Čo je derivát?
Definícia a význam derivácie funkcie

Mnohých prekvapí nečakané umiestnenie tohto článku v mojom autorovom kurze o derivácii funkcie jednej premennej a jej aplikáciách. Koniec koncov, ako to bolo zo školy: štandardná učebnica v prvom rade dáva definíciu derivátu, jeho geometrický, mechanický význam. Ďalej študenti nachádzajú deriváty funkcií podľa definície a v skutočnosti až potom sa zdokonaľuje technika diferenciácie derivačné tabuľky.

Ale z môjho pohľadu je pragmatickejší nasledujúci prístup: v prvom rade je vhodné DOBRE ROZUMIEŤ limit funkcie, a najmä nekonečne malé. Faktom je, že definícia derivátu je založená na koncepte limity, čo sa v školskom kurze zle zohľadňuje. Preto značná časť mladých konzumentov vedomostí o žule slabo preniká do samotnej podstaty derivátu. Ak sa teda nevyznáte v diferenciálnom počte, alebo sa múdry mozog v priebehu rokov úspešne zbavil tejto záťaže, začnite limity funkcií. Zároveň majte / pamätajte na ich rozhodnutie.

Rovnaký praktický zmysel naznačuje, že je to predovšetkým ziskové Naučte sa hľadať deriváty, počítajúc do toho deriváty komplexných funkcií. Teória je teória, ale ako sa hovorí, vždy chcete rozlišovať. V tomto ohľade je lepšie vypracovať uvedené základné lekcie a možno sa stať majster diferenciácie bez toho, aby si uvedomili podstatu svojho konania.

Odporúčam začať materiály na tejto stránke po prečítaní článku. Najjednoduchšie problémy s derivátom, kde sa uvažuje najmä o probléme dotyčnice ku grafu funkcie. Ale dá sa to oddialiť. Faktom je, že mnohé aplikácie derivátu nevyžadujú jeho pochopenie a nie je prekvapujúce, že teoretická lekcia sa objavila dosť neskoro - keď som potreboval vysvetliť zisťovanie intervalov nárastu/zníženia a extrémov funkcie. Navyše bol v tejto téme pomerne dlho. Funkcie a grafy“, kým som sa nerozhodol vložiť to skôr.

Preto, drahé čajníky, neponáhľajte absorbovať esenciu derivátu, ako hladné zvieratá, pretože nasýtenie bude bez chuti a neúplné.

Pojem zvyšovanie, znižovanie, maximum, minimum funkcie

Mnohé návody vedú pomocou niektorých praktických problémov ku konceptu derivácie a prišiel som aj na zaujímavý príklad. Predstavte si, že musíme cestovať do mesta, kam sa dá dostať rôznymi spôsobmi. Okamžite zahodíme zakrivené kľukaté cesty a budeme brať do úvahy iba priame čiary. Priame smery sú však tiež odlišné: do mesta sa dostanete po plochej diaľnici. Alebo na kopcovitej diaľnici – hore-dole, hore-dole. Iná cesta ide len do kopca a iná stále klesá. Milovníci vzrušenia si vyberú trasu cez roklinu so strmým bralom a strmým výstupom.

Nech sú však vaše preferencie akékoľvek, je žiaduce poznať oblasť, alebo mať aspoň jej topografickú mapu. Čo ak takéto informácie neexistujú? Koniec koncov, môžete si vybrať napríklad rovinatú cestu, ale vo výsledku zakopte o zjazdovku s vtipnými Fínmi. Nie skutočnosť, že navigátor a dokonca aj satelitná snímka poskytnú spoľahlivé údaje. Preto by bolo pekné formalizovať reliéf cesty pomocou matematiky.

Zvážte cestu (pohľad zboku):

Pre každý prípad vám pripomínam základný fakt: cesta sa koná zľava doprava. Pre jednoduchosť predpokladáme, že funkcia nepretržitý v posudzovanej oblasti.

