Exponent slúži na uľahčenie zápisu operácie násobenia čísla samotným. Napríklad namiesto písania môžete písať 4 5 (\displaystyle 4^(5))(vysvetlenie takéhoto prechodu je uvedené v prvej časti tohto článku). Mocniny uľahčujú písanie dlhých alebo zložitých výrazov alebo rovníc; mocniny sa tiež ľahko pridávajú a odčítavajú, čo vedie k zjednodušeniu výrazu alebo rovnice (napr. 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

Poznámka: ak potrebujete vyriešiť exponenciálnu rovnicu (v takejto rovnici je neznáma v exponente), čítajte.

Kroky

Riešenie jednoduchých problémov s právomocami

Vynásobte základ exponentu sám o sebe toľkokrát, koľkokrát sa rovná exponentu. Ak potrebujete vyriešiť problém s exponentmi ručne, prepíšte exponent ako operáciu násobenia, kde sa základ exponentu vynásobí sám. Napríklad vzhľadom na stupeň 3 4 (\displaystyle 3^(4)). V tomto prípade musí byť základ 3. stupňa sám vynásobený 4-krát: 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 (\displaystyle 3*3*3*3). Tu sú ďalšie príklady:

Najprv vynásobte prvé dve čísla. Napríklad, 4 5 (\displaystyle 4^(5)) = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). Nebojte sa - proces výpočtu nie je taký zložitý, ako sa na prvý pohľad zdá. Najprv vynásobte prvé dve štvorky a potom ich nahraďte výsledkom. Páči sa ti to:

• 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4)
  • 4 ∗ 4 = 16 (\displaystyle 4*4=16)

1. Vynásobte výsledok (v našom príklade 16) nasledujúcim číslom. Každý nasledujúci výsledok sa úmerne zvýši. V našom príklade vynásobte číslo 16 číslom 4. Takto:

   • 4 5 = 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=16*4*4*4)
     • 16 ∗ 4 = 64 (\displaystyle 16*4=64)
   • 4 5 = 64 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=64*4*4)
     • 64 ∗ 4 = 256 (\displaystyle 64*4=256)
   • 4 5 = 256 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=256*4)
     • 256 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
   • Pokračujte v násobení výsledku násobenia prvých dvoch čísel ďalším číslom, kým nedostanete konečnú odpoveď. Ak to chcete urobiť, vynásobte prvé dve čísla a potom vynásobte výsledok ďalším číslom v poradí. Táto metóda je platná pre akýkoľvek stupeň. V našom príklade by ste mali dostať: 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4=1024) .

2. Vyriešte nasledujúce problémy. Skontrolujte svoju odpoveď pomocou kalkulačky.

   • 8 2 (\displaystyle 8^(2))
   • 3 4 (\displaystyle 3^(4))
   • 10 7 (\displaystyle 10^(7))

3. Na kalkulačke vyhľadajte kľúč označený ako „exp“ alebo „ x n (\displaystyle x^(n))“ alebo „^“. Pomocou tohto kľúča zvýšite číslo na mocninu. Je prakticky nemožné ručne vypočítať stupeň s veľkým exponentom (napríklad stupeň 9 15 (\displaystyle 9^(15))), ale kalkulačka sa s touto úlohou ľahko vyrovná. V systéme Windows 7 je možné štandardnú kalkulačku prepnúť do inžinierskeho režimu; Ak to chcete urobiť, kliknite na "Zobraziť" -\u003e "Inžinierstvo". Ak chcete prejsť do normálneho režimu, kliknite na "Zobraziť" -\u003e "Normálne".

   • Skontrolujte prijatú odpoveď pomocou vyhľadávača (Google alebo Yandex). Pomocou klávesu „^“ na klávesnici počítača zadajte výraz do vyhľadávača, ktorý okamžite zobrazí správnu odpoveď (a prípadne navrhne podobné výrazy na štúdium).

   Sčítanie, odčítanie, násobenie mocniny

   1. Sčítavať a uberať mocniny môžete len vtedy, ak majú rovnaký základ. Ak potrebujete sčítať mocniny s rovnakými základmi a exponentmi, potom môžete operáciu sčítania nahradiť operáciou násobenia. Napríklad vzhľadom na výraz 4 5 + 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)). Pamätajte si, že stupeň 4 5 (\displaystyle 4^(5)) môže byť reprezentovaný ako 1 ∗ 4 5 (\displaystyle 1*4^(5)); teda 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(kde 1 + 1 = 2). To znamená, že spočítajte počet podobných stupňov a potom vynásobte takýto stupeň a toto číslo. V našom príklade zvýšte 4 na piatu mocninu a potom vynásobte výsledok 2. Nezabudnite, že operáciu sčítania možno nahradiť operáciou násobenia, napr. 3 + 3 = 2 ∗ 3 (\displaystyle 3+3=2*3). Tu sú ďalšie príklady:

      • 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 (\displaystyle 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
      • 4 5 − 4 5 + 2 = 2 (\displaystyle 4^(5)-4^(5)+2=2)
      • 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 (\displaystyle 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))

   2. Pri násobení mocnín s rovnakým základom sa ich exponenty sčítajú (základ sa nemení). Napríklad vzhľadom na výraz x 2 ∗ x 5 (\displaystyle x^(2)*x^(5)). V tomto prípade stačí pridať indikátory a ponechať základňu nezmenenú. teda x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). Tu je vizuálne vysvetlenie tohto pravidla:

      Pri zvýšení mocniny na mocninu sa exponenty násobia. Napríklad daný titul. Keďže exponenty sú násobené, potom (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). Zmyslom tohto pravidla je, že znásobíte silu (x 2) (\displaystyle (x^(2))) na seba päťkrát. Páči sa ti to:

      • (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5))
      • (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
      • Keďže základ je rovnaký, exponenty sa jednoducho spočítajú: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))

   3. Exponent so záporným exponentom by sa mal previesť na zlomok (na prevrátenú mocninu). Nevadí, ak neviete, čo je to recipročné. Ak dostanete titul so záporným exponentom, napr. 3 − 2 (\displaystyle 3^(-2)), túto mocninu zapíšte do menovateľa zlomku (do čitateľa dajte 1) a urobte kladný exponent. V našom príklade: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). Tu sú ďalšie príklady:

      Pri delení mocnín s rovnakým základom sa ich exponenty odčítajú (základ sa nemení). Operácia delenia je opakom operácie násobenia. Napríklad vzhľadom na výraz 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). Odčítajte exponent v menovateli od exponenta v čitateli (základ nemeňte). teda 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .

      • Stupeň v menovateli možno zapísať takto: 1 4 2 (\displaystyle (\frac (1)(4^(2)))) = 4 − 2 (\displaystyle 4^(-2)). Pamätajte, že zlomok je číslo (mocnina, výraz) so záporným exponentom.

   4. Nižšie sú uvedené niektoré výrazy, ktoré vám pomôžu naučiť sa riešiť problémy s napájaním. Vyššie uvedené výrazy pokrývajú materiál uvedený v tejto časti. Ak chcete zobraziť odpoveď, zvýraznite prázdne miesto za znakom rovnosti.

