Mama umyla rám

Ku koncu dlhých letných prázdnin je čas pomaly sa vrátiť k vyššej matematike a slávnostne otvoriť prázdny súbor Verd, aby ste mohli začať vytvárať novú sekciu - . Priznám sa, že prvé riadky nie sú ľahké, ale prvý krok je polovica cesty, preto každému odporúčam, aby si pozorne preštudoval úvodný článok, po ktorom bude zvládnutie témy 2-krát jednoduchšie! Vôbec nepreháňam. ... V predvečer ďalšieho 1. septembra si spomínam na prvú triedu a základku .... Písmená tvoria slabiky, slabiky slová, slová krátke vety – mama umývala rám. Ovládanie terverskej a matematickej štatistiky je také jednoduché ako naučiť sa čítať! Na to je však potrebné poznať kľúčové pojmy, pojmy a označenia, ako aj niektoré špecifické pravidlá, ktorým je venovaná táto lekcia.

Najprv však prijmite moje blahoželanie k začiatku (pokračovanie, ukončenie, príslušná poznámka) akademického roka a prijmite darček. Najlepším darčekom je kniha a pre samoukov odporúčam nasledujúcu literatúru:

1) Gmurman V.E. Teória pravdepodobnosti a matematická štatistika

Legendárna učebnica, ktorá prešla viac ako desiatimi dotlačami. Líši sa zrozumiteľnosťou a ultimátnou jednoduchou prezentáciou učiva a prvé kapitoly sú, myslím, úplne prístupné už pre žiakov 6.-7.

2) Gmurman V.E. Sprievodca riešením problémov v pravdepodobnosti a matematickej štatistike

Reshebnik toho istého Vladimíra Efimoviča s podrobnými príkladmi a úlohami.

NUTNE stiahnite si obe knihy z internetu alebo získajte ich papierové originály! Postačí verzia zo 60.-70. rokov, čo je ešte lepšie pre figuríny. Hoci fráza „teória pravdepodobnosti pre figuríny“ znie dosť smiešne, pretože takmer všetko je obmedzené na základné aritmetické operácie. Miestami sa však šmýkajú deriváty a integrály, ale to je len miestami.

Budem sa snažiť dosiahnuť rovnakú prehľadnosť prezentácie, ale musím vás upozorniť, že môj kurz je zameraný na riešenie problémov a teoretické výpočty sú obmedzené na minimum. Ak teda potrebujete podrobnú teóriu, dôkazy viet (áno, vety!), pozrite si učebnicu.

Pre tých, ktorí chcú naučiť sa riešiť problémy vytvorené v priebehu niekoľkých dní rýchlokurz vo formáte pdf (podľa stránky). No, práve teraz, bez toho, aby sme to odložili v dlhom priečinku, začíname študovať terver a matstat - nasledujte ma!

Dosť na začiatok =)

Pri čítaní článkov je užitočné zoznámiť sa (aspoň stručne) s ďalšími problémami uvažovaných typov. Na stránke Hotové riešenia pre vyššiu matematiku sú umiestnené zodpovedajúce pdf-ki s príkladmi riešení. Poskytne sa aj významná pomoc IDZ 18.1-18.2 Ryabushko(ľahšie) a riešil IDZ podľa zbierky Chudesenka(ťažšie).

1) súčet dve udalosti a nazýva sa udalosťou, ktorá spočíva v tom, že alebo udalosť alebo udalosť alebo obe udalosti súčasne. V prípade udalostí nezlučiteľné, posledná možnosť zmizne, to znamená, že môže nastať alebo udalosť alebo udalosť .

Pravidlo sa vzťahuje aj na viacero výrazov, napríklad na podujatie je to, čo sa stane aspoň jeden z udalostí , a ak sú udalosti nezlučiteľné – ten jeden a jediný udalosť z tejto sumy: alebo udalosť, alebo udalosť, alebo udalosť, alebo udalosť, alebo udalosť .

Veľa príkladov:

Udalosť (pri hode kockou neklesne 5 bodov) je taká alebo 1, alebo 2, alebo 3, alebo 4, alebo 6 bodov.

Udalosť (spadne nikdy viac dva body) je, že 1 alebo 2bodov.

Udalosť (bude párny počet bodov) je, že alebo 2 alebo 4 alebo 6 bodov.

Udalosťou je, že sa z balíčka vyberie karta červenej farby (srdce). alebo tamburína) a udalosť - že „obrázok“ bude extrahovaný (jack alebo pani alebo kráľ alebo eso).

O niečo zaujímavejší je prípad spoločných podujatí:

Udalosť spočíva v tom, že sa z palubovky vyžrebuje palica alebo sedem alebo sedem klubov Podľa vyššie uvedenej definície aspoň niečo- alebo akýkoľvek klub alebo ľubovoľná sedmička alebo ich "kríženie" - sedem palíc. Je ľahké vypočítať, že táto udalosť zodpovedá 12 základným výsledkom (9 klubových kariet + 3 zostávajúce sedmičky).

Akcia je zajtra o 12.00 hod ALESPOŇ JEDNO zo zhrňujúcich spoločných podujatí, menovite:

- alebo bude len dážď / iba hrmenie / iba slnko;
- alebo príde len nejaká dvojica udalostí (dážď + búrka / dážď + slnko / búrka + slnko);
– alebo sa zobrazia všetky tri udalosti súčasne.

To znamená, že udalosť zahŕňa 7 možných výsledkov.

Druhý pilier algebry udalostí:

2) práca dve udalosti a nazývame udalosť, ktorá spočíva v spoločnom výskyte týchto udalostí, inými slovami, znásobenie znamená, že za určitých okolností dôjde a udalosť, a udalosť . Podobné tvrdenie platí pri väčšom počte podujatí, napríklad z práce vyplýva, že za určitých podmienok dôjde a udalosť, a udalosť, a udalosť,…, a udalosť .

Zvážte pokus, v ktorom sa hádžu dve mince a nasledujúce udalosti:

- hlavy padnú na 1. mincu;
- 1. minca pristane chvosty;
- 2. minca pristane hlavy;
- 2. minca príde na chvost.

potom:
a na 2.) vypadne orol;
- akcia spočíva v tom, že na oboch minciach (1 a na 2.) vypadnú chvosty;
– udalosť je taká, že 1. minca pristane hlavy a na 2. chvostoch mincí;
- udalosť je taká, že 1. minca príde nahor a na 2. minci orol.

Je ľahké vidieť, že udalosti nezlučiteľné (keďže nemôže napr. vypadnúť 2 hlavy a 2 chvosty súčasne) a forme celá skupina (keďže sa berie do úvahy všetky možné výsledky hádzania dvoch mincí). Zhrňme si tieto udalosti: . Ako interpretovať tento záznam? Veľmi jednoduché – násobenie znamená logické spojenie A, a dodatok je ALEBO. Súčet je teda ľahko čitateľný v zrozumiteľnej ľudskej reči: „padnú dva orly alebo dva chvosty alebo hlavy na 1. minci a na 2. chvoste alebo hlavy na 1. minci a orol na druhej minci »

Toto bol príklad, keď v jednom teste ide o viacero predmetov, v tomto prípade o dve mince. Ďalšia schéma bežne používaná v praxi je opakované testy keď sa napríklad 3x za sebou hodí tá istá kocka. Ako demonštráciu zvážte nasledujúce udalosti:

- v 1. hode vypadnú 4 body;
- v 2. hode vypadne 5 bodov;
- v 3. hode vypadne 6 bodov.

Potom udalosť spočíva v tom, že v 1. hode vypadnú 4 body a v 2. hode klesne o 5 bodov a v 3. hode padne 6 bodov. Je zrejmé, že v prípade kocky bude podstatne viac kombinácií (výsledkov), ako keby sme si hádzali mincou.

...chápem, že sa možno rozoberajú nie veľmi zaujímavé príklady, ale toto sú veci, s ktorými sa často stretávame v problémoch a nedá sa z nich dostať. Okrem mince, kocky a balíčka kariet sú tu urny s farebnými loptičkami, niekoľko anonymných ľudí strieľajúcich do terčov a neúnavný pracant, ktorý neustále omieľa nejaké detaily =)

Pravdepodobnosť udalosti

Pravdepodobnosť udalosti je ústredným pojmom v teórii pravdepodobnosti. ...Smrteľne logická vec, ale niekde sa začať muselo =) Existuje niekoľko prístupov k jej definícii:

;
Geometrická definícia pravdepodobnosti ;
Štatistická definícia pravdepodobnosti .

V tomto článku sa zameriam na klasickú definíciu pravdepodobností, ktorá je najviac využívaná vo vzdelávacích úlohách.

Notový zápis. Pravdepodobnosť nejakej udalosti je označená veľkým latinským písmenom a samotná udalosť je uvedená v zátvorkách, čo funguje ako druh argumentu. Napríklad:

Malé písmeno sa tiež bežne používa na vyjadrenie pravdepodobnosti. Najmä možno upustiť od ťažkopádnych označení udalostí a ich pravdepodobnosti v prospech nasledujúceho štýlu:

je pravdepodobnosť, že hodom mince budú hlavy;
- pravdepodobnosť, že v dôsledku hodu kockou vypadne 5 bodov;
je pravdepodobnosť, že sa z balíčka vytiahne karta klubovej farby.

Táto možnosť je populárna pri riešení praktických problémov, pretože vám umožňuje výrazne znížiť zadanie riešenia. Ako v prvom prípade, aj tu je vhodné použiť „hovoriace“ dolné/horné indexy.

Každý už dlho hádal čísla, ktoré som práve napísal vyššie, a teraz zistíme, ako dopadli:

Klasická definícia pravdepodobnosti:

Pravdepodobnosť udalosti vyskytujúcej sa v niektorom teste je pomer , kde:

je celkový počet všetkých rovnako možné, elementárne výsledky tohto testu, ktoré tvoria celá skupina podujatí;

- suma elementárne výsledky priaznivý udalosť .

Keď sa hodí minca, môžu vypadnúť hlavy alebo chvosty - tieto udalosti sa formujú celá skupina, teda celkový počet výsledkov; pričom každý z nich elementárne a rovnako možné. Udalosť je uprednostňovaná výsledkom (hlavy). Podľa klasickej definície pravdepodobnosti: .

Podobne ako výsledok hodu kockou sa môžu objaviť elementárne rovnako možné výsledky, ktoré vytvoria kompletnú skupinu a udalosť je uprednostňovaná jediným výsledkom (hodením päťkou). Takže: .TOTO NIE JE AKCEPTOVANÉ (hoci nie je zakázané zisťovať percentá v mysli).

Je obvyklé používať zlomky jednotky a, samozrejme, pravdepodobnosť sa môže meniť v rámci . Navyše, ak , potom udalosť je nemožné, ak - spoľahlivý, a ak , potom hovoríme o náhodný udalosť.

! Ak v priebehu riešenia akéhokoľvek problému získate inú hodnotu pravdepodobnosti - hľadajte chybu!

