RIEŠENIE LINEÁRNYCH NEROVNOSTÍ

Vlastnosti numerických rovníc nám pomohli vyriešiť rovnice, teda nájsť tie hodnoty premennej, pre ktoré sa rovnica zmení na skutočnú numerickú rovnosť. Rovnakým spôsobom nám vlastnosti číselných nerovností pomôžu riešiť nerovnice s premennou, teda nájsť tie hodnoty premennej, pre ktoré sa nerovnosť s premennou zmení na skutočnú číselnú nerovnosť. Každá takáto hodnota premennej sa zvyčajne nazýva riešenie nerovnosti s premennou.

Zoberme si napríklad nerovnosť

2x + 5< 7.

Nahrádzanie namiesto X význam 0 , dostaneme 5 < 7 - skutočná nerovnosť; znamená, x = 0 X význam 1 , dostaneme 7 < 7 - nesprávna nerovnosť; Preto x = 1 nie je riešením tejto nerovnosti. Nahrádzanie namiesto X význam -3 , dostaneme -6 + 5 < 7 , t.j. - 1 < 7 - skutočná nerovnosť; teda, x = -3 je riešením tejto nerovnosti. Nahrádzanie namiesto X význam 2,5 , dostaneme 2 - 2,5 + 5 < 7 , t.j. 10 < 7 - nesprávna nerovnosť. znamená, x = 2,5 nie je riešením nerovnosti.

Ale chápete, že toto je slepá ulička: takto nevyrieši nerovnosť ani jeden matematik, pretože všetky čísla sa nedajú zoradiť! Tu je potrebné použiť vlastnosti numerických nerovností a argumentovať nasledovne.

Takéto čísla nás zaujímajú X, na ktorom 2x + 5< 7 - správna číselná nerovnosť. Ale potom a 2x + 5 - 5< 7 - 5 - skutočná nerovnosť (podľa vlastnosti 2: k obom častiam nerovnosti bolo pridané rovnaké číslo - 5 ). Máme jednoduchšiu nerovnosť 2x< 2 . Vydelením oboch jeho častí kladným číslom 2 , získame (na základe vlastnosti 3) správnu nerovnosť X< 1 .

Čo to znamená? To znamená, že riešením nerovnosti je ľubovoľné číslo X, čo je menej 1 . Tieto čísla vypĺňajú otvorený lúč (-∞, 1) . Zvyčajne sa hovorí, že tento lúč je riešením nerovnosti 2x + 5< 7 (Presnejšie by bolo hovoriť o súbore riešení, ale matematici sú ako vždy hospodárni slovami). Na písanie riešení tejto nerovnosti teda môžeme použiť dve možnosti: X< 1 alebo (-∞, 1) .

Vlastnosti numerických nerovností nám umožňujú riadiť sa pri riešení nerovníc nasledujúcimi pravidlami:

Pravidlo 1. Ktorýkoľvek člen nerovnosti možno preniesť z jednej časti nerovnosti na druhú s opačným znamienkom bez zmeny znamienka nerovnosti.

Pravidlo 2. Obidve časti nerovnosti možno vynásobiť alebo vydeliť rovnakým kladným číslom bez zmeny znamienka nerovnosti.

Pravidlo 3. Obe časti nerovnosti možno vynásobiť alebo vydeliť rovnakým záporným číslom, pričom znamienko nerovnosti zmeníme na opačné.

Tieto pravidlá aplikujeme na riešenie lineárnych nerovností, t.j. nerovností, ktoré sa redukujú do tvaru ax + b > 0(alebo sekera + b< 0 ),

kde a a b- ľubovoľné číslo, s jednou výnimkou: a ≠ 0.

Príklad 1

Vyriešte nerovnosť Zx - 5 ≥ 7x - 15.

rozhodnutie.

Presuňme člena 7x na ľavú stranu nerovnosti a člen - 5 - na pravú stranu nerovnosti, pričom nezabudnúť zmeniť znamienka člena 7x a členom -5 (riadime sa pravidlom 1). Potom dostaneme

Zx - 7x ≥ - 15 + 5, t.j. - 4x ≥ - 10.

Vydeľte obe časti poslednej nerovnosti rovnakým záporným číslom - 4 , nezabúdajúc prejsť na nerovnosť opačného významu (riadi sa pravidlom 3). Získajte X< 2,5 . Toto je riešenie danej nerovnosti.

Ako sme sa dohodli, na napísanie riešenia môžete použiť zápis zodpovedajúceho intervalu číselnej osi: (-∞, 2,5] .

odpoveď: X< 2,5 , alebo (-∞, 2,5] .

Pre nerovnice, ako aj pre rovnice sa zavádza pojem ekvivalencie. Dve nerovnosti f(x)< g(x) и r(x) < s(x) volal ekvivalent ak majú rovnaké riešenia (alebo najmä ak obe nerovnosti nemajú riešenia).

Väčšinou sa pri riešení nerovnosti snažia túto nerovnosť nahradiť jednoduchšou, no rovnocennou. Takáto náhrada je tzv ekvivalentná transformácia nerovnosti. Tieto transformácie sú práve uvedené v pravidlách 1-3 formulovaných vyššie.

Príklad 2

Vyriešte nerovnosť

rozhodnutie.

Vynásobte obe strany nerovnosti kladným číslom 15 , pričom znamienko nerovnosti ponecháme nezmenené (pravidlo 2), To nám umožní zbaviť sa menovateľov, t. j. prejsť na jednoduchšiu nerovnosť ekvivalentnú danej nerovnosti:

Použitím pravidla 1 pre poslednú nerovnosť získame jej jednoduchšiu nerovnosť:

Nakoniec, použitím pravidla 3, dostaneme

Odpoveď: alebo

Na záver poznamenávame, že s využitím vlastností číselných nerovností, samozrejme, nemôžeme riešiť akúkoľvek nerovnosť s premennou, ale len takú, ktorá po sérii jednoduchých transformácií (ako sú tie, ktoré boli vykonané v príkladoch z r. tento odsek), má formu sekera > b(samozrejme, namiesto znaku > môže byť akýkoľvek iný znak nerovnosti, prísny alebo neprísny).

§ 1 Lineárne nerovnosti

V tejto lekcii si predstavíme definíciu lineárnej nerovnosti. Zvážte vlastnosti používané pri riešení lineárnych nerovností. Poďme sa naučiť, ako riešiť lineárne nerovnosti.

Lineárna nerovnosť je nerovnosť v tvare ax + b > 0 alebo ax + b< 0, где переменная или искомая величина, a и b- некоторые числа, причем a ≠ 0.

Keďže nerovnosť môže byť prísna a neprísna, lineárne nerovnosti môžu mať nasledujúci tvar ax+ b ≥0, ax+ b ≤ 0.

Nerovnosť je lineárna, pretože x je zahrnuté v nerovnosti do prvého stupňa.

Riešením lineárnej nerovnosti je hodnota premennej x, pri ktorej sa nerovnosť zmení na skutočnú číselnú nerovnosť.

Vezmite nerovnosť 2x+5 > 0.

Nahraďte x nulu. Dostaneme 5 > 0. Toto je správna nerovnosť. Takže x=0 je riešením nerovnosti 2x+5>0.

Ak namiesto x dosadíme hodnotu -2,5, dostaneme 0 > 0. Toto je nesprávna nerovnosť. Preto x= -2,5 nie je riešením lineárnej nerovnosti 2x + 5>0. Výberom hodnôt x je možné nájsť niekoľko konkrétnych riešení.

Nájsť všetky riešenia alebo dokázať, že nerovnica nemá riešenia, znamená vyriešiť lineárnu nerovnosť.

Nerovnice, ktoré majú rovnaké riešenia, sa nazývajú ekvivalentné.

Pri riešení nerovností sa používajú pravidlá, pomocou ktorých možno získať ekvivalentné nerovnosti, ktoré sa ľahšie riešia.

§ 2 Príklady riešenia lineárnych nerovníc

Riešime nerovnosť 2x+5>0. A prvé pravidlo, ktoré tu možno použiť, je: ak prenesieme člen nerovnosti z jednej časti nerovnosti na druhú s opačným znamienkom bez toho, aby sme zmenili znamienko nerovnosti, dostaneme ekvivalentnú nerovnosť.

Vydeľte obe strany nerovnosti 2. Dostaneme x > -2,5.

Odpoveď možno zapísať takto: x > -2,5 alebo ako číselný interval

Výsledkom je pozitívne nasmerovaný otvorený lúč.

Otvorené, pretože naša nerovnosť je prísna, čo znamená, že číslo -2,5 nie je zahrnuté v číselnom rozsahu.

Vyriešme ďalšiu lineárnu nerovnosť 3x - 3 ≥ 7x - 15.

Rovnako ako pri riešení lineárnych rovníc posúvame členy s x doľava a číselné členy doprava. Nezabudnime pri prenose zmeniť znamienka pojmov na opačné. Na základe prvého pravidla sa znamienko nerovnosti nemení.

Dostaneme 3x - 7x ≥ -15 + 3 alebo -4x ≥ -12.

Ďalej použijeme tretie pravidlo: ak sa obe časti nerovnosti vynásobia alebo vydelia rovnakým záporným číslom, pričom znamienko nerovnosti zmeníme na opačné, dostaneme ekvivalentnú nerovnosť.

Vydeľte obe strany nerovnosti -4.

Dostaneme x ≤ 3.

Ukážme riešenie na osi x.

Výsledkom je negatívne smerovaný uzavretý lúč. Uzavreté, pretože naša nerovnosť nie je striktná, čo znamená, že číslo 3 je zahrnuté v číselnom intervale.

Zvážte riešenie zložitejšej lineárnej nerovnosti

Pomocou druhého pravidla vynásobíme obe časti nerovnice číslom 15. Číslo 15 bude spoločným menovateľom zlomkov.

Vynásobte čitateľov ďalšími faktormi.

Dostaneme nerovnosť 5x + 6x - 3 > 30x.

Pomocou pravidla jedna prenášame členy z x doľava, číselné členy doprava, pričom pri prenose meníme znamienka na opak.

Dostaneme -19x > 3.

Použite pravidlo tri, vydeľte obe strany nerovnosti -19. V tomto prípade musíte zmeniť znamienko nerovnosti na opačné znamienko.

Ukážme riešenie na osi x.

Výsledkom je otvorený lúč, pretože nerovnosť je prísna, čo znamená, že číslo nie je zahrnuté v číselnom rozsahu. Toto je negatívne nasmerovaný lúč.

Riešime nasledujúcu nerovnosť

Vynásobte obe strany nerovnosti 4.

Dostaneme 5 - 2x ≤ 8x. Posuňte výrazy z x doľava, číselné výrazy doprava

2x - 8x ≤ -5 alebo -10x ≤ -5.

Vydeľte obe strany nerovnosti -10. Toto číslo je záporné, podľa pravidla 3 je potrebné zmeniť znamienko nerovnosti na opačné.

Dostaneme x≥0,5.

Ukážme riešenie na osi x.

Výsledkom je uzavretý lúč, pretože nerovnosť nie je striktná, čo znamená, že číslo 0,5 je zahrnuté v číselnom intervale. Toto je pozitívne nasmerovaný lúč.

Pri riešení nerovníc po transformáciách sa môže ukázať, že koeficient v x sa rovná nule, napríklad 0∙x> b (alebo 0∙x< b). Такое неравенство не имеет решений или решением является любое число.

Vyriešte nerovnosť 2(x + 8) -5x< 4-3х.

Otvoríme zátvorky 2x + 16 - 5x< 4 - 3х.

Pomocou vlastnosti jedna posunieme členy z x doľava a čísla doprava, dostaneme 0∙x< -12. При любом значении х неравенство обращается в неравенство 0 < -12. Это неверное неравенство.

Odpoveď: žiadne riešenie alebo prázdna množina.

Vyriešme ďalšiu nerovnosť x > x - 1.

Presuňme x sprava doľava, dostaneme 0∙x > -1. Pre akúkoľvek hodnotu x sa nerovnosť zmení na nerovnosť 0 > -1. Toto je správna nerovnosť.

§ 3 Zhrnutie vyučovacej hodiny

Dôležité mať na pamäti:

Lineárna nerovnosť je nerovnosť v tvare ax + b > 0 (alebo ax + b< 0, aх+ b ≥ 0, aх+ b≤ 0), где х - переменная, a и b- некоторые числа, причем a≠0.

Riešenie nerovnosti znamená nájsť všetky jej riešenia alebo dokázať, že riešenia neexistujú.

