Ak chcete použiť ukážku prezentácií, vytvorte si Google účet (účet) a prihláste sa: https://accounts.google.com

Popisy snímok:

Náhľad:

Predmet

Aritmetický postup

CIEĽ :

• naučiť sa rozpoznávať aritmetický postup pomocou jeho definície a znamienka;
• naučiť riešiť problémy pomocou definície, znaku, vzorca všeobecného člena postupu.

CIELE LEKCIE:

uviesť definíciu aritmetickej progresie, dokázať znamenie aritmetickej progresie a naučiť ju aplikovať pri riešení problémov.

VYUČOVACIE METÓDY:

aktualizácia vedomostí žiakov, samostatná práca, samostatná práca, vytvorenie problémovej situácie.

MODERNÉ TECHNOLÓGIE:

IKT, problémové učenie, diferencované učenie, technológie šetriace zdravie.

PLÁN LEKCIE

	Etapy lekcií.	Čas realizácie.
	Organizácia času.	2 minúty
	Opakovanie minulosti	5 minút
	Učenie sa nového materiálu	15 minút
	Minút telesnej výchovy	3 minúty
	Plnenie úloh na danú tému	15 minút
	Domáca úloha	2 minúty
	Zhrnutie	3 minúty

POČAS TRIED:

1. V minulej lekcii sme sa zoznámili s pojmom „Sekvencia“.

Dnes budeme pokračovať v štúdiu číselných radov, definovať niektoré z nich, oboznámiť sa s ich vlastnosťami a vlastnosťami.

1. Odpovedzte na otázky: Čo je to postupnosť?

Aké sú sekvencie?

Ako môžete nastaviť sekvenciu?

Čo je to číselná postupnosť?

Aké spôsoby určenia číselnej postupnosti poznáte? Aký vzorec sa nazýva rekurzívny?

1. Číselné rady sú dané:

1. 1, 2, 3, 4, 5, …
2. 2, 5, 8, 11, 14,…
3. 8, 6, 4, 2, 0, - 2, …
4. 0,5; 1; 1,5; 2; 2,5; …

Nájdite vzor v každej sekvencii a pomenujte ďalšie tri členy každého z nich.

1. a n = a n-1 +1
2. a n \u003d a n -1 + 3
3. a n = a n -1 + (-2)
4. a n \u003d a n -1 + 0,5

Pomenujte rekurzívny vzorec pre každú sekvenciu.

snímka 1

Číselná postupnosť, v ktorej sa každý člen počnúc druhým rovná predchádzajúcemu členu pripočítanému k rovnakému číslu, sa nazýva aritmetická postupnosť.

Číslo d sa nazýva rozdiel aritmetickej progresie.

Aritmetická progresia je číselná postupnosť, takže môže byť rastúca, klesajúca, konštantná. Uveďte príklady takýchto sekvencií, pomenujte rozdiel každého postupu, urobte záver.

Odvodíme vzorec pre bežný člen aritmetickej progresie.

Na tabuli: nech a 1 je prvý člen progresie, d je teda jeho rozdiel

a 2 \u003d a 1 + d

a 3 \u003d (a 1 + d) + d \u003d a 1 + 2d

a 4 \u003d (a 1 + 2d) + d \u003d a 1 + 3d

a 5 \u003d (a 1 + 3d) + d \u003d a 1 + 4d

a n \u003d a 1 + d (n-1) - vzorec n-tého člena aritmetickej postupnosti.

Vyriešte problém: V aritmetickej postupnosti je prvý člen 5 a rozdiel je 4.

Nájdite 22. termín tohto postupu.

Žiak v rade rozhoduje: a n = a 1 + d(n-1)

A 22 \u003d a 1 + 21d \u003d 5 + 21 * 4 \u003d 89

Fizkultminutka.

Vstali sme.

Ruky na opasku. Naklonenie doľava, doprava (2 krát);

Naklonenie dopredu, dozadu (2 krát);

Zdvihnite ruky, zhlboka sa nadýchnite, spustite ruky nadol, vydýchnite. (2 krát)

Potriasli si rukami. Ďakujem.

Posadil sa. Pokračujeme v lekcii.

Riešime úlohy na aplikácii vzorca všeobecného pojmu aritmetickej postupnosti.

Študenti dostanú tieto úlohy:

1. V aritmetickej progresii je prvý člen -2, d=3, a n = 118.

Nájsť n.

1. V aritmetickej postupnosti je prvý člen 7, pätnásty člen je -35. Nájdite rozdiel.
2. Je známe, že v aritmetickej progresii d=-2, a39=83. Nájdite prvý termín postupu.

Žiaci sú rozdelení do skupín. Úloha je zadaná na 5 minút. Potom prví 3 žiaci, ktorí riešili úlohy, ich riešia na tabuli. Riešenie je duplikované na sklíčkach.

Zvážte charakteristické vlastnosti aritmetickej progresie.

V aritmetickom postupe

a n -d=a (n-1)

n+d=a (n+1)

Sčítaním týchto dvoch rovností člen po člene dostaneme: 2a n=a(n+1)+a(n-1)

An = (a (n+1) +a (n-1))/2

To znamená, že každý člen aritmetického postupu, okrem prvého a posledného, ​​sa rovná aritmetickému priemeru predchádzajúceho a nasledujúceho člena.

TEOREM:

Číselná postupnosť je aritmetickou postupnosťou vtedy a len vtedy, ak sa každý jej člen, okrem prvého (a posledného v prípade konečnej postupnosti), rovná aritmetickému priemeru predchádzajúceho a nasledujúceho člena (charakteristická vlastnosť aritmetický postup).

