Najprv sa pokúste nájsť doménu funkcie:

Zvládli ste to? Porovnajme odpovede:

Je všetko v poriadku? Výborne!

Teraz sa pokúsme nájsť rozsah hodnôt funkcie:

Nájdené? Porovnajme:

Súhlasilo to? Výborne!

Opäť pracujme s grafmi, len teraz je to trochu komplikovanejšie - nájdite ako doménu definície funkcie, tak aj rozsah hodnôt funkcie.

Ako nájsť doménu aj rozsah funkcie (pokročilé)

Tu je to, čo sa stalo:

Myslím, že ste pochopili grafy. Teraz sa pokúsme nájsť doménu definície funkcie v súlade so vzorcami (ak neviete, ako to urobiť, prečítajte si časť o):

Zvládli ste to? Skontrolujme to odpovede:

1. , pretože výraz radikálu musí byť väčší alebo rovný nule.
2. , pretože nemôžete deliť nulou a radikálny výraz nemôže byť záporný.
3. , keďže, respektíve pre všetkých.
4. , pretože nemôžete deliť nulou.

Stále však máme ešte jeden nezodpovedaný bod...

Ešte raz zopakujem definíciu a zdôrazním ju:

Všimli ste si? Slovo „single“ je veľmi, veľmi dôležitým prvkom našej definície. Skúsim ti to vysvetliť prstami.

Povedzme, že máme funkciu definovanú priamkou. . Túto hodnotu dosadíme do nášho „pravidla“ a získame ju. Jedna hodnota zodpovedá jednej hodnote. Môžeme dokonca vytvoriť tabuľku rôznych hodnôt a graf tejto funkcie, aby sme sa sami presvedčili.

„Pozri! - poviete: ""vyskytuje sa dvakrát!" Takže možno parabola nie je funkcia? Nie, je!

Skutočnosť, že sa „ “ objaví dvakrát, nie je dôvodom na obviňovanie paraboly z nejednoznačnosti!

Faktom je, že pri výpočte sme dostali jednu hru. A pri kalkulácii sme dostali jednu hru. Takže je to tak, parabola je funkcia. Pozrite sa na graf:

Mám to? Ak nie, tu je príklad zo života, ktorý má k matematike veľmi ďaleko!

Povedzme, že máme skupinu žiadateľov, ktorí sa stretli pri predkladaní dokumentov, pričom každý z nich v rozhovore povedal, kde žije:

Súhlasíte, je celkom možné, že v jednom meste žije niekoľko ľudí, ale je nemožné, aby jeden človek žil súčasne vo viacerých mestách. Je to ako logické znázornenie našej „paraboly“ - Niekoľko rôznych X zodpovedá tej istej hre.

Teraz si predstavme príklad, kde závislosť nie je funkciou. Povedzme, že tí istí chlapci nám povedali, o aké špeciality sa uchádzali:

Tu máme úplne inú situáciu: jedna osoba môže ľahko predložiť dokumenty pre jeden alebo niekoľko smerov. Teda jeden prvok sady sú uvedené do korešpondencie niekoľko prvkov zástupy. resp. toto nie je funkcia.

Otestujme si svoje vedomosti v praxi.

Určte z obrázkov, čo je funkcia a čo nie:

Mám to? A je to tu odpovede:

• Funkcia je - B, E.
• Funkcia nie je - A, B, D, D.

Pýtate sa prečo? Áno, tu je dôvod:

Na všetkých obrázkoch okrem IN) A E) Je ich niekoľko na jedného!

Som si istý, že teraz môžete ľahko rozlíšiť funkciu od nefunkcie, povedať, čo je argument a čo je závislá premenná, a tiež určiť rozsah prípustných hodnôt argumentu a rozsah definície funkcie . Prejdime k ďalšej časti – ako nastaviť funkciu?

Metódy určenia funkcie

Čo si myslíte, že slová znamenajú? "nastaviť funkciu"? Presne tak, to znamená každému vysvetliť, o akú funkciu v tomto prípade ide. Navyše to vysvetlite tak, aby vám každý správne rozumel a grafy funkcií nakreslené ľuďmi na základe vášho vysvetlenia boli rovnaké.

Ako to môžem spraviť? Ako nastaviť funkciu? Najjednoduchšia metóda, ktorá už bola v tomto článku použitá viackrát, je pomocou vzorca. Napíšeme vzorec a dosadením hodnoty do neho vypočítame hodnotu. A ako si pamätáte, vzorec je zákon, pravidlo, podľa ktorého je nám a inej osobe jasné, ako sa X zmení na Y.

Zvyčajne to robia presne takto - v úlohách vidíme hotové funkcie špecifikované vzorcami, existujú však aj iné spôsoby, ako nastaviť funkciu, na ktorú každý zabudne, a preto je tu otázka „ako inak môžete nastaviť funkciu?“ prepážky. Poďme pochopiť všetko v poriadku a začnime s analytickou metódou.

Analytická metóda špecifikácie funkcie

Analytická metóda je špecifikovať funkciu pomocou vzorca. Ide o najuniverzálnejšiu, najkomplexnejšiu a jednoznačnú metódu. Ak máte vzorec, potom viete úplne všetko o funkcii - môžete z nej vytvoriť tabuľku hodnôt, môžete zostaviť graf, určiť, kde funkcia rastie a kde klesá, vo všeobecnosti ju študujte plne.

Zoberme si funkciu. Aký je rozdiel?

"Čo to znamená?" - pýtaš sa. Teraz vysvetlím.

Pripomínam, že v zápise sa výraz v zátvorkách nazýva argument. A tento argument môže byť akýkoľvek výraz, nie nevyhnutne jednoduchý. Podľa toho, nech je argument (výraz v zátvorkách) akýkoľvek, napíšeme ho do výrazu.

V našom príklade to bude vyzerať takto:

Pozrime sa na ďalšiu úlohu súvisiacu s analytickou metódou špecifikácie funkcie, ktorú budete mať na skúške.

Nájdite hodnotu výrazu na.

Som si istý, že ste sa najprv zľakli, keď ste videli takýto výraz, ale nie je na tom absolútne nič strašidelné!

Všetko je rovnaké ako v predchádzajúcom príklade: akýkoľvek argument (výraz v zátvorkách) je, napíšeme ho do výrazu. Napríklad pre funkciu.

Čo je potrebné urobiť v našom príklade? Namiesto toho musíte napísať a namiesto toho -:

skrátiť výsledný výraz:

To je všetko!

Samostatná práca

Teraz sa pokúste sami nájsť význam nasledujúcich výrazov:

1. , Ak
2. , Ak

Zvládli ste to? Porovnajme naše odpovede: Sme zvyknutí, že funkcia má tvar

Aj v našich príkladoch definujeme funkciu presne takto, ale analyticky je možné funkciu špecifikovať napríklad v implicitnej forme.

Skúste si vytvoriť túto funkciu sami.

Zvládli ste to?

Takto som to postavil.

Akú rovnicu sme nakoniec odvodili?

Správny! Lineárne, čo znamená, že graf bude priamka. Urobme tabuľku, aby sme určili, ktoré body patria do našej čiary:

Presne o tomto sme hovorili... Jedno zodpovedá viacerým.

Skúsme nakresliť, čo sa stalo:

Je to, čo máme, funkciou?

Presne tak, nie! prečo? Skúste si na túto otázku odpovedať pomocou kresby. Čo si dostal?

"Pretože jedna hodnota zodpovedá viacerým hodnotám!"

Aký záver z toho môžeme vyvodiť?

Správne, funkcia nemôže byť vždy vyjadrená explicitne a to, čo je „prezlečené“ za funkciu, nie je vždy funkciou!

Tabuľkový spôsob určenia funkcie

Ako už názov napovedá, táto metóda je jednoduchým znakom. Áno áno. Takú, akú sme už vytvorili vy a ja. Napríklad:

Tu ste si okamžite všimli vzor - Y je trikrát väčšie ako X. A teraz úloha „veľmi pozorne premýšľať“: myslíte si, že funkcia zadaná vo forme tabuľky je ekvivalentná funkcii?

