zarovnať=stred>

Trigonometria- mikrorez matematiky, ktorý študuje vzťah medzi uhlami a dĺžkami strán trojuholníkov, ako aj algebraické identity goniometrických funkcií.
Existuje mnoho oblastí, kde sa používajú trigonometria a goniometrické funkcie. Trigonometria alebo trigonometrické funkcie sa využívajú v astronómii, námornej a leteckej navigácii, akustike, optike, elektronike, architektúre a iných odboroch.

História vzniku trigonometrie

História trigonometrie, ako vedy o vzťahoch medzi uhlami a stranami trojuholníka a inými geometrickými útvarmi, zahŕňa viac ako dve tisícročia. Väčšinu týchto vzťahov nemožno vyjadriť pomocou bežných algebraických operácií, a preto bolo potrebné zaviesť špeciálne goniometrické funkcie, pôvodne prezentované vo forme číselných tabuliek.
Historici veria, že trigonometriu vytvorili starí astronómovia a o niečo neskôr sa začala používať v architektúre. Postupom času sa záber trigonometrie neustále rozširoval, dnes zahŕňa takmer všetky prírodné vedy, techniku ​​a množstvo ďalších oblastí činnosti.

Rané storočia

Z babylonskej matematiky sme zvyknutí merať uhly v stupňoch, minútach a sekundách (zavedenie týchto jednotiek do starogréckej matematiky sa zvyčajne pripisuje 2. storočiu pred Kristom).

Hlavným úspechom tohto obdobia bol pomer nôh a prepony v pravouhlom trojuholníku, neskôr nazývaný Pytagorova veta.

Staroveké Grécko

V starovekej gréckej geometrii sa objavila všeobecná a logicky súvislá prezentácia goniometrických vzťahov. Grécki matematici ešte trigonometriu ako samostatnú vedu nevyčlenili, bola pre nich súčasťou astronómie.
Hlavným úspechom starovekej trigonometrickej teórie bolo riešenie vo všeobecnej forme problému „riešenia trojuholníkov“, teda nájdenia neznámych prvkov trojuholníka na základe troch jeho daných prvkov (z ktorých aspoň jeden je strana).
Aplikované goniometrické úlohy sú veľmi rôznorodé – dajú sa nastaviť napríklad merateľné výsledky operácií na uvedených veličinách (napríklad súčet uhlov alebo pomer dĺžok strán).
Súbežne s rozvojom rovinnej trigonometrie Gréci pod vplyvom astronómie ďaleko pokročili v sférickej trigonometrii. V Euklidových „Princípoch“ na túto tému je len teorém o pomere objemov guľôčok rôznych priemerov, no potreby astronómie a kartografie spôsobili prudký rozvoj sférickej trigonometrie a príbuzných oblastí – nebeského súradnicového systému, tzv. teória kartografických projekcií a technológia astronomických prístrojov.

Stredovek

V štvrtom storočí, po smrti starovekej vedy, sa centrum rozvoja matematiky presťahovalo do Indie. Zmenili niektoré koncepty trigonometrie a priblížili ich k moderným: napríklad ako prví zaviedli kosínus.

Prvým špecializovaným pojednaním o trigonometrii bola práca stredoázijského vedca (X-XI. storočie) „Kniha kľúčov vedy o astronómii“ (995-996). Celý kurz trigonometrie obsahoval hlavné dielo Al-Biruniho – „Kánon Mas'ud“ (Kniha III). Okrem tabuliek sínusov (s krokom 15") dal Al-Biruni tabuľky dotyčníc (s krokom 1°).

Po preložení arabských traktátov do latinčiny v XII-XIII storočia sa mnohé myšlienky indických a perzských matematikov stali majetkom európskej vedy. K prvému zoznámeniu Európanov s trigonometriou došlo zrejme vďaka zij, ktorého dva preklady vznikli v 12. storočí.

Prvá európska práca venovaná výlučne trigonometrii sa často nazýva Štyri pojednania o priamych a obrátených akordoch od anglického astronóma Richarda z Wallingfordu (okolo roku 1320). Trigonometrické tabuľky, často prekladané z arabčiny, ale niekedy originálne, sú obsiahnuté v dielach mnohých iných autorov 14.-15. Potom trigonometria zaujala miesto medzi univerzitnými kurzami.

nový čas

Rozvoj trigonometrie v modernej dobe sa stal mimoriadne dôležitým nielen pre astronómiu a astrológiu, ale aj pre ďalšie aplikácie, predovšetkým delostrelectvo, optiku a navigáciu pri námorných plavbách na veľké vzdialenosti. Preto sa po 16. storočí touto témou zaoberali mnohí významní vedci, medzi nimi Mikuláš Kopernik, Johannes Kepler, Francois Viet. Kopernik venoval trigonometrii dve kapitoly vo svojom pojednaní O revolúciách nebeských sfér (1543). Čoskoro (1551) sa objavili 15-miestne trigonometrické tabuľky Rhetica, študenta Koperníka. Kepler publikoval Optical Astronomy (1604).

Vieta v prvej časti svojho „Matematického kánonu“ (1579) umiestnil rôzne tabuľky vrátane trigonometrických a v druhej časti podal podrobnú a systematickú, aj keď bez dôkazu, prezentáciu rovinnej a sférickej trigonometrie. V roku 1593 Vieta pripravila rozšírené vydanie tohto stoličného diela.
Vďaka práci Albrechta Dürera sa zrodila sínusoida.

18. storočie

Trigonometrii dal moderný vzhľad. V Úvode do analýzy nekonečna (1748) dal Euler definíciu goniometrických funkcií ekvivalentných modernej a podľa toho definoval inverzné funkcie.

