Medzi všetkými trojuholníkmi existujú dva špeciálne typy: pravouhlé trojuholníky a rovnoramenné trojuholníky. Prečo sú tieto typy trojuholníkov také špeciálne? Po prvé, takéto trojuholníky sa veľmi často ukážu ako hlavní aktéri úloh Jednotnej štátnej skúšky prvej časti. A po druhé, problémy s pravouhlými a rovnoramennými trojuholníkmi sa riešia oveľa ľahšie ako iné problémy v geometrii. Stačí poznať niekoľko pravidiel a vlastností. Všetko najzaujímavejšie sa diskutuje v príslušnej téme a teraz zvážime rovnoramenné trojuholníky. A v prvom rade, čo je to rovnoramenný trojuholník. Alebo, ako hovoria matematici, aká je definícia rovnoramenného trojuholníka?
Pozrite sa, ako to vyzerá:
Rovnako ako pravouhlý trojuholník, aj rovnoramenný trojuholník má špeciálne názvy pre svoje strany. Nazývajú sa dve rovnaké strany strany a tretia strana základ.
A ešte raz sa pozrite na obrázok:
Mohlo by to byť, samozrejme, takto:
Buď opatrný: bočná strana - jedna z dvoch rovnakých strán v rovnoramennom trojuholníku a základom je tretia strana.
Prečo je rovnoramenný trojuholník taký dobrý? Aby sme to pochopili, nakreslíme výšku k základni. Pamätáte si, aká je výška?
Čo sa stalo? Z jedného rovnoramenného trojuholníka vyšli dva pravouhlé.
To je už dobré, ale stane sa to v akomkoľvek „najšikmejšom“ trojuholníku.
Aký je rozdiel medzi obrázkom pre rovnoramenný trojuholník? Pozrite sa znova:
No, po prvé, samozrejme, týmto zvláštnym matematikom nestačí len vidieť - musia to určite dokázať. A potom sa zrazu tieto trojuholníky mierne líšia a budeme ich považovať za rovnaké.
Ale nebojte sa: v tomto prípade je dokazovanie takmer také jednoduché ako vidieť.
Môžeme začať? Pozrite sa pozorne, máme:
A preto,! prečo? Áno, len nájdeme a, az Pytagorovej vety (súčasne si pamätáme, že)
Si si istý? No, teraz máme
A na troch stranách - najjednoduchší (tretí) znak rovnosti trojuholníkov.
Náš rovnoramenný trojuholník je rozdelený na dva rovnaké pravouhlé.
Vidíte, aké zaujímavé? Ukázalo sa, že:
Ako je zvykom, že o tom hovoria matematici? Poďme po poriadku:
(Tu si pripomíname, že stred je čiara vedená z vrcholu, ktorý rozdeľuje stranu na polovicu, a stred je uhol.)
Nuž, tu sme diskutovali o tom, čo dobrého môžeme vidieť, ak dostaneme rovnoramenný trojuholník. Z toho sme odvodili, že v rovnoramennom trojuholníku sú uhly v základni rovnaké a výška, stred a stred k základni sú rovnaké.
A teraz vyvstáva ďalšia otázka: ako rozpoznať rovnoramenný trojuholník? To je, ako hovoria matematici, čo sú znaky rovnoramenného trojuholníka?
A ukazuje sa, že stačí „otočiť“ všetky vyhlásenia naopak. To sa, samozrejme, nestáva vždy, ale rovnoramenný trojuholník je stále skvelá vec! Čo sa stane po „zvrate“?
Tak sa pozrite sem:
Ak sú výška a medián rovnaké, potom:
Ak sú výška a stred osi rovnaké, potom: 
Ak sú stred a stred rovnaké, potom:
No, nezabudnite a použite:
- Ak je daný rovnoramenný trojuholníkový trojuholník, pokojne nakreslite výšku, získajte dva pravouhlé trojuholníky a vyriešte úlohu už o pravouhlom trojuholníku.
- Ak je to dané dva uhly sú rovnaké, potom trojuholník presne tak rovnoramenné a môžete nakresliť výšku a .... (Dom, ktorý postavil Jack ...).
- Ak sa ukázalo, že výška je rozdelená na polovicu stranou, potom je trojuholník rovnoramenný so všetkými z toho vyplývajúcimi bonusmi.
