V tejto lekcii budeme študovať rôzne možnosti interakcie kruhu a priamky. Pripomíname si v tomto prípade široko používané definície. Priamka je nedefinovateľný axiomatický geometrický útvar, čo je priama priamka bez začiatku a konca. Kruh je množina bodov, ktoré ležia v rovnakej vzdialenosti od spoločného stredu (stred kruhu) spojených spoločnou krivkou. Inými slovami, kruh je pravidelná uzavretá krivka, ktorá načrtáva maximálnu možnú oblasť.
Presne povedané, existujú tri možnosti pre relatívnu polohu kruhu a čiary. V prvom prípade priamka leží úplne mimo daného kruhu, nikde sa nepretína, ani sa ho nedotýka. Ak sa priamka dotýka práve jedného určitého bodu z množiny na kružnici, potom sa táto priamka nazýva dotyčnica vzhľadom k danej kružnici.
Tangenta má jednu dôležitú vlastnosť. Polomer nakreslený k bodu dotyku je kolmý na samotnú čiaru. Video ukazuje kružnicu so stredom O, priamku A a dotykový bod K. Keďže tento bod je v jednotnom čísle, priamka A je dotyčnicou tejto kružnice. A uhol v K, tvorený polomerom a ľubovoľnou časťou priamky, je pravý - rovný 90 stupňom. Za zmienku stojí aj dôležitá vlastnosť – dotyčnica má len jeden styčný bod. Nie je možné nakresliť priamku tak, aby sa dotýkala dvoch bodov na dotyčnici kruhu.
Ak naša čiara A prechádza celým kruhom a ovplyvňuje jeho vnútornú oblasť, potom je to už tretí špeciálny prípad interakcie týchto obrazcov. V tomto prípade priamka prechádza striktne cez dva body na kruhu - povedzme B a C. Nazýva sa sečna kruhu. Sečna prechádza vždy len cez ľubovoľné dva body z množiny na krivke. Pretože v kruhu je veľa bodov, je možné pre daný kruh nakresliť nekonečný počet sečníc (ako aj dotyčníc).
Vnútorná časť sečnice, v skutočnosti segment BC, je tetivou kruhu. Ak sečna prechádza stredom kruhu, potom jeho vnútornú časť predstavuje najväčšia tetiva - priemer. V tomto prípade sú priesečníky B a C od seba v najväčšej vzdialenosti (podľa vlastnosti priemeru). Je ľahké pochopiť, že opačným špeciálnym prípadom je sekanta, ktorá tvorí akord s nekonečne malou hodnotou, v skutočnosti je to už tangens.
V problémoch sa často nachádza segment P - spája najkratšiu cestu s vhodným bodom na priamke a stredom samotného kruhu. Inými slovami, P je segment TO, kde T je bod na priamke BC. Tento segment je kolmou na priamku, jej pokračovaním do samotnej kružnice je jej polomer. Lineárnu hodnotu tohto segmentu možno vypočítať pomocou kosínusu uhla vytvoreného polomerom a sečnicou s vrcholom v bode rezu.
Pripomeňme si dôležitú definíciu - definíciu kruhu]
Definícia:
Kruh so stredom v bode O a polomerom R je množina všetkých bodov v rovine, ktoré sú vo vzdialenosti R od bodu O.
Venujme pozornosť skutočnosti, že súbor sa nazýva kruh. všetky body, ktoré spĺňajú opísanú podmienku. Zvážte príklad:
Body A, B, C, D štvorca sú rovnako vzdialené od bodu E, nie sú však kružnicou (obr. 1).
Ryža. 1. Napríklad ilustrácia
V tomto prípade je obrazcom kruh, pretože je to celý súbor bodov rovnako vzdialených od stredu.
Ak spojíme ľubovoľné dva body kružnice, dostaneme tetivu. Tetiva prechádzajúca stredom sa nazýva priemer.
MB - akord; AB - priemer; MnB - oblúk, sťahuje sa tetivou MB;
Roh sa nazýva centrálny.
Bod O je stredom kruhu.
Ryža. 2. Napríklad ilustrácia
Tak sme si pripomenuli, čo je kruh a jeho hlavné prvky. Teraz prejdime k zváženiu relatívnej polohy kruhu a priamky.
Daná kružnica so stredom O a polomerom r. Priamka P, vzdialenosť od stredu k priamke, teda kolmica OM, sa rovná d.
