Geometria zahŕňa vlastnosti a porovnávanie dvojrozmerných a priestorových útvarov. Číselné hodnoty charakterizujúce takéto štruktúry sú námestie a obvod, ktorého výpočet sa vykonáva podľa známych vzorcov alebo sa vyjadruje jeden cez druhý.

Poučenie

1. Obdĺžnik Úloha: Vypočítajte námestie obdĺžnik, ak je známe, že jeho obvod je 40 a dĺžka b je 1,5-krát väčšia ako šírka a.

2. Riešenie: Použite známy obvodový vzorec, ktorý sa rovná súčtu všetkých strán obrazca. V tomto prípade P = 2 a + 2 b. Z počiatočných údajov úlohy viete, že b = 1,5 a, teda P = 2 a + 2 1,5 a = 5 a, z čoho a = 8. Nájdite dĺžku b = 1,5 8 = 12.

3. Napíšte vzorec pre oblasť obdĺžnika: S = a b, Dosaďte známe hodnoty: S = 8 * 12 = 96.

4. Štvorec.Problém: odhaliť námestieštvorcový, ak je obvod 36.

5. Riešenie. Štvorec je špeciálny prípad obdĺžnika, kde sú všetky strany rovnaké, preto jeho obvod je 4 a, odkiaľ a = 8. Určte obsah štvorca podľa vzorca S = a? = 64.

6. Trojuholník Úloha: nech je daný ľubovoľný trojuholník ABC, ktorého obvod je 29. Zistite hodnotu jeho obsahu, ak je známe, že výška BH znížená na stranu AC ho delí na úsečky s dĺžkami 3 a 4 cm.

7. Riešenie: Najprv si zapamätajte plošný vzorec pre trojuholník: S \u003d 1/2 c h, kde c je základňa a h je výška obrázku. V našom prípade bude základňou strana AC, ktorá je známa podmienkou úlohy: AC = 3+4 = 7, zostáva nájsť výšku BH.

8. Výška je kolmica nakreslená na stranu z opačného vrcholu, preto rozdeľuje trojuholník ABC na dva pravouhlé trojuholníky. Keď poznáte túto kvalitu, zvážte trojuholník ABH. Spomeňte si na Pytagorovu formulku, podľa ktorej: AB? = BH? +AH? = BH? + 9? AB \u003d? (h? + 9). Do trojuholníka BHC podľa tej istej tézy zapíšte: BC? = BH? +HC? = BH? + 16? BC = ?(h? + 16).

9. Použite obvodový vzorec: P = AB + BC + AC

10. Vyriešte rovnicu: ?(h? + 9) + ?(h? + 16) = 22? [náhradné t? =h? + 9]:?(t? + 7) = 22 - t, druhá mocnina oboch strán rovnice: t? + 7 \u003d 484 - 44 t + t? ? t? 10,84 h? + 9 = 117,5? h? 10.42

11. Objavte námestie trojuholník ABC:S = 1/2 7 10,42 = 36,47.

Obdĺžnik je špeciálny prípad štvoruholníka. To znamená, že obdĺžnik má štyri strany. Jeho protiľahlé strany sú rovnaké: ak je napríklad jedna z jeho strán 10 cm, potom opačná strana bude tiež 10 cm.Špeciálnym prípadom obdĺžnika je štvorec. Štvorec je obdĺžnik so všetkými rovnakými stranami. Na výpočet plochy štvorca môžete použiť rovnaký algoritmus ako na výpočet plochy obdĺžnika.

Ako nájsť oblasť obdĺžnika na dvoch stranách

Ak chcete nájsť plochu obdĺžnika, vynásobte jeho dĺžku jeho šírkou: plocha = dĺžka × šírka. V prípade nižšie: Plocha = AB × BC.