Pri riešení lineárnych nerovností sa používajú pravidlá, ktoré umožňujú nahradiť túto nerovnosť ľahšie riešiteľnými ekvivalentnými nerovnicami:

1) ak sa člen nerovnosti prenesie z jednej časti nerovnosti na druhú s opačným znamienkom bez zmeny znamienka nerovnosti, dostaneme ekvivalentnú nerovnosť;

2) ak sa obe časti nerovnosti vynásobia alebo vydelia rovnakým kladným číslom bez zmeny znamienka nerovnosti, dostaneme ekvivalentnú nerovnosť;

3) ak sa obe časti nerovnosti vynásobia alebo vydelia rovnakým záporným číslom, pričom sa znamienko nerovnosti zmení na opačné, dostaneme ekvivalentnú nerovnosť.

Účelom aplikácie týchto pravidiel je znížiť lineárnu nerovnosť na tvar x > b/a alebo x< b/a.

Riešením lineárnej nerovnosti je číselný interval. Môže to byť otvorený alebo uzavretý číselný lúč, ktorý môže byť buď

pozitívne smerované a negatívne smerované.

Zoznam použitej literatúry:

1. Makarychev Yu.N., N.G. Mindyuk, Neshkov K.I., Suvorova S.B., editoval Telyakovsky S.A. Algebra: učebnica. pre 8 buniek. všeobecné vzdelanie inštitúcií. - M.: Vzdelávanie, 2013.
2. Mordkovich A.G. Algebra. 8. ročník: V dvoch častiach. Časť 1: Proc. pre všeobecné vzdelanie inštitúcií. - M.: Mnemosyne.
3. Rurukin A.N. Vývoj lekcií z algebry: 8. ročník - M .: VAKO, 2010.
4. Algebra ročník 8: plány hodín podľa učebnice Yu.N. Makarycheva, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkova, S.B. Suvorová / Auth.-comp. T.L. Afanasiev, L.A. Tapilina. - Volgograd: Učiteľ, 2005.

Čo potrebujete vedieť o ikonách nerovnosti? Nerovnosti ikon viac (> ), alebo menšie (< ) sa volajú prísny. S ikonami viac alebo rovné (≥ ), menšie alebo rovnaké (≤ ) sa volajú neprísne. Ikona nerovná sa (≠ ) stojí samostatne, ale príklady s touto ikonou musíte neustále riešiť. A budeme.)

Samotná ikona nemá veľký vplyv na proces riešenia. Ale na konci riešenia, pri výbere konečnej odpovede, sa význam ikony objaví v plnej sile! Ako uvidíme nižšie, v príkladoch. Je tam pár vtipov...

Nerovnosti, rovnako ako rovnosť, sú verný a neverný. Všetko je tu jednoduché, bez trikov. Povedzme 5 > 2 je správna nerovnosť. 5 < 2 je nesprávne.

Takáto príprava funguje pri nerovnostiach akýkoľvek druh a jednoduché až hororové.) Stačí správne vykonať dve (iba dve!) základné akcie. Tieto akcie sú známe každému. Ale, čo je typické, zárubne v týchto akciách sú hlavnou chybou pri riešení nerovností, áno... Preto je potrebné tieto akcie opakovať. Tieto akcie sa nazývajú takto:

Identitné transformácie nerovností.

Identitné transformácie nerovností sú veľmi podobné identitným transformáciám rovníc. V skutočnosti je to hlavný problém. Rozdiely prešli cez hlavu a ... prišli.) Preto vyzdvihnem najmä tieto rozdiely. Takže prvá identická transformácia nerovností:

1. K obom častiam nerovnice možno pridať (odčítať) rovnaké číslo alebo výraz. Akýkoľvek. Znak nerovnosti sa nezmení.

V praxi sa toto pravidlo uplatňuje ako presun pojmov z ľavej strany nerovnice na pravú stranu (a naopak) so zmenou znamienka. So zmenou znamienka pojmu, nie nerovnosť! Pravidlo jeden na jedného je rovnaké ako pravidlo pre rovnice. Nasledujúce identické transformácie v nerovnostiach sa však výrazne líšia od tých v rovniciach. Preto ich zvýrazním červenou farbou:

2. Obe časti nerovnosti možno vynásobiť (vydeliť) rovnakopozitívnečíslo. Pre akékoľvekpozitívne nezmení sa.

3. Obe časti nerovnosti možno vynásobiť (vydeliť) rovnakonegatívnečíslo. Pre akékoľveknegatívnečíslo. Znak nerovnosti z tohosa zmení na opak.

Pamätáte si (dúfate...), že rovnica sa dá vynásobiť/rozdeliť čímkoľvek. A pre ľubovoľné číslo a pre výraz s x. Pokiaľ to nie je nula. On, rovnica, nie je z toho ani horúca, ani studená.) Nezmení sa. Ale nerovnosti sú citlivejšie na násobenie/delenie.

Dobrý príklad na dlhú pamäť. Píšeme nerovnosť, ktorá nespôsobuje pochybnosti:

5 > 2

Vynásobte obe strany +3, dostaneme:

15 > 6

Sú nejaké námietky? Neexistujú žiadne námietky.) A ak obe časti pôvodnej nerovnosti vynásobíme o -3, dostaneme:

15 > -6

A toto je jasná lož.) Úplná lož! Oblbovanie ľudí! Ale akonáhle sa znamienko nerovnosti obráti, všetko zapadne na svoje miesto:

15 < -6

O klamstvách a klamstve - nielen prisahám.) "Zabudol som zmeniť znamienko nerovnosti..."- Toto Domov chyba pri riešení nerovností. Toto malicherné a nekomplikované pravidlo ublížilo toľkým ľuďom! Kto ste zabudli...) Tak prisahám. Možno si spomeniete...)

Tí obzvlášť pozorní si všimnú, že nerovnosť nemožno vynásobiť výrazom s x. Rešpektujte pozorný!) A prečo nie? Odpoveď je jednoduchá. Znamienko tohto výrazu s x nepoznáme. Môže byť pozitívna, negatívna... Preto nevieme, aké znamienko nerovnosti dať po násobení. Zmeniť to alebo nie? Neznámy. Samozrejme, toto obmedzenie (zákaz násobenia / delenia nerovnice výrazom s x) sa dá obísť. Ak to naozaj potrebujete. Ale to je téma na iné hodiny.

To všetko sú identické transformácie nerovností. Dovoľte mi znova pripomenúť, že pracujú pre akýkoľvek nerovnosti. A teraz môžete prejsť na konkrétne typy.

Lineárne nerovnosti. Riešenie, príklady.

Lineárne nerovnosti sa nazývajú nerovnice, v ktorých x je na prvom stupni a neexistuje delenie x. Typ:

x+3 > 5x-5

Ako sa riešia tieto nerovnosti? Sú veľmi ľahko riešiteľné! Totiž: s pomocou znížime najzmätenejšiu lineárnu nerovnosť rovno k odpovedi. To je celé riešenie. Vyzdvihnem hlavné body riešenia. Aby ste sa vyhli hlúpym chybám.)

Riešime túto nerovnosť:

x+3 > 5x-5

Riešime rovnakým spôsobom ako lineárnu rovnicu. S jediným rozdielom:

Venujte veľkú pozornosť značke nerovnosti!

Prvý krok je najbežnejší. S x - doľava, bez x - doprava ... Toto je prvá identická transformácia, jednoduchá a bezproblémová.) Len nezabudnite zmeniť znamienka prenesených členov.

Znak nerovnosti sa zachová:

x-5x > -5-3

Predstavujeme podobné.

Znak nerovnosti sa zachová:

4x > -8

Zostáva použiť poslednú identickú transformáciu: vydeľte obe časti -4.

Deliť podľa negatívnečíslo.

Znamienko nerovnosti bude obrátené:

X < 2

Toto je odpoveď.

Takto sa riešia všetky lineárne nerovnosti.

Pozor! Bod 2 je nakreslený bielou farbou, t.j. nenamaľované. Vo vnútri prázdno. To znamená, že nie je zahrnutá v odpovedi! Takúto zdravú som ju nakreslil zámerne. Takýto bod (prázdny, nie zdravý!)) v matematike sa nazýva vyrazený bod.

Zostávajúce čísla na osi je možné označiť, ale nie je to potrebné. Cudzie čísla, ktoré nesúvisia s našou nerovnosťou, môžu byť mätúce, áno ... Len si treba uvedomiť, že nárast čísel ide v smere šípky, t.j. čísla 3, 4, 5 atď. sú doprava dvojky a čísla 1, 0, -1 atď. - doľava.

Nerovnosť x < 2 - prísny. X je striktne menej ako dva. V prípade pochybností je kontrola jednoduchá. Do nerovnice dosadíme pochybné číslo a pomyslíme si: "Dva je menej ako dva? Samozrejme, že nie!" presne tak. Nerovnosť 2 < 2 nesprávne. Dvojka nie je dobrá ako odpoveď.

Je single dosť dobrý? určite. Menej ... A nula je dobrá a -17 a 0,34 ... Áno, všetky čísla, ktoré sú menšie ako dve, sú dobré! A dokonca 1,9999 .... Aspoň trochu, ale menej!

Všetky tieto čísla teda označíme na číselnej osi. ako? Tu sú možnosti. Prvou možnosťou je šrafovanie. Ukážeme myšou na obrázok (alebo sa dotkneme obrázka na tablete) a vidíme, že oblasť guľôčok x, ktorá zodpovedá podmienke x, je zatienená < 2 . To je všetko.

Pozrime sa na druhú možnosť v druhom príklade:

X ≥ -0,5

Nakreslite os, označte číslo -0,5. Páči sa ti to:

Všimli ste si ten rozdiel?) No áno, je ťažké si to nevšimnúť... Táto bodka je čierna! Premaľované. To znamená, že -0,5 zahrnuté v odpovedi. Tu, mimochodom, kontrolu a zmiasť niekoho. Nahrádzame:

-0,5 ≥ -0,5

Ako to? -0,5 nie je nič viac ako -0,5! Existuje viac ikon...

Je to v poriadku. V neprísnej nerovnosti je vhodné všetko, čo sa hodí k ikone. A rovná sa fit a viac dobre. Preto je v odpovedi zahrnutých -0,5.

Takže na osi sme označili -0,5, zostáva označiť všetky čísla, ktoré sú väčšie ako -0,5. Tentokrát označujem rozsah vhodných hodnôt x spútať(od slova oblúk) skôr ako vyliahnutie. Umiestnite kurzor myši na obrázok a uvidíte tento luk.

Medzi šrafovaním a oblúkmi nie je žiadny zvláštny rozdiel. Urobte, ako hovorí učiteľ. Ak nie je učiteľ, nakreslite ruky. Pri zložitejších úlohách je šrafovanie menej zrejmé. Môžete sa zmiasť.

Takto sa na osi vykresľujú lineárne nerovnosti. Prejdeme k ďalšej singularite nerovností.

Napíšte odpoveď na nerovnosti.

V rovniciach to bolo dobré.) Našli sme x a zapísali sme odpoveď, napríklad: x \u003d 3. V nerovnostiach existujú dve formy písania odpovedí. Jeden - vo forme konečnej nerovnosti. Dobré pre jednoduché prípady. Napríklad:

X< 2.

Toto je úplná odpoveď.

Niekedy je potrebné napísať to isté, ale v inej forme, cez číselné medzery. Potom záznam začne vyzerať veľmi vedecky):

x ∈ (-∞; 2)

Pod ikonou ∈ skrývanie slova „patrí“.

Záznam znie takto: x patrí do intervalu od mínus nekonečna do dvoch nezahrňuje. Celkom logické. X môže byť ľubovoľné číslo zo všetkých možných čísel od mínus nekonečna po dve. Dvojité X nemôže byť, čo nám hovorí slovo "nezahrňuje".

Kde je v odpovedi, že "nezahrňuje"? Táto skutočnosť je uvedená v odpovedi. okrúhly zátvorka hneď za dvojkou. Ak by bola zahrnutá dvojka, zátvorka by bola námestie. Tu je: ]. Nasledujúci príklad používa takúto zátvorku.

Zapíšme si odpoveď: x ≥ -0,5 cez intervaly:

x ∈ [-0,5; +∞)

Číta: x patrí do intervalu od mínus 0,5, počítajúc do toho, až do plus nekonečna.

Infinity sa nikdy nedá zapnúť. Nie je to číslo, je to symbol. Preto v takýchto záznamoch nekonečno vždy koexistuje so zátvorkou.

Táto forma záznamu je vhodná pre zložité odpovede pozostávajúce z niekoľkých medzier. Ale - len pre konečné odpovede. V medzivýsledkoch, kde sa očakáva ďalšie riešenie, je lepšie použiť obvyklú formu vo forme jednoduchej nerovnosti. Budeme sa tomu venovať v príslušných témach.

