Text práce je umiestnený bez obrázkov a vzorcov.
Plná verzia práce je dostupná v záložke „Súbory úloh“ vo formáte PDF

Úvod

Transformácia grafov funkcie je jedným zo základných matematických pojmov priamo súvisiacich s praktickou činnosťou. S transformáciou grafov funkcií sa prvýkrát stretneme v 9. ročníku algebry pri štúdiu témy „Kvadratická funkcia“. Kvadratická funkcia je predstavená a študovaná v úzkej súvislosti s kvadratickými rovnicami a nerovnicami. Mnohé matematické pojmy sa tiež zvažujú grafickými metódami, napríklad v ročníkoch 10-11 štúdium funkcie umožňuje nájsť doménu definície a rozsah funkcie, oblasti poklesu alebo nárastu, asymptoty, intervaly konštantného znamienka atď. Táto dôležitá otázka sa tiež predkladá GIA. Z toho vyplýva, že konštrukcia a transformácia funkčných grafov je jednou z hlavných úloh vyučovania matematiky v škole.

Na vykreslenie mnohých funkcií však možno použiť množstvo metód na uľahčenie konštrukcie. Vyššie uvedené definuje relevantnosť výskumné témy.

Predmet štúdia je náuka o transformácii grafov v školskej matematike.

Predmet štúdia - proces konštrukcie a transformácie funkčných grafov na strednej škole.

problémová otázka: je možné zostaviť graf neznámej funkcie so schopnosťou transformovať grafy elementárnych funkcií?

Cieľ: vykreslenie funkcie v neznámej situácii.

Úlohy:

1. Analyzujte vzdelávací materiál o skúmanom probléme. 2. Identifikujte schémy na transformáciu funkčných grafov v školskom kurze matematiky. 3. Vyberte najefektívnejšie metódy a nástroje na vytváranie a konverziu funkčných grafov. 4. Vedieť aplikovať túto teóriu pri riešení problémov.

Potrebné základné vedomosti, zručnosti, schopnosti:

Určte hodnotu funkcie hodnotou argumentu rôznymi spôsobmi špecifikácie funkcie;

Vytvorte grafy študovaných funkcií;

Opíšte správanie a vlastnosti funkcií z grafu a v najjednoduchších prípadoch zo vzorca nájdite najväčšie a najmenšie hodnoty z grafu funkcie;

Popisy pomocou funkcií rôznych závislostí, ich grafické znázornenie, interpretácia grafov.

Hlavná časť

Teoretická časť

Ako počiatočný graf funkcie y = f(x) zvolím kvadratickú funkciu y=x 2 . Zvážim prípady transformácie tohto grafu spojené so zmenami vo vzorci, ktorý definuje túto funkciu a vyvodím závery pre akúkoľvek funkciu.

1. Funkcia y = f(x) + a

V novom vzorci sa funkčné hodnoty (súradnice bodov grafu) zmenia o číslo a v porovnaní so „starou“ funkčnou hodnotou. To vedie k paralelnému prekladu grafu funkcie pozdĺž osi OY:

hore, ak a > 0; dole ak a< 0.

ZÁVER

Graf funkcie y=f(x)+a teda získame z grafu funkcie y=f(x) pomocou rovnobežného posunu pozdĺž osi y o jednotky nahor, ak a > 0, a pomocou o jednotky nižšie, ak a< 0.

2. Funkcia y = f(x-a),

V novom vzorci sa hodnoty argumentu (úsečky bodov grafu) zmenia o číslo a v porovnaní so „starou“ hodnotou argumentu. To vedie k paralelnému prenosu grafu funkcie pozdĺž osi OX: doprava, ak a< 0, влево, если a >0.

ZÁVER

Takže graf funkcie y= f(x - a) získame z grafu funkcie y=f(x) rovnobežným prekladom pozdĺž osi x o jednotky doľava, ak a > 0, a o jednotky doprava, ak a< 0.

3. Funkcia y = k f(x), kde k > 0 a k ≠ 1

V novom vzorci sa funkčné hodnoty (súradnice bodov grafu) menia k-krát v porovnaní so „starou“ funkčnou hodnotou. To vedie k: 1) „natiahnutiu“ z bodu (0; 0) pozdĺž osi OY o k-krát, ak k > 1, 2) „stlačeniu“ do bodu (0; 0) pozdĺž osi OY faktorom 0, ak 0< k < 1.

