Miniatúrna a pomerne jednoduchá úloha, ktorá slúži ako záchranné lano pre plávajúceho študenta. V prírode, ospalá ríša polovice júla, a tak je čas usadiť sa s notebookom na pláži. Skoro ráno začal hrať slnečný lúč teórie, aby sa čoskoro zameral na prax, ktorá napriek deklarovanej ľahkosti obsahuje v piesku úlomky skla. V tejto súvislosti odporúčam svedomito zvážiť niekoľko príkladov tejto stránky. Na riešenie praktických úloh musíte byť schopní nájsť deriváty a porozumieť obsahu článku Intervaly monotónnosti a extrémy funkcie.

Najprv stručne o hlavnej veci. V lekcii o kontinuita funkcie Uviedol som definíciu spojitosti v bode a spojitosti v intervale. Podobným spôsobom je formulované aj príkladné správanie funkcie na segmente. Funkcia je spojitá na segmente, ak:

1) je spojitá na intervale;
2) súvislý v bode napravo a na mieste vľavo.

Druhý odsek pojednáva o tzv jednostranná kontinuita funguje v určitom bode. Existuje niekoľko prístupov k jeho definícii, ale ja sa budem držať skôr začatej línie:

Funkcia je spojitá v bode napravo, ak je definovaný v danom bode a jeho pravá hranica sa zhoduje s hodnotou funkcie v danom bode: . V bode je spojitá vľavo, ak je definovaný v danom bode a jeho ľavá hranica sa rovná hodnote v tomto bode:

Predstavte si, že zelené bodky sú nechty, na ktorých je pripevnená magická gumička:

V duchu vezmite červenú čiaru do rúk. Je zrejmé, že bez ohľadu na to, ako ďaleko natiahneme graf nahor a nadol (pozdĺž osi), funkcia stále zostane obmedzené- hore živý plot, dole živý plot a náš produkt sa pasie vo výbehu. teda funkcia spojitá na segmente je na ňom ohraničená. V priebehu matematickej analýzy je tento zdanlivo jednoduchý fakt konštatovaný a dôsledne dokázaný Prvá Weierstrassova veta.... Mnohým ľuďom vadí, že elementárne tvrdenia sú v matematike zdĺhavo podložené, no má to dôležitý význam. Predpokladajme, že istý obyvateľ terryho stredoveku vytiahol graf na oblohu za hranice viditeľnosti, toto bolo vložené. Pred vynálezom ďalekohľadu nebola obmedzená funkcia vo vesmíre vôbec zrejmá! Ako vlastne viete, čo nás čaká za horizontom? Veď kedysi bola Zem považovaná za plochú, takže dnes aj obyčajná teleportácia vyžaduje dôkaz =)

Podľa druhá Weierstrassova veta, kontinuálne na segmentefunkcia dosiahne svoje presný horný okraj a jeho presný spodný okraj .

Číslo sa tiež volá maximálna hodnota funkcie na segmente a označené a číslom - minimálna hodnota funkcie na intervale označené .

V našom prípade:

Poznámka : teoreticky sú záznamy bežné .

Zhruba povedané, najväčšia hodnota sa nachádza tam, kde je najvyšší bod grafu, a najmenšia - tam, kde je najnižší bod.

Dôležité! Ako už bolo uvedené v článku o extrémy funkcie, najväčšia hodnota funkcie a najmenšia funkčná hodnota – NIE SÚ ROVNAKÉ, čo maximálna funkcia a funkčné minimum. Takže v tomto príklade je číslo minimom funkcie, ale nie minimálnou hodnotou.

Mimochodom, čo sa deje mimo segmentu? Ano aj potopa, v kontexte uvazovaneho problemu nas toto vobec nezaujima. Úloha zahŕňa iba nájdenie dvoch čísel a je to!

Navyše, riešenie je čisto analytické, preto netreba kresliť!

Algoritmus leží na povrchu a naznačuje sa z vyššie uvedeného obrázku:

1) Nájdite hodnoty funkcií v kritických bodov, ktoré patria do tohto segmentu.

Chyťte ešte jednu dobrotu: nie je potrebné kontrolovať dostatočnú podmienku pre extrém, pretože, ako je práve uvedené, prítomnosť minima alebo maxima ešte nie je zaručené aká je minimálna alebo maximálna hodnota. Demonštračná funkcia dosahuje maximum a z vôle osudu je rovnaké číslo najväčšou hodnotou funkcie na intervale . Ale, samozrejme, nie vždy sa takáto náhoda odohrá.

