V tomto článku uvádzame hlavné vlastnosti určitého integrálu. Väčšina týchto vlastností je dokázaná na základe Riemannovej a Darbouxovej koncepcie určitého integrálu.

Výpočet určitého integrálu sa veľmi často vykonáva pomocou prvých piatich vlastností, preto sa na ne v prípade potreby odvoláme. Zvyšné vlastnosti určitého integrálu sa používajú najmä na vyhodnotenie rôznych výrazov.

Pred prechodom na základné vlastnosti určitého integrálu, súhlasíme s tým, že a nepresahuje b .

Pre funkciu y = f(x) , definovanú pre x = a , platí rovnosť.

To znamená, že hodnota určitého integrálu s rovnakými integračnými limitmi je nula. Táto vlastnosť je dôsledkom definície Riemannovho integrálu, pretože v tomto prípade je každý integrálny súčet pre ľubovoľné rozdelenie intervalu a ľubovoľný výber bodov rovný nule, pretože preto je limita integrálnych súčtov nula.

Pre funkciu integrovateľnú do segmentu máme .

Inými slovami, keď sa horná a dolná hranica integrácie obráti, hodnota určitého integrálu sa obráti. Táto vlastnosť určitého integrálu vyplýva aj z pojmu Riemannov integrál, len číslovanie delenia úsečky by malo začínať od bodu x = b.

pre funkcie y = f(x) a y = g(x) integrovateľné na intervale.

Dôkaz.

Zapíšeme integrálny súčet funkcie pre danú časť segmentu a daný výber bodov:

kde a sú integrálne súčty funkcií y = f(x) a y = g(x) pre dané rozdelenie segmentu.

Prechod na limit o dostaneme, že podľa definície Riemannovho integrálu je ekvivalentné tvrdeniu dokazovanej vlastnosti.

Konštantný faktor možno vyňať zo znamienka určitého integrálu. To znamená, že pre funkciu integrovateľnú na segmente y = f(x) a ľubovoľnom čísle k je rovnosť .

Dôkaz tejto vlastnosti určitého integrálu je úplne podobný predchádzajúcemu:


Nech je funkcia y = f(x) integrovateľná na intervale X , a a potom .

Táto vlastnosť platí pre obe a pre alebo .

Dôkaz možno vykonať na základe predchádzajúcich vlastností určitého integrálu.

Ak je funkcia integrovateľná do segmentu, potom je integrovateľná aj do akéhokoľvek vnútorného segmentu.

Dôkaz je založený na vlastnosti darbouxových súčtov: ak sa do existujúceho oddielu segmentu pridajú nové body, spodná darbouxová suma sa nezníži a horná sa nezvýši.

Ak je funkcia y = f(x) integrovateľná na intervale a pre akúkoľvek hodnotu argumentu , potom .

Táto vlastnosť je dokázaná prostredníctvom definície Riemannovho integrálu: akýkoľvek integrálny súčet pre ľubovoľný výber deliacich bodov segmentu a bodov v bude nezáporný (nie pozitívny).

Dôsledok.

Pre funkcie y = f(x) a y = g(x) integrovateľné na intervale platia nasledujúce nerovnosti:


Toto tvrdenie znamená, že integrácia nerovností je prípustná. Tento dôsledok použijeme na preukázanie nasledujúcich vlastností.

Nech je funkcia y = f(x) integrovateľná na segmente , potom nerovnosť .

Dôkaz.

To je zrejmé . V predchádzajúcej vlastnosti sme zistili, že nerovnosť je možné integrovať člen po člen, takže je to pravda . Túto dvojitú nerovnosť možno zapísať ako .

Nech sú funkcie y = f(x) a y = g(x) integrovateľné na intervale a pre akúkoľvek hodnotu argumentu , potom , kde a .

Dôkaz sa vykonáva podobným spôsobom. Pretože m a M sú najmenšie a najväčšie hodnoty funkcie y = f(x) na segmente, potom . Vynásobením dvojitej nerovnosti nezápornou funkciou y = g(x) sa dostaneme k nasledujúcej dvojitej nerovnosti. Integráciou na segment sa dostaneme k tvrdeniu, ktoré sa má dokázať.

Dôsledok.

Ak vezmeme g(x) = 1 , potom nerovnosť nadobudne tvar .

Prvý vzorec pre priemer.

Nech je funkcia y = f(x) integrovateľná na segmente , a , potom je číslo také, že .

Dôsledok.