Populárne úlohy s nerovnosťami.

Samotné lineárne nerovnosti sú jednoduché. Preto sú úlohy často ťažšie. Takže, myslieť si, že to bolo potrebné. Toto, ak je to zo zvyku, nie je veľmi príjemné.) Ale je to užitočné. Ukážem príklady takýchto úloh. Nie aby ste sa ich učili, je to zbytočné. A aby sa pri stretnutí s podobnými príkladmi nebáli. Trochu zamyslenia - a všetko je jednoduché!)

1. Nájdite ľubovoľné dve riešenia nerovnosti 3x - 3< 0

Ak nie je jasné, čo robiť, nezabudnite na hlavné pravidlo matematiky:

Ak nevieš, čo máš robiť, rob, čo môžeš!

X < 1

No a čo? Nič zvláštne. Čo sa nás pýtajú? Máme za úlohu nájsť dve konkrétne čísla, ktoré sú riešením nerovnosti. Tie. zodpovedať odpovedi. Dva akýkoľvekčísla. Vlastne je to trápne.) Pár 0 a 0,5 je vhodných. Pár -3 a -8. Áno, týchto párov je nekonečné množstvo! Aká je správna odpoveď?!

Odpoviem: všetko! Akýkoľvek pár čísel, z ktorých každé je menšie ako jedna, by bola správna odpoveď. Píšte čo chcete. Poďme ďalej.

2. Vyriešte nerovnosť:

4x - 3 ≠ 0

Takéto práce sú zriedkavé. Ale ako pomocné nerovnosti, napríklad pri hľadaní ODZ alebo pri hľadaní domény funkcie, sa s nimi stretávame neustále. Takáto lineárna nerovnosť môže byť vyriešená ako obyčajná lineárna rovnica. Iba všade, okrem znaku "=" ( rovná sa) dať znamenie " ≠ " (nerovná sa). Takže prídete k odpovedi so znakom nerovnosti:

X ≠ 0,75

V zložitejších príkladoch je lepšie robiť veci inak. Vyrovnajte nerovnosť. Páči sa ti to:

4x - 3 = 0

Pokojne to vyriešte, ako ste sa naučili, a získajte odpoveď:

x = 0,75

Hlavná vec, úplne na konci, pri písaní konečnej odpovede, je nezabudnúť, že sme našli x, čo dáva rovnosť. A potrebujeme - nerovnosť. Preto toto X jednoducho nepotrebujeme.) A musíme si to zapísať so správnou ikonou:

X ≠ 0,75

Tento prístup vedie k menšiemu počtu chýb. Tí, ktorí riešia rovnice na stroji. A pre tých, ktorí neriešia rovnice, sú nerovnice v podstate zbytočné...) Ďalší príklad obľúbenej úlohy:

3. Nájdite najmenšie celočíselné riešenie nerovnosti:

3 (x - 1) < 5x + 9

Najprv jednoducho vyriešime nerovnosť. Otvárame zátvorky, prenášame, dávame podobné ... Získame:

X > - 6

Nestalo sa!? Sledovali ste znamenia? A za znakmi členov a za znakom nerovnosti ...

Opäť si predstavme. Musíme nájsť konkrétne číslo, ktoré zodpovedá odpovedi aj podmienke „najmenšie celé číslo“. Ak vám to hneď nesvitne, môžete si jednoducho vziať ľubovoľné číslo a prísť na to. Dva je väčšie ako mínus šesť? Určite! Existuje vhodné menšie číslo? Samozrejme. Napríklad nula je väčšia ako -6. A ešte menej? Potrebujeme čo najmenšie! Mínus tri je viac ako mínus šesť! Už môžete zachytiť vzorec a prestať hlúpo triediť čísla, však?)

Berieme číslo bližšie k -6. Napríklad -5. Odpoveď vykonaná, -5 > - 6. Dokážete nájsť iné číslo menšie ako -5, ale väčšie ako -6? Môžete napríklad -5,5 ... Stop! Bolo nám povedané celý rozhodnutie! Nekotúľa sa -5,5! A čo mínus šesť? Eee! Nerovnosť je prísna, mínus 6 nie je menej ako mínus 6!

Správna odpoveď je teda -5.

Dúfam, že s výberom hodnoty zo všeobecného riešenia je všetko jasné. Ďalší príklad:

4. Vyriešte nerovnosť:

7 < 3x+1 < 13

Ako! Takýto výraz sa nazýva trojitá nerovnosť. Presne povedané, ide o skrátený zápis systému nerovností. Ale aj tak treba v niektorých úlohách riešiť takéto trojité nerovnosti ... Rieši sa to bez akýchkoľvek systémov. Tými istými identickými premenami.

Je potrebné zjednodušiť, priviesť túto nerovnosť na čisté X. Ale... Čo kam preniesť!? Tu je čas zapamätať si, že radenie zľava doprava je skrátená forma prvá identická premena.

A celá forma vyzerá takto: Do oboch častí rovnice (nerovnosť) môžete pridať/odčítať ľubovoľné číslo alebo výraz.

Sú tu tri časti. Na všetky tri časti teda použijeme identické transformácie!

Zbavme sa teda tej strednej časti nerovnosti. Odčítajte jeden od celej strednej časti. Aby sa nerovnosť nezmenila, odpočítame jednu od zvyšných dvoch častí. Páči sa ti to:

7 -1< 3x+1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

Už lepšie, však?) Zostáva rozdeliť všetky tri časti na tri:

2 < X < 4

To je všetko. Toto je odpoveď. X môže byť ľubovoľné číslo od dvoch (bez) do štyroch (bez). Táto odpoveď je tiež písaná v intervaloch, takéto záznamy budú v štvorcových nerovnostiach. Tam sú to najbežnejšie.

Na konci lekcie zopakujem to najdôležitejšie. Úspech pri riešení lineárnych nerovníc závisí od schopnosti transformovať a zjednodušiť lineárne rovnice. Ak v rovnakom čase sledujte znak nerovnosti, nebudú žiadne problémy. Čo ti prajem. žiaden problém.)

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učenie - so záujmom!)

môžete sa zoznámiť s funkciami a deriváciami.

Po obdržaní prvotných informácií o nerovnostiach s premennými prejdeme k otázke ich riešenia. Poďme analyzovať riešenie lineárnych nerovníc s jednou premennou a všetky spôsoby ich riešenia s algoritmami a príkladmi. Zohľadňovať sa budú iba lineárne rovnice s jednou premennou.

Čo je lineárna nerovnosť?

Najprv musíte definovať lineárnu rovnicu a zistiť jej štandardný tvar a ako sa bude líšiť od ostatných. Zo školského kurzu máme, že nerovnosti nemajú zásadný rozdiel, preto treba použiť viacero definícií.

Definícia 1

Lineárna nerovnosť s jednou premennou x je nerovnosť tvaru a x + b > 0, keď sa namiesto > použije ľubovoľný znak nerovnosti< , ≤ , ≥ , а и b являются действительными числами, где a ≠ 0 .

Definícia 2

Nerovnosti a x< c или a · x >c , kde x je premenná a a a c nejaké čísla, sa nazýva lineárne nerovnosti s jednou premennou.

Keďže sa nič nehovorí o tom, či sa koeficient môže rovnať 0, potom striktná nerovnosť tvaru 0 x > c a 0 x< c может быть записано в виде нестрогого, а именно, a · x ≤ c , a · x ≥ c . Такое уравнение считается линейным.

Ich rozdiely sú:

• zápis a · x + b > 0 v prvom a a · x > c – v druhom;
• prípustnosť rovnosti nuly koeficientu a, a ≠ 0 - v prvom a a = 0 - v druhom.

Predpokladá sa, že nerovnosti a x + b > 0 a a x > c sú ekvivalentné, pretože sa získajú prenosom termínu z jednej časti do druhej. Riešenie nerovnosti 0 · x + 5 > 0 povedie k tomu, že ju bude potrebné vyriešiť a prípad a = 0 nebude fungovať.

Definícia 3

Uvažuje sa, že lineárne nerovnosti v jednej premennej x sú nerovnosťami tvaru a x + b< 0 , a · x + b >0, a x + b < 0 a a x + b ≥ 0, kde a a b sú reálne čísla. Namiesto x môže byť obyčajné číslo.

Na základe pravidla máme, že 4 x − 1 > 0 , 0 z + 2 , 3 ≤ 0 , - 2 3 x - 2< 0 являются примерами линейных неравенств. А неравенства такого плана, как 5 · x >7 , − 0 , 5 · y ≤ − 1, 2 sa nazývajú lineárne.

Ako vyriešiť lineárnu nerovnosť

Hlavným spôsobom riešenia takýchto nerovností je použitie ekvivalentných transformácií na nájdenie elementárnych nerovností x< p (≤ , >, ≥) , p je nejaké číslo, pre a ≠ 0 a tvaru a< p (≤ , >, ≥) pre a = 0 .

Ak chcete vyriešiť nerovnosť s jednou premennou, môžete použiť intervalovú metódu alebo ju znázorniť graficky. Ktorýkoľvek z nich môže byť použitý samostatne.

Použitie ekvivalentných transformácií

Na vyriešenie lineárnej nerovnosti tvaru a x + b< 0 (≤ , >, ≥) , je potrebné použiť ekvivalentné transformácie nerovnosti. Koeficient môže, ale nemusí byť nulový. Zoberme si oba prípady. Na objasnenie je potrebné dodržať schému pozostávajúcu z 3 bodov: podstata procesu, algoritmus, samotné riešenie.

Definícia 4

Algoritmus na riešenie lineárnej nerovnosti a x + b< 0 (≤ , >, ≥) pre a ≠ 0

• číslo b sa prenesie na pravú stranu nerovnosti s opačným znamienkom, čo nám umožní prísť na ekvivalent a x< − b (≤ , > , ≥) ;
• obe časti nerovnosti budú delené číslom, ktoré sa nerovná 0. Navyše, keď je a kladné, znamienko zostáva, ak je a záporné, mení sa na opak.

Zvážte použitie tohto algoritmu na riešenie príkladov.

Príklad 1

Vyriešte nerovnosť v tvare 3 · x + 12 ≤ 0 .

rozhodnutie

Táto lineárna nerovnosť má a = 3 ab = 12 . Koeficient a x sa teda nerovná nule. Aplikujme vyššie uvedené algoritmy a riešme.

Je potrebné preniesť člen 12 do inej časti nerovnice so zmenou znamienka pred ňou. Potom dostaneme nerovnosť v tvare 3 · x ≤ − 12 . Je potrebné vydeliť obe časti 3. Znamienko sa nezmení, pretože 3 je kladné číslo. Dostaneme, že (3 x) : 3 ≤ (− 12) : 3 , čo dá výsledok x ≤ − 4 .

Nerovnosť tvaru x ≤ − 4 je ekvivalentná. To znamená, že riešením pre 3 x + 12 ≤ 0 je akékoľvek reálne číslo, ktoré je menšie alebo rovné 4. Odpoveď sa zapíše ako nerovnosť x ≤ − 4 , alebo ako číselný interval tvaru (− ∞ , − 4 ] .

Celý vyššie opísaný algoritmus je napísaný takto:

3 x + 12 ≤ 0; 3 x ≤ - 12; x ≤ − 4 .

odpoveď: x ≤ − 4 alebo (− ∞ , − 4 ] .

Príklad 2

Uveďte všetky dostupné riešenia nerovnice − 2 , 7 · z > 0 .

rozhodnutie

Z podmienky vidíme, že koeficient a pri z sa rovná - 2, 7 a b explicitne chýba alebo sa rovná nule. Nemôžete použiť prvý krok algoritmu, ale okamžite prejdite na druhý.

Obe časti rovnice vydelíme číslom - 2, 7. Keďže číslo je záporné, je potrebné zmeniť znamienko nerovnosti na opačné. To znamená, že dostaneme, že (− 2 , 7 z): (− 2 , 7)< 0: (− 2 , 7) , и дальше z < 0 .

Celý algoritmus napíšeme v skrátenej forme:

- 2, 7 z > 0; z< 0 .

odpoveď: z< 0 или (− ∞ , 0) .