Nehovorme dlho, ale poďme kresliť!

Takže. Funkciu určenú tapetou nakreslíme nasledujúcimi spôsobmi:

Vidíš ten rozdiel? Nie je to všetko o vyznačených bodoch! Pozrieť sa na to bližšie:

Videli ste to teraz? Keď definujeme funkciu tabuľkovým spôsobom, na grafe zobrazíme len tie body, ktoré máme v tabuľke a priamka (ako v našom prípade) prechádza len nimi. Keď definujeme funkciu analyticky, môžeme vziať ľubovoľné body a naša funkcia nie je na ne obmedzená. Toto je zvláštnosť. Pamätajte!

Grafická metóda konštrukcie funkcie

Nemenej pohodlný je aj grafický spôsob konštrukcie funkcie. Nakreslíme si svoju funkciu a ďalší záujemca môže nájsť, čomu sa rovná y pri určitom x a podobne. Medzi najbežnejšie patria grafické a analytické metódy.

Tu si však musíte pamätať, o čom sme hovorili na úplnom začiatku - nie každá „krivka“ nakreslená v súradnicovom systéme je funkcia! Pamätáš si? Pre každý prípad tu skopírujem definíciu funkcie:

Ľudia spravidla presne vymenúvajú tri spôsoby špecifikácie funkcie, o ktorých sme hovorili - analytický (pomocou vzorca), tabuľkový a grafický, pričom úplne zabúdajú, že funkciu možno opísať slovne. Páči sa ti to? Áno, veľmi jednoduché!

Slovný popis funkcie

Ako opísať funkciu slovne? Vezmime si náš nedávny príklad – . Túto funkciu možno opísať ako „každá skutočná hodnota x zodpovedá jej trojitej hodnote“. To je všetko. Nič zložité. Samozrejme budete namietať - „existujú také zložité funkcie, že je jednoducho nemožné špecifikovať verbálne! Áno, existujú, ale sú funkcie, ktoré je jednoduchšie opísať slovne ako definovať pomocou vzorca. Napríklad: „každá prirodzená hodnota x zodpovedá rozdielu medzi číslicami, z ktorých pozostáva, zatiaľ čo minuend sa považuje za najväčšiu číslicu obsiahnutú v zápise čísla.“ Teraz sa pozrime, ako je náš slovný popis funkcie implementovaný v praxi:

Najväčšia číslica v danom čísle je mínus, potom:

Hlavné typy funkcií

Teraz prejdime k tomu najzaujímavejšiemu – pozrime sa na hlavné typy funkcií, s ktorými ste v rámci školskej a vysokoškolskej matematiky pracovali/pracujete a budete pracovať, teda poďme sa s nimi takpovediac zoznámiť a uveďte ich krátky popis. Prečítajte si viac o každej funkcii v príslušnej časti.

Lineárna funkcia

Funkcia tvaru kde, sú reálne čísla.

Graf tejto funkcie je priamka, takže zostrojenie lineárnej funkcie spočíva v nájdení súradníc dvoch bodov.

Poloha priamky v rovine súradníc závisí od uhlového koeficientu.

Rozsah funkcie (známy aj ako rozsah platných hodnôt argumentov) je .

Rozsah hodnôt - .

Kvadratická funkcia

Funkcia formulára, kde

Grafom funkcie je parabola; keď vetvy paraboly smerujú nadol, keď vetvy smerujú nahor.

Mnohé vlastnosti kvadratickej funkcie závisia od hodnoty diskriminantu. Diskriminant sa vypočíta pomocou vzorca

Poloha paraboly v súradnicovej rovine vzhľadom na hodnotu a koeficient je znázornená na obrázku:

doména

Rozsah hodnôt závisí od extrému danej funkcie (vrcholový bod paraboly) a koeficientu (smer vetiev paraboly)

Inverzná úmernosť

Funkcia daná vzorcom, kde

Číslo sa nazýva koeficient nepriamej úmernosti. V závislosti od hodnoty sú vetvy hyperboly v rôznych štvorcoch:

Doména - .

Rozsah hodnôt - .

SÚHRN A ZÁKLADNÉ VZORCE

1. Funkcia je pravidlo, podľa ktorého je každý prvok množiny spojený s jedným prvkom množiny.

• - ide o vzorec označujúci funkciu, teda závislosť jednej premennej od druhej;
• - premenná hodnota alebo argument;
• - závislá veličina - mení sa pri zmene argumentu, teda podľa akéhokoľvek špecifického vzorca odrážajúceho závislosť jednej veličiny od druhej.

2. Platné hodnoty argumentov, alebo definičný obor funkcie, je to, čo je spojené s možnosťami, v ktorých má funkcia zmysel.

3. Rozsah funkcií- to je to, aké hodnoty to má vzhľadom na prijateľné hodnoty.

4. Existujú 4 spôsoby nastavenia funkcie:

• analytické (pomocou vzorcov);
• tabuľkový;
• grafický
• slovný popis.

5. Hlavné typy funkcií:

• : , kde, sú reálne čísla;
• : , Kde;
• : , Kde.

