Náhodné premenné sú spojené s náhodnými udalosťami. O náhodných udalostiach sa hovorí vtedy, keď nie je možné jednoznačne predpovedať výsledok, ktorý možno za určitých podmienok dosiahnuť.

Predpokladajme, že si hodíme obyčajnú mincu. Výsledok tohto postupu zvyčajne nie je jednoznačne istý. S istotou sa dá povedať len to, že sa stane jedna z dvoch vecí: vypadnú hlavy alebo chvosty. Každá z týchto udalostí bude náhodná. Môžete zadať premennú, ktorá bude popisovať výsledok tejto náhodnej udalosti. Je zrejmé, že táto premenná bude nadobúdať dve diskrétne hodnoty: hlavy a chvosty. Keďže nemôžeme vopred presne predpovedať, ktorú z dvoch možných hodnôt táto premenná nadobudne, možno tvrdiť, že v tomto prípade ide o náhodné premenné.

Predpokladajme teraz, že v experimente hodnotíme reakčný čas subjektu pri prezentácii nejakého podnetu. Spravidla sa ukazuje, že aj keď experimentátor urobí všetky opatrenia na štandardizáciu experimentálnych podmienok, minimalizuje alebo dokonca eliminuje možné odchýlky v prezentácii podnetu, namerané hodnoty reakčného času subjektu sa budú stále líšiť. V tomto prípade hovoria, že reakčný čas subjektu je opísaný náhodnou premennou. Pretože v zásade môžeme v experimente získať akúkoľvek hodnotu reakčného času - množina možných hodnôt reakčného času, ktorú možno získať ako výsledok meraní, sa ukazuje ako nekonečná - hovoria o kontinuita túto náhodnú premennú.

Vynára sa otázka: existujú nejaké zákonitosti v správaní náhodných premenných? Odpoveď na túto otázku sa ukazuje ako kladná.

Ak teda vykonáte nekonečný počet hodov tou istou mincou, zistíte, že počet kvapiek na každej z dvoch strán mince bude približne rovnaký, pokiaľ, samozrejme, minca nie je falošná a nie je ohnutá. . Na zdôraznenie tohto vzoru je zavedený koncept pravdepodobnosti náhodnej udalosti. Je jasné, že v prípade hodu mincou nastane jedna z dvoch možných udalostí. Je to spôsobené tým, že celková pravdepodobnosť týchto dvoch udalostí, inak nazývaná celková pravdepodobnosť, je 100 %. Ak predpokladáme, že obe udalosti spojené s testovaním mince sa vyskytujú s rovnakou pravdepodobnosťou, potom sa pravdepodobnosť každého výsledku samostatne, samozrejme, ukáže ako 50%. Teoretické úvahy nám teda umožňujú popísať správanie danej náhodnej premennej. Takýto popis v matematickej štatistike sa označuje termínom "distribúcia náhodnej premennej".

Zložitejšia situácia je pri náhodnej premennej, ktorá nemá presne definovaný súbor hodnôt, t.j. sa ukazuje ako kontinuálne. Ale aj v tomto prípade možno zaznamenať niektoré dôležité zákonitosti jeho správania. Takže pri vykonávaní experimentu s meraním reakčného času subjektu je možné poznamenať, že rôzne intervaly trvania reakcie subjektu sa odhadujú s rôznymi stupňami pravdepodobnosti. Je pravdepodobné, že subjekt bude reagovať príliš rýchlo. Napríklad v úlohách sémantického rozhodovania subjekty prakticky nedokážu viac či menej presne reagovať pri rýchlosti menšej ako 500 ms (1/2 s). Podobne je nepravdepodobné, že subjekt, ktorý verne dodržiava pokyny experimentátora, výrazne oneskorí jeho reakciu. V problémoch sémantického rozhodovania sa napríklad odpovede odhadované na viac ako 5 s zvyčajne považujú za nespoľahlivé. Napriek tomu so 100% istotou možno predpokladať, že reakčný čas subjektu sa bude pohybovať v rozmedzí od 0 do + ko. Ale táto pravdepodobnosť je súčtom pravdepodobností každej jednotlivej hodnoty náhodnej premennej. Preto rozdelenie spojitej náhodnej premennej možno opísať ako spojitú funkciu y = f (X ).