- Ak by sa ukázalo, že výška rozdelila uhol na podlahy - tiež rovnoramenné!
- Ak bisector rozdelil stranu na polovicu alebo stred - uhol, potom sa to tiež stane iba v rovnoramennom trojuholníku
Pozrime sa, ako to vyzerá v úlohách.
Úloha 1(najjednoduchšie)
V trojuholníku sú strany a rovnaké, a. Nájsť.
Rozhodujeme sa:
Najprv kresba.
Aký je tu základ? Určite,.
Pripomíname, že ak, potom a.
Aktualizovaný výkres:
Označme za. Aký je súčet uhlov trojuholníka? ?
Používame:
To je odpoveď: .
Jednoduché, však? Nemusel som ísť ani vysoko.
Úloha 2(Tiež nie veľmi zložité, ale musíte zopakovať tému)
V trojuholníku, Nájsť.
Rozhodujeme sa:
Trojuholník je rovnoramenný! Nakreslíme výšku (toto je zameranie, pomocou ktorého sa teraz všetko rozhodne).
Teraz „vymažeme zo života“, zvážime iba.
Takže máme:
Pamätáme si tabuľkové hodnoty kosínov (no, alebo sa pozrite na cheat sheet ...)
Zostáva nájsť: .
odpoveď: .
Všimnite si, že sme tu veľmi požadované znalosti týkajúce sa pravouhlého trojuholníka a „tabuľkových“ sínusov a kosínusov. Veľmi často sa to stáva: témy „Rovnostranný trojuholník“ a hádanky sú v balíkoch, ale nie sú veľmi priateľské k iným témam.
Rovnoramenný trojuholník. Stredná úroveň.
Títo dve rovnaké strany volal strany, a tretia strana je základňa rovnoramenného trojuholníka.
Pozrite sa na obrázok: a - strany, - základňa rovnoramenného trojuholníka.
Pozrime sa na jednom obrázku, prečo je to tak. Nakreslite výšku z bodu.
To znamená, že všetky zodpovedajúce prvky sú rovnaké.
Všetko! Jedným ťahom (výška) boli všetky tvrdenia dokázané naraz.
A pamätáte si: na vyriešenie problému s rovnoramenným trojuholníkom je často veľmi užitočné znížiť výšku k základni rovnoramenného trojuholníka a rozdeliť ho na dva rovnaké pravouhlé trojuholníky.
Znaky rovnoramenného trojuholníka
Aj opačné tvrdenia sú pravdivé:
Takmer všetky tieto tvrdenia možno opäť dokázať „jedným ťahom“.
1. Nech sa teda v ukáže ako rovné a.
Zoberme si výšku. Potom
2. a) Teraz vložte trojuholník rovnaká výška a stred.
2. b) A ak sú výška a medián rovnaké? Všetko je takmer rovnaké, nič komplikovanejšie!
 |
- na dvoch nohách |
2. c) Ale ak tam nie je výška, ktorý je znížený na základňu rovnoramenného trojuholníka, potom neexistujú žiadne pôvodne pravouhlé trojuholníky. Zle!
Existuje však východisko - prečítajte si to na ďalšej úrovni teórie, pretože dôkaz je tu komplikovanejší, ale zatiaľ si pamätajte, že ak sa medián a os zhodujú, trojuholník bude tiež rovnoramenný a výška bude sa stále zhodujú s týmito stredmi a stredmi.
Zhrnúť:
- Ak je trojuholník rovnoramenný, potom sú uhly v základni rovnaké a výška, stred a stred nakreslené k základni sú rovnaké.
- Ak sú v nejakom trojuholníku dva rovnaké uhly alebo sa zhodujú dve z troch čiar (strednica, stred, výška), potom je takýto trojuholník rovnoramenný.
Rovnoramenný trojuholník. Stručný popis a základné vzorce
Rovnoramenný trojuholník je trojuholník, ktorý má dve rovnaké strany.
Znaky rovnoramenného trojuholníka:
- Ak má trojuholník dva rovnaké uhly, potom je rovnoramenný.
- Ak sa v nejakom trojuholníku zhodujú:
a) výška a stred alebo
b) výška a medián alebo
v) medián a stred,
nakreslený na jednu stranu, potom je takýto trojuholník rovnoramenný.