Euler považoval za prípustné negatívne uhly a uhly väčšie ako 360°, čo umožnilo určiť goniometrické funkcie na celej reálnej číselnej osi a následne ich rozšíriť do komplexnej roviny. Keď vyvstala otázka rozšírenia goniometrických funkcií na tupé uhly, znamienka týchto funkcií pred Eulerom boli často nesprávne zvolené; mnohí matematici považovali napríklad kosínus a tangens tupého uhla za kladné. Euler určil tieto znamienka pre uhly v rôznych súradnicových kvadrantoch na základe redukčných vzorcov.
Euler neštudoval všeobecnú teóriu trigonometrických radov a neskúmal konvergenciu získaných radov, ale získal niekoľko dôležitých výsledkov. Najmä odvodil expanzie celočíselných mocnín sínusu a kosínusu.

Aplikácia trigonometrie

Tí, ktorí tvrdia, že trigonometria v reálnom živote nie je potrebná, majú svojím spôsobom pravdu. Aké sú jeho bežné aplikované úlohy? Zmerajte vzdialenosť medzi neprístupnými predmetmi.
Veľký význam má technika triangulácie, ktorá umožňuje merať vzdialenosti k blízkym hviezdam v astronómii, medzi orientačnými bodmi v geografii a ovládať satelitné navigačné systémy. Za zmienku stojí aj aplikácia trigonometrie v takých oblastiach, ako je navigačná technika, hudobná teória, akustika, optika, analýza finančného trhu, elektronika, teória pravdepodobnosti, štatistika, biológia, medicína (vrátane ultrazvuku a počítačovej tomografie), farmácia, chémia, teória čísel. (a v dôsledku toho kryptografia), seizmológia, meteorológia, oceánológia, kartografia, mnohé odvetvia fyziky, topografia a geodézia, architektúra, fonetika, ekonómia, elektronické inžinierstvo, strojárstvo, počítačová grafika, kryštalografia atď.
záver: trigonometria je obrovským pomocníkom v našom každodennom živote.

Trigonometria v medicíne a biológii

Borhytmický model možno zostaviť pomocou goniometrických funkcií. Ak chcete vytvoriť model biorytmov, musíte zadať dátum narodenia osoby, referenčný dátum (deň, mesiac, rok) a trvanie predpovede (počet dní).

Vzorec srdca. Výsledkom štúdie, ktorú uskutočnil študent iránskej univerzity Shiraz, Wahid-Reza Abbasi, sa lekárom po prvýkrát podarilo zefektívniť informácie súvisiace s elektrickou aktivitou srdca, alebo inými slovami, elektrokardiografiou. Vzorec je komplexná algebraicko-trigonometrická rovnica pozostávajúca z 8 výrazov, 32 koeficientov a 33 hlavných parametrov, vrátane niekoľkých dodatočných na výpočty v prípadoch arytmie. Tento vzorec podľa lekárov výrazne uľahčuje proces popisu hlavných parametrov činnosti srdca, čím urýchľuje diagnostiku a začiatok samotnej liečby.

Trigonometria tiež pomáha nášmu mozgu určiť vzdialenosti od objektov.

1) Trigonometria pomáha nášmu mozgu určiť vzdialenosti objektov.

Americkí vedci tvrdia, že mozog odhaduje vzdialenosť objektov meraním uhla medzi základnou rovinou a rovinou pohľadu. Presne povedané, myšlienka „merania uhlov“ nie je nová. Dokonca aj umelci zo starovekej Číny maľovali vzdialené predmety vyššie v zornom poli, trochu zanedbávajúc zákony perspektívy. Alhazen, arabský vedec z 11. storočia, sformuloval teóriu určovania vzdialenosti odhadom uhlov. Po dlhom zabudnutí v polovici minulého storočia túto myšlienku oživil psychológ James

2)Pohyb rýb vo vode nastáva podľa zákona sínusu alebo kosínusu, ak zafixujete bod na chvoste a potom zvážite trajektóriu pohybu. Pri plávaní má telo ryby tvar krivky, ktorá sa podobá grafu funkcie y=tg(x)
5. Záver

Výsledkom výskumnej práce je:

· Oboznámil som sa s históriou trigonometrie.

· Systematizované metódy riešenia goniometrických rovníc.

· Dozvedeli sa o aplikáciách trigonometrie v architektúre, biológii, medicíne.

Stredná škola MBOU Tselinnaya

Správa o trigonometrii v reálnom živote

Pripravené a realizované

učiteľ matematiky

kvalifikačnej kategórii

Ilyina V.P.

Tselinny marec 2014

Obsah.

1. Úvod .

2. História vzniku trigonometrie:

Rané storočia.

Staroveké Grécko.

Stredovek.

Nový čas.

Z histórie vývoja sférickej geometrie.

3. Trigonometria a skutočný život:

Aplikácia trigonometrie v navigácii.

Trigonometria v algebre.

Trigonometria vo fyzike.

Trigonometria v medicíne a biológii.

Trigonometria v hudbe.

Trigonometria v informatike

Trigonometria v stavebníctve a geodézii.

4. Záver .

5. Zoznam referencií.

Úvod

V matematike je už dávno zaužívané, že pri systematickom štúdiu matematiky sa my študenti musíme trigonometriou stretnúť trikrát. Zdá sa teda, že jeho obsah pozostáva z troch častí. Pri výcviku sú tieto časti od seba časovo oddelené a nepodobajú sa na seba ako z hľadiska významu vloženého do vysvetlení základných pojmov, tak z hľadiska vyvinutého aparátu a obslužných funkcií (aplikácií).

A vlastne prvýkrát sme sa s trigonometrickou látkou stretli v 8. ročníku pri téme „Pomery strán a uhlov pravouhlého trojuholníka“. Takže sme sa naučili, čo sú sínus, kosínus a dotyčnica, naučili sme sa riešiť ploché trojuholníky.

