Najgeniálnejšie objavy vo vede môžu radikálne zmeniť ľudský život. Vynájdená vakcína môže zachrániť milióny ľudí, výroba zbraní si, naopak, tieto životy berie. V nedávnej dobe (v rozsahu ľudskej evolúcie) sme sa naučili „skrotiť“ elektrinu – a teraz si nevieme predstaviť život bez všetkých týchto pohodlných zariadení, ktoré využívajú elektrinu. No sú aj objavy, ktorým málokto pripisuje dôležitosť, hoci tiež vo veľkej miere ovplyvňujú náš život.

Jedným z týchto „nepostrehnuteľných“ objavov sú fraktály. Toto chytľavé slovo ste už určite počuli, no viete, čo znamená a koľko zaujímavostí sa pod týmto pojmom skrýva?

Každý človek má prirodzenú zvedavosť, túžbu spoznávať svet okolo seba. A v tejto ašpirácii sa človek snaží držať sa logiky v úsudkoch. Analýzou procesov, ktoré sa okolo neho odohrávajú, sa snaží nájsť logiku toho, čo sa deje, a odvodiť z toho určitú zákonitosť. Najväčšie mysle na planéte sú zaneprázdnené touto úlohou. Zhruba povedané, vedci hľadajú vzor tam, kde by nemal byť. Napriek tomu sa aj v chaose dá nájsť súvislosť medzi udalosťami. A toto spojenie je fraktál.

Naša malá dcérka, má štyri a pol roka, je teraz v takom úžasnom veku, keď sa množia otázky "Prečo?" mnohonásobne väčší ako počet odpovedí, ktoré majú dospelí čas dať. Nie je to tak dávno, keď si moja dcéra pri pohľade na konár zdvihnutý zo zeme zrazu všimla, že tento konár s uzlami a konármi sám o sebe vyzerá ako strom. A samozrejme nasledovala obvyklá otázka „Prečo?“, pre ktorú museli rodičia hľadať jednoduché vysvetlenie, ktoré by dieťaťu rozumelo.

Dieťaťom objavená podobnosť jedinej vetvy s celým stromom je veľmi presným postrehom, ktorý opäť svedčí o princípe rekurzívnej sebapodobnosti v prírode. Veľmi veľa organických a anorganických foriem v prírode vzniká podobne. Mraky, morské mušle, "dom" slimáka, kôra a koruna stromov, obehový systém atď. - náhodné tvary všetkých týchto objektov možno opísať fraktálnym algoritmom.

⇡ Benoit Mandelbrot: otec fraktálnej geometrie

Samotné slovo „fraktál“ sa objavilo vďaka skvelému vedcovi Benoîtovi B. Mandelbrotovi.

Tento termín sám vymyslel v 70. rokoch 20. storočia, pričom slovo fractus prevzal z latinčiny, kde doslova znamená „rozbitý“ alebo „rozdrvený“. Čo je to? Slovo fraktál sa dnes najčastejšie používa na označenie grafického znázornenia štruktúry, ktorá je sama sebe podobná vo väčšom meradle.

Matematický základ pre vznik teórie fraktálov bol položený mnoho rokov pred narodením Benoita Mandelbrota, no rozvinúť sa mohol až s príchodom výpočtových zariadení. Na začiatku svojej vedeckej kariéry pracoval Benoit vo výskumnom centre IBM. Pracovníci centra v tom čase pracovali na prenose dát na diaľku. V priebehu výskumu vedci čelili problému veľkých strát spôsobených rušením hluku. Benoit stál pred neľahkou a veľmi dôležitou úlohou – pochopiť, ako predpovedať výskyt rušenia šumom v elektronických obvodoch, keď je štatistická metóda neúčinná.

Mandelbrot pri pohľade na výsledky meraní hluku upozornil na jeden zvláštny vzor – grafy hluku v rôznych mierkach vyzerali rovnako. Identický vzor bol pozorovaný bez ohľadu na to, či išlo o graf hluku na jeden deň, týždeň alebo hodinu. Stálo za to zmeniť mierku grafu a obrázok sa zakaždým opakoval.

Benoit Mandelbrot počas svojho života opakovane povedal, že sa nezaoberal vzorcami, ale jednoducho sa hral s obrázkami. Tento muž uvažoval veľmi obrazne a akýkoľvek algebraický problém preložil do oblasti geometrie, kde je podľa neho vždy zrejmá správna odpoveď.

Nie je prekvapujúce, že otcom fraktálnej geometrie sa stal práve muž s tak bohatou priestorovou predstavivosťou. Koniec koncov, uvedomenie si podstaty fraktálov prichádza práve vtedy, keď začnete študovať kresby a premýšľate o význame zvláštnych vírivých vzorov.

Fraktálny vzor nemá identické prvky, ale má podobnosť v akejkoľvek mierke. Manuálne vytvorenie takéhoto obrazu s vysokým stupňom detailov bolo predtým jednoducho nemožné, vyžadovalo si to obrovské množstvo výpočtov. Napríklad francúzsky matematik Pierre Joseph Louis Fatou opísal tento súbor viac ako sedemdesiat rokov pred objavom Benoita Mandelbrota. Ak hovoríme o princípoch sebapodobnosti, potom boli spomenuté v dielach Leibniza a Georga Cantora.

Jednou z prvých kresieb fraktálu bola grafická interpretácia Mandelbrotovej množiny, ktorá sa zrodila z výskumu Gastona Mauricea Juliu.

