleskom všetky predmety, ktorých vzdialenosť od jeho základne nepresahuje jeho dvojnásobnú výšku. Je potrebné určiť optimálnu polohu bleskozvodu na sedlovej streche, ktorá zabezpečí jej najnižšiu dostupnú výšku.

Podľa Pytagorovej vety h 2 ≥ a 2 +b 2 znamená h≥(a 2 +b 2) 1/2

Naliehavo na ich letnej chate je potrebné vytvoriť skleník pre sadenice.

Z dosiek zrazený štvorec 1m1m. Sú tam zvyšky fólie s rozmermi 1,5 m1,5 m. V akej výške v strede štvorca by mala byť koľajnica pripevnená tak, aby ju fólia úplne zakryla?

1) Uhlopriečka skleníka d == 1,4;0,7

2) Uhlopriečka filmu d 1= 2,12 1,06

3) Výška koľajnice x= 0,7

Záver

Výsledkom výskumu som zistil niektoré oblasti použitia Pytagorovej vety. Na túto tému som zozbieral a spracoval množstvo materiálu z literárnych zdrojov a internetu. Naštudoval som si niekoľko historických informácií o Pytagorasovi a jeho vete. Áno, skutočne, pomocou Pytagorovej vety môžete vyriešiť nielen matematické problémy. Pytagorova veta našla svoje uplatnenie v stavebníctve a architektúre, mobilných komunikáciách a literatúre.

Štúdium a analýza zdrojov informácií o Pytagorovej vete

ukázal, že:

a) výhradná pozornosť matematikov a matematikov vete sa zakladá na jej jednoduchosti, kráse a význame;

b) Pytagorova veta dlhé storočia slúži ako impulz pre zaujímavé a dôležité matematické objavy (Fermatova veta, Einsteinova teória relativity);

v) Pytagorova veta - je stelesnením univerzálneho jazyka matematiky, platného na celom svete;

G) rozsah vety je pomerne rozsiahly a vo všeobecnosti ho nemožno uviesť s dostatočnou úplnosťou;

d) tajomstvá Pytagorovej vety stále vzrušujú ľudstvo, a preto má každý z nás šancu zapojiť sa do ich odhalenia.

Bibliografia

Uspekhi matematicheskikh nauk, 1962, zväzok 17, číslo 6 (108).

Alexander Danilovič Alexandrov (na jeho päťdesiate narodeniny),

Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Geometria, 10 - 11 buniek. - M.: Osveta, 1992.

Atanasyan L.S. atď. Geometria, 10 - 11 buniek. - M.: Osveta, 1992.

Vladimirov Yu.S. Priestor – čas: explicitné a skryté dimenzie. - M.: "Nauka", 1989.

Voloshin A.V. Pytagoras. - M.: Osveta, 1993.

Noviny "Matematika", číslo 21, 2006.

Noviny "Matematika", číslo 28, 1995.

Geometria: Proc. Pre 7 - 11 buniek. stredná škola / G.P. Bevz, V.G. Bevz, N.G. Vladimírovej. - M.: Osveta, 1992.

Geometria: Učebnica pre 7 - 9 buniek. všeobecné vzdelanie Inštitúcie/ L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev a ďalší - 6. vyd. - M.: Osveta, 1996.

Glazer G.I. Dejiny matematiky v škole: IX - Xcl. Príručka pre učiteľov. - M.: Osveta, 1983.

Doplnkové kapitoly k školskej učebnici 8. ročník: Učebnica pre žiakov školy. a triedy s prehlbovaním. štúdium matematika /L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev a ďalší - M.: Vzdelávanie, 1996.

Yelensky Sh. Po stopách Pytagorasa. M., 1961.

Kiselev A.P., Rybkin N.A. Geometria: Planimetria: 7 - 9 buniek: Učebnica a zošit úloh. - M.: Drop, 1995.

