V rámci tohto materiálu sa dotkneme takej dôležitej témy, akou je sčítanie záporných čísel. V prvom odseku si popíšeme základné pravidlo pre túto akciu a v druhom rozoberieme konkrétne príklady riešenia takýchto problémov.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Základné pravidlo pre sčítanie prirodzených čísel
Pred odvodením pravidla si pripomeňme, čo všeobecne vieme o kladných a záporných číslach. Už skôr sme sa zhodli, že záporné čísla treba vnímať ako dlh, stratu. Modul záporného čísla vyjadruje presnú veľkosť tejto straty. Potom sčítanie záporných čísel možno považovať za sčítanie dvoch strát.
Pomocou tejto úvahy formulujeme základné pravidlo pre sčítanie záporných čísel.
Definícia 1
S cieľom splniť sčítanie záporných čísel, musíte pridať hodnoty ich modulov a dať mínus pred výsledok. V doslovnej forme vzorec vyzerá takto (− a) + (− b) = − (a + b) .
Na základe tohto pravidla môžeme usúdiť, že sčítanie záporných čísel je podobné ako sčítanie kladných, len nakoniec musíme určite dostať záporné číslo, pretože pred súčet modulov musíme dať znamienko mínus.
Aké dôkazy možno poskytnúť pre toto pravidlo? K tomu si musíme pripomenúť základné vlastnosti operácií s reálnymi číslami (či už s celými, alebo s racionálnymi – tie sú pre všetky tieto typy čísel rovnaké). Aby sme to dokázali, musíme len preukázať, že rozdiel medzi ľavou a pravou stranou rovnice (− a) + (− b) = − (a + b) bude rovný 0 .
Odčítanie jedného čísla od druhého je rovnaké ako pričítanie rovnakého opačného čísla k nemu. Preto (− a) + (− b) − (− (a + b)) = (− a) + (− b) + (a + b) . Pripomeňme, že číselné výrazy so sčítaním majú dve hlavné vlastnosti – asociatívnu a komutatívnu. Potom môžeme konštatovať, že (− a) + (− b) + (a + b) = (− a + a) + (− b + b) . Keďže sčítaním opačných čísel vždy dostaneme 0, potom (− a + a) + (− b + b) \u003d 0 + 0 a 0 + 0 \u003d 0. Naša rovnosť sa dá považovať za preukázanú, čo znamená, že pravidlo pre sčítanie záporných čísel sme tiež dokázali.
V druhom odseku si vezmeme konkrétne problémy, kde je potrebné sčítať záporné čísla, a pokúsime sa v nich aplikovať naučené pravidlo.
Príklad 1
Nájdite súčet dvoch záporných čísel - 304 a - 18007.
rozhodnutie
Urobme kroky krok za krokom. Najprv musíme nájsť moduly čísel, ktoré sa majú sčítať: - 304 = 304 , - 180007 = 180007 . Ďalej musíme vykonať akciu sčítania, na ktorú používame metódu počítania stĺpcov:
Ostáva nám už len dať pred výsledok mínus a dostať -18 311 .
odpoveď: - - 18 311 .
Záleží na tom, aké čísla máme, na čo môžeme pôsobenie sčítania zredukovať: na hľadanie súčtu prirodzených čísel, na sčítanie obyčajných alebo desatinných zlomkov. Poďme analyzovať problém s takýmito číslami.
Príklad N
Nájdite súčet dvoch záporných čísel - 2 5 a − 4 , (12) .
rozhodnutie
Nájdeme moduly požadovaných čísel a dostaneme 2 5 a 4 , (12) . Máme dva rôzne zlomky. Zredukujme problém na sčítanie dvoch obyčajných zlomkov, pre ktoré reprezentujeme periodický zlomok vo forme obyčajného:
4 , (12) = 4 + (0 , 12 + 0 , 0012 + . . .) = 4 + 0 , 12 1 - 0 , 01 = 4 + 0 , 12 0 , 99 = 4 + 12 99 = 4 + 4 33 = 136 33
Výsledkom je zlomok, ktorý sa bude dať ľahko pridať k prvému pôvodnému termínu (ak ste zabudli, ako správne pridať zlomky s rôznymi menovateľmi, zopakujte zodpovedajúci materiál).
2 5 + 136 33 = 2 33 5 33 + 136 5 33 5 = 66 165 + 680 165 = 764 165 = 4 86 105
V dôsledku toho sme dostali zmiešané číslo, pred ktorým stačí dať mínus. Tým sú výpočty dokončené.
odpoveď: - 4 86 105 .
Skutočné záporné čísla sa sčítajú rovnakým spôsobom. Výsledok takejto akcie sa zvyčajne zapisuje ako číselný výraz. Jeho hodnotu nemožno vypočítať alebo obmedziť na približné výpočty. Ak teda napríklad potrebujeme nájsť súčet - 3 + (− 5) , potom odpoveď napíšeme ako - 3 − 5 . Sčítaniu reálnych čísel sme venovali samostatný materiál, v ktorom nájdete ďalšie príklady.
Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter
Pravidlo negatívneho sčítania
Ak si spomeniete na lekciu matematiky a tému „Sčítanie a odčítanie čísel s rôznymi znamienkami“, potom na pridanie dvoch záporných čísel potrebujete:
- vykonať pridanie ich modulov;
- k prijatej sume pridajte znamienko „-“.
Podľa pravidla sčítania môžeme písať:
$(−a)+(−b)=−(a+b)$.
Pravidlo záporného sčítania platí pre záporné celé čísla, racionálne čísla a reálne čísla.
