Definícia.Kvadratická forma, zodpovedajúci symetrickej bilineárnej forme na lineárnom priestore V , sa nazýva funkcia jedného vektorového argumentu .

Nech kvadratická forma , je symetrická bilineárna forma, ktorá jej zodpovedá. Potom

z čoho vyplýva, že z kvadratickej formy je jednoznačne určená aj zodpovedajúca symetrická bilineárna forma. Takže medzi symetrickými bilineárnymi a kvadratickými formami na lineárnom priestore V je stanovená korešpondencia jedna ku jednej, takže kvadratické formy možno študovať pomocou symetrických bilineárnych foriem.

Zvážte n-rozmerný lineárny priestor. Matica kvadratického tvaru v danej báze lineárneho priestoru sa nazýva matica zodpovedajúceho symetrického bilineárneho tvaru v tej istej báze. Kvadratická matica je vždy symetrická.

Označte maticu kvadratickej formy v nejakom priestore. Ak, ako obvykle, označujeme X súradnicový stĺpec vektora na rovnakom základe, potom z rovnosti 5,5 získame maticový tvar kvadratickej formy:

.

Veta 5.4. Nech sú v lineárnom priestore dané dve základne

(5.10)

, (5.11)

a nech a sú kvadratické matice v bázach (5.10) a (5.11). Potom kde T je prechodová matica z (5.10) do (5.11).

Dôkaz vyplýva z vety 5.2 a definície matice kvadratickej formy.

Vzhľadom k tomu, že prechodová matica T je nedegenerovaná, potom sa hodnosť matice kvadratickej formy pri prechode na nový základ nemení. Preto môžeme sformulovať nasledujúcu definíciu.

Definícia. hodnosť kvadratickej formy definovanej na lineárnom priestore sa nazýva hodnosť jej matice v niektorých, a teda v akomkoľvek základe priestoru (označeného ).

Teraz napíšeme kvadratickú formu v súradnicovom tvare. Aby sme to dosiahli, rozšírime vektor o základ (5.10): . Ak je matica kvadratického tvaru na rovnakom základe, potom v súlade s rovnosťou (5.4) máme

– (5.12)

súradnicový tvar kvadratickej formy. Napíšme (5.12) podrobne pre n= 3, vzhľadom na to

Ak je teda daný základ, potom kvadratická forma v súradnicovom zápise vyzerá ako homogénny polynóm druhého stupňa v n premenné – vektorové súradnice v danom základe. Tento polynóm je tzv vyhliadka kvadratický tvar v danom základe. Ale v aplikáciách takéto polynómy často vznikajú nezávisle, bez viditeľného spojenia s lineárnymi priestormi (napríklad druhé diferenciály funkcií), takže sformulujeme ešte jednu definíciu kvadratickej formy.

Definícia. kvadratický tvar od n premenné je homogénny polynóm druhého stupňa v týchto premenných, t.j. funkcia tvaru (5.12). Matica kvadratického tvaru (5.12) je symetrická matica.

Príklad zostavenie matice kvadratickej formy. Nechať byť

Z (5.12) a (5.13) je zrejmé, že koeficient at sa zhoduje s , t.j. diagonálnymi prvkami matice kvadratickej formy sú koeficienty štvorcov. Rovnakým spôsobom vidíme, že je to polovica koeficientu súčinu. Kvadratická matica tvaru (5.14) teda vyzerá takto:

.

Teraz vyberieme v priestore opäť dve základne (5.10) a (5.11) a označíme ako obvykle, sú súradnicové stĺpce vektora v bázach (5.10) a (5.11). Pri prechode zo základne (5.10) do základne (5.11) sa súradnice vektora menia podľa zákona:

kde je prechodová matica z (5.10) do (5.11). Všimnite si, že matica je nedegenerovaná. Rovnosť (5.15) píšeme v súradnicovom tvare:

alebo podrobne:

(5.17)

Pomocou rovnosti (5.17) (alebo (5.16), ktorá je rovnaká) prechádzame od premenných k premenným .

Definícia. Lineárna nedegenerovaná transformácia premenných je transformácia premenných definovaných systémom rovnosti (5.16) alebo (5.17), alebo jednoduchou maticovou rovnosťou (5.15), za predpokladu, že ide o nesingulárnu maticu. Matrix T sa nazýva matica tejto transformácie premenných.