ZÁVER

Preto: na zostavenie grafu funkcie y = kf(x), kde k > 0 ak ≠ 1, je potrebné vynásobiť ordináty bodov daného grafu funkcie y = f(x) číslom k. Takáto transformácia sa nazýva preťahovanie z bodu (0; 0) pozdĺž osi OY o k krát, ak k > 1; kontrakcia do bodu (0; 0) pozdĺž osi OY faktorom, ak je 0< k < 1.

4. Funkcia y = f(kx), kde k > 0 a k ≠ 1

V novom vzorci sa hodnoty argumentu (úsečky bodov grafu) menia k-krát v porovnaní so „starou“ hodnotou argumentu. To vedie k: 1) „natiahnutiu“ z bodu (0; 0) pozdĺž osi OX 1/k krát, ak 0< k < 1; 2) «сжатию» к точке (0; 0) вдоль оси OX. в k раз, если k > 1.

ZÁVER

A tak: na zostavenie grafu funkcie y = f(kx), kde k > 0 a k ≠ 1, je potrebné vynásobiť úsečky bodov daného grafu funkcie y=f(x) číslom k . Takáto transformácia sa nazýva natiahnutie z bodu (0; 0) pozdĺž osi OX o 1/k krát, ak 0< k < 1, сжатием к точке (0; 0) вдоль оси OX. в k раз, если k > 1.

5. Funkcia y = - f (x).

V tomto vzorci sú hodnoty funkcie (súradnice bodov grafu) obrátené. Táto zmena má za následok symetrické zobrazenie pôvodného grafu funkcie okolo osi x.

ZÁVER

Na zostavenie grafu funkcie y = - f (x) potrebujete graf funkcie y = f (x)

odrážať symetricky okolo osi OX. Takáto transformácia sa nazýva symetrická transformácia okolo osi OX.

6. Funkcia y = f (-x).

V tomto vzorci sú hodnoty argumentu (úsečky bodov grafu) obrátené. Táto zmena má za následok symetrické zobrazenie grafu pôvodnej funkcie vzhľadom na os OY.

Príklad pre funkciu y \u003d - x² táto transformácia nie je viditeľná, pretože táto funkcia je párna a graf sa po transformácii nemení. Táto transformácia je viditeľná, keď je funkcia nepárna a keď nie je ani párna, ani nepárna.

7. Funkcia y = |f(x)|.

V novom vzorci sú hodnoty funkcií (súradnice bodov grafu) pod znakom modulu. To vedie k zmiznutiu častí grafu pôvodnej funkcie so zápornými ordinátami (teda tých, ktoré sa nachádzajú v dolnej polrovine vzhľadom na os Ox) a k symetrickému zobrazeniu týchto častí vzhľadom k osi Ox.

8. Funkcia y= f (|x|).

V novom vzorci sú hodnoty argumentov (úsečky bodov grafu) pod znakom modulu. To vedie k zmiznutiu častí grafu pôvodnej funkcie so zápornými úsečkami (t. j. tých, ktoré sa nachádzajú v ľavej polrovine vzhľadom na os OY) a ich nahradeniu časťami pôvodného grafu, ktoré sú symetrické podľa osi OY. os.

Praktická časť

Zvážte niekoľko príkladov aplikácie vyššie uvedenej teórie.

PRÍKLAD 1.

rozhodnutie. Transformujme tento vzorec:

1) Zostavme graf funkcie

PRÍKLAD 2.

Nakreslite funkciu zadanú vzorcom

rozhodnutie. Tento vzorec transformujeme zvýraznením štvorca dvojčlenu v tomto štvorcovom trojčlene:

1) Zostavme graf funkcie

2) Vykonajte paralelný prenos zostrojeného grafu do vektora

PRÍKLAD 3.

ÚLOHA Z POUŽITIA Vykreslenie funkcie po častiach

Graf funkcie Graf funkcie y=|2(x-3)2-2|; jeden

Transformácia grafu funkcií

V tomto článku vám predstavím lineárne transformácie grafov funkcií a ukážem vám, ako pomocou týchto transformácií získať graf funkcie z grafu funkcie.

Lineárna transformácia funkcie je transformácia samotnej funkcie a/alebo jej argumentu do tvaru , ako aj transformácia obsahujúca modul argumentu a/alebo funkcií.

Nasledujúce akcie spôsobujú najväčšie ťažkosti pri vykresľovaní grafov pomocou lineárnych transformácií:

1. Izolácia základnej funkcie, v skutočnosti graf, ktorý transformujeme.
2. Definície poradia transformácií.

A Práve v týchto bodoch sa budeme podrobnejšie zaoberať.

Pozrime sa bližšie na funkciu

Je založená na funkcii. Zavolajme jej základná funkcia.

Pri vykresľovaní funkcie robíme transformácie grafu základnej funkcie .