Ako nájsť oblasť obdĺžnika vzhľadom na stranu a dĺžku uhlopriečky

V niektorých problémoch musíte nájsť oblasť obdĺžnika pomocou dĺžky uhlopriečky a jednej zo strán. Uhlopriečka obdĺžnika ho rozdeľuje na dva rovnaké pravouhlé trojuholníky. Preto môžete určiť druhú stranu obdĺžnika pomocou Pytagorovej vety. Potom sa problém zredukuje na predchádzajúci bod.

Ako nájsť oblasť obdĺžnika podľa obvodu a strany

Obvod obdĺžnika je súčtom všetkých jeho strán. Ak poznáte obvod obdĺžnika a jednu stranu (napríklad šírku), môžete vypočítať plochu obdĺžnika pomocou nasledujúceho vzorca:
Plocha \u003d (obvod × šírka - šírka ^ 2) / 2.

Oblasť obdĺžnika v zmysle sínusu ostrého uhla medzi uhlopriečkami a dĺžkou uhlopriečky

Uhlopriečky v obdĺžniku sú rovnaké, takže na výpočet plochy na základe dĺžky uhlopriečky a sínusu ostrého uhla medzi nimi použite nasledujúci vzorec: Plocha = Uhlopriečka^2 × sin(akútny uhol medzi uhlopriečkami)/ 2.

Definícia.

Obdĺžnik Je to štvoruholník s dvoma rovnakými protiľahlými stranami a rovnakými všetkými štyrmi uhlami.

Obdĺžniky sa od seba líšia iba pomerom dlhej strany ku krátkej strane, ale všetky štyri sú správne, to znamená každý 90 stupňov.

Dlhá strana obdĺžnika je tzv dĺžka obdĺžnika a krátke šírka obdĺžnika.

Strany obdĺžnika sú zároveň jeho výškami.

Základné vlastnosti obdĺžnika

Obdĺžnik môže byť rovnobežník, štvorec alebo kosoštvorec.

1. Opačné strany obdĺžnika majú rovnakú dĺžku, to znamená, že sú rovnaké:

AB = CD, BC = AD

2. Opačné strany obdĺžnika sú rovnobežné:

3. Susedné strany obdĺžnika sú vždy kolmé:

AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB

4. Všetky štyri rohy obdĺžnika sú rovné:

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°

5. Súčet uhlov obdĺžnika je 360 ​​stupňov:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

6. Uhlopriečky obdĺžnika majú rovnakú dĺžku:

7. Súčet štvorcov uhlopriečky obdĺžnika sa rovná súčtu štvorcov strán:

2d2 = 2a2 + 2b2

8. Každá uhlopriečka obdĺžnika rozdeľuje obdĺžnik na dva rovnaké obrazce, konkrétne pravouhlé trojuholníky.

9. Uhlopriečky obdĺžnika sa pretínajú a sú rozdelené na polovicu v priesečníku:

		AO=BO=CO=DO=	d
			2

10. Priesečník uhlopriečok sa nazýva stred obdĺžnika a je tiež stredom kružnice opísanej.

11. Uhlopriečka obdĺžnika je priemer opísanej kružnice

12. Kruh možno vždy opísať okolo obdĺžnika, pretože súčet opačných uhlov je 180 stupňov:

∠ABC = ∠CDA = 180° ∠BCD = ∠DAB = 180°

13. Kruh nemožno vpísať do obdĺžnika, ktorého dĺžka sa nerovná jeho šírke, keďže súčty protiľahlých strán sa navzájom nerovnajú (kruh možno vpísať len v špeciálnom prípade obdĺžnika - štvorca).

Strany obdĺžnika

Definícia.

Dĺžka obdĺžnika volajte dĺžku dlhšieho páru jeho strán. Šírka obdĺžnika pomenujte dĺžku kratšieho páru jeho strán.

Vzorce na určenie dĺžok strán obdĺžnika

1. Vzorec pre stranu obdĺžnika (dĺžka a šírka obdĺžnika) z hľadiska uhlopriečky a druhej strany:

a = √ d 2 - b 2

b = √ d 2 - a 2

2. Vzorec pre stranu obdĺžnika (dĺžku a šírku obdĺžnika) z hľadiska plochy a druhej strany:

b = dcos	β
	2

Uhlopriečka obdĺžnika

Definícia.