Ak máme čo do činenia s diskrétnou náhodnou premennou, keď sú vopred známe všetky jej možné hodnoty, ako v príklade s mincou, zvyčajne nie je veľmi ťažké zostaviť model jej distribúcie. Stačí uviesť len niektoré rozumné predpoklady, ako sme to urobili v uvažovanom príklade. Situácia je komplikovanejšia s rozložením spojitých veličín, ktoré nadobudnú vopred neznámy počet hodnôt. Samozrejme, ak by sme napríklad vyvinuli teoretický model, ktorý popisuje správanie subjektu v experimente s meraním reakčného času pri riešení úlohy sémantického riešenia, mohli by sme sa pokúsiť popísať teoretické rozloženie konkrétnych hodnôt reakcie. času toho istého predmetu pri predložení jedného a toho istého podnetu. Nie vždy je to však možné. Preto môže byť experimentátor nútený predpokladať, že rozdelenie náhodnej premennej, ktorá ho zaujíma, je opísané nejakým zákonom, ktorý už bol vopred preštudovaný. Najčastejšie, aj keď to nemusí byť vždy úplne správne, sa na tieto účely používa takzvané normálne rozdelenie, ktoré funguje ako štandard pre rozdelenie akejkoľvek náhodnej veličiny bez ohľadu na jej charakter. Toto rozdelenie bolo prvýkrát popísané matematicky v prvej polovici 18. storočia. de Moivre.

Normálne rozdelenie nastáva vtedy, keď fenomén, ktorý nás zaujíma, podlieha vplyvu nekonečného množstva náhodných faktorov, ktoré sa navzájom vyrovnávajú. Formálne možno normálne rozdelenie, ako ukázal de Moivre, opísať nasledujúcim vzťahom:

kde X predstavuje pre nás zaujímavú náhodnú premennú, ktorej správanie skúmame; R je hodnota pravdepodobnosti spojená s touto náhodnou premennou; π a e - dobre známe matematické konštanty popisujúce pomer obvodu k priemeru a základne prirodzeného logaritmu; μ a σ2 sú parametre normálneho rozdelenia náhodnej premennej, respektíve matematického očakávania a rozptylu náhodnej premennej X.

Pre popis normálneho rozdelenia sa ukazuje ako nevyhnutné a postačujúce definovať len parametre μ a σ2.

Ak teda máme náhodnú premennú, ktorej správanie je opísané rovnicou (1.1) s ľubovoľnými hodnotami μ a σ2, môžeme ju označiť ako Ν (μ, σ2) bez zapamätania si všetkých podrobností tejto rovnice.

Ryža. 1.1.

Akékoľvek rozdelenie môže byť znázornené vizuálne vo forme grafu. Graficky má normálne rozdelenie podobu zvonovitej krivky, ktorej presný tvar určujú parametre rozloženia, t.j. matematické očakávanie a rozptyl. Parametre normálneho rozdelenia môžu nadobúdať takmer ľubovoľné hodnoty, ktoré sú obmedzené len meracou stupnicou používanou experimentátorom. Teoreticky môže byť hodnota matematického očakávania akékoľvek číslo z rozsahu čísel od -∞ do +∞ a rozptyl môže byť akékoľvek nezáporné číslo. Preto existuje nekonečné množstvo rôznych typov normálneho rozdelenia a teda aj nekonečný počet kriviek, ktoré ho reprezentujú (majú však podobný zvonovitý tvar). Je jasné, že nie je možné opísať všetky. Ak sú však známe parametre konkrétneho normálneho rozdelenia, možno ho previesť na tzv normálne rozdelenie jednotiek, matematické očakávanie sa rovná nule a rozptyl sa rovná jednej. Toto normálne rozdelenie je tiež tzv štandardná alebo z-distribúcia. Graf jednotkového normálneho rozdelenia je znázornený na obr. 1.1, z čoho je zrejmé, že vrchol zvonovitej krivky normálneho rozdelenia charakterizuje hodnotu matematického očakávania. Ďalší parameter normálneho rozdelenia - disperzia - charakterizuje stupeň "rozloženia" zvonovitej krivky vzhľadom na horizontálu (os x).

v porovnaní s inými typmi distribúcií. Hlavnou črtou tohto rozdelenia je, že všetky ostatné distribučné zákony majú tendenciu k tomuto zákonu s nekonečným opakovaním počtu pokusov. Ako sa získava toto rozdelenie?

Predstavte si, že keď vezmete ručný dynamometer, nachádzate sa na najľudnatejšom mieste vo vašom meste. A každému, kto pôjde okolo, ponúkate, aby si zmeral sily stláčaním dynamometra pravou alebo ľavou rukou. Starostlivo zaznamenávate údaje na dynamometri. Po určitom čase, s dostatočne veľkým počtom testov, umiestnite hodnoty dynamometra na vodorovnú os a počet ľudí, ktorí túto hodnotu „stlačili“ na zvislú os. Získané body sú spojené hladkou čiarou. Výsledkom je krivka znázornená na obrázku 9.8. Tvar tejto krivky sa s predlžujúcim sa časom experimentu príliš nezmení. Navyše, od istého bodu budú nové hodnoty krivku iba spresňovať bez zmeny jej tvaru.