Jedna z možných schém na štúdium funkcie a zostrojenie grafu je rozložená do nasledujúcich etáp riešenia úlohy: 1. Doména definície funkcie (O.O.F.). 2. Body zlomu funkcií, ich podstata. Vertikálne asymptoty. 3. Párna, nepárna, periodicita funkcie. 4. Priesečníky grafu so súradnicovými osami. 5. Správanie sa funkcie v nekonečne. Horizontálne a šikmé asymptoty. 6. Intervaly monotónnosti funkcie, maximálne a minimálne body. 7. Smery konvexnosti krivky. Inflexné body. 8. Graf funkcie. Príklad 1. Zostrojte graf funkcie y = 1. (vereiora alebo curl Maria Anyei). - celá číselná os. 2. Neexistujú žiadne body zlomu; neexistujú žiadne vertikálne asymptoty. 3. Funkcia je párna: , takže jej graf je symetrický vzhľadom na os Oy\ neperiodický. Z parity funkcie vyplýva, že stačí zostrojiť jej graf na polpriamke x ^ O a potom zrkadliť na osi Oy. 4. Pri x = 0 máme Yx, takže graf funkcie leží v hornej polrovine y > 0. Schéma na zostrojenie grafu funkcie Štúdium funkcií do extrému pomocou derivácií vyšších rádov Výpočet koreňov rovníc pomocou metód tetiv a dotyčníc, že ​​graf má vodorovnú asymptotu y = O, neexistujú šikmé asymptoty. Funkcia sa teda zvyšuje kedy a kedy klesá. Bod x = 0 je kritický. Keď x prechádza bodom x = 0, derivácia y"(x) zmení znamienko z mínus na plus. Preto bod x = 0 je maximálny bod, y(Q) = I. Tento výsledok je celkom zrejmý: / (x) = T^ IV*. Druhá derivácia mizne v bodoch x = . Preskúmame bod x = 4- (ďalej úvahy o symetrii). Keď máme, krivka je konvexná smerom nadol, keď dostaneme (krivka je konvexný smerom nahor). V dôsledku toho je bod x = = - grafom inflexného bodu funkcie. Výsledky štúdie zhrnieme v tabuľke: Inflexný bod max Inflexný bod V tabuľke šípka „Y“ označuje zvýšenie funkcie, šípka "\" označuje jej pokles. Graf funkcie je na obr. 33. Príklad 2. Zostrojte graf funkcie (Newtonov trojzubec ) - celá číselná os, okrem bodu 2. Nespojitosť bod funkcie. Máme tak, že priamka x = 0 je vertikálna asymptota. 3. Funkcia nie je párna ani nepárna [funkcia všeobecnej polohy], neperiodická Za predpokladu, že dostaneme graf funkcie pretína os Ox v bode (-1,0).Neexistujú žiadne šikmé a horizontálne asymptoty.Preto kritický bod. Druhá derivácia funkcie v bode, takže x = je minimálny bod. Druhá derivácia sa v bode zmení na uul a pri prechode týmto bodom zmení svoje znamienko. Preto je bod inflexným bodom krivky. Pre) máme e) konvexnosť krivky smeruje nadol; lebo -ja máme. konvexnosť krivky smeruje nahor. Výsledky štúdie sú zhrnuté v tabuľke: Neexistuje Neexistuje Neexistuje Inflexný bod Neexistuje. Vertikálna asymptota derivácie torusu zaniká pri x = e,/2. a keď x prejde týmto bodom, y" zmení znamienko. V dôsledku toho je úsečka inflexného bodu krivky. Výsledky štúdie zhrnieme do tabuľky: Inflexný bod. Graf funkcie je znázornený na obr. 37. Príklad 4. Zostrojte graf funkcie celej číselnej osi, bez bodu Bodová bodová diskontinuita 2. druhu funkcie Od Km ., potom priama vertikálna asymptota grafu funkcie Všeobecná polohová funkcia, ne -periodický. Pri nastavení y = 0 máme, odkiaľ graf funkcie pretína os Ox v bode Preto má graf funkcie šikmú asymptotu Z podmienky, ktorú získame - kritický bod Druhá derivácia funkcie y" = D > 0 všade v definičnom obore, najmä v bode - minimálnom bode funkcie. 7. Pretože potom všade v obore definície funkcie smeruje konvexnosť jej grafu nadol. Výsledky štúdie sú zhrnuté v tabuľke: Neexistuje Neexistuje Neexistuje Neexistuje. x \u003d 0 - vertikálna asymptota Graf funkcie je znázornený na obr. Príklad 5. Nakreslite graf funkcie celej číselnej osi. 2. Všade nepretržite. Neexistujú žiadne vertikálne asymptoty. 3. Všeobecná poloha, neperiodická. 4. Funkcia zaniká v bode 5. Graf funkcie má teda šikmú asymptotu, derivácia zaniká v bode a neexistuje v bode. Keď x prechádza bodom) derivácia nemení znamienko, takže v bode x = 0 neexistuje extrém. Keď bod x prechádza bodom, derivácia) zmení znamienko z „+“ na Takže funkcia má maximum. Keď x prechádza bodom x = 3 (x > I), derivácia y"(x) zmení znamienko, t.j. v bode x = 3 má funkcia minimum. 7. Nájdenie druhej derivácie Schéma na zostrojenie grafu funkcie Štúdium funkcií do extrému pomocou derivácií vyššieho rádu Výpočet koreňov rovníc metódou tetivy a dotyčnice Druhá derivácia y"(x) neexistuje v bode x = 0 a keď x prechádza bodom x = 0 y" zmení znamienko z + na tak, že bod (0,0) krivky je inflexný bod so zvislou dotyčnicou. V bode x = 3 nie je v grafe inflexia. Všade v polrovine x > 0 konvexita krivky smeruje nahor Výsledky štúdie sú zhrnuté v tabuľke: Neexistuje Neexistuje Neexistuje Neexistuje Neexistuje Inflexný bod (0,0) so zvislou dotyčnicou Graf funkcie je uvedený v Obr. Obr. 39. §7. Štúdium funkcií pre extrém pomocou derivácií vyššieho rádu Na nájdenie maximálnych a minimálnych bodov funkcií možno použiť Taylorov vzorec. Veta It. Nech funkcia f(x) v niektorom okolí bodu xq má deriváciu n-tého rádu, spojitú v bode xo. Nech je 0. Ak je teda číslo n nepárne, potom funkcia f(x) v bode x0 má žiadny extrém; keď je n párne, potom v bode x0 má funkcia f(x) maximum, ak /(n)(x0)< 0, и минимум, если /. В силу определения точек максимума и минимума вопрос о том, имеет ли функция f(x) в точке х0 экстремум, сводится к тому, существует ли такое <5 > 0, ktorá je v intervale, si rozdiel - /(x0) zachováva svoje znamienko. Pomocou Taylorovho vzorca ako podmienky potom z (1) dostaneme 1podmienku f(n*(r) je spojitá v bode a Φ Preto kvôli stabilite názvu spojitej funkcie existuje taká, že v interval () sa nemení a zhoduje sa so znamienkom f(n)( xo) Uvažujme možné prípady: 1) n je párne číslo a / Potom som teda na základe (2). Podľa definície to znamená, že bod r je minimálny bod funkcie /(r). 2) n - párne a. Potom budeme mať i spolu s týmto a preto bod i bude v tomto prípade maximálnym bodom funkcie /(r). 3) n je nepárne číslo, / - Potom pre x > x0 sa znamienko > bude zhodovať so znamienkom /(n)(th) a pre r th to bude naopak. Preto, nech je 0 akokoľvek malá, znamienko rozdielu f(r) - f(r) nebude rovnaké pre všetky x e (r - 6, r + £). Následne v tomto prípade funkcia f(r) v bode nie nemá extrém. Príklad. Uvažujme funkcie A. Je ľahké vidieť, že bod x = 0 je kritickým bodom oboch funkcií. Pre funkciu y = x4 je prvá z nenulových derivácií v bode x = 0 derivácia 4. rádu: Tu je teda n = 4 párne a. Preto v bode x = 0 má funkcia y = x4 minimum. Pre funkciu y = x) je prvá z derivácií, ktoré sú v bode x = 0 nenulové, derivácia 3. rádu. Takže v tomto prípade je n = 3 nepárne a v bode x = 0 funkcia y = x3 nemá extrém. Komentujte. Pomocou Taylorovho vzorca dokážeme nasledujúcu vetu, ktorá vyjadruje dostatočné podmienky pre inflexný bod. "Veta 12. Nech má funkcia /(r) v niektorom okolí bodu r0 deriváciu tého rádu, spojitú v bode xq. Nech, ale /(n)(*o) Φ 0. Potom, ak n je nepárne číslo, potom bod Mo(x0, f(x®)) je inflexný bod grafu funkcie y = f(x).Najjednoduchší príklad poskytuje funkcia §8. Výpočet koreňov rovnice využívajúce metódy tetiv a dotyčníc Problémom je nájsť skutočný koreň rovnice, predpokladajme, že sú splnené nasledujúce podmienky: 1) funkcia f(x) je spojitá na intervale [a, 6]; ) čísla f(a) a f(b) sú v znamienku opačné: 3) na intervale [a, 6] existujú derivácie f"(x) a f"(x), ktoré zachovávajú konštantné znamienko na tomto segmente. Z podmienok 1) a 2) na základe Bolzano-Cauchyho vety (str. 220) vyplýva, že funkcia /(x) zaniká aspoň v jednom bode £ € ( a, b), teda rovnica (1) má aspoň jeden skutočný koreň £ v intervale (a, 6). Keďže na základe podmienky 3 zostáva derivácia /"(x) na [a, b\ konštantným znamienkom, potom je f(x) monotónna na [a, b] a teda v intervale (a, b) má rovnica (1) iba jeden reálny koreň. Uvažujme metódu na výpočet približnej hodnoty tohto jediného reálneho koreňa £ € (a, 6) rovnice ( I ) s akoukoľvek mierou presnosti. Možné sú štyri prípady (obr. 40): 1) Obr. 40 Pre definitívnosť si vezmime prípad, keď f \ x) > 0, f "(x) > 0 na úsečke [a, 6) (obr. 41). Spojme body A (a, / (a) ) a B (b, f(b)) tetivou A B. Ide o úsečku priamky prechádzajúcej bodmi A a B, ktorej rovnicu y \u003d 0 nájdeme Z obr. 41 je ľahké aby sme videli, že bod a \ sa bude vždy nachádzať na tej strane, od ktorej sú znamienka f (x) a f "(x) opačné. Nakreslíme teraz dotyčnicu ku krivke y \u003d f (x) v bode B (b, f(b)), t. j. na tom konci oblúka ^AB, na ktorom majú f(x) a /"(x) rovnaké znamienko. Toto je základná podmienka: bez nej je priesečník dotyčnica k os x nemusí vôbec poskytnúť aproximáciu k požadovanému koreňu. Bod b\, v ktorom dotyčnica pretína os x, sa nachádza medzi t a b na tej istej strane ako 6 a je lepšou aproximáciou ako b. Táto dotyčnica je určená rovnicou Za predpokladu y = 0 v (3) nájdeme b\: Schéma na zostrojenie grafu funkcie Skúmanie funkcií pre extrém pomocou derivácií vyššieho rádu Výpočet koreňov rovníc podľa metódy akordov a dotyčníc Pre absolútnu chybu približných hodnôt aj a 6, koreňa £, môžeme vziať hodnotu |6i - ai|. Ak je táto chyba väčšia ako prípustná, potom, ak vezmeme segment ako pôvodný, nájdeme nasledujúce aproximácie koreňa kde. Pokračujúc v tomto procese získame dve postupnosti približných hodnôt: Postupnosti (an) a (bn) sú monotónne a obmedzené, a preto majú limity. Nech Dá sa ukázať, že ak sú splnené vyššie uvedené podmienky, 1 do jediného koreňa rovnice / Príklad. Nájdite koreň (rovnica r2 - 1 = 0 na segmente . Teda sú splnené všetky podmienky na zabezpečenie existencie jedného koreňa (rovnica x2 - 1 = 0 na segmente . . a metóda by mala fungovať. 8 v našom prípade a = 0, b = 2. Keď n = I z (4) a (5) zistíme Keď n = 2 dostaneme, čo dáva aproximáciu k presnej hodnote odmocniny (s absolútnou chybou) Cvičenia Zostrojte grafy funkcií: Nájdite najväčšie a najmenšie hodnoty funkcií na daných segmentoch: Preskúmajte správanie funkcií v blízkosti daných bodov pomocou derivácií vyššieho rádu: Odpovede

