Cramerova metóda je založená na použití determinantov pri riešení sústav lineárnych rovníc. To výrazne urýchľuje proces riešenia.
Cramerovu metódu možno použiť na riešenie systému toľkých lineárnych rovníc, koľko je neznámych v každej rovnici. Ak sa determinant sústavy nerovná nule, potom možno pri riešení použiť Cramerovu metódu, ak sa rovná nule, tak nie. Okrem toho možno Cramerovu metódu použiť na riešenie systémov lineárnych rovníc, ktoré majú jedinečné riešenie.
Definícia. Determinant zložený z koeficientov neznámych sa nazýva determinant systému a označuje sa (delta).
Determinanty
sa získajú nahradením koeficientov pri zodpovedajúcich neznámych voľnými členmi:
;
.
Cramerova veta. Ak je determinant sústavy nenulový, potom sústava lineárnych rovníc má jediné riešenie a neznáma sa rovná pomeru determinantov. Menovateľ obsahuje determinant systému a čitateľ obsahuje determinant získaný z determinantu systému nahradením koeficientov neznámym voľnými členmi. Táto veta platí pre sústavu lineárnych rovníc ľubovoľného rádu.
Príklad 1 Vyriešte sústavu lineárnych rovníc:
Podľa Cramerova veta máme:
Takže riešenie systému (2):
online kalkulačka, metóda Cramerovho riešenia.
Tri prípady pri riešení sústav lineárnych rovníc
Ako vyplýva z Cramerove vety, pri riešení sústavy lineárnych rovníc môžu nastať tri prípady:
Prvý prípad: sústava lineárnych rovníc má jedinečné riešenie
(systém je konzistentný a jednoznačný)
Druhý prípad: sústava lineárnych rovníc má nekonečný počet riešení
(systém je konzistentný a neurčitý)
** 
,
tie. koeficienty neznámych a voľných členov sú úmerné.
Tretí prípad: sústava lineárnych rovníc nemá riešenia
(systém je nekonzistentný)
Takže systém m lineárne rovnice s n premenné sa nazývajú nezlučiteľné ak nemá žiadne riešenia a kĺb ak má aspoň jedno riešenie. Spoločná sústava rovníc, ktorá má len jedno riešenie, sa nazýva istý a viac ako jeden neistý.
Príklady riešenia sústav lineárnych rovníc Cramerovou metódou
Nechajte systém
.
Na základe Cramerovej vety
………….
,
kde 
-
systémový identifikátor. Zostávajúce determinanty sa získajú nahradením stĺpca koeficientmi zodpovedajúcej premennej (neznáme) s voľnými členmi:
Príklad 2
.
Preto je systém definitívny. Aby sme našli riešenie, vypočítame determinanty
Podľa Cramerových vzorcov nájdeme:
Takže (1; 0; -1) je jediným riešením systému.
Na kontrolu riešení sústav rovníc 3 X 3 a 4 X 4 môžete použiť online kalkulačku, metódu Cramerovho riešenia.
Ak v systéme lineárnych rovníc v jednej alebo viacerých rovniciach nie sú žiadne premenné, potom v determinante sú im zodpovedajúce prvky rovné nule! Toto je ďalší príklad.
Príklad 3 Vyriešte sústavu lineárnych rovníc Cramerovou metódou:
.
rozhodnutie. Nájdeme determinant systému:
Pozorne sa pozrite na sústavu rovníc a na determinant sústavy a zopakujte odpoveď na otázku, v ktorých prípadoch sa jeden alebo viacero prvkov determinantu rovná nule. Takže determinant sa nerovná nule, preto je systém určitý. Aby sme našli riešenie, vypočítame determinanty pre neznáme
Podľa Cramerových vzorcov nájdeme:
Riešenie sústavy je teda (2; -1; 1).
Na kontrolu riešení sústav rovníc 3 X 3 a 4 X 4 môžete použiť online kalkulačku, metódu Cramerovho riešenia.
Začiatok stránky
Pokračujeme v riešení systémov Cramerovou metódou spoločne
Ako už bolo spomenuté, ak je determinant systému rovný nule a determinanty pre neznáme nie sú rovné nule, systém je nekonzistentný, to znamená, že nemá žiadne riešenia. Ilustrujme si to na nasledujúcom príklade.
Príklad 6 Vyriešte sústavu lineárnych rovníc Cramerovou metódou:
rozhodnutie. Nájdeme determinant systému:
Determinant systému je rovný nule, preto je systém lineárnych rovníc buď nekonzistentný a určitý, alebo nekonzistentný, to znamená, že nemá riešenia. Pre objasnenie vypočítame determinanty pre neznáme
Determinanty pre neznáme sa nerovnajú nule, preto je systém nekonzistentný, to znamená, že nemá žiadne riešenia.
Na kontrolu riešení sústav rovníc 3 X 3 a 4 X 4 môžete použiť online kalkulačku, metódu Cramerovho riešenia.
V úlohách o sústavách lineárnych rovníc sú aj také, kde sú okrem písmen označujúcich premenné aj iné písmená. Tieto písmená predstavujú nejaké číslo, najčastejšie skutočné číslo. V praxi takéto rovnice a sústavy rovníc vedú k problémom nájsť všeobecné vlastnosti akýchkoľvek javov a objektov. To znamená, že ste vymysleli nejaký nový materiál alebo zariadenie a na popis jeho vlastností, ktoré sú bežné bez ohľadu na veľkosť alebo počet kópií, potrebujete vyriešiť systém lineárnych rovníc, kde sú namiesto nejakých koeficientov pre premenné písmená. Príklady netreba hľadať ďaleko.
Ďalší príklad je pre podobný problém, len sa zvyšuje počet rovníc, premenných a písmen označujúcich nejaké reálne číslo.
Príklad 8 Vyriešte sústavu lineárnych rovníc Cramerovou metódou:
rozhodnutie. Nájdeme determinant systému:
Hľadanie determinantov pre neznáme
Sústava m lineárnych rovníc s n neznámymi nazývaný systém formulára
kde aij a b i (i=1,…,m; b=1,…,n) sú niektoré známe čísla a x 1,…,x n- neznámy. V zápise koeficientov aij prvý index i označuje číslo rovnice a druhé j je počet neznámych, pri ktorých tento koeficient stojí.
Koeficienty pre neznáme budú zapísané vo forme matice 
, ktorú budeme volať systémová matica.
Čísla na pravej strane rovníc b1,…,b m volal voľných členov.
Agregátne nčísla c 1,…,c n volal rozhodnutie tejto sústavy, ak sa každá rovnica sústavy stane rovnosťou po dosadení čísel do nej c 1,…,c n namiesto zodpovedajúcich neznámych x 1,…,x n.
Našou úlohou bude nájsť riešenia systému. V tomto prípade môžu nastať tri situácie:
Systém lineárnych rovníc, ktorý má aspoň jedno riešenie, sa nazýva kĺb. V opačnom prípade, t.j. ak systém nemá riešenia, tak sa volá nezlučiteľné.
Zvážte spôsoby, ako nájsť riešenia systému.
