Polynomická aproximácia funkcie spojitej na segmente.
Aproximácia (z latinského „približného“ - „prístupu“) - približné vyjadrenie akýchkoľvek matematických objektov (napríklad čísel alebo funkcií) prostredníctvom iných jednoduchších, pohodlnejších na použitie alebo jednoducho známejších. Vo vedeckom výskume sa aproximácia používa na opis, analýzu, zovšeobecnenie a ďalšie využitie empirických výsledkov.
Ako je známe, medzi hodnotami môže existovať presné (funkčné) spojenie, keď jedna hodnota argumentu zodpovedá jednej konkrétnej hodnote, a menej presné (korelačné) spojenie, keď jednej konkrétnej hodnote argumentu zodpovedá približná hodnota. alebo nejaký súbor funkčných hodnôt, ktoré sú viac-menej blízko pri sebe. Pri vedeckom výskume, spracovaní výsledkov pozorovania či experimentu sa väčšinou musíte zaoberať druhou možnosťou. Pri štúdiu kvantitatívnych závislostí rôznych ukazovateľov, ktorých hodnoty sú stanovené empiricky, spravidla existuje určitá variabilita. Čiastočne je to dané heterogenitou skúmaných objektov neživej a najmä živej prírody, čiastočne chybou pozorovania a kvantitatívneho spracovania materiálov. Poslednú zložku nie je vždy možné úplne eliminovať, minimalizovať ju možno len starostlivým výberom adekvátnej výskumnej metódy a presnosťou práce. Preto pri vykonávaní akejkoľvek výskumnej práce vyvstáva problém identifikovať skutočnú povahu závislosti študovaných ukazovateľov, tú či onú mieru maskovanú zanedbaním variability hodnôt. Na to sa používa aproximácia - približný popis korelačnej závislosti premenných vhodnou rovnicou funkčnej závislosti, ktorá vyjadruje hlavný trend závislosti (alebo jej "trend").
Pri výbere aproximácie by sa malo vychádzať z konkrétnej úlohy štúdie. Zvyčajne platí, že čím je rovnica použitá na aproximáciu jednoduchšia, tým je získaný popis závislosti približnejší.
Preto je dôležité prečítať si, aké významné a čo spôsobilo odchýlky konkrétnych hodnôt od výsledného trendu. Pri popise závislosti empiricky určených hodnôt možno dosiahnuť oveľa väčšiu presnosť pomocou nejakej zložitejšej, viacparametrickej rovnice. Nemá však zmysel pokúšať sa sprostredkovať náhodné odchýlky hodnôt v špecifických sériách empirických údajov s maximálnou presnosťou. Oveľa dôležitejšie je zachytiť všeobecnú zákonitosť, ktorá je v tomto prípade najlogickejšie a s prijateľnou presnosťou vyjadrená práve dvojparametrovou rovnicou mocninnej funkcie. Výskumník teda pri výbere aproximačnej metódy vždy robí kompromis: rozhoduje sa, do akej miery je v tomto prípade účelné a vhodné „obetovať“ detaily a podľa toho, ako zovšeobecnene má byť závislosť porovnávaných premenných vyjadrená. Spolu s identifikáciou vzorov maskovaných náhodnými odchýlkami empirických údajov od všeobecného vzoru umožňuje aproximácia riešiť aj mnohé ďalšie dôležité problémy: formalizovať nájdenú závislosť; nájsť neznáme hodnoty závislej premennej interpoláciou alebo, ak je to vhodné, extrapoláciou.
Tu sa bude brať do úvahy polynomická aproximácia. To znamená, že našou úlohou je, že na základe počiatočných údajov (funkcie a segmentu) je potrebné nájsť taký polynóm, ktorého odchýlka priamky od grafu počiatočnej funkcie bude minimálna.
Najpopulárnejšou metódou polynómovej aproximácie je metóda najmenších štvorcov. V Exceli sa implementuje pomocou grafu a trendovej čiary.
Poďme analyzovať túto metódu v Exceli.
Počiatočné údaje:
Najprv musíme rozdeliť tento segment pomocou oddielu "Chebyshev", pretože tento typ rozdelenia vždy poskytuje presnejší výsledok.
Do stĺpca I (obr. 1) píšeme čísla od 0 do 8, pretože Segment je rozdelený na 8 častí.
