Áno, áno: aritmetický postup nie je pre vás hračka :)

Priatelia, ak čítate tento text, potom mi vnútorný uzáver hovorí, že stále neviete, čo je to aritmetická progresia, ale naozaj to chcete vedieť (nie, takto: ÁÁÁÁÁ!). Nebudem vás preto mučiť dlhými úvodmi a hneď sa pustím do veci.

Na začiatok pár príkladov. Zvážte niekoľko sád čísel:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Čo majú všetky tieto súpravy spoločné? Na prvý pohľad nič. Ale v skutočnosti tam niečo je. menovite: každý nasledujúci prvok sa líši od predchádzajúceho o rovnaké číslo.

Veď posúďte sami. Prvá množina sú len po sebe idúce čísla, každé je viac ako predchádzajúce. V druhom prípade je rozdiel medzi susednými číslami už rovný piatim, ale tento rozdiel je stále konštantný. V treťom prípade existujú korene vo všeobecnosti. Avšak $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, kým $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, t.j. v takom prípade sa každý ďalší prvok jednoducho zvýši o $\sqrt(2)$ (a nezľaknite sa, že toto číslo je iracionálne).

Takže: všetky takéto postupnosti sa nazývajú aritmetické postupnosti. Dajme presnú definíciu:

Definícia. Postupnosť čísel, v ktorých sa každé nasledujúce líši od predchádzajúceho presne o rovnakú hodnotu, sa nazýva aritmetická postupnosť. Samotná suma, o ktorú sa čísla líšia, sa nazýva progresívny rozdiel a najčastejšie sa označuje písmenom $d$.

Zápis: $\left(((a)_(n)) \right)$ je samotný priebeh, $d$ je jeho rozdiel.

A len pár dôležitých poznámok. Po prvé, berie sa do úvahy iba progresia usporiadaný poradie čísel: môžu sa čítať striktne v poradí, v akom sú napísané - a nič iné. Čísla nemôžete preusporiadať ani vymeniť.

Po druhé, samotná postupnosť môže byť buď konečná, alebo nekonečná. Napríklad množina (1; 2; 3) je zjavne konečná aritmetická postupnosť. Ale ak napíšete niečo ako (1; 2; 3; 4; ...) - to je už nekonečný postup. Elipsa za štvorkou, ako to bolo, naznačuje, že pomerne veľa čísel ide ďalej. Napríklad nekonečne veľa. :)

Chcel by som tiež poznamenať, že pokroky sa zvyšujú a znižujú. Už sme videli pribúdajúce - rovnakú množinu (1; 2; 3; 4; ...). Tu sú príklady klesajúcej progresie:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Dobre, dobre: ​​posledný príklad sa môže zdať príliš komplikovaný. Ale zvyšok, myslím, chápeš. Preto uvádzame nové definície:

Definícia. Aritmetický postup sa nazýva:

1. zvýšenie, ak je každý ďalší prvok väčší ako predchádzajúci;
2. klesajúci, ak je naopak každý nasledujúci prvok menší ako predchádzajúci.

Okrem toho existujú takzvané "stacionárne" sekvencie - pozostávajú z rovnakého opakujúceho sa čísla. Napríklad (3; 3; 3; ...).

Zostáva len jedna otázka: ako rozlíšiť rastúcu progresiu od klesajúcej? Našťastie tu všetko závisí len od znamienka čísla $d$, t.j. rozdiely v postupe:

1. Ak $d \gt 0$, potom sa progresia zvyšuje;
2. Ak $d \lt 0$, potom progresia zjavne klesá;
3. Nakoniec je tu prípad $d=0$ — v tomto prípade je celý postup zredukovaný na stacionárnu postupnosť rovnakých čísel: (1; 1; 1; 1; ...) atď.

Skúsme vypočítať rozdiel $d$ pre tri klesajúce priebehy vyššie. Na tento účel stačí vziať ľubovoľné dva susedné prvky (napríklad prvý a druhý) a odpočítať od čísla vpravo číslo vľavo. Bude to vyzerať takto:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Ako vidíte, vo všetkých troch prípadoch sa rozdiel skutočne ukázal ako negatívny. A teraz, keď sme už viac-menej prišli na definície, je čas zistiť, ako sa popisujú progresie a aké vlastnosti majú.

Členovia progresie a opakujúceho sa vzorca

Keďže prvky našich sekvencií nie je možné zamieňať, možno ich očíslovať:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \správny\)\]

Jednotlivé prvky tohto súboru sa nazývajú členovia progresie. Označujú sa týmto spôsobom pomocou čísla: prvý člen, druhý člen atď.

Okrem toho, ako už vieme, susedné členy progresie súvisia podľa vzorca:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Šípka doprava ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Stručne povedané, aby ste našli $n$-tý člen progresie, musíte poznať $n-1$-tý člen a rozdiel $d$. Takýto vzorec sa nazýva opakujúci sa, pretože s jeho pomocou môžete nájsť ľubovoľné číslo, iba ak poznáte predchádzajúce (a v skutočnosti všetky predchádzajúce). To je veľmi nepohodlné, takže existuje zložitejší vzorec, ktorý redukuje akýkoľvek výpočet na prvý výraz a rozdiel:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]

S týmto vzorcom ste sa už určite stretli. Radi to dávajú vo všetkých druhoch referenčných kníh a reshebnikov. A v každej rozumnej učebnici matematiky je jednou z prvých.

Odporúčam vám však trochu trénovať.

Úloha číslo 1. Napíšte prvé tri členy aritmetickej postupnosti $\left(((a)_(n)) \right)$, ak $((a)_(1))=8,d=-5$.

rozhodnutie. Poznáme teda prvý člen $((a)_(1))=8$ a progresívny rozdiel $d=-5$. Použime práve daný vzorec a nahraďme $n=1$, $n=2$ a $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(zarovnať)\]

Odpoveď: (8; 3; -2)

To je všetko! Všimnite si, že naša progresia klesá.

Samozrejme, $n=1$ sa nedalo nahradiť – prvý výraz už poznáme. Nahradením jednotky sme sa však uistili, že aj na prvý termín náš vzorec funguje. V iných prípadoch všetko padlo na banálnu aritmetiku.

Úloha číslo 2. Napíšte prvé tri členy aritmetickej postupnosti, ak jej siedmy člen je -40 a sedemnásty člen je -50.

rozhodnutie. Stav problému napíšeme obvyklými výrazmi:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(zarovnať) \vpravo.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \správny.\]

Označil som systém, pretože tieto požiadavky musia byť splnené súčasne. A teraz si všimnime, že ak odpočítame prvú rovnicu od druhej rovnice (máme na to právo, pretože máme systém), dostaneme toto:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(zarovnať)\]

Len tak sme našli rozdiel v postupe! Zostáva nahradiť nájdené číslo v ktorejkoľvek z rovníc systému. Napríklad v prvom:

\[\begin(matica) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matica)\]

Teraz, keď poznáme prvý výraz a rozdiel, zostáva nájsť druhý a tretí výraz:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(zarovnať)\]

Pripravený! Problém je vyriešený.

Odpoveď: (-34; -35; -36)

Venujte pozornosť zvláštnej vlastnosti progresie, ktorú sme objavili: ak vezmeme $n$-tý a $m$-tý člen a odčítame ich od seba, potom dostaneme rozdiel progresie vynásobený číslom $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

Jednoduchá, no veľmi užitočná vlastnosť, ktorú by ste určite mali poznať – s jej pomocou môžete výrazne urýchliť riešenie mnohých progresívnych problémov. Tu je ukážkový príklad:

Úloha číslo 3. Piaty člen aritmetického postupu je 8,4 a jeho desiaty člen je 14,4. Nájdite pätnásty termín tohto postupu.

rozhodnutie. Keďže $((a)_(5))=8,4$, $((a)_(10))=14,4$ a musíme nájsť $((a)_(15))$, poznamenávame nasledovné:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(zarovnať)\]

Ale podľa podmienky $((a)_(10))-((a)_(5))=14,4-8,4=6$, takže $5d=6$, odkiaľ máme:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(zarovnať)\]

Odpoveď: 20.4

To je všetko! Nepotrebovali sme skladať žiadne sústavy rovníc a počítať prvý člen a rozdiel - o všetkom sa rozhodlo v niekoľkých riadkoch.

Teraz zvážme iný typ problému - hľadanie negatívnych a pozitívnych členov progresie. Nie je žiadnym tajomstvom, že ak sa progresia zvyšuje, pričom jej prvý termín je negatívny, potom sa v ňom skôr či neskôr objavia pozitívne termíny. A naopak: podmienky klesajúcej progresie sa skôr či neskôr stanú negatívnymi.