Diagonálny obdĺžnik Akýkoľvek segment spájajúci dva vrcholy protiľahlých rohov obdĺžnika sa nazýva.

Vzorce na určenie dĺžky uhlopriečky obdĺžnika

1. Vzorec pre uhlopriečku obdĺžnika z hľadiska dvoch strán obdĺžnika (prostredníctvom Pytagorovej vety):

d = √ a 2 + b 2

2. Vzorec pre uhlopriečku obdĺžnika z hľadiska plochy a ľubovoľnej strany:

4. Vzorec pre uhlopriečku obdĺžnika z hľadiska polomeru kružnice opísanej:

d = 2R

5. Vzorec pre uhlopriečku obdĺžnika z hľadiska priemeru opísanej kružnice:

d = D o

6. Vzorec uhlopriečky obdĺžnika z hľadiska sínusu uhla susediaceho s uhlopriečkou a dĺžky strany protiľahlej k tomuto uhlu:

8. Vzorec uhlopriečky obdĺžnika z hľadiska sínusu ostrého uhla medzi uhlopriečkami a plochou obdĺžnika

d = √2S: sinβ

Obvod obdĺžnika

Definícia.

Obvod obdĺžnika je súčet dĺžok všetkých strán obdĺžnika.

Vzorce na určenie dĺžky obvodu obdĺžnika

1. Vzorec pre obvod obdĺžnika z hľadiska dvoch strán obdĺžnika:

P = 2a + 2b

P = 2(a+b)

2. Vzorec pre obvod obdĺžnika z hľadiska plochy a ľubovoľnej strany:

P=	2S + 2a 2	=	2S + 2b 2
	a		b

3. Vzorec pre obvod obdĺžnika z hľadiska uhlopriečky a ľubovoľnej strany:

P = 2 (a + √ d 2 - a 2) = 2(b + √ d 2 - b 2)

4. Vzorec pre obvod obdĺžnika z hľadiska polomeru opísanej kružnice a ľubovoľnej strany:

P = 2(a + √4R 2 - a 2) = 2(b + √4R 2 - b 2)

5. Vzorec pre obvod obdĺžnika z hľadiska priemeru opísanej kružnice a ktorejkoľvek strany:

P = 2(a + √D o 2 - a 2) = 2(b + √D o 2 - b 2)

Oblasť obdĺžnika

Definícia.

Oblasť obdĺžnika nazývaný priestor ohraničený stranami obdĺžnika, teda v rámci obvodu obdĺžnika.

Vzorce na určenie plochy obdĺžnika

1. Vzorec pre oblasť obdĺžnika z hľadiska dvoch strán:

S = a b

2. Vzorec pre oblasť obdĺžnika cez obvod a ktorúkoľvek stranu:

5. Vzorec pre oblasť obdĺžnika z hľadiska polomeru opísanej kružnice a ľubovoľnej strany:

S = a √4R 2 - a 2= b √4R 2 - b 2

6. Vzorec pre oblasť obdĺžnika z hľadiska priemeru opísanej kružnice a ktorejkoľvek strany:

S \u003d a √ D o 2 - a 2= b √ D o 2 - b 2

Kruh opísaný okolo obdĺžnika

Definícia.

Kruh opísaný okolo obdĺžnika Kružnica sa nazýva kružnica prechádzajúca štyrmi vrcholmi obdĺžnika, ktorého stred leží v priesečníku uhlopriečok obdĺžnika.

