Naďalej zvažujeme úlohy zahrnuté v skúške z matematiky. Už sme študovali problémy, kde je daná podmienka a je potrebné nájsť vzdialenosť medzi dvoma danými bodmi alebo uhol.
Pyramída je mnohosten, ktorého základňou je mnohouholník, ostatné steny sú trojuholníky a majú spoločný vrchol.
Pravidelná pyramída je pyramída, na základni ktorej leží pravidelný mnohouholník a jej vrchol sa premieta do stredu základne.
Pravidelný štvorhranný ihlan - podstavou je štvorec Vrchol ihlana sa premieta do priesečníka uhlopriečok podstavy (štvorca).
ML - apotém
∠MLO - dihedrálny uhol na základni pyramídy
∠MCO - uhol medzi bočnou hranou a rovinou základne pyramídy
V tomto článku zvážime úlohy na riešenie správnej pyramídy. Je potrebné nájsť akýkoľvek prvok, bočnú plochu, objem, výšku. Samozrejme, musíte poznať Pytagorovu vetu, vzorec pre oblasť bočného povrchu pyramídy, vzorec na nájdenie objemu pyramídy.
V článku « » sú uvedené vzorce, ktoré sú potrebné na riešenie problémov v stereometrii. Takže úlohy sú:
SABCD bodka O- základný stredS vrchol, SO = 51, AC= 136. Nájdite bočnú hranuSC.
V tomto prípade je základom štvorec. To znamená, že uhlopriečky AC a BD sú rovnaké, pretínajú sa a pretínajú v priesečníku. Všimnite si, že v pravidelnej pyramíde výška znížená z jej vrcholu prechádza stredom základne pyramídy. Takže SO je výška a trojuholníkSOCpravouhlý. Potom podľa Pytagorovej vety:
Ako odkoreniť veľké číslo.
odpoveď: 85
Rozhodnite sa sami:
V pravidelnej štvorhrannej pyramíde SABCD bodka O- základný stred S vrchol, SO = 4, AC= 6. Nájdite bočnú hranu SC.
V pravidelnej štvorhrannej pyramíde SABCD bodka O- základný stred S vrchol, SC = 5, AC= 6. Nájdite dĺžku segmentu SO.
V pravidelnej štvorhrannej pyramíde SABCD bodka O- základný stred S vrchol, SO = 4, SC= 5. Nájdite dĺžku segmentu AC.
SABC R- stred rebra pred Kr, S- vrchná časť. To je známe AB= 7 a SR= 16. Nájdite plochu bočného povrchu.
Plocha bočného povrchu pravidelnej trojuholníkovej pyramídy sa rovná polovici súčinu obvodu základne a apotému (apotém je výška bočnej plochy pravidelnej pyramídy nakreslenej z jej vrcholu):
Alebo môžete povedať toto: plocha bočného povrchu pyramídy sa rovná súčtu plôch troch bočných stien. Bočné steny v pravidelnej trojuholníkovej pyramíde sú trojuholníky rovnakej plochy. V tomto prípade:
odpoveď: 168
Rozhodnite sa sami:
V pravidelnej trojuholníkovej pyramíde SABC R- stred rebra pred Kr, S- vrchná časť. To je známe AB= 1 a SR= 2. Nájdite plochu bočného povrchu.
V pravidelnej trojuholníkovej pyramíde SABC R- stred rebra pred Kr, S- vrchná časť. To je známe AB= 1 a plocha bočného povrchu je 3. Nájdite dĺžku segmentu SR.
V pravidelnej trojuholníkovej pyramíde SABC L- stred rebra pred Kr, S- vrchná časť. To je známe SL= 2 a plocha bočného povrchu je 3. Nájdite dĺžku segmentu AB.
V pravidelnej trojuholníkovej pyramíde SABC M. Oblasť trojuholníka ABC je 25, objem pyramídy je 100. Nájdite dĺžku segmentu PANI.
Základňa pyramídy je rovnostranný trojuholník. Takže Mje stred základne aPANI- výška pravidelnej pyramídySABC. Objem pyramídy SABC rovná sa: kontrola riešenia
V pravidelnej trojuholníkovej pyramíde SABC základné mediány sa pretínajú v bode M. Oblasť trojuholníka ABC je 3, PANI= 1. Nájdite objem pyramídy.
V pravidelnej trojuholníkovej pyramíde SABC základné mediány sa pretínajú v bode M. Objem pyramídy je 1, PANI= 1. Nájdite obsah trojuholníka ABC.
Skončime s týmto. Ako vidíte, úlohy sa riešia v jednom alebo dvoch krokoch. V budúcnosti s vami zvážime ďalšie problémy z tejto časti, kde sú uvedené orgány revolúcie, nenechajte si to ujsť!
Prajem ti úspech!
S pozdravom Alexander Krutitskikh.
P.S: Bol by som vďačný, keby ste o stránke povedali na sociálnych sieťach.
Úvod
Keď sme začali študovať stereometrické obrazce, dotkli sme sa témy „Pyramída“. Táto téma sa nám páčila, pretože pyramída sa veľmi často používa v architektúre. A keďže naša budúca profesia architekta, inšpirovaná touto postavou, si myslíme, že nás dokáže dotlačiť k skvelým projektom.
Sila architektonických štruktúr, ich najdôležitejšia kvalita. Spojením pevnosti, po prvé, s materiálmi, z ktorých sú vytvorené, a po druhé, s vlastnosťami dizajnových riešení sa ukazuje, že pevnosť konštrukcie priamo súvisí s geometrickým tvarom, ktorý je pre ňu základ.
Inými slovami, hovoríme o geometrickom útvare, ktorý možno považovať za model zodpovedajúceho architektonického tvaru. Ukazuje sa, že geometrický tvar určuje aj silu architektonickej štruktúry.
Egyptské pyramídy boli dlho považované za najodolnejšiu architektonickú stavbu. Ako viete, majú tvar pravidelných štvoruholníkových pyramíd.
Práve tento geometrický tvar poskytuje najväčšiu stabilitu vďaka veľkej základnej ploche. Na druhej strane tvar pyramídy zabezpečuje, že so zvyšovaním výšky nad zemou sa hmotnosť zmenšuje. Práve tieto dve vlastnosti robia pyramídu stabilnou, a teda silnou v podmienkach gravitácie.
Cieľ projektu: dozvedieť sa niečo nové o pyramídach, prehĺbiť vedomosti a nájsť praktické aplikácie.
Na dosiahnutie tohto cieľa bolo potrebné vyriešiť nasledujúce úlohy:
Získajte historické informácie o pyramíde
Zvážte pyramídu ako geometrický útvar
Nájsť uplatnenie v živote a architektúre
Nájdite podobnosti a rozdiely medzi pyramídami nachádzajúcimi sa v rôznych častiach sveta
Teoretická časť
Historické informácie
Začiatok geometrie pyramídy bol položený v starovekom Egypte a Babylone, ale aktívne sa rozvíjal v starovekom Grécku. Prvý, kto zistil, čomu sa rovná objem pyramídy, bol Demokritos a Eudoxus z Knidu to dokázal. Staroveký grécky matematik Euclid systematizoval poznatky o pyramíde v XII zväzku svojich „Začiatkov“ a priniesol aj prvú definíciu pyramídy: telesnú postavu ohraničenú rovinami, ktoré sa zbiehajú z jednej roviny v jednom bode.