Zároveň nie je vždy možné nájsť tento moment „na čele“, ktorý postupne triedi prvky. Často sú problémy navrhnuté tak, že bez znalosti vzorcov by výpočty zabrali niekoľko listov – jednoducho by sme zaspali, kým by sme našli odpoveď. Preto sa pokúsime tieto problémy vyriešiť rýchlejšie.

Úloha číslo 4. Koľko záporných členov v aritmetickej progresii -38,5; -35,8; …?

rozhodnutie. Takže $((a)_(1))=-38,5$, $((a)_(2))=-35,8$, z čoho okamžite nájdeme rozdiel:

Všimnite si, že rozdiel je pozitívny, takže progresia sa zvyšuje. Prvý člen je záporný, takže v určitom bode skutočne narazíme na kladné čísla. Jedinou otázkou je, kedy sa tak stane.

Skúsme zistiť: ako dlho (t. j. do akého prirodzeného čísla $n$) sa zachováva zápornosť pojmov:

\[\začiatok(zarovnanie) & ((a)_(n)) \lt 0\šípka doprava ((a)_(1))+\vľavo(n-1 \vpravo)d \lt 0; \\ & -38,5+\left(n-1 \right)\cdot 2,7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \vpravo. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\šípka doprava ((n)_(\max ))=15. \\ \end(zarovnať)\]

Posledný riadok potrebuje objasnenie. Takže vieme, že $n \lt 15\frac(7)(27)$. Na druhej strane nám budú vyhovovať iba celočíselné hodnoty čísla (navyše: $n\in \mathbb(N)$), takže najväčšie prípustné číslo je presne $n=15$ a v žiadnom prípade nie 16.

Úloha číslo 5. V aritmetickom postupe $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Nájdite číslo prvého kladného termínu tejto progresie.

Bol by to presne ten istý problém ako ten predchádzajúci, ale nevieme $((a)_(1))$. Ale susedné výrazy sú známe: $((a)_(5))$ a $((a)_(6))$, takže môžeme ľahko nájsť rozdiel v postupe:

Okrem toho sa pokúsme vyjadriť piaty člen z hľadiska prvého a rozdielu pomocou štandardného vzorca:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(zarovnať)\]

Teraz postupujeme analogicky s predchádzajúcim problémom. Zisťujeme, v ktorom bode v našej sekvencii sa objavia kladné čísla:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\šípka doprava ((n)_(\min ))=56. \\ \end(zarovnať)\]

Minimálne celočíselné riešenie tejto nerovnosti je číslo 56.

Upozorňujeme, že v poslednej úlohe bolo všetko zredukované na striktnú nerovnosť, takže možnosť $n=55$ nám nebude vyhovovať.

Teraz, keď sme sa naučili riešiť jednoduché problémy, prejdime k zložitejším. Najprv sa však naučíme ďalšiu veľmi užitočnú vlastnosť aritmetických postupností, ktorá nám v budúcnosti ušetrí veľa času a nerovnakých buniek. :)

Aritmetický priemer a rovnaké zarážky

Zvážte niekoľko po sebe idúcich členov rastúcej aritmetickej progresie $\left(((a)_(n)) \right)$. Skúsme ich označiť na číselnej osi:

Členovia aritmetického postupu na číselnej osi

Konkrétne som si všimol ľubovoľných členov $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, a nie žiadne $((a)_(1)) , \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ atď. Pretože pravidlo, ktoré vám teraz poviem, funguje rovnako pre akékoľvek „segmenty“.

A pravidlo je veľmi jednoduché. Zapamätajme si rekurzívny vzorec a zapíšme si ho pre všetky označené členy:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(zarovnať)\]

Tieto rovnosti však možno prepísať inak:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(zarovnať)\]

No a čo? Ale skutočnosť, že výrazy $((a)_(n-1))$ a $((a)_(n+1)))$ ležia v rovnakej vzdialenosti od $((a)_(n)) $ . A táto vzdialenosť sa rovná $d$. To isté možno povedať o výrazoch $((a)_(n-2))$ a $((a)_(n+2))$ – sú tiež odstránené z $((a)_(n) )$ o rovnakú vzdialenosť rovnajúcu sa $2d$. Môžete pokračovať donekonečna, ale obrázok dobre ilustruje význam

Členovia progresie ležia v rovnakej vzdialenosti od stredu

Čo to pre nás znamená? To znamená, že môžete nájsť $((a)_(n))$, ak sú susedné čísla známe:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Vydedukovali sme veľkolepé tvrdenie: každý člen aritmetického postupu sa rovná aritmetickému priemeru susedných členov! Okrem toho sa môžeme odchýliť od nášho $((a)_(n))$ doľava a doprava nie o jeden krok, ale o $k$ krokov – a aj tak bude vzorec správny:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Tie. môžeme ľahko nájsť nejaké $((a)_(150))$, ak poznáme $((a)_(100))$ a $((a)_(200))$, pretože $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Na prvý pohľad sa môže zdať, že táto skutočnosť nám nedáva nič užitočné. V praxi je však veľa úloh špeciálne „vybrúsených“ na použitie aritmetického priemeru. Pozri sa:

Úloha číslo 6. Nájdite všetky hodnoty $x$ tak, že čísla $-6((x)^(2))$, $x+1$ a $14+4((x)^(2))$ sú po sebe idúce členy aritmetický postup (v určenom poradí).

rozhodnutie. Keďže tieto čísla sú členmi progresie, podmienka aritmetického priemeru je pre ne splnená: centrálny prvok $x+1$ možno vyjadriť pomocou susedných prvkov:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(zarovnať)\]

Výsledkom je klasická kvadratická rovnica. Jeho korene: $x=2$ a $x=-3$ sú odpovede.

Odpoveď: -3; 2.

Úloha číslo 7. Nájdite hodnoty $$ tak, aby čísla $-1;4-3;(()^(2))+1$ tvorili aritmetickú postupnosť (v tomto poradí).

rozhodnutie. Opäť vyjadrujeme stredný člen z hľadiska aritmetického priemeru susedných členov:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\vpravo.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(zarovnať)\]

Ďalšia kvadratická rovnica. A opäť dva korene: $x=6$ a $x=1$.

Odpoveď: 1; 6.

Ak v procese riešenia problému dostanete nejaké brutálne čísla alebo si nie ste úplne istí správnosťou nájdených odpovedí, potom existuje skvelý trik, ktorý vám umožní skontrolovať: vyriešili sme problém správne?

Povedzme, že v úlohe 6 sme dostali odpovede -3 a 2. Ako môžeme skontrolovať, či sú tieto odpovede správne? Poďme ich jednoducho zapojiť do pôvodného stavu a uvidíme, čo sa stane. Dovoľte mi pripomenúť, že máme tri čísla ($-6(()^(2))$, $+1$ a $14+4(()^(2))$), ktoré by mali tvoriť aritmetickú postupnosť. Nahradiť $x=-3$:

\[\začiatok(zarovnanie) & x=-3\šípka doprava \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(align)\]

Dostali sme čísla -54; -2; 50, ktoré sa líšia o 52, je nepochybne aritmetický postup. To isté sa stane pre $x=2$:

\[\začiatok(zarovnanie) & x=2\šípka doprava \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(align)\]

Opäť postup, ale s rozdielom 27. Úloha je teda vyriešená správne. Tí, ktorí chcú, môžu sami skontrolovať druhú úlohu, ale hneď poviem: aj tam je všetko správne.

Vo všeobecnosti sme pri riešení posledných problémov narazili na ďalšiu zaujímavú skutočnosť, ktorú si tiež treba pamätať:

Ak sú tri čísla také, že druhé je priemerom prvého a posledného, ​​potom tieto čísla tvoria aritmetickú postupnosť.

Pochopenie tohto tvrdenia nám v budúcnosti umožní doslova „konštruovať“ potrebné postupy na základe stavu problému. No skôr, než sa pustíme do takejto „stavby“, mali by sme venovať pozornosť ešte jednej skutočnosti, ktorá priamo vyplýva z už uvažovaného.