V prvom kroku je teda rýchlejšie a jednoduchšie vypočítať hodnoty funkcie v kritických bodoch patriacich do segmentu bez toho, aby ste sa obťažovali, či majú extrémy alebo nie.

2) Vypočítame hodnoty funkcie na koncoch segmentu.

3) Medzi hodnotami funkcie nájdenými v 1. a 2. odseku vyberte najmenšie a najväčšie číslo a zapíšte odpoveď.

Sedíme na brehu modrého mora a narážame na päty v plytkej vode:

Príklad 1

Nájdite najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie v segmente

rozhodnutie:
1) Vypočítajte hodnoty funkcie v kritických bodoch patriacich do tohto segmentu:

Vypočítajme hodnotu funkcie v druhom kritickom bode:

2) Vypočítajte hodnoty funkcie na koncoch segmentu:

3) „Tučné“ výsledky boli získané s exponenciálami a logaritmami, čo značne komplikuje ich porovnanie. Z tohto dôvodu sa vyzbrojíme kalkulačkou alebo Excelom a vypočítame približné hodnoty, pričom nezabudneme, že:

Teraz je všetko jasné.

Odpoveď:

Zlomkovo-racionálna inštancia pre nezávislé riešenie:

Príklad 6

Nájdite maximálne a minimálne hodnoty funkcie v segmente

Z praktického hľadiska je najzaujímavejšie použitie derivácie na nájdenie najväčšej a najmenšej hodnoty funkcie. S čím to súvisí? Maximalizácia zisku, minimalizácia nákladov, určenie optimálneho zaťaženia zariadení... Inými slovami, v mnohých oblastiach života treba riešiť problém s optimalizáciou niektorých parametrov. A to je problém nájsť najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie.

Treba poznamenať, že najväčšia a najmenšia hodnota funkcie sa zvyčajne hľadá na nejakom intervale X , ktorý je buď celým definičným oborom funkcie, alebo časťou definičného oboru. Samotný interval X môže byť úsečka, otvorený interval , nekonečný interval .

V tomto článku budeme hovoriť o hľadaní najväčších a najmenších hodnôt explicitne danej funkcie jednej premennej y=f(x) .

Navigácia na stránke.

Najväčšia a najmenšia hodnota funkcie - definície, ilustrácie.

Zastavme sa krátko pri hlavných definíciách.

Najväčšia hodnota funkcie , ktorý pre hociktorý nerovnosť je pravdivá.

Najmenšia hodnota funkcie y=f(x) na intervale X sa nazýva takáto hodnota , ktorý pre hociktorý nerovnosť je pravdivá.

Tieto definície sú intuitívne: najväčšia (najmenšia) hodnota funkcie je najväčšia (najmenšia) hodnota akceptovaná v uvažovanom intervale s osou x.

Stacionárne body sú hodnoty argumentu, pri ktorom derivácia funkcie zaniká.

Prečo potrebujeme stacionárne body pri hľadaní najväčších a najmenších hodnôt? Odpoveď na túto otázku dáva Fermatova veta. Z tejto vety vyplýva, že ak má diferencovateľná funkcia v určitom bode extrém (lokálne minimum alebo lokálne maximum), potom je tento bod stacionárny. Funkcia teda často nadobúda svoju maximálnu (najmenšiu) hodnotu na intervale X v jednom zo stacionárnych bodov z tohto intervalu.

Funkcia môže tiež často nadobúdať najväčšie a najmenšie hodnoty v bodoch, kde prvá derivácia tejto funkcie neexistuje a je definovaná samotná funkcia.

Hneď si odpovedzme na jednu z najčastejších otázok na túto tému: „Je vždy možné určiť najväčšiu (najmenšiu) hodnotu funkcie“? Nie vždy. Niekedy sa hranice intervalu X zhodujú s hranicami definičného oboru funkcie, alebo je interval X nekonečný. A niektoré funkcie v nekonečne a na hraniciach oblasti definície môžu nadobúdať nekonečne veľké aj nekonečne malé hodnoty. V týchto prípadoch nemožno nič povedať o najväčšej a najmenšej hodnote funkcie.

Pre prehľadnosť uvádzame grafické znázornenie. Pozrite sa na obrázky - a veľa bude jasné.

Na segmente

Na prvom obrázku funkcia naberá najväčšie (max y) a najmenšie (min y) hodnoty v stacionárnych bodoch vo vnútri segmentu [-6;6].