V klasickom prístupe k definícii pravdepodobnosti sa extrémne hodnoty (nula a jedna) získajú presne rovnakým uvažovaním. Nechajte náhodne vyžrebovať 1 loptičku z urny s 10 červenými loptičkami. Zvážte nasledujúce udalosti:

v jedinom pokuse nenastane nepravdepodobná udalosť.

To je dôvod, prečo netrafíte jackpot v lotérii, ak je pravdepodobnosť tejto udalosti povedzme 0,00000001. Áno, áno, ste to vy – s jediným lístkom v konkrétnom obehu. Viac tiketov a viac žrebov vám však veľmi nepomôže. ... Keď o tom hovorím ostatným, takmer vždy počujem odpoveď: "ale niekto vyhral." Dobre, potom urobme nasledujúci experiment: kúpte si prosím akýkoľvek žreb dnes alebo zajtra (neodkladajte!). A ak vyhráte ... aspoň viac ako 10 kilo rubľov, určite sa odhláste - vysvetlím, prečo sa to stalo. Za percentá, samozrejme =) =)

Netreba však smútiť, pretože platí opačný princíp: ak je pravdepodobnosť nejakej udalosti veľmi blízka jednote, potom v jedinom teste takmer isté stane sa. Preto sa pred zoskokom padákom nebojte, práve naopak – usmievajte sa! Aby totiž oba padáky zlyhali, musia nastať absolútne nemysliteľné a fantastické okolnosti.

Aj keď je to všetko poézia, pretože v závislosti od obsahu udalosti sa prvý princíp môže ukázať ako veselý a druhý - smutný; alebo dokonca obe sú paralelné.

Zatiaľ asi stačí v triede Úlohy pre klasickú definíciu pravdepodobnosti zo vzorca vyžmýkame maximum. V poslednej časti tohto článku zvážime jednu dôležitú vetu:

Súčet pravdepodobností udalostí, ktoré tvoria ucelenú skupinu, sa rovná jednej. Zhruba povedané, ak udalosti tvoria kompletnú skupinu, potom so 100% pravdepodobnosťou dôjde k jednej z nich. V najjednoduchšom prípade tvoria opačné udalosti kompletnú skupinu, napríklad:

- v dôsledku hodu mincou vypadne orol;
- v dôsledku hodenia mince vypadnú chvosty.

Podľa vety:

Je jasné, že tieto udalosti sú rovnako pravdepodobné a ich pravdepodobnosti sú rovnaké. .

Kvôli rovnosti pravdepodobností sa často nazývajú rovnako pravdepodobné udalosti ekvipravdepodobný . A tu sa ukázal jazykolam na určenie stupňa intoxikácie =)

Príklad kocky: udalosti sú opačné, takže .

Uvažovaná veta je vhodná v tom, že vám umožňuje rýchlo nájsť pravdepodobnosť opačnej udalosti. Ak teda poznáte pravdepodobnosť, že päťka vypadne, je ľahké vypočítať pravdepodobnosť, že nevypadne:

Je to oveľa jednoduchšie ako zhrnúť pravdepodobnosti piatich základných výsledkov. Mimochodom, pre elementárne výsledky platí aj táto veta:
. Napríklad, ak je pravdepodobnosť, že strelec zasiahne cieľ, potom je pravdepodobnosť, že netrafí.

! V teórii pravdepodobnosti je nežiaduce používať písmená a na akékoľvek iné účely.

Na počesť Dňa vedomostí nebudem dávať domáce úlohy =), ale je veľmi dôležité, aby ste odpovedali na nasledujúce otázky:

Aké typy podujatí existujú?
– Čo je náhoda a rovnaká možnosť udalosti?
– Ako chápete pojmy kompatibilita / nezlučiteľnosť udalostí?
– Čo je úplná skupina udalostí, protichodných udalostí?
Čo znamená sčítanie a násobenie udalostí?
– Čo je podstatou klasickej definície pravdepodobnosti?
– Ako je užitočná veta o sčítaní pravdepodobnosti udalostí tvoriacich úplnú skupinu?

Nie, nemusíte nič napchávať, toto sú len základy teórie pravdepodobnosti – akýsi základ, ktorý sa vám rýchlo zmestí do hlavy. A aby sa to stalo čo najskôr, navrhujem, aby ste si prečítali lekcie

Mnohí, konfrontovaní s konceptom „teórie pravdepodobnosti“, sú vystrašení, myslia si, že ide o niečo ohromujúce, veľmi zložité. Ale v skutočnosti to nie je až také tragické. Dnes zvážime základný koncept teórie pravdepodobnosti, naučíme sa riešiť problémy pomocou konkrétnych príkladov.

Veda

Čo študuje taký odbor matematiky ako „teória pravdepodobnosti“? Všíma si vzory a veličiny. Prvýkrát sa vedci o túto problematiku začali zaujímať už v osemnástom storočí, keď študovali hazardné hry. Základným pojmom teórie pravdepodobnosti je udalosť. Je to akákoľvek skutočnosť, ktorá je zistená skúsenosťou alebo pozorovaním. Ale čo je skúsenosť? Ďalší základný koncept teórie pravdepodobnosti. Znamená to, že táto skladba okolností nevznikla náhodou, ale za určitým účelom. Čo sa týka pozorovania, tu sa samotný výskumník nezúčastňuje experimentu, ale je jednoducho svedkom týchto udalostí, nijako neovplyvňuje dianie.

Diania

Dozvedeli sme sa, že základný koncept teórie pravdepodobnosti je udalosť, ale nezohľadnili sme klasifikáciu. Všetky spadajú do nasledujúcich kategórií:

• Spoľahlivý.
• nemožné.
• Náhodný.

Bez ohľadu na to, aké udalosti sú pozorované alebo vytvorené v priebehu skúseností, všetky podliehajú tejto klasifikácii. Ponúkame možnosť zoznámiť sa s každým druhom zvlášť.

Dôveryhodná udalosť

Toto je okolnosť, pred ktorou bol prijatý potrebný súbor opatrení. Aby sme lepšie pochopili podstatu, je lepšie uviesť niekoľko príkladov. Fyzika, chémia, ekonómia a vyššia matematika podliehajú tomuto zákonu. Teória pravdepodobnosti zahŕňa taký dôležitý pojem, akým je určitá udalosť. Tu je niekoľko príkladov:

• Pracujeme a dostávame odmenu vo forme mzdy.
• Dobre sme zložili skúšky, prešli súťažou, za to dostávame odmenu vo forme prijatia do vzdelávacej inštitúcie.
• Peniaze sme investovali do banky, v prípade potreby ich dostaneme späť.

Takéto udalosti sú spoľahlivé. Ak sme splnili všetky potrebné podmienky, tak sa určite dočkáme očakávaného výsledku.

Nemožné udalosti

Teraz zvážime prvky teórie pravdepodobnosti. Navrhujeme prejsť na vysvetlenie ďalšieho typu udalosti, konkrétne nemožné. Na začiatok si stanovíme najdôležitejšie pravidlo – pravdepodobnosť nemožnej udalosti je nulová.

Od tejto formulácie sa pri riešení problémov nemožno odchýliť. Na objasnenie uvádzame príklady takýchto udalostí:

• Voda zamrzla pri teplote plus desať (to je nemožné).
• Nedostatok elektriny nijako neovplyvňuje výrobu (rovnako nemožné ako v predchádzajúcom príklade).

Viac príkladov by sa nemalo uvádzať, pretože vyššie opísané veľmi jasne odrážajú podstatu tejto kategórie. Nemožná udalosť sa počas zážitku za žiadnych okolností nikdy nestane.

náhodné udalosti

Pri štúdiu prvkov by sa mala venovať osobitná pozornosť tomuto konkrétnemu typu udalosti. To je to, čo študuje veda. V dôsledku skúseností sa niečo môže, ale aj nemusí stať. Okrem toho je možné test opakovať neobmedzený počet krát. Výrazné príklady sú:

• Hádzanie mincou je zážitok, alebo skúška, smerovanie je udalosť.
• Vytiahnutie lopty naslepo z vrecka je test, chytená červená lopta je udalosť atď.

Takýchto príkladov môže byť neobmedzený počet, ale vo všeobecnosti by mala byť podstata jasná. Na zhrnutie a systematizáciu získaných poznatkov o udalostiach je uvedená tabuľka. Teória pravdepodobnosti študuje len posledný typ zo všetkých prezentovaných.

titul	definícia
Dôveryhodný	Udalosti, ktoré sa vyskytnú so 100% zárukou, za určitých podmienok.	Prijatie do vzdelávacej inštitúcie s dobrým zložením prijímacej skúšky.
nemožné	Udalosti, ktoré sa za žiadnych okolností nikdy nestanú.	Sneží pri teplote vzduchu plus tridsať stupňov Celzia.
Náhodný	Udalosť, ktorá môže, ale nemusí nastať počas experimentu/testu.	Traf alebo netraf pri hádzaní basketbalovej lopty do koša.

Zákony

Teória pravdepodobnosti je veda, ktorá skúma možnosť výskytu udalosti. Rovnako ako ostatné, má určité pravidlá. Existujú nasledujúce zákony teórie pravdepodobnosti:

• Konvergencia postupností náhodných premenných.
• Zákon veľkých čísel.

Pri výpočte možnosti komplexu je možné použiť komplex jednoduchých udalostí na dosiahnutie výsledku jednoduchším a rýchlejším spôsobom. Všimnite si, že zákony teórie pravdepodobnosti sa dajú ľahko dokázať pomocou niektorých teorémov. Začnime prvým zákonom.

Konvergencia postupností náhodných premenných

Všimnite si, že existuje niekoľko typov konvergencie:

• Postupnosť náhodných premenných je z hľadiska pravdepodobnosti konvergentná.
• Takmer nemožné.
• RMS konvergencia.
• Konvergencia distribúcie.

Takže za behu je veľmi ťažké dostať sa dnu. Tu je niekoľko definícií, ktoré vám pomôžu pochopiť túto tému. Začnime prvým pohľadom. Sekvencia je tzv konvergentné v pravdepodobnosti, ak je splnená nasledujúca podmienka: n smeruje k nekonečnu, číslo, ku ktorému postupnosť smeruje, je väčšie ako nula a blízko jednej.

Prejdime k ďalšej, takmer určite. Hovorí sa, že postupnosť konverguje takmer určite k náhodnej premennej s n smerujúcim k nekonečnu a P smerujúcim k hodnote blízkej jednotke.

Ďalší typ je RMS konvergencia. Pri použití SC konvergencie sa štúdium vektorových náhodných procesov redukuje na štúdium ich súradnicových náhodných procesov.

Zostáva posledný typ, stručne si ho rozoberme, aby sme pristúpili priamo k riešeniu problémov. Distribučná konvergencia má iný názov - „slabá“, nižšie vysvetlíme prečo. Slabá konvergencia je konvergencia distribučných funkcií vo všetkých bodoch kontinuity limitnej distribučnej funkcie.

Sľub určite splníme: slabá konvergencia sa od všetkých vyššie uvedených líši tým, že náhodná premenná nie je definovaná na pravdepodobnostnom priestore. Je to možné, pretože stav sa vytvára výlučne pomocou distribučných funkcií.

