1. Pracovné okno MathCADu

· Panel Matematika(obr. 1.4).

Ryža. 1.4. Matematický panel

Kliknutím na tlačidlo na paneli s nástrojmi matematiky sa otvorí ďalší panel s nástrojmi:

2. Prvky jazyka MathCAD

Medzi základné prvky matematických výrazov MathCAD patria operátory, konštanty, premenné, polia a funkcie.

2.1 Operátori

Operátori -- prvky MathCADu, pomocou ktorých môžete vytvárať matematické výrazy. Patria sem napríklad symboly pre aritmetické operácie, znamienka na výpočet súčtov, súčin, derivácie, integrály atď.

Operátor definuje:

a) akcia, ktorá sa má vykonať za prítomnosti určitých hodnôt operandov;

b) koľko, kde a aké operandy treba zadať do operátora.

Operand -- číslo alebo výraz, s ktorým operátor koná. Napríklad vo výraze 5!+3 sú čísla 5! a 3 sú operandy operátora "+" (plus) a číslo 5 je operand faktoriálu (!).

Akýkoľvek operátor v MathCAD môže byť zadaný dvoma spôsobmi:

stlačením klávesu (kombinácie klávesov) na klávesnici;

pomocou matematického panelu.

Nasledujúce príkazy sa používajú na priradenie alebo zobrazenie obsahu pamäťového miesta spojeného s premennou:

Znak priradenia (zadáva sa stlačením klávesu : na klávesnici (dvojbodka v anglickom rozložení klávesnice) alebo stlačením príslušného tlačidla na paneli Kalkulačka );

Toto zadanie sa nazýva miestne. Pred týmto priradením nie je premenná definovaná a nemožno ju použiť.

Operátor globálneho priradenia. Toto priradenie je možné vykonať kdekoľvek v dokumente. Napríklad, ak je premennej priradená hodnota týmto spôsobom na samom konci dokumentu, potom bude mať rovnakú hodnotu aj na začiatku dokumentu.

Operátor približnej rovnosti (x1). Používa sa pri riešení sústav rovníc. Zadáva sa stlačením klávesu ; na klávesnici (bodkočiarka v anglickom rozložení klávesnice) alebo stlačením príslušného tlačidla Booleovský panel.

Operátor (jednoduché sa rovná) vyhradený na výstup hodnoty konštanty alebo premennej.

Najjednoduchšie výpočty

Proces výpočtu sa vykonáva pomocou:

Panely kalkulačiek, Panely výpočtu a Panely odhadov.

Pozornosť. Ak je potrebné rozdeliť celý výraz v čitateli, tak ho treba najskôr vybrať stlačením medzerníka na klávesnici alebo umiestnením do zátvoriek.

2.2 Konštanty

Konštanty -- pomenované objekty, ktoré majú nejakú hodnotu, ktorú nemožno zmeniť.

Napríklad = 3,14.

Rozmerové konštanty sú bežné merné jednotky. Napríklad metre, sekundy atď.

Ak chcete zapísať rozmerovú konštantu, musíte za číslom zadať znak * (násobiť), vyberte položku ponuky Vložiť pododsek Jednotka. V meraniach Vám najznámejšie kategórie: Dĺžka - dĺžka (m, km, cm); Hmotnosť -- hmotnosť (g, kg, t); Čas -- čas (min, sekunda, hodina).

2.3 Premenné

Premenné sú pomenované objekty, ktoré majú určitú hodnotu, ktorá sa môže meniť počas behu programu. Premenné môžu byť číselné, reťazcové, znakové atď. Premenným sa priraďujú hodnoty pomocou priraďovacieho znaku (:=).

Pozornosť. MathCAD zaobchádza s veľkými a malými písmenami ako s rôznymi identifikátormi.

Systémové premenné

AT MathCAD obsahuje malú skupinu špeciálnych objektov, ktoré nemožno priradiť ani triede konštánt, ani triede premenných, ktorých hodnoty sú určené ihneď po spustení programu. Je lepšie ich spočítať systémové premenné. Toto je napríklad TOL - chyba numerických výpočtov, ORIGIN - dolná hranica hodnoty indexového indexu vektorov, matíc atď. V prípade potreby môžete pre tieto premenné nastaviť iné hodnoty.

Hodnotené premenné

Tieto premenné majú sériu pevných hodnôt, buď celé číslo alebo meniace sa v určitom kroku od počiatočnej hodnoty po konečnú.

Výraz sa používa na vytvorenie premennej s rozsahom:

Meno=N začať ,(N začať +Krok).N koniec ,

kde Name je názov premennej;

N begin -- počiatočná hodnota;

Krok -- určený krok pre zmenu premennej;

N koniec -- koncová hodnota.

Hodnotené premenné sa široko používajú pri vykresľovaní. Napríklad na vykreslenie grafu nejakej funkcie f(X) najprv musíte vytvoriť sériu premenných hodnôt X-- aby to fungovalo, musí to byť premenná s rozsahom.

Pozornosť. Ak nešpecifikujete krok v premennom rozsahu, program ho automaticky vezme na hodnotu 1.

Príklad . Variabilné X sa mení v rozsahu od -16 do +16 v krokoch po 0,1

Ak chcete napísať premennú s rozsahom, napíšte:

- názov premennej ( X);

- priraďovací znak (:=)

- prvá hodnota rozsahu (-16);

- čiarka;

- druhá hodnota rozsahu, ktorá je súčtom prvej hodnoty a kroku (-16 + 0,1);

- elipsa ( . ) -- zmena premennej v rámci daných limitov (pri anglickom rozložení klávesnice sa bodkočiarka zadáva stlačením bodkočiarky);

— posledná hodnota rozsahu (16).

V dôsledku toho získate: X := -16,-16+0.1.16.

Výstupné tabuľky

Akýkoľvek výraz s hodnotenými premennými za znamienkom rovnosti spúšťa výstupnú tabuľku.

Do výstupných tabuliek môžete vložiť číselné hodnoty a opraviť ich.

Premenná s indexom

Premenná s indexom-- je premenná, ktorej je priradená množina nesúvisiacich čísel, z ktorých každé má svoje vlastné číslo (index).

Index sa zadáva stlačením ľavej hranatej zátvorky na klávesnici alebo pomocou tlačidla X n na paneli Kalkulačka.

Ako index môžete použiť konštantu alebo výraz. Ak chcete inicializovať premennú pomocou indexu, musíte zadať prvky poľa a oddeliť ich čiarkami.

Príklad. Zadávanie indexových premenných.

Číselné hodnoty sa zadávajú do tabuľky oddelené čiarkami;

Výstup hodnoty prvého prvku vektora S;

Výstup hodnoty nulového prvku vektora S.

2.4 Polia

pole -- jedinečne pomenovaná kolekcia konečného počtu číselných alebo znakových prvkov, ktoré sú nejakým spôsobom usporiadané a majú špecifické adresy.

V balení MathCAD používajú sa polia dvoch najbežnejších typov:

jednorozmerné (vektory);

dvojrozmerné (matice).

Maticu alebo vektorovú šablónu môžete vytlačiť jedným z nasledujúcich spôsobov:

vyberte položku ponuky Vložiť - Matrix;

stlačte kombináciu klávesov ctrl + M;

stlačte tlačidlo na Panel a vektory a matice.

V dôsledku toho sa zobrazí dialógové okno, v ktorom je nastavený požadovaný počet riadkov a stĺpcov:

Riadky-- počet riadkov

stĺpci-- počet stĺpcov Ak je potrebné maticu (vektor) pomenovať, potom sa najprv zadá názov matice (vektora), potom operátor priradenia a potom šablóna matice.

napríklad:

Matrix -- dvojrozmerné pole s názvom M n , m , pozostávajúce z n riadkov a m stĺpcov.

S maticami môžete vykonávať rôzne matematické operácie.

2.5 Funkcie

Funkcia -- výraz, podľa ktorého sa vykonávajú niektoré výpočty s argumentmi a určuje sa jeho číselná hodnota. Príklady funkcií: hriech(X), opálenie(X) atď.

Funkcie v balíku MathCAD môžu byť vstavané alebo definované používateľom. Spôsoby vloženia inline funkcie:

Vyberte položku ponuky Vložiť — Funkcia.

Stlačte kombináciu klávesov ctrl + E.

Kliknite na tlačidlo na paneli s nástrojmi.

Napíšte názov funkcie na klávesnici.

Používateľské funkcie sa zvyčajne používajú, keď sa rovnaký výraz vyhodnocuje viackrát. Ak chcete nastaviť používateľskú funkciu:

Zadajte názov funkcie s povinným označením argumentu v zátvorkách, napríklad f (x);

Zadajte operátor priradenia (:=);

Zadajte vypočítaný výraz.

Príklad. f (z):= hriech(2 z 2)

3. Formátovanie čísla

V MathCAD môžete zmeniť výstupný formát čísel. Výpočty sa zvyčajne robia s presnosťou 20 číslic, ale nezobrazujú sa všetky významné čísla. Ak chcete zmeniť formát čísla, dvakrát kliknite na požadovaný číselný výsledok. Zobrazí sa okno na formátovanie čísla, ktoré sa otvorí na karte číslo Formátovať (Formát čísel) s nasledujúcimi formátmi:

o generál (Main) -- je predvolená hodnota. Čísla sa zobrazujú v poradí (napríklad 1,2210 5). Počet znakov mantisy sa určuje v teréne Exponenciálny Prah(prah exponenciálnej notácie). Po prekročení prahovej hodnoty sa číslo zobrazí v poradí. Počet číslic za desatinnou čiarkou sa v poli zmení číslo z desiatkový Miesta.

o Desatinné (Decimal) -- Desatinné vyjadrenie čísel s pohyblivou rádovou čiarkou (napríklad 12,2316).

o Vedecké (Vedecké) -- Čísla sa zobrazujú iba v poradí.

o Strojárstvo (Engineering) -- čísla sa zobrazujú iba v násobkoch troch (napríklad 1,2210 6).

Pozornosť. Ak po nastavení požadovaného formátu v okne formátovania čísla vyberte tlačidlo OK, formát bude nastavený len pre zvolené číslo. A ak vyberiete tlačidlo Nastaviť ako predvolené, formát sa použije na všetky čísla v tomto dokumente.

Čísla sa automaticky zaokrúhlia nadol na nulu, ak sú nižšie ako nastavený prah. Hranica je nastavená pre celý dokument, nie pre konkrétny výsledok. Ak chcete zmeniť prah zaokrúhľovania na nulu, vyberte položku ponuky Formátovanie – výsledok a v tab tolerancie , v teréne nula prah zadajte požadovanú prahovú hodnotu.

4. Práca s textom

Textové úryvky sú časti textu, ktoré by používateľ chcel vidieť vo svojom dokumente. Môžu to byť vysvetlenia, odkazy, komentáre atď. Vkladajú sa pomocou položky ponuky Vložiť — Oblasť textu.

Text môžete formátovať: zmeniť písmo, jeho veľkosť, štýl, zarovnanie atď. Ak to chcete urobiť, musíte ho vybrať a vybrať príslušné možnosti na paneli písma alebo v ponuke Formátovanie — Text.

5. Práca s grafikou

Pri riešení mnohých problémov, kde sa študuje funkcia, je často potrebné vykresliť jej graf, ktorý bude jasne odrážať správanie funkcie na určitom intervale.

V systéme MathCAD je možné vytvárať rôzne typy grafov: v kartézskych a polárnych súradnicových systémoch, trojrozmerné grafy, povrchy rotačných telies, mnohosteny, priestorové krivky, grafy vektorových polí. Pozrieme sa na to, ako niektoré z nich postaviť.

5.1 Vykresľovanie 2D grafov

Ak chcete vytvoriť dvojrozmerný graf funkcie, musíte:

nastaviť funkciu

· umiestnite kurzor na miesto, kde má byť graf zostavený, na matematickom paneli vyberte tlačidlo Graf (graf) a na paneli, ktorý sa otvorí, tlačidlo X-Y Plot (dvojrozmerný graf);

V zobrazenej šablóne dvojrozmerného grafu, čo je prázdny obdĺžnik s menovkami údajov, zadajte názov premennej do centrálneho označenia údajov pozdĺž osi x (os X) a zadajte názov funkcie namiesto centrálny dátový štítok pozdĺž ordinátnej osi (os Y) (obr. 2.1);

Ryža. 2.1. Šablóna 2D grafu

kliknite mimo šablóny grafu -- vykreslí sa graf funkcie.

Rozsah argumentov pozostáva z 3 hodnôt: počiatočná, druhá a konečná.

Nech je potrebné nakresliť funkčný graf na intervale [-2,2] s krokom 0,2. Variabilné hodnoty t sú špecifikované ako rozsah takto:

t:= —2, - 1.8 . 2 ,

kde: -2 -- počiatočná hodnota rozsahu;

1,8 (-2 + 0,2) -- hodnota druhého rozsahu (počiatočná hodnota plus krok);

2 je koncová hodnota rozsahu.

Pozornosť. V anglickom rozložení klávesnice sa elipsa zadáva stlačením bodkočiarky.

Príklad. Vykreslenie funkcie r = X 2 na intervale [-5,5] s krokom 0,5 (obr. 2.2).

Ryža. 2.2. Vykreslenie funkcie r = X 2

Pri vytváraní grafov zvážte nasledovné:

° Ak nie je zadaný rozsah hodnôt argumentu, potom sa graf predvolene zostaví v rozsahu [-10,10].

° Ak je potrebné umiestniť viacero grafov do jednej šablóny, potom sa názvy funkcií uvádzajú oddelené čiarkami.

° Ak majú dve funkcie rôzne argumenty, napríklad f1(x) a f2(y), potom sú názvy funkcií uvedené na osi y (Y) oddelené čiarkami a na osi x (X) názvy oboch premenných sú tiež oddelené čiarkami.

° Krajné dátové značky na šablóne grafu slúžia na označenie hraničných hodnôt úsečiek a ordinát, t.j. nastavujú mierku grafu. Ak necháte tieto štítky prázdne, mierka sa nastaví automaticky. Automatická mierka nie vždy odráža graf v požadovanom tvare, takže limitné hodnoty úsečiek a ordinátov je potrebné upraviť ich manuálnou zmenou.

Poznámka. Ak po vykreslení grafu nenadobudne požadovanú formu, môžete:

Znížte krok.

· zmeniť interval vykresľovania.

Znížte limitné hodnoty úsečiek a súradníc na grafe.

Príklad. Konštrukcia kružnice so stredom v bode (2,3) a polomerom R = 6.

Rovnica kruhu so stredom v bode so súradnicami ( X 0 ,r 0) a polomer R sa píše ako:

Vyjadrite z tejto rovnice r:

Na zostavenie kruhu je teda potrebné nastaviť dve funkcie: horný a dolný polkruh. Rozsah argumentov sa vypočíta takto:

- počiatočná hodnota rozsahu = X 0 — R;

- konečná hodnota rozsahu = X 0 + R;

- je lepšie urobiť krok rovný 0,1 (obr. 2.3.).

Ryža. 2.3. Konštrukcia kruhu

Parametrický graf funkcie

Niekedy je to vhodnejšie namiesto priamkovej rovnice týkajúcej sa pravouhlých súradníc X a r zvážte takzvané parametrické priamkové rovnice, ktoré dávajú výrazy pre aktuálne súradnice x a y ako funkcie nejakej premennej t(parameter): X(t) a r(t). Pri konštrukcii parametrického grafu sú názvy funkcií jedného argumentu uvedené na osi y a x.

Príklad. Konštrukcia kružnice so stredom v bode so súradnicami (2,3) a polomerom R= 6. Na konštrukciu sa používa parametrická rovnica kruhu

X = X 0 + R cos ( t) r = r 0 + R hriech( t) (obr. 2.4.).

Ryža. 2.4. Konštrukcia kruhu

Formátovanie grafu

Ak chcete naformátovať graf, dvakrát kliknite na oblasť grafu. Otvorí sa dialógové okno Formátovanie grafu. Karty v okne formátovania grafu sú uvedené nižšie:

§ X- Y osi-- formátovanie súradnicových osí. Začiarknutím príslušných políčok môžete:

· Log Mierka-- predstavujú číselné hodnoty na osiach v logaritmickej mierke (štandardne sú číselné hodnoty vykreslené v lineárnej mierke)

· Mriežka linky-- nakresliť mriežku čiar;

· očíslované-- Usporiadajte čísla pozdĺž súradnicových osí;

· Automat Mierka-- automatický výber limitných číselných hodnôt na osiach (ak toto políčko nie je začiarknuté, maximálne vypočítané hodnoty budú limitované);

· šou značka-- označenie grafu vo forme vodorovných alebo zvislých bodkovaných čiar zodpovedajúcich zadanej hodnote na osi a samotné hodnoty sa zobrazia na konci čiar (na každej osi sa objavia 2 vstupné miesta, v ktorých môžete zadajte číselné hodnoty, nezadávajte nič, zadajte jedno číselné alebo písmenové označenie konštánt);

· Automat Gzbaviť-- automatická voľba počtu riadkov mriežky (ak toto políčko nie je začiarknuté, musíte zadať počet riadkov v poli Počet mriežok);

· prekrížené-- os x prechádza cez nulu ordináty;

· Zaškatuľkované-- os x prebieha pozdĺž spodného okraja grafu.

§ Sledovať-- riadkové formátovanie funkčných grafov. Pre každý graf samostatne môžete zmeniť:

symbol (Symbol) na mape pre uzlové body (kruh, kríž, obdĺžnik, kosoštvorec);

typ čiary (plná - plná, bodka - bodkovaná čiara, pomlčka - ťahy, Dadot - prerušovaná čiara);

farba čiary (Color);

Typ (Ture) grafu (Line - čiara, Body - body, Var alebo Solidbar - pruhy, Krok - krokový graf atď.);

hrúbka čiary (Hmotnosť).

§ Štítok -- názov v oblasti grafu. V teréne Názov (Nadpis) môžete napísať text nadpisu, vybrať jeho pozíciu - v hornej alebo dolnej časti grafu ( Vyššie -- hore, Nižšie -- dole). V prípade potreby môžete zadať názvy argumentov a funkcií ( Štítky osí ).

§ Predvolené -- pomocou tejto karty sa môžete vrátiť do predvoleného zobrazenia grafu (Zmeniť na predvolené) alebo použiť zmeny, ktoré ste v grafe predvolene vykonali pre všetky grafy v tomto dokumente (Použiť pre predvolené).

5.2 Budovanie polárnych pozemkov

Ak chcete vytvoriť polárny graf funkcie, musíte:

· nastaviť rozsah hodnôt argumentov;

nastaviť funkciu

· umiestnite kurzor na miesto, kde má byť graf zostavený, na matematickom paneli vyberte tlačidlo Graf (graf) a na paneli, ktorý sa otvorí, tlačidlo Polar Plot (polárny graf);

· Do vstupných polí šablóny, ktorá sa zobrazí, musíte zadať uhlový argument funkcie (dole) a názov funkcie (vľavo).

Príklad. Konštrukcia Bernoulliho lemniskátu: (obr. 2.6.)

Ryža. 2.6. Príklad stavby polárneho pozemku

5.3 Vykresľovanie plôch (3D alebo 3D grafy)

Pri konštrukcii trojrozmerných grafov sa používa panel graf(Graf) matematický panel. Trojrozmerný graf môžete vytvoriť pomocou sprievodcu, ktorý sa volá z hlavnej ponuky; môžete vytvoriť graf vytvorením matice hodnôt funkcie dvoch premenných; môžete použiť zrýchlenú metódu výstavby; môžete volať špeciálne funkcie CreateMech a CreateSpase, ktoré sú určené na vytvorenie poľa funkčných hodnôt a grafov. Budeme uvažovať o zrýchlenej metóde na zostavenie trojrozmerného grafu.

Rýchle vytváranie grafov

Ak chcete rýchlo vytvoriť trojrozmerný graf funkcie, musíte:

nastaviť funkciu

umiestnite kurzor na miesto, kde má byť graf zostavený, vyberte tlačidlo na matematickom paneli graf(graf) a na otvorenom paneli tlačidlo ( povrchový graf);

· na jedinom mieste šablóny zadajte názov funkcie (bez uvedenia premenných);

· kliknite mimo šablóny grafu -- vytvorí sa funkčný graf.

Príklad. Vykreslenie funkcie z(X,r) = X 2 + r 2 - 30 (obr. 2.7).

