Disperzia (rozptyl) diskrétnej náhodnej premennej D(X) je matematické očakávanie druhej mocniny odchýlky náhodnej premennej od jej matematického očakávania
1 nehnuteľnosť. Disperzia konštanty C je nulová; D(C) = 0.
Dôkaz. Podľa definície rozptylu D(C) = M(2).
Z prvej vlastnosti očakávania D(C) = M[(C – C) 2 ] = M(0) = 0.
2 nehnuteľnosť. Konštantný faktor možno odstrániť zo znamienka rozptylu jeho umocnením:
D(CX) = C2D(X)
Dôkaz. Podľa definície rozptylu, D(CX) = M( 2 )
Z druhej očakávanej vlastnosti D(CX)=M(2)= C2M(2)=C2D(X)
3 majetok. Rozptyl súčtu dvoch nezávislých náhodných premenných sa rovná súčtu rozptylov týchto premenných:
D = D[X] + D.
Dôkaz. Podľa vzorca na výpočet rozptylu máme
D(X + Y) = M[(X + Y)2] -2
Otvorením zátvoriek a využitím vlastností matematického očakávania súčtu viacerých veličín a súčinu dvoch nezávislých náhodných veličín dostaneme
D(X + Y) = M − 2 = M(X2) + 2M(X)M(Y) + M(Y2) − M2(X) − 2M(X)M(Y) − M2(Y) = ( M(X2)-2)+(M(Y2)-2) = D(X) + D(Y). Takže D(X + Y) = D(X) + D(Y)
4 nehnuteľnosť. Rozptyl rozdielu dvoch nezávislých náhodných premenných sa rovná súčtu ich rozptylov:
D(X − Y) = D(X) + D(Y)
Dôkaz. Na základe tretej vlastnosti D(X − Y) = D(X) + D(–Y). Pri druhej nehnuteľnosti
D(X − Y) = D(X) + (–1) 2 D(Y) alebo D(X − Y) = D(X) + D(Y)
Numerické charakteristiky systémov náhodných veličín. Korelačný koeficient, vlastnosti korelačného koeficientu.
korelačný moment. Charakteristickým znakom závislosti medzi náhodnými premennými je matematické očakávanie súčinu odchýlok a od ich stredov rozdelenia (ako sa niekedy nazýva matematické očakávanie náhodnej premennej), ktoré sa nazýva korelačný moment alebo kovariancia:
Na výpočet korelačného momentu diskrétnych hodnôt sa používa nasledujúci vzorec:
a pre spojité množstvá - vzorec:
Korelačný koeficient rxy náhodných premenných X a Y je pomer korelačného momentu k súčinu štandardných odchýlok hodnôt:
- korelačný koeficient;
Vlastnosti korelačného koeficientu:
1. Ak sú X a Y nezávislé náhodné premenné, potom r = 0;
2. -1≤ r ≤ 1. Navyše, ak |r| = 1, potom medzi X a Y je funkčný, konkrétne lineárny vzťah;
3. r charakterizuje relatívnu hodnotu odchýlky M(XY) od M(X)M(Y), a od r. odchýlka prebieha len pre závislé veličiny, potom r charakterizuje tesnosť závislosti.
Funkcia lineárnej regresie.
Uvažujme dvojrozmernú náhodnú premennú (X, Y), kde X a Y sú závislé náhodné premenné. Predstavujeme jednu z veličín ako funkciu druhej. Obmedzíme sa na približnú reprezentáciu (presná aproximácia vo všeobecnosti nie je možná) Y ako lineárnej funkcie X:
kde α a β sú parametre, ktoré sa majú určiť.
Veta. Lineárna stredná štvorcová regresia Y na X má tvar
kde m x =M(X), my =M(Y), σ x =√D(X), σy =√D(Y), r=µ xy /(σ x σ y)- korelačný koeficient hodnôt X a Y.
Nazýva sa koeficient β=rσ y /σ x regresný koeficient Y až X a priamka
volal rovno stredná štvorcová regresia
Y až X.
Markovova nerovnosť.
Vyhlásenie o Markovovej nerovnosti
Ak neexistujú žiadne záporné hodnoty náhodnej premennej X, potom pravdepodobnosť, že nadobudne nejakú hodnotu, ktorá presahuje kladné číslo A, nie je väčšia ako zlomok, t.j.
a pravdepodobnosť, že nadobudne nejakú hodnotu nepresahujúcu kladné číslo A nie je menšia ako , t.j.
Čebyševova nerovnosť.
Čebyševova nerovnosť. Pravdepodobnosť, že odchýlka náhodnej premennej X od jej matematického očakávania v absolútnej hodnote je menšia ako kladné číslo ε, nie menšia ako 1 −D[X]ε 2
P(|X – M(X)|< ε) ≥ 1 –D(X)ε 2
Dôkaz. Od udalostí spočívajúcich v realizácii nerovností
P(|X−M(X)|< ε) и P(|X – M(X)| ≥ε) противоположны, то сумма их вероятностей равна единице, т. е.
P(|X – M(X)|< ε) + P(|X – M(X)| ≥ ε) = 1.