Príklad 1
Pridajte záporné čísla $-185$ a $-23 \ 789,$
rozhodnutie.
Využime pravidlo sčítania záporných čísel.
Poďme nájsť moduly týchto čísel:
$|-23 \ 789|=23 \ 789$.
Pridajme výsledné čísla:
$185+23 \ 789=23 \ 974$.
Pred nájdené číslo dáme znak $"–"$ a dostaneme $-23 \ 974$.
Stručné riešenie: $(−185)+(−23 \ 789)=−(185+23 \ 789)=−23 \ 974$.
Odpoveď: $−23 \ 974$.
Pri sčítaní záporných racionálnych čísel je potrebné ich previesť do tvaru prirodzených čísel, obyčajných alebo desatinných zlomkov.
Príklad 2
Pridajte záporné čísla $-\frac(1)(4)$ a $-7,15$.
rozhodnutie.
Podľa pravidla sčítania záporných čísel musíte najskôr nájsť súčet modulov:
$|-\frac(1)(4)|=\frac(1)(4)$;
Získané hodnoty je vhodné zredukovať na desatinné zlomky a vykonať ich sčítanie:
$\frac(1)(4)=0,25$;
$0,25+7,15=7,40$.
Pred prijatú hodnotu dáme znak $"-"$ a dostaneme $-7,4$.
Zhrnutie riešenia:
$(-\frac(1)(4))+(−7,15)=−(\frac(1)(4)+7,15)=–(0,25+7,15)=−7, 4$.
Pridanie kladných a záporných čísel:
- vypočítať moduly čísel;
- ak sú rovnaké, pôvodné čísla sú opačné a ich súčet sa rovná nule;
- ak nie sú rovnaké, musíte si zapamätať znamienko čísla, ktorého modul je väčší;
odpočítať menšie od väčšieho;
- pred prijatú hodnotu uveďte znamienko čísla, ktorého modul je väčší.
porovnajte prijaté čísla:
Sčítanie čísel s opačnými znamienkami sa zredukuje na odčítanie menšieho záporného čísla od väčšieho kladného čísla.
Pravidlo sčítania čísel s opačnými znamienkami sa vykonáva pre celé čísla, racionálne a reálne čísla.
Príklad 3
Pridajte čísla $4$ a $-8$.
rozhodnutie.
Musíte pridať čísla s opačnými znamienkami. Použime vhodné pravidlo sčítania.
Poďme nájsť moduly týchto čísel:
Modul čísla $−8$ je väčší ako modul čísla $4$, t.j. zapamätajte si znak $"-"$.
Pred výsledné číslo dáme znak $"–"$, ktorý sme si zapamätali, a dostaneme $-4,$
Zhrnutie riešenia:
$4+(–8) = –(8–4) = –4$.
Odpoveď: $4+(−8)=−4$.
Na sčítanie racionálnych čísel s opačnými znamienkami je vhodné ich reprezentovať ako obyčajné alebo desatinné zlomky.
Odčítanie čísel s rôznymi a zápornými znamienkami
Pravidlo na odčítanie záporných čísel:
Na odčítanie záporného čísla $b$ od čísla $a$ je potrebné pripočítať k minuendu $a$ číslo $−b$, ktoré je opakom odčítaného $b$.
Podľa pravidla odčítania môžeme písať:
$a−b=a+(−b)$.
Toto pravidlo platí pre celé čísla, racionálne a reálne čísla. Pravidlo možno použiť pri odčítaní záporného čísla od kladného čísla, od záporného čísla a od nuly.
Príklad 4
Od záporného čísla $−28$ odpočítajte záporné číslo $−5$.
rozhodnutie.
Opačné číslo pre číslo $–5$ je číslo $5$.
Podľa pravidla na odčítanie záporných čísel dostaneme:
$(−28)−(−5)=(−28)+5$.
Sčítajme čísla s opačnými znamienkami:
$(−28)+5=−(28−5)=−23$.
Odpoveď: $(−28)−(−5)=−23$.
Pri odčítaní záporných zlomkových čísel musíte čísla previesť do tvaru obyčajných zlomkov, zmiešaných čísel alebo desatinných zlomkov.
Sčítanie a odčítanie čísel s rôznymi znamienkami
Pravidlo pre odčítanie čísel s opačnými znamienkami je rovnaké ako pravidlo pre odčítanie záporných čísel.
Príklad 5
Odčítajte kladné číslo $7$ od záporného čísla $−11$.
rozhodnutie.
Opačné číslo k číslu $7$ je číslo $–7$.
Podľa pravidla na odčítanie čísel s opačnými znamienkami dostaneme:
$(−11)−7=(–11)+(−7)$.
Pridajme záporné čísla:
$(−11)+(–7)=−(11+7)=−18$.
Stručné riešenie: $(−28)−(−5)=(−28)+5=−(28−5)=−23$.
Odpoveď: $(−11)−7=−18$.
Pri odčítaní zlomkových čísel s rôznymi znamienkami je potrebné čísla previesť do tvaru obyčajných alebo desatinných zlomkov.
Rozvoj matematických zručností je hlavným cieľom, ktorý sledujú matematické programy od 1. do 6. ročníka. Ako rýchlo a správne sa dieťa naučí vykonávať aritmetické operácie, bude závisieť od rýchlosti jeho logických (sémantických) operácií vo vyšších triedach a od úrovne pochopenia predmetu ako celku. Nie je nezvyčajné, aby sa učiteľ matematiky stretol s výpočtovými problémami študentov, ktoré im bránia dosiahnuť vysoké skóre.
