Sorokina Vika

Uvádzajú sa dôkazy o vlastnostiach osi trojuholníka a uvažuje sa o aplikácii teórie na riešenie problémov.

Stiahnuť ▼:

Náhľad:

Výbor pre vzdelávanie Správy Saratov, Okťabrský okres Mestská autonómna vzdelávacia inštitúcia Lýceum č. 3 pomenovaná po. A. S. Puškin.

Mestské vedecké a praktické

konferencie

"Prvé kroky"

Predmet: Bisektor a jeho vlastnosti.

Prácu dokončil: žiak 8. ročníka

Sorokina ViktóriaVedúci: Učiteľ matematiky najvyššej kategóriePopova Nina Fjodorovna

Saratov 2011

1. Titulná strana………………………………………………………………...1
2. Obsah ………………………………………………………………… 2
3. Úvod a ciele………………………………………………………... ..3
4. Zváženie vlastností osi

• Tretie miesto bodov……………………………………….3
• Veta 1………………………………………………………………………....4
• Veta 2……………………………………………………………………… 4
• Hlavná vlastnosť osi trojuholníka:

1. Veta 3………………………………………………………………………...4
2. Úloha 1……………………………………………………………………… ….7
3. Úloha 2……………………………………………………………………….8
4. Úloha 3………………………………………………………………………………… 9
5. Úloha 4………………………………………………………………….9-10

• Veta 4……………………………………………………………… 10-11
• Vzorce na nájdenie osi:

1. Veta 5……………………………………………………………….. 11
2. Veta 6……………………………………………………………….. 11
3. Veta 7……………………………………………………………….. 12
4. Úloha 5………………………………………………………………...12-13

• Veta 8……………………………………………………………………….. 13
• Úloha 6………………………………………………………...…….14
• Úloha 7……………………………………………………………………… 14-15
• Určenie pomocou osy svetových strán………………15

1. Záver a záver…………………………………………………………..15
2. Zoznam použitej literatúry …………………………………………..16

Bisector

Na hodine geometrie, keď som študoval tému podobných trojuholníkov, som sa stretol s problémom o vete o pomere osi k opačným stranám. Zdalo by sa, že na téme bisektor by mohlo byť niečo zaujímavé, ale táto téma ma zaujala a chcel som ju študovať hlbšie. Koniec koncov, bisector je veľmi bohatý na svoje úžasné vlastnosti, ktoré pomáhajú riešiť rôzne problémy.

Pri zvažovaní tejto témy môžete vidieť, že učebnice geometrie hovoria veľmi málo o vlastnostiach osi a pri skúškach, keď ich poznáte, môžete riešiť problémy oveľa jednoduchšie a rýchlejšie. Okrem toho, aby mohli zložiť GIA a jednotnú štátnu skúšku, moderní študenti si musia sami preštudovať ďalšie materiály pre školské osnovy. Preto som sa rozhodol preštudovať si tému bisektor podrobnejšie.

Bisector (z latinského bi- „double“ a sectio „rezanie“) uhla - lúč so začiatkom vo vrchole uhla, ktorý rozdeľuje uhol na dve rovnaké časti. Osa uhla (spolu s jeho predĺžením) je ťažisko bodov rovnako vzdialených od strán uhla (alebo ich predĺžení).)

Tretie miesto bodov

Obrázok F je lokus bodov (množina bodov), ktoré majú nejakú vlastnosť ALE, ak sú splnené dve podmienky:

1. z toho, že bod patrí figúre F, z toho vyplýva, že má vlastnosť ALE;
2. z toho, že bod spĺňa vlastnosť ALE, z toho vyplýva, že patrí k postave F.

Prvým bodom uvažovaným v geometrii je kružnica, t.j. lokus bodov v rovnakej vzdialenosti od jedného pevného bodu. Druhým je kolmica úsečky, t.j. lokus bodov v rovnakej vzdialenosti od konca segmentu. A nakoniec, tretia - os - ťažisko bodov rovnako vzdialené od strán uhla

Veta 1:

Hroty osi sú rovnako vzdialené od strán on je roh.

dôkaz:

Nech P - bod osi ALE. Pokles z boduR kolmice RV a PC na bočný roh. Potom VAR = SAR hypotenzia a ostrý uhol. Preto RV = PC

Veta 2:

Ak je bod P rovnako vzdialený od strán uhla A, potom leží na priesečníku.