Ak by sme mali transformovať funkciu v rovnakom poradí, v akom bola nájdená jeho hodnota pre určitú hodnotu argumentu, teda

Pozrime sa, aké typy transformácií lineárnych argumentov a funkcií existujú a ako ich vykonať.

Transformácie argumentov.

1. f(x) f(x+b)

1. Zostavíme graf funkcie

2. Graf funkcie posunieme pozdĺž osi OX o |b| Jednotky

• vľavo, ak b>0
• právo, ak b<0

Nakreslíme funkciu

1. Vykreslíme funkciu

2. Posuňte ho o 2 jednotky doprava:

2. f(x) f(kx)

1. Zostavíme graf funkcie

2. Úsečky bodov grafu vydeľte k, súradnice bodov ponechajte nezmenené.

Nakreslíme funkciu.

1. Vykreslíme funkciu

2. Všetky úsečky bodov grafu vydeľte 2, poradie ponechajte nezmenené:

3. f(x) f(-x)

1. Zostavíme graf funkcie

2. Zobrazíme ho symetricky okolo osi OY.

Nakreslíme funkciu.

1. Vykreslíme funkciu

2. Zobrazíme ho symetricky okolo osi OY:

4. f(x) f(|x|)

1. Vykreslíme funkciu

2. Vymažeme časť grafu umiestnenú vľavo od osi OY, časť grafu umiestnenú vpravo od osi OY Doplníme ju symetricky podľa osi OY:

Graf funkcie vyzerá takto:

Nakreslíme funkciu

1. Zostavíme funkčný graf (ide o funkčný graf posunutý pozdĺž osi OX o 2 jednotky doľava):

2. Časť grafu umiestnená naľavo od OY (x<0) стираем:

3. Časť grafu umiestnená napravo od osi OY (x>0) je vyplnená symetricky vzhľadom na os OY:

Dôležité! Dve hlavné pravidlá pre konverziu argumentov.

1. Všetky transformácie argumentov sa vykonávajú pozdĺž osi OX

2. Všetky transformácie argumentu sa vykonajú "naopak" a "v opačnom poradí".

Napríklad vo funkcii je postupnosť transformácií argumentov takáto:

1. Zoberieme modul z x.

2. Pridajte číslo 2 k modulu x.

Vykresľovanie sme však urobili v opačnom poradí:

Najprv sme vykonali transformáciu 2. - posunuli graf o 2 jednotky doľava (t. j. úsečky bodov sa zmenšili o 2, akoby "naopak")

Potom sme vykonali transformáciu f(x) f(|x|).

Stručne, postupnosť transformácií je napísaná takto:

Teraz si pohovorme o transformácia funkcie . Prebiehajú transformácie

1. Pozdĺž osi OY.

2. V rovnakom poradí, v akom sa vykonávajú akcie.

Toto sú premeny:

1. f(x)f(x)+D

2. Posuňte ho pozdĺž osi OY o |D| Jednotky

• hore, ak D>0
• dole, ak D<0

Nakreslíme funkciu

1. Vykreslíme funkciu

2. Posuňte ho pozdĺž osi OY o 2 jednotky nahor:

2. f(x)Af(x)

1. Nakreslíme funkciu y=f(x)

2. Súradnice všetkých bodov grafu vynásobíme A, úsečky necháme nezmenené.

Nakreslíme funkciu

1. Graf funkcie

2. Súradnice všetkých bodov grafu vynásobíme 2:

3.f(x)-f(x)

1. Nakreslíme funkciu y=f(x)

Nakreslíme funkciu.

1. Zostavíme funkčný graf.

2. Zobrazujeme ho symetricky okolo osi OX.

4. f(x)|f(x)|

1. Nakreslíme funkciu y=f(x)

2. Časť grafu umiestnená nad osou OX zostane nezmenená, časť grafu umiestnená pod osou OX sa zobrazí symetricky okolo tejto osi.

Nakreslíme funkciu

1. Zostavíme funkčný graf. Získa sa posunutím grafu funkcie pozdĺž osi OY o 2 jednotky nadol:

2. Teraz sa časť grafu umiestnená pod osou OX zobrazí symetricky vzhľadom na túto os:

A posledná transformácia, ktorú, prísne vzaté, nemožno nazvať transformáciou funkcie, pretože výsledkom tejto transformácie už nie je funkcia:

|y|=f(x)

1. Nakreslíme funkciu y=f(x)

2. Vymažeme časť grafu umiestnenú pod osou OX, potom doplníme časť grafu umiestnenú nad osou OX symetricky okolo tejto osi.