Zoskupovanie a súčet prvkov

Vráťme sa opäť k číselnému radu. Zaznamenávame tam niekoľko členov progresie, medzi ktorými sa možno. stojí za veľa ďalších členov:

6 prvkov vyznačených na číselnom rade

Skúsme vyjadriť „ľavý chvost“ pomocou $((a)_(n))$ a $d$ a „pravý chvost“ pomocou $((a)_(k))$ a $ d$. Je to veľmi jednoduché:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(zarovnať)\]

Teraz si všimnite, že nasledujúce sumy sú rovnaké:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(align)\]

Zjednodušene povedané, ak za začiatok považujeme dva prvky postupu, ktoré sa v súčte rovnajú nejakému číslu $S$, a potom začneme od týchto prvkov postupovať opačným smerom (k sebe alebo naopak, aby sme sa vzdialili), potom sumy prvkov, o ktoré narazíme, budú tiež rovnaké$ S$. Najlepšie sa to dá znázorniť graficky:

Rovnaké zarážky dávajú rovnaké súčty

Pochopenie tejto skutočnosti nám umožní riešiť problémy zásadne vyššej úrovne zložitosti ako tie, ktoré sme uvažovali vyššie. Napríklad tieto:

Úloha číslo 8. Určte rozdiel aritmetickej postupnosti, v ktorej je prvý člen 66 a súčin druhého a dvanásteho člena je najmenší možný.

rozhodnutie. Zapíšme si všetko, čo vieme:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min. \end(align)\]

Takže nepoznáme rozdiel v progresii $d$. V skutočnosti bude celé riešenie postavené na tomto rozdiele, pretože produkt $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ možno prepísať takto:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(align)\]

Pre tých v nádrži: Vybral som spoločný faktor 11 z druhej zátvorky. Požadovaný súčin je teda kvadratická funkcia vzhľadom na premennú $d$. Zvážte preto funkciu $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - jej graf bude parabola s vetvami nahor, pretože ak otvoríme zátvorky, dostaneme:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Ako vidíte, koeficient s najvyšším členom je 11 - to je kladné číslo, takže skutočne máme do činenia s parabolou s vetvami nahor:

graf kvadratickej funkcie - parabola

Poznámka: táto parabola má svoju minimálnu hodnotu vo svojom vrchole s osou $((d)_(0))$. Samozrejme, môžeme túto úsečku vypočítať podľa štandardnej schémy (existuje vzorec $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), ale bolo by oveľa rozumnejšie všimnite si, že požadovaný vrchol leží na osovej symetrii paraboly, takže bod $((d)_(0))$ je rovnako vzdialený od koreňov rovnice $f\left(d \right)=0$:

\[\začiatok(zarovnanie) & f\vľavo(d\vpravo)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(zarovnať)\]

Preto som sa s otváraním zátvoriek neponáhľal: v pôvodnej podobe sa korene dali veľmi, veľmi ľahko nájsť. Preto sa úsečka rovná aritmetickému priemeru čísel -66 a -6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Čo nám dáva objavené číslo? S ním požadovaný produkt nadobúda najmenšiu hodnotu (mimochodom, nepočítali sme $((y)_(\min ))$ - to sa od nás nevyžaduje). Toto číslo je zároveň rozdielom počiatočnej progresie, t.j. našli sme odpoveď. :)

Odpoveď: -36

Úloha číslo 9. Medzi čísla $-\frac(1)(2)$ a $-\frac(1)(6)$ vložte tri čísla tak, aby spolu s danými číslami tvorili aritmetickú postupnosť.

rozhodnutie. V skutočnosti musíme vytvoriť postupnosť piatich čísel, pričom prvé a posledné číslo je už známe. Chýbajúce čísla označte premennými $x$, $y$ a $z$:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Všimnite si, že číslo $y$ je "stredom" našej postupnosti - je rovnako vzdialené od čísel $x$ a $z$ a od čísel $-\frac(1)(2)$ a $-\frac (1) (6) $. A ak momentálne nemôžeme dostať $y$ z čísel $x$ a $z$, potom je situácia s koncami progresie iná. Pamätajte na aritmetický priemer:

Teraz, keď poznáme $y$, nájdeme zostávajúce čísla. Všimnite si, že $x$ leží medzi $-\frac(1)(2)$ a $y=-\frac(1)(3)$ práve nájdeným. Takže

Argumentujúc podobne, nájdeme zostávajúce číslo:

Pripravený! Našli sme všetky tri čísla. Zapíšme si ich do odpovede v poradí, v akom majú byť vložené medzi pôvodné čísla.

Odpoveď: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Úloha číslo 10. Medzi čísla 2 a 42 vložte niekoľko čísel, ktoré spolu s danými číslami tvoria aritmetickú postupnosť, ak je známe, že súčet prvého, druhého a posledného vloženého čísla je 56.

rozhodnutie. Ešte náročnejšia úloha, ktorá sa však rieši rovnako ako tie predchádzajúce – aritmetickým priemerom. Problém je v tom, že nevieme presne koľko čísel vložiť. Preto pre istotu predpokladáme, že po vložení bude presne $n$ čísel a prvé z nich je 2 a posledné je 42. V tomto prípade možno požadovanú aritmetickú postupnosť znázorniť ako:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \vpravo\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Všimnite si však, že čísla $((a)_(2))$ a $((a)_(n-1))$ sú získané z čísel 2 a 42 stojacich na okrajoch o krok k sebe. , t.j. do stredu sekvencie. A to znamená, že

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Ale vyššie uvedený výraz môže byť prepísaný takto:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(zarovnať)\]

Keď poznáme $((a)_(3))$ a $((a)_(1))$, môžeme ľahko nájsť rozdiel v postupe:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\šípka doprava d=5. \\ \end(zarovnať)\]

Zostáva len nájsť zvyšných členov:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(zarovnať)\]

Už v 9. kroku sa teda dostaneme na ľavý koniec postupnosti - číslo 42. Celkovo bolo treba vložiť iba 7 čísel: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Odpoveď: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Textové úlohy s postupmi

Na záver by som rád zvážil niekoľko relatívne jednoduchých problémov. No, jednoducho: pre väčšinu študentov, ktorí študujú matematiku v škole a nečítali, čo je napísané vyššie, môžu tieto úlohy pôsobiť ako gesto. Avšak práve s takýmito úlohami sa stretávame v OGE a POUŽÍVANÍ v matematike, preto vám odporúčam, aby ste sa s nimi oboznámili.

Úloha číslo 11. Tím v januári vyrobil 62 dielov a každý ďalší mesiac vyrobil o 14 dielov viac ako v predchádzajúcom. Koľko dielov vyrobila brigáda v novembri?

rozhodnutie. Je zrejmé, že počet dielov namaľovaných podľa mesiacov bude stúpať aritmetickým postupom. a:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

November je 11. mesiac v roku, takže musíme nájsť $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

V novembri sa teda vyrobí 202 dielov.

Úloha číslo 12. Kníhviazačská dielňa zviazala v januári 216 kníh a každý mesiac zviazala o 4 knihy viac ako predchádzajúci mesiac. Koľko kníh zviazal workshop v decembri?

rozhodnutie. Všetky rovnaké:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

December je posledný, 12. mesiac v roku, takže hľadáme $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Toto je odpoveď – v decembri bude zviazaných 260 kníh.

Ak ste sa dočítali až sem, ponáhľam sa vám zablahoželať: úspešne ste dokončili „kurz mladého bojovníka“ v aritmetických postupoch. Pokojne môžeme prejsť na ďalšiu lekciu, kde si preštudujeme vzorec súčtu postupu, ako aj dôležité a veľmi užitočné dôsledky z neho.

Typ lekcie: učenie sa nového materiálu.

Ciele lekcie:

• rozšírenie a prehĺbenie predstáv žiakov o úlohách riešených pomocou aritmetického postupu; organizovanie vyhľadávacej činnosti žiakov pri odvodzovaní vzorca pre súčet prvých n členov aritmetickej postupnosti;
• rozvoj schopností samostatne získavať nové poznatky, využívať už nadobudnuté poznatky na splnenie úlohy;
• rozvoj túžby a potreby zovšeobecniť získané fakty, rozvoj samostatnosti.

Úlohy:

• zovšeobecniť a systematizovať doterajšie poznatky na tému „Aritmetická progresia“;
• odvodiť vzorce na výpočet súčtu prvých n členov aritmetickej postupnosti;
• naučiť aplikovať získané vzorce pri riešení rôznych problémov;
• upozorniť žiakov na postup zisťovania hodnoty číselného výrazu.

Vybavenie:

• karty s úlohami na prácu v skupinách a dvojiciach;
• hodnotiaci papier;
• prezentácia"Aritmetický postup".

I. Aktualizácia základných poznatkov.

1. Samostatná práca vo dvojiciach.

1. možnosť:

Definujte aritmetickú progresiu. Napíšte rekurzívny vzorec, ktorý definuje aritmetickú progresiu. Uveďte príklad aritmetickej progresie a uveďte jej rozdiel.

2. možnosť:

Napíšte vzorec pre n-tý člen aritmetickej postupnosti. Nájdite 100. člen aritmetického postupu ( a n}: 2, 5, 8 …
V tomto čase si dvaja študenti na zadnej strane tabule pripravujú odpovede na rovnaké otázky.
Študenti hodnotia prácu partnera porovnaním s tabuľou. (Odovzdávajú sa letáky s odpoveďami).

2. Herný moment.

Cvičenie 1.

učiteľ. Predstavil som si nejaký aritmetický postup. Položte mi iba dve otázky, aby ste po odpovediach rýchlo vymenovali 7. člena tohto postupu. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15...)

Otázky od študentov.