Vzorce na určenie polomeru kružnice opísanej okolo obdĺžnika

1. Vzorec pre polomer kružnice opísanej obdĺžniku cez dve strany:

4. Vzorec pre polomer kruhu, ktorý je opísaný okolo obdĺžnika cez uhlopriečku štvorca:

5. Vzorec pre polomer kruhu, ktorý je opísaný v blízkosti obdĺžnika cez priemer kružnice (opísanej):

6. Vzorec pre polomer kruhu, ktorý je opísaný v blízkosti obdĺžnika cez sínus uhla, ktorý susedí s uhlopriečkou, a dĺžku strany oproti tomuto uhlu:

7. Vzorec pre polomer kruhu, ktorý je opísaný okolo obdĺžnika v zmysle kosínusu uhla, ktorý susedí s uhlopriečkou, a dĺžky strany pod týmto uhlom:

8. Vzorec pre polomer kruhu, ktorý je opísaný v blízkosti obdĺžnika cez sínus ostrého uhla medzi uhlopriečkami a oblasťou obdĺžnika:

Uhol medzi stranou a uhlopriečkou obdĺžnika.

Vzorce na určenie uhla medzi stranou a uhlopriečkou obdĺžnika:

1. Vzorec na určenie uhla medzi stranou a uhlopriečkou obdĺžnika cez uhlopriečku a stranu:

2. Vzorec na určenie uhla medzi stranou a uhlopriečkou obdĺžnika cez uhol medzi uhlopriečkami:

Uhol medzi uhlopriečkami obdĺžnika.

Vzorce na určenie uhla medzi uhlopriečkami obdĺžnika:

1. Vzorec na určenie uhla medzi uhlopriečkami obdĺžnika cez uhol medzi stranou a uhlopriečkou:

p = 2α

2. Vzorec na určenie uhla medzi uhlopriečkami obdĺžnika cez plochu a uhlopriečkou.

Obdĺžnik - P = 2*a + 2*b = 2*3 + 2*6 = 6 + 12 = 18. V tomto probléme sa obvod zhodoval v hodnote s plochou obrázku.

Štvorcová úloha: nájdite obvod štvorca, ak jeho obsah je 9. Riešenie: pomocou štvorcového vzorca S = a ^ 2 odtiaľ nájdite dĺžku strany a = 3. Obvod sa rovná súčtu dĺžok zo všetkých strán teda P = 4 * a = 4 * 3 = 12.

Úloha trojuholníka: zadané ľubovoľné ABC, ktorého plocha sa rovná 14. Nájdite obvod trojuholníka, ak čiara vedená z vrcholu B rozdeľuje základňu trojuholníka na segmenty s dĺžkou 3 a 4 cm . S = ½*AC*BE. Obvod sa rovná súčtu dĺžok všetkých strán. Nájdite dĺžku strany AC sčítaním dĺžok AE a EC, AC = 3 + 4 = 7. Nájdite výšku trojuholníka BE = S*2/AC = 14*2/7 = 4. Uvažujme pravouhlý trojuholník ABE. Keď poznáte AE a BE, môžete nájsť preponu pomocou Pytagorovho vzorca AB^2 = AE^2 + BE^2, AB = √(3^2 + 4^2) = √25 = 5. Uvažujme pravouhlý trojuholník BEC. Podľa Pytagorovho vzorca BC^2 = BE^2 + EC^2, BC = √(4^2 + 4^2) = 4*√2. Teraz dĺžky všetkých strán trojuholníka. Nájdite obvod z ich súčtu P = AB + BC + AC = 5 + 4*√2 + 7 = 12 + 4*√2 = 4*(3+√2).

CircleProblem: je známe, že plocha kruhu je 16*π, nájdite jeho obvod. Riešenie: napíšte vzorec pre obsah kruhu S = π*r^2. Nájdite polomer kružnice r = √(S/π) = √16 = 4. Podľa vzorca je obvod P = 2*π*r = 2*π*4 = 8*π. Ak pripustíme, že π = 3,14, potom P = 8*3,14 = 25,12.

Zdroje:

• plocha sa rovná obvodu

Každý z nás raz v škole začne študovať obvod obdĺžnika. Poďme si teda pripomenúť, ako to vypočítať a aký je obvod vo všeobecnosti?

