Systémové rovnice so zlomkami. Riešenie rovníc s premennou v menovateli zlomku

Doteraz sme riešili len celočíselné rovnice vzhľadom na neznámu, teda také rovnice, v ktorých menovatele (ak nejaké sú) neznámu neobsahovali.

Často musíte riešiť rovnice, ktoré obsahujú neznámu v menovateľoch: takéto rovnice sa nazývajú zlomkové.

Aby sme túto rovnicu vyriešili, vynásobíme jej obe strany, to znamená polynómom obsahujúcim neznámu. Bude nová rovnica ekvivalentná danej rovnici? Aby sme odpovedali na otázku, vyriešme túto rovnicu.

Vynásobením oboch jeho strán číslom dostaneme:

Vyriešením tejto rovnice prvého stupňa zistíme:

Takže rovnica (2) má jeden koreň

Dosadením do rovnice (1) dostaneme:

Preto je tiež koreňom rovnice (1).

Rovnica (1) nemá žiadne iné korene. V našom príklade je to vidieť napríklad z toho, že v rovnici (1)

Ako sa neznámy deliteľ musí rovnať dividende 1 vydelenej podielom 2, t.j.

Takže rovnice (1) a (2) majú jeden koreň, a preto sú ekvivalentné.

2. Teraz riešime nasledujúcu rovnicu:

Najjednoduchší spoločný menovateľ: ; vynásobte ním všetky členy rovnice:

Po redukcii dostaneme:

Rozšírime zátvorky:

Prinášame podobné výrazy a máme:

Vyriešením tejto rovnice zistíme:

Dosadením do rovnice (1) dostaneme:

Na ľavej strane sme dostali výrazy, ktoré nedávajú zmysel.

Koreň rovnice (1) teda nie je. To znamená, že rovnice (1) a nie sú ekvivalentné.

V tomto prípade hovoríme, že rovnica (1) získala cudzí koreň.

Porovnajme riešenie rovnice (1) s riešením rovníc, ktoré sme uvažovali skôr (pozri § 51). Pri riešení tejto rovnice sme museli vykonať dve také operácie, ktoré sme doteraz nevideli: po prvé sme obe strany rovnice vynásobili výrazom obsahujúcim neznámu (spoločný menovateľ) a po druhé sme algebraické zlomky zredukovali o faktory obsahujúce neznámy.

Pri porovnaní rovnice (1) s rovnicou (2) vidíme, že nie všetky hodnoty x platné pre rovnicu (2) sú platné pre rovnicu (1).

Práve čísla 1 a 3 nie sú prípustnými hodnotami neznámej pre rovnicu (1) a v dôsledku transformácie sa stali prípustnými pre rovnicu (2). Jedno z týchto čísel sa ukázalo byť riešením rovnice (2), ale, samozrejme, nemôže byť riešením rovnice (1). Rovnica (1) nemá žiadne riešenia.

Tento príklad ukazuje, že pri vynásobení oboch častí rovnice faktorom obsahujúcim neznámu a pri redukcii algebraických zlomkov možno získať rovnicu, ktorá nie je ekvivalentná danej rovnici, a to: môžu sa objaviť cudzie korene.

Preto vyvodíme nasledujúci záver. Pri riešení rovnice obsahujúcej v menovateli neznámu treba výsledné korene skontrolovať dosadením do pôvodnej rovnice. Cudzie korene sa musia zlikvidovať.

Rovnice obsahujúce premennú v menovateli možno vyriešiť dvoma spôsobmi:

Zmenšenie zlomkov na spoločného menovateľa

Použitie základnej vlastnosti proporcie

Bez ohľadu na zvolenú metódu je potrebné po nájdení koreňov rovnice vybrať z zistených hodnôt prijateľné hodnoty, t. j. také, ktoré neotočia menovateľa na $0$.

1 spôsob. Privedenie zlomkov k spoločnému menovateľovi.