1. Aký je šiesty termín postupu a aký je rozdiel?
2. Aký je ôsmy termín postupu a aký je rozdiel?

Ak neexistujú žiadne ďalšie otázky, učiteľ ich môže stimulovať - ​​„zákaz“ d (rozdiel), to znamená, že nie je dovolené pýtať sa, aký je rozdiel. Môžete klásť otázky: čo je 6. termín postupu a aký je 8. termín postupu?

Úloha 2.

Na tabuli je napísaných 20 čísel: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Učiteľ stojí chrbtom k tabuli. Žiaci povedia číslo čísla a učiteľ hneď zavolá na samotné číslo. Vysvetlite mi, ako to môžem urobiť?

Učiteľ si zapamätá vzorec n-tého termínu a n \u003d 3n - 2 a nahradením daných hodnôt n nájde zodpovedajúce hodnoty a n

II. Vyhlásenie výchovnej úlohy.

Navrhujem vyriešiť starý problém z 2. tisícročia pred Kristom, ktorý sa nachádza v egyptských papyrusoch.

Úloha:"Dovoľte si povedať: rozdeľte 10 mier jačmeňa medzi 10 ľudí, rozdiel medzi každým a jeho susedom je 1/8 miery."

• Ako tento problém súvisí s témou aritmetického postupu? (Každá ďalšia osoba dostane o 1/8 miery viac, takže rozdiel je d=1/8, 10 ľudí, takže n=10.)
• Čo podľa teba znamená číslo 10? (Súčet všetkých členov postupu.)
• Čo ešte potrebujete vedieť, aby bolo ľahké a jednoduché deliť jačmeň podľa stavu problému? (Prvý termín postupu.)

Cieľ lekcie- získanie závislosti súčtu členov postupnosti od ich počtu, prvého členu a rozdielu a overenie, či bola úloha v staroveku vyriešená správne.

Pred odvodením vzorca sa pozrime, ako starí Egypťania vyriešili problém.

A vyriešili to takto:

1) 10 opatrení: 10 = 1 opatrenie - priemerný podiel;
2) 1 takt ∙ = 2 takty - zdvojené priemer zdieľam.
zdvojnásobil priemer podiel je súčtom podielov 5. a 6. osoby.
3) 2 miery - 1/8 miery = 1 7/8 miery - dvojnásobok podielu piatej osoby.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - podiel pätiny; a tak ďalej, môžete nájsť podiel každej predchádzajúcej a nasledujúcej osoby.

Dostaneme postupnosť:

III. Riešenie úlohy.

1. Pracujte v skupinách

1. skupina: Nájdite súčet 20 po sebe idúcich prirodzených čísel: S 20 \u003d (20 + 1) ∙ 10 \u003d 210.

Všeobecne

Skupina II: Nájdite súčet prirodzených čísel od 1 do 100 (Legenda o malom Gaussovi).

S 100 \u003d (1 + 100) ∙ 50 \u003d 5050

záver:

III skupina: Nájdite súčet prirodzených čísel od 1 do 21.

Riešenie: 1+21=2+20=3+19=4+18…

záver:

IV skupina: Nájdite súčet prirodzených čísel od 1 do 101.

záver:

Táto metóda riešenia uvažovaných problémov sa nazýva „Gaussova metóda“.

2. Každá skupina prezentuje riešenie úlohy na tabuli.

3. Zovšeobecnenie navrhovaných riešení pre ľubovoľnú aritmetickú postupnosť:

a 1 , a 2 , a 3 ,..., a n-2 , a n-1 , a n .
S n \u003d a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Túto sumu zistíme podobným argumentom:

4. Vyriešili sme úlohu?(Áno.)

IV. Primárne pochopenie a aplikácia získaných vzorcov pri riešení úloh.

1. Kontrola riešenia starej úlohy podľa vzorca.

2. Aplikácia vzorca pri riešení rôznych úloh.

3. Cvičenia na formovanie schopnosti aplikovať vzorec pri riešení úloh.

A) č. 613

Dané :( a n) - aritmetická progresia;

(a n): 1, 2, 3, ..., 1500

Nájsť: S 1500

rozhodnutie: , a 1 = 1 a 1500 = 1500,

B) Vzhľadom na: ( a n) - aritmetická progresia;
(an): 1, 2, 3, ...
Sn = 210

Nájsť: n
rozhodnutie:

V. Samostatná práca so vzájomným overovaním.

Denis išiel pracovať ako kuriér. V prvom mesiaci bol jeho plat 200 rubľov, v každom nasledujúcom mesiaci sa zvýšil o 30 rubľov. Koľko zarobil za rok?

Dané :( a n) - aritmetická progresia;
a 1 = 200, d = 30, n = 12
Nájsť: S 12
rozhodnutie:

Odpoveď: Denis dostal za rok 4380 rubľov.

VI. Návod na domácu úlohu.

1. str.4.3 - naučte sa odvodzovanie vzorca.
2. №№ 585, 623 .
3. Zostavte úlohu, ktorá by sa dala vyriešiť pomocou vzorca pre súčet prvých n členov aritmetickej postupnosti.

VII. Zhrnutie lekcie.

1. Výsledková listina

2. Pokračujte vo vetách

• Dnes som sa v triede naučil...
• Naučené vzorce...
• Myslím si, že …

3. Dokážete nájsť súčet čísel od 1 do 500? Akú metódu použijete na vyriešenie tohto problému?

Bibliografia.

1. Algebra, 9. ročník. Učebnica pre vzdelávacie inštitúcie. Ed. G.V. Dorofeeva. Moskva: Osvietenie, 2009.

Pri štúdiu algebry na strednej škole (9. ročník) je jednou z dôležitých tém náuka o číselných postupnostiach, ktoré zahŕňajú postupnosti - geometrické a aritmetické. V tomto článku sa budeme zaoberať aritmetickým postupom a príkladmi s riešeniami.

Čo je to aritmetická progresia?

Aby sme to pochopili, je potrebné uviesť definíciu uvažovaného postupu, ako aj základné vzorce, ktoré sa budú ďalej používať pri riešení problémov.

Aritmetická alebo algebraická postupnosť je taká množina usporiadaných racionálnych čísel, ktorých každý člen sa od predchádzajúceho líši nejakou konštantnou hodnotou. Táto hodnota sa nazýva rozdiel. To znamená, že ak poznáte ktoréhokoľvek člena zoradeného radu čísel a rozdiel, môžete obnoviť celý aritmetický postup.

Vezmime si príklad. Ďalšia postupnosť čísel bude aritmetická postupnosť: 4, 8, 12, 16, ..., pretože rozdiel v tomto prípade je 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Ale množinu čísel 3, 5, 8, 12, 17 už nemožno pripísať typu uvažovanej progresie, pretože rozdiel pre ňu nie je konštantná hodnota (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Dôležité vzorce

Teraz uvádzame základné vzorce, ktoré budú potrebné na riešenie problémov pomocou aritmetickej progresie. Nech a n označuje n-tý člen postupnosti, kde n je celé číslo. Rozdiel je označený latinským písmenom d. Potom sú pravdivé nasledujúce výrazy:

1. Na určenie hodnoty n-tého členu je vhodný vzorec: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
2. Na určenie súčtu prvých n členov: S n = (a n + a 1)*n/2.

Na pochopenie akýchkoľvek príkladov aritmetickej progresie s riešením v 9. ročníku si stačí zapamätať tieto dva vzorce, pretože všetky problémy daného typu sú postavené na ich použití. Tiež nezabudnite, že progresívny rozdiel je určený vzorcom: d = a n - a n-1 .

Príklad č. 1: Nájdenie neznámeho člena

Uvádzame jednoduchý príklad aritmetickej progresie a vzorcov, ktoré je potrebné použiť na riešenie.

Nech je daná postupnosť 10, 8, 6, 4, ..., treba v nej nájsť päť členov.

Už z podmienok problému vyplýva, že prvé 4 termíny sú známe. Piatu možno definovať dvoma spôsobmi:

1. Najprv vypočítame rozdiel. Máme: d = 8 - 10 = -2. Podobne by sa dali vziať akékoľvek dva ďalšie výrazy stojace vedľa seba. Napríklad d = 4 - 6 = -2. Pretože je známe, že d \u003d a n - a n-1, potom d \u003d a 5 - a 4, odkiaľ dostaneme: a 5 \u003d a 4 + d. Dosadíme známe hodnoty: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. Druhá metóda tiež vyžaduje znalosť rozdielu príslušnej progresie, takže ju najprv musíte určiť, ako je uvedené vyššie (d = -2). Keď vieme, že prvý člen a 1 = 10, použijeme vzorec pre n číslo postupnosti. Máme: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. Dosadením n = 5 do posledného výrazu dostaneme: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Ako vidíte, obe riešenia vedú k rovnakému výsledku. Všimnite si, že v tomto príklade je rozdiel d progresie záporný. Takéto postupnosti sa nazývajú klesajúce, pretože každý nasledujúci člen je menší ako predchádzajúci.