Ak v (5.12) namiesto premenných dosadíme ich výrazy cez premenné podľa vzorcov (5.17), otvoríme zátvorky a dáme podobné, dostaneme ďalší homogénny polynóm druhého stupňa:

.

V tomto prípade sa hovorí, že lineárna nedegenerovaná transformácia premenných (5.17) nadobúda kvadratickú formu ku kvadratickej forme . Hodnoty premenných a súvisiace vzťahom (5.15) (alebo vzťahmi (5.16) alebo (5.17)) sa budú nazývať relevantné pre danú lineárnu nedegenerovanú transformáciu premenných.

Definícia. Množina premenných sa nazýva netriviálne , ak je hodnota aspoň jednej z premenných v ňom nenulová. V opačnom prípade sa volá množina premenných triviálne .

Lema 5.2. Pri lineárnej nedegenerovanej transformácii premenných triviálna množina premenných zodpovedá triviálnej množine.

Z rovnosti (5.15) zjavne vyplýva: if , then and . Na druhej strane pomocou nesingularity matice T, opäť z (5.15) dostaneme , z čoho je zrejmé, že pre , aj .◄

Dôsledok. Pri lineárnej nedegenerovanej transformácii premenných netriviálna množina premenných zodpovedá netriviálnej množine.

Veta 5.5. Ak lineárna nedegenerovaná transformácia (5.15) nadobudne kvadratickú formu s matricou ALE do kvadratickej formy s matricou ALE", potom (ďalšia formulácia vety 5.4).

Dôsledok. Pri lineárnej nedegenerovanej transformácii premenných determinant matice kvadratickej formy nemení znamienko.

Komentujte. Na rozdiel od prechodovej matice a matice lineárneho operátora sa matica lineárnej nedegenerovanej transformácie premenných zapisuje nie po stĺpcoch, ale po riadkoch.

Nech sú dané dve lineárne nedegenerované transformácie premenných:

Aplikujme ich postupne:

Zloženie lineárnych nedegenerovaných transformácií premenných(5.18) a (5.19) je ich postupná aplikácia, teda transformácia premenných Z (5.20) je zrejmé, že zloženie dvoch lineárnych nedegenerovaných transformácií premenných je zároveň lineárnou nedegenerovanou transformáciou premenných.

Definícia. Kvadratické formy sú tzv ekvivalent , ak existuje lineárna nedegenerovaná transformácia premenných, ktorá transformuje jednu z nich na inú.

Kvadratické formy

kvadratická forma f(x 1, x 2,..., x n) z n premenných sa nazýva súčet, pričom každý člen je buď druhou mocninou jednej z premenných, alebo súčinom dvoch rôznych premenných s určitým koeficientom: f(x 1, x 2, ...,x n) = (a ij = a ji).

Matica A zložená z týchto koeficientov sa nazýva matica kvadratickej formy. To je vždy symetrické matica (t. j. matica symetrická podľa hlavnej uhlopriečky, a ij = a ji).

V maticovom zápise má kvadratická forma tvar f(X) = X T AX, kde

Naozaj

Napríklad napíšme kvadratickú formu v maticovom tvare.

Aby sme to dosiahli, nájdeme maticu kvadratickej formy. Jeho diagonálne prvky sa rovnajú koeficientom na druhej mocnine premenných a zostávajúce prvky sa rovnajú polovici zodpovedajúcich koeficientov kvadratickej formy. Takže

Maticový stĺpec premenných X nech získame nedegenerovanou lineárnou transformáciou maticového stĺpca Y, t.j. X = CY, kde C je nedegenerovaná matica rádu n. Potom kvadratická forma
f(X) \u003d X TAX \u003d (CY) T A (CY) \u003d (Y T C T) A (CY) \u003d Y T (CT AC) Y.

Pri nedegenerovanej lineárnej transformácii C má teda matica kvadratickej formy tvar: A * = CT AC.

Nájdime napríklad kvadratickú formu f(y 1, y 2) získanú z kvadratickej formy f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 lineárnou transformáciou.

Kvadratická forma je tzv kanonický(Má kanonický pohľad) ak všetky jeho koeficienty a ij = 0 pre i ≠ j, t.j.
f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + ... + a nn x n 2 = .

Jeho matica je diagonálna.

Veta(tu nie je uvedený dôkaz). Akákoľvek kvadratická forma môže byť redukovaná na kanonickú formu pomocou nedegenerovanej lineárnej transformácie.

Napríklad zredukujme na kanonickú formu kvadratickú formu
f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3.