Predpokladáme, že bod O neleží na priamke P.
Vzhľadom na kruh a priamku musíme nájsť počet spoločných bodov.
Prípad 1 - vzdialenosť od stredu kruhu k priamke je menšia ako polomer kruhu:
V prvom prípade, keď je vzdialenosť d menšia ako polomer kružnice r, bod M leží vo vnútri kružnice. Od tohto bodu si vyčleníme dva segmenty – MA a MB, ktorých dĺžka bude. Poznáme hodnoty r a d, d je menšie ako r, čo znamená, že výraz existuje a body A a B existujú. Tieto dva body ležia konštrukciou na priamke. Skontrolujeme, či ležia na kruhu. Vypočítajte vzdialenosť medzi OA a OB pomocou Pytagorovej vety:
Ryža. 3. Ilustrácia prípadu 1
Vzdialenosť od stredu k dvom bodom sa rovná polomeru kružnice, takže sme dokázali, že body A a B patria kružnici.
Takže body A a B patria konštrukciou do priamky, patria do kružnice podľa toho, čo bolo dokázané - kružnica a priamka majú dva spoločné body. Dokážme, že neexistujú žiadne ďalšie body (obr. 4).
Ryža. 4. Ilustrácia na dôkaz
Na to vezmite ľubovoľný bod C na priamke a predpokladajme, že leží na kružnici - vzdialenosť OS = r. V tomto prípade je trojuholník rovnoramenný a jeho stred ON, ktorý sa nezhoduje s úsečkou OM, je výška. Dostali sme rozpor: z bodu O na priamku klesli dve kolmice.
Na priamke P teda nie sú žiadne ďalšie spoločné body s kružnicou. Dokázali sme, že v prípade, keď je vzdialenosť d menšia ako polomer r kružnice, priamka a kružnica majú len dva spoločné body.
Prípad dva - vzdialenosť od stredu kruhu k priamke sa rovná polomeru kruhu (obr. 5):
Ryža. 5. Ilustrácia prípadu 2
Pripomeňme, že vzdialenosť od bodu k priamke je dĺžka kolmice, v tomto prípade OH je kolmica. Keďže podľa podmienky sa dĺžka OH rovná polomeru kružnice, potom bod H patrí kružnici, takže bod H je spoločný pre priamku a kružnicu.
Dokážme, že neexistujú žiadne ďalšie spoločné body. Naopak: predpokladajme, že bod C na priamke patrí kružnici. V tomto prípade je vzdialenosť OC r a potom OC je OH. Ale v pravouhlom trojuholníku je prepona OS väčšia ako noha OH. Máme rozpor. Predpoklad je teda nesprávny a neexistuje žiadny iný bod ako H, ktorý by bol spoločný pre priamku a kružnicu. Dokázali sme, že v tomto prípade je spoločný bod jedinečný.
Prípad 3 - vzdialenosť od stredu kruhu k priamke je väčšia ako polomer kruhu:
Vzdialenosť od bodu k priamke je dĺžka kolmice. Z bodu O nakreslíme kolmicu na priamku P, dostaneme bod H, ktorý neleží na kružnici, keďže OH je podľa podmienky väčší ako polomer kružnice. Dokážme, že žiadny iný bod priamky neleží na kružnici. To je dobre vidieť z pravouhlého trojuholníka, ktorého prepona OM je väčšia ako rameno OH, a teda väčšia ako polomer kružnice, takže bod M nepatrí do kruhu, ako akýkoľvek iný bod na priamke. Dokázali sme, že v tomto prípade kružnica a priamka nemajú spoločné body (obr. 6).
Ryža. 6. Ilustrácia prípadu 3
Zvážte teorém . Predpokladajme, že priamka AB má dva body spoločné s kružnicou (obr. 7).
Ryža. 7. Ilustrácia k vete
Máme akord AB. Bod H je podľa podmienky stredom tetivy AB a leží na priemere CD.
Je potrebné preukázať, že v tomto prípade je priemer kolmý na tetivu.
dôkaz:
Uvažujme rovnoramenný trojuholník OAB, je rovnoramenný, pretože .
Bod H je podľa podmienky stredom tetivy, čo znamená stred stredu AB rovnoramenného trojuholníka. Vieme, že stred rovnoramenného trojuholníka je kolmý na jeho základňu, čo znamená, že je to výška: teda je dokázané, že priemer prechádzajúci stredom tetivy je na ňu kolmý.
spravodlivé a konverzná veta : ak je priemer kolmý na tetivu, potom prechádza jej stredom.