Dôkaz: РВ = PC => ВАР = СAP => BAP= CAP => АР je osi.

Medzi základné geometrické fakty treba zaradiť vetu, že os rozdeľuje opačnú stranu vo vzťahu k protiľahlým stranám. Táto skutočnosť zostala dlho v tieni, ale všade sú problémy, ktoré sa riešia oveľa ľahšie, ak poznáte tieto a ďalšie fakty o bisektore. Začal som sa zaujímať a rozhodol som sa túto vlastnosť osy hlbšie preskúmať.

Základná vlastnosť osy uhla trojuholníka

Veta 3. Osa rozdeľuje opačnú stranu trojuholníka vo vzťahu k susedným stranám.

Dôkaz 1:

Vzhľadom na to: AL- os trojuholníka ABC

dokázať:

Dôkaz: Nech F - priesečník čiary AL a priamka prechádzajúca bodom AT rovnobežne so stranou AC.

Potom BFA = FAC = BAF. Preto BAF rovnoramenné a AB = BF. Z podobnosti trojuholníkov ALC a FLB máme

pomer

kde

Dôkaz 2

Nech F je bod, ktorý pretína priamka AL a priamka prechádzajúca bodom C rovnobežná so základňou AB. Potom môžete zopakovať odôvodnenie.

Dôkaz 3

Nech K a M sú základne kolmice pustenej na priamku AL z bodov B a C resp. Trojuholníky ABL a ACL sú podobné v dvoch uhloch. Takže
. A z podobnosti BKL a CML máme

Odtiaľ

Dôkaz 4

Využime plošnú metódu. Vypočítajte obsah trojuholníkov ABL a ACL dve cesty.

Odtiaľ.

Dôkaz 5

Nech α= BAC,φ= BLA. Podľa sínusovej vety v trojuholníku ABL

A v trojuholníku ACL.

ako ,

Potom vydelením oboch častí rovnosti zodpovedajúcimi časťami druhej dostaneme.

Úloha 1

Vzhľadom na to: V trojuholníku ABC je VC os, BC=2, KS=1,

rozhodnutie:

Úloha 2

Vzhľadom na to:

Nájdite osy ostrých uhlov pravouhlého trojuholníka s nohami 24 a 18

rozhodnutie:

Nech noha AC = 18, noha BC = 24,

AM je stred trojuholníka.

Podľa Pytagorovej vety nájdeme

že AB = 30.

Odvtedy

Podobne nájdeme druhú os.

odpoveď:

Úloha 3

V pravouhlom trojuholníku ABC s pravým uhlom B osi uhla A krížová strana pred Kr

V bode D. Je známe, že BD = 4, DC = 6.

Nájdite oblasť trojuholníka ADC

rozhodnutie:

Vlastnosťou osy trojuholníka

Označme AB = 2 x , AC = 3 x . Podľa vety

Pythagorejský BC 2 + AB 2 = AC 2 alebo 100 + 4 x 2 = 9 x 2

Odtiaľ to nájdeme x = Potom AB = , S ABC=

teda

Úloha 4

Vzhľadom na to:

V rovnoramennom trojuholníku ABC strane AB rovná sa 10, základ AC je 12.

Stredy uhla A a C pretínajú v bode D. Nájdite BD.

rozhodnutie:

Keďže osi trojuholníka sa pretínajú v

Jeden bod, potom BD je osou B. Pokračujme BD ku križovatke s AC v bode M . Potom M je stred AC, BM AC. Takže

Pretože CD - stred trojuholníka Potom BMC

Preto,.

odpoveď:

Veta 4. Tri osi trojuholníka sa pretínajú v jednom bode.