Príklad č. 2: rozdiel v postupe

Teraz si úlohu trochu skomplikujeme, uvedieme príklad ako

Je známe, že v niektorých sa 1. člen rovná 6 a 7. člen sa rovná 18. Je potrebné nájsť rozdiel a obnoviť túto postupnosť na 7. člen.

Na určenie neznámeho členu použijeme vzorec: a n = (n - 1) * d + a 1 . Dosadíme do nej známe údaje z podmienky, teda čísla a 1 a a 7, máme: 18 \u003d 6 + 6 * d. Z tohto výrazu môžete jednoducho vypočítať rozdiel: d = (18 - 6) / 6 = 2. Tým bola zodpovedaná prvá časť úlohy.

Ak chcete obnoviť postupnosť na 7. člen, mali by ste použiť definíciu algebraickej postupnosti, to znamená a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d atď. V dôsledku toho obnovíme celú postupnosť: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 a 6 = 14 + 2 = 16 a 7 = 18.

Príklad č. 3: Progresia

Poďme si ešte viac skomplikovať stav problému. Teraz musíte odpovedať na otázku, ako nájsť aritmetickú progresiu. Môžeme uviesť nasledujúci príklad: sú dané dve čísla, napríklad 4 a 5. Je potrebné urobiť algebraický postup tak, aby sa medzi ne umiestnili ďalšie tri členy.

Pred začatím riešenia tohto problému je potrebné pochopiť, aké miesto budú dané čísla zaujímať v budúcom postupe. Keďže medzi nimi budú ešte tri výrazy, potom 1 \u003d -4 a 5 \u003d 5. Po zistení pristúpime k úlohe, ktorá je podobná predchádzajúcej. Opäť, pre n-tý člen, použijeme vzorec, dostaneme: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. Od: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2,25. Rozdiel tu nie je celočíselná hodnota, ale je to racionálne číslo, takže vzorce pre algebraickú postupnosť zostávajú rovnaké.

Teraz pripočítajme nájdený rozdiel k 1 a obnovíme chýbajúce členy progresie. Získame: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u,0 ktorá sa zhodovala so stavom problému.

Príklad č. 4: Prvý člen postupu

Pokračujeme v uvádzaní príkladov aritmetickej progresie s riešením. Vo všetkých predchádzajúcich úlohách bolo známe prvé číslo algebraickej progresie. Teraz uvažujme o úlohe iného typu: nech sú dané dve čísla, kde a 15 = 50 a a 43 = 37. Je potrebné zistiť, od ktorého čísla táto postupnosť začína.

Doteraz používané vzorce predpokladajú znalosť 1 a d. V stave problému nie je o týchto číslach nič známe. Vypíšme si však výrazy ku každému pojmu, o ktorom máme informácie: a 15 = a 1 + 14 * d a a 43 = a 1 + 42 * d. Dostali sme dve rovnice, v ktorých sú 2 neznáme veličiny (a 1 a d). To znamená, že problém je redukovaný na riešenie sústavy lineárnych rovníc.

Zadaný systém je najjednoduchšie vyriešiť, ak v každej rovnici vyjadríte 1 a potom porovnáte výsledné výrazy. Prvá rovnica: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; druhá rovnica: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Porovnaním týchto výrazov dostaneme: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, odkiaľ je rozdiel d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 (uvedené sú iba 3 desatinné miesta).

Ak poznáte d, môžete použiť ktorýkoľvek z 2 vyššie uvedených výrazov pre 1 . Napríklad prvý: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496.

Ak sú o výsledku pochybnosti, môžete si ho skontrolovať, napríklad určiť 43. člen progresie, ktorý je uvedený v podmienke. Získame: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37,008. Malá chyba je spôsobená tým, že pri výpočtoch bolo použité zaokrúhľovanie na tisíciny.

Príklad č. 5: Suma

Teraz sa pozrime na niekoľko príkladov s riešeniami pre súčet aritmetickej progresie.

Nech je daný číselný postup v nasledujúcom tvare: 1, 2, 3, 4, ...,. Ako vypočítať súčet 100 z týchto čísel?

Vďaka rozvoju výpočtovej techniky je možné tento problém vyriešiť, to znamená postupne sčítať všetky čísla, čo počítač urobí hneď, ako človek stlačí kláves Enter. Problém sa však dá vyriešiť mentálne, ak si všimnete, že prezentovaný rad čísel je algebraická postupnosť a jej rozdiel je 1. Použitím vzorca pre súčet dostaneme: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Je zvláštne, že tento problém sa nazýva „gaussovský“, keďže začiatkom 18. storočia ho slávny Nemec, ešte vo veku len 10 rokov, dokázal vyriešiť v mysli za pár sekúnd. Chlapec nepoznal vzorec pre súčet algebraickej postupnosti, ale všimol si, že ak sčítate dvojice čísel na okrajoch postupnosti, vždy dostanete rovnaký výsledok, teda 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., a keďže tieto súčty budú presne 50 (100 / 2), na získanie správnej odpovede stačí vynásobiť 50 číslom 101.

Príklad č. 6: súčet členov od n do m

Ďalší typický príklad súčtu aritmetickej progresie je nasledujúci: ak je daný rad čísel: 3, 7, 11, 15, ..., musíte zistiť, aký bude súčet jej členov od 8 do 14.

Problém sa rieši dvoma spôsobmi. Prvý z nich zahŕňa nájdenie neznámych výrazov od 8 do 14 a ich následné sčítanie. Keďže výrazov je málo, táto metóda nie je dostatočne prácna. Napriek tomu sa navrhuje riešiť tento problém druhou metódou, ktorá je univerzálnejšia.

Cieľom je získať vzorec pre súčet algebraickej postupnosti medzi členmi m a n, kde n > m sú celé čísla. Pre oba prípady napíšeme pre súčet dva výrazy:

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

Keďže n > m, je zrejmé, že súčet 2 zahŕňa aj prvý. Posledný záver znamená, že ak zoberieme rozdiel medzi týmito súčtami a pridáme k nemu člen a m (v prípade zobratia rozdielu sa odpočíta od súčtu S n), dostaneme potrebnú odpoveď na úlohu. Máme: S mn \u003d Sn - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). Do tohto výrazu je potrebné dosadiť vzorce pre a n a a m. Potom dostaneme: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m/2) = a 1* (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m2 - 2) / 2.

Výsledný vzorec je trochu ťažkopádny, avšak súčet S mn závisí len od n, m, a 1 a d. V našom prípade a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Dosadením týchto čísel dostaneme: S mn = 301.

Ako vidno z vyššie uvedených riešení, všetky úlohy vychádzajú zo znalosti výrazu pre n-tý člen a vzorca pre súčet množiny prvých členov. Skôr ako začnete riešiť niektorý z týchto problémov, odporúča sa pozorne si prečítať podmienku, jasne pochopiť, čo chcete nájsť, a až potom pristúpiť k riešeniu.

Ďalším tipom je snažiť sa o jednoduchosť, to znamená, že ak dokážete odpovedať na otázku bez použitia zložitých matematických výpočtov, musíte to urobiť, pretože v tomto prípade je pravdepodobnosť, že urobíte chybu, menšia. Napríklad v príklade aritmetickej progresie s riešením č. 6 by sme sa mohli zastaviť pri vzorci S mn \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, a rozdeľte všeobecnú úlohu na samostatné podúlohy (v tomto prípade najskôr nájdite výrazy a n a a m).

Ak existujú pochybnosti o výsledku, odporúča sa ho skontrolovať, ako to bolo urobené v niektorých uvedených príkladoch. Ako nájsť aritmetickú progresiu, zistilo sa. Keď na to prídete, nie je to také ťažké.

Napríklad postupnosť \(2\); \(5\); \(osem\); \(jedenásť\); \(14\)… je aritmetický postup, pretože každý ďalší prvok sa líši od predchádzajúceho o tri (od predchádzajúceho sa dá získať pridaním troch):

V tejto postupnosti je rozdiel \(d\) kladný (rovná sa \(3\)), a preto je každý ďalší člen väčší ako predchádzajúci. Takéto progresie sa nazývajú zvyšujúci sa.

\(d\) však môže byť aj záporné číslo. napríklad, v aritmetickej postupnosti \(16\); \(desať\); \(4\); \(-2\); \(-8\)… rozdiel postupu \(d\) sa rovná mínus šesť.

A v tomto prípade bude každý ďalší prvok menší ako predchádzajúci. Tieto progresie sa nazývajú klesajúci.

Zápis aritmetického postupu

Postup je označený malým latinským písmenom.

Čísla, ktoré tvoria progresiu, sa nazývajú členov(alebo prvky).