Úlohou je vykonať kompletnú štúdiu funkcie a zostaviť jej graf.

Každý žiak prešiel podobnými úlohami.

Ďalšia prezentácia predpokladá dobré znalosti. Ak máte nejaké otázky, odporúčame vám prečítať si túto časť.

Algoritmus výskumu funkcií pozostáva z nasledujúcich krokov.

Hľadanie definičného oboru funkcie.

Toto je veľmi dôležitý krok pri štúdiu funkcie, pretože všetky ďalšie činnosti sa budú vykonávať v oblasti definície.

V našom príklade musíme nájsť nuly menovateľa a vylúčiť ich z oblasti reálnych čísel.



(V iných príkladoch môžu byť korene, logaritmy atď. Pripomeňme, že v týchto prípadoch sa doména definície hľadá takto:
pre odmocninu párneho stupňa sa napríklad doména definície nájde z nerovnosti ;
pre logaritmus - definičný obor sa zistí z nerovnosti ).

Štúdium správania sa funkcie na hranici definičného oboru, hľadanie vertikálnych asymptot.

Na hraniciach definičného oboru má funkcia vertikálne asymptoty, ak sú v týchto hraničných bodoch nekonečné.

V našom príklade sú hraničné body oblasti definície .

Pozrime sa na správanie funkcie pri približovaní sa k týmto bodom zľava a sprava, pre ktoré nájdeme jednostranné limity:


Keďže jednostranné limity sú nekonečné, priame čiary sú zvislé asymptoty grafu.

Skúška funkcie na rovnomernosť alebo nepárnosť.

Funkcia je dokonca, Ak . Parita funkcie udáva symetriu grafu okolo ordináty.

Funkcia je zvláštny, Ak . Neobvyklosť funkcie označuje symetriu grafu vzhľadom na počiatok.

Ak nie je splnená žiadna z rovnosti, máme funkciu všeobecného tvaru.

V našom príklade platí rovnosť, preto je naša funkcia párna. Zohľadníme to pri konštrukcii grafu - bude symetrický okolo osi oy.

Hľadanie intervalov rastúcich a klesajúcich funkcií, extrémnych bodov.

Intervaly zvyšovania a znižovania sú riešením nerovností, resp.

Body, v ktorých derivácia zaniká, sa nazývajú stacionárne.

Kritické body funkcie volajte vnútorné body definičného oboru, v ktorom sa derivácia funkcie rovná nule alebo neexistuje.

KOMENTÁR(či zahrnúť kritické body do intervalov nárastu a poklesu).

Kritické body zahrnieme do rastúcich a klesajúcich intervalov, ak patria do definičného oboru funkcie.

teda určiť intervaly nárastu a poklesu funkcie

• najprv nájdeme derivát;
• po druhé, nájdeme kritické body;
• po tretie, oblasť definície rozdeľujeme podľa kritických bodov na intervaly;
• po štvrté, určíme znamienko derivácie na každom z intervalov. Znamienko plus bude zodpovedať intervalu nárastu, znamienko mínus intervalu poklesu.

Choď!

Deriváciu nájdeme na doméne definície (ak nastanú ťažkosti, pozri časť).


Nájdeme na to kritické body:

Tieto body vynesieme na číselnú os a určíme znamienko derivácie v rámci každého výsledného intervalu. Prípadne môžete vziať ľubovoľný bod v intervale a vypočítať hodnotu derivácie v tomto bode. Ak je hodnota kladná, dáme cez túto medzeru znamienko plus a prejdeme na ďalšiu, ak je záporná, dáme znamienko mínus atď. napr. , preto dáme plus nad prvý interval vľavo.


Dospeli sme k záveru:

Schematicky plusy/mínusy označujú intervaly, v ktorých je derivácia kladná/záporná. Zvyšujúce sa/klesajúce šípky ukazujú smer zvyšovania/znižovania.

Extrémne body funkcie sú body, v ktorých je funkcia definovaná a prechádza cez ktoré derivácia mení znamienko.

V našom príklade je extrémny bod x=0. Hodnota funkcie v tomto bode je . Keďže derivácia pri prechode bodom x=0 mení znamienko z plus na mínus, potom (0; 0) je bod lokálneho maxima. (Ak by derivácia zmenila znamienko z mínus na plus, potom by sme mali lokálny minimálny bod).

Nájdenie intervalov konvexnosti a konkávnosti funkcie a inflexných bodov.

Intervaly konkávnosti a konvexnosti funkcie sa zistia riešením nerovníc, resp.

Niekedy sa konkávnosť nazýva konvexná nadol a konvexná sa nazýva konvexná nahor.

Tu platia aj poznámky podobné tým z odseku o intervaloch nárastu a poklesu.

teda určiť intervaly konkávnosti a konvexnosti funkcie:

• najprv nájdeme druhú deriváciu;
• po druhé, nájdeme nuly čitateľa a menovateľa druhej derivácie;
• po tretie, doménu definície rozdelíme získanými bodmi na intervaly;
• po štvrté, určíme znamienko druhej derivácie na každom z intervalov. Znamienko plus bude zodpovedať intervalu konkávnosti, znamienko mínus konvexnému intervalu.

Choď!

Druhú deriváciu nájdeme na doméne definície.


V našom príklade neexistujú žiadne nuly v čitateli, menovateli nuly.

Tieto body vynesieme na číselnú os a určíme znamienko druhej derivácie vo vnútri každého výsledného intervalu.



Dospeli sme k záveru:

Pointa sa volá inflexný bod, ak v danom bode existuje dotyčnica ku grafu funkcie a druhá derivácia funkcie pri prechode mení znamienko .

Inými slovami, inflexné body môžu byť body, cez ktoré druhá derivácia mení znamienko, v bodoch samotných je buď nula, alebo neexistuje, ale tieto body sú zahrnuté v oblasti definície funkcie.

V našom príklade neexistujú žiadne inflexné body, pretože druhá derivácia pri prechode bodmi mení znamienko a nie sú zahrnuté v oblasti definície funkcie.

Hľadanie horizontálnych a šikmých asymptot.

Horizontálne alebo šikmé asymptoty by sa mali hľadať iba vtedy, keď je funkcia definovaná v nekonečne.