Ryža. 2.7. Príklad rýchleho vykreslenia povrchu

Vybudovaný graf je možné ovládať:

° rotácia grafu sa vykoná po prejdení ukazovateľa myši nad ním so stlačeným ľavým tlačidlom myši;

° zmena mierky grafu sa vykoná po umiestnení kurzora myši naň súčasným stlačením ľavého tlačidla myši a klávesy Ctrl (ak pohnete myšou, graf sa priblíži alebo oddiali);

° animácia grafu sa vykonáva rovnakým spôsobom, ale s dodatočným stlačením klávesu Shift. Grafom je potrebné iba začať otáčať myšou, potom sa animácia vykoná automaticky. Ak chcete otáčanie zastaviť, kliknite ľavým tlačidlom myši v oblasti grafu.

Na jednom výkrese je možné postaviť niekoľko plôch naraz. Ak to chcete urobiť, musíte nastaviť obe funkcie a zadať názvy funkcií v šablóne grafu oddelené čiarkami.

Pri rýchlom vykresľovaní sú predvolené hodnoty pre oba argumenty medzi -5 a +5 a počet vrstevníc je 20. Ak chcete tieto hodnoty zmeniť, musíte:

· dvakrát kliknite na graf;

· v otvorenom okne vyberte kartu Údaje rýchleho grafu;

· zadajte nové hodnoty do oblasti okna Range1 -- pre prvý argument a Range2 -- pre druhý argument (začiatok -- počiatočná hodnota, koniec -- konečná hodnota);

· v poli # mriežok zmeňte počet čiar mriežky pokrývajúcich povrch;

· Kliknite na tlačidlo OK.

Príklad. Vykreslenie funkcie z(X,r) = -sin ( X 2 + r 2) (obr. 2.9).

Pri konštrukcii tohto grafu je lepšie zvoliť hranice zmeny hodnôt oboch argumentov od -2 do +2.

Ryža. 2.9. Príklad vykreslenia funkčného grafu z(X,r) = -sin ( X 2 + r 2)

poprediamatovacie 3D grafy

Pre formátovanie grafu dvakrát kliknite na oblasť grafu - zobrazí sa okno formátovania s niekoľkými kartami: Vzhľad, generál, osi, osvetlenie, Názov, Backplanes, Špeciálne, Pokročilé, Rýchlo Zápletka Údaje.

Účel karty Rýchlo Zápletka Údaje bol diskutovaný vyššie (23, "https://site").

Tab Vzhľad umožňuje zmeniť vzhľad grafu. Lúka Vyplňte možnosti umožňuje zmeniť parametre výplne, pole riadok Možnosť-- parametre linky, bod možnosti-- bodové parametre.

V záložke generál ( všeobecný) v skupine vyhliadka môžete si zvoliť uhly rotácie zobrazeného povrchu okolo všetkých troch osí; v skupine displej ako Môžete zmeniť typ grafu.

V záložke osvetlenie(osvetlenie) zaškrtnutím políčka môžete ovládať osvetlenie povoliť osvetlenie(zapnite svetlá) a prepnite zapnuté(zapnúť). Zo zoznamu sa vyberie jedna zo 6 možných schém osvetlenia osvetlenie schémy(schéma osvetlenia).

6. Spôsoby riešenia rovníc v MathCAD

V tejto časti sa naučíme, ako najjednoduchšie rovnice tvaru F ( X) = 0. Analyticky riešiť rovnicu znamená nájsť všetky jej korene, teda také čísla, keď ich dosadením do pôvodnej rovnice dostaneme správnu rovnosť. Riešiť rovnicu graficky znamená nájsť priesečníky grafu funkcie s osou x.

6. 1 Riešenie rovníc s funkciou root(f(x), x)

Pre riešenia rovnice s jednou neznámou tvaru F ( X) = 0 existuje špeciálna funkcia

koreň(f(X), X) ,

kde f(X) je výraz rovný nule;

X-- argument.

Táto funkcia vracia s danou presnosťou hodnotu premennej, pre ktorú výraz f(X) sa rovná 0.

Pozornosťe. Ak je pravá strana rovnice 0, je potrebné ju uviesť do normálneho tvaru (preniesť všetko na ľavú stranu).

Pred použitím funkcie koreň treba dať na argument X počiatočná aproximácia. Ak existuje niekoľko koreňov, potom na nájdenie každého koreňa musíte zadať počiatočnú aproximáciu.

Pozornosť. Pred riešením je žiaduce nakresliť funkčný graf, aby sme skontrolovali, či existujú korene (pretína graf os Ox), a ak áno, koľko. Počiatočnú aproximáciu je možné zvoliť podľa grafu bližšie k priesečníku.

Príklad. Riešenie rovnice pomocou funkcie koreň znázornené na obrázku 3.1. Predtým, ako pristúpime k riešeniu v systéme MathCAD, v rovnici prenesieme všetko na ľavú stranu. Rovnica bude mať tvar: .

Ryža. 3.1. Riešenie rovnice pomocou funkcie koreňa

6. 2 Riešenie rovníc pomocou funkcie Polyroots (v).

Ak chcete súčasne nájsť všetky korene polynómu, použite funkciu polyroots(v), kde v je vektor koeficientov polynómu počnúc voľným členom . Nulové koeficienty nemožno vynechať. Na rozdiel od funkcie koreň funkciu Ppolykorene nevyžaduje počiatočnú aproximáciu.

Príklad. Riešenie rovnice pomocou funkcie polyroots znázornené na obrázku 3.2.

Ryža. 3.2. Riešenie rovnice pomocou funkcie Polyroots

6.3 Riešenie rovníc pomocou funkcie Find (x).

Funkcia Find funguje v spojení s kľúčovým slovom Given. Dizajn Dané — Nájsť

Ak je daná rovnica f(X) = 0, potom to možno vyriešiť nasledovne pomocou bloku Dané - Nájsť:

— nastavte počiatočnú aproximáciu

— zadajte servisné slovo

- napíšte rovnicu pomocou znamienka tučné rovná sa

- napíšte funkciu find s neznámou premennou ako parametrom

V dôsledku toho sa po znamienku rovnosti zobrazí nájdený koreň.

Ak existuje niekoľko koreňov, potom ich možno nájsť zmenou počiatočnej aproximácie x0 na jednu blízko požadovaného koreňa.

Príklad. Riešenie rovnice pomocou funkcie find je znázornené na obrázku 3.3.

Ryža. 3.3. Riešenie rovnice pomocou funkcie find

Niekedy je potrebné označiť niektoré body na grafe (napríklad priesečníky funkcie s osou Ox). Na to potrebujete:

Zadajte hodnotu x daného bodu (pozdĺž osi Ox) a hodnotu funkcie v tomto bode (pozdĺž osi Oy);

dvakrát kliknite na graf a v okne formátovania na karte stopy pre príslušnú čiaru vyberte typ grafu - body, hrúbku čiary - 2 alebo 3.

Príklad. V grafe je znázornený priesečník funkcie s osou x. Koordinovať X tento bod bol nájdený v predchádzajúcom príklade: X= 2,742 (koreň rovnice ) (obr. 3.4).

Ryža. 3.4. Graf funkcie s vyznačeným priesečníkom V okne formátovania grafu v záložke stopy pre stopa2 zmenené: typ grafu - body, hrúbka čiary - 3, farba - čierna.

7. Riešenie sústav rovníc

7.1 Riešenie sústav lineárnych rovníc

Systém lineárnych rovníc je možné vyriešiť m maticová metóda (buď prostredníctvom inverznej matice alebo pomocou funkcie vyriešiť(A, B)) a pomocou dvoch funkcií Nájsť a funkcie Minerr.

Maticová metóda

Príklad. Sústava rovníc je daná:

Riešenie tejto sústavy rovníc maticovou metódou je znázornené na obrázku 4.1.

Ryža. 4.1. Riešenie sústavy lineárnych rovníc maticovou metódou

Použitie funkcie vyriešiť(A, B)

Lvyriešiť(A, B) je vstavaná funkcia, ktorá vracia vektor X pre systém lineárnych rovníc s maticou koeficientov, A, a vektorom voľných členov, B .

Príklad. Sústava rovníc je daná:

Spôsob riešenia tohto systému pomocou funkcie lsolve (A, B) je znázornený na obrázku 4.2.

Ryža. 4.2. Riešenie sústavy lineárnych rovníc pomocou funkcie lsolve

Riešenie sústavy lineárnych rovníc cez funkciea Nájsť

Pri tejto metóde sa rovnice zadávajú bez použitia matíc, teda v "prirodzenej forme". Najprv je potrebné uviesť počiatočné aproximácie neznámych premenných. Môže to byť ľubovoľné číslo v rámci definície. Často si ich mýlia s kolónkou voľných členov.

Za účelom riešenia sústavy lineárnych rovníc pomocou výpočtovej jednotky Dané - Nájsť, potrebné:

2) zadajte servisné slovo Dané;

tučné rovná sa();

4) napíšte funkciu Nájsť,

Príklad. Sústava rovníc je daná:

Riešenie tohto systému pomocou výpočtovej jednotky Dané - Nájsť znázornené na obrázku 4.3.

Ryža. 4.3. Riešenie sústavy lineárnych rovníc pomocou funkcie Find

Približná priešenie sústavy lineárnych rovníc

Riešenie sústavy lineárnych rovníc pomocou funkcie Minerr podobne ako pri riešení pomocou funkcie Nájsť(pomocou rovnakého algoritmu), iba funkcia Nájsť dáva presné riešenie a Minerr-- približný. Ak v dôsledku vyhľadávania nie je možné získať ďalšie spresnenie súčasnej aproximácie k riešeniu, Baníkr vráti túto aproximáciu. Funkcia Nájsť v tomto prípade vráti chybové hlásenie.

Môžete si vybrať inú počiatočnú aproximáciu.

· Môžete zvýšiť alebo znížiť presnosť výpočtu. Ak to chcete urobiť, vyberte z ponuky Matematika > možnosti(Matematika - Možnosti), tab postavený- In Premenné(Vstavané premenné). Na karte, ktorá sa otvorí, musíte znížiť prípustnú chybu výpočtu (Tolerancia konvergencie (TOL)). Predvolená TOL = 0,001.

ATpozornosť. Pri metóde maticového riešenia je potrebné preusporiadať koeficienty podľa nárastu neznámych X 1, X 2, X 3, X 4.

7.2 Riešenie sústav nelineárnych rovníc

Systémy nelineárnych rovníc v MathCADe sú riešené pomocou výpočtovej jednotky Dané - Nájsť.

Dizajn Dané - Nájsť používa výpočtovú techniku ​​založenú na nájdení koreňa v blízkosti počiatočného aproximačného bodu určeného používateľom.

Riešiť sústavu rovníc pomocou bloku Dané - Nájsť potrebné:

1) nastaviť počiatočné aproximácie pre všetky premenné;

2) zadajte servisné slovo Dané;

3) zapíšte sústavu rovníc pomocou znamienka tučné rovná sa();

4) napíšte funkciu Nájsť, výpisom neznámych premenných ako funkčných parametrov.

V dôsledku výpočtov sa zobrazí vektor riešenia systému.

Ak má systém niekoľko riešení, algoritmus by sa mal zopakovať s ďalšími počiatočnými odhadmi.

Poznámka. Ak sa rieši sústava dvoch rovníc s dvomi neznámymi, je vhodné pred jej riešením vykresliť grafy funkcií, aby sme skontrolovali, či má sústava korene (či sa grafy daných funkcií prelínajú), a ak áno, koľko. Počiatočnú aproximáciu je možné zvoliť podľa grafu bližšie k priesečníku.

Príklad. Daný systém rovníc

Pred riešením sústavy zostrojíme grafy funkcií: paraboly (prvá rovnica) a priamka (druhá rovnica). Zostrojenie grafu priamky a paraboly v jednom súradnicovom systéme je na obrázku 4.5:

Ryža. 4.5. Vykreslenie dvoch funkcií v rovnakom súradnicovom systéme Priamka a parabola sa pretínajú v dvoch bodoch, čo znamená, že systém má dve riešenia. Podľa grafu volíme počiatočné aproximácie neznámych X a r za každé riešenie. Hľadanie koreňov sústavy rovníc je znázornené na obrázku 4.6.

Ryža. 4.6. Hľadanie koreňov sústavy nelineárnych rovníc X ) a pozdĺž osi Oy (hodnoty pri ) oddelené čiarkami. V okne formátovania grafu na karte stopy pre stopa3 a stopa4 zmena: typ grafu - body, hrúbka čiary - 3, farba - čierna (obr. 4.7).

Ryža. 4.7. Funkčné grafy s vyznačenými priesečníkmi

8 . Kľúčové vlastnosti Príklady použitia MathCAD vyriešiť nejaké matematické úlohy

Táto časť poskytuje príklady riešenia problémov, ktoré si vyžadujú riešenie rovnice alebo sústavy rovníc.

8. 1 Hľadanie lokálnych extrémov funkcií

Nevyhnutná podmienka pre extrém (maximum a/alebo minimum) spojitej funkcie je formulovaná nasledovne: extrémy môžu nastať len v tých bodoch, kde sa derivácia rovná nule alebo neexistuje (najmä sa stáva nekonečnom) . Ak chcete nájsť extrémy spojitej funkcie, najskôr nájdite body, ktoré spĺňajú nevyhnutnú podmienku, teda nájdite všetky skutočné korene rovnice.

Ak je vytvorený funkčný graf, potom môžete okamžite vidieť - v danom bode je dosiahnuté maximum alebo minimum X. Ak neexistuje graf, potom sa každý z nájdených koreňov skúma jedným zo spôsobov.

1 s príspevok . S vyrovnať e znaky derivátu . Znamienko derivácie je určené v blízkosti bodu (v bodoch, ktoré sú oddelené od extrému funkcie na rôznych stranách v malých vzdialenostiach). Ak sa znamienko derivácie zmení z „+“ na „-“, potom má funkcia v tomto bode maximum. Ak sa znamienko zmení z "-" na "+", potom má funkcia v tomto bode minimum. Ak sa znamienko derivácie nemení, neexistujú žiadne extrémy.

2. s príspevok . AT výpočty e druhý derivát . V tomto prípade sa druhá derivácia vypočíta v extrémnom bode. Ak je menšia ako nula, potom má funkcia v tomto bode maximum, ak je väčšia ako nula, tak minimum.

Príklad. Hľadanie extrémov (minimál/maximám) funkcie.

Najprv si zostavme graf funkcie (obr. 6.1).

Ryža. 6.1. Vykreslenie funkcie

Určme z grafu počiatočné aproximácie hodnôt X zodpovedajúce lokálnym extrémom funkcie f(X). Nájdite tieto extrémy riešením rovnice. Na riešenie používame blok Dané - Nájsť (obr. 6.2.).

Ryža. 6.2. Nájdenie lokálnych extrémov

Definujme typ extrémov pervspôsobom, skúmajúc zmenu znamienka derivácie v blízkosti zistených hodnôt (obr. 6.3).

Ryža. 6.3. Určenie typu extrému

Z tabuľky hodnôt derivácie a z grafu je zrejmé, že znamienko derivácie v blízkosti bodu X 1 sa zmení z plus na mínus, takže funkcia v tomto bode dosiahne maximum. A v blízkosti bodu X 2 sa znamienko derivácie zmenilo z mínus na plus, takže v tomto bode funkcia dosahuje minimum.

Definujme typ extrémov druhýspôsobom, výpočet znamienka druhej derivácie (obr. 6.4).

Ryža. 6.4. Určenie typu extrému pomocou druhej derivácie

Je vidieť, že v bode X 1 je druhá derivácia menšia ako nula, teda bod X 1 zodpovedá maximu funkcie. A v podstate X 2 je druhá derivácia väčšia ako nula, teda bod X 2 zodpovedá minimu funkcie.

8.2 Určenie plôch obrazcov ohraničených súvislými čiarami

Plocha krivočiareho lichobežníka ohraničená grafom funkcie f(X) , segment na osi Ox a dve vertikály X = a a X = b, a < b, sa určuje podľa vzorca: .

Príklad. Nájdenie oblasti postavy ohraničenej čiarami f(X) = 1 — X 2 a r = 0.

Ryža. 6.5. Nájdenie oblasti postavy ohraničenej čiarami f(X) = 1 — X 2 a r = 0

Oblasť obrázku uzavretá medzi grafmi funkcií f1(X) a f2(X) a priamy X = a a X = b, sa vypočíta podľa vzorca:

Pozornosť. Aby sa predišlo chybám pri výpočte plochy, rozdiel funkcií sa musí brať modulo. Oblasť teda bude vždy pozitívna.

Príklad. Nájdenie oblasti postavy ohraničenej čiarami a. Riešenie je znázornené na obrázku 6.6.

1. Zostavíme graf funkcií.

2. Pomocou koreňovej funkcie nájdeme priesečníky funkcií. Počiatočné aproximácie určíme z grafu.

3. Nájdené hodnoty X sa do vzorca dosadia ako hranice integrácie.

8. 3 Konštrukcia kriviek danými bodmi

Konštrukcia priamky prechádzajúcej cez dva dané body

Zostaviť rovnicu priamky prechádzajúcej cez dva body A ( X 0,r 0) a B ( X 1,r 1) sa navrhuje nasledujúci algoritmus:

kde a a b sú koeficienty čiary, ktoré musíme nájsť.

2. Tento systém je lineárny. Má dve neznáme premenné: a a b

Príklad. Konštrukcia priamky prechádzajúcej bodmi A (-2, -4) a B (5.7).

Do rovnice dosadíme priame súradnice týchto bodov a získame systém:

Riešenie tohto systému v MathCAD je znázornené na obrázku 6.7.

Ryža. 6.7 Systémové riešenie

Výsledkom riešenia systému je: a = 1.57, b= -0,857. Takže rovnica priamky bude vyzerať takto: r = 1.57X- 0,857. Zostrojme túto priamku (obr. 6.8).

Ryža. 6.8. Budovanie priamky

Konštrukcia paraboly, prechádza cez tri dané body

Zostrojiť parabolu prechádzajúcu tromi bodmi A ( X 0,r 0), B ( X 1,r 1) a C ( X 2,r 2), algoritmus je nasledujúci:

1. Parabola je daná rovnicou

r = sekera 2 + bX + s, kde

a, b a s sú koeficienty paraboly, ktoré musíme nájsť.

Dané súradnice bodov dosadíme do tejto rovnice a dostaneme sústavu:

2. Tento systém je lineárny. Má tri neznáme premenné: a, b a s. Systém je možné riešiť maticovým spôsobom.

3. Získané koeficienty dosadíme do rovnice a zostavíme parabolu.

Príklad. Zostrojenie paraboly prechádzajúcej bodmi A (-1,-4), B (1,-2) a C (3,16).

Dané súradnice bodov dosadíme do rovnice paraboly a dostaneme sústavu:

Riešenie tejto sústavy rovníc v MathCAD je znázornené na obrázku 6.9.

Ryža. 6.9. Riešenie sústavy rovníc

V dôsledku toho sa získajú koeficienty: a = 2, b = 1, c= -5. Dostaneme parabolickú rovnicu: 2 X 2 +X -5 = r. Zostrojme túto parabolu (obr. 6.10).

Ryža. 6.10. Konštrukcia paraboly

Zostrojenie kružnice prechádzajúcej tromi danými bodmi

Zostrojiť kružnicu prechádzajúcu tromi bodmi A ( X 1,r 1), B ( X 2,r 2) a C ( X 3,r 3), môžete použiť nasledujúci algoritmus:

1. Kruh je daný rovnicou

kde x0, y0 sú súradnice stredu kruhu;

R je polomer kruhu.

2. Dosaďte dané súradnice bodov do rovnice kružnice a získajte sústavu:

Tento systém je nelineárny. Má tri neznáme premenné: X 0, r 0 a R. Systém je riešený pomocou výpočtovej jednotky Dané - Nájsť.

Príklad. Konštrukcia kružnice prechádzajúcej tromi bodmi A (-2,0), B (6,0) a C (2,4).

Dané súradnice bodov dosadíme do rovnice kružnice a dostaneme sústavu:

Riešenie systému v MathCAD je znázornené na obrázku 6.11.

Ryža. 6.11. Systémové riešenie

Výsledkom riešenia systému bolo nasledovné: X 0 = 2, r 0 = 0, R = 4. Do rovnice kruhu dosaďte získané súradnice stredu kružnice a polomeru. Dostaneme:. Expres odtiaľto r a zostrojte kruh (obr. 6.12).

Odoslanie dobrej práce do databázy znalostí je jednoduché. Použite nižšie uvedený formulár

Študenti, postgraduálni študenti, mladí vedci, ktorí pri štúdiu a práci využívajú vedomostnú základňu, vám budú veľmi vďační.