OSTATNÉ 2/3 ČLÁNKOV SÚ K DISPOZÍCII LEN PRE MLADŠÍCH ŠTUDENTOV!
Staňte sa študentom YouClever,
Pripravte sa na OGE alebo USE v matematike za cenu „šálky kávy za mesiac“,
A tiež získate neobmedzený prístup k učebnici „YouClever“, školiacemu programu „100gia“ (kniha riešení), neobmedzené skúšobné USE a OGE, 6000 úloh s analýzou riešení a ďalšie služby YouClever a 100gia.
Prví historici našej civilizácie – starí Gréci – spomínajú Egypt ako rodisko geometrie. Je ťažké s nimi nesúhlasiť, pretože vieme, s akou úžasnou presnosťou boli postavené obrovské hrobky faraónov. Vzájomné usporiadanie rovín pyramíd, ich proporcie, orientácia na svetové strany - bez znalosti základov geometrie by bolo nemysliteľné dosiahnuť takú dokonalosť.
Samotné slovo „geometria“ sa dá preložiť ako „meranie zeme“. Navyše, slovo „zem“ sa nejaví ako planéta – súčasť slnečnej sústavy, ale ako rovina. Označenie oblastí pre poľnohospodárstvo je s najväčšou pravdepodobnosťou veľmi pôvodným základom vedy o geometrických tvaroch, ich typoch a vlastnostiach.
Trojuholník je najjednoduchší priestorový útvar planimetrie, ktorý obsahuje iba tri body - vrcholy (nie je menej). Základom základov je možno dôvod, prečo sa v ňom zdá byť niečo tajomné a prastaré. Vševidiace oko vo vnútri trojuholníka je jedným z prvých známych okultných znamení a geografia jeho rozšírenia a časový rámec sú jednoducho úžasné. Od starovekých egyptských, sumerských, aztéckych a iných civilizácií až po modernejšie komunity milovníkov okultizmu roztrúsených po celom svete.
Čo sú trojuholníky
Obyčajný scalene trojuholník je uzavretý geometrický obrazec, ktorý sa skladá z troch segmentov rôznych dĺžok a troch uhlov, z ktorých žiadny nie je rovný. Okrem nej existuje niekoľko špeciálnych typov.
Ostrý trojuholník má všetky uhly menšie ako 90 stupňov. Inými slovami, všetky uhly takéhoto trojuholníka sú ostré.
Pravouhlý trojuholník, nad ktorým školáci neustále plakali pre množstvo viet, má jeden uhol s hodnotou 90 stupňov, alebo, ako sa tomu hovorí, pravý.
Tupý trojuholník sa vyznačuje tým, že jeden z jeho uhlov je tupý, to znamená, že jeho hodnota je väčšia ako 90 stupňov.
Rovnostranný trojuholník má tri strany rovnakej dĺžky. Na takomto obrázku sú všetky uhly rovnaké.
A nakoniec, v rovnoramennom trojuholníku s tromi stranami sú dve rovnaké.
Charakteristické rysy
Vlastnosti rovnoramenného trojuholníka určujú aj jeho hlavný, hlavný rozdiel – rovnosť dvoch strán. Tieto rovnaké strany sa zvyčajne nazývajú boky (alebo častejšie strany), ale tretia strana sa nazýva „základňa“.
Na uvažovanom obrázku a = b.
Druhé znamienko rovnoramenného trojuholníka vyplýva zo sínusovej vety. Keďže strany a a b sú rovnaké, sínusy ich opačných uhlov sú tiež rovnaké:
a/sin γ = b/sin α, odkiaľ máme: sin γ = sin α.
Z rovnosti sínusov vyplýva rovnosť uhlov: γ = α.
Takže druhým znakom rovnoramenného trojuholníka je rovnosť dvoch uhlov susediacich so základňou.
Tretie znamenie. V trojuholníku sa rozlišujú prvky ako výška, stred a stred.
Ak sa v procese riešenia problému ukáže, že v uvažovanom trojuholníku sa akékoľvek dva z týchto prvkov zhodujú: výška s osou; stred so stredom; medián s výškou - môžeme definitívne usúdiť, že trojuholník je rovnoramenný.
Geometrické vlastnosti obrazca
1. Vlastnosti rovnoramenného trojuholníka. Jednou z charakteristických vlastností postavy je rovnosť uhlov susediacich so základňou:
<ВАС = <ВСА.