      Riešenie problémov so zlomkovými exponentmi

      1. Stupeň s zlomkovým exponentom (napríklad ) sa prevedie na operáciu extrakcie koreňa. V našom príklade: x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) = x(\displaystyle(\sqrt(x))). Nezáleží na tom, aké číslo je v menovateli zlomkového exponentu. Napríklad, x 1 4 (\displaystyle x^(\frac (1)(4))) je štvrtý koreň z "x" x 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .

      2. Ak je exponentom nevlastný zlomok, potom je možné takýto exponent rozložiť na dve mocniny, aby sa riešenie úlohy zjednodušilo. Nie je na tom nič zložité – stačí si zapamätať pravidlo pre násobenie právomocí. Napríklad daný titul. Premeňte tento exponent na odmocninec, ktorého exponent sa rovná menovateľovi zlomkového exponentu, a potom tento koreň povýšte na exponent rovný čitateľovi zlomkového exponentu. Aby ste to urobili, pamätajte na to 5 3 (\displaystyle (\frac (5)(3))) = (1 3) ∗ 5 (\displaystyle ((\frac (1)(3)))*5). V našom príklade:

         • x 5 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3)))
         • x 1 3 = x 3 (\displaystyle x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x)))
         • x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3))) = (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
      3. Niektoré kalkulačky majú tlačidlo na výpočet exponentov (najskôr musíte zadať základ, potom stlačiť tlačidlo a potom zadať exponent). Označuje sa ako ^ alebo x^y.
      4. Pamätajte, že každé číslo sa rovná prvej mocnine, napr. 4 1 = 4. (\displaystyle 4^(1)=4.) Navyše, každé číslo vynásobené alebo delené jednou sa rovná samo sebe, napr. 5 ∗ 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5) a 5/1 = 5 (\displaystyle 5/1=5).
      5. Vedzte, že stupeň 0 0 neexistuje (takýto stupeň nemá riešenie). Keď sa pokúsite vyriešiť takýto stupeň na kalkulačke alebo na počítači, dostanete chybu. Pamätajte však, že každé číslo s mocninou nuly sa rovná 1, napr. 4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.)
      6. Vo vyššej matematike, ktorá pracuje s imaginárnymi číslami: e a i x = c o s a x + i s i n a x (\displaystyle e^(a)ix=cosax+isinax), kde i = (− 1) (\displaystyle i=(\sqrt (())-1)); e je konštanta približne rovná 2,7; a je ľubovoľná konštanta. Dôkaz tejto rovnosti možno nájsť v ktorejkoľvek učebnici vyššej matematiky.

      Varovania

      • Keď sa exponent zvyšuje, jeho hodnota výrazne rastie. Preto, ak sa vám zdá odpoveď nesprávna, v skutočnosti sa môže ukázať ako pravdivá. Môžete to skontrolovať vykreslením ľubovoľnej exponenciálnej funkcie, napríklad 2 x .

Uvažujme o téme transformácie výrazov pomocou mocnin, ale najprv sa zastavíme pri množstve transformácií, ktoré je možné vykonať s akýmikoľvek výrazmi, vrátane mocninových. Naučíme sa otvárať zátvorky, dávať lajkovacie výrazy, pracovať so základom a exponentom, využívať vlastnosti mocnín.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Čo sú mocenské výrazy?

V školskom kurze len málo ľudí používa frázu „silové výrazy“, ale tento výraz sa neustále nachádza v zbierkach na prípravu na skúšku. Vo väčšine prípadov fráza označuje výrazy, ktoré vo svojich záznamoch obsahujú stupne. To je to, čo budeme odrážať v našej definícii.

Definícia 1

Silový prejav je výraz, ktorý obsahuje stupne.

Uvádzame niekoľko príkladov mocninných výrazov, počnúc stupňom s prirodzeným exponentom a končiac stupňom so skutočným exponentom.

Za najjednoduchšie mocniny možno považovať mocniny čísla s prirodzeným exponentom: 3 2 , 7 5 + 1 , (2 + 1) 5 , (− 0 , 1) 4 , 2 2 3 3 , 3 a 2 − a + a 2 , x 3 − 1 , (a 2) 3 . Rovnako ako mocniny s nulovým exponentom: 5 0 , (a + 1) 0 , 3 + 5 2 − 3 , 2 0 . A mocniny so zápornými celočíselnými mocninami: (0 , 5) 2 + (0 , 5) - 2 2 .

Trochu ťažšie je pracovať s titulom, ktorý má racionálne a iracionálne exponenty: 264 1 4 - 3 3 3 1 2 , 2 3 , 5 2 - 2 2 - 1 , 5 , 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .

Indikátor môže byť premenná 3 x - 54 - 7 3 x - 58 alebo logaritmus x 2 l g x − 5 x l g x.

Zaoberali sme sa otázkou, čo sú to mocenské výrazy. Teraz sa poďme pozrieť na ich premenu.

Hlavné typy transformácií mocenských výrazov

Najprv zvážime základné transformácie identity výrazov, ktoré možno vykonať pomocou mocenských výrazov.

Príklad 1

Vypočítajte hodnotu mocninového výrazu 2 3 (4 2 − 12).

rozhodnutie

Všetky transformácie vykonáme v súlade s poradím úkonov. V tomto prípade začneme vykonaním akcií v zátvorkách: stupeň nahradíme digitálnou hodnotou a vypočítame rozdiel medzi týmito dvoma číslami. Máme 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.

Zostáva nám nahradiť stupeň 2 3 jeho význam 8 a vypočítajte súčin 8 4 = 32. Tu je naša odpoveď.

odpoveď: 2 3 (4 2 − 12) = 32 .

Príklad 2

Zjednodušte vyjadrovanie pomocou právomocí 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7.

rozhodnutie

Výraz, ktorý sme dostali v podmienke problému, obsahuje podobné pojmy, ktoré môžeme priniesť: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1.

odpoveď: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1 .

Príklad 3

Vyjadrite výraz s mocninami 9 - b 3 · π - 1 2 ako súčin.

rozhodnutie

Predstavme si číslo 9 ako mocninu 3 2 a použite skrátený vzorec násobenia:

9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1

odpoveď: 9 - b 3 π - 1 2 = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1 .

A teraz prejdime k analýze identických transformácií, ktoré sa dajú konkrétne aplikovať na mocninné výrazy.

Práca so základom a exponentom

Stupeň v základe alebo exponent môže mať čísla, premenné a niektoré výrazy. Napríklad, (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7 a . S takýmito záznamami sa ťažko pracuje. Oveľa jednoduchšie je nahradiť výraz v základe stupňa alebo výraz v exponente identicky rovnakým výrazom.

Transformácie stupňa a ukazovateľa sa vykonávajú podľa pravidiel, ktoré sú nám známe, oddelene od seba. Najdôležitejšie je, že v dôsledku transformácií sa získa výraz, ktorý je identický s pôvodným.