1. Pracovné okno MathCAD

· Panel Matematika(obr. 1.4).

Ryža. 1.4. Matematický panel

Kliknutím na tlačidlo na paneli s nástrojmi matematiky sa otvorí ďalší panel s nástrojmi:

2. Prvky jazyka MathCAD

Medzi základné prvky matematických výrazov MathCAD patria operátory, konštanty, premenné, polia a funkcie.

2.1 Operátori

Operátori -- prvky MathCADu, pomocou ktorých môžete vytvárať matematické výrazy. Patria sem napríklad symboly pre aritmetické operácie, znamienka na výpočet súčtov, súčin, derivácie, integrály atď.

Operátor definuje:

a) akcia, ktorá sa má vykonať za prítomnosti určitých hodnôt operandov;

b) koľko, kde a aké operandy treba zadať do operátora.

Operand -- číslo alebo výraz, s ktorým operátor koná. Napríklad vo výraze 5!+3 sú čísla 5! a 3 sú operandy operátora "+" (plus) a číslo 5 je operand faktoriálu (!).

Akýkoľvek operátor v MathCAD môže byť zadaný dvoma spôsobmi:

stlačením klávesu (kombinácie klávesov) na klávesnici;

pomocou matematického panelu.

Nasledujúce príkazy sa používajú na priradenie alebo zobrazenie obsahu pamäťového miesta spojeného s premennou:

-- priraďovací znak (zadáva sa stlačením klávesu : na klávesnici (dvojbodka v anglickom rozložení klávesnice) alebo stlačením príslušného tlačidla na paneli Kalkulačka );

Toto zadanie sa nazýva miestne. Pred týmto priradením nie je premenná definovaná a nemožno ju použiť.

-- operátor globálneho priradenia. Toto priradenie je možné vykonať kdekoľvek v dokumente. Napríklad, ak je premennej priradená hodnota týmto spôsobom na samom konci dokumentu, potom bude mať rovnakú hodnotu aj na začiatku dokumentu.

-- približný operátor rovnosti (x1). Používa sa pri riešení sústav rovníc. Zadáva sa stlačením klávesu ; na klávesnici (bodkočiarka v anglickom rozložení klávesnice) alebo stlačením príslušného tlačidla Booleovský panel.

= -- operátor (jednoduché rovná sa) vyhradený na výstup hodnoty konštanty alebo premennej.

Najjednoduchšie výpočty

Proces výpočtu sa vykonáva pomocou:

Panely kalkulačiek, Panely výpočtu a Panely odhadov.

Pozornosť. Ak je potrebné rozdeliť celý výraz v čitateli, tak ho treba najskôr vybrať stlačením medzerníka na klávesnici alebo umiestnením do zátvoriek.

2.2 Konštanty

Konštanty -- pomenované objekty, ktoré majú nejakú hodnotu, ktorú nemožno zmeniť.

Napríklad = 3,14.

Rozmerové konštanty sú bežné merné jednotky. Napríklad metre, sekundy atď.

Ak chcete zapísať rozmerovú konštantu, musíte za číslom zadať znak * (násobiť), vyberte položku ponuky Vložiť pododsek Jednotka. V meraniach Vám najznámejšie kategórie: Dĺžka - dĺžka (m, km, cm); Hmotnosť -- hmotnosť (g, kg, t); Čas -- čas (min, sekunda, hodina).

2.3 Premenné

Premenné sú pomenované objekty, ktoré majú určitú hodnotu, ktorá sa môže meniť počas behu programu. Premenné môžu byť číselné, reťazcové, znakové atď. Premenným sa priraďujú hodnoty pomocou priraďovacieho znaku (:=).

Pozornosť. MathCAD zaobchádza s veľkými a malými písmenami ako s rôznymi identifikátormi.

Systémové premenné

AT MathCAD obsahuje malú skupinu špeciálnych objektov, ktoré nemožno priradiť ani triede konštánt, ani triede premenných, ktorých hodnoty sú určené ihneď po spustení programu. Je lepšie ich spočítať systémové premenné. Toto je napríklad TOL - chyba numerických výpočtov, ORIGIN - dolná hranica hodnoty indexového indexu vektorov, matíc atď. V prípade potreby môžete pre tieto premenné nastaviť iné hodnoty.

Hodnotené premenné

Tieto premenné majú sériu pevných hodnôt, buď celé číslo alebo meniace sa v určitom kroku od počiatočnej hodnoty po konečnú.

Výraz sa používa na vytvorenie premennej s rozsahom:

Meno=N začať,(N začať+Krok)..N koniec,

kde Name je názov premennej;

N begin -- počiatočná hodnota;

Krok -- určený krok pre zmenu premennej;

N koniec -- koncová hodnota.

Hodnotené premenné sa široko používajú pri vykresľovaní. Napríklad na vykreslenie grafu nejakej funkcie f(X) najprv musíte vytvoriť sériu premenných hodnôt X-- aby to fungovalo, musí to byť premenná s rozsahom.

Pozornosť. Ak krok nie je špecifikovaný v rozsahu premennej, potom gram to automaticky vezme rovný 1.

Príklad . Variabilné X sa mení v rozsahu od -16 do +16 v krokoch po 0,1

Ak chcete napísať premennú s rozsahom, napíšte:

Názov premennej ( X);

Znak pridelenia (:=)

Prvá hodnota rozsahu (-16);

čiarka;

Druhá hodnota rozsahu, ktorá je súčtom prvej hodnoty a kroku (-16+0,1);

elipsa ( .. ) -- zmena premennej v rámci daných limitov (pri anglickom rozložení klávesnice sa bodkočiarka zadáva stlačením bodkočiarky);

Hodnota posledného rozsahu (16).

V dôsledku toho získate: X := -16,-16+0.1..16.

Výstupné tabuľky

Akýkoľvek výraz s hodnotenými premennými za znamienkom rovnosti spúšťa výstupnú tabuľku.

Do výstupných tabuliek môžete vložiť číselné hodnoty a opraviť ich.

Premenná s indexom

Premenná s indexom-- je premenná, ktorej je priradená množina nesúvisiacich čísel, z ktorých každé má svoje vlastné číslo (index).

Index sa zadáva stlačením ľavej hranatej zátvorky na klávesnici alebo pomocou tlačidla X n na paneli Kalkulačka.

Ako index môžete použiť konštantu alebo výraz. Ak chcete inicializovať premennú pomocou indexu, musíte zadať prvky poľa a oddeliť ich čiarkami.

Príklad. Zadávanie indexových premenných.

Číselné hodnoty sa zadávajú do tabuľky oddelené čiarkami;

Výstup hodnoty prvého prvku vektora S;

Výstup hodnoty nulového prvku vektora S.

2.4 Polia

pole -- jedinečne pomenovaná kolekcia konečného počtu číselných alebo znakových prvkov, ktoré sú nejakým spôsobom usporiadané a majú špecifické adresy.

V balení MathCAD používajú sa polia dvoch najbežnejších typov:

jednorozmerné (vektory);

dvojrozmerné (matice).

Maticu alebo vektorovú šablónu môžete vytlačiť jedným z nasledujúcich spôsobov:

vyberte položku ponuky Vložiť - Matrix;

stlačte kombináciu klávesov ctrl+ M;

stlačte tlačidlo na Panel a vektory a matice.

V dôsledku toho sa zobrazí dialógové okno, v ktorom je nastavený požadovaný počet riadkov a stĺpcov:

Riadky-- počet riadkov

stĺpci-- počet stĺpcov

Ak je potrebné maticu (vektor) pomenovať, potom sa najprv zadá názov matice (vektora), potom operátor priradenia a potom šablóna matice.

napríklad:

Matrix -- dvojrozmerné pole s názvom M n , m , pozostávajúce z n riadkov a m stĺpcov.

S maticami môžete vykonávať rôzne matematické operácie.

2.5 Funkcie

Funkcia -- výraz, podľa ktorého sa vykonávajú niektoré výpočty s argumentmi a určuje sa jeho číselná hodnota. Príklady funkcií: hriech(X), opálenie(X) atď.

Funkcie v balíku MathCAD môžu byť vstavané alebo definované používateľom. Spôsoby vloženia inline funkcie:

Vyberte položku ponuky Vložiť- Funkcia.

Stlačte kombináciu klávesov ctrl+ E.

Kliknite na tlačidlo na paneli s nástrojmi.

Napíšte názov funkcie na klávesnici.

Používateľské funkcie sa zvyčajne používajú, keď sa rovnaký výraz vyhodnocuje viackrát. Ak chcete nastaviť používateľskú funkciu:

· zadajte názov funkcie s povinným uvedením argumentu v zátvorkách, napríklad f(x);

Zadajte operátor priradenia (:=);

Zadajte vypočítaný výraz.

Príklad. f (z):= hriech(2 z 2)

3. Formátovanie čísla

V MathCAD môžete zmeniť výstupný formát čísel. Výpočty sa zvyčajne robia s presnosťou 20 číslic, ale nezobrazujú sa všetky významné čísla. Ak chcete zmeniť formát čísla, dvakrát kliknite na požadovaný číselný výsledok. Zobrazí sa okno na formátovanie čísla, ktoré sa otvorí na karte číslo Formátovať (Formát čísel) s nasledujúcimi formátmi:

o generál (Main) -- je predvolená hodnota. Čísla sa zobrazujú v poradí (napríklad 1,2210 5). Počet znakov mantisy sa určuje v teréne Exponenciálny Prah(prah exponenciálnej notácie). Po prekročení prahovej hodnoty sa číslo zobrazí v poradí. Počet číslic za desatinnou čiarkou sa v poli zmení číslo z desiatkový Miesta.

o Desatinné (Decimal) -- Desatinné vyjadrenie čísel s pohyblivou rádovou čiarkou (napríklad 12,2316).

o Vedecké (Vedecké) -- Čísla sa zobrazujú iba v poradí.

o Strojárstvo (Engineering) -- čísla sa zobrazujú iba v násobkoch troch (napríklad 1,2210 6).

Pozornosť. Ak po nastavení požadovaného formátu v okne formátovania čísla vyberte tlačidlo OK, formát bude nastavený len pre zvolené číslo. A ak vyberiete tlačidlo Nastaviť ako predvolené, formát sa použije na všetky čísla v tomto dokumente.

Čísla sa automaticky zaokrúhlia nadol na nulu, ak sú nižšie ako nastavený prah. Hranica je nastavená pre celý dokument, nie pre konkrétny výsledok. Ak chcete zmeniť prah zaokrúhľovania na nulu, vyberte položku ponuky Formátovanie – výsledok a v tab tolerancie , v teréne nula prah zadajte požadovanú prahovú hodnotu.

4 . Práca s textom

Textové úryvky sú časti textu, ktoré by používateľ chcel vidieť vo svojom dokumente. Môžu to byť vysvetlenia, odkazy, komentáre atď. Vkladajú sa pomocou položky ponuky Vložiť - Oblasť textu.

Text môžete formátovať: zmeniť písmo, jeho veľkosť, štýl, zarovnanie atď. Ak to chcete urobiť, vyberte ho a vyberte príslušné možnosti na paneli písma alebo v ponuke Formátovanie - Text.

5. Práca s grafikou

Pri riešení mnohých problémov, kde sa študuje funkcia, je často potrebné vykresliť jej graf, ktorý bude jasne odrážať správanie funkcie na určitom intervale.

V systéme MathCAD je možné vytvárať rôzne typy grafov: v kartézskych a polárnych súradnicových systémoch, trojrozmerné grafy, povrchy rotačných telies, mnohosteny, priestorové krivky, grafy vektorových polí. Pozrieme sa na to, ako niektoré z nich postaviť.

5.1 Konštrukcia dvojrozmerných grafov

Ak chcete vytvoriť dvojrozmerný graf funkcie, musíte:

nastaviť funkciu

· umiestnite kurzor na miesto, kde má byť graf zostavený, na matematickom paneli vyberte tlačidlo Graf (graf) a na paneli, ktorý sa otvorí, tlačidlo X-Y Plot (dvojrozmerný graf);

V zobrazenej šablóne dvojrozmerného grafu, čo je prázdny obdĺžnik s menovkami údajov, zadajte názov premennej do centrálneho označenia údajov pozdĺž osi x (os X) a zadajte názov funkcie namiesto centrálny štítok s údajmi pozdĺž osi y (os Y) (obr. 2.1);\

Ryža. 2.1. Šablóna 2D grafu

kliknite mimo šablóny grafu -- vykreslí sa graf funkcie.

Rozsah argumentov pozostáva z 3 hodnôt: počiatočná, druhá a konečná.

Nech je potrebné nakresliť funkčný graf na intervale [-2,2] s krokom 0,2. Variabilné hodnoty t sú špecifikované ako rozsah takto:

t:= -2, - 1.8 .. 2 ,

kde: -2 -- počiatočná hodnota rozsahu;

-1,8 (-2 + 0,2) -- hodnota druhého rozsahu (počiatočná hodnota plus prírastok);

2 -- koncová hodnota rozsahu.

Pozornosť. V anglickom rozložení klávesnice sa elipsa zadáva stlačením bodkočiarky.

Príklad. Vykreslenie funkcie r = X 2 na intervale [-5,5] s krokom 0,5 (obr. 2.2).

Ryža. 2.2. Vykreslenie funkcie r = X 2

Pri vytváraní grafov zvážte nasledovné:

° Ak nie je zadaný rozsah hodnôt argumentu, potom sa graf predvolene zostaví v rozsahu [-10,10].

° Ak je potrebné umiestniť viacero grafov do jednej šablóny, potom sa názvy funkcií uvádzajú oddelené čiarkami.

° Ak majú dve funkcie rôzne argumenty, napríklad f1(x) a f2(y), potom sú názvy funkcií uvedené na osi y (Y) oddelené čiarkami a na osi x (X) názvy oboch premenných sú tiež oddelené čiarkami.

° Koncové štítky údajov na šablóne grafu sa používajú na označenie hraničných hodnôt na úsečke a na osi y, t.j. nastavujú mierku grafu. Ak necháte tieto štítky prázdne, mierka sa nastaví automaticky. Automatická mierka nie vždy odráža graf v požadovanom tvare, takže limitné hodnoty úsečiek a ordinátov je potrebné upraviť ich manuálnou zmenou.

Poznámka. Ak po vykreslení grafu nenadobudne požadovanú formu, môžete:

Znížte krok.

· zmeniť interval vykresľovania.

Znížte limitné hodnoty úsečiek a súradníc na grafe.

Príklad. Konštrukcia kružnice so stredom v bode (2,3) a polomerom R = 6.

Rovnica kruhu so stredom v bode so súradnicami ( X 0 ,r 0) a polomer R sa píše ako:

Vyjadrite z tejto rovnice r:

Na zostavenie kruhu je teda potrebné nastaviť dve funkcie: horný a dolný polkruh. Rozsah argumentov sa vypočíta takto:

Počiatočná hodnota rozsahu = X 0 - R;

Koncová hodnota rozsahu = X 0 + R;

Je lepšie urobiť krok rovný 0,1 (obr. 2.3.).

Ryža. 2.3. Konštrukcia kruhu

Parametrický graf funkcie

Niekedy je to vhodnejšie namiesto priamkovej rovnice týkajúcej sa pravouhlých súradníc X a r zvážte takzvané parametrické priamkové rovnice, ktoré dávajú výrazy pre aktuálne súradnice x a y ako funkcie nejakej premennej t(parameter): X(t) a r(t). Pri konštrukcii parametrického grafu sú názvy funkcií jedného argumentu uvedené na osi y a x.

Príklad. Konštrukcia kružnice so stredom v bode so súradnicami (2,3) a polomerom R= 6. Na konštrukciu sa používa parametrická rovnica kruhu

X = X 0 + R cos( t) r = r 0 + R hriech( t) (obr. 2.4.).

Obr.2.4. Konštrukcia kruhu

Formátovanie grafu

Ak chcete naformátovať graf, dvakrát kliknite na oblasť grafu. Otvorí sa dialógové okno Formátovanie grafu. Karty v okne formátovania grafu sú uvedené nižšie:

§ X- Yosi--formátovanie súradnicových osí. Začiarknutím príslušných políčok môžete:

· LogMierka--predstavujú číselné hodnoty na osiach na logaritmickej stupnici (v predvolenom nastavení sú číselné hodnoty vykreslené na lineárnej stupnici)

· Mriežkalinky--aplikujte mriežku čiar;

· očíslované--usporiadať čísla pozdĺž súradnicových osí;

· AutomatMierka--automatický výber limitných číselných hodnôt na osiach (ak toto políčko nie je začiarknuté, maximálne vypočítané hodnoty budú limitované);

· šouznačka-- označenie grafu vo forme vodorovných alebo zvislých bodkovaných čiar zodpovedajúcich zadanej hodnote na osi a samotné hodnoty sa zobrazia na konci čiar (na každej osi sa objavia 2 vstupné miesta, v ktorých môžete zadajte číselné hodnoty, nezadávajte nič, zadajte jedno číselné alebo písmenové označenie konštánt);

· AutomatGzbaviť-- automatická voľba počtu riadkov mriežky (ak toto políčko nie je začiarknuté, musíte zadať počet riadkov v poli Počet mriežok);

· prekrížené- os x prechádza cez nulu ordináty;

· Zaškatuľkované-- os x prebieha pozdĺž spodného okraja grafu.

§ Sledovať-- riadkové formátovanie funkčných grafov. Pre každý graf samostatne môžete zmeniť:

symbol (Symbol) na mape pre uzlové body (kruh, kríž, obdĺžnik, kosoštvorec);

typ čiary (plná - plná, bodka - bodkovaná čiara, pomlčka - ťahy, Dadot - prerušovaná čiara);

farba čiary (Color);

Typ (Ture) grafu (Line - čiara, Body - body, Var alebo Solidbar - pruhy, Krok - krokový graf atď.);

hrúbka čiary (Hmotnosť).

§ Štítok -- názov v oblasti grafu. V teréne Názov (Nadpis) môžete napísať text nadpisu, vybrať jeho pozíciu - v hornej alebo dolnej časti grafu ( Vyššie -- hore, Nižšie -- dole). V prípade potreby môžete zadať názvy argumentov a funkcií ( Štítky osí ).

§ Predvolené -- pomocou tejto karty sa môžete vrátiť do predvoleného zobrazenia grafu (Zmeniť na predvolené) alebo použiť zmeny, ktoré ste v grafe predvolene vykonali pre všetky grafy v tomto dokumente (Použiť pre predvolené).

5. 2 Budovanie polárnych pozemkov

Ak chcete vytvoriť polárny graf funkcie, musíte:

· nastaviť rozsah hodnôt argumentov;

nastaviť funkciu

· umiestnite kurzor na miesto, kde má byť graf zostavený, na matematickom paneli vyberte tlačidlo Graf (graf) a na paneli, ktorý sa otvorí, tlačidlo Polar Plot (polárny graf);

· Do vstupných polí šablóny, ktorá sa zobrazí, musíte zadať uhlový argument funkcie (dole) a názov funkcie (vľavo).

Príklad. Konštrukcia Bernoulliho lemniskátu: (obr. 2.6.)

Obr.2.6. Príklad stavby polárneho pozemku

5. 3 Plošné vykresľovanie (3D resp 3 D - grafy)

Pri konštrukcii trojrozmerných grafov sa používa panel graf(Graf) matematický panel. Trojrozmerný graf môžete vytvoriť pomocou sprievodcu, ktorý sa volá z hlavnej ponuky; môžete vytvoriť graf vytvorením matice hodnôt funkcie dvoch premenných; môžete použiť zrýchlenú metódu výstavby; môžete volať špeciálne funkcie CreateMech a CreateSpase, ktoré sú určené na vytvorenie poľa funkčných hodnôt a grafov. Budeme uvažovať o zrýchlenej metóde na zostavenie trojrozmerného grafu.

Rýchle vytváranie grafov

Ak chcete rýchlo vytvoriť trojrozmerný graf funkcie, musíte:

nastaviť funkciu

umiestnite kurzor na miesto, kde má byť graf zostavený, vyberte tlačidlo na matematickom paneli graf(graf) a na otvorenom paneli tlačidlo ( povrchový graf);

· na jedinom mieste šablóny zadajte názov funkcie (bez uvedenia premenných);

· kliknite mimo šablóny grafu -- vytvorí sa funkčný graf.

Príklad. Vykreslenie funkcie z(X,r) = X 2 + r 2 - 30 (obr. 2.7).