Preto nás zaujíma pravdepodobnosť
P(|X – M(X)|< ε) = 1 − P(|X – M(X)| > ε).
Problém sa teda redukuje na výpočet pravdepodobnosti P(|X –M(X)| ≥ ε).
Napíšme výraz pre rozptyl náhodnej premennej X
D(X) = 2p1 + 2p2 +. . . + 2 pn
Všetky podmienky tejto sumy sú nezáporné. Zahodíme tie členy, pre ktoré |x i – M(X)|< ε (для оставшихся слагаемых |x j – M(X)| ≥ ε), вследствие чего сумма может только уменьшиться. Условимся считать для определенности, что отброшено k первых слагаемых (не нарушая общности, можно считать, что в таблице распределения возможные значения занумерованы именно в таком порядке). Таким образом,
D(X) ≥ 2pk+1 + 2pk+2+. . . + 2 pn
Obe časti nerovnosti |x j –M(X)| ≥ ε (j = k+1, k+2, . . ., n) sú kladné, preto ich umocnením dostaneme ekvivalentnú nerovnosť |x j – M(X)| 2 ≥ε 2. Nahradenie každého z faktorov v zostávajúcom súčte
|xj – M(X)| 2 o číslo ε 2 (v tomto prípade sa nerovnosť môže len zväčšiť), získame
D(X) ≥ ε 2 (p k+1 + p k+2 + ... + p n)
Podľa vety o sčítaní je súčet pravdepodobností p k+1 +p k+2 +. . .+p n je pravdepodobnosť, že X bude mať jednu z hodnôt x k+1 +x k+2 +, bez ohľadu na to, ktoré. . .+x n a pre ktorúkoľvek z nich odchýlka spĺňa nerovnosť |x j – M(X)| ≥ ε. Z toho vyplýva, že súčet p k+1 + p k+2 + . . . + p n vyjadruje pravdepodobnosť
P(|X – M(X)| ≥ ε).
To nám umožňuje prepísať nerovnosť pre D(X) ako
D(X) ≥ ε 2 P(|X – M(X)| ≥ ε)
P(|X – M(X)|≥ ε) ≤D(X)/ε 2
Konečne sa dostávame
P(|X – M(X)|< ε) ≥D(X)/ε 2
Čebyševova veta.
Čebyševova veta. Ak - párovo nezávislé náhodné premenné a ich rozptyly sú rovnomerne obmedzené (nepresahujú konštantný počet S ), potom bez ohľadu na to, aké malé je kladné čísloε , pravdepodobnosť nerovnosti
bude ľubovoľne blízko k jednote, ak je počet náhodných premenných dostatočne veľký.
Inými slovami, za podmienok vety
Dôkaz. Uveďme do úvahy novú náhodnú premennú - aritmetický priemer náhodných premenných
Nájdeme matematické očakávanie X. Pomocou vlastností matematického očakávania (zo znamienka matematického očakávania možno vyňať konštantný faktor, matematické očakávanie súčtu sa rovná súčtu matematických očakávaní členov) , získame
| (1) |
Aplikovaním Čebyševovej nerovnosti na X máme
alebo, berúc do úvahy vzťah (1)
Pomocou vlastností rozptylu (konštantný faktor možno zo znamienka rozptylu vyňať jeho kvadratúrou; rozptyl súčtu nezávislých náhodných premenných sa rovná súčtu rozptylov členov)
Podmienkou sú disperzie všetkých náhodných veličín obmedzené konštantným číslom C, t.j. existujú nerovnosti:
 (2)
|
Nahradením pravej strany (2) za nerovnosť (1) (prečo tá druhá môže byť len posilnená), máme
Ak teda prejdeme na limitu ako n→∞, dostaneme
Nakoniec, vzhľadom na to, že pravdepodobnosť nemôže presiahnuť jednu, môžeme konečne písať
Veta bola dokázaná.
Bernoulliho veta.
Bernoulliho veta. Ak je v každom z n nezávislých pokusov pravdepodobnosť p výskytu udalosti A konštantná, potom je pravdepodobnosť ľubovoľne blízka jednote, že odchýlka relatívnej frekvencie od pravdepodobnosti p v absolútnej hodnote bude ľubovoľne malá, ak počet pokusov je dostatočne veľký.
Inými slovami, ak ε je ľubovoľne malé kladné číslo, potom za podmienok vety máme rovnosť
Dôkaz. Označiť podľa x1 diskrétna náhodná premenná - počet výskytov udalosti v prvom teste, cez x2- v druhom, ..., X n- v n test. Je jasné, že každá z veličín môže nadobudnúť iba dve hodnoty: 1 (nastala udalosť A) s pravdepodobnosťou p a 0 (udalosť nenastala) s pravdepodobnosťou .
Téma 8.12. Disperzia náhodnej premennej.
O. Rozptyl náhodnej premennej je matematické očakávanie druhej mocniny odchýlky náhodnej premennej od jej matematického očakávania.