Účelom transformácií je zjednodušiť pôvodný výraz alebo získať riešenie problému. Napríklad v príklade, ktorý sme uviedli vyššie, (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7 môžete vykonávať operácie na prechod na stupeň 4 , 1 1 , 3 . Otvorením zátvoriek môžeme uviesť podobné výrazy v základe stupňa (a (a + 1) − a 2) 2 (x + 1) a získajte mocenské vyjadrenie jednoduchšej formy a 2 (x + 1).

Používanie vlastností napájania

Vlastnosti stupňov, zapísané ako rovnosti, sú jedným z hlavných nástrojov na transformáciu výrazov so stupňami. Vzhľadom na to uvádzame tie hlavné a a b sú nejaké kladné čísla a r a s- ľubovoľné reálne čísla:

Definícia 2

• a ra s = a r + s;
• a r: a s = a r − s ;
• (ab) r = a r b r;
• (a:b) r = a r: br;
• (a r) s = a r s .

V prípadoch, keď máme čo do činenia s prirodzenými, celými, kladnými exponentmi, môžu byť obmedzenia pre čísla a a b oveľa menej prísne. Ak teda vezmeme do úvahy napríklad rovnosť a m a n = a m + n, kde m a n sú prirodzené čísla, potom to bude platiť pre všetky hodnoty a, kladné aj záporné, ako aj pre a = 0.

Vlastnosti stupňov môžete použiť bez obmedzení v prípadoch, keď sú základy stupňov kladné alebo obsahujú premenné, ktorých rozsah prijateľných hodnôt je taký, že základy na nich nadobúdajú iba kladné hodnoty. V rámci školského učiva z matematiky je totiž úlohou žiaka vybrať si vhodnú vlastnosť a správne ju aplikovať.

Pri príprave na prijatie na vysoké školy sa môžu vyskytnúť úlohy, pri ktorých nepresná aplikácia vlastností povedie k zúženiu ODZ a iným ťažkostiam s riešením. V tejto časti zvážime iba dva takéto prípady. Viac informácií k téme nájdete v téme "Transformovanie výrazov pomocou vlastností exponentov".

Príklad 4

Reprezentovať výraz a2, 5 (a2) - 3: a - 5, 5 ako titul so základom a.

rozhodnutie

Na začiatok použijeme vlastnosť umocňovania a pomocou nej transformujeme druhý faktor (a 2) − 3. Potom použijeme vlastnosti násobenia a delenia mocnín s rovnakým základom:

a 2 , 5 a − 6: a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6: a − 5 , 5 = a − 3 , 5: a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − (− 5 , 5 ) = a 2 .

odpoveď: a 2 , 5 (a 2) − 3: a − 5 , 5 = a 2 .

Transformáciu mocninných výrazov podľa vlastnosti stupňov je možné robiť tak zľava doprava, ako aj v opačnom smere.

Príklad 5

Nájdite hodnotu mocninného výrazu 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .

rozhodnutie

Ak uplatníme rovnosť (a b) r = a r b r, sprava doľava, potom dostaneme súčin v tvare 3 7 1 3 21 2 3 a potom 21 1 3 21 2 3 . Pri násobení mocnín s rovnakými základmi spočítajme exponenty: 21 1 3 21 2 3 \u003d 21 1 3 + 2 3 \u003d 21 1 \u003d 21.

Existuje ďalší spôsob, ako vykonať transformáciu:

3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 3 7 1 3 (3 7) 2 3 = 3 1 3 7 1 3 3 2 3 7 2 3 = = 3 1 3 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

odpoveď: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Príklad 6

Daný mocenský výraz a 1, 5 - a 0, 5 - 6, zadajte novú premennú t = a 0, 5.

rozhodnutie

Predstavte si titul a 1, 5 ako a 0, 5 3. Použitie vlastnosti stupňa v stupni (a r) s = a r s sprava doľava a získajte (a 0 , 5) 3: a 1 , 5 - a 0 , 5 - 6 = (a 0 , 5) 3 - a 0 , 5 - 6 . Vo výslednom výraze môžete jednoducho zaviesť novú premennú t = a 0, 5: dostať t 3 − t − 6.

odpoveď: t 3 − t − 6 .

Prevod zlomkov obsahujúcich mocniny

Bežne sa zaoberáme dvoma variantmi mocninných výrazov so zlomkami: výraz je zlomok so stupňom alebo takýto zlomok obsahuje. Všetky transformácie základných zlomkov sú pre takéto výrazy použiteľné bez obmedzení. Možno ich zmenšiť, preniesť na nového menovateľa, pracovať oddelene s čitateľom a menovateľom. Ilustrujme si to na príkladoch.

Príklad 7

Zjednodušte vyjadrenie sily 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 .

rozhodnutie

Máme čo do činenia so zlomkom, preto vykonáme transformácie v čitateli aj v menovateli:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

Ak chcete zmeniť znamienko menovateľa, vložte pred zlomok mínus: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

odpoveď: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

Zlomky obsahujúce mocniny sa redukujú na nového menovateľa rovnakým spôsobom ako racionálne zlomky. Aby ste to dosiahli, musíte nájsť ďalší faktor a vynásobiť ním čitateľa a menovateľa zlomku. Dodatočný faktor je potrebné vybrať tak, aby pre žiadne hodnoty premenných nezanikol z premenných ODZ pre pôvodný výraz.

Príklad 8

Preneste zlomky do nového menovateľa: a) a + 1 a 0, 7 do menovateľa a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 do menovateľa x + 8 y 1 2 .

rozhodnutie

a) Vyberieme faktor, ktorý nám umožní zredukovať na nového menovateľa. a 0 , 7 a 0 , 3 = a 0 , 7 + 0 , 3 = a , preto berieme ako dodatočný faktor a 0, 3. Rozsah prípustných hodnôt premennej a zahŕňa množinu všetkých kladných reálnych čísel. V tejto oblasti je stupeň a 0, 3 nejde na nulu.

Vynásobme čitateľa a menovateľa zlomku číslom a 0, 3:

a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a

b) Venujte pozornosť menovateľovi:

x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2

Vynásobte tento výraz x 1 3 + 2 · y 1 6, dostaneme súčet kociek x 1 3 a 2 · y 1 6, t.j. x + 8 · y 1 2 . Toto je náš nový menovateľ, ku ktorému musíme priviesť pôvodný zlomok.

Našli sme teda ďalší faktor x 1 3 + 2 · y 1 6 . V rozsahu prijateľných hodnôt premenných X a r výraz x 1 3 + 2 y 1 6 nezaniká, preto ním môžeme vynásobiť čitateľa a menovateľa zlomku:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

odpoveď: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2 .

Príklad 9

Zmenšenie zlomku: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.

rozhodnutie

a) Použite najväčšieho spoločného menovateľa (GCD), o ktorý možno čitateľa a menovateľa zmenšiť. Pre čísla 30 a 45 je to 15 . Môžeme aj znížiť x 0, 5 + 1 a na x + 2 x 113-53.