Ryža. 9.8.

Teraz sa presuňme s naším silomerom do atletickej haly a experiment zopakujeme. Teraz sa maximum krivky posunie doprava, ľavý koniec bude trochu stiahnutý, zatiaľ čo jeho pravý koniec bude strmší (obr. 9.9).

Ryža. 9.9.

Upozorňujeme, že maximálna frekvencia pre druhú distribúciu (bod B) bude nižšia ako maximálna frekvencia pre prvú distribúciu (bod A). Dá sa to vysvetliť tým, že celkový počet ľudí navštevujúcich telocvičňu bude nižší ako počet ľudí, ktorí prešli v blízkosti experimentátora v prvom prípade (v centre mesta na dosť preplnenom mieste). Maximum sa posunulo doprava, keďže atletické haly navštevujú v porovnaní so všeobecným zázemím fyzicky silnejší ľudia.

A napokon zavítame do škôl, škôlok a domovov seniorov s rovnakým cieľom: odhaliť silu rúk návštevníkov týchto miest. A opäť, distribučná krivka bude mať podobný tvar, ale teraz, samozrejme, jej ľavý koniec bude strmší a pravý koniec bude viac stiahnutý. A ako v druhom prípade, maximum (bod C) bude nižšie ako bod A (obr. 9.10).

Ryža. 9.10.

Túto pozoruhodnú vlastnosť normálneho rozdelenia - zachovať tvar krivky hustoty pravdepodobnosti (obr. 8 - 10) si všimol a opísal v roku 1733 Moivre a potom ju skúmal Gauss.

Vo vedeckom výskume, v technike, v masových javoch alebo experimentoch, keď ide o opakovane sa opakujúce náhodné premenné za konštantných experimentálnych podmienok, hovoria, že výsledky testov majú náhodný rozptyl, v súlade so zákonom krivky normálneho rozdelenia.

(21)

Kde sa najčastejšie vyskytuje udalosť. Vo vzorci (21) je spravidla namiesto parametra . Navyše, čím dlhšia je experimentálna séria, tým menej sa bude parameter líšiť od matematického očakávania. Predpokladá sa, že plocha pod krivkou (obr. 9.11) sa rovná jednej. Oblasť zodpovedajúca ľubovoľnému intervalu osi x sa číselne rovná pravdepodobnosti náhodného výsledku spadajúceho do tohto intervalu.

Ryža. 9.11.

Funkcia normálneho rozdelenia má tvar

(22)

Všimnite si, že normálna krivka (obr. 9.11) je symetrická vzhľadom na priamku a asymptoticky sa približuje k osi OX v bode .

Vypočítajte matematické očakávanie pre normálny zákon

(23)

Vlastnosti normálneho rozdelenia

Uvažujme o hlavných vlastnostiach tohto najdôležitejšieho rozdelenia.

Nehnuteľnosť 1. Funkcia hustoty definícií normálneho rozdelenia (21) na celej osi x.

Nehnuteľnosť 2. Funkcia hustoty normálneho rozdelenia (21) je väčšia ako nula pre ktorúkoľvek z domén definície ().

Nehnuteľnosť 3. S nekonečným nárastom (poklesom) má distribučná funkcia (21) tendenciu k nule .

Nehnuteľnosť 4. Keď , distribučná funkcia daná (21) má najväčšiu hodnotu rovnajúcu sa

(24)

Nehnuteľnosť 5. Graf funkcie (obr. 9.11) je symetrický vzhľadom na priamku.

Nehnuteľnosť 6. Graf funkcie (obr. 9.11) má dva inflexné body symetrické podľa priamky:

(25)

Nehnuteľnosť 7. Všetky nepárne centrálne momenty sa rovnajú nule. Všimnite si, že pomocou vlastnosti 7 je asymetria funkcie určená vzorcom . Ak, potom dospejú k záveru, že študované rozdelenie je symetrické vzhľadom na priamku. Ak , potom hovoria, že riadok je posunutý doprava (miernejšie sklonená pravá vetva grafu alebo utiahnutá). Ak , potom sa uvažuje, že riadok je posunutý doľava (sploštenejšia ľavá vetva grafu na obr. 9.12).

Ryža. 9.12.

Nehnuteľnosť 8. Špicatosť rozloženia je 3. V praxi sa často počíta a miera „stlačenia“ alebo „rozmazania“ grafu je určená blízkosťou tejto hodnoty k nule (obr. 9.13). A keďže súvisí s , v konečnom dôsledku charakterizuje stupeň rozptylu frekvencie údajov. A keďže definuje

Najznámejším a často používaným zákonom v teórii pravdepodobnosti je zákon normálneho rozdelenia resp Gaussov zákon .