Ak to chcete urobiť, najprv vyberte úplný štvorec pre premennú x 1:

f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d 2 (x 1 + x 2 ) 2 - 5 x 2 2 - x 2 x 3.

Teraz vyberieme celý štvorec pre premennú x 2:

f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 2 - 2 * x 2 * (1/10) x 3 + (1/100) x 3 2 ) - (5/100) x 3 2 =
\u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 - (1/10) x 3) 2 - (1/20) x 3 2.

Potom nedegenerovaná lineárna transformácia y 1 \u003d x 1 + x 2, y 2 \u003d x 2 - (1/10) x 3 a y 3 \u003d x 3 privedie túto kvadratickú formu do kanonickej formy f (y 1 y2, y3) = 2y12 - 5y22 - (1/20)y32.

Všimnite si, že kanonická forma kvadratickej formy je definovaná nejednoznačne (rovnaká kvadratická forma môže byť redukovaná na kanonickú formu rôznymi spôsobmi). Avšak kanonické formy získané rôznymi metódami majú množstvo spoločných vlastností. Najmä počet členov s kladnými (zápornými) koeficientmi kvadratickej formy nezávisí od toho, ako je forma na túto formu redukovaná (napríklad v uvažovanom príklade budú vždy dva záporné a jeden kladný koeficient). Táto vlastnosť je tzv zákon zotrvačnosti kvadratických foriem.

Overme si to redukciou tej istej kvadratickej formy na kanonickú formu iným spôsobom. Začnime transformáciu s premennou x 2:
f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d -3x 2 2 - x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 \u003d - 3 (x 2 2 -
- 2 * x 2 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) + ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2) - 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2 x 1 2 =
\u003d -3 (x 2 - (1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2 - 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 \ u003d f (y 1, y 2, y 3) = -3y 1 2 -
-3y 2 2 + 2y 3 2, kde y 1 \u003d - (2/3) x 1 + x 2 - (1/6) x 3, y 2 \u003d (2/3) x 1 + (1/6 ) x 3 a y3 = x 1. Tu je kladný koeficient 2 pre y 3 a dva záporné koeficienty (-3) pre y 1 a y 2 (a pomocou inej metódy sme dostali kladný koeficient 2 pre y 1 a dva negatívne koeficienty - (-5) pre y 2 a (-1/20) pre y3).

Treba si tiež uvedomiť, že hodnosť matice kvadratickej formy, tzv hodnosť kvadratickej formy, sa rovná počtu nenulových koeficientov kanonickej formy a pri lineárnych transformáciách sa nemení.

Kvadratická forma f(X) sa nazýva pozitívne (negatívne) istý, ak pre všetky hodnoty premenných, ktoré nie sú súčasne rovné nule, je kladné, t.j. f(X) > 0 (záporné, t.j.
f(X)< 0).

Napríklad kvadratická forma f 1 (X) \u003d x 1 2 + x 2 2 je pozitívne definitívna, pretože je súčet štvorcov a kvadratická forma f 2 (X) \u003d -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 je záporne určitá, pretože predstavuje môže byť reprezentovaný ako f 2 (X) \u003d - (x 1 - x 2) 2.

Vo väčšine praktických situácií je stanovenie znamienkovej určitosti kvadratickej formy o niečo ťažšie, preto sa na to používa jedna z nasledujúcich viet (formulujeme ich bez dôkazov).

Veta. Kvadratická forma je kladná (záporná) určitá vtedy a len vtedy, ak sú všetky vlastné hodnoty jej matice kladné (záporné).

Veta (Sylvesterovo kritérium). Kvadratická forma je kladne definitívna vtedy a len vtedy, ak sú všetky hlavné minority matice tejto formy kladné.

Major (roh) moll K-tý rád matice A n-tého rádu sa nazýva determinant matice, zložený z prvých k riadkov a stĺpcov matice A ().

Všimnite si, že pri záporno-definičných kvadratických formách sa znamienka hlavných maloletých striedajú a vedľajší prvok prvého poriadku musí byť záporný.

Napríklad skúmame kvadratickú formu f (x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 na znamienkovú určitosť.

= (2 - l)*
*(3 - l) - 4 \u003d (6 - 2 l - 3 l + l 2) - 4 \u003d l 2 - 5 l + 2 \u003d 0; D \u003d 25 - 8 \u003d 17;
. Preto je kvadratická forma pozitívne definitívna.