Prešiel však nejaký čas a v 9. ročníku sme sa opäť vrátili k trigonometrii. Ale táto trigonometria nie je ako tá, ktorá sa študovala predtým. Jeho pomery sú teraz definované pomocou kruhu (jednotkového polkruhu) a nie pomocou pravouhlého trojuholníka. Hoci sú stále definované ako funkcie uhlov, tieto uhly sú už ľubovoľne veľké.

Po prechode do 10. ročníka sme sa opäť stretli s trigonometriou a videli sme, že je to ešte ťažšie, zaviedol sa koncept radiánovej miery uhla a vyzerali trigonometrické identity, formulácia problémov a interpretácia ich riešení. rôzne. Zavádzajú sa grafy goniometrických funkcií. Nakoniec sa objavia trigonometrické rovnice. A všetok tento materiál sa pred nami objavil už ako súčasť algebry, a nie ako geometria. A pre nás bolo veľmi zaujímavé študovať históriu trigonometrie, jej aplikáciu v každodennom živote, pretože používanie historických informácií učiteľom matematiky nie je povinné pri prezentovaní učiva hodiny. Ako však zdôrazňuje K. A. Malygin, „... exkurzie do historickej minulosti oživujú lekciu, uvoľňujú duševný stres, zvyšujú záujem o študovanú látku a prispievajú k jej trvalej asimilácii.“ Okrem toho je materiál o dejinách matematiky veľmi rozsiahly a zaujímavý, pretože rozvoj matematiky je úzko spojený s riešením naliehavých problémov, ktoré sa vyskytli vo všetkých obdobiach existencie civilizácie.

Keď sme sa dozvedeli o historických dôvodoch vzniku trigonometrie a študovali sme, ako plody činností veľkých vedcov ovplyvnili rozvoj tejto oblasti matematiky a riešenie konkrétnych problémov, medzi školákmi sa zvyšujeme. záujem o študovaný predmet a uvidíme jeho praktický význam.

Cieľ projektu - rozvoj záujmu o štúdium témy "Trigonometria" v rámci algebry a začiatok analýzy cez prizmu aplikovanej hodnoty študovaného materiálu; rozšírenie grafických zobrazení obsahujúcich goniometrické funkcie; aplikácia trigonometrie v takých vedách ako fyzika, biológia atď.

Prepojenie trigonometrie s vonkajším svetom, význam trigonometrie pri riešení mnohých praktických problémov, grafické možnosti goniometrických funkcií umožňujú „zhmotniť“ vedomosti školákov. To vám umožňuje lepšie pochopiť životne dôležitú potrebu vedomostí získaných štúdiom trigonometrie, zvyšuje záujem o štúdium tejto témy.

Ciele výskumu:

1. Zvážte históriu vzniku a vývoja trigonometrie.

2. Ukázať praktické aplikácie trigonometrie v rôznych vedách na konkrétnych príkladoch.

3.Vysvetlite na konkrétnych príkladoch možnosti využitia goniometrických funkcií, ktoré umožňujú premeniť „málo zaujímavé“ funkcie na funkcie, ktorých grafy majú veľmi originálny vzhľad.

"Jedna vec zostáva jasná, že svet je usporiadaný hrozivo a krásne."

N. Rubcov

trigonometria - je odvetvie matematiky, ktoré študuje vzťah medzi uhlami a dĺžkami strán trojuholníkov, ako aj algebraické identity goniometrických funkcií. Je ťažké si to predstaviť, ale s touto vedou sa stretávame nielen na hodinách matematiky, ale aj v každodennom živote. Možno sme si to neuvedomovali, ale trigonometria sa nachádza v takých vedách, ako je fyzika, biológia, hrá dôležitú úlohu v medicíne a čo je najzaujímavejšie, ani hudba a architektúra sa bez nej nezaobídu. Problémy s praktickým obsahom zohrávajú významnú úlohu pri rozvíjaní zručností aplikovať v praxi teoretické poznatky získané štúdiom matematiky. Každého študenta matematiky zaujíma, ako a kde sa získané poznatky uplatňujú. Táto práca dáva odpoveď na túto otázku.

História vzniku trigonometrie

Rané storočia

Z babylonskej matematiky sme zvyknutí merať uhly v stupňoch, minútach a sekundách (zavedenie týchto jednotiek do starogréckej matematiky sa zvyčajne pripisuje 2. storočiu pred Kristom).

Hlavným úspechom tohto obdobia bol pomer nôh a prepony v pravouhlom trojuholníku, ktorý neskôr dostal meno.

Staroveké Grécko

V starovekej gréckej geometrii sa objavila všeobecná a logicky súvislá prezentácia goniometrických vzťahov. Grécki matematici ešte trigonometriu ako samostatnú vedu nevyčlenili, bola pre nich súčasťou astronómie.
Hlavným úspechom starovekej trigonometrickej teórie bolo riešenie vo všeobecnej forme problému „riešenia trojuholníkov“, teda nájdenia neznámych prvkov trojuholníka na základe troch jeho daných prvkov (z ktorých aspoň jeden je strana).

Stredovek

V štvrtom storočí, po smrti starovekej vedy, sa centrum rozvoja matematiky presťahovalo do Indie. Zmenili niektoré koncepty trigonometrie a priblížili ich k moderným: napríklad ako prví zaviedli kosínus.
Prvým špecializovaným pojednaním o trigonometrii bola práca stredoázijského vedca (X-XI. storočie) „Kniha kľúčov vedy o astronómii“ (995-996). Celý kurz trigonometrie obsahoval hlavné dielo Al-Biruniho – „Kánon Mas'ud“ (Kniha III). Okrem tabuliek sínusov (s krokom 15") dal Al-Biruni tabuľky dotyčníc (s krokom 1°).

Po preložení arabských traktátov do latinčiny v XII-XIII storočia sa mnohé myšlienky indických a perzských matematikov stali majetkom európskej vedy. K prvému zoznámeniu Európanov s trigonometriou došlo zrejme vďaka zij, ktorého dva preklady vznikli v 12. storočí.