V skutočnosti najprv zvážte bod Р priesečníka dvoch priesečníkov, napríklad AK 1 a VC 2 . Tento bod je rovnako vzdialený od strán AB a AC, pretože leží na osiA, a rovnako odstránené zo strán AB a BC, ako patriace do osiB. Preto je rovnako vzdialený od strán AC a BC, a teda patrí do tretej osi SC 3 , teda v bode P sa všetky tri osi pretínajú.

Vzorce na nájdenie osi
Veta 5: (prvý vzorec pre osičku): Ak v trojuholníku ABC je segment AL osou A, potom AL2 = AB AC - LB LC.

dôkaz: Nech M je priesečník priamky AL s kružnicou opísanou trojuholníku ABC (obr. 41). Uhol BAM sa podľa konvencie rovná uhlu MAC. Uhly BMA a BCA sú rovnaké ako vpísané uhly založené na rovnakej tetive. Preto sú trojuholníky BAM a LAC podobné v dvoch uhloch. Preto AL: AC = AB: AM. Takže AL AM = AB AC AL (AL + LM) = AB AC AL² = AB AC - AL LM = AB AC - BL LC. Q.E.D.

Veta 6: . (druhý vzorec pre osi): V trojuholníku ABC so stranami AB=a, AC=baA, rovná sa 2α a osi l, platí rovnosť:
l = (2ab / (a+b)) cosα.

Dôkaz : Nech ABC je daný trojuholník, AL jeho stred, a=AB, b=AC, l=AL. Potom S ABC = S ALB + S ALC . Preto ab sin2α = a l sinα + b l sinα 2ab sinα cosα = (a + b) l sinα l = 2 (ab / (a+b)) cosα. Veta bola dokázaná.

Veta 7: Ak a, b sú strany trojuholníka, Y je uhol medzi nimi,je os tohto uhla. Potom.

Veta. Osa vnútorného uhla trojuholníka rozdeľuje opačnú stranu na časti úmerné susedným stranám.

Dôkaz. Uvažujme trojuholník ABC (obr. 259) a os jeho uhla B. Vedieme vrcholom C priamku CM rovnobežnú s osou VC, až kým sa nepretne v bode M s pokračovaním strany AB. Keďže VC je osou uhla ABC, potom . Ďalej ako zodpovedajúce uhly na rovnobežných líniách a ako priečne ležiace uhly na rovnobežkách. Odtiaľto a teda - rovnoramenné, odkiaľ. Podľa vety o rovnobežkách pretínajúcich strany uhla máme a vzhľadom na to dostávame, čo bolo potrebné dokázať.

Osa vonkajšieho uhla B trojuholníka ABC (obr. 260) má podobnú vlastnosť: úsečky AL a CL od vrcholov A a C po bod L priesečníka priesečníka s pokračovaním strany AC sú úmerné stranám trojuholníka:

Táto vlastnosť je dokázaná rovnakým spôsobom ako predchádzajúca: na obr. 260 sa nakreslí pomocná priamka SM rovnobežná s osou BL. Čitateľ sa sám presvedčí o rovnosti uhlov BMC a BCM, a teda strán BM a BC trojuholníka BMC, po čom okamžite získa požadovaný pomer.

Môžeme povedať, že os vonkajšieho uhla rozdeľuje aj opačnú stranu na časti úmerné susedným stranám; treba len odsúhlasiť umožnenie „vonkajšieho delenia“ segmentu.

Bod L, ležiaci mimo úsečky AC (na jej pokračovaní), ju delí navonok vzhľadom k tomu, ak áno, osi uhla trojuholníka (vnútorné a vonkajšie) rozdeľujú opačnú stranu (vnútornú a vonkajšiu) na časti úmerné priľahlé strany.

Úloha 1. Strany lichobežníka sú 12 a 15, základne sú 24 a 16. Nájdite strany trojuholníka tvoreného veľkou základňou lichobežníka a jeho predĺženými stranami.

rozhodnutie. V zápise na obr. 261 máme pre úsečku slúžiacu ako pokračovanie bočnej strany pomer, z ktorého ľahko zistíme Podobným spôsobom určíme druhú bočnú stranu trojuholníka Tretia strana sa zhoduje s veľkou základňou: .