Hrobky egyptských faraónov. Najväčšie z nich - pyramídy Cheops, Khafre a Mikerin v El Gíze v staroveku boli považované za jeden zo siedmich divov sveta. Postavenie pyramídy, v ktorej už Gréci a Rimania videli pomník nebývalej pýchy kráľov a krutosti, ktorá odsúdila celý Egypt k nezmyselnej výstavbe, bola najdôležitejším kultovým činom a mala zrejme vyjadrovať mystickú identitu krajiny a jej vládcu. Obyvateľstvo krajiny pracovalo na stavbe hrobky v časti roka bez poľnohospodárskych prác. O pozornosti a starostlivosti, ktorú samotní králi (hoci neskoršej doby) venovali stavbe svojej hrobky a jej staviteľom, svedčí množstvo textov. Je tiež známe o špeciálnych kultových poctách, ktoré sa ukázali ako samotná pyramída.
Základné pojmy
Pyramída Nazýva sa mnohosten, ktorého základňou je mnohouholník a zvyšné plochy sú trojuholníky so spoločným vrcholom.
Apothem- výška bočnej steny pravidelnej pyramídy, vedená od jej vrcholu;
Bočné plochy- trojuholníky zbiehajúce sa hore;
Bočné rebrá- spoločné strany bočných plôch;
vrchol pyramídy- bod spájajúci bočné okraje a neležiaci v rovine základne;
Výška- úsečka kolmice vedená cez vrchol pyramídy k rovine jej základne (konce tohto úsečky sú vrchol pyramídy a základňa kolmice);
Diagonálny rez pyramídy- rez pyramídy prechádzajúci vrcholom a uhlopriečkou podstavy;
Základňa- mnohouholník, ktorý nepatrí k vrcholu pyramídy.
Hlavné vlastnosti správnej pyramídy
Bočné okraje, bočné plochy a apotémy sú rovnaké.
Dihedrálne uhly na základni sú rovnaké.
Dihedrálne uhly na bočných okrajoch sú rovnaké.
Každý výškový bod je rovnako vzdialený od všetkých základných vrcholov.
Každý výškový bod je rovnako vzdialený od všetkých bočných plôch.
Základné pyramídové vzorce
Plocha bočného a celého povrchu pyramídy.
Plocha bočnej plochy pyramídy (plná a zrezaná) je súčtom plôch všetkých jej bočných plôch, celková plocha je súčtom plôch všetkých jej plôch.
Veta: Plocha bočného povrchu pravidelnej pyramídy sa rovná polovici súčinu obvodu základne a apotému pyramídy.
p- obvod základne;
h- apotéma.
Plocha bočných a úplných plôch zrezanej pyramídy.
p1, s 2 - obvody základne;
h- apotéma.
R- celková plocha pravidelnej zrezanej pyramídy;
S strana- plocha bočného povrchu pravidelnej zrezanej pyramídy;
S1 + S2- základná plocha
Objem pyramídy
Formulár Objemová stupnica sa používa pre pyramídy akéhokoľvek druhu.
H je výška pyramídy.
Uhly pyramídy
Uhly, ktoré sú tvorené bočnou stenou a základňou pyramídy, sa nazývajú dihedrálne uhly v základni pyramídy.
Dihedrálny uhol tvoria dve kolmice.
Na určenie tohto uhla je často potrebné použiť vetu o troch kolmiach.
Nazývajú sa uhly, ktoré tvorí bočná hrana a jej priemet do roviny podstavy uhly medzi bočnou hranou a rovinou základne.
Uhol tvorený dvoma bočnými plochami sa nazýva dihedrálny uhol na bočnom okraji pyramídy.
Uhol, ktorý tvoria dve bočné hrany jednej strany pyramídy, sa nazýva tzv rohu na vrchole pyramídy.
Časti pyramídy
Povrch pyramídy je povrchom mnohostenu. Každá z jej stien je rovina, takže rez pyramídy daný sečnou rovinou je prerušovaná čiara pozostávajúca zo samostatných priamych čiar.
Diagonálny rez
Rez pyramídy rovinou prechádzajúcou dvoma bočnými hranami, ktoré neležia na rovnakej ploche, sa nazýva diagonálny rez pyramídy.
Paralelné úseky
Veta:
Ak pyramídu pretína rovina rovnobežná so základňou, potom sú bočné hrany a výšky pyramídy rozdelené touto rovinou na proporcionálne časti;
Rez tejto roviny je mnohouholník podobný základni;
Plochy sekcie a základne sú vo vzájomnom vzťahu ako druhé mocniny ich vzdialeností od vrcholu.
Druhy pyramíd
Správna pyramída- pyramída, ktorej podstavou je pravidelný mnohouholník a vrchol pyramídy sa premieta do stredu podstavy.
V správnej pyramíde:
1. bočné rebrá sú rovnaké
2. bočné plochy sú rovnaké
3. apotémy sú si rovné
4. Dihedrálne uhly na základni sú rovnaké
5. Dihedrálne uhly na bočných okrajoch sú rovnaké
6. každý výškový bod je rovnako vzdialený od všetkých základných vrcholov
7. každý výškový bod je rovnako vzdialený od všetkých bočných plôch
Zrezaná pyramída- časť pyramídy uzavretá medzi základňou a rovinou rezu rovnobežnou so základňou.
Základňa a zodpovedajúca časť zrezanej pyramídy sa nazývajú základne zrezanej pyramídy.
Nazýva sa kolmica vedená z akéhokoľvek bodu jednej základne k rovine druhej výška zrezanej pyramídy.
Úlohy
č. 1 V pravidelnom štvorhrannom ihlane je bod O stred podstavy, SO=8 cm, BD=30 cm Nájdite bočnú hranu SA.
Riešenie problémov
č. 1 V pravidelnej pyramíde sú všetky steny a hrany rovnaké.
Zoberme si OSB: OSB-obdĺžnikový obdĺžnik, pretože.
SB 2 \u003d SO 2 + OB 2
SB2=64+225=289
Pyramída v architektúre
Pyramída - monumentálna stavba vo forme obyčajnej pravidelnej geometrickej pyramídy, v ktorej sa strany zbiehajú v jednom bode. Podľa funkčného účelu boli pyramídy v staroveku miestom pochovávania alebo uctievania. Základňa pyramídy môže byť trojuholníková, štvoruholníková alebo mnohouholníková s ľubovoľným počtom vrcholov, ale najbežnejšou verziou je štvoruholníková základňa.
Je známe značné množstvo pyramíd, ktoré postavili rôzne kultúry starovekého sveta, najmä ako chrámy alebo pamiatky. Najväčšie pyramídy sú egyptské pyramídy.
Po celej Zemi môžete vidieť architektonické štruktúry v podobe pyramíd. Budovy pyramíd pripomínajú dávne časy a vyzerajú veľmi krásne.
Egyptské pyramídy sú najväčšími architektonickými pamiatkami starovekého Egypta, medzi ktorými je jedným zo „siedmich divov sveta“ Cheopsova pyramída. Od úpätia po vrchol dosahuje 137,3 m a pred stratou vrcholu bola jeho výška 146,7 m.
Budova rozhlasu v hlavnom meste Slovenska, pripomínajúca obrátenú pyramídu, bola postavená v roku 1983. Okrem kancelárií a obslužných priestorov sa vo vnútri zväzku nachádza pomerne priestranná koncertná sála, ktorá má jeden z najväčších organov na Slovensku. .
Louvre, ktorý „je tichý a majestátny ako pyramída“, prešiel v priebehu storočí mnohými zmenami, kým sa stal najväčším múzeom na svete. Zrodila sa ako pevnosť, ktorú dal postaviť Filip Augustus v roku 1190 a ktorá sa čoskoro zmenila na kráľovskú rezidenciu. V roku 1793 sa palác stal múzeom. Zbierky sa obohacujú prostredníctvom odkazov alebo nákupov.