V stĺpci z bunky vypočítame podľa vzorca: COS (3,141593 * I / 8). Na výpočet každej bunky použite zodpovedajúce I.
Hodnota každého x sa zistí podľa vzorca: 2*z + 1.
V stĺpci F(x) vypočítame hodnotu tejto funkcie pre každé x.
Obrázok 1
Ďalej v bunkách H2, I2, J2 nastavíme počiatočné hodnoty koeficientov a, b a c v požadovanom polynóme (obr. 2).
Obrázok 2
V stĺpci F z buniek 2 až 10 vypočítame hodnoty odchýlok, t.j. modul rozdielu medzi hodnotou počiatočnej funkcie a nájdeného polynómu.
Vzorec: ABS((1+x^2)^0,5+2^(-x)-($H$2*x^2+$I$2*x+$J$2)).
V bunke B11 sa vypočíta súčet odchýlok a v bunke B12 priemerná odchýlka (obr. 3).
Obrázok 3
Pomocou Sprievodcu grafom vytvoríme bodový graf na základe údajov v stĺpcoch x a F(x). Teraz na karte „Diagram“ vyberte „Pridať trendovú čiaru“ a začiarknite políčko potrebné na zobrazenie rovnice v diagrame (obr. 4).
Obrázok 4
Teraz dosadíme koeficienty z výslednej rovnice do buniek H2, I2 a J2 (obr. 5).
Obrázok 5
Ako vidíte, priemerná odchýlka je 0,117006252.
Nájdený polynóm: 0,363*x² - 0,6901*x + 2,2203.
Navrhnime inú metódu polynómovej aproximácie.
Otvorte kartu „Nástroje“ a vyberte „Hľadať riešenia“. V zobrazenom okne zadajte F11 ako cieľovú bunku, ktorá sa rovná minimálnej hodnote. V poli "zmena buniek" zadajte H2, I2 a J2.
Kliknite na tlačidlo "Spustiť". Po vykonaní postupu vidíme, že výsledky sa zmenili (obr. 6).
Obrázok 6
Tentoraz je stredná odchýlka 0,106084329.
Nájdený polynóm: 0,35724*x² - 0,702*x + 2,259158.
Tento výsledok je oveľa presnejší ako predchádzajúci, čo potvrdzuje výhodu použitia minimalizácie súčtu odchýlok v porovnaní s metódou najmenších štvorcov.
ZÁVISLOSTI
Excel má nástroje na predpovedanie procesov. Problém aproximácie nastáva, keď je potrebné analyticky opísať javy, ktoré sa odohrávajú v živote a sú uvedené vo forme tabuliek obsahujúcich hodnoty argumentov (argumentov) a funkcií. V prípade zistenia závislosti je možné predpovedať správanie sa skúmaného systému v budúcnosti a prípadne zvoliť optimálny smer jeho vývoja. Takáto analytická funkcia (tiež nazývaná trend) môže mať rôznu formu a rôznu úroveň zložitosti v závislosti od zložitosti systému a požadovanej presnosti zobrazenia.
10.1. Lineárna regresia
Najjednoduchšia a najobľúbenejšia je priama aproximácia – lineárna regresia.
Majme faktické informácie o úrovniach zisku Y v závislosti od veľkosti X kapitálových investícií - Y(X). Na obr. 10.1-1 ukazuje štyri takéto body M(Y,X). Majme tiež dôvod predpokladať, že táto závislosť je lineárna, t.j. má formu Y=A+BX. Ak by sa nám podarilo nájsť koeficienty A a B a zostaviť z nich priamku (napríklad ako na obrázku), v budúcnosti by sme mohli urobiť vedomé predpoklady o dynamike podnikania a možnom komerčnom stave podniku v budúcnosti. Je zrejmé, že by sme sa uspokojili s priamkou, ktorá je čo najbližšie k známym bodom M(Y,X), t.j. majúci minimálny súčet odchýlok alebo súčet chýb (na obrázku sú odchýlky znázornené bodkovanými čiarami). Je známe, že existuje iba jedna takáto línia.
|
|
Na vyriešenie tohto problému sa používa metóda najmenších štvorcov chýb. Rozdiel (chyba) medzi známou hodnotou Y1 bodu М1(Y1,X1) a hodnotou Y(X1) vypočítanou priamočiarou rovnicou pre rovnakú hodnotu X1 bude
D1 = Y1 – A – B X1.