Pochopenie mnohých tém z matematiky a fyziky je spojené so znalosťou vlastností číselných radov. Školáci v 9. ročníku pri štúdiu predmetu „Algebra“ zvažujú jednu z dôležitých postupností čísel - aritmetický postup. Uveďme základné vzorce aritmetickej progresie (9. ročník), ako aj príklady ich použitia pri riešení problémov.

Algebraický alebo aritmetický postup

Číselné rady, o ktorých sa bude diskutovať v tomto článku, sa nazývajú dvoma rôznymi spôsobmi, ktoré sú uvedené v názve tohto odseku. Aritmetický postup v matematike sa teda chápe ako taký číselný rad, v ktorom sa ľubovoľné dve čísla stojace vedľa seba líšia o rovnakú hodnotu, čo sa nazýva rozdiel. Čísla v takejto sérii sú zvyčajne označené písmenami s nižším celočíselným indexom, napríklad a1, a2, a3 atď., kde index označuje číslo prvku série.

Vzhľadom na vyššie uvedenú definíciu aritmetickej progresie môžeme napísať nasledujúcu rovnosť: a2-a1 =...=an-an-1=d, tu d je rozdiel algebraickej progresie a n je ľubovoľné celé číslo. Ak d>0, potom môžeme očakávať, že každý nasledujúci člen radu bude väčší ako predchádzajúci, v tomto prípade hovoríme o rastúcej progresii. Ak d

Vzorce aritmetického postupu (stupeň 9)

Uvažovaný rad čísel, keďže je usporiadaný a riadi sa určitým matematickým zákonom, má dve vlastnosti, ktoré sú dôležité pre jeho použitie:

Po prvé, ak poznáte iba dve čísla a1 a d, môžete nájsť ľubovoľný člen postupnosti. To sa robí pomocou nasledujúceho vzorca: an = a1+(n-1)*d.

Po druhé, na výpočet súčtu n členov prvých nie je potrebné sčítať ich v poradí, pretože môžete použiť nasledujúci vzorec: Sn = n*(an+a1)/2.

Prvý vzorec je ľahko pochopiteľný, pretože je priamym dôsledkom skutočnosti, že každý člen uvažovaného radu sa líši od svojho suseda rovnakým rozdielom.

Druhý aritmetický postupový vzorec možno získať tak, že si všimneme, že súčet a1+an je ekvivalentný súčtom a2+an-1, a3+an-2 atď. Pretože a2 = d+a1, an-2 = -2*d+an, a3 = 2*d+a1 a an-1 = -d+an, potom dosadením týchto výrazov do zodpovedajúcich súčtov dostaneme, že budú rovnaké. Faktor n/2 v 2. vzorci (pre Sn) sa objavuje v dôsledku skutočnosti, že existuje presne n/2 súčtov typu ai+1+an-i, tu i je celé číslo v rozsahu od 0 do n/2-1 .

Podľa zachovaných historických dôkazov vzorec pre súčet Sn prvýkrát získal Karl Gauss (slávny nemecký matematik), keď dostal od učiteľa v škole za úlohu sčítať prvých 100 čísel.

Vzorový problém č. 1: Nájdite rozdiel

Úlohy, ktoré kladú otázku takto: poznať vzorce pre aritmetickú postupnosť, ako nájsť q (d), sú tie najjednoduchšie, ktoré môžu byť len pre túto tému.

Tu je príklad: pri danej číselnej postupnosti -5, -2, 1, 4, ... je potrebné určiť jej rozdiel, teda d.

Je to také jednoduché ako lúskanie hrušiek: musíte vziať dva prvky a odpočítať menší od väčšieho. V tomto prípade máme: d = -2 - (-5) = 3.

Aby ste si boli istí odpoveďou, odporúča sa skontrolovať zostávajúce rozdiely, pretože prezentovaná postupnosť nemusí spĺňať podmienku algebraickej postupnosti. Máme: 1-(-2)=3 a 4-1=3. Tieto údaje naznačujú, že sme dostali správny výsledok (d=3) a dokázali, že séria čísel v probléme je skutočne algebraická postupnosť.

Vzorový problém č. 2: Nájdite rozdiel, keď poznáte dva pojmy postupu

Zvážte ďalší zaujímavý problém, ktorý predstavuje otázka, ako nájsť rozdiel. Aritmetický postupový vzorec sa v tomto prípade musí použiť pre n-tý člen. Takže úloha: ak sú dané prvé a piate číslo radu, ktoré zodpovedá všetkým vlastnostiam algebraickej postupnosti, sú to napríklad čísla a1 = 8 a a5 = -10. Ako nájsť rozdiel d?

Tento problém by ste mali začať riešiť napísaním všeobecného tvaru vzorca pre n-tý prvok: an = a1+d*(-1+n). Teraz môžete ísť dvoma spôsobmi: buď ihneď nahradiť čísla a už s nimi pracovať, alebo vyjadriť d a potom prejsť na konkrétne a1 a a5. Použime poslednú metódu, dostaneme: a5 = a1+d*(-1+5) alebo a5 = 4*d+a1, čo znamená, že d = (a5-a1)/4. Teraz môžete bezpečne nahradiť známe údaje z podmienky a získať konečnú odpoveď: d = (-10-8)/4 = -4,5.

Všimnite si, že v tomto prípade sa rozdiel v postupe ukázal ako negatívny, to znamená, že existuje klesajúca postupnosť čísel. Na túto skutočnosť je potrebné dbať pri riešení úloh, aby nedošlo k zámene znamienka „+“ a „-“. Všetky vyššie uvedené vzorce sú univerzálne, takže by sa mali vždy dodržiavať bez ohľadu na znamienko čísel, s ktorými sa operácie vykonávajú.