Ryža. 2.7. Príklad rýchleho vykreslenia povrchu

Vybudovaný graf je možné ovládať:

° rotácia grafu sa vykoná po prejdení ukazovateľa myši nad ním so stlačeným ľavým tlačidlom myši;

° zmena mierky grafu sa vykoná po umiestnení kurzora myši naň súčasným stlačením ľavého tlačidla myši a klávesy Ctrl (ak pohnete myšou, graf sa priblíži alebo oddiali);

° animácia grafu sa vykonáva rovnakým spôsobom, ale s dodatočným stlačením klávesu Shift. Grafom je potrebné iba začať otáčať myšou, potom sa animácia vykoná automaticky. Ak chcete otáčanie zastaviť, kliknite ľavým tlačidlom myši v oblasti grafu.

Na jednom výkrese je možné postaviť niekoľko plôch naraz. Ak to chcete urobiť, musíte nastaviť obe funkcie a zadať názvy funkcií v šablóne grafu oddelené čiarkami.

Pri rýchlom vykresľovaní sú predvolené hodnoty pre oba argumenty medzi -5 a +5 a počet vrstevníc je 20. Ak chcete tieto hodnoty zmeniť, musíte:

· dvakrát kliknite na graf;

· v otvorenom okne vyberte kartu Údaje rýchleho grafu;

· zadajte nové hodnoty do oblasti okna Range1 -- pre prvý argument a Range2 -- pre druhý argument (začiatok -- počiatočná hodnota, koniec -- konečná hodnota);

· v poli # mriežok zmeňte počet čiar mriežky pokrývajúcich povrch;

· Kliknite na tlačidlo OK.

Príklad. Vykreslenie funkcie z(X,r) = -sin( X 2 + r 2) (obr. 2.9).

Pri konštrukcii tohto grafu je lepšie zvoliť hranice zmeny hodnôt oboch argumentov od -2 do +2.

Ryža. 2.9. Príklad vykreslenia funkčného grafu z(X,r) = -sin( X 2 + r 2)

poprediamatovacie 3D grafy

Pre formátovanie grafu dvakrát kliknite na oblasť grafu - zobrazí sa okno formátovania s niekoľkými kartami: Vzhľad,generál,osi,osvetlenie,Názov,Backplanes,Špeciálne, Pokročilé, RýchloZápletkaÚdaje.

Účel karty RýchloZápletkaÚdaje bola diskutovaná vyššie.

Tab Vzhľad umožňuje zmeniť vzhľad grafu. Lúka Vyplňte možnosti umožňuje zmeniť parametre výplne, pole riadok Možnosť-- parametre linky, bod možnosti-- bodové parametre.

V záložke generál ( všeobecný) v skupine vyhliadka môžete si zvoliť uhly rotácie zobrazeného povrchu okolo všetkých troch osí; v skupine displejako Môžete zmeniť typ grafu.

V záložke osvetlenie(osvetlenie) zaškrtnutím políčka môžete ovládať osvetlenie povoliťosvetlenie(zapnite svetlá) a prepnite zapnuté(zapnúť). Zo zoznamu sa vyberie jedna zo 6 možných schém osvetlenia osvetlenieschémy(schéma osvetlenia).

6. Spôsoby riešenia rovníc v MathCAD

V tejto časti sa naučíme, ako najjednoduchšie rovnice tvaru F( X) = 0. Analyticky riešiť rovnicu znamená nájsť všetky jej korene, t.j. takéto čísla, keď ich dosadíme do pôvodnej rovnice, dostaneme správnu rovnosť. Riešiť rovnicu graficky znamená nájsť priesečníky grafu funkcie s osou x.

6. 1 Riešenie rovníc pomocou f funkcie a koreň ( f ( X ), X )

Pre riešenia rovnice s jednou neznámou tvaru F( X) = 0 existuje špeciálna funkcia

koreň(f(X), X) ,

kde f(X) je výraz rovný nule;

X-- argument.

Táto funkcia vracia s danou presnosťou hodnotu premennej, pre ktorú výraz f(X) sa rovná 0.

Pozornosťe. Ak je pravá strana rovnice 0, je potrebné ju uviesť do normálneho tvaru (preniesť všetko na ľavú stranu).

Pred použitím funkcie koreň treba dať na argument X počiatočná aproximácia. Ak existuje niekoľko koreňov, potom na nájdenie každého koreňa musíte zadať počiatočnú aproximáciu.

Pozornosť. Pred riešením je žiaduce nakresliť funkčný graf, aby sme skontrolovali, či existujú korene (pretína graf os Ox), a ak áno, koľko. Počiatočnú aproximáciu je možné zvoliť podľa grafu bližšie k priesečníku.

Príklad. Riešenie rovnice pomocou funkcie koreň znázornené na obrázku 3.1. Predtým, ako pristúpime k riešeniu v systéme MathCAD, v rovnici prenesieme všetko na ľavú stranu. Rovnica bude mať tvar: .

Ryža. 3.1. Riešenie rovnice pomocou funkcie koreňa

6. 2 Riešenie rovníc pomocou f funkcie a polyroots ( v )

Ak chcete súčasne nájsť všetky korene polynómu, použite funkciu polyroots(v), kde v je vektor koeficientov polynómu počnúc voľným členom . Nulové koeficienty nemožno vynechať.Na rozdiel od funkcie koreň funkciu Ppolykorene nevyžaduje počiatočnú aproximáciu.

Príklad. Riešenie rovnice pomocou funkcie polyroots znázornené na obrázku 3.2.

Ryža. 3.2. Riešenie rovnice pomocou funkcie Polyroots

6. 3 Riešenie rovníc pomocou ffunkcieaNájsť(X)

Funkcia Find funguje v spojení s kľúčovým slovom Given. Dizajn Dané-Nájsť

Ak je daná rovnica f(X) = 0, potom to možno vyriešiť nasledovne pomocou bloku Dané - Nájsť:

Nastavte počiatočnú aproximáciu

Zadajte servisné slovo

Napíšte rovnicu pomocou znamienka tučné rovná sa

Napíšte funkciu find s neznámou premennou ako parametrom

V dôsledku toho sa po znamienku rovnosti zobrazí nájdený koreň.

Ak existuje niekoľko koreňov, potom ich možno nájsť zmenou počiatočnej aproximácie x0 na jednu blízko požadovaného koreňa.

Príklad. Riešenie rovnice pomocou funkcie find je znázornené na obrázku 3.3.

Ryža. 3.3. Riešenie rovnice pomocou funkcie find

Niekedy je potrebné označiť niektoré body na grafe (napríklad priesečníky funkcie s osou Ox). Na to potrebujete:

Zadajte hodnotu x daného bodu (pozdĺž osi Ox) a hodnotu funkcie v tomto bode (pozdĺž osi Oy);

dvakrát kliknite na graf a v okne formátovania na karte stopy pre príslušnú čiaru vyberte typ grafu - body, hrúbku čiary - 2 alebo 3.

Príklad. V grafe je znázornený priesečník funkcie s osou x. Koordinovať X tento bod bol nájdený v predchádzajúcom príklade: X= 2,742 (koreň rovnice ) (obr. 3.4).

Ryža. 3.4. Graf funkcie s vyznačeným priesečníkom

V okne formátovania grafu na karte stopy pre stopa2 zmenené: typ grafu - body, hrúbka čiary - 3, farba - čierna.

7. Riešenie sústav rovníc

7. 1 Riešenie sústav lineárnych rovníc

Systém lineárnych rovníc je možné vyriešiť m maticová metóda (buď prostredníctvom inverznej matice alebo pomocou funkcie vyriešiť(A,B)) a pomocou dvoch funkcií Nájsť a funkcie Minerr.

Maticová metóda

Príklad. Sústava rovníc je daná:

Riešenie tejto sústavy rovníc maticovou metódou je znázornené na obrázku 4.1.

Ryža. 4.1. Riešenie sústavy lineárnych rovníc maticovou metódou

Použitie funkcievyriešiť(A, B)

Lvyriešiť(A,B) je vstavaná funkcia, ktorá vracia vektor X pre systém lineárnych rovníc s maticou koeficientov A a vektorom voľných členov B .

Príklad. Sústava rovníc je daná:

Spôsob riešenia tohto systému pomocou funkcie lsolve(A,B) je znázornený na obrázku 4.2.

Ryža. 4.2. Riešenie sústavy lineárnych rovníc pomocou funkcie lsolve

Riešenie sústavy lineárnych rovníccezfunkcieaNájsť

Pri tejto metóde sa rovnice zadávajú bez použitia matíc, t.j. v „prírodnej forme“. Najprv je potrebné uviesť počiatočné aproximácie neznámych premenných. Môže to byť ľubovoľné číslo v rámci definície. Často si ich mýlia s kolónkou voľných členov.

Za účelom riešenia sústavy lineárnych rovníc pomocou výpočtovej jednotky Dané - Nájsť, potrebné:

2) zadajte servisné slovo Dané;

tučné rovná sa();

4) napíšte funkciu Nájsť,

Príklad. Sústava rovníc je daná:

Riešenie tohto systému pomocou výpočtovej jednotky Dané - Nájsť znázornené na obrázku 4.3.

Ryža. 4.3. Riešenie sústavy lineárnych rovníc pomocou funkcie Find

Približná priešenie sústavy lineárnych rovníc

Riešenie sústavy lineárnych rovníc pomocou funkcie Minerr podobne ako pri riešení pomocou funkcie Nájsť(pomocou rovnakého algoritmu), iba funkcia Nájsť dáva presné riešenie a Minerr-- približný. Ak v dôsledku vyhľadávania nie je možné získať ďalšie spresnenie súčasnej aproximácie k riešeniu, Baníkr vráti túto aproximáciu. Funkcia Nájsť v tomto prípade vráti chybové hlásenie.

Môžete si vybrať inú počiatočnú aproximáciu.

· Môžete zvýšiť alebo znížiť presnosť výpočtu. Ak to chcete urobiť, vyberte z ponuky Matematika > možnosti(Matematika - Možnosti), tab postavený- InPremenné(Vstavané premenné). Na karte, ktorá sa otvorí, musíte znížiť prípustnú chybu výpočtu (Tolerancia konvergencie (TOL)). Predvolená TOL = 0,001.

ATpozornosť. Pri metóde maticového riešenia je potrebné preusporiadať koeficienty podľa nárastu neznámych X 1, X 2, X 3, X 4.

7. 2 Riešenie sústav nelineárnych rovníc

Systémy nelineárnych rovníc v MathCADe sú riešené pomocou výpočtovej jednotky Dané - Nájsť.

Dizajn Dané - Nájsť používa výpočtovú techniku ​​založenú na nájdení koreňa v blízkosti počiatočného aproximačného bodu určeného používateľom.

Riešiť sústavu rovníc pomocou bloku Dané - Nájsť potrebné:

1) nastaviť počiatočné aproximácie pre všetky premenné;

2) zadajte servisné slovo Dané;

3) zapíšte sústavu rovníc pomocou znamienka tučné rovná sa();

4) napíšte funkciu Nájsť, výpisom neznámych premenných ako funkčných parametrov.

V dôsledku výpočtov sa zobrazí vektor riešenia systému.

Ak má systém niekoľko riešení, algoritmus by sa mal zopakovať s ďalšími počiatočnými odhadmi.

Poznámka. Ak sa rieši sústava dvoch rovníc s dvomi neznámymi, je vhodné pred jej riešením vykresliť grafy funkcií, aby sme skontrolovali, či má sústava korene (či sa grafy daných funkcií prelínajú), a ak áno, koľko. Počiatočnú aproximáciu je možné zvoliť podľa grafu bližšie k priesečníku.

Príklad. Daný systém rovníc

Pred riešením sústavy zostrojíme grafy funkcií: paraboly (prvá rovnica) a priamka (druhá rovnica). Zostrojenie grafu priamky a paraboly v jednom súradnicovom systéme je na obrázku 4.5:

Ryža. 4.5. Vykreslenie dvoch funkcií v rovnakom súradnicovom systéme

Priamka a parabola sa pretínajú v dvoch bodoch, čo znamená, že sústava má dve riešenia. Podľa grafu volíme počiatočné aproximácie neznámych X a r za každé riešenie. Hľadanie koreňov sústavy rovníc je znázornené na obrázku 4.6.

Ryža. 4.6. Hľadanie koreňov sústavy nelineárnych rovníc

Aby sme na grafe vyznačili priesečníky paraboly a priamky, zavedieme súradnice bodov nájdených pri riešení sústavy pozdĺž osi Ox (hodnoty X ) a pozdĺž osi Oy (hodnoty pri ) oddelené čiarkami. V okne formátovania grafu na karte stopy pre stopa3 a stopa4 zmena: typ grafu - body, hrúbka čiary - 3, farba - čierna (obr. 4.7).

Ryža. 4.7. Funkčné grafy s vyznačenými priesečníkmi

8 . Kľúčové vlastnosti Príklady použitia MathCAD vyriešiť nejaké matematické úlohy

Táto časť poskytuje príklady riešenia problémov, ktoré si vyžadujú riešenie rovnice alebo sústavy rovníc.

8. 1 Nájdenie lokálnych extrémov funkcií

Nevyhnutná podmienka pre extrém (maximum a/alebo minimum) spojitej funkcie je formulovaná nasledovne: extrémy môžu nastať len v tých bodoch, kde sa derivácia rovná nule alebo neexistuje (najmä sa stáva nekonečnom) . Ak chcete nájsť extrémy spojitej funkcie, najskôr nájdite body, ktoré spĺňajú nevyhnutnú podmienku, teda nájdite všetky skutočné korene rovnice.

Ak je vytvorený funkčný graf, potom môžete okamžite vidieť - v danom bode je dosiahnuté maximum alebo minimum X. Ak neexistuje graf, potom sa každý z nájdených koreňov skúma jedným zo spôsobov.

1 s príspevok . S vyrovnať e znaky derivátu . Určí sa znamienko derivácie okolia bodu (v bodoch, ktoré sú oddelené od extrému funkcie na rôznych stranách v malých vzdialenostiach). Ak sa znamienko derivácie zmení z „+“ na „-“, potom má funkcia v tomto bode maximum. Ak sa znamienko zmení z "-" na "+", potom má funkcia v tomto bode minimum. Ak sa znamienko derivácie nemení, neexistujú žiadne extrémy.

2. s príspevok . AT výpočty e druhý derivát . V tomto prípade sa druhá derivácia vypočíta v extrémnom bode. Ak je menšia ako nula, potom má funkcia v tomto bode maximum, ak je väčšia ako nula, tak minimum.

Príklad. Hľadanie extrémov (minimál/maximám) funkcie.

Najprv si zostavme graf funkcie (obr. 6.1).

Ryža. 6.1. Vykreslenie funkcie

Určme z grafu počiatočné aproximácie hodnôt X zodpovedajúce lokálnym extrémom funkcie f(X). Nájdite tieto extrémy riešením rovnice. Na riešenie používame blok Dané - Nájsť (obr. 6.2.).

Ryža. 6.2. Nájdenie lokálnych extrémov

Definujme typ extrémov pervspôsobom, skúmajúc zmenu znamienka derivácie v blízkosti zistených hodnôt (obr. 6.3).

Ryža. 6.3. Určenie typu extrému

Z tabuľky hodnôt derivácie a z grafu je zrejmé, že znamienko derivácie v blízkosti bodu X 1 sa zmení z plus na mínus, takže funkcia v tomto bode dosiahne maximum. A v blízkosti bodu X 2 sa znamienko derivácie zmenilo z mínus na plus, takže v tomto bode funkcia dosahuje minimum.

Definujme typ extrémov druhýspôsobom, výpočet znamienka druhej derivácie (obr. 6.4).

Ryža. 6.4. Určenie typu extrému pomocou druhej derivácie

Je vidieť, že v bode X 1 je druhá derivácia menšia ako nula, teda bod X 1 zodpovedá maximu funkcie. A v podstate X 2 je druhá derivácia väčšia ako nula, teda bod X 2 zodpovedá minimu funkcie.

8.2 Určenie plôch obrazcov ohraničených súvislými čiarami

Plocha krivočiareho lichobežníka ohraničená grafom funkcie f(X) , segment na osi Ox a dve vertikály X = a a X = b, a < b, sa určuje podľa vzorca: .

Príklad. Nájdenie oblasti postavy ohraničenej čiarami f(X) = 1 - X 2 a r = 0.

Ryža. 6.5. Nájdenie oblasti postavy ohraničenej čiarami f(X) = 1 - X 2 a r = 0

Oblasť obrázku uzavretá medzi grafmi funkcií f1(X) a f2(X) a priamy X = a a X = b, sa vypočíta podľa vzorca:

Pozornosť. Aby sa predišlo chybám pri výpočte plochy, rozdiel funkcií sa musí brať modulo. Oblasť teda bude vždy pozitívna.

Príklad. Nájdenie oblasti postavy ohraničenej čiarami a. Riešenie je znázornené na obrázku 6.6.

1. Zostavíme graf funkcií.

2. Pomocou koreňovej funkcie nájdeme priesečníky funkcií. Počiatočné aproximácie určíme z grafu.

3. Nájdené hodnoty X sa do vzorca dosadia ako hranice integrácie.

8. 3 Konštrukcia kriviek danými bodmi

Konštrukcia priamky prechádzajúcej cez dva dané body

Napísať rovnicu priamky prechádzajúcej cez dva body A( X 0,r 0) a B( X 1,r 1) sa navrhuje nasledujúci algoritmus:

1. Priamka je daná rovnicou r = sekera + b,

kde a a b sú koeficienty čiary, ktoré musíme nájsť.

2. Tento systém je lineárny. Má dve neznáme premenné: a a b

Príklad. Konštrukcia priamky prechádzajúcej bodmi A(-2,-4) a B(5,7).

Do rovnice dosadíme priame súradnice týchto bodov a získame systém:

Riešenie tohto systému v MathCAD je znázornené na obrázku 6.7.

Ryža. 6.7 Systémové riešenie

Výsledkom riešenia systému je: a = 1.57, b= -0,857. Takže rovnica priamky bude vyzerať takto: r = 1.57X- 0,857. Zostrojme túto priamku (obr. 6.8).

Ryža. 6.8. Budovanie priamky

Konštrukcia paraboly, prechádza cez tri dané body

Zostrojiť parabolu prechádzajúcu cez tri body A( X 0,r 0), B( X 1,r 1) a C( X 2,r 2), algoritmus je nasledujúci:

1. Parabola je daná rovnicou

r = sekera 2 + bX + s, kde

a, b a s sú koeficienty paraboly, ktoré musíme nájsť.

Dané súradnice bodov dosadíme do tejto rovnice a dostaneme sústavu:

.

2. Tento systém je lineárny. Má tri neznáme premenné: a, b a s. Systém je možné riešiť maticovým spôsobom.

3. Získané koeficienty dosadíme do rovnice a zostavíme parabolu.

Príklad. Zostrojenie paraboly prechádzajúcej bodmi A(-1,-4), B(1,-2) a C(3,16).

Dané súradnice bodov dosadíme do rovnice paraboly a dostaneme sústavu:

Riešenie tejto sústavy rovníc v MathCAD je znázornené na obrázku 6.9.

Ryža. 6.9. Riešenie sústavy rovníc

V dôsledku toho sa získajú koeficienty: a = 2, b = 1, c= -5. Dostaneme parabolickú rovnicu: 2 X 2 +X -5 = r. Zostrojme túto parabolu (obr. 6.10).

Ryža. 6.10. Konštrukcia paraboly

Zostrojenie kružnice prechádzajúcej tromi danými bodmi

Zostrojiť kružnicu prechádzajúcu tromi bodmi A( X 1,r 1), B( X 2,r 2) a C( X 3,r 3), môžete použiť nasledujúci algoritmus:

1. Kruh je daný rovnicou

,

kde x0,y0 sú súradnice stredu kruhu;

R je polomer kruhu.

2. Dosaďte dané súradnice bodov do rovnice kružnice a získajte sústavu:

.

Tento systém je nelineárny. Má tri neznáme premenné: X 0, r 0 a R. Systém je riešený pomocou výpočtovej jednotky Dané - Nájsť.

Príklad. Zostrojenie kružnice prechádzajúcej tromi bodmi A(-2.0), B(6.0) a C(2.4).

Dané súradnice bodov dosadíme do rovnice kružnice a dostaneme sústavu:

Riešenie systému v MathCAD je znázornené na obrázku 6.11.

Ryža. 6.11. Systémové riešenie

Výsledkom riešenia systému bolo nasledovné: X 0 = 2, r 0 = 0, R = 4. Do rovnice kruhu dosaďte získané súradnice stredu kružnice a polomeru. Dostaneme: . Expres odtiaľto r a zostrojte kruh (obr. 6.12).