Disperzia charakterizuje stupeň rozptylu hodnôt náhodnej premennej vzhľadom na jej matematické očakávania. Ak sú všetky hodnoty náhodnej premennej úzko sústredené okolo jej matematického očakávania a veľké odchýlky od matematického očakávania sú nepravdepodobné, potom má takáto náhodná premenná malý rozptyl. Ak sú hodnoty náhodnej premennej rozptýlené a pravdepodobnosť veľkých odchýlok od matematického očakávania je vysoká, potom má takáto náhodná premenná veľký rozptyl.
Použitím definície rozptylu pre diskrétnu náhodnú premennú možno vzorec na výpočet rozptylu znázorniť takto:
Môžete odvodiť ďalší vzorec na výpočet rozptylu:
Rozptyl náhodnej premennej sa teda rovná rozdielu medzi matematickým očakávaním druhej mocniny náhodnej premennej a druhou mocninou jej matematického očakávania.
Disperzné vlastnosti.
Túto nehnuteľnosť nechávame bez dokladu.
Zákon binomického rozdelenia.
Nech sú uvedené čísla n patrí N a p(0 <p< jeden). Potom možno každému celému číslu z intervalu priradiť pravdepodobnosť vypočítanú pomocou Bernoulliho vzorca. Zoberme si zákon rozdelenia náhodnej premennej (nazvime to B(betta))
Povieme, že náhodná premenná je rozdelená podľa Bernoulliho zákona. Takouto náhodnou premennou je frekvencia výskytu udalosti A v n opakované nezávislé pokusy, ak sa v každom pokuse vyskytne udalosť A s pravdepodobnosťou p.
Zvážte samostatné i- e test. Priestor elementárnych výstupov má pre ňu formu
Zákon rozdelenia náhodnej veličiny bol uvažovaný v predchádzajúcej téme
Pre i= 1,2, ... , n systém získavame z n nezávislé náhodné premenné s rovnakými distribučnými zákonmi. 
Príklad.
Z 20 vzoriek produktov vybraných na kontrolu sa 4 ukázali ako neštandardné. Odhadnime pravdepodobnosť, že náhodne vybraná kópia produktu nespĺňa normu pomerom R *= 4/20 = 0,2.
Ako X náhodná hodnota, R * je tiež náhodná premenná. hodnoty R * sa môže líšiť od jedného experimentu k druhému (v posudzovanom prípade ide o náhodný výber a kontrolu 20 produktov). Aké je matematické očakávanie R *? Pokiaľ ide o X je náhodná premenná predstavujúca počet úspechov v n Bernoulliho test, M( X) = np. Pre matematické očakávanie náhodnej premennej R* podľa definície dostaneme: M(p*) = M(x/n), ale n tu je konštanta, teda podľa vlastnosti očakávania
M(p*) = 1/n*M(x)=l/n np=p
Takže „priemer“ je skutočná hodnota R, čo sa dá očakávať. Toto je vlastnosť hodnotenia R* množstvá R má názov: R* je nezaujatý hodnotenie za R. Žiadna systematická odchýlka od hodnoty odhadovaného parametra R potvrdzuje uskutočniteľnosť použitia hodnoty R* ako odhad. Otázku presnosti odhadu nechávame zatiaľ otvorenú.
Matematické očakávanie a rozptyl sú najčastejšie používané číselné charakteristiky náhodnej premennej. Charakterizujú najdôležitejšie znaky distribúcie: jej polohu a stupeň rozptylu. V mnohých problémoch praxe úplný, vyčerpávajúci popis náhodnej premennej - zákon rozdelenia - buď nemožno získať vôbec, alebo nie je vôbec potrebný. V týchto prípadoch sa obmedzujú na približný popis náhodnej premennej pomocou číselných charakteristík.
Matematické očakávanie sa často označuje jednoducho ako priemerná hodnota náhodnej premennej. Disperzia náhodnej premennej je charakteristikou disperzie, rozptylu náhodnej premennej okolo jej matematického očakávania.
Matematické očakávanie diskrétnej náhodnej premennej
Pristúpme k pojmu matematické očakávanie, vychádzajúc najskôr z mechanickej interpretácie rozdelenia diskrétnej náhodnej premennej. Nech je jednotková hmotnosť rozdelená medzi body osi x X1 , X 2 , ..., X n a každý hmotný bod má hmotnosť zodpovedajúcu tomu od p1 , p 2 , ..., p n. Je potrebné zvoliť jeden bod na osi x, ktorý charakterizuje polohu celého systému hmotných bodov s prihliadnutím na ich hmotnosti. Je prirodzené, že za takýto bod sa považuje ťažisko sústavy hmotných bodov. Toto je vážený priemer náhodnej premennej X, v ktorom sú úsečka každého bodu Xi vstupuje s „váhou“ rovnajúcou sa zodpovedajúcej pravdepodobnosti. Takto získaná stredná hodnota náhodnej premennej X sa nazýva jeho matematické očakávanie.