Daná kružnica so stredom O, jej priemer CD a tetiva AB. Je známe, že priemer je kolmý na tetivu, je potrebné dokázať, že prechádza jej stredom (obr. 8).
Ryža. 8. Ilustrácia k vete
dôkaz:
Uvažujme rovnoramenný trojuholník OAB, je rovnoramenný, pretože . OH podľa podmienky je výška trojuholníka, pretože priemer je kolmý na tetivu. Výška v rovnoramennom trojuholníku je zároveň stredom, teda AH = HB, čo znamená, že bod H je stredom tetivy AB, čo znamená, že je dokázané, že priemer kolmý na tetivu prechádza jej stredom.
Priama a inverzná veta sa dá zovšeobecniť nasledovne.
Veta:
Priemer je kolmý na tetivu vtedy a len vtedy, ak prechádza jej stredom.
Takže sme zvážili všetky prípady vzájomného usporiadania priamky a kruhu. V ďalšej lekcii budeme uvažovať o dotyčnici ku kružnici.
Bibliografia
- Aleksandrov A.D. atď. Geometria 8. ročník. - M.: Vzdelávanie, 2006.
- Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometria 8. - M.: Osveta, 2011.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometria trieda 8. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.
- edu.glavsprav.ru ().
- Webmath.exponenta.ru().
- Fmclass.ru ().
Domáca úloha
Úloha 1. Nájdite dĺžky dvoch segmentov tetivy, na ktoré ju delí priemer kruhu, ak je dĺžka tetivy 16 cm a priemer je na ňu kolmý.
Úloha 2. Uveďte počet spoločných bodov priamky a kružnice, ak:
a) vzdialenosť od priamky k stredu kruhu je 6 cm a polomer kruhu je 6,05 cm;
b) vzdialenosť od priamky k stredu kruhu je 6,05 cm a polomer kruhu je 6 cm;
c) vzdialenosť od priamky k stredu kruhu je 8 cm a polomer kruhu je 16 cm.
Úloha 3. Nájdite dĺžku tetivy, ak je priemer na ňu kolmý a jeden zo segmentov odrezaných o priemer z nej je 2 cm.
Kruh- geometrický útvar pozostávajúci zo všetkých bodov roviny umiestnených v danej vzdialenosti od daného bodu.
Tento bod (O) sa nazýva stred kruhu.
Polomer kruhu je úsečka, ktorá spája stred s bodom na kružnici. Všetky polomery majú rovnakú dĺžku (podľa definície).
ChordÚsečka, ktorá spája dva body na kruhu. Tetiva prechádzajúca stredom kruhu sa nazýva priemer. Stred kruhu je stredom akéhokoľvek priemeru.
Akékoľvek dva body na kruhu ho rozdeľujú na dve časti. Každá z týchto častí je tzv kruhový oblúk. Oblúk je tzv polkruh ak segment spájajúci jeho konce má priemer.
Dĺžka jednotkového polkruhu je označená π
.
Súčet mierových mier dvoch kruhových oblúkov so spoločnými koncami je 360º.
Časť roviny ohraničená kružnicou sa nazýva okolo.
kruhový sektor- časť kružnice ohraničená oblúkom a dvoma polomermi spájajúcimi konce oblúka so stredom kružnice. Oblúk, ktorý ohraničuje sektor, sa nazýva sektorový oblúk.
Nazývajú sa dva kruhy, ktoré majú spoločný stred sústredné.
Dva kruhy, ktoré sa pretínajú v pravom uhle, sa nazývajú ortogonálne.
Vzájomné usporiadanie priamky a kruhu
- Ak je vzdialenosť od stredu kruhu k priamke menšia ako polomer kruhu ( d), potom majú priamka a kružnica dva spoločné body. V tomto prípade je linka tzv sekanta vo vzťahu ku kruhu.
- Ak sa vzdialenosť od stredu kruhu k priamke rovná polomeru kruhu, potom majú priamka a kruh iba jeden spoločný bod. Takáto čiara je tzv dotyčnica ku kružnici, a ich spoločným bodom je tzv bod dotyku medzi čiarou a kružnicou.