Gaston Julia (vždy maskovaný - zranenie z prvej svetovej vojny)

Tento francúzsky matematik uvažoval, ako by vyzerala množina, keby bola skonštruovaná z jednoduchého vzorca iterovaného spätnou väzbou. Ak je vysvetlené „na prstoch“, znamená to, že pre konkrétne číslo nájdeme pomocou vzorca novú hodnotu, potom ju opäť dosadíme do vzorca a získame inú hodnotu. Výsledkom je veľká postupnosť čísel.

Ak chcete získať úplný obraz o takomto súbore, musíte urobiť obrovské množstvo výpočtov - stovky, tisíce, milióny. Ručne to bolo jednoducho nemožné. Keď sa však matematikom objavili výkonné výpočtové zariadenia, mohli sa nanovo pozrieť na vzorce a výrazy, ktoré boli už dlho zaujímavé. Mandelbrot ako prvý použil počítač na výpočet klasického fraktálu. Po spracovaní sekvencie pozostávajúcej z veľkého počtu hodnôt preniesol Benoit výsledky do grafu. Tu je to, čo dostal.

Následne bol tento obrázok vyfarbený (napríklad jeden spôsob farbenia je počtom opakovaní) a stal sa jedným z najpopulárnejších obrázkov, aké kedy človek vytvoril.

Ako hovorí staroveké príslovie pripisované Herakleitovi z Efezu: "Nemôžeš vstúpiť dvakrát do tej istej rieky." Je najvhodnejší na interpretáciu geometrie fraktálov. Bez ohľadu na to, ako podrobne skúmame fraktálny obrázok, vždy uvidíme podobný vzor.

Tí, ktorí chcú vidieť, ako by vyzeral obraz Mandelbrotovho priestoru pri mnohonásobnom zväčšení, môžu tak urobiť nahraním animovaného GIF.

⇡ Lauren Carpenter: umenie vytvorené prírodou

Teória fraktálov čoskoro našla praktické uplatnenie. Keďže to úzko súvisí s vizualizáciou sebepodobných obrazov, nie je prekvapujúce, že prví, ktorí prijali algoritmy a princípy na vytváranie neobvyklých foriem, boli umelci.

Budúci spoluzakladateľ legendárneho štúdia Pixar Loren C. Carpenter začal v roku 1967 pracovať v Boeing Computer Services, čo bola jedna z divízií známej korporácie zaoberajúcej sa vývojom nových lietadiel.

V roku 1977 vytvoril prezentácie s prototypmi lietajúcich modelov. Lauren bola zodpovedná za vytvorenie obrázkov navrhovaného lietadla. Musel vytvoriť obrázky nových modelov zobrazujúcich budúce lietadlá z rôznych uhlov. V určitom okamihu prišiel budúci zakladateľ Pixar Animation Studios s kreatívnym nápadom použiť obrázok hôr ako pozadie. Dnes už takýto problém dokáže vyriešiť každý školák, no na konci sedemdesiatych rokov minulého storočia si počítače s tak zložitými výpočtami neporadili – neexistovali grafické editory, o aplikáciách pre trojrozmernú grafiku ani nehovoriac. V roku 1978 Lauren náhodou uvidela v obchode knihu Benoita Mandelbrota Fractals: Form, Randomness and Dimension. V tejto knihe jeho pozornosť upriamila skutočnosť, že Benoit uviedol množstvo príkladov fraktálnych foriem v reálnom živote a dokázal, že ich možno opísať matematickým výrazom.

Túto analógiu si matematik nevybral náhodou. Faktom je, že len čo zverejnil svoj výskum, musel čeliť celej vlne kritiky. To hlavné, čo mu kolegovia vyčítali, bola zbytočnosť rozvinutej teórie. „Áno,“ povedali, „sú to krásne obrázky, ale nič viac. Teória fraktálov nemá žiadnu praktickú hodnotu.“ Boli aj takí, ktorí vo všeobecnosti verili, že fraktálne vzory sú len vedľajším produktom práce „diabolských strojov“, ktoré sa na konci sedemdesiatych rokov mnohým zdali byť niečím príliš komplikovaným a neprebádaným na to, aby sa im dalo úplne dôverovať. Mandelbrot sa pokúsil nájsť zjavnú aplikáciu teórie fraktálov, ale vo všeobecnosti to nepotreboval. Nasledovníci Benoita Mandelbrota sa počas nasledujúcich 25 rokov ukázali ako veľmi užitoční pre takúto „matematickú kuriozitu“ a Lauren Carpenter bola jednou z prvých, ktorá zaviedla fraktálovú metódu do praxe.

Po preštudovaní knihy budúci animátor vážne študoval princípy fraktálnej geometrie a začal hľadať spôsob, ako ju implementovať do počítačovej grafiky. Len za tri dni práce si Lauren dokázal vo svojom počítači predstaviť realistický obraz horského systému. Inými slovami, pomocou vzorcov namaľoval úplne rozpoznateľnú horskú krajinu.

Princíp, ktorý Lauren použila na dosiahnutie svojho cieľa, bol veľmi jednoduchý. Spočíval v rozdelení väčšieho geometrického útvaru na malé prvky a tie sa zase rozdelili na podobné útvary menšej veľkosti.