Matematické očakávanie diskrétnej náhodnej premennej je súčtom súčinov všetkých jej možných hodnôt a pravdepodobností týchto hodnôt:
Príklad 1 Zorganizovali výhernú lotériu. Existuje 1 000 výhier, z ktorých 400 je 10 rubľov. 300 - 20 rubľov každý 200 - 100 rubľov každý. a 100 - 200 rubľov každý. Aká je priemerná výhra človeka, ktorý si kúpi jeden tiket?
rozhodnutie. Priemernú výhru zistíme, ak sa celková suma výhier, ktorá sa rovná 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50 000 rubľov, vydelí 1000 (celková suma výhier). Potom dostaneme 50 000/1 000 = 50 rubľov. Ale výraz na výpočet priemerného zisku môže byť reprezentovaný aj v tejto forme:
Na druhej strane, za týchto podmienok je výška výhry náhodná premenná, ktorá môže nadobudnúť hodnoty 10, 20, 100 a 200 rubľov. s pravdepodobnosťou rovnou 0,4; 0,3; 0,2; 0,1. Preto sa očakávaný priemerný výnos rovná súčtu súčinov veľkosti výnosov a pravdepodobnosti ich získania.
Príklad 2 Vydavateľstvo sa rozhodlo vydať novú knihu. Knihu sa chystá predať za 280 rubľov, z čoho 200 dostane jemu, 50 kníhkupectvu a 30 autorovi. Tabuľka poskytuje informácie o nákladoch na vydanie knihy a pravdepodobnosti predaja určitého počtu výtlačkov knihy.
Nájdite očakávaný zisk vydavateľa.
rozhodnutie. Náhodná premenná „zisk“ sa rovná rozdielu medzi príjmom z predaja a nákladmi. Napríklad, ak sa predá 500 kópií knihy, príjem z predaja je 200 * 500 = 100 000 a náklady na vydanie sú 225 000 rubľov. Vydavateľovi tak hrozí strata 125 000 rubľov. Nasledujúca tabuľka sumarizuje očakávané hodnoty náhodnej premennej – zisku:
| číslo | Zisk Xi | Pravdepodobnosť pi | Xi p i |
| 500 | -125000 | 0,20 | -25000 |
| 1000 | -50000 | 0,40 | -20000 |
| 2000 | 100000 | 0,25 | 25000 |
| 3000 | 250000 | 0,10 | 25000 |
| 4000 | 400000 | 0,05 | 20000 |
| Celkom: | 1,00 | 25000 |
Takto získame matematické očakávanie zisku vydavateľa:
.
Príklad 3Šanca zasiahnuť jednou ranou p= 0,2. Určte spotrebu nábojov, ktoré poskytujú matematický predpoklad počtu zásahov rovný 5.
rozhodnutie. Vyjadrujeme z rovnakého vzorca očakávania, ktorý sme používali doteraz X- spotreba škrupín:
.
Príklad 4 Určte matematické očakávanie náhodnej premennej X počet zásahov pri troch výstreloch, ak je pravdepodobnosť zásahu pri každom výstrele p = 0,4 .
Tip: nájdite pravdepodobnosť hodnôt náhodnej premennej podľa Bernoulliho vzorec .
Vlastnosti očakávania
Zvážte vlastnosti matematického očakávania.
Nehnuteľnosť 1. Matematické očakávanie konštantnej hodnoty sa rovná tejto konštante:
Nehnuteľnosť 2. Konštantný faktor možno vyňať zo znaku očakávania:
Nehnuteľnosť 3. Matematické očakávanie súčtu (rozdielu) náhodných premenných sa rovná súčtu (rozdielu) ich matematických očakávaní:
Nehnuteľnosť 4. Matematické očakávanie súčinu náhodných premenných sa rovná súčinu ich matematických očakávaní:
Nehnuteľnosť 5. Ak sú všetky hodnoty náhodnej premennej X znížiť (zvýšiť) o rovnaké číslo S, potom sa jeho matematické očakávanie zníži (zvýši) o rovnaké číslo:
Keď sa nemôžete obmedziť len na matematické očakávania
Vo väčšine prípadov len matematické očakávanie nedokáže adekvátne charakterizovať náhodnú premennú.
Nech náhodné premenné X a Y sú dané nasledujúcimi distribučnými zákonmi:
| Význam X | Pravdepodobnosť |
| -0,1 | 0,1 |
| -0,01 | 0,2 |
| 0 | 0,4 |
| 0,01 | 0,2 |
| 0,1 | 0,1 |
| Význam Y | Pravdepodobnosť |
| -20 | 0,3 |
| -10 | 0,1 |
| 0 | 0,2 |
| 10 | 0,1 |
| 20 | 0,3 |
Matematické očakávania týchto veličín sú rovnaké - rovné nule:
Ich distribúcia je však odlišná. Náhodná hodnota X môže nadobúdať iba hodnoty, ktoré sa málo líšia od matematických očakávaní a náhodnej premennej Y môže nadobudnúť hodnoty, ktoré sa výrazne odchyľujú od matematického očakávania. Podobný príklad: priemerná mzda neumožňuje posúdiť podiel vysoko a nízko platených pracovníkov. Inými slovami, matematickým očakávaním nemožno posúdiť, aké odchýlky od neho, aspoň v priemere, sú možné. Aby ste to dosiahli, musíte nájsť rozptyl náhodnej premennej.