Úloha 2. Základy lichobežníka sú 6 a 15. Aká je dĺžka úsečky rovnobežnej so základňami a deliacej strany v pomere 1:2, počítajúc od vrcholov malej základne?

rozhodnutie. Obráťme sa na Obr. 262 zobrazujúci lichobežník. Vrcholom C malej základne nakreslíme priamku rovnobežnú s bočnou stranou AB a odrežeme rovnobežník z lichobežníka. Od , potom odtiaľto nájdeme . Preto sa celý neznámy segment KL rovná Všimnite si, že na vyriešenie tohto problému nepotrebujeme poznať strany lichobežníka.

Úloha 3. Priečna osi vnútorného uhla B trojuholníka ABC rozreže stranu AC na úsečky, v akej vzdialenosti od vrcholov A a C pretína osi vonkajšieho uhla B predĺženie AC?

rozhodnutie. Každá z osi uhla B rozdeľuje AC v rovnakom pomere, ale jedna vnútorne a druhá zvonka. Priesečník pokračovania AC a osy vonkajšieho uhla B označíme L. Od AK označíme dovtedy neznámu vzdialenosť AL a budeme mať pomer, ktorého riešením dostaneme požadovanú vzdialenosť.

Urobte si kresbu sami.

Cvičenia

1. Lichobežník so základňami 8 a 18 je rozdelený rovnými čiarami, rovnobežnými so základňami, na šesť pásov rovnakej šírky. Nájdite dĺžky úsečiek, ktoré rozdeľujú lichobežník na pásy.

2. Obvod trojuholníka je 32. Osa uhla A rozdeľuje stranu BC na časti rovné 5 a 3. Nájdite dĺžky strán trojuholníka.

3. Základňa rovnoramenného trojuholníka je a, strana je b. Nájdite dĺžku úsečky spájajúcej priesečníky priesečníkov rohov základne so stranami.

VLASTNOSTI BISSECTORA

Vlastnosť osy: V trojuholníku os rozdeľuje opačnú stranu na segmenty úmerné susedným stranám.

Osa vonkajšieho uhla Osa vonkajšieho uhla trojuholníka pretína predĺženie jeho strany v bode, pričom vzdialenosti, od ktorých ku koncom tejto strany sú, sú úmerné susedným stranám trojuholníka. C B A D

Vzorce dĺžky osy:

Vzorec na zistenie dĺžok úsečiek, na ktoré os rozdeľuje opačnú stranu trojuholníka

Vzorec na nájdenie pomeru dĺžok úsečiek, na ktoré je delená osi priesečníkom osi

Úloha 1. Jedna z priesečníkov trojuholníka je rozdelená priesečníkom priesečníkov v pomere 3:2, počítajúc od vrcholu. Nájdite obvod trojuholníka, ak je dĺžka strany trojuholníka, na ktorú je nakreslená táto os, 12 cm.

Riešenie Pomocou vzorca zistíme pomer dĺžok úsečiek, na ktoré je delená priesečník priesečníka v trojuholníku: 30. Odpoveď: P = 30 cm.

Úloha 2 . Priečnice BD a CE ∆ ABC sa pretínajú v bode O. AB=14, BC=6, AC=10. Nájdite O D .

rozhodnutie. Použime vzorec na zistenie dĺžky priesečníka: Máme: BD = BD = = Podľa vzorca pre pomer úsečiek, na ktoré je delená priesečník priesečníkom: l = . 2 + 1 = 3 diely zo všetkého.

toto je časť 1  OD = Odpoveď: OD =

Problémy V ∆ ABC sú nakreslené osi AL a BK. Nájdite dĺžku segmentu KLif AB \u003d 15, AK \u003d 7,5, BL \u003d 5. V ∆ ABC je nakreslená os AD a cez bod D je priamka rovnobežná s AC a pretínajúca AB v bode E. Nájdite pomer plôch ∆ ABC a ∆ BDE , ak AB = 5, AC = 7. Nájdite osy ostrých uhlov pravouhlého trojuholníka s nohami 24 cm a 18 cm. V pravouhlom trojuholníku rozdeľuje os ostrého uhla opačnú nohu na segmenty dlhé 4 a 5 cm. Určte plochu trojuholníka.