Príklad 3

Vyriešte nerovnosť - 5 · x - 15 22 ≤ 0 .

rozhodnutie

Podľa podmienky vidíme, že je potrebné riešiť nerovnosť s koeficientom a pre premennú x, ktorá sa rovná - 5, s koeficientom b, ktorý zodpovedá zlomku - 15 22 . Nerovnosť je potrebné vyriešiť podľa algoritmu, to znamená: presunúť - 15 22 do inej časti s opačným znamienkom, obe časti vydeliť - 5, zmeniť znamienko nerovnosti:

5 x ≤ 1522; - 5 x: - 5 ≥ 15 22: - 5 x ≥ - 3 22

Pri poslednom prechode sa pre pravú stranu používa pravidlo na delenie čísla rôznymi znamienkami 15 22: - 5 \u003d - 15 22: 5, po ktorom vydelíme obyčajný zlomok prirodzeným číslom - 15 22: 5 \u003d - 15 22 1 5 \u003d - 15 1 22 5 = - 3 22 .

odpoveď: x ≥ - 3 22 a [ - 3 22 + ∞) .

Zvážte prípad, keď a = 0. Lineárne vyjadrenie tvaru a x + b< 0 является неравенством 0 · x + b < 0 , где на рассмотрение берется неравенство вида b < 0 , после чего выясняется, оно верное или нет.

Všetko je založené na definícii riešenia nerovnosti. Pre ľubovoľnú hodnotu x dostaneme číselnú nerovnosť tvaru b< 0 , потому что при подстановке любого t вместо переменной x , тогда получаем 0 · t + b < 0 , где b < 0 . В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.

Všetky úsudky uvažujeme vo forme algoritmu na riešenie lineárnych nerovností 0 x + b< 0 (≤ , > , ≥) :

Definícia 5

Číselná nerovnosť tvaru b< 0 (≤ , >, ≥) je pravda, potom pôvodná nerovnosť má riešenie pre akúkoľvek hodnotu a nepravda, keď pôvodná nerovnosť nemá riešenia.

Príklad 4

Vyriešte nerovnosť 0 · x + 7 > 0 .

rozhodnutie

Táto lineárna nerovnosť 0 · x + 7 > 0 môže nadobudnúť akúkoľvek hodnotu x. Potom dostaneme nerovnosť tvaru 7 > 0 . Posledná nerovnosť sa považuje za pravdivú, takže jej riešením môže byť akékoľvek číslo.

Odpoveď: interval (− ∞ , + ∞) .

Príklad 5

Nájdite riešenie pre nerovnosť 0 · x − 12 , 7 ≥ 0 .

rozhodnutie

Dosadením premennej x za ľubovoľné číslo dostaneme, že nerovnosť bude mať tvar − 12 , 7 ≥ 0 . je to nesprávne. To znamená, že 0 · x − 12 , 7 ≥ 0 nemá žiadne riešenia.

odpoveď: neexistujú žiadne riešenia.

Uvažujme riešenie lineárnych nerovností, kde sa oba koeficienty rovnajú nule.

Príklad 6

Určte neriešiteľnú nerovnosť z 0 · x + 0 > 0 a 0 · x + 0 ≥ 0 .

rozhodnutie

Pri dosadení ľubovoľného čísla namiesto x dostaneme dve nerovnice v tvare 0 > 0 a 0 ≥ 0 . Prvý je nesprávny. To znamená, že 0 x + 0 > 0 nemá žiadne riešenia a 0 x + 0 ≥ 0 má nekonečný počet riešení, teda ľubovoľný počet.

Odpoveď: nerovnosť 0 x + 0 > 0 nemá riešenia a 0 x + 0 ≥ 0 má riešenia.

Táto metóda sa zvažuje v školskom kurze matematiky. Intervalová metóda je schopná riešiť rôzne druhy nerovností, vrátane lineárnych.

Intervalová metóda sa používa pre lineárne nerovnosti, keď sa hodnota koeficientu x nerovná 0. V opačnom prípade budete musieť vypočítať pomocou inej metódy.

Definícia 6

Metóda rozstupu je:

• zavedenie funkcie y = a x + b ;
• hľadať nuly na rozdelenie domény definície na intervaly;
• určenie znakov pre ich pojem na intervaloch.

Zostavme si algoritmus na riešenie lineárnych rovníc a x + b< 0 (≤ , >, ≥) pre a ≠ 0 pomocou intervalovej metódy:

• nájdenie núl funkcie y = a · x + b na vyriešenie rovnice v tvare a · x + b = 0 . Ak a ≠ 0, potom riešením bude jediný koreň, ktorý bude mať označenie x 0;
• konštrukcia súradnicovej priamky s obrazom bodu so súradnicou x 0, s prísnou nerovnosťou, bod je označený vyrazeným, s neprísnou nerovnicou je zatienený;
• určenie znakov funkcie y = a x + b na intervaloch, preto je potrebné nájsť hodnoty funkcie v bodoch intervalu;
• riešenie nerovnosti so znamienkami > alebo ≥ na súradnicovej čiare, nad kladnú medzeru sa pridá šrafovanie,< или ≤ над отрицательным промежутком.

Zvážte niekoľko príkladov riešenia lineárnej nerovnosti pomocou intervalovej metódy.

Príklad 6

Vyriešte nerovnosť − 3 · x + 12 > 0 .

rozhodnutie

Z algoritmu vyplýva, že najprv musíte nájsť koreň rovnice − 3 · x + 12 = 0 . Dostaneme, že − 3 · x = − 12 , x = 4 . Je potrebné znázorniť súradnicovú čiaru, kde označíme bod 4. Bude to prepichnuté, pretože nerovnosť je prísna. Zvážte nákres nižšie.

Je potrebné určiť znaky na intervaloch. Na jej určenie na intervale (− ∞ , 4) je potrebné vypočítať funkciu y = − 3 · x + 12 pre x = 3 . Odtiaľ dostaneme, že − 3 3 + 12 = 3 > 0 . Znak na medzere je pozitívny.

Znamienko určíme z intervalu (4, + ∞), potom dosadíme hodnotu x \u003d 5. Máme − 3 5 + 12 = − 3< 0 . Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.

Riešenie nerovnosti vykonáme so znamienkom > a šrafovanie sa vykoná nad kladnou medzerou. Zvážte nákres nižšie.

Z výkresu je zrejmé, že požadované riešenie má tvar (− ∞ , 4) alebo x< 4 .

Odpoveď: (− ∞ , 4) alebo x< 4 .

Aby sme pochopili, ako graficky znázorniť, je potrebné zvážiť 4 lineárne nerovnosti ako príklad: 0, 5 x − 1< 0 , 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 , 0 , 5 · x − 1 >0 a 0, 5 x - 1 ≥ 0. Ich riešenia budú x< 2 , x ≤ 2 , x >2 a x > 2. Za týmto účelom nakreslite graf lineárnej funkcie y = 0 , 5 · x − 1 nižšie.

To je jasné

Definícia 7

• riešenie nerovnosti 0, 5 x − 1< 0 считается промежуток, где график функции y = 0 , 5 · x − 1 располагается ниже О х;
• riešenie 0 , 5 x − 1 ≤ 0 je interval, kde funkcia y = 0 , 5 x − 1 je pod 0 x alebo sa zhoduje;
• riešenie 0 , 5 x − 1 > 0 považujeme za interval, kde sa funkcia nachádza nad O x;
• riešenie 0 , 5 x − 1 ≥ 0 je interval, v ktorom je graf vyšší ako O x alebo sa zhoduje.

Zmyslom grafického riešenia nerovností je nájsť medzery, ktoré musia byť v grafe znázornené. V tomto prípade dostaneme, že ľavá strana má y \u003d a x + b a pravá strana má y \u003d 0 a zhoduje sa s približne x.

Definícia 8

Vykreslenie funkcie y = a x + b sa vykoná:

• pri riešení nerovnice a x + b< 0 определяется промежуток, где график изображен ниже О х;
• pri riešení nerovnosti a x + b ≤ 0 sa určí interval, kde je graf zobrazený pod osou O x alebo sa zhoduje;
• pri riešení nerovnosti a x + b > 0 sa určí interval, kde je graf zobrazený nad O x;
• pri riešení nerovnosti a x + b ≥ 0 sa určí interval, kde je graf nad O x alebo sa zhoduje.

Príklad 7

Vyriešte nerovnosť - 5 · x - 3 > 0 pomocou grafu.

rozhodnutie

Je potrebné zostaviť graf lineárnej funkcie - 5 · x - 3 > 0 . Táto čiara je klesajúca, pretože koeficient x je záporný. Na určenie súradníc jeho priesečníka s O x - 5 · x - 3 > 0 dostaneme hodnotu - 3 5 . Poďme si to znázorniť.

Riešenie nerovnosti so znamienkom >, potom si treba dať pozor na interval nad O x. Potrebnú časť lietadla zvýrazníme červenou farbou a získame to

Požadovaná medzera je O x časť červenej farby. Riešením nerovnice teda bude lúč otvoreného čísla - ∞ , - 3 5. Ak by podľa podmienky mali nestriktnú nerovnosť, tak aj hodnota bodu - 3 5 by bola riešením nerovnosti. A zhoduje sa s O x.

Odpoveď: - ∞ , - 3 5 alebo x< - 3 5 .

Grafické riešenie sa používa vtedy, keď ľavá strana bude zodpovedať funkcii y = 0 x + b , teda y = b . Potom bude čiara rovnobežná s O x alebo sa bude zhodovať s b \u003d 0. Tieto prípady ukazujú, že nerovnosť nemusí mať riešenia, alebo akékoľvek číslo môže byť riešením.

Príklad 8

Určte z nerovností 0 x + 7< = 0 , 0 · x + 0 ≥ 0 то, которое имеет хотя бы одно решение.

rozhodnutie

Znázornenie y = 0 x + 7 je y = 7, potom bude daná súradnicová rovina s priamkou rovnobežnou s O x a nad O x. Takže 0 x + 7< = 0 решений не имеет, потому как нет промежутков.

Graf funkcie y \u003d 0 x + 0 sa považuje za y \u003d 0, to znamená, že čiara sa zhoduje s O x. Nerovnosť 0 · x + 0 ≥ 0 má teda veľa riešení.

Odpoveď: druhá nerovnosť má riešenie pre akúkoľvek hodnotu x .

Lineárne nerovnosti

Riešenie nerovníc možno zredukovať na riešenie lineárnej rovnice, ktoré sa nazývajú lineárne nerovnice.

Tieto nerovnosti boli zohľadnené v školskom kurze, keďže išlo o špeciálny prípad riešenia nerovností, čo viedlo k otvoreniu zátvoriek a redukcii podobných výrazov. Uvažujme napríklad, že 5 − 2 x > 0 , 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x, x - 3 5 - 2 x + 1 > 2 7 x .

Vyššie uvedené nerovnosti sú vždy redukované do tvaru lineárnej rovnice. Potom sa otvoria zátvorky a uvedú sa podobné výrazy, prenesené z rôznych častí, pričom sa zmení znamienko na opak.

Pri zmenšení nerovnosti 5 − 2 x > 0 na lineárnu ju znázorníme tak, že má tvar − 2 x + 5 > 0 a pre zmenšenie druhej dostaneme, že 7 (x − 1 ) + 3 ≤ 4 x − 2 + x . Je potrebné otvoriť zátvorky, uviesť podobné výrazy, presunúť všetky výrazy na ľavú stranu a uviesť podobné výrazy. Vyzerá to takto:

7 x − 7 + 3 ≤ 4 x − 2 + x 7 x − 4 ≤ ​​​​5 x − 2 7 x − 4 − 5 x + 2 ≤ 0 2 x − 2 ≤ 0

To prináša riešenie lineárnej nerovnosti.

Tieto nerovnosti sa považujú za lineárne, keďže majú rovnaký princíp riešenia, po ktorom je možné ich zredukovať na elementárne nerovnosti.

Na vyriešenie tohto druhu nerovnosti tohto druhu je potrebné zredukovať ju na lineárnu. Malo by sa to urobiť takto:

Definícia 9

• otvorené zátvorky;
• zbierať premenné vľavo a čísla vpravo;
• priniesť podobné podmienky;
• obe časti vydeľte koeficientom x .

Príklad 9

Vyriešte nerovnosť 5 · (x + 3) + x ≤ 6 · (x − 3) + 1 .

rozhodnutie

Rozšírime zátvorky, potom dostaneme nerovnosť v tvare 5 · x + 15 + x ≤ 6 · x − 18 + 1 . Po redukcii podobných členov máme, že 6 · x + 15 ≤ 6 · x − 17 . Po presunutí členov zľava doprava dostaneme, že 6 x + 15 − 6 x + 17 ≤ 0 . Má teda nerovnosť v tvare 32 ≤ 0 od výsledku získaného výpočtom 0 · x + 32 ≤ 0 . Je vidieť, že nerovnosť je nepravdivá, čo znamená, že nerovnosť daná podmienkou nemá riešenia.