Metóda 2. Hlavná vedľajšia matica prvého rádu A D 1 = a 11 = 2 > 0. Hlavná vedľajšia matica druhého rádu D 2 = = 6 - 4 = 2 > 0. Preto podľa Sylvesterovho kritéria, kvadratická forma je pozitívne definitívna.

Skúmame inú kvadratickú formu na určenie znamienka, f (x 1, x 2) \u003d -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Metóda 1. Zostrojme maticu kvadratickej formy А = . Charakteristická rovnica bude mať tvar = (-2 - l)*
*(-3 - l) - 4 \u003d (6 + 2 l + 3 l + l 2) - 4 \u003d l 2 + 5 l + 2 \u003d 0; D \u003d 25 - 8 \u003d 17;
. Preto je kvadratická forma negatívne definitívna.

kvadratická forma f(x 1, x 2,..., x n) z n premenných sa nazýva súčet, pričom každý člen je buď druhou mocninou jednej z premenných, alebo súčinom dvoch rôznych premenných s určitým koeficientom: f(x 1, x 2, ...,х n) = (a ij =a ji).

Matica A zložená z týchto koeficientov sa nazýva matica kvadratickej formy. To je vždy symetrické matica (t. j. matica symetrická vzhľadom na hlavnú uhlopriečku, a ij = a ji).

V maticovom zápise má kvadratická forma tvar f(X) = X T AX, kde

Naozaj

Napríklad napíšme kvadratickú formu v maticovom tvare.

Aby sme to dosiahli, nájdeme maticu kvadratickej formy. Jeho diagonálne prvky sa rovnajú koeficientom na druhej mocnine premenných a zostávajúce prvky sa rovnajú polovici zodpovedajúcich koeficientov kvadratickej formy. Takže

Maticový stĺpec premenných X nech získame nedegenerovanou lineárnou transformáciou maticového stĺpca Y, t.j. X = CY, kde C je nedegenerovaná matica rádu n. Potom kvadratická forma f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) =Y T (CT AC)Y.

Pri nedegenerovanej lineárnej transformácii C má teda matica kvadratickej formy tvar: A * =CT AC.

Nájdime napríklad kvadratickú formu f(y 1, y 2) získanú z kvadratickej formy f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 lineárnou transformáciou.

Kvadratická forma je tzv kanonický(Má kanonický pohľad), ak všetky jeho koeficienty a ij \u003d 0 pri i≠j, t.j. f (x 1, x 2,..., x n) \u003d a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + ... + a nn x n 2 =.

Jeho matica je diagonálna.

Veta(tu nie je uvedený dôkaz). Akákoľvek kvadratická forma môže byť redukovaná na kanonickú formu pomocou nedegenerovanej lineárnej transformácie.

Napríklad do kanonického tvaru prenesme kvadratickú formu f (x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3.

Ak to chcete urobiť, najprv vyberte úplný štvorec pre premennú x 1:

f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d 2 (x 1 + x 2 ) 2 - 5 x 2 2 - x 2 x 3.

Teraz vyberieme celý štvorec pre premennú x 2:

f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 2 - 2 * x 2 * (1/10) x 3 + (1/100) x 3 2 ) - (5/100) x 3 2 \u003d \u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 - (1/10) x 3) 2 - (1/20) x 3 2.

Potom nedegenerovaná lineárna transformácia y 1 \u003d x 1 + x 2, y 2 \u003d x 2 - (1/10) x 3 a y 3 \u003d x 3 privedie túto kvadratickú formu do kanonickej formy f (y 1 , y 2, y 3) \u003d 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20)y 3 2 .

Všimnite si, že kanonická forma kvadratickej formy je definovaná nejednoznačne (tá istá kvadratická forma môže byť redukovaná na kanonickú formu rôznymi spôsobmi1). Avšak kanonické formy získané rôznymi metódami majú množstvo spoločných vlastností. Najmä počet členov s kladnými (zápornými) koeficientmi kvadratickej formy nezávisí od toho, ako je forma na túto formu redukovaná (napríklad v uvažovanom príklade budú vždy dva záporné a jeden kladný koeficient). Táto vlastnosť je tzv zákon zotrvačnosti kvadratických foriem.