Disperzia diskrétnej náhodnej premennej
disperzia diskrétna náhodná premenná X sa nazýva matematické očakávanie druhej mocniny jej odchýlky od matematického očakávania:
Smerodajná odchýlka náhodnej premennej X je aritmetická hodnota druhej odmocniny jej rozptylu:
.
Príklad 5 Vypočítajte rozptyly a smerodajné odchýlky náhodných premenných X a Y, ktorých distribučné zákony sú uvedené v tabuľkách vyššie.
rozhodnutie. Matematické očakávania náhodných premenných X a Y, ako je uvedené vyššie, sa rovnajú nule. Podľa disperzného vzorca pre E(X)=E(r)=0 dostaneme:
Potom smerodajné odchýlky náhodných premenných X a Y tvoria
.
Teda pri rovnakých matematických očakávaniach rozptyl náhodnej premennej X veľmi malé a náhodné Y- významný. Je to dôsledok rozdielu v ich rozdelení.
Príklad 6 Investor má 4 alternatívne investičné projekty. Tabuľka sumarizuje údaje o očakávanom zisku v týchto projektoch s príslušnou pravdepodobnosťou.
| Projekt 1 | Projekt 2 | Projekt 3 | Projekt 4 |
| 500, P=1 | 1000, P=0,5 | 500, P=0,5 | 500, P=0,5 |
| 0, P=0,5 | 1000, P=0,25 | 10500, P=0,25 | |
| 0, P=0,25 | 9500, P=0,25 |
Nájdite pre každú alternatívu matematické očakávanie, rozptyl a smerodajnú odchýlku.
rozhodnutie. Ukážme, ako sa tieto množstvá počítajú pre 3. alternatívu:
Tabuľka sumarizuje zistené hodnoty pre všetky alternatívy.
Všetky alternatívy majú rovnaké matematické očakávania. To znamená, že z dlhodobého hľadiska majú všetci rovnaký príjem. Smerodajnú odchýlku možno interpretovať ako mieru rizika – čím je väčšia, tým väčšie je riziko investície. Investor, ktorý nechce veľa riskovať, si vyberie projekt 1, pretože má najmenšiu smerodajnú odchýlku (0). Ak investor uprednostňuje riziko a vysoké výnosy v krátkom období, vyberie si projekt s najväčšou smerodajnou odchýlkou – projekt 4.
Vlastnosti disperzie
Uveďme si vlastnosti disperzie.
Nehnuteľnosť 1. Disperzia konštantnej hodnoty je nula:
Nehnuteľnosť 2. Konštantný faktor možno odstrániť zo znamienka rozptylu jeho umocnením:
.
Nehnuteľnosť 3. Rozptyl náhodnej premennej sa rovná matematickému očakávaniu druhej mocniny tejto hodnoty, od ktorej sa odpočíta druhá mocnina matematického očakávania samotnej hodnoty:
,
kde 
.
Nehnuteľnosť 4. Rozptyl súčtu (rozdielu) náhodných premenných sa rovná súčtu (rozdielu) ich rozptylov:
Príklad 7 Je známe, že diskrétna náhodná premenná X má iba dve hodnoty: −3 a 7. Okrem toho je známe matematické očakávanie: E(X) = 4. Nájdite rozptyl diskrétnej náhodnej premennej.
rozhodnutie. Označiť podľa p pravdepodobnosť, s ktorou náhodná premenná nadobudne hodnotu X1 = −3 . Potom pravdepodobnosť hodnoty X2 = 7 bude 1 - p. Odvoďme rovnicu pre matematické očakávania:
E(X) = X 1 p + X 2 (1 − p) = −3p + 7(1 − p) = 4 ,
kde dostaneme pravdepodobnosti: p= 0,3 a 1 - p = 0,7 .
Zákon rozdelenia náhodnej premennej:
| X | −3 | 7 |
| p | 0,3 | 0,7 |
Rozptyl tejto náhodnej premennej vypočítame pomocou vzorca z vlastnosti 3 rozptylu:
D(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .
Nájdite matematické očakávanie náhodnej premennej sami a potom uvidíte riešenie
Príklad 8 Diskrétna náhodná premenná X má iba dve hodnoty. Má väčšiu hodnotu 3 s pravdepodobnosťou 0,4. Okrem toho je známy rozptyl náhodnej premennej D(X) = 6. Nájdite matematické očakávanie náhodnej premennej.
Príklad 9 Urna obsahuje 6 bielych a 4 čierne gule. Z urny sa odoberú 3 loptičky. Počet bielych guľôčok medzi vyžrebovanými guľami je diskrétna náhodná premenná X. Nájdite matematické očakávanie a rozptyl tejto náhodnej premennej.
rozhodnutie. Náhodná hodnota X môže nadobúdať hodnoty 0, 1, 2, 3. Zodpovedajúce pravdepodobnosti je možné vypočítať z pravidlo násobenia pravdepodobností. Zákon rozdelenia náhodnej premennej:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| p | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
Z toho vyplýva matematické očakávanie tejto náhodnej premennej:
M(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .
Rozptyl danej náhodnej premennej je:
D(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .
Matematické očakávanie a disperzia spojitej náhodnej premennej
Pre spojitú náhodnú premennú si mechanická interpretácia matematického očakávania zachová rovnaký význam: ťažisko pre jednotkovú hmotnosť rozloženú súvisle na osi x s hustotou f(X). Na rozdiel od diskrétnej náhodnej premennej, pre ktorú je argument funkcie Xi mení sa náhle, pre spojitú náhodnú premennú sa argument mení nepretržite. Ale matematické očakávanie spojitej náhodnej premennej súvisí aj s jej strednou hodnotou.
Ak chcete nájsť matematické očakávanie a rozptyl spojitej náhodnej premennej, musíte nájsť určité integrály . Ak je daná funkcia hustoty spojitej náhodnej premennej, vstupuje priamo do integrandu. Ak je daná funkcia rozdelenia pravdepodobnosti, potom jej diferencovaním musíte nájsť funkciu hustoty.
Aritmetický priemer všetkých možných hodnôt spojitej náhodnej premennej sa nazýva jeho matematické očakávanie, označené alebo .
V predchádzajúcom sme uviedli množstvo vzorcov, ktoré nám umožňujú nájsť číselné charakteristiky funkcií, keď sú známe distribučné zákony argumentov. Na nájdenie číselných charakteristík funkcií však v mnohých prípadoch nie je ani potrebné poznať zákony rozloženia argumentov, ale stačí poznať len niektoré ich číselné charakteristiky; v tomto prípade sa zaobídeme bez akýchkoľvek distribučných zákonov. Určenie číselných charakteristík funkcií danými číselnými charakteristikami argumentov je v teórii pravdepodobnosti široko používané a umožňuje výrazne zjednodušiť riešenie množstva problémov. Z väčšej časti sa takéto zjednodušené metódy týkajú lineárnych funkcií; tento prístup však umožňujú aj niektoré elementárne nelineárne funkcie.
V súčasnosti uvádzame množstvo teorémov o numerických charakteristikách funkcií, ktoré vo svojom súhrne predstavujú veľmi jednoduchý aparát na výpočet týchto charakteristík, použiteľný v širokom spektre podmienok.
1. Matematické očakávanie nie náhodnej premennej
Uvedená vlastnosť je pomerne zrejmá; dá sa to dokázať tak, že nenáhodnú premennú budeme považovať za určitý typ náhodnej premennej s jednou možnou hodnotou s pravdepodobnosťou jedna; potom podľa všeobecného vzorca pre matematické očakávanie:
.
2. Disperzia nenáhodnej premennej
Ak je hodnota nenáhodná, potom
3. Odstránenie nenáhodnej premennej za znakom matematického očakávania
, (10.2.1)
t.j. zo znaku očakávania možno vybrať nenáhodnú hodnotu.
Dôkaz.
a) Pre nespojité množstvá
b) Pre spojité množstvá
.
4. Odstránenie nenáhodnej hodnoty pre znamienko rozptylu a štandardnú odchýlku
Ak je nenáhodná premenná a je náhodná, potom
, (10.2.2)
t.j. nenáhodnú hodnotu možno zo znamienka rozptylu vyňať jeho umocnením.
Dôkaz. Podľa definície rozptylu
Dôsledok
,
t.j. nenáhodná hodnota môže byť vyňatá zo znamienka štandardnej odchýlky jej absolútnou hodnotou. Dôkaz získame extrakciou druhej odmocniny zo vzorca (10.2.2) a berieme do úvahy, že r.s.c. je v podstate kladná hodnota.
5. Matematické očakávanie súčtu náhodných premenných
Dokážme, že pre ľubovoľné dve náhodné premenné a
t.j. matematické očakávanie súčtu dvoch náhodných premenných sa rovná súčtu ich matematických očakávaní.
Táto vlastnosť je známa ako teorém sčítania očakávaní.
Dôkaz.
a) Nech je systém nespojitých náhodných premenných. Aplikujme na súčet náhodných premenných všeobecný vzorec (10.1.6) pre matematické očakávanie funkcie dvoch argumentov:
.
Ho nie je nič iné ako celková pravdepodobnosť, že hodnota nadobudne hodnotu:
;
teda,
.
Podobným spôsobom to dokážeme
,
a veta je dokázaná.
b) Nech je sústava spojitých náhodných premenných. Podľa vzorca (10.1.7)
. (10.2.4)
Transformujeme prvý z integrálov (10.2.4):
;
podobne
,
a veta je dokázaná.
Osobitne treba poznamenať, že teorém o sčítaní matematických očakávaní platí pre všetky náhodné premenné – závislé aj nezávislé.
Veta o sčítaní očakávaní môže byť zovšeobecnená na ľubovoľný počet výrazov:
, (10.2.5)
t.j. matematické očakávanie súčtu niekoľkých náhodných premenných sa rovná súčtu ich matematických očakávaní.
Na dôkaz stačí použiť metódu úplnej indukcie.