Ak je funkcia y = f(x) spojitá na segmente , potom existuje číslo také, že .

Prvý vzorec priemernej hodnoty v zovšeobecnenej forme.

Nech sú funkcie y = f(x) a y = g(x) integrovateľné na intervale, a , a g(x) > 0 pre akúkoľvek hodnotu argumentu . Potom je tu číslo také, že .

Druhý vzorec pre priemer.

Ak na segmente je funkcia y = f(x) integrovateľná a y = g(x) je monotónna, potom existuje číslo také, že rovnosť .

Tieto vlastnosti sa používajú na vykonávanie transformácií integrálu, aby sa dostal na jeden z elementárnych integrálov a na ďalší výpočet.

1. Derivácia neurčitého integrálu sa rovná integrandu:

2. Diferenciál neurčitého integrálu sa rovná integrandu:

3. Neurčitý integrál diferenciálu nejakej funkcie sa rovná súčtu tejto funkcie a ľubovoľnej konštanty:

4. Z znamienka integrálu možno vyňať konštantný faktor:

Navyše a ≠ 0

5. Integrál súčtu (rozdielu) sa rovná súčtu (rozdielu) integrálov:

6. Nehnuteľnosť je kombináciou vlastností 4 a 5:

Navyše a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. Vlastnosť invariantnosti neurčitého integrálu:

Ak potom

8. Nehnuteľnosť:

Ak potom

V skutočnosti je táto vlastnosť špeciálnym prípadom integrácie pomocou metódy premennej zmeny, ktorá je podrobnejšie diskutovaná v ďalšej časti.

Zvážte príklad:

Najprv sme použili vlastnosť 5, potom vlastnosť 4, potom sme použili tabuľku primitívnych derivátov a dostali sme výsledok.

Algoritmus našej online integrálnej kalkulačky podporuje všetky vlastnosti uvedené vyššie a ľahko nájde podrobné riešenie pre váš integrál.

V diferenciálnom počte je problém vyriešený: pod danou funkciou ƒ(x) nájdite jej deriváciu(alebo diferenciál). Integrálny počet rieši inverzný problém: nájsť funkciu F (x) a poznať jej deriváciu F "(x) \u003d ƒ (x) (alebo diferenciál). Požadovaná funkcia F (x) sa nazýva primitívna funkcia funkcie ƒ (x).

Zavolá sa funkcia F(x). primitívny funkcia ƒ(x) na intervale (a; b), ak je pre ľubovoľné x є (a; b) rovnosť

F "(x)=ƒ(x) (alebo dF(x)=ƒ(x)dx).

napríklad, priraďovacia funkcia y \u003d x 2, x є R je funkcia, pretože

Je zrejmé, že pridružené prvky budú tiež akékoľvek funkcie

kde C je konštanta, pretože

Veta 29. 1. Ak je funkcia F(x) primitívom funkcie ƒ(x) na (a;b), potom množina všetkých primitív pre ƒ(x) je daná vzorcom F(x)+ C, kde C je konštantné číslo.

▲ Funkcia F(x)+C je primitívna funkcia ƒ(x).

Skutočne, (F(x)+C) "=F" (x)=ƒ(x).

Nech F(x) je nejaká iná, odlišná od F(x), primitívna funkcia funkcie ƒ(x), t.j. Ф "(x)=ƒ(x). Potom pre ľubovoľné x є (a; b) máme

A to znamená (pozri Dôsledok 25.1).

kde C je konštantné číslo. Preto Ф(х)=F(x)+С.▼

Zavolá sa množina všetkých primitívnych funkcií F(x)+C pre ƒ(x). neurčitý integrál funkcie ƒ(x) a označuje sa symbolom ∫ ƒ(x) dx.

Takže podľa definície

∫ ƒ(x)dx= F(x)+C.

Tu sa volá ƒ(x). integrand, ƒ(x)dx — integrand, X - integračná premenná, ∫ -neurčitý integrálny znak.

Operácia hľadania neurčitého integrálu funkcie sa nazýva integrácia tejto funkcie.

Geometricky neurčitý integrál je rodina "paralelných" kriviek y \u003d F (x) + C (každá číselná hodnota C zodpovedá určitej krivke rodiny) (pozri obr. 166). Graf každého primitívneho prvku (krivky) je tzv integrálna krivka.

Má každá funkcia neurčitý integrál?

Existuje teorém, ktorý hovorí, že „každá funkcia spojitá na (a; b) má primitívnu funkciu na tomto intervale“, a teda neurčitý integrál.