Príklad 1

$\frac(2x+3)(2x-1)=\frac(x-5)(x+3)$

rozhodnutie:

1. Presuňte zlomok z pravej strany rovnice doľava

\[\frac(2x+3)(2x-1)-\frac(x-5)(x+3)=0\]

Aby sme to urobili správne, pripomíname, že pri presune prvkov do inej časti rovnice sa znamienko pred výrazmi zmení na opak. Ak teda na pravej strane bolo pred zlomkom znamienko „+“, potom na ľavej strane bude pred ním znamienko „-.“ Potom na ľavej strane dostaneme rozdiel zlomkov.

2. Teraz si všimneme, že zlomky majú rôznych menovateľov, čo znamená, že na vyrovnanie rozdielu je potrebné priviesť zlomky k spoločnému menovateľovi. Spoločný menovateľ bude súčinom polynómov v menovateľoch pôvodných zlomkov: $(2x-1)(x+3)$

Na získanie identického výrazu je potrebné vynásobiť čitateľa a menovateľa prvého zlomku polynómom $(x+3)$ a druhého polynómom $(2x-1)$.

\[\frac((2x+3)(x+3))((2x-1)(x+3))-\frac((x-5)(2x-1))((x+3)( 2x-1))=0\]

Urobme transformáciu v čitateli prvého zlomku – násobíme polynómy. Pripomeňme, že na to je potrebné vynásobiť prvý člen prvého mnohočlenu, vynásobiť každým členom druhého mnohočlenu, potom vynásobiť druhý člen prvého mnohočlenu každým členom druhého mnohočlenu a výsledky sčítať.

\[\left(2x+3\right)\left(x+3\right)=2x\cdot x+2x\cdot 3+3\cdot x+3\cdot 3=(2x)^2+6x+3x +9\]

Vo výslednom výraze uvádzame podobné pojmy

\[\left(2x+3\right)\left(x+3\right)=2x\cdot x+2x\cdot 3+3\cdot x+3\cdot 3=(2x)^2+6x+3x +9=\] \[(=2x)^2+9x+9\]

Vykonajte podobnú transformáciu v čitateli druhého zlomku - budeme násobiť polynómy

$\left(x-5\right)\left(2x-1\right)=x\cdot 2x-x\cdot 1-5\cdot 2x+5\cdot 1=(2x)^2-x-10x+ 5 =(2x)^2-11x+5$

Potom bude mať rovnica tvar:

\[\frac((2x)^2+9x+9)((2x-1)(x+3))-\frac((2x)^2-11x+5)((x+3)(2x- 1))=0\]

Teraz zlomky s rovnakým menovateľom, takže môžete odčítať. Pripomeňme, že pri odčítaní zlomkov s rovnakým menovateľom od čitateľa prvého zlomku je potrebné odčítať čitateľa druhého zlomku, pričom menovateľ zostane rovnaký.

\[\frac((2x)^2+9x+9-((2x)^2-11x+5))((2x-1)(x+3))=0\]

Transformujme výraz v čitateli. Ak chcete otvoriť zátvorky, pred ktorými je znak „-“, všetky znaky pred výrazmi v zátvorkách musia byť zamenené

\[(2x)^2+9x+9-\left((2x)^2-11x+5\right)=(2x)^2+9x+9-(2x)^2+11x-5\]

Uvádzame podobné výrazy

$(2x)^2+9x+9-\vľavo((2x)^2-11x+5\vpravo)=(2x)^2+9x+9-(2x)^2+11x-5=20x+4 $

Potom zlomok získa tvar

\[\frac((\rm 20x+4))((2x-1)(x+3))=0\]

3. Zlomok sa rovná $0$, ak je jeho čitateľ 0. Čitateľ zlomku teda prirovnáme k $0$.

\[(\rm 20x+4=0)\]

Poďme vyriešiť lineárnu rovnicu:

4. Odoberieme vzorky koreňov. To znamená, že je potrebné skontrolovať, či sa menovatelia pôvodných zlomkov po nájdení koreňov premenia na $0$.

Nastavili sme podmienku, že menovatelia sa nebudú rovnať $0$

x$\ne 0,5 $ x $\ne -3 $

To znamená, že sú povolené všetky hodnoty premenných okrem $-3$ a $0,5$.