Zvážte prípad zobrazený na druhom obrázku. Zmeňte segment na . V tomto príklade sa najmenšia hodnota funkcie dosiahne v stacionárnom bode a najväčšia - v bode s osou zodpovedajúcou pravej hranici intervalu.

Na obrázku č. 3 sú hraničné body úsečky [-3; 2] úsečkami bodov zodpovedajúcich najväčšej a najmenšej hodnote funkcie.

Vo voľnom výbehu

Na štvrtom obrázku funkcia naberá najväčšie (max y) a najmenšie (min y) hodnoty v stacionárnych bodoch v rámci otvoreného intervalu (-6;6).

Pri intervale nemožno vyvodiť závery o najväčšej hodnote.

V nekonečne

V príklade znázornenom na siedmom obrázku má funkcia najväčšiu hodnotu (max y ) v stacionárnom bode s os x=1 a najmenšiu hodnotu (min y ) dosiahne na pravej hranici intervalu. V mínus nekonečne sa hodnoty funkcie asymptoticky blížia k y=3.

Na intervale funkcia nedosahuje ani najmenšiu, ani najväčšiu hodnotu. Keďže x=2 smeruje doprava, funkčné hodnoty majú tendenciu k mínus nekonečnu (priama čiara x=2 je vertikálna asymptota) a keďže úsečka smeruje k plus nekonečnu, funkčné hodnoty sa asymptoticky približujú k y=3 . Grafické znázornenie tohto príkladu je znázornené na obrázku 8.

Algoritmus na nájdenie najväčších a najmenších hodnôt spojitej funkcie na segmente.

Napíšeme algoritmus, ktorý nám umožní nájsť najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie na segmente.

1. Nájdeme doménu funkcie a skontrolujeme, či obsahuje celý segment.
2. Nájdeme všetky body, v ktorých prvá derivácia neexistuje a ktoré sú obsiahnuté v segmente (zvyčajne sa takéto body vyskytujú vo funkciách s argumentom pod znamienkom modulu a v mocninných funkciách s zlomkovo-racionálnym exponentom). Ak takéto body neexistujú, prejdite na ďalší bod.
3. Určujeme všetky stacionárne body, ktoré spadajú do segmentu. Aby sme to dosiahli, vyrovnáme sa nule, vyriešime výslednú rovnicu a vyberieme príslušné korene. Ak neexistujú žiadne stacionárne body alebo žiadny z nich nespadá do segmentu, prejdite na ďalší krok.
4. Hodnoty funkcie vypočítame vo vybraných stacionárnych bodoch (ak existujú), v bodoch, kde prvá derivácia neexistuje (ak existuje), a tiež v x=a a x=b.
5. Zo získaných hodnôt funkcie vyberieme najväčšiu a najmenšiu - budú to požadované maximálne a najmenšie hodnoty funkcie.

Poďme analyzovať algoritmus pri riešení príkladu, aby sme našli najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie na segmente.

Príklad.

Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie

• na segmente;
• na intervale [-4;-1] .

rozhodnutie.

Definičný obor funkcie je celá množina reálnych čísel okrem nuly, teda . Oba segmenty spadajú do oblasti definície.

Nájdeme deriváciu funkcie vzhľadom na:

Je zrejmé, že derivácia funkcie existuje vo všetkých bodoch segmentov a [-4;-1] .

Stacionárne body sa určia z rovnice . Jediný skutočný koreň je x=2 . Tento stacionárny bod spadá do prvého segmentu.

V prvom prípade vypočítame hodnoty funkcie na koncoch segmentu a v stacionárnom bode, teda pre x=1, x=2 a x=4:

Preto najväčšia hodnota funkcie sa dosiahne pri x=1 a najmenšia hodnota – pri x=2.

V druhom prípade vypočítame hodnoty funkcie iba na koncoch segmentu [-4;-1] (keďže neobsahuje jediný stacionárny bod):

rozhodnutie.

Začnime rozsahom funkcie. Štvorcová trojčlenka v menovateli zlomku nesmie zaniknúť:

Je ľahké skontrolovať, či všetky intervaly z podmienky problému patria do domény funkcie.

Rozlišujme funkciu:

Je zrejmé, že derivácia existuje v celej doméne funkcie.

Nájdite stacionárne body. Derivát zmizne o . Tento stacionárny bod spadá do intervalov (-3;1] a (-3;2) .

A teraz môžete porovnať výsledky získané v každom bode s grafom funkcie. Modré bodkované čiary označujú asymptoty.