Rovnaký rozdiel
pre X=X2 bude D2 = Y2 – A – B X2;
pre X=X3 D3 = Y3 – A – B X3;
a pre X=X4 D4 = Y4 – A – B X4.
Napíšme výraz pre súčet druhých mocnín týchto chýb
Ф(A,В)=(Y1–A–B X1) 2 +(Y2–A–B X2) 2 +(Y3–A–B X3) 2 +(Y4–A–B X4) 2
alebo skrátené F(B,A) = å(Yi – A – BXi) 2 .
Tu poznáme všetky X a Y a koeficienty A a B sú neznáme. Podmienkou minimalizácie sú dobre známe vzťahy
¶Ф(A,B)/¶A=0 a ¶Ф(A,B)/¶B=0.
Odvoďme tieto výrazy (vynecháme indexy v znamienku súčtu):
¶[å(Yi–A–B Xi) 2 ]/¶A = å(Yi–A–B Xi)(–1)
¶[å(Yi–A–B Xi) 2 ]/¶B = å(Yi–A–B Xi)(–Xi).
Získané vzorce transformujeme a prirovnáme k nule
Microsoft Excel (niekedy označovaný aj ako Microsoft Office Excel) je tabuľkový procesor vytvorený spoločnosťou Microsoft pre Microsoft Windows, Windows NT a Mac OS. Poskytuje možnosti ekonomických a štatistických výpočtov, grafické nástroje a s výnimkou Excelu 2008 pod Mac OS X aj makro programovací jazyk VBA (Visual Basic for Applications). Microsoft Excel je súčasťou balíka Microsoft Office a dnes je Excel jednou z najpopulárnejších aplikácií na svete.
V MS Excel sa aproximácia experimentálnych údajov vykonáva zostrojením ich grafu (x - abstraktné hodnoty) alebo bodového grafu (x - má špecifické hodnoty), po ktorom nasleduje výber vhodnej aproximačnej funkcie (trendová čiara).
Možné sú nasledujúce možnosti funkcií:
· Lineárne - y=ax+b. Zvyčajne sa používa v najjednoduchších prípadoch, keď sa experimentálne údaje zvyšujú alebo znižujú konštantnou rýchlosťou.
· Polynóm - y=a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +…+a n x n , kde až do šiesteho rádu vrátane (n? 6) sú a i konštanty. Používa sa na opis experimentálnych údajov, ktoré sa striedavo zvyšujú a znižujú. Stupeň polynómu je určený počtom extrémov (maxima alebo miním) krivky. Polynóm druhého stupňa môže opisovať iba jedno maximum alebo minimum, polynóm tretieho stupňa môže mať jeden alebo dva extrémy, polynóm štvrtého stupňa - najviac tri extrémy atď.
· Logaritmické - y=a·lnx+b, kde aab sú konštanty, ln je prirodzená logaritmická funkcia. Funkcia sa používa na opis experimentálnych údajov, ktoré sa najskôr rýchlo zvyšujú alebo znižujú a potom sa postupne stabilizujú.
· Mocnina - y=b·x a , kde aab sú konštanty. Aproximácia mocninovej funkcie sa používa pre experimentálne dáta s neustále rastúcou (alebo klesajúcou) rýchlosťou rastu. Údaje nesmú mať nulové alebo záporné hodnoty.
· Exponenciálna - y=b·e ax , aab sú konštanty, e je základ prirodzeného logaritmu. Používa sa na opis experimentálnych údajov, ktoré rýchlo stúpajú alebo klesajú a potom sa postupne stabilizujú. Jeho použitie často vychádza z teoretických úvah.
Miera blízkosti aproximácie experimentálnych údajov vybranou funkciou sa odhaduje koeficientom determinácie (R2). Ak teda existuje niekoľko vhodných možností pre typy aproximačných funkcií, je možné zvoliť funkciu s veľkým koeficientom determinácie (s tendenciou k 1).
Aproximácia experimentálnych údajov v MathCAD
MathCAD je špecifický programovací jazyk, ktorý uľahčuje riešenie matematických rovníc. MathCAD - systém počítačovej algebry z triedy počítačom podporovaných návrhových systémov, zameraný na prípravu interaktívnych dokumentov s výpočtami a vizuálnou podporou, je ľahko použiteľný a použiteľný pre tímovú prácu. MathCAD je ideálny na vykonávanie matematického modelovania – riešenie rôznych druhov rovníc a podávanie správ o výsledkoch.