Koreň, ktorý sme našli, je platná hodnota, takže ho možno bezpečne považovať za koreň rovnice. Ak by nájdený koreň nebol platnou hodnotou, potom by takýto koreň bol cudzí a samozrejme by nebol zahrnutý do odpovede.

odpoveď:$-0,2.$

Teraz môžeme napísať algoritmus na riešenie rovnice, ktorá obsahuje premennú v menovateli

Algoritmus na riešenie rovnice, ktorá obsahuje premennú v menovateli

Presuňte všetky prvky z pravej strany rovnice na ľavú stranu. Na získanie identickej rovnice je potrebné zmeniť všetky znamienka pred výrazmi na pravej strane na opačné

Ak na ľavej strane dostaneme výraz s rôznymi menovateľmi, privedieme ich k spoločnému pomocou hlavnej vlastnosti zlomku. Vykonajte transformácie pomocou rovnakých transformácií a získajte konečný zlomok rovný $0$.

Prirovnajte čitateľa k $0$ a nájdite korene výslednej rovnice.

Ochutíme korienky, t.j. nájdite platné hodnoty premenných, ktoré nezmenia menovateľa na $0$.

2 spôsobom. Použitie základnej vlastnosti proporcie

Hlavnou vlastnosťou podielu je, že súčin extrémnych členov podielu sa rovná súčinu stredných členov.

Príklad 2

Túto vlastnosť používame na riešenie tejto úlohy

\[\frac(2x+3)(2x-1)=\frac(x-5)(x+3)\]

1. Nájdime a porovnajme súčin krajného a stredného člena podielu.

$\left(2x+3\right)\cdot(\ x+3)=\left(x-5\right)\cdot(2x-1)$

\[(2x)^2+3x+6x+9=(2x)^2-10x-x+5\]

Vyriešením výslednej rovnice nájdeme korene originálu

2. Nájdite prípustné hodnoty premennej.

Z predchádzajúceho riešenia (1. spôsob) sme už zistili, že sú povolené akékoľvek hodnoty okrem $-3$ a $0,5$.

Potom, keď sme zistili, že nájdený koreň je platnou hodnotou, zistili sme, že koreň bude $-0,2$.

"Riešenie zlomkových racionálnych rovníc"

Ciele lekcie:

Návod:

tvorba konceptu zlomkových racionálnych rovníc; zvážiť rôzne spôsoby riešenia zlomkových racionálnych rovníc; zvážiť algoritmus na riešenie zlomkových racionálnych rovníc vrátane podmienky, že zlomok sa rovná nule; naučiť riešenie zlomkových racionálnych rovníc podľa algoritmu; kontrola úrovne asimilácie témy vykonaním testovacej práce.

vyvíja sa:

rozvoj schopnosti správne narábať so získanými vedomosťami, myslieť logicky; rozvoj intelektuálnych schopností a mentálnych operácií - analýza, syntéza, porovnávanie a zovšeobecňovanie; rozvoj iniciatívy, schopnosť robiť rozhodnutia, nezastaviť sa tam; rozvoj kritického myslenia; rozvoj výskumných zručností.

Výchova:

vzdelávanie kognitívneho záujmu o predmet; výchova k samostatnosti pri riešení výchovných problémov; výchova vôle a vytrvalosti k dosiahnutiu konečných výsledkov.

Typ lekcie: lekcia - vysvetlenie novej látky.

Počas vyučovania

1. Organizačný moment.

Ahojte chalani! Rovnice sú napísané na tabuli, pozorne si ich prezrite. Dokážete vyriešiť všetky tieto rovnice? Ktoré nie sú a prečo?

Rovnice, v ktorých ľavá a pravá strana sú zlomkové racionálne vyjadrenia, sa nazývajú zlomkové racionálne rovnice. Čo si myslíte, že sa dnes na lekcii naučíme? Formulujte tému lekcie. Takže otvárame notebooky a zapisujeme si tému lekcie „Riešenie zlomkových racionálnych rovníc“.

2. Aktualizácia poznatkov. Frontálny prieskum, ústna práca s triedou.

A teraz si zopakujeme hlavný teoretický materiál, ktorý potrebujeme na preštudovanie novej témy. Odpovedzte prosím na nasledujúce otázky:

1. Čo je to rovnica? ( Rovnosť s premennou alebo premennými.)