Zákon veľkých čísel

Vynikajúcimi pomocníkmi pri dokazovaní tohto zákona budú vety teórie pravdepodobnosti, ako napríklad:

• Čebyševova nerovnosť.
• Čebyševova veta.
• Zovšeobecnená Čebyševova veta.
• Markovova veta.

Ak vezmeme do úvahy všetky tieto teorémy, potom sa táto otázka môže natiahnuť na niekoľko desiatok listov. Našou hlavnou úlohou je aplikovať teóriu pravdepodobnosti v praxi. Pozývame vás, aby ste to urobili práve teraz. Predtým však zvážime axiómy teórie pravdepodobnosti, ktoré budú hlavnými pomocníkmi pri riešení problémov.

Axiómy

S prvým sme sa už stretli, keď sme hovorili o nemožnej udalosti. Pamätajme: pravdepodobnosť nemožnej udalosti je nulová. Uviedli sme veľmi názorný a nezabudnuteľný príklad: sneh padal pri teplote vzduchu tridsať stupňov Celzia.

Druhá je nasledovná: určitá udalosť nastane s pravdepodobnosťou rovnajúcou sa jednej. Teraz si ukážeme, ako to zapísať pomocou matematického jazyka: P(B)=1.

Po tretie: Náhodná udalosť môže alebo nemusí nastať, ale možnosť sa vždy pohybuje od nuly do jednej. Čím je hodnota bližšia k jednej, tým väčšia je šanca; ak sa hodnota blíži nule, pravdepodobnosť je veľmi nízka. Napíšme to v matematickom jazyku: 0<Р(С)<1.

Zoberme si poslednú, štvrtú axiómu, ktorá znie takto: pravdepodobnosť súčtu dvoch udalostí sa rovná súčtu ich pravdepodobností. Píšeme v matematickom jazyku: P (A + B) \u003d P (A) + P (B).

Axiómy teórie pravdepodobnosti sú najjednoduchšie pravidlá, ktoré sa dajú ľahko zapamätať. Pokúsme sa vyriešiť niektoré problémy na základe už získaných vedomostí.

Lístok do lotérie

Na začiatok zvážte najjednoduchší príklad - lotériu. Predstavte si, že ste si kúpili jeden žreb pre šťastie. Aká je pravdepodobnosť, že vyhráte aspoň dvadsať rubľov? Celkovo sa v obehu zúčastňuje tisíc lístkov, z ktorých jeden má cenu päťsto rubľov, desať zo sto rubľov, päťdesiat z dvadsiatich rubľov a sto päť. Problémy v teórii pravdepodobnosti sú založené na hľadaní možnosti šťastia. Poďme sa spoločne pozrieť na riešenie vyššie uvedeného problému.

Ak písmenom A označíme výhru päťsto rubľov, pravdepodobnosť získania A bude 0,001. Ako sme to získali? Stačí vydeliť počet „šťastných“ tiketov ich celkovým počtom (v tomto prípade: 1/1000).

B je výhra sto rubľov, pravdepodobnosť sa bude rovnať 0,01. Teraz sme konali na rovnakom princípe ako v predchádzajúcej akcii (10/1000)

C - výhry sa rovnajú dvadsiatim rubľov. Nájdeme pravdepodobnosť, rovná sa 0,05.

Zostávajúce vstupenky nás nezaujímajú, pretože ich výherný fond je nižší ako je uvedený v podmienkach. Aplikujme štvrtú axiómu: Pravdepodobnosť výhry aspoň dvadsiatich rubľov je P(A)+P(B)+P(C). Písmeno P označuje pravdepodobnosť výskytu tejto udalosti, našli sme ich už v predchádzajúcich krokoch. Zostáva len doplniť potrebné údaje, v odpovedi dostaneme 0,061. Toto číslo bude odpoveďou na otázku úlohy.

balíček kariet

Problémy v teórii pravdepodobnosti sú tiež zložitejšie, zoberte si napríklad nasledujúcu úlohu. Pred vami je balíček tridsiatich šiestich kariet. Vašou úlohou je ťahať dve karty za sebou bez toho, aby ste zamiešali kôpku, prvá a druhá karta musia byť esá, na farbe nezáleží.

Na začiatok zistíme pravdepodobnosť, že prvou kartou bude eso, preto vydelíme štyri tridsiatimi šiestimi. Odložili to bokom. Vyťahujeme druhú kartu, bude to eso s pravdepodobnosťou tri tridsiate pätiny. Pravdepodobnosť druhej udalosti závisí od toho, ktorú kartu sme si vytiahli ako prvú, nás zaujíma, či to bolo eso alebo nie. Z toho vyplýva, že udalosť B závisí od udalosti A.

Ďalším krokom je zistenie pravdepodobnosti simultánnej implementácie, to znamená, že vynásobíme A a B. Ich súčin nájdeme nasledovne: pravdepodobnosť jednej udalosti vynásobíme podmienenou pravdepodobnosťou inej, ktorú vypočítame za predpokladu, že prvá došlo k udalosti, to znamená, že sme vytiahli eso s prvou kartou.

Aby bolo všetko jasné, dajme označenie takému prvku ako udalosti. Vypočítava sa za predpokladu, že udalosť A nastala. Vypočítané takto: P(B/A).

Pokračujme v riešení nášho problému: P (A * B) \u003d P (A) * P (B / A) alebo P (A * B) \u003d P (B) * P (A / B). Pravdepodobnosť je (4/36) * ((3/35)/(4/36). Vypočítajte zaokrúhlením na stotiny. Máme: 0,11 * (0,09/0,11)=0,11 * 0, 82 = 0,09 Pravdepodobnosť, že vytiahne dve esá za sebou je deväť stotín. Hodnota je veľmi malá, z toho vyplýva, že pravdepodobnosť výskytu udalosti je extrémne malá.

Zabudnuté číslo

Navrhujeme analyzovať niekoľko ďalších možností pre úlohy, ktoré študuje teória pravdepodobnosti. Príklady riešenia niektorých ste už videli v tomto článku, skúsme vyriešiť nasledujúci problém: chlapec zabudol poslednú číslicu telefónneho čísla svojho priateľa, ale keďže hovor bol veľmi dôležitý, začal postupne vytáčať všetko. Musíme vypočítať pravdepodobnosť, že nezavolá viac ako trikrát. Riešenie úlohy je najjednoduchšie, ak sú známe pravidlá, zákony a axiómy teórie pravdepodobnosti.

Predtým, ako sa pozriete na riešenie, skúste ho vyriešiť sami. Vieme, že posledná číslica môže byť od nuly do deviatich, to znamená, že celkovo existuje desať hodnôt. Pravdepodobnosť získania toho pravého je 1/10.

Ďalej musíme zvážiť možnosti pôvodu udalosti, predpokladajme, že chlapec uhádol správne a okamžite skóroval správne, pravdepodobnosť takejto udalosti je 1/10. Druhá možnosť: prvý hovor je zmeškaný a druhý je na cieľ. Vypočítame pravdepodobnosť takejto udalosti: vynásobte 9/10 1/9, výsledkom je tiež 1/10. Tretia možnosť: prvý a druhý hovor sa ukázal ako na nesprávnej adrese, až z tretieho sa chlapec dostal tam, kam chcel. Vypočítame pravdepodobnosť takejto udalosti: vynásobíme 9/10 8/9 a 1/8, dostaneme 1/10. Podľa stavu problému nás iné možnosti nezaujímajú, zostáva nám teda sčítať výsledky, vo výsledku máme 3/10. Odpoveď: Pravdepodobnosť, že chlapec nezavolá viac ako trikrát, je 0,3.

Kartičky s číslami

Pred vami je deväť kariet, z ktorých každá obsahuje číslo od jedna do deväť, čísla sa neopakujú. Boli umiestnené v krabici a dôkladne premiešané. Musíte vypočítať pravdepodobnosť, že

• príde párne číslo;
• dvojciferný.

Predtým, ako prejdeme k riešeniu, stanovme, že m je počet úspešných prípadov a n je celkový počet možností. Nájdite pravdepodobnosť, že číslo je párne. Nebude ťažké vypočítať, že existujú štyri párne čísla, toto bude naše m, celkovo je deväť možností, teda m = 9. Potom je pravdepodobnosť 0,44 alebo 4/9.

Uvažujeme o druhom prípade: počet možností je deväť a nemôžu existovať žiadne úspešné výsledky, to znamená, že m sa rovná nule. Pravdepodobnosť, že vytiahnutá karta bude obsahovať dvojciferné číslo, je tiež nulová.

Čo je pravdepodobnosť?

Prvýkrát zoči-voči tomuto pojmu by som nerozumel, čo to je. Tak sa to pokúsim vysvetliť zrozumiteľne.

Pravdepodobnosť je šanca, že dôjde k želanej udalosti.

Napríklad ste sa rozhodli navštíviť priateľa, zapamätať si vchod a dokonca aj poschodie, na ktorom žije. Ale zabudol som číslo a polohu bytu. A teraz stojíte na schodisku a pred vami sú dvere, z ktorých si môžete vybrať.

Aká je šanca (pravdepodobnosť), že ak zazvoníte na prvé dvere, otvorí vám priateľ? Celý byt a priateľ býva len za jedným z nich. S rovnakou šancou si môžeme vybrať akékoľvek dvere.

Ale aká je táto šanca?

Dvere, správne dvere. Pravdepodobnosť uhádnutia zvonením na prvé dvere: . To znamená, že jeden z troch prípadov určite uhádnete.

Chceme vedieť tak, že raz zavoláme, ako často uhádneme dvere? Pozrime sa na všetky možnosti:

1. volali ste 1 dvere
2. volali ste 2 dvere
3. volali ste 3 dvere

A teraz zvážte všetky možnosti, kde môže byť priateľ:

a. pozadu 1 dvere
b. pozadu 2 dvere
v. pozadu 3 dvere

Porovnajme všetky možnosti vo forme tabuľky. Začiarknutie označuje možnosti, keď sa vaša voľba zhoduje s umiestnením priateľa, krížik - ak sa nezhoduje.

Ako všetko vidíte prípadne možnosti polohu priateľa a váš výber, na ktoré dvere zazvoniť.

ALE priaznivé výsledky všetkých . To znamená, že časy od uhádnete tak, že raz zazvoníte na dvere, t.j. .

Toto je pravdepodobnosť - pomer priaznivého výsledku (keď sa váš výber zhodoval s umiestnením priateľa) k počtu možných udalostí.

Definícia je vzorec. Pravdepodobnosť sa zvyčajne označuje p, takže:

Nie je veľmi vhodné písať takýto vzorec, takže zoberme za - počet priaznivých výsledkov a za - celkový počet výsledkov.

Pravdepodobnosť je možné zapísať ako percento, preto musíte výsledný výsledok vynásobiť:

Pravdepodobne vás zaujalo slovo „výsledky“. Keďže matematici nazývajú rôzne akcie (u nás je takouto akciou zvonček) experimenty, je zvykom nazývať výsledok takýchto experimentov výsledkom.

Nuž, výsledky sú priaznivé aj nepriaznivé.

