Nech T je rotačné teleso vytvorené rotáciou okolo osi x krivočiareho lichobežníka umiestneného v hornej polrovine a ohraničeného osou x, priamkami x=a a x=b a grafom spojitej funkcie y =f(x) .

Dokážme, že toto rotačné teleso je kubické a jeho objem je vyjadrený vzorcom

V=\pi \int\limits_(a)^(b) f^2(x)\,dx= \pi \int\limits_(a)^(b)y^2\,dx\,.

Najprv dokážeme, že toto rotačné teleso je pravidelné, ak zoberieme za \Pi rovinu Oyz kolmú na os otáčania. Všimnite si, že rez nachádzajúci sa vo vzdialenosti x od roviny Oyz je kružnica s polomerom f(x) a jej plocha S(x) je \pi f^2(x) (obr. 46). Preto je funkcia S(x) spojitá vďaka spojitosti f(x) . Ďalej, ak S(x_1)\leqslant S(x_2), potom to znamená, že . Ale priemety rezov do roviny Oyz sú kružnice s polomermi f(x_1) a f(x_2) so stredom O a od f(x_1)\leqslant f(x_2) z toho vyplýva, že kružnica s polomerom f(x_1) je obsiahnutá v kružnici s polomerom f(x_2) .

Takže telo rotácie je pravidelné. Preto je kockatá a jej objem sa vypočíta podľa vzorca

V=\pi \int\limits_(a)^(b) S(x)\,dx= \pi \int\limits_(a)^(b)f^2(x)\,dx\,.

Ak by bol krivočiary lichobežník ohraničený zdola aj zhora krivkami y_1=f_1(x), y_2=f_2(x) , potom

V= \pi \int\limits_(a)^(b)y_2^2\,dx- \pi \int\limits_(a)^(b)y_1^2\,dx= \pi\int\limits_(a )^(b)\Bigl(f_2^2(x)-f_1^2(x)\Bigr)dx\,.

Vzorec (3) možno použiť aj na výpočet objemu rotačného telesa v prípade, keď je hranica rotujúceho útvaru daná parametrickými rovnicami. V tomto prípade je potrebné použiť zmenu premennej pod jednoznačným celočíselným znamienkom.

V niektorých prípadoch sa ukazuje ako vhodné rozložiť rotačné telesá nie na rovné kruhové valce, ale na figúrky iného typu.

Napríklad nájdime objem telesa získaný rotáciou krivočiareho lichobežníka okolo osi y. Najprv nájdime objem získaný otočením obdĺžnika s výškou y#, na ktorého základni leží segment . Tento objem sa rovná rozdielu medzi objemami dvoch priamych kruhových valcov

\Delta V_k= \pi y_k x_(k+1)^2- \pi y_k x_k^2= \pi y_k \bigl(x_(k+1)+x_k\bigr) \bigl(x_(k+1)- x_k\bigr).

Teraz je však jasné, že požadovaný objem sa odhaduje zhora a zdola takto:

2\pi \sum_(k=0)^(n-1) m_kx_k\Delta x_k \leqslant V\leqslant 2\pi \sum_(k=0)^(n-1) M_kx_k\Delta x_k\,.

Z toho ľahko vyplýva vzorec pre objem rotačného telesa okolo osi y:

V=2\pi \int\limits_(a)^(b) xy\,dx\,.

Príklad 4 Nájdite objem gule s polomerom R.

rozhodnutie. Bez straty všeobecnosti budeme uvažovať kružnicu s polomerom R so stredom v počiatku. Tento kruh, ktorý sa otáča okolo osi Ox, tvorí guľu. Kruhová rovnica je x^2+y^2=R^2, takže y^2=R^2-x^2. Vzhľadom na symetriu kruhu okolo osi y najskôr nájdeme polovicu požadovaného objemu

\frac(1)(2)V= \pi\int\limits_(0)^(R)y^2\,dx= \pi\int\limits_(0)^(R) (R^2-x^ 2)\,dx= \vľavo.(\pi\!\vľavo(R^2x- \frac(x^3)(3)\vpravo))\vpravo|_(0)^(R)= \pi\ !\left(R^3- \frac(R^3)(3)\right)= \frac(2)(3)\pi R^3.