V MathCAD je veľmi málo dátových typov v porovnaní s univerzálnymi programovacími jazykmi - iba tri. Poďme si ich stručne charakterizovať (podrobnejšie budú popísané neskôr).
Čísla (reálne aj komplexné): MathCAD ukladá všetky čísla v rovnakom formáte (dvojitá presnosť s pohyblivou rádovou čiarkou) bez toho, aby ich rozdeľoval na celé a reálne čísla. Jednomu číslu je pridelených 64 bitov. V tomto prípade nemôže desatinná časť presiahnuť 17 znakov a poradie musí byť medzi -307 a 307. Komplexné čísla na úrovni implementácie sú párom reálnych čísel. Navyše v mnohých typoch výpočtov je číslo vnímané ako zložité, aj keď nemá imaginárnu časť. Popísané vlastnosti čísel v MathCAD sa týkajú iba numerických výpočtov. Pri práci v symbolickom režime existujú úplne iné úrovne presnosti.
Reťazce: Vo všeobecnosti akýkoľvek text uzavretý v úvodzovkách. V praxi sa reťazce používajú najmä na špecifikáciu chybových hlásení, ktoré sa vyskytujú pri spúšťaní programov v jazyku MathCAD.
Polia: Patria sem matice, vektory, tenzory, tabuľky – akákoľvek usporiadaná postupnosť prvkov ľubovoľného typu. Hodnotené premenné možno tiež klasifikovať ako údaje tohto typu. Ako samostatnú skupinu treba vyčleniť takzvané rozmerové premenné, teda jednotky merania, ktoré majú veľký význam vo vede a technike. V MathCAD nie je žiadny booleovský dátový typ. Logické operátory a funkcie používajú čísla 0 a 1 na vyjadrenie pravdivosti a nepravdy.
V MathCADe je viacero funkcií, ktoré umožňujú vykonávať regresiu pomocou závislostí, s ktorými sa v praxi najčastejšie stretávame. V MathCAD je len šesť takýchto funkcií. Tu sú niektoré z nich:
· expfit(vx,vy,vg) - regresia exponenciálnou funkciou y = a*e b*x +c.
· sinfit(vx,vy,vg) - regresia pomocou sínusovej funkcie y = a*sin(x+b)+c.
· pwrfit(vx,vy,vg) - regresia mocninovej funkcie e = a*x b +c.
Uvedené funkcie využívajú trojparametrovú aproximáciu, parametre nelineárnu. Pri výpočte optimálnych hodnôt troch parametrov regresnej funkcie pomocou metódy najmenších štvorcov je potrebné vyriešiť zložitý systém troch nelineárnych rovníc. Takýto systém môže mať často viacero riešení. Preto je vo funkciách MathCADu, ktoré vykonávajú regresiu pomocou trojparametrových závislostí, zavedený dodatočný argument vg. Tento argument je trojzložkový vektor obsahujúci približné hodnoty parametrov a, b a c, ktoré sú zahrnuté v aproximačnej funkcii. Nesprávny výber prvkov vektora vg môže viesť k neuspokojivému výsledku regresie. V MathCAD existujú nástroje na vykonávanie regresie najvšeobecnejšej formy. To znamená, že akékoľvek funkcie môžu byť použité ako aproximanty a možno nájsť optimálne hodnoty ktoréhokoľvek z ich parametrov, lineárnych aj nelineárnych. V prípade, že je regresná funkcia lineárna vo všetkých parametroch, t.j. predstavuje lineárnu kombináciu pevne kódovaných funkcií, regresiu je možné vykonať pomocou vstavanej funkcie linfit(vx,vy,F). Argument F je vektorová funkcia, z prvkov ktorej by sa mala zostaviť lineárna kombinácia, ktorá najlepšie aproximuje danú postupnosť bodov. Výsledkom funkcie linfit je vektor lineárnych koeficientov. Každý prvok tohto vektora je koeficientom funkcie na zodpovedajúcom mieste vo vektore F. Na získanie regresnej funkcie teda stačí tieto dva vektory skalárne vynásobiť.
Priemerná chyba aproximácie- priemerná odchýlka vypočítaných hodnôt od skutočných:Kde y x je vypočítaná hodnota podľa rovnice.
Hodnota priemernej chyby aproximácie do 15 % naznačuje dobre zvolený model rovnice.