2. Ako sa nazýva rovnica č. 1? ( Lineárne.) Metóda riešenia lineárnych rovníc. ( Presuňte všetko s neznámou na ľavú stranu rovnice, všetky čísla doprava. Prineste podobné podmienky. Nájdite neznámy multiplikátor).

3. Ako sa nazýva rovnica č. 3? ( Námestie.) Metódy riešenia kvadratických rovníc. ( Výber úplného štvorca pomocou vzorcov pomocou Vietovej vety a jej dôsledkov.)

4. Čo je to pomer? ( Rovnosť dvoch vzťahov.) Hlavná vlastnosť proporcie. ( Ak je pomer pravdivý, potom sa súčin jeho extrémnych členov rovná súčinu stredných členov.)

5. Aké vlastnosti sa využívajú pri riešení rovníc? ( 1. Ak v rovnici prenesieme člen z jednej časti do druhej, pričom zmeníme jeho znamienko, dostaneme rovnicu ekvivalentnú danej. 2. Ak sa obe časti rovnice vynásobia alebo vydelia rovnakým nenulovým číslom, získa sa rovnica, ktorá je ekvivalentná danej.)

6. Kedy sa zlomok rovná nule? ( Zlomok je nula, keď je čitateľ nula a menovateľ je nenulový.)

3. Vysvetlenie nového materiálu.

Riešte rovnicu č.2 v zošitoch a na tabuli.

Odpoveď: 10.

Akú zlomkovú racionálnu rovnicu môžete skúsiť vyriešiť pomocou základnej vlastnosti proporcie? (č. 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x2-4x-2x+8 = x2+3x+2x+6

x2-6x-x2-5x = 6-8

Riešte rovnicu č.4 v zošitoch a na tabuli.

Odpoveď: 1,5.

Akú zlomkovú racionálnu rovnicu sa môžete pokúsiť vyriešiť vynásobením oboch strán rovnice menovateľom? (č. 6).

D=1>0, x1=3, x2=4.

Odpoveď: 3;4.

Teraz skúste vyriešiť rovnicu #7 jedným zo spôsobov.


(x2-2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x2-2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0
x(x-5)(x2-2x-5-(x+5))=0			x2-2x-5-x-5=0
x(x-5)(x2-3x-10)=0
x=0 x-5=0 x2-3x-10=0
x1=0 x2=5 D=49

Odpoveď: 0;5;-2.			Odpoveď: 5;-2.

Vysvetlite, prečo sa to stalo? Prečo sú v jednom prípade tri korene a v druhom dva? Aké čísla sú koreňmi tejto zlomkovej racionálnej rovnice?

Žiaci sa doteraz s pojmom cudzieho koreňa nestretli, je pre nich naozaj veľmi ťažké pochopiť, prečo sa tak stalo. Ak nikto v triede nedokáže jasne vysvetliť túto situáciu, učiteľ kladie navádzacie otázky.

V rovniciach č.2 a 4 v menovateli čísla, č.5-7 - výrazy s premennou

Hodnota premennej, pri ktorej sa rovnica stáva skutočnou rovnosťou

Vykonajte kontrolu

Pri testovaní si niektorí študenti všimnú, že musia deliť nulou. Dospeli k záveru, že čísla 0 a 5 nie sú koreňmi tejto rovnice. Vynára sa otázka: existuje spôsob riešenia zlomkových racionálnych rovníc, ktorý túto chybu eliminuje? Áno, táto metóda je založená na podmienke, že zlomok sa rovná nule.

x2-3x-10=0, D=49, x1=5, x2=-2.

Ak x=5, potom x(x-5)=0, takže 5 je cudzí koreň.

Ak x=-2, potom x(x-5)≠0.

Odpoveď: -2.

Skúsme týmto spôsobom sformulovať algoritmus na riešenie zlomkových racionálnych rovníc. Deti samy formulujú algoritmus.