Aké sú vlastnosti tohto grafu?

V intervaloch funkciu zvyšuje, teda každá jej ďalšia hodnota viac ten predchádzajúci. Zhruba povedané, harmonogram ide zdola nahor(lezieme na kopec). A na intervale funkcia klesá- každá ďalšia hodnota menšie predchádzajúci a náš rozvrh ide zhora nadol(ide dolu svahom).

Venujme pozornosť aj špeciálnym bodom. V bode, ktorý dosiahneme maximálne, t.j existujú taký úsek cesty, na ktorom bude hodnota najväčšia (najvyššia). v tom istom bode minimálne a existujú také jeho okolie, v ktorom je hodnota najmenšia (najnižšia).

V lekcii sa bude brať do úvahy prísnejšia terminológia a definície. o extrémoch funkcie, ale teraz si preštudujme ešte jednu dôležitú vlastnosť: na intervaloch funkcia sa zvyšuje, ale zvyšuje sa pri rôznych rýchlostiach. A prvá vec, ktorá vás upúta, je, že graf stúpa na interval oveľa viac cool ako na intervale. Je možné zmerať strmosť cesty pomocou matematických nástrojov?

Rýchlosť zmeny funkcie

Myšlienka je takáto: vziať nejakú hodnotu (čítaj "delta x"), ktorú budeme volať prírastok argumentov, a začnime to „skúšať“ na rôznych miestach našej cesty:

1) Pozrime sa na bod úplne vľavo: obídeme vzdialenosť a stúpame po svahu do výšky (zelená čiara). Hodnota sa volá prírastok funkcie a v tomto prípade je tento prírastok kladný (rozdiel hodnôt pozdĺž osi je väčší ako nula). Urobme pomer , ktorý bude mierou strmosti našej cesty. Je zrejmé, že ide o veľmi špecifické číslo a keďže oba prírastky sú kladné, potom .

Pozor! Označenie sú JEDEN to znamená, že nemôžete „odtrhnúť“ „delta“ od „x“ a zvážiť tieto písmená oddelene. Komentár sa samozrejme vzťahuje aj na symbol prírastku funkcie.

Poďme preskúmať povahu výsledného zlomku zmysluplnejšie. Predpokladajme, že sme na začiatku vo výške 20 metrov (v ľavom čiernom bode). Po prekonaní vzdialenosti metrov (ľavá červená čiara) budeme vo výške 60 metrov. Potom bude prírastok funkcie metrov (zelená čiara) a: . teda na každom metre tento úsek cesty výška sa zvyšuje priemer o 4 metre…zabudli ste si horolezecké vybavenie? =) Inými slovami, zostrojený pomer charakterizuje PRIEMERNÚ RÝCHLOSŤ ZMENY (v tomto prípade rastu) funkcie.

Poznámka : Číselné hodnoty príslušného príkladu zodpovedajú proporciám výkresu len približne.

2) Teraz poďme v rovnakej vzdialenosti od čiernej bodky úplne vpravo. Tu je vzostup miernejší, takže prírastok (karmínová čiara) je relatívne malý a pomer v porovnaní s predchádzajúcim prípadom bude pomerne mierny. relatívne povedané, metrov a rýchlosť rastu funkcie je . To znamená, že tu na každý meter cesty existuje priemer pol metra hore.

3) Malé dobrodružstvo na úbočí hôr. Pozrime sa na hornú čiernu bodku umiestnenú na osi y. Predpokladajme, že ide o značku 50 metrov. Opäť prekonávame vzdialenosť, v dôsledku čoho sa ocitáme nižšie – na úrovni 30 metrov. Odkedy bol pohyb urobený zhora nadol(v "opačnom" smere osi), potom konečná prírastok funkcie (výška) bude záporný: metrov (hnedá čiara na výkrese). A v tomto prípade hovoríme o rýchlosť rozpadu Vlastnosti: , teda s každým metrom dráhy tohto úseku sa výška zmenšuje priemer o 2 metre. Postarajte sa o oblečenie v piatom bode.