Akí študenti nemusia spolupracovať s tútorom. Rodičia potrebujú prípravu na skúšku z matematiky a ich dieťa nerozumie obyčajným zlomkom alebo sa mýli v záporných číslach. Aké kroky by mal učiteľ matematiky podniknúť v takýchto prípadoch? Ako pomôcť študentovi? Lektor nemá čas na pohodové a dôsledné štúdium pravidiel, a tak tradičné postupy často musia nahradiť nejakými umelými „polotovary-urýchľovačmi“, takpovediac. V tomto článku popíšem jeden z možných spôsobov rozvoja zručnosti vykonávania akcií so zápornými číslami, konkrétne ich odpočítania.
Predpokladajme, že učiteľ matematiky má to potešenie pracovať s veľmi slabým študentom, ktorého vedomosti nepresahujú rámec najjednoduchších výpočtov s kladnými číslami. Predpokladajme tiež, že lektorovi sa podarilo vysvetliť zákony sčítania a priblížiť sa pravidlu a-b=a+(-b). Aké body by mal učiteľ matematiky vziať do úvahy?
Zníženie odčítania na sčítanie nie je jednoduchý a zrejmý prevod. Učebnice ponúkajú strohé a presné matematické formulácie: „Na odčítanie čísla „b“ od čísla „a“ je potrebné k číslu „a“ pridať číslo opačné k „b“. Formálne nemôžete nájsť chybu v texte, ale akonáhle ho učiteľ matematiky začne používať ako pokyn na vykonávanie konkrétnych výpočtov, nastanú problémy. Už len jedna fráza niečo stojí: "Ak chcete odčítať, musíte pridať." Bez jasného komentára školiteľa študent nepochopí. V skutočnosti, čo robiť: odpočítať alebo pridať?
Ak pracujete s pravidlom podľa zámeru autorov učebnice, musíte okrem vypracovania pojmu „opačné číslo“ naučiť študenta korelovať označenia „a“ a „b“ so skutočným čísla v príklade. A to si vyžiada čas. Ak vezmeme do úvahy aj to, že študent zároveň myslí a píše, úloha učiteľa matematiky sa stáva ešte komplikovanejšou. Slabý žiak nemá dobrú vizuálnu, sémantickú a motorickú pamäť, a preto je lepšie ponúknuť alternatívny text pravidla:
Ak chcete odpočítať druhé od prvého čísla,
A) Prepíšte prvé číslo
B) dajte plus
B) Zmeňte znamienko druhého čísla na opačné
D) Pridajte výsledné čísla
Tu sú fázy algoritmu jasne oddelené bodmi a nie sú viazané na písmenové označenia.
V priebehu riešenia praktickej úlohy na preklady učiteľ matematiky tento text študentovi niekoľkokrát prečíta (na zapamätanie). Radím vám, zapíšte si to do teoretického zošita. Až po vypracovaní pravidla prechodu na sčítanie môžete napísať všeobecný tvar a-b=a+(-b)
Pohyb znamienka mínus a plus v hlave dieťaťa (malého aj slabého dospelého) tak trochu pripomína Browniana. Doučovateľ matematiky musí dať veci do poriadku v tomto chaose čo najrýchlejšie. V procese riešenia príkladov sa využívajú referenčné výzvy (verbálne aj vizuálne), ktoré v kombinácii s presným a detailným rozložením plnia svoju úlohu. Je potrebné mať na pamäti, že každé slovo, ktoré učiteľ matematiky vysloví v čase riešenia akéhokoľvek problému, nesie v sebe náznak alebo prekážku. Každú frázu dieťa analyzuje, aby vytvorilo spojenie s jedným alebo druhým matematickým objektom (javom) a jeho obrazom na papieri.
Typickým problémom slabých školákov je oddelenie znaku akcie od znaku čísla, ktoré je do nej zapojené. Rovnaký vizuálny obraz sťažuje rozpoznanie zmenšeného „a“ a odčítaného „b“ v rozdiele a-b. Keď učiteľ matematiky v procese vysvetľovania prečíta výraz, musíte sa uistiť, že namiesto „-“ je použité slovo „odčítať“. Je to nevyhnutné! Napríklad záznam by mal znieť takto: „Od mínus päť odčítať mínus tri. Nesmieme zabudnúť na pravidlo prekladu do dodatku: „Takže z čísla“ a “ odčítaťčíslo "b" je potrebné ... ".
Ak učiteľ matematiky neustále lieta z jazyka „mínus 5 mínus 3“, potom je jasné, že pre študenta bude ťažšie predstaviť si štruktúru príkladu. Jednotná zhoda medzi slovom a aritmetickou operáciou pomáha učiteľovi matematiky presne sprostredkovať informácie.
Ako môže tútor vysvetliť prechod na sčítanie?
Samozrejme, môžeme sa odvolať na definíciu „odčítať“ a vyhľadať číslo, ktoré treba pridať k „b“, aby sme dostali „a“. Slabý študent však myslí ďaleko od prísnej matematiky a tútor bude pri práci s ním potrebovať nejaké analógie s jednoduchými úkonmi. Často hovorím svojim šiestakom: „V matematike neexistuje taká aritmetická operácia ako „rozdiel“. Zápis 5 - 3 je jednoduchý zápis výsledku sčítania 5 + (-3). Znamienko plus je jednoducho vynechané a nezapísané.
Deti sú prekvapené slovami učiteľa a mimovoľne si pamätajú, že čísla nemôžete odčítať priamo. Lektor matematiky deklaruje 5 a -3 pojmy a pre väčšiu motiváciu svojich slov porovnáva výsledky činov 5-3 a 5+(-3). Potom sa zapíše identita a-b=a+(-b).