Zostavme graf rovnice

1. Zostavíme funkčný graf:

2. Vymažeme časť grafu umiestnenú pod osou OX:

3. Časť grafu umiestnená nad osou OX je vyplnená symetricky okolo tejto osi.

A nakoniec vám navrhujem pozrieť si VIDEO LEKCIU, v ktorej ukážem krok za krokom algoritmus na vykreslenie grafu funkcií

Graf tejto funkcie vyzerá takto:

Paralelný prenos.

PRENOS PO osi Y

f(x) => f(x) - b
Nech je potrebné vykresliť funkciu y \u003d f (x) - b. Je ľahké vidieť, že súradnice tohto grafu pre všetky hodnoty x na |b| jednotky menšie ako zodpovedajúce ordináty grafu funkcií y = f(x) pre b>0 a |b| viac jednotiek - na b 0 alebo vyššie na b Ak chcete nakresliť funkciu y + b = f(x), nakreslite funkciu y = f(x) a presuňte os x na |b| jednotiek nahor pre b>0 alebo o |b| jednotky dole pri b

PRENOS PO X-OSI

f(x) => f(x + a)
Nech je potrebné vykresliť funkciu y = f(x + a). Uvažujme funkciu y = f(x), ktorá v určitom bode x = x1 nadobudne hodnotu y1 = f(x1). Je zrejmé, že funkcia y = f(x + a) nadobudne rovnakú hodnotu v bode x2, ktorého súradnica je určená z rovnosti x2 + a = x1, t.j. x2 = x1 - a a zvažovaná rovnosť platí pre súhrn všetkých hodnôt z oblasti funkcie. Preto graf funkcie y = f(x + a) možno získať paralelným posunutím grafu funkcie y = f(x) pozdĺž osi x doľava o |a| jedničky pre a > 0 alebo doprava pomocou |a| jednotky pre a Ak chcete nakresliť funkciu y = f(x + a), nakreslite funkciu y = f(x) a presuňte os y na |a| jednotky vpravo pre a>0 alebo |a| jednotky vľavo za a

Príklady:

1.y=f(x+a)

2.y=f(x)+b

Reflexia.

GRAFOVANIE FUNKCIE POHĽADU Y = F(-X)

f(x) => f(-x)
Je zrejmé, že funkcie y = f(-x) a y = f(x) nadobúdajú rovnaké hodnoty v bodoch, ktorých úsečky sú rovnaké v absolútnej hodnote, ale opačné v znamienku. Inými slovami, súradnice grafu funkcie y = f(-x) v oblasti kladných (záporných) hodnôt x sa budú rovnať súradniciam grafu funkcie y = f( x) so zápornými (kladnými) hodnotami x zodpovedajúcimi v absolútnej hodnote. Dostávame teda nasledujúce pravidlo.
Ak chcete vykresliť funkciu y = f(-x), mali by ste vykresliť funkciu y = f(x) a odrážať ju pozdĺž osi y. Výsledný graf je grafom funkcie y = f(-x)

GRAFOVANIE FUNKCIE POHĽADU Y = - F(X)

f(x) => - f(x)
Ordináty grafu funkcie y = - f(x) pre všetky hodnoty argumentu sú rovnaké v absolútnej hodnote, ale opačné v znamienku ako sú ordináty grafu funkcie y = f(x) pre rovnaké hodnoty argumentu. Dostávame teda nasledujúce pravidlo.
Ak chcete vykresliť funkciu y = - f(x), mali by ste vykresliť funkciu y = f(x) a odrážať ju okolo osi x.

Príklady:

1.y=-f(x)

2.y=f(-x)

3.y=-f(-x)

Deformácia.

DEFORMÁCIA GRAFU PODĽA osi Y

f(x) => kf(x)
Uvažujme funkciu tvaru y = k f(x), kde k > 0. Je ľahké vidieť, že pre rovnaké hodnoty argumentu budú súradnice grafu tejto funkcie k-krát väčšie ako súradnice graf funkcie y = f(x) pre k > 1 alebo 1/k krát menej ako sú ordináty grafu funkcie y = f(x) pre k ) alebo znížte jeho ordináty o 1/k krát pre k
k > 1- tiahnuci sa od osi Ox
0 - kompresia do osi OX