- Ak je vzdialenosť od stredu kruhu k čiare väčšia ako polomer kruhu, potom čiara a kružnica nemajú spoločné body .
Stredové a vpísané uhly
Centrálny roh je uhol s vrcholom v strede kruhu.
Vpísaný uhol Uhol, ktorého vrchol leží na kružnici a ktorého strany kružnicu pretínajú.
Veta o vpísanom uhle
Vpísaný uhol sa meria polovicou oblúka, ktorý pretína.
- Dôsledok 1.
Vpísané uhly zvierajúce rovnaký oblúk sú rovnaké. - Dôsledok 2.
Vpísaný uhol, ktorý pretína polkruh, je pravý uhol.
Veta o súčine úsečiek pretínajúcich sa akordov.
Ak sa pretínajú dva akordy kruhu, potom sa súčin segmentov jedného akordu rovná súčinu segmentov druhého akordu.
Základné vzorce
- obvod:
- Dĺžka oblúka:
- Priemer:
- Dĺžka oblúka:
kde α - miera stupňa dĺžky oblúka kruhu)
- Oblasť kruhu:
- Oblasť kruhového sektora:
Kruhová rovnica
- V pravouhlom súradnicovom systéme rovnica pre kruh s polomerom r sústredený na bod C(x o; y o) má tvar:
- Rovnica pre kružnicu s polomerom r so stredom v počiatku je:
Didaktický cieľ: formovanie nových poznatkov.
Ciele lekcie.
Návody:
- formovať matematické pojmy: dotyčnica ku kružnici, vzájomná poloha priamky a kružnice, dosiahnuť porozumenie a reprodukciu týchto pojmov žiakmi realizáciou praktickej výskumnej práce.
Úspora zdravia:
- vytváranie priaznivej psychologickej klímy v triede;
vyvíja sa:
- rozvíjať kognitívny záujem žiakov, schopnosť vysvetľovať, zovšeobecňovať výsledky, porovnávať, porovnávať, vyvodzovať závery.
Vzdelávacie:
- vzdelávanie pomocou matematiky kultúry osobnosti.
Formy štúdia:
- obsah - rozhovor, praktická práca;
- o organizácii činnosti – individuálnej, frontálnej.
Plán lekcie
| Bloky | Etapy lekcií |
| 1 blok | Organizácia času. Príprava na štúdium nového materiálu prostredníctvom opakovania a aktualizácie základných vedomostí. |
| 2 blok | Stanovenie cieľov. |
| 3 blok | Úvod do nového materiálu. Praktická výskumná práca. |
| 4 blok | Konsolidácia nového materiálu prostredníctvom riešenia problémov |
| 5 blok | Reflexia. Vykonávanie prác podľa hotového výkresu. |
| 6 blok | Zhrnutie lekcie. Stanovenie domácich úloh. |
Vybavenie:
- počítač, plátno, projektor;
- Pracovný list.
Vzdelávacie zdroje:
1. Matematika. Učebnica pre vzdelávacie inštitúcie 6. ročníka; / G.V. Dorofeev, M., Osvietenie, 2009
2. Marková V.I. Vlastnosti výučby geometrie v kontexte implementácie štátneho vzdelávacieho štandardu: usmernenia, Kirov, 2010
3. Atanasyan L.S. Učebnica "Geometria 7-9".
Počas vyučovania
| 1. Organizačný moment. Príprava na štúdium nového materiálu prostredníctvom opakovania a aktualizácie základných vedomostí. |
Pozdrav študentov. Označuje tému lekcie. Zistí, aké asociácie vznikajú so slovom „kruh“ |
Do zošita si zapíšte dátum a tému hodiny. Odpovedzte na otázku učiteľa. |
| 2. Stanovenie cieľa vyučovacej hodiny | Sumarizuje ciele formulované žiakmi, stanovuje ciele vyučovacej hodiny | Formulujte ciele lekcie. |
| 3. Oboznámenie sa s novým materiálom. | Organizuje konverzáciu, pýta sa na modeloch, aby ukázali, ako možno nájsť kruh a priamku. Organizujte praktickú prácu. Organizuje prácu s učebnicou. |
Odpovedzte na otázky učiteľa. Vykonajte praktickú prácu, urobte záver. Pracujú s učebnicou, nájdu záver a porovnajú ho s vlastným. |
| 4. Primárne porozumenie, upevnenie prostredníctvom riešenia problémov. | Organizuje prácu podľa hotových výkresov. Práca s učebnicou: str. 103 č. 498, č. 499. Riešenie problémov |
Ústne riešte problémy a komentujte riešenie. Vykonajte riešenie problémov a komentujte. |
| 5. Odraz. Vykonávanie prác podľa hotového výkresu | Inštruuje prácu, ktorá sa má vykonať. | Dokončite úlohu sami. Osobný test. Zhrnutie. |
| 6. Zhrnutie. Stanovenie domácich úloh | Študenti sú vyzvaní, aby analyzovali skupinu zostavenú na začiatku hodiny, aby ju spresnili s prihliadnutím na získané poznatky. | Zhrnutie. Študenti sa obracajú na stanovené ciele, analyzujú výsledky: čo sa naučili nové, čo sa naučili na hodine |