Bez ohľadu na študenta a bez ohľadu na to, koľko času dostane učiteľ matematiky na hodiny s ním, musíte včas vypracovať koncept „opačného čísla“. Záznam „-x“ si zaslúži osobitnú pozornosť učiteľa matematiky. Žiak 6. ročníka sa musí naučiť, že nezobrazuje záporné číslo, ale opak x.
Je potrebné samostatne sa zaoberať výpočtami s dvoma znamienkami mínus umiestnenými vedľa seba. Existuje problém s pochopením fungovania ich súčasného odstraňovania. Pre prechod na sčítanie je potrebné dôkladne prejsť všetky body uvedeného algoritmu. Bude lepšie, ak pri práci s rozdielom -5- (-3) učiteľ matematiky pred komentármi zvýrazní čísla -5 a -3 v rámčeku alebo ich podčiarkne. To pomôže študentovi identifikovať zložky akcie.
Zameranie učiteľa matematiky na zapamätanie
Spoľahlivé zapamätanie je výsledkom praktickej aplikácie matematických pravidiel, preto je dôležité, aby lektor zabezpečil dobrú hustotu samostatne vyriešených príkladov. Na zlepšenie stability zapamätania si môžete zavolať na pomoc vizuálne narážky – čipy. Napríklad zaujímavý spôsob, ako preložiť odčítanie záporného čísla na sčítanie. 
Učiteľ matematiky spojí dve mínusky jednou čiarou (ako je znázornené na obrázku) a pohľad študenta otvorí znamienko plus (v priesečníku so zátvorkou).
Aby ste predišli rozptýleniu, odporúčam učiteľom matematiky zvýrazniť minuend a subtrahend pomocou políčok. 
Ak učiteľ matematiky používa rámčeky alebo kruhy na zvýraznenie komponentov aritmetickej operácie, potom sa študent ľahšie a rýchlejšie naučí vidieť štruktúru príkladu a korelovať ju s príslušným pravidlom. Pri rozhodovaní by ste nemali umiestňovať časti celého objektu na rôzne riadky listu zošita a tiež začať pridávať, kým sa nezapíše. Všetky akcie a prechody sú zobrazené bez problémov (aspoň na začiatku štúdia témy).
Niektorí učitelia matematiky sa snažia o 100% presné zdôvodnenie prekladových pravidiel, pričom túto stratégiu považujú za jedinú správnu a užitočnú na formovanie výpočtových zručností. Prax však ukazuje, že táto cesta nie vždy prináša dobré dividendy. Potreba uvedomenia si toho, čo človek robí, sa najčastejšie objavuje po zapamätaní si krokov použitého algoritmu a praktickom stanovení výpočtových operácií.
Mimoriadne dôležité je vypracovať prechod k súčtu v dlhom číselnom vyjadrení s viacerými odčítaniami napr. Pred počítaním alebo prevodom nechám študenta zakrúžkovať čísla spolu s ich znamienkami vľavo. Na obrázku je príklad toho, ako učiteľ matematiky vyberá pojmy Veľmi slabým šiestakom môžete krúžky dodatočne zafarbiť. Použite jednu farbu pre kladné výrazy a inú farbu pre záporné výrazy. V špeciálnych prípadoch beriem do rúk nožnice a strihám výraz na kúsky. Môžu byť ľubovoľne preusporiadané, čím sa napodobňuje permutácia pojmov. Dieťa uvidí, že znaky sa pohybujú spolu so samotnými pojmami. To znamená, že ak bolo znamienko mínus naľavo od čísla 5, potom kamkoľvek posunieme zodpovedajúcu kartu, z päťky sa nezíde.
Kolpakov A.N. Lektor matematiky ročník 5-6. Moskva. Strogino.
Začnime jednoduchým príkladom. Určme, čomu sa rovná výraz 2-5. Z bodu +2 dajme päť dielikov, dva ku nule a tri pod nulou. Zastavme sa pri bode -3. To je 2-5=-3. Teraz si všimnite, že 2-5 sa vôbec nerovná 5-2. Ak v prípade sčítania čísel nezáleží na ich poradí, tak v prípade odčítania je všetko inak. Na poradí čísel záleží.
Teraz prejdime k negatívna oblasť váhy. Predpokladajme, že potrebujete pridať +5 k -2. (Odteraz budeme pred kladné čísla umiestňovať znamienko „+“ a kladné aj záporné čísla v zátvorkách, aby sme si znamienka pred číslami nezamieňali so znamienkami sčítania a odčítania.) Teraz môžeme napísať náš problém ako (-2)+ (+5). Aby sme to vyriešili, z bodu -2 pôjdeme o päť divízií vyššie a ocitneme sa v bode +3.
Má táto úloha nejaký praktický zmysel? Samozrejme, že mám. Povedzme, že máte dlh vo výške 2 USD a zarobili ste 5 USD. Po splatení dlhu vám teda ostanú 3 doláre.
Môžete sa tiež posunúť nadol po zápornej oblasti stupnice. Predpokladajme, že potrebujete odpočítať 5 od -2 alebo (-2)-(+5). Od bodu -2 na stupnici položme päť dielikov a ocitneme sa v bode -7. Aký je praktický význam tejto úlohy? Predpokladajme, že ste mali dlh vo výške 2 USD a museli ste si požičať ďalších 5 USD. Teraz je váš dlh 7 USD.
Vidíme, že so zápornými číslami sa dá urobiť to isté operácie sčítania a odčítania, ako aj s pozitívnymi.