MATICOVÁ METÓDA NA RIEŠENIE SYSTÉMOV LINEÁRNYCH ROVNIC
Matice umožňujú stručne zapísať sústavu lineárnych rovníc. Nech je daný systém 3 rovníc s tromi neznámymi:
Zvážte maticu systému 
a maticové stĺpce neznámych a voľných členov 
Poďme nájsť produkt
tie. ako výsledok súčinu získame ľavé strany rovníc tohto systému. Potom pomocou definície maticovej rovnosti možno tento systém zapísať ako
alebo kratšie A∙X = B.
Tu matice A a B sú známe a matice X neznámy. Treba ju nájsť, pretože. jeho prvky sú riešením tohto systému. Táto rovnica sa nazýva maticová rovnica.
Nech je determinant matice odlišný od nuly | A| ≠ 0. Potom sa maticová rovnica vyrieši nasledovne. Vynásobte obe strany rovnice vľavo maticou A-1, inverzná hodnota matice A: . Pokiaľ ide o A-1 A = E a E∙X=X, potom získame riešenie maticovej rovnice v tvare X = A-1 B .
Všimnite si, že keďže inverznú maticu možno nájsť len pre štvorcové matice, maticová metóda môže riešiť len tie systémy, v ktorých počet rovníc je rovnaký ako počet neznámych. Maticový zápis sústavy je však možný aj v prípade, keď sa počet rovníc nerovná počtu neznámych, potom matica A nie je štvorcový a preto nie je možné nájsť riešenie systému vo forme X = A-1 B.
Príklady. Riešiť sústavy rovníc.
CRAMEROVO PRAVIDLO
Uvažujme systém 3 lineárnych rovníc s tromi neznámymi:
Determinant tretieho rádu zodpovedajúci matici systému, t.j. zložené z koeficientov pri neznámych,
volal systémový determinant.
Ďalšie tri determinanty poskladáme takto: postupne nahradíme 1, 2 a 3 stĺpce v determinante D stĺpcom voľných členov.
Potom môžeme dokázať nasledujúci výsledok.
Veta (Cramerovo pravidlo). Ak je determinantom systému Δ ≠ 0, potom uvažovaný systém má len jedno riešenie a
Dôkaz. Uvažujme teda o systéme 3 rovníc s tromi neznámymi. Vynásobte 1. rovnicu sústavy algebraickým doplnkom A 11 prvok 11, 2. rovnica - zap A21 a 3. - dňa A 31:
Pridajme tieto rovnice:
Zvážte každú zo zátvoriek a pravú stranu tejto rovnice. Podľa vety o expanzii determinantu z hľadiska prvkov 1. stĺpca
Podobne možno ukázať, že a .
Nakoniec je ľahké to vidieť 
Dostaneme teda rovnosť: .
Preto, .
Rovnosti a sú odvodené podobne, odkiaľ nasleduje tvrdenie vety.
Poznamenávame teda, že ak je determinantom systému Δ ≠ 0, potom má systém jedinečné riešenie a naopak. Ak je determinant sústavy rovný nule, tak sústava má buď nekonečnú množinu riešení, alebo nemá riešenia, t.j. nezlučiteľné.
Príklady. Vyriešte sústavu rovníc
GAUSSOVÁ METÓDA
Predtým uvažované metódy možno použiť na riešenie iba tých systémov, v ktorých sa počet rovníc zhoduje s počtom neznámych a determinant systému musí byť odlišný od nuly. Gaussova metóda je univerzálnejšia a je vhodná pre sústavy s ľubovoľným počtom rovníc. Spočíva v postupnom odstraňovaní neznámych z rovníc sústavy.
Zvážte znova systém troch rovníc s tromi neznámymi:
.
Prvú rovnicu necháme nezmenenú a z 2. a 3. vylúčime členy obsahujúce x 1. Aby sme to dosiahli, vydelíme druhú rovnicu o a 21 a vynásobte - a 11 a potom pridajte s 1. rovnicou. Podobne rozdelíme aj tretiu rovnicu na a 31 a vynásobte - a 11 a potom ho pridajte k prvému. V dôsledku toho bude mať pôvodný systém podobu:
Teraz z poslednej rovnice vylúčime člen obsahujúci x2. Ak to chcete urobiť, vydeľte tretiu rovnicu číslom, vynásobte číslom a pridajte ho k druhému. Potom budeme mať systém rovníc:
Z poslednej rovnice je teda ľahké ju nájsť x 3, potom z 2. rovnice x2 a nakoniec od 1. x 1.
Pri použití Gaussovej metódy je možné rovnice v prípade potreby zameniť.
Často sa namiesto písania nového systému rovníc obmedzujú na písanie rozšírenej matice systému:
a potom ho pomocou elementárnych transformácií priviesť do trojuholníkového alebo diagonálneho tvaru.
Komu elementárne transformácie matice zahŕňajú nasledujúce transformácie:
- permutácia riadkov alebo stĺpcov;
- násobenie reťazca nenulovým číslom;
- pridávanie ďalších riadkov do jedného riadku.
Príklady: Riešiť sústavy rovníc pomocou Gaussovej metódy.
Systém má teda nekonečné množstvo riešení.
Je daný systém N lineárnych algebraických rovníc (SLAE) s neznámymi, ktorých koeficienty sú prvky matice a voľné členy sú čísla
Prvý index vedľa koeficientov označuje, v ktorej rovnici sa koeficient nachádza, a druhý - v ktorej z neznámych sa nachádza.
Ak sa determinant matice nerovná nule
potom systém lineárnych algebraických rovníc má jedinečné riešenie.
Riešením sústavy lineárnych algebraických rovníc je taká usporiadaná množina čísel, ktorá pri každej z rovníc sústavy mení na správnu rovnosť.
Ak sú pravé strany všetkých rovníc systému rovné nule, potom sa systém rovníc nazýva homogénny. V prípade, že niektoré z nich sú nenulové, nejednotné
Ak má systém lineárnych algebraických rovníc aspoň jedno riešenie, potom sa nazýva kompatibilný, inak je nezlučiteľný.
Ak je riešenie sústavy jedinečné, potom sa sústava lineárnych rovníc nazýva definitná. V prípade, že riešenie kĺbovej sústavy nie je jednoznačné, sústava rovníc sa nazýva neurčitá.
Dva systémy lineárnych rovníc sa nazývajú ekvivalentné (alebo ekvivalentné), ak všetky riešenia jedného systému sú riešeniami druhého systému a naopak. Ekvivalentné (alebo ekvivalentné) systémy sa získajú použitím ekvivalentných transformácií.
Ekvivalentné transformácie SLAE
1) preskupenie rovníc;
2) násobenie (alebo delenie) rovníc nenulovým číslom;
3) pridanie do nejakej rovnice ďalšej rovnice, vynásobenej ľubovoľným nenulovým číslom.
Riešenie SLAE možno nájsť rôznymi spôsobmi.
CRAMEROVA METÓDA
CRAMEROVA TEOREMA. Ak je determinant systému lineárnych algebraických rovníc s neznámymi odlišný od nuly, potom má tento systém jedinečné riešenie, ktoré nájdeme pomocou Cramerových vzorcov:
sú determinanty tvorené nahradením i-tého stĺpca stĺpcom voľných členov.
Ak , a aspoň jeden z je nenulový, potom SLAE nemá žiadne riešenia. Ak 
, potom má SLAE veľa riešení. Zvážte príklady pomocou Cramerovej metódy.