Všímame si množstvo vlastností neurčitého integrálu, ktoré vyplývajú z jeho definície.

1. Diferenciál neurčitého integrálu sa rovná integrandu a derivácia neurčitého integrálu sa rovná integrandu:

d(∫ ƒ(x)dx)=ƒ(x)dх, (∫ ƒ(x)dx) "=ƒ(x).

Skutočne, d (∫ ƒ (x) dx) \u003d d (F (x) + C) \u003d dF (x) + d (C) \u003d F "(x) dx \u003d ƒ (x) dx

(∫ ƒ (x) dx) "=(F(x)+C)"=F"(x)+0 =ƒ(x).

Vďaka tejto vlastnosti je správnosť integrácie overená diferenciáciou. Napríklad rovnosť

∫(3x 2 + 4) dx=x h + 4x+C

pravda, pretože (x 3 + 4x + C) "= 3x 2 +4.

2. Neurčitý integrál diferenciálu nejakej funkcie sa rovná súčtu tejto funkcie a ľubovoľnej konštanty:

∫dF(x)=F(x)+C.

naozaj,

3. Konštantný faktor možno vyňať zo znamienka integrálu:

α ≠ 0 je konštanta.

naozaj,

(uveďte C 1 / a \u003d C.)

4. Neurčitý integrál algebraického súčtu konečného počtu spojitých funkcií sa rovná algebraickému súčtu integrálov členov funkcií:

Nech F"(x)=ƒ(x) a G"(x)=g(x). Potom

kde C 1 ± C 2 \u003d C.

5. (Nemennosť integračného vzorca).

Ak , kde u=φ(x) je ľubovoľná funkcia, ktorá má spojitú deriváciu.

▲ Nech x je nezávislá premenná, ƒ(x) spojitá funkcia a F(x) jej primitívna funkcia. Potom

Stanovme teraz u=φ(x), kde φ(x) je spojito diferencovateľná funkcia. Uvažujme komplexnú funkciu F(u)=F(φ(x)). V dôsledku invariantnosti tvaru prvého diferenciálu funkcie (pozri s. 160) máme

Odtiaľ▼

Vzorec pre neurčitý integrál teda zostáva platný bez ohľadu na to, či je integračná premenná nezávislou premennou alebo akoukoľvek jej funkciou, ktorá má spojitú deriváciu.

Takže zo vzorca nahradením x za u (u=φ(x)) dostaneme

najmä

Príklad 29.1. Nájdite integrál

kde C \u003d C1 + C2 + C3 + C4.

Príklad 29.2. Nájdite integrálne riešenie:

• 29.3. Tabuľka základných neurčitých integrálov

Využitím skutočnosti, že integrácia je inverznou hodnotou k derivácii, je možné získať tabuľku základných integrálov invertovaním zodpovedajúcich vzorcov diferenciálneho počtu (tabuľky diferenciálov) a využitím vlastností neurčitého integrálu.

napríklad, as

d(sin u)=cos u . du,

Pri zvažovaní hlavných metód integrácie bude uvedené odvodenie niekoľkých vzorcov tabuľky.

Integrály v tabuľke nižšie sa nazývajú tabuľkové integrály. Mali by byť známe naspamäť. V integrálnom počte neexistujú jednoduché a univerzálne pravidlá na hľadanie primitívnych prvkov z elementárnych funkcií, ako v diferenciálnom počte. Metódy na hľadanie primitívnych prvkov (t. j. integrovanie funkcie) sú redukované na indikačné metódy, ktoré prinesú daný (požadovaný) integrál do tabuľkového. Preto je potrebné poznať tabuľkové integrály a vedieť ich rozpoznať.

Všimnite si, že v tabuľke základných integrálov integračná premenná a môže označovať nezávislú premennú aj funkciu nezávisle premennej (podľa vlastnosti invariantnosti integračného vzorca).

Platnosť vzorcov uvedených nižšie je možné overiť zobratím diferenciálu na pravej strane, ktorý sa bude rovnať integrandu na ľavej strane vzorca.

Dokážme napríklad platnosť vzorca 2. Funkcia 1/u je definovaná a spojitá pre všetky nenulové hodnoty u.

Ak u > 0, potom ln|u|=lnu, potom Takže

Ak ty<0, то ln|u|=ln(-u). НоProstriedky

Takže vzorec 2 je správny. Podobne skontrolujeme vzorec 15:

Tabuľka základných integrálov

Priatelia! Pozývame vás na diskusiu. Ak máte názor, napíšte nám do komentárov.