Prvé európske dielo venované výlučne trigonometrii sa často nazýva Štyri pojednania o priamych a obrátených akordoch od anglického astronóma (okolo roku 1320). Trigonometrické tabuľky, často prekladané z arabčiny, ale niekedy originálne, sú obsiahnuté v dielach mnohých iných autorov 14.-15. Potom trigonometria zaujala miesto medzi univerzitnými kurzami.

nový čas

So slovom "trigonometria" sa prvýkrát stretávame (1505) v názve knihy nemeckého teológa a matematika Pitiscusa. Pôvod tohto slova je grécky: trojuholník, miera. Inými slovami, trigonometria je veda o meraní trojuholníkov. Hoci názov vznikol relatívne nedávno, mnohé z pojmov a faktov, ktoré sa teraz týkajú trigonometrie, boli známe už pred dvetisíc rokmi.

Pojem sínus má dlhú históriu. V skutočnosti rôzne pomery úsečiek trojuholníka a kruhu (a v podstate goniometrické funkcie) sa nachádzajú už v ӀӀӀ c. pred Kr e v dielach veľkých matematikov starovekého Grécka - Euklides, Archimedes, Apollonius z Pergy. V rímskom období tieto vzťahy pomerne systematicky skúmal už Menelaos (Ӏ storočie pred n. l.), hoci nezískali osobitné pomenovanie. Moderné mínus uhla sa napríklad skúmalo ako súčin polovičných akordov, na ktorých je stredový uhol podopretý hodnotou, alebo ako tetiva zdvojeného oblúka.

V nasledujúcom období matematiku dlhodobo najaktívnejšie rozvíjali indickí a arabskí vedci. V ӀV- Vstoročia Špeciálny termín sa objavil najmä v prácach o astronómii veľkého indického vedca Aryabhata (476-cca 550), po ktorom je pomenovaný prvý indický satelit Zeme.

Neskôr sa ujal kratší názov jiva. Arabskí matematici v ΙXv. slovo jiva (alebo džiba) bolo nahradené arabským slovom jaib (vydutina). Pri preklade arabských matematických textov doXΙΙv. toto slovo bolo nahradené latinským sine (sínus- ohyb, zakrivenie)

Slovo kosínus je oveľa mladšie. Kosínus je skratka latinského výrazudopĺňaťsínus, t. j. „prídavný sínus“ (alebo inak „sínus prídavného oblúka“; pamätajtecosa= hriech(90°- a)).

Zaoberaním sa goniometrickými funkciami v podstate presahujeme rámec úlohy „meranie trojuholníkov“. Preto slávny matematik F. Klein (1849-1925) navrhol nazvať teóriu "trigonometrických" funkcií inak - goniometria (uhol). Tento názov sa však neuchytil.

Tangenty vznikli v súvislosti s riešením problému určenia dĺžky tieňa. Tangenta (rovnako ako kotangens, sekanta a kosekans) je zavedená vXv. Arabský matematik Abu-l-Wafa, ktorý zostavil aj prvé tabuľky na hľadanie dotyčníc a kotangens. Tieto objavy však zostali európskym vedcom dlho neznáme a tangenty boli znovu objavené v rXIVv. najprv anglickým vedcom T. Braverdinom, neskôr nemeckým matematikom, astronómom Regiomontanom (1467). Názov „tangens“ pochádza z lattanger(dotýkať sa), objavil sa v roku 1583Tangentypreložené ako „dotýkajúce sa“ (pamätajte: čiara dotyčníc je dotyčnicou k jednotkovej kružnici)

Moderné označeniaoblúkový hriech a arctgsa v roku 1772 objavujú v prácach viedenského matematika Scherfera a slávneho francúzskeho vedca J.L.Lagrangea, hoci o nich o niečo skôr uvažoval už J. Bernoulli, ktorý používal inú symboliku. Ale tieto symboly sa stali všeobecne akceptovanými až na konciXVΙΙΙstoročia. Predpona „oblúk“ pochádza z latinčinyarcusX, napríklad - toto je uhol (alebo, dalo by sa povedať, oblúk), ktorého sínus sa rovnáX.

Po dlhú dobu sa trigonometria rozvíjala ako súčasť geometrie, t.j. skutočnosti, ktoré teraz formulujeme z hľadiska goniometrických funkcií, boli formulované a dokázané pomocou geometrických pojmov a výrokov. Snáď najväčšie podnety pre rozvoj trigonometrie vznikli v súvislosti s riešením problémov astronómie, ktorá mala veľký praktický záujem (napríklad pri riešení problémov určovania polohy plavidla, predpovedania zatmení atď.)

Astronómovia sa zaujímali o vzťah medzi stranami a uhlami sférických trojuholníkov tvorených veľkými kruhmi ležiacimi na guli. A treba poznamenať, že matematici staroveku sa úspešne vyrovnali s problémami, ktoré boli oveľa ťažšie ako problémy s riešením rovinných trojuholníkov.

V každom prípade, v geometrickej podobe mnohé nám známe trigonometrické vzorce objavili a znovu objavili starí grécki, indickí, arabskí matematici (hoci vzorce pre rozdiel goniometrických funkcií sa stali známymi až v r.XVΙӀ v. - priniesol ich anglický matematik Napier na zjednodušenie výpočtov pomocou goniometrických funkcií. A prvá kresba sínusoidy sa objavila v roku 1634.)

Zásadný význam malo zostavenie prvej tabuľky sínusov (dlho sa nazývala tabuľka akordov) K. Ptolemaia: objavil sa praktický nástroj na riešenie množstva aplikovaných problémov a predovšetkým problémov astronómie. .