Môže to skončiť nájdením najväčšej a najmenšej hodnoty funkcie. Algoritmy opísané v tomto článku vám umožňujú dosiahnuť výsledky s minimom akcií. Môže však byť užitočné najskôr určiť intervaly nárastu a poklesu funkcie a až potom vyvodiť závery o najväčšej a najmenšej hodnote funkcie na ľubovoľnom intervale. To poskytuje jasnejší obraz a presné zdôvodnenie výsledkov.

Vyhlásenie o probléme 2:

Daná funkcia, ktorá je definovaná a spojitá na nejakom intervale. Je potrebné nájsť najväčšiu (najmenšiu) hodnotu funkcie na tomto intervale.

Teoretický základ.
Veta (druhá Weierstrassova veta):

Ak je funkcia definovaná a spojitá v uzavretom intervale, potom v tomto intervale dosahuje svoje maximálne a minimálne hodnoty.

Funkcia môže dosiahnuť svoje maximálne a minimálne hodnoty buď vo vnútorných bodoch intervalu, alebo na jeho hraniciach. Poďme si ukázať všetky možné možnosti.

vysvetlenie:
1) Funkcia dosiahne svoju maximálnu hodnotu na ľavej hranici intervalu v bode , a minimálnu hodnotu na pravej hranici intervalu v bode .
2) Funkcia dosiahne svoju maximálnu hodnotu v bode (toto je maximálny bod) a minimálnu hodnotu na pravej hranici intervalu v bode.
3) Funkcia dosiahne svoju maximálnu hodnotu na ľavej hranici intervalu v bode , a minimálnu hodnotu v bode (toto je minimálny bod).
4) Funkcia je na intervale konštantná, t.j. dosiahne svoje minimálne a maximálne hodnoty v ktoromkoľvek bode intervalu a minimálne a maximálne hodnoty sa navzájom rovnajú.
5) Funkcia dosiahne svoju maximálnu hodnotu v bode a minimálnu hodnotu v bode (napriek tomu, že funkcia má na tomto intervale maximum aj minimum).
6) Funkcia dosiahne svoju maximálnu hodnotu v bode (toto je maximálny bod) a minimálnu hodnotu v bode (toto je minimálny bod).
komentár:

„Maximálna“ a „maximálna hodnota“ sú rôzne veci. Vyplýva to z definície maxima a intuitívneho chápania slovného spojenia „maximálna hodnota“.

Algoritmus riešenia problému 2.



4) Vyberte zo získaných hodnôt najväčšiu (najmenšiu) a zapíšte odpoveď.

Príklad 4:

Určte najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie na segmente.
rozhodnutie:
1) Nájdite deriváciu funkcie.

2) Nájdite stacionárne body (a body, ktoré sú podozrivé z extrému) vyriešením rovnice . Venujte pozornosť bodom, kde neexistuje žiadna obojstranná konečná derivácia.

3) Vypočítajte hodnoty funkcie v stacionárnych bodoch a na hraniciach intervalu.

4) Vyberte zo získaných hodnôt najväčšiu (najmenšiu) a zapíšte odpoveď.

Funkcia na tomto segmente dosiahne svoju maximálnu hodnotu v bode so súradnicami.

Funkcia na tomto segmente dosiahne svoju minimálnu hodnotu v bode so súradnicami.

Správnosť výpočtov si môžete overiť pohľadom na graf skúmanej funkcie.


komentár: Funkcia dosiahne svoju maximálnu hodnotu v maximálnom bode a minimálnu hodnotu na hranici segmentu.

Špeciálny prípad.

Predpokladajme, že chcete nájsť maximálne a minimálne hodnoty nejakej funkcie v segmente. Po vykonaní prvého odseku algoritmu, t.j. pri výpočte derivátu je zrejmé, že napríklad v celom posudzovanom segmente preberá iba záporné hodnoty. Pamätajte, že ak je derivácia záporná, funkcia je klesajúca. Zistili sme, že funkcia klesá na celom intervale. Túto situáciu zobrazuje graf č. 1 na začiatku článku.

Funkcia klesá na intervale, t.j. nemá žiadne extrémne body. Z obrázku je vidieť, že funkcia bude mať najmenšiu hodnotu na pravom okraji segmentu a najväčšiu hodnotu na ľavej strane. ak je derivácia na intervale všade kladná, funkcia je rastúca. Najmenšia hodnota je na ľavom okraji segmentu, najväčšia je na pravej strane.

Často je potrebné riešiť problémy, v ktorých je potrebné nájsť najväčšiu alebo najmenšiu hodnotu z množiny týchto hodnôt, ktoré funkcia naberá na segmente.