Preto je objem celej gule \frac(4)(3)\pi R^3.

Príklad 5 Vypočítajte objem kužeľa, ktorého výška je h a polomer podstavy je r.

rozhodnutie. Súradnicový systém volíme tak, aby sa os Ox zhodovala s výškou h (obr. 47) a za počiatok berieme vrchol kužeľa. Potom rovnicu priamky OA môžeme zapísať ako y=\frac(r)(h)\,x .

Pomocou vzorca (3) dostaneme:

V=\pi \int\limits_(0)^(h) y^2\,dx= \pi \int\limits_(0)^(h) \frac(r^2)(h^2)\,x ^2\,dx= \vľavo.(\frac(\pi r^2)(h^2)\cdot \frac(x^3)(3))\vpravo|_(0)^(h)= \ frac(\pi)(3)\,r^2h\,.

Príklad 6 Nájdite objem telesa získaný rotáciou okolo osi x astroidu \begin(cases)x=a\cos^3t\,\\ y=a\sin^3t\,.\end(cases)(obr. 48).

rozhodnutie. Postavme si astroid. Zoberme si polovicu hornej časti astroidu umiestnenú symetricky okolo osi y. Pomocou vzorca (3) a zmenou premennej pod znamienkom určitého integrálu nájdeme integračné limity pre novú premennú t.

Ak x=a\cos^3t=0, potom t=\frac(\pi)(2) a ak x=a\cos^3t=a, potom t=0. Vzhľadom na to, že y^2=a^2\sin^6t a dx=-3a\cos^2t\sin(t)\,dt, dostaneme:

V=\pi \int\limits_(a)^(b) y^2\,dx= \pi \int\limits_(\pi/2)^(0) a^2\sin^6t \bigl(-3a \cos^2t\sin(t)\bigr)\,dt= \ldots= \frac(16\pi)(105)\,a^3.

Objem celého tela vytvoreného rotáciou astroidu bude \frac(32\pi)(105)\,a^3.

Príklad 7 Nájdite objem telesa získaný rotáciou okolo osi ordinátov krivočiareho lichobežníka ohraničeného osou x a prvým oblúkom cykloidy \začiatok(prípady)x=a(t-\sin(t)),\\ y=a(1-\cos(t)).\koniec (prípady).

rozhodnutie. Používame vzorec (4): V=2\pi \int\limits_(a)^(b)xy\,dx a nahraďte premennú pod znamienkom integrálu, berúc do úvahy, že prvý oblúk cykloidy sa vytvorí, keď sa premenná t zmení z 0 na 2\pi. teda

\begin(zarovnané)V&= 2\pi \int\limits_(0)^(2\pi) a(t-\sin(t))a(1-\cos(t))a(1-\cos( t))\,dt= 2\pi a^3 \int\limits_(0)^(2\pi) (t-\sin(t))(1-\cos(t))^2\,dt= \\ &= 2\pi a^3 \int\limits_(0)^(2\pi)\bigl(t-\sin(t)- 2t\cos(t)+ 2\sin(t)\cos( t)+ t\cos^2t- \sin(t)\cos^2t\bigr)\,dt=\\ &= \left.(2\pi a^3\!\left(\frac(t^2 )(2)+ \cos(t)- 2t\sin(t)- 2\cos(t)+ \sin^2t+ \frac(t^2)(4)+ \frac(t)(4)\sin2t+ \frac(1)(8)\cos2t+ \frac(1)(3)\cos^3t\right))\right|_(0)^(2\pi)=\\ &= 2\pi a^3 \!\left(2\pi^2+1-2+\pi^2+\frac(1)(8)+ \frac(1)(3)-1+2- \frac(1)(8) - \frac(1)(3)\vpravo)= 6\pi^3a^3. \end (zarovnané)

Javascript je vo vašom prehliadači zakázaný.
Aby bolo možné vykonávať výpočty, musia byť povolené ovládacie prvky ActiveX!