Pri práci s hotovými tabuľkami alebo pri používaní kalkulačky často nemyslíme na to, že boli časy, keď tabuľky ešte neboli vynájdené. Na ich zostavenie bolo potrebné vykonať nielen veľké množstvo výpočtov, ale aj vymyslieť spôsob zostavovania tabuliek. Ptolemaiove tabuľky sú presné na päť desatinných miest vrátane.

Modernú formu trigonometrie dal najväčší matematikXVΙӀΙ storočia L. Euler (1707-1783), rodený Švajčiar, pôsobil dlhé roky v Rusku a bol členom Petrohradskej akadémie vied. Bol to Euler, ktorý ako prvý predstavil známe definície goniometrických funkcií, začal uvažovať o funkciách ľubovoľného uhla a dostal redukčné vzorce. To všetko je malý zlomok toho, čo sa Eulerovi podarilo urobiť v matematike počas dlhého života: zanechal viac ako 800 prác, dokázal mnoho teorémov, ktoré sa stali klasickými a týkali sa najrozmanitejších oblastí matematiky. Ale ak sa pokúšate pracovať s goniometrickými funkciami v geometrickej forme, teda tak, ako to robili mnohé generácie matematikov pred Eulerom, potom budete vedieť oceniť Eulerove zásluhy v systematizácii trigonometrie. Po Eulerovi získala trigonometria novú formu počtu: rôzne fakty sa začali dokazovať formálnou aplikáciou trigonometrických vzorcov, dôkazy sa stali oveľa kompaktnejšími a jednoduchšími.

Z histórie vývoja sférickej geometrie .

Je všeobecne známe, že euklidovská geometria je jednou z najstarších vied: už v rIIIstoročí pred naším letopočtom Objavilo sa Euklidovo klasické dielo „Začiatky“. Menej známe je, že sférická geometria je len o niečo mladšia. Jej prvá systematická expozícia odkazuje naja- IIstoročia. V knihe „Sphere“, ktorú napísal grécky matematik Menelaus (jac.), boli študované vlastnosti sférických trojuholníkov; najmä sa dokázalo, že súčet uhlov guľového trojuholníka je väčší ako 180 stupňov. Ďalší grécky matematik Claudius Ptolemaios urobil veľký krok vpred (IIv.). V podstate ako prvý zostavil tabuľky goniometrických funkcií a zaviedol stereografickú projekciu.

Rovnako ako geometria Euklida, aj sférická geometria vznikla pri riešení problémov praktického charakteru a predovšetkým problémov astronómie. Tieto úlohy boli potrebné napríklad pre cestovateľov a navigátorov, ktorí sa plavili podľa hviezd. A keďže pri astronomických pozorovaniach je vhodné predpokladať, že Slnko aj Mesiac a hviezdy sa pohybujú po zobrazenej „nebeskej sfére“, je prirodzené, že na štúdium ich pohybu bola potrebná znalosť geometrie sféry. Nie je preto náhoda, že najznámejšie Ptolemaiovo dielo sa volalo „Veľká matematická konštrukcia astronómie v 13 knihách“.

Najvýznamnejšie obdobie v histórii sférickej trigonometrie je spojené s činnosťou vedcov na Blízkom východe. Indickí vedci úspešne vyriešili problémy sférickej trigonometrie. Metódu opísanú Ptolemaiom a založenú na Menelaovej vete o úplnom štvoruholníku však nepoužili. A v sférickej trigonometrii použili projektívne metódy, ktoré zodpovedali tým v Ptolemaiovej analeme. Vďaka tomu získali súbor špecifických výpočtových pravidiel, ktoré umožnili vyriešiť takmer akýkoľvek problém sférickej astronómie. S ich pomocou sa takýto problém nakoniec zredukoval na vzájomné porovnávanie podobných plochých pravouhlých trojuholníkov. Pri riešení sa často využívala teória kvadratických rovníc a metóda postupných aproximácií. Príkladom astronomického problému, ktorý indickí vedci vyriešili pomocou pravidiel, ktoré vyvinuli, je problém zvažovaný v práci Panga Siddhantika od Varahamihira (V- VI). Spočíva v zistení výšky Slnka, ak je známa zemepisná šírka miesta, deklinácie Slnka a jeho hodinového uhla. V dôsledku vyriešenia tohto problému sa po sérii konštrukcií vytvorí vzťah, ktorý je ekvivalentný modernej kosínusovej vete pre sférický trojuholník. Tento vzťah a ďalší ekvivalent k sínusovej vete však neboli zovšeobecnené ako pravidlá použiteľné pre akýkoľvek sférický trojuholník.

Medzi prvými východnými učencami, ktorí sa obrátili na diskusiu o Menelaovej vete, treba menovať bratov Banu Mussa - Muhammada, Hasana a Ahmada, synov Musa ibn Shakir, ktorý pracoval v Bagdade a študoval matematiku, astronómiu a mechaniku. Ale najstaršou zachovanou prácou o Menelaovej vete je „Pojednanie o postave sekantu“ od ich študenta Thabita ibn Korra (836-901)

Traktát Thabita ibn Korru sa k nám dostal v arabskom origináli. A v latinskom prekladeXIIv. Tento preklad Geranda z Cremony (1114-1187) bol široko používaný v stredovekej Európe.

História trigonometrie, ako vedy o vzťahoch medzi uhlami a stranami trojuholníka a inými geometrickými útvarmi, zahŕňa viac ako dve tisícročia. Väčšinu týchto vzťahov nemožno vyjadriť pomocou bežných algebraických operácií, a preto bolo potrebné zaviesť špeciálne goniometrické funkcie, pôvodne prezentované vo forme číselných tabuliek.
Historici veria, že trigonometriu vytvorili starí astronómovia a o niečo neskôr sa začala používať v architektúre. Postupom času sa záber trigonometrie neustále rozširoval, dnes zahŕňa takmer všetky prírodné vedy, techniku ​​a množstvo ďalších oblastí činnosti.