Definícia
Pyramída je mnohosten zložený z mnohouholníka \(A_1A_2...A_n\) a \(n\) trojuholníkov so spoločným vrcholom \(P\) (neležiacim v rovine mnohouholníka) a protiľahlými stranami zhodnými so stranami polygón.
Označenie: \(PA_1A_2...A_n\) .
Príklad: päťuholníková pyramída \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .
Trojuholníky \(PA_1A_2, \ PA_2A_3\) atď. volal bočné steny pyramídy, segmenty \(PA_1, PA_2\) atď. - bočné rebrá, mnohouholník \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – základ, bod \(P\) – summit.
Výška Pyramídy sú kolmice spadnuté z vrcholu pyramídy na rovinu základne.
Pyramída s trojuholníkom na základni sa nazýva štvorsten.
Pyramída je tzv správne, ak je jeho základňou pravidelný mnohouholník a je splnená jedna z nasledujúcich podmienok:
\((a)\) bočné okraje pyramídy sú rovnaké;
\((b)\) výška pyramídy prechádza stredom opísanej kružnice blízko základne;
\((c)\) bočné rebrá sú naklonené k základnej rovine pod rovnakým uhlom.
\((d)\) bočné plochy sú naklonené k základnej rovine pod rovnakým uhlom.
pravidelný štvorsten je trojuholníková pyramída, ktorej všetky strany sú rovnaké rovnostranné trojuholníky.
Veta
Podmienky \((a), (b), (c), (d)\) sú ekvivalentné.
Dôkaz
Nakreslite výšku pyramídy \(PH\) . Nech \(\alpha\) je rovina podstavy pyramídy.
1) Dokážme, že \((a)\) implikuje \((b)\) . Nech \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .
Pretože \(PH\perp \alpha\) , potom je \(PH\) kolmé na akúkoľvek priamku ležiacu v tejto rovine, takže trojuholníky sú pravouhlé. Takže tieto trojuholníky sú rovnaké v spoločnej vetve \(PH\) a prepone \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . Takže \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . To znamená, že body \(A_1, A_2, ..., A_n\) sú v rovnakej vzdialenosti od bodu \(H\) , teda ležia na rovnakej kružnici s polomerom \(A_1H\) . Tento kruh je podľa definície opísaný okolo mnohouholníka \(A_1A_2...A_n\) .
2) Dokážme, že \((b)\) implikuje \((c)\) .
\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) obdĺžnikové a rovnaké v dvoch nohách. Preto sú ich uhly tiež rovnaké, \(\uhol PA_1H=\uhol PA_2H=...=\uhol PA_nH\).
3) Dokážme, že \((c)\) implikuje \((a)\) .
Podobne ako v prvom bode, trojuholníky \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) pravouhlý a pozdĺž nohy a ostrý uhol. To znamená, že aj ich prepony sú rovnaké, teda \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .
4) Dokážme, že \((b)\) implikuje \((d)\) .
Pretože v pravidelnom mnohouholníku sa stredy opísanej a vpísanej kružnice zhodujú (všeobecne povedané, tento bod sa nazýva stred pravidelného mnohouholníka), potom je \(H\) stredom vpísanej kružnice. Nakreslíme kolmice z bodu \(H\) do strán podstavy: \(HK_1, HK_2\) atď. Toto sú polomery vpísanej kružnice (podľa definície). Potom podľa TTP (\(PH\) je kolmá na rovinu, \(HK_1, HK_2\) atď. sú priemetne kolmé na strany) šikmé \(PK_1, PK_2\) atď. kolmo na strany \(A_1A_2, A_2A_3\) atď. resp. Takže podľa definície \(\uhol PK_1H, \uhol PK_2H\) rovné uhlom medzi bočnými plochami a základňou. Pretože trojuholníky \(PK_1H, PK_2H, ...\) sú rovnaké (ako pravouhlé na dvoch nohách), potom uhly \(\uhol PK_1H, \uhol PK_2H, ...\) sú si rovní.
5) Dokážme, že \((d)\) implikuje \((b)\) .
Podobne ako vo štvrtom bode sú trojuholníky \(PK_1H, PK_2H, ...\) rovnaké (ako pravouhlé pozdĺž nohy a ostrý uhol), čo znamená, že úsečky \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) sú si rovní. Preto je podľa definície \(H\) stred kruhu vpísaného do základne. Ale odvtedy pre pravidelné mnohouholníky sa stredy vpísanej a opísanej kružnice zhodujú, potom \(H\) je stred opísanej kružnice. Chtd.
Dôsledok
Bočné steny pravidelnej pyramídy sú rovnaké rovnoramenné trojuholníky.
Definícia
Výška bočnej steny pravidelnej pyramídy, nakreslená z jej vrcholu, sa nazýva apotéma.
Apotémy všetkých bočných stien pravidelnej pyramídy sú si navzájom rovné a sú to tiež stredy a stredy.
Dôležité poznámky
1. Výška pravidelnej trojuholníkovej pyramídy padá do priesečníka výšok (alebo polôh alebo stredníc) základne (základňa je pravidelný trojuholník).
2. Výška pravidelného štvorbokého ihlanu spadá do priesečníka uhlopriečok podstavy (podstavou je štvorec).
3. Výška pravidelného šesťhranného ihlanu padá do priesečníka uhlopriečok podstavy (podstavou je pravidelný šesťuholník).
4. Výška pyramídy je kolmá na akúkoľvek priamku ležiacu na základni.
Definícia
Pyramída je tzv pravouhlý ak je jeden z jeho bočných okrajov kolmý na rovinu základne.
Dôležité poznámky
1. Pri pravouhlom ihlane je hrana kolmá na základňu výškou ihlana. To znamená, že \(SR\) je výška.
2. Pretože \(SR\) kolmo na ktorúkoľvek čiaru od základne, potom \(\trojuholník SRM, \trojuholník SRP\) sú pravouhlé trojuholníky.
3. Trojuholníky \(\triangle SRN, \triangle SRK\) sú tiež obdĺžnikové.
To znamená, že každý trojuholník tvorený touto hranou a uhlopriečkou vychádzajúcou z vrcholu tejto hrany, ktorá leží na základni, bude pravouhlý.
\[(\Veľký(\text(Objem a povrch pyramídy)))\]
Veta
Objem pyramídy sa rovná jednej tretine súčinu plochy základne a výšky pyramídy: \
Dôsledky
Nech \(a\) je strana základne, \(h\) je výška pyramídy.
1. Objem pravidelného trojuholníkového ihlana je \(V_(\text(pravoúhlý trojuholník pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),
2. Objem pravidelného štvorbokého ihlana je \(V_(\text(right.four.pyre.))=\dfrac13a^2h\).
3. Objem pravidelného šesťhranného ihlana je \(V_(\text(right.hex.pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).
4. Objem pravidelného štvorstenu je \(V_(\text(pravá štvorica))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).
Veta
Plocha bočného povrchu pravidelnej pyramídy sa rovná polovici súčinu obvodu základne a apotému.
\[(\Veľký(\text(Skrátená pyramída)))\]
Definícia
Uvažujme ľubovoľnú pyramídu \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Narysujme rovinu rovnobežnú so základňou pyramídy cez určitý bod ležiaci na bočnej hrane pyramídy. Táto rovina rozdelí pyramídu na dva mnohosteny, z ktorých jeden je pyramída (\(PB_1B_2...B_n\) ) a druhý je tzv. zrezaná pyramída(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).
Zrezaná pyramída má dve základne - mnohouholníky \(A_1A_2...A_n\) a \(B_1B_2...B_n\) , ktoré sú si navzájom podobné.
Výška zrezaného ihlana je kolmica vedená z niektorého bodu hornej základne k rovine spodnej základne.