Vráťme sa k nášmu príkladu. Povedzme, že sme zazvonili pri jedných dverách, no otvoril nám cudzinec. Nehádali sme. Aká je pravdepodobnosť, že ak zazvoníme na jedny zo zostávajúcich dverí, otvorí nám ich priateľ?

Ak ste si to mysleli, tak je to omyl. Poďme na to.

Ostali nám dvoje dvere. Takže máme možné kroky:

1) Zavolajte na 1 dvere
2) Zavolajte 2 dvere

Za jedným z nich určite stojí priateľ (napokon nebol za tým, ktorého sme volali):

a) priateľ 1 dvere
b) priateľ pre 2 dvere

Znovu nakreslíme tabuľku:

Ako vidíte, existujú všetky možnosti, z ktorých - priaznivé. To znamená, že pravdepodobnosť je rovnaká.

Prečo nie?

Situácia, ktorú sme zvážili, je príklad závislých udalostí. Prvou udalosťou je prvý zvonček, druhou udalosťou je druhý zvonček.

A nazývajú sa závislými, pretože ovplyvňujú nasledujúce akcie. Ak by totiž priateľ otvoril dvere po prvom zazvonení, aká by bola pravdepodobnosť, že je za jedným z ostatných dvoch? Správne, .

Ale ak existujú závislé udalosti, potom musia existovať nezávislý? Pravda, existujú.

Učebnicovým príkladom je hod mincou.

1. Hodíme si mincou. Aká je pravdepodobnosť, že prídu napríklad hlavy? Je to tak - pretože možnosti na všetko (či už hlavy alebo chvosty, zanedbáme pravdepodobnosť, že čoin bude stáť na hrane), ale vyhovujú iba nám.
2. Ale vypadli chvosty. Dobre, zopakujme to. Aká je pravdepodobnosť, že sa to teraz objaví? Nič sa nezmenilo, všetko je po starom. Koľko možností? Dva. Nakoľko sme spokojní? Jeden.

A nech vypadnú chvosty aspoň tisíckrát za sebou. Pravdepodobnosť pádu hláv naraz bude rovnaká. Vždy existujú možnosti, ale priaznivé.

Rozlíšenie závislých udalostí od nezávislých je jednoduché:

1. Ak sa experiment uskutoční raz (raz hodia mincou, raz zazvoní zvonček atď.), potom sú udalosti vždy nezávislé.
2. Ak sa experiment vykonáva niekoľkokrát (raz sa hodí minca, niekoľkokrát zazvoní zvonček), prvá udalosť je vždy nezávislá. A potom, ak sa zmení počet priaznivých alebo počet všetkých výsledkov, potom sú udalosti závislé, a ak nie, sú nezávislé.

Poďme si trochu zacvičiť, aby sme určili pravdepodobnosť.

Príklad 1

Minca sa hodí dvakrát. Aká je pravdepodobnosť, že dostanete heads up dvakrát za sebou?

rozhodnutie:

Zvážte všetky možné možnosti:

1. orol orol
2. orol chvostnatý
3. chvostoskok
4. Chvosty-chvosty

Ako vidíte, všetky možnosti. Z nich sme spokojní len my. To je pravdepodobnosť:

Ak podmienka vyžaduje jednoducho nájsť pravdepodobnosť, potom musí byť odpoveď uvedená ako desatinný zlomok. Ak by bolo uvedené, že odpoveď musí byť uvedená v percentách, potom by sme vynásobili.

odpoveď:

Príklad 2

V bonboniére sú všetky cukríky zabalené v rovnakom obale. Avšak zo sladkostí – s orieškami, koňakom, čerešňami, karamelom a nugátom.

Aká je pravdepodobnosť, že si vezmete jeden cukrík a dostanete cukrík s orechmi. Uveďte svoju odpoveď v percentách.

rozhodnutie:

Koľko je možných výsledkov? .

To znamená, že keď si vezmete jeden cukrík, bude to jeden z tých v krabici.

A koľko priaznivých výsledkov?

Pretože krabička obsahuje samé čokoládky s orieškami.

odpoveď:

Príklad 3

V krabici s loptičkami. z ktorých sú biele a čierne.

1. Aká je pravdepodobnosť vytiahnutia bielej gule?
2. Do krabice sme pridali viac čiernych guličiek. Aká je pravdepodobnosť, že teraz vytiahnete bielu guľu?

rozhodnutie:

a) V krabici sú iba loptičky. z ktorých sú biele.

Pravdepodobnosť je:

b) Teraz sú v krabici loptičky. A rovnako veľa bielych zostalo.

odpoveď:

Úplná pravdepodobnosť

Pravdepodobnosť všetkých možných udalostí je ().

Napríklad v krabici červených a zelených guľôčok. Aká je pravdepodobnosť nakreslenia červenej gule? Zelená guľa? Červená alebo zelená guľa?

Pravdepodobnosť nakreslenia červenej gule

Zelená guľa:

Červená alebo zelená guľa:

Ako vidíte, súčet všetkých možných udalostí sa rovná (). Pochopenie tohto bodu vám pomôže vyriešiť mnohé problémy.

Príklad 4

V krabičke sú fixky: zelená, červená, modrá, žltá, čierna.

Aká je pravdepodobnosť, že nakreslíte NIE červenú značku?

rozhodnutie:

Spočítajme číslo priaznivé výsledky.

NIE červená značka, to znamená zelená, modrá, žltá alebo čierna.

Pravdepodobnosť všetkých udalostí. A pravdepodobnosť udalostí, ktoré považujeme za nepriaznivé (keď vytiahneme červenú fixku) je .

Pravdepodobnosť nakreslenia NIE červenej fixky je teda -.

odpoveď:

Pravdepodobnosť, že udalosť nenastane, je mínus pravdepodobnosť, že udalosť nastane.

Pravidlo pre násobenie pravdepodobnosti nezávislých udalostí

Už viete, čo sú nezávislé udalosti.

A ak potrebujete nájsť pravdepodobnosť, že dôjde k dvom (alebo viacerým) nezávislým udalostiam za sebou?

Povedzme, že chceme vedieť, aká je pravdepodobnosť, že ak si raz hodíme mincou, dvakrát uvidíme orla?

Už sme zvážili - .

Čo ak si hodíme mincou? Aká je pravdepodobnosť, že uvidíte orla dvakrát za sebou?

Celkom možné možnosti:

1. Orol-orol-orol
2. Orlie-hlava-chvosty
3. Hlava-chvost-orol
4. Hlava-chvosty-chvosty
5. chvosty-orol-orol
6. Chvosty-hlavy-chvosty
7. Chvosty-chvosty-hlavy
8. Chvosty-chvosty-chvosty

Neviem ako vy, ale ja som si tento zoznam raz pomýlil. Wow! A jediná možnosť (prvá) nám vyhovuje.

Pre 5 hodov si môžete sami vytvoriť zoznam možných výsledkov. Ale matematici nie sú takí pracovití ako ty.

Preto si najprv všimli a potom dokázali, že pravdepodobnosť určitej postupnosti nezávislých udalostí klesá zakaždým o pravdepodobnosť jednej udalosti.

Inými slovami,

Zoberme si príklad tej istej nešťastnej mince.

Pravdepodobnosť, že sa objavíte v procese? . Teraz si hodíme mincou.

Aká je pravdepodobnosť, že dostanete chvosty v rade?

Toto pravidlo nefunguje len vtedy, ak sme požiadaní, aby sme zistili pravdepodobnosť, že sa rovnaká udalosť vyskytne niekoľkokrát za sebou.

Ak by sme chceli nájsť sekvenciu TAILS-EAGLE-TAILS na po sebe idúcich preklopeniach, urobili by sme to isté.

Pravdepodobnosť získania chvostov - , hláv - .

Pravdepodobnosť získania sekvencie TAILS-EAGLE-TAILS-TAILS:

Môžete to skontrolovať sami vytvorením tabuľky.

Pravidlo pre sčítanie pravdepodobností nezlučiteľných udalostí.

Tak prestaň! Nová definícia.

Poďme na to. Vezmime našu opotrebovanú mincu a raz ju prehodíme.
Možné možnosti:

1. Orol-orol-orol
2. Orlie-hlava-chvosty
3. Hlava-chvost-orol
4. Hlava-chvosty-chvosty
5. chvosty-orol-orol
6. Chvosty-hlavy-chvosty
7. Chvosty-chvosty-hlavy
8. Chvosty-chvosty-chvosty

Takže tu sú nezlučiteľné udalosti, toto je určitý, daný sled udalostí. sú nezlučiteľné udalosti.

Ak chceme určiť, aká je pravdepodobnosť dvoch (alebo viacerých) nezlučiteľných udalostí, tak sčítame pravdepodobnosti týchto udalostí.

Musíte pochopiť, že strata orla alebo chvostov sú dve nezávislé udalosti.

Ak chceme určiť, aká je pravdepodobnosť vypadnutia postupnosti (alebo akejkoľvek inej), tak použijeme pravidlo násobenia pravdepodobností.
Aká je pravdepodobnosť, že dostanete hlavy pri prvom hode a chvost pri druhom a treťom?

Ale ak chceme vedieť, aká je pravdepodobnosť získania jednej z viacerých sekvencií, napríklad keď hlavy prídu presne raz, t.j. možnosti a potom musíme pridať pravdepodobnosti týchto postupností.

Celkové možnosti nám vyhovujú.

To isté môžeme získať sčítaním pravdepodobnosti výskytu každej postupnosti:

Pravdepodobnosti teda pridávame, keď chceme určiť pravdepodobnosť nejakých, nezlučiteľných, sledov udalostí.

Existuje skvelé pravidlo, ktoré vám pomôže nezmiasť sa, kedy násobiť a kedy sčítať:

Vráťme sa k príkladu, keď sme si raz hádzali mincou a chceme vedieť, aká je pravdepodobnosť, že raz uvidíme hlavy.
Čo sa stane?

Malo by klesnúť:
(hlavy A chvosty A chvosty) ALEBO (chvosty A hlavy A chvosty) ALEBO (chvosty A chvosty A hlavy).
A tak to dopadá:

Pozrime sa na pár príkladov.

Príklad 5

V krabičke sú ceruzky. červená, zelená, oranžová a žltá a čierna. Aká je pravdepodobnosť nakreslenia červenej alebo zelenej ceruzky?

rozhodnutie:

Čo sa stane? Musíme vytiahnuť (červená ALEBO zelená).

Teraz je to jasné, spočítame pravdepodobnosti týchto udalostí:

odpoveď:

Príklad 6

Kocka sa hodí dvakrát, aká je pravdepodobnosť, že padne celkovo 8?

rozhodnutie.

Ako môžeme získať body?

(a) alebo (a) alebo (a) alebo (a) alebo (a).

Pravdepodobnosť vypadnutia z jednej (akejkoľvek) tváre je .

Vypočítame pravdepodobnosť:

odpoveď:

Posilovať.

Myslím, že teraz je ti už jasné, kedy treba počítať pravdepodobnosti, kedy ich sčítať a kedy vynásobiť. Nieje to? Poďme si trochu zacvičiť.