Označujú sa rovnakým písmenom ako aritmetický postup, ale s číselným indexom rovným číslu prvku v poradí.

Napríklad aritmetický postup \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) pozostáva z prvkov \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) a tak ďalej.

Inými slovami, pre postup \(a_n = \vľavo\(2; 5; 8; 11; 14…\vpravo\)\)

Riešenie problémov s aritmetickým postupom

Vyššie uvedené informácie už v zásade postačujú na vyriešenie takmer akéhokoľvek problému s aritmetickým postupom (vrátane tých, ktoré ponúka OGE).

Príklad (OGE). Aritmetický postup je daný podmienkami \(b_1=7; d=4\). Nájsť \(b_5\).
rozhodnutie:

odpoveď: \(b_5=23\)

Príklad (OGE). Sú uvedené prvé tri členy aritmetickej progresie: \(62; 49; 36…\) Nájdite hodnotu prvého záporného člena tejto postupnosti.
rozhodnutie:

	Dostali sme prvé prvky postupnosti a vieme, že ide o aritmetický postup. To znamená, že každý prvok sa líši od susedného o rovnaké číslo. Zistite, ktorý z nich, odčítaním predchádzajúceho od nasledujúceho prvku: \(d=49-62=-13\).
	Teraz môžeme obnoviť náš postup k požadovanému (prvému negatívnemu) prvku.
	Pripravený. Môžete napísať odpoveď.

odpoveď: \(-3\)

Príklad (OGE). Je uvedených niekoľko po sebe nasledujúcich prvkov aritmetického postupu: \(...5; x; 10; 12,5...\) Nájdite hodnotu prvku označeného písmenom \(x\).
rozhodnutie:

	Aby sme našli \(x\), potrebujeme vedieť, ako veľmi sa líši nasledujúci prvok od predchádzajúceho, inými slovami, progresívny rozdiel. Nájdite to z dvoch známych susedných prvkov: \(d=12,5-10=2,5\).
	A teraz bez problémov nájdeme to, čo hľadáme: \(x=5+2,5=7,5\).
	Pripravený. Môžete napísať odpoveď.

odpoveď: \(7,5\).

Príklad (OGE). Aritmetický postup je daný nasledujúcimi podmienkami: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Nájdite súčet prvých šiestich členov tejto postupnosti.
rozhodnutie:

	Musíme nájsť súčet prvých šiestich členov postupu. Ale ich význam nepoznáme, je nám daný len prvý prvok. Preto najprv vypočítame hodnoty postupne pomocou nám zadaných: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) A po vypočítaní šiestich prvkov, ktoré potrebujeme, nájdeme ich súčet.
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	Požadovaná suma bola nájdená.

odpoveď: \(S_6=9\).

Príklad (OGE). V aritmetickom postupe \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Nájdite rozdiel tohto postupu.
rozhodnutie:

odpoveď: \(d=7\).

Dôležité vzorce aritmetického postupu

Ako vidíte, mnohé problémy s aritmetickou progresiou možno vyriešiť jednoducho pochopením hlavnej veci - že aritmetická progresia je reťazec čísel a každý ďalší prvok v tomto reťazci sa získa pridaním rovnakého čísla k predchádzajúcemu (rozdiel progresie).

Niekedy však nastanú situácie, kedy je veľmi nepohodlné riešiť „na čelo“. Predstavte si napríklad, že v úplne prvom príklade potrebujeme nájsť nie piaty prvok \(b_5\), ale tristoosemdesiaty šiesty \(b_(386)\). Čo je to, musíme \ (385 \) krát pridať štyri? Alebo si predstavte, že v predposlednom príklade potrebujete nájsť súčet prvých sedemdesiatich troch prvkov. Počítanie je mätúce...

Preto v takýchto prípadoch neriešia „na čelo“, ale používajú špeciálne vzorce odvodené pre aritmetický postup. A hlavné sú vzorec pre n-tý člen postupnosti a vzorec pre súčet \(n\) prvých členov.

Vzorec pre \(n\)-tý člen: \(a_n=a_1+(n-1)d\), kde \(a_1\) je prvý člen postupnosti;
\(n\) – číslo požadovaného prvku;
\(a_n\) je členom postupnosti s číslom \(n\).

Tento vzorec nám umožňuje rýchlo nájsť aspoň tristotý, dokonca aj miliónty prvok, pričom poznáme iba prvý prvok a rozdiel postupu.

Príklad. Aritmetický postup je daný podmienkami: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Nájdite \(b_(246)\).
rozhodnutie:

odpoveď: \(b_(246)=1850\).

Vzorec pre súčet prvých n členov je: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), kde

\(a_n\) je posledný sčítaný člen;

Príklad (OGE). Aritmetický postup je daný podmienkami \(a_n=3,4n-0,6\). Nájdite súčet prvých \(25\) členov tejto postupnosti.
rozhodnutie:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25\)		Na výpočet súčtu prvých dvadsiatich piatich prvkov potrebujeme poznať hodnotu prvého a dvadsiateho piateho člena. Naša postupnosť je daná vzorcom n-tého člena v závislosti od jeho čísla (pozri podrobnosti). Vypočítajme prvý prvok nahradením \(n\) jedným.
\(n=1;\) \(a_1=3,4 1-0,6=2,8\)		Teraz nájdime dvadsiaty piaty člen dosadením dvadsaťpäť namiesto \(n\).
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4 25-0,6=84,4\)		Teraz bez problémov vypočítame požadovanú sumu.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Odpoveď je pripravená.

odpoveď: \(S_(25)=1090\).

Pre súčet \(n\) prvých výrazov môžete získať iný vzorec: stačí \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) namiesto \(a_n\) nahraďte vzorec \(a_n=a_1+(n-1)d\). Dostaneme:

Vzorec pre súčet prvých n členov je: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), kde

\(S_n\) – požadovaný súčet \(n\) prvých prvkov;
\(a_1\) je prvý člen, ktorý sa má sčítať;
\(d\) – progresívny rozdiel;
\(n\) - počet prvkov v súčte.

Príklad. Nájdite súčet prvých \(33\)-ex členov aritmetickej postupnosti: \(17\); \(15,5\); \(štrnásť\)…
rozhodnutie:

odpoveď: \(S_(33)=-231\).

Zložitejšie problémy aritmetického postupu

Teraz máte všetky informácie, ktoré potrebujete na vyriešenie takmer akéhokoľvek problému s aritmetickým postupom. Dokončite tému úvahami o problémoch, v ktorých musíte nielen aplikovať vzorce, ale aj trochu premýšľať (v matematike to môže byť užitočné ☺)

Príklad (OGE). Nájdite súčet všetkých záporných členov progresie: \(-19,3\); \(-devätnásť\); \(-18,7\)…
rozhodnutie:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Úloha je veľmi podobná predchádzajúcej. Začneme riešiť rovnakým spôsobom: najprv nájdeme \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\)		Teraz by sme do vzorca pre súčet dosadili \(d\) ... a tu sa objaví malá nuansa - nevieme \(n\). Inými slovami, nevieme, koľko výrazov bude potrebné pridať. Ako to zistiť? zamyslime sa. Pridávanie prvkov zastavíme, keď sa dostaneme k prvému pozitívnemu prvku. To znamená, že musíte zistiť číslo tohto prvku. ako? Zapíšme si vzorec na výpočet ľubovoľného prvku aritmetickej postupnosti: \(a_n=a_1+(n-1)d\) pre náš prípad.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1) 0,3\)		Potrebujeme, aby \(a_n\) bolo väčšie ako nula. Poďme zistiť, čo sa \(n\) stane.
\(-19,3+(n-1) 0,3>0\)
\((n-1) 0,3>19,3\) \(|:0,3\)		Obe strany nerovnosti vydelíme \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\)		Prenášame mínus jedna, pričom nezabúdame na zmenu značiek
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)		Výpočtový...
\(n>65 333…\)		…a ukáže sa, že prvý kladný prvok bude mať číslo \(66\). Podľa toho má posledný zápor \(n=65\). Pre každý prípad, poďme sa na to pozrieť.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1) 0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1) 0,3=0,2\)		Preto musíme pridať prvých \(65\) prvkov.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		Odpoveď je pripravená.

odpoveď: \(S_(65)=-630,5\).

Príklad (OGE). Aritmetický postup je daný podmienkami: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Nájdite súčet od \(26\)-tého do \(42\) prvku vrátane.
rozhodnutie:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	V tomto probléme musíte tiež nájsť súčet prvkov, ale nie od prvého, ale od \(26\)-ého. Nemáme na to vzorec. ako sa rozhodnúť? Jednoduché – ak chcete získať súčet od \(26\)-tej do \(42\)-tej, musíte najskôr nájsť súčet od \(1\)-tej do \(42\)-tej a potom od nej odčítať súčet od prvý až \ (25 \) tý (pozri obrázok).
	Pre náš postup \(a_1=-33\) a rozdiel \(d=4\) (napokon k predchádzajúcemu prvku pridáme štyri, aby sme našli ďalší). Keď to vieme, nájdeme súčet prvých \(42\)-uh prvkov.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Teraz súčet prvých \(25\)-tých prvkov.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	A nakoniec vypočítame odpoveď.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

odpoveď: \(S=1683\).