Šikmé asymptoty sa hľadajú vo forme priamych čiar , kde a .

Ak k=0 a b sa nerovná nekonečnu, potom sa stane šikmá asymptota horizontálne.

Kto sú vlastne tieto asymptoty?

Sú to čiary, ku ktorým sa graf funkcie približuje v nekonečne. Preto sú veľmi užitočné pri vytváraní grafu funkcie.

Ak neexistujú žiadne horizontálne alebo šikmé asymptoty, ale funkcia je definovaná v plus nekonečne a (alebo) mínus nekonečne, potom by ste mali vypočítať limitu funkcie v plus nekonečne a (alebo) mínus nekonečne, aby ste mali predstavu o ​správanie sa funkčného grafu.

Pre náš príklad

- horizontálna asymptota.

Tým je štúdium funkcie ukončené, pristúpime k vykresleniu grafu.

Hodnoty funkcií vypočítame v medziľahlých bodoch.

Pre presnejšie vykreslenie odporúčame nájsť niekoľko funkčných hodnôt v medziľahlých bodoch (teda v ľubovoľných bodoch z oblasti definície funkcie).

Pre náš príklad nájdeme hodnoty funkcie v bodoch x=-2, x=-1, x=-3/4, x=-1/4. Vďaka parite funkcie sa tieto hodnoty budú zhodovať s hodnotami v bodoch x=2, x=1, x=3/4, x=1/4.


Zostavenie grafu.

Najprv zostrojíme asymptoty, vynesieme body lokálnych maxím a miním funkcie, inflexné body a medziľahlé body. Pre pohodlie pri zostavovaní grafu môžete tiež schematicky označiť intervaly nárastu, poklesu, konvexnosti a konkávnosti, nie nadarmo sme študovali funkciu =).


Zostáva nakresliť čiary grafu cez označené body, priblížiť sa k asymptotám a sledovať šípky.


S týmto majstrovským dielom výtvarného umenia je úloha úplného preštudovania funkcie a vytvorenia grafu dokončená.

Grafy niektorých elementárnych funkcií možno zostrojiť pomocou grafov základných elementárnych funkcií.

Ako študovať funkciu a zostaviť jej graf?

Zdá sa, že začínam chápať duchovne bystrú tvár vodcu svetového proletariátu, autora súhrnných diel v 55 zväzkoch... Dlhá cesta začala základnými informáciami o funkcie a grafy, a teraz práca na téme náročnej na prácu končí logickým výsledkom - článkom o kompletnom štúdiu funkcie. Dlho očakávaná úloha je formulovaná takto:

Študujte funkciu pomocou metód diferenciálneho počtu a vytvorte jej graf na základe výsledkov štúdie

Alebo v skratke: preskúmajte funkciu a vytvorte graf.

Prečo skúmať? V jednoduchých prípadoch pre nás nebude ťažké pochopiť elementárne funkcie, nakresliť graf získaný pomocou elementárne geometrické transformácie a tak ďalej. Vlastnosti a grafické znázornenia zložitejších funkcií však zďaleka nie sú zrejmé, a preto je potrebná celá štúdia.

Hlavné kroky riešenia sú zhrnuté v referenčnom materiáli Schéma štúdie funkcií, toto je váš sprievodca sekciou. Figuríny potrebujú vysvetlenie témy krok za krokom, niektorí čitatelia nevedia, kde začať alebo ako si zorganizovať výskum, a pokročilých študentov môže zaujímať len niekoľko bodov. Ale kto ste, milý návštevník, navrhované zhrnutie s ukazovateľmi na rôzne lekcie vás rýchlo zorientuje a nasmeruje v smere záujmu. Roboti ronia slzy =) Návod bol zostavený ako súbor pdf a zaujal svoje právoplatné miesto na stránke Matematické vzorce a tabuľky.

Som zvyknutý rozdeliť prieskum funkcie do 5-6 bodov:

6) Ďalšie body a graf na základe výsledkov výskumu.

Pokiaľ ide o záverečnú akciu, myslím si, že je všetkým jasné - bude veľkým sklamaním, ak sa v priebehu niekoľkých sekúnd prečiarkne a úloha sa vráti na prepracovanie. SPRÁVNY A PRESNÝ NÁKRES je hlavným výsledkom riešenia! Pravdepodobne „zakryje“ analytické chyby, zatiaľ čo nesprávny a/alebo nedbalý harmonogram spôsobí problémy aj pri dokonale vykonanej štúdii.

Treba poznamenať, že v iných zdrojoch sa počet výskumných bodov, poradie ich implementácie a štýl dizajnu môžu výrazne líšiť od schémy, ktorú som navrhol, ale vo väčšine prípadov je to úplne postačujúce. Najjednoduchšia verzia problému pozostáva iba z 2-3 etáp a je formulovaná asi takto: „preskúmajte funkciu pomocou derivácie a vytvorte graf“ alebo „preskúmajte funkciu pomocou 1. a 2. derivácie, zostavte graf“.

Prirodzene, ak váš manuál podrobne popisuje iný algoritmus alebo váš učiteľ striktne vyžaduje, aby ste sa držali jeho prednášok, budete musieť v riešení urobiť nejaké úpravy. Nie je to o nič zložitejšie ako vymeniť vidlicu reťazovej píly za lyžicu.

Skontrolujeme funkciu pre párne/nepárne:

Nasleduje vzorová odpoveď:
, čo znamená, že táto funkcia nie je párna ani nepárna.

Keďže funkcia je spojitá na , neexistujú žiadne vertikálne asymptoty.

Neexistujú ani šikmé asymptoty.

Poznámka : Pripomínam, že čím vyššie poradie rastu, než , preto konečný limit je presne „ plus nekonečno."

Poďme zistiť, ako sa funkcia správa v nekonečne:

Inými slovami, ak ideme doprava, potom graf ide nekonečne ďaleko nahor, ak ideme doľava, ide nekonečne ďaleko nadol. Áno, pod jedným záznamom sú aj dva limity. Ak máte problémy s dešifrovaním znakov, navštívte lekciu o nekonečne malé funkcie.

Takže funkcia nie je zhora obmedzený A nie je obmedzená zdola. Vzhľadom na to, že nemáme žiadne body zlomu, je to jasné funkčný rozsah: – aj ľubovoľné reálne číslo.

UŽITOČNÁ TECHNICKÁ TECHNIKA

Každá etapa úlohy prináša nové informácie o grafe funkcie, preto je pri riešení vhodné použiť akýsi LAYOUT. Nakreslíme na výkres karteziánsky súradnicový systém. Čo je už s určitosťou známe? Po prvé, graf nemá žiadne asymptoty, preto nie je potrebné kresliť priame čiary. Po druhé, vieme, ako sa funkcia správa v nekonečne. Podľa analýzy nakreslíme prvú aproximáciu:

Upozorňujeme, že z dôvodu kontinuita zapnutá funkcia a skutočnosť, že graf musí aspoň raz prejsť cez os. Alebo možno existuje niekoľko priesečníkov?

3) Nuly funkcie a intervaly konštantného znamienka.

Najprv nájdime priesečník grafu so súradnicovou osou. Je to jednoduché. Je potrebné vypočítať hodnotu funkcie pri:

Jeden a pol nad morom.

Aby sme našli priesečníky s osou (nuly funkcie), musíme vyriešiť rovnicu a tu nás čaká nemilé prekvapenie:

Na konci číha voľný člen, čo značne sťažuje úlohu.

Takáto rovnica má aspoň jeden skutočný koreň a najčastejšie je tento koreň iracionálny. V najhoršej rozprávke nás čakajú tri prasiatka. Rovnica je riešiteľná pomocou tzv Cardano vzorce, no poškodenie papiera je porovnateľné s takmer celou štúdiou. V tomto ohľade je rozumnejšie pokúsiť sa vybrať aspoň jeden, či už slovne alebo v koncepte. celý koreň. Pozrime sa, či sú tieto čísla:
- nevhodný;
- Existuje!