2. Ďalšia vlastnosť diskutovaná vyššie: stred, stred a výška v rovnoramennom trojuholníku sú rovnaké, ak sú postavené od jeho vrcholu po základňu.
3. Rovnosť osí nakreslených z vrcholov na základni:
Ak AE je osou uhla BAC a CD je osou uhla BCA, potom: AE = DC.
4. Vlastnosti rovnoramenného trojuholníka tiež zabezpečujú rovnosť výšok, ktoré sú nakreslené z vrcholov na základni.
Ak zostrojíme výšky trojuholníka ABC (kde AB = BC) z vrcholov A a C, potom sa výsledné úsečky CD a AE budú rovnať.
5. Mediány nakreslené z rohov na základni sa tiež ukážu ako rovnaké.
Ak sú teda AE a DC mediány, to znamená AD = DB a BE = EC, potom AE = DC.
Výška rovnoramenného trojuholníka
Rovnosť strán a uhlov v nich zavádza niektoré funkcie pri výpočte dĺžok prvkov príslušného obrázku.
Výška v rovnoramennom trojuholníku rozdeľuje obrazec na 2 symetrické pravouhlé trojuholníky, ktorých preponami sú strany. Výška je v tomto prípade určená podľa Pytagorovej vety ako noha.
Trojuholník môže mať všetky tri strany rovnaké, potom sa bude nazývať rovnostranný. Výška v rovnostrannom trojuholníku sa určuje podobným spôsobom, len na výpočty stačí poznať iba jednu hodnotu - dĺžku strany tohto trojuholníka.
Výšku môžete určiť iným spôsobom, napríklad poznať základňu a uhol, ktorý k nej prilieha.
Medián rovnoramenného trojuholníka
Uvažovaný typ trojuholníka je vzhľadom na geometrické vlastnosti riešený celkom jednoducho minimálnym súborom počiatočných údajov. Keďže medián v rovnoramennom trojuholníku sa rovná jeho výške aj jeho osi, algoritmus na jeho určenie sa nelíši od poradia, v ktorom sú tieto prvky vypočítané.
Napríklad dĺžku mediánu môžete určiť podľa známej laterálnej strany a hodnoty uhla vo vrchole.
Ako určiť obvod
Keďže uvažovaný planimetrický útvar má dve strany vždy rovnaké, na určenie obvodu stačí poznať dĺžku základne a dĺžku jednej zo strán.
Zoberme si príklad, keď potrebujete určiť obvod trojuholníka so známou základňou a výškou.
Obvod sa rovná súčtu základne a dvojnásobku dĺžky strany. Bočná strana je zas určená pomocou Pytagorovej vety ako prepony pravouhlého trojuholníka. Jeho dĺžka sa rovná druhej odmocnine súčtu druhej mocniny výšky a druhej mocniny polovice základne.
Oblasť rovnoramenného trojuholníka
Spravidla nespôsobuje ťažkosti a výpočet plochy rovnoramenného trojuholníka. V našom prípade samozrejme platí univerzálne pravidlo na určenie plochy trojuholníka ako polovice súčinu základne a jej výšky. Vlastnosti rovnoramenného trojuholníka však opäť uľahčujú úlohu.
Predpokladajme, že poznáme výšku a uhol susediaci so základňou. Musíte určiť oblasť obrázku. Môžete to urobiť takto.
Keďže súčet uhlov akéhokoľvek trojuholníka je 180°, nie je ťažké určiť veľkosť uhla. Ďalej pomocou podielu zostaveného podľa sínusovej vety sa určí dĺžka základne trojuholníka. Všetko, základňa a výška - dostatočné údaje na určenie oblasti - sú k dispozícii.
Ďalšie vlastnosti rovnoramenného trojuholníka
Poloha stredu kružnice opísanej okolo rovnoramenného trojuholníka závisí od uhla vrcholu. Ak je teda rovnoramenný trojuholník ostrý, stred kruhu sa nachádza vo vnútri obrázku.
Stred kružnice opísanej okolo tupého rovnoramenného trojuholníka leží mimo nej. A napokon, ak je vrcholový uhol 90°, stred leží presne v strede základne a priemer kruhu prechádza samotnou základňou.