Dostaneme:

30 x 3 (x 0 , 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0 , 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0, 5 + 1)

b) Prítomnosť rovnakých faktorov tu nie je zrejmá. Budete musieť vykonať nejaké transformácie, aby ste získali rovnaké faktory v čitateli a menovateli. Aby sme to dosiahli, rozšírime menovateľa pomocou vzorca rozdielu štvorcov:

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

odpoveď: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .

Medzi hlavné operácie so zlomkami patrí redukcia na nový menovateľ a redukcia zlomkov. Obe akcie sa vykonávajú v súlade s množstvom pravidiel. Pri sčítaní a odčítaní zlomkov sa zlomky najskôr zredukujú na spoločného menovateľa, potom sa vykonajú akcie (sčítanie alebo odčítanie) s čitateľmi. Menovateľ zostáva rovnaký. Výsledkom nášho konania je nový zlomok, ktorého čitateľ je súčinom čitateľov a menovateľ je súčinom menovateľov.

Príklad 10

Vykonajte kroky x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .

rozhodnutie

Začnime odčítaním zlomkov, ktoré sú v zátvorkách. Priveďme ich k spoločnému menovateľovi:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

Odčítajme čitateľov:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

Teraz vynásobíme zlomky:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

Znížime o stupeň x 1 2 dostaneme 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 .

Okrem toho môžete zjednodušiť vyjadrenie mocniny v menovateli pomocou vzorca pre rozdiel druhých mocnín: štvorce: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1.

odpoveď: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

Príklad 11

Zjednodušte vyjadrenie sily x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 .
rozhodnutie

Zlomok môžeme znížiť o (x 2, 7 + 1) 2. Dostaneme zlomok x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.

Pokračujme v transformáciách x mocnín x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 . Teraz môžete použiť vlastnosť delenia mocniny s rovnakými základmi: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1.

Od posledného produktu prejdeme na zlomok x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

odpoveď: x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Vo väčšine prípadov je vhodnejšie preniesť násobiče so zápornými exponentmi z čitateľa do menovateľa a naopak zmenou znamienka exponentu. Toto opatrenie zjednodušuje ďalšie rozhodovanie. Uveďme príklad: mocninný výraz (x + 1) - 0 , 2 3 · x - 1 môžeme nahradiť x 3 · (x + 1) 0 , 2 .

Konverzia výrazov s koreňmi a mocninami

V úlohách sú mocninné výrazy, ktoré obsahujú nielen stupne so zlomkovými exponentmi, ale aj odmocniny. Je žiaduce zredukovať takéto výrazy len na odmocniny alebo len na mocniny. Prechod na stupne je vhodnejší, pretože sa s nimi ľahšie pracuje. Takýto prechod je výhodný najmä vtedy, keď vám DPV premenných pre pôvodný výraz umožňuje nahradiť odmocniny bez toho, aby ste museli pristupovať k modulu alebo rozdeliť DPV do niekoľkých intervalov.

Príklad 12

Vyjadrite výraz x 1 9 x x 3 6 ako mocninu.

rozhodnutie

Platný rozsah premennej X je určená dvoma nerovnosťami x ≥ 0 a x · x 3 ≥ 0, ktoré definujú množinu [ 0 , + ∞) .

V tomto súbore máme právo prejsť od koreňov k mocnostiam:

x 1 9 x x 3 6 = x 1 9 x x 1 3 1 6

Pomocou vlastností stupňov zjednodušíme výsledné mocninné vyjadrenie.

x 1 9 x x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 1 3 6 = = x 1 9 x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

odpoveď: x 1 9 x x 3 6 = x 1 3 .

Prevod mocnin s premennými v exponente

Tieto transformácie sú pomerne jednoduché, ak správne používate vlastnosti stupňa. Napríklad, 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.

Môžeme nahradiť súčin stupňa, v zmysle ktorého sa nájde súčet nejakej premennej a čísla. Na ľavej strane to možno urobiť s prvým a posledným výrazom na ľavej strane výrazu:

5 2 x 5 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x 7 − 1 = 0, 5 5 2 x − 3 5 x 7 x − 2 7 2 x = 0 .

Teraz vydeľme obe strany rovnice 7 2 x. Tento výraz na ODZ premennej x nadobúda iba kladné hodnoty:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

Zmenšme zlomky s mocninami, dostaneme: 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x - 2 = 0 .

Nakoniec je pomer mocnin s rovnakými exponentmi nahradený mocninami pomerov, čo vedie k rovnici 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0 , čo je ekvivalentné 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x-2 = 0.

Zaveďme novú premennú t = 5 7 x , ktorá redukuje riešenie pôvodnej exponenciálnej rovnice na riešenie kvadratickej rovnice 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0 .

Prevod výrazov s mocninami a logaritmami

V problémoch sa nachádzajú aj výrazy obsahujúce mocniny a logaritmy. Príklady takýchto výrazov sú: 1 4 1 - 5 log 2 3 alebo log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) log 5 3 . Transformácia takýchto výrazov sa vykonáva pomocou vyššie uvedených prístupov a vlastností logaritmov, ktoré sme podrobne analyzovali v téme "Transformácia logaritmických výrazov".

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Výrazy, konverzia výrazov

Mocninné výrazy (výrazy s mocninami) a ich premena

V tomto článku budeme hovoriť o transformácii výrazov pomocou mocničiek. Najprv sa zameriame na transformácie, ktoré sa vykonávajú s výrazmi akéhokoľvek druhu, vrátane mocninných výrazov, ako sú otváracie zátvorky, redukujúce podobné výrazy. A potom budeme analyzovať transformácie obsiahnuté konkrétne vo výrazoch so stupňami: práca so základom a exponentom, pomocou vlastností stupňov atď.

Navigácia na stránke.

Čo sú mocenské výrazy?

Pojem „mocenské výrazy“ sa v školských učebniciach matematiky prakticky nevyskytuje, často sa však vyskytuje v zbierkach úloh, najmä na prípravu na Jednotnú štátnu skúšku a napr. OGE. Po analýze úloh, v ktorých je potrebné vykonať akékoľvek akcie s mocenskými výrazmi, je jasné, že mocenské výrazy sa chápu ako výrazy, ktoré vo svojich záznamoch obsahujú stupne. Preto si pre seba môžete vziať nasledujúcu definíciu:

Definícia.

Mocenské výrazy sú výrazy obsahujúce mocniny.

Poďme priniesť príklady mocenských výrazov. Navyše ich budeme reprezentovať podľa toho, ako prebieha vývoj názorov na stupeň s prirodzeným ukazovateľom na stupeň s reálnym ukazovateľom.

Ako viete, najprv je oboznámenie sa so stupňom čísla s prirodzeným exponentom, v tejto fáze sú prvé najjednoduchšie mocninné výrazy typu 3 2 , 7 5 +1 , (2+1) 5 , (−0, 1) 4 , 3 a 2 −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 atď.