Tento článok podrobne hovorí o hlavných vlastnostiach určitého integrálu. Sú dokázané pomocou konceptu Riemannovho a Darbouxovho integrálu. Výpočet určitého integrálu prebieha vďaka 5 vlastnostiam. Zvyšok z nich sa používa na vyhodnotenie rôznych výrazov.

Pred prechodom k hlavným vlastnostiam určitého integrálu je potrebné sa uistiť, že a nepresahuje b .

Základné vlastnosti určitého integrálu

Definícia 1

Funkcia y \u003d f (x), definovaná pre x \u003d a, je podobná spravodlivej rovnosti ∫ a a f (x) d x \u003d 0.

Dôkaz 1

Odtiaľ vidíme, že hodnota integrálu so zhodnými limitami sa rovná nule. Je to dôsledok Riemannovho integrálu, pretože každý integrálny súčet σ pre ľubovoľný oddiel na intervale [ a ; a ] a ľubovoľný výber bodov ζ i sa rovná nule, pretože x i - x i - 1 = 0 , i = 1 , 2 , . . . , n , tak dostaneme, že limita integrálnych funkcií je nulová.

Definícia 2

Pre funkciu integrovateľnú na intervale [ a ; b ] , podmienka ∫ a b f (x) d x = - ∫ b a f (x) d x je splnená.

Dôkaz 2

Inými slovami, ak miestami zmeníte hornú a dolnú hranicu integrácie, potom hodnota integrálu zmení hodnotu na opačnú. Táto vlastnosť je prevzatá z Riemannovho integrálu. Číslovanie delenia segmentu však začína od bodu x = b.

Definícia 3

∫ a b f x ± g (x) d x = ∫ a b f (x) d x ± ∫ a b g (x) d x sa používa pre integrovateľné funkcie typu y = f (x) a y = g (x) definované na intervale [ a ; b] .

Dôkaz 3

Napíšte integrálny súčet funkcie y = f (x) ± g (x) pre rozdelenie na segmenty s daným výberom bodov ζ i: σ = ∑ i = 1 n f ζ i ± g ζ i x i - x i - 1 = = ∑ i = 1 n f (ζ i) x i - x i - 1 ± ∑ i = 1 n g ζ i x i - x i - 1 = σ f ± σ g

kde σ f a σ g sú celé súčty funkcií y = f (x) a y = g (x) na rozdelenie segmentu. Po prechode na limitu pri λ = m a x i = 1 , 2 , . . . , n (x i - x i - 1) → 0 dostaneme, že lim λ → 0 σ = lim λ → 0 σ f ± σ g = lim λ → 0 σ g ± lim λ → 0 σ g .

Z Riemannovej definície je tento výraz ekvivalentný.

Definícia 4

Vyňatie konštantného činiteľa zo znamienka určitého integrálu. Integrovateľná funkcia z intervalu [ a ; b ] s ľubovoľnou hodnotou k má platnú nerovnosť v tvare ∫ a b k · f (x) d x = k · ∫ a b f (x) d x .

Dôkaz 4

Dôkaz vlastnosti určitého integrálu je podobný predchádzajúcemu:

σ = ∑ i = 1 n k f ζ i (x i - x i - 1) = = k ∑ i = 1 n f ζ i (x i - x i - 1) = k σ f ⇒ lim λ → 0 σ = lim λ → 0 (k σ f) = k lim λ → 0 σ f ⇒ ∫ a b k f (x) d x = k ∫ a b f (x) d x

Definícia 5

Ak je funkcia tvaru y = f (x) integrovateľná na intervale x s a ∈ x , b ∈ x , dostaneme ∫ a b f (x) d x = ∫ a c f (x) d x + ∫ c b f (x) d x .

Dôkaz 5

Vlastnosť sa považuje za platnú pre c ∈ a ; b , pre c ≤ a a c ≥ b . Dôkaz sa vykonáva podobne ako pri predchádzajúcich vlastnostiach.

Definícia 6

Keď funkcia má schopnosť byť integrovateľná zo segmentu [ a ; b], potom je to možné pre akýkoľvek vnútorný segment c; d ∈ a; b.

Dôkaz 6

Dôkaz je založený na Darbouxovej vlastnosti: ak sú body pridané do existujúcej partície segmentu, potom sa spodná Darbouxova suma nezníži a horná sa nezvýši.