Pomocou väčších trojuholníkov ich Carpenter rozdelil na štyri menšie a potom tento postup opakoval znova a znova, až kým nezískal realistickú horskú krajinu. Tak sa mu podarilo stať sa prvým umelcom, ktorý použil fraktálny algoritmus v počítačovej grafike na vytváranie obrázkov. Hneď ako sa dozvedeli o vykonanej práci, nadšenci z celého sveta sa chopili tejto myšlienky a začali používať fraktálny algoritmus na simuláciu realistických prírodných foriem.

Jedno z prvých 3D vykresľovaní pomocou fraktálneho algoritmu

Len o niekoľko rokov neskôr bola Lauren Carpenter schopná uplatniť svoje úspechy v oveľa väčšom projekte. Animátor ich založil na dvojminútovom deme Vol Libre, ktoré bolo uvedené na Siggraph v roku 1980. Toto video šokovalo všetkých, ktorí ho videli, a Lauren dostala pozvanie od Lucasfilmu.

Animácia bola vykreslená na počítači VAX-11/780 od Digital Equipment Corporation pri rýchlosti piatich megahertzov a kreslenie každej snímky trvalo asi pol hodiny.

Animátor, ktorý pracoval pre Lucasfilm Limited, vytvoril rovnaké 3D krajiny pre druhý film zo ságy Star Trek. V hre The Wrath of Khan bol Carpenter schopný vytvoriť celú planétu pomocou rovnakého princípu fraktálneho modelovania povrchu.

V súčasnosti všetky populárne aplikácie na vytváranie 3D krajiny využívajú rovnaký princíp generovania prírodných objektov. Terragen, Bryce, Vue a ďalšie 3D editory sa spoliehajú na fraktálny algoritmus na modelovanie povrchu a textúr.

⇡ Fraktálne antény: menej je lepšie, ale lepšie

Za posledné polstoročie sa život rýchlo zmenil. Väčšina z nás považuje pokroky v moderných technológiách za samozrejmosť. Na všetko, čo robí život pohodlnejším, si veľmi rýchlo zvyknete. Málokedy si niekto kladie otázku „Odkiaľ to prišlo? a "Ako to funguje?". Mikrovlnná rúra ohrieva raňajky - no, skvelé, smartfón vám umožní hovoriť s inou osobou - skvelé. Zdá sa nám to ako jasná možnosť.

Ale život by mohol byť úplne iný, keby človek nehľadal vysvetlenie pre odohrávajúce sa udalosti. Vezmite si napríklad mobilné telefóny. Pamätáte si na vysúvacie antény na prvých modeloch? Prekážali, zväčšovali veľkosť zariadenia a nakoniec sa často rozbili. Veríme, že navždy upadli do zabudnutia a čiastočne aj preto... fraktály.

Fraktálne kresby fascinujú svojimi vzormi. Rozhodne pripomínajú obrázky vesmírnych objektov – hmlovín, kopy galaxií a pod. Preto je celkom prirodzené, že keď Mandelbrot vyslovil svoju teóriu fraktálov, jeho výskum vzbudil zvýšený záujem medzi tými, ktorí študovali astronómiu. Jeden takýto amatér menom Nathan Cohen sa po návšteve prednášky Benoita Mandelbrota v Budapešti inšpiroval myšlienkou praktického využitia získaných poznatkov. Pravdaže, robil to intuitívne a v jeho objave zohrala dôležitú úlohu náhoda. Ako rádioamatér sa Nathan snažil vytvoriť anténu s čo najvyššou citlivosťou.

Jediným spôsobom, ako zlepšiť parametre antény, ktorá bola v tom čase známa, bolo zväčšenie jej geometrických rozmerov. Majiteľ Nathanovho bytu v centre Bostonu bol však rozhodne proti inštalácii veľkých strešných zariadení. Potom Nathan začal experimentovať s rôznymi formami antén a snažil sa dosiahnuť maximálny výsledok s minimálnou veľkosťou. Cohen, ako sa hovorí, zapálený myšlienkou fraktálnych foriem, náhodne vyrobil jeden z najznámejších fraktálov z drôtu - „Kochovu snehovú vločku“. S touto krivkou prišiel už v roku 1904 švédsky matematik Helge von Koch. Získa sa rozdelením segmentu na tri časti a nahradením stredného segmentu rovnostranným trojuholníkom bez toho, aby sa strana zhodovala s týmto segmentom. Definícia je trochu náročná na pochopenie, ale obrázok je jasný a jednoduchý.

Existujú aj iné odrody "Kochovej krivky", ale približný tvar krivky zostáva podobný

Keď Nathan pripojil anténu k rádiovému prijímaču, bol veľmi prekvapený – citlivosť sa dramaticky zvýšila. Po sérii experimentov si budúci profesor Bostonskej univerzity uvedomil, že anténa vyrobená podľa fraktálneho vzoru má vysokú účinnosť a pokrýva oveľa širší frekvenčný rozsah v porovnaní s klasickými riešeniami. Navyše tvar antény v podobe fraktálnej krivky môže výrazne zmenšiť geometrické rozmery. Nathan Cohen dokonca vyvinul teorém, ktorý dokazuje, že na vytvorenie širokopásmovej antény stačí dať jej tvar sebepodobnej fraktálnej krivky.

Autor si svoj objav patentoval a založil firmu na vývoj a dizajn fraktálnych antén Fractal Antenna Systems, oprávnene veril, že v budúcnosti sa vďaka jeho objavu mobilné telefóny zbavia objemných antén a stanú sa kompaktnejšími.