Pre sedem území regiónu Ural pre 199X sú známe hodnoty dvoch znakov.
Požadovaný:1. Na charakterizovanie závislosti y od x vypočítajte parametre nasledujúcich funkcií:
a) lineárne;
b) moc;
c) demonštratívne;
d) rovnostranná hyperbola (treba tiež zistiť, ako tento model predlinearizovať).
2. Vyhodnoťte každý model prostredníctvom priemerná chyba aproximácie Cf a Fisherov F-test.
Riešenie realizujeme pomocou online kalkulačky Lineárna regresná rovnica.
a) lineárna regresná rovnica;
Pomocou grafickej metódy.
Táto metóda slúži na vizualizáciu formy komunikácie medzi skúmanými ekonomickými ukazovateľmi. Za týmto účelom sa graf vykreslí v pravouhlom súradnicovom systéme, jednotlivé hodnoty výsledného atribútu Y sa vynesú pozdĺž osi y a jednotlivé hodnoty atribútu faktora X sa vynesú pozdĺž osi x.
Množina bodov efektívnych a faktorových znakov sa nazýva korelačné pole.
Na základe korelačného poľa možno predpokladať (pre všeobecnú populáciu), že vzťah medzi všetkými možnými hodnotami X a Y je lineárny.
Rovnica lineárnej regresie je y = bx + a + ε
Tu je ε náhodná chyba (odchýlka, porucha).
Dôvody existencie náhodnej chyby:
1. Nezahrnutie významných vysvetľujúcich premenných do regresného modelu;
2. Agregácia premenných. Napríklad funkcia celkovej spotreby je pokusom o všeobecné vyjadrenie súhrnu individuálnych výdavkových rozhodnutí jednotlivcov. Ide len o priblíženie jednotlivých vzťahov, ktoré majú rôzne parametre.
3. Nesprávny popis štruktúry modelu;
4. Nesprávna funkčná špecifikácia;
5. Chyby merania.
Keďže odchýlky ε i pre každé konkrétne pozorovanie i sú náhodné a ich hodnoty vo vzorke nie sú známe, potom:
1) podľa pozorovaní x i a y i možno získať len odhady parametrov α a β
2) Odhady parametrov α a β regresného modelu sú hodnoty a a b, ktoré sú náhodného charakteru, pretože zodpovedajú náhodnej vzorke;
Potom bude odhadovaná regresná rovnica (vytvorená zo vzorových údajov) vyzerať ako y = bx + a + ε, kde e i sú pozorované hodnoty (odhady) chýb ε i a b, v tomto poradí, odhady parametre α a β regresného modelu, ktoré sa majú nájsť.
Na odhad parametrov α a β - použite LSM (najmenšie štvorce).
Dostaneme b = -0,35, a = 76,88
Regresná rovnica:
y = -0,35 x + 76,88
| X | r | x2 | y2 | x y | y(x) | (y i -y cp) 2 | (y-y(x)) 2 | |y - y x |:y |
| 45,1 | 68,8 | 2034,01 | 4733,44 | 3102,88 | 61,28 | 119,12 | 56,61 | 0,1094 |
| 59 | 61,2 | 3481 | 3745,44 | 3610,8 | 56,47 | 10,98 | 22,4 | 0,0773 |
| 57,2 | 59,9 | 3271,84 | 3588,01 | 3426,28 | 57,09 | 4,06 | 7,9 | 0,0469 |
| 61,8 | 56,7 | 3819,24 | 3214,89 | 3504,06 | 55,5 | 1,41 | 1,44 | 0,0212 |
| 58,8 | 55 | 3457,44 | 3025 | 3234 | 56,54 | 8,33 | 2,36 | 0,0279 |
| 47,2 | 54,3 | 2227,84 | 2948,49 | 2562,96 | 60,55 | 12,86 | 39,05 | 0,1151 |
| 55,2 | 49,3 | 3047,04 | 2430,49 | 2721,36 | 57,78 | 73,71 | 71,94 | 0,172 |
| 384,3 | 405,2 | 21338,41 | 23685,76 | 22162,34 | 405,2 | 230,47 | 201,71 | 0,5699 |
Poznámka: Hodnoty y(x) sa nachádzajú z výslednej regresnej rovnice:
y(45,1) = -0,35*45,1 + 76,88 = 61,28
y(59) = -0,35*59 + 76,88 = 56,47
... ... ...