Teraz si položme otázku: aká je najlepšia hodnota „meracieho štandardu“ na použitie? Je jasné, že 10 metrov je veľmi drsných. Bez problémov sa na ne zmestí dobrý tucet hrbolčekov. Prečo sú tam hrbole, dole môže byť hlboká roklina a po pár metroch jej druhá strana s ďalším strmým stúpaním. Pri desaťmetrovom teda nedostaneme zrozumiteľnú charakteristiku takýchto úsekov cesty cez pomer.

Z vyššie uvedenej diskusie vyplýva tento záver: čím je hodnota menšia, tým presnejšie popíšeme reliéf cesty. Okrem toho sú pravdivé nasledujúce skutočnosti:

– Pre akékoľvek zdvíhacie body môžete si vybrať hodnotu (hoci veľmi malú), ktorá zapadá do hraníc jedného alebo druhého vzostupu. A to znamená, že príslušný výškový prírastok bude zaručene kladný a nerovnosť bude správne indikovať rast funkcie v každom bode týchto intervalov.

- tak isto, pre akékoľvek sklonový bod, existuje hodnota, ktorá sa na tento svah úplne zmestí. Zodpovedajúci nárast výšky je teda jednoznačne záporný a nerovnosť správne ukáže pokles funkcie v každom bode daného intervalu.

– Zvlášť zaujímavý je prípad, keď je miera zmeny funkcie nulová: . Po prvé, nulový prírastok výšky () je znakom rovnomernej cesty. A po druhé, existujú ďalšie kuriózne situácie, ktorých príklady vidíte na obrázku. Predstavte si, že nás osud zavial na samý vrchol kopca so vznášajúcimi sa orlami alebo na dno rokliny s kvákajúcimi žabami. Ak urobíte malý krok ktorýmkoľvek smerom, zmena výšky bude zanedbateľná a môžeme povedať, že rýchlosť zmeny funkcie je v skutočnosti nulová. Rovnaký vzor je pozorovaný v bodoch.

Tak sme sa priblížili k úžasnej príležitosti dokonale presne charakterizovať rýchlosť zmeny funkcie. Koniec koncov, matematická analýza nám umožňuje nasmerovať prírastok argumentu na nulu: to znamená, aby bol nekonečne malý.

V dôsledku toho vzniká ďalšia logická otázka: je možné nájsť cestu a jej harmonogram inú funkciu, ktorý by nám povedal o všetkých rovinách, stúpaniach, zjazdoch, vrcholoch, nížinách, ako aj o rýchlosti nárastu / poklesu v každom bode cesty?

Čo je derivát? Definícia derivátu.
Geometrický význam derivácie a diferenciálu

Prečítajte si pozorne a nie príliš rýchlo - materiál je jednoduchý a prístupný pre každého! Nevadí, ak sa vám na niektorých miestach niečo nezdá veľmi jasné, vždy sa k článku môžete vrátiť neskôr. Poviem viac, je užitočné študovať teóriu niekoľkokrát, aby ste kvalitatívne pochopili všetky body (rady sú obzvlášť dôležité pre „technických“ študentov, pre ktorých hrá vyššia matematika významnú úlohu vo vzdelávacom procese).

Prirodzene, v samotnej definícii derivátu v určitom bode ho nahradíme:

k čomu sme dospeli? A prišli sme na to, že za funkciu podľa zákona je zarovnaný inú funkciu, ktorá sa volá derivačná funkcia(alebo jednoducho derivát).

Derivát charakterizuje rýchlosť zmeny funkcie . ako? Myšlienka sa ako červená niť tiahne už od začiatku článku. Zvážte nejaký bod domén funkcie . Nech je funkcia v danom bode diferencovateľná. potom:

1) Ak , potom sa funkcia zvýši v bode . A očividne existuje interval(aj keď veľmi malý) obsahujúci bod, v ktorom funkcia rastie a jej graf ide „zdola nahor“.