Šťastie tu. V prípade zlyhania môžete tiež otestovať a ak tieto čísla nebudú sedieť, obávam sa, že existuje veľmi malá šanca na ziskové riešenie rovnice. Potom je lepšie bod výskumu úplne preskočiť - možno sa niečo vyjasní v poslednom kroku, keď sa prelomia ďalšie body. A ak sú korene jasne „zlé“, potom je lepšie skromne mlčať o intervaloch stálosti znakov a kresliť opatrnejšie.

Máme však krásny koreň, preto polynóm rozdelíme bez zvyšku:

Algoritmus delenia polynómu polynómom je podrobne diskutovaný v prvom príklade lekcie Komplexné limity.

Výsledkom je ľavá strana pôvodnej rovnice rozkladá sa na produkt:

A teraz trochu o zdravom životnom štýle. Tomu, samozrejme, rozumiem kvadratické rovnice treba riešiť každý deň, ale dnes urobíme výnimku: rovnicu má dva skutočné korene.

Nájdené hodnoty nakreslíme na číselnú os A intervalová metóda Definujme znaky funkcie:


og Teda na intervaloch rozpis sa nachádza
pod osou x a v intervaloch – nad touto osou.

Výsledné zistenia nám umožňujú spresniť naše rozloženie a druhá aproximácia grafu vyzerá takto:

Upozorňujeme, že funkcia musí mať aspoň jedno maximum na intervale a aspoň jedno minimum na intervale. Zatiaľ však nevieme, koľkokrát, kde a kedy sa bude plán opakovať. Mimochodom, funkcia môže mať nekonečne veľa extrémy.

4) Zvyšovanie, znižovanie a extrémy funkcie.

Poďme nájsť kritické body:

Táto rovnica má dva skutočné korene. Položme ich na číselnú os a určme znamienka derivácie:


Preto sa funkcia zvyšuje o a zníži sa o .
V okamihu, keď funkcia dosiahne svoje maximum: .
V tomto bode funkcia dosiahne minimum: .

Zavedené fakty posúvajú našu šablónu do pomerne pevného rámca:

Netreba dodávať, že diferenciálny počet je silná vec. Poďme konečne pochopiť tvar grafu:

5) Konvexnosť, konkávnosť a inflexné body.

Nájdite kritické body druhej derivácie:

Definujme znaky:


Graf funkcie je konvexný na a konkávny na . Vypočítajme súradnicu inflexného bodu: .

Takmer všetko sa vyjasnilo.

6) Zostáva nájsť ďalšie body, ktoré pomôžu presnejšie zostaviť graf a vykonať autotest. V tomto prípade je ich málo, ale nezanedbávame ich:

Urobme výkres:

Inflexný bod je označený zelenou farbou, ďalšie body sú označené krížikmi. Graf kubickej funkcie je symetrický okolo jej inflexného bodu, ktorý sa nachádza vždy presne v strede medzi maximom a minimom.

Ako úloha postupovala, poskytol som tri hypotetické predbežné výkresy. V praxi stačí nakresliť súradnicový systém, označiť nájdené body a po každom bode štúdia v duchu vymyslieť, ako by mohol vyzerať graf funkcie. Pre študentov s dobrou úrovňou prípravy nebude ťažké vykonať takúto analýzu iba vo svojej mysli bez toho, aby zahŕňali návrh.

Aby ste to vyriešili sami:

Príklad 2

Preskúmajte funkciu a vytvorte graf.

Všetko je tu rýchlejšie a zábavnejšie, približný príklad ukončenia na konci hodiny.

Štúdium frakčných racionálnych funkcií odhaľuje mnohé tajomstvá:

Príklad 3

Pomocou metód diferenciálneho počtu skúmajte funkciu a na základe výsledkov štúdie zostrojte jej graf.

Riešenie: prvá etapa štúdie sa nelíši v ničom pozoruhodnom, s výnimkou diery v oblasti definície:

1) Funkcia je definovaná a spojitá na celej číselnej osi okrem bodu, domény: .

, čo znamená, že táto funkcia nie je párna ani nepárna.

Je zrejmé, že funkcia je neperiodická.

Graf funkcie pozostáva z dvoch súvislých vetiev umiestnených v ľavej a pravej polrovine – to je snáď najdôležitejší záver 1. odseku.

2) Asymptoty, správanie sa funkcie v nekonečne.

a) Pomocou jednostranných limitov študujeme správanie sa funkcie v blízkosti podozrivého bodu, kde vertikálna asymptota musí byť jednoznačne:

Funkcie skutočne vydržia nekonečná medzera v bode
a priamka (os) je vertikálna asymptota grafické umenie.

b) Skontrolujte, či existujú šikmé asymptoty:

Áno, je to priame šikmá asymptota grafika , ak .

Nemá zmysel analyzovať limity, pretože už je jasné, že funkcia v objatí so svojou šikmou asymptotou nie je zhora obmedzený A nie je obmedzená zdola.

Druhý výskumný bod priniesol veľa dôležitých informácií o funkcii. Urobme si hrubý náčrt:

Záver č. 1 sa týka intervalov konštantného znamienka. V "mínus nekonečne" je graf funkcie jednoznačne umiestnený pod osou x a v "plus nekonečne" je nad touto osou. Jednostranné limity nám navyše povedali, že vľavo aj vpravo od bodu je funkcia tiež väčšia ako nula. Upozorňujeme, že v ľavej polrovine musí graf aspoň raz pretínať os x. V pravej polrovine nesmú byť žiadne nuly funkcie.

Záver č. 2 je, že funkcia sa zvyšuje na a naľavo od bodu (prechádza „zdola nahor“). Napravo od tohto bodu sa funkcia znižuje (prechádza „zhora nadol“). Pravá vetva grafu musí mať určite aspoň jedno minimum. Vľavo nie sú zaručené extrémy.

Záver č. 3 poskytuje spoľahlivé informácie o konkávnosti grafu v blízkosti bodu. Zatiaľ nemôžeme povedať nič o konvexnosti/konkávnosti v nekonečne, pretože čiaru je možné pritlačiť k jej asymptote zhora aj zdola. Vo všeobecnosti existuje analytický spôsob, ako to zistiť práve teraz, ale tvar grafu bude jasnejší v neskoršej fáze.

Prečo toľko slov? Kontrolovať následné výskumné body a vyhnúť sa chybám! Ďalšie výpočty by nemali byť v rozpore s vyvodenými závermi.

3) Priesečníky grafu so súradnicovými osami, intervaly konštantného znamienka funkcie.

Graf funkcie nepretína os.

Pomocou intervalovej metódy určíme znaky:

, Ak ;
, Ak .

Výsledky tohto bodu sú plne v súlade so záverom č.1. Po každej fáze sa pozrite na návrh, v duchu skontrolujte výskum a dokončite graf funkcie.

V uvažovanom príklade je čitateľ rozdelený po členoch menovateľom, čo je veľmi výhodné pre diferenciáciu:

V skutočnosti sa to už urobilo pri hľadaní asymptot.

- kritický bod.

Definujme znaky:

zvyšuje o a znižuje sa o

V tomto bode funkcia dosiahne minimum: .

Nezistili sa ani žiadne nezrovnalosti so záverom č. 2 a s najväčšou pravdepodobnosťou sme na správnej ceste.

To znamená, že graf funkcie je konkávny v celej oblasti definície.

Skvelé - a nemusíte nič kresliť.

Neexistujú žiadne inflexné body.

Konkávnosť je v súlade so záverom č. 3, navyše naznačuje, že v nekonečne (tam aj tam) sa graf funkcie nachádza vyššie jeho šikmá asymptota.

6) Úlohu svedomito pripneme ďalšími bodmi. Tu budeme musieť tvrdo pracovať, keďže z výskumu poznáme len dva body.