Chyba aproximácie
Vyhodnoťme kvalitu regresnej rovnice pomocou absolútnej chyby aproximácie. Priemerná chyba aproximácie- priemerná odchýlka vypočítaných hodnôt od skutočných:
Keďže chyba je menšia ako 15 %, túto rovnicu možno použiť ako regresiu.
F-štatistika. Fisherovo kritérium.
3. Tabuľková hodnota sa určí z Fisherových distribučných tabuliek pre danú hladinu významnosti, pričom sa berie do úvahy, že počet stupňov voľnosti pre celkový súčet štvorcov (väčší rozptyl) je 1 a počet stupňov voľnosti pre zvyškový súčet štvorcov (nižší rozptyl) v lineárnej regresii je n-2.
4. Ak je skutočná hodnota F-kritéria menšia ako tabuľková hodnota, potom hovoria, že nie je dôvod zamietnuť nulovú hypotézu.
V opačnom prípade sa nulová hypotéza zamietne a s pravdepodobnosťou sa prijme alternatívna hypotéza o štatistickej významnosti rovnice ako celku (1-α).
< Fkp, то коэффициент детерминации статистически не значим (Найденная оценка уравнения регрессии статистически не надежна).
b) mocenská regresia;
Riešenie je realizované pomocou služby Nelineárna regresia. Zvoľte Výkon y = ax b
c) exponenciálna regresia;
d) model rovnostrannej hyperboly.
Systém normálnych rovníc.
Pre naše údaje má sústava rovníc tvar
7a + 0,1291b = 405,2
0,1291a + 0,0024b = 7,51
Vyjadrite a z prvej rovnice a dosaďte ho do druhej rovnice
Dostaneme b = 1054,67, a = 38,44
Regresná rovnica:
y = 1054,67 / x + 38,44
Chyba aproximácie.
Vyhodnoťme kvalitu regresnej rovnice pomocou absolútnej chyby aproximácie.
Keďže chyba je menšia ako 15 %, túto rovnicu možno použiť ako regresiu.
Fisherovo kritérium.
Významnosť regresného modelu sa kontroluje pomocou Fisherovho F-testu, ktorého vypočítaná hodnota sa zistí ako pomer rozptylu počiatočnej série pozorovaní sledovaného ukazovateľa a nezaujatého odhadu rozptylu reziduálnej postupnosti pre tento model.
Ak je vypočítaná hodnota s k1=(m) a k2=(n-m-1) stupňami voľnosti väčšia ako tabuľková hodnota na danej hladine významnosti, potom sa model považuje za významný.
kde m je počet faktorov v modeli.
Hodnotenie štatistickej významnosti párovej lineárnej regresie sa vykonáva podľa nasledujúceho algoritmu:
1. Predkladá sa nulová hypotéza, že rovnica ako celok je štatisticky nevýznamná: H 0: R 2 = 0 na hladine významnosti α.
2. Ďalej určte skutočnú hodnotu F-kritéria:
kde m=1 pre párovú regresiu.
Tabuľková hodnota kritéria so stupňami voľnosti k1=1 ak2=5, Fkp = 6,61
Keďže skutočná hodnota F< Fkp, то коэффициент детерминации статистически не значим (Найденная оценка уравнения регрессии статистически не надежна).
Medzi rôznymi prognostickými metódami nie je možné nevyčleniť aproximáciu. S jeho pomocou môžete robiť približné výpočty a vypočítať plánované ukazovatele nahradením pôvodných objektov jednoduchšími. V Exceli je tiež možnosť použiť túto metódu na prognózovanie a analýzu. Pozrime sa, ako možno túto metódu aplikovať v určenom programe so vstavanými nástrojmi.
Názov tejto metódy pochádza z latinského slova proxima – „najbližší“, pričom základom je aproximácia zjednodušením a vyhladením známych ukazovateľov, ich zoradením do trendu. Túto metódu však možno použiť nielen na prognózovanie, ale aj na štúdium existujúcich výsledkov. Koniec koncov, aproximácia je v skutočnosti zjednodušením počiatočných údajov a zjednodušená verzia sa ľahšie študuje.