1. Organizačný moment. Aktualizácia znalostí.
Učiteľ povie tému hodiny. Zistí, aké asociácie vznikajú so slovom „kruh“.
Aký je priemer kruhu, ak je polomer 2,4 cm?
Aký je polomer, ak je priemer 6,8 cm?
2. Stanovenie cieľa.
Žiaci si stanovia ciele hodiny, učiteľ ich zosumarizuje a stanoví ciele hodiny.
Na lekcii je zostavený program aktivít.
3. Oboznámenie sa s novým materiálom.
1) Práca s modelmi: „Ukážte na modeloch, ako je možné umiestniť priamku a kruh v rovine.“
Koľko bodov majú spoločných?
2) Realizácia praktických výskumných prác.
Cieľ. Nastavte vlastnosť relatívnej polohy priamky a kružnice.
Vybavenie: kruh nakreslený na papieri a palica ako priamka, pravítko.
- Na obrázku (na hárku papiera) nastavte relatívnu polohu kruhu a priamky.
- Zmerajte polomer kruhu R a vzdialenosť od stredu kruhu k priamke d.
- Zaznamenajte výsledky štúdie do tabuľky.
| Obrázok | Vzájomné usporiadanie | Počet spoločných bodov | Polomer kruhu R | Vzdialenosť od stredu kruhu k priamke d | Porovnajte R a d |
4. Urobte záver o vzájomnej polohe priamky a kružnice v závislosti od pomeru R a d.
Záver: Ak sa vzdialenosť od stredu kružnice k priamke rovná polomeru, potom sa priamka dotýka kružnice a má s kružnicou jeden spoločný bod. Ak je vzdialenosť od stredu kruhu k čiare väčšia ako polomer, potom kružnica a čiara nemajú spoločné body. Ak je vzdialenosť od stredu kružnice k priamke menšia ako polomer, priamka pretína kružnicu a má s ňou dva spoločné body.
5. Primárne porozumenie, upevnenie prostredníctvom riešenia problémov.
1) Učebnicové úlohy: č.498, č.499.
2) Určite vzájomnú polohu priamky a kružnice, ak:
- 1. R = 16 cm, d = 12 cm
- 2. R = 5 cm, d = 4,2 cm
- 3. R = 7,2 dm, d = 3,7 dm
- 4. R = 8 cm, d = 1,2 dm
- 5. R = 5 cm, d = 50 mm
a) priamka a kružnica nemajú spoločné body;
b) priamka je dotyčnicou kružnice;
c) priamka pretína kružnicu.
- d je vzdialenosť od stredu kruhu k priamke, R je polomer kruhu.
3) Čo možno povedať o vzájomnej polohe priamky a kružnice, ak je priemer kružnice 10,3 cm a vzdialenosť od stredu kružnice k priamke je 4,15 cm; 2 dm; 103 mm; 5,15 cm, 1 dm 3 cm.
4) Daná kružnica so stredom O a bodom A. Kde je bod A, ak polomer kružnice je 7 cm a dĺžka úsečky OA je: a) 4 cm; b) 10 cm; c) 70 mm.
6. Reflexia
Čo ste sa naučili na lekcii?
Aké pravidlo sa zaviedlo?
Dokončite nasledujúce úlohy na kartách:
Nakreslite čiaru cez každé dva body. Koľko spoločných bodov má každá z čiar s kružnicou.
Čiara ______ a kružnica nemajú spoločné body.
Čiara ______ a kruh majú iba jeden ___________ bod.
Čiary ______, _______, ________, _______ a kruh majú dva spoločné body.