Kline M. Matematika. Search for Truth: Preklad z angličtiny. / Ed. a predslov. IN AND. Aršinová, Yu.V. Sachkov. - M.: Mir, 1998.

Liturman V. Pytagorova veta. - M., 1960.

Matematika: Príručka školákov a študentov / B. Frank a ďalší; Preklad z neho. - 3. vyd., stereotyp. - M.: Drop, 2003.

Peltwer A. Kto ste Pytagoras? - M.: Vedomosti sú sila, č.12, 1994.

Perelman Ya. I. Zábavná matematika. - M.: "Veda", 1976.

Ponomareva T.D. Veľkí vedci. - M .: LLC Astrel Publishing House, 2002.

Sveshnikova A. Cesta do dejín matematiky. - M., 1995.

Semjonov E.E. Študujeme geometriu: Kniha. Pre žiakov 6 - 8 buniek. stredná škola - M.: Osveta, 1987.

Smyshlyaev V.K. O matematike a matematikoch. - Knižné vydavateľstvo Mari, 1977.

Tuchnin N.P. Ako položiť otázku. - M.: Osveta, 1993.

Čerkasov O.Yu. Planimetria na prijímacej skúške. - M.: Moskovské lýceum, 1996.

Encyklopedický slovník mladého matematika. Comp. A.P. Savin. - M.: Pedagogika, 1985.

Encyklopédia pre deti. T. 11. Matematika. /Ch. Ed. M.D. Aksenovej. - M.: Avanta +, 2001.

Pytagorova veta hovorí:

V pravouhlom trojuholníku sa súčet štvorcov nôh rovná štvorcu prepony:

a2 + b2 = c2,

• a a b- nohy zvierajúce pravý uhol.
• s je prepona trojuholníka.

Vzorce Pytagorovej vety

• a = \sqrt(c^(2) - b^(2))
• b = \sqrt (c^(2) - a^(2))
• c = \sqrt (a^(2) + b^(2))

Dôkaz Pytagorovej vety

Plocha pravouhlého trojuholníka sa vypočíta podľa vzorca:

S = \frac(1)(2)ab

Na výpočet plochy ľubovoľného trojuholníka je vzorec oblasti:

• p- semiperimeter. p=\frac(1)(2)(a+b+c),
• r je polomer vpísanej kružnice. Pre obdĺžnik r=\frac(1)(2)(a+b-c).

Potom vyrovnáme pravé strany oboch vzorcov pre oblasť trojuholníka:

\frac(1)(2) ab = \frac(1)(2)(a+b+c) \frac(1)(2)(a+b-c)

2 ab = (a+b+c) (a+b-c)

2 ab = \left((a+b)^(2) -c^(2) \right)

2ab = a^(2)+2ab+b^(2)-c^(2)

0=a^(2)+b^(2)-c^(2)

c^(2) = a^(2)+b^(2)

Inverzná Pytagorova veta:

Ak sa štvorec jednej strany trojuholníka rovná súčtu štvorcov ostatných dvoch strán, potom je trojuholník pravouhlý. Teda pre ľubovoľnú trojicu kladných čísel a, b a c, také že

a2 + b2 = c2,

tam je pravouhlý trojuholník s nohami a a b a preponu c.

Pytagorova veta- jedna zo základných teorém euklidovskej geometrie, stanovujúca vzťah medzi stranami pravouhlého trojuholníka. Dokázal to vedec, matematik a filozof Pytagoras.

Význam vety v tom, že sa dá použiť na dokazovanie iných teorém a riešenie problémov.

Dodatočný materiál:

V jednej veci si môžete byť stopercentne istí, že na otázku, aká je druhá mocnina prepony, každý dospelý odvážne odpovie: „Súčet štvorcov nôh.“ Táto veta je pevne zakorenená v mysli každého vzdelaného človeka, ale stačí niekoho požiadať, aby to dokázal, a potom môžu nastať ťažkosti. Preto si zapamätajme a pouvažujme o rôznych spôsoboch dokazovania Pytagorovej vety.