O niečo neskôr sa študuje mocnina čísla s celočíselným exponentom, čo vedie k objaveniu sa mocninných výrazov so zápornými celočíselnými mocninami, ako napríklad: 3 −2, a -2 +2 b -3 + c2.

Vo vyšších ročníkoch sa opäť vracajú k titulom. Tam je zavedený stupeň s racionálnym exponentom, ktorý vedie k objaveniu sa zodpovedajúcich mocninných výrazov: , , atď. Nakoniec sa uvažujú stupne s iracionálnymi exponentmi a výrazy, ktoré ich obsahujú: , .

Vec sa neobmedzuje len na uvedené mocninné výrazy: ďalej premenná preniká do exponentu a existujú napríklad také výrazy 2 x 2 +1 resp. . A po oboznámení sa s tým sa začnú objavovať výrazy s mocninami a logaritmami, napríklad x 2 lgx −5 x lgx.

Takže sme prišli na otázku, čo sú výrazy moci. Ďalej sa naučíme, ako ich transformovať.

Hlavné typy transformácií mocenských výrazov

Pomocou mocenských výrazov môžete vykonávať akúkoľvek zo základných transformácií identity výrazov. Môžete napríklad rozšíriť zátvorky, nahradiť číselné výrazy ich hodnotami, pridať podobné výrazy atď. Prirodzene, v tomto prípade je potrebné dodržať prijatý postup vykonávania úkonov. Uveďme si príklady.

Príklad.

Vypočítajte hodnotu mocninného výrazu 2 3 ·(4 2 −12) .

rozhodnutie.

Podľa poradia akcií najskôr vykonáme akcie v zátvorkách. Tam po prvé nahradíme mocninu 4 2 jej hodnotou 16 (prípadne pozri) a po druhé vypočítame rozdiel 16−12=4 . Máme 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4.

Vo výslednom výraze nahradíme mocninu 2 3 jej hodnotou 8 , po čom vypočítame súčin 8·4=32 . Toto je požadovaná hodnota.

takze 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4=8 4=32.

odpoveď:

2 3 (4 2 - 12) = 32 .

Príklad.

Zjednodušte mocenské výrazy 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

rozhodnutie.

Je zrejmé, že tento výraz obsahuje podobné výrazy 3 · a 4 · b − 7 a 2 · a 4 · b − 7 a môžeme ich zredukovať: .

odpoveď:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Príklad.

Vyjadrite výraz so schopnosťami ako produkt.

rozhodnutie.

Vyrovnať sa s úlohou umožňuje znázornenie čísla 9 ako mocniny 3 2 a následné použitie skráteného vzorca násobenia, rozdielu štvorcov:

odpoveď:

Existuje tiež množstvo identických transformácií, ktoré sú súčasťou mocenských výrazov. Ďalej ich budeme analyzovať.

Práca so základom a exponentom

Existujú stupne, ktorých základom a / alebo indikátorom nie sú len čísla alebo premenné, ale niektoré výrazy. Ako príklad si napíšme (2+0,3 7) 5−3,7 a (a (a+1)−a 2) 2 (x+1) .

Pri práci s takýmito výrazmi je možné nahradiť výraz v základe stupňa aj výraz v ukazovateli zhodne rovnakým výrazom na DPV jeho premenných. Inými slovami, podľa pravidiel, ktoré sú nám známe, môžeme samostatne previesť základ stupňa a samostatne - indikátor. Je zrejmé, že v dôsledku tejto transformácie sa získa výraz, ktorý je identicky rovnaký ako pôvodný.

Takéto transformácie nám umožňujú zjednodušiť vyjadrenia pomocou právomocí alebo dosiahnuť iné ciele, ktoré potrebujeme. Napríklad vo vyššie uvedenom mocnine (2+0,3 7) 5−3,7 môžete vykonávať operácie s číslami v základe a exponente, čo vám umožní prejsť na mocninu 4,1 1,3. A po otvorení zátvoriek a uvedení podobných členov v základe stupňa (a (a+1)−a 2) 2 (x+1) dostaneme mocninné vyjadrenie jednoduchšieho tvaru a 2 (x+1) .

Používanie vlastností napájania

Jedným z hlavných nástrojov na transformáciu výrazov pomocou právomocí sú rovnosti, ktoré odrážajú . Pripomeňme si tie hlavné. Pre všetky kladné čísla a a b a ľubovoľné reálne čísla r a s platia nasledujúce mocninné vlastnosti:

• a r a s =a r+s;
• a r:a s =a r−s ;
• (ab) r = a r b r;
• (a:b) r = a r: br;
• (a r) s = a r s .

Všimnite si, že pre prirodzené, celé a kladné exponenty nemusia byť obmedzenia pre čísla a a b také prísne. Napríklad pre prirodzené čísla m a n platí rovnosť a m a n =a m+n nielen pre kladné a , ale aj záporné a pre a=0 .

V škole sa hlavná pozornosť pri transformácii mocenských prejavov sústreďuje práve na schopnosť vybrať si vhodnú vlastnosť a správne ju aplikovať. V tomto prípade sú základy stupňov väčšinou kladné, čo umožňuje využívať vlastnosti stupňov bez obmedzení. To isté platí pre transformáciu výrazov obsahujúcich premenné v základoch stupňov - rozsah prijateľných hodnôt premenných je zvyčajne taký, že základy na ňom nadobúdajú iba kladné hodnoty, čo vám umožňuje voľne používať vlastnosti stupňov. Vo všeobecnosti si treba neustále klásť otázku, či je možné v tomto prípade uplatniť nejakú vlastnosť stupňov, pretože nepresné použitie vlastností môže viesť k zúženiu ODZ a iným nepríjemnostiam. Tieto body sú podrobne a s príkladmi rozobraté v článku transformácia výrazov pomocou vlastností stupňov. Tu sa obmedzíme na niekoľko jednoduchých príkladov.

Príklad.

Vyjadrite výraz a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 ako mocninu so základom a .

rozhodnutie.

Najprv transformujeme druhý faktor (a 2) −3 vlastnosťou zvýšenia mocniny na mocninu: (a 2) −3 =a 2 (−3) =a −6. V tomto prípade bude mať počiatočné vyjadrenie mocniny tvar a 2,5 ·a −6:a −5,5 . Je zrejmé, že zostáva použiť vlastnosti násobenia a delenia právomocí s rovnakým základom, aký máme
a 2,5 a -6: a -5,5 =
a 2,5-6:a-5,5 =a-3,5:a-5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a2.

odpoveď:

a 2,5 (a 2) -3:a -5,5 \u003d a 2.

Vlastnosti mocniny sa používajú pri transformácii mocninných výrazov zľava doprava a sprava doľava.

Príklad.

Nájdite hodnotu mocninného výrazu.

rozhodnutie.

Rovnosť (a·b) r =a r ·b r , aplikovaná sprava doľava, umožňuje prejsť od pôvodného výrazu k súčinu formy a ďalej. A pri vynásobení mocnín s rovnakým základom sa ukazovatele sčítajú: .