Ryža. 6.12. Konštrukcia kruhu

Podobné dokumenty

Použitie hodnotených premenných v softvérovom balíku Mathcad. Tvorba matíc bez použitia maticových šablón, popis operátorov pre prácu s vektormi a maticami. Riešenie sústav lineárnych a nelineárnych rovníc pomocou funkcií Mathcadu.

kontrolné práce, doplnené 3.6.2011


Celkový pohľad na okno MathCad, menu panela nástrojov skúmaného programu. Dokument MathCad, jeho všeobecná charakteristika a spôsoby úpravy. Oddelenie oblastí a kontextové menu, výrazy. Definícia diskrétneho argumentu, premenných a konštánt.

prezentácia, pridané 29.09.2013


Pojem matematický model a modelovanie. Všeobecné informácie o systéme MathCad. Štrukturálna analýza problému v MathCAD. Režim kontinuálnych symbolických transformácií. Optimalizácia číselných kariet prostredníctvom symbolických konverzií. Výpočet podpornej reakcie.

semestrálna práca, pridaná 3.6.2014


Účel a zloženie systému MathCAD. Hlavné objekty vstupného jazyka a implementačného jazyka. Charakteristika prvkov používateľského rozhrania, nastavenie skladby panelov nástrojov. Problémy lineárnej algebry a riešenie diferenciálnych rovníc v MathCAD.

priebeh prednášok, doplnené 13.11.2010


Všeobecné informácie o systéme Mathcad. Okno a panely nástrojov programu Mathcad. Výpočet algebraických funkcií. Interpolácia funkcií pomocou kubických splajnov. Výpočet druhej odmocniny. Analýza numerickej diferenciácie a integrácie.

ročníková práca, pridaná 25.12.2014


Štúdium štruktúry pracovného dokumentu MathCad - program určený na automatizáciu matematických výpočtov. Práca s premennými, funkciami a maticami. Aplikácia MathCad na vykresľovanie, riešenie rovníc a symbolické výpočty.

prezentácia, pridané 03.07.2013


Pojem matematického modelu, vlastnosti a klasifikácia. Charakteristika prvkov systému Mathcad. Algoritmická analýza problému: popis matematického modelu, grafická schéma algoritmu. Implementácia základného modelu a popis štúdia MathCAD.

abstrakt, pridaný 20.03.2014


Mathcad a jeho základné pojmy. Schopnosti a funkcie systému v maticovom počte. Najjednoduchšie operácie s maticami. Riešenie sústav lineárnych algebraických rovníc. Vlastné vektory. Choleský rozklad. Elementárna teória lineárnych operátorov.

ročníková práca, pridaná 25.11.2014


Hlavné prvky systému MathCAD, prehľad jeho možností. Systémové rozhranie, koncept konštrukcie dokumentu. Dátové typy, systémový vstupný jazyk. Klasifikácia štandardných funkcií. Grafické možnosti systému MathCAD. Riešenie systémových rovníc.

priebeh prednášok, doplnené 3.1.2015


Úvod do textových editorov Windows. Nastavenie editora Microsoft Word. Vývoj dokumentu MS Excel. Tvorba WWW stránok v prostredí MS Word. Stavebné rámy. Správa možností písma. Vykresľovanie v matematickom balíku MathCad.

Mathcad je softvérový nástroj, prostredie na vykonávanie rôznych matematických a technických výpočtov na počítači, vybavený ľahko naučiteľným a ľahko použiteľným grafickým rozhraním, ktoré používateľovi poskytuje nástroje na prácu so vzorcami, číslami, grafmi a texty. V prostredí Mathcadu je k dispozícii viac ako sto operátorov a logických funkcií určených na numerické a symbolické riešenie matematických problémov rôznej zložitosti.

Na automatizáciu matematických, inžinierskych a vedeckých výpočtov sa používajú rôzne výpočtové nástroje – od programovateľných mikrokalkulátorov až po superpočítače. A napriek tomu takéto výpočty pre mnohých zostávajú ťažkou záležitosťou. Okrem toho používanie počítačov na výpočty prinieslo nové ťažkosti: pred začatím výpočtov musí používateľ ovládať základy algoritmizácie, naučiť sa jeden alebo viac programovacích jazykov, ako aj numerické metódy výpočtu. Situácia sa výrazne zmenila po vydaní špecializovaných softvérových systémov na automatizáciu matematických a inžinierskych výpočtov.

Medzi takéto komplexy patria softvérové ​​balíky Mathcad, MatLab, Mathematica, Maple, MuPAD, Derive atď. Špeciálne postavenie v tejto sérii zaujíma Mathcad.

Mathcad je integrovaný systém na riešenie matematických, inžinierskych a vedeckých problémov. Obsahuje textový editor a editor vzorcov, kalkulačku, vedecké a obchodné grafické nástroje, ako aj obrovskú databázu referenčných informácií, matematických aj inžinierskych, navrhnutých ako referenčná kniha zabudovaná do Mathcadu, súbor elektronických kníh a obyčajných „papierových“ knihy vrátane a v ruštine

Textový editor slúži na zadávanie a úpravu textov. Texty sú komentáre a matematické výrazy v nich obsiahnuté sa nevykonávajú. Text môže pozostávať zo slov, matematických symbolov, výrazov a vzorcov.

Procesor vzorcov poskytuje prirodzenú "viacpríbehovú" sadu vzorcov v známom matematickom zápise (delenie, násobenie, druhá odmocnina, integrál, súčet atď.). Najnovšia verzia Mathcadu plne podporuje azbuku v komentároch, vzorcoch a grafoch.

Kalkulačka poskytuje výpočty pomocou zložitých matematických vzorcov, má veľkú sadu vstavaných matematických funkcií, umožňuje počítať série, súčty, súčin, integrály, derivácie, pracovať s komplexnými číslami, riešiť lineárne a nelineárne rovnice, ako aj diferenciálne rovnice. a systémov, minimalizovať a maximalizovať funkcie, vykonávať vektorové a maticové operácie, štatistické analýzy atď. Môžete jednoducho zmeniť bitovú hĺbku a základ čísel (binárne, osmičkové, desiatkové a hexadecimálne), ako aj chybu iteračných metód. Automatická kontrola rozmerov a prepočet v rôznych systémoch merania (SI, GHS, anglo-americký, ako aj vlastný).

Mathcad má vstavané nástroje symbolickej matematiky, ktoré vám umožňujú riešiť problémy pomocou počítačových analytických transformácií.

GPU sa používa na vytváranie grafov a tabuliek. Spája v sebe jednoduchosť komunikácie s používateľom so silou obchodnej a vedeckej grafiky. Grafika je zameraná na riešenie typických matematických problémov. Je možné rýchlo meniť typ a veľkosť grafov, prekrývať na ne textové štítky a presúvať ich na ľubovoľné miesto v dokumente.

Mathcad je univerzálny systém, t.j. možno použiť v akejkoľvek oblasti vedy a techniky - všade tam, kde sa uplatňujú matematické metódy. Písanie príkazov v systéme Mathcad v jazyku veľmi blízkom štandardnému jazyku matematických výpočtov zjednodušuje formuláciu a riešenie problémov.

Mathcad je integrovaný so všetkými ostatnými počítačovými skórovacími systémami.

Mathcad uľahčuje riešenie problémov, ako sú:

zadávanie rôznych matematických výrazov na počítači (na ďalšie výpočty alebo vytváranie dokumentov, prezentácií, webových stránok alebo elektronických a bežných „papierových“ kníh);

vykonávanie matematických výpočtov (analytické aj numerické metódy);

príprava grafov (dvojrozmerných aj trojrozmerných) s výsledkami výpočtov;

vkladanie počiatočných údajov a výstup výsledkov do textových súborov alebo súborov s databázami v iných formátoch;

príprava pracovných správ vo forme tlačených dokumentov;

Príprava webových stránok a publikovanie výsledkov na internete;

získavanie rôznych referenčných informácií

a mnoho ďalších úloh.

Od verzie 14 je Mathcad integrovaný s Pro/ENGINEER (ako aj so SolidWorks). Integrácia Mathcad a Pro/ENGINEER je založená na obojsmernej komunikácii medzi týmito aplikáciami. Ich používatelia môžu jednoducho prepojiť akýkoľvek súbor Mathcad s dielom a zostavou Pro/ENGINEER pomocou funkcie analýzy funkcií Pro/ENGINEER.

Mathcad vytvára pohodlné výpočtové prostredie pre širokú škálu matematických výpočtov a dokumentácie výsledkov práce v rámci schválených noriem. Mathcad vám umožňuje vytvárať korporátne a priemyselne certifikované výpočtové nástroje v rôznych oblastiach vedy a techniky, pričom poskytuje jednotnú metodiku pre všetky organizácie, ktoré sú súčasťou korporácie alebo priemyslu.

Najnovšia verzia Mathcadu podporuje 9 jazykov, umožňuje výkonnejšie a jasnejšie výpočty.

NEEDHAM (Massachusetts). 12. februára 2007 spoločnosť PTC (uvedený na burze Nasdaq: PMTC), spoločnosť zaoberajúca sa vývojom systémov CAD/CAM/CAE/PLM, oznámila vydanie Mathcad 14.0, najnovšej verzie obľúbeného systému automatizácie inžinierskych výpočtov. Od akvizície Mathsoft v apríli 2006 PTC zameralo svoje úsilie na ďalšie rozširovanie geografického dosahu technológie Mathcad a výrazné zvýšenie používateľskej základne. Mathcad 14.0 výrazne rozširuje možnosti používateľov pri riešení stále rastúcich výpočtových úloh, zlepšuje súdržnosť výpočtových podkladov počas celého procesu vývoja produktu.

V dnešnom globálnom rozdelení procesu vývoja produktov sa vedecké a technické výpočty stávajú mimoriadne dôležitými. S vydaním Mathcad 14.0 poskytuje PTC plnú podporu Unicode a čoskoro bude ponúkať produkt v deviatich jazykoch. Novinkou medzi nimi budú jazyky ako taliančina, španielčina, kórejčina a čínština – tradičná aj zjednodušená. Rozšírená jazyková podpora v Mathcad 14.0 umožní geograficky rozptýleným tímom vykonávať a dokumentovať výpočty v ich miestnom jazyku a v dôsledku toho zvýšiť produktivitu zvýšením jeho rýchlosti a presnosti, ako aj znížením chýb, ktoré sa vyskytujú pri prekladoch z jedného jazyka do druhého.

Mathcad 14.0 tiež umožňuje vykonávať zložitejšie výpočty pri zachovaní ich prehľadnosti s novými funkciami WorkSheet (dokument otvorený v prostredí Mathcadu), ďalšími online nástrojmi na numerické vyhodnocovanie a rozšírenou znakovou sadou. To pomôže používateľom pri odvodzovaní vzorcov, zobrazovaní výpočtového procesu a dokumentovaní výpočtov. V konečnom dôsledku vyhradené doplnky umožnia používateľom pracovať na širšom spektre inžinierskych úloh.

Integrácia Mathcad a Pro/ENGINEER je založená na obojsmernej komunikácii medzi týmito aplikáciami. Ich používatelia môžu jednoducho prepojiť akýkoľvek súbor Mathcad s dielom a zostavou Pro/ENGINEER pomocou funkcie analýzy funkcií Pro/ENGINEER. Základné hodnoty vypočítané v systéme Mathcad je možné previesť do parametrov a rozmerov modelu CAD na ovládanie geometrického objektu. Parametre z modelu Pro/ENGINEER je možné zadať aj do Mathcadu pre následné inžinierske výpočty. Pri zmene parametrov umožňuje vzájomná integrácia oboch systémov dynamicky aktualizovať výpočty a výkres objektu. Navyše, modely Pro/ENGINEER riadené Mathcadom možno teraz overiť pomocou simulačných modulov Pro/ENGINEER, ako sú Pro/ENGINEER Mechanica®, Structural And Thermal Simulation, Fatique Advisor Option a Mechanism Dynamics Option.

Čo je nové v Mathcad 14.0?

Nový tandem operátorov rozhrania ("Dva v jednom")

Formát čísel na grafoch

Zmeny príkazov Nájsť/Nahradiť

Porovnať príkaz

Novinka v riešení ODE

Nové prostriedky symbolickej matematiky

Podpora tabuľky kódov Unicode

Používateľské rozhranie

Používateľské rozhranie znamená sadu nástrojov grafického shellu Math CAD, ktoré poskytujú jednoduché ovládanie systému, a to z klávesnice aj myši. Ovládaním sa rozumie len súbor potrebných symbolov, vzorcov, textových komentárov a pod., a možnosť kompletnej prípravy dokumentov (Pracovné listy) a elektronických kníh v prostredí MathCAD s ich následným spustením v reálnom čase. Používateľské rozhranie systému je navrhnuté tak, aby používateľ so základnými zručnosťami práce s aplikáciami Windows mohol okamžite začať pracovať s MathCADom.

Upraviť okno.

Hlavné menu systému.

Druhý riadok systémového okna je hlavná ponuka. Účel jeho príkazov je uvedený nižšie:

Súbor (File) - práca so súbormi, internetom a elektronickou poštou;

ZLOM STRANY--

Rozbaľovacia ponuka obsahuje príkazy, ktoré sú štandardné pre aplikácie Windows.

Edit (Editing) - úprava dokumentov;

Roletová ponuka obsahuje aj príkazy, ktoré sú štandardné pre aplikácie Windows.Väčšina z nich je dostupná len vtedy, ak je v dokumente vybratá jedna alebo viac oblastí (text, vzorec, graf atď.).

Zobraziť (Prehľad) - zmeniť spôsob kontroly;

Panely nástrojov (Panely) - umožňuje zobraziť alebo skryť panely nástrojov Štandardné (Štandardné), Formátovanie (Formátovanie), Matematika (Matematika).

Stavový riadok – umožňuje povoliť alebo zakázať zobrazenie stavového riadka systému.

Pravítko (pravítko) - zapnutie/vypnutie pravítka.

Regióny (Borders) – Zviditeľní okraje regiónov (text, grafika, vzorce).

Zoom (zoom).

Refresh – obnoví obsah obrazovky.

Animovať (Animácia) - Príkaz umožňuje vytvoriť animáciu.

Prehrávanie (prehrávač) – Prehrávanie animácie uloženej v súbore s príponou AVI.

Predvoľby (Nastavenia) - Jedna zo záložiek vyskakovacieho okna (Všeobecné) umožňuje nastaviť niektoré parametre programu, ktoré nemajú vplyv na výpočty, druhá záložka (Internet) slúži na zadávanie informácií pri spolupráci s MathCADom. - dokumenty cez internet.

Vložiť (Vložiť) – Príkazy v tejto ponuke vám umožňujú umiestniť grafiku, funkcie, hypertextové odkazy, komponenty a vložiť objekty do dokumentu MathCAD.

Formát - zmena formátu objektov

Rovnica – Formátovanie vzorcov a vytváranie vlastných štýlov na reprezentáciu údajov

Result(Result) - Umožňuje nastaviť formát pre prezentáciu výsledkov výpočtov.(Pozri časť 1.4 tejto prednášky)

Text(Text) – formátovanie fragmentov textu (font, veľkosť, štýl)

Paragraf (Odsek) – Zmeňte formát aktuálneho odseku (odsadenie, zarovnanie).

Tabs (Tabulation) – Nastavenie polohy tabuľkových značiek.

Štýl (Style) - Formátovanie odsekov textu.

Vlastnosti (Vlastnosti) - Zobrazenie kariet (Zobrazenie) umožňuje nastaviť farbu pozadia pre najdôležitejšie textové a grafické oblasti; obrázok vložený do dokumentu (Vložiť -> Obrázok) umožňuje vložiť ho do rámu, vrátiť ho do pôvodnej veľkosti. Výpočet Vkvadka (Výpočet) vám umožňuje povoliť a zakázať výpočet pre vybraný vzorec; v druhom prípade sa v pravom hornom rohu oblasti vzorca zobrazí malý čierny obdĺžnik a vzorec sa stane komentárom.

Graf (Graph) - Umožňuje zmeniť parametre pre zobrazovanie grafov

Oddelené oblasti – umožňuje rozšíriť prekrývajúce sa oblasti.

Zarovnať oblasti – zarovná vybrané oblasti horizontálne alebo vertikálne.

Hlavičky/päty (Headers and footers) - vytváranie a úprava hlavičiek a pätiek.

Repaganite Now (Prečíslovanie strán) – Rozdelenie aktuálneho dokumentu na strany.

Math (Mathematics) - riadenie procesu výpočtu; MathCAD má dva režimy výpočtu: automatický a manuálny. V automatickom režime sú výsledky výpočtov úplne aktualizované, keď dôjde k akejkoľvek zmene vo vzorci.

Automatický výpočet – umožňuje prepínať režimy výpočtu.

Vypočítať – V režime manuálneho výpočtu vám umožňuje prepočítať viditeľnú časť obrazovky.

Optimalizácia (Optimalizácia) - Pomocou tohto príkazu môžete prinútiť MathCAD vykonať symbolické výpočty pred numerickým vyhodnotením výrazu a pri hľadaní kompaktnejšej podoby výrazu ho použiť. Ak bol výraz optimalizovaný, napravo od neho sa zobrazí malá červená hviezdička. Dvojitým kliknutím naň sa otvorí okno s optimalizovaným výsledkom.

Možnosti – umožňuje nastaviť možnosti výpočtu

Symbolik (Symboly) - výber operácií symbolického procesora;

Pozície tohto menu sú podrobne rozobraté v 6. prednáške venovanej symbolickým výpočtom v systéme MathCAD.

Window (Window) - správa systémových okien;

Pomocník (?) – práca s referenčnou databázou o systéme;

Pomocník Mathcadu (Pomocník pre MathCAD) – obsahuje tri záložky: Obsah – Pomocník je usporiadaný podľa tém; Index - predmetový index; Hľadať – nájde požadovaný koncept pri zadávaní do formulára.

Resource Center - Informačné centrum obsahujúce prehľad výpočtových možností MathCADu (Prehľad a Návody), rýchlu pomoc vo forme príkladov z rôznych oblastí matematiky (Rýchle prehľady a Referenčné tabuľky).

Tip dňa – kontextové okná s užitočnými tipmi (zobrazia sa pri zavádzaní systému).

Open Book – umožňuje vám otvoriť referenciu systému MathCAD.

O Mathcad (O programe Mathcad) - informácie o verzii programu, autorských právach a užívateľovi.

Každá položka hlavného menu môže byť aktivovaná. Ak to chcete urobiť, stačí naň ukázať kurzorom - šípkou myši a stlačiť jej ľavé tlačidlo. Môžete tiež stlačiť kláves F10 a použiť pravé a ľavé navigačné klávesy. Výber sa potom zafixuje stlačením klávesu Enter. Ak je niektorá pozícia hlavnej ponuky aktivovaná, zobrazí sa rozbaľovacia podponuka so zoznamom dostupných a nedostupných (ale v budúcnosti možných) operácií. Pohyb v zozname podmenu a výber požadovanej operácie sa vykonáva rovnakým spôsobom, ako je popísané pre hlavné menu.

Štandardný panel nástrojov.

Tretí riadok systémového okna zaberá Toolbox. Obsahuje niekoľko skupín ovládacích tlačidiel s ikonami, z ktorých každá duplikuje jednu z najdôležitejších operácií hlavného menu. Hneď ako zastavíte kurzor myši na niektorej z týchto ikon, v žltom poli sa objaví text vysvetľujúci funkcie ikon. Zvážte činnosť tlačidiel pre rýchle ovládanie systému.

Tlačidlá ovládania súborov.

Dokumenty systému MathCAD sú súbory, t.j. pomenované pamäťové jednotky na magnetických diskoch. Súbory je možné vytvárať, sťahovať (otvárať), zaznamenávať a tlačiť na tlačiarni. Možné operácie so súbormi sú zobrazené na paneli nástrojov pomocou prvej skupiny troch tlačidiel:

Nový pracovný hárok (Vytvoriť) - vytvorenie nového dokumentu s vymazaním editačného okna;

Otvoriť pracovný hárok (Otvoriť) - načítanie predtým vytvoreného dokumentu z dialógového okna;

Uložiť pracovný hárok - zaznamenajte aktuálny dokument s jeho názvom.

Tlač a kontrola dokumentov.

Print Worksheet (Print) - tlač dokumentu na tlačiarni;

Print Preview (View) - náhľad dokumentu;

Kontrola pravopisu – kontrola pravopisu dokumentu.