V podstate sa tak aj stalo. Pravda, Nathan dodnes vedie súdny spor s veľkými korporáciami, ktoré jeho objav nelegálne využívajú na výrobu kompaktných komunikačných zariadení. Niektorí známi výrobcovia mobilných zariadení, ako napríklad Motorola, už uzavreli mierovú dohodu s vynálezcom fraktálnej antény.

⇡ Fraktálne dimenzie: myseľ nerozumie

Benoit si túto otázku požičal od slávneho amerického vedca Edwarda Kasnera.

Posledný menovaný, podobne ako mnohí iní slávni matematici, veľmi rád komunikoval s deťmi, kládol im otázky a dostával nečakané odpovede. Niekedy to viedlo k prekvapivým výsledkom. A tak napríklad deväťročný synovec Edwarda Kasnera prišiel s dnes už dobre známym slovom „googol“, označujúcim jednotku so sto nulami. Ale späť k fraktálom. Americký matematik sa rád pýtal, aké dlhé je pobrežie USA. Po vypočutí názoru partnera, Edward sám povedal správnu odpoveď. Ak zmeriate dĺžku na mape s prerušovanými segmentmi, výsledok bude nepresný, pretože pobrežie má veľké množstvo nepravidelností. A čo sa stane, ak budete merať čo najpresnejšie? Budete musieť brať do úvahy dĺžku každej nerovnosti – budete musieť zmerať každý mys, každý záliv, skalu, dĺžku skalnej rímsy, kameň na nej, zrnko piesku, atóm atď. Keďže počet nepravidelností má tendenciu k nekonečnu, nameraná dĺžka pobrežia sa s každou novou nepravidelnosťou zvýši do nekonečna.

Čím menšia je miera pri meraní, tým väčšia je nameraná dĺžka

Je zaujímavé, že po Edwardových pokynoch boli deti oveľa rýchlejšie ako dospelí pri vyslovení správnej odpovede, zatiaľ čo tí druhí mali problém prijať takú neuveriteľnú odpoveď.

Použitím tohto problému ako príkladu Mandelbrot navrhol použiť nový prístup k meraniam. Keďže pobrežie je blízko fraktálnej krivky, znamená to, že naň možno použiť charakteristický parameter, takzvanú fraktálnu dimenziu.

Aký je obvyklý rozmer, je každému jasné. Ak sa rozmer rovná jednej, dostaneme priamku, ak dve - plochú postavu, tri - objem. Takéto chápanie dimenzie v matematike však nefunguje pri fraktálnych krivkách, kde má tento parameter zlomkovú hodnotu. Fraktálny rozmer v matematike možno podmienečne považovať za „hrubosť“. Čím vyššia je drsnosť krivky, tým väčší je jej fraktálny rozmer. Krivka, ktorá má podľa Mandelbrota fraktálny rozmer vyšší ako jej topologický rozmer, má približnú dĺžku, ktorá nezávisí od počtu rozmerov.

V súčasnosti vedci nachádzajú stále viac oblastí pre aplikáciu fraktálnej teórie. Pomocou fraktálov môžete analyzovať kolísanie cien akcií, skúmať všetky druhy prírodných procesov, ako napríklad kolísanie počtu druhov, alebo simulovať dynamiku tokov. Fraktálne algoritmy možno použiť na kompresiu dát, napríklad na kompresiu obrázkov. A mimochodom, aby ste dostali krásny fraktál na obrazovku počítača, nemusíte mať doktorandský titul.

⇡ Fraktál v prehliadači

Možno jedným z najjednoduchších spôsobov, ako získať fraktálny vzor, ​​je použiť online vektorový editor od mladého talentovaného programátora Tobyho Schachmana. Sada nástrojov tohto jednoduchého grafického editora je založená na rovnakom princípe sebapodobnosti.

K dispozícii máte len dva jednoduché tvary – štvorec a kruh. Môžete ich pridať na plátno, zmeniť mierku (ak chcete zmeniť mierku pozdĺž jednej z osí, podržte stlačený kláves Shift) a otáčajte. Tieto najjednoduchšie prvky, ktoré sa prekrývajú na princípe booleovských operácií sčítania, tvoria nové, menej triviálne formy. Ďalej môžu byť tieto nové formuláre pridané do projektu a program bude donekonečna opakovať generovanie týchto obrázkov. V ktorejkoľvek fáze práce na fraktále sa môžete vrátiť ku ktorémukoľvek komponentu zložitého tvaru a upraviť jeho polohu a geometriu. Je to veľká zábava, najmä keď si uvedomíte, že jediným nástrojom, ktorý potrebujete na kreativitu, je prehliadač. Ak nerozumiete princípu práce s týmto rekurzívnym vektorovým editorom, odporúčame vám pozrieť si video na oficiálnej stránke projektu, ktoré podrobne zobrazuje celý proces vytvárania fraktálu.

⇡ XaoS: fraktály pre každý vkus

Mnoho grafických editorov má vstavané nástroje na vytváranie fraktálnych vzorov. Tieto nástroje sú však väčšinou sekundárne a neumožňujú doladiť vygenerovaný fraktálový vzor. V prípadoch, keď je potrebné postaviť matematicky presný fraktál, príde na pomoc multiplatformový editor XaoS. Tento program umožňuje nielen vytvoriť podobný obraz, ale tiež s ním vykonávať rôzne manipulácie. Napríklad v reálnom čase môžete „prechádzať“ fraktálom zmenou jeho mierky. Animovaný pohyb pozdĺž fraktálu je možné uložiť ako súbor XAF a potom prehrať v samotnom programe.