A obrázok, ktorý si mnohí ľudia zrejme predstavovali už dávno:

Počas vykonávania úlohy musíte starostlivo zabezpečiť, aby medzi fázami výskumu neboli žiadne rozpory, ale niekedy je situácia naliehavá alebo dokonca zúfalo slepá. Analytika sa „nepridáva“ – to je všetko. V tomto prípade odporúčam núdzovú techniku: nájdeme čo najviac bodov, ktoré patria do grafu (toľko trpezlivosti, koľko máme) a označíme ich na súradnicovej rovine. Grafická analýza zistených hodnôt vám vo väčšine prípadov povie, kde je pravda a kde nepravda. Okrem toho je možné graf vopred zostaviť pomocou nejakého programu, napríklad v programe Excel (samozrejme, vyžaduje to zručnosti).

Príklad 4

Na štúdium funkcie a zostrojenie jej grafu použite metódy diferenciálneho počtu.

Toto je príklad „urob si sám“. V ňom je sebakontrola posilnená paritou funkcie - graf je symetrický okolo osi a ak vo vašom výskume niečo odporuje tejto skutočnosti, hľadajte chybu.

Párnu alebo nepárnu funkciu je možné študovať iba na , a potom použiť symetriu grafu. Toto riešenie je optimálne, ale podľa môjho názoru vyzerá veľmi nezvyčajne. Osobne sa pozerám na celý číselný rad, ale ďalšie body stále nachádzam iba vpravo:

Príklad 5

Vykonajte úplnú štúdiu funkcie a vytvorte jej graf.

Riešenie:veci boli ťažké:

1) Funkcia je definovaná a spojitá na celej číselnej osi: .

To znamená, že táto funkcia je nepárna, jej graf je symetrický podľa pôvodu.

Je zrejmé, že funkcia je neperiodická.

2) Asymptoty, správanie sa funkcie v nekonečne.

Keďže funkcia je spojitá na , neexistujú žiadne vertikálne asymptoty

Pre funkciu obsahujúcu exponent je to typické oddelenéštúdium „plus“ a „mínus nekonečna“, nám však život uľahčuje symetria grafu – buď je asymptota vľavo aj vpravo, alebo nie je žiadna. Preto je možné obe nekonečné limity zapísať pod jeden záznam. Počas riešenia používame L'Hopitalovo pravidlo:

Priamka (os) je horizontálna asymptota grafu v .

Všimnite si prosím, ako som sa prefíkane vyhol úplnému algoritmu na nájdenie šikmej asymptoty: limita je úplne legálna a objasňuje správanie funkcie v nekonečne a horizontálna asymptota bola objavená „akoby v rovnakom čase“.

Z kontinuity a existencie horizontálnej asymptoty vyplýva, že funkcia ohraničené vyššie A ohraničené nižšie.

3) Priesečníky grafu so súradnicovými osami, intervaly konštantného znamienka.

Tu tiež skrátime riešenie:
Graf prechádza cez počiatok.

Neexistujú žiadne ďalšie priesečníky so súradnicovými osami. Okrem toho sú intervaly stálosti znamienka zrejmé a os sa nemusí kresliť: , čo znamená, že znamienko funkcie závisí iba od „x“:
, Ak ;
, Ak .

4) Zvyšovanie, znižovanie, extrémy funkcie.


– kritické body.

Body sú symetrické okolo nuly, ako má byť.

Poďme určiť znamienka derivátu:


Funkcia sa v intervaloch zvyšuje a v intervaloch znižuje

V okamihu, keď funkcia dosiahne svoje maximum: .

Kvôli majetku (neobvyklosť funkcie) minimum sa nemusí počítať:

Keďže funkcia v intervale klesá, graf sa samozrejme nachádza v „mínus nekonečne“ pod jeho asymptota. Cez interval funkcia tiež klesá, tu je to však naopak - po prechode maximálnym bodom sa úsečka približuje k osi zhora.

Z vyššie uvedeného tiež vyplýva, že graf funkcie je konvexný v „mínus nekonečne“ a konkávny v „plus nekonečne“.

Po tomto bode štúdie bol nakreslený rozsah funkčných hodnôt:

Ak by ste nejakým bodom neporozumeli, ešte raz vás vyzývam, aby ste si do zošita nakreslili súradnicové osi a s ceruzkou v rukách znova analyzovali každý záver úlohy.

5) Konvexnosť, konkávnosť, zlomy grafu.

– kritické body.

Symetria bodov je zachovaná a s najväčšou pravdepodobnosťou sa nemýlime.

Definujme znaky:


Graf funkcie je konvexný a konkávne ďalej .

Potvrdila sa konvexnosť/konkávnosť v extrémnych intervaloch.

Vo všetkých kritických bodoch sú v grafe zlomy. Poďme nájsť súradnice inflexných bodov a znova znížme počet výpočtov pomocou nepárnosti funkcie:

Jednou z najdôležitejších úloh diferenciálneho počtu je vývoj všeobecných príkladov na štúdium správania funkcií.

Ak je funkcia y=f(x) spojitá na intervale a jej derivácia je kladná alebo rovná 0 na intervale (a,b), potom y=f(x) rastie o (f"(x)0) . Ak je funkcia y=f (x) spojitá na segmente a jej derivácia je záporná alebo rovná 0 na intervale (a,b), potom y=f(x) klesá o (f"(x)0 )

Intervaly, v ktorých funkcia neklesá ani nerastie, sa nazývajú intervaly monotónnosti funkcie. Monotónnosť funkcie sa môže meniť len v tých bodoch jej definičného oboru, v ktorých sa mení znamienko prvej derivácie. Body, v ktorých prvá derivácia funkcie zaniká alebo má diskontinuitu, sa nazývajú kritické.

Veta 1 (1. postačujúca podmienka existencie extrému).

Nech je funkcia y=f(x) definovaná v bode x 0 a nech existuje okolie δ>0 také, že funkcia je spojitá na intervale a diferencovateľná na intervale (x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ) a jeho derivácia si zachováva konštantné znamienko na každom z týchto intervalov. Potom ak na x 0 -δ,x 0) a (x 0 , x 0 +δ) sú znamienka derivácie rôzne, potom x 0 je extrémny bod a ak sa zhodujú, potom x 0 nie je extrémny bod . Navyše, ak pri prechode bodom x0 derivácia zmení znamienko z plus na mínus (naľavo od x 0 f"(x)>0 je splnené, potom x 0 je maximálny bod; ak derivácia zmení znamienko z mínus na plus (napravo od x 0 vykonaná f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

Maximálne a minimálne body sa nazývajú extrémne body funkcie a maximá a minimá funkcie sa nazývajú jej extrémne hodnoty.

Veta 2 (nevyhnutný znak lokálneho extrému).

Ak má funkcia y=f(x) extrém v aktuálnom x=x 0, potom buď f’(x 0)=0 alebo f’(x 0) neexistuje.
V extrémnych bodoch diferencovateľnej funkcie je dotyčnica k jej grafu rovnobežná s osou Ox.

Algoritmus na štúdium funkcie pre extrém:

1) Nájdite deriváciu funkcie.
2) Nájdite kritické body, t.j. body, v ktorých je funkcia spojitá a derivácia je nulová alebo neexistuje.
3) Zvážte okolie každého bodu a preskúmajte znamienko derivácie naľavo a napravo od tohto bodu.
4) Určte súradnice krajných bodov, na tento účel dosaďte hodnoty kritických bodov do tejto funkcie. Pomocou dostatočných podmienok pre extrém vyvodzujte príslušné závery.

Príklad 18. Preskúmajte funkciu y=x 3 -9x 2 +24x pre extrém

Riešenie.
1) y"=3x2-18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Ak priradíme deriváciu k nule, zistíme, že x 1 = 2, x 2 = 4. V tomto prípade je derivát definovaný všade; To znamená, že okrem dvoch nájdených bodov neexistujú žiadne ďalšie kritické body.
3) Znamienko derivácie y"=3(x-2)(x-4) sa mení v závislosti od intervalu, ako je znázornené na obrázku 1. Pri prechode bodom x=2 derivácia mení znamienko z plus na mínus, a pri prechode cez bod x=4 - z mínusu do plusu.
4) V bode x=2 má funkcia maximum y max =20 a v bode x=4 - minimum y min =16.