Použitie integrálov na nájdenie objemov rotačných telies

Praktická užitočnosť matematiky je daná tým, že bez

špecifické matematické znalosti sťažujú pochopenie princípov zariadenia a využitia moderných technológií. Každý človek vo svojom živote musí vykonávať pomerne zložité výpočty, používať bežne používané zariadenia, nájsť potrebné vzorce v referenčných knihách a zostaviť jednoduché algoritmy na riešenie problémov. V modernej spoločnosti sa čoraz viac špecialít, ktoré si vyžadujú vysokú úroveň vzdelania, spája s priamou aplikáciou matematiky. Pre školáka sa tak matematika stáva odborne významným predmetom. Vedúca úloha patrí matematike pri formovaní algoritmického myslenia, vychováva schopnosť konať podľa daného algoritmu a navrhovať nové algoritmy.

Pri štúdiu témy použitia integrálu na výpočet objemov rotačných telies navrhujem, aby študenti na voliteľných hodinách zvážili tému: "Objemy rotačných telies pomocou integrálov." Tu je niekoľko pokynov na riešenie tejto témy:

1. Oblasť plochej postavy.

Z kurzu algebry vieme, že praktické problémy viedli ku konceptu určitého integrálu..gif" width="88" height="51">.jpg" width="526" height="262 src=">

https://pandia.ru/text/77/502/images/image006_95.gif" width="127" height="25 src=">.

Aby sme našli objem rotačného telesa vytvoreného rotáciou krivočiareho lichobežníka okolo osi Ox, ohraničeného prerušovanou čiarou y=f(x), osou Ox, priamkami x=a a x=b, vypočítame podľa vzorca

https://pandia.ru/text/77/502/images/image008_26.jpg" width="352" height="283 src=">Y

3. Objem valca.

https://pandia.ru/text/77/502/images/image011_58.gif" width="85" height="51">..gif" width="13" height="25">..jpg" width="401" height="355">Kužeľ sa získa otáčaním pravouhlého trojuholníka ABC(C=90) okolo osi Ox, na ktorej leží rameno AC.

Segment AB leží na čiare y=kx+c, kde je https://pandia.ru/text/77/502/images/image019_33.gif" width="59" height="41 src=">.

Nech a=0, b=H (H je výška kužeľa), potom Vhttps://pandia.ru/text/77/502/images/image021_27.gif" width="13" height="23 src= ">.

5. Objem zrezaného kužeľa.

Zrezaný kužeľ možno získať otáčaním pravouhlého lichobežníka ABCD (CDOx) okolo osi Ox.

Úsečka AB leží na priamke y=kx+c, kde , c = r.

Keďže priamka prechádza bodom A (0; r).

Priama čiara teda vyzerá takto https://pandia.ru/text/77/502/images/image027_17.gif" width="303" height="291 src=">

Nech a=0, b=H (H je výška zrezaného kužeľa), potom https://pandia.ru/text/77/502/images/image030_16.gif" width="36" height="17 src ="> = .

6. Objem lopty.

Loptičku je možné získať otáčaním kruhu so stredom (0;0) okolo osi x. Polkruh umiestnený nad osou x je daný rovnicou

https://pandia.ru/text/77/502/images/image034_13.gif" width="13" height="16 src=">x R.

I. Objemy revolučných telies. Predbežne si preštudujte podľa učebnice G. M. Fikhtengoltsa, kapitola XII, p°p°197, 198 * Podrobne analyzujte príklady uvedené na p°198.

508. Vypočítajte objem telesa, ktoré vznikne rotáciou elipsy okolo osi x.

teda

530. Nájdite plochu povrchu vytvorenú rotáciou okolo osi Ox oblúka sínusoidy y \u003d sin x z bodu X \u003d 0 do bodu X \u003d It.

531. Vypočítajte povrch kužeľa s výškou h a polomerom r.

532. Vypočítajte povrch tvorený

rotácia astroidu x3 -) - y* - a3 okolo osi x.