Dôležité poznámky
1. Všetky bočné strany zrezaného ihlana sú lichobežníky.
2. Úsečka spájajúca stredy podstav pravidelného zrezaného ihlana (t. j. pyramídy získanej rezom pravidelného ihlana) je výška.
hypotéza: veríme, že za dokonalosť tvaru pyramídy vďačia matematickým zákonom zakotveným v jej tvare.
Cieľ:študoval pyramídu ako geometrické teleso, aby vysvetlil dokonalosť jej tvaru.
Úlohy:
1. Uveďte matematickú definíciu pyramídy.
2. Študujte pyramídu ako geometrické teleso.
3. Pochopte, aké matematické poznatky položili Egypťania do svojich pyramíd.
Súkromné otázky:
1. Čo je pyramída ako geometrické teleso?
2. Ako možno matematicky vysvetliť jedinečný tvar pyramídy?
3. Čo vysvetľuje geometrické zázraky pyramídy?
4. Čo vysvetľuje dokonalosť tvaru pyramídy?
Definícia pyramídy.
PYRAMÍDA (z gréckeho pyramis, rod n. pyramidos) - mnohosten, ktorého základňa je mnohouholník a zvyšné strany sú trojuholníky so spoločným vrcholom (obrázkom). Podľa počtu rohov základne sú pyramídy trojuholníkové, štvoruholníkové atď.
PYRAMÍDA - monumentálna stavba, ktorá má geometrický tvar pyramídy (niekedy aj stupňovitý alebo vežovitý). Obrie hrobky staroegyptských faraónov z 3. – 2. tisícročia pred Kristom sa nazývajú pyramídy. ako aj staroveké americké podstavce chrámov (v Mexiku, Guatemale, Hondurase, Peru) spojené s kozmologickými kultmi.
Je možné, že grécke slovo „pyramída“ pochádza z egyptského výrazu per-em-us, teda z výrazu, ktorý znamenal výšku pyramídy. Významný ruský egyptológ V. Struve veril, že grécke „puram…j“ pochádza zo staroegyptského „p“-mr.
Z histórie. Po preštudovaní materiálu v učebnici „Geometria“ od autorov Atanasyan. Butuzovej a iných sme sa dozvedeli, že: Mnohosten zložený z n-uholníka A1A2A3 ... An a n trojuholníkov RA1A2, RA2A3, ..., RANA1 sa nazýva pyramída. Mnohouholník A1A2A3 ... An je základňa pyramídy a trojuholníky RA1A2, RA2A3, ..., PAnA1 sú bočné steny pyramídy, P je vrchol pyramídy, segmenty RA1, RA2, .. ., RAN sú bočné okraje.
Takáto definícia pyramídy však vždy neexistovala. Napríklad starogrécky matematik, autor teoretických pojednaní o matematike, ktoré sa k nám dostali, Euclid, definuje pyramídu ako pevnú postavu ohraničenú rovinami, ktoré sa zbiehajú z jednej roviny do jedného bodu.
Ale táto definícia bola kritizovaná už v staroveku. Heron teda navrhol nasledujúcu definíciu pyramídy: „Toto je obrazec ohraničený trojuholníkmi zbiehajúcimi sa v jednom bode, ktorého základňou je mnohouholník.
Naša skupina pri porovnávaní týchto definícií dospela k záveru, že nemajú jasnú formuláciu pojmu „základ“.
Preštudovali sme tieto definície a našli sme definíciu Adriena Marie Legendre, ktorý v roku 1794 vo svojom diele „Elements of Geometry“ definuje pyramídu takto: „Pyramída je telesná postava tvorená trojuholníkmi zbiehajúcimi sa v jednom bode a končiacimi na rôznych stranách. plochá základňa.”
Zdá sa nám, že posledná definícia dáva jasnú predstavu o pyramíde, pretože odkazuje na skutočnosť, že základňa je plochá. Ďalšia definícia pyramídy sa objavila v učebnici z 19. storočia: „pyramída je priestorový uhol, ktorý pretína rovina“.
Pyramída ako geometrické teleso.
To. Pyramída je mnohosten, ktorého jedna plocha (základňa) je mnohouholník, ostatné plochy (strany) sú trojuholníky, ktoré majú jeden spoločný vrchol (vrchol pyramídy).
Kolmica vedená z vrcholu pyramídy na rovinu základne sa nazýva výškah pyramídy.
Okrem ľubovoľnej pyramídy existujú pravá pyramída, na základni ktorého je pravidelný mnohouholník a zrezaná pyramída.
Na obrázku - pyramída PABCD, ABCD - jej základňa, PO - výška.
Celá plocha Pyramída sa nazýva súčet plôch všetkých jej plôch.
Plný = Sstrana + Sbase, kde Sside je súčet plôch bočných plôch.
objem pyramídy sa nachádza podľa vzorca:
V=1/3S základ h, kde Sosn. - základná plocha h- výška.
 |
|
Apothem ST - výška bočnej steny pravidelnej pyramídy.
Plocha bočnej steny pravidelnej pyramídy je vyjadrená takto: Sstrana. = 1/2P h, kde P je obvod základne, h- výška bočnej steny (apotém pravidelnej pyramídy). Ak pyramídu pretína rovina A'B'C'D' rovnobežná so základňou, potom:
1) bočné okraje a výška sú rozdelené touto rovinou na proporcionálne časti;
2) v reze sa získa mnohouholník A'B'C'D', podobný základni;
https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png" width="287" height="151">
Základy zrezanej pyramídy sú podobné polygóny ABCD a A`B`C`D`, bočné steny sú lichobežníky.
Výška zrezaná pyramída - vzdialenosť medzi základňami.
Skrátený objem pyramídu nájdeme podľa vzorca:
V = 1/3 h(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="left" width="91" height="96"> Bočný povrch pravidelnej zrezanej pyramídy je vyjadrená takto: Sstrana = ½(P+P') h, kde P a P' sú obvody základní, h- výška bočnej steny (apotéma štamgastu skráteného o sviatky
Časti pyramídy.
Úseky pyramídy rovinami prechádzajúcimi jej vrcholom sú trojuholníky.
Úsek prechádzajúci dvoma nesusediacimi bočnými okrajmi pyramídy sa nazýva tzv diagonálny rez.
Ak rez prechádza bodom na bočnej hrane a strane podstavy, potom táto strana bude jej stopou v rovine podstavy pyramídy.
Úsek prechádzajúci bodom ležiacim na čele pyramídy a daná stopa rezu v rovine základne, potom by sa konštrukcia mala vykonať takto:
nájdite priesečník roviny danej steny a stopy ihlanu a označte ho;
vybudovať priamku prechádzajúcu daným bodom a výsledným priesečníkom;
· Opakujte tieto kroky pre ďalšie tváre.
, čo zodpovedá pomeru ramien pravouhlého trojuholníka 4:3. Tento pomer nôh zodpovedá známemu pravouhlému trojuholníku so stranami 3:4:5, ktorý sa nazýva „dokonalý“, „posvätný“ alebo „egyptský“ trojuholník. Podľa historikov dostal „egyptský“ trojuholník magický význam. Plutarchos napísal, že Egypťania prirovnávali povahu vesmíru k „posvätnému“ trojuholníku; vertikálnu nohu symbolicky prirovnali k manželovi, základňu k manželke a preponu k tomu, čo sa rodí z oboch.
Pre trojuholník 3:4:5 platí rovnosť: 32 + 42 = 52, čo vyjadruje Pytagorovu vetu. Nie je to táto veta, ktorú chceli egyptskí kňazi zvečniť postavením pyramídy na základe trojuholníka 3:4:5? Je ťažké nájsť lepší príklad na ilustráciu Pytagorovej vety, ktorá bola Egypťanom známa dávno pred jej objavením Pytagorom.