Slovo "obvod" pochádza z dvoch gréckych slov: "peri", čo znamená "okolo", "okolo" a "metron", čo znamená "merať", "merať". Tie. obvod, v preklade z gréčtiny znamená "meranie okolo."

Poučenie

Druhá definícia bude znieť takto: obvod obdĺžnika je dvojnásobkom súčtu jeho dĺžky a šírky.

Podobné videá

Užitočné rady

Plocha obdĺžnika je súčinom jeho dĺžky a šírky. Pemeter je súčet všetkých strán.

Zdroje:

Kruh je geometrický útvar vytvorený zo súboru bodov, ktoré sú ďaleko od stredu. kruhy na rovnakú vzdialenosť. Na základe známeho kruhyúdajov, existujú 2 navzájom vyplývajúce vzorce na určenie jeho plochy.

Budete potrebovať

• Hodnota konštanty π (rovná sa 3,14);
• Veľkosť priemeru/polomeru kruhu.

Poučenie

Podobné videá

Štvorec je krásna a jednoduchá plochá geometrická postava. Je to obdĺžnik s rovnakými stranami. Ako nájsť obvod námestie ak je známa dĺžka jeho strany?

Poučenie

V prvom rade si to zapamätajte obvod nie je nič iné ako súčet geometrického útvaru. Uvažujeme o štyroch stranách. Navyše podľa , všetky tieto strany sú rovnaké medzi .
Z týchto priestorov sa dá ľahko nájsť obvod a námestie – obvod námestie dĺžka strany námestie vynásobené štyrmi:
P \u003d 4a, kde a je dĺžka strany námestie.

Podobné videá

Tip 6: Ako nájsť oblasť trojuholníka a obdĺžnika

Trojuholník a obdĺžnik sú dva najjednoduchšie ploché geometrické útvary v euklidovskej geometrii. V rámci obvodov tvorených stranami týchto mnohouholníkov je určitá časť roviny, ktorej oblasť je možné určiť mnohými spôsobmi. Voľba metódy v každom konkrétnom prípade bude závisieť od známych parametrov obrázkov.

Poučenie

Použite jeden z trigonometrických vzorcov na nájdenie oblasti trojuholníka, ak poznáte hodnoty jedného alebo viacerých uhlov v . Napríklad so známou hodnotou uhla (α) a dĺžkami strán, ktoré ho tvoria (B a C), možno plochu (S) získať podľa vzorca S \u003d B * C * sin (α ) / 2. A s hodnotami všetkých uhlov (α, β a γ) a dĺžkou jednej strany navyše (A) môžete použiť vzorec S \u003d A² * sin (β) * sin (γ) / (2 * hriech (α)). Ak je okrem všetkých uhlov známy aj (R) opísanej kružnice, potom použite vzorec S=2*R²*sin(α)*sin(β)*sin(γ).

Ak uhly nie sú známe, potom na nájdenie oblasti trojuholníka môžete použiť trigonometrické funkcie. Ak je napríklad (H) nakreslené zo strany, ktorá tiež pozná (A), použite vzorec S \u003d A * H / 2. A ak sú uvedené dĺžky každej zo strán (A, B a C), potom najprv nájdite polobvod p \u003d (A + B + C) / 2 a potom vypočítajte plochu \u200b\ u200btrojuholník pomocou vzorca S \u003d √ (p * (p-A) * (p-B) * (p-C)). Ak je okrem (A, B a C) známy aj polomer (R) opísanej kružnice, použite vzorec S \u003d A * B * C / (4 * R).

Na nájdenie plochy obdĺžnika možno použiť aj goniometrické funkcie - napríklad ak je známa dĺžka jeho uhlopriečky (C) a uhol, ktorý má na jednej zo strán (α). V tomto prípade použite vzorec S=С²*sin(α)*cos(α). A ak sú známe dĺžky uhlopriečok (C) a uhol, ktorý tvoria (α), použite vzorec S \u003d C² * sin (α) / 2.