Príklad riešenia úlohy č. 3: nájdite a1 s poznaním rozdielu a prvku

Zmeňme trochu stav problému. Nech sú dve čísla: rozdiel d=6 a 9. prvok postupnosti a9 = 10. Ako nájsť a1? Vzorce aritmetického postupu zostávajú nezmenené, budeme ich používať. Pre číslo a9 máme nasledujúci výraz: a1+d*(9-1) = a9. Odkiaľ môžeme ľahko získať prvý prvok série: a1 = a9-8*d = 10 - 8*6 = -38.

Príklad riešenia úlohy č. 4: nájdite a1 so znalosťou dvoch prvkov

Táto verzia problému je komplikovanou verziou predchádzajúcej. Podstata je rovnaká, je potrebné vypočítať a1, ale teraz nie je známy rozdiel d a namiesto toho je uvedený iný prvok progresie.

Príkladom tohto typu problému je nasledujúci: nájdite prvé číslo v postupnosti, o ktorej je známe, že ide o aritmetickú postupnosť a ktorej 15. a 23. prvok je 7 a 12.

Tento problém je potrebné vyriešiť tak, že pre každý prvok známy z podmienky napíšeme výraz pre n-tý člen, máme: a15 = d*(15-1)+a1 a a23 = d*(23-1)+a1. Ako vidíte, dostali sme dve lineárne rovnice, ktoré je potrebné vyriešiť vzhľadom na a1 a d. Urobme toto: odčítame prvú rovnicu od druhej rovnice a dostaneme nasledujúci výraz: a23-a15 = 22*d - 14*d = 8*d. Pri odvodzovaní poslednej rovnice boli hodnoty a1 vynechané, pretože sa pri odčítaní rušia. Dosadením známych údajov zistíme rozdiel: d = (a23-a15)/8 = (12-7)/8 = 0,625.

Hodnota d musí byť dosadená do ľubovoľného vzorca pre známy prvok, aby sa získal prvý člen postupnosti: a15 = 14*d+a1, odkiaľ: a1=a15-14*d = 7-14*0,625 = - 1,75.

Skontrolujeme výsledok, na to nájdeme a1 cez druhý výraz: a23 = d*22+a1 alebo a1 = a23-d*22 = 12 - 0,625*22 = -1,75.

Príklad riešenia úlohy č.5: nájdite súčet n prvkov

Ako vidíte, až do tohto bodu sa na riešenie používal iba jeden aritmetický progresívny vzorec (stupeň 9). Teraz uvádzame úlohu, na riešenie ktorej potrebujeme poznať druhý vzorec, teda pre súčet Sn.

Vzhľadom na nasledujúci usporiadaný rad čísel -1,1, -2,1, -3,1,..., musíte vypočítať súčet jeho prvých 11 prvkov.

Z tohto radu je vidieť, že klesá a a1 = -1,1. Jeho rozdiel je: d = -2,1 - (-1,1) = -1. Teraz si definujme 11. člen: a11 = 10*d + a1 = -10 + (-1,1) = -11,1. Po dokončení prípravných výpočtov môžete na súčet použiť vyššie uvedený vzorec, máme: S11 \u003d 11 * (-1,1 + (-11,1)) / 2 \u003d -67,1. Keďže všetky členy boli záporné čísla, ich súčet má tiež zodpovedajúce znamienko.

Príklad riešenia úlohy č.6: nájdite súčet prvkov od n do m

Možno je tento typ problémov pre väčšinu študentov najťažší. Uveďme typický príklad: ak máme sériu čísel 2, 4, 6, 8 ..., musíte nájsť súčet od 7. do 13. termínu.

Vzorce aritmetického postupu (stupeň 9) sa používajú úplne rovnako ako vo všetkých predtým uvedených úlohách. Túto úlohu sa odporúča riešiť postupne:

Najprv nájdite súčet 13 výrazov pomocou štandardného vzorca.

Potom vypočítajte túto sumu pre prvých 6 prvkov.

Potom odčítajte 2. od 1. súčtu.

Poďme k riešeniu. Rovnako ako v predchádzajúcom prípade vykonáme prípravné výpočty: a6 = 5*d+a1 = 10+2 = 12, a13 = 12*d+a1 = 24+2 = 26.

Vypočítajme dva súčty: S13 = 13*(2+26)/2 = 182, S6 = 6*(2+12)/2 = 42. Vezmite rozdiel a získajte požadovanú odpoveď: S7-13 = S13 - S6 = 182-42 = 140. Všimnite si, že pri získaní tejto hodnoty bol ako subtrahend použitý súčet 6 prvkov progresie, keďže 7. člen je zahrnutý v súčte S7-13.

Trieda: 9

Typ lekcie: lekcia učenie nového materiálu.

Cieľ lekcie: Vytvorenie pojmu aritmetickej postupnosti ako jedného z typov postupností, odvodenie vzorca pre n-tý člen, oboznámenie sa s charakteristickou vlastnosťou členov aritmetickej postupnosti. Riešenie problémov.

Ciele lekcie:

• Vzdelávacie- zaviesť pojem aritmetická progresia; vzorce n-tého člena; charakteristickú vlastnosť, ktorú majú členovia aritmetických postupností.
• Vzdelávacie- rozvíjať schopnosť porovnávať matematické pojmy, nachádzať podobnosti a rozdiely, schopnosť pozorovať, všímať si vzorce, uvažovať podľa analógie; formovať schopnosť zostaviť a interpretovať matematický model nejakej reálnej situácie.
• Vzdelávacie- podporovať rozvoj záujmu o matematiku a jej aplikácie, aktivitu, schopnosť komunikovať a obhajovať svoje názory rozumom.

Vybavenie: počítač, multimediálny projektor, prezentácia (príloha 1)

Učebnice: Algebra 9, Yu.N.

Plán lekcie:

1. Organizačný moment, nastavenie úloh
2. Aktualizácia vedomostí, ústna práca
3. Učenie sa nového materiálu
4. Primárne upevnenie
5. Zhrnutie lekcie
6. Domáca úloha

S cieľom zvýšiť viditeľnosť a pohodlie práce s materiálom je lekcia sprevádzaná prezentáciou. Nie je to však podmienkou a tá istá hodina sa môže konať aj v učebniach, ktoré nie sú vybavené multimediálnou technikou. K tomu je možné pripraviť potrebné údaje na tabuli alebo vo forme tabuliek a plagátov.

Počas vyučovania

I. Organizačný moment, stanovenie úlohy.

pozdravujem.

Témou dnešnej hodiny je aritmetický postup. V tejto lekcii sa naučíme, čo je aritmetická postupnosť, akú má všeobecnú formu, zistíme, ako odlíšiť aritmetickú postupnosť od iných postupností, a budeme riešiť problémy, ktoré využívajú vlastnosti aritmetických postupností.

II. Aktualizácia vedomostí, ústna práca.

Postupnosť () je daná vzorcom: =. Aké je číslo člena tejto postupnosti, ak sa rovná 144? 225? 100? Sú čísla 48 členmi tejto postupnosti? 49? 168?

O postupnosti () je známe, že , . Ako sa nazýva tento druh sekvenovania? Nájdite prvé štyri členy tejto postupnosti.

O postupnosti () je známe, že . Ako sa nazýva tento druh sekvenovania? Nájsť ak?

III. Učenie sa nového materiálu.

Progresia - postupnosť hodnôt, z ktorých každá je v niektorých spoločná pre celú progresiu, v závislosti od predchádzajúcej. Termín je v súčasnosti do značnej miery zastaraný a vyskytuje sa iba v kombináciách „aritmetickej progresie“ a „geometrickej progresie“.

Pojem „progresia“ je latinského pôvodu (progresia, čo znamená „pohyb vpred“) a zaviedol ho rímsky autor Boethius (6. storočie). Tento termín sa v matematike používa na označenie akejkoľvek postupnosti čísel zostavenej podľa takého zákona, ktorý umožňuje, aby táto postupnosť pokračovala donekonečna jedným smerom. V súčasnosti sa pojem „progresia“ v pôvodnom širokom zmysle nepoužíva. Dva dôležité konkrétne typy postupností – aritmetický a geometrický – si zachovali svoje mená.

Zvážte postupnosť čísel:

• 2, 6, 10, 14, 18, :.
• 11, 8, 5, 2, -1, :.
• 5, 5, 5, 5, 5, :.

Aký je tretí člen prvej postupnosti? Ďalší člen? Predchádzajúci člen? Aký je rozdiel medzi druhým a prvým výrazom? Tretí a druhý člen? Štvrtý a tretí?

Ak je postupnosť zostavená podľa jedného zákona, aký bude rozdiel medzi šiestym a piatym členom prvej postupnosti? Medzi siedmou a šiestou?

Pomenujte ďalšie dva členy každej postupnosti. Prečo si to myslíš?

(Odpovede študentov)

Akú spoločnú vlastnosť majú tieto postupnosti? Uveďte túto vlastnosť.

(Odpovede študentov)

Číselné postupnosti, ktoré majú túto vlastnosť, sa nazývajú aritmetické postupnosti. Vyzvite študentov, aby sa pokúsili sformulovať definíciu sami.

Definícia aritmetickej postupnosti: Aritmetická postupnosť je postupnosť, v ktorej sa každý člen, počnúc druhým, rovná predchádzajúcemu, pripočítanému rovnakým číslom:

( je aritmetický postup, ak , kde je nejaké číslo.

číslo d, ktorý ukazuje, ako veľmi sa líši nasledujúci člen postupnosti od predchádzajúceho, sa nazýva progresívny rozdiel: .

Pozrime sa ešte raz na sekvencie a povedzme si o rozdieloch. Aké vlastnosti má každá sekvencia a s čím sú spojené?

Ak je v aritmetickej progresii rozdiel kladný, potom sa progresia zvyšuje: 2, 6, 10, 14, 18, :. (

Ak je v aritmetickej progresii rozdiel záporný ( , potom je progresia klesajúca: 11, 8, 5, 2, -1, :. (

Ak je rozdiel nula () a všetky členy postupnosti sa rovnajú rovnakému číslu, postupnosť sa nazýva stacionárna: 5, 5, 5, 5, :.

Ako nastaviť aritmetický postup? Zvážte nasledujúci problém.

Úloha. V sklade bolo 1. 50 ton uhlia. Každý deň počas mesiaca prichádza do skladu nákladné auto s 3 tonami uhlia. Koľko uhlia bude na sklade k 30., ak sa uhlie zo skladu počas tejto doby nespotrebovalo.

Ak ku každému číslu vypíšeme množstvo uhlia na sklade, dostaneme aritmetický priebeh. Ako tento problém vyriešiť? Je naozaj potrebné počítať množstvo uhlia na každý deň v mesiaci? Dá sa bez toho nejako zaobísť? Podotýkame, že pred 30. príde do skladu 29 kamiónov s uhlím. Teda k 30. bude na sklade 50+329=137 ton uhlia.

Keď teda poznáme iba prvý člen aritmetickej postupnosti a rozdiel, môžeme nájsť ktorýkoľvek člen postupnosti. Je to vždy takto?

Poďme analyzovať, ako každý člen postupnosti závisí od prvého člena a rozdielu:

Takto sme získali vzorec pre n-tý člen aritmetickej postupnosti.

Príklad 1 Postupnosť () je aritmetický postup. Zistite, či a .

Používame vzorec pre n-tý člen ,

odpoveď: 260.

Zvážte nasledujúci problém:

V aritmetickom postupe sa ukázalo, že párne členy boli prepísané: 3, :, 7, :, 13: Je možné obnoviť stratené čísla?

Študenti pravdepodobne najskôr vypočítajú rozdiel progresie a potom nájdu neznáme podmienky progresie. Potom ich môžete vyzvať, aby našli vzťah medzi neznámym členom postupnosti, predchádzajúcim a nasledujúcim.

rozhodnutie: Využime fakt, že v aritmetickej postupnosti je rozdiel medzi susednými členmi konštantný. Dovoliť byť požadovaným členom postupnosti. Potom

.

Komentujte. Táto vlastnosť aritmetickej progresie je jej charakteristickou vlastnosťou. To znamená, že v akomkoľvek aritmetickom postupe sa každý člen, počnúc druhým, rovná aritmetickému priemeru predchádzajúceho a nasledujúceho ( . A naopak, každá postupnosť, v ktorej sa každý člen, počnúc druhým, rovná aritmetickému priemeru predchádzajúceho a nasledujúceho, je aritmetickým postupom.

IV. Primárne upevnenie.

• č. 575 ab - ústne
• č. 576 awd - ústne
• č.577b - samostatne s overením

Postupnosť (- aritmetický postup. Nájdite, či a

Použime vzorec n-tého člena,

Odpoveď: -24.2.

Nájdite 23. a n-tý člen aritmetickej postupnosti -8; -6,5; :

rozhodnutie: Prvý člen aritmetickej progresie je -8. Nájdite rozdiel aritmetickej postupnosti, na to je potrebné odpočítať predchádzajúci od nasledujúceho člena postupnosti: -6,5-(-8)=1,5.

Použime vzorec n-tého člena:

Nájdite prvý člen aritmetickej progresie () ak .

Pripomeňme si začiatok našej lekcie, chlapci. Stihli ste sa počas dnešnej hodiny naučiť niečo nové, urobiť nejaké objavy? Aké sú ciele lekcie? Myslíte si, že sme dosiahli naše ciele?

Domáca úloha.

Položka 25, č. 578a, č. 580b, č. 582, č. 586a, č. 601a.

Tvorivá úloha pre silných žiakov: Dokážte, že v aritmetickej postupnosti pre ľubovoľné čísla také, že k rovnosti a .

Ďakujem za lekciu chlapci. Dnes ste tvrdo pracovali.

Matematika má svoju krásu, rovnako ako maľba a poézia.

Ruský vedec, mechanik N.E. Žukovského

Veľmi časté úlohy v prijímacích testoch z matematiky sú úlohy súvisiace s pojmom aritmetický postup. Na úspešné vyriešenie takýchto problémov je potrebné dobre poznať vlastnosti aritmetickej progresie a mať určité zručnosti v ich aplikácii.

Najprv si pripomeňme hlavné vlastnosti aritmetickej progresie a predstavme najdôležitejšie vzorce, spojené s týmto konceptom.

Definícia. Číselná postupnosť, v ktorej sa každý nasledujúci výraz líši od predchádzajúceho rovnakým číslom, nazývaná aritmetická progresia. Zároveň aj číslosa nazýva progresívny rozdiel.

Pre aritmetickú postupnosť platia vzorce

, (1)

kde . Vzorec (1) sa nazýva vzorec spoločného člena aritmetickej postupnosti a vzorec (2) je hlavnou vlastnosťou aritmetickej postupnosti: každý člen postupnosti sa zhoduje s aritmetickým priemerom svojich susedných členov a .

Všimnite si, že práve kvôli tejto vlastnosti sa uvažovaná progresia nazýva „aritmetická“.

Vyššie uvedené vzorce (1) a (2) sú zhrnuté takto:

(3)

Na výpočet sumy najprv členov aritmetického postupuzvyčajne sa používa vzorec

(5) kde a .

Ak vezmeme do úvahy vzorec (1), potom vzorec (5) znamená

Ak určíme

kde . Pretože vzorce (7) a (8) sú zovšeobecnením zodpovedajúcich vzorcov (5) a (6).

najmä zo vzorca (5) vyplýva, čo

Medzi málo známe pre väčšinu študentov patrí vlastnosť aritmetickej progresie, formulovaná pomocou nasledujúcej vety.

Veta. Ak potom

Dôkaz. Ak potom

Veta bola dokázaná.

Napríklad , pomocou vety, dá sa to ukázať

Prejdime k úvahe o typických príkladoch riešenia úloh na tému „Aritmetický postup“.

Príklad 1 Nechajte a . Nájsť .

rozhodnutie. Použitím vzorca (6) dostaneme . Od a , potom alebo .

Príklad 2 Nechajte trikrát viac a pri delení v kvociente vyjde 2 a zvyšok je 8. Určte a.

rozhodnutie. Systém rovníc vyplýva z podmienky príkladu

Keďže , , a , tak zo sústavy rovníc (10) dostaneme

Riešením tejto sústavy rovníc sú a .

Príklad 3 Zistite, či a .

rozhodnutie. Podľa vzorca (5) máme alebo . Avšak pomocou vlastnosti (9) získame .

Od a , potom z rovnosti nasleduje rovnica alebo .

Príklad 4 Nájsť ak .

rozhodnutie.Podľa vzorca (5) máme

Pomocou vety sa však dá písať

Odtiaľ a zo vzorca (11) získame .

Príklad 5. Vzhľadom na to: . Nájsť .

rozhodnutie. Odvtedy . Avšak , preto .

Príklad 6 Nechajte , a . Nájsť .

rozhodnutie. Pomocou vzorca (9) dostaneme . Preto ak , tak alebo .

Od a potom tu máme systém rovníc

Vyriešením ktorého dostaneme a .

Prirodzený koreň rovnice je .

Príklad 7 Zistite, či a .

rozhodnutie. Keďže podľa vzorca (3) máme to , potom sústava rovníc vyplýva z podmienky úlohy

Ak dosadíme výrazdo druhej rovnice systému, potom dostaneme alebo .

Korene kvadratickej rovnice sú a .

Uvažujme o dvoch prípadoch.

1. Nechajte , potom . Odvtedy a potom.

V tomto prípade podľa vzorca (6) máme

2. Ak , potom , a

Odpoveď: a.

Príklad 8 Je známe, že a Nájsť .

rozhodnutie. Berúc do úvahy vzorec (5) a podmienku príkladu, píšeme a .

To znamená systém rovníc

Ak vynásobíme prvú rovnicu sústavy 2 a potom ju pripočítame k druhej rovnici, dostaneme

Podľa vzorca (9) máme. V tejto súvislosti z (12) vyplýva alebo .

Odvtedy a potom.

Odpoveď: .

Príklad 9 Zistite, či a .

rozhodnutie. Od , a podľa podmienky , potom alebo .

Zo vzorca (5) je to známe, čo . Odvtedy .

preto tu máme systém lineárnych rovníc

Odtiaľto dostávame a . Berúc do úvahy vzorec (8), píšeme .

Príklad 10 Vyriešte rovnicu.

rozhodnutie. Z uvedenej rovnice vyplýva, že . Predpokladajme, že , , a . V tomto prípade .

Podľa vzorca (1) môžeme písať alebo .

Pretože rovnica (13) má jedinečný vhodný koreň .

Príklad 11. Nájdite maximálnu hodnotu za predpokladu, že a .

rozhodnutie. Od , potom uvažovaná aritmetická progresia klesá. V tomto ohľade výraz nadobúda maximálnu hodnotu, keď je číslom minimálneho kladného člena progresie.

Používame vzorec (1) a skutočnosť, ktorý a . Potom dostaneme, že alebo .

Pretože, potom alebo . Avšak v tejto nerovnostinajväčšie prirodzené číslo, Preto .

Ak sú hodnoty a dosadené do vzorca (6), dostaneme .

Odpoveď: .

Príklad 12. Nájdite súčet všetkých dvojciferných prirodzených čísel, ktoré po delení 6 majú zvyšok 5.

rozhodnutie. Označme množinou všetkých dvojhodnotových prirodzených čísel, t.j. . Ďalej zostrojíme podmnožinu pozostávajúcu z tých prvkov (čísel) množiny, ktoré po delení číslom 6 dávajú zvyšok 5.

Jednoduchá inštalácia, čo . samozrejme , že prvky zostavytvoria aritmetický postup, v ktorom a .

Na určenie mohutnosti (počet prvkov) množiny predpokladáme, že . Pretože a , potom vzorec (1) znamená alebo . Ak vezmeme do úvahy vzorec (5), dostaneme .

Vyššie uvedené príklady riešenia problémov si v žiadnom prípade nemôžu tvrdiť, že sú vyčerpávajúce. Tento článok je napísaný na základe analýzy moderných metód riešenia typických problémov na danú tému. Pre hlbšie štúdium metód riešenia problémov súvisiacich s aritmetickou progresiou je vhodné pozrieť si zoznam odporúčanej literatúry.

1. Zbierka úloh z matematiky pre uchádzačov na technické univerzity / Ed. M.I. Scanavi. - M .: Svet a vzdelávanie, 2013. - 608 s.

2. Suprun V.P. Matematika pre stredoškolákov: doplnkové časti školského vzdelávacieho programu. – M.: Lenand / URSS, 2014. - 216 s.

3. Medýnsky M.M. Kompletný kurz elementárnej matematiky v úlohách a cvičeniach. Kniha 2: Číselné postupnosti a postupnosti. – M.: Editus, 2015. - 208 s.

Máte nejaké otázky?

Ak chcete získať pomoc tútora - zaregistrujte sa.

stránky, s úplným alebo čiastočným kopírovaním materiálu, je potrebný odkaz na zdroj.

Predmet: Aritmetické a geometrické postupnosti

Trieda: 9

Školiaci systém: materiál na prípravu štúdia témy z algebry a prípravná fáza na zloženie skúšky OGE

Cieľ: formovanie pojmov aritmetický a geometrický postup

Úlohy: naučiť rozlišovať medzi typmi progresie, učiť správne, používať vzorce

Aritmetický postup pomenovať postupnosť čísel (členov postupnosti)

v ktorej sa každý nasledujúci člen líši od predchádzajúceho člena oceľovým členom, ktorý sa nazýva aj krokový alebo progresívny rozdiel.

Takže nastavením kroku progresie a jej prvého členu môžete pomocou vzorca nájsť ktorýkoľvek z jeho prvkov

1) Každý člen aritmetickej postupnosti, počnúc druhým číslom, je aritmetickým priemerom predchádzajúceho a nasledujúceho člena postupu

Opak je tiež pravdou. Ak sa aritmetický priemer susedných nepárnych (párnych) členov postupu rovná prvku, ktorý stojí medzi nimi, potom je táto postupnosť čísel aritmetickým postupom. Týmto tvrdením je veľmi ľahké skontrolovať akúkoľvek sekvenciu.

Tiež vďaka vlastnosti aritmetickej progresie možno vyššie uvedený vzorec zovšeobecniť na nasledujúce

Dá sa to ľahko overiť, ak výrazy napíšeme napravo od znamienka rovnosti

V praxi sa často používa na zjednodušenie výpočtov v problémoch.

2) Súčet prvých n členov aritmetickej progresie sa vypočíta podľa vzorca

Dobre si zapamätajte vzorec pre súčet aritmetickej progresie, je nevyhnutný pri výpočtoch a je celkom bežný v jednoduchých životných situáciách.

3) Ak potrebujete nájsť nie celý súčet, ale časť postupnosti od jej k-teho člena, bude sa vám hodiť nasledujúci súčtový vzorec

4) Prakticky zaujímavé je nájdenie súčtu n členov aritmetickej postupnosti od k-teho čísla. Ak to chcete urobiť, použite vzorec

Nájdite štyridsiaty člen aritmetického postupu 4;7;...

rozhodnutie:

Podľa stavu máme

Definujte krok postupu

Podľa známeho vzorca nájdeme štyridsiaty člen progresie

Aritmetický postup je daný jeho tretím a siedmym členom. Nájdite prvý člen postupu a súčet desiatich.

rozhodnutie:

Dané prvky postupnosti zapisujeme podľa vzorcov

Aritmetický postup je daný menovateľom a jedným z jeho členov. Nájdite prvý člen postupnosti, súčet jeho 50 členov od 50 a súčet prvých 100 .

rozhodnutie:

Napíšme vzorec pre stý prvok postupu

a nájsť prvé

Na základe prvého nachádzame 50. termín progresie

Nájdenie súčtu časti progresie

a súčet prvých 100

Súčet progresie je 250. Nájdite počet členov aritmetickej progresie, ak:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

rozhodnutie:

Rovnice napíšeme z hľadiska prvého člena a kroku postupu a definujeme ich

Získané hodnoty dosadíme do súčtového vzorca, aby sme určili počet členov v súčte

Vykonávanie zjednodušení

a vyriešiť kvadratickú rovnicu

Z dvoch zistených hodnôt je pre stav problému vhodné iba číslo 8. Súčet prvých ôsmich členov progresie je teda 111.

vyriešiť rovnicu

1+3+5+...+x=307.

rozhodnutie:

Táto rovnica je súčtom aritmetickej progresie. Vypíšeme jeho prvý termín a nájdeme rozdiel v progresii

Nájdené hodnoty dosadíme do vzorca pre súčet progresie, aby sme našli počet výrazov

Rovnako ako v predchádzajúcej úlohe vykonávame zjednodušenia a riešime kvadratickú rovnicu

Vyberte logickejšiu z dvoch hodnôt. Máme, že súčet 18 členov progresie s danými hodnotami a1=1, d=2 sa rovná Sn=307.

Príklady riešenia problémov: Aritmetický postup

Úloha1

Študentský tím sa zmluvne zaviazal položiť keramickú dlažbu na podlahu v hale mládežníckeho klubu o rozlohe 288 m 2. Skúsenosti získavajú študenti každý ďalší deň, počnúc druhým, vyskladali o 2 m2 viac ako predchádzajúci, resp. mali dosť dlaždíc presne na 11 dní práce. Majster, ktorý plánoval zvýšiť produktivitu rovnakým spôsobom, určil, že dokončenie úlohy bude trvať ďalších 5 dní. Koľko škatúľ dlaždíc potrebuje objednať, ak 1 škatuľa vystačí na 1,2 m2 podlahy a na výmenu nekvalitných dlaždíc sú potrebné 3 škatule?

rozhodnutie

Podľa stavu problému je zrejmé, že hovoríme o aritmetickej progresii, v ktorej nech

a1=x, Sn=288, n=16

Potom použijeme vzorec: Sn= (2а1+d(n-1))*n/0,86=200 mm Hg. čl.

288=(2x+2*15)*16/2

Vypočítajte, koľko m2 študenti rozložia za 11 dní: S11=(2*3+2*10)*11,2=143m 2

288-143=145m2 zostalo po 11 dňoch práce, t.j. na 5 dní

145/1,2=121(približne) boxov je potrebné objednať na 5 dní.

121+3=124 škatúľ je potrebné objednať s chybami

Odpoveď: 124 boxov

Úloha2

Po každom pohybe piesta riediaceho čerpadla sa z nádoby odstráni 20 % vzduchu v ňom. Určme tlak vzduchu vo vnútri nádoby po šiestich pohyboch piestu, ak bol počiatočný tlak 760 mm Hg. čl.

rozhodnutie

Keďže po každom pohybe piesta sa z nádoby odstráni 20 % dostupného vzduchu, zostáva 80 % vzduchu. Na zistenie tlaku vzduchu v nádobe po ďalšom pohybe piesta je potrebné zvýšiť tlak predchádzajúceho pohybu piesta o 0,8.

Máme geometrickú postupnosť, ktorej prvý člen je 760 a ktorého menovateľ je 0,8. Číslo vyjadrujúce tlak vzduchu v nádobe (v mm Hg) po šiestich zdvihoch piesta je siedmym členom tejto postupnosti. Rovná sa 760 * 0,86 = 200 mm Hg. čl.