7. Zhrnutie. Nastavenie domácej úlohy:
1) analyzovať zoskupenie zostavené na začiatku hodiny, spresniť ho s prihliadnutím na získané poznatky;
2) učebnica: č. 500;
3) vyplňte tabuľku (na kartách).
| Polomer kruhu | 4 cm | 6,2 cm | 3,5 cm | 1,8 cm | ||
| Vzdialenosť od stredu kruhu k čiare | 7 cm | 5,12 cm | 3,5 cm | 9,3 cm | 8,25 m | |
| Záver o vzájomnej polohe kruhu a priamky | Rovno prekročí kruh |
Rovno sa dotýka kruhu |
Rovno neprekročí kruh |
Pripomeňme si dôležitú definíciu - definíciu kruhu]
Definícia:
Kruh so stredom v bode O a polomerom R je množina všetkých bodov v rovine, ktoré sú vo vzdialenosti R od bodu O.
Venujme pozornosť skutočnosti, že súbor sa nazýva kruh. všetky body, ktoré spĺňajú opísanú podmienku. Zvážte príklad:
Body A, B, C, D štvorca sú rovnako vzdialené od bodu E, nie sú však kružnicou (obr. 1).
Ryža. 1. Napríklad ilustrácia
V tomto prípade je obrazcom kruh, pretože je to celý súbor bodov rovnako vzdialených od stredu.
Ak spojíme ľubovoľné dva body kružnice, dostaneme tetivu. Tetiva prechádzajúca stredom sa nazýva priemer.
MB - akord; AB - priemer; MnB - oblúk, sťahuje sa tetivou MB;
Roh sa nazýva centrálny.
Bod O je stredom kruhu.
Ryža. 2. Napríklad ilustrácia
Tak sme si pripomenuli, čo je kruh a jeho hlavné prvky. Teraz prejdime k zváženiu relatívnej polohy kruhu a priamky.
Daná kružnica so stredom O a polomerom r. Priamka P, vzdialenosť od stredu k priamke, teda kolmica OM, sa rovná d.
Predpokladáme, že bod O neleží na priamke P.
Vzhľadom na kruh a priamku musíme nájsť počet spoločných bodov.
Prípad 1 - vzdialenosť od stredu kruhu k priamke je menšia ako polomer kruhu:
V prvom prípade, keď je vzdialenosť d menšia ako polomer kružnice r, bod M leží vo vnútri kružnice. Od tohto bodu si vyčleníme dva segmenty – MA a MB, ktorých dĺžka bude. Poznáme hodnoty r a d, d je menšie ako r, čo znamená, že výraz existuje a body A a B existujú. Tieto dva body ležia konštrukciou na priamke. Skontrolujeme, či ležia na kruhu. Vypočítajte vzdialenosť medzi OA a OB pomocou Pytagorovej vety:
Ryža. 3. Ilustrácia prípadu 1
Vzdialenosť od stredu k dvom bodom sa rovná polomeru kružnice, takže sme dokázali, že body A a B patria kružnici.
Takže body A a B patria konštrukciou do priamky, patria do kružnice podľa toho, čo bolo dokázané - kružnica a priamka majú dva spoločné body. Dokážme, že neexistujú žiadne ďalšie body (obr. 4).
Ryža. 4. Ilustrácia na dôkaz
Na to vezmite ľubovoľný bod C na priamke a predpokladajme, že leží na kružnici - vzdialenosť OS = r. V tomto prípade je trojuholník rovnoramenný a jeho stred ON, ktorý sa nezhoduje s úsečkou OM, je výška. Dostali sme rozpor: z bodu O na priamku klesli dve kolmice.
Na priamke P teda nie sú žiadne ďalšie spoločné body s kružnicou. Dokázali sme, že v prípade, keď je vzdialenosť d menšia ako polomer r kružnice, priamka a kružnica majú len dva spoločné body.
Prípad dva - vzdialenosť od stredu kruhu k priamke sa rovná polomeru kruhu (obr. 5):
Ryža. 5. Ilustrácia prípadu 2
Pripomeňme, že vzdialenosť od bodu k priamke je dĺžka kolmice, v tomto prípade OH je kolmica. Keďže podľa podmienky sa dĺžka OH rovná polomeru kružnice, potom bod H patrí kružnici, takže bod H je spoločný pre priamku a kružnicu.