Pre aritmetický postup existuje niekoľko ďalších vzorcov, ktoré sme v tomto článku nezohľadnili kvôli ich nízkej praktickej užitočnosti. Môžete ich však ľahko nájsť.

Čo je podstatou vzorca?

Tento vzorec vám umožňuje nájsť akýkoľvek PODĽA JEHO ČÍSLA" n" .

Samozrejme, musíte poznať prvý termín 1 a rozdiel v postupe d, no, bez týchto parametrov nemôžete zapísať konkrétny postup.

Nestačí si zapamätať (alebo podvádzať) tento vzorec. Je potrebné asimilovať jeho podstatu a aplikovať vzorec v rôznych problémoch. Áno, a nezabudnite v pravý čas, áno ...) Ako nezabudnúť- Neviem. A tu ako si zapamätať V prípade potreby vám poradím. Pre tých, ktorí zvládnu lekciu až do konca.)

Poďme sa teda zaoberať vzorcom n-tého člena aritmetickej postupnosti.

Čo je vzorec vo všeobecnosti - predstavíme si.) Čo je to aritmetická postupnosť, číslo člena, rozdiel postupnosti - je jasne uvedené v predchádzajúcej lekcii. Pozri, ak si to nečítal. Všetko je tam jednoduché. Zostáva prísť na to, čo n-tý člen.

Priebeh vo všeobecnosti možno zapísať ako sériu čísel:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....

1- označuje prvý člen aritmetického postupu, a 3- tretí člen a 4- štvrtý a tak ďalej. Ak nás zaujíma piaty termín, povedzme, že pracujeme s 5, ak stodvadsiaty - od 120.

Ako definovať vo všeobecnosti akýkoľvekčlen aritmetického postupu, s akýkoľvekčíslo? Veľmi jednoduché! Páči sa ti to:

a n

Tak to je n-tý člen aritmetickej progresie. Pod písmenom n sú skryté všetky čísla členov naraz: 1, 2, 3, 4 atď.

A čo nám takýto rekord dáva? Len si predstavte, že namiesto čísla napísali písmeno ...

Tento zápis nám poskytuje výkonný nástroj na prácu s aritmetickými postupnosťami. Použitie notácie a n, môžeme rýchlo nájsť akýkoľvekčlenom akýkoľvek aritmetická progresia. A kopa úloh, ktoré treba postupne riešiť. Ďalej uvidíte.

Vo vzorci n-tého člena aritmetickej postupnosti:

a n = a1 + (n-1)d

1- prvý člen aritmetického postupu;

n- členské číslo.

Vzorec spája kľúčové parametre akejkoľvek progresie: a n; a 1; d a n. Okolo týchto parametrov sa postupne točia všetky hádanky.

Vzorec n-tého členu možno použiť aj na napísanie konkrétneho postupu. Napríklad v probléme možno povedať, že progresia je daná podmienkou:

a n = 5 + (n-1) 2.

Takýto problém môže dokonca zmiasť ... Neexistuje žiadna séria, žiadny rozdiel ... Ale porovnaním stavu so vzorcom je ľahké zistiť, že v tomto postupe a 1 \u003d 5 a d \u003d 2.

A môže to byť ešte nahnevanejšie!) Ak vezmeme rovnakú podmienku: a n = 5 + (n-1) 2, ano, otvorte zatvorky a dajte podobne? Dostávame nový vzorec:

an = 3 + 2n.

Toto je Iba nie všeobecné, ale pre konkrétny postup. Práve tu sa skrýva úskalia. Niektorí ľudia si myslia, že prvý termín je trojka. Aj keď v skutočnosti je prvým členom päťka ... O niečo nižšie budeme pracovať s takto upraveným vzorcom.

V úlohách na postup je iná notácia - a n+1. Toto je, uhádli ste, „n plus prvý“ člen postupu. Jeho význam je jednoduchý a neškodný.) Ide o člen postupnosti, ktorého počet je väčší ako číslo n o jeden. Napríklad, ak v nejakom probléme berieme za a n teda piate volebné obdobie a n+1 bude šiestym členom. Atď.

Najčastejšie označenie a n+1 vyskytuje sa v rekurzívnych vzorcoch. Nebojte sa tohto hrozného slova!) Toto je len spôsob vyjadrenia termínu aritmetického postupu cez predchádzajúci. Predpokladajme, že dostaneme aritmetickú progresiu v tejto forme pomocou opakujúceho sa vzorca:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5 + 3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8 + 3 = 11

Štvrtý - cez tretí, piaty - cez štvrtý atď. A ako okamžite počítať, povedzme dvadsiaty termín, 20? Ale v žiadnom prípade!) Zatiaľ čo 19. termín nie je známy, 20. sa nedá započítať. Toto je základný rozdiel medzi rekurzívnym vzorcom a vzorcom n-tého člena. Rekurzívne funguje iba cez predchádzajúcečlen, a vzorec n-tého členu - cez najprv a umožňuje hneď nájsť ľubovoľného člena podľa jeho čísla. Nepočítajúc celý rad čísel v poradí.

Pri aritmetickej progresii možno rekurzívny vzorec ľahko zmeniť na bežný. Spočítajte pár po sebe idúcich výrazov, vypočítajte rozdiel d, v prípade potreby nájdite prvý termín 1, napíšte vzorec v obvyklom tvare a pracujte s ním. V GIA sa takéto úlohy často nachádzajú.

Aplikácia vzorca n-tého člena aritmetickej postupnosti.

Najprv sa pozrime na priamu aplikáciu vzorca. Na konci predchádzajúcej lekcie sa vyskytol problém:

Daná aritmetická progresia (a n). Nájdite 121, ak a 1 = 3 a d = 1/6.

Tento problém možno vyriešiť bez akýchkoľvek vzorcov, jednoducho na základe významu aritmetickej progresie. Pridať, áno pridať ... Hodinu alebo dve.)

A podľa vzorca bude riešenie trvať menej ako minútu. Môžete si to načasovať.) My rozhodujeme.

Podmienky poskytujú všetky údaje na použitie vzorca: a 1 \u003d 3, d \u003d 1/6. Uvidí sa čo n.Žiaden problém! Musíme nájsť 121. Tu píšeme:

Venujte prosím pozornosť! Namiesto indexu n objavilo sa konkrétne číslo: 121. Čo je celkom logické.) Zaujíma nás člen aritmetickej postupnosti číslo sto dvadsať jeden. Toto bude naše n. Je to tento význam n= 121 dosadíme ďalej do vzorca, v zátvorkách. Dosaďte všetky čísla vo vzorci a vypočítajte:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

To je všetko. Rovnako rýchlo sa dal nájsť päťsto desiaty člen a tisíc a tretí akýkoľvek. Dali sme namiesto toho n požadované číslo v indexe písmena " a" a v zátvorkách a uvažujeme.

Dovoľte mi pripomenúť vám podstatu: tento vzorec vám umožňuje nájsť akýkoľvek termín aritmetického postupu PODĽA JEHO ČÍSLA" n" .

Vyriešme problém múdrejšie. Povedzme, že máme nasledujúci problém:

Nájdite prvý člen aritmetickej progresie (a n), ak a 17 = -2; d = -0,5.

Ak máte nejaké ťažkosti, navrhnem prvý krok. Napíšte vzorec pre n-tý člen aritmetickej postupnosti!Áno áno. Ručne napíšte priamo do zošita:

a n = a1 + (n-1)d

A teraz, keď sa pozrieme na písmená vzorca, chápeme, aké údaje máme a čo nám chýba? Dostupné d=-0,5, je tu sedemnásty člen... Všetko? Ak si myslíte, že je to všetko, potom nemôžete vyriešiť problém, áno ...

Máme aj číslo n! V stave a 17 = -2 skryté dve možnosti. Ide o hodnotu sedemnásteho člena (-2), ako aj o jeho číslo (17). Tie. n=17. Táto „maličkosť“ často prekĺzne cez hlavu a bez nej (bez „malej veci“, nie hlavy!) sa problém vyriešiť nedá. Aj keď ... a tiež bez hlavy.)

Teraz môžeme len hlúpo nahradiť naše údaje do vzorca:

a 17 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)

Ó áno, 17 vieme, že je to -2. Dobre, vložíme to:

-2 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)

To je v podstate všetko. Zostáva vyjadriť prvý člen aritmetického postupu zo vzorca a vypočítať. Dostanete odpoveď: a 1 = 6.