6. Matematické očakávanie lineárnej funkcie
Zvážte lineárnu funkciu niekoľkých náhodných argumentov:
kde sú nenáhodné koeficienty. Dokážme to
, (10.2.6)
t.j. priemer lineárnej funkcie sa rovná rovnakej lineárnej funkcii priemeru argumentov.
Dôkaz. Pomocou vety o sčítaní m.o. a pravidlo vyňatia nenáhodnej premennej zo znamienka m. o., dostaneme:
.
7. Dispeptento súčet náhodných premenných
Rozptyl súčtu dvoch náhodných premenných sa rovná súčtu ich rozptylov plus dvojnásobok korelačného momentu:
Dôkaz. Označiť
Podľa vety o sčítaní matematických očakávaní
Prejdime od náhodných premenných k zodpovedajúcim centrovaným premenným. Odčítaním člena po člene od rovnosti (10.2.8) rovnosti (10.2.9) máme:
Podľa definície rozptylu
Q.E.D.
Vzorec (10.2.7) pre rozptyl súčtu možno zovšeobecniť na ľubovoľný počet výrazov:
,
(10.2.10)
kde je korelačný moment hodnôt, znamienko pod súčtom znamená, že súčet platí pre všetky možné párové kombinácie náhodných premenných 
.
Dôkaz je podobný predchádzajúcemu a vyplýva zo vzorca pre druhú mocninu polynómu.
Vzorec (10.2.10) môže byť napísaný v inej forme:
, (10.2.11)
kde dvojitý súčet zasahuje do všetkých prvkov korelačnej matice sústavy veličín , ktorý obsahuje korelačné momenty aj odchýlky.
Ak všetky náhodné premenné , zahrnuté v systéme, sú nekorelované (t. j. na ), vzorec (10.2.10) má tvar:
, (10.2.12)
t.j. rozptyl súčtu nekorelovaných náhodných premenných sa rovná súčtu rozptylov členov.
Tento návrh je známy ako teorém sčítania rozptylu.
8. Disperzia lineárnej funkcie
Uvažujme lineárnu funkciu niekoľkých náhodných premenných.
kde sú nenáhodné premenné.
Ukážme, že disperziu tejto lineárnej funkcie vyjadruje vzorec
, (10.2.13)
kde je korelačný moment veličín , .
Dôkaz. Predstavme si notáciu:
. (10.2.14)
Aplikovaním vzorca (10.2.10) na rozptyl súčtu k pravej strane výrazu (10.2.14) a berúc do úvahy to dostaneme:
kde je korelačný moment veličín:
.
Vypočítajme tento moment. Máme:
;
podobne
Dosadením tohto výrazu do (10.2.15) dostaneme vzorec (10.2.13).
V konkrétnom prípade, keď všetky množstvá nekorelovaný, vzorec (10.2.13) má tvar:
, (10.2.16)
t.j. rozptyl lineárnej funkcie nekorelovaných náhodných premenných sa rovná súčtu súčinov druhých mocnín koeficientov a rozptylov zodpovedajúcich argumentov.
9. Matematické očakávanie súčinu náhodných veličín
Matematické očakávanie súčinu dvoch náhodných premenných sa rovná súčinu ich matematických očakávaní plus korelačný moment:
Dôkaz. Budeme vychádzať z definície korelačného momentu:
Tento výraz transformujeme pomocou vlastností matematického očakávania:
ktorý je zjavne ekvivalentný vzorcu (10.2.17).
Ak náhodné premenné nekorelujú, vzorec (10.2.17) má tvar:
t.j. priemer súčinu dvoch nekorelovaných náhodných premenných sa rovná súčinu ich priemeru.
Toto tvrdenie je známe ako teorém násobenia očakávaní.
Vzorec (10.2.17) nie je nič iné ako vyjadrenie druhého zmiešaného centrálneho momentu systému v zmysle druhého zmiešaného počiatočného momentu a matematických očakávaní:
. (10.2.19)
Tento výraz sa v praxi často používa pri výpočte korelačného momentu rovnakým spôsobom, že pre jednu náhodnú premennú sa rozptyl často počíta cez druhý počiatočný moment a matematické očakávanie.
Veta o násobení očakávania sa dá zovšeobecniť aj na ľubovoľný počet faktorov, len v tomto prípade na jej aplikáciu nestačí, že veličiny sú nekorelované, ale je potrebné, aby zanikli aj niektoré vyššie zmiešané momenty, ktorých počet závisí od počet výrazov v produkte. Tieto podmienky sú určite splnené, ak sú náhodné premenné zahrnuté v produkte nezávislé. V tomto prípade
, (10.2.20)
t.j. matematické očakávanie súčinu nezávislých náhodných premenných sa rovná súčinu ich matematických očakávaní.
Toto tvrdenie možno ľahko dokázať úplnou indukciou.
10. Disperzia súčinu nezávislých náhodných veličín
Dokážme to pre nezávislé veličiny
Dôkaz. Označme . Podľa definície rozptylu
Keďže množstvá sú nezávislé, a
Pre nezávislé sú aj množstvá nezávislé; teda,
,
Neexistuje však nič iné ako druhý počiatočný moment množstva , a preto sa vyjadruje v zmysle rozptylu:
;
podobne
.