Úlohy:

Zoberme si balíček kariet, v ktorom sú karty piky, srdce, 13 palíc a 13 tamburín. Od po Eso každej farby.

1. Aká je pravdepodobnosť vytiahnutia palíc za sebou (prvú vytiahnutú kartu vložíme späť do balíčka a zamiešame)?
2. Aká je pravdepodobnosť vytiahnutia čiernej karty (piky alebo palice)?
3. Aká je pravdepodobnosť nakreslenia obrázka (jack, dáma, kráľ alebo eso)?
4. Aká je pravdepodobnosť vytiahnutia dvoch obrázkov za sebou (odstránime prvú vytiahnutú kartu z balíčka)?
5. Aká je pravdepodobnosť, že ak vezmete dve karty, nazbierate kombináciu - (Jack, Queen alebo King) a Eso Poradie, v akom budú karty ťahané, nie je dôležité.

odpovede:

1. V balíčku kariet každej hodnoty to znamená:
2. Udalosti sú závislé, pretože po prvej vytiahnutej karte sa počet kariet v balíčku znížil (rovnako ako počet „obrázkov“). Celkový počet jackov, dám, kráľov a es v balíčku na začiatku, čo znamená pravdepodobnosť vytiahnutia „obrázku“ s prvou kartou:

   Keďže z balíčka odstraňujeme prvú kartu, znamená to, že v balíčku už zostala karta, na ktorej sú obrázky. Pravdepodobnosť nakreslenia obrázka s druhou kartou:

   Keďže nás zaujíma situácia, keď dostaneme z balíčka: „obrázok“ A „obrázok“, potom musíme vynásobiť pravdepodobnosti:

   odpoveď:

3. Po vytiahnutí prvej karty sa počet kariet v balíčku zníži. Máme teda dve možnosti:
   1) S prvou kartou vytiahneme eso, druhú - jacka, dámu alebo kráľa
   2) S prvou kartou vyberieme jacka, dámu alebo kráľa, druhú - eso. (eso a (jack alebo dáma alebo kráľ)) alebo ((jack alebo dáma alebo kráľ) a eso). Nezabudnite na zníženie počtu kariet v balíčku!

Ak ste boli schopní vyriešiť všetky problémy sami, potom ste skvelý človek! Teraz úlohy z teórie pravdepodobnosti na skúške budete cvakať ako orechy!

TEÓRIA PRAVDEPODOBNOSTI. STREDNÁ ÚROVEŇ

Zvážte príklad. Povedzme, že hodíme kockou. Čo je to za kosť, vieš? Toto je názov kocky s číslami na stenách. Koľko tvárí, toľko čísel: od do koľko? Predtým.

Takže hodíme kockou a chceme, aby prišla s alebo. A vypadneme.

V teórii pravdepodobnosti hovoria, čo sa stalo priaznivá udalosť(nezamieňať s dobrým).

Ak by to vypadlo, akcia by bola tiež priaznivá. Celkovo môžu nastať iba dve priaznivé udalosti.

Koľko zlých? Keďže všetky možné udalosti, nepriaznivé z nich sú udalosti (to je, ak vypadne alebo).

Definícia:

Pravdepodobnosť je pomer počtu priaznivých udalostí k počtu všetkých možných udalostí.. To znamená, že pravdepodobnosť ukazuje, aký podiel všetkých možných udalostí je priaznivý.

Pravdepodobnosť označujú latinským písmenom (zrejme z anglického slova pravdepodobnosť - pravdepodobnosť).

Je zvykom merať pravdepodobnosť v percentách (pozri témy a). Na to je potrebné vynásobiť hodnotu pravdepodobnosti. V príklade s kockami pravdepodobnosť.

A v percentách: .

Príklady (rozhodnite sa sami):

1. Aká je pravdepodobnosť, že hod mincou dopadne na hlavu? A aká je pravdepodobnosť chvostov?
2. Aká je pravdepodobnosť, že pri hode kockou padne párne číslo? A s čím - zvláštne?
3. V zásuvke obyčajných, modrých a červených ceruziek. Náhodne nakreslíme jednu ceruzku. Aká je pravdepodobnosť vytiahnutia jednoduchého?

Riešenia:

1. Koľko možností je? Hlavy a chvosty - iba dve. A koľko z nich je priaznivých? Len jeden je orol. Takže pravdepodobnosť

   To isté s chvostmi: .

2. Celkový počet možností: (koľko strán má kocka, toľko rôznych možností). Priaznivé: (všetky sú to párne čísla :).
   Pravdepodobnosť. S odd, samozrejme, to isté.
3. Celkom: . Priaznivý: . Pravdepodobnosť: .

Úplná pravdepodobnosť

Všetky ceruzky v zásuvke sú zelené. Aká je pravdepodobnosť nakreslenia červenej ceruzky? Neexistujú žiadne šance: pravdepodobnosť (napokon, priaznivé udalosti -).

Takáto udalosť sa nazýva nemožná.

Aká je pravdepodobnosť nakreslenia zelenej ceruzky? Priaznivých udalostí je presne toľko, koľko je celkových udalostí (všetky udalosti sú priaznivé). Pravdepodobnosť je teda alebo.

Takáto udalosť sa nazýva istá.

Ak sú v krabici zelené a červené ceruzky, aká je pravdepodobnosť, že nakreslíte zelenú alebo červenú? Ešte raz. Všimnite si nasledujúcu vec: pravdepodobnosť nakreslenia zelenej je rovnaká a červená je .

Celkovo sú tieto pravdepodobnosti úplne rovnaké. t.j. súčet pravdepodobností všetkých možných udalostí sa rovná alebo.

Príklad:

V škatuľke ceruziek sú medzi nimi modré, červené, zelené, jednoduché, žlté a ostatné sú oranžové. Aká je pravdepodobnosť, že nenakreslíte zelenú?

rozhodnutie:

Pamätajte, že všetky pravdepodobnosti sa sčítavajú. A pravdepodobnosť nakreslenia zelenej je rovnaká. To znamená, že pravdepodobnosť nevykreslenia zelenej je rovnaká.

Zapamätajte si tento trik: Pravdepodobnosť, že udalosť nenastane, je mínus pravdepodobnosť, že udalosť nastane.

Nezávislé udalosti a pravidlo násobenia

Dvakrát hodíte mincou a chcete, aby sa v oboch prípadoch objavila hlava. Aká je pravdepodobnosť tohto?

Poďme prejsť všetkými možnými možnosťami a určiť, koľko ich je:

Eagle-Eagle, Tails-Eagle, Eagle-Tails, Tails-Tails. Čo ešte?

Celý variant. Z nich nám vyhovuje len jeden: Eagle-Eagle. Pravdepodobnosť je teda rovnaká.

Dobre. Teraz si hodíme mincou. Spočítajte si. Stalo? (odpoveď).

Možno ste si všimli, že s pridaním každého ďalšieho hodu sa pravdepodobnosť znižuje o faktor. Všeobecné pravidlo je tzv pravidlo násobenia:

Pravdepodobnosť nezávislých udalostí sa mení.

Čo sú nezávislé udalosti? Všetko je logické: toto sú tie, ktoré na sebe nezávisia. Keď napríklad hodíme mincou niekoľkokrát, zakaždým sa uskutoční nový hod, ktorého výsledok nezávisí od všetkých predchádzajúcich hodov. S rovnakým úspechom môžeme hodiť dve rôzne mince súčasne.

Ďalšie príklady:

1. Kocka sa hodí dvakrát. Aká je pravdepodobnosť, že sa to objaví v oboch prípadoch?
2. Mincou sa hádže krát. Aká je pravdepodobnosť, že dostaneš najprv hlavy a potom dvakrát chvosty?
3. Hráč hodí dvoma kockami. Aká je pravdepodobnosť, že súčet čísel na nich bude rovnaký?

odpovede:

1. Udalosti sú nezávislé, čo znamená, že pravidlo násobenia funguje: .
2. Pravdepodobnosť orla je rovnaká. Pravdepodobnosť chvostov tiež. Vynásobíme:
3. 12 možno získať len vtedy, ak vypadnú dve -ki: .

Nekompatibilné udalosti a pravidlo sčítania

Nekompatibilné udalosti sú udalosti, ktoré sa s plnou pravdepodobnosťou navzájom dopĺňajú. Ako už názov napovedá, nemôžu sa stať súčasne. Napríklad, ak si hodíme mincou, môžu vypadnúť buď hlavy alebo chvosty.

Príklad.

V škatuľke ceruziek sú medzi nimi modré, červené, zelené, jednoduché, žlté a ostatné sú oranžové. Aká je pravdepodobnosť nakreslenia zelenej alebo červenej?

Rozhodnutie .

Pravdepodobnosť nakreslenia zelenej ceruzky je rovnaká. Červená - .

Priaznivé udalosti všetkých: zelená + červená. Pravdepodobnosť nakreslenia zelenej alebo červenej je teda rovnaká.

Rovnaká pravdepodobnosť môže byť vyjadrená v nasledujúcom tvare: .

Toto je pravidlo pridávania: pravdepodobnosti nezlučiteľných udalostí sa sčítavajú.

Zmiešané úlohy

Príklad.

Minca sa hodí dvakrát. Aká je pravdepodobnosť, že výsledok hodov bude iný?

Rozhodnutie .

To znamená, že ak sa hlavy zdvihnú ako prvé, chvosty by mali byť druhé a naopak. Ukazuje sa, že tu existujú dva páry nezávislých udalostí a tieto páry sú navzájom nekompatibilné. Ako sa nenechať zmiasť, kde sa má množiť a kde pridávať.

Pre takéto situácie platí jednoduché pravidlo. Skúste popísať, čo by sa malo stať, spojením udalostí s odbormi „AND“ alebo „ALEBO“. Napríklad v tomto prípade:

Must roll (hlavy a chvosty) alebo (chvosty a hlavy).

Kde je spojenie „a“, dôjde k násobeniu a kde „alebo“ je sčítanie:

Vyskúšajte sami:

1. Aká je pravdepodobnosť, že pri dvoch hodoch mincou bude v oboch prípadoch tá istá strana?
2. Kocka sa hodí dvakrát. Aká je pravdepodobnosť, že súčet klesne o body?

Riešenia:

1. (Hlavy hore a hlavy hore) alebo (chvosty hore a chvosty hore): .
2. Aké sú možnosti? a potom:
   Valcované (a) alebo (a) alebo (a): .

Ďalší príklad:

Raz si hodíme mincou. Aká je pravdepodobnosť, že sa aspoň raz zdvihnú hlavy?

rozhodnutie:

Ach, ako sa mi nechce triediť možnosti ... Hlava-chvosty-chvosty, Orlie-hlavy-chvosty, ... Ale nemusíte! Hovorme o plnej pravdepodobnosti. Pamätáte si? Aká je pravdepodobnosť, že orol nikdy neklesne? Je to jednoduché: chvosty lietajú neustále, to znamená.

TEÓRIA PRAVDEPODOBNOSTI. STRUČNE O HLAVNOM

Pravdepodobnosť je pomer počtu priaznivých udalostí k počtu všetkých možných udalostí.