Hlavná prednosť Normálny zákon o rozdeľovaní spočíva v tom, že je obmedzujúcim zákonom pre iné zákony rozdeľovania.

Všimnite si, že pre normálne rozdelenie má integrálna funkcia tvar:

.

Teraz ukážmeže pravdepodobnostný význam parametrov a je takýto: a existuje matematické očakávanie, - štandardná odchýlka (to znamená ) normálneho rozdelenia:

a) podľa definície matematického očakávania spojitej náhodnej premennej máme

naozaj

,

keďže pod znamienkom integrálu je nepárna funkcia a hranice integrácie sú symetrické vzhľadom na pôvod;

- Poissonov integrál .

Takže matematické očakávanie normálneho rozdelenia sa rovná parametru a .

b) podľa definície disperzie spojitej náhodnej premennej a berúc do úvahy, že môžeme písať

.

Integrácia po častiach, nastavenie , Nájsť

Preto .

Takže štandardná odchýlka normálneho rozdelenia sa rovná parametru .

Ak a normálne rozdelenie sa nazýva normalizované (alebo štandardné normálne) rozdelenie. Potom, samozrejme, normalizovaná hustota (diferenciálna) a normalizovaná integrálna distribučná funkcia budú zapísané v tomto poradí v tvare:

(Táto funkcia, ako viete, sa nazýva Laplaceova funkcia (pozri PREDNÁŠKU 5) alebo pravdepodobnostný integrál. Obe funkcie, tj. , sú tabuľkové a ich hodnoty sú zaznamenané v príslušných tabuľkách).

Vlastnosti normálneho rozdelenia (vlastnosti normálnej krivky):

1. Samozrejme, funkcia na celej skutočnej čiare.

2. , to znamená, že normálna krivka je umiestnená nad osou Oh .

3. , teda os Oh slúži ako horizontálna asymptota grafu.

4. Normálna krivka je symetrická podľa priamky x = a (podľa toho je graf funkcie symetrický okolo osi OU ).

Preto môžeme písať: .

5. .

6. Je ľahké ukázať, že body a sú inflexné body normálnej krivky (dokážte sa).

7.To je zrejmé

ale odkedy , potom . Okrem toho , preto sú všetky nepárne momenty rovné nule.

Pre párne chvíle môžeme napísať:

8. .

9. .

10. , kde .

11. Pre záporné hodnoty náhodnej premennej: , kde .

13. Pravdepodobnosť zasiahnutia náhodnej premennej na grafe symetrickom okolo stredu distribúcie sa rovná:

PRÍKLAD 3. Ukážte, že normálne rozložená náhodná premenná X odchyľuje od očakávania M(X) nie viac ako .

rozhodnutie. Pre normálne rozdelenie: .

Inými slovami, pravdepodobnosť, že absolútna hodnota odchýlky prekročí trojnásobok štandardnej odchýlky je veľmi malý, konkrétne 0,0027. To znamená, že len v 0,27 % prípadov sa to môže stať. Takéto udalosti, založené na princípe nemožnosti nepravdepodobných udalostí, možno považovať za prakticky nemožné.

Udalosť s pravdepodobnosťou 0,9973 teda možno považovať za prakticky istú, to znamená, že náhodná premenná sa od matematického očakávania neodchyľuje o viac ako .

PRÍKLAD 4. Poznať charakteristiky normálneho rozdelenia náhodnej premennej X - pevnosť v ťahu ocele: kg / mm 2 a kg / mm 2, nájdite pravdepodobnosť získania ocele s pevnosťou v ťahu 31 kg / mm 2 až 35 kg / mm 2.

rozhodnutie.

3. Exponenciálne rozdelenie (zákon o exponenciálnom rozdelení)

Exponenciálna (exponenciálna) je rozdelenie pravdepodobnosti spojitej náhodnej premennej X , ktorá je opísaná diferenciálnou funkciou (hustota rozloženia)

kde je konštantná kladná hodnota.

Je definované exponenciálne rozdelenie jeden parameter . Táto vlastnosť exponenciálneho rozdelenia naznačuje jeho výhodu oproti rozdeleniam, ktoré závisia od väčšieho počtu parametrov. Zvyčajne sú parametre neznáme a je potrebné nájsť ich odhady (približné hodnoty); samozrejme je jednoduchsie vyhodnocovat jeden parameter ako dva, ci tri atd.