Overme si to redukciou tej istej kvadratickej formy na kanonickú formu iným spôsobom. Začnime transformáciu s premennou x 2: f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d -3x 2 2 - x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 \u003d -3 (x 2 2 - - 2 * x 2 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) + ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2) - 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2 x 1 2 = = -3 (x 2 - (1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2 - 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2 x 1 2 \u003d f (y 1, y 2, y 3) \u003d - 3y 1 2 - -3y 2 2 + 2y 3 2, kde y1 = - (2/3) x 1 + x 2 - (1/6) x 3, y 2 = (2/3) x 1 + (1 /6) x3 a y3 = x1. Tu je kladný koeficient 2 pri y3 a dva záporné koeficienty (-3) pri y1 a y2).

Treba si tiež uvedomiť, že hodnosť matice kvadratickej formy, tzv hodnosť kvadratickej formy, sa rovná počtu nenulových koeficientov kanonickej formy a pri lineárnych transformáciách sa nemení.

Kvadratická forma f(X) sa nazýva pozitívne(negatívne)istý, ak je pre všetky hodnoty premenných, ktoré nie sú súčasne rovné nule, kladné, t.j. f(X) > 0 (záporné, t.j. f(X)< 0).

Napríklad kvadratická forma f 1 (X) \u003d x 1 2 + x 2 2 je pozitívne definitívna, pretože je súčet štvorcov a kvadratická forma f 2 (X) \u003d -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 je záporne určitá, pretože predstavuje môže byť reprezentovaný ako f 2 (X) \u003d - (x 1 - x 2) 2.

Vo väčšine praktických situácií je stanovenie znamienkovej určitosti kvadratickej formy o niečo ťažšie, preto sa na to používa jedna z nasledujúcich viet (formulujeme ich bez dôkazov).

Veta. Kvadratická forma je kladná (záporná) určitá vtedy a len vtedy, ak sú všetky vlastné hodnoty jej matice kladné (záporné).

Veta (Sylvesterovo kritérium). Kvadratická forma je kladne definitívna vtedy a len vtedy, ak sú všetky hlavné minority matice tejto formy kladné.

Major (roh) moll K-tý rád matice An-tého rádu sa nazýva determinant matice zložený z prvých k riadkov a stĺpcov matice A ().

Všimnite si, že pri záporno-definičných kvadratických formách sa znamienka hlavných maloletých striedajú a vedľajší prvok prvého poriadku musí byť záporný.

Napríklad skúmame kvadratickú formu f (x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 na znamienkovú určitosť.

= (2 -)* *(3 -) - 4 = (6 - 2- 3+ 2) - 4 = 2 - 5+ 2 = 0; D= 25 - 8 = 17; . Preto je kvadratická forma pozitívne definitívna.

Metóda 2. Hlavná vedľajšia matica prvého rádu A  1 = a 11 = 2 > 0. Hlavná vedľajšia matica druhého rádu  2 = = 6 - 4 = 2 > 0. Preto podľa Sylvesterovho kritéria , kvadratická forma je pozitívne definitívna.

Skúmame inú kvadratickú formu na určenie znamienka, f (x 1, x 2) \u003d -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Metóda 1. Zostrojme maticu kvadratickej formy А = . Charakteristická rovnica bude mať tvar = (-2 -)* *(-3 -) – 4 = (6 + 2+ 3+ 2) – 4 = 2 + 5+ 2 = 0; D= 25 – 8 = 17 ; . Preto je kvadratická forma negatívne definitívna.

Metóda 2. Hlavná vedľajšia matica prvého rádu A  1 \u003d a 11 \u003d \u003d -2< 0. Главный минор второго порядка 2 = = 6 – 4 = 2 >0. Podľa Sylvesterovho kritéria je teda kvadratická forma negatívne definitívna (znaky hlavných maloletých sa striedajú, začínajúc od mínusu).

A ako ďalší príklad skúmame kvadratickú formu f (x 1, x 2) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 na určenie znamienka.

Metóda 1. Zostrojme maticu kvadratickej formy А = . Charakteristická rovnica bude mať tvar = (2 -)* *(-3 -) - 4 = (-6 - 2+ 3+ 2) - 4 = 2 +- 10 = 0; D= 1 + 40 = 41; . Jedno z týchto čísel je záporné a druhé kladné. Znaky vlastných hodnôt sú rôzne. Preto kvadratická forma nemôže byť ani záporne, ani kladne definitívna, t.j. táto kvadratická forma nie je znamienkovo ​​definovaná (môže nadobúdať hodnoty akéhokoľvek znamienka).

Spôsob 2. Hlavná vedľajšia matica prvého rádu A  1 = a 11 = 2 > 0. Hlavná vedľajšia matica druhého rádu  2 = = -6 - 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них – положителен).