Je pravda, že ešte nemáme zvládnuté všetky operácie. Pričítali sme iba k záporným číslam a od záporných čísel odpočítavali iba kladné. Čo však robiť, ak potrebujete sčítať záporné čísla alebo odčítať záporné od záporných čísel?
V praxi je to podobné ako pri riešení dlhov. Povedzme, že vám bol naúčtovaný dlh vo výške 5 USD, čo znamená to isté, ako keby ste dostali 5 USD. Na druhej strane, ak ťa nejakým spôsobom prinútim prijať zodpovednosť za niečí dlh vo výške 5 USD, je to to isté, ako keby som ti zobral tých 5 USD. To znamená, že odčítanie -5 je rovnaké ako pričítanie +5. A pridanie -5 je to isté ako odčítanie +5.
To nám umožňuje zbaviť sa operácie odčítania. V skutočnosti je „5-2“ to isté ako (+5)-(+2) alebo podľa nášho pravidla (+5)+(-2). V oboch prípadoch dostaneme rovnaký výsledok. Od bodu +5 na stupnici musíme ísť o dva dieliky nižšie a dostaneme +3. V prípade 5-2 je to zrejmé, pretože odčítanie je pohyb nadol.
V prípade (+5)+(-2) je to menej zrejmé. Pridáme číslo, čo znamená posun na stupnici, ale pridáme záporné číslo, to znamená, že vykonáme opačnú akciu a tieto dva faktory spolu znamenajú, že sa musíme posunúť nie nahor, ale opačným smerom. , to je dole.
Opäť teda dostávame odpoveď +3.
Prečo je to naozaj potrebné nahradiť odčítanie sčítaním? Prečo ísť hore „spätne“? Nie je jednoduchšie prejsť nadol? Dôvodom je, že v prípade sčítania nezáleží na poradí pojmov, zatiaľ čo v prípade odčítania je to veľmi dôležité.
Už predtým sme zistili, že (+5)-(+2) vôbec nie je to isté ako (+2)-(+5). V prvom prípade je odpoveď +3 a v druhom -3. Na druhej strane, (-2)+(+5) a (+5)+(-2) majú za následok +3. Prechodom na operácie sčítania a odčítania sa teda môžeme vyhnúť náhodným chybám spojeným s preskupovaním pojmov.
Podobne môžete konať pri odčítaní záporu. (+5)-(-2) je to isté ako (+5)+(+2). V oboch prípadoch dostaneme odpoveď +7. Začíname v bode +5 a pohybujeme sa „dole v opačnom smere“, teda hore. Rovnako by sme postupovali pri riešení výrazu (+5) + (+2).
Nahradenie odčítania sčítaním študenti aktívne využívajú, keď začínajú študovať algebru, a preto sa táto operácia nazýva tzv. "algebraické sčítanie". V skutočnosti to nie je úplne spravodlivé, pretože takáto operácia je zjavne aritmetická a vôbec nie algebraická.
Tieto znalosti sú nemenné pre každého, takže aj keď získate vzdelanie v Rakúsku cez www.salls.ru, hoci štúdium v zahraničí je cenené viac, stále tam môžete tieto pravidlá uplatniť.
V tomto článku budeme hovoriť o sčítanie záporných čísel. Najprv dáme pravidlo na sčítanie záporných čísel a dokážeme ho. Potom budeme analyzovať typické príklady sčítania záporných čísel.
Navigácia na stránke.
Predtým, ako uvedieme formuláciu pravidla pre sčítanie záporných čísel, vráťme sa k materiálu článku kladné a záporné čísla. Tam sme spomenuli, že záporné čísla možno vnímať ako dlh a modul čísla v tomto prípade určuje výšku tohto dlhu. Preto súčet dvoch záporných čísel je súčet dvoch dlhov.
Tento záver umožňuje pochopiť pravidlo negatívneho sčítania. Ak chcete pridať dve záporné čísla, potrebujete:
- stohovať ich moduly;
- dajte pred prijatú sumu znamienko mínus.
Zapíšme si pravidlo na sčítanie záporných čísel −a a −b v doslovnom tvare: (−a)+(−b)=−(a+b) .
Je jasné, že vyslovené pravidlo redukuje sčítanie záporných čísel na sčítanie kladných čísel (modul záporného čísla je kladné číslo). Je tiež jasné, že výsledkom sčítania dvoch záporných čísel je záporné číslo, čo dokazuje znamienko mínus, ktoré je umiestnené pred súčtom modulov.
Pravidlo na sčítanie záporných čísel možno dokázať na základe vlastnosti akcií s reálnymi číslami(alebo rovnaké vlastnosti operácií s racionálnymi alebo celými číslami). Na to stačí ukázať, že rozdiel medzi ľavou a pravou časťou rovnosti (−a)+(−b)=−(a+b) je rovný nule.
Keďže odčítanie čísla je rovnaké ako pričítanie opačného čísla (pozri pravidlo na odčítanie celých čísel), potom (−a)+(−b)−(−(a+b))=(−a)+(−b) +(a+b) . Na základe komutatívnych a asociatívnych vlastností sčítania máme (−a)+(−b)+(a+b)=(−a+a)+(−b+b) . Keďže súčet opačných čísel sa rovná nule, potom (−a+a)+(−b+b)=0+0 a 0+0=0 kvôli vlastnosti pridania čísla k nule. To dokazuje rovnosť (−a)+(−b)=−(a+b) , a teda pravidlo pre sčítanie záporných čísel.
Toto pravidlo sčítania teda platí pre záporné celé čísla a racionálne čísla, ako aj pre reálne čísla.