Dômyselní tvorcovia egyptských pyramíd sa teda snažili zapôsobiť na vzdialených potomkov hĺbkou ich vedomostí a dosiahli to tým, že ako „hlavnú geometrickú myšlienku“ pre Cheopsovu pyramídu zvolili „zlatý“ pravouhlý trojuholník a pre pyramídu Khafre - "posvätný" alebo "egyptský" trojuholník.
Vedci pri svojom výskume veľmi často využívajú vlastnosti pyramíd s proporciami Zlatého rezu.
V matematickom encyklopedickom slovníku je uvedená nasledujúca definícia Zlatého rezu - ide o harmonické delenie, delenie v krajnom a priemernom pomere - delenie segmentu AB na dve časti tak, že väčšina jeho AC je priemer. proporcionálne medzi celým segmentom AB a jeho menšou časťou CB.
Algebraické nájdenie zlatého rezu segmentu AB = a redukuje na riešenie rovnice a: x = x: (a - x), pričom x sa približne rovná 0,62a. Pomer x možno vyjadriť ako zlomky 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21…= 0,618, kde 2, 3, 5, 8, 13, 21 sú Fibonacciho čísla.
Geometrická konštrukcia zlatého rezu segmentu AB sa vykonáva takto: v bode B sa obnoví kolmica na AB, položí sa naň segment BE \u003d 1/2 AB, A a E sú spojené, DE \ u003d BE sa odloží a nakoniec AC \u003d AD, potom je splnená rovnosť AB: CB = 2: 3.
Zlatý rez sa často používa v umeleckých dielach, architektúre a nachádza sa v prírode. Živými príkladmi sú socha Apolla Belvedere, Parthenon. Pri stavbe Parthenonu bol použitý pomer výšky budovy k jej dĺžke a tento pomer je 0,618. Predmety okolo nás tiež poskytujú príklady zlatého rezu, napríklad väzby mnohých kníh majú pomer šírky k dĺžke blízko 0,618. Vzhľadom na usporiadanie listov na spoločnej stonke rastlín si možno všimnúť, že medzi každým dvoma pármi listov sa tretí nachádza na mieste zlatého rezu (sklíčka). Každý z nás „nosí“ zlatý pomer so sebou „v rukách“ - to je pomer falangov prstov.
Vďaka objavu niekoľkých matematických papyrusov sa egyptológovia dozvedeli niečo o staroegyptských systémoch počtu a mier. Úlohy v nich obsiahnuté riešili pisári. Jedným z najznámejších je Rhindov matematický papyrus. Štúdiom týchto hádaniek sa egyptológovia dozvedeli, ako starí Egypťania narábali s rôznymi veličinami, ktoré vznikli pri výpočte mier hmotnosti, dĺžky a objemu, ktoré často používali zlomky, ako aj to, ako narábali s uhlami.
Starovekí Egypťania používali metódu výpočtu uhlov na základe pomeru výšky k základni pravouhlého trojuholníka. Vyjadrili akýkoľvek uhol v jazyku gradientu. Gradient sklonu bol vyjadrený ako pomer celého čísla, nazývaného "seked". Richard Pillins v knihe Mathematics in the Time of the Pharaohs vysvetľuje: „Seked pravidelnej pyramídy je sklon ktorejkoľvek zo štyroch trojuholníkových stien k rovine základne, meraný ako n-tý počet horizontálnych jednotiek na vertikálnu jednotku výšky. . Táto merná jednotka je teda ekvivalentná nášmu modernému kotangensu uhla sklonu. Preto egyptské slovo „seked“ súvisí s naším moderným slovom „gradient“.
Číselný kľúč pyramíd spočíva v pomere ich výšky k základni. Z praktického hľadiska ide o najjednoduchší spôsob výroby šablón potrebných na neustálu kontrolu správneho uhla sklonu počas celej stavby pyramídy.
Egyptológovia by nás radi presvedčili, že každý faraón chcel vyjadriť svoju individualitu, a preto sú rozdiely v uhloch sklonu každej pyramídy. Ale môže to byť aj iný dôvod. Možno všetci chceli stelesniť rôzne symbolické asociácie skryté v rôznych proporciách. Avšak uhol Khafrovej pyramídy (založený na trojuholníku (3:4:5) sa objavuje v troch problémoch prezentovaných pyramídami v Rhindovom matematickom papyruse). Takže tento postoj bol dobre známy starým Egypťanom.
Aby sme boli spravodliví voči egyptológom, ktorí tvrdia, že starí Egypťania nepoznali trojuholník 3:4:5, povedzme, že dĺžka prepony 5 sa nikdy nespomínala. Ale matematické problémy týkajúce sa pyramíd sa vždy riešia na základe sesedového uhla - pomeru výšky k základni. Keďže dĺžka prepony nebola nikdy spomenutá, dospelo sa k záveru, že Egypťania nikdy nevypočítali dĺžku tretej strany.
Pomery výšky a základne používané v pyramídach v Gíze boli bezpochyby známe starým Egypťanom. Je možné, že tieto pomery pre každú pyramídu boli zvolené ľubovoľne. To je však v rozpore s dôležitosťou, ktorá sa pripisuje číselnej symbolike vo všetkých typoch egyptského výtvarného umenia. Je veľmi pravdepodobné, že takéto vzťahy mali veľký význam, keďže vyjadrovali špecifické náboženské predstavy. Inými slovami, celý komplex v Gíze bol podriadený ucelenému dizajnu, ktorý bol navrhnutý tak, aby odrážal nejakú božskú tému. To by vysvetľovalo, prečo dizajnéri zvolili rôzne uhly pre tri pyramídy.
V knihe Tajomstvo Orionu predložili Bauval a Gilbert presvedčivé dôkazy o spojení pyramíd v Gíze so súhvezdím Orion, najmä s hviezdami Orionovho pásu. Rovnaké súhvezdie je prítomné aj v mýte o Isis a Osiris. je dôvod považovať každú pyramídu za obraz jedného z troch hlavných božstiev - Osirisa, Isis a Hora.
ZÁZRAKY "GEOMETRICKÉ".
Medzi grandióznymi pyramídami Egypta zaujíma osobitné miesto Veľká pyramída faraóna Cheopsa (Khufu). Predtým, ako pristúpime k analýze tvaru a veľkosti Cheopsovej pyramídy, mali by sme si spomenúť, aký systém mier Egypťania používali. Egypťania mali tri jednotky dĺžky: „lakť“ (466 mm), rovnajúci sa siedmim „dlaniam“ (66,5 mm), čo sa zase rovnalo štyrom „prstom“ (16,6 mm).
Analyzujme veľkosť Cheopsovej pyramídy (obr. 2) podľa úvah uvedených v nádhernej knihe ukrajinského vedca Nikolaja Vasjutinského „Zlatá proporcia“ (1990).
Väčšina výskumníkov súhlasí s tým, že dĺžka strany základne pyramídy, napr. GF rovná sa L\u003d 233,16 m. Táto hodnota takmer presne zodpovedá 500 "lakťom". Úplná zhoda s 500 "lakťami" bude, ak sa dĺžka "lakťa" považuje za rovnú 0,4663 m.
Výška pyramídy ( H) odhadujú výskumníci odlišne od 146,6 do 148,2 m. A v závislosti od akceptovanej výšky pyramídy sa menia všetky pomery jej geometrických prvkov. Aký je dôvod rozdielov v odhade výšky pyramídy? Faktom je, že presne povedané, Cheopsova pyramída je skrátená. Jej horná plošina má dnes veľkosť približne 10´ 10 m, pred storočím mala 6´ 6 m. Je zrejmé, že vrchol pyramídy bol demontovaný a nezodpovedá pôvodnému.