2) Ak , potom funkcia klesá v bode . A existuje interval obsahujúci bod, v ktorom funkcia klesá (graf ide „zhora nadol“).

3) Ak , tak nekonečne blízko v blízkosti bodu funkcia udržiava konštantnú rýchlosť. To sa deje, ako bolo uvedené, pre funkčnú konštantu a v kritických bodoch funkcie, najmä s minimálnym a maximálnym počtom bodov.

Nejaká sémantika. Čo znamená sloveso „rozlišovať“ v širšom zmysle? Rozlíšiť znamená vyčleniť vlastnosť. Diferencovaním funkcie "vyberieme" rýchlosť jej zmeny vo forme derivácie funkcie. A čo sa mimochodom myslí pod slovom „derivát“? Funkcia Stalo z funkcie.

Termíny veľmi úspešne interpretujú mechanický význam derivátu :
Uvažujme zákon zmeny súradníc telesa, ktorý závisí od času, a funkciu rýchlosti pohybu daného telesa. Funkcia charakterizuje rýchlosť zmeny súradnice telesa, preto je prvou deriváciou funkcie vzhľadom na čas: . Ak by pojem „pohyb tela“ v prírode neexistoval, neexistoval by derivát pojem „rýchlosť“.

Zrýchlenie telesa je rýchlosť zmeny rýchlosti, preto: . Ak by pôvodné pojmy „pohyb tela“ a „rýchlosť pohybu tela“ v prírode neexistovali, potom by neexistovali derivát pojem zrýchlenie telesa.

Synopsa otvorenej hodiny učiteľa na Vysokej škole pedagogickej č. 4 v Petrohrade

Martusevič Tatyana Olegovna

Dátum: 29.12.2014.

Téma: Geometrický význam derivácie.

Typ lekcie: učenie sa nového materiálu.

Vyučovacie metódy: vizuálne, čiastočne prieskumné.

Účel lekcie.

Zaviesť pojem dotyčnica do grafu funkcie v bode, zistiť, aký je geometrický význam derivácie, odvodiť rovnicu dotyčnice a naučiť ju nájsť.

Vzdelávacie úlohy:

Dosiahnuť pochopenie geometrického významu derivácie; odvodenie tangentovej rovnice; naučiť sa riešiť základné problémy;

poskytnúť zopakovanie učiva na tému „Definícia derivátu“;

vytvárať podmienky na ovládanie (sebakontrolu) vedomostí a zručností.

Vývojové úlohy:

podporovať formovanie zručností aplikovať metódy porovnávania, zovšeobecňovania, zdôrazňovania hlavnej veci;

pokračovať v rozvoji matematických obzorov, myslenia a reči, pozornosti a pamäti.

Vzdelávacie úlohy:

podporovať vzdelávanie so záujmom o matematiku;

výchova k aktivite, mobilita, schopnosť komunikovať.

Typ lekcie - kombinovaná hodina s využitím IKT.

Vybavenie – multimediálna inštalácia, prezentáciaMicrosoftmocbod.

Fáza lekcie

čas

Činnosť učiteľa

Aktivita študenta

1. Organizačný moment.

Správa o téme a účele lekcie.

Téma: Geometrický význam derivácie.

Účel lekcie.

Zaviesť pojem dotyčnica do grafu funkcie v bode, zistiť, aký je geometrický význam derivácie, odvodiť rovnicu dotyčnice a naučiť ju nájsť.

Príprava žiakov na prácu v triede.

Príprava na prácu v triede.

Uvedomenie si témy a účelu lekcie.

Písanie poznámok.

2. Príprava na štúdium nového učiva opakovaním a aktualizovaním základných vedomostí.

Organizácia opakovania a aktualizácie základných poznatkov: definície derivátu a formulácia jeho fyzikálneho významu.