—————————————————————
Je daný systém troch lineárnych rovníc s tromi neznámymi. Vyriešte systém Cramerovou metódou
Nájdite determinant matice koeficientov pre neznáme
Od , potom je daný systém rovníc konzistentný a má jedinečné riešenie. Vypočítajme determinanty:
Pomocou Cramerových vzorcov nájdeme neznáme
Takže 
jediné riešenie systému.
Je daný systém štyroch lineárnych algebraických rovníc. Vyriešte systém Cramerovou metódou.
Nájdite determinant matice koeficientov pre neznáme. Aby sme to dosiahli, rozšírime ho o prvý riadok.
Nájdite zložky determinantu:
Dosaďte nájdené hodnoty do determinantu
Determinant, teda sústava rovníc je konzistentná a má jedinečné riešenie. Determinanty vypočítame pomocou Cramerových vzorcov:
Rozšírme každý z determinantov o stĺpec, v ktorom je viac núl.
Podľa Cramerových vzorcov nájdeme
Systémové riešenie 
Tento príklad je možné vyriešiť pomocou matematickej kalkulačky YukhymCALC. Fragment programu a výsledky výpočtov sú uvedené nižšie.
——————————
C R A M E R METÓDA
|1,1,1,1|
D=|5,-3,2,-8|
|3,5,1,4|
|4,2,3,1|
D=1*(-3*1*1+2*4*2+(-8)*5*3-((-8)*1*2+2*5*1+(-3)*4* 3))-1*(5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4*3) )+1*(5*5*1+(-3)*4*4+(-8)*3*2-((-8)*5*4+(-3)*3*1+5* 4*2))-1*(5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4* 3))= 1*(-3+16-120+16-10+36)-1*(5+32-72+32-6-60)+1*(25-48-48+160+9- 40)-1*(75-12+12-40+27-10)=1*(-65)-1*(-69)+1*58-1*52=-65+69+58-52= desať
|0,1,1,1|
Dx1=|1,-3,2,-8|
|0,5,1,4|
|3,2,3,1|
Dx1=-1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3)) +1*(1*5*1+(-3)*4*3+(-8)*0*2-((-8)*5*3+(-3)*0*1+1*4 *2))-1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3 ))= -1*(1+24+0+24+0-12)+1*(5-36+0+120+0-8)-1*(15-9+0-30+0-2 )= -1*(37)+1*81-1*(-26)=-37+81+26=70
|1,0,1,1|
Dx2=|5,1,2,-8|
|3,0,1,4|
|4,3,3,1|
Dx2=1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3))+ 1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3))-1* (5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4*3))= 1*(1 +24+0+24+0-12)+1*(0+16-72+0-3-60)-1*(0+4+18+0-9-15)= 1*37+1* (-119)-1*(-2)=37-119+2=-80
|1,1,0,1|
Dx3=|5,-3,1,-8|
|3,5,0,4|
|4,2,3,1|
Dx3=1*(-3*0*1+1*4*2+(-8)*5*3-((-8)*0*2+1*5*1+(-3)*4* 3))-1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3) )-1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3))= 1*(0+8-120+0-5+36)-1*(0+16-72+0-3-60)-1*(75+0+6-20+27+0)= 1* (-81)-1*(-119)-1*88=-81+119-88=-50
|1,1,1,0|
Dx4=|5,-3,2,1|
|3,5,1,0|
|4,2,3,3|
Dx4=1*(-3*1*3+2*0*2+1*5*3-(1*1*2+2*5*3+(-3)*0*3))-1* (5*1*3+2*0*4+1*3*3-(1*1*4+2*3*3+5*0*3))+1*(5*5*3+( -3)*0*4+1*3*2-(1*5*4+(-3)*3*3+5*0*2))= 1*(-9+0+15-2- 30+0)-1*(15+0+9-4-18+0)+1*(75+0+6-20+27+0)= 1*(-26)-1*(2)+ 1*88=-26-2+88=60
x1=Dx1/D=70,0000/10,0000=7,0000
x2=Dx2/D=-80,0000/10,0000=-8,0000
x3=Dx3/D=-50,0000/10,0000=-5,0000
x4=Dx4/D=60,0000/10,0000=6,0000
Zobraziť materiály:
(jkomentuje)
Vo všeobecnom prípade je pravidlo pre výpočet determinantov t. rádu dosť ťažkopádne. Pre determinanty druhého a tretieho rádu existujú racionálne spôsoby ich výpočtu.
Výpočty determinantov druhého rádu
Na výpočet determinantu matice druhého rádu je potrebné odpočítať súčin prvkov vedľajšej uhlopriečky od súčinu prvkov hlavnej uhlopriečky:
Príklad
Cvičenie. Vypočítajte determinant druhého rádu
rozhodnutie.
Odpoveď.
Metódy výpočtu determinantov tretieho rádu
Existujú pravidlá na výpočet determinantov tretieho rádu.
trojuholníkové pravidlo
Schematicky možno toto pravidlo znázorniť takto:
Súčin prvkov v prvom determinante, ktoré sú spojené čiarami, sa berie so znamienkom plus; podobne aj pre druhý determinant sa zodpovedajúce súčiny berú so znamienkom mínus, t.j.
Príklad
Cvičenie. Vypočítajte determinant 
trojuholníková metóda.
rozhodnutie.
Odpoveď.
Sarrus vládne
Napravo od determinantu sa pridajú prvé dva stĺpce a súčin prvkov na hlavnej uhlopriečke a na uhlopriečkach s ňou rovnobežných sa vezme so znamienkom plus; a súčin prvkov sekundárnej diagonály a uhlopriečok s ňou rovnobežných so znamienkom mínus:
Príklad
Cvičenie. Vypočítajte determinant pomocou Sarrusovho pravidla.
rozhodnutie.
Odpoveď.
Riadkové alebo stĺpcové rozšírenie determinantu
Determinant sa rovná súčtu súčinov prvkov radu determinantu a ich algebraických doplnkov.
Zvyčajne vyberte riadok/stĺpec, v ktorom/tom sú nuly. Riadok alebo stĺpec, na ktorom sa rozklad vykonáva, bude označený šípkou.
Príklad
Cvičenie. Rozšírením cez prvý riadok vypočítajte determinant
rozhodnutie.
Odpoveď.
Táto metóda umožňuje zredukovať výpočet determinantu na výpočet determinantu nižšieho rádu.
Príklad
Cvičenie. Vypočítajte determinant
rozhodnutie. Vykonajte nasledujúce transformácie na riadkoch determinantu: od druhého riadku odčítame prvé štyri a od tretieho riadku prvý riadok vynásobený siedmimi, výsledkom čoho je, že podľa vlastností determinantu dostaneme determinant rovný danému.
Determinant je nula, pretože druhý a tretí riadok sú proporcionálne.
Odpoveď.
Na výpočet determinantov štvrtého a vyššieho rádu sa používa buď rozšírenie riadkov/stĺpcov, alebo redukcia na trojuholníkový tvar, alebo pomocou Laplaceovej vety.