Stručný prehľad životopisu

Pytagorova veta je známa takmer každému, ale z nejakého dôvodu nie je biografia osoby, ktorá ju vytvorila, taká populárna. Opravíme to. Preto pred štúdiom rôznych spôsobov dokazovania Pytagorovej vety sa musíte krátko zoznámiť s jeho osobnosťou.

Pytagoras - filozof, matematik, mysliteľ, pôvodom z roku Dnes je veľmi ťažké odlíšiť jeho životopis od legiend, ktoré sa rozvinuli na pamiatku tohto velikána. Ale ako vyplýva zo spisov jeho nasledovníkov, Pytagoras zo Samosu sa narodil na ostrove Samos. Jeho otec bol obyčajný kamenár, ale matka pochádzala zo šľachtickej rodiny.

Podľa legendy narodenie Pythagorasa predpovedala žena menom Pythia, na počesť ktorej bol chlapec pomenovaný. Podľa jej predpovede mal narodený chlapec priniesť ľudstvu veľa výhod a dobra. Čo v skutočnosti urobil.

Zrodenie vety

V mladosti sa Pytagoras presťahoval do Egypta, aby sa tam stretol so slávnymi egyptskými mudrcami. Po stretnutí s nimi bol prijatý na štúdium, kde spoznal všetky veľké úspechy egyptskej filozofie, matematiky a medicíny.

Pravdepodobne to bolo v Egypte, kde sa Pytagoras inšpiroval majestátnosťou a krásou pyramíd a vytvoril svoju veľkú teóriu. Čitateľov to môže šokovať, no moderní historici veria, že Pytagoras svoju teóriu nepreukázal. Svoje poznatky ale len odovzdal svojim nasledovníkom, ktorí neskôr dokončili všetky potrebné matematické výpočty.

Nech je to akokoľvek, dnes nie je známa jedna technika na dokázanie tejto vety, ale niekoľko naraz. Dnes môžeme len hádať, ako presne starí Gréci robili svoje výpočty, takže tu zvážime rôzne spôsoby dokázania Pytagorovej vety.

Pytagorova veta

Predtým, ako začnete s akýmikoľvek výpočtami, musíte zistiť, ktorú teóriu chcete dokázať. Pytagorova veta znie takto: "V trojuholníku, v ktorom je jeden z uhlov 90 o, sa súčet štvorcov nôh rovná štvorcu prepony."

Celkovo existuje 15 rôznych spôsobov, ako dokázať Pytagorovu vetu. Ide o pomerne veľké číslo, preto venujme pozornosť najobľúbenejším z nich.

Metóda jedna

Najprv si definujme, čo máme. Tieto údaje budú platiť aj pre iné spôsoby dokazovania Pytagorovej vety, takže by ste si mali okamžite zapamätať všetky dostupné zápisy.

Predpokladajme, že je daný pravouhlý trojuholník s nohami a, b a preponou rovnou c. Prvý spôsob dôkazu je založený na skutočnosti, že z pravouhlého trojuholníka treba nakresliť štvorec.

Aby ste to dosiahli, musíte nakresliť segment rovný nohe do dĺžky nohy a a naopak. Takže by sa mali ukázať dve rovnaké strany štvorca. Zostáva len nakresliť dve rovnobežné čiary a štvorec je pripravený.

Vo výslednom obrázku musíte nakresliť ďalší štvorec so stranou rovnajúcou sa prepone pôvodného trojuholníka. Aby ste to dosiahli, z vrcholov ac a sv musíte nakresliť dva paralelné segmenty rovné c. Tak dostaneme tri strany štvorca, z ktorých jedna je prepona pôvodného pravouhlého trojuholníka. Zostáva len nakresliť štvrtý segment.