Na určenie polomeru kružnice opísanej rovnoramennému trojuholníku stačí vydeliť dĺžku bočnej strany dvojnásobkom kosínusu polovice uhla vo vrchole.
Vlastnosti rovnoramenného trojuholníka vyjadrujú nasledujúce vety.
Veta 1. V rovnoramennom trojuholníku sú uhly v základni rovnaké.
Veta 2. V rovnoramennom trojuholníku je stredom a výškou stred nakreslená os k základni.
Veta 3. V rovnoramennom trojuholníku je stredom k základni os a výška.
Veta 4. V rovnoramennom trojuholníku je výška nakreslená k základni os a stred.
Dokážme jednu z nich, napríklad vetu 2.5.
Dôkaz. Uvažujme rovnoramenný trojuholník ABC so základňou BC a dokážme, že ∠ B = ∠ C. Nech AD je osou trojuholníka ABC (obr. 1). Trojuholníky ABD a ACD sú rovnaké podľa prvého znamienka rovnosti trojuholníkov (AB = AC podľa podmienky, AD je spoločná strana, ∠ 1 = ∠ 2, keďže AD je stred). Z rovnosti týchto trojuholníkov vyplýva, že ∠ B = ∠ C. Veta je dokázaná.
Pomocou vety 1 stanovíme nasledujúcu vetu.
Veta 5. Tretie kritérium pre rovnosť trojuholníkov. Ak sa tri strany jedného trojuholníka rovnajú trom stranám iného trojuholníka, potom sú tieto trojuholníky rovnaké (obr. 2).
Komentujte. Vety ustanovené v príkladoch 1 a 2 vyjadrujú vlastnosti kolmice na úsečku. Z týchto návrhov vyplýva, že odvesny strán trojuholníka sa pretínajú v jednom bode.
Príklad 1 Dokážte, že bod roviny rovnako vzdialený od koncov úsečky leží na kolmici na túto úsečku.
rozhodnutie. Bod M nech je rovnako vzdialený od koncov úsečky AB (obr. 3), teda AM = VM.
Potom je ΔAMV rovnoramenný. Nakreslite priamku p cez bod M a stred O úsečky AB. Podľa konštrukcie je úsečka MO mediánom rovnoramenného trojuholníka AMB, a preto (Veta 3), a výška, t. j. priamka MO, je kolmica na úsečku AB.
Príklad 2 Dokážte, že každý bod odvesny úsečky je rovnako vzdialený od jej koncov.
rozhodnutie. Nech p je kolmica na úsečku AB a bod O je stred úsečky AB (pozri obr. 3).
Uvažujme ľubovoľný bod M ležiaci na priamke p. Nakreslíme segmenty AM a VM. Trojuholníky AOM a VOM sú rovnaké, pretože ich uhly vo vrchole O sú rovné, noha OM je spoločná a noha OA sa rovná končatine OB podľa podmienky. Z rovnosti trojuholníkov AOM a BOM vyplýva, že AM = BM.
Príklad 3 V trojuholníku ABC (pozri obr. 4) AB \u003d 10 cm, BC \u003d 9 cm, AC \u003d 7 cm; v trojuholníku DEF DE = 7 cm, EF = 10 cm, FD = 9 cm.
Porovnajte trojuholníky ABC a DEF. Nájdite zodpovedajúce rovnaké uhly.
rozhodnutie. Tieto trojuholníky sú rovnaké v treťom kritériu. Podľa toho rovnaké uhly: A a E (ležia oproti rovnakým stranám BC a FD), B a F (ležia oproti rovnakým stranám AC a DE), C a D (ležia oproti rovnakým stranám AB a EF).
Príklad 4 Na obrázku 5 AB = DC, BC = AD, ∠B = 100°.
Nájdite uhol D.
rozhodnutie. Zvážte trojuholníky ABC a ADC. V treťom znaku sú rovnaké (AB = DC, BC = AD podľa podmienky a strana AC je spoločná). Z rovnosti týchto trojuholníkov vyplýva, že ∠ B = ∠ D, ale uhol B je 100°, teda uhol D je 100°.
Príklad 5 V rovnoramennom trojuholníku ABC so základňou AC je vonkajší uhol pri vrchole C 123°. Nájdite uhol ABC. Uveďte svoju odpoveď v stupňoch.
Video riešenie.