Algoritmus na riešenie zlomkových racionálnych rovníc:

1. Presuňte všetko na ľavú stranu.

2. Priveďte zlomky k spoločnému menovateľovi.

3. Vytvorte systém: zlomok sa rovná nule, keď sa čitateľ rovná nule, a menovateľ sa nerovná nule.

4. Vyriešte rovnicu.

5. Skontrolujte nerovnosť, aby ste vylúčili cudzie korene.

6. Zapíšte si odpoveď.

Diskusia: ako formulovať riešenie, ak sa použije základná vlastnosť proporcie a násobenie oboch strán rovnice spoločným menovateľom. (Doplňte riešenie: vylúčte z jeho koreňov tie, ktoré otáčajú spoločného menovateľa na nulu).

4. Primárne pochopenie nového materiálu.

Pracovať v pároch. Študenti si sami vyberú spôsob riešenia rovnice v závislosti od typu rovnice. Úlohy z učebnice "Algebra 8", 2007: č. 000 (b, c, i); č. 000 (a, e, g). Učiteľ kontroluje plnenie úlohy, odpovedá na vzniknuté otázky a poskytuje pomoc slabo prospievajúcim žiakom. Autotest: Odpovede sú napísané na tabuli.

b) 2 je cudzí koreň. Odpoveď: 3.

c) 2 je cudzí koreň. odpoveď: 1.5.

a) Odpoveď: -12.5.

g) Odpoveď: 1; 1.5.

5. Vyhlásenie domácej úlohy.

2. Naučte sa algoritmus na riešenie zlomkových racionálnych rovníc.

3. Riešte v zošitoch č. 000 (a, d, e); Č. 000 (g, h).

4. Skúste vyriešiť č. 000(a) (voliteľné).

6. Splnenie kontrolnej úlohy na preberanú tému.

Práca sa vykonáva na listoch.

Príklad práce:

A) Ktoré z rovníc sú zlomkové racionálne?

B) Zlomok je nula, ak je čitateľ _______________________ a menovateľ je _______________________

Q) Je číslo -3 koreňom rovnice #6?

D) Riešte rovnicu č.7.

Kritériá hodnotenia úloh:

„5“ sa udeľuje, ak žiak správne splnil viac ako 90 % úlohy. "4" - 75% -89% "3" - 50% -74% "2" dostane študent, ktorý splnil menej ako 50% úlohy. 2. známka sa do denníka neuvádza, 3. je voliteľná.

7. Reflexia.

Na letáky s nezávislou prácou uveďte:

1 - ak bola lekcia pre vás zaujímavá a zrozumiteľná; 2 - zaujímavé, ale nejasné; 3 - nie zaujímavé, ale zrozumiteľné; 4 - nie je zaujímavé, nie je jasné.

8. Zhrnutie lekcie.

Dnes sme sa teda v lekcii zoznámili so zlomkovými racionálnymi rovnicami, naučili sme sa, ako tieto rovnice riešiť rôznymi spôsobmi, otestovali sme svoje vedomosti pomocou samostatnej vzdelávacej práce. Výsledky samostatnej práce sa dozviete na ďalšej lekcii, doma budete mať možnosť upevniť si získané vedomosti.

Aký spôsob riešenia zlomkových racionálnych rovníc je podľa vás jednoduchší, dostupnejší, racionálnejší? Bez ohľadu na spôsob riešenia zlomkových racionálnych rovníc, na čo by sa nemalo zabúdať? V čom spočíva „prefíkanosť“ zlomkových racionálnych rovníc?

Ďakujem vám všetkým, lekcia sa skončila.

Kalkulačka zlomkov určený pre rýchly výpočet operácií so zlomkami, pomôže vám jednoducho sčítať, násobiť, deliť či odčítať zlomky.

Moderní školáci začínajú študovať zlomky už v 5. ročníku a cvičenia s nimi sú každým rokom komplikovanejšie. Matematické pojmy a veličiny, ktoré sa učíme v škole, sú nám v dospelosti málokedy užitočné. Zlomky, na rozdiel od logaritmov a stupňov, sú však v každodennom živote celkom bežné (meranie vzdialenosti, váženie tovaru atď.). Naša kalkulačka je určená na rýchle operácie so zlomkami.

Najprv si definujme, čo sú zlomky a čo sú. Zlomky sú pomerom jedného čísla k druhému; ide o číslo pozostávajúce z celého počtu zlomkov jednotky.