Dekompozícia determinantu z hľadiska prvkov riadku alebo stĺpca
Príklad
Cvičenie. Vypočítajte determinant 
, rozkladajúc ho prvkami nejakého riadku alebo nejakého stĺpca.
rozhodnutie. Najprv urobme elementárne transformácie na riadkoch determinantu tak, že urobíme čo najviac núl buď v riadku alebo v stĺpci. Aby sme to dosiahli, najprv odčítame deväť tretín od prvého riadku, päť tretín od druhého a tri tretiny od štvrtého, dostaneme:
Výsledný determinant rozšírime o prvky prvého stĺpca:
Výsledný determinant tretieho rádu je tiež rozšírený o prvky riadka a stĺpca, ktoré predtým získali nuly, napríklad v prvom stĺpci.
Za týmto účelom odpočítame dva druhé riadky od prvého riadku a druhý od tretieho:
Odpoveď.
Komentujte
Posledný a predposledný determinant nebolo možné vypočítať, ale okamžite došlo k záveru, že sú rovné nule, pretože obsahujú proporcionálne riadky.
Uvedenie determinantu do trojuholníkového tvaru
Pomocou elementárnych transformácií cez riadky alebo stĺpce sa determinant zredukuje na trojuholníkový tvar a jeho hodnota sa potom podľa vlastností determinantu rovná súčinu prvkov na hlavnej diagonále.
Príklad
Cvičenie. Vypočítajte determinant 
dostať ho do trojuholníkového tvaru.
rozhodnutie. Najprv urobíme nuly v prvom stĺpci pod hlavnou uhlopriečkou.
4. Vlastnosti determinantov. Determinant súčinu matríc.
Všetky transformácie sa budú ľahšie vykonávať, ak sa prvok rovná 1. K tomu prehodíme prvý a druhý stĺpec determinantu, čo podľa vlastností determinantu spôsobí jeho zmenu znamienka na opačné :
Ďalej dostaneme nuly v druhom stĺpci namiesto prvkov pod hlavnou uhlopriečkou. A opäť, ak sa diagonálny prvok rovná , potom budú výpočty jednoduchšie. Aby sme to urobili, prehodíme druhý a tretí riadok (a zároveň zmeníme na opačné znamienko determinantu):
Odpoveď.
Laplaceova veta
Príklad
Cvičenie. Pomocou Laplaceovej vety vypočítajte determinant 
rozhodnutie. V tomto determinante piateho rádu vyberieme dva riadky - druhý a tretí, potom dostaneme (vynecháme členy, ktoré sa rovnajú nule):
Odpoveď.
LINEÁRNE ROVNICE A NEROVNICE I
§ 31 Ak je hlavný determinant sústavy rovníc rovný nule a aspoň jeden z pomocných determinantov je odlišný od nuly
Veta.Ak je hlavným determinantom sústavy rovníc
(1)
sa rovná nule a aspoň jeden z pomocných determinantov je odlišný od nuly, potom je systém nekonzistentný.
Formálne nie je ťažké získať dôkaz tejto vety protirečením. Predpokladajme, že sústava rovníc (1) má riešenie ( X 0 , r 0). Keďže, ako je uvedené v predchádzajúcom odseku,
Δ X 0 = Δ X , Δ r 0 = Δ r (2)
Ale podľa podmienok Δ = 0 a aspoň jeden z determinantov Δ X a Δ r odlišný od nuly. Rovnosti (2) teda nemôžu platiť súčasne. Veta bola dokázaná.
Zdá sa však zaujímavé podrobnejšie objasniť, prečo je sústava rovníc (1) v posudzovanom prípade nekonzistentná.
znamená, že koeficienty neznámych v sústave rovníc (1) sú úmerné. Nech napr.
a 1 = ka 2 ,b 1 = kb 2 .
znamená, že koeficienty pri a voľné členy rovníc sústavy (1) nie sú proporcionálne. Pokiaľ ide o b 1 = kb 2 potom c 1 =/= kc 2 .
Preto môže byť systém rovníc (1) napísaný v nasledujúcom tvare:
V tomto systéme sú koeficienty pre neznáme respektíve proporcionálne, ale koeficienty pre pri (alebo kedy X ) a voľné termíny nie sú proporcionálne. Takýto systém je, samozrejme, nekonzistentný. Skutočne, keby mala riešenie ( X 0 , r 0), potom číselné rovnosti
k (a 2 X 0 + b 2 r 0) = c 1
a 2 X 0 + b 2 r 0 = c 2 .
Ale jedna z týchto rovností je v rozpore s druhou: koniec koncov, c 1 =/= kc 2 .
Zvažovali sme len prípad, kedy Δ X =/= 0. Podobne môžeme uvažovať aj o prípade, keď Δ r =/= 0."
Dokázaná veta môže byť formulovaná nasledujúcim spôsobom.
Ak sú koeficienty pre neznáme X a pri v sústave rovníc (1) sú úmerné a koeficienty pre ktorúkoľvek z týchto neznámych a voľných členov nie sú úmerné, potom je táto sústava rovníc nekonzistentná.
Je ľahké napríklad overiť, že každý z týchto systémov bude nekonzistentný:
Cramerova metóda riešenia sústav lineárnych rovníc
Cramerove vzorce
Cramerova metóda je založená na použití determinantov pri riešení sústav lineárnych rovníc. To výrazne urýchľuje proces riešenia.
Cramerovu metódu možno použiť na riešenie systému toľkých lineárnych rovníc, koľko je neznámych v každej rovnici.
Cramerova metóda. Aplikácia pre sústavy lineárnych rovníc
Ak sa determinant sústavy nerovná nule, potom možno pri riešení použiť Cramerovu metódu, ak sa rovná nule, tak nie. Okrem toho možno Cramerovu metódu použiť na riešenie systémov lineárnych rovníc, ktoré majú jedinečné riešenie.
Definícia. Determinant zložený z koeficientov neznámych sa nazýva determinant systému a označuje sa (delta).
Determinanty
sa získajú nahradením koeficientov pri zodpovedajúcich neznámych voľnými členmi:
;
.
Cramerova veta. Ak je determinant sústavy nenulový, potom sústava lineárnych rovníc má jediné riešenie a neznáma sa rovná pomeru determinantov. Menovateľ obsahuje determinant systému a čitateľ obsahuje determinant získaný z determinantu systému nahradením koeficientov neznámym voľnými členmi. Táto veta platí pre sústavu lineárnych rovníc ľubovoľného rádu.
Príklad 1 Vyriešte sústavu lineárnych rovníc:
Podľa Cramerova veta máme:
Takže riešenie systému (2):
Tri prípady pri riešení sústav lineárnych rovníc
Ako vyplýva z Cramerove vety, pri riešení sústavy lineárnych rovníc môžu nastať tri prípady:
Prvý prípad: sústava lineárnych rovníc má jedinečné riešenie
(systém je konzistentný a jednoznačný)
* 
Druhý prípad: sústava lineárnych rovníc má nekonečný počet riešení
(systém je konzistentný a neurčitý)
** 
,
tie. koeficienty neznámych a voľných členov sú úmerné.
Tretí prípad: sústava lineárnych rovníc nemá riešenia
(systém je nekonzistentný)
Takže systém m lineárne rovnice s n premenné sa nazývajú nezlučiteľné ak nemá žiadne riešenia a kĺb ak má aspoň jedno riešenie. Spoločná sústava rovníc, ktorá má len jedno riešenie, sa nazýva istý a viac ako jeden neistý.
Príklady riešenia sústav lineárnych rovníc Cramerovou metódou
Nechajte systém
.
Na základe Cramerovej vety
………….