533. Vypočítajte plochu povrchu tvorenú inverziou slučky krivky 18 y-x(6-x)r okolo osi x.

534. Nájdite povrch torusu, ktorý vznikne rotáciou kružnice X2 - j - (y-3)2 = 4 okolo osi x.

535. Vypočítajte plochu povrchu tvorenú rotáciou kruhu X = a cost, y = asint okolo osi Ox.

536. Vypočítajte plochu povrchu vytvorenú rotáciou slučky krivky x = 9t2, y = St - 9t3 okolo osi Ox.

537. Nájdite plochu povrchu vytvorenú rotáciou oblúka krivky x = e * sint, y = el cost okolo osi Ox

od t = 0 do t = -.

538. Ukážte, že plocha vytvorená rotáciou oblúka cykloidy x = a (q> - sin φ), y = a (I - cos φ) okolo osi Oy sa rovná 16 u2 o2.

539. Nájdite plochu získanú rotáciou kardioidy okolo polárnej osi.

540. Nájdite plochu povrchu vytvorenú rotáciou lemniskátu okolo polárnej osi.

Dodatočné úlohy pre kapitolu IV

Plochy rovinných figúrok

541. Nájdite celú oblasť oblasti ohraničenú krivkou A os Oh.

542. Nájdite oblasť oblasti ohraničenej krivkou

A os Oh.

543. Nájdite časť oblasti regiónu umiestnenú v prvom kvadrante a ohraničenú krivkou

l súradnicové osi.

544. Nájdite oblasť oblasti, ktorá sa v nej nachádza

slučky:

545. Nájdite oblasť oblasti ohraničenú jednou slučkou krivky:

546. Nájdite oblasť oblasti vo vnútri slučky:

547. Nájdite oblasť oblasti ohraničenej krivkou

A os Oh.

548. Nájdite oblasť oblasti ohraničenej krivkou

A os Oh.

549. Nájdite oblasť regiónu ohraničenú osou Oxr

rovné a zakrivené

Ako vypočítať objem rotačného telesa
pomocou určitého integrálu?

Vo všeobecnosti existuje veľa zaujímavých aplikácií v integrálnom počte, pomocou určitého integrálu môžete vypočítať plochu obrázku, objem rotačného telesa, dĺžku oblúka, povrchová plocha rotácie a oveľa viac. Takže to bude zábava, buďte optimistickí!

Predstavte si nejakú plochú postavu v rovine súradníc. zastúpený? ... Zaujímalo by ma, kto čo prezentoval ... =))) Jej areál sme už našli. Okrem toho sa však toto číslo môže tiež otáčať a otáčať dvoma spôsobmi:

- okolo osi x;
- okolo osi y.

V tomto článku sa budú diskutovať o oboch prípadoch. Zaujímavý je najmä druhý spôsob otáčania, ktorý spôsobuje najväčšie ťažkosti, no v skutočnosti je riešenie takmer rovnaké ako pri bežnejšom otáčaní okolo osi x. Ako bonus sa vrátim k problém nájsť oblasť postavy, a povie vám, ako nájsť oblasť druhým spôsobom - pozdĺž osi. Ani nie tak bonus, ako materiál dobre zapadá do témy.

Začnime s najobľúbenejším typom rotácie.

plochá postava okolo osi

Vypočítajte objem telesa získaného otáčaním obrazca ohraničeného priamkami okolo osi.

rozhodnutie: Rovnako ako v oblasti problému, riešenie začína kresbou plochej postavy. To znamená, že na rovine je potrebné postaviť obrazec ohraničený čiarami , , pričom netreba zabúdať, že rovnica definuje os . Ako urobiť kresbu racionálnejšie a rýchlejšie, nájdete na stránkach Grafy a vlastnosti elementárnych funkcií a . Toto je čínska pripomienka a v tomto bode nekončím.

Nákres je tu celkom jednoduchý:

Požadovaná plochá figúrka je vytieňovaná modrou farbou a práve ona sa otáča okolo osi.V dôsledku otáčania sa získa taký mierne vajcovitý lietajúci tanier, ktorý je symetrický okolo osi. V skutočnosti má telo matematický názov, ale je príliš lenivé špecifikovať niečo v referenčnej knihe, takže ideme ďalej.