Aplikované goniometrické úlohy sú veľmi rôznorodé – dajú sa nastaviť napríklad merateľné výsledky operácií na uvedených veličinách (napríklad súčet uhlov alebo pomer dĺžok strán).

Súbežne s rozvojom rovinnej trigonometrie Gréci pod vplyvom astronómie ďaleko pokročili v sférickej trigonometrii. V Euklidových „Princípoch“ na túto tému je len teorém o pomere objemov guľôčok rôznych priemerov, no potreby astronómie a kartografie spôsobili prudký rozvoj sférickej trigonometrie a príbuzných oblastí – nebeského súradnicového systému, tzv. teória kartografických projekcií a technológia astronomických prístrojov.

kurzy.

Trigonometria a skutočný život

Goniometrické funkcie našli uplatnenie v matematickej analýze, fyzike, informatike, geodézii, medicíne, hudbe, geofyzike a navigácii.

Aplikácia trigonometrie v navigácii

Navigácia (toto slovo pochádza z latnavigácia- plavba na lodi) - jedna z najstarších vied. Najjednoduchšie úlohy navigácie, ako je určenie najkratšej trasy, výber smeru pohybu, čelili úplne prvým navigátorom. V súčasnosti tieto a ďalšie úlohy musia riešiť nielen námorníci, ale aj piloti a astronauti. Pozrime sa podrobnejšie na niektoré koncepty a úlohy navigácie.

Úloha. Sú známe zemepisné súradnice - zemepisná šírka a dĺžka bodov A a B zemského povrchu:, a, . Je potrebné nájsť najkratšiu vzdialenosť medzi bodmi A a B pozdĺž zemského povrchu (polomer Zeme sa považuje za známy:R= 6371 km)

rozhodnutie. Najprv si pripomeňme, že zemepisná šírka bodu M zemského povrchu je hodnota uhla, ktorý zviera polomer OM, kde O je stred Zeme, s rovinou rovníka: ≤ a na sever od rovníka. , zemepisná šírka sa považuje za pozitívnu a na juh - negatívnu

Zemepisná dĺžka bodu M je hodnota dihedrálneho uhla medzi rovinami COM a SON, kde C je severný pól Zeme a H je bod zodpovedajúci observatóriu v Greenwichi: ≤ (na východ od Greenwichského poludníka , zemepisná dĺžka sa považuje za kladnú, na západ - zápornú).

Ako už bolo známe, najkratšia vzdialenosť medzi bodmi A a B na zemskom povrchu je dĺžka menšieho z oblúkov veľkej kružnice spájajúcej A a B (takýto oblúk sa nazýva ortodroma – v preklade z gréčtiny znamená „priamy beh“ ). Preto sa naša úloha redukuje na určenie dĺžky strany AB guľového trojuholníka ABC (C je severný pól).

Použitím štandardného označenia prvkov trojuholníka ABC a príslušného trojstenného uhla OABS z podmienky úlohy zistíme: α = = - , β = (obr. 2).

Uhol C tiež nie je ťažké vyjadriť pomocou súradníc bodov A a B. Podľa definície ≤ , teda buď uhol C = ak ≤ , alebo - ak. Vedieť = pomocou kosínusovej vety: = + (-). Keď poznáme, a teda aj uhol, nájdeme požadovanú vzdialenosť: =.

Trigonometria v navigácii 2.

Na zakreslenie kurzu lode na mape vyhotovenej v projekcii Gerharda Mercatora (1569) bolo potrebné určiť zemepisnú šírku. Pri plavbe po Stredozemnom mori v plavebných smeroch ažXVIIv. zemepisná šírka nebola špecifikovaná. Edmond Gunther (1623) prvýkrát použil trigonometrické výpočty v navigácii.

Trigonometria pomáha vypočítať vplyv vetra na let lietadla. Rýchlostný trojuholník je trojuholník tvorený vektorom rýchlosti vzduchu (V), vektor vetra(W), vektor zemskej rýchlosti (V P ). PU - uhol stopy, SW - uhol vetra, KUV - uhol smeru vetra.

Vzťah medzi prvkami navigačného rýchlostného trojuholníka má tvar:

V P = V cos USA + W cos UV; hriech USA = * hriech UV, tg SW =

Navigačný trojuholník rýchlostí je riešený pomocou počítacích zariadení, na navigačnom pravítku a približne v mysli.

Trigonometria v algebre.

Tu je príklad riešenia zložitej rovnice pomocou trigonometrickej substitúcie.

Vzhľadom na rovnicu

Nechať byť , dostaneme

;

kde: alebo

s výhradou obmedzení získame:

Trigonometria vo fyzike

Všade tam, kde sa musíme zaoberať periodickými procesmi a kmitmi – či už je to akustika, optika alebo výkyv kyvadla – máme do činenia s goniometrickými funkciami. Oscilačné vzorce:

kde A- amplitúda kmitania, - uhlová frekvencia kmitania, - počiatočná fáza kmitania

Oscilačná fáza.

Keď sú predmety ponorené do vody, nemenia svoj tvar ani veľkosť. Celým tajomstvom je optický efekt, vďaka ktorému naše videnie vníma objekt iným spôsobom. Najjednoduchšie trigonometrické vzorce a hodnoty sínusu uhla dopadu a lomu lúča umožňujú vypočítať konštantný index lomu pri prechode svetelného lúča zo média na médium. Napríklad dúha vzniká v dôsledku skutočnosti, že slnečné svetlo sa láme v kvapkách vody suspendovaných vo vzduchu podľa zákona lomu:

hriech α / hriech β =n 1 /n 2

kde:

n 1 - index lomu prvého prostredia
n 2 - index lomu druhého prostredia

α - uhol dopadu, β je uhol lomu svetla.