Transformáciu pôvodného výrazu bolo možné vykonať iným spôsobom:

odpoveď:

.

Príklad.

Vzhľadom na mocninný výraz a 1,5 −a 0,5 −6 , zadajte novú premennú t=a 0,5 .

rozhodnutie.

Stupeň a 1,5 možno znázorniť ako a 0,5 3 a ďalej na základe vlastnosti stupňa v stupni (a r) s =ar s aplikovaný sprava doľava previesť do tvaru (a 0,5) 3 . teda a 1,5 -a 0,5 -6 = (a 0,5) 3 -a 0,5 -6. Teraz je jednoduché zaviesť novú premennú t=a 0,5 , dostaneme t 3 −t−6 .

odpoveď:

t3−t−6.

Prevod zlomkov obsahujúcich mocniny

Mocninné výrazy môžu obsahovať zlomky s mocninami alebo takéto zlomky reprezentovať. Akákoľvek zo základných transformácií zlomkov, ktoré sú vlastné zlomkom akéhokoľvek druhu, je plne aplikovateľná na takéto zlomky. To znamená, že zlomky, ktoré obsahujú stupne, sa dajú zmenšiť, zredukovať na nového menovateľa, pracovať oddelene s ich čitateľom a oddelene s menovateľom atď. Na ilustráciu vyššie uvedených slov zvážte riešenia niekoľkých príkladov.

Príklad.

Zjednodušte vyjadrenie sily .

rozhodnutie.

Tento výraz sily je zlomok. Pracujme s jeho čitateľom a menovateľom. V čitateli otvoríme zátvorky a následne získaný výraz zjednodušíme pomocou vlastností mocnin a v menovateli uvádzame podobné pojmy:

A tiež zmeníme znamienko menovateľa tak, že pred zlomok umiestnime mínus: .

odpoveď:

.

Redukcia zlomkov obsahujúcich mocniny na nového menovateľa sa vykonáva podobne ako redukcia racionálnych zlomkov na nového menovateľa. Zároveň sa nájde aj ďalší faktor a vynásobí sa ním čitateľ a menovateľ zlomku. Pri vykonávaní tejto akcie je potrebné pripomenúť, že zníženie na nového menovateľa môže viesť k zúženiu DPV. Aby sa tomu zabránilo, je potrebné, aby dodatočný faktor nezmizol pre žiadne hodnoty premenných z premenných ODZ pre pôvodný výraz.

Príklad.

Preneste zlomky do nového menovateľa: a) do menovateľa a, b) na menovateľa.

rozhodnutie.

a) V tomto prípade je celkom ľahké zistiť, ktorý dodatočný faktor pomáha dosiahnuť požadovaný výsledok. Toto je násobiteľ a 0,3, pretože a 0,7 a 0,3 = a 0,7+0,3 = a . Všimnite si, že v rozsahu prijateľných hodnôt premennej a (toto je množina všetkých kladných reálnych čísel) nezaniká stupeň a 0,3, preto máme právo násobiť čitateľa a menovateľa daného zlomku týmto dodatočným faktorom:

b) Pri bližšom pohľade na menovateľa zistíme, že

a vynásobením tohto výrazu dostaneme súčet kociek a , teda . A toto je nový menovateľ, ku ktorému musíme priviesť pôvodný zlomok.

Tak sme našli ďalší faktor. Výraz nezaniká v rozsahu prijateľných hodnôt premenných x a y, preto ním môžeme vynásobiť čitateľa a menovateľa zlomku:

odpoveď:

a) , b) .

Nič nové nie je ani v redukcii zlomkov obsahujúcich stupne: čitateľ a menovateľ sú reprezentované ako určitý počet faktorov a tie isté faktory čitateľa a menovateľa sú redukované.

Príklad.

Znížte zlomok: a) , b).

rozhodnutie.

a) Najprv je možné čitateľa a menovateľa zmenšiť o čísla 30 a 45, čo sa rovná 15. Tiež, samozrejme, môžete znížiť o x 0,5 +1 a o . Tu je to, čo máme:

b) V tomto prípade tie isté faktory v čitateli a menovateli nie sú okamžite viditeľné. Aby ste ich získali, musíte vykonať predbežné transformácie. V tomto prípade spočívajú v rozklade menovateľa na faktory podľa vzorca rozdielu štvorcov:

odpoveď:

a)

b) .

Redukcia zlomkov na nový menovateľ a redukcia zlomkov sa používa najmä na vykonávanie operácií so zlomkami. Akcie sa vykonávajú podľa známych pravidiel. Pri sčítaní (odčítaní) zlomkov sa tieto zredukujú na spoločného menovateľa, po ktorom sa pripočítajú (odčítajú) čitatelia a menovateľ zostáva rovnaký. Výsledkom je zlomok, ktorého čitateľ je súčinom čitateľov a menovateľ je súčinom menovateľov. Delenie zlomkom je násobenie jeho recipročným.

Príklad.

Nasleduj kroky .

rozhodnutie.

Najprv odčítame zlomky v zátvorkách. Aby sme to dosiahli, privádzame ich k spoločnému menovateľovi, ktorým je , potom odčítajte čitateľov:

Teraz vynásobíme zlomky:

Je zrejmé, že je možné zníženie o výkon x 1/2, po ktorom máme .

Výraz mocniny v menovateli môžete tiež zjednodušiť pomocou vzorca rozdielu štvorcov: .

odpoveď:

Príklad.

Zjednodušte vyjadrenie sily .

rozhodnutie.

Je zrejmé, že tento zlomok môže byť znížený o (x 2,7 + 1) 2, čím sa získa zlomok . Je jasné, že s mocninami x treba urobiť niečo iné. Aby sme to dosiahli, prevedieme výslednú frakciu na produkt. To nám dáva možnosť využiť vlastnosť delenia mocnín s rovnakými základmi: . A na konci procesu prechádzame od posledného produktu k frakcii.

odpoveď:

.

A dodávame, že je možné a v mnohých prípadoch žiadúce preniesť faktory so zápornými exponentmi z čitateľa do menovateľa alebo z menovateľa do čitateľa zmenou znamienka exponenta. Takéto transformácie často zjednodušujú ďalšie činnosti. Napríklad mocninný výraz možno nahradiť výrazom .