Odpoveď: žiadne riešenia.

Stojí za zmienku, že existuje veľa nerovností iného druhu, ktoré možno redukovať na lineárnu alebo na nerovnosť vyššie uvedeného druhu. Napríklad 5 2 x − 1 ≥ 1 je exponenciálna rovnica, ktorá sa redukuje na lineárne riešenie 2 · x − 1 ≥ 0 . Tieto prípady sa budú brať do úvahy pri riešení nerovností tohto typu.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Obsah lekcie

Definície a vlastnosti

Nerovnosťou nazveme dva číselné alebo doslovné výrazy spojené znamienkami >,<, ≥, ≤ или ≠.

Príklad: 5 > 3

Táto nerovnosť hovorí, že číslo 5 je väčšie ako číslo 3. Ostrý uhol znamienka nerovnosti by mal smerovať k menšiemu číslu. Táto nerovnosť je pravdivá, pretože 5 je väčšie ako 3.

Ak sa melón s hmotnosťou 5 kg umiestni na ľavú misku váhy a melón s hmotnosťou 3 kg sa umiestni na pravú misku, potom ľavá miska preváži pravú a na obrazovke váhy sa zobrazí, že ľavá miska je ťažší ako ten pravý:

Ak 5 > 3, potom 3< 5 . То есть левую и правую часть неравенства можно поменять местами, изменив знак неравенства на противоположный. В ситуации с весами: большой арбуз можно положить на правую чашу, а маленький арбуз на левую. Тогда правая чаша перевесит левую, и экран покажет знак <

Ak je v nerovnosti 5 > 3 , bez toho, aby ste sa dotkli ľavej a pravej časti, zmeňte znamienko na< , то получится неравенство 5 < 3 . Это неравенство не является верным, поскольку число 3 не может быть больше числа 5.

Vyvolajú sa čísla, ktoré sa nachádzajú na ľavej a pravej strane nerovnosti členov túto nerovnosť. Napríklad v nerovnosti 5 > 3 sú členmi čísla 5 a 3.

Zvážte niektoré dôležité vlastnosti pre nerovnosť 5 > 3 .
V budúcnosti budú tieto vlastnosti fungovať aj pri iných nerovnostiach.

Nehnuteľnosť 1.

Ak sa rovnaké číslo pripočíta alebo odčíta k ľavej a pravej časti nerovnosti 5 > 3, znamienko nerovnosti sa nezmení.

K obom častiam nerovnosti pripočítajme napríklad číslo 4. Potom dostaneme:

Teraz skúsme odpočítať od oboch strán nerovnosti 5 > 3 nejaké číslo, povedzme číslo 2

Vidíme, že ľavá strana je stále väčšia ako pravá.

Z tejto vlastnosti vyplýva, že ľubovoľný člen nerovnosti sa môže preniesť z jednej časti do druhej zmenou znamienka tohto členu. Znak nerovnosti sa nezmení.

Napríklad v nerovnosti 5 > 3 presuňte člen 5 z ľavej strany na pravú tak, že zmeníme znamienko tohto člena. Po posunutí členu 5 na pravú stranu nezostane na ľavej strane nič, preto tam napíšeme 0

0 > 3 − 5

0 > −2

Vidíme, že ľavá strana je stále väčšia ako pravá.

Nehnuteľnosť 2.

Ak sú obe časti nerovnosti vynásobené alebo delené rovnakým kladným číslom, potom sa znamienko nerovnosti nemení.

Vynásobme napríklad obe strany nerovnosti 5 > 3 nejakým kladným číslom, povedzme číslom 2. Potom dostaneme:

Vidíme, že ľavá strana je stále väčšia ako pravá.

Teraz skúsme rozdeliť obe časti nerovnosti 5 > 3 o nejaké číslo. Vydeľte ich 2

Vidíme, že ľavá strana je stále väčšia ako pravá.

Nehnuteľnosť 3.

Ak sú obe strany nerovnosti vynásobené alebo delené rovnako záporné číslo, potom sa znamienko nerovnosti obráti.

Napríklad vynásobme obe strany nerovnosti 5 > 3 nejakým záporným číslom, povedzme -2. Potom dostaneme:

Teraz skúsme rozdeliť obe časti nerovnosti 5 > 3 o nejaké záporné číslo. Vydelme ich -1

Vidíme, že ľavá strana sa zmenšila ako pravá. To znamená, že znak nerovnosti sa zmenil na opačný.

Samotnú nerovnosť možno chápať ako určitú podmienku. Ak je podmienka splnená, potom je nerovnosť pravdivá. Naopak, ak podmienka nie je splnená, potom je nerovnosť nepravdivá.

Napríklad, ak chcete odpovedať na otázku, či je nerovnosť 7 > 3 pravdivá, musíte skontrolovať, či je podmienka splnená "je o 7 viac ako 3" . Vieme, že číslo 7 je väčšie ako číslo 3. To znamená, že podmienka je splnená, a teda nerovnosť 7 > 3 platí.

Nerovnosť 8< 6 не является верным, поскольку не выполняется условие "8 je menej ako 6".

Ďalším spôsobom, ako určiť, či je nerovnosť správna, je zobrať rozdiel z ľavej a pravej strany danej nerovnosti. Ak je rozdiel kladný, ľavá strana je väčšia ako pravá. Naopak, ak je rozdiel záporný, ľavá strana je menšia ako pravá. Presnejšie, toto pravidlo vyzerá takto:

číslo aďalšie číslo b ak je rozdiel a-b pozitívne. číslo a menej ako číslo b ak je rozdiel a-b negatívne.

Napríklad sme zistili, že nerovnosť 7 > 3 je pravdivá, pretože číslo 7 je väčšie ako číslo 3. Dokážme to pomocou vyššie uvedeného pravidla.

Zložte rozdiel z členov 7 a 3. Potom dostaneme 7 − 3 = 4 . Podľa pravidla bude číslo 7 väčšie ako číslo 3, ak je rozdiel 7 − 3 kladný. Máme to rovné 4, to znamená, že rozdiel je kladný. Takže číslo 7 je väčšie ako číslo 3.

Skontrolujme pomocou rozdielu, či je nerovnosť 3< 4 . Составим разность, получим 3 − 4 = −1 . Согласно правилу, число 3 будет меньше числа 4, если разность 3 − 4 окажется отрицательной. У нас она равна −1, то есть разность отрицательна. А значит число 3 меньше числа 4.

Skontrolujme, či je nerovnosť 5 > 8 pravdivá. Zložte rozdiel, dostaneme 5 − 8 = −3. Podľa pravidla bude číslo 5 väčšie ako číslo 8, ak je rozdiel 5 − 8 kladný. Náš rozdiel je -3, teda nie je pozitívne. Takže číslo 5 nie viacčíslo 3. Inými slovami, nerovnosť 5 > 8 nie je pravdivá.

Prísne a neprísne nerovnosti

Nerovnosti obsahujúce znaky >,< называют prísny. A volajú sa nerovnosti obsahujúce znamienka ≥, ≤ neprísne.

Príklady prísnych nerovností sme zvažovali skôr. Toto sú nerovnosti 5 > 3, 7< 9 .

Neprísna je napríklad nerovnosť 2 ≤ 5 . Táto nerovnosť sa číta takto: "2 je menšie alebo rovné 5" .

Záznam 2 ≤ 5 je neúplný. Úplný záznam o tejto nerovnosti je nasledujúci:

2 < 5 alebo 2 = 5

Potom je zrejmé, že nerovnosť 2 ≤ 5 pozostáva z dvoch podmienok: "o dve menej ako päť" a "dva sa rovná päť" .

Nestriktná nerovnosť je pravdivá, ak je splnená aspoň jedna z jej podmienok. V našom príklade je podmienka pravdivá "2 je menej ako 5". To znamená, že nerovnosť 2 ≤ 5 je tiež pravdivá.

Príklad 2. Nerovnosť 2 ≤ 2 je pravdivá, pretože je splnená jedna z jej podmienok, a to 2 = 2.

Príklad 3. Nerovnosť 5 ≤ 2 nie je pravdivá, pretože nie je splnená žiadna z jej podmienok: ani 5< 2 ни 5 = 2 .

dvojitá nerovnosť

Číslo 3 je väčšie ako číslo 2 a menšie ako číslo 4 . Vo forme nerovnosti možno toto tvrdenie zapísať takto: 2< 3 < 4 . Такое неравенство называют двойным.

Dvojitá nerovnosť môže obsahovať znaky neprísnych nerovností. Napríklad, ak číslo 5 je väčšie alebo rovné číslu 2 a menšie alebo rovné číslu 7 , potom môžeme napísať, že 2 ≤ 5 ≤ 7

Ak chcete správne napísať dvojitú nerovnosť, najskôr napíšte výraz do stredu, potom výraz vľavo a potom výraz vpravo.

Napríklad napíšme, že číslo 6 je väčšie ako číslo 4 a menšie ako číslo 9.

Najprv napíšte 6

Vľavo píšeme, že toto číslo je väčšie ako číslo 4

Vpravo píšeme, že číslo 6 je menšie ako číslo 9

Variabilná nerovnosť

Nerovnosť, podobne ako rovnosť, môže obsahovať premennú.

Napríklad nerovnosť X> 2 obsahuje premennú X. Väčšinou treba takúto nerovnosť riešiť, teda zistiť, za aké hodnoty X táto nerovnosť sa stáva pravdou.

Vyriešiť nerovnosť znamená nájsť také hodnoty premennej X, pod ktorým sa táto nerovnosť stáva pravdou.

Hodnota premennej, pri ktorej sa nerovnosť stáva pravdivou, sa nazýva riešenie nerovnosti.

Nerovnosť X> 2 sa stane pravdou, keď x=3, x=4, x=5, x=6 a tak ďalej do nekonečna. Vidíme, že táto nerovnosť nemá jedno riešenie, ale veľa riešení.

Inými slovami, riešením nerovnosti X> 2 je množina všetkých čísel väčších ako 2. Pre tieto čísla bude nerovnosť pravdivá. Príklady:

3 > 2

4 > 2

5 > 2

Číslo 2, ktoré sa nachádza na pravej strane nerovnosti X> 2 , zavoláme hranica túto nerovnosť. V závislosti od znamienka nerovnosti hranica môže alebo nemusí patriť do množiny riešení nerovnosti.

V našom príklade hranica nerovnosti nepatrí do množiny riešení, pretože pri dosadení čísla 2 do nerovnice X> 2 vyjde nesprávne nerovnosť 2 > 2 . Číslo 2 nemôže byť väčšie ako ono, pretože sa rovná samému sebe (2 = 2) .

Nerovnosť X> 2 je prísny. Dá sa to čítať takto: x je striktne väčšie ako 2″ . To znamená, že všetky hodnoty akceptované premennou X musí byť striktne väčšia ako 2. V opačnom prípade nerovnosť nebude pravdivá.

Keby nám bola daná neprísna nerovnosť X≥ 2 , potom riešenia tejto nerovnosti by boli všetky čísla, ktoré sú väčšie ako 2, vrátane samotného čísla 2. V tejto nerovnosti patrí hranica 2 do množiny riešení nerovnosti, keďže pri dosadení čísla 2 do nerovnosť X≥ 2 získame správnu nerovnosť 2 ≥ 2 . Už skôr bolo povedané, že neobmedzená nerovnosť je pravdivá, ak je splnená aspoň jedna z jej podmienok. Nerovnosť 2 ≥ 2 spĺňa podmienku 2 = 2 , teda platí aj nerovnosť 2 ≥ 2.

Ako riešiť nerovnosti

Proces riešenia nerovníc je v mnohom podobný procesu riešenia rovníc. Pri riešení nerovníc uplatníme vlastnosti, ktoré sme študovali na začiatku tejto lekcie, ako napríklad: prenesenie pojmov z jednej časti nerovnice do druhej, zmena znamienka; násobenie (alebo delenie) oboch strán nerovnosti rovnakým číslom.

Tieto vlastnosti nám umožňujú získať nerovnosť, ktorá je ekvivalentná tej pôvodnej. Ekvivalentné nerovnosti sa nazývajú nerovnosti, ktorých riešenia sú rovnaké.

Pri riešení rovníc sme vykonávali identické transformácie, kým premenná nezostala na ľavej strane rovnice a hodnota tejto premennej zostala na pravej strane (napríklad: x=2, x=5). Inými slovami, pôvodná rovnica bola nahradená ekvivalentnou rovnicou, kým nevznikla rovnica tvaru x = a, kde a premenlivá hodnota X. V závislosti od rovnice môže existovať jeden, dva, nekonečné množstvo koreňov alebo vôbec.