Veta 3. (2. postačujúca podmienka existencie extrému).

Nech f"(x 0) a v bode x 0 existuje f""(x 0). Potom ak f""(x 0)>0, potom x 0 je minimálny bod a ak f""(x 0)<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

Na segmente môže funkcia y=f(x) dosiahnuť najmenšiu (y najmenej) alebo najväčšiu (y najvyššiu) hodnotu buď v kritických bodoch funkcie ležiacich v intervale (a;b), alebo pri konce segmentu.

Algoritmus na nájdenie najväčšej a najmenšej hodnoty spojitej funkcie y=f(x) na segmente:

1) Nájdite f"(x).
2) Nájdite body, v ktorých f"(x)=0 alebo f"(x) neexistuje, a vyberte z nich tie, ktoré ležia vo vnútri segmentu.
3) Vypočítajte hodnotu funkcie y=f(x) v bodoch získaných v kroku 2, ako aj na koncoch segmentu a vyberte z nich najväčšie a najmenšie: sú najväčšie (y najväčšie) a najmenšie (y najmenšie) hodnoty funkcie na intervale.

Príklad 19. Nájdite najväčšiu hodnotu spojitej funkcie y=x 3 -3x 2 -45+225 na segmente.

1) Na segmente máme y"=3x 2 -6x-45
2) Derivácia y" existuje pre všetky x. Nájdite body, v ktorých y"=0; dostaneme:
3x 2-6x-45=0
x 2-2x-15=0
x 1 = -3; x 2 = 5
3) Vypočítajte hodnotu funkcie v bodoch x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Úsečka obsahuje iba bod x=5. Najväčšia z nájdených hodnôt funkcie je 225 a najmenšia je číslo 50. Takže y max = 225, y min = 50.

Štúdium funkcie na konvexnosti

Na obrázku sú znázornené grafy dvoch funkcií. Prvý z nich je konvexný smerom nahor, druhý je konvexný smerom nadol.

Funkcia y=f(x) je spojitá na intervale a diferencovateľná v intervale (a;b), nazýva sa konvexná nahor (dole) na tomto intervale, ak pre axb jej graf neleží vyššie (nie nižšie) ako dotyčnica vedená v ľubovoľnom bode M 0 (x 0 ;f(x 0)), kde axb.

Veta 4. Nech má funkcia y=f(x) druhú deriváciu v ľubovoľnom vnútornom bode x úsečky a na koncoch úsečky je spojitá. Potom, ak nerovnosť f""(x)0 platí na intervale (a;b), potom je funkcia na intervale konvexná; ak nerovnosť f""(x)0 platí na intervale (a;b), potom je funkcia konvexná smerom nahor na .

Veta 5. Ak má funkcia y=f(x) druhú deriváciu na intervale (a;b) a ak mení znamienko pri prechode bodom x 0, potom M(x 0 ;f(x 0)) je inflexný bod.

Pravidlo na nájdenie inflexných bodov:

1) Nájdite body, v ktorých f""(x) neexistuje alebo zaniká.
2) Preskúmajte znamienko f""(x) vľavo a vpravo od každého bodu nájdeného v prvom kroku.
3) Na základe vety 4 urobte záver.

Príklad 20. Nájdite extrémne body a inflexné body grafu funkcie y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12.

Máme f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Je zrejmé, že f"(x)=0, keď x 1 = 0, x 2 = 1. Pri prechode bodom x=0 derivácia zmení znamienko z mínusu na plus, ale pri prechode cez bod x=1 nezmení znamienko. To znamená, že x = 0 je minimálny bod (y min = 12) a v bode x = 1 neexistuje extrém. Ďalej nájdeme . Druhá derivácia zaniká v bodoch x 1 = 1, x 2 = 1/3. Znamienka druhej derivácie sa menia takto: Na lúči (-∞;) máme f""(x)>0, na intervale (;1) máme f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Preto x= je inflexný bod funkčného grafu (prechod z konvexnosti nadol ku konvexnosti smerom nahor) a x=1 je tiež inflexný bod (prechod z konvexnosti nahor ku konvexnosti nadol). Ak x=, potom y= ; ak, potom x = 1, y = 13.

Algoritmus na nájdenie asymptoty grafu

I. Ak y=f(x) ako x → a, potom x=a je vertikálna asymptota.
II. Ak y=f(x) ako x → ∞ alebo x → -∞, potom y=A je horizontálna asymptota.
III. Na nájdenie šikmej asymptoty používame nasledujúci algoritmus:
1) Vypočítajte. Ak limita existuje a je rovná b, potom y=b je horizontálna asymptota; ak , prejdite na druhý krok.
2) Vypočítajte. Ak táto limita neexistuje, potom neexistuje žiadna asymptota; ak existuje a rovná sa k, prejdite na tretí krok.
3) Vypočítajte. Ak táto limita neexistuje, potom neexistuje žiadna asymptota; ak existuje a rovná sa b, prejdite na štvrtý krok.
4) Napíšte rovnicu šikmej asymptoty y=kx+b.

Príklad 21: Nájdite asymptotu funkcie

1)
2)
3)
4) Rovnica šikmej asymptoty má tvar

Schéma na štúdium funkcie a zostrojenie jej grafu

I. Nájdite definičný obor funkcie.
II. Nájdite priesečníky grafu funkcie so súradnicovými osami.
III. Nájdite asymptoty.
IV. Nájdite možné extrémne body.
V. Nájdite kritické body.
VI. Pomocou pomocnej figúry preskúmajte znamienko prvej a druhej derivácie. Určte oblasti rastúcej a klesajúcej funkcie, nájdite smer konvexnosti grafu, body extrémov a inflexné body.
VII. Zostavte graf, berúc do úvahy výskum uskutočnený v odsekoch 1-6.

Príklad 22: Zostrojte graf funkcie podľa vyššie uvedenej schémy

Riešenie.
I. Definičný obor funkcie je množina všetkých reálnych čísel okrem x=1.
II. Keďže rovnica x 2 +1=0 nemá žiadne skutočné korene, graf funkcie nemá žiadne priesečníky s osou Ox, ale pretína os Oy v bode (0;-1).
III. Ujasnime si otázku existencie asymptot. Pozrime sa na správanie funkcie v blízkosti bodu nespojitosti x=1. Pretože y → ∞ ako x → -∞, y → +∞ ako x → 1+, potom priamka x=1 je vertikálna asymptota grafu funkcie.
Ak x → +∞(x → -∞), potom y → +∞(y → -∞); preto graf nemá vodorovnú asymptotu. Ďalej z existencie limitov

Vyriešením rovnice x 2 -2x-1=0 získame dva možné extrémne body:
x1=1-√2 a x2=1+√2

V. Aby sme našli kritické body, vypočítame druhú deriváciu:

Keďže f""(x) nezmizne, neexistujú žiadne kritické body.
VI. Pozrime sa na znamienko prvej a druhej derivácie. Možné extrémne body, ktoré je potrebné zvážiť: x 1 =1-√2 a x 2 =1+√2, rozdeľte definičný obor existencie funkcie na intervaly (-∞;1-√2),(1-√2;1 +√2) a (1+√2;+∞).

V každom z týchto intervalov si derivát zachováva svoje znamienko: v prvom - plus, v druhom - mínus, v treťom - plus. Postupnosť znamienok prvej derivácie zapíšeme takto: +,-,+.
Zistili sme, že funkcia rastie pri (-∞;1-√2), klesá pri (1-√2;1+√2) a opäť rastie pri (1+√2;+∞). Extrémne body: maximum pri x=1-√2 a f(1-√2)=2-2√2 minimum pri x=1+√2 a f(1+√2)=2+2√2. V bode (-∞;1) je graf konvexný smerom nahor a v bode (1;+∞) je konvexný smerom nadol.
VII Zo získaných hodnôt urobme tabuľku

VIII Na základe získaných údajov zostrojíme náčrt grafu funkcie