,
kde 
—
systémový identifikátor. Zostávajúce determinanty sa získajú nahradením stĺpca koeficientmi zodpovedajúcej premennej (neznáme) s voľnými členmi:
Príklad 2
.
Preto je systém definitívny. Aby sme našli riešenie, vypočítame determinanty
Podľa Cramerových vzorcov nájdeme:
Takže (1; 0; -1) je jediným riešením systému.
Na kontrolu riešení sústav rovníc 3 X 3 a 4 X 4 môžete použiť online kalkulačku, metódu Cramerovho riešenia.
Ak v systéme lineárnych rovníc v jednej alebo viacerých rovniciach nie sú žiadne premenné, potom v determinante sú im zodpovedajúce prvky rovné nule! Toto je ďalší príklad.
Príklad 3 Vyriešte sústavu lineárnych rovníc Cramerovou metódou:
.
rozhodnutie. Nájdeme determinant systému:
Pozorne sa pozrite na sústavu rovníc a na determinant sústavy a zopakujte odpoveď na otázku, v ktorých prípadoch sa jeden alebo viacero prvkov determinantu rovná nule. Takže determinant sa nerovná nule, preto je systém určitý. Aby sme našli riešenie, vypočítame determinanty pre neznáme
Podľa Cramerových vzorcov nájdeme:
Riešenie sústavy je teda (2; -1; 1).
Na kontrolu riešení sústav rovníc 3 X 3 a 4 X 4 môžete použiť online kalkulačku, metódu Cramerovho riešenia.
Začiatok stránky
Urobte si kvíz o sústavách lineárnych rovníc
Ako už bolo spomenuté, ak je determinant systému rovný nule a determinanty pre neznáme nie sú rovné nule, systém je nekonzistentný, to znamená, že nemá žiadne riešenia. Ilustrujme si to na nasledujúcom príklade.
Príklad 4 Vyriešte sústavu lineárnych rovníc Cramerovou metódou:
rozhodnutie. Nájdeme determinant systému:
Determinant systému je rovný nule, preto je systém lineárnych rovníc buď nekonzistentný a určitý, alebo nekonzistentný, to znamená, že nemá riešenia. Pre objasnenie vypočítame determinanty pre neznáme
Determinanty pre neznáme sa nerovnajú nule, preto je systém nekonzistentný, to znamená, že nemá žiadne riešenia.
Na kontrolu riešení sústav rovníc 3 X 3 a 4 X 4 môžete použiť online kalkulačku, metódu Cramerovho riešenia.
V úlohách o sústavách lineárnych rovníc sú aj také, kde sú okrem písmen označujúcich premenné aj iné písmená. Tieto písmená predstavujú nejaké číslo, najčastejšie skutočné číslo. V praxi takéto rovnice a sústavy rovníc vedú k problémom nájsť všeobecné vlastnosti akýchkoľvek javov a objektov. To znamená, že ste vymysleli nejaký nový materiál alebo zariadenie a na popis jeho vlastností, ktoré sú bežné bez ohľadu na veľkosť alebo počet kópií, potrebujete vyriešiť systém lineárnych rovníc, kde sú namiesto nejakých koeficientov pre premenné písmená. Príklady netreba hľadať ďaleko.
Ďalší príklad je pre podobný problém, len sa zvyšuje počet rovníc, premenných a písmen označujúcich nejaké reálne číslo.
Príklad 6 Vyriešte sústavu lineárnych rovníc Cramerovou metódou:
rozhodnutie. Nájdeme determinant systému:
Hľadanie determinantov pre neznáme
Podľa Cramerových vzorcov nájdeme:
,
,
.
A nakoniec sústava štyroch rovníc so štyrmi neznámymi.
Príklad 7 Vyriešte sústavu lineárnych rovníc Cramerovou metódou:
.
Pozor! Metódy na výpočet determinantov štvrtého rádu tu nebudú vysvetlené. Potom - do príslušnej časti stránky. Ale budú tam nejaké komentáre. rozhodnutie. Nájdeme determinant systému:
Malý komentár. V pôvodnom determinante sa prvky štvrtého radu odpočítali od prvkov druhého radu, prvky štvrtého radu vynásobené 2 sa odpočítali od prvkov tretieho radu, prvky prvého riadku vynásobené 2 boli odpočítané od prvkov štvrtého radu.schéma. Hľadanie determinantov pre neznáme
Pre transformácie determinantu so štvrtou neznámou boli prvky štvrtého radu odčítané od prvkov prvého radu.
Podľa Cramerových vzorcov nájdeme:
Riešenie sústavy je teda (1; 1; -1; -1).
Na kontrolu riešení sústav rovníc 3 X 3 a 4 X 4 môžete použiť online kalkulačku, metódu Cramerovho riešenia.
Tí najpozornejší si zrejme všimli, že článok neobsahuje príklady riešenia neurčitých sústav lineárnych rovníc. A to všetko preto, že nie je možné riešiť takéto systémy Cramerovou metódou, môžeme len konštatovať, že systém je neurčitý. Riešenia takýchto systémov sú dané Gaussovou metódou.
Nemáte čas vŕtať sa v riešení? Môžete si objednať prácu!
Začiatok stránky
Urobte si kvíz o sústavách lineárnych rovníc
Iné na tému "Sústavy rovníc a nerovníc"
Kalkulačka - riešte sústavy rovníc online
Programová implementácia Cramerovej metódy v C++
Riešenie sústav lineárnych rovníc substitučnou metódou a metódou sčítania
Riešenie sústav lineárnych rovníc Gaussovou metódou
Podmienka kompatibility sústavy lineárnych rovníc.
Kronecker-Capelliho veta
Riešenie sústav lineárnych rovníc maticovou metódou (inverzná matica)
Sústavy lineárnych nerovníc a konvexných množín bodov
Začiatok témy "Lineárna algebra"
Determinanty
V tomto článku sa zoznámime s veľmi dôležitým pojmom z časti lineárnej algebry, ktorý sa nazýva determinant.
Hneď by som rád poznamenal dôležitý bod: pojem determinant platí len pre štvorcové matice (počet riadkov = počet stĺpcov), ostatné matice ho nemajú.
Determinant štvorcovej matice(determinant) — číselná charakteristika matice.
Označenie determinantov: |A|, det A, ∆ A.
determinant„n“ rád sa nazýva algebraický súčet všetkých možných súčinov jeho prvkov, ktoré spĺňajú nasledujúce požiadavky:
1) Každý takýto produkt obsahuje presne „n“ prvkov (t. j. determinant druhého rádu sú 2 prvky).
2) V každom produkte je zástupca každého riadku a každého stĺpca ako faktor.
3) Žiadne dva faktory v každom produkte nemôžu patriť do rovnakého riadka alebo stĺpca.
Znamienko súčinu je určené poradím striedania čísel stĺpcov, ak sú prvky súčinu usporiadané vzostupne podľa čísel riadkov.
Zvážte niekoľko príkladov hľadania determinantu matice:
Pre maticu prvého rádu (t.j.
Lineárne rovnice. Riešenie sústav lineárnych rovníc. Cramerova metóda.
existuje iba 1 prvok), determinant sa rovná tomuto prvku:
2. Uvažujme štvorcovú maticu druhého rádu:
3. Uvažujme štvorcovú maticu tretieho rádu (3×3):
4. A teraz zvážte príklady s reálnymi číslami:
Pravidlo trojuholníka.