Prienik nabitých častíc slnečného vetra do hornej atmosféry planét je určený interakciou magnetického poľa planéty so slnečným vetrom.

Sila pôsobiaca na nabitú časticu pohybujúcu sa v magnetickom poli sa nazýva Lorentzova sila. Je úmerná náboju častice a vektorovému súčinu poľa a rýchlosti častice.

Ako praktický príklad zvážte fyzikálny problém, ktorý sa rieši pomocou trigonometrie.

Úloha. Na naklonenej rovine zvierajúcej s horizontom uhol 24,5 o , je teleso s hmotnosťou 90 kg. Nájdite silu, ktorou toto teleso tlačí na naklonenú rovinu (t. j. akým tlakom pôsobí teleso na túto rovinu).

rozhodnutie:

Po určení osí X a Y začneme vytvárať projekcie síl na osiach, najskôr pomocou tohto vzorca:

ma = N + mg , potom sa pozrite na obrázok,

X : ma = 0 + mg sin24,5 0

Y: 0 = N-mg cos24,5 0

N = mg cos 24,5 0

dosadíme hmotnosť, zistíme, že sila je 819 N.

Odpoveď: 819 N

Trigonometria v medicíne a biológii

Jeden z základné vlastnostiŽivá príroda je cyklickosť väčšiny procesov, ktoré sa v nej vyskytujú.

Biologické rytmy, biorytmysú viac-menej pravidelné zmeny charakteru a intenzity biologických procesov.

Základný zemský rytmus- denne.

Model biorytmov je možné zostaviť pomocou goniometrických funkcií.

Ak chcete vytvoriť model biorytmov, musíte zadať dátum narodenia osoby, referenčný dátum (deň, mesiac, rok) a trvanie predpovede (počet dní).

Dokonca aj niektoré časti mozgu sa nazývajú dutiny.

Steny dutín sú tvorené dura mater vystlanou endotelom. Priesvit dutín je otvorený, chlopne a svalová membrána, na rozdiel od iných žíl, chýbajú. V dutine dutín sú vláknité septa pokryté endotelom. Z dutín vstupuje krv do vnútorných krčných žíl, okrem toho existuje spojenie medzi sínusmi a žilami vonkajšieho povrchu lebky prostredníctvom rezervných venóznych absolventov.

Pohyb rýb vo vode nastáva podľa zákona sínusu alebo kosínusu, ak zafixujete bod na chvoste a potom zvážite trajektóriu pohybu.

Pri plávaní má telo ryby tvar krivky, ktorá pripomína graf.

funkcie r= tgx.

Trigonometria v hudbe

Počúvame hudbump3.

Zvukový signál je vlna, tu je jej „graf“.

Ako vidíte, hoci je to veľmi zložité, je to sínusoida, ktorá sa riadi zákonmi trigonometrie.

V Moskovskom umeleckom divadle na jar 2003 sa uskutočnila prezentácia albumu „Trigonometria“ skupiny „Night Snipers“, sólistky Diany Arbeniny. Obsah albumu prezrádza pôvodný význam slova „trigonometria“ – meranie Zeme.

Trigonometria v informatike

Na presné výpočty je možné použiť goniometrické funkcie.

Pomocou goniometrických funkcií môžete aproximovať ľubovoľné

(v istom zmysle „dobrá“) funkcia jej rozšírením do Fourierovho radu:

a 0 + a 1 cos x + b 1 hriech x + a 2 čos 2x + b 2 hriech 2x + a 3 čos 3x + b 3 hriech 3x +...

Výber správnych čísel a 0 , a 1 , b 1 , a 2 , b 2 , ..., v podobe takéhoto (nekonečného) súčtu je možné s požadovanou presnosťou znázorniť v počítači takmer akékoľvek funkcie.

Goniometrické funkcie sú užitočné pri práci s grafickými informáciami. Je potrebné simulovať (opísať v počítači) rotáciu nejakého objektu okolo nejakej osi. Existuje rotácia o určitý uhol. Ak chcete určiť súradnice bodov, musíte ich vynásobiť sínusom a kosínusom.

Justin Windell, programátor a dizajnér zGoogle grafika Lab , zverejnila demo ukazujúce príklady použitia goniometrických funkcií na vytváranie dynamických animácií.

Trigonometria v stavebníctve a geodézii

Dĺžky strán a uhly ľubovoľného trojuholníka v rovine sú prepojené určitými vzťahmi, z ktorých najdôležitejšie sa nazývajú kosínusová a sínusová veta.

2ab

= =

V týchto vzorcochb, c- dĺžky strán trojuholníka ABC, ležiacich protiľahlo k uhlom A, B, C. Tieto vzorce nám umožňujú obnoviť zostávajúce tri prvky z troch prvkov trojuholníka - dĺžky strán a uhly. Používajú sa pri riešení praktických problémov, napríklad v geodézii.

Celá „klasická“ geodézia je založená na trigonometrii. Keďže v skutočnosti už od staroveku sa geodeti zaoberali „riešením“ trojuholníkov.

Proces výstavby budov, ciest, mostov a iných stavieb začína prieskumnými a projekčnými prácami. Všetky merania na stavenisku sú realizované pomocou geodetických prístrojov ako je teodolit a trigonometrická niveleta. Pri trigonometrickej nivelácii sa zisťuje výškový rozdiel medzi viacerými bodmi zemského povrchu.

Záver

Trigonometria bola privedená k životu potrebou merať uhly, ale nakoniec sa vyvinula do vedy o goniometrických funkciách.

Trigonometria úzko súvisí s fyzikou, nachádza sa v prírode, hudbe, architektúre, medicíne a technike.

Trigonometria sa odráža v našich životoch a oblasti, v ktorých zohráva dôležitú úlohu, sa budú rozširovať, takže jej zákonitosti musí poznať každý.