Hlavným nástrojom, pomocou ktorého sa vyhladzovanie vykonáva v Exceli, je konštrukcia trendovej čiary. Podstatou je, že na základe existujúcich ukazovateľov sa dokončuje graf funkcie pre budúce obdobia. Hlavným účelom trendovej čiary, ako môžete hádať, je vytváranie predpovedí alebo identifikácia všeobecného trendu.
Dá sa však postaviť pomocou jedného z piatich typov aproximácie:
- Lineárne;
- exponenciálny;
- logaritmický;
- polynóm;
- Moc.
Zvážme každú z možností podrobnejšie samostatne.
Metóda 1: Lineárne vyhladzovanie
Najprv uvažujme o najjednoduchšej verzii aproximácie, a to pomocou lineárnej funkcie. Budeme sa tomu venovať podrobnejšie, pretože uvedieme všeobecné body charakteristické pre iné metódy, konkrétne vykresľovanie a niektoré ďalšie nuansy, na ktoré sa nebudeme zaoberať pri zvažovaní nasledujúcich možností.
Najprv si zostavme graf, na základe ktorého vykonáme postup vyhladzovania. Na zostavenie grafu si zoberme tabuľku, v ktorej sú mesačne uvedené náklady na jednotku produkcie vyrobenú podnikom a zodpovedajúci zisk v danom období. Grafická funkcia, ktorú si postavíme, zobrazí závislosť nárastu zisku od poklesu výrobných nákladov.
Vyhladenie použité v tomto prípade je opísané nasledujúcim vzorcom:
V našom konkrétnom prípade má vzorec nasledujúcu formu:
y=-0,1156x+72,255
Hodnota aproximačnej spoľahlivosti sa rovná 0,9418 , čo je celkom prijateľný výsledok charakterizujúci vyhladzovanie ako spoľahlivé.
Metóda 2: Exponenciálna aproximácia
Teraz sa pozrime na exponenciálny typ aproximácie v Exceli.
Všeobecná forma vyhladzovacej funkcie je nasledovná:
kde e je základom prirodzeného logaritmu.
V našom konkrétnom prípade mal vzorec nasledujúcu formu:
y=6282,7*e^(-0,012*x)
Metóda 3: logaritmické vyhladzovanie
Teraz je na rade zvážiť metódu logaritmickej aproximácie.
Vo všeobecnosti vzorec na vyhladenie vyzerá takto:
kde ln je prirodzený logaritmus. Odtiaľ pochádza názov metódy.
V našom prípade má vzorec nasledujúcu formu:
y=-62,81ln(x)+404,96
Metóda 4: Polynomial Smoothing
Nastal čas zvážiť metódu vyhladzovania polynómov.
Vzorec, ktorý popisuje tento typ vyhladzovania, má nasledujúcu podobu:
y=8E-08x^6-0,0003x^5+0,3725x^4-269,33x^3+109525x^2-2E+07x+2E+09
Metóda 5: vyhladenie výkonu
Na záver zvážte metódu aproximácie moci v Exceli.
Táto metóda sa efektívne používa v prípadoch intenzívnych zmien v údajoch funkcie. Je dôležité poznamenať, že táto možnosť je použiteľná iba vtedy, ak funkcia a argument nenadobúdajú záporné alebo nulové hodnoty.
Všeobecný vzorec opisujúci túto metódu je nasledujúci:
V našom konkrétnom prípade to vyzerá takto:
y = 6E+18x^(-6,512)
Ako vidíte, pri použití konkrétnych údajov, ktoré sme použili pre príklad, metóda polynómovej aproximácie s polynómom šiesteho stupňa vykazovala najvyššiu úroveň spoľahlivosti ( 0,9844 ), najnižšia úroveň spoľahlivosti pre lineárnu metódu ( 0,9418 ). To však vôbec neznamená, že rovnaký trend bude aj pri použití iných príkladov. Nie, úroveň účinnosti vyššie uvedených metód sa môže výrazne líšiť v závislosti od konkrétneho typu funkcie, pre ktorú bude trendová čiara zostavená. Ak je teda zvolený spôsob pre túto funkciu najefektívnejší, vôbec to neznamená, že bude optimálny aj v inej situácii.
Ak na základe vyššie uvedených odporúčaní nemôžete okamžite určiť, ktorý typ aproximácie je vhodný práve pre váš prípad, potom má zmysel vyskúšať všetky metódy. Po vykreslení trendovej čiary a zobrazení jej úrovne spoľahlivosti bude možné vybrať najlepšiu možnosť.