Obráťme sa napríklad na graf funkcie f (x) \u003d 1 + 2x 2 - x 4 na segmente [-1; 2]. Aby sme mohli pracovať s funkciou, musíme nakresliť jej graf.

Zo zostrojeného grafu je zrejmé, že funkcia nadobúda najväčšiu hodnotu na tomto segmente, rovnú 2, v bodoch: x = -1 a x = 1; najmenšia hodnota rovná -7, funkcia nadobúda hodnotu x = 2.

Bod x \u003d 0 je minimálny bod funkcie f (x) \u003d 1 + 2x 2 - x 4. To znamená, že existuje okolie bodu x \u003d 0, napríklad interval (-1/2; 1/2) - tak, že v tomto okolí má funkcia najmenšiu hodnotu pri x \u003d 0. na väčšom intervale, napríklad na segmente [ -one; 2], funkcia nadobúda najmenšiu hodnotu na konci segmentu a nie v minimálnom bode.

Aby sme teda našli najmenšiu hodnotu funkcie na určitom segmente, je potrebné porovnať jej hodnoty na koncoch segmentu a v minimálnych bodoch.

Vo všeobecnosti predpokladajme, že funkcia f(x) je spojitá na segmente a že funkcia má deriváciu v každom vnútornom bode tohto segmentu.

Na nájdenie najväčších a najmenších hodnôt funkcie v segmente je potrebné:

1) nájdite hodnoty funkcie na koncoch segmentu, t.j. čísla f(a) a f(b);

2) nájdite hodnoty funkcie v stacionárnych bodoch, ktoré patria do intervalu (a; b);

3) z zistených hodnôt vyberte najväčšiu a najmenšiu.

Aplikujme nadobudnuté poznatky v praxi a pouvažujme nad problémom.

Nájdite najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie f (x) \u003d x 3 + x / 3 na segmente.

rozhodnutie.

1) f(1/2) = 6 1/8, f(2) = 9 1/2.

2) f´(x) \u003d 3x 2 - 3 / x 2 \u003d (3x 4 - 3) / x 2, 3x 4 - 3 \u003d 0; x 1 = 1, x 2 = -1.

Interval (1/2; 2) obsahuje jeden stacionárny bod x 1 = 1, f(1) = 4.

3) Z čísel 6 1/8, 9 ½ a 4 je najväčšie 9 ½, najmenšie je 4.

Odpoveď. Najväčšia hodnota funkcie je 9 ½, najmenšia hodnota vlastnosti je 4.

Často je pri riešení problémov potrebné nájsť najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie nie na segmente, ale na intervale.

V praktických úlohách má funkcia f(x) zvyčajne iba jeden stacionárny bod na danom intervale: buď maximálny bod, alebo minimálny bod. V týchto prípadoch má funkcia f(x) najväčšiu hodnotu v danom intervale v maximálnom bode a v minimálnom bode najmenšiu hodnotu v tomto intervale. Prejdime k problému.

Číslo 36 sa zapíše ako súčin dvoch kladných čísel, ktorých súčet je najmenší.

rozhodnutie.

1) Nech je prvý faktor x, potom druhý faktor je 36/x.

2) Súčet týchto čísel je x + 36/x.

3) Podľa podmienok úlohy je x kladné číslo. Problém sa teda redukuje na nájdenie hodnoty x - tak, že funkcia f (x) \u003d x + 36 / x má najmenšiu hodnotu na intervale x > 0.

4) Nájdite deriváciu: f´(x) \u003d 1 - 36 / x 2 \u003d ((x + 6) (x - 6)) / x 2.

5) Stacionárne body x 1 = 6, x 2 = -6. Na intervale x > 0 je len jeden stacionárny bod x = 6. Pri prechode bodom x = 6 derivácia zmení znamienko „–“ na znamienko „+“, a preto x = 6 je minimálny bod. Preto funkcia f(x) = x + 36/x nadobúda najmenšiu hodnotu na intervale x > 0 v bode x = 6 (toto je hodnota f(6) = 12).

Odpoveď. 36 = 6 ∙ 6.

Pri riešení niektorých problémov, kde je potrebné nájsť najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie, je užitočné použiť nasledujúce vyhlásenie:

ak sú hodnoty funkcie f(x) na niektorom intervale nezáporné, potom táto funkcia a funkcia (f(x)) n , kde n je prirodzené číslo, nadobúdajú najväčšiu (najmenšiu) hodnotu na rovnaký bod.

stránky, s úplným alebo čiastočným kopírovaním materiálu, je potrebný odkaz na zdroj.