Je ľahké napísať integrálnu funkciu exponenciálneho rozdelenia:

Exponenciálne rozdelenie sme definovali pomocou diferenciálnej funkcie; je jasné, že sa dá určiť pomocou integrálnej funkcie.

Komentujte: Uvažujme spojitú náhodnú premennú T - trvanie prevádzkyschopnosti produktu. Označme jeho akceptované hodnoty pomocou t , . Kumulatívna distribučná funkcia definuje pravdepodobnosť zlyhania produktov za určité obdobie t . Preto je pravdepodobnosť bezporuchovej prevádzky po rovnakú dobu trvania t , to znamená, že pravdepodobnosť opačnej udalosti sa rovná

Definícia. Normálne sa nazýva rozdelenie pravdepodobnosti spojitej náhodnej premennej, ktorá je opísaná hustotou pravdepodobnosti

Normálne rozdelenie je tiež tzv Gaussov zákon.

Zákon normálneho rozdelenia je ústredným bodom teórie pravdepodobnosti. Je to spôsobené tým, že tento zákon sa prejavuje vo všetkých prípadoch, keď je náhodná veličina výsledkom pôsobenia veľkého množstva rôznych faktorov. Všetky ostatné distribučné zákony sa približujú k normálnemu zákonu.

Dá sa ľahko ukázať, že parametre a zahrnuté do hustoty distribúcie sú matematické očakávania a smerodajná odchýlka náhodnej premennej X.

Nájdite distribučnú funkciu F(x).

Graf hustoty normálneho rozdelenia je tzv normálna krivka alebo Gaussova krivka.

Normálna krivka má nasledujúce vlastnosti:

1) Funkcia je definovaná na celej číselnej osi.

2) Pre všetkých X distribučná funkcia nadobúda iba kladné hodnoty.

3) Os OX je horizontálna asymptota grafu hustoty pravdepodobnosti, pretože s neobmedzeným nárastom absolútnej hodnoty argumentu X, hodnota funkcie má tendenciu k nule.

4) Nájdite extrém funkcie.

Pretože pri y' > 0 pri X< m a y'< 0 pri x > m, potom v bode x = t funkcia má maximum rovné .

5) Funkcia je symetrická vzhľadom na priamku x = a, pretože rozdiel

(x - a) vstupuje do funkcie štvorcovej hustoty rozdelenia.

6) Aby sme našli inflexné body grafu, nájdeme druhú deriváciu funkcie hustoty.

o x = m+ s a x = m- s druhá derivácia sa rovná nule a pri prechode týmito bodmi mení znamienko, t.j. v týchto bodoch má funkcia inflexiu.

V týchto bodoch je hodnota funkcie .

Zostavme graf funkcie hustoty rozdelenia.

Grafy boli vytvorené pre t=0 a tri možné hodnoty smerodajnej odchýlky s = 1, s = 2 a s = 7. Ako vidíte, ako sa hodnota smerodajnej odchýlky zvyšuje, graf sa stáva plochejším a maximálna hodnota klesá.

Ak a> 0, potom sa graf posunie v kladnom smere, ak a < 0 – в отрицательном.

o a= 0 a s = 1 krivka sa nazýva normalizované. Rovnica normalizovanej krivky:

Pre stručnosť hovoríme, že CV X sa riadi zákonom N(m, s), t.j. X~ N(m, s). Parametre m a s sa zhodujú s hlavnými charakteristikami rozdelenia: m = m X , s = s X = . Ak SV X ~ N(0, 1), potom sa volá štandardizovanú normálnu hodnotu. DF sa nazýva štandardizovaná normálna hodnota Laplaceova funkcia a označuje sa ako Ф(x). Môže sa použiť na výpočet intervalových pravdepodobností pre normálne rozdelenie N(m, s):

P(x 1 £ X< x 2) = Ф - Ф .

Pri riešení problémov s normálnou distribúciou je často potrebné použiť tabuľkové hodnoty Laplaceovej funkcie. Keďže Laplaceova funkcia spĺňa vzťah F(-x) = 1 - F(x), potom stačí mať tabuľkové hodnoty funkcie F(x) len pre hodnoty kladných argumentov.

Pre pravdepodobnosť dosiahnutia intervalu, ktorý je symetrický vzhľadom na matematické očakávanie, platí nasledujúci vzorec: P(|X - m X |< e) = 2×F(e/s) - 1.

Centrálne momenty normálneho rozdelenia spĺňajú rekurzívny vzťah: m n +2 = (n+1)s 2 m n , n = 1, 2, ... . To znamená, že všetky centrálne momenty nepárneho rádu sú rovné nule (pretože m 1 = 0).

Nájdite pravdepodobnosť, že náhodná premenná rozdelená podľa normálneho zákona spadá do daného intervalu.