1Uvažovaný spôsob redukcie kvadratickej formy na kanonickú formu je vhodné použiť, keď sa pod druhými mocninami premenných vyskytujú nenulové koeficienty. Ak tam nie sú, stále je možné vykonať konverziu, ale musíte použiť iné triky. Napríklad, nech f(x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2 - x 1 2 - x 2 2 =

\u003d (x 1 + x 2) 2 - x 1 2 - x 2 2 \u003d (x 1 + x 2) 2 - (x 1 2 - 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 1 x 2 \u003d (x 1 + x 2) 2 - - (x 1 - x 2) 2 - 2 x 1 x 2; 4x 1 x 2 \u003d (x 1 + x 2) 2 - (x 1 - x 2) 2; f (x 1, x 2) \u003d 2x 1 x 2 \u003d (1/2) * * (x 1 + x 2 ) 2 - (1/2) * (x 1 - x 2) 2 \u003d f (y 1, y 2) \u003d (1/2) y 1 2 - (1/2) y 2 2, kde y 1 \u003d x 1 + x 2, ay 2 \u003d x 1 - x 2.

Štvorcové tvary.
Význam foriem. Sylvesterovo kritérium

Prídavné meno „štvorcový“ hneď napovedá, že tu niečo súvisí so štvorcom (druhý stupeň) a veľmi skoro spoznáme to „niečo“ a čo je forma. Hneď sa ukázalo :)

Vitajte v mojej novej lekcii a ako okamžité zahriatie sa pozrieme na pruhovaný tvar lineárne. Lineárna forma premenné volal homogénne Polynóm 1. stupňa:

- niektoré konkrétne čísla * (predpokladáme, že aspoň jeden z nich sa líši od nuly) a sú to premenné, ktoré môžu nadobúdať ľubovoľné hodnoty.

* V tejto téme budeme len uvažovať reálne čísla .

S pojmom „homogénny“ sme sa už stretli v lekcii o homogénne sústavy lineárnych rovníc a v tomto prípade to znamená, že polynóm nemá pridanú konštantu.

Napríklad: – lineárny tvar dvoch premenných

Teraz je tvar kvadratický. kvadratická forma premenné volal homogénne polynóm 2. stupňa, z ktorých každé obdobie obsahuje buď druhú mocninu premennej resp dvojitý súčin premenných. Takže napríklad kvadratická forma dvoch premenných má nasledujúci tvar:

Pozor! Toto je štandardný záznam a nemusíte v ňom nič meniť! Napriek „hroznému“ vzhľadu je tu všetko jednoduché - dvojité dolné indexy konštánt signalizujú, ktoré premenné sú zahrnuté v jednom alebo druhom termíne:
– tento výraz obsahuje produkt a (štvorec);
- tu je práca;
- a tu je práca.

- Okamžite očakávam hrubú chybu, keď stratia "mínus" koeficientu, neuvedomujúc si, že ide o výraz:

Niekedy je v duchu „školská“ verzia dizajnu, ale to len niekedy. Mimochodom, všimnite si, že konštanty nám tu nehovoria vôbec nič, a preto je ťažšie zapamätať si „ľahký zápis“. Najmä keď je tých premenných viac.

A kvadratická forma troch premenných už obsahuje šesť pojmov:

... prečo sú "dva" multiplikátory uvedené v "zmiešaných" podmienkach? Je to pohodlné a čoskoro bude jasné prečo.

Zapíšeme si však všeobecný vzorec, je vhodné ho usporiadať pomocou „hárka“:

- pozorne si preštudujte každý riadok - nie je na tom nič zlé!

Kvadratická forma obsahuje členy so štvorcovými premennými a členy s ich párovými súčinmi (cm. kombinatorický vzorec kombinácií ) . Nič iné - žiadne „osamelé x“ a žiadna pridaná konštanta (potom nedostanete kvadratickú formu, ale heterogénne polynóm 2. stupňa).

Maticový zápis kvadratického tvaru

V závislosti od hodnôt môže uvažovaná forma nadobudnúť kladné aj záporné hodnoty a to isté platí pre akúkoľvek lineárnu formu - ak je aspoň jeden z jej koeficientov nenulový, potom sa môže ukázať ako kladná alebo záporná (v závislosti od na hodnotách).

Tento formulár sa nazýva striedavý. A ak je všetko transparentné s lineárnou formou, potom sú veci oveľa zaujímavejšie s kvadratickou formou:

Je celkom jasné, že táto forma môže nadobudnúť hodnoty akéhokoľvek znamenia, teda kvadratická forma môže byť aj striedavá.