Tlačidlá pre operácie úprav.

Pri príprave podkladov je potrebné ich upravovať, t.j. upravovať a dopĺňať.

Pokračovanie
--ZLOM STRANY--

Vystrihnúť (Vystrihnúť) - presun vybranej časti dokumentu do schránky s vymazaním tejto časti dokumentu;

Kopírovať (Kopírovať) - skopírovanie vybranej časti dokumentu do schránky pri uložení vybranej časti dokumentu;

Vložiť (Vložiť) - prenesenie obsahu schránky do okna úprav na miesto označené kurzorom myši;

Vrátiť späť - zrušenie predchádzajúcej operácie úprav;

Posledné tri operácie súvisia s používaním schránky. Je určený na dočasné ukladanie dát a ich prenos z jednej časti dokumentu do druhej alebo na organizovanie výmeny dát medzi rôznymi aplikáciami.

Tlačidlá umiestnenia blokov.

Dokumenty pozostávajú z rôznych blokov: textových, formálnych, grafických atď. Bloky sú prezerané systémom, interpretované a vykonávané. Zobrazenie je sprava doľava a zdola nahor.

/>- Align Across (Align horizontally) - bloky sú zarovnané vodorovne.

/>- Align Down - bloky sú zarovnané vertikálne, zhora nadol.

Piktogramy týchto tlačidiel zobrazujú bloky a naznačené možnosti ich umiestnenia.

Tlačidlá na ovládanie výrazov

Bloky vzorcov sú často vypočítané výrazy alebo výrazy, ktoré sú súčasťou nových funkcií definovaných používateľom. Na prácu s výrazmi sa používajú ikony.

Nasledujúce skupiny tlačidiel sú špecifické pre systém MathCAD.

/>Vložiť funkciu - vloženie funkcie zo zoznamu, ktorý sa zobrazí v dialógovom okne;

/>Vložiť jednotku (Vložiť jednotky) - vložte merné jednotky;

Prístup k novým funkciám MathCADu.

Od verzie MathCAD 7.0 sa objavili nové tlačidlá, ktoré umožňujú prístup k novým funkciám systému:

/>Sprievodca komponentmi - otvorí okno Sprievodca, ktoré poskytuje jednoduchý prístup ku všetkým komponentom systému;

/>Ran Math Connex (Running the Math Connex system) – spúšťa systém na stimuláciu blokových zariadení.

Tlačidlá na ovládanie zdrojov.

/>Centrum zdrojov - poskytuje prístup do centra zdrojov;

/>Pomocník (Help) - poskytuje prístup k zdrojom databázy pomoci systému.

Panel formátovania.

Štvrtý riadok v hornej časti obrazovky obsahuje typické ovládacie prvky písma:

Štýl - Prepínač výberu štýlu;

Písmo – prepínač na výber znakovej sady;

Veľkosť bodu – prepínač na výber veľkostí znakov;

Tučné – nastavte tučné znaky;

Italik - Nastaviť znaky kurzívy;

Podčiarknutie – nastavenie podčiarknutých znakov;

Zarovnanie doľava – nastavenie zarovnania doľava;

Center Align – nastavenie zarovnania na stred;

Right Align – Nastavenie správneho zarovnania.

Kým sa nespustí sada prvkov dokumentu, niektoré z popísaných tlačidiel a ďalšie objekty používateľského rozhrania sú v pasívnom stave. Konkrétne neexistujú žiadne štítky v poliach prepínačov formátových panelov. Ikony a prepínače sa aktivujú hneď, ako ich treba použiť.

V spodnej časti obrazovky sa okrem vodorovného posúvača nachádza ešte jeden riadok – stavový riadok. Zobrazuje servisné informácie, krátke komentáre, číslo strany atď. Tieto informácie sú užitočné pre rýchle vyhodnotenie stavu systému pri práci s ním.

Sadzba matematických panelov nástrojov.

Na zadávanie matematických symbolov v MathCAD sa používajú pohodlné pohyblivé sádzacie panely so znakmi. Slúžia na výstup polotovarov - šablón matematických znakov (čísla, znaky aritmetických operácií, matice, znaky integrálov, derivácie a pod.). Ak chcete zobraziť panel Matematika, vykonajte príkaz Zobraziť -> Panel s nástrojmi -> Matematika. Panely pre sadzbu sa objavia v okne úpravy dokumentu, keď sú aktivované príslušné ikony - prvý riadok ikon ovládania systému. Pomocou bežného panela na sadzbu môžete zobraziť buď všetky panely naraz, alebo len tie, ktoré sú potrebné pre prácu. Na nastavenie požadovanej šablóny s ich pomocou stačí umiestniť kurzor na požadované miesto editačného okna (červený krížik na farebnom displeji) a následne aktivovať ikonu požadovanej šablóny umiestnením kurzora myši na ňu a stlačením tlačidla jeho ľavé tlačidlo.

Mnohé z funkcií a operácií, ktoré sa vkladajú do dokumentu pomocou matematických sádzacích políčok, možno do dokumentu umiestniť pomocou klávesových skratiek. Zároveň sa práca v systéme MathCAD stáva produktívnejšou. Odporúčame, aby ste si zapamätali klávesové skratky pre aspoň niektoré z najčastejšie používaných príkazov.

Viac podrobností o práci s ďalšími panelmi aktivovanými tlačidlami panela Matematika bude popísaných v príslušných častiach.

MINISTERSTVO ŠKOLSTVA A VEDY RUSKEJ FEDERÁCIE

Štátna vzdelávacia inštitúcia vyššieho odborného vzdelávania

"KAZANSKÁ ŠTÁTNA ENERGETICKÁ UNIVERZITA"

L.R. BELYAEVA, R.S. ZARIPOVÁ, R.A. ISHMURATOV

ZÁKLADY PRÁCE V MATHCAD

Metodické pokyny k praktickým cvičeniam

Kazaň 2012

MDT 621.37 LBC 32.811.3

Recenzenti:

Doktor fyzikálnych a matematických vied, profesor Kazanskej štátnej energetickej univerzity E.A. Popov;

Kandidát technických vied, docent Kazanskej národnej výskumnej technologickej univerzity M.Yu. Vasiliev

		Belyaeva L.R.
		Základy práce v MathCAD. Metodické pokyny k praktickým cvičeniam
		/ L.R. Belyaeva, R.S. Záripová, R.A. Ishmuratov - Kazaň: Kazaň. štát energie un-t, 2012.
		Prvá časť návodu poskytuje základné informácie o
		Mathcad 13 a ako pracovať s jeho textom, vzorcom a grafikou
		redaktorov. Zadávanie rôznych typov údajov, základy numerických a
		symbolické výpočty, vykresľovanie matematických funkcií, triky
		integrácia a diferenciácia pomocou MathCAD.
		V druhej časti je uvedený príklad praktického využitia softvéru
		Balík MathCAD pri riešení konštrukčnej úlohy rýchlosťou „Transformácia
		meracie signály“. Potrebné teoretické informácie pre
		riešenie výpočtovej úlohy, príklad výpočtu a jednotlivé úlohy pre
		študentov.
		Metodická príručka obsahuje aj kontrolné otázky na
		naštudovaný materiál a samostatné úlohy na upevnenie základov práce v
		Workshop je určený pre študentov odboru „Informácie a
		meracie zariadenia a technológie“ smer 200100 – Prístrojové vybavenie a
		ako aj študenti iných odborov a oblastí KSUE, študujúci
		odbory „Informatika“ a „Informačné technológie“.

© Kazan State Power Engineering University, 2012

Úvod

MathCAD je počítačový matematický systém, ktorý vám umožňuje vykonávať rôzne vedecké a inžinierske výpočty, od elementárnej aritmetiky až po komplexné implementácie numerických metód. Používatelia MathCADu sú študenti, vedci, inžinieri, technici.

MathCAD, na rozdiel od väčšiny ostatných moderných matematických aplikácií, je zostavený podľa princípu

WYSIWYG („Čo vidíš, to dostaneš“). Preto je jeho použitie veľmi jednoduché, najmä preto, že nie je potrebné najprv napísať program, ktorý implementuje určité matematické výpočty, a potom ho spustiť na spustenie. Namiesto toho jednoducho zadajte matematické výrazy pomocou vstavaného editora vzorcov a okamžite získate výsledok.

Zloženie MathCAD 13 obsahuje niekoľko navzájom integrovaných komponentov, ktorých kombinácia vytvára pohodlné výpočtové prostredie pre rôzne matematické výpočty a zároveň dokumentovanie výsledkov práce:

− výkonný textový editor, ktorý vám umožní zadávať, upravovať

a formátovať textové aj matematické výrazy;

− výpočtový procesor schopný vykonávať výpočty podľa zadaných vzorcov pomocou vstavaných numerických metód;

− symbolický procesor, čo je systém umelej inteligencie;

− obrovské úložisko referenčných informácií, matematických aj inžinierskych, navrhnuté ako knižnica interaktívnych elektronických kníh.

Na efektívnu prácu s editorom MathCAD stačí mať základné používateľské zručnosti. Podľa skutočných problémov musia inžinieri vyriešiť jednu alebo viacero z nasledujúcich úloh:

− zadávanie rôznych matematických výrazov na počítači (pre ďalšie výpočty alebo vytváranie dokumentov, prezentácií, webové stránky alebo e-knihy);

− vykonávanie matematických výpočtov;

− príprava grafov s výsledkami výpočtov;

− vkladanie počiatočných údajov a výstup výsledkov do textových súborov alebo súborov s databázami v iných formátoch;

− príprava pracovných správ vo forme tlačených dokumentov;

− príprava webových stránok a zverejňovanie výsledkov na internete;

− získavanie rôznych referenčných informácií z oblasti matematiky.

MathCAD 13 úspešne zvláda všetky tieto úlohy:

− matematické výrazy a text sa zadávajú pomocou editora vzorcov MathCAD, ktorý z hľadiska možností a jednoduchosti používania nie je horší ako editor vzorcov zabudovaný do

− matematické výpočty sa vykonávajú okamžite podľa zadaných vzorcov;

− grafy rôznych typov užívateľského výberu s bohatými možnosťami formátovania sa vkladajú priamo do dokumentov;

− je možné vkladať a odosielať údaje do súborov rôznych formátov;

− dokumenty je možné priamo v MathCAD vytlačiť vo forme, ktorú používateľ vidí na obrazovke počítača, alebo uložiť

v Formát RTF pre následnú úpravu v textových editoroch;

− je možné plne ukladať dokumenty MathCAD vo formáte dokumenty RTF, ako aj webové stránky vo formátoch HTML a XML;

− existuje možnosť spojiť užívateľom vytvorené dokumenty do elektronických kníh;

− symbolické výpočty vám umožňujú vykonávať analytické transformácie, ako aj okamžite získať rôzne referenčné matematické informácie.

Skutočným klenotom MathCADu, dostupným už v prvých verziách, bola podpora diskrétnych premenných, ktorá umožňovala súčasne počítať funkcie pre množstvo hodnôt argumentov, čo umožnilo zostavovať tabuľky a grafy bez použitia programovacích operátorov. Nástroje na vykresľovanie povrchu boli dovedené takmer k dokonalosti, čo vám umožňuje vytvárať umelecké diela z grafov. Komplexné inžinierske a technologické výpočty v prostredí MathCAD sú oveľa jednoduchšie, prehľadnejšie a niekoľkonásobne rýchlejšie ako v iných programoch.

Časť 1. TEORETICKÉ INFORMÁCIE

Kapitola 1. ROZHRANIE MATHCAD

Rozhranie MathCADu je podobné ako pri iných aplikáciách Windows. Po spustení sa na obrazovke objaví pracovné okno MathCADu s hlavným menu a tromi panelmi nástrojov: Štandardné (Štandardné), Formátovanie (Formátovanie) a Matematika (matematická).

Panel s ponukami sa nachádza úplne hore v okne MathCAD. Obsahuje deväť nadpisov, kliknutím na každý z nich sa zobrazí

do vzhľad zodpovedajúceho menu so zoznamom príkazov:

- Súbor (Súbor) - príkazy súvisiace s vytváraním, otváraním, ukladaním, odosielaním e-mailom a tlačou súborov s dokumentmi na tlačiarni;

− Edit (Editing) – príkazy súvisiace s úpravou textu (kopírovanie, vkladanie, mazanie fragmentov atď.);

- View (View) - príkazy, ktoré riadia vzhľad dokumentu v okne editora MathCAD, ako aj príkazy, ktoré vytvárajú súbory animácií;

− Vložiť (Insert) - príkazy na vkladanie rôznych objektov do dokumentov;

− Formát (Format) - príkazy na formátovanie textu, vzorcov, grafov;

− Tools (Service) – príkazy na riadenie výpočtového procesu a doplnkové funkcie;

− Symbolics (Symbols) – príkazy symbolických výpočtov;

− Okno (Window) – príkazy na správu usporiadania okien s rôznymi dokumentmi na obrazovke;

− Help – príkazy na prístup k informáciám kontextového pomocníka, informáciám o verzii programu a prístup k zdrojom a elektronickým knihám.

Ak chcete vybrať príkaz, musíte kliknúť na ponuku, ktorá ho obsahuje, a znova na príslušnú položku ponuky. Niektoré príkazy nie sú v samotných ponukách, ale v podponukách, ako je znázornené na obr. 1.1. Na vykonanie takéhoto príkazu, napríklad príkazu na vyvolanie Symbolického panela nástrojov na obrazovke, musíte umiestniť kurzor myši na položku Panely nástrojov v rozbaľovacej ponuke Zobraziť a v zobrazenej podponuke vybrať položku Symbolické.

Ryža. 1.1. Obsluha menu

Okrem horného menu plnia podobné funkcie aj kontextové menu (obr. 1.2). Zobrazia sa po kliknutí pravým tlačidlom myši niekde v dokumente. Zloženie týchto menu zároveň závisí od miesta ich volania, preto sa nazývajú aj kontextové menu. Samotný MathCAD „háda“ v závislosti od kontextu, aké operácie môžu byť v danom momente potrebné, a umiestňuje zodpovedajúce príkazy do ponuky. Používanie kontextového menu je preto jednoduchšie ako to vrchné.

Ryža. 1.2. Obsahové menu

1.2. Panely s nástrojmi

Panely nástrojov slúžia na rýchle (jedným kliknutím) vykonanie najčastejšie používaných príkazov. Všetky akcie, ktoré je možné vykonať pomocou panelov nástrojov, sú tiež dostupné prostredníctvom

Horné menu. Na obr. 1.3 zobrazuje okno MathCADu s piatimi hlavnými panelmi nástrojov umiestnenými priamo pod panelom s ponukami. Tlačidlá na paneloch sú zoskupené podľa podobnej činnosti príkazov:

− Štandardné (Štandardné) – slúži na vykonávanie väčšiny operácií, ako sú akcie so súbormi, redakčná úprava, vkladanie objektov, prístup k systémom pomocníka;

− Formátovanie (Formatting) - slúži na formátovanie (zmena typu a veľkosti písma, zarovnanie atď.) textu a vzorcov;

− Math (Mathematics) – slúži na vkladanie matematických symbolov

a operátori v dokumentoch;

- Zdroje (Resources) - slúži na volanie zdrojov MathCADu;

− Ovládacie prvky (Controls) - slúži na vkladanie štandardných ovládacích prvkov používateľského rozhrania do dokumentov;

− Debug – používa sa na správu ladenia programov MathCAD.

Ryža. 1.3. Základné panely nástrojov

Skupiny tlačidiel na paneloch nástrojov sú významovo ohraničené zvislými čiarami - oddeľovačmi. Keď umiestnite kurzor myši na niektoré z tlačidiel, vedľa tlačidla sa zobrazí popis (obr. 1.4). Spolu s popisom nájdete v stavovom riadku podrobnejšie vysvetlenie nadchádzajúcej operácie.

Ryža. 1.4. Používanie panelov s nástrojmi Matematika a Kalkulačka

Panel Matematika (Matematika) je určený na vyvolanie ďalších deviatich panelov na obrazovke (obr. 1.5), pomocou ktorých dochádza k vkladania matematických operácií do dokumentov. Ak chcete zobraziť ktorýkoľvek z nich, musíte kliknúť na príslušné tlačidlo na paneli Matematika (obr. 1.4).

Ryža. 1.5. Matematické panely nástrojov

Uvádzame účel matematických panelov:

- Kalkulačka (Kalkulačka) - používa sa na vkladanie základných matematických operácií, dostala svoj názov kvôli podobnosti sady tlačidiel s tlačidlami bežnej kalkulačky;

− Graph (Graph) - na vkladanie grafov;

− Matrix (Matrix) - na vkladanie matíc a maticových operátorov;

− Hodnotenie - na vkladanie kontrolných výkazov hodnotenia;

− Calculus (Matematická analýza) – na vkladanie operátorov integrácie, diferenciácie, sčítania atď.;

− Boolean (boolovské operátory) - na vloženie logických (booleovských) operátorov;

− Programovanie (Programming) - pre programovanie pomocou MathCADu;

− Gréčtina (grécke znaky) – na vloženie gréckych znakov;

− Symbolic - na vloženie symbolických operátorov. Je dôležité poznamenať, že keď umiestnite kurzor myši nad mnohé z

tlačidiel matematických panelov sa zobrazí nápoveda obsahujúca aj kombináciu „klávesových skratiek“, ktorých stlačenie povedie k ekvivalentnej akcii.

1.3. Stavový riadok

AT v spodnej časti okna MathCADu, pod vodorovným posúvačom, je stavový riadok. Zobrazuje základné informácie o režime úprav (obr. 1.6) oddelené oddeľovačmi (zľava doprava):

− kontextová nápoveda o pripravovanej akcii;

− režim výpočtu: automatický (AUTO) alebo manuálne nastavený (Calc F9);

− aktuálny režim rozloženia klávesnice CAP; − aktuálny režim rozloženia klávesnice NUM; − číslo stránky, na ktorej sa nachádza kurzor.

Ryža. 1.6. Stavový riadok

Kapitola 2. ZÁKLADY PRÁCE V MATHCAD

2.1. Navigácia v dokumentoch

Prezeranie dokumentu nahor a nadol a sprava doľava je pohodlné pomocou zvislých a vodorovných posúvačov, posúvaním ich posúvačov (v tomto prípade je zabezpečený plynulý pohyb po dokumente) alebo kliknutím na jednu z dvoch strán posúvača (v tomto prípade bude pohyb v dokumente skákavý). Na pohyb kurzora po dokumente môžete použiť aj klávesy na otáčanie strán. A Vo všetkých týchto prípadoch sa pozícia kurzora nemení, ale zobrazuje sa obsah dokumentu. Okrem toho, ak je dokument veľký, je vhodné zobraziť jeho obsah pomocou ponuky

Upraviť | Prejsť na stránku (Upraviť | Prejsť na stránku). Keď vyberiete túto položku, otvorí sa dialógové okno, ktoré vám umožní prejsť na stránku so zadaným číslom.

Aby ste sa mohli pohybovať hore a dole a doprava a doľava v dokumente a pohybovať kurzorom, mali by ste stlačiť príslušné kurzorové klávesy. Keď sa kurzor dostane do oblasti regiónov so vzorcami a textom, zmení sa na dva vstupné riadky - vertikálny a horizontálny modrý. Keď sa kurzor pohybuje ďalej v rámci oblasti, vstupné riadky sa posunú o jeden znak v príslušnom smere. Keď opustíte oblasť, kurzor sa opäť stane vstupným kurzorom vo forme červeného krížika. Kurzor môžete presunúť aj kliknutím na príslušné miesto. Ak kliknete na prázdne miesto, objaví sa v ňom vstupný kurzor a ak je v oblasti, potom vstupné riadky.

2.2. Zadávanie a úprava vzorcov

Editor vzorcov MathCAD vám umožňuje rýchlo a efektívne zadávať a upravovať matematické výrazy.