Formulovanie definície derivátu a formulovanie jeho fyzikálneho významu. Zopakovanie, aktualizácia a upevnenie základných vedomostí.

Organizácia opakovania a formovanie zručnosti hľadania derivácie mocninnej funkcie a elementárnych funkcií.

Hľadanie derivácie týchto funkcií pomocou vzorcov.

Opakovanie vlastností lineárnej funkcie.

Opakovanie, vnímanie kresieb a výrokov učiteľa

3. Práca s novým materiálom: vysvetlenie.

Vysvetlenie významu pomeru prírastku funkcie k prírastku argumentu

Vysvetlenie geometrického významu derivácie.

Predstavenie nového materiálu prostredníctvom slovného vysvetlenia pomocou obrázkov a názorných pomôcok: multimediálna prezentácia s animáciou.

Vnímanie vysvetlenia, pochopenie, odpovede na otázky učiteľa.

Formulácia otázky učiteľovi v prípade ťažkostí.

Vnímanie nových informácií, ich primárne pochopenie a porozumenie.

Formulácia otázok pre učiteľa v prípade ťažkostí.

Vytvorte obrys.

Formulácia geometrického významu derivátu.

Zváženie troch prípadov.

Robiť si poznámky, robiť kresby.

4. Práca s novým materiálom.

Primárne pochopenie a aplikácia študovaného materiálu, jeho konsolidácia.

V ktorom bode je derivácia kladná?

negatívne?

Rovná sa nule?

Naučiť sa hľadať algoritmus na odpovede na otázky, ktoré kladie rozvrh.

Pochopenie a porozumenie a aplikácia nových informácií na vyriešenie problému.

5. Primárne pochopenie a aplikácia študovaného materiálu, jeho upevnenie.

Správa o stave úlohy.

Zaznamenávanie stavu úlohy.

Formulácia otázky učiteľovi v prípade ťažkostí

6. Aplikácia poznatkov: samostatná práca pedagogického charakteru.

Vyriešte problém sami:

Aplikácia nadobudnutých vedomostí.

Samostatná práca na riešení úlohy hľadania derivácie obrazca. Diskusia a overenie odpovedí vo dvojiciach, sformulovanie otázky učiteľovi v prípade ťažkostí.

7. Práca s novým materiálom: vysvetlenie.

Odvodenie rovnice dotyčnice ku grafu funkcie v bode.

Podrobné vysvetlenie odvodenia rovnice dotyčnice ku grafu funkcie v bode s využitím ako názornej pomôcky vo forme multimediálnej prezentácie, odpovede na otázky študentov.

Odvodenie tangensovej rovnice spolu s učiteľom. Odpovede na otázky učiteľa.

Skicovanie, kreslenie.

8. Práca s novým materiálom: vysvetlenie.

V dialógu so študentmi odvodenie algoritmu na nájdenie rovnice dotyčnice ku grafu danej funkcie v danom bode.

V dialógu s učiteľom odvodenie algoritmu na nájdenie rovnice dotyčnice ku grafu danej funkcie v danom bode.

Písanie poznámok.

Správa o stave úlohy.

Školenie v aplikácii nadobudnutých vedomostí.

Organizácia hľadania spôsobov riešenia problému a ich implementácia. podrobný rozbor riešenia s vysvetlením.

Zaznamenávanie stavu úlohy.

Vytváranie predpokladov o možných spôsoboch riešenia problému pri implementácii každej položky akčného plánu. Riešenie problémov spolu s učiteľom.

Zaznamenávanie riešenia problému a odpovede.

9. Aplikácia poznatkov: samostatná práca pedagogického charakteru.

Individuálne ovládanie. Poradenstvo a pomoc študentom podľa potreby.

Overenie a vysvetlenie riešenia pomocou prezentácie.

Aplikácia nadobudnutých vedomostí.