XaoS dokáže načítať náhodnú množinu parametrov, ako aj použiť rôzne filtre na post-processing obrazu – pridať efekt rozmazaného pohybu, vyhladiť ostré prechody medzi fraktálnymi bodmi, simulovať 3D obraz atď.

⇡ Fractal Zoomer: kompaktný generátor fraktálov

V porovnaní s inými generátormi fraktálnych obrázkov má niekoľko výhod. Po prvé, má pomerne malú veľkosť a nevyžaduje inštaláciu. Po druhé, implementuje schopnosť definovať farebnú paletu obrázka. Odtiene si môžete vybrať vo farebných modeloch RGB, CMYK, HVS a HSL.

Veľmi vhodné je aj využitie možnosti náhodného výberu farebných odtieňov a funkcie invertovania všetkých farieb na obrázku. Na úpravu farby existuje funkcia cyklického výberu odtieňov - keď je príslušný režim zapnutý, program animuje obrázok a cyklicky na ňom mení farby.

Fractal Zoomer dokáže zobraziť 85 rôznych fraktálových funkcií a vzorce sú jasne zobrazené v ponuke programu. V programe sú, aj keď v malom množstve, filtre na následné spracovanie obrázkov. Každý priradený filter je možné kedykoľvek zrušiť.

⇡ Mandelbulb3D: 3D editor fraktálov

Keď sa použije termín „fraktál“, najčastejšie sa tým myslí plochý dvojrozmerný obraz. Fraktálna geometria však presahuje 2D dimenziu. V prírode možno nájsť ako príklady plochých fraktálových foriem, povedzme geometriu blesku, tak aj trojrozmerné trojrozmerné postavy. Fraktálne povrchy môžu byť 3D a veľmi názornou ilustráciou 3D fraktálov v každodennom živote je hlávka kapusty. Snáď najlepší spôsob, ako vidieť fraktály, je Romanesco, kríženec karfiolu a brokolice.

A tento fraktál sa dá zjesť

Program Mandelbulb3D dokáže vytvárať trojrozmerné objekty s podobným tvarom. Na získanie 3D povrchu pomocou fraktálneho algoritmu autori tejto aplikácie, Daniel White a Paul Nylander, previedli Mandelbrotovu množinu na sférické súradnice. Program Mandelbulb3D, ktorý vytvorili, je skutočný trojrozmerný editor, ktorý modeluje fraktálne povrchy rôznych tvarov. Keďže v prírode často pozorujeme fraktálne vzory, umelo vytvorený fraktálny trojrozmerný objekt sa zdá byť neuveriteľne realistický a dokonca „živý“.

Môže to vyzerať ako rastlina, môže to pripomínať zvláštne zviera, planétu alebo niečo iné. Tento efekt je vylepšený pokročilým vykresľovacím algoritmom, ktorý umožňuje získať realistické odrazy, vypočítať priehľadnosť a tiene, simulovať vplyv hĺbky ostrosti atď. Mandelbulb3D má obrovské množstvo nastavení a možností vykresľovania. Môžete ovládať odtiene svetelných zdrojov, zvoliť si pozadie a úroveň detailov modelovaného objektu.

Editor fraktálov Incendia podporuje dvojité vyhladzovanie obrázkov, obsahuje knižnicu päťdesiatich rôznych trojrozmerných fraktálov a má samostatný modul na úpravu základných tvarov.

Aplikácia využíva fraktálne skriptovanie, pomocou ktorého môžete nezávisle popisovať nové typy fraktálnych štruktúr. Incendia má editory textúr a materiálov a vykresľovací engine, ktorý vám umožňuje používať efekty volumetrickej hmly a rôzne shadery. Program má možnosť šetrenia vyrovnávacej pamäte pri dlhodobom renderingu, je podporovaná tvorba animácií.

Incendia umožňuje exportovať fraktálny model do obľúbených 3D grafických formátov - OBJ a STL. Incendia obsahuje malú utilitu Geometrica – špeciálny nástroj na nastavenie exportu fraktálneho povrchu do trojrozmerného modelu. Pomocou tejto pomôcky môžete určiť rozlíšenie 3D povrchu, určiť počet fraktálových iterácií. Exportované modely je možné použiť v 3D projektoch pri práci s 3D editormi ako Blender, 3ds max a inými.

V poslednom čase sa práce na projekte Incendia trochu spomalili. Momentálne autor hľadá sponzorov, ktorí by mu pomohli program rozvíjať.

Ak nemáte dostatok fantázie na to, aby ste v tomto programe nakreslili krásny trojrozmerný fraktál, nevadí. Použite knižnicu parametrov, ktorá sa nachádza v priečinku INCENDIA_EX\parameters. Pomocou súborov PAR môžete rýchlo nájsť najneobvyklejšie fraktálne tvary vrátane animovaných.