Takáto technika – písanie vzorca a jednoduché nahradenie známych údajov – veľmi pomáha pri jednoduchých úlohách. Samozrejme, musíte vedieť vyjadriť premennú zo vzorca, ale čo robiť!? Bez tejto zručnosti sa matematika nedá vôbec študovať ...

Ďalší populárny problém:

Nájdite rozdiel aritmetickej progresie (a n), ak a 1 = 2; a 15 = 12.

Čo robíme? Budete prekvapení, píšeme vzorec!)

a n = a1 + (n-1)d

Zvážte, čo vieme: ai = 2; a15=12; a (špeciálne zvýraznenie!) n=15. Neváhajte nahradiť vo vzorci:

12=2 + (15-1)d

Poďme na aritmetiku.)

12 = 2 + 14d

d=10/14 = 5/7

Toto je správna odpoveď.

Takže úlohy a n, a 1 a d rozhodol. Zostáva sa naučiť, ako nájsť číslo:

Číslo 99 je členom aritmetickej postupnosti (a n), kde a 1 = 12; d = 3. Nájdite číslo tohto člena.

Známe množstvá dosadíme do vzorca n-tého člena:

a n = 12 + (n-1) 3

Na prvý pohľad sú tu dve neznáme veličiny: a n a n. ale a n je nejaký člen progresie s číslom n... A tento člen postupu poznáme! Je to 99. Nepoznáme jeho číslo. n, tak toto číslo treba tiež nájsť. Dosaďte progresívny člen 99 do vzorca:

99 = 12 + (n-1) 3

Vyjadrujeme zo vzorca n, my si myslíme. Dostávame odpoveď: n=30.

A teraz problém na rovnakú tému, ale kreatívnejší):

Určite, či číslo 117 bude členom aritmetickej postupnosti (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Opäť napíšeme vzorec. Čo, neexistujú žiadne možnosti? Hm... Prečo potrebujeme oči?) Vidíme prvého člena postupu? Vidíme. Toto je -3,6. Pokojne môžete napísať: a 1 \u003d -3,6. Rozdiel d dá sa určiť zo série? Je to jednoduché, ak viete, aký je rozdiel medzi aritmetickou progresiou:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Áno, urobili sme najjednoduchšiu vec. Zostáva sa vysporiadať s neznámym číslom n a nezrozumiteľné číslo 117. V predchádzajúcom probléme sa aspoň vedelo, že bol daný termín postupu. Ale tu ani nevieme, že ... Ako byť!? Nuž, ako byť, ako byť... Zapnite svoje tvorivé schopnosti!)

my predpokladaťže 117 je predsa členom našej progresie. S neznámym číslom n. A rovnako ako v predchádzajúcom probléme, skúsme nájsť toto číslo. Tie. napíšeme vzorec (áno-áno!)) a dosadíme naše čísla:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Opäť vyjadrujeme zo vzorcan, spočítame a dostaneme:

Ojoj! Číslo vyšlo zlomkové! Sto jeden a pol. A zlomkové čísla v postupnosti nemôže byť. Aký záver vyvodíme? Áno! Číslo 117 nie ječlenom našej progresie. Je to niekde medzi 101. a 102. členom. Ak by sa počet ukázal ako prirodzený, t.j. kladné celé číslo, potom by číslo bolo členom postupnosti s nájdeným číslom. A v našom prípade bude odpoveď na problém: č.

Úloha založená na skutočnej verzii GIA:

Aritmetický postup je daný podmienkou:

a n \u003d -4 + 6,8n

Nájdite prvý a desiaty termín postupu.

Tu je postup nastavený nezvyčajným spôsobom. Nejaký vzorec ... Stáva sa to.) Avšak tento vzorec (ako som napísal vyššie) - aj vzorec n-tého člena aritmetickej postupnosti! Tiež povoľuje nájdite ľubovoľného člena postupu podľa jeho čísla.

Hľadáme prvého člena. Ten, kto si myslí. že prvý člen je mínus štyri, sa fatálne mýli!) Pretože vzorec v úlohe je upravený. Prvý člen aritmetického postupu v ňom skryté. Nič, teraz to nájdeme.)

Rovnako ako v predchádzajúcich úlohách suplujeme n=1 do tohto vzorca:

a 1 \u003d -4 + 6,8 1 \u003d 2,8

Tu! Prvý termín je 2,8, nie -4!

Podobne hľadáme desiaty výraz:

a 10 \u003d -4 + 6,8 10 \u003d 64

To je všetko.

A teraz, pre tých, ktorí sa dočítali až po tieto riadky, sľúbený bonus.)

Predpokladajme, že v zložitej bojovej situácii GIA alebo Jednotnej štátnej skúšky ste zabudli na užitočný vzorec n-tého člena aritmetického postupu. Niečo ma napadá, ale akosi neisto... Či n tam, resp n+1, príp n-1... Ako byť!?

Pokojne! Tento vzorec sa dá ľahko odvodiť. Nie veľmi striktné, ale určite dosť na dôveru a správne rozhodnutie!) Na záver si stačí zapamätať základný význam aritmetického postupu a mať pár minút času. Stačí si nakresliť obrázok. Pre prehľadnosť.

Nakreslíme si číselnú os a označíme na nej prvú. druhý, tretí atď. členov. A všimnite si rozdiel d medzi členmi. Páči sa ti to:

Pozrieme sa na obrázok a pomyslíme si: čomu sa rovná druhý výraz? Po druhé jeden d:

a 2 = a 1 + 1 d

Aký je tretí termín? Tretia termín sa rovná prvému termínu plus dva d.

a 3 = a 1 + 2 d

Máš to? Niektoré slová nedávam tučným písmom pre nič za nič. Dobre, ešte jeden krok.)

Aký je štvrtý termín? Po štvrté termín sa rovná prvému termínu plus tri d.

a 4 = a 1 + 3 d

Je načase si uvedomiť, že počet medzier, t.j. d, vždy o jeden menej ako je počet člena, ktorého hľadáte n. Teda až do počtu n, počet medzier bude n-1. Takže vzorec bude (žiadne možnosti!):

a n = a1 + (n-1)d

Vo všeobecnosti sú vizuálne obrázky veľmi nápomocné pri riešení mnohých problémov v matematike. Nezanedbávajte obrázky. Ale ak je ťažké nakresliť obrázok, potom ... iba vzorec!) Okrem toho vzorec n-tého členu umožňuje pripojiť k riešeniu celý silný arzenál matematiky - rovnice, nerovnice, systémy atď. Nemôžeš dať obrázok do rovnice...

Úlohy pre samostatné rozhodovanie.

Na zahriatie:

1. V aritmetickej postupnosti (a n) a 2 = 3; a 5 \u003d 5.1. Nájdite 3.

Pomôcka: podľa obrázku je problém vyriešený za 20 sekúnd ... Podľa vzorca je to ťažšie. Ale pre zvládnutie vzorca je to užitočnejšie.) V § 555 je tento problém riešený obrázkom aj vzorcom. Cítiť rozdiel!)

A toto už nie je zahrievanie.)

2. V aritmetickej progresii (a n) a 85 \u003d 19,1; a 236 = 49, 3. Nájdite 3 .

Čo, neochota nakresliť obrázok?) Ešte! Vo vzorci je to lepšie, áno...

3. Aritmetický postup je daný podmienkou:a 1 \u003d -5,5; a n+1 = a n +0,5. Nájdite stodvadsiaty piaty termín tohto postupu.

V tejto úlohe je postup uvedený opakujúcim sa spôsobom. Ale rátať do stodvadsiateho piateho termínu... Nie každému sa to podarí.) Ale vzorec n-tého termínu je v moci každého!

4. Daná aritmetická progresia (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Nájdite číslo najmenšieho kladného člena progresie.

5. Podľa podmienky úlohy 4 nájdite súčet najmenších kladných a najväčších záporných členov postupu.

6. Súčin piateho a dvanásteho člena rastúcej aritmetickej progresie je -2,5 a súčet tretieho a jedenásteho člena je nula. Nájdite 14.

Nie je to najjednoduchšia úloha, áno ...) Tu metóda "na prstoch" nebude fungovať. Musíte písať vzorce a riešiť rovnice.

Odpovede (v neporiadku):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Stalo? Je to pekné!)

Nevychádza všetko? To sa stáva. Mimochodom, v poslednej úlohe je jeden jemný bod. Pri čítaní problému bude potrebná pozornosť. A logika.

Riešenie všetkých týchto problémov je podrobne popísané v časti 555. A fantazijný prvok pre štvrtý a jemný moment pre šiesty a všeobecné prístupy k riešeniu akýchkoľvek problémov pre vzorec n-tého termínu - všetko je vymaľované. Odporučiť.

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učenie - so záujmom!)

môžete sa zoznámiť s funkciami a deriváciami.