Samostatná práca na riešení úlohy hľadania derivácie obrazca. Diskusia a overenie odpovedí vo dvojiciach, sformulovanie otázky učiteľovi v prípade ťažkostí

10. Domáce úlohy.

§48, úlohy 1 a 3, pochop riešenie a zapíš si ho do zošita s obrázkami.

№ 860 (2,4,6,8),

Správa o domácej úlohe s komentármi.

Nahrávanie domácich úloh.

11. Zhrnutie.

Zopakovali sme definíciu derivátu; fyzikálny význam derivátu; vlastnosti lineárnej funkcie.

Dozvedeli sme sa, aký je geometrický význam derivácie.

Naučili sme sa odvodiť rovnicu dotyčnice ku grafu danej funkcie v danom bode.

Oprava a spresnenie výsledkov lekcie.

Vyčíslenie výsledkov vyučovacej hodiny.

12. Reflexia.

1. Mali ste lekciu: a) ľahkú; b) zvyčajne; c) ťažké.

a) naučil sa (a) úplne, môžem sa prihlásiť;

b) naučili sa (a), ale ťažko sa uplatňujú;

c) nepochopil som.

3. Multimediálna prezentácia na lekcii:

a) pomohol asimilácii materiálu; b) nepomohlo asimilácii materiálu;

c) zasahovalo do asimilácie materiálu.

Vedenie odrazu.

Typ práce: 7

Podmienka

Priamka y=3x+2 je dotyčnicou ku grafu funkcie y=-12x^2+bx-10. Nájdite b za predpokladu, že úsečka bodu dotyku je menšia ako nula.

Zobraziť riešenie

rozhodnutie

Nech x_0 je úsečka bodu na grafe funkcie y=-12x^2+bx-10, ktorým prechádza dotyčnica k tomuto grafu.

Hodnota derivácie v bode x_0 sa rovná sklonu dotyčnice, t.j. y"(x_0)=-24x_0+b=3. Na druhej strane, dotykový bod patrí do grafu funkcie aj do dotyčnica, t.j. -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. Dostaneme sústavu rovníc \begin(prípady) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(cases)

Vyriešením tohto systému dostaneme x_0^2=1, čo znamená buď x_0=-1 alebo x_0=1. Podľa podmienky úsečky sú dotykové body menšie ako nula, preto x_0=-1, potom b=3+24x_0=-21.

Odpoveď

Typ práce: 7
Téma: Geometrický význam derivácie. Graf dotyčnice k funkcii

Podmienka

Priamka y=-3x+4 je rovnobežná s dotyčnicou ku grafu funkcie y=-x^2+5x-7. Nájdite úsečku bodu kontaktu.

Zobraziť riešenie

rozhodnutie

Sklon priamky ku grafu funkcie y=-x^2+5x-7 v ľubovoľnom bode x_0 je y"(x_0). Ale y"=-2x+5, takže y"(x_0)=- 2x_0+5 Uhlový koeficient úsečky y=-3x+4 zadaný v podmienke je -3. Rovnobežné čiary majú rovnaké koeficienty sklonu.Preto nájdeme takú hodnotu x_0, že =-2x_0 +5=-3.

Dostaneme: x_0 = 4.

Odpoveď

Zdroj: „Matematika. Príprava na skúšku-2017. úroveň profilu. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Typ práce: 7
Téma: Geometrický význam derivácie. Graf dotyčnice k funkcii

Podmienka

Zobraziť riešenie

rozhodnutie

Z obrázku určíme, že dotyčnica prechádza bodmi A(-6; 2) a B(-1; 1). Označme C(-6; 1) priesečník priamok x=-6 a y=1 a \alpha uhol ABC (na obrázku je vidieť, že je ostrý). Potom priamka AB zviera tupý uhol \pi -\alpha s kladným smerom osi Ox.

Ako viete, tg(\pi -\alpha) bude hodnota derivácie funkcie f(x) v bode x_0. Všimni si tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15. Odtiaľ pomocou redukčných vzorcov získame: tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0,2.