A pri riešení nerovností nahradíme pôvodnú nerovnosť ekvivalentnou nerovnicou, až kým premenná tejto nerovnosti nezostane na ľavej strane a jej hranica na pravej strane.

Príklad 1. Vyriešte nerovnosť 2 X> 6

Takže musíte nájsť také hodnoty X , pri ich nahradení do 2 X> 6 dostaneme správnu nerovnosť.

Na začiatku tejto lekcie bolo povedané, že ak sú obe časti nerovnosti delené nejakým kladným číslom, tak sa znamienko nerovnosti nezmení. Ak túto vlastnosť aplikujeme na nerovnosť obsahujúcu premennú, dostaneme nerovnosť ekvivalentnú tej pôvodnej.

V našom prípade, ak oddelíme obe časti nerovnosti 2 X> 6 o nejaké kladné číslo, potom dostaneme nerovnosť, ktorá je ekvivalentná pôvodnej nerovnosti 2 X> 6.

Vydelme teda obe strany nerovnosti 2.

Na ľavej strane je premenná X a pravá strana sa rovná 3. Dostali sme ekvivalentnú nerovnosť X> 3. Tým je riešenie dokončené, pretože premenná zostáva na ľavej strane a hranica nerovnosti na pravej strane.

Teraz môžeme konštatovať, že riešenia nerovnosti X> 3 sú všetky čísla väčšie ako 3. Sú to čísla 4, 5, 6, 7 a tak ďalej do nekonečna. Pre tieto hodnoty nerovnosť X> 3 by bolo správne.

4 > 3

5 > 3

6 > 3

7 > 3

Všimnite si, že nerovnosť X> 3 je prísny. " Premenná x je striktne väčšia ako tri."

A pretože nerovnosť X> 3 je ekvivalentná pôvodnej nerovnosti 2 X> 6 , potom sa ich riešenia budú zhodovať. Inými slovami, hodnoty, ktoré zodpovedajú nerovnosti X> 3 sa zmestí aj na nerovnosť 2 X> 6. Ukážme si to.

Zoberme si napríklad číslo 5 a dosaďte ho najskôr do ekvivalentnej nerovnosti, ktorú sme získali X> 3 a potom na pôvodný 2 X> 6 .

Vidíme, že v oboch prípadoch sa získa správna nerovnosť.

Po vyriešení nerovnosti treba odpoveď napísať v tvare tzv číselné rozpätie nasledujúcim spôsobom:

Tento výraz hovorí, že hodnoty prijaté premennou X, patria do číselného intervalu od troch do plus nekonečna.

Inými slovami, všetky čísla od troch do plus nekonečna sú riešenia nerovnosti X> 3. Podpísať ∞ v matematike znamená nekonečno.

Vzhľadom na to, že pojem číselný interval je veľmi dôležitý, zastavme sa pri ňom podrobnejšie.

Číselné rozpätia

Číselná medzera pomenujte množinu čísel na súradnicovej čiare, ktorú možno opísať pomocou nerovnosti.

Predpokladajme, že chceme na súradnicovú čiaru nakresliť množinu čísel od 2 do 8. Aby ste to urobili, najprv na súradnici označte body so súradnicami 2 a 8 a potom ťahmi vyberte oblasť, ktorá sa nachádza medzi súradnicami 2 a 8. Tieto ťahy budú hrať úlohu čísel , ktoré sa nachádzajú medzi číslami 2 a 8

Zavolajme na čísla 2 a 8 hranicečíselná medzera. Pri kreslení číselného intervalu nie sú body jeho hraníc zobrazené ako body ako také, ale ako kruhy, ktoré je možné vidieť.

Hranice môžu alebo nemusia patriť do číselného rozsahu.

Ak hranice nepatríčíselný interval, potom sú zobrazené na súradnicovej čiare vo formulári prázdne kruhy.

Ak hranice patriačíselný interval, potom musia kruhy zafarbiť.

V našom výkrese zostali kruhy prázdne. To znamenalo, že hranice 2 a 8 nepatria do numerickej medzery. To znamená, že náš číselný rozsah bude zahŕňať všetky čísla od 2 do 8, okrem čísel 2 a 8.

Ak chceme do číselného rozsahu zahrnúť hranice 2 a 8, potom je potrebné vyplniť krúžky:

V tomto prípade bude číselný rozsah zahŕňať všetky čísla od 2 do 8 vrátane čísel 2 a 8.

Pri písaní sa číselný interval označuje vyznačením jeho hraníc pomocou okrúhlych alebo hranatých zátvoriek.

Ak hranice nepatrí zátvorkách.

Ak hranice patriačíselná medzera, potom sa orámujú hranice hranaté zátvorky.

Obrázok ukazuje dva číselné intervaly od 2 do 8 so zodpovedajúcimi označeniami:

Na prvom obrázku je číselná medzera označená zátvorkách od hraníc 2 a 8 nepatrí tento číselný interval.

Na druhom obrázku je číselná medzera označená hranaté zátvorky od hraníc 2 a 8 patria tento číselný interval.

Pomocou číselných intervalov môžete písať odpovede na nerovnosti. Napríklad odpoveď na dvojitú nerovnosť 2 ≤ X≤ 8 sa píše takto:

X ∈ [ 2 ; 8 ]

To znamená, že najprv sa zapíše premenná zahrnutá v nerovnosti, potom pomocou znaku členstva ∈ označia, do ktorého číselného intervalu patria hodnoty tejto premennej. V tomto prípade výraz X∈ [2; 8] označuje, že premenná X, zahrnuté v nerovnosti 2 ≤ X≤ 8, nadobúda všetky hodnoty medzi 2 a 8 vrátane. Pre tieto hodnoty bude nerovnosť pravdivá.

Venujte pozornosť skutočnosti, že odpoveď je napísaná v hranatých zátvorkách, pretože hranice nerovnosti 2 ≤ X≤ 8 , konkrétne čísla 2 a 8 patria do množiny riešení tejto nerovnosti.

Množina riešení nerovnosti 2 ≤ X≤ 8 možno znázorniť aj pomocou súradnicovej čiary:

Tu hranice číselného intervalu 2 a 8 zodpovedajú hraniciam nerovnosti 2 ≤ X X 2 ≤ X≤ 8 .

V niektorých zdrojoch sa nazývajú hranice, ktoré nepatria do numerickej medzery OTVORENÉ .

Nazývajú sa otvorené, pretože číselný interval zostáva otvorený, pretože jeho hranice do tohto číselného intervalu nepatria. Prázdny kruh na súradnicovej čiare matematiky sa nazýva vyrazený bod . Vypichnúť bod znamená vylúčiť ho z číselného intervalu alebo z množiny riešení nerovnice.

A v prípade, že hranice patria do číselného intervalu, volajú sa ZATVORENÉ(alebo uzavreté), keďže takéto hranice uzatvárajú (uzavierajú) číselnú medzeru. Vyplnený kruh na súradnicovej čiare tiež znamená, že hranice sú zatvorené.

Existujú rôzne číselné intervaly. Uvažujme o každom z nich.

číselný lúč

číselný lúč x ≥ a, kde a X- riešenie nerovnosti.

Nechať byť a= 3. Potom nerovnosť x ≥ a bude mať formu X≥ 3. Riešením tejto nerovnosti sú všetky čísla, ktoré sú väčšie ako 3, vrátane samotného čísla 3.

Nakreslite číselný lúč daný nerovnicou X≥ 3 na súradnicovej čiare. Ak to chcete urobiť, označte na ňom bod so súradnicou 3 a zvyšok oblasť napravo od nej zvýrazniť pomlčkami. Je to pravá strana, ktorá vyniká, pretože riešenia nerovnosti X≥ 3 sú čísla väčšie ako 3. A väčšie čísla na súradnicovej čiare sú umiestnené vpravo

X≥ 3 a oblasť označená ťahmi zodpovedá súboru hodnôt X, čo sú riešenia nerovnosti X≥ 3 .

Bod 3, ktorý je hranicou číselného lúča, je zobrazený ako vyplnený kruh, pretože hranica nerovnosti X≥ 3 patrí do súboru jeho riešení.

Písomne ​​číselný rad daný nerovnicou x ≥ a,

[ a; +∞)

Je vidieť, že na jednej strane je okraj orámovaný hranatou zátvorkou a na druhej strane okrúhlou zátvorkou. Je to spôsobené tým, že jedna hranica číselného lúča k nemu patrí a druhá nie, pretože nekonečno samotné nemá žiadne hranice a je zrejmé, že na druhej strane neexistuje žiadne číslo, ktoré by tento číselný lúč uzatváralo.

Vzhľadom na to, že jedna z hraníc číselnej osi je uzavretá, táto medzera sa často nazýva uzavretý číselný lúč.

Napíšeme odpoveď na nerovnosť X≥ 3 s použitím číselného lúčového zápisu. Máme premennú a je 3

X ∈ [ 3 ; +∞)

Tento výraz hovorí, že premenná X zahrnuté do nerovnosti X≥ 3, nadobúda všetky hodnoty od 3 do plus nekonečna.

Inými slovami, všetky čísla od 3 do plus nekonečna sú riešenia nerovnosti X≥ 3. Hranica 3 patrí do množiny riešení, pretože nerovnosť X≥ 3 je neobmedzené.

Uzavretý číselný lúč sa nazýva aj číselný interval, ktorý je daný nerovnicou x ≤ a . Riešenia nerovností x ≤ a a , vrátane samotného čísla a.

Napríklad, ak a X≤ 2. Na súradnicovej čiare bude hranica 2 znázornená ako vyplnený kruh a bude umiestnená celá oblasť vľavo, budú zvýraznené pomlčkami. Tentoraz je zvýraznená ľavá strana, pretože riešenia nerovnosti X≤ 2 sú čísla menšie ako 2. A menšie čísla na súradnicovej čiare sú umiestnené vľavo

X≤ 2 a prerušovaná oblasť zodpovedá množine hodnôt X, čo sú riešenia nerovnosti X≤ 2 .

Bod 2, ktorý je hranicou číselného lúča, je zobrazený ako vyplnený kruh, pretože hranica nerovnosti X≤ 2 patrí do množiny jeho riešení.

Napíšeme odpoveď na nerovnosť X≤ 2 pomocou číselnej lúčovej notácie:

X ∈ (−∞ ; 2 ]

X≤ 2. Hranica 2 patrí do množiny riešení, keďže nerovnica X≤ 2 je neobmedzené.

Otvorte lúč čísla

Otvorte lúč čísla sa nazýva číselný interval, ktorý je daný nerovnicou x > a, kde a je hranica tejto nerovnosti, X- riešenie nerovnosti.

Otvorený číselný rad je v mnohých smeroch podobný uzavretému číselnému radu. Rozdiel je v tom, že hranica a nepatrí do intervalu, rovnako ako hranica nerovnice x > a nepatrí do množiny jeho riešení.

Nechať byť a= 3. Potom má nerovnosť formu X> 3. Riešením tejto nerovnosti sú všetky čísla, ktoré sú väčšie ako 3, okrem čísla 3

Na súradnicovej čiare je hranica otvoreného číselného lúča daná nerovnicou X> 3 sa zobrazí ako prázdny kruh. Celá oblasť napravo bude zvýraznená ťahmi:

Tu bod 3 zodpovedá hranici nerovnosti x > 3 a oblasť zvýraznená ťahmi zodpovedá množine hodnôt X, čo sú riešenia nerovnosti x > 3. Bod 3, ktorý je hranicou otvoreného číselného lúča, je zobrazený ako prázdny kruh, pretože hranica nerovnosti x > 3 nepatrí do súboru jeho riešení.

x > a, označené takto:

(a; +∞)

Zátvorky označujú, že hranice otvoreného číselného lúča k nemu nepatria.

Napíšeme odpoveď na nerovnosť X> 3 pomocou zápisu otvoreného číselného zväzku:

X ∈ (3 ; +∞)

Tento výraz hovorí, že všetky čísla od 3 do plus nekonečna sú riešenia nerovnosti X> 3. Hranica 3 nepatrí do množiny riešení z dôvodu nerovnosti X> 3 je prísny.

Otvorený číselný lúč sa nazýva aj číselný interval, ktorý je daný nerovnicou X< a , kde a je hranica tejto nerovnosti, X— riešenie nerovnosti . Riešenia nerovností X< a sú všetky čísla menšie ako a , okrem čísla a.