Ako vypočítať objem rotačného telesa?

Objem rotačného telesa možno vypočítať podľa vzorca:

Vo vzorci musí byť pred integrálom číslo. Stalo sa to - všetko, čo sa v živote točí, je spojené s touto konštantou.

Ako nastaviť hranice integrácie "a" a "byť", myslím, je ľahké uhádnuť z dokončeného výkresu.

Funkcia... čo je táto funkcia? Pozrime sa na výkres. Plochý obrazec je zhora ohraničený grafom paraboly. Toto je funkcia, ktorá je zahrnutá vo vzorci.

V praktických úlohách môže byť plochá postava niekedy umiestnená pod osou. To nič nemení - integrand vo vzorci je odmocnený: , teda integrál je vždy nezáporný, čo je celkom logické.

Vypočítajte objem rotačného telesa pomocou tohto vzorca:

Ako som už poznamenal, integrál sa takmer vždy ukáže ako jednoduchý, hlavnou vecou je byť opatrný.

Odpoveď:

V odpovedi je potrebné uviesť rozmer - kubické jednotky. To znamená, že v našom rotačnom tele je približne 3,35 "kociek". Prečo práve kubický Jednotky? Pretože najuniverzálnejšia formulácia. Môžu tam byť kubické centimetre, môžu byť kubické metre, môžu byť kubické kilometre atď., toľko malých zelených mužíkov sa vo vašej fantázii zmestí do lietajúceho taniera.

Nájdite objem telesa vytvoreného rotáciou okolo osi obrazca ohraničeného priamkami , ,

Toto je príklad „urob si sám“. Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Uvažujme o dvoch zložitejších problémoch, s ktorými sa v praxi tiež často stretávame.

Vypočítajte objem telesa získaného rotáciou okolo osi x úsečky obrazca ohraničeného priamkami , , a

rozhodnutie: Nakreslíme na výkres plochý útvar ohraničený čiarami , , , , pričom nezabúdajme, že rovnica definuje os:

Požadovaná figúrka je vytieňovaná modrou farbou. Keď sa otáča okolo osi, získa sa taká neskutočná šiška so štyrmi rohmi.

Objem rotačného telesa sa vypočíta ako rozdiel v objeme tela.

Najprv sa pozrime na postavu, ktorá je zakrúžkovaná červenou farbou. Keď sa otáča okolo osi, získa sa zrezaný kužeľ. Označme objem tohto zrezaného kužeľa ako .

Zvážte obrázok, ktorý je zakrúžkovaný zelenou farbou. Ak otočíte tento obrazec okolo osi, získate tiež zrezaný kužeľ, len o niečo menší. Jeho objem označme .

A je zrejmé, že rozdiel v objemoch je presne taký, ako je objem našej „šišky“.

Na zistenie objemu rotačného telesa používame štandardný vzorec:

1) Číslo zakrúžkované červenou farbou je zhora ohraničené priamkou, preto:

2) Číslo zakrúžkované zelenou farbou je zhora ohraničené priamkou, preto:

3) Objem požadovaného rotačného telesa:

Odpoveď:

Je zvláštne, že v tomto prípade je možné riešenie skontrolovať pomocou školského vzorca na výpočet objemu zrezaného kužeľa.

Samotné rozhodnutie sa často robí kratšie, asi takto:

Teraz si dáme prestávku a povieme si niečo o geometrických ilúziách.

Ľudia majú často ilúzie spojené so zväzkami, čo si v knihe všimol aj Perelman (iný). Zaujímavá geometria. Pozrite sa na plochý obrázok v riešenom probléme - zdá sa, že je malý na plochu a objem rotačného telesa je len niečo málo cez 50 kubických jednotiek, čo sa zdá byť príliš veľké. Mimochodom, priemerný človek za celý život vypije tekutinu s objemom miestnosti 18 metrov štvorcových, čo sa mu naopak zdá príliš malý objem.