Odpoveď

Zdroj: „Matematika. Príprava na skúšku-2017. úroveň profilu. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Typ práce: 7
Téma: Geometrický význam derivácie. Graf dotyčnice k funkcii

Podmienka

Priamka y=-2x-4 je dotyčnicou ku grafu funkcie y=16x^2+bx+12. Nájdite b za predpokladu, že úsečka bodu dotyku je väčšia ako nula.

Zobraziť riešenie

rozhodnutie

Nech x_0 je úsečka bodu na grafe funkcie y=16x^2+bx+12, cez ktorý

je dotyčnicou tohto grafu.

Hodnota derivácie v bode x_0 sa rovná sklonu dotyčnice, t.j. y "(x_0)=32x_0+b=-2. Na druhej strane dotykový bod patrí do grafu funkcie aj do dotyčnica, t.j. 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 Dostaneme sústavu rovníc \begin(prípady) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \end(cases)

Vyriešením systému dostaneme x_0^2=1, čo znamená buď x_0=-1 alebo x_0=1. Podľa podmienky úsečky sú dotykové body väčšie ako nula, preto x_0=1, potom b=-2-32x_0=-34.

Odpoveď

Zdroj: „Matematika. Príprava na skúšku-2017. úroveň profilu. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Typ práce: 7
Téma: Geometrický význam derivácie. Graf dotyčnice k funkcii

Podmienka

Na obrázku je znázornený graf funkcie y=f(x) definovanej na intervale (-2; 8). Určte počet bodov, kde dotyčnica ku grafu funkcie je rovnobežná s priamkou y=6.

Zobraziť riešenie

rozhodnutie

Čiara y=6 je rovnobežná s osou Ox. Preto nájdeme také body, v ktorých je dotyčnica ku grafu funkcie rovnobežná s osou Ox. Na tomto grafe sú takéto body extrémnymi bodmi (maximálne alebo minimálne body). Ako vidíte, existujú 4 extrémne body.

Odpoveď

Zdroj: „Matematika. Príprava na skúšku-2017. úroveň profilu. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Typ práce: 7
Téma: Geometrický význam derivácie. Graf dotyčnice k funkcii

Podmienka

Priamka y=4x-6 je rovnobežná s dotyčnicou ku grafu funkcie y=x^2-4x+9. Nájdite úsečku bodu kontaktu.

Zobraziť riešenie

rozhodnutie

Sklon dotyčnice ku grafu funkcie y \u003d x ^ 2-4x + 9 v ľubovoľnom bode x_0 je y "(x_0). Ale y" \u003d 2x-4, čo znamená y "(x_0) \ u003d 2x_0-4. Sklon dotyčnice y \u003d 4x-7 zadaný v podmienke sa rovná 4. Rovnobežné čiary majú rovnaké sklony. Preto nájdeme takú hodnotu x_0, že 2x_0-4 \u003d 4. Získame : x_0 \u003d 4.

Odpoveď

Zdroj: „Matematika. Príprava na skúšku-2017. úroveň profilu. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Typ práce: 7
Téma: Geometrický význam derivácie. Graf dotyčnice k funkcii

Podmienka

Na obrázku je znázornený graf funkcie y=f(x) a dotyčnica k nej v bode s os x_0. Nájdite hodnotu derivácie funkcie f(x) v bode x_0.

Zobraziť riešenie

rozhodnutie

Z obrázku určíme, že dotyčnica prechádza bodmi A(1; 1) a B(5; 4). Označme C(5; 1) priesečník priamok x=5 a y=1 a \alpha uhol BAC (na obrázku je vidieť, že je ostrý). Potom priamka AB zviera uhol \alpha s kladným smerom osi Ox.