Zostáva len naučiť sa, ako aplikovať pravidlo sčítania záporných čísel v praxi, čo urobíme v nasledujúcom odseku.
Príklady sčítania záporných čísel
Poďme analyzovať príklady sčítania záporných čísel. Začnime s najjednoduchším prípadom - sčítanie záporných celých čísel, sčítanie sa uskutoční podľa pravidla uvedeného v predchádzajúcom odseku.
Pridajte záporné čísla -304 a -18007 .
Dodržujme všetky kroky pravidla sčítania záporných čísel.
Najprv nájdeme moduly pridaných čísel: a 
. Teraz musíte pridať výsledné čísla, tu je vhodné vykonať sčítanie v stĺpci: 
Teraz dáme pred výsledné číslo znamienko mínus, výsledkom je −18 311 .
Celé riešenie napíšme v skratke: (−304)+(−18 007)= −(304+18 007)=−18 311 .
Sčítanie záporných racionálnych čísel v závislosti od samotných čísel môže byť zredukované buď na sčítanie prirodzených čísel, alebo na sčítanie obyčajných zlomkov, alebo na sčítanie desatinných zlomkov.
Pridajte záporné číslo a záporné číslo −4,(12) .
Podľa pravidla sčítania záporných čísel musíte najskôr vypočítať súčet modulov. Moduly pridaných záporných čísel sú 2/5 a 4,(12). Sčítanie výsledných čísel možno zredukovať na sčítanie obyčajných zlomkov. Aby sme to dosiahli, preložíme periodický desatinný zlomok na obyčajný zlomok:. Takže 2/5+4,(12)=2/5+136/33 . Teraz pridajme zlomky s rôznymi menovateľmi: .
Zostáva vložiť znamienko mínus pred výsledné číslo: . Tým sa dokončí sčítanie pôvodných záporných čísel.
Záporné reálne čísla sa sčítavajú podľa rovnakého pravidla pre sčítanie záporných čísel. Tu je potrebné poznamenať, že výsledok sčítania reálnych čísel sa veľmi často zapisuje ako číselný výraz a hodnota tohto výrazu sa vypočíta približne a potom v prípade potreby.
Napríklad nájdime súčet záporných čísel a -5. Moduly týchto čísel sa rovnajú druhej odmocnine troch a piatich a súčet pôvodných čísel je . Takto je napísaná odpoveď. Ďalšie príklady nájdete v článku. sčítanie reálnych čísel.
www.cleverstudents.ru
Ako sčítať dve záporné čísla
Operácie so zápornými a kladnými číslami
Absolútna hodnota (modul). Doplnenie.
Odčítanie. Násobenie. divízie.
Absolútna hodnota (modul). Pre záporné číslo je kladné číslo získané zmenou jeho znamienka z „-“ na „+“; pre kladné číslo a nula je samotné číslo. Na označenie absolútnej hodnoty (modulu) čísla sa používajú dve rovné čiary, do ktorých je toto číslo zapísané.
PRÍKLADY: | – 5 | = 5, | 7 | = 7, | 0 | = 0.
1) pri sčítaní dvoch čísel s rovnakým znamienkom sčítaj
ich absolútnym hodnotám a súčtu predchádza spoločné znamienko.
2) pri sčítaní dvoch čísel s rôznymi znamienkami ich absolútna
hodnoty sa odčítajú (od väčšej menšej) a vloží sa znamienko
čísla s väčšou absolútnou hodnotou.
Odčítanie. Odčítanie dvoch čísel môžete nahradiť sčítaním, pričom minuend si zachová svoje znamienko a odpočet sa berie s opačným znamienkom.
(+ 8) – (+ 5) = (+ 8) + (– 5) = 3;
(+ 8) – (– 5) = (+ 8) + (+ 5) = 13;
(– 8) – (– 5) = (– 8) + (+ 5) = – 3;
(– 8) – (+ 5) = (– 8) + (– 5) = – 13;
Násobenie. Keď sa vynásobia dve čísla, ich absolútne hodnoty sa vynásobia a súčin dostane znamienko „+“, ak sú znamienka faktorov rovnaké, a znamienko „-“, ak sa znamienka faktorov líšia.
Nasledujúca schéma je užitočná ( pravidlá násobenia):
Pri násobení niekoľkých čísel (dve alebo viac) má súčin znamienko „+“, ak je počet záporných faktorov párny, a znamienko „-“, ak je ich počet nepárny.
divízie. Pri delení dvoch čísel sa absolútna hodnota deliteľa delí absolútnou hodnotou deliteľa a podiel nadobúda znamienko "+", ak sú znamienka deliteľa a deliteľa rovnaké a znamienko "-" ak sú znamienka dividendy a deliteľa odlišné.
Existujú Rovnaký znakové pravidlá, ako pri násobení:
Pridanie záporných čísel
Sčítanie kladných a záporných čísel možno analyzovať pomocou číselnej osi.
Pridávanie čísel pomocou súradnicovej čiary
Sčítanie malých modulových čísel sa pohodlne vykonáva na súradnicovej línii, v duchu si predstavte, ako sa bod označujúci číslo pohybuje pozdĺž číselnej osi.
Vezmime si nejaké číslo, napríklad 3 . Označme ho na číselnej osi bodkou "A".
K číslu pripočítajme kladné číslo 2. To bude znamenať, že bod "A" sa musí posunúť o dva segmenty jednotky v kladnom smere, teda doprava. V dôsledku toho dostaneme bod „B“ so súradnicou 5.