Po lyrickej odbočke je vhodné vyriešiť kreatívnu úlohu:

Vypočítajte objem telesa vytvoreného rotáciou okolo osi plochého útvaru ohraničeného priamkami , , kde .

Toto je príklad „urob si sám“. Všimnite si, že všetky veci sa dejú v pásme, inými slovami, hotové integračné limity sú skutočne dané. Správne nakreslite grafy goniometrických funkcií, pripomeniem vám materiál lekcie o geometrické transformácie grafov: ak je argument deliteľný dvoma: , potom sa grafy roztiahnu pozdĺž osi dvakrát. Je žiaduce nájsť aspoň 3-4 body podľa trigonometrických tabuliek pre presnejšie dokončenie výkresu. Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny. Mimochodom, úloha sa dá vyriešiť racionálne a nie veľmi racionálne.

Výpočet objemu telesa vzniknutého rotáciou
plochá postava okolo osi

Druhý odsek bude ešte zaujímavejší ako prvý. Úloha vypočítať objem rotačného telesa okolo osi y je tiež pomerne častým návštevníkom testov. Priebežne sa bude brať do úvahy problém nájsť oblasť postavy druhý spôsob - integrácia pozdĺž osi, to vám umožní nielen zlepšiť svoje zručnosti, ale tiež vás naučí, ako nájsť najziskovejšie riešenie. Má to aj praktický význam! Ako s úsmevom spomínala moja učiteľka metód vyučovania matematiky, mnohí absolventi jej ďakovali slovami: „Váš predmet nám veľmi pomohol, teraz sme efektívni manažéri a svojich zamestnancov riadime optimálne.“ Pri tejto príležitosti jej tiež vyjadrujem veľkú vďaku, najmä preto, že nadobudnuté vedomosti využívam na zamýšľaný účel =).

Odporúčam prečítať každému, aj úplným hlupákom. Okrem toho asimilovaný materiál z druhého odseku bude neoceniteľnou pomocou pri výpočte dvojitých integrálov.

Daný plochý obrazec ohraničený čiarami , , .

1) Nájdite plochu plochej postavy ohraničenú týmito čiarami.
2) Nájdite objem telesa získaný otočením plochého útvaru ohraničeného týmito čiarami okolo osi.

Pozor! Aj keď si chcete prečítať iba druhý odsek, určite si najprv prečítajte prvý!

rozhodnutie: Úloha pozostáva z dvoch častí. Začnime námestím.

1) Vykonajte kresbu:

Je ľahké vidieť, že funkcia definuje hornú vetvu paraboly a funkcia definuje dolnú vetvu paraboly. Pred nami je triviálna parabola, ktorá „leží na boku“.

Požadovaná postava, ktorej oblasť sa má nájsť, je zatienená modrou farbou.

Ako nájsť oblasť postavy? Dá sa nájsť „zvyčajným“ spôsobom, o ktorom sa uvažovalo v lekcii. Určitý integrál. Ako vypočítať plochu obrázku. Okrem toho sa oblasť obrázku nachádza ako súčet oblastí:
- na segmente ;
- na segmente.

Takže:

Čo je v tomto prípade zlé na zvyčajnom riešení? Po prvé, existujú dva integrály. Po druhé, odmocniny pod integrálmi a odmocniny v integráloch nie sú darom, navyše sa človek môže zmiasť pri nahrádzaní hraníc integrácie. V skutočnosti integrály, samozrejme, nie sú smrteľné, ale v praxi je všetko oveľa smutnejšie, len som pre túto úlohu vybral „lepšie“ funkcie.

Existuje racionálnejší spôsob, ako to vyriešiť: spočíva v prechode na inverzné funkcie a integrácii pozdĺž osi.