Nezávislé udalosti

Dve udalosti sú nezávislé, ak výskyt jednej nemení pravdepodobnosť výskytu druhej.

Úplná pravdepodobnosť

Pravdepodobnosť všetkých možných udalostí je ().

Pravdepodobnosť, že udalosť nenastane, je mínus pravdepodobnosť, že udalosť nastane.

Pravidlo pre násobenie pravdepodobnosti nezávislých udalostí

Pravdepodobnosť určitej postupnosti nezávislých udalostí sa rovná súčinu pravdepodobností každej z udalostí

Nekompatibilné udalosti

Nekompatibilné udalosti sú udalosti, ktoré sa v dôsledku experimentu nemôžu vyskytnúť súčasne. Množstvo nekompatibilných udalostí tvorí ucelenú skupinu udalostí.

Pravdepodobnosti nekompatibilných udalostí sa sčítavajú.

Po opísaní toho, čo by sa malo stať, pomocou zväzkov „AND“ alebo „ALEBO“ namiesto „AND“ vložíme znamienko násobenia a namiesto „ALEBO“ - sčítanie.

OSTATNÉ 2/3 ČLÁNKOV SÚ K DISPOZÍCII LEN PRE MLADŠÍCH ŠTUDENTOV!

Staňte sa študentom YouClever,

Pripravte sa na OGE alebo USE v matematike za cenu „šálky kávy za mesiac“,

A tiež získate neobmedzený prístup k učebnici „YouClever“, školiacemu programu „100gia“ (kniha riešení), neobmedzené skúšobné USE a OGE, 6000 úloh s analýzou riešení a ďalšie služby YouClever a 100gia.

Pri hode mincou sa dá povedať, že pristane heads up, príp pravdepodobnosť z toho je 1/2. To samozrejme neznamená, že ak je minca hodená 10-krát, nevyhnutne 5-krát pristane na hlave. Ak je minca „spravodlivá“ a ak je hodená mnohokrát, hlavy sa polovicu času priblížia veľmi blízko. Existujú teda dva druhy pravdepodobnosti: experimentálne a teoretické .

Experimentálna a teoretická pravdepodobnosť

Ak hodíme mincou veľakrát – povedzme 1 000 – a spočítame, koľkokrát padne hlavou, môžeme určiť pravdepodobnosť, že padne hlavou. Ak sa hlavy zdvihnú 503-krát, môžeme vypočítať pravdepodobnosť, že sa objavia:
503/1000 alebo 0,503.

Toto je experimentálne definícia pravdepodobnosti. Táto definícia pravdepodobnosti vychádza z pozorovania a štúdia údajov a je celkom bežná a veľmi užitočná. Tu sú napríklad niektoré pravdepodobnosti, ktoré boli určené experimentálne:

1. Šanca, že žena dostane rakovinu prsníka, je 1/11.

2. Ak sa bozkávate s prechladnutým, tak pravdepodobnosť, že prechladnete aj vy, je 0,07.

3. Osoba, ktorá bola práve prepustená z väzenia, má 80% šancu vrátiť sa späť do väzenia.

Ak vezmeme do úvahy hádzanie mincou a vezmeme do úvahy, že je rovnako pravdepodobné, že sa vrhne hore nohami, môžeme vypočítať pravdepodobnosť, že sa vrhnú hore nohami: 1/2. Toto je teoretická definícia pravdepodobnosti. Tu sú niektoré ďalšie pravdepodobnosti, ktoré boli teoreticky určené pomocou matematiky:

1. Ak je v miestnosti 30 ľudí, pravdepodobnosť, že dvaja z nich budú mať rovnaké narodeniny (okrem roku), je 0,706.

2. Počas výletu sa s niekým zoznámite a v priebehu rozhovoru zistíte, že máte spoločného známeho. Typická reakcia: "To nemôže byť!" V skutočnosti táto fráza nesedí, pretože pravdepodobnosť takejto udalosti je pomerne vysoká - niečo cez 22%.

Preto sa experimentálna pravdepodobnosť určuje pozorovaním a zberom údajov. Teoretické pravdepodobnosti sú určené matematickým uvažovaním. Príklady experimentálnych a teoretických pravdepodobností, ako sú uvedené vyššie, a najmä tie, ktoré neočakávame, nás vedú k dôležitosti štúdia pravdepodobnosti. Môžete sa opýtať: "Aká je skutočná pravdepodobnosť?" V skutočnosti žiadna neexistuje. Experimentálne je možné určiť pravdepodobnosti v určitých medziach. Môžu a nemusia sa zhodovať s pravdepodobnosťami, ktoré získame teoreticky. Existujú situácie, v ktorých je oveľa jednoduchšie definovať jeden typ pravdepodobnosti ako iný. Napríklad by stačilo nájsť pravdepodobnosť prechladnutia pomocou teoretickej pravdepodobnosti.

Výpočet experimentálnych pravdepodobností

Najprv zvážte experimentálnu definíciu pravdepodobnosti. Základný princíp, ktorý používame na výpočet takýchto pravdepodobností, je nasledujúci.

Princíp P (experimentálne)

Ak sa v experimente, v ktorom sa uskutoční n pozorovaní, situácia alebo udalosť E vyskytne m-krát v n pozorovaniach, potom sa hovorí, že experimentálna pravdepodobnosť udalosti je P (E) = m/n.

Príklad 1 Sociologický prieskum. Bola vykonaná experimentálna štúdia na zistenie počtu ľavákov, pravákov a ľudí, u ktorých sú obe ruky rovnako vyvinuté.Výsledky sú uvedené v grafe.

a) Určte pravdepodobnosť, že osoba je pravák.

b) Určte pravdepodobnosť, že osoba je ľavák.

c) Určte pravdepodobnosť, že osoba ovláda obe ruky rovnako.

d) Väčšina turnajov PBA má 120 hráčov. Na základe tohto experimentu, koľko hráčov môže byť ľavákov?

rozhodnutie

a) Počet ľudí, ktorí sú praváci je 82, počet ľavákov je 17 a počet tých, ktorí ovládajú obe ruky rovnako plynule, je 1. Celkový počet pozorovaní je 100. Pravdepodobnosť že človek je pravák je P
P = 82/100 alebo 0,82 alebo 82 %.

b) Pravdepodobnosť, že je človek ľavák, je P, kde
P = 17/100 alebo 0,17 alebo 17 %.

c) Pravdepodobnosť, že človek ovláda obe ruky rovnako plynulo je P, kde
P = 1/100 alebo 0,01 alebo 1 %.

d) 120 nadhadzovačov a od (b) môžeme očakávať, že 17 % bude ľavákov. Odtiaľ
17 % zo 120 = 0,17,120 = 20,4,
to znamená, že môžeme očakávať asi 20 hráčov, ktorí budú ľaváci.

Príklad 2 Kontrola kvality . Pre výrobcu je veľmi dôležité udržiavať kvalitu svojich produktov na vysokej úrovni. V skutočnosti spoločnosti najímajú inšpektorov kontroly kvality, aby zabezpečili tento proces. Cieľom je uvoľniť minimálny možný počet chybných produktov. Ale keďže spoločnosť vyrába tisíce položiek každý deň, nemôže si dovoliť kontrolovať každú položku, aby zistila, či je chybná alebo nie. Aby spoločnosť zistila, aké percento produktov je chybných, testuje oveľa menej produktov.
USDA vyžaduje, aby 80 % semien, ktoré pestovatelia predávajú, vyklíčilo. Na zistenie kvality semien, ktoré poľnohospodárska spoločnosť vyrába, sa vysadí 500 semien z vyprodukovaných semien. Potom sa vypočítalo, že vyklíčilo 417 semien.

a) Aká je pravdepodobnosť, že semienko vyklíči?

b) Spĺňajú semená vládne normy?

rozhodnutie a) Vieme, že z 500 zasadených semien 417 vyklíčilo. Pravdepodobnosť klíčenia semien P, a
P = 417/500 = 0,834 alebo 83,4 %.

b) Keďže percento vyklíčených semien na požiadanie prekročilo 80 %, semená spĺňajú štátne normy.

Príklad 3 TV hodnotenie. Podľa štatistík je v USA 105 500 000 televíznych domácností. Každý týždeň sa zbierajú a spracúvajú informácie o sledovanosti programov. Počas jedného týždňa si 7 815 000 domácností naladilo komediálny seriál CBS Everybody Loves Raymond a 8 302 000 domácností si naladilo hit Law & Order od NBC (Zdroj: Nielsen Media Research). Aká je pravdepodobnosť, že jeden domáci televízor je počas daného týždňa naladený na „Everybody Loves Raymond“? na „Law & Order“?

Riešenie Pravdepodobnosť, že televízor v jednej domácnosti je nastavený na „Každý miluje Raymonda“ je P a
P = 7 815 000/105 500 000 ≈ 0,074 ≈ 7,4 %.
Možnosť, že televízor pre domácnosť bol nastavený na „Zákon a poriadok“ je P a
P = 8 302 000/105 500 000 ≈ 0,079 ≈ 7,9 %.
Tieto percentá sa nazývajú hodnotenia.

teoretická pravdepodobnosť

Predpokladajme, že robíme experiment, napríklad hádžeme mincou alebo šípkou, ťaháme kartu z balíčka alebo testujeme kvalitu produktov na montážnej linke. Každý možný výsledok takéhoto experimentu sa nazýva Exodus . Množina všetkých možných výsledkov je tzv výsledný priestor . Udalosť je to súbor výsledkov, teda podmnožina priestoru výsledkov.

Príklad 4 Hádzanie šípok. Predpokladajme, že pri experimente „hádzanie šípok“ šípka zasiahne cieľ. Nájdite každú z nasledujúcich možností:

b) Priestor pre výsledky

rozhodnutie
a) Výsledky sú: trafiť čiernu (H), trafiť červenú (K) a biť bielu (B).

b) Existuje medzera pre výsledok (trafa čierna, červená, biela), ktorú možno jednoducho napísať ako (B, R, B).

Príklad 5 Hádzanie kockou. Kocka je kocka so šiestimi stranami, z ktorých každá má jednu až šesť bodiek.


Predpokladajme, že hádžeme kockou. Nájsť
a) Výsledky
b) Priestor pre výsledky

rozhodnutie
a) Výsledky: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) Priestor výsledkov (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Pravdepodobnosť, že udalosť E nastane, označíme ako P(E). Napríklad „minca dopadne na chvosty“ môže byť označená H. Potom P(H) je pravdepodobnosť, že minca dopadne na chvosty. Keď majú všetky výsledky experimentu rovnakú pravdepodobnosť výskytu, hovorí sa, že sú rovnako pravdepodobné. Ak chcete vidieť rozdiel medzi udalosťami, ktoré sú rovnako pravdepodobné, a udalosťami, ktoré nie sú rovnako pravdepodobné, zvážte cieľ uvedený nižšie.

Pre cieľ A sú udalosti zásahu čiernej, červenej a bielej rovnako pravdepodobné, keďže čierne, červené a biele sektory sú rovnaké. Avšak pre cieľ B nie sú zóny s týmito farbami rovnaké, to znamená, že ich zasiahnutie nie je rovnako pravdepodobné.