5. V rovnoramennom trojuholníku je základňa a strana 5 cm a strana 20 cm Nájdite os uhla na základni trojuholníka. 6. Nájdite os pravého uhla trojuholníka, ktorého ramená sú rovné a a b. 7. Vypočítajte dĺžku osy uhla A trojuholníka ABC s dĺžkami strán a = 18 cm, b = 15 cm, c = 12 cm. Nájdite pomer, v ktorom sa delia osy vnútorných uhlov v bode ich priesečníka.

Odpovede: Odpoveď: Odpoveď: Odpoveď: Odpoveď: Odpoveď: Odpoveď: Odpoveď: Odpoveď: AP = 6 AP = 10 pozri KL = CP =

Dnes to bude veľmi ľahká lekcia. Budeme uvažovať iba o jednom objekte - o osi uhla - a dokážeme jeho najdôležitejšiu vlastnosť, ktorá sa nám bude v budúcnosti veľmi hodiť.

Len sa neuvoľnite: niekedy študenti, ktorí chcú získať vysoké skóre na rovnakom OGE alebo USE, na prvej hodine, nedokážu ani sformulovať presnú definíciu osi.

A namiesto toho, aby sme robili naozaj zaujímavé úlohy, trávime čas takýmito jednoduchými vecami. Tak čítajte, pozerajte - a adoptujte. :)

Na začiatok trochu zvláštna otázka: čo je to uhol? Správne: uhol sú len dva lúče vychádzajúce z toho istého bodu. Napríklad:

Príklady uhlov: ostrý, tupý a pravý

Ako vidíte na obrázku, rohy môžu byť ostré, tupé, rovné - na tom teraz nezáleží. Často je pre pohodlie na každom lúči označený ďalší bod a hovoria, hovoria, že máme uhol $AOB$ (napísaný ako $\uhol AOB$).

Zdá sa, že kapitánova samozrejmosť naznačuje, že okrem lúčov $OA$ a $OB$ je možné vždy nakresliť veľa lúčov z bodu $O$. Ale medzi nimi bude jedna špeciálna - nazýva sa bisektor.

Definícia. Osa uhla je lúč, ktorý vychádza z vrcholu tohto uhla a pretína uhol.

Pre vyššie uvedené uhly budú osy vyzerať takto:

Príklady osí pre ostrý, tupý a pravý uhol

Pretože na skutočných výkresoch nie je vždy zrejmé, že určitý lúč (v našom prípade je to lúč $OM$) rozdeľuje počiatočný uhol na dva rovnaké, je v geometrii zvykom označovať rovnaké uhly rovnakým počtom oblúky (na našom výkrese je to 1 oblúk pre ostrý uhol, dva pre tupý, tri pre rovný).

Dobre, prišli sme na definíciu. Teraz musíte pochopiť, aké vlastnosti má bisector.

Základná vlastnosť osy uhla

V skutočnosti má bisektor veľa vlastností. A určite ich zvážime v ďalšej lekcii. Ale je tu jeden trik, ktorý musíte hneď pochopiť:

Veta. Osa uhla je ťažisko bodov rovnako vzdialených od strán daného uhla.

Preložené z matematiky do ruštiny to znamená dve skutočnosti naraz:

1. Akýkoľvek bod ležiaci na osnici uhla je v rovnakej vzdialenosti od strán tohto uhla.
2. A naopak: ak bod leží v rovnakej vzdialenosti od strán daného uhla, potom je zaručené, že bude ležať na osi tohto uhla.

Pred dôkazom týchto tvrdení si vyjasnime jeden bod: čo sa v skutočnosti nazýva vzdialenosť od bodu k strane uhla? Tu nám pomôže stará dobrá definícia vzdialenosti od bodu k priamke:

Definícia. Vzdialenosť od bodu k priamke je dĺžka kolmice nakreslenej z tohto bodu k tejto priamke.

Uvažujme napríklad priamku $l$ a bod $A$, ktorý na tejto priamke neleží. Nakreslite kolmicu $AH$, kde $H\v l$. Potom bude dĺžka tejto kolmice vzdialenosť od bodu $A$ k priamke $l$.