Napríklad, ak a= 2 , potom má nerovnosť tvar X< 2. Na súradnicovej čiare sa hranica 2 zobrazí ako prázdny kruh a celá oblasť naľavo bude zvýraznená ťahmi:

Tu bod 2 zodpovedá hranici nerovnosti X< 2 a oblasť označená ťahmi zodpovedá množine hodnôt X, čo sú riešenia nerovnosti X< 2. Bod 2, ktorý je hranicou otvoreného číselného lúča, je zobrazený ako prázdny kruh, pretože hranica nerovnosti X< 2 nepatrí do súboru jeho riešení.

Písomne, otvorené číslo lúč dané nerovnosťou X< a , označené takto:

(−∞ ; a)

Napíšeme odpoveď na nerovnosť X< 2 pomocou zápisu otvoreného číselného zväzku:

X ∈ (−∞ ; 2)

Tento výraz hovorí, že všetky čísla od mínus nekonečna do 2 sú riešenia nerovnosti X< 2. Hranica 2 nepatrí do množiny riešení, pretože nerovnosť X< 2 je prísny.

Segment čiary

segment a ≤ x ≤ b, kde a a b X- riešenie nerovnosti.

Nechať byť a = 2 , b= 8. Potom nerovnosť a ≤ x ≤ b má tvar 2 ≤ X≤ 8. Riešenia nerovnosti 2 ≤ X≤ 8 sú všetky čísla väčšie ako 2 a menšie ako 8. Hranice nerovnice 2 a 8 navyše patria do množiny jej riešení, keďže nerovnosť 2 ≤ X≤ 8 je neobmedzené.

Nakreslite segment daný dvojitou nerovnosťou 2 ≤ X≤ 8 na súradnicovej čiare. Za týmto účelom označte body na ňom súradnicami 2 a 8 a oblasť medzi nimi označte ťahmi:

≤ X≤ 8 a prerušovaná oblasť zodpovedá množine hodnôt X X≤ 8. Body 2 a 8, ktoré sú hranicami úsečky, sú zobrazené ako plné kruhy, pretože hranice nerovnosti 2 ≤ X≤ 8 patrí do množiny jeho riešení.

Na písmene segment daný nerovnosťou a ≤ x ≤ b označené takto:

[ a; b ]

Hranaté zátvorky na oboch stranách označujú hranice segmentu patria ho. Napíšme odpoveď na nerovnicu 2 ≤ X

X ∈ [ 2 ; 8 ]

Tento výraz hovorí, že všetky čísla od 2 do 8 vrátane sú riešením nerovnosti 2 ≤ X≤ 8 .

Interval

interval sa nazýva číselný interval, ktorý je daný dvojitou nerovnosťou a< x < b , kde a a b sú hranice tejto nerovnosti, X- riešenie nerovnosti.

Nechať byť a = 2, b = 8. Potom nerovnosť a< x < b bude mať formu 2< X< 8 . Решениями этого двойного неравенства являются все числа, которые больше 2 и меньше 8, исключая числа 2 и 8.

Znázornime interval na súradnicovej čiare:

Tu body 2 a 8 zodpovedajú hraniciam nerovnosti 2< X< 8 , а выделенная штрихами область соответствует множеству значений X < X< 8 . Точки 2 и 8, являющиеся границами интервала, изображены в виде пустых кружков, поскольку границы неравенства 2 < X< 8 не принадлежат множеству его решений.

Písomne ​​interval daný nerovnicou a< x < b, označené takto:

(a; b)

Zátvorky na oboch stranách označujú intervalové hranice nepatrí ho. Zapíšme si odpoveď na nerovnosť 2< X< 8 с помощью этого обозначения:

X ∈ (2 ; 8)

Tento výraz hovorí, že všetky čísla od 2 do 8, okrem čísel 2 a 8, sú riešením nerovnosti 2< X< 8 .

Polovičný interval

Polovičný interval sa nazýva číselný interval, ktorý je daný nerovnicou a ≤ x< b , kde a a b sú hranice tejto nerovnosti, X- riešenie nerovnosti.

Polinterval sa nazýva aj číselný interval, ktorý je daný nerovnicou a< x ≤ b .

Patrí k nej jedna z hraníc polintervalu. Odtiaľ pochádza názov tohto číselného intervalu.

V situácii s polovičným intervalom a ≤ x< b to (polinterval) patrí k ľavej hranici.

A to v situácii s polovičným intervalom a< x ≤ b má správnu hranicu.

Nechať byť a= 2 , b= 8. Potom nerovnosť a ≤ x< b má tvar 2 ≤ X < 8 . Решениями этого двойного неравенства являются все числа, которые больше 2 и меньше 8, включая число 2, но исключая число 8.

Nakreslite interval 2 ≤ X < 8 на координатной прямой:

X < 8 , а выделенная штрихами область соответствует множеству значений X, čo sú riešenia nerovnosti 2 ≤ X < 8 .

Bod 2, ktorý je ľavý okraj polovičný interval, je zobrazený ako vyplnený kruh, pretože ľavá hranica nerovnosti 2 ≤ X < 8 patrí mnohé z jeho riešení.

A bod 8, ktorý je pravá hranica polovičný interval je zobrazený ako prázdny kruh, pretože pravá hranica nerovnosti 2 ≤ X < 8 nie patrí mnohé z jeho riešení.

a ≤ x< b, označené takto:

[ a; b)

Je vidieť, že na jednej strane je okraj orámovaný hranatou zátvorkou a na druhej strane okrúhlou zátvorkou. Je to spôsobené tým, že jedna hranica polovičného intervalu jej patrí, zatiaľ čo druhá nie. Napíšme odpoveď na nerovnicu 2 ≤ X < 8 с помощью этого обозначения:

X ∈ [ 2 ; 8)

Tento výraz hovorí, že všetky čísla od 2 do 8, vrátane čísla 2, ale s výnimkou čísla 8, sú riešením nerovnosti 2 ≤ X < 8 .

Podobne na súradnicovej čiare je možné zobraziť polovičný interval daný nerovnosťou a< x ≤ b . Nechať byť a= 2 , b= 8. Potom nerovnosť a< x ≤ b bude mať formu 2< X≤ 8. Riešením tejto dvojitej nerovnosti sú všetky čísla, ktoré sú väčšie ako 2 a menšie ako 8, s výnimkou čísla 2, ale vrátane čísla 8.

Nakreslite polovičný interval 2< X≤ 8 na súradnicovej čiare:

Tu body 2 a 8 zodpovedajú hraniciam nerovnosti 2< X≤ 8 a prerušovaná oblasť zodpovedá množine hodnôt X, čo sú riešenia nerovností 2< X≤ 8 .

Bod 2, ktorý je ľavý okraj polovičný interval, je zobrazený ako prázdny kruh, pretože ľavá hranica nerovnosti 2< X≤ 8 Nepatrí mnohé z jeho riešení.

A bod 8, ktorý je pravá hranica polovičný interval, je zobrazený ako vyplnený kruh, pretože pravá hranica nerovnosti 2< X≤ 8 patrí mnohé z jeho riešení.

Písomne ​​polovičný interval daný nerovnosťou a< x ≤ b, označené takto: a; b] . Zapíšme si odpoveď na nerovnosť 2< X≤ 8 pomocou tohto zápisu:

X ∈ (2 ; 8 ]

Tento výraz hovorí, že všetky čísla od 2 do 8, okrem čísla 2, ale vrátane čísla 8, sú riešením nerovnosti 2< X≤ 8 .

Obrázok číselných intervalov na súradnicovej čiare

Číselný rozsah možno zadať pomocou nerovnosti alebo pomocou zápisu (zátvorky alebo hranaté zátvorky). V oboch prípadoch musí byť možné znázorniť tento číselný interval na súradnicovej čiare. Pozrime sa na pár príkladov.

Príklad 1. Nakreslite číselný interval daný nerovnicou X> 5

Pripomíname, že nerovnosť formy X> a je špecifikovaný otvorený číselný lúč. V tomto prípade premenná a rovná sa 5. Nerovnosť X> 5 je prísny, takže orámovanie 5 sa zobrazí ako prázdny kruh. Zaujímajú nás všetky hodnoty X, ktoré sú väčšie ako 5, takže celá oblasť napravo bude zvýraznená ťahmi:

Príklad 2. Nakreslite číselný interval (5; +∞) na súradnicovú čiaru

Toto je rovnaký číselný rozsah, aký sme zobrazili v predchádzajúcom príklade. Ale tentoraz sa nastavuje nie pomocou nerovnosti, ale pomocou zápisu číselného intervalu.

Hranica 5 je ohraničená zátvorkou, čo znamená, že nepatrí do medzery. V súlade s tým zostáva kruh prázdny.

Symbol +∞ znamená, že nás zaujímajú všetky čísla väčšie ako 5. Celá oblasť napravo od okraja 5 je teda zvýraznená ťahmi:

Príklad 3. Nakreslite číselný interval (−5; 1) na súradnicovú čiaru.

Okrúhle zátvorky na oboch stranách označujú intervaly. Hranice intervalu do nej nepatria, preto sa hranice −5 a 1 zobrazia na súradnicovej čiare ako prázdne krúžky. Celá oblasť medzi nimi bude zvýraznená ťahmi:

Príklad 4. Nakreslite číselný interval daný nerovnicou −5< X< 1

Toto je rovnaký číselný rozsah, aký sme zobrazili v predchádzajúcom príklade. Ale tentoraz to nie je špecifikované pomocou intervalového zápisu, ale pomocou dvojitej nerovnosti.

Nerovnosť formy a< x < b , interval je nastavený. V tomto prípade premenná a sa rovná −5 a premenná b sa rovná jednej. Nerovnosť −5< X< 1 je prísny, takže hranice −5 a 1 budú nakreslené ako prázdne kruhy. Zaujímajú nás všetky hodnoty X, ktoré sú väčšie ako -5, ale menšie ako jedna, takže celá oblasť medzi bodmi -5 a 1 bude zvýraznená ťahmi:

Príklad 5. Nakreslite číselné intervaly [-1; 2] a

Tentokrát nakreslíme na súradnicovú čiaru dve medzery naraz.

Hranaté zátvorky na oboch stranách označujú segmenty. Hranice segmentu k nemu patria, teda hranice segmentov [-1; 2] a budú zobrazené na súradnicovej čiare ako vyplnené kruhy. Celá oblasť medzi nimi bude zvýraznená ťahmi.

Jasne vidieť medzery [−1; 2] a , prvý môže byť znázornený v hornej časti a druhý v spodnej časti. Tak poďme na to:

Príklad 6. Nakreslite číselné intervaly [-1; 2) a (2; 5]

Hranaté zátvorky na jednej strane a okrúhle zátvorky na druhej strane označujú polovičné intervaly. Jedna z hraníc polovičného intervalu k nej patrí a druhá nie.

V prípade polovičného intervalu [-1; 2) ľavá hranica mu bude patriť, ale pravá nie. To znamená, že ľavý okraj sa zobrazí ako vyplnený kruh. Pravý okraj sa zobrazí ako prázdny kruh.

A v prípade polintervalu (2; 5] mu bude patriť len pravý okraj, ale ľavý nie. To znamená, že ľavý okraj sa zobrazí ako vyplnený kruh. Zobrazí sa pravý okraj ako prázdny kruh.

Nakreslite interval [-1; 2) v hornej oblasti súradnicovej čiary a interval (2; 5] — v dolnej časti:

Príklady riešenia nerovností

Nerovnosť, ktorú možno identickými transformáciami zredukovať na formu sekera > b(alebo do výhľadu sekera< b ), zavoláme lineárna nerovnosť s jednou premennou.

V lineárnej nerovnosti sekera > b , X je premenná, ktorej hodnoty sa majú nájsť, a je koeficient tejto premennej, b je hranica nerovnosti, ktorá v závislosti od znamienka nerovnosti môže buď patriť do množiny jej riešení, alebo do nej nepatriť.

Napríklad nerovnosť 2 X> 4 je nerovnosť tvaru sekera > b. V ňom je úloha premennej a hrá číslo 2, úlohu premennej b(hraničná nerovnosť) hrá číslo 4.

Nerovnosť 2 X> 4 môže byť ešte jednoduchšie. Ak obe jeho časti vydelíme 2, dostaneme nerovnosť X> 2

Výsledná nerovnosť X> 2 je tiež nerovnosť tvaru sekera > b, teda lineárna nerovnosť s jednou premennou. V tejto nerovnosti je úloha premennej a jednotka hrá. Predtým sme povedali, že koeficient 1 sa nezaznamenáva. Úloha premennej b hrá číslo 2.