⇡ Sluchové: ako spievajú fraktály

Väčšinou nehovoríme o projektoch, na ktorých sa práve pracuje, no v tomto prípade musíme urobiť výnimku, ide o veľmi neobvyklú aplikáciu. Projekt s názvom Aural prišiel s tou istou osobou ako Incendia. Je pravda, že tentoraz program nezobrazuje fraktálovú množinu, ale nahlasuje ju a mení ju na elektronickú hudbu. Myšlienka je to veľmi zaujímavá, najmä ak vezmeme do úvahy nezvyčajné vlastnosti fraktálov. Aural je zvukový editor, ktorý generuje melódie pomocou fraktálnych algoritmov, to znamená, že je to v skutočnosti zvukový syntetizátor-sekvenátor.

Postupnosť zvukov vydávaných týmto programom je nezvyčajná a ... krásna. Môže sa hodiť pri písaní moderných rytmov a podľa nášho názoru je obzvlášť vhodný na vytváranie zvukových stôp pre úvody televíznych a rozhlasových programov, ako aj „slučky“ hudby na pozadí počítačových hier. Ramiro zatiaľ neposkytol demo svojho programu, ale sľubuje, že keď to urobí, na prácu s Auralom sa nebude musieť učiť teóriu fraktálov - stačí sa pohrať s parametrami algoritmu na generovanie postupnosti poznámok. . Vypočujte si, ako znejú fraktály a.

Fraktály: hudobná pauza

V skutočnosti môžu fraktály pomôcť pri písaní hudby aj bez softvéru. To však môže urobiť iba niekto, kto je skutočne preniknutý myšlienkou prirodzenej harmónie a zároveň sa nezmenil na nešťastného „nerda“. Dáva zmysel vziať si príklad od hudobníka menom Jonathan Coulton, ktorý okrem iného píše skladby pre časopis Popular Science. A na rozdiel od iných umelcov, Colton zverejňuje všetky svoje diela pod licenciou Creative Commons Attribution-Nonkomerčná licencia, ktorá (pri použití na nekomerčné účely) umožňuje bezplatné kopírovanie, distribúciu, prenos diela iným osobám, ako aj jeho úpravu (vytváranie odvodených diel), aby ste ho prispôsobili vašim potrebám.

Jonathan Colton má samozrejme pieseň o fraktáloch.

⇡ Záver

Vo všetkom, čo nás obklopuje, často vidíme chaos, no v skutočnosti to nie je náhoda, ale ideálna forma, ktorú nám fraktály pomáhajú rozlíšiť. Príroda je najlepší architekt, ideálny staviteľ a inžinier. Je usporiadaný veľmi logicky a ak niekde nevidíme vzory, znamená to, že ho treba hľadať v inej mierke. Ľudia tomu stále lepšie rozumejú a snažia sa v mnohých smeroch napodobňovať prírodné formy. Inžinieri navrhujú reproduktorové systémy vo forme plášťa, vytvárajú antény s geometriou snehových vločiek atď. Sme si istí, že fraktály stále uchovávajú veľa tajomstiev a mnohé z nich musí človek ešte objaviť.

Čo majú spoločné strom, morské pobrežie, oblak alebo krvné cievy v našej ruke? Na prvý pohľad sa môže zdať, že všetky tieto predmety nemajú nič spoločné. V skutočnosti však existuje jedna vlastnosť štruktúry, ktorá je vlastná všetkým uvedeným objektom: sú sebe podobné. Z konára, ako aj z kmeňa stromu odchádzajú menšie procesy, z nich - ešte menšie atď., To znamená, že konár je podobný celému stromu. Obehový systém je usporiadaný podobným spôsobom: arterioly odchádzajú z tepien a z nich - najmenšie kapiláry, cez ktoré kyslík vstupuje do orgánov a tkanív. Pozrime sa na satelitné snímky morského pobrežia: uvidíme zálivy a polostrovy; pozrime sa na to, ale z vtáčej perspektívy: uvidíme zálivy a mysy; teraz si predstavte, že stojíme na pláži a pozeráme sa na svoje nohy: vždy tu budú kamienky, ktoré budú vyčnievať ďalej do vody ako ostatné. To znamená, že pobrežie zostáva podobné ako pri priblížení. Americký matematik Benoit Mandelbrot (hoci vychovaný vo Francúzsku) nazval túto vlastnosť objektov fraktálnosťou a takéto objekty samotné – fraktály (z latinského fractus – rozbité).

Tento pojem nemá striktnú definíciu. Preto slovo „fraktál“ nie je matematický pojem. Fraktál je zvyčajne geometrický útvar, ktorý spĺňa jednu alebo viacero z nasledujúcich vlastností: Má zložitú štruktúru na akejkoľvek úrovni priblíženia (na rozdiel napríklad od priamky, ktorej akákoľvek časť je najjednoduchším geometrickým útvarom – úsečkou ). Je (približne) sebepodobný. Má zlomkovú Hausdorffovu (fraktálnu) dimenziu, ktorá je väčšia ako topologická. Môže byť zostavený rekurzívnymi postupmi.

Geometria a algebra

Štúdium fraktálov na prelome 19. a 20. storočia bolo viac epizodické ako systematické, pretože skorší matematici študovali najmä „dobré“ objekty, ktoré bolo možné študovať pomocou všeobecných metód a teórií. V roku 1872 nemecký matematik Karl Weierstrass postavil príklad spojitej funkcie, ktorá nie je nikde diferencovateľná. Jeho konštrukcia však bola úplne abstraktná a ťažko pochopiteľná. Preto v roku 1904 prišiel Švéd Helge von Koch so súvislou krivkou, ktorá nikde nemá dotyčnicu a je celkom jednoduché ju nakresliť. Ukázalo sa, že má vlastnosti fraktálu. Jedna variácia tejto krivky sa nazýva Kochova snehová vločka.