Princíp P (teoretický)

Ak udalosť E môže nastať v m cestách z n možných ekvipravdepodobných výsledkov z výsledného priestoru S, potom teoretická pravdepodobnosť udalosť, P(E) je
P(E) = m/n.

Príklad 6 Aká je pravdepodobnosť hodu 3 hodom kockou?

rozhodnutie Na kocke je 6 rovnako pravdepodobných výsledkov a je len jedna možnosť hodiť číslo 3. Potom bude pravdepodobnosť P P(3) = 1/6.

Príklad 7 Aká je pravdepodobnosť hodu párnym číslom na kocke?

rozhodnutie Udalosťou je hádzanie párneho čísla. To sa môže stať 3 spôsobmi (ak hodíte 2, 4 alebo 6). Počet ekvipravdepodobných výsledkov je 6. Potom pravdepodobnosť P(párne) = 3/6 alebo 1/2.

Použijeme niekoľko príkladov súvisiacich so štandardným balíčkom 52 kariet. Takýto balíček pozostáva z kariet znázornených na obrázku nižšie.

Príklad 8 Aká je pravdepodobnosť vytiahnutia esa z dobre zamiešaného balíčka kariet?

rozhodnutie Existuje 52 výsledkov (počet kariet v balíčku), sú rovnako pravdepodobné (ak je balíček dobre premiešaný) a existujú 4 spôsoby ťahania esa, takže podľa princípu P je pravdepodobnosť
P(ťahanie esa) = 4/52 alebo 1/13.

Príklad 9 Predpokladajme, že si vyberieme bez toho, aby sme hľadali jednu guľôčku z vrecka 3 červených guľôčok a 4 zelených guľôčok. Aká je pravdepodobnosť výberu červenej gule?

rozhodnutie Existuje 7 rovnako pravdepodobných výsledkov na získanie akejkoľvek loptičky, a keďže počet spôsobov, ako vytiahnuť červenú guľu, je 3, dostaneme
P(výber červenej gule) = 3/7.

Nasledujúce tvrdenia sú výsledkom princípu P.

Pravdepodobnostné vlastnosti

a) Ak udalosť E nemôže nastať, potom P(E) = 0.
b) Ak udalosť E nevyhnutne nastane, potom P(E) = 1.
c) Pravdepodobnosť, že nastane udalosť E, je číslo medzi 0 a 1: 0 ≤ P(E) ≤ 1.

Napríklad pri hode mincou je pravdepodobnosť, že minca dopadne na jej okraj, nulová. Pravdepodobnosť, že minca je hlava alebo chvost, má pravdepodobnosť 1.

Príklad 10 Predpokladajme, že z balíčka s 52 kartami sú vytiahnuté 2 karty. Aká je pravdepodobnosť, že obaja sú piky?

rozhodnutie Počet spôsobov n ťahania 2 kariet z dobre zamiešaného 52-kartového balíčka je 52 C 2 . Keďže 13 z 52 kariet sú piky, počet m spôsobov ťahania 2 pikových kariet je 13 C 2 . potom
P(natiahnutie 2 vrcholov) \u003d m / n \u003d 13 C 2 / 52 C 2 \u003d 78/1326 \u003d 1/17.

Príklad 11 Predpokladajme, že zo skupiny 6 mužov a 4 žien sú náhodne vybraní 3 ľudia. Aká je pravdepodobnosť, že sa vyberie 1 muž a 2 ženy?

rozhodnutie Počet spôsobov výberu troch osôb zo skupiny 10 osôb 10 C 3 . Jeden muž môže byť vybraný 6 spôsobmi C 1 a 2 ženy môžu byť vybrané 4 spôsobmi C 2. Podľa základného princípu počítania je počet spôsobov výberu 1. muža a 2 žien 6 C 1 . 4C2. Potom je pravdepodobnosť, že bude vybraný 1 muž a 2 ženy
P = 6 C1. 4 C 2 / 10 C 3 \u003d 3/10.

Príklad 12 Hádzanie kockou. Aká je pravdepodobnosť, že na dvoch kockách hodíte celkovo 8?

rozhodnutie Na každej kocke je 6 možných výsledkov. Výsledky sa zdvojnásobia, to znamená, že existuje 6,6 alebo 36 možných spôsobov, ako môžu padnúť čísla na dvoch kockách. (Je lepšie, ak sú kocky odlišné, povedzme, že jedna je červená a druhá modrá - pomôže to vizualizovať výsledok.)

Dvojice čísel, ktorých súčet je 8, sú znázornené na obrázku nižšie. Existuje 5 možných spôsobov, ako získať súčet rovný 8, teda pravdepodobnosť je 5/36.

ÚVOD

Mnohé veci sú pre nás nepochopiteľné, nie preto, že by naše predstavy boli slabé;
ale pretože tieto veci nevstupujú do okruhu našich pojmov.
Kozma Prutkov

Hlavným cieľom štúdia matematiky na stredných odborných vzdelávacích inštitúciách je poskytnúť študentom súbor matematických vedomostí a zručností potrebných na štúdium iných študijných odborov, ktoré v tej či onej miere využívajú matematiku, pre schopnosť vykonávať praktické výpočty, pre formovanie a rozvoj. logického myslenia.

V tomto príspevku sú všetky základné pojmy sekcie matematiky „Základy teórie pravdepodobnosti a matematickej štatistiky“, ktoré poskytuje program a Štátne vzdelávacie štandardy stredného odborného vzdelávania (Ministerstvo školstva Ruskej federácie. M., 2002). ), sú dôsledne zavedené, sú formulované hlavné vety, z ktorých väčšina nie je dokázaná. Uvažuje sa o hlavných úlohách a metódach ich riešenia a technológiách aplikácie týchto metód pri riešení praktických problémov. Prezentáciu dopĺňajú podrobné komentáre a množstvo príkladov.

Metodické pokyny je možné využiť na prvotné oboznámenie sa s preberanou látkou, pri zapisovaní poznámok z prednášok, na prípravu na praktické cvičenia, na upevnenie nadobudnutých vedomostí, zručností a schopností. Okrem toho bude príručka užitočná pre študentov vysokých škôl ako referenčný nástroj, ktorý vám umožní rýchlo obnoviť v pamäti to, čo bolo predtým študované.

V závere práce sú uvedené príklady a úlohy, ktoré môžu žiaci vykonávať v režime sebakontroly.

Metodické pokyny sú určené pre študentov korešpondenčnej a dennej formy vzdelávania.

ZÁKLADNÉ POJMY

Teória pravdepodobnosti študuje objektívne zákonitosti hromadných náhodných udalostí. Ide o teoretický základ pre matematickú štatistiku, zaoberajúci sa vývojom metód zberu, opisu a spracovania výsledkov pozorovaní. Prostredníctvom pozorovaní (testov, experimentov), ​​t.j. skúsenosti v širokom zmysle slova, dochádza k poznaniu javov reálneho sveta.

Pri našej praktickej činnosti sa často stretávame s javmi, ktorých výsledok sa nedá predvídať, výsledok závisí od náhody.

Náhodný jav možno charakterizovať pomerom počtu jeho výskytov k počtu pokusov, pričom v každom z nich by za rovnakých podmienok všetkých pokusov mohol nastať alebo nenastať.

Teória pravdepodobnosti je odvetvie matematiky, v ktorom sa skúmajú náhodné javy (udalosti) a odhaľujú sa zákonitosti pri ich hromadnom opakovaní.

Matematická štatistika je oblasť matematiky, ktorej predmetom je štúdium metód zberu, systematizácie, spracovania a používania štatistických údajov na získanie vedecky podložených záverov a rozhodovania.

Štatistické údaje sa zároveň chápu ako súbor čísel, ktoré predstavujú kvantitatívne charakteristiky znakov študovaných objektov, ktoré nás zaujímajú. Štatistické údaje sa získavajú ako výsledok špeciálne navrhnutých experimentov a pozorovaní.

Štatistické údaje vo svojej podstate závisia od mnohých náhodných faktorov, preto matematická štatistika úzko súvisí s teóriou pravdepodobnosti, ktorá je jej teoretickým základom.

I. PRAVDEPODOBNOSŤ. TEÓMY SČÍTANIA A NÁSOBENIA PRAVDEPODOBNOSTI

1.1. Základné pojmy kombinatoriky

V časti matematiky zvanej kombinatorika sa riešia niektoré problémy súvisiace s uvažovaním množín a zostavovaním rôznych kombinácií prvkov týchto množín. Ak napríklad vezmeme 10 rôznych čísel 0, 1, 2, 3,:, 9 a vytvoríme z nich kombinácie, dostaneme rôzne čísla, napríklad 143, 431, 5671, 1207, 43 atď.

Vidíme, že niektoré z týchto kombinácií sa líšia iba v poradí číslic (napríklad 143 a 431), iné v číslach, ktoré sú v nich zahrnuté (napríklad 5671 a 1207) a iné sa líšia aj počtom číslic ( napríklad 143 a 43).

Takto získané kombinácie spĺňajú rôzne podmienky.

V závislosti od pravidiel zostavovania možno rozlíšiť tri typy kombinácií: permutácie, umiestnenia, kombinácie.

Najprv sa zoznámime s konceptom faktoriál.

Volá sa súčin všetkých prirodzených čísel od 1 do n vrátane n-faktoriálne a písať.

Vypočítajte: a) ; b) ; v).

rozhodnutie. a) .

b) ako aj , potom ho môžete vyňať zo zátvoriek

Potom dostaneme

v) .

Permutácie.

Kombinácia n prvkov, ktoré sa navzájom líšia iba v poradí prvkov, sa nazýva permutácia.

Permutácie sú označené symbolom P n , kde n je počet prvkov v každej permutácii. ( R- prvé písmeno francúzskeho slova permutácia- permutácia).

Počet permutácií možno vypočítať pomocou vzorca

alebo s faktoriálom:

Pripomeňme si to 0!=1 a 1!=1.

Príklad 2. Koľkými spôsobmi možno umiestniť šesť rôznych kníh na jednu policu?

rozhodnutie. Požadovaný počet spôsobov sa rovná počtu permutácií 6 prvkov, t.j.

Ubytovanie.

Umiestnenia z m prvky v n v každom sa nazývajú také zlúčeniny, ktoré sa navzájom líšia buď samotnými prvkami (aspoň jedným), alebo poradím od miesta.

Miesta sú označené symbolom , kde m je počet všetkých dostupných prvkov, n je počet prvkov v každej kombinácii. ( ALE- prvé písmeno francúzskeho slova usporiadanie, čo znamená „umiestnenie, uvedenie do poriadku“).

Zároveň sa predpokladá, že nm.

Počet umiestnení možno vypočítať pomocou vzorca

,

tie. počet všetkých možných umiestnení z m prvky podľa n sa rovná produktu n po sebe idúce celé čísla, z ktorých väčšie je m.