Na základe týchto informácií skúsme vyriešiť niekoľko jednoduchých nerovností. Pri riešení vykonáme elementárne transformácie identity, aby sme získali nerovnosť tvaru sekera > b

Príklad 1. Vyriešte nerovnosť X− 7 < 0

Pridajte k obom stranám nerovnosti číslo 7

X− 7 + 7 < 0 + 7

Na ľavej strane zostane X a pravá strana sa rovná 7

X< 7

Elementárnymi transformáciami sme nerovnosť znížili X− 7 < 0 к равносильному неравенству X< 7 . Решениями неравенства X< 7 являются все числа, которые меньше 7. Граница 7 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство строгое.

Keď sa nerovnosť dostane do formy X< a (alebo x > a), možno považovať za už vyriešené. Naša nerovnosť X− 7 < 0 тоже приведено к такому виду, а именно к виду X< 7 . Но в большинстве школ требуют, чтобы ответ был записан с помощью числового промежутка и проиллюстрирован на координатной прямой.

Napíšme odpoveď pomocou číselného intervalu. V tomto prípade bude odpoveďou otvorený číselný lúč (pripomeňme, že číselný lúč je daný nerovnosťou X< a a označuje sa ako (−∞ ; a)

X ∈ (−∞ ; 7)

Na súradnicovej čiare sa hranica 7 zobrazí ako prázdny kruh a celá oblasť naľavo od hranice bude zvýraznená ťahmi:

Pre kontrolu zoberieme ľubovoľné číslo z intervalu (−∞ ; 7) a dosadíme ho do nerovnice X< 7 вместо переменной X. Vezmite si napríklad číslo 2

2 < 7

Ukázala sa správna číselná nerovnosť, čo znamená, že riešenie je správne. Zoberme si nejaké iné číslo, napríklad číslo 4

4 < 7

Ukázalo sa, že je to správna číselná nerovnosť. Takže rozhodnutie je správne.

A pretože nerovnosť X< 7 равносильно исходному неравенству X - 7 < 0 , то решения неравенства X< 7 будут совпадать с решениями неравенства X - 7 < 0 . Подставим те же тестовые значения 2 и 4 в неравенство X - 7 < 0

2 − 7 < 0

−5 < 0 — Верное неравенство

4 − 7 < 0

−3 < 0 Верное неравенство

Príklad 2. Vyriešte nerovnosť −4 X < −16

Vydeľte obe strany nerovnosti −4. Nezabudnite, že pri delení oboch častí nerovnosti na záporné číslo, znak nerovnosti sa mení na opak:

Znížili sme nerovnosť −4 X < −16 к равносильному неравенству X> 4. Riešenia nerovností X> 4 budú všetky čísla väčšie ako 4. Hranica 4 nepatrí do množiny riešení, pretože nerovnosť je striktná.

X> 4 na súradnicový riadok a odpoveď napíšte ako číselný interval:

Príklad 3. Vyriešte nerovnosť 3y + 1 > 1 + 6r

Preplánovať 6 r z pravej strany na ľavú zmenou znamienka. A prenesieme 1 z ľavej strany na pravú stranu, pričom opäť zmeníme znamienko:

3r− 6r> 1 − 1

Tu sú podobné výrazy:

−3r > 0

Vydeľte obe strany −3. Nezabudnite, že pri delení oboch častí nerovnosti záporným číslom sa znamienko nerovnosti obráti:

Riešenia nerovností r< 0 являются все числа, меньшие нуля. Изобразим множество решений неравенства r< 0 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

Príklad 4. Vyriešte nerovnosť 5(X− 1) + 7 ≤ 1 − 3(X+ 2)

Rozšírme zátvorky v oboch častiach nerovnosti:

Pohyb -3 X z pravej strany na ľavú zmenou znamienka. Prenesieme pojmy −5 a 7 z ľavej strany na pravú, pričom opäť zmeníme znamienka:

Tu sú podobné výrazy:

Vydeľte obe strany výslednej nerovnosti 8

Riešením nerovnosti sú všetky čísla, ktoré sú menšie ako . Hranica patrí do súboru riešení, pretože nerovnosť nie je striktná.

Príklad 5. Vyriešte nerovnosť

Vynásobte obe strany nerovnosti 2. Tým sa zbavíte zlomku na ľavej strane:

Teraz presunieme 5 z ľavej strany na pravú tak, že zmeníme znamienko:

Po zmenšení podobných členov dostaneme nerovnosť 6 X> 1. Vydeľte obe časti tejto nerovnosti 6. Potom dostaneme:

Všetky riešenia nerovnosti sú väčšie ako . Hranica nepatrí do sady riešení, pretože nerovnosť je prísna.

Nakreslite množinu riešení nerovnosti na súradnicovú čiaru a odpoveď napíšte ako číselný interval:

Príklad 6. Vyriešte nerovnosť

Vynásobte obe strany 6

Po zmenšení podobných členov dostaneme nerovnosť 5 X< 30 . Разделим обе части этого неравенства на 5

Riešenia nerovností X< 6 являются все числа, которые меньше 6. Граница 6 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство является X< 6 строгим.

Nakreslite množinu riešení nerovnice X< 6 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

Príklad 7. Vyriešte nerovnosť

Vynásobte obe strany nerovnosti 10

Vo výslednej nerovnosti otvorte zátvorky na ľavej strane:

Prestup členov bez X na pravú stranu

V oboch častiach uvádzame podobné pojmy:

Vydeľte obe časti výslednej nerovnosti 10

Riešenia nerovností X≤ 3,5 sú všetky čísla, ktoré sú menšie ako 3,5. Hranica 3,5 patrí do sady riešení, pretože nerovnosť je X≤ 3,5 neprísne.

Nakreslite množinu riešení nerovnice X≤ 3,5 na súradnicovú čiaru a odpoveď napíšte ako číselný interval:

Príklad 8. Vyriešte nerovnosť 4< 4X< 20

Na vyriešenie takejto nerovnosti potrebujeme premennú X voľný od koeficientu 4. Potom môžeme povedať, v akom intervale je riešenie tejto nerovnosti.

Na uvoľnenie premennej X z koeficientu môžete rozdeliť termín 4 X o 4. Ale pri nerovnostiach platí pravidlo, že ak člen nerovnosti vydelíme nejakým číslom, tak to isté treba urobiť aj so zvyškom pojmov zahrnutých v tejto nerovnosti. V našom prípade musíme vydeliť 4 všetky tri členy nerovnosti 4< 4X< 20

Riešenia nerovností 1< X< 5 являются все числа, которые больше 1 и меньше 5. Границы 1 и 5 не принадлежат множеству решений, поскольку неравенство 1 < X< 5 является строгим.

Nakreslite množinu riešení nerovnosti 1< X< 5 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

Príklad 9. Vyriešte nerovnosť −1 ≤ −2 X≤ 0

Vydeľte všetky členy nerovnosti −2

Dostali sme nerovnosť 0,5 ≥ X≥ 0 . Je žiaduce napísať dvojitú nerovnosť tak, aby sa menší člen nachádzal vľavo a väčší vpravo. Preto našu nerovnosť prepíšeme takto:

0 ≤ X≤ 0,5

Riešenia nerovnosti 0 ≤ X≤ 0,5 sú všetky čísla väčšie ako 0 a menšie ako 0,5. Hranice 0 a 0,5 patria do množiny riešení, keďže nerovnosť 0 ≤ X≤ 0,5 je neprísne.

Nakreslite množinu riešení nerovnice 0 ≤ X≤ 0,5 na súradnicovej čiare a odpoveď napíšte ako číselný interval:

Príklad 10. Vyriešte nerovnosť

Vynásobte obe nerovnosti 12

Otvorme zátvorky vo výslednej nerovnosti a prezentujme podobné pojmy:

Vydeľte obe strany výslednej nerovnosti 2

Riešenia nerovností X≤ −0,5 sú všetky čísla, ktoré sú menšie ako −0,5. Hranica −0,5 patrí do množiny riešení, pretože nerovnosť X≤ −0,5 nie je striktné.

Nakreslite množinu riešení nerovnice X≤ −0,5 na súradnicovú čiaru a odpoveď napíšte ako číselný interval:

Príklad 11. Vyriešte nerovnosť

Vynásobte všetky časti nerovnosti 3

Teraz odčítajte 6 od každej časti výslednej nerovnosti

Každú časť výslednej nerovnosti vydelíme −1. Nezabudnite, že pri delení všetkých častí nerovnosti záporným číslom sa znamienko nerovnosti obráti:

Riešenia nerovnosti 3 ≤ a≤ 9 sú všetky čísla väčšie ako 3 a menšie ako 9. Hranice 3 a 9 patria do množiny riešení, keďže nerovnosť 3 ≤ a≤ 9 je neprísny.

Nakreslite množinu riešení nerovnice 3 ≤ a≤ 9 na súradnicový riadok a odpoveď napíšte ako číselný interval:

Keď neexistujú riešenia

Existujú nerovnosti, ktoré nemajú riešenia. Taká je napríklad nerovnosť 6 X> 2(3X+ 1). V procese riešenia tejto nerovnosti prídeme na to, že znamienko nerovnosti > neospravedlňuje jej umiestnenie. Pozrime sa, ako to vyzerá.

Rozšírením zátvoriek na pravej strane tejto nerovnosti dostaneme 6 X> 6X+ 2. Preplánovať 6 X z pravej strany na ľavú, zmenou znamienka dostaneme 6 X− 6X> 2. Prinášame podobné členy a získame nerovnosť 0 > 2, čo nie je pravda.

Pre lepšie pochopenie prepíšeme redukciu podobných výrazov na ľavej strane takto:

Dostali sme nerovnosť 0 X> 2. Na ľavej strane je súčin, ktorý sa bude rovnať nule pre ľubovoľný X. A nula nemôže byť väčšia ako číslo 2. Preto nerovnosť 0 X> 2 nemá žiadne riešenia.

X> 2, potom nemá žiadne riešenia a pôvodnú nerovnosť 6 X> 2(3X+ 1) .

Príklad 2. Vyriešte nerovnosť

Vynásobte obe strany nerovnosti 3

Vo výslednej nerovnosti prenesieme člen 12 X z pravej strany na ľavú zmenou znamienka. Potom dáme podobné výrazy:

Pravá strana výslednej nerovnosti pre ľubovoľnú X sa bude rovnať nule. A nula nie je menšia ako -8. Preto nerovnosť 0 X< −8 не имеет решений.

A ak je znížená ekvivalentná nerovnosť 0 X< −8 , то не имеет решений и исходное неравенство .

Odpoveď: žiadne riešenia.

Keď existuje nekonečne veľa riešení

Existujú nerovnosti, ktoré majú nekonečný počet riešení. Takéto nerovnosti sa stanú pravdou pre každého X .

Príklad 1. Vyriešte nerovnosť 5(3X− 9) < 15X

Rozšírime zátvorky na pravej strane nerovnosti:

Preplánovať 15 X z pravej strany na ľavú, zmenou znamienka:

Tu sú podobné výrazy na ľavej strane:

Dostali sme nerovnosť 0 X< 45. Na ľavej strane je súčin, ktorý sa bude rovnať nule pre ľubovoľný X. A nula je menšia ako 45. Takže riešenie nerovnosti 0 X< 45 je ľubovoľné číslo.

X< 45 má nekonečný počet riešení, potom pôvodná nerovnosť 5(3X− 9) < 15X má rovnaké riešenia.

Odpoveď možno zapísať ako číselný interval:

X ∈ (−∞; +∞)

Tento výraz hovorí, že riešenia nerovnice 5(3X− 9) < 15X sú všetky čísla od mínus nekonečna do plus nekonečna.

Príklad 2. Vyriešte nerovnosť: 31(2X+ 1) − 12X> 50X

Rozšírme zátvorky na ľavej strane nerovnosti:

Preložme si 50 X z pravej strany na ľavú zmenou znamienka. A prenesieme výraz 31 z ľavej strany na pravú stranu, pričom opäť zmeníme znamienko:

Tu sú podobné výrazy:

Dostali sme nerovnosť 0 x >-31. Na ľavej strane je súčin, ktorý sa bude rovnať nule pre ľubovoľný X. A nula je väčšia ako -31. Takže riešenie nerovnosti 0 X< −31 je ľubovoľné číslo.

A ak je znížená ekvivalentná nerovnosť 0 x >−31 má nekonečný počet riešení, potom pôvodná nerovnosť 31(2X+ 1) − 12X> 50X má rovnaké riešenia.

Napíšme odpoveď ako číselný interval:

X ∈ (−∞; +∞)

Úlohy na samostatné riešenie

Páčila sa vám lekcia?
Pripojte sa k našej novej skupine Vkontakte a začnite dostávať upozornenia na nové lekcie