Na základe výsledného čísla môžeme konštatovať, že plocha vonkajšieho štvorca je (a + b) 2. Ak sa pozriete dovnútra postavy, môžete vidieť, že okrem vnútorného štvorca má štyri pravouhlé trojuholníky. Plocha každého je 0,5 priem.

Preto je oblasť: 4 * 0,5av + s 2 \u003d 2av + s 2

Preto (a + c) 2 \u003d 2av + c 2

A preto s 2 \u003d a 2 + v 2

Veta bola dokázaná.

Metóda dva: podobné trojuholníky

Tento vzorec na dôkaz Pytagorovej vety bol odvodený na základe výroku z časti geometrie o podobných trojuholníkoch. Hovorí, že rameno pravouhlého trojuholníka je stred úmerný jeho prepone a úsečke prepony vychádzajúcej z vrcholu uhla 90 o.

Počiatočné údaje zostávajú rovnaké, takže začnime hneď s dôkazom. Nakreslíme úsečku CD kolmú na stranu AB. Na základe vyššie uvedeného tvrdenia sú nohy trojuholníkov rovnaké:

AC=√AB*AD, SW=√AB*DV.

Na zodpovedanie otázky, ako dokázať Pytagorovu vetu, musí byť dôkaz podaný umocnením oboch nerovností.

AC 2 \u003d AB * PEKLO a SV 2 \u003d AB * DV

Teraz musíme pridať výsledné nerovnosti.

AC 2 + SV 2 \u003d AB * (AD * DV), kde AD + DV \u003d AB

Ukazuje sa, že:

AC 2 + CB 2 \u003d AB * AB

A preto:

AC 2 + CB 2 \u003d AB 2

Dôkaz Pytagorovej vety a rôzne spôsoby jej riešenia si vyžadujú všestranný prístup k tomuto problému. Táto možnosť je však jednou z najjednoduchších.

Ďalší spôsob výpočtu

Opis rôznych spôsobov dokazovania Pytagorovej vety nemusí nič povedať, kým nezačnete cvičiť sami. Mnohé metódy zahŕňajú nielen matematické výpočty, ale aj konštrukciu nových útvarov z pôvodného trojuholníka.

V tomto prípade je potrebné doplniť ďalší pravouhlý trojuholník VSD z nohy lietadla. Teraz teda existujú dva trojuholníky so spoločnou nohou BC.

S vedomím, že plochy podobných útvarov majú pomer ako štvorce ich podobných lineárnych rozmerov, potom:

S avs * s 2 - S avd * v 2 \u003d S avd * a 2 - S vd * a 2

S avs * (od 2 do 2) \u003d a 2 * (S avd -S vvd)

od 2 do 2 \u003d a 2

c 2 \u003d a 2 + v 2

Keďže táto možnosť je sotva vhodná z rôznych metód dokazovania Pytagorovej vety pre ročník 8, môžete použiť nasledujúcu techniku.

Najjednoduchší spôsob, ako dokázať Pytagorovu vetu. Recenzie

Historici sa domnievajú, že táto metóda bola prvýkrát použitá na preukázanie vety v starovekom Grécku. Je to najjednoduchšie, pretože nevyžaduje absolútne žiadne výpočty. Ak nakreslíte obrázok správne, bude jasne viditeľný dôkaz tvrdenia, že a 2 + b 2 \u003d c 2.

Podmienky pre túto metódu sa budú mierne líšiť od predchádzajúcej. Na dôkaz vety predpokladajme, že pravouhlý trojuholník ABC je rovnoramenný.

Zoberieme preponu AC ako stranu štvorca a nakreslíme jeho tri strany. Okrem toho je potrebné vo výslednom štvorci nakresliť dve diagonálne čiary. Takže vo vnútri získate štyri rovnoramenné trojuholníky.

K nohám AB a CB musíte tiež nakresliť štvorec a nakresliť jednu diagonálnu čiaru v každej z nich. Prvý riadok nakreslíme z vrcholu A, druhý - z C.