Typy frakcií:

Obyčajný
Desatinné čísla
zmiešané

Príklad obyčajné zlomky:

Horná hodnota je čitateľ, dolná je menovateľ. Pomlčka nám ukazuje, že horné číslo je deliteľné spodným číslom. Namiesto podobného formátu písania, keď je pomlčka vodorovná, môžete písať inak. Môžete umiestniť šikmú čiaru, napríklad:

1/2, 3/7, 19/5, 32/8, 10/100, 4/1

Desatinné čísla sú najobľúbenejším typom zlomkov. Pozostávajú z celočíselnej časti a zlomkovej časti, oddelené čiarkou.

Desatinný príklad:

0,2 alebo 6,71 alebo 0,125

Skladá sa z celého čísla a zlomkovej časti. Ak chcete zistiť hodnotu tohto zlomku, musíte pridať celé číslo a zlomok.

Príklad zmiešaných frakcií:

Kalkulačka zlomkov na našej webovej stránke je schopná rýchlo vykonávať akékoľvek matematické operácie so zlomkami online:

Doplnenie
Odčítanie
Násobenie
divízie

Ak chcete vykonať výpočet, musíte zadať čísla do polí a vybrať akciu. Pri zlomkoch je potrebné vyplniť čitateľa a menovateľa, celé číslo sa nesmie písať (ak je zlomok obyčajný). Nezabudnite kliknúť na tlačidlo „rovná sa“.

Je vhodné, aby kalkulačka okamžite poskytla proces riešenia príkladu so zlomkami, a nie iba hotovú odpoveď. Práve vďaka podrobnému riešeniu môžete tento materiál využiť pri riešení školských úloh a pre lepšie zvládnutie preberanej látky.

Musíte vypočítať príklad:

Po zadaní ukazovateľov do polí formulára dostaneme:

Ak chcete vykonať nezávislý výpočet, zadajte údaje do formulára.

Kalkulačka zlomkov

Zadajte dva zlomky:

		+ - * :

súvisiace sekcie.

Rovnica je rovnosť obsahujúca písmeno, ktorého hodnotu treba nájsť.

V rovniciach sa neznáma zvyčajne označuje malým latinským písmenom. Najčastejšie používané písmená sú „x“ [x] a „y“ [y].

Koreň rovnice- je to hodnota písmena, pri ktorej sa z rovnice získa správna číselná rovnosť.

vyriešiť rovnicu- znamená nájsť všetky jeho korene alebo sa uistiť, že tam nie sú žiadne korene.

Po vyriešení rovnice vždy za odpoveďou zapíšeme kontrolu.

Informácie pre rodičov

Vážení rodičia, dávame do pozornosti, že na základnej škole a v 5. ročníku deti NEPOZNAJÚ tému „Záporné čísla“.

Preto musia riešiť rovnice iba pomocou vlastností sčítania, odčítania, násobenia a delenia. Metódy riešenia rovníc pre 5. ročník sú uvedené nižšie.

Nesnažte sa vysvetľovať riešenie rovníc prenášaním čísel a písmen z jednej časti rovnice do druhej so zmenou znamienka.

Svoje vedomosti o pojmoch týkajúcich sa sčítania, odčítania, násobenia a delenia si môžete osviežiť v lekcii „Zákony aritmetiky“.

Riešenie rovníc na sčítanie a odčítanie

Ako nájsť neznáme
termín

Ako nájsť neznáme
minend

Ako nájsť neznáme
subtrahend

Ak chcete nájsť neznámy výraz, odpočítajte známy výraz od súčtu.

Ak chcete nájsť neznámy minuend, musíte k rozdielu pridať subtrahend.

Na nájdenie neznámeho subtrahendu je potrebné odpočítať rozdiel od minuendu.

x + 9 = 15
x = 15 − 9
x=6
Vyšetrenie

x − 14 = 2
x = 14 + 2
x=16
Vyšetrenie

16 − 2 = 14
14 = 14

5 − x = 3
x = 5 − 3
x=2
Vyšetrenie

Riešenie rovníc na násobenie a delenie

Ako nájsť neznáme
faktor

Ako nájsť neznáme
dividenda

Ako nájsť neznáme
rozdeľovač

Na nájdenie neznámeho faktora je potrebné rozdeliť produkt známym faktorom.