Konverzia výrazov s koreňmi a mocninami

Často vo výrazoch, v ktorých sa vyžadujú niektoré transformácie, spolu so stupňami so zlomkovými exponentmi, sú aj korene. Na prevod takéhoto výrazu do požadovanej podoby vo väčšine prípadov stačí prejsť len ku koreňom alebo len k mocninám. Ale keďže je pohodlnejšie pracovať so stupňami, zvyčajne sa pohybujú od koreňov k stupňom. Je však vhodné vykonať takýto prechod vtedy, keď ODZ premenných pre pôvodný výraz umožňuje nahradiť korene stupňami bez nutnosti prístupu do modulu alebo rozdelenia ODZ do viacerých intervalov (podrobne sme to rozobrali v článok, prechod od odmocniny k mocninám a naopak Po oboznámení sa so stupňom s racionálnym exponentom sa zavádza stupeň s iracionálnym ukazovateľom, ktorý umožňuje hovoriť o stupňoch s ľubovoľným reálnym ukazovateľom. škola začína študovať exponenciálna funkcia, ktorý je analyticky daný stupňom, na základe ktorého existuje číslo a v ukazovateli - premenná. Stretávame sa teda s exponenciálnymi výrazmi obsahujúcimi čísla v základe stupňa a v exponente - výrazy s premennými a prirodzene vzniká potreba vykonávať transformácie takýchto výrazov.

Treba povedať, že transformáciu výrazov naznačeného typu treba väčšinou vykonať pri riešení exponenciálne rovnice a exponenciálne nerovnosti a tieto transformácie sú celkom jednoduché. Vo veľkej väčšine prípadov vychádzajú z vlastností stupňa a sú zamerané väčšinou na zavedenie novej premennej v budúcnosti. Rovnica nám ich umožní demonštrovať 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Najprv sa exponenty, v ktorých exponentoch sa nachádza súčet nejakej premennej (alebo výraz s premennými) a čísla, nahradia súčinmi. Platí to pre prvý a posledný výraz výrazu na ľavej strane:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Ďalej sú obe časti rovnosti delené výrazom 7 2 x , ktorý nadobúda iba kladné hodnoty na ODV premennej x pre pôvodnú rovnicu (toto je štandardná technika riešenia rovníc tohto druhu, nie sme keď o tom teraz hovoríme, tak sa zamerajte na následné transformácie výrazov s mocninami):

Teraz sú zlomky s mocninami zrušené, čo dáva .

Nakoniec sa pomer mocnin s rovnakými exponentmi nahradí mocninami pomerov, čo vedie k rovnici , čo je ekvivalentné s . Vykonané transformácie nám umožňujú zaviesť novú premennú, ktorá redukuje riešenie pôvodnej exponenciálnej rovnice na riešenie kvadratickej rovnice.

I. V. Boikov, L. D. Romanová Zbierka úloh na prípravu na skúšku. Časť 1. Penza 2003.

Zjednodušenie algebraických výrazov je jedným z kľúčov k učeniu sa algebry a mimoriadne užitočnou zručnosťou pre všetkých matematikov. Zjednodušenie umožňuje zredukovať zložitý alebo dlhý výraz na jednoduchý výraz, s ktorým sa ľahko pracuje. Základné zjednodušovacie schopnosti sú dobré aj pre tých, ktorí nie sú nadšení z matematiky. Dodržaním niekoľkých jednoduchých pravidiel možno mnohé z najbežnejších typov algebraických výrazov zjednodušiť bez akýchkoľvek špeciálnych matematických znalostí.

Kroky

Dôležité definície

1. Podobní členovia. Ide o členy s premennou rovnakého poradia, členy s rovnakými premennými alebo o voľné členy (členy, ktoré neobsahujú premennú). Inými slovami, podobné výrazy zahŕňajú jednu premennú v rovnakom rozsahu, zahŕňajú niekoľko rovnakých premenných alebo neobsahujú premennú vôbec. Na poradí výrazov vo výraze nezáleží.

   • Napríklad 3x 2 a 4x 2 sú podobné výrazy, pretože obsahujú premennú "x" druhého rádu (v druhej mocnine). Avšak x a x 2 nie sú podobné členy, pretože obsahujú premennú "x" rôznych rádov (prvý a druhý). Podobne -3yx a 5xz nie sú podobné členy, pretože obsahujú rôzne premenné.

2. Faktorizácia. Ide o nájdenie takých čísel, ktorých súčin vedie k pôvodnému číslu. Akékoľvek pôvodné číslo môže mať niekoľko faktorov. Napríklad číslo 12 možno rozložiť na nasledujúce série faktorov: 1 × 12, 2 × 6 a 3 × 4, takže môžeme povedať, že čísla 1, 2, 3, 4, 6 a 12 sú faktory číslo 12. Faktory sú rovnaké ako delitele , teda čísla, ktorými je pôvodné číslo deliteľné.

   • Napríklad, ak chcete vynásobiť číslo 20, napíšte ho takto: 4×5.
   • Upozorňujeme, že pri faktoringu sa berie do úvahy premenná. Napríklad 20x = 4 (5x).
   • Prvočísla nemožno rozdeliť, pretože sú deliteľné iba sebou samými a 1.

3. Zapamätajte si a dodržiavajte poradie operácií, aby ste sa vyhli chybám.

   • Zátvorky
   • stupňa
   • Násobenie
   • divízie
   • Doplnenie
   • Odčítanie

   Casting Like Members

   1. Zapíšte si výraz. Najjednoduchšie algebraické výrazy (ktoré neobsahujú zlomky, odmocniny atď.) je možné vyriešiť (zjednodušiť) v niekoľkých krokoch.

      • Napríklad zjednodušiť výraz 1 + 2x - 3 + 4x.

   2. Definujte podobné členy (členy s premennou rovnakého poradia, členy s rovnakými premennými alebo voľné členy).

      • Nájdite podobné výrazy v tomto výraze. Výrazy 2x a 4x obsahujú premennú rovnakého rádu (prvú). Tiež 1 a -3 sú voľné členy (neobsahujú premennú). Teda v tomto výraze termíny 2x a 4x sú podobné a členovia 1 a -3 sú tiež podobné.

   3. Dajte podobných členov. To znamená ich pridanie alebo odčítanie a zjednodušenie výrazu.

      • 2x+4x= 6x
      • 1 - 3 = -2

   4. Prepíšte výraz s prihliadnutím na dané výrazy. Získate jednoduchý výraz s menším počtom výrazov. Nový výraz sa rovná pôvodnému.

      • V našom príklade: 1 + 2x - 3 + 4x = 6x - 2, to znamená, že pôvodný výraz je zjednodušený a ľahšie sa s ním pracuje.

   5. Pri prehadzovaní podobných výrazov dodržujte poradie, v ktorom sa vykonávajú operácie. V našom príklade bolo jednoduché priniesť podobné výrazy. V prípade zložitých výrazov, v ktorých sú členy uzavreté v zátvorkách a sú prítomné zlomky a odmocniny, však nie je také jednoduché uviesť takéto výrazy. V týchto prípadoch dodržujte poradie operácií.

      • Zoberme si napríklad výraz 5(3x - 1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x. Tu by bolo chybou hneď definovať 3x a 2x ako podobné pojmy a citovať ich, pretože najskôr treba rozbaliť zátvorky. Preto vykonávajte operácie v ich poradí.
        • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x. Teraz, keď výraz obsahuje iba operácie sčítania a odčítania, môžete pretypovať ako výrazy.
        • x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
        • x 2 + 12 x + 3

   Zátvorky násobiteľa

   1. Nájdite najväčšieho spoločného deliteľa (gcd) všetkých koeficientov výrazu. GCD je najväčšie číslo, ktorým sú deliteľné všetky koeficienty výrazu.