Tento vzorec napíšeme vo faktoriálnom tvare:

Príklad 3. Koľko možností na distribúciu troch poukážok do sanatória rôznych profilov možno urobiť pre piatich žiadateľov?

rozhodnutie. Požadovaný počet možností sa rovná počtu umiestnení 5 prvkov po 3 prvkoch, t.j.

.

Kombinácie.

Kombinácie sú všetky možné kombinácie m prvky podľa n, ktoré sa od seba líšia aspoň jedným prvkom (tu m a n- prirodzené čísla a nm).

Počet kombinácií od m prvky podľa n sú označené ( S- prvé písmeno francúzskeho slova kombinácia- kombinácia).

Vo všeobecnosti počet m prvky podľa n rovná počtu umiestnení z m prvky podľa n delené počtom permutácií z n prvky:

Pomocou faktoriálových vzorcov pre čísla umiestnení a permutácií dostaneme:

Príklad 4. V tíme 25 ľudí musíte prideliť štyroch na prácu v určitej oblasti. Koľkými spôsobmi sa to dá urobiť?

rozhodnutie. Keďže na poradí vybraných štyroch ľudí nezáleží, dá sa to urobiť rôznymi spôsobmi.

Nájdeme podľa prvého vzorca

.

Okrem toho sa pri riešení problémov používajú nasledujúce vzorce, ktoré vyjadrujú hlavné vlastnosti kombinácií:

(podľa definície a predpokladajú sa);

.

1.2. Riešenie kombinatorických úloh

Úloha 1. Na fakulte sa študuje 16 predmetov. V pondelok si treba dať do rozvrhu 3 predmety. Koľkými spôsobmi sa to dá urobiť?

rozhodnutie. Existuje toľko spôsobov, ako naplánovať tri položky zo 16, ako je toľko umiestnení so 16 prvkami, každý po 3.

Úloha 2. Z 15 objektov je potrebné vybrať 10 objektov. Koľkými spôsobmi sa to dá urobiť?

Úloha 3. Súťaže sa zúčastnili štyri družstvá. Koľko možností na rozdelenie miest medzi nimi je možných?

.

Úloha 4. Koľkými spôsobmi môže vzniknúť hliadka troch vojakov a jedného dôstojníka, ak je 80 vojakov a 3 dôstojníci?

rozhodnutie. Je možné vybrať vojaka na hliadke

spôsoby a spôsoby dôstojníkov. Keďže každý dôstojník môže ísť s každým tímom vojakov, existujú len spôsoby.

Úloha 5. Zistite, či je známe, že .

Od , dostaneme

,

,

Z definície kombinácie vyplýva, že . To. .

1.3. Koncept náhodnej udalosti. Typy udalostí. Pravdepodobnosť udalosti

Vyvolá sa akákoľvek akcia, jav, pozorovanie s niekoľkými rôznymi výsledkami, realizované za daného súboru podmienok test.

Výsledkom tejto akcie alebo pozorovania je tzv udalosť .

Ak sa udalosť za daných podmienok môže alebo nemôže vyskytnúť, potom sa nazýva náhodný . V prípade, že k nejakej udalosti určite dôjde, je tzv spoľahlivý a v prípade, že sa to určite nemôže stať, - nemožné.

Udalosti sú tzv nezlučiteľné ak sa zakaždým môže objaviť len jeden z nich.

Udalosti sú tzv kĺb ak za daných podmienok výskyt jednej z týchto udalostí nevylučuje výskyt druhej v tom istom teste.

Udalosti sú tzv opak , ak sú za testovacích podmienok ako jeho jediné výsledky nezlučiteľné.

Udalosti sa zvyčajne označujú veľkými písmenami latinskej abecedy: A B C D, : .

Kompletný systém udalostí A 1, A 2, A 3, : , A n je súbor nezlučiteľných udalostí, z ktorých výskyt aspoň jedného je povinný pre daný test.

Ak úplný systém pozostáva z dvoch nekompatibilných udalostí, potom sa takéto udalosti nazývajú opačné a označujú sa A a .

Príklad. V krabici je 30 očíslovaných loptičiek. Určte, ktoré z nasledujúcich udalostí sú nemožné, isté, opačné:

dostal očíslovanú loptu (ALE);

nakreslite loptičku s párnym číslom (AT);

vytiahol loptičku s nepárnym číslom (S);

dostal loptu bez čísla (D).

Ktorí z nich tvoria ucelenú skupinu?

rozhodnutie . ALE- určitá udalosť; D- nemožná udalosť;

V a S- opačné deje.

Kompletná skupina udalostí je ALE a D, V a S.

Pravdepodobnosť udalosti sa považuje za mieru objektívnej možnosti výskytu náhodnej udalosti.

1.4. Klasická definícia pravdepodobnosti

Číslo, ktoré je vyjadrením miery objektívnej možnosti vzniku udalosti, sa nazýva pravdepodobnosť túto udalosť a je označená symbolom P(A).

Definícia. Pravdepodobnosť udalosti ALE je pomer počtu výsledkov m, ktoré podporujú výskyt danej udalosti ALE, na číslo n všetky výsledky (nekompatibilné, jedinečné a rovnako možné), t.j. .

Preto, aby sme našli pravdepodobnosť udalosti, je potrebné po zvážení rôznych výsledkov testu vypočítať všetky možné nekompatibilné výsledky. n, vyberte počet výsledkov, ktoré nás zaujímajú a vypočítajte pomer m do n.

Z tejto definície vyplývajú nasledujúce vlastnosti:

Pravdepodobnosť akéhokoľvek pokusu je nezáporné číslo nepresahujúce jednu.

Skutočne, počet m požadovaných udalostí leží v . Rozdelenie oboch častí na n, dostaneme

2. Pravdepodobnosť určitej udalosti sa rovná jednej, pretože .

3. Pravdepodobnosť nemožnej udalosti je nulová, pretože .

Úloha 1. V lotérii je 200 výhercov z 1000 tiketov. Jeden tiket sa žrebuje náhodne. Aká je pravdepodobnosť, že tento tiket vyhrá?

rozhodnutie. Celkový počet rôznych výsledkov je n= 1000. Počet výsledkov v prospech výhry je m=200. Podľa vzorca dostaneme

.

Úloha 2. V dávke 18 dielov sú 4 chybné. Náhodne sa vyberie 5 kusov. Nájdite pravdepodobnosť, že dve z týchto 5 častí sú chybné.

rozhodnutie. Počet všetkých rovnako možných nezávislých výsledkov n sa rovná počtu kombinácií od 18 do 5 t.j.

Vypočítajme číslo m, ktoré uprednostňuje udalosť A. Medzi 5 náhodne vybranými časťami by mali byť 3 kvalitné a 2 chybné. Počet spôsobov, ako vybrať dva chybné diely zo 4 dostupných chybných dielov, sa rovná počtu kombinácií od 4 do 2:

Počet spôsobov výberu troch kvalitných dielov zo 14 dostupných kvalitných dielov je rovnaký

.

Akákoľvek skupina kvalitných dielov môže byť kombinovaná s akoukoľvek skupinou chybných dielov, teda celkový počet kombinácií m je

Požadovaná pravdepodobnosť udalosti A sa rovná pomeru počtu výsledkov m, ktoré podporujú túto udalosť, k počtu n všetkých rovnako možných nezávislých výsledkov:

.

Súčet konečného počtu udalostí je udalosť, ktorá spočíva v výskyte aspoň jednej z nich.

Súčet dvoch udalostí je označený symbolom A + B a súčet n symbol udalostí A 1 +A 2 + : +A n .

Veta o sčítaní pravdepodobností.

Pravdepodobnosť súčtu dvoch nezlučiteľných udalostí sa rovná súčtu pravdepodobností týchto udalostí.

Dôsledok 1. Ak udalosti А 1 , А 2 , : , А n tvoria úplný systém, potom sa súčet pravdepodobností týchto udalostí rovná jednej.

Dôsledok 2. Súčet pravdepodobností opačných udalostí a je rovný jednej.

.

Problém 1. Existuje 100 tiketov lotérie. Je známe, že 5 lístkov získa výhru 20 000 rubľov, 10 - 15 000 rubľov, 15 - 10 000 rubľov, 25 - 2 000 rubľov. a zvyšok nič. Nájdite pravdepodobnosť, že zakúpený lístok vyhrá najmenej 10 000 rubľov.

rozhodnutie. Nech A, B a C sú udalosti, ktoré spočívajú v tom, že na zakúpený lístok pripadá cena rovnajúca sa 20 000, 15 000 a 10 000 rubľov. keďže udalosti A, B a C sú nezlučiteľné, potom

Úloha 2. Oddelenie korešpondencie technickej školy dostáva od miest testy z matematiky A, B a S. Pravdepodobnosť prijatia kontrolných prác od mesta ALE rovná 0,6, od mesta AT- 0,1. Nájdite pravdepodobnosť, že ďalšie kontrolné práce budú pochádzať z mesta S.

Najjednoduchším príkladom súvislosti medzi dvoma udalosťami je kauzálny vzťah, keď výskyt jednej z udalostí nevyhnutne vedie k vzniku druhej, alebo naopak, keď výskyt jednej vylučuje možnosť vzniku druhej.

Na charakterizáciu závislosti niektorých udalostí od iných sa uvádza pojem podmienená pravdepodobnosť.

Definícia. Nechať byť ALE a AT- dve náhodné udalosti toho istého testu. Potom podmienená pravdepodobnosť udalosti ALE alebo pravdepodobnosť udalosti A za predpokladu, že nastala udalosť B, sa nazýva číslo.

Označením podmienenej pravdepodobnosti dostaneme vzorec

, .

Úloha 1. Vypočítajte pravdepodobnosť, že sa v rodine s jedným chlapcom narodí druhý chlapec.

rozhodnutie. Nechajte udalosť ALE spočíva v tom, že v rodine sú dvaja chlapci, a event AT- ten jeden chlapec.

Zvážte všetky možné výsledky: chlapec a chlapec; chlapec a dievča; dievča a chlapec; dievča a dievča.

Potom , a podľa vzorca, ktorý nájdeme

.

Udalosť ALE volal nezávislý z udalosti AT ak výskyt udalosti AT nemá žiadny vplyv na pravdepodobnosť výskytu udalosti ALE.

Veta o násobení pravdepodobnosti

Pravdepodobnosť súčasného výskytu dvoch nezávislých udalostí sa rovná súčinu pravdepodobností týchto udalostí:

Pravdepodobnosť výskytu niekoľkých udalostí, ktoré sú v súhrne nezávislé, sa vypočíta podľa vzorca

Úloha 2. Prvá urna obsahuje 6 čiernych a 4 biele gule, druhá urna obsahuje 5 čiernych a 7 bielych guľôčok. Z každej urny sa vyžrebuje jedna loptička. Aká je pravdepodobnosť, že obe loptičky sú biele.

A a AT je tu udalosť AB. teda

b) Ak funguje prvý prvok, potom nastane udalosť (opak udalosti ALE- zlyhanie tohto prvku); ak funguje druhý prvok - event AT. Nájdite pravdepodobnosti udalostí a:

Potom udalosť spočívajúca v tom, že oba prvky budú fungovať, je, a teda