Nemusí to byť:

– vždy, pokiaľ nie sú obe rovné nule.

- pre hocikoho vektor okrem nuly.

A všeobecne povedané, ak pre nejaké nenulové vektor , , potom sa nazýva kvadratická forma kladné definitívne; Ak potom negatívny definitívny.

A všetko by bolo v poriadku, ale jednoznačnosť kvadratickej formy je viditeľná iba na jednoduchých príkladoch a táto viditeľnosť sa stráca už s miernou komplikáciou:
– ?

Dalo by sa predpokladať, že forma je pozitívne definovaná, ale je to naozaj tak? Zrazu existujú hodnoty, pri ktorých je menej ako nula?

Na tento účet, tam teorém: padám vlastné hodnoty matice kvadratického tvaru sú kladné * , potom je to pozitívne definované. Ak sú všetky negatívne, potom je to negatívne.

* Teoreticky je dokázané, že všetky vlastné hodnoty skutočnej symetrickej matice platné

Napíšme maticu vyššie uvedeného tvaru:
a z rovnice poďme ju nájsť vlastné hodnoty :

Riešime staré dobré kvadratická rovnica :

, teda formulár je pozitívne definovaný, t.j. pre všetky nenulové hodnoty je väčšia ako nula.

Zdá sa, že zvažovaná metóda funguje, no je tu jedno veľké ALE. Už pre maticu „tri po troch“ je hľadanie vlastných hodnôt zdĺhavá a nepríjemná úloha; s vysokou pravdepodobnosťou dostanete polynóm 3. stupňa s iracionálnymi koreňmi.

Ako byť? Existuje jednoduchší spôsob!

Sylvesterovo kritérium

Nie, nie Sylvester Stallone :) Najprv vám dovoľte pripomenúť, čo hranatých maloletých matice. Toto je determinanty ktoré „rastú“ z jeho ľavého horného rohu:

a posledný sa presne rovná determinantu matice.

Teraz v skutočnosti kritérium:

1) Definovaná kvadratická forma pozitívne vtedy a len vtedy, ak VŠETKY jeho uhlové minority sú väčšie ako nula: .

2) Definovaná kvadratická forma negatívne práve vtedy, ak sa jeho uhlové minory striedajú v znamienku, pričom 1. minor je menší ako nula: , , ak je párne alebo , ak je nepárne.

Ak má aspoň jeden hranatý vedľajší znak opačné znamienko, potom tvar znamenie-striedanie. Ak sú uhlové neplnoleté osoby v „tom“ znamienku, ale sú medzi nimi nuly, potom ide o špeciálny prípad, ktorý rozoberiem o niečo neskôr, keď si prejdeme bežnejšie príklady.

Poďme analyzovať uhlové minority matice :

A to nám hneď hovorí, že forma nie je negatívne určená.

Záver: všetky vedľajšie uhly sú väčšie ako nula, takže tvar pozitívne definované.

Existuje rozdiel oproti metóde vlastných hodnôt? ;)

Maticu tvaru zapisujeme z Príklad 1:

jeho prvý uhlový moll a druhý , z čoho vyplýva, že tvar je znamienkovo ​​striedavý, t.j. v závislosti od hodnôt môže mať kladné aj záporné hodnoty. To je však také zrejmé.

Zoberte formulár a jeho matricu Príklad 2:

tu vobec bez nadhladu nechapem. Ale pri kritériu Sylvester je nám to jedno:
, teda forma rozhodne nie je negatívna.

, a rozhodne nie pozitívne. (pretože všetci neplnoletí musia byť pozitívni).

Záver: tvar je striedavý.

Príklady zahrievania na samoriešenie:

Príklad 4

Preskúmajte kvadratické formy na určenie znamienka

a)

V týchto príkladoch je všetko hladké (pozri koniec lekcie), ale v skutočnosti je potrebné takúto úlohu dokončiť Sylvesterovo kritérium nemusí byť dostatočné.

Ide o to, že existujú „hraničné“ prípady, a to: ak pre nejaké nenulové vector , potom je definovaný tvar nezáporné, Ak potom nepozitívne. Tieto formy majú nenulové vektory pre ktoré .

Tu si môžete priniesť takýto „gombíkový akordeón“:

Zvýraznenie plné námestie , hneď vidíme nezápornosť tvar: , navyše sa rovná nule pre každý vektor s rovnakými súradnicami, napríklad: .