Ak chcete zistiť geometrickú hodnotu derivácie, zvážte graf funkcie y = f(x). Vezmite ľubovoľný bod M so súradnicami (x, y) a bod N v jeho blízkosti (x + $\Delta $x, y + $\Delta $y). Nakreslíme súradnice $\overline(M_(1) M)$ a $\overline(N_(1) N)$ a nakreslíme priamku rovnobežnú s osou OX z bodu M.

Pomer $\frac(\Delta y)(\Delta x) $ je dotyčnica uhla $\alpha $1 tvorená sečnicou MN s kladným smerom osi OX. Keďže $\Delta $x má tendenciu k nule, bod N sa priblíži k M a dotyčnica MT ku krivke v bode M sa stane limitnou pozíciou sečnice MN. Derivácia f`(x) sa teda rovná dotyčnici uhla $\alpha $, ktorý zviera dotyčnica ku zakriveniu v bode M (x, y) s kladným smerom k osi OX - sklon dotyčnice (obr. 1).

Obrázok 1. Graf funkcie

Pri výpočte hodnôt pomocou vzorcov (1) je dôležité neurobiť chybu v znamienkach, pretože prírastok môže byť záporný.

Bod N ležiaci na krivke sa môže k M priblížiť z ktorejkoľvek strany. Ak je teda na obrázku 1 dotyčnica daný opačným smerom, uhol $\alpha $ sa zmení o $\pi $, čo výrazne ovplyvní dotyčnicu uhla a teda aj sklon.

Záver

Z toho vyplýva, že existencia derivácie je spojená s existenciou dotyčnice ku krivke y = f(x) a sklon -- tg $\alpha $ = f`(x) je konečný. Preto dotyčnica nesmie byť rovnobežná s osou OY, inak $\alpha $ = $\pi $/2 a dotyčnica uhla bude nekonečná.

V niektorých bodoch spojitá krivka nemusí mať dotyčnicu alebo mať dotyčnicu rovnobežnú s osou OY (obr. 2). Potom funkcia nemôže mať deriváciu v týchto hodnotách. Takýchto bodov môže byť na funkčnej krivke ľubovoľný počet.

Obrázok 2. Výnimočné body krivky

Zoberme si obrázok 2. Nech $\Delta $x má tendenciu k nule zo záporných alebo kladných hodnôt:

\[\Delta x\do -0\začiatok(pole)(cc) () & (\Delta x\do +0) \koniec(pole)\]

Ak v tomto prípade majú vzťahy (1) konečnú uličku, označíme to ako:

V prvom prípade derivácia vľavo, v druhom derivácia vpravo.

Existencia limity hovorí o ekvivalencii a rovnosti ľavého a pravého derivátu:

Ak ľavá a pravá derivácia nie sú rovnaké, potom v tomto bode existujú dotyčnice, ktoré nie sú rovnobežné s OY (bod M1, obr. 2). V bodoch M2, M3 majú vzťahy (1) tendenciu do nekonečna.

Pre N bodov naľavo od M2, $\Delta $x $

Napravo od $M_2$ $\Delta $x $>$ 0, ale výraz je tiež f(x + $\Delta $x) -- f(x) $

Pre bod $M_3$ vľavo $\Delta $x $$ 0 a f(x + $\Delta $x) -- f(x) $>$ 0, t.j. výrazy (1) sú pozitívne vľavo aj vpravo a majú tendenciu k +$\infty $, keď sa $\Delta $x blíži k -0 a +0.

Prípad neprítomnosti derivácie v konkrétnych bodoch priamky (x = c) je znázornený na obrázku 3.

Obrázok 3. Neprítomnosť derivátov

Príklad 1

Obrázok 4 zobrazuje graf funkcie a dotyčnicu ku grafu v bode s osou $x_0$. Nájdite hodnotu derivácie funkcie na osi x.

rozhodnutie. Derivácia v bode sa rovná pomeru prírastku funkcie k prírastku argumentu. Vyberme si dva body s celočíselnými súradnicami na dotyčnici. Nech sú to napríklad body F (-3,2) a C (-2,4).