Dokážme, že neexistujú žiadne ďalšie spoločné body. Naopak: predpokladajme, že bod C na priamke patrí kružnici. V tomto prípade je vzdialenosť OC r a potom OC je OH. Ale v pravouhlom trojuholníku je prepona OS väčšia ako noha OH. Máme rozpor. Predpoklad je teda nesprávny a neexistuje žiadny iný bod ako H, ktorý by bol spoločný pre priamku a kružnicu. Dokázali sme, že v tomto prípade je spoločný bod jedinečný.
Prípad 3 - vzdialenosť od stredu kruhu k priamke je väčšia ako polomer kruhu:
Vzdialenosť od bodu k priamke je dĺžka kolmice. Z bodu O nakreslíme kolmicu na priamku P, dostaneme bod H, ktorý neleží na kružnici, keďže OH je podľa podmienky väčší ako polomer kružnice. Dokážme, že žiadny iný bod priamky neleží na kružnici. To je dobre vidieť z pravouhlého trojuholníka, ktorého prepona OM je väčšia ako rameno OH, a teda väčšia ako polomer kružnice, takže bod M nepatrí do kruhu, ako akýkoľvek iný bod na priamke. Dokázali sme, že v tomto prípade kružnica a priamka nemajú spoločné body (obr. 6).
Ryža. 6. Ilustrácia prípadu 3
Zvážte teorém . Predpokladajme, že priamka AB má dva body spoločné s kružnicou (obr. 7).
Ryža. 7. Ilustrácia k vete
Máme akord AB. Bod H je podľa podmienky stredom tetivy AB a leží na priemere CD.
Je potrebné preukázať, že v tomto prípade je priemer kolmý na tetivu.
dôkaz:
Uvažujme rovnoramenný trojuholník OAB, je rovnoramenný, pretože .
Bod H je podľa podmienky stredom tetivy, čo znamená stred stredu AB rovnoramenného trojuholníka. Vieme, že stred rovnoramenného trojuholníka je kolmý na jeho základňu, čo znamená, že je to výška: teda je dokázané, že priemer prechádzajúci stredom tetivy je na ňu kolmý.
spravodlivé a konverzná veta : ak je priemer kolmý na tetivu, potom prechádza jej stredom.
Daná kružnica so stredom O, jej priemer CD a tetiva AB. Je známe, že priemer je kolmý na tetivu, je potrebné dokázať, že prechádza jej stredom (obr. 8).
Ryža. 8. Ilustrácia k vete
dôkaz:
Uvažujme rovnoramenný trojuholník OAB, je rovnoramenný, pretože . OH podľa podmienky je výška trojuholníka, pretože priemer je kolmý na tetivu. Výška v rovnoramennom trojuholníku je zároveň stredom, teda AH = HB, čo znamená, že bod H je stredom tetivy AB, čo znamená, že je dokázané, že priemer kolmý na tetivu prechádza jej stredom.
Priama a inverzná veta sa dá zovšeobecniť nasledovne.
Veta:
Priemer je kolmý na tetivu vtedy a len vtedy, ak prechádza jej stredom.
Takže sme zvážili všetky prípady vzájomného usporiadania priamky a kruhu. V ďalšej lekcii budeme uvažovať o dotyčnici ku kružnici.
Bibliografia
- Aleksandrov A.D. atď. Geometria 8. ročník. - M.: Vzdelávanie, 2006.
- Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometria 8. - M.: Osveta, 2011.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometria trieda 8. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.
- edu.glavsprav.ru ().
- Webmath.exponenta.ru().
- Fmclass.ru ().
Domáca úloha
Úloha 1. Nájdite dĺžky dvoch segmentov tetivy, na ktoré ju delí priemer kruhu, ak je dĺžka tetivy 16 cm a priemer je na ňu kolmý.
Úloha 2. Uveďte počet spoločných bodov priamky a kružnice, ak:
a) vzdialenosť od priamky k stredu kruhu je 6 cm a polomer kruhu je 6,05 cm;
b) vzdialenosť od priamky k stredu kruhu je 6,05 cm a polomer kruhu je 6 cm;
c) vzdialenosť od priamky k stredu kruhu je 8 cm a polomer kruhu je 16 cm.
Úloha 3. Nájdite dĺžku tetivy, ak je priemer na ňu kolmý a jeden zo segmentov odrezaných o priemer z nej je 2 cm.