"Zrkadlový" príklad nepozitívne určitá forma:

a ešte triviálnejší príklad:
– tu sa tvar rovná nule pre ľubovoľný vektor , kde je ľubovoľné číslo.

Ako odhaliť nezápornosť alebo nepozitivitu formy?

Na to potrebujeme koncept hlavných maloletých matice. Hlavná moll je mol zložená z prvkov, ktoré sú v priesečníku riadkov a stĺpcov s rovnakými číslami. Matica má teda dvoch hlavných maloletých 1. rádu:
(prvok je v priesečníku 1. riadku a 1. stĺpca);
(prvok je v priesečníku 2. riadku a 2. stĺpca),

a jedna veľká vedľajšia 2. rádu:
- zložený z prvkov 1., 2. riadku a 1., 2. stĺpca.

Matrix "tri na tri" Existuje sedem hlavných maloletých a tu už musíte mávať bicepsmi:
- traja maloletí 1. rádu,
traja maloletí 2. rádu:
- zložený z prvkov 1., 2. riadku a 1., 2. stĺpca;
- zložený z prvkov 1., 3. riadku a 1., 3. stĺpca;
- zložený z prvkov 2., 3. riadku a 2., 3. stĺpca,
a jeden neplnoletý 3. rádu:
- zložený z prvkov 1., 2., 3. riadku a 1., 2. a 3. stĺpca.
Cvičenie pre pochopenie: zapíšte si všetky hlavné neplnoleté matice .
Na konci hodiny skontrolujeme a pokračujeme.

Schwarzeneggerovo kritérium:

1) Definovaná nenulová* kvadratická forma nezáporné vtedy a len vtedy, ak VŠETCI jej hlavné neplnoleté osoby nezáporné(väčšie alebo rovné nule).

* Nulová (degenerovaná) kvadratická forma má všetky koeficienty rovné nule.

2) Nenulová kvadratická forma s definovanou maticou nepozitívne vtedy a len vtedy, ak je to:
– hlavní maloletí 1. rádu nepozitívne(menší alebo rovný nule);
sú hlavnými maloletými 2. rádu nezáporné;
– hlavní maloletí 3. rádu nepozitívne(striedanie začalo);
…
– dur moll th rádu nepozitívne, ak je nepárne resp nezáporné, ak je párne.

Ak je aspoň jeden neplnoletý opačného znamienka, potom je tvar znamienkový.

Pozrime sa, ako funguje kritérium vo vyššie uvedených príkladoch:

Urobme maticu tvaru a predovšetkým vypočítajme uhlové neplnoleté osoby - čo ak je to pozitívne alebo negatívne definované?

Získané hodnoty nespĺňajú Sylvesterovo kritérium, avšak druhé menšie nie negatívne, a preto je potrebné skontrolovať 2. kritérium (v prípade 2. kritéria nebude splnené automaticky, t.j. okamžite sa urobí záver o znamienkovej zmene tvaru).

Maloletí 1. rádu:
- sú pozitívne
dur moll 2. rádu:
- nie negatívne.

Teda VŠETCI dôležitejší neplnoletí sú nezáporní, teda forma nezáporné.

Napíšeme maticu formulára , pre ktoré, samozrejme, nie je splnené kritérium Sylvester. Nedostali sme však ani opačné znamienka (pretože obe uhlové minory sa rovnajú nule). Preto kontrolujeme splnenie kritéria nezápornosti/nepozitivity. Maloletí 1. rádu:
- nie pozitívne
dur moll 2. rádu:
- nie negatívne.

Podľa Schwarzeneggerovho kritéria (bod 2) je teda forma určená nekladne.

Teraz, plne vyzbrojení, analyzujeme zábavnejší problém:

Príklad 5

Preskúmajte kvadratickú formu na určenie znamienka

Túto formu zdobí poradie "alfa", ktoré sa môže rovnať akémukoľvek reálnemu číslu. Ale bude to len zábavnejšie rozhodnúť.

Najprv si zapíšme maticu formulára, pravdepodobne sa mnohí už prispôsobili, aby to urobili ústne: na hlavná uhlopriečka koeficienty umiestnime na štvorce a na symetrické miesta - polovičné koeficienty zodpovedajúcich „zmiešaných“ produktov:

Vypočítajme uhlové neplnoleté deti:

Rozšírim tretí determinant pozdĺž 3. riadku: