modul alebo absolútna hodnota skutočné číslo sa nazýva samotné číslo, ak X je nezáporné a opačné číslo, t.j. -x ak X negatívne:

Samozrejme, ale podľa definície |x| > 0. Sú známe nasledujúce vlastnosti absolútnych hodnôt:

• 1) hu| = |dg| |r/1;
• 2> -H;

opri

• 3) |x+r/|
• 4) |dt-g/|

Diferenčný modul dvoch čísel X - a| je vzdialenosť medzi bodmi X a a na číselnej osi (pre ľubovoľné X a a).

Z toho vyplýva najmä to, že riešenia nerovnosti X - a 0) sú všetky body X interval (a- g, a + c), t.j. čísla vyhovujúce nerovnosti a-d + G.

Taký interval (a- 8, a+ d) sa nazýva 8-okolie bodu a.

Základné vlastnosti funkcií

Ako sme už uviedli, všetky veličiny v matematike sa delia na konštanty a premenné. Konštantná hodnota sa nazýva množstvo, ktoré si zachováva rovnakú hodnotu.

premenlivý je veličina, ktorá môže nadobúdať rôzne číselné hodnoty.

Definícia 10.8. premenlivý pri volal funkciu premennej x, ak podľa nejakého pravidla každá hodnota x e X priradená konkrétna hodnota pri EÚ; nezávislá premenná x sa zvyčajne nazýva argument a rozsah X jeho zmena sa nazýva rozsah funkcie.

Skutočnosť, že pri existuje funkcia otx, najčastejšie vyjadrená v symbolickom zápise: pri= /(x).

Existuje niekoľko spôsobov, ako definovať funkcie. Tri sa považujú za hlavné: analytické, tabuľkové a grafické.

Analytický spôsobom. Táto metóda spočíva v nastavení vzťahu medzi argumentom (nezávislou premennou) a funkciou vo forme vzorca (alebo vzorcov). Zvyčajne /(x) je nejaký analytický výraz obsahujúci x. V tomto prípade sa hovorí, že funkcia je definovaná vzorcom, napr. pri= 2x + 1, pri= tgx atď.

Tabuľkový spôsob, ako definovať funkciu, je, že funkcia je definovaná tabuľkou obsahujúcou hodnoty argumentu x a zodpovedajúce hodnoty funkcie f(.r). Príkladom sú tabuľky počtu trestných činov za určité obdobie, tabuľky experimentálnych meraní, tabuľka logaritmov.

Grafický spôsobom. Nech je na rovine daný systém kartézskych pravouhlých súradníc ahoj Geometrická interpretácia funkcie je založená na nasledujúcom.

Definícia 10.9. harmonogram funkcia sa nazýva ťažisko bodov roviny, súradnice (x, y) ktoré spĺňajú podmienku: w-ah).

O funkcii sa hovorí, že je zadaná graficky, ak je nakreslený jej graf. Grafická metóda je široko používaná pri experimentálnych meraniach pomocou samozáznamových zariadení.

Ak máte pred očami vizuálny graf funkcií, nie je ťažké predstaviť si mnohé z jeho vlastností, vďaka čomu je graf nevyhnutným nástrojom na štúdium funkcie. Preto je vykreslenie najdôležitejšou (zvyčajne konečnou) časťou štúdie funkcie.

Každá metóda má svoje výhody aj nevýhody. Takže výhody grafickej metódy zahŕňajú jej viditeľnosť, nevýhody - jej nepresnosť a obmedzenú prezentáciu.

Prejdime teraz k úvahe o hlavných vlastnostiach funkcií.

Párne a nepárne. Funkcia y = f(x) volal dokonca, ak pre nejaké X kondícia f(-x) = f(x). Ak pre X z definičného oboru je splnená podmienka f(-x) = -/(x), potom sa volá funkcia zvláštny. Funkcia, ktorá nie je párna alebo nepárna, sa nazýva funkcia všeobecný pohľad.

• 1) y = x 2 je rovnomerná funkcia, keďže f(-x) = (-x) 2 = x 2, t.j./(-x) =/(.r);
• 2) y= x 3 - nepárna funkcia, pretože (-x) 3 \u003d -x 3, t.s. /(-x) = -/(x);
• 3) y= x 2 + x je všeobecná funkcia. Tu / (x) \u003d x 2 + x, / (-x) \u003d (-x) 2 +
• (-x) \u003d x 2 - x, / (-x) * / (x); / (-x) - / "/ (-x).

Graf párnej funkcie je symetrický okolo osi oh, a graf nepárnej funkcie je symetrický vzhľadom na počiatok.

Monotónne. Funkcia pri=/(x) sa volá zvyšujúci sa medzi X, ak pre ľubovoľné x, x 2 e X z nerovnosti x 2 > x vyplýva / (x 2) > / (x,). Funkcia pri=/(x) sa volá ubúdajúce, ak z x 2 > x, vyplýva / (x 2) (x,).

Funkcia sa volá monotónna medzi X, ak sa buď zvýši počas celého tohto intervalu, alebo sa počas neho zníži.

Napríklad funkcia y= x 2 sa zníži o (-°°; 0) a zvýši o (0; +°°).

Všimnite si, že sme uviedli definíciu monotónnej funkcie v užšom zmysle slova. Vo všeobecnosti medzi monotónne funkcie patria neklesajúce funkcie, t.j. tie, pre ktoré z x 2 > x, vyplýva / (x 2) > / (x,), a nerastúce funkcie, t.j. tie, pre ktoré z x 2 > x vyplýva / (x 2)

Obmedzenie. Funkcia pri=/(x) sa volá obmedzené medzi X, ak existuje také číslo M > 0 tak, že |/(x)| M pre ľubovoľné x e X.

Napríklad funkcia pri =-

ohraničené na celom číselnom rade, tzv

Periodicita. Funkcia pri = f(x) volal periodikum ak existuje také číslo T^ Ach čo f(x + T = f(x) pre všetkých X z rozsahu funkcie.

V tomto prípade T sa nazýva perióda funkcie. Očividne ak T - funkčné obdobie y = f(x), potom periódy tejto funkcie sú tiež 2T, 3 T atď. Preto je zvyčajne perióda funkcie najmenšou kladnou periódou (ak existuje). Napríklad funkcie / = cos.r majú bodku T= 2P, a funkciu y= tg Zx - obdobie p/3.

Tvoj cieľ:

jasne poznať definíciu modulu reálneho čísla;

rozumieť geometrickej interpretácii modulu reálneho čísla a vedieť ju aplikovať pri riešení úloh;

poznať vlastnosti modulu a vedieť sa uplatniť pri riešení problémov;

vedieť pochopiť vzdialenosť medzi dvoma bodmi súradnicovej priamky a vedieť ju využiť pri riešení problémov.

vstupné informácie

Pojem modulu reálneho čísla. Modul reálneho čísla sa nazýva samotné toto číslo, ak , a číslo opačné k nemu, ak< 0.

Modul čísla sa označí a zapíše:

Geometrická interpretácia modulu . Geometricky modul reálneho čísla je vzdialenosť od bodu reprezentujúceho dané číslo na súradnici k počiatku.

Riešenie rovníc a nerovníc modulmi na základe geometrického významu modulu. Pomocou konceptu "vzdialenosti medzi dvoma bodmi súradnicovej čiary" je možné riešiť rovnice tvaru alebo nerovnice tvaru , kde namiesto znamienka môže byť ktorékoľvek zo znamienok .

Príklad. Poďme vyriešiť rovnicu.

rozhodnutie. Preformulujme problém geometricky. Keďže je vzdialenosť na súradnicovej čiare medzi bodmi so súradnicami a , znamená to, že je potrebné nájsť súradnice takýchto bodov, pričom vzdialenosť, od ktorej k bodom so súradnicou 1 je rovná 2.

Stručne povedané, na súradnicovej čiare nájdite množinu súradníc bodov, ktorých vzdialenosť k bodu so súradnicou 1 sa rovná 2.

Poďme vyriešiť tento problém. Na súradnicovej čiare označíme bod, ktorého súradnica sa rovná 1 (obr. 6). Body, ktorých súradnice sú rovné -1 a 3, sú od tohto bodu vzdialené o dve jednotky. je množina pozostávajúca z čísel -1 a 3.

Odpoveď: -1; 3.

Ako nájsť vzdialenosť medzi dvoma bodmi na súradnicovej čiare. Číslo vyjadrujúce vzdialenosť medzi bodmi a , nazval vzdialenosť medzi číslami a .

Pre ľubovoľné dva body a súradnicovú čiaru vzdialenosť

.

Základné vlastnosti modulu reálneho čísla:

3. ;

7. ;

8. ;

9. ;

Keď máme:

11. potom len keď alebo ;

12. vtedy len keď ;

13. potom len keď alebo ;

14. vtedy len keď ;

11. potom len keď .

Praktická časť

Cvičenie 1. Vezmite si čistý papier a napíšte si naň odpovede na tieto ústne cvičenia uvedené nižšie.

Skontrolujte svoje odpovede pomocou odpovedí alebo krátkych pokynov umiestnených na konci vzdelávacieho prvku pod nadpisom „Váš pomocník“.

1. Rozbaliť znak modulu:

a) |–5|; b) |5|; c) |0|; d) |p|.

2. Porovnajte čísla:

a) || a -; c) |0| a 0; e) – |–3| a -3; g) –4| a| a 0;

b) |–p| a p; d) |–7,3| a -7,3; f) | a| a 0; h) 2| a| a |2 a|.

3. Ako pomocou znamienka modulu napísať, že aspoň jedno z čísel a, b alebo s odlišný od nuly?

4. Ako použiť znamienko rovnosti na napísanie každého z čísel a, b a s rovná nule?

5. Nájdite hodnotu výrazu:

a) | a| – a; b) a + |a|.

6. Vyriešte rovnicu:

a) | X| = 3; c) | X| = -2; e) |2 X– 5| = 0;

b) | X| = 0; d) | X– 3| = 4; f) |3 X– 7| = – 9.

7. Čo sa dá povedať o číslach X a pri, ak:

a) | X| = X; b) | X| = –X; c) | X| = |pri|?

8. Vyriešte rovnicu:

a) | X– 2| = X– 2; c) | X– 3| =|7 – X|;

b) | X– 2| = 2 – X; d) | X– 5| =|X– 6|.

9. Čo sa dá povedať o čísle pri ak platí rovnosť:

a) i Xï = pri; b) i Xï = – pri ?

10. Vyriešte nerovnosť:

a) | X| > X; c) | X| > –X; e) | X| £ X;

b) | X| ³ X; d) | X| ³ – X; f) | X| £ – X.

11. Uveďte všetky hodnoty a, pre ktoré platí rovnosť:

a) | a| = a; b) | a| = –a; v) a – |–a| =0; d) | a|a= -1; e) = 1.

12. Nájdite všetky hodnoty b, pre ktorú platí nasledujúca nerovnosť:

a) | b| ³ 1; b) | b| < 1; в) |b| 0 £; d) | b| ³ 0; e) 1< |b| < 2.

Možno ste sa na hodinách matematiky stretli s niektorými z nasledujúcich úloh. Rozhodnite sa, ktorú z nasledujúcich úloh musíte splniť. V prípade ťažkostí si pozrite časť „Váš asistent“, kde nájdete radu od učiteľa alebo pomoc od priateľa.

Úloha 2. Na základe definície modulu reálneho čísla vyriešte rovnicu:

Úloha 4. Vzdialenosť medzi bodkami predstavujúcimi reálne čísla α a β na súradnicovej čiare sa rovná | α – β |. Použite to na vyriešenie rovnice.

V škole každý rok na hodine matematiky žiaci analyzujú nové témy. V 6. ročníku sa zvyčajne študuje modul čísla – ide o dôležitý pojem v matematike, s ktorým sa neskôr pracuje v algebre a vyššej matematike. Pre úspešné absolvovanie iných tém je veľmi dôležité spočiatku správne pochopiť vysvetlenie pojmu a pochopiť túto tému.

Na začiatok treba chápať, že absolútna hodnota je parameter v štatistike (meraný kvantitatívne), ktorý charakterizuje skúmaný jav z hľadiska jeho objemu. V tomto prípade sa jav musí uskutočniť v určitom časovom rámci a s určitým umiestnením. Rozlišujte hodnoty:

• zhrnutie - vhodné pre skupinu jednotiek alebo celú populáciu;
• jednotlivec - vhodný len na prácu s jednotkou určitej populácie.

Pojmy sú široko používané v štatistických meraniach, ktorých výsledkom sú ukazovatele charakterizujúce absolútne rozmery každej jednotky určitého javu. Meria sa v dvoch ukazovateľoch: prirodzený, t.j. fyzikálne jednotky (kusy, osoby) a podmienene prirodzené. Modul v matematike je zobrazením týchto ukazovateľov.

Aký je modul čísla?

Dôležité! Táto definícia "modulu" je preložená z latinčiny ako "miera" a znamená absolútnu hodnotu akéhokoľvek prirodzeného čísla.

Ale tento koncept má aj geometrické vysvetlenie, pretože modul v geometrii sa rovná vzdialenosti od začiatku súradnicového systému k bodu X, ktorá sa meria v obvyklých jednotkách merania.

Na určenie tohto ukazovateľa pre číslo by sa nemalo brať do úvahy jeho znamienko (mínus, plus), ale treba si uvedomiť, že nikdy nemôže byť záporné. Táto hodnota na papieri je graficky zvýraznená vo forme hranatých zátvoriek - |a|. V tomto prípade je matematická definícia:

|x| = x, ak x je väčšie alebo rovné nule a -x, ak je menšie ako nula.

Anglický vedec R. Kotes bol osobou, ktorá prvýkrát aplikovala tento koncept v matematických výpočtoch. Ale K. Weierstrass, matematik z Nemecka, vynašiel a dal do používania grafický symbol.

V geometrii modulu môžeme uvažovať o príklade súradnicovej čiary, na ktorej sú vynesené 2 ľubovoľné body. Predpokladajme, že jedna - A má hodnotu 5 a druhá B - 6. Pri podrobnom preštudovaní výkresu bude zrejmé, že vzdialenosť od A do B je 5 jednotiek od nuly, t.j. a bod B sa nachádza 6 jednotiek od počiatku. Môžeme dospieť k záveru, že body modulu, A = 5, a body B = 6. Graficky to možno označiť takto: | 5 | = 5. To znamená, že vzdialenosť od bodu k začiatku je modul daného bodu.

Užitočné video: aký je modul reálneho čísla?

Vlastnosti

Ako každý matematický koncept, modul má svoje vlastné matematické vlastnosti:

1. Je vždy kladná, takže modul kladnej hodnoty je sám osebe, napríklad modul 6 a -6 je 6. Matematicky možno túto vlastnosť zapísať ako |a| = a, pre a> 0;
2. Indikátory opačných čísel sa navzájom rovnajú. Táto vlastnosť je jasnejšia v geometrickom zobrazení, pretože na priamke sú tieto čísla umiestnené na rôznych miestach, ale zároveň sú oddelené od začiatku rovnakým počtom jednotiek. Matematicky je to napísané takto: |a| = |-a|;
3. Modul nuly je nula za predpokladu, že skutočné číslo je nula. Túto vlastnosť podporuje fakt, že nula je počiatok. Graficky je to zapísané takto: |0| = 0;
4. Ak chcete nájsť modul dvoch násobiacich sa číslic, mali by ste pochopiť, že sa bude rovnať výslednému produktu. Inými slovami, súčin veličín A a B = AB za predpokladu, že sú kladné alebo záporné, a potom sa súčin rovná -AB. Graficky to možno zapísať ako |A*B| = |A| * |B|.

Úspešné riešenie rovníc s modulom závisí od znalosti týchto vlastností, ktoré každému pomôžu správne vypočítať a pracovať s týmto ukazovateľom.

Vlastnosti modulu

Dôležité! Exponent nemôže byť záporný, pretože určuje vzdialenosť, ktorá je vždy kladná.

V rovniciach

V prípade práce a riešenia matematických nerovností, v ktorých sa modul nachádza, je vždy potrebné pamätať na to, že pre získanie konečného správneho výsledku by ste mali otvárať zátvorky, t.j. otvorený modul znamenia . Toto je často význam rovnice.

Stojí za to pripomenúť, že:

• ak je výraz napísaný v hranatých zátvorkách, musí byť vyriešený: |A + 5| \u003d A + 5, keď A je väčšie alebo rovné nule a 5-A, v prípade A menšie ako nula;
• hranaté zátvorky by sa najčastejšie mali rozširovať bez ohľadu na hodnoty premennej, napríklad ak je výraz v štvorci uzavretý v zátvorkách, pretože rozšírenie bude aj tak kladné číslo.

Je veľmi ľahké riešiť rovnice pomocou modulu zadaním hodnôt do súradnicového systému, pretože potom je ľahké vizuálne vidieť hodnoty a ich ukazovatele.

Užitočné video: modul reálneho čísla a jeho vlastnosti

Záver

Princíp chápania takéhoto matematického pojmu ako modulu je mimoriadne dôležitý, keďže sa používa vo vyššej matematike a iných vedách, takže s ním treba vedieť pracovať.

V kontakte s

V tomto článku budeme podrobne analyzovať absolútna hodnota čísla. Uvedieme rôzne definície modulu čísla, zavedieme notáciu a uvedieme grafické ilustrácie. V tomto prípade uvažujeme o rôznych príkladoch hľadania modulu čísla podľa definície. Potom uvádzame a zdôvodňujeme hlavné vlastnosti modulu. Na konci článku si povieme, ako sa určuje a zisťuje modul komplexného čísla.

Navigácia na stránke.

Modul počtu - definícia, zápis a príklady

Najprv sa predstavíme označenie modulu. Modul čísla a budeme písať ako , to znamená, že naľavo a napravo od čísla umiestnime zvislé čiary, ktoré tvoria znamienko modulu. Uveďme pár príkladov. Napríklad modulo -7 možno zapísať ako ; modul 4 125 je zapísaný ako a modul je zapísaný ako .

Nasledujúca definícia modulu sa vzťahuje na, a teda, na celé čísla a na racionálne a iracionálne čísla, ako na jednotlivé časti množiny reálnych čísel. Budeme hovoriť o module komplexného čísla v.

Definícia.

Modul a je buď samotné číslo a, ak a je kladné číslo, alebo číslo −a, opak čísla a, ak a je záporné číslo, alebo 0, ak a=0.

Vyslovená definícia modulu čísla sa často píše v nasledujúcom tvare , tento zápis znamená, že ak a>0 , ak a=0 a ak a<0 .

Záznam môže byť reprezentovaný v kompaktnejšej forme . Tento zápis znamená, že ak (a je väčšie alebo rovné 0 ), a ak a<0 .

Existuje aj záznam . Tu by mal byť prípad, keď a=0 vysvetlený samostatne. V tomto prípade máme , ale −0 = 0 , pretože nula sa považuje za číslo, ktoré je opačné.

Poďme priniesť príklady hľadania modulu čísla s danou definíciou. Napríklad nájdime moduly s číslami 15 a . Začnime hľadaním. Keďže číslo 15 je kladné, jeho modul sa podľa definície rovná tomuto samotnému číslu, teda . Aký je modul čísla? Keďže je záporné číslo, potom sa jeho modul rovná číslu opačnému k číslu, teda číslu . Teda, .

Na záver tohto odseku uvádzame jeden záver, ktorý je veľmi vhodné aplikovať v praxi pri hľadaní modulu čísla. Z definície modulu čísla vyplýva, že modul čísla sa rovná číslu pod znamienkom modulu bez ohľadu na jeho znamienko a z vyššie uvedených príkladov je to veľmi jasne viditeľné. Vyjadrené vyhlásenie vysvetľuje, prečo sa modul čísla tiež nazýva absolútna hodnota čísla. Takže modul čísla a absolútna hodnota čísla sú jedno a to isté.

Modul čísla ako vzdialenosť

Geometricky možno modul čísla interpretovať ako vzdialenosť. Poďme priniesť určenie modulu čísla z hľadiska vzdialenosti.

Definícia.

Modul a je vzdialenosť od začiatku na súradnicovej čiare k bodu zodpovedajúcemu číslu a.

Táto definícia je v súlade s definíciou modulu čísla uvedenou v prvom odseku. Vysvetlime si tento bod. Vzdialenosť od začiatku k bodu zodpovedajúcemu kladnému číslu sa rovná tomuto číslu. Nula zodpovedá počiatku, takže vzdialenosť od počiatku k bodu so súradnicou 0 je nula (žiaden jednotlivý segment a žiadny segment, ktorý tvorí zlomok segmentu jednotky, nie je potrebné odložiť, aby ste sa dostali z bodu O do bodu so súradnicou 0). Vzdialenosť od začiatku k bodu so zápornou súradnicou sa rovná číslu opačnému k súradnici daného bodu, pretože sa rovná vzdialenosti od začiatku k bodu, ktorého súradnica je opačné číslo.

Napríklad modul čísla 9 je 9, pretože vzdialenosť od začiatku k bodu so súradnicou 9 je deväť. Uveďme si ďalší príklad. Bod so súradnicou −3,25 je od bodu O vo vzdialenosti 3,25, tzn .

Znela definícia modulu čísla je špeciálnym prípadom definovania modulu rozdielu dvoch čísel.

Definícia.

Diferenčný modul dvoch čísel a a b sa rovná vzdialenosti medzi bodmi súradnicovej čiary so súradnicami a a b .

To znamená, že ak sú uvedené body na súradnicovej čiare A(a) a B(b), potom sa vzdialenosť z bodu A do bodu B rovná modulu rozdielu medzi číslami a a b. Ak zoberieme bod O (referenčný bod) ako bod B, tak dostaneme definíciu modulu čísla uvedeného na začiatku tohto odseku.

Určenie modulu čísla pomocou aritmetickej druhej odmocniny

Niekedy nájdené stanovenie modulu pomocou aritmetickej druhej odmocniny.

Napríklad vypočítajme moduly čísel −30 a na základe tejto definície. Máme . Podobne vypočítame modul dvoch tretín: .

Definícia modulu čísla z hľadiska aritmetickej druhej odmocniny je tiež v súlade s definíciou uvedenou v prvom odseku tohto článku. Ukážme to. Nech a je kladné číslo a nech −a je záporné. Potom a , ak a=0 , potom .

Vlastnosti modulu

Modul má množstvo charakteristických výsledkov - vlastnosti modulu. Teraz uvedieme hlavné a najčastejšie používané z nich. Pri zdôvodňovaní týchto vlastností sa budeme opierať o definíciu modulu čísla z hľadiska vzdialenosti.

Začnime najzrejmejšou vlastnosťou modulu − modul čísla nemôže byť záporné číslo. V doslovnom tvare má táto vlastnosť tvar pre ľubovoľné číslo a . Táto vlastnosť sa dá veľmi ľahko zdôvodniť: modul čísla je vzdialenosť a vzdialenosť nemôže byť vyjadrená ako záporné číslo.

Prejdime k ďalšej vlastnosti modulu. Modul čísla sa rovná nule práve vtedy, ak je toto číslo nula. Modul nuly je podľa definície nulový. Nula zodpovedá začiatku, žiadny iný bod na súradnicovej línii nezodpovedá nule, pretože každé reálne číslo je spojené s jedným bodom na súradnicovej línii. Z rovnakého dôvodu každé číslo iné ako nula zodpovedá inému bodu, ako je počiatok. A vzdialenosť od začiatku k akémukoľvek inému bodu ako k bodu O sa nerovná nule, pretože vzdialenosť medzi dvoma bodmi sa rovná nule vtedy a len vtedy, ak sa tieto body zhodujú. Vyššie uvedená úvaha dokazuje, že iba nulový modul sa rovná nule.

Pohni sa. Opačné čísla majú rovnaké moduly, to znamená pre ľubovoľné číslo a . V skutočnosti dva body na súradnicovej čiare, ktorých súradnice sú opačné čísla, sú v rovnakej vzdialenosti od začiatku, čo znamená, že moduly opačných čísel sú rovnaké.

Ďalšia vlastnosť modulu je: modul súčinu dvoch čísel sa rovná súčinu modulov týchto čísel, t.j. Podľa definície je modul súčinu čísel a a b buď a b, ak , alebo −(a b) ak . Z pravidiel násobenia reálnych čísel vyplýva, že súčin modulov čísel a a b sa rovná buď a b , , alebo −(a b) , ak , čo dokazuje uvažovanú vlastnosť.

Modul podielu delenia a číslom b sa rovná podielu delenia modulu a modulom b, t.j. Zdôvodnime túto vlastnosť modulu. Keďže kvocient sa rovná súčinu, potom . Na základe predchádzajúcej vlastnosti máme . Zostáva len použiť rovnosť , ktorá je platná vďaka definícii modulu čísla.

Nasledujúca vlastnosť modulu je zapísaná ako nerovnosť: , a , b a c sú ľubovoľné reálne čísla. Napísaná nerovnosť nie je nič iné ako trojuholníková nerovnosť. Aby to bolo jasné, zoberme si body A(a) , B(b) , C(c) na súradnicovej priamke a uvažujme degenerovaný trojuholník ABC, ktorého vrcholy ležia na tej istej priamke. Podľa definície sa modul rozdielu rovná dĺžke segmentu AB, - dĺžke segmentu AC a - dĺžke segmentu CB. Keďže dĺžka žiadnej strany trojuholníka nepresahuje súčet dĺžok ostatných dvoch strán, nerovnosť , teda platí aj nerovnosť.

Práve preukázaná nerovnosť je oveľa bežnejšia vo forme . Zapísaná nerovnosť sa zvyčajne považuje za samostatnú vlastnosť modulu s formuláciou: „ Modul súčtu dvoch čísel nepresahuje súčet modulov týchto čísel". Ale nerovnosť priamo vyplýva z nerovnosti , ak do nej vložíme −b namiesto b a vezmeme c=0 .

Modul komplexného čísla

Dajme si stanovenie modulu komplexného čísla. Nech nám je dané komplexné číslo, napísané v algebraickom tvare , kde x a y sú nejaké reálne čísla, ktoré reprezentujú reálnu a imaginárnu časť daného komplexného čísla z a je imaginárnou jednotkou.

Najprv definujeme znamienko výrazu pod znamienkom modulu a potom modul rozbalíme:

• ak je hodnota výrazu väčšia ako nula, potom ho jednoducho vyberieme pod znakom modulu,
• ak je výraz menší ako nula, vyberieme ho spod znamienka modulu, pričom zmeníme znamienko, ako sme to urobili skôr v príkladoch.

No, skúsime? Poďme odhadnúť:

(Zabudol, opakuj.)

Ak áno, aké je to znamenie? No, samozrejme,!

A preto odhalíme znamienko modulu zmenou znamienka výrazu:

Mám to? Potom to skúste sami:

odpovede:

Aké ďalšie vlastnosti má modul?

Ak potrebujeme vynásobiť čísla vnútri znamienka modulo, pokojne môžeme vynásobiť modul týchto čísel!!!

Z matematického hľadiska modul súčinu čísel sa rovná súčinu modulov týchto čísel.

Napríklad:

Čo ak však potrebujeme rozdeliť dve čísla (výrazy) pod znak modulo?

Áno, rovnako ako pri násobení! Rozdeľme to na dve samostatné čísla (výrazy) pod znakom modulu:

za predpokladu, že (keďže nemôžete deliť nulou).

Stojí za to pamätať ešte jednu vlastnosť modulu:

Modul súčtu čísel je vždy menší alebo rovný súčtu modulov týchto čísel:

prečo je to tak? Všetko je veľmi jednoduché!

Ako si pamätáme, modul je vždy kladný. Ale pod znakom modulu môže byť akékoľvek číslo: kladné aj záporné. Predpokladajme, že čísla a sú obe kladné. Potom sa ľavý výraz bude rovnať pravému výrazu.

Pozrime sa na príklad:

Ak je pod znamienkom modulu jedno číslo záporné a druhé kladné, ľavý výraz bude vždy menší ako pravý:

Zdá sa, že s touto vlastnosťou je všetko jasné, zvážme niekoľko ďalších užitočných vlastností modulu.

Čo ak máme tento výraz:

Čo môžeme urobiť s týmto výrazom? Nepoznáme hodnotu x, ale už vieme čo, čo znamená.

Číslo je väčšie ako nula, čo znamená, že môžete jednoducho napísať:

Tak sme sa dostali k ďalšej nehnuteľnosti, ktorá môže byť vo všeobecnosti reprezentovaná takto:

Aký je význam tohto výrazu:

Musíme teda definovať znak pod modulom. Je potrebné tu definovať znak?

Samozrejme nie, ak si pamätáte, že každé druhé číslo je vždy väčšie ako nula! Ak si nepamätáte, pozrite si tému. a čo sa stane? A tu je čo:

Je to skvelé, však? Celkom pohodlné. Teraz konkrétny príklad:

Prečo pochybovať? Konajme odvážne!

Rozumeli ste všetkému? Potom pokračujte a cvičte na príkladoch!

1. Nájdite hodnotu výrazu if.

2. Akým číslam sa modul rovná?

3. Nájdite význam výrazov:

Ak ešte nie je všetko jasné a existujú ťažkosti pri rozhodovaní, poďme na to:

Riešenie 1:

Takže nahraďme hodnoty vo výraze

Riešenie 2:

Ako si pamätáme, opačné čísla sú modulo rovnaké. To znamená, že hodnota modulu sa rovná dvom číslam: a.

Riešenie 3:

a)
b)
v)
G)

Stihli ste všetko? Potom je čas prejsť na niečo zložitejšie!

Skúsme výraz zjednodušiť

rozhodnutie:

Pamätáme si teda, že hodnota modulu nemôže byť menšia ako nula. Ak je číslo pod znamienkom modulu kladné, potom môžeme znamienko jednoducho zahodiť: modul čísla sa bude rovnať tomuto číslu.

Ale ak je pod znamienkom modulu záporné číslo, potom sa hodnota modulu rovná opačnému číslu (to znamená číslu so znamienkom „-“).

Aby ste našli modul akéhokoľvek výrazu, musíte najprv zistiť, či má kladnú alebo zápornú hodnotu.

Ukázalo sa, že hodnota prvého výrazu pod modulom.

Preto je výraz pod znamienkom modulu záporný. Druhý výraz pod znamienkom modulu je vždy kladný, pretože sčítavame dve kladné čísla.

Takže hodnota prvého výrazu pod znamienkom modulu je záporná, druhá je kladná:

To znamená, že pri rozširovaní znamienka modulu prvého výrazu musíme tento výraz brať so znamienkom „-“. Páči sa ti to:

V druhom prípade jednoducho vypustíme znamienko modulo:

Zjednodušme tento výraz v celom rozsahu:

Modul čísla a jeho vlastnosti (presné definície a dôkazy)

Definícia:

Modul (absolútna hodnota) čísla je samotné číslo, ak a číslo, ak:

Napríklad:

Príklad:

Zjednodušte výraz.

rozhodnutie:

Základné vlastnosti modulu

Pre všetkých:

Príklad:

Dokážte vlastnosť #5.

dôkaz:

Predpokladajme, že existujú

Odmocnime ľavú a pravú časť nerovnosti (to je možné urobiť, pretože obe časti nerovnosti sú vždy nezáporné):

a to je v rozpore s definíciou modulu.

V dôsledku toho žiadne také neexistujú, čo znamená, že pri všetkej nerovnosti

Príklady pre nezávislé riešenie:

1) Dokážte vlastnosť #6.

2) Zjednodušte výraz.

odpovede:

1) Použime vlastnosť č. 3: , a odvtedy

Pre zjednodušenie je potrebné moduly rozšíriť. A na rozšírenie modulov musíte zistiť, či sú výrazy pod modulom pozitívne alebo negatívne?

a. Porovnajme čísla a:

b. Teraz porovnajme:

Sčítame hodnoty modulov:

Absolútna hodnota čísla. Stručne o hlavnej veci.

Modul (absolútna hodnota) čísla je samotné číslo, ak a číslo, ak:

Vlastnosti modulu:

1. Modul čísla je nezáporné číslo: ;
2. Moduly opačných čísel sú rovnaké: ;
3. Modul súčinu dvoch (alebo viacerých) čísel sa rovná súčinu ich modulov: ;
4. Modul podielu dvoch čísel sa rovná podielu ich modulov: ;
5. Modul súčtu čísel je vždy menší alebo rovný súčtu modulov týchto čísel: ;
6. Konštantný kladný faktor možno odobrať zo znamienka modulu: at;