Pravidlo trojuholníka je spôsob výpočtu determinantu matice, ktorý zahŕňa jeho nájdenie podľa nasledujúcej schémy:
Ako ste už pochopili, metóda sa nazývala trojuholníkové pravidlo kvôli skutočnosti, že vynásobené prvky matice tvoria zvláštne trojuholníky.
Aby sme to lepšie pochopili, uveďme si príklad:
A teraz zvážte výpočet determinantu matice s reálnymi číslami pomocou trojuholníkového pravidla:
Na konsolidáciu preberaného materiálu vyriešime ďalší praktický príklad:
Vlastnosti determinantov:
1. Ak sa prvky riadka alebo stĺpca rovnajú nule, potom sa determinant rovná nule.
2. Ak sa vymenia 2 riadky alebo stĺpce, determinant zmení znamienko. Pozrime sa na to na malom príklade:
3. Determinant transponovanej matice sa rovná determinantu pôvodnej matice.
4. Determinant je nula, ak sa prvky jedného riadku rovnajú zodpovedajúcim prvkom iného riadka (aj pre stĺpce). Najjednoduchším príkladom tejto vlastnosti determinantov je:
5. Determinant je nula, ak sú jeho 2 riadky proporcionálne (aj pre stĺpce). Príklad (riadky 1 a 2 sú proporcionálne):
6. Spoločný činiteľ riadku (stĺpca) možno vyňať zo znamienka determinantu.
7) Determinant sa nezmení, ak sa k prvkom ľubovoľného riadka (stĺpca) pripočítajú zodpovedajúce prvky iného riadka (stĺpca), vynásobené rovnakou hodnotou. Pozrime sa na to na príklade:
Zobrazenia: 57258
Determinant (alias determinant (determinant)) sa nachádza iba v štvorcových maticiach. Determinant nie je nič iné ako hodnota, ktorá kombinuje všetky prvky matice, ktorá sa zachováva pri transponovaní riadkov alebo stĺpcov. Môže byť označený ako det(A), |A|, Δ(A), Δ, kde A môže byť matica aj písmeno, ktoré ju označuje. Môžete ho nájsť rôznymi spôsobmi:
Všetky vyššie navrhnuté metódy budú analyzované na matriciach veľkosti tri alebo viac. Determinant dvojrozmernej matice sa nachádza pomocou troch základných matematických operácií, preto hľadanie determinantu dvojrozmernej matice nebude patriť do žiadnej z metód. Teda až na dodatok, ale o tom neskôr.
Nájdite determinant matice 2x2:
Aby sme našli determinant našej matice, je potrebné odčítať súčin čísel jednej uhlopriečky od druhej, tj.
Príklady hľadania determinantu matíc druhého rádu
Riadkový/stĺpcový rozklad
Vyberie sa ľubovoľný riadok alebo stĺpec v matici. Každé číslo vo vybranom riadku sa vynásobí (-1) i+j, kde (i,j je číslo riadka, stĺpca daného čísla) a vynásobí sa determinantom druhého rádu, ktorý tvoria zvyšné prvky po vymazaní i - riadok a j - stĺpec. Poďme sa pozrieť na maticu
- Vyberte riadok/stĺpec
Vezmite napríklad druhý riadok.
Poznámka: Ak nie je výslovne uvedené, ktorým riadkom sa má nájsť determinant, vyberte riadok, ktorý má nulu. Výpočtov bude menej.
- Vytvorte výraz
Nie je ťažké určiť, že znamienko čísla sa mení zakaždým. Preto sa namiesto jednotiek môžete riadiť nasledujúcou tabuľkou:
- Zmeňme znamienko našich čísel
- Poďme nájsť determinanty našich matíc
- Zvažujeme to všetko
Riešenie možno napísať takto:
Príklady nájdenia determinantu pomocou rozšírenia riadkov/stĺpcov:
Metóda redukcie na trojuholníkový tvar (pomocou elementárnych transformácií)
Determinant sa nájde tak, že sa matica dostane do trojuholníkového (stupňovitého) tvaru a vynásobia sa prvky na hlavnej diagonále.
Trojuholníková matica je matica, ktorej prvky na jednej strane uhlopriečky sa rovnajú nule.
Pri vytváraní matice nezabudnite na tri jednoduché pravidlá:
- Zakaždým, keď sa reťazce vymenia, determinant zmení znamienko na opačné.
- Pri násobení / delení jedného reťazca nenulovým číslom ho treba deliť (ak sa násobí) / násobiť (ak je delené) ním, alebo vykonať túto akciu s výsledným determinantom.
- Pri pridávaní jedného reťazca vynásobeného číslom k druhému reťazcu sa determinant nemení (vynásobený reťazec nadobudne svoju pôvodnú hodnotu).
Skúsme dostať nuly do prvého stĺpca, potom do druhého.
Pozrime sa na našu maticu:
Ta-a-ak. Pre spríjemnenie výpočtov by som chcel mať navrchu najbližšie číslo. Môžete to nechať, ale nemusíte. Dobre, v druhom riadku máme dvojku a v prvom štyri.
Vymeňme tieto dva riadky.
Prehodili sme riadky, teraz musíme buď zmeniť znamienko jedného riadku, alebo zmeniť znamienko determinantu na konci.
Determinanty. Výpočet determinantov (s. 2)
Urobíme to neskôr.
Teraz, aby sme dostali nulu v prvom riadku, vynásobíme prvý riadok 2.
Odčítajte 1. riadok od druhého.
Podľa nášho 3. pravidla vrátime pôvodný reťazec do východiskovej polohy.
Teraz urobme nulu v 3. riadku. Prvý riadok môžeme vynásobiť 1,5 a odpočítať od tretieho, ale práca so zlomkami prináša len málo potešenia. Preto nájdime číslo, na ktoré sa dajú zmenšiť oba reťazce - toto je 6.
Vynásobte 3. riadok 2.
Teraz vynásobíme 1. riadok 3 a odpočítame od 3. riadku.
Vráťme náš 1. riadok.
Nezabudnite, že 3. riadok sme vynásobili 2, takže potom determinant vydelíme 2.
Je tam jeden stĺpec. Teraz, aby sme dostali nuly v druhom - zabudnime na 1. riadok - pracujeme s 2. riadkom. Vynásobte druhý riadok -3 a pridajte ho k tretiemu.
Nezabudnite vrátiť druhý riadok.
Takže sme vytvorili trojuholníkovú maticu. čo nám ostáva? A zostáva vynásobiť čísla na hlavnej uhlopriečke, čo urobíme.
Zostáva si pamätať, že náš determinant musíme vydeliť 2 a zmeniť znamienko.
Sarrusovo pravidlo (pravidlo trojuholníkov)
Sarrusovo pravidlo platí len pre štvorcové matice tretieho rádu.
Determinant sa vypočíta sčítaním prvých dvoch stĺpcov napravo od matice, vynásobením prvkov uhlopriečok matice a ich sčítaním a odčítaním súčtu protiľahlých uhlopriečok. Odpočítajte fialovú od oranžových uhlopriečok.
Pravidlo trojuholníkov je rovnaké, len obrázok je iný.