Teraz sa musíte dôkladne pozrieť na výsledný výkres. Keďže na prepone AC sú štyri trojuholníky, ktoré sa rovnajú pôvodnej prepone, a dva na nohách, naznačuje to pravdivosť tejto vety.

Mimochodom, vďaka tejto metóde dokazovania Pytagorovej vety sa zrodila slávna fráza: "Pytagorove nohavice sú si vo všetkých smeroch rovné."

Dôkaz od J. Garfielda

James Garfield je 20. prezidentom Spojených štátov amerických. Okrem toho, že ako vládca Spojených štátov amerických zanechal stopu v histórii, bol aj nadaným samoukom.

Na začiatku svojej kariéry bol obyčajným učiteľom na ľudovej škole, no čoskoro sa stal riaditeľom jednej z vysokých škôl. Túžba po sebarozvoji mu umožnila ponúknuť novú teóriu dôkazu Pytagorovej vety. Veta a príklad jej riešenia sú nasledovné.

Najprv musíte na kus papiera nakresliť dva pravouhlé trojuholníky tak, aby noha jedného z nich bola pokračovaním druhého. Vrcholy týchto trojuholníkov musia byť spojené, aby skončili lichobežníkom.

Ako viete, plocha lichobežníka sa rovná súčinu polovice súčtu jeho základov a výšky.

S=a+b/2 * (a+b)

Ak vezmeme do úvahy výsledný lichobežník ako obrazec pozostávajúci z troch trojuholníkov, potom jeho oblasť možno nájsť takto:

S \u003d av / 2 * 2 + s 2 / 2

Teraz musíme vyrovnať dva pôvodné výrazy

2av / 2 + s / 2 \u003d (a + c) 2 / 2

c 2 \u003d a 2 + v 2

O Pytagorovej vete a o tom, ako ju dokázať, možno napísať viac ako jeden zväzok učebnice. Má to však zmysel, keď sa tieto poznatky nedajú uviesť do praxe?

Praktická aplikácia Pytagorovej vety

Bohužiaľ, moderné školské osnovy umožňujú použitie tejto vety iba v geometrických problémoch. Absolventi už čoskoro opustia steny školy bez toho, aby vedeli, ako môžu svoje vedomosti a zručnosti uplatniť v praxi.

Pytagorovu vetu môže v bežnom živote použiť naozaj každý. A to nielen pri profesionálnych činnostiach, ale aj pri bežných domácich prácach. Uvažujme o niekoľkých prípadoch, keď Pytagorova veta a metódy jej dôkazu môžu byť mimoriadne potrebné.

Spojenie vety a astronómie

Zdalo by sa, ako môžu byť hviezdy a trojuholníky spojené na papieri. V skutočnosti je astronómia vedecký odbor, v ktorom sa Pytagorova veta široko používa.

Uvažujme napríklad o pohybe svetelného lúča v priestore. Vieme, že svetlo sa šíri oboma smermi rovnakou rýchlosťou. Trajektóriu nazývame AB, po ktorej sa svetelný lúč pohybuje l. A polovicu času, ktorý trvá, kým sa svetlo dostane z bodu A do bodu B, hovorme t. A rýchlosť lúča - c. Ukazuje sa, že: c*t=l

Ak sa na ten istý lúč pozriete z inej roviny, napríklad z vesmírneho parníka, ktorý sa pohybuje rýchlosťou v, tak pri takomto pozorovaní telies sa ich rýchlosť zmení. V tomto prípade sa aj stacionárne prvky budú pohybovať rýchlosťou v v opačnom smere.