Ako prejsť na inverzné funkcie? Zhruba povedané, musíte vyjadriť "x" cez "y". Najprv sa pozrime na parabolu:

To stačí, ale presvedčte sa, že rovnakú funkciu možno odvodiť aj zo spodnej vetvy:

S priamou čiarou je všetko jednoduchšie:

Teraz sa pozrite na os: počas vysvetľovania pravidelne nakláňajte hlavu o 90 stupňov doprava (toto nie je vtip!). Obrázok, ktorý potrebujeme, leží na segmente, ktorý je označený červenou bodkovanou čiarou. Zároveň je na segmente priamka umiestnená nad parabolou, čo znamená, že oblasť obrázku by sa mala nájsť pomocou vzorca, ktorý už poznáte: . Čo sa zmenilo vo vzorci? Iba list a nič viac.

! Poznámka: Mali by byť nastavené integračné limity pozdĺž osi striktne zdola nahor!

Nájdenie oblasti:

V segmente teda:

Venujte pozornosť tomu, ako som vykonal integráciu, je to najracionálnejší spôsob a v ďalšom odseku zadania bude jasné prečo.

Pre čitateľov, ktorí pochybujú o správnosti integrácie, nájdem deriváty:

Získa sa pôvodný integrand, čo znamená, že integrácia je vykonaná správne.

Odpoveď:

2) Vypočítajte objem telesa, ktoré vznikne rotáciou tohto útvaru okolo osi.

Výkres prekreslím do trochu iného dizajnu:

Postava vytieňovaná modrou sa teda otáča okolo osi. Výsledkom je „vznášajúci sa motýľ“, ktorý sa otáča okolo svojej osi.

Aby sme našli objem rotačného telesa, budeme integrovať pozdĺž osi. Najprv musíme prejsť k inverzným funkciám. Toto už bolo urobené a podrobne popísané v predchádzajúcom odseku.

Teraz opäť nakloníme hlavu doprava a študujeme našu postavu. Je zrejmé, že objem rotačného telesa by sa mal nájsť ako rozdiel medzi objemami.

Otáčame figúrku zakrúžkovanú červenou farbou okolo osi, výsledkom čoho je zrezaný kužeľ. Označme tento zväzok .

Zelenou zakrúžkovanou postavou otáčame okolo osi a označujeme ju cez objem výsledného rotačného telesa.

Objem nášho motýľa sa rovná rozdielu v objemoch.

Na zistenie objemu rotačného telesa používame vzorec:

Ako sa líši od vzorca z predchádzajúceho odseku? Iba v listoch.

A tu je výhoda integrácie, o ktorej som hovoril pred chvíľou, je oveľa jednoduchšie ju nájsť než predbežne zvýšiť integrand na 4. mocninu.

Odpoveď:

Všimnite si, že ak sa rovnaká plochá postava otáča okolo osi, potom sa ukáže úplne iné rotačné telo s iným, prirodzene, objemom.

Daný plochý obrazec ohraničený čiarami a osou.

1) Prejdite na inverzné funkcie a nájdite oblasť plochej postavy ohraničenú týmito čiarami integráciou cez premennú .
2) Vypočítajte objem telesa získaného otáčaním plochého útvaru ohraničeného týmito čiarami okolo osi.

Toto je príklad „urob si sám“. Tí, ktorí si želajú, môžu tiež nájsť oblasť postavy „zvyčajným“ spôsobom, čím dokončí test podľa odseku 1). Ale ak, opakujem, otočíte plochú postavu okolo osi, tak dostanete úplne iné telo otáčania s iným objemom, mimochodom, správna odpoveď (aj pre tých, ktorí radi riešia).

Kompletné riešenie dvoch navrhnutých bodov úlohy na konci hodiny.

Jo, a nezabudnite nakloniť hlavu doprava, aby ste pochopili rotačné telá a v rámci integrácie!

Chcel som, už bolo, článok dokončiť, ale dnes priniesli zaujímavý príklad práve na zistenie objemu otáčavého telesa okolo osi y. Čerstvé:

Vypočítajte objem telesa vzniknutého rotáciou okolo osi obrazca ohraničeného krivkami a .

rozhodnutie: Urobme kresbu:

Po ceste sa oboznamujeme s grafmi niektorých ďalších funkcií. Taký zaujímavý graf párnej funkcie ....