Definícia 7

Keď je funkcia integrovateľná na [ a ; b ] z f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 pre akúkoľvek hodnotu x ∈ a ; b , potom dostaneme, že ∫ a b f (x) d x ≥ 0 ∫ a b f (x) ≤ 0 .

Vlastnosť možno dokázať pomocou definície Riemannovho integrálu: ľubovoľný integrálny súčet pre ľubovoľný výber bodov rozdelenia úsečky a bodov ζ i s podmienkou, že f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 je nezáporné.

Dôkaz 7

Ak sú funkcie y = f (x) a y = g (x) integrovateľné na segmente [ a ; b ] , potom sa nasledujúce nerovnosti považujú za platné:

∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b g (x) d x, f (x) ≤ g (x) ∀ x ∈ a; b ∫ a b f (x) d x ≥ ∫ a b g (x) d x, f (x) ≥ g (x) ∀ x ∈ a ; b

Vďaka tvrdeniu vieme, že integrácia je prípustná. Tento dôsledok sa použije pri preukazovaní iných vlastností.

Definícia 8

Pre integrovateľnú funkciu y = f (x) zo segmentu [ a ; b ] máme platnú nerovnosť tvaru ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x .

Dôkaz 8

Máme, že - f (x) ≤ f (x) ≤ f (x) . Z predchádzajúcej vlastnosti sme získali, že nerovnosť možno integrovať člen po člene a zodpovedá nerovnosti v tvare - ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x . Táto dvojitá nerovnosť môže byť zapísaná v inom tvare: ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x .

Definícia 9

Keď sú funkcie y = f (x) a y = g (x) integrované zo segmentu [ a ; b] pre g (x) ≥ 0 pre ľubovoľné x ∈ a; b , dostaneme nerovnosť tvaru m ∫ a b g (x) d x ≤ ∫ a b f (x) g (x) d x ≤ M ∫ a b g (x) d x , kde m = m i n x ∈ a ; bf (x) a M = m a x x ∈ a; b f (x).

Dôkaz 9

Dôkaz sa robí podobným spôsobom. M a m sa považujú za najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie y = f (x) definované zo segmentu [ a ; b], potom m ≤ f (x) ≤ M . Dvojitú nerovnosť je potrebné vynásobiť funkciou y = g (x) , čím dostaneme hodnotu dvojitej nerovnosti tvaru m g (x) ≤ f (x) g (x) ≤ M g (x) . Je potrebné ho integrovať na segment [ a ; b ] , potom dostaneme tvrdenie, ktoré sa má dokázať.

Dôsledok: Pre g (x) = 1 sa nerovnosť zmení na m b - a ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ M (b - a) .

Prvý priemerný vzorec

Definícia 10

Pre y = f (x) integrovateľné na intervale [ a ; b ] s m = m i n x ∈ a ; bf (x) a M = m a x x ∈ a; b f (x) existuje číslo μ ∈ m ; M , čo sa hodí ∫ a b f (x) d x = μ · b - a .

Dôsledok: Keď je funkcia y = f (x) spojitá zo segmentu [ a ; b ] , potom existuje také číslo c ∈ a ; b , ktoré spĺňa rovnosť ∫ a b f (x) d x = f (c) b - a .

Prvý vzorec priemernej hodnoty v zovšeobecnenej forme

Definícia 11

Keď sú funkcie y = f (x) a y = g (x) integrovateľné zo segmentu [ a ; b ] s m = m i n x ∈ a ; bf (x) a M = m a x x ∈ a; b f (x) a g (x) > 0 pre akúkoľvek hodnotu x ∈ a; b. Z toho vyplýva, že existuje číslo μ ∈ m ; M , ktorá spĺňa rovnosť ∫ a b f (x) g (x) d x = μ · ∫ a b g (x) d x .

Druhý vzorec strednej hodnoty

Definícia 12

Keď je funkcia y = f (x) integrovateľná zo segmentu [ a ; b ] a y = g (x) je monotónne, potom existuje číslo, ktoré c ∈ a ; b , kde dostaneme spravodlivú rovnosť tvaru ∫ a b f (x) g (x) d x = g (a) ∫ a c f (x) d x + g (b) ∫ c b f (x) d x

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Riešenie integrálov je ľahká úloha, ale len pre elitu. Tento článok je pre tých, ktorí sa chcú naučiť chápať integrály, ale vedia o nich málo alebo vôbec nič. Integrálna... Prečo je to potrebné? Ako to vypočítať? Čo sú to určité a neurčité integrály?