      • Uvažujme napríklad rovnicu 9x 2 + 27x - 3. V tomto prípade gcd=3, keďže každý koeficient tohto výrazu je deliteľný 3.

   2. Vydeľte každý výraz výrazu gcd. Výsledné členy budú obsahovať menšie koeficienty ako v pôvodnom výraze.

      • V našom príklade vydeľte každý výrazový výraz 3.
        • 9x2/3=3x2
        • 27x/3=9x
        • -3/3 = -1
        • Ukázalo sa, že výraz 3x2 + 9x-1. Nerovná sa pôvodnému výrazu.

   3. Napíšte pôvodný výraz ako rovný súčinu gcd krát výsledný výraz. To znamená, že uzatvorte výsledný výraz do zátvoriek a GCD vložte mimo zátvorky.

      • V našom príklade: 9x 2 + 27x - 3 = 3 (3x 2 + 9x - 1)

   4. Zjednodušenie zlomkových výrazov odstránením násobiteľa zo zátvoriek. Prečo len vytiahnuť násobiteľ zo zátvoriek, ako to bolo predtým? Potom sa dozviete, ako zjednodušiť zložité výrazy, ako sú napríklad zlomkové výrazy. V tomto prípade môže vyňatie faktora zo zátvoriek pomôcť zbaviť sa zlomku (z menovateľa).

      • Uvažujme napríklad zlomkový výraz (9x 2 + 27x - 3)/3. Na zjednodušenie tohto výrazu použite zátvorky.
        • Vypočítajte faktor 3 (ako ste to urobili predtým): (3 (3x 2 + 9x - 1))/3
        • Všimnite si, že v čitateli aj v menovateli je teraz číslo 3. Dá sa to zmenšiť a dostanete výraz: (3x 2 + 9x - 1) / 1
        • Keďže každý zlomok, ktorý má v menovateli číslo 1, sa rovná čitateľovi, pôvodný zlomkový výraz sa zjednoduší na: 3x2 + 9x-1.

   Ďalšie techniky zjednodušenia

4. Uvažujme jednoduchý príklad: √(90). Číslo 90 možno rozložiť na nasledujúce faktory: 9 a 10 a od 9 vezmite druhú odmocninu (3) a vyberte 3 spod odmocniny.
   • √(90)
   • √ (9×10)
   • √(9)×√(10)
   • 3×√(10)
   • 3√(10)

5. Zjednodušenie výrazov pomocou právomocí. V niektorých výrazoch sú operácie násobenia alebo delenia pojmov so stupňom. V prípade násobenia členov s jedným základom sa ich stupne sčítajú; v prípade delenia členov s rovnakým základom sa ich stupne odčítajú.

   • Zoberme si napríklad výraz 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15). V prípade násobenia pridajte exponenty a v prípade delenia ich odčítajte.
     • 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15)
     • (6 × 8) x 3 + 4 + (x 17 - 15)
     • 48x7+x2
   • Nasleduje vysvetlenie pravidla pre násobenie a delenie pojmov s titulom.
     • Násobenie výrazov mocninami je ekvivalentné násobeniu výrazov samotných. Napríklad, keďže x 3 = x × x × x a x 5 = x × x × x × x × x, potom x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), alebo x 8 .
     • Podobne delenie pojmov pomocou právomocí je ekvivalentné deleniu pojmov samotných. x 5 /x 3 \u003d (x × x × x × x × x) / (x × x × x). Keďže podobné členy, ktoré sú v čitateli aj v menovateli, možno zredukovať, súčin dvoch „x“ alebo x 2 zostáva v čitateli.

• Vždy si dávajte pozor na znamienka (plus alebo mínus) pred pojmami výrazu, pretože veľa ľudí má problém vybrať si správne znamienko.
• V prípade potreby požiadajte o pomoc!
• Zjednodušenie algebraických výrazov nie je jednoduché, no ak sa vám to dostane do rúk, môžete túto zručnosť využívať celý život.

Pohodlná a jednoduchá online kalkulačka zlomkov s podrobným riešením možno:

• Sčítanie, odčítanie, násobenie a delenie zlomkov online,
• Získajte hotové riešenie zlomkov ako obrázok a pohodlne ho preneste.



Výsledok riešenia zlomkov bude tu ...

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Znak zlomku "/" + - * :
_wipe Clear
Naša online kalkulačka zlomkov má rýchly vstup. Ak chcete získať riešenie napríklad zlomkov, stačí napísať 1/2+2/7 do kalkulačky a stlačte " riešiť zlomky". Napíše vám kalkulačka podrobné riešenie zlomkov a vydať obrázok vhodný pre kopírovanie.

Znaky používané na písanie v kalkulačke

Príklad riešenia môžete zadať z klávesnice aj pomocou tlačidiel.

Funkcie online kalkulačky zlomkov

Kalkulačka zlomkov môže vykonávať operácie iba s 2 jednoduchými zlomkami. Môžu byť správne (čitateľ je menší ako menovateľ) alebo nesprávne (čitateľ je väčší ako menovateľ). Čísla v čitateli a menovateli nemôžu byť záporné a väčšie ako 999.
Naša online kalkulačka rieši zlomky a prevedie odpoveď do správneho tvaru – zlomok zredukuje a v prípade potreby zvýrazní celú časť.

Ak potrebujete vyriešiť záporné zlomky, stačí použiť mínusové vlastnosti. Pri násobení a delení záporných zlomkov mínus mínus dáva plus. To znamená, že súčin a delenie záporných zlomkov sa rovná súčinu a deleniu tých istých kladných. Ak je jeden zlomok pri násobení alebo delení záporný, jednoducho odstráňte mínus a potom ho pridajte k odpovedi. Pri pridávaní záporných zlomkov bude výsledok rovnaký, ako keby ste pridali rovnaké kladné zlomky. Ak pridáte jeden záporný zlomok, je to rovnaké ako odčítanie rovnakého kladného zlomku.
Pri odčítaní záporných zlomkov bude výsledok rovnaký, ako keby boli obrátené a kladné. To znamená, že mínus a mínus v tomto prípade dáva plus a súčet sa nemení z preskupenia podmienok. Rovnaké pravidlá používame pri odčítaní zlomkov, z ktorých jeden je záporný.

Ak chcete vyriešiť zmiešané zlomky (zlomky, v ktorých je zvýraznená celá časť), jednoducho vložte celú časť do zlomku. Ak to chcete urobiť, vynásobte časť celého čísla menovateľom a pridajte do čitateľa.

Ak potrebujete vyriešiť 3 alebo viac zlomkov online, mali by ste ich vyriešiť jeden po druhom. Najprv spočítajte prvé 2 zlomky, potom vyriešte ďalší zlomok s prijatou odpoveďou atď. Vykonajte operácie postupne pre 2 zlomky a nakoniec dostanete správnu odpoveď.