Ak chcete pridať záporné číslo „-5“ ku kladnému číslu, napríklad 3, bod „A“ sa musí posunúť o 5 jednotiek dĺžky v zápornom smere, teda doľava.
V tomto prípade sa súradnica bodu "B" rovná - "2".
Takže poradie pridávania racionálnych čísel pomocou číselnej osi bude nasledovné:
Pohybom z bodu - 2 doľava (keďže pred 6 je znamienko mínus), dostaneme - 8.
Sčítanie čísel s rovnakými znakmi
Pridávanie racionálnych čísel je jednoduchšie, ak používate koncept modulu.
Predpokladajme, že potrebujeme pridať čísla, ktoré majú rovnaké znamienko.
Aby sme to urobili, zahodíme znaky čísel a vezmeme moduly týchto čísel. Moduly sčítame a znamienko dáme pred súčet, ktorý bol spoločný pre tieto čísla.
Príklad sčítania záporných čísel.
Ak chcete pridať čísla rovnakého znamienka, musíte pridať ich moduly a umiestniť znamienko pred súčet, ktorý bol pred pojmami.
Sčítanie čísel s rôznymi znakmi
Ak majú čísla rôzne znamienka, potom konáme trochu inak ako pri sčítaní čísel s rovnakými znamienkami.
Príklad sčítania záporného a kladného čísla.
Príklad sčítania zmiešaných čísel.
Komu pridajte čísla opačného znamienka potrebné:
- odpočítať menší modul od väčšieho modulu;
- pred výsledný rozdiel vložte znamienko čísla, ktoré má väčší modul.
- vykonať pridanie ich modulov;
- k prijatej sume pridajte znamienko „-“.
- vypočítať moduly čísel;
- porovnajte prijaté čísla:
- odpočítať menšie od väčšieho;
- pred prijatú hodnotu uveďte znamienko čísla, ktorého modul je väčší.
Sčítanie a odčítanie kladných a záporných čísel
Je to nejasné?
Skúste požiadať učiteľov o pomoc.
Pravidlo negatívneho sčítania
Ak chcete pridať dve záporné čísla:
Podľa pravidla sčítania môžeme písať:
Pravidlo záporného sčítania platí pre záporné celé čísla, racionálne čísla a reálne čísla.
Pridajte záporné čísla $-185$ a $-23 \ 789,$
Využime pravidlo sčítania záporných čísel.
Pridajme výsledné čísla:
$185+23 \ 789=23 \ 974$.
Pred nájdené číslo dáme znak $"–"$ a dostaneme $-23 974$.
Stručné riešenie: $(−185)+(−23 \ 789)=−(185+23 \ 789)=−23 \ 974$.
Pri sčítaní záporných racionálnych čísel je potrebné ich previesť do tvaru prirodzených čísel, obyčajných alebo desatinných zlomkov.
Pridajte záporné čísla $-\frac $ a $-7,15$.
Podľa pravidla sčítania záporných čísel musíte najskôr nájsť súčet modulov:
Získané hodnoty je vhodné zredukovať na desatinné zlomky a vykonať ich sčítanie:
Pred prijatú hodnotu dáme znak $"-"$ a dostaneme $-7,4$.
Zhrnutie riešenia:
Sčítanie čísel s opačnými znamienkami
Pravidlo na sčítanie čísel s opačnými znamienkami:
ak sú rovnaké, pôvodné čísla sú opačné a ich súčet sa rovná nule;
ak nie sú rovnaké, musíte si zapamätať znamienko čísla, ktorého modul je väčší;
Sčítanie čísel s opačnými znamienkami sa zredukuje na odčítanie menšieho záporného čísla od väčšieho kladného čísla.
Pravidlo sčítania čísel s opačnými znamienkami sa vykonáva pre celé čísla, racionálne a reálne čísla.
Pridajte čísla $4$ a $-8$.
Musíte pridať čísla s opačnými znamienkami. Použime vhodné pravidlo sčítania.
Poďme nájsť moduly týchto čísel:
Modul čísla $−8$ je väčší ako modul čísla $4$, t.j. zapamätajte si znak $"-"$.
Pred výsledné číslo dáme znak $"–"$, ktorý sme si zapamätali, a dostaneme $-4,$
Ste leniví na čítanie?
Opýtajte sa odborníkov a získajte
odpoveď do 15 minút!
Na sčítanie racionálnych čísel s opačnými znamienkami je vhodné ich reprezentovať ako obyčajné alebo desatinné zlomky.
Odčítanie záporných čísel
Pravidlo na odčítanie záporných čísel:
Na odčítanie záporného čísla $b$ od čísla $a$ je potrebné pripočítať k minuendu $a$ číslo $−b$, ktoré je opakom odčítaného $b$.
Podľa pravidla odčítania môžeme písať:
Toto pravidlo platí pre celé čísla, racionálne a reálne čísla. Pravidlo možno použiť pri odčítaní záporného čísla od kladného čísla, od záporného čísla a od nuly.
Od záporného čísla $−28$ odpočítajte záporné číslo $−5$.
Opačné číslo pre číslo $–5$ je číslo $5$.
Podľa pravidla na odčítanie záporných čísel dostaneme:
Sčítajme čísla s opačnými znamienkami:
Stručné riešenie: $(−28)−(−5)=(−28)+5=−(28−5)=−23$.
Pri odčítaní záporných zlomkových čísel musíte čísla previesť do tvaru obyčajných zlomkov, zmiešaných čísel alebo desatinných zlomkov.
Odčítanie čísel s opačnými znamienkami
Pravidlo pre odčítanie čísel s opačnými znamienkami je rovnaké ako pravidlo pre odčítanie záporných čísel.