Laplaceova veta pozri Riadkový/stĺpcový rozklad
1.1. Sústavy dvoch lineárnych rovníc a determinantov druhého rádu
Uvažujme systém dvoch lineárnych rovníc s dvoma neznámymi:
Šance 
s neznámym 
a 
majú dva indexy: prvý označuje číslo rovnice, druhý - číslo premennej.
Cramerovo pravidlo: Riešenie sústavy nájdeme vydelením pomocných determinantov hlavným determinantom sústavy
,
Poznámka 1. Použitie Cramerovho pravidla je možné, ak je determinantom systému 
sa nerovná nule.
Poznámka 2. Cramerove vzorce možno zovšeobecniť aj na systémy vyššieho rádu.
Príklad 1 Systém riešenia: 
.
rozhodnutie.
;
;
;
Vyšetrenie:
záver: Systém je správny: 
.
1.2. Sústavy troch lineárnych rovníc a determinantov tretieho rádu
Uvažujme systém troch lineárnych rovníc s tromi neznámymi:
Determinant, zložený z koeficientov neznámych, sa nazýva systémový kvalifikátor alebo hlavný kvalifikátor:
.
Ak 
potom má systém jedinečné riešenie, ktoré je určené Cramerovými vzorcami:
kde sú determinanty 
sa nazývajú pomocné a získavajú sa z determinantu 
nahradením jeho prvého, druhého alebo tretieho stĺpca stĺpcom voľných členov systému.
Príklad 2 Vyriešte systém 
.
Utvorme hlavné a pomocné determinanty:
Zostáva zvážiť pravidlá výpočtu determinantov tretieho rádu. Existujú tri z nich: pravidlo sčítania stĺpcov, pravidlo Sarrusa a pravidlo rozšírenia.
a) Pravidlo na pridanie prvých dvoch stĺpcov k hlavnému determinantu:
Výpočet sa vykonáva takto: ich znamienkom sú súčin prvkov hlavnej uhlopriečky a pozdĺž rovnobežiek k nej, opačným znamienkom sú súčinom prvkov vedľajšej uhlopriečky a pozdĺž rovnobežiek k nej. .
b) Sarrusovo pravidlo:
Svojím znakom berú produkty prvkov hlavnej diagonály a pozdĺž rovnobežiek k nej a chýbajúci tretí prvok je prevzatý z opačného rohu. S opačným znamienkom berú produkty prvkov sekundárnej diagonály a pozdĺž rovnobežiek k nej sa tretí prvok odoberá z opačného rohu.
c) Pravidlo rozšírenia o prvky riadka alebo stĺpca:
Ak 
, potom .
Algebraické sčítanie je determinant nižšieho rádu získaný vymazaním príslušného riadka a stĺpca a zohľadnením znamienka 
, kde 
- poradové číslo 
- číslo stĺpca.
Napríklad,
,
,
atď.
Vypočítajme pomocné determinanty podľa tohto pravidla 
a 
, pričom ich rozšírite o prvky prvého radu.
Po vypočítaní všetkých determinantov nájdeme premenné podľa Cramerovho pravidla:
Vyšetrenie:
záver: systém je správny: .
Základné vlastnosti determinantov
Treba mať na pamäti, že determinantom je číslo, nájdené podľa niektorých pravidiel. Jeho výpočet je možné zjednodušiť, ak použijeme základné vlastnosti, ktoré sú platné pre determinanty ľubovoľného rádu.
Nehnuteľnosť 1. Hodnota determinantu sa nezmení, ak sú všetky jeho riadky nahradené zodpovedajúcimi stĺpcami a naopak.
Operácia nahradenia riadkov stĺpcami sa nazýva transpozícia. Z tejto vlastnosti vyplýva, že každý výrok, ktorý je pravdivý pre riadky determinantu, bude pravdivý aj pre jeho stĺpce.
Nehnuteľnosť 2. Ak sa v determinante vymenia dva riadky (stĺpce), potom sa znamienko determinantu zmení na opačné.
Nehnuteľnosť 3. Ak sú všetky prvky ktoréhokoľvek riadku determinantu 0, potom je determinant 0.
Nehnuteľnosť 4.
Ak sú prvky reťazca determinantov vynásobené (delené) nejakým číslom 
, potom sa hodnota determinantu zvýši (zníži) v 
raz.
Ak prvky ktoréhokoľvek riadku majú spoločný faktor, potom ho možno vyňať zo znamienka determinantu.
Nehnuteľnosť 5. Ak má determinant dva rovnaké alebo proporcionálne riadky, potom sa takýto determinant rovná 0.
Nehnuteľnosť 6. Ak sú prvky ktoréhokoľvek riadku determinantu súčtom dvoch členov, potom sa determinant rovná súčtu dvoch determinantov.
Nehnuteľnosť 7. Hodnota determinantu sa nezmení, ak sa prvky niektorého riadku pripočítajú k prvkom iného riadka a vynásobia sa rovnakým číslom.
V tomto determinante bol najprv tretí, vynásobený 2, pridaný do druhého riadku, potom bol druhý odčítaný od tretieho stĺpca, potom bol druhý riadok pridaný k prvému a tretiemu, v dôsledku čoho sme dostali veľa núl a zjednodušil výpočet.
Základné transformácií determinant sa nazývajú jeho zjednodušenia v dôsledku využitia týchto vlastností.
Príklad 1 Vypočítajte determinant
Priame počítanie podľa jedného z vyššie uvedených pravidiel vedie k ťažkopádnym výpočtom. Preto je vhodné použiť vlastnosti:
a) odčítajte druhý riadok vynásobený 2 od prvého riadku;
b) odpočítajte tretí riadok od druhého riadku, vynásobte ho 3.
V dôsledku toho dostaneme:
Rozšírme tento determinant o prvky prvého stĺpca, ktorý obsahuje iba jeden nenulový prvok.
.
Systémy a determinanty vyšších rádov
systém 
lineárne rovnice s 
neznáme možno zapísať takto:
Pre tento prípad je tiež možné poskladať hlavné a pomocné determinanty a určiť neznáme podľa Cramerovho pravidla. Problém je v tom, že determinanty vyššieho rádu sa dajú vypočítať iba znížením rádu a znížením na determinanty tretieho rádu. Dá sa to urobiť priamym rozkladom na riadkové alebo stĺpcové prvky, ako aj predbežnými elementárnymi transformáciami a ďalším rozkladom.
Príklad 4 Vypočítajte determinant štvrtého rádu
rozhodnutie nájsť dvoma spôsobmi:
a) priamou expanziou cez prvky prvého radu:
b) predbežnými premenami a ďalším rozkladom
|
|
a) odčítajte riadok 3 od riadku 1 |
|
|
b) pridať riadok II k riadku IV |
Príklad 5 Vypočítajte determinant piateho rádu a získajte nuly v treťom riadku pomocou štvrtého stĺpca
|
|
odpočítajte druhý od prvého riadku, odpočítajte druhý od tretieho a odpočítajte druhý vynásobený 2 od štvrtého. |
odčítajte tretí od druhého stĺpca: 
odpočítajte tretí od druhého riadku: 
Príklad 6 Systém riešenia:
rozhodnutie. Zostavme determinant systému a pomocou vlastností determinantov ho vypočítame:
(od prvého riadku odčítame tretí a potom vo výslednom determinante tretieho rádu od tretieho stĺpca odčítame prvý, vynásobený 2). Determinant 
, preto sú použiteľné Cramerove vzorce.