Pri odhadovaní výšky pyramídy je potrebné vziať do úvahy taký fyzikálny faktor, ako je "návrh" konštrukcie. Po dlhú dobu pod vplyvom kolosálneho tlaku (dosahujúceho 500 ton na 1 m2 spodnej plochy) sa výška pyramídy zmenšila oproti pôvodnej výške.
Aká bola pôvodná výška pyramídy? Táto výška môže byť znovu vytvorená, ak nájdete základnú "geometrickú myšlienku" pyramídy.
Obrázok 2
V roku 1837 anglický plukovník G. Wise zmeral uhol sklonu stien pyramídy: ukázalo sa, že je rovný a= 51°51". Túto hodnotu uznáva väčšina bádateľov aj dnes. Uvedená hodnota uhla zodpovedá dotyčnici (tg a), rovná 1,27306. Táto hodnota zodpovedá pomeru výšky pyramídy AC do polovice svojej základne CB(obr.2), t.j. AC / CB = H / (L / 2) = 2H / L.
A tu čakalo výskumníkov veľké prekvapenie!.png" width="25" height="24">= 1,272. Porovnanie tejto hodnoty s hodnotou tg a= 1,27306, vidíme, že tieto hodnoty sú si navzájom veľmi blízke. Ak vezmeme uhol a\u003d 51 ° 50", to znamená, že sa zníži iba o jednu oblúkovú minútu, potom hodnota a sa bude rovnať 1,272, to znamená, že sa bude zhodovať s hodnotou . Treba poznamenať, že v roku 1840 G. Wise zopakoval svoje merania a objasnil, že hodnota uhla a= 51°50".
Tieto merania viedli výskumníkov k nasledujúcej veľmi zaujímavej hypotéze: trojuholník ASV Cheopsovej pyramídy vychádzal zo vzťahu AC / CB = = 1,272!
Zvážte teraz pravouhlý trojuholník ABC, v ktorom pomer nož AC / CB= (obr. 2). Ak teraz dĺžky strán obdĺžnika ABC označovať podľa X, r, z, a tiež vziať do úvahy, že pomer r/X= , potom v súlade s Pytagorovou vetou dĺžka z možno vypočítať podľa vzorca:
Ak prijmete X = 1, r= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" width="143" height="27">
Obrázok 3"Zlatý" pravouhlý trojuholník.
Pravouhlý trojuholník, v ktorom sú strany spojené ako t:zlatý" pravouhlý trojuholník.
Potom, ak vezmeme za základ hypotézu, že hlavnou „geometrickou myšlienkou“ Cheopsovej pyramídy je „zlatý“ pravouhlý trojuholník, potom je ľahké vypočítať „návrhovú“ výšku Cheopsovej pyramídy. Rovná sa:
V \u003d (L / 2) ´ \u003d 148,28 m.
Odvoďme teraz niektoré ďalšie vzťahy pre Cheopsovu pyramídu, ktoré vyplývajú zo „zlatej“ hypotézy. Najmä nájdeme pomer vonkajšej plochy pyramídy k ploche jej základne. Aby sme to urobili, vezmeme dĺžku nohy CB na jednotku, teda: CB= 1. Ale potom dĺžka strany základne pyramídy GF= 2 a plocha základne EFGH sa bude rovnať SEFGH = 4.
Vypočítajme teraz plochu bočnej steny Cheopsovej pyramídy SD. Pretože výška AB trojuholník AEF rovná sa t, potom sa plocha bočnej plochy bude rovnať SD = t. Potom sa celková plocha všetkých štyroch bočných plôch pyramídy bude rovnať 4 t a pomer celkovej vonkajšej plochy pyramídy k základnej ploche sa bude rovnať zlatému pomeru! To je to, čo to je - hlavné geometrické tajomstvo Cheopsovej pyramídy!
Skupina „geometrických zázrakov“ Cheopsovej pyramídy zahŕňa skutočné a vymyslené vlastnosti vzťahu medzi rôznymi rozmermi v pyramíde.
Spravidla sa získavajú pri hľadaní nejakej „konštanty“, najmä čísla „pi“ (Ludolfovo číslo), ktoré sa rovná 3,14159...; základy prirodzených logaritmov "e" (Napierovo číslo) rovné 2,71828...; číslo "F", číslo "zlatého rezu", rovné napríklad 0,618 ... atď.
Môžete pomenovať napríklad: 1) Vlastnosť Herodota: (Výška) 2 \u003d 0,5 st. Hlavná x Apothem; 2) Majetok V. Cena: Výška: 0,5 st. osn \u003d Druhá odmocnina z "Ф"; 3) Vlastnosť M. Eista: Obvod základne: 2 Výška = "Pi"; v inej interpretácii - 2 polievkové lyžice. Hlavná : Výška = "Pi"; 4) Vlastnosť G. Rebera: Polomer vpísanej kružnice: 0,5 st. Hlavná = "F"; 5) Majetok K. Kleppisha: (St. main.) 2: 2 (st. main. x Apothem) \u003d (st. main. W. Apothem) \u003d 2 (st. main. x Apothem) : (( 2. hlavná X Apotéma) + (st. hlavná) 2). Atď. Takýchto vlastností sa dá vymyslieť veľa, najmä ak spojíte dve susedné pyramídy. Napríklad ako „Vlastnosti A. Arefieva“ možno uviesť, že rozdiel medzi objemami Cheopsovej pyramídy a Rachefovej pyramídy sa rovná dvojnásobku objemu Menkaurovej pyramídy...
Mnohé zaujímavé ustanovenia, najmä o stavbe pyramíd podľa „zlatého rezu“, sú uvedené v knihách D. Hambidgea „Dynamická symetria v architektúre“ a M. Geeka „Estetika proporcie v prírode a umení“. Pripomeňme, že „zlatý rez“ je rozdelenie segmentu v takom pomere, keď časť A je toľkokrát väčšia ako časť B, koľkokrát A je menšia ako celý segment A + B. Pomer A / B je rovná sa číslu „Ф“ == 1,618... Použitie „zlatého rezu“ je naznačené nielen v jednotlivých pyramídach, ale v celom pyramídovom komplexe v Gíze.
Najkurióznejšie však je, že jedna a tá istá Cheopsova pyramída jednoducho „nemôže“ obsahovať toľko úžasných vlastností. Ak vezmete určitú vlastnosť jednu po druhej, môžete ju "upraviť", ale naraz sa nezmestia - nezhodujú sa, protirečia si. Ak sa teda napríklad pri kontrole všetkých vlastností na začiatku zoberie jedna a tá istá strana základne pyramídy (233 m), potom sa budú líšiť aj výšky pyramíd s rôznymi vlastnosťami. Inými slovami, existuje určitá „rodina“ pyramíd, navonok podobných tým Cheopsovým, ale zodpovedajúcich iným vlastnostiam. Všimnite si, že v "geometrických" vlastnostiach nie je nič mimoriadne zázračné - veľa vyplýva čisto automaticky, z vlastností samotnej postavy. Za „zázrak“ treba považovať len niečo, čo je pre starých Egypťanov zjavne nemožné. Patria sem najmä „kozmické“ zázraky, v ktorých sa merania Cheopsovej pyramídy alebo pyramídového komplexu v Gíze porovnávajú s niektorými astronomickými meraniami a uvádzajú sa „párne“ čísla: miliónkrát, miliardkrát menej a tak ďalej. Uvažujme o niektorých „kozmických“ vzťahoch.