Odčítajte kladné číslo $7$ od záporného čísla $−11$.
Opačné číslo k číslu $7$ je číslo $–7$.
Podľa pravidla na odčítanie čísel s opačnými znamienkami dostaneme:
Pridajme záporné čísla:
Pri odčítaní zlomkových čísel s opačnými znamienkami je potrebné čísla previesť do tvaru obyčajných alebo desatinných zlomkov.
Zatiaľ som nenašiel odpoveď
na tvoju otázku?
Píšte len s čím
Potrebujete pomoc
Sčítanie záporných čísel: pravidlo, príklady
V rámci tohto materiálu sa dotkneme takej dôležitej témy, akou je sčítanie záporných čísel. V prvom odseku si popíšeme základné pravidlo pre túto akciu a v druhom rozoberieme konkrétne príklady riešenia takýchto problémov.
Základné pravidlo pre sčítanie prirodzených čísel
Pred odvodením pravidla si pripomeňme, čo všeobecne vieme o kladných a záporných číslach. Už skôr sme sa zhodli, že záporné čísla treba vnímať ako dlh, stratu. Modul záporného čísla vyjadruje presnú veľkosť tejto straty. Potom sčítanie záporných čísel možno považovať za sčítanie dvoch strát.
Pomocou tejto úvahy formulujeme základné pravidlo pre sčítanie záporných čísel.
S cieľom splniť sčítanie záporných čísel, musíte pridať hodnoty ich modulov a dať mínus pred výsledok. V doslovnej forme vzorec vyzerá takto (− a) + (− b) = − (a + b) .
Na základe tohto pravidla môžeme usúdiť, že sčítanie záporných čísel je podobné ako sčítanie kladných, len nakoniec musíme určite dostať záporné číslo, pretože pred súčet modulov musíme dať znamienko mínus.
Aké dôkazy možno poskytnúť pre toto pravidlo? K tomu si musíme pripomenúť základné vlastnosti operácií s reálnymi číslami (či už s celými, alebo s racionálnymi – tie sú pre všetky tieto typy čísel rovnaké). Aby sme to dokázali, musíme len preukázať, že rozdiel medzi ľavou a pravou stranou rovnice (− a) + (− b) = − (a + b) bude rovný 0 .
Odčítanie jedného čísla od druhého je rovnaké ako pričítanie rovnakého opačného čísla k nemu. Preto (− a) + (− b) − (− (a + b)) = (− a) + (− b) + (a + b) . Pripomeňme, že číselné výrazy so sčítaním majú dve hlavné vlastnosti – asociatívnu a komutatívnu. Potom môžeme konštatovať, že (− a) + (− b) + (a + b) = (− a + a) + (− b + b) . Keďže sčítaním opačných čísel vždy dostaneme 0, potom (− a + a) + (− b + b) \u003d 0 + 0 a 0 + 0 \u003d 0. Naša rovnosť sa dá považovať za preukázanú, čo znamená, že pravidlo pre sčítanie záporných čísel sme tiež dokázali.
Problémy so sčítaním záporných čísel
V druhom odseku si vezmeme konkrétne problémy, kde je potrebné sčítať záporné čísla, a pokúsime sa v nich aplikovať naučené pravidlo.
Nájdite súčet dvoch záporných čísel - 304 a - 18007.
rozhodnutie
Urobme kroky krok za krokom. Najprv musíme nájsť moduly čísel, ktoré sa majú pridať: - 304 \u003d 304, - 180007 \u003d 180007. Ďalej musíme vykonať akciu sčítania, na ktorú používame metódu počítania stĺpcov:
Ostáva nám už len dať pred výsledok mínus a dostať -18 311 .
odpoveď: — — 18 311 .
Záleží na tom, aké čísla máme, na čo môžeme pôsobenie sčítania zredukovať: na hľadanie súčtu prirodzených čísel, na sčítanie obyčajných alebo desatinných zlomkov. Poďme analyzovať problém s takýmito číslami.
Nájdite súčet dvoch záporných čísel - 2 5 a - 4 , (12) .
Nájdeme moduly požadovaných čísel a dostaneme 2 5 a 4 , (12) . Máme dva rôzne zlomky. Zredukujme problém na sčítanie dvoch obyčajných zlomkov, pre ktoré reprezentujeme periodický zlomok vo forme obyčajného:
4 , (12) = 4 + (0 , 12 + 0 , 0012 + . . .) = 4 + 0 , 12 1 — 0 , 01 = 4 + 0 , 12 0 , 99 = 4 + 12 99 = 4 + 4 33 = 136 33
Výsledkom je zlomok, ktorý sa bude dať ľahko pridať k prvému pôvodnému termínu (ak ste zabudli, ako správne pridať zlomky s rôznymi menovateľmi, zopakujte zodpovedajúci materiál).
2 5 + 136 33 = 2 33 5 33 + 136 5 33 5 = 66 165 + 680 165 = 764 165 = 4 86 105
V dôsledku toho sme dostali zmiešané číslo, pred ktorým stačí dať mínus. Tým sú výpočty dokončené.
odpoveď: — 4 86 105 .
Skutočné záporné čísla sa sčítajú rovnakým spôsobom. Výsledok takejto akcie sa zvyčajne zapisuje ako číselný výraz. Jeho hodnotu nemožno vypočítať alebo obmedziť na približné výpočty. Ak teda napríklad potrebujeme nájsť súčet - 3 + (- 5), odpoveď napíšeme ako - 3 - 5. Sčítaniu reálnych čísel sme venovali samostatný materiál, v ktorom nájdete ďalšie príklady.