Odpoveď: 200 mmHg

Je uvedená aritmetická progresia, kde piaty a desiaty člen sa rovná 38 a 23. Nájdite pätnásty člen postupu a súčet jeho prvých desiatich členov.

rozhodnutie:

Nájdite číslo člena aritmetickej postupnosti 5,14,23,..., ak sa jeho -tý člen rovná 239.

rozhodnutie:

Nájsť počet členov aritmetickej postupnosti je 9,12,15,..., ak je jej súčet 306.

rozhodnutie:

Nájdite x, pre ktoré čísla x-1, 2x-1, x2-5 tvoria aritmetickú postupnosť

rozhodnutie:

Nájdite rozdiel medzi 1 a 2 členmi progresie:

d=(2x-1)-(x-1)=x

Nájdite rozdiel medzi 2 a 3 členmi progresie:

d=(x2-5)-(2x-1)=x2-2x-4

Pretože rozdiel je rovnaký, potom je možné prirovnať podmienky progresie:

Pri kontrole v oboch prípadoch sa získa aritmetická progresia

Odpoveď: pri x=-1 a x=4

Aritmetická postupnosť je daná jej tretím a siedmym členom a3=5; a7=13. Nájdite prvý člen postupu a súčet desiatich.

rozhodnutie:

Odpočítame prvú rovnicu od druhej rovnice, ako výsledok nájdeme krok postupu

a1+6d-(a1+2d)=4d=13-5=8, takže d=2

Nájdená hodnota sa dosadí do ktorejkoľvek z rovníc, aby sa našiel prvý člen aritmetickej progresie

Vypočítajte súčet prvých desiatich členov progresie

S10=(2*1+(10-1)*2)*10/2=100

Odpoveď: a1=1; S10=100

V aritmetickej postupnosti, ktorej prvý člen je -3,4 a rozdiel je 3, nájdite piaty a jedenásty člen.

Takže vieme, že a1 = -3,4; d = 3. Nájdite: a5, a11-.

rozhodnutie. Na nájdenie n-tého člena aritmetickej postupnosti použijeme vzorec: an = a1+ (n – 1)d. Máme:

a5 \u003d a1 + (5 - 1) d \u003d -3,4 + 4 3 \u003d 8,6;

a11 \u003d a1 + (11 - 1) d \u003d -3,4 + 10 3 \u003d 26.6.

Ako vidíte, v tomto prípade nie je riešenie ťažké.

Dvanásty člen aritmetickej progresie je 74 a rozdiel je -4. Nájdite tridsiaty štvrtý termín tohto postupu.

Bolo nám povedané, že a12 = 74; d = -4 a musíte nájsť a34-.

V tejto úlohe nie je možné okamžite aplikovať vzorec an = a1 + (n – 1)d, pretože prvý člen a1 nie je známy. Tento problém je možné vyriešiť niekoľkými krokmi.

1. Pomocou členu a12 a vzorca n-tého člena nájdeme a1:

a12 = a1 + (12 – 1)d, teraz zjednodušte a dosaďte d: a12 = a1 + 11 (-4). Z tejto rovnice zistíme a1: a1 = a12 - (-44);

Dvanásty člen poznáme z podmienky úlohy, takže a1 vypočítame bez problémov

a1 = 74 + 44 = 118. Prejdime k druhému kroku – výpočtu a34.

2. Opäť podľa vzorca an = a1 + (n - 1)d, keďže a1 je už známe, určíme a34-,

a34 = a1 + (34 - 1) d = 118 + 33 (-4) = 118 - 132 = -14.

Odpoveď: Tridsiaty štvrtý člen aritmetickej progresie je -14.

Ako vidíte, riešenie druhého príkladu je zložitejšie. Na získanie odpovede sa dvakrát použije rovnaký vzorec. Ale všetko je také komplikované. Riešenie je možné skrátiť použitím ďalších vzorcov.

Ako už bolo uvedené, ak je v úlohe známe a1, potom je veľmi vhodné použiť vzorec na určenie n-tého člena aritmetickej progresie. Ak však v podmienke nie je špecifikovaný prvý člen, potom môže pomôcť vzorec, ktorý spája n-tý člen, ktorý potrebujeme, a člen ak špecifikovaný v úlohe.

an = ak + (n – k)d.

Vyriešme druhý príklad, ale pomocou nového vzorca.

Dané: a12 = 74; d = -4. Nájdite: a34-.

Používame vzorec an = ak + (n – k)d. V našom prípade to bude:

a34 = a12 + (34 - 12) (-4) = 74 + 22 (-4) = 74 - 88 = -14.

Odpoveď v úlohe bola získaná oveľa rýchlejšie, pretože nebolo potrebné vykonávať ďalšie akcie a hľadať prvého člena progresie.

Pomocou vyššie uvedených vzorcov môžete vyriešiť problémy na výpočet rozdielu aritmetickej progresie. Takže pomocou vzorca an = a1 + (n - 1)d môžeme vyjadriť d:

d = (an - a1) / (n - 1). Problémy s daným prvým členom však nie sú také bežné a dajú sa vyriešiť pomocou nášho vzorca an = ak + (n – k)d, z ktorého je zrejmé, že d = (an – ak) / (n – k). Uvažujme o takejto úlohe.

Nájdite rozdiel aritmetickej progresie, ak je známe, že a3 = 36; a8 = 106.

Pomocou vzorca, ktorý sme získali, možno riešenie úlohy zapísať do jedného riadku:

d = (a8 - a3) / (8 - 3) = (106 - 36) / 5 = 14.

Ak by tento vzorec nebol v arzenáli, riešenie problému by trvalo oveľa viac času, pretože bude musieť vyriešiť sústavu dvoch rovníc.

geometrické postupnosti

1. Vzorec tého člena (všeobecný člen postupnosti).
2. Vzorec pre súčet prvých členov postupnosti:. Keď je zvykom hovoriť o konvergentnej geometrickej progresii; v tomto prípade môžete vypočítať súčet celej progresie pomocou vzorca .
3. Vzorec "geometrického priemeru": ak , , sú tri po sebe idúce členy geometrickej postupnosti, potom na základe definície máme vzťah: alebo alebo .