Jedno z tvrdení je toto: "ak vydelíme stranu základne pyramídy presnou dĺžkou roka, dostaneme presne 10 miliónovú zemskú os." Vypočítajte: vydeľte 233 číslom 365, dostaneme 0,638. Polomer Zeme je 6378 km.
Ďalšie tvrdenie je vlastne opakom predchádzajúceho. F. Noetling poukázal na to, že ak použijete ním vynájdený „egyptský lakeť“, tak strana pyramídy bude zodpovedať „najpresnejšiemu trvaniu slnečného roka, vyjadrenému na najbližšiu miliardtinu dňa“ – 365 540 903 777 .
Výrok P. Smitha: "Výška pyramídy je presne jedna miliardtina vzdialenosti od Zeme k Slnku." Hoci sa zvyčajne berie výška 146,6 m, Smith ju považoval za 148,2 m. Podľa moderných radarových meraní je hlavná poloos zemskej obežnej dráhy 149 597 870 + 1,6 km. Toto je priemerná vzdialenosť od Zeme k Slnku, ale v perihéliu je to o 5 000 000 kilometrov menej ako v aféliu.
Posledné zaujímavé vyhlásenie:
"Ako vysvetliť, že hmotnosti pyramíd Cheops, Khafre a Menkaure spolu súvisia, ako hmotnosti planét Zem, Venuša, Mars?" Poďme počítať. Hmotnosti troch pyramíd súvisia ako: Khafre - 0,835; Cheops - 1 000; Mikerin - 0,0915. Pomery hmotností troch planét: Venuša - 0,815; Pozemok - 1 000; Mars - 0,108.
Všimnime si teda aj napriek skepse známu harmóniu konštrukcie výrokov: 1) výška pyramídy, ako priamka „ide do vesmíru“ – zodpovedá vzdialenosti Zeme od Slnka; 2) strana základne pyramídy, ktorá je najbližšie „k substrátu“, teda k Zemi, je zodpovedná za zemský polomer a zemský obeh; 3) objemy pyramídy (čítaj - hmotnosti) zodpovedajú pomeru hmotností planét najbližších k Zemi. Podobnú „šifru“ možno vystopovať napríklad vo včelej reči, ktorú rozobral Karl von Frisch. Zatiaľ sa však k tomu nevyjadrujeme.
TVAR PYRAMÍD
Slávny štvorstenný tvar pyramíd nevznikol okamžite. Skýti robili pohrebiská vo forme hlinených kopcov - mohýl. Egypťania stavali „kopce“ z kameňa – pyramídy. Prvýkrát sa tak stalo po zjednotení Horného a Dolného Egypta, v 28. storočí pred Kristom, keď zakladateľ III. dynastie, faraón Džoser (Zoser), stál pred úlohou posilniť jednotu krajiny.
A tu podľa historikov zohral významnú úlohu pri posilňovaní centrálnej moci „nový koncept zbožštenia“ cára. Kráľovské pohrebiská sa síce vyznačovali väčšou nádherou, ale v zásade sa nelíšili od hrobiek dvorných šľachticov, išlo o rovnaké stavby – mastaby. Nad komorou so sarkofágom obsahujúcim múmiu bol nasypaný obdĺžnikový kopec malých kameňov, kde bola potom umiestnená malá budova z veľkých kamenných blokov - "mastaba" (v arabčine - "lavička"). Na mieste mastaby svojho predchodcu Sanachta postavil faraón Džoser prvú pyramídu. Bola stupňovitá a bola viditeľným prechodným štádiom od jednej architektonickej formy k druhej, od mastaby k pyramíde.
Takto faraóna „vyzdvihol“ mudrc a architekt Imhotep, ktorého neskôr považovali za kúzelníka a Gréci ho stotožňovali s bohom Asklepiom. Akoby sa postavilo šesť mastáb za sebou. Prvá pyramída navyše zaberala plochu 1125 x 115 metrov s odhadovanou výškou 66 metrov (podľa egyptských mier - 1000 „paliem“). Architekt najskôr plánoval postaviť mastabu, nie však podlhovastého, ale štvorcového pôdorysu. Neskôr bola rozšírená, ale keďže prístavba bola urobená nižšie, vznikli akoby dva stupne.
Táto situácia architekta neuspokojila a na vrcholovú plošinu obrovskej plochej mastaby umiestnil Imhotep ďalšie tri, ktoré sa smerom k vrcholu postupne znižovali. Hrobka bola pod pyramídou.
Je známych niekoľko ďalších stupňovitých pyramíd, ale neskôr stavitelia prešli na stavbu známejších štvorstenných pyramíd. Prečo však nie trojuholníkový alebo povedzme osemuholníkový? Nepriama odpoveď je daná skutočnosťou, že takmer všetky pyramídy sú dokonale orientované na štyri svetové strany, a preto majú štyri strany. Okrem toho bola pyramída „domom“, plášťom štvorhrannej pohrebnej komory.
Čo však spôsobilo uhol sklonu tvárí? V knihe "Princíp proporcií" je tomu venovaná celá kapitola: "Čo by mohlo určiť uhly pyramíd." Predovšetkým sa uvádza, že „obraz, ku ktorému sa priťahujú veľké pyramídy Starej ríše, je trojuholník s pravým uhlom na vrchole.
Vo vesmíre je to poloktaedrón: pyramída, v ktorej sú okraje a strany základne rovnaké, steny sú rovnostranné trojuholníky. Určité úvahy o tejto téme sú uvedené v knihách Hambidge, Geek a ďalších.
Aká je výhoda uhla semioktaédra? Podľa opisov archeológov a historikov sa niektoré pyramídy zrútili vlastnou váhou. Potrebný bol „uhol trvanlivosti“, uhol, ktorý bol energeticky najspoľahlivejší. Čisto empiricky možno tento uhol zobrať z vrcholového uhla v hromade rozpadajúceho sa suchého piesku. Ak však chcete získať presné údaje, musíte použiť model. Keď vezmete štyri pevne pripevnené gule, musíte na ne položiť piatu a zmerať uhly sklonu. Tu sa však môžete pomýliť, preto pomôže teoretický výpočet: stredy guľôčok by ste mali spojiť čiarami (mentálne). Na základni dostanete štvorec so stranou rovnajúcou sa dvojnásobku polomeru. Štvorec bude len základňou pyramídy, ktorej dĺžka hrán bude tiež rovná dvojnásobku polomeru.
Husté balenie guľôčok typu 1:4 nám teda poskytne pravidelný poloktaedrón.
Prečo si ju však mnohé pyramídy, ktoré tiahnu k podobnej forme, nezachovajú? Pravdepodobne pyramídy starnú. Na rozdiel od známeho výroku:
"Všetko na svete sa bojí času a čas sa bojí pyramíd", stavby pyramíd musia starnúť, môžu a mali by v nich prebiehať nielen procesy vonkajšieho zvetrávania, ale aj procesy vnútorného "zmršťovania" , z ktorého sa môžu pyramídy znižovať. Zmršťovanie je možné aj preto, že ako zistili práce D. Davidovitsa, starí Egypťania používali technológiu výroby blokov z vápenných štiepok, inými slovami, z „betónu“. Práve tieto procesy by mohli vysvetliť dôvod zničenia pyramídy Medum, ktorá sa nachádza 50 km južne od Káhiry. Má 4600 rokov, rozmery základne 146 x 146 m, výška 118 m. „Prečo je taký zmrzačený?" pýta sa V. Zamarovský. „Zvyčajné odkazy na ničivé pôsobenie času a „použitie kameňa na iné stavby" sa sem nehodia.
Koniec koncov, väčšina jej blokov a obkladových dosiek stále zostáva na svojom mieste, v ruinách na jej úpätí. „Ako uvidíme, podľa mnohých ustanovení sa dokonca zdá, že aj slávna Cheopsova pyramída sa „scvrkla.“ V každom prípade , na všetkých starovekých obrazoch sú pyramídy špicaté ...