Ak chcete nájsť neznámu dividendu, musíte vynásobiť podiel deliteľom.

Ak chcete nájsť neznámeho deliteľa, vydeľte dividendu podielom.

y4 = 12
y=12:4
y=3
Vyšetrenie

y:7=2
y = 27
y=14
Vyšetrenie

8:y=4
y=8:4
y=2
Vyšetrenie

Rovnica je rovnica obsahujúca písmeno, ktorého znamienko sa má nájsť. Riešením rovnice je množina písmenových hodnôt, ktoré menia rovnicu na skutočnú rovnosť:

Pripomeňte si to, aby ste to vyriešili rovnica je potrebné preniesť členy s neznámym do jednej časti rovnosti a číselné členy do druhej, priniesť podobné a získať nasledujúcu rovnosť:

Z poslednej rovnosti určíme neznámu pravidlom: "jeden z faktorov sa rovná podielu deleného druhým faktorom."

Keďže racionálne čísla a a b môžu mať rovnaké a rôzne znamienka, znamienko neznámej určujú pravidlá delenia racionálnych čísel.

Postup riešenia lineárnych rovníc

Lineárna rovnica sa musí zjednodušiť otvorením zátvoriek a vykonaním akcií druhej fázy (násobenie a delenie).

Presuňte neznáme na jednu stranu znamienka rovnosti a čísla na druhú stranu znamienka rovnosti, čím sa zhodujú s danou rovnosťou,

Prineste like naľavo a napravo od znamienka rovnosti, čím získate rovnosť tvaru sekera = b.

Vypočítajte koreň rovnice (nájdite neznámu X z rovnosti X = b : a),

Otestujte dosadením neznámej do danej rovnice.

Ak dostaneme identitu v číselnej rovnosti, potom je rovnica vyriešená správne.

Špeciálne prípady riešenia rovníc

Ak rovnica je daný súčinom rovným 0, na jeho vyriešenie potom použijeme vlastnosť násobenia: "súčin sa rovná nule, ak sa jeden z faktorov alebo oba faktory rovnajú nule."

27 (X - 3) = 0
27 sa nerovná 0, takže X - 3 = 0

Druhý príklad má dve riešenia rovnice, pretože
Toto je rovnica druhého stupňa:

Ak sú koeficienty rovnice obyčajné zlomky, potom sa najprv musíte zbaviť menovateľov. Pre to:

Nájdite spoločného menovateľa;

Určite ďalšie faktory pre každý člen rovnice;

Vynásobte čitateľov zlomkov a celých čísel ďalšími faktormi a zapíšte všetky členy rovnice bez menovateľov (spoločný menovateľ možno vynechať);

Presuňte členy s neznámymi do jednej časti rovnice a číselné členy do druhej od znamienka rovnosti, čím získate ekvivalentnú rovnosť;

Prineste podobné výrazy;

Základné vlastnosti rovníc

V ktorejkoľvek časti rovnice môžete uviesť podobné výrazy alebo otvoriť zátvorku.

Ktorýkoľvek člen rovnice možno preniesť z jednej časti rovnice do druhej zmenou jej znamienka na opačné.

Obe strany rovnice možno vynásobiť (vydeliť) rovnakým číslom okrem 0.

Vo vyššie uvedenom príklade boli všetky jeho vlastnosti použité na riešenie rovnice.

Ako vyriešiť rovnicu s neznámou v zlomku

Niekedy lineárne rovnice nadobúdajú tvar kedy neznámy sa objaví v čitateli jedného alebo viacerých zlomkov. Ako v rovnici nižšie.

V takýchto prípadoch je možné takéto rovnice riešiť dvoma spôsobmi.

I spôsob riešenia
Redukcia rovnice na proporciu

Pri riešení rovníc pomocou proporčnej metódy musíte vykonať nasledujúce kroky:

priveďte všetky zlomky k spoločnému menovateľovi a pridajte ich ako algebraické zlomky (na ľavej a pravej strane by mal zostať iba jeden zlomok);

Vyriešte výslednú rovnicu pomocou pravidla proporcie.