Uveďme si ešte raz prvky rozhrania editora MathCAD:

− ukazovateľ myši - hrá obvyklú úlohu pre aplikácie Windows, sleduje pohyby myši;

− kurzor musí byť jedného z troch typov:

– vstupný kurzor je červený krížik, ktorý označuje prázdne miesto v dokumente, kde môžete zadať text alebo vzorec;

– vstupné riadky - vodorovné a zvislé modré čiary, ktoré zvýrazňujú určitú časť textu alebo vzorca;

– textový vstupný riadok - zvislá čiara, analogická vstupným riadkom pre textové oblasti;

− zástupné symboly – objavujú sa v neúplných vzorcoch na miestach, ktoré by mali byť vyplnené symbolom alebo operátorom:

− zástupný znak je čierny obdĺžnik;

− zástupný symbol operátora je čierny obdĺžnikový rámček. Matematický výraz môžete zadať do ľubovoľného prázdneho miesta

Dokument MathCAD. Ak to chcete urobiť, musíte umiestniť vstupný kurzor na požadované miesto v dokumente kliknutím naň myšou a zadať vzorec stlačením klávesov. Tým sa v dokumente vytvorí matematická oblasť, ktorá je určená na ukladanie vzorcov interpretovaných procesorom MathCAD. Postupnosť akcií demonštrujme na príklade zadania výrazu x 5 + x (obr. 2.1):

1. Kliknutím myšou označte vstupný bod.

1. Pracovné okno MathCADu

· Panel Matematika(obr. 1.4).

Ryža. 1.4. Matematický panel

Kliknutím na tlačidlo na paneli s nástrojmi matematiky sa otvorí ďalší panel s nástrojmi:

2. Prvky jazyka MathCAD

Medzi základné prvky matematických výrazov MathCAD patria operátory, konštanty, premenné, polia a funkcie.

2.1 Operátori

Operátori -- prvky MathCADu, pomocou ktorých môžete vytvárať matematické výrazy. Patria sem napríklad symboly pre aritmetické operácie, znamienka na výpočet súčtov, súčin, derivácie, integrály atď.

Operátor definuje:

a) akcia, ktorá sa má vykonať za prítomnosti určitých hodnôt operandov;

b) koľko, kde a aké operandy treba zadať do operátora.

Operand -- číslo alebo výraz, s ktorým operátor koná. Napríklad vo výraze 5!+3 sú čísla 5! a 3 sú operandy operátora "+" (plus) a číslo 5 je operand faktoriálu (!).

Akýkoľvek operátor v MathCAD môže byť zadaný dvoma spôsobmi:

stlačením klávesu (kombinácie klávesov) na klávesnici;

pomocou matematického panelu.

Nasledujúce príkazy sa používajú na priradenie alebo zobrazenie obsahu pamäťového miesta spojeného s premennou:

Znak priradenia (zadáva sa stlačením klávesu : na klávesnici (dvojbodka v anglickom rozložení klávesnice) alebo stlačením príslušného tlačidla na paneli Kalkulačka );

Toto zadanie sa nazýva miestne. Pred týmto priradením nie je premenná definovaná a nemožno ju použiť.

Operátor globálneho priradenia. Toto priradenie je možné vykonať kdekoľvek v dokumente. Napríklad, ak je premennej priradená hodnota týmto spôsobom na samom konci dokumentu, potom bude mať rovnakú hodnotu aj na začiatku dokumentu.

Operátor približnej rovnosti (x1). Používa sa pri riešení sústav rovníc. Zadáva sa stlačením klávesu ; na klávesnici (bodkočiarka v anglickom rozložení klávesnice) alebo stlačením príslušného tlačidla Booleovský panel.

Operátor (jednoduché sa rovná) vyhradený na výstup hodnoty konštanty alebo premennej.

Najjednoduchšie výpočty

Proces výpočtu sa vykonáva pomocou:

Panely kalkulačiek, Panely výpočtu a Panely odhadov.

Pozornosť. Ak je potrebné rozdeliť celý výraz v čitateli, tak ho treba najskôr vybrať stlačením medzerníka na klávesnici alebo umiestnením do zátvoriek.

2.2 Konštanty

Konštanty -- pomenované objekty, ktoré majú nejakú hodnotu, ktorú nemožno zmeniť.

Napríklad = 3,14.

Rozmerové konštanty sú bežné merné jednotky. Napríklad metre, sekundy atď.

Ak chcete zapísať rozmerovú konštantu, musíte za číslom zadať znak * (násobiť), vyberte položku ponuky Vložiť pododsek Jednotka. V meraniach Vám najznámejšie kategórie: Dĺžka - dĺžka (m, km, cm); Hmotnosť -- hmotnosť (g, kg, t); Čas -- čas (min, sekunda, hodina).

2.3 Premenné

Premenné sú pomenované objekty, ktoré majú určitú hodnotu, ktorá sa môže meniť počas behu programu. Premenné môžu byť číselné, reťazcové, znakové atď. Premenným sa priraďujú hodnoty pomocou priraďovacieho znaku (:=).

Pozornosť. MathCAD zaobchádza s veľkými a malými písmenami ako s rôznymi identifikátormi.

Systémové premenné

AT MathCAD obsahuje malú skupinu špeciálnych objektov, ktoré nemožno priradiť ani triede konštánt, ani triede premenných, ktorých hodnoty sú určené ihneď po spustení programu. Je lepšie ich spočítať systémové premenné. Toto je napríklad TOL - chyba numerických výpočtov, ORIGIN - dolná hranica hodnoty indexového indexu vektorov, matíc atď. V prípade potreby môžete pre tieto premenné nastaviť iné hodnoty.

Hodnotené premenné

Tieto premenné majú sériu pevných hodnôt, buď celé číslo alebo meniace sa v určitom kroku od počiatočnej hodnoty po konečnú.

Výraz sa používa na vytvorenie premennej s rozsahom:

Meno=N začať ,(N začať +Krok)..N koniec ,

kde Name je názov premennej;

N begin -- počiatočná hodnota;

Krok -- určený krok pre zmenu premennej;

N koniec -- koncová hodnota.

Hodnotené premenné sa široko používajú pri vykresľovaní. Napríklad na vykreslenie grafu nejakej funkcie f(X) najprv musíte vytvoriť sériu premenných hodnôt X-- aby to fungovalo, musí to byť premenná s rozsahom.

Pozornosť. Ak nešpecifikujete krok v premennom rozsahu, program ho automaticky vezme na hodnotu 1.

Príklad . Variabilné X sa mení v rozsahu od -16 do +16 v krokoch po 0,1

Ak chcete napísať premennú s rozsahom, napíšte:

Názov premennej ( X);

Znak pridelenia (:=)

Prvá hodnota rozsahu (-16);

čiarka;

Druhá hodnota rozsahu, ktorá je súčtom prvej hodnoty a kroku (-16+0,1);

elipsa ( .. ) -- zmena premennej v rámci daných limitov (pri anglickom rozložení klávesnice sa bodkočiarka zadáva stlačením bodkočiarky);

Hodnota posledného rozsahu (16).

V dôsledku toho získate: X := -16,-16+0.1..16.

Výstupné tabuľky

Akýkoľvek výraz s hodnotenými premennými za znamienkom rovnosti spúšťa výstupnú tabuľku.

Do výstupných tabuliek môžete vložiť číselné hodnoty a opraviť ich.

Premenná s indexom

Premenná s indexom-- je premenná, ktorej je priradená množina nesúvisiacich čísel, z ktorých každé má svoje vlastné číslo (index).

Index sa zadáva stlačením ľavej hranatej zátvorky na klávesnici alebo pomocou tlačidla X n na paneli Kalkulačka.

Ako index môžete použiť konštantu alebo výraz. Ak chcete inicializovať premennú pomocou indexu, musíte zadať prvky poľa a oddeliť ich čiarkami.

Príklad. Zadávanie indexových premenných.

Číselné hodnoty sa zadávajú do tabuľky oddelené čiarkami;

Výstup hodnoty prvého prvku vektora S;

Výstup hodnoty nulového prvku vektora S.

2.4 Polia

pole -- jedinečne pomenovaná kolekcia konečného počtu číselných alebo znakových prvkov, ktoré sú nejakým spôsobom usporiadané a majú špecifické adresy.

V balení MathCAD používajú sa polia dvoch najbežnejších typov:

jednorozmerné (vektory);

dvojrozmerné (matice).

Maticu alebo vektorovú šablónu môžete vytlačiť jedným z nasledujúcich spôsobov:

vyberte položku ponuky Vložiť - Matrix;

stlačte kombináciu klávesov ctrl + M;

stlačte tlačidlo na Panel a vektory a matice.

V dôsledku toho sa zobrazí dialógové okno, v ktorom je nastavený požadovaný počet riadkov a stĺpcov:

Riadky-- počet riadkov

stĺpci-- počet stĺpcov

Ak je potrebné maticu (vektor) pomenovať, potom sa najprv zadá názov matice (vektora), potom operátor priradenia a potom šablóna matice.

napríklad:

Matrix -- dvojrozmerné pole s názvom M n , m , pozostávajúce z n riadkov a m stĺpcov.

S maticami môžete vykonávať rôzne matematické operácie.

2.5 Funkcie

Funkcia -- výraz, podľa ktorého sa vykonávajú niektoré výpočty s argumentmi a určuje sa jeho číselná hodnota. Príklady funkcií: hriech(X), opálenie(X) atď.

Funkcie v balíku MathCAD môžu byť vstavané alebo definované používateľom. Spôsoby vloženia inline funkcie:

Vyberte položku ponuky Vložiť - Funkcia.

Stlačte kombináciu klávesov ctrl + E.

Kliknite na tlačidlo na paneli s nástrojmi.

Napíšte názov funkcie na klávesnici.

Používateľské funkcie sa zvyčajne používajú, keď sa rovnaký výraz vyhodnocuje viackrát. Ak chcete nastaviť používateľskú funkciu:

· zadajte názov funkcie s povinným uvedením argumentu v zátvorkách, napríklad f(x);

Zadajte operátor priradenia (:=);

Zadajte vypočítaný výraz.

Príklad. f (z):= hriech(2 z 2)

3. Formátovanie čísla

V MathCAD môžete zmeniť výstupný formát čísel. Výpočty sa zvyčajne robia s presnosťou 20 číslic, ale nezobrazujú sa všetky významné čísla. Ak chcete zmeniť formát čísla, dvakrát kliknite na požadovaný číselný výsledok. Zobrazí sa okno na formátovanie čísla, ktoré sa otvorí na karte číslo Formátovať (Formát čísel) s nasledujúcimi formátmi:

o generál (Main) -- je predvolená hodnota. Čísla sa zobrazujú v poradí (napríklad 1,2210 5). Počet znakov mantisy sa určuje v teréne Exponenciálny Prah(prah exponenciálnej notácie). Po prekročení prahovej hodnoty sa číslo zobrazí v poradí. Počet číslic za desatinnou čiarkou sa v poli zmení číslo z desiatkový Miesta.

o Desatinné (Decimal) -- Desatinné vyjadrenie čísel s pohyblivou rádovou čiarkou (napríklad 12,2316).

o Vedecké (Vedecké) -- Čísla sa zobrazujú iba v poradí.

o Strojárstvo (Engineering) -- čísla sa zobrazujú iba v násobkoch troch (napríklad 1,2210 6).

Pozornosť. Ak po nastavení požadovaného formátu v okne formátovania čísla vyberte tlačidlo OK, formát bude nastavený len pre zvolené číslo. A ak vyberiete tlačidlo Nastaviť ako predvolené, formát sa použije na všetky čísla v tomto dokumente.

Čísla sa automaticky zaokrúhlia nadol na nulu, ak sú nižšie ako nastavený prah. Hranica je nastavená pre celý dokument, nie pre konkrétny výsledok. Ak chcete zmeniť prah zaokrúhľovania na nulu, vyberte položku ponuky Formátovanie – výsledok a v tab tolerancie , v teréne nula prah zadajte požadovanú prahovú hodnotu.

4. Práca s textom

Textové úryvky sú časti textu, ktoré by používateľ chcel vidieť vo svojom dokumente. Môžu to byť vysvetlenia, odkazy, komentáre atď. Vkladajú sa pomocou položky ponuky Vložiť - Oblasť textu.

Text môžete formátovať: zmeniť písmo, jeho veľkosť, štýl, zarovnanie atď. Ak to chcete urobiť, vyberte ho a vyberte príslušné možnosti na paneli písma alebo v ponuke Formátovanie - Text.

5. Práca s grafikou

Pri riešení mnohých problémov, kde sa študuje funkcia, je často potrebné vykresliť jej graf, ktorý bude jasne odrážať správanie funkcie na určitom intervale.

V systéme MathCAD je možné vytvárať rôzne typy grafov: v kartézskych a polárnych súradnicových systémoch, trojrozmerné grafy, povrchy rotačných telies, mnohosteny, priestorové krivky, grafy vektorových polí. Pozrieme sa na to, ako niektoré z nich postaviť.

5.1 Vykresľovanie 2D grafov

Ak chcete vytvoriť dvojrozmerný graf funkcie, musíte:

nastaviť funkciu

· umiestnite kurzor na miesto, kde má byť graf zostavený, na matematickom paneli vyberte tlačidlo Graf (graf) a na paneli, ktorý sa otvorí, tlačidlo X-Y Plot (dvojrozmerný graf);

V zobrazenej šablóne dvojrozmerného grafu, čo je prázdny obdĺžnik s menovkami údajov, zadajte názov premennej do centrálneho označenia údajov pozdĺž osi x (os X) a zadajte názov funkcie namiesto centrálny dátový štítok pozdĺž ordinátnej osi (os Y) (obr. 2.1);

Ryža. 2.1. Šablóna 2D grafu

kliknite mimo šablóny grafu -- vykreslí sa graf funkcie.

Rozsah argumentov pozostáva z 3 hodnôt: počiatočná, druhá a konečná.

Nech je potrebné nakresliť funkčný graf na intervale [-2,2] s krokom 0,2. Variabilné hodnoty t sú špecifikované ako rozsah takto:

t:= -2, - 1.8 .. 2 ,

kde: -2 -- počiatočná hodnota rozsahu;

1,8 (-2 + 0,2) -- hodnota druhého rozsahu (počiatočná hodnota plus krok);

2 je koncová hodnota rozsahu.

Pozornosť. V anglickom rozložení klávesnice sa elipsa zadáva stlačením bodkočiarky.

Príklad. Vykreslenie funkcie r = X 2 na intervale [-5,5] s krokom 0,5 (obr. 2.2).

Ryža. 2.2. Vykreslenie funkcie r = X 2

Pri vytváraní grafov zvážte nasledovné:

° Ak nie je zadaný rozsah hodnôt argumentu, potom sa graf predvolene zostaví v rozsahu [-10,10].

° Ak je potrebné umiestniť viacero grafov do jednej šablóny, potom sa názvy funkcií uvádzajú oddelené čiarkami.

° Ak majú dve funkcie rôzne argumenty, napríklad f1(x) a f2(y), potom sú názvy funkcií uvedené na osi y (Y) oddelené čiarkami a na osi x (X) názvy oboch premenných sú tiež oddelené čiarkami.

° Koncové štítky údajov na šablóne grafu sa používajú na označenie hraničných hodnôt na úsečke a na osi y, t.j. nastavujú mierku grafu. Ak necháte tieto štítky prázdne, mierka sa nastaví automaticky. Automatická mierka nie vždy odráža graf v požadovanom tvare, takže limitné hodnoty úsečiek a ordinátov je potrebné upraviť ich manuálnou zmenou.

Poznámka. Ak po vykreslení grafu nenadobudne požadovanú formu, môžete:

Znížte krok.

· zmeniť interval vykresľovania.

Znížte limitné hodnoty úsečiek a súradníc na grafe.

Príklad. Konštrukcia kružnice so stredom v bode (2,3) a polomerom R = 6.

Rovnica kruhu so stredom v bode so súradnicami ( X 0 ,r 0) a polomer R sa píše ako:

Vyjadrite z tejto rovnice r:

Na zostavenie kruhu je teda potrebné nastaviť dve funkcie: horný a dolný polkruh. Rozsah argumentov sa vypočíta takto:

Počiatočná hodnota rozsahu = X 0 - R;

Koncová hodnota rozsahu = X 0 + R;

Je lepšie urobiť krok rovný 0,1 (obr. 2.3.).

Ryža. 2.3. Konštrukcia kruhu

Parametrický graf funkcie

Niekedy je to vhodnejšie namiesto priamkovej rovnice týkajúcej sa pravouhlých súradníc X a r zvážte takzvané parametrické priamkové rovnice, ktoré dávajú výrazy pre aktuálne súradnice x a y ako funkcie nejakej premennej t(parameter): X(t) a r(t). Pri konštrukcii parametrického grafu sú názvy funkcií jedného argumentu uvedené na osi y a x.

Príklad. Konštrukcia kružnice so stredom v bode so súradnicami (2,3) a polomerom R= 6. Na konštrukciu sa používa parametrická rovnica kruhu

X = X 0 + R cos( t) r = r 0 + R hriech( t) (obr. 2.4.).

Obr.2.4. Konštrukcia kruhu

Formátovanie grafu

Ak chcete naformátovať graf, dvakrát kliknite na oblasť grafu. Otvorí sa dialógové okno Formátovanie grafu. Karty v okne formátovania grafu sú uvedené nižšie:

§ X- Y osi-- formátovanie súradnicových osí. Začiarknutím príslušných políčok môžete:

· Log Mierka-- predstavujú číselné hodnoty na osiach v logaritmickej mierke (štandardne sú číselné hodnoty vykreslené v lineárnej mierke)

· Mriežka linky-- nakresliť mriežku čiar;

· očíslované-- Usporiadajte čísla pozdĺž súradnicových osí;

· Automat Mierka-- automatický výber limitných číselných hodnôt na osiach (ak toto políčko nie je začiarknuté, maximálne vypočítané hodnoty budú limitované);

· šou značka-- označenie grafu vo forme vodorovných alebo zvislých bodkovaných čiar zodpovedajúcich zadanej hodnote na osi a samotné hodnoty sa zobrazia na konci čiar (na každej osi sa objavia 2 vstupné miesta, v ktorých môžete zadajte číselné hodnoty, nezadávajte nič, zadajte jedno číselné alebo písmenové označenie konštánt);

· Automat Gzbaviť-- automatická voľba počtu riadkov mriežky (ak toto políčko nie je začiarknuté, musíte zadať počet riadkov v poli Počet mriežok);

· prekrížené-- os x prechádza cez nulu ordináty;

· Zaškatuľkované-- os x prebieha pozdĺž spodného okraja grafu.

§ Sledovať-- riadkové formátovanie funkčných grafov. Pre každý graf samostatne môžete zmeniť:

symbol (Symbol) na mape pre uzlové body (kruh, kríž, obdĺžnik, kosoštvorec);

typ čiary (plná - plná, bodka - bodkovaná čiara, pomlčka - ťahy, Dadot - prerušovaná čiara);

farba čiary (Color);

Typ (Ture) grafu (Line - čiara, Body - body, Var alebo Solidbar - pruhy, Krok - krokový graf atď.);

hrúbka čiary (Hmotnosť).

§ Štítok -- názov v oblasti grafu. V teréne Názov (Nadpis) môžete napísať text nadpisu, vybrať jeho pozíciu - v hornej alebo dolnej časti grafu ( Vyššie -- hore, Nižšie -- dole). V prípade potreby môžete zadať názvy argumentov a funkcií ( Štítky osí ).

§ Predvolené -- pomocou tejto karty sa môžete vrátiť do predvoleného zobrazenia grafu (Zmeniť na predvolené) alebo použiť zmeny, ktoré ste v grafe predvolene vykonali pre všetky grafy v tomto dokumente (Použiť pre predvolené).

5.2 Budovanie polárnych pozemkov

Ak chcete vytvoriť polárny graf funkcie, musíte:

· nastaviť rozsah hodnôt argumentov;

nastaviť funkciu

· umiestnite kurzor na miesto, kde má byť graf zostavený, na matematickom paneli vyberte tlačidlo Graf (graf) a na paneli, ktorý sa otvorí, tlačidlo Polar Plot (polárny graf);

· Do vstupných polí šablóny, ktorá sa zobrazí, musíte zadať uhlový argument funkcie (dole) a názov funkcie (vľavo).

Príklad. Konštrukcia Bernoulliho lemniskátu: (obr. 2.6.)

Obr.2.6. Príklad stavby polárneho pozemku

5.3 Vykresľovanie plôch (3D alebo 3D grafy)

Pri konštrukcii trojrozmerných grafov sa používa panel graf(Graf) matematický panel. Trojrozmerný graf môžete vytvoriť pomocou sprievodcu, ktorý sa volá z hlavnej ponuky; môžete vytvoriť graf vytvorením matice hodnôt funkcie dvoch premenných; môžete použiť zrýchlenú metódu výstavby; môžete volať špeciálne funkcie CreateMech a CreateSpase, ktoré sú určené na vytvorenie poľa funkčných hodnôt a grafov. Budeme uvažovať o zrýchlenej metóde na zostavenie trojrozmerného grafu.