Povedzme, že komiksová vložka pláva doprava. Potom sa body A a B, medzi ktorými sa lúč ponáhľa, presunú doľava. Navyše, keď sa lúč presunie z bodu A do bodu B, bod A má čas sa pohnúť, a preto svetlo už dorazí do nového bodu C. Ak chcete nájsť polovičnú vzdialenosť, o ktorú sa bod A posunul, musíte vynásobiť rýchlosť vložky o polovicu doby prejazdu lúča (t ").

A aby ste zistili, ako ďaleko by sa mohol lúč svetla dostať počas tejto doby, musíte určiť polovicu dráhy nového buku s a získať nasledujúci výraz:

Ak si predstavíme, že svetelné body C a B, ako aj priestorová vložka sú vrcholmi rovnoramenného trojuholníka, potom ho úsečka z bodu A po vložku rozdelí na dva pravouhlé trojuholníky. Preto vďaka Pytagorovej vete môžete nájsť vzdialenosť, ktorú by mohol prejsť lúč svetla.

Tento príklad, samozrejme, nie je najúspešnejší, keďže len málokomu sa pošťastí vyskúšať si ho v praxi. Preto uvažujeme o všednejších aplikáciách tejto vety.

Rozsah prenosu mobilného signálu

Moderný život si už nemožno predstaviť bez existencie smartfónov. Nakoľko by však boli užitočné, keby nemohli pripojiť účastníkov prostredníctvom mobilnej komunikácie?!

Kvalita mobilnej komunikácie priamo závisí od výšky, v ktorej sa nachádza anténa mobilného operátora. Ak chcete vypočítať, ako ďaleko od mobilnej veže môže telefón prijať signál, môžete použiť Pytagorovu vetu.

Povedzme, že potrebujete nájsť približnú výšku nehybnej veže, aby mohla šíriť signál v okruhu 200 kilometrov.

AB (výška veže) = x;

BC (polomer prenosu signálu) = 200 km;

OS (polomer zemegule) = 6380 km;

OB=OA+ABOB=r+x

Aplikovaním Pytagorovej vety zistíme, že minimálna výška veže by mala byť 2,3 kilometra.

Pytagorova veta v každodennom živote

Napodiv, Pytagorova veta môže byť užitočná aj v každodenných záležitostiach, ako je napríklad určenie výšky skrine. Na prvý pohľad nie je potrebné používať také zložité výpočty, pretože môžete jednoducho vykonať merania pomocou pásky. Mnohí sú však prekvapení, prečo počas procesu montáže vznikajú určité problémy, ak boli všetky merania vykonané viac než presne.

Faktom je, že šatník je zostavený v horizontálnej polohe a až potom stúpa a je inštalovaný proti stene. Preto musí bočná stena skrine v procese zdvíhania konštrukcie voľne prechádzať pozdĺž výšky aj diagonálne miestnosti.

Predpokladajme, že existuje šatníková skriňa s hĺbkou 800 mm. Vzdialenosť od podlahy k stropu - 2600 mm. Skúsený výrobca nábytku povie, že výška skrinky by mala byť o 126 mm menšia ako výška miestnosti. Ale prečo práve 126 mm? Pozrime sa na príklad.

Pri ideálnych rozmeroch skrine si overme fungovanie Pytagorovej vety:

AC \u003d √AB 2 + √BC 2

AC \u003d √ 2474 2 +800 2 \u003d 2600 mm - všetko sa zbieha.

Povedzme, že výška skrine nie je 2474 mm, ale 2505 mm. potom:

AC \u003d √2505 2 + √800 2 \u003d 2629 mm.

Preto táto skrinka nie je vhodná na inštaláciu v tejto miestnosti. Keďže pri zdvíhaní do zvislej polohy môže dôjsť k poškodeniu jeho tela.

Možno, po zvážení rôznych spôsobov dokazovania Pytagorovej vety rôznymi vedcami, môžeme dospieť k záveru, že je to viac než pravda. Teraz môžete získané informácie použiť vo svojom každodennom živote a byť si úplne istí, že všetky výpočty budú nielen užitočné, ale aj správne.