Takže späť k našej rovnici. Na ľavej strane už máme len jeden zlomok, takže v ňom nie sú potrebné žiadne transformácie.

Budeme pracovať s pravou stranou rovnice. Zjednodušte pravú stranu rovnice tak, aby zostal iba jeden zlomok. Ak to chcete urobiť, nezabudnite na pravidlá pre sčítanie čísla s algebraickým zlomkom.

Teraz použijeme pravidlo proporcie a vyriešime rovnicu až do konca.

II spôsob riešenia
Redukcia na lineárnu rovnicu bez zlomkov

Zvážte znova vyššie uvedenú rovnicu a vyriešte ju iným spôsobom.

Vidíme, že v rovnici sú dva zlomky "

Ako riešiť rovnice so zlomkami. Exponenciálne riešenie rovníc so zlomkami.

Riešenie rovníc so zlomkami pozrime sa na príklady. Príklady sú jednoduché a názorné. S ich pomocou môžete pochopiť tým najzrozumiteľnejším spôsobom.
Napríklad potrebujete vyriešiť jednoduchú rovnicu x/b + c = d.

Rovnica tohto typu sa nazýva lineárna, pretože menovateľ obsahuje iba čísla.

Riešenie sa vykoná vynásobením oboch strán rovnice b, potom rovnica nadobudne tvar x = b*(d – c), t.j. menovateľ zlomku na ľavej strane sa zníži.

Napríklad, ako vyriešiť zlomkovú rovnicu:
x/5+4=9
Obe časti vynásobíme 5. Dostaneme:
x+20=45

Ďalší príklad, kde je neznáma v menovateli:

Rovnice tohto typu sa nazývajú zlomkové racionálne alebo jednoducho zlomkové.

Zlomkovú rovnicu by sme riešili zbavením sa zlomkov, potom sa táto rovnica najčastejšie zmení na lineárnu alebo kvadratickú rovnicu, ktorá sa rieši bežným spôsobom. Mali by ste vziať do úvahy iba nasledujúce body:

hodnota premennej, ktorá zmení menovateľa na 0, nemôže byť koreň;
rovnicu nemôžete deliť ani násobiť výrazom =0.

Tu vstupuje do platnosti taká koncepcia, ako je oblasť prípustných hodnôt (ODZ) - to sú hodnoty koreňov rovnice, pre ktoré má rovnica zmysel.

Preto pri riešení rovnice je potrebné nájsť korene a potom ich skontrolovať, či sú v súlade s ODZ. Tie korene, ktoré nezodpovedajú nášmu DHS, sú z odpovede vylúčené.

Napríklad musíte vyriešiť zlomkovú rovnicu:

Na základe vyššie uvedeného pravidla x nemôže byť = 0, t.j. ODZ v tomto prípade: x - akákoľvek iná hodnota ako nula.

Menovateľa sa zbavíme vynásobením všetkých členov rovnice x

A vyriešte obvyklú rovnicu

5x - 2x = 1
3x=1
x = 1/3

Poďme riešiť rovnicu zložitejšie:

Nachádza sa tu aj ODZ: x -2.

Pri riešení tejto rovnice neprenesieme všetko jedným smerom a zlomky privedieme do spoločného menovateľa. Okamžite vynásobíme obe strany rovnice výrazom, ktorý zredukuje všetky menovatele naraz.

Ak chcete zmenšiť menovateľov, musíte vynásobiť ľavú stranu x + 2 a pravú stranu 2. Obidve strany rovnice teda musia byť vynásobené 2 (x + 2):

Toto je najbežnejšie násobenie zlomkov, o ktorom sme už hovorili vyššie.

Napíšeme rovnakú rovnicu, ale trochu iným spôsobom.

Ľavá strana sa zmenší o (x + 2) a pravá o 2. Po zmenšení dostaneme obvyklú lineárnu rovnicu:

x \u003d 4 - 2 \u003d 2, čo zodpovedá našej ODZ

Riešenie rovníc so zlomkami nie také ťažké, ako by sa mohlo zdať. V tomto článku sme si to ukázali na príkladoch. Ak máte nejaké ťažkosti s ako riešiť rovnice so zlomkami, potom sa odhláste v komentároch.