Rýchle vytváranie grafov

Ak chcete rýchlo vytvoriť trojrozmerný graf funkcie, musíte:

nastaviť funkciu

umiestnite kurzor na miesto, kde má byť graf zostavený, vyberte tlačidlo na matematickom paneli graf(graf) a na otvorenom paneli tlačidlo ( povrchový graf);

· na jedinom mieste šablóny zadajte názov funkcie (bez uvedenia premenných);

· kliknite mimo šablóny grafu -- vytvorí sa funkčný graf.

Príklad. Vykreslenie funkcie z(X,r) = X 2 + r 2 - 30 (obr. 2.7).

Ryža. 2.7. Príklad rýchleho vykreslenia povrchu

Vybudovaný graf je možné ovládať:

° rotácia grafu sa vykoná po prejdení ukazovateľa myši nad ním so stlačeným ľavým tlačidlom myši;

° zmena mierky grafu sa vykoná po umiestnení kurzora myši naň súčasným stlačením ľavého tlačidla myši a klávesy Ctrl (ak pohnete myšou, graf sa priblíži alebo oddiali);

° animácia grafu sa vykonáva rovnakým spôsobom, ale s dodatočným stlačením klávesu Shift. Grafom je potrebné iba začať otáčať myšou, potom sa animácia vykoná automaticky. Ak chcete otáčanie zastaviť, kliknite ľavým tlačidlom myši v oblasti grafu.

Na jednom výkrese je možné postaviť niekoľko plôch naraz. Ak to chcete urobiť, musíte nastaviť obe funkcie a zadať názvy funkcií v šablóne grafu oddelené čiarkami.

Pri rýchlom vykresľovaní sú predvolené hodnoty pre oba argumenty medzi -5 a +5 a počet vrstevníc je 20. Ak chcete tieto hodnoty zmeniť, musíte:

· dvakrát kliknite na graf;

· v otvorenom okne vyberte kartu Údaje rýchleho grafu;

· zadajte nové hodnoty do oblasti okna Range1 -- pre prvý argument a Range2 -- pre druhý argument (začiatok -- počiatočná hodnota, koniec -- konečná hodnota);

· v poli # mriežok zmeňte počet čiar mriežky pokrývajúcich povrch;

· Kliknite na tlačidlo OK.

Príklad. Vykreslenie funkcie z(X,r) = -sin( X 2 + r 2) (obr. 2.9).

Pri konštrukcii tohto grafu je lepšie zvoliť hranice zmeny hodnôt oboch argumentov od -2 do +2.

Ryža. 2.9. Príklad vykreslenia funkčného grafu z(X,r) = -sin( X 2 + r 2)

poprediamatovacie 3D grafy

Pre formátovanie grafu dvakrát kliknite na oblasť grafu - zobrazí sa okno formátovania s niekoľkými kartami: Vzhľad, generál, osi, osvetlenie, Názov, Backplanes, Špeciálne, Pokročilé, Rýchlo Zápletka Údaje.

Účel karty Rýchlo Zápletka Údaje bola diskutovaná vyššie.

Tab Vzhľad umožňuje zmeniť vzhľad grafu. Lúka Vyplňte možnosti umožňuje zmeniť parametre výplne, pole riadok Možnosť-- parametre linky, bod možnosti-- bodové parametre.

V záložke generál ( všeobecný) v skupine vyhliadka môžete si zvoliť uhly rotácie zobrazeného povrchu okolo všetkých troch osí; v skupine displej ako Môžete zmeniť typ grafu.

V záložke osvetlenie(osvetlenie) zaškrtnutím políčka môžete ovládať osvetlenie povoliť osvetlenie(zapnite svetlá) a prepnite zapnuté(zapnúť). Zo zoznamu sa vyberie jedna zo 6 možných schém osvetlenia osvetlenie schémy(schéma osvetlenia).

6. Spôsoby riešenia rovníc v MathCAD

V tejto časti sa naučíme, ako najjednoduchšie rovnice tvaru F( X) = 0. Analyticky riešiť rovnicu znamená nájsť všetky jej korene, t.j. takéto čísla, keď ich dosadíme do pôvodnej rovnice, dostaneme správnu rovnosť. Riešiť rovnicu graficky znamená nájsť priesečníky grafu funkcie s osou x.

6. 1 Riešenie rovníc pomocou funkcie root(f(x),x)

Pre riešenia rovnice s jednou neznámou tvaru F( X) = 0 existuje špeciálna funkcia

koreň(f(X), X) ,

kde f(X) je výraz rovný nule;

X-- argument.

Táto funkcia vracia s danou presnosťou hodnotu premennej, pre ktorú výraz f(X) sa rovná 0.

Pozornosťe. Ak je pravá strana rovnice 0, je potrebné ju uviesť do normálneho tvaru (preniesť všetko na ľavú stranu).

Pred použitím funkcie koreň treba dať na argument X počiatočná aproximácia. Ak existuje niekoľko koreňov, potom na nájdenie každého koreňa musíte zadať počiatočnú aproximáciu.

Pozornosť. Pred riešením je žiaduce nakresliť funkčný graf, aby sme skontrolovali, či existujú korene (pretína graf os Ox), a ak áno, koľko. Počiatočnú aproximáciu je možné zvoliť podľa grafu bližšie k priesečníku.

Príklad. Riešenie rovnice pomocou funkcie koreň znázornené na obrázku 3.1. Predtým, ako pristúpime k riešeniu v systéme MathCAD, v rovnici prenesieme všetko na ľavú stranu. Rovnica bude mať tvar: .

Ryža. 3.1. Riešenie rovnice pomocou funkcie koreňa

6. 2 Riešenie rovníc pomocou funkcie Polyroots(v).

Ak chcete súčasne nájsť všetky korene polynómu, použite funkciu polyroots(v), kde v je vektor koeficientov polynómu počnúc voľným členom . Nulové koeficienty nemožno vynechať. Na rozdiel od funkcie koreň funkciu Ppolykorene nevyžaduje počiatočnú aproximáciu.

Príklad. Riešenie rovnice pomocou funkcie polyroots znázornené na obrázku 3.2.

Ryža. 3.2. Riešenie rovnice pomocou funkcie Polyroots

6.3 Riešenie rovníc pomocou funkcie Find(x)

Funkcia Find funguje v spojení s kľúčovým slovom Given. Dizajn Dané - Nájsť používa výpočtovú techniku ​​založenú na nájdení koreňa v blízkosti počiatočného aproximačného bodu určeného používateľom.

Ak je daná rovnica f(X) = 0, potom to možno vyriešiť nasledovne pomocou bloku Dané - Nájsť:

Nastavte počiatočnú aproximáciu

Zadajte servisné slovo

Napíšte rovnicu pomocou znamienka tučné rovná sa

Napíšte funkciu find s neznámou premennou ako parametrom

V dôsledku toho sa po znamienku rovnosti zobrazí nájdený koreň.

Ak existuje niekoľko koreňov, potom ich možno nájsť zmenou počiatočnej aproximácie x0 na jednu blízko požadovaného koreňa.

Príklad. Riešenie rovnice pomocou funkcie find je znázornené na obrázku 3.3.

Ryža. 3.3. Riešenie rovnice pomocou funkcie find

Niekedy je potrebné označiť niektoré body na grafe (napríklad priesečníky funkcie s osou Ox). Na to potrebujete:

Zadajte hodnotu x daného bodu (pozdĺž osi Ox) a hodnotu funkcie v tomto bode (pozdĺž osi Oy);

dvakrát kliknite na graf a v okne formátovania na karte stopy pre príslušnú čiaru vyberte typ grafu - body, hrúbku čiary - 2 alebo 3.

Príklad. V grafe je znázornený priesečník funkcie s osou x. Koordinovať X tento bod bol nájdený v predchádzajúcom príklade: X= 2,742 (koreň rovnice ) (obr. 3.4).

Ryža. 3.4. Graf funkcie s vyznačeným priesečníkom

V okne formátovania grafu na karte stopy pre stopa2 zmenené: typ grafu - body, hrúbka čiary - 3, farba - čierna.

7. Riešenie sústav rovníc

7.1 Riešenie sústav lineárnych rovníc

Systém lineárnych rovníc je možné vyriešiť m maticová metóda (buď prostredníctvom inverznej matice alebo pomocou funkcie vyriešiť(A,B)) a pomocou dvoch funkcií Nájsť a funkcie Minerr.

Maticová metóda

Príklad. Sústava rovníc je daná:

Riešenie tejto sústavy rovníc maticovou metódou je znázornené na obrázku 4.1.

Ryža. 4.1. Riešenie sústavy lineárnych rovníc maticovou metódou

Použitie funkcie vyriešiť(A, B)

Lvyriešiť(A,B) je vstavaná funkcia, ktorá vracia vektor X pre systém lineárnych rovníc s maticou koeficientov A a vektorom voľných členov B .

Príklad. Sústava rovníc je daná:

Spôsob riešenia tohto systému pomocou funkcie lsolve(A,B) je znázornený na obrázku 4.2.

Ryža. 4.2. Riešenie sústavy lineárnych rovníc pomocou funkcie lsolve

Riešenie sústavy lineárnych rovníc cez funkciea Nájsť

Pri tejto metóde sa rovnice zadávajú bez použitia matíc, t.j. v „prírodnej forme“. Najprv je potrebné uviesť počiatočné aproximácie neznámych premenných. Môže to byť ľubovoľné číslo v rámci definície. Často si ich mýlia s kolónkou voľných členov.

Za účelom riešenia sústavy lineárnych rovníc pomocou výpočtovej jednotky Dané - Nájsť, potrebné:

2) zadajte servisné slovo Dané;

tučné rovná sa();

4) napíšte funkciu Nájsť,

Príklad. Sústava rovníc je daná:

Riešenie tohto systému pomocou výpočtovej jednotky Dané - Nájsť znázornené na obrázku 4.3.

Ryža. 4.3. Riešenie sústavy lineárnych rovníc pomocou funkcie Find

Približná priešenie sústavy lineárnych rovníc

Riešenie sústavy lineárnych rovníc pomocou funkcie Minerr podobne ako pri riešení pomocou funkcie Nájsť(pomocou rovnakého algoritmu), iba funkcia Nájsť dáva presné riešenie a Minerr-- približný. Ak v dôsledku vyhľadávania nie je možné získať ďalšie spresnenie súčasnej aproximácie k riešeniu, Baníkr vráti túto aproximáciu. Funkcia Nájsť v tomto prípade vráti chybové hlásenie.

Môžete si vybrať inú počiatočnú aproximáciu.

· Môžete zvýšiť alebo znížiť presnosť výpočtu. Ak to chcete urobiť, vyberte z ponuky Matematika > možnosti(Matematika - Možnosti), tab postavený- In Premenné(Vstavané premenné). Na karte, ktorá sa otvorí, musíte znížiť prípustnú chybu výpočtu (Tolerancia konvergencie (TOL)). Predvolená TOL = 0,001.

ATpozornosť. Pri metóde maticového riešenia je potrebné preusporiadať koeficienty podľa nárastu neznámych X 1, X 2, X 3, X 4.

7.2 Riešenie sústav nelineárnych rovníc

Systémy nelineárnych rovníc v MathCADe sú riešené pomocou výpočtovej jednotky Dané - Nájsť.

Dizajn Dané - Nájsť používa výpočtovú techniku ​​založenú na nájdení koreňa v blízkosti počiatočného aproximačného bodu určeného používateľom.

Riešiť sústavu rovníc pomocou bloku Dané - Nájsť potrebné:

1) nastaviť počiatočné aproximácie pre všetky premenné;

2) zadajte servisné slovo Dané;

3) zapíšte sústavu rovníc pomocou znamienka tučné rovná sa();

4) napíšte funkciu Nájsť, výpisom neznámych premenných ako funkčných parametrov.

V dôsledku výpočtov sa zobrazí vektor riešenia systému.

Ak má systém niekoľko riešení, algoritmus by sa mal zopakovať s ďalšími počiatočnými odhadmi.

Poznámka. Ak sa rieši sústava dvoch rovníc s dvomi neznámymi, je vhodné pred jej riešením vykresliť grafy funkcií, aby sme skontrolovali, či má sústava korene (či sa grafy daných funkcií prelínajú), a ak áno, koľko. Počiatočnú aproximáciu je možné zvoliť podľa grafu bližšie k priesečníku.

Príklad. Daný systém rovníc

Pred riešením sústavy zostrojíme grafy funkcií: paraboly (prvá rovnica) a priamka (druhá rovnica). Zostrojenie grafu priamky a paraboly v jednom súradnicovom systéme je na obrázku 4.5:

Ryža. 4.5. Vykreslenie dvoch funkcií v rovnakom súradnicovom systéme

Priamka a parabola sa pretínajú v dvoch bodoch, čo znamená, že sústava má dve riešenia. Podľa grafu volíme počiatočné aproximácie neznámych X a r za každé riešenie. Hľadanie koreňov sústavy rovníc je znázornené na obrázku 4.6.

Ryža. 4.6. Hľadanie koreňov sústavy nelineárnych rovníc

Aby sme na grafe vyznačili priesečníky paraboly a priamky, zavedieme súradnice bodov nájdených pri riešení sústavy pozdĺž osi Ox (hodnoty X ) a pozdĺž osi Oy (hodnoty pri ) oddelené čiarkami. V okne formátovania grafu na karte stopy pre stopa3 a stopa4 zmena: typ grafu - body, hrúbka čiary - 3, farba - čierna (obr. 4.7).

Ryža. 4.7. Funkčné grafy s vyznačenými priesečníkmi

8 . Kľúčové vlastnosti Príklady použitia MathCAD vyriešiť nejaké matematické úlohy

Táto časť poskytuje príklady riešenia problémov, ktoré si vyžadujú riešenie rovnice alebo sústavy rovníc.

8. 1 Hľadanie lokálnych extrémov funkcií

Nevyhnutná podmienka pre extrém (maximum a/alebo minimum) spojitej funkcie je formulovaná nasledovne: extrémy môžu nastať len v tých bodoch, kde sa derivácia rovná nule alebo neexistuje (najmä sa stáva nekonečnom) . Ak chcete nájsť extrémy spojitej funkcie, najskôr nájdite body, ktoré spĺňajú nevyhnutnú podmienku, teda nájdite všetky skutočné korene rovnice.

Ak je vytvorený funkčný graf, potom môžete okamžite vidieť - v danom bode je dosiahnuté maximum alebo minimum X. Ak neexistuje graf, potom sa každý z nájdených koreňov skúma jedným zo spôsobov.

1 s príspevok . S vyrovnať e znaky derivátu . Znamienko derivácie je určené v blízkosti bodu (v bodoch, ktoré sú oddelené od extrému funkcie na rôznych stranách v malých vzdialenostiach). Ak sa znamienko derivácie zmení z „+“ na „-“, potom má funkcia v tomto bode maximum. Ak sa znamienko zmení z "-" na "+", potom má funkcia v tomto bode minimum. Ak sa znamienko derivácie nemení, neexistujú žiadne extrémy.

2. s príspevok . AT výpočty e druhý derivát . V tomto prípade sa druhá derivácia vypočíta v extrémnom bode. Ak je menšia ako nula, potom má funkcia v tomto bode maximum, ak je väčšia ako nula, tak minimum.

Príklad. Hľadanie extrémov (minimál/maximám) funkcie.

Najprv si zostavme graf funkcie (obr. 6.1).

Ryža. 6.1. Vykreslenie funkcie

Určme z grafu počiatočné aproximácie hodnôt X zodpovedajúce lokálnym extrémom funkcie f(X). Nájdite tieto extrémy riešením rovnice. Na riešenie používame blok Dané - Nájsť (obr. 6.2.).

Ryža. 6.2. Nájdenie lokálnych extrémov

Definujme typ extrémov pervspôsobom, skúmajúc zmenu znamienka derivácie v blízkosti zistených hodnôt (obr. 6.3).

Ryža. 6.3. Určenie typu extrému

Z tabuľky hodnôt derivácie a z grafu je zrejmé, že znamienko derivácie v blízkosti bodu X 1 sa zmení z plus na mínus, takže funkcia v tomto bode dosiahne maximum. A v blízkosti bodu X 2 sa znamienko derivácie zmenilo z mínus na plus, takže v tomto bode funkcia dosahuje minimum.

Definujme typ extrémov druhýspôsobom, výpočet znamienka druhej derivácie (obr. 6.4).

Ryža. 6.4. Určenie typu extrému pomocou druhej derivácie

Je vidieť, že v bode X 1 je druhá derivácia menšia ako nula, teda bod X 1 zodpovedá maximu funkcie. A v podstate X 2 je druhá derivácia väčšia ako nula, teda bod X 2 zodpovedá minimu funkcie.

8.2 Určenie plôch obrazcov ohraničených súvislými čiarami

Plocha krivočiareho lichobežníka ohraničená grafom funkcie f(X) , segment na osi Ox a dve vertikály X = a a X = b, a < b, sa určuje podľa vzorca: .

Príklad. Nájdenie oblasti postavy ohraničenej čiarami f(X) = 1 - X 2 a r = 0.

Ryža. 6.5. Nájdenie oblasti postavy ohraničenej čiarami f(X) = 1 - X 2 a r = 0

Oblasť obrázku uzavretá medzi grafmi funkcií f1(X) a f2(X) a priamy X = a a X = b, sa vypočíta podľa vzorca:

Pozornosť. Aby sa predišlo chybám pri výpočte plochy, rozdiel funkcií sa musí brať modulo. Oblasť teda bude vždy pozitívna.

Príklad. Nájdenie oblasti postavy ohraničenej čiarami a. Riešenie je znázornené na obrázku 6.6.

1. Zostavíme graf funkcií.

2. Pomocou koreňovej funkcie nájdeme priesečníky funkcií. Počiatočné aproximácie určíme z grafu.

3. Nájdené hodnoty X sa do vzorca dosadia ako hranice integrácie.

8. 3 Konštrukcia kriviek danými bodmi

Konštrukcia priamky prechádzajúcej cez dva dané body

Napísať rovnicu priamky prechádzajúcej cez dva body A( X 0,r 0) a B( X 1,r 1) sa navrhuje nasledujúci algoritmus:

kde a a b sú koeficienty čiary, ktoré musíme nájsť.

2. Tento systém je lineárny. Má dve neznáme premenné: a a b

Príklad. Konštrukcia priamky prechádzajúcej bodmi A(-2,-4) a B(5,7).

Do rovnice dosadíme priame súradnice týchto bodov a získame systém:

Riešenie tohto systému v MathCAD je znázornené na obrázku 6.7.

Ryža. 6.7 Systémové riešenie

Výsledkom riešenia systému je: a = 1.57, b= -0,857. Takže rovnica priamky bude vyzerať takto: r = 1.57X- 0,857. Zostrojme túto priamku (obr. 6.8).

Ryža. 6.8. Budovanie priamky

Konštrukcia paraboly, prechádza cez tri dané body

Zostrojiť parabolu prechádzajúcu cez tri body A( X 0,r 0), B( X 1,r 1) a C( X 2,r 2), algoritmus je nasledujúci:

1. Parabola je daná rovnicou

r = sekera 2 + bX + s, kde

a, b a s sú koeficienty paraboly, ktoré musíme nájsť.

Dané súradnice bodov dosadíme do tejto rovnice a dostaneme sústavu:

2. Tento systém je lineárny. Má tri neznáme premenné: a, b a s. Systém je možné riešiť maticovým spôsobom.

3. Získané koeficienty dosadíme do rovnice a zostavíme parabolu.

Príklad. Zostrojenie paraboly prechádzajúcej bodmi A(-1,-4), B(1,-2) a C(3,16).

Dané súradnice bodov dosadíme do rovnice paraboly a dostaneme sústavu:

Riešenie tejto sústavy rovníc v MathCAD je znázornené na obrázku 6.9.

Ryža. 6.9. Riešenie sústavy rovníc

V dôsledku toho sa získajú koeficienty: a = 2, b = 1, c= -5. Dostaneme parabolickú rovnicu: 2 X 2 +X -5 = r. Zostrojme túto parabolu (obr. 6.10).

Ryža. 6.10. Konštrukcia paraboly

Zostrojenie kružnice prechádzajúcej tromi danými bodmi

Zostrojiť kružnicu prechádzajúcu tromi bodmi A( X 1,r 1), B( X 2,r 2) a C( X 3,r 3), môžete použiť nasledujúci algoritmus:

1. Kruh je daný rovnicou

kde x0,y0 sú súradnice stredu kruhu;

R je polomer kruhu.

2. Dané súradnice dosaďte do rovnice kružnice..........