Dosadením týchto výrazov do vzorca (10.2.22) a uvedením podobných výrazov sa dostaneme k vzorcu (10.2.21).
V prípade, že sa násobia centrované náhodné premenné (hodnoty s matematickými očakávaniami rovné nule), vzorec (10.2.21) má tvar:
, (10.2.23)
t.j. rozptyl súčinu nezávislých centrovaných náhodných premenných sa rovná súčinu ich rozptylov.
11. Vyššie momenty súčtu náhodných veličín
V niektorých prípadoch je potrebné vypočítať vyššie momenty súčtu nezávislých náhodných veličín. Dokážme niektoré súvisiace vzťahy.
1) Ak sú množstvá nezávislé, potom
Dôkaz.
odkiaľ teorémom o násobení očakávaní
Ale prvý centrálny moment pre akúkoľvek veličinu je nula; dva stredné členy zmiznú a vzorec (10.2.24) je dokázaný.
Vzťah (10.2.24) možno jednoducho zovšeobecniť indukciou na ľubovoľný počet nezávislých členov:
. (10.2.25)
2) Štvrtý centrálny moment súčtu dvoch nezávislých náhodných veličín vyjadruje vzorec
kde sú disperzie a .
Dôkaz je úplne rovnaký ako ten predchádzajúci.
Pomocou metódy úplnej indukcie je ľahké dokázať zovšeobecnenie vzorca (10.2.26) na ľubovoľný počet nezávislých členov.
Disperzia náhodnej premennej a jej vlastnosti.
Mnoho náhodných premenných má rovnaké matematické očakávania, ale rôzne možné hodnoty. Na charakterizáciu náhodnej premennej preto nestačí jedno matematické očakávanie.
Nechajte príjem X a Y(v dolároch) dvoch firiem sú dané distribúciou:
Niekedy je vhodné použiť iný vzorec, ktorý možno získať použitím vlastností matematického očakávania,
Disperzia existuje, ak rad (resp. integrál) konverguje.
Nezáporné číslo 
volal smerodajná odchýlka náhodná premenná X. Má rozmer náhodnej premennej X a definuje nejaký štandardný rms disperzný interval, symetrický vzhľadom na matematické očakávania. Hodnota sa niekedy nazýva štandardná odchýlka.
Náhodná premenná sa nazýva vycentrovaný, ak . Náhodná premenná sa nazýva normalizované(štandard) ak .
Pokračujme v príklade. Vypočítajte rozptyl príjmov dvoch firiem:
Pri porovnaní rozptylu vidíme, že príjem druhej firmy sa líši viac ako prvej.
Vlastnosti disperzie.
1. Rozptyl konštantnej hodnoty sa rovná nule, t.j. , ak konštantný. Je to zrejmé, keďže konštantná hodnota má matematické očakávanie rovné konštantnej hodnote, t.j. .
2. Konštantný multiplikátor C možno odstrániť z rozptylového znamienka tak, že ho najprv odmocníte.
naozaj,
3. Rozptyl algebraického súčtu dvoch nezávislých náhodných premenných sa rovná súčtu ich rozptylov, t.j.
Výraz je tzv kovariancia X a Y(pozri tému 4, § 2). Pre nezávislé náhodné premenné je kovariancia nulová, t.j.
Pomocou tejto rovnosti môžete pridať do zoznamu vlastností matematického očakávania. Ak sú náhodné premenné X a Y nezávislé, potom sa matematické očakávanie produktu rovná súčinu matematických očakávaní, a to:
Ak sa náhodná veličina transformuje lineárne, t.j. , potom
.
Príklad 1. Nech sa vyrába n nezávislé testy, pravdepodobnosť výskytu udalosti ALE v každom z nich je konštantný a rovný p. Aký je rozptyl počtu výskytov udalosti ALE v týchto skúškach?
rozhodnutie. Nech je počet výskytov udalosti ALE v prvom pokuse je počet výskytov udalosti ALE v druhom teste a tak ďalej. Potom celkový počet výskytov udalosti ALE v n skúšky rovná sa
Pomocou vlastnosti 3 disperzie dostaneme
Tu sme využili skutočnosť, že 
, i= (pozri príklady 1 a 2, bod 3.3.1.).
Príklad 2. Nechajte X - výška vkladu (v dolároch) v banke – daná rozdelením pravdepodobnosti
| X | ||||||
| i = | 0,01 | 0,03 | 0,10 | 0,30 | 0,5 | 0,06 |
Zistite priemernú výšku príspevku a rozptyl.
rozhodnutie. Priemerná výška vkladu sa rovná matematickému očakávaniu
Na výpočet rozptylu používame vzorec
D (X) \u003d 8196 - 7849,96 \u003d 348,04.
Smerodajná odchýlka
Momenty.
Aby sa zohľadnil vplyv týchto možných hodnôt náhodnej premennej na matematické očakávania X, ktoré sú veľké, ale majú nízku pravdepodobnosť, je vhodné zvážiť matematické očakávania kladnej celočíselnej mocniny náhodnej premennej.