Tvar pyramíd by sa dal vytvoriť aj napodobňovaním: niektoré prírodné vzory, „zázračná dokonalosť“, povedzme nejaké kryštály vo forme osemstenu.
Takýmito kryštálmi môžu byť diamantové a zlaté kryštály. Charakteristické je veľké množstvo "pretínajúcich sa" znakov pre také pojmy ako faraón, slnko, zlato, diamant. Všade - vznešené, brilantné (brilantné), skvelé, bezchybné a tak ďalej. Podobnosti nie sú náhodné.
Slnečný kult, ako viete, bol dôležitou súčasťou náboženstva starovekého Egypta. „Bez ohľadu na to, ako preložíme názov najväčšej z pyramíd,“ jedna z moderných učebníc hovorí „Sky Khufu“ alebo „Sky Khufu“, znamenalo to, že kráľom je slnko. Ak si Chufu v lesku svojej sily predstavoval, že je druhým slnkom, potom sa jeho syn Jedef-Ra stal prvým z egyptských kráľov, ktorý sa začal nazývať „synom Ra“, teda synom Slnko. Slnko symbolizovali takmer všetky národy ako „slnečný kov“, zlato. "Veľký kotúč jasného zlata" - tak Egypťania nazývali naše denné svetlo. Egypťania poznali zlato veľmi dobre, poznali jeho pôvodné formy, kde sa zlaté kryštály môžu objaviť v podobe osemstenov.
Ako „vzorka foriem“ je tu zaujímavý aj „slnečný kameň“ – diamant. Názov diamantu pochádza práve z arabského sveta, „almas“ – najtvrdší, najtvrdší, nezničiteľný. Starovekí Egypťania poznali diamant a jeho vlastnosti sú celkom dobré. Podľa niektorých autorov dokonca na vŕtanie používali bronzové rúry s diamantovými frézami.
Hlavným dodávateľom diamantov je teraz Južná Afrika, no na diamanty je bohatá aj západná Afrika. Územie Republiky Mali sa tam dokonca nazýva „Diamantová krajina“. Medzitým na území Mali žijú Dogoni, do ktorých priaznivci paleovisitovej hypotézy vkladajú mnohé nádeje (pozri nižšie). Diamanty nemohli byť dôvodom kontaktov starých Egypťanov s týmto regiónom. Tak či onak je však možné, že práve kopírovaním osemstenov diamantu a zlatých kryštálov starí Egypťania zbožštili faraónov, „nezničiteľných“ ako diamant a „brilantných“ ako zlato, synov Slnka, porovnateľných len s najúžasnejšími výtvormi prírody.
záver:
Po štúdiu pyramídy ako geometrického telesa, oboznámení sa s jej prvkami a vlastnosťami sme sa presvedčili o opodstatnenosti názoru o kráse tvaru pyramídy.
Ako výsledok nášho výskumu sme dospeli k záveru, že Egypťania, ktorí zozbierali najcennejšie matematické poznatky, ich stelesnili do pyramídy. Preto je pyramída skutočne najdokonalejším výtvorom prírody a človeka.
BIBLIOGRAFIA
"Geometria: Proc. pre 7 - 9 buniek. všeobecné vzdelanie inštitúcie \ atď - 9. vydanie - M .: Školstvo, 1999
Dejiny matematiky v škole, M: "Osvietenie", 1982
Geometria ročník 10-11, M: "Osvietenie", 2000
Peter Tompkins "Tajomstvo Veľkej Cheopsovej pyramídy", M: "Centropoligraph", 2005
internetové zdroje
http://veka-i-mig. *****/
http://tambov. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm
http://www. *****/enc/54373.html
Tu sú zhromaždené základné informácie o pyramídach a súvisiacich vzorcoch a konceptoch. Všetky sa študujú s tútorom z matematiky v rámci prípravy na skúšku.
Uvažujme rovinu, mnohouholník 
leží v ňom a bod S v ňom neleží. Pripojte S ku všetkým vrcholom mnohouholníka. Výsledný mnohosten sa nazýva pyramída. Segmenty sa nazývajú bočné hrany. Mnohouholník sa nazýva základňa a bod S sa nazýva vrchol pyramídy. V závislosti od čísla n sa pyramída nazýva trojuholníková (n=3), štvoruholníková (n=4), päťuholníková (n=5) atď. Alternatívny názov pre trojuholníkovú pyramídu - štvorsten. Výška pyramídy je kolmica vedená od jej vrcholu k základnej rovine. 
Pyramída sa nazýva správne ak pravidelný mnohouholník a základňou výšky pyramídy (základňa kolmice) je jej stred.
Komentár lektora:
Nezamieňajte si pojmy „pravidelná pyramída“ a „pravidelný štvorsten“. V pravidelnej pyramíde sa bočné hrany nemusia nevyhnutne rovnať hranám základne, ale v pravidelnom štvorstene je všetkých 6 hrán rovnakých. Toto je jeho definícia. Je ľahké dokázať, že rovnosť znamená, že stred P mnohouholníka s výškovou základňou, takže pravidelný štvorsten je pravidelná pyramída.
Čo je to apotém?
Apotémou pyramídy je výška jej bočnej steny. Ak je pyramída pravidelná, potom sú všetky jej apotémy rovnaké. Opak nie je pravdou. 
Doučovateľ matematiky o svojej terminológii: práca s pyramídami je z 80 % postavená prostredníctvom dvoch typov trojuholníkov:
1) Obsahuje apotém SK a výšku SP
2) Obsahuje bočnú hranu SA a jej projekciu PA 
Pre zjednodušenie odkazov na tieto trojuholníky je pre učiteľa matematiky vhodnejšie pomenovať prvý z nich apotemický a po druhé pobrežný. Žiaľ, túto terminológiu nenájdete v žiadnej z učebníc a učiteľ ju musí zaviesť jednostranne.
Objemový vzorec pyramídy:
1) 
, kde je plocha základne pyramídy a výška pyramídy
2) , kde je polomer zapísanej gule a je celková plocha pyramídy.
3) 
, kde MN je vzdialenosť akýchkoľvek dvoch pretínajúcich sa hrán a je to plocha rovnobežníka tvoreného stredmi štyroch zostávajúcich hrán.
Vlastnosť základne výšky pyramídy:
Bod P (pozri obrázok) sa zhoduje so stredom vpísanej kružnice na základni pyramídy, ak je splnená jedna z nasledujúcich podmienok:
1) Všetky apotémy sú si rovné
2) Všetky bočné plochy sú rovnako naklonené k základni
3) Všetky apotémy sú rovnako naklonené k výške pyramídy
4) Výška pyramídy je rovnako naklonená ku všetkým bočným stenám
Komentár učiteľa matematiky: všimnite si, že všetky body sú spojené jednou spoločnou vlastnosťou: tak či onak, bočné plochy sa zúčastňujú všade (ich prvky sú apotémy). Preto môže učiteľ ponúknuť menej presnú, ale pohodlnejšiu formuláciu na zapamätanie: bod P sa zhoduje so stredom vpísanej kružnice, základňou pyramídy, ak existujú rovnaké informácie o jej bočných stranách. Aby sme to dokázali, stačí ukázať, že všetky apotemické trojuholníky sú rovnaké.
Bod P sa zhoduje so stredom opísanej kružnice blízko základne pyramídy, ak je splnená jedna z troch podmienok:
1) Všetky bočné okraje sú rovnaké
2) Všetky bočné rebrá sú rovnako naklonené k základni
3) Všetky bočné rebrá sú rovnako sklonené do výšky