Označiť

Pretože integrál nie je vyjadrený elementárnymi funkciami, potom sa do úvahy zavedie funkcia

,

ktorá sa volá Laplaceova funkcia alebo pravdepodobnostný integrál.

Hodnoty tejto funkcie pre rôzne hodnoty X vypočítané a uvedené v špeciálnych tabuľkách.

Nižšie je uvedený graf Laplaceovej funkcie.

Laplaceova funkcia má nasledujúce vlastnosti:

2) F(- X) = - F( X);

Nazýva sa aj Laplaceova funkcia chybová funkcia a označujú erf X.

Stále sa používa normalizované Laplaceova funkcia, ktorá súvisí s Laplaceovou funkciou vzťahom:

Nižšie je znázornený graf normalizovanej Laplaceovej funkcie.

Pri zvažovaní normálneho rozdelenia sa rozlišuje dôležitý špeciálny prípad, tzv pravidlo troch sigma.

Zapíšme si pravdepodobnosť, že odchýlka normálne rozloženej náhodnej premennej od matematického očakávania je menšia ako daná hodnota D:

Ak prijmeme D = 3s, získame pomocou tabuliek hodnôt Laplaceovej funkcie:

Tie. pravdepodobnosť, že sa náhodná premenná odchýli od svojho matematického očakávania o viac ako trojnásobok štandardnej odchýlky, je prakticky nulová.

Toto pravidlo sa nazýva pravidlo troch sigma.

V praxi sa uvažuje, že ak je pre ľubovoľnú náhodnú premennú splnené pravidlo troch sigma, potom táto náhodná premenná má normálne rozdelenie.

Príklad. Vlak pozostáva zo 100 vagónov. Hmotnosť každého vozňa je náhodná veličina rozložená podľa normálneho zákona s matematickým očakávaním a= 65 t a smerodajná odchýlka s = 0,9 t. Rušeň môže prepravovať vlak s hmotnosťou najviac 6600 t, inak je potrebné pripojiť druhý rušeň. Nájdite pravdepodobnosť, že druhá lokomotíva nie je potrebná.

Druhý rušeň nie je potrebný, ak odchýlka hmotnosti vlaku od predpokladanej (100 × 65 = 6500) nepresiahne 6600 - 6500 = 100 ton.

Pretože hmotnosť každého vozňa má normálne rozloženie, potom bude normálne rozložená aj hmotnosť celého vlaku.

Dostaneme:

Príklad. Normálne rozdelená náhodná premenná X je daná jej parametrami - a \u003d 2 - matematické očakávanie a s = 1 – smerodajná odchýlka. Je potrebné napísať hustotu pravdepodobnosti a vykresliť ju, nájsť pravdepodobnosť, že X nadobudne hodnotu z intervalu (1; 3), nájsť pravdepodobnosť, že sa X (modulo) odchyľuje od matematického očakávania najviac o 2.

Distribučná hustota má tvar:

Zostavme si graf:

Nájdite pravdepodobnosť zásahu náhodnej premennej v intervale (1; 3).

Nájdite pravdepodobnosť, že náhodná premenná sa odchyľuje od matematického očakávania o hodnotu nie väčšiu ako 2.

Rovnaký výsledok možno získať pomocou normalizovanej Laplaceovej funkcie.

8. prednáška Zákon veľkých čísel(2. časť)

Plán prednášok

Centrálna limitná veta (všeobecná formulácia a konkrétna formulácia pre nezávislé identicky rozdelené náhodné premenné).

Čebyševova nerovnosť.

Zákon veľkých čísel vo forme Čebyševa.

Koncept frekvencie udalostí.

Štatistické chápanie pravdepodobnosti.

Zákon veľkých čísel v Bernoulliho forme.

Štúdium štatistických zákonitostí umožnilo zistiť, že za určitých podmienok celkové správanie veľkého počtu náhodných premenných takmer stráca svoj náhodný charakter a stáva sa pravidelným (inými slovami, náhodné odchýlky od nejakého priemerného správania sa navzájom rušia). Najmä ak je vplyv na súčet jednotlivých členov rovnomerne malý, zákon rozdelenia súčtu sa blíži k normálu. Matematická formulácia tohto tvrdenia je uvedená v skupine viet tzv zákon veľkých čísel.

ZÁKON VEĽKÝCH ČÍSEL- všeobecný princíp, na základe ktorého spoločné pôsobenie náhodných faktorov vedie za určitých veľmi všeobecných podmienok k výsledku, ktorý je takmer nezávislý od náhody. Prvým príkladom fungovania tohto princípu je konvergencia frekvencie výskytu náhodnej udalosti s jej pravdepodobnosťou s nárastom počtu pokusov (často používané v praxi napr. pri použití frekvencie výskytu akejkoľvek kvality). respondenta vo vzorke ako výberový odhad zodpovedajúcej pravdepodobnosti).