DEFORMÁCIA GRAFU PODĽA osi X

f(x) => f(kx)
Nech je potrebné vykresliť funkciu y = f(kx), kde k>0. Uvažujme funkciu y = f(x), ktorá nadobúda hodnotu y1 = f(x1) v ľubovoľnom bode x = x1. Je zrejmé, že funkcia y = f(kx) nadobúda rovnakú hodnotu v bode x = x2, ktorého súradnica je určená rovnosťou x1 = kx2 a táto rovnosť platí pre súhrn všetkých hodnôt x od doména funkcie. Následne sa ukáže, že graf funkcie y = f(kx) je stlačený (pre k 1) pozdĺž osi x relatívne ku grafu funkcie y = f(x). Dostávame teda pravidlo.
Ak chcete nakresliť funkciu y = f(kx), nakreslite funkciu y = f(x) a zmenšite jej úsečku o k krát pre k>1 (zmenšite graf pozdĺž úsečky) alebo zväčšite jej úsečku o 1/k krát pre k
k > 1- kompresia do osi Oy
0 - preťahovanie od osi OY

Práce vykonali Alexander Chichkanov, Dmitrij Leonov pod dohľadom Tkach T.V., Vyazovov S.M., Ostroverkhova I.V.
©2014

Späť dopredu

Pozor! Ukážka snímky slúži len na informačné účely a nemusí predstavovať celý rozsah prezentácie. Ak vás táto práca zaujala, stiahnite si plnú verziu.

Účel lekcie: Určte vzory transformácie grafov funkcií.

Úlohy:

Vzdelávacie:

• Naučiť študentov zostavovať grafy funkcií transformáciou grafu danej funkcie, pomocou paralelného prekladu, kompresie (natiahnutia), rôznych typov symetrie.

Vzdelávacie:

• Vychovávať osobnostné vlastnosti žiakov (schopnosť počúvať), dobrú vôľu k iným, pozornosť, presnosť, disciplínu, schopnosť pracovať v skupine.
• Vzbudiť záujem o predmet a potrebu získavať vedomosti.

vyvíja sa:

• Rozvíjať priestorovú predstavivosť a logické myslenie žiakov, schopnosť rýchlej orientácie v prostredí; rozvíjať inteligenciu, vynaliezavosť, trénovať pamäť.

Vybavenie:

• Multimediálna inštalácia: počítač, projektor.

Literatúra:

1. Bashmakov, M.I. Matematika [Text]: učebnica pre inštitúcie v ranom veku. a priem. Prednášal prof. vzdelanie / M. I. Bashmakov.- 5. vyd., opravené. - M.: Edičné stredisko "Akadémia", 2012. - 256 s.
2. Bašmakov, M. I. Matematika. Problémová kniha [Text]: učebnica. príspevok na vzdelanie. inštitúcie na začiatku a priem. Prednášal prof. Vzdelávanie / M. I. Bashmakov. - M .: Vydavateľské centrum "Akadémia", 2012. - 416 s.

Plán lekcie:

1. Organizačná chvíľa (3 min).
2. Aktualizácia vedomostí (7 min).
3. Vysvetlenie nového materiálu (20 min).
4. Spevnenie nového materiálu (10 min).
5. Zhrnutie hodiny (3 min).
6. Domáca úloha (2 min).

Počas vyučovania

1. Org. moment (3 minúty).

Kontrola prítomných.

Správa o účele lekcie.

Hlavné vlastnosti funkcií ako závislosti medzi premennými by sa nemali výrazne meniť pri zmene spôsobu merania týchto veličín, teda pri zmene mierky merania a referenčného bodu. Vzhľadom na racionálnejší výber metódy merania premenných je však zvyčajne možné zjednodušiť zápis vzťahu medzi nimi, doviesť tento zápis do nejakej štandardnej podoby. V geometrickom jazyku zmena spôsobu merania veličín znamená niekoľko jednoduchých transformácií grafov, ktoré si teraz preštudujeme.

2. Aktualizácia vedomostí (7 min).

Skôr ako si povieme o grafových transformáciách, zopakujme si preberanú látku.

ústna práca. (Snímka 2).

Dané funkcie:

3. Opíšte grafy funkcií: , , , .

3. Vysvetlenie nového materiálu (20 min).

Najjednoduchšie transformácie grafov sú ich paralelný preklad, kompresia (natiahnutie) a niektoré typy symetrie. Niektoré transformácie sú uvedené v tabuľke (Dodatok 1), (Snímka 3).

Skupinová práca.

Každá skupina vykreslí dané funkcie a predloží výsledok na diskusiu.

Funkcia	Transformácia grafu funkcií	Príklady funkcií	Šmykľavka
	OU na ALE jednotky až ak A>0 a na |A| jednotky dole ak ALE<0.	,	(Snímka 4)
	Paralelný preklad pozdĺž osi Oh na a jednotky doprava ak a>0 a ďalej - a jednotky vľavo ak a<0.	,	(Snímka 5)