Prepojenie matematiky s vonkajším svetom umožňuje „zhmotniť“ vedomosti školákov. To nám pomáha lepšie pochopiť životne dôležitú potrebu vedomostí získaných v škole.

Matematickým problémom s praktickým obsahom (úloha aplikovaného charakteru) rozumieme problém, ktorého zápletka odhaľuje aplikácie matematiky v príbuzných akademických disciplínach, technike a každodennom živote.

Rozprávka o historických dôvodoch vzniku trigonometrie, jej vývoji a praktickej aplikácii podnecuje našich školákov k záujmu o preberaný predmet, formuje náš svetonázor a zlepšuje našu všeobecnú kultúru.

Táto práca bude užitočná pre študentov stredných škôl, ktorí ešte nevideli krásu trigonometrie a nie sú oboznámení s oblasťami jej aplikácie v okolitom živote.

Bibliografia:

1. Zopakujte si základné vzorce trigonometrie a upevnite svoje vedomosti na cvičeniach;
2. Rozvíjať schopnosť sebaovládania, schopnosť pracovať s počítačovou prezentáciou.
3. Výchova k zodpovednému prístupu k výchovnej práci, vôli a vytrvalosti dosahovať konečné výsledky.

Vybavenie: Počítače, počítačová prezentácia.

Ocakavane vysledky:

1. Každý študent by mal poznať trigonometrické vzorce a vedieť ich aplikovať na transformáciu goniometrických výrazov na úrovni požadovaných výsledkov.
2. Poznať odvodenie týchto vzorcov a vedieť ich použiť na prevod goniometrických výrazov.
3. Poznať vzorce trigonometrie, vedieť tieto vzorce odvodiť a aplikovať na zložitejšie trigonometrické výrazy.

Hlavné fázy lekcie:

1. Posolstvo témy, účel, ciele vyučovacej hodiny a motivácia vzdelávacích aktivít.
2. Slovné počítanie
3. Posolstvo z dejín matematiky
4. Opakovanie (od 9. ročníka) trigonometrických vzorcov pomocou počítačovej prezentácie
5. Použitie goniometrických vzorcov na prevod výrazov
6. Vykonanie testu
7. Zhrnutie lekcie
8. Stanovenie úlohy doma

Počas vyučovania

ja Organizácia času.

Reportovanie témy, cieľov, cieľov hodiny a motivácie k vzdelávacím aktivitám

II. Ústna práca (úlohy sú predtlačené pre každého študenta):

Radiánová miera dvoch uhlov trojuholníka je a . Nájdite mieru každého uhla trojuholníka. Odpoveď: 60, 30, 90

Nájdite radiánovú mieru uhlov trojuholníka, ak je ich pomer 2:3:4. odpoveď: , ,

Môže sa kosínus rovnať: a), b), c), d), e) -2? odpoveď: a) áno; b) nie; c) nie; d) áno; e) áno.

Môže sa sínus rovnať: a) -3, 7 b), c)? odpoveď: a) nie; b) áno; c) č.

Pre aké hodnoty a a b platia nasledujúce rovnosti: a) cos x = ; b) sin x=; c) cosx=; d) tg x=; e) hriech x = a? odpoveď: a) /a/ 7; b) /a/; c) 0 d) b – ľubovoľné číslo; e) -

III. Správa z histórie trigonometrie (stručné historické pozadie):

Trigonometria vznikla a rozvíjala sa v staroveku ako jedna zo sekcií astronómie, ako jej výpočtový aparát, ktorý spĺňa praktické potreby človeka.

Niektoré trigonometrické informácie poznali už starí Babylončania a Egypťania, no základy tejto vedy boli položené v starovekom Grécku.

Grécky astronóm Hipparchos v 2. stor. pred Kr e. zostavil tabuľku číselných hodnôt akordov v závislosti od veľkosti nimi stiahnutých oblúkov. Kompletnejšie informácie z trigonometrie sú obsiahnuté v slávnom "Almagest" Ptolemaia. Vykonané výpočty umožnili Ptolemaiovi zostaviť tabuľku, ktorá obsahovala akordy od 0 do 180.

Názvy sínusových a kosínusových čiar prvýkrát zaviedli indickí vedci. Zostavili aj prvé tabuľky sínusov, aj keď menej presné ako tie ptolemaiovské.

V Indii v podstate začína náuka o trigonometrických veličinách, neskôr nazývaná goniometria (z „gonia“ - uhol a „metrio“ - meriam).

Na prahu 17. stor vo vývoji trigonometrie sa začína nový smer - analytický.

Trigonometria poskytuje potrebnú metódu pre vývoj mnohých koncepcií a metód na riešenie skutočných problémov, ktoré vznikajú vo fyzike, mechanike, astronómii, geodóze, kartografii a iných vedách. Okrem toho je trigonometria skvelým pomocníkom pri riešení stereometrických úloh.

IV. Práca na počítači s prezentáciou:

„Základné vzorce trigonometrie“ (dodatok 1)

Predbežne pripomenúť bezpečnostné opatrenia v učebni informatiky.

• Základné goniometrické identity.
• Sčítacie vzorce.
• Odlievacie vzorce
• Vzorce pre súčet a rozdiel sínusov (kosínusov).
• Dvojité argumentové vzorce.
• Polovičné argumenty.

V. Aplikácia goniometrických vzorcov na transformáciu výrazov.

a) Jeden žiak dokončí úlohu na zadnej strane tabule, zvyšok z miesta skontroluje a zdvihne signálne karty (správne - „+“, nesprávne – „-“) z miesta.

Vyberte odpoveď.

Zjednodušte výraz 7 cos - 5.

a) 1+cos; b) 2; v 12; d) 12

Zjednodušte výraz 5 – 4 si n

a) 1; b) 9; c) 1+8 sin; d) 1+kos.