Esencia zákon veľkých čísel je, že pri veľkom počte nezávislých experimentov sa frekvencia výskytu nejakej udalosti blíži jej pravdepodobnosti.

Centrálna limitná veta (CLT) (vo formulácii Ljapunova A.M. pre identicky distribuované RV). Ak párovo nezávislé RV X 1 , X 2 , ..., X n , ... majú rovnaký distribučný zákon s konečnými numerickými charakteristikami M = m a D = s 2 , potom pre n ® ¥ platí distribučný zákon RV na neurčito sa približuje normálnemu zákonu N(n×m, ).

Dôsledok. Ak je v podmienke CB vety , potom ako n ® ¥ zákon rozdelenia SW Y sa neobmedzene blíži k normálnemu zákonu N(m, s/ ).

De Moivre-Laplaceova veta. Nech SV K je počet „úspechov“ v n pokusoch podľa Bernoulliho schémy. Potom pre n ® ¥ a pevnú hodnotu pravdepodobnosti „úspechu“ v jednom pokuse p sa distribučný zákon RV K neurčito približuje normálnemu zákonu N(n×p, ).

Dôsledok. Ak v podmienke vety namiesto SV K uvažujeme SV K/n - frekvenciu „úspechov“ v n pokusoch podľa Bernoulliho schémy, potom sa jeho distribučný zákon pre n ® ¥ a pevná hodnota p blížia normálny zákon N(p, ) na neurčito.

Komentujte. Nech SV K je počet „úspechov“ v n pokusoch podľa Bernoulliho schémy. Zákon distribúcie takéhoto SW je binomický zákon. Potom, ako n ® ¥, má binomický zákon dve limitné rozdelenia:

n distribúcia jed(pre n®¥ a l = nxp = konšt.);

n distribúcia Gaussovský N(n x p, ) (pre n ® ¥ a p = konšt.).

Príklad. Pravdepodobnosť „úspechu“ v jednom pokuse je iba p = 0,8. Koľko pokusov treba urobiť, aby sme s pravdepodobnosťou aspoň 0,9 mohli očakávať, že pozorovaná frekvencia „úspešnosti“ pri pokusoch podľa Bernoulliho schémy sa neodchyľuje od pravdepodobnosti p najviac o e = 0,01?

rozhodnutie. Pre porovnanie, problém riešime dvoma spôsobmi.

V teórii pravdepodobnosti sa zvažuje pomerne veľké množstvo rôznych distribučných zákonov. Pre riešenie problémov súvisiacich s konštrukciou regulačných diagramov sú zaujímavé len niektoré z nich. Najdôležitejšie z nich je zákon normálneho rozdelenia, ktorý sa používa na zostavenie regulačných diagramov používaných v kvantitatívna kontrola, t.j. keď máme do činenia so spojitou náhodnou premennou. Zákon o normálnom rozdeľovaní zaujíma medzi ostatnými zákonmi o rozdeľovaní osobitné postavenie. Vysvetľuje sa to tým, že po prvé sa s ním v praxi stretávame najčastejšie a po druhé je to obmedzujúci zákon, ku ktorému pristupujú ostatné distribučné zákony za veľmi často sa vyskytujúcich typických podmienok. Pokiaľ ide o druhú okolnosť, v teórii pravdepodobnosti sa dokázalo, že súčet dostatočne veľkého počtu nezávislých (alebo slabo závislých) náhodných premenných podliehajúcich akýmkoľvek distribučným zákonom (s určitými veľmi nerigidnými obmedzeniami) sa približne riadi normálnym zákonom. a to je splnené tým presnejšie, čím je väčší počet sčítaných náhodných premenných. Väčšina náhodných premenných, s ktorými sa v praxi stretávame, ako napríklad chyby merania, môže byť reprezentovaná ako súčet veľmi veľkého počtu relatívne malých členov - elementárnych chýb, z ktorých každá je spôsobená pôsobením samostatnej nezávislej príčiny. z ostatných. Normálny zákon nastáva, keď náhodná premenná X je výsledkom veľkého množstva rôznych faktorov. Každý faktor samostatne podľa hodnoty X mierne ovplyvňuje a nie je možné špecifikovať, ktorý z nich ovplyvňuje vo väčšej miere ako ostatné.