Myšlienky sebapodobnosti postáv prevzal Francúz Paul Pierre Levy, budúci mentor Benoita Mandelbrota. V roku 1938 vyšiel jeho článok „Rovinné a priestorové krivky a povrchy pozostávajúce z častí podobných celku“, v ktorom je popísaný ďalší fraktál – Lévyho C-krivka. Všetky tieto fraktály uvedené vyššie možno podmienečne pripísať jednej triede konštruktívnych (geometrických) fraktálov.

Ďalšou triedou sú dynamické (algebraické) fraktály, medzi ktoré patrí Mandelbrotova množina. Prvý výskum v tomto smere sa začal začiatkom 20. storočia a spája sa s menami francúzskych matematikov Gastona Juliu a Pierra Fatoua. V roku 1918 vyšlo takmer dvesto strán Júliiných spomienok, venovaných iteráciám zložitých racionálnych funkcií, v ktorých sú opísané Julie množiny – celá rodina fraktálov úzko súvisiaca s Mandelbrotovou množinou. Toto dielo bolo ocenené cenou Francúzskej akadémie, no neobsahovalo ani jednu ilustráciu, takže nebolo možné oceniť krásu objavených predmetov. Napriek tomu, že toto dielo preslávilo Júliu medzi vtedajšími matematikmi, rýchlo sa naň zabudlo. Pozornosť sa naň opäť obrátila až o polstoročie neskôr s príchodom počítačov: práve tie zviditeľnili bohatstvo a krásu sveta fraktálov.

Fraktálne rozmery

Ako viete, rozmer (počet meraní) geometrického útvaru je počet súradníc potrebných na určenie polohy bodu ležiaceho na tomto obrázku.
Napríklad poloha bodu na krivke je určená jednou súradnicou, na ploche (nie nevyhnutne rovine) dvoma súradnicami, v trojrozmernom priestore tromi súradnicami.
Zo všeobecnejšieho matematického hľadiska možno dimenziu definovať takto: zvýšenie lineárnych rozmerov, povedzme, dvojnásobné, pre jednorozmerné (z topologického hľadiska) objekty (segment) vedie k zvýšeniu veľkosti (dĺžky). ) dvojnásobne, pre dvojrozmerné (štvorcové ) rovnaké zvýšenie lineárnych rozmerov vedie k zväčšeniu veľkosti (plochy) 4-krát, pre trojrozmerné (kocka) - 8-krát. To znamená, že „skutočnú“ (tzv. Hausdorffovu) dimenziu možno vypočítať ako pomer logaritmu nárastu „veľkosti“ objektu k logaritmu nárastu jeho lineárnej veľkosti. To znamená, že pre segment D=log (2)/log (2)=1, pre rovinu D=log (4)/log (2)=2, pre objem D=log (8)/log (2 )=3.
Vypočítajme teraz rozmer Kochovej krivky, pre konštrukciu ktorej je jednotkový segment rozdelený na tri rovnaké časti a stredný interval je nahradený rovnostranným trojuholníkom bez tohto segmentu. S trojnásobným nárastom lineárnych rozmerov minimálneho segmentu sa dĺžka Kochovej krivky zvyšuje v log (4) / log (3) ~ 1,26. To znamená, že rozmer Kochovej krivky je zlomkový!

Veda a umenie

V roku 1982 vyšla Mandelbrotova kniha „The Fractal Geometry of Nature“, v ktorej autor zozbieral a systematizoval takmer všetky v tom čase dostupné informácie o fraktáloch a prezentoval ich jednoduchým a prístupným spôsobom. Mandelbrot vo svojej prezentácii kládol hlavný dôraz nie na ťažkopádne vzorce a matematické konštrukcie, ale na geometrickú intuíciu čitateľov. Vďaka počítačom generovaným ilustráciám a historickým príbehom, ktorými autor umne preriedil vedeckú zložku monografie, sa kniha stala bestsellerom a fraktály sa dostali do povedomia širokej verejnosti. Ich úspech medzi nematematikmi je do značnej miery spôsobený tým, že pomocou veľmi jednoduchých konštrukcií a vzorcov, ktorým rozumie aj stredoškolák, sa získavajú obrazy úžasnej zložitosti a krásy. Keď sa osobné počítače stali dostatočne výkonnými, objavil sa dokonca celý trend v umení - fraktálne maľovanie a mohol to urobiť takmer každý majiteľ počítača. Teraz na internete môžete ľahko nájsť veľa stránok venovaných tejto téme.