Ak jediné využitie integrálu, ktoré poznáte, je získať niečo užitočné z ťažko dostupných miest pomocou háčika v tvare ikony integrálu, potom vitajte! Naučte sa riešiť jednoduché a iné integrály a prečo sa bez toho v matematike nezaobídete.

Študujeme koncept « integrálne »

Integrácia bola známa už v starovekom Egypte. Samozrejme, nie v modernej podobe, ale predsa. Odvtedy matematici napísali na túto tému veľké množstvo kníh. Zvlášť odlíšené newton a Leibniz ale podstata veci sa nezmenila.

Ako pochopiť integrály od začiatku? V žiadnom prípade! Na pochopenie tejto témy budete stále potrebovať základné znalosti základov matematickej analýzy. Informácie o limitách a deriváciách, ktoré sú potrebné aj na pochopenie integrálov, sú už v našom blogu.

Neurčitý integrál

Dajme si nejakú funkciu f(x) .

Neurčitý integrál funkcie f(x) takáto funkcia sa nazýva F(x) , ktorého derivácia sa rovná funkcii f(x) .

Inými slovami, integrál je reverzná derivácia alebo primitívna derivácia. Mimochodom, prečítajte si náš článok o tom, ako vypočítať deriváty.

Pre všetky spojité funkcie existuje primitívna derivácia. K primitívnej derivácii sa často pridáva aj konštantné znamienko, pretože deriváty funkcií, ktoré sa líšia konštantou, sa zhodujú. Proces hľadania integrálu sa nazýva integrácia.

Jednoduchý príklad:

Aby sme neustále nepočítali primitívne derivácie elementárnych funkcií, je vhodné ich preniesť do tabuľky a použiť hotové hodnoty.

Kompletná tabuľka integrálov pre študentov

Určitý integrál

Keď sa zaoberáme pojmom integrál, máme do činenia s nekonečne malými veličinami. Integrál pomôže vypočítať plochu postavy, hmotnosť nehomogénneho telesa, dráhu prejdenú pri nerovnomernom pohybe a oveľa viac. Malo by sa pamätať na to, že integrál je súčtom nekonečne veľkého počtu nekonečne malých členov.

Ako príklad si predstavte graf nejakej funkcie.

Ako nájsť oblasť obrázku ohraničenú grafom funkcie? S pomocou integrálu! Rozložme krivočiary lichobežník, ohraničený súradnicovými osami a grafom funkcie, na nekonečne malé segmenty. Obrázok bude teda rozdelený do tenkých stĺpcov. Súčet plôch stĺpcov bude plocha lichobežníka. Pamätajte však, že takýto výpočet poskytne približný výsledok. Čím sú však segmenty menšie a užšie, tým presnejší bude výpočet. Ak ich znížime do takej miery, že dĺžka bude mať tendenciu k nule, potom bude súčet plôch segmentov smerovať k ploche obrázku. Toto je určitý integrál, ktorý je napísaný takto:

Body a a b sa nazývajú hranice integrácie.

« Integrálne »

Mimochodom! Pre našich čitateľov je teraz zľava 10%. akýkoľvek druh práce

Pravidlá pre výpočet integrálov pre figuríny

Vlastnosti neurčitého integrálu

Ako vyriešiť neurčitý integrál? Tu zvážime vlastnosti neurčitého integrálu, ktoré budú užitočné pri riešení príkladov.

• Derivácia integrálu sa rovná integrandu:

• Konštantu možno vybrať pod znakom integrálu:

• Integrál súčtu sa rovná súčtu integrálov. Platí to aj pre rozdiel:

Vlastnosti určitého integrálu

• Linearita:

• Znamienko integrálu sa zmení, ak sa obrátia hranice integrácie:

• o akýkoľvek bodov a, b a s:

Už sme zistili, že určitý integrál je limita súčtu. Ako však získať konkrétnu hodnotu pri riešení príkladu? Na tento účel existuje Newtonov-Leibnizov vzorec:

Príklady riešenia integrálov

Nižšie uvažujeme o neurčitom integráli a príkladoch s riešeniami. Ponúkame vám, aby ste nezávisle porozumeli zložitosti riešenia, a ak niečo nie je jasné, položte otázky v komentároch.

Na upevnenie materiálu si pozrite video o tom, ako sa integrály riešia v praxi. Nezúfajte, ak sa integrál neuvedie okamžite. Obráťte sa na profesionálny študentský servis a akýkoľvek trojitý alebo krivočiary integrál na uzavretom povrchu bude vo vašich silách.