Normálne rozdelenie(Laplaceovo-Gaussovo rozdelenie) je rozdelenie pravdepodobnosti spojitej náhodnej premennej X tak, že hustota rozdelenia pravdepodobnosti pri - ¥<х< + ¥ принимает действительное значение:

exp (3)

To znamená, že normálne rozdelenie je charakterizované dvoma parametrami ma s, kde m je matematické očakávanie; s je štandardná odchýlka normálneho rozdelenia.

s hodnotou 2 je rozptyl normálneho rozdelenia.

Matematické očakávanie m charakterizuje polohu distribučného centra a smerodajná odchýlka s (RMS) je disperzná charakteristika (obr. 3).

f(x) f(x)

Obrázok 3 - Funkcie hustoty normálneho rozdelenia s:

a) rozdielne matematické očakávania m; b) rôzne RMS s.

Teda hodnota μ je určená polohou distribučnej krivky na osi x. Rozmer μ - rovnaký ako rozmer náhodnej premennej X. Keď sa matematické očakávanie zvyšuje, obe funkcie sa pohybujú paralelne doprava. S klesajúcim rozptylom s 2 hustota sa stále viac koncentruje okolo m, zatiaľ čo distribučná funkcia je čoraz strmšia.

Hodnota σ určuje tvar distribučnej krivky. Pretože plocha pod distribučnou krivkou musí vždy zostať rovná jednotke, s rastúcim σ sa distribučná krivka stáva plochejšou. Na obr. 3.1 ukazuje tri krivky pre rôzne σ: σ1 = 0,5; a2 = 1,0; a3 = 2,0.

Obrázok 3.1 - Funkcie hustoty normálneho rozdelenia s rôzne RMS s .

Distribučná funkcia (integrálna funkcia) má tvar (obr. 4):

(4)

Obrázok 4 - Integrálne (a) a diferenciálne (b) funkcie normálneho rozdelenia

Zvlášť dôležitá je lineárna transformácia normálne rozloženej náhodnej premennej X, po ktorej sa získa náhodná premenná Z s matematickým očakávaním 0 a rozptylom 1. Takáto transformácia sa nazýva normalizácia:

Dá sa to urobiť pre každú náhodnú premennú. Normalizácia umožňuje zredukovať všetky možné varianty normálneho rozdelenia na jeden prípad: m = 0, s = 1.

Normálne rozdelenie s m = 0, s = 1 sa nazýva normalizované normálne rozdelenie (štandardizované).

štandardné normálne rozdelenie(štandardné Laplaceovo-Gaussovo rozdelenie alebo normalizované normálne rozdelenie) je rozdelenie pravdepodobnosti štandardizovanej normálnej náhodnej premennej Z, ktorého hustota distribúcie sa rovná:

v - ¥<z< + ¥

Funkčné hodnoty Ф(z) sa určuje podľa vzorca:

(7)

Funkčné hodnoty Ф(z) a hustota f(z) normalizované normálne rozdelenie sú vypočítané a zhrnuté v tabuľkách (tabuľkových). Tabuľka je zostavená len pre kladné hodnoty z Preto:

F (–z) = 1–Ф (z) (8)

Pomocou týchto tabuliek je možné určiť nielen hodnoty funkcie a hustoty normalizovaného normálneho rozdelenia pre danú vec z, ale aj hodnoty funkcie všeobecného normálneho rozdelenia, keďže:

; (9)

. 10)

V mnohých problémoch týkajúcich sa normálne rozdelených náhodných premenných je potrebné určiť pravdepodobnosť zásahu náhodnej premennej X, podliehajúce normálnemu zákonu s parametrami m a s, do určitej oblasti. Takýmto miestom môže byť napríklad tolerančné pole pre parameter z hornej hodnoty U naspodok L.

Pravdepodobnosť pádu do intervalu od X 1 až X 2 možno určiť podľa vzorca:

Teda pravdepodobnosť zasiahnutia náhodnej premennej (hodnota parametra) X v tolerančnom poli sa určuje podľa vzorca

Dá sa nájsť pravdepodobnosť, že náhodná premenná X bude v rámci μ k s . Získané hodnoty pre k=1,2 a 3 sú nasledovné (pozri tiež obr. 5):

Ak sa teda nejaká hodnota objaví mimo oblasti troch sigma, ktorá obsahuje 99,73 % všetkých možných hodnôt, a pravdepodobnosť výskytu takejto udalosti je veľmi malá (1:270), treba zvážiť, že daná hodnota sa ukázala ako byť príliš malý alebo príliš veľký nie v dôsledku náhodných variácií, ale v dôsledku významného zásahu do samotného procesu, ktorý môže spôsobiť zmeny v povahe distribúcie.

Oblasť ležiaca vo vnútri hraníc troch sigma sa tiež nazýva štatistická tolerančná oblasť príslušný stroj alebo proces.