Schéma na získanie Kochovej krivky

Vojna a mier

Ako je uvedené vyššie, jedným z prírodných objektov, ktoré majú fraktálne vlastnosti, je pobrežie. Spája sa s ňou, respektíve s pokusom zmerať jej dĺžku, jeden zaujímavý príbeh, ktorý tvoril základ Mandelbrotovho vedeckého článku a je opísaný aj v jeho knihe „Fraktálna geometria prírody“. Hovoríme o experimente, ktorý pripravil Lewis Richardson, veľmi talentovaný a excentrický matematik, fyzik a meteorológ. Jedným zo smerov jeho výskumu bol pokus nájsť matematický popis príčin a pravdepodobnosti ozbrojeného konfliktu medzi dvoma krajinami. Medzi parametrami, ktoré bral do úvahy, bola aj dĺžka spoločnej hranice medzi dvoma bojujúcimi krajinami. Keď zbieral údaje pre numerické experimenty, zistil, že v rôznych zdrojoch sa údaje o spoločnej hranici Španielska a Portugalska veľmi líšia. To ho priviedlo k nasledujúcemu objavu: dĺžka hraníc krajiny závisí od pravítka, ktorým ich meriame. Čím menšia mierka, tým dlhší bude okraj. Je to spôsobené tým, že pri väčšom zväčšení je možné brať do úvahy stále viac ohybov pobrežia, ktoré boli predtým ignorované kvôli drsnosti meraní. A ak sa pri každom priblížení otvoria predtým nezapočítané ohyby čiar, potom sa ukáže, že dĺžka hraníc je nekonečná! Pravda, v skutočnosti sa to nedeje - presnosť našich meraní má konečnú hranicu. Tento paradox sa nazýva Richardsonov efekt.

Konštruktívne (geometrické) fraktály

Algoritmus na zostavenie konštruktívneho fraktálu je vo všeobecnom prípade nasledujúci. V prvom rade potrebujeme dva vhodné geometrické tvary, nazvime ich základ a úlomok. V prvej fáze je znázornený základ budúceho fraktálu. Potom sú niektoré jeho časti nahradené fragmentom odobratým vo vhodnej mierke - toto je prvá iterácia konštrukcie. Potom sa vo výslednom obrazci niektoré časti opäť zmenia na obrazce podobné fragmentu atď.. Ak v tomto procese pokračujeme donekonečna, potom v limite dostaneme fraktál.

Zvážte tento proces pomocou príkladu Kochovej krivky (pozri bočný panel na predchádzajúcej strane). Za základ Kochovej krivky možno považovať akúkoľvek krivku (pre Kochovu snehovú vločku je to trojuholník). Obmedzíme sa však na najjednoduchší prípad – segment. Fragment je prerušovaná čiara zobrazená v hornej časti obrázku. Po prvej iterácii algoritmu sa v tomto prípade pôvodný segment zhoduje s fragmentom, potom sa každý z jeho základných segmentov sám nahradí prerušovanou čiarou podobnou fragmentu atď. Obrázok ukazuje prvé štyri kroky tohto procesu.

Jazyk matematiky: dynamické (algebraické) fraktály

Fraktály tohto typu vznikajú pri štúdiu nelineárnych dynamických systémov (odtiaľ názov). Správanie takéhoto systému možno opísať pomocou komplexnej nelineárnej funkcie (polynómu) f (z). Zoberme si nejaký počiatočný bod z0 na komplexnej rovine (pozri bočný panel). Uvažujme teraz takú nekonečnú postupnosť čísel v komplexnej rovine, z ktorých každé je získané z predchádzajúcej: z0, z1=f (z0), z2=f (z1), … zn+1=f (zn). V závislosti od počiatočného bodu z0 sa takáto postupnosť môže správať odlišne: inklinovať k nekonečnu ako n -> ∞; konvergovať k nejakému koncovému bodu; cyklicky nadobúdať množstvo pevných hodnôt; sú možné komplexnejšie možnosti.

Komplexné čísla

Komplexné číslo je číslo pozostávajúce z dvoch častí – reálnej a imaginárnej, teda formálneho súčtu x + iy (x a y sú tu reálne čísla). ja je tzv. imaginárnu jednotku, teda číslo, ktoré spĺňa rovnicu i^ 2 = -1. Nad komplexnými číslami sú definované základné matematické operácie - sčítanie, násobenie, delenie, odčítanie (nie je definovaná iba operácia porovnávania). Na zobrazenie komplexných čísel sa často používa geometrická reprezentácia - v rovine (nazýva sa komplexná), skutočná časť je vynesená pozdĺž osi x a imaginárna časť pozdĺž osi y, zatiaľ čo komplexné číslo bude zodpovedať bodu. s kartézskymi súradnicami x a y.

Každý bod z komplexnej roviny má teda svoj vlastný charakter správania počas iterácií funkcie f (z) a celá rovina je rozdelená na časti. Okrem toho body ležiace na hraniciach týchto častí majú nasledujúcu vlastnosť: pre ľubovoľne malé posunutie sa povaha ich správania dramaticky mení (takéto body sa nazývajú bifurkačné body). Ukazuje sa teda, že množiny bodov, ktoré majú jeden špecifický typ správania, ako aj množiny bifurkačných bodov, majú často fraktálne vlastnosti. Toto sú Júliove množiny pre funkciu f(z).

dračia rodina

Zmenou základne a fragmentu môžete získať ohromujúce množstvo konštruktívnych fraktálov.
Okrem toho je možné podobné operácie vykonávať v trojrozmernom priestore. Príklady volumetrických fraktálov sú „Mengerova špongia“, „Sierpinského pyramída“ a iné.
Rodina drakov sa tiež označuje ako konštruktívne fraktály. Niekedy sú označovaní menom objaviteľov ako „draci z Heiwei-Harter“ (tvarom pripomínajú čínskych drakov). Existuje niekoľko spôsobov, ako vytvoriť túto krivku. Najjednoduchší a najzrejmejší z nich je tento: musíte si vziať dostatočne dlhý pás papiera (čím tenší papier, tým lepšie) a ohnúť ho na polovicu