Grafické znázornenie vzdialenosti od bodu k priamke

Keďže uhol sú len dva lúče a každý lúč je kusom priamky, je ľahké určiť vzdialenosť od bodu k stranám uhla. Sú to len dve kolmice:

Určte vzdialenosť od bodu k stranám uhla

To je všetko! Teraz vieme, čo je vzdialenosť a čo je os. Preto môžeme preukázať hlavnú vlastnosť.

Ako sme sľúbili, rozdeľujeme dôkaz na dve časti:

1. Vzdialenosti od bodu na osi k stranám uhla sú rovnaké

Uvažujme ľubovoľný uhol s vrcholom $O$ a stredom $OM$:

Dokážme, že ten istý bod $M$ je v rovnakej vzdialenosti od strán uhla.

Dôkaz. Nakreslíme kolmice z bodu $M$ do strán uhla. Nazvime ich $M((H)_(1))$ a $M((H)_(2))$:

Nakreslite kolmice na strany rohu

Získali sme dva pravouhlé trojuholníky: $\vartriangle OM((H)_(1))$ a $\vartriangle OM((H)_(2))$. Majú spoločnú preponu $OM$ a rovnaké uhly:

1. $\uhol MO((H)_(1))=\uhol MO((H)_(2))$ podľa predpokladu (keďže $OM$ je os);
2. $\uhol M((H)_(1))O=\uhol M((H)_(2))O=90()^\circ $ podľa konštrukcie;
3. $\uhol OM((H)_(1))=\uhol OM((H)_(2))=90()^\circ -\uhol MO((H)_(1))$ pretože súčet ostré uhly pravouhlého trojuholníka sa vždy rovnajú 90 stupňom.

Preto sú trojuholníky rovnaké v stranách a dvoch susedných uhloch (pozri znaky rovnosti trojuholníkov). Preto najmä $M((H)_(2))=M((H)_(1))$, t.j. vzdialenosti od bodu $O$ k stranám uhla sú skutočne rovnaké. Q.E.D. :)

2. Ak sú vzdialenosti rovnaké, potom bod leží na osi

Teraz je situácia opačná. Nech je daný uhol $O$ a bod $M$ rovnako vzdialený od strán tohto uhla:

Dokážme, že lúč $OM$ je osou, t.j. $\uhol MO((H)_(1))=\uhol MO((H)_(2))$.

Dôkaz. Na začiatok nakreslíme tento lúč $OM$, inak nebude čo dokazovať:

Strávil lúč $OM$ v rohu

Opäť máme dva pravouhlé trojuholníky: $\vartriangle OM((H)_(1))$ a $\vartriangle OM((H)_(2))$. Je zrejmé, že sú si rovní, pretože:

1. Prepona $OM$ je bežná;
2. Nohy $M((H)_(1))=M((H)_(2))$ podľa podmienky (pretože bod $M$ je rovnako vzdialený od strán rohu);
3. Zvyšné nohy sú tiež rovnaké, pretože podľa Pytagorovej vety $OH_(1)^(2)=OH_(2)^(2)=O((M)^(2))-MH_(1)^(2)$.

Preto trojuholníky $\vartriangle OM((H)_(1))$ a $\vartriangle OM((H)_(2))$ na troch stranách. Najmä ich uhly sú rovnaké: $\uhol MO((H)_(1))=\uhol MO((H)_(2))$. A to znamená, že $OM$ je stred.

Na záver dôkazu označíme vytvorené rovnaké uhly červenými oblúkmi:

Osa rozdeľuje uhol $\uhol ((H)_(1))O((H)_(2))$ na dva rovnaké

Ako vidíte, nič zložité. Dokázali sme, že os uhla je miestom bodov, ktoré sú rovnako vzdialené od strán tohto uhla. :)

Teraz, keď sme sa už viac-menej rozhodli pre terminológiu, je čas prejsť na novú úroveň. V ďalšej lekcii budeme analyzovať zložitejšie vlastnosti osi a naučíme sa, ako ich aplikovať na riešenie skutočných problémov.