Vypočítajme zvyšok determinantov:
Štvrtý stĺpec sa vynásobí 2 a odpočíta sa od zvyšku
Štvrtý stĺpec bol odčítaný od prvého a potom vynásobený 2, odčítaný od druhého a tretieho stĺpca.
.
Tu boli vykonané rovnaké transformácie ako pre 
.
.
Pri nájdení 
prvý stĺpec sa vynásobil 2 a odčítal sa od zvyšku.
Podľa Cramerovho pravidla máme:
Po dosadení nájdených hodnôt do rovníc sa presvedčíme, že riešenie sústavy je správne.
2. MATICE A ICH POUŽITIE
PRI RIEŠENÍ SYSTÉMOV LINEÁRNYCH ROVNIC
2.Ak │A│=0, potom je matica A degenerovaná a inverzná matica A -1 neexistuje.
Ak sa determinant matice A nerovná nule, potom existuje inverzná matica.
3. Nájdite A T transponované do A.
4. Nájdite algebraické doplnky prvkov transponovanej matice a poskladajte z nich adjungovanú maticu. 5. Inverznú maticu vypočítame podľa vzorca: 6. Skontrolujeme správnosť výpočtu inverznej matice na základe jej definície A -1 ∙A = A ∙A -1 = E.
· №28
· V matici m x n možno vymazaním ľubovoľných riadkov a stĺpcov vybrať štvorcové podmatice k-tého rádu, kde k≤min(m; n). Determinanty takýchto podmatíc sa nazývajú k-teho rádu menšie matice A.
· Hodnosť matice A je najvyšším rádom nenulových neplnoletých v tejto matici.
· Hodnosť matice A je označená ako rang A alebo r(A).
· Z definície vyplýva:
· 1) poradie matice veľkosti m x n nepresahuje najmenšiu z jej veľkostí, t.j. r(A) < min (m; n).
· 2) r(A)=0 práve vtedy, ak sú všetky prvky matice rovné nule, t.j. A = 0.
· 3) Pre štvorcovú maticu n-tého rádu platí r(A) = n práve vtedy, ak je matica A nesingulárna.
· Vo všeobecnosti je určenie hodnosti matice sčítaním všetkých maloletých dosť namáhavé. Na uľahčenie tejto úlohy sa používajú elementárne transformácie, ktoré zachovávajú poradie matice:
· 1) Zamietnutie nultého riadku (stĺpca).
· 2) Násobenie všetkých prvkov riadku (stĺpca) matice nenulovým číslom.
· 3) Zmena poradia riadkov (stĺpcov) matice.
· 4) Pridanie ku každému prvku jedného riadka (stĺpca) zodpovedajúcich prvkov ďalšieho riadku (stĺpca), vynásobených ľubovoľným číslom.
· 5) Maticová transpozícia.
· Veta. Hodnosť matice sa pri elementárnych transformáciách matice nezmení.
№31
Nech sa počet rovníc v sústave (1) rovná počtu premenných, t.j. m=n. Potom je matica systému štvorcová a jej determinant Δ=│А│ sa nazýva determinant systému.
Predpokladajme, že │А│ sa nerovná nule, potom existuje inverzná matica A -1 .
Vynásobením oboch častí maticovej rovnosti vľavo inverznou maticou A -1 dostaneme:
A -1 (AX) \u003d A -1 B.
Riešením sústavy rovníc metódou inverznej matice bude stĺpcová matica:
X \u003d A -1 B.
(A -1 A)X \u003d EX \u003d X
Cramerova veta. Nech Δ je determinant matice systému A a Δ j je determinant matice získanej z matice nahradením j-tého stĺpca stĺpcom voľných členov. Potom, ak sa Δ nerovná nule, potom má systém jedinečné riešenie definované Cramerovými vzorcami:
kde j=1..n.
№33
Gaussova metóda - metóda postupnej eliminácie premenných - spočíva v tom, že pomocou elementárnych transformácií sa sústava rovníc redukuje na ekvivalentnú sústavu stupňovitého alebo trojuholníkového tvaru.
Zvážte maticu:
táto matica sa nazýva rozšírená matica systému (1), keďže okrem matice systému A obsahuje aj stĺpec voľných členov.
№26
N-rozmerný vektor je usporiadaná množina n reálnych čísel zapísaná ako X=(x 1,x 2,...x n), kde x i je i-tá zložka vektora X.
Dva n-rozmerné vektory sú rovnaké práve vtedy, ak sú ich príslušné zložky rovnaké, t.j. X=Y, ak x i = y i, i=1…n.
Množina vektorov s reálnymi zložkami, v ktorej sú definované operácie sčítania vektorov a násobenia vektora číslom, ktoré spĺňajú vyššie uvedené vlastnosti, sa nazýva vektorový priestor.
Vektorový priestor R sa nazýva n-rozmerný, ak je v ňom n lineárne nezávislých vektorov a ľubovoľných n + 1 vektorov je už závislých. Číslo n sa nazýva dimenzia vektorového priestoru R a označuje sa dim(R).
№29
Lineárne operátory
Definícia. Ak je daný zákon (pravidlo), podľa ktorého každý vektor x priestoru je spojený s jedným vektorom y priestoru
potom hovoria: že je daný operátor (transformácia, zobrazenie) A(x), pôsobiaci od do a
napíšte y=A(x).
Operátor sa nazýva lineárny, ak pre ľubovoľný vektor x a y priestoru
a ľubovoľného čísla λ, platia nasledujúce vzťahy:
№37
Nech А je množina pozostávajúca z konečného počtu prvkov a 1 , a 2 , a 3 …a n . Skupiny môžu byť vytvorené z rôznych prvkov množiny A. Ak každá skupina obsahuje rovnaký počet prvkov m (m z n), potom sa hovorí, že tvoria zlúčeniny n prvkov, z ktorých každý má m. Existujú tri typy pripojení: umiestnenia, kombinácie a permutácie.
spojenia, z ktorých každý obsahuje všetkých n prvkov množiny A, a ktoré sa teda navzájom líšia len v poradí prvkov, sa nazývajú permutácie n prvkov. Počet takýchto permutácií je označený symbolom Р n .
№35
Klasická definícia pravdepodobnosti je založená na koncepte ekvipravdepodobnosti udalostí.
Ekvivalencia udalostí znamená, že nie je dôvod uprednostňovať niektorú z nich pred ostatnými.
Uvažujme test, v dôsledku ktorého môže nastať udalosť A. Každý výsledok, v ktorom nastane udalosť A, sa nazýva priaznivá udalosť A.
Pravdepodobnosť udalosti A (označená P(A)) je pomer počtu výsledkov priaznivých pre udalosť A (označenej ako k) k počtu všetkých výsledkov testu - N t.j. P(A)=k/N.
Z klasickej definície pravdepodobnosti vyplývajú tieto vlastnosti:
Pravdepodobnosť akejkoľvek udalosti leží medzi nulou a jednou.
Pravdepodobnosť určitej udalosti sa rovná jednej.
Pravdepodobnosť nemožnej udalosti je nulová
№39, 40
Sčítací teorém. Ak sú A a B nekonzistentné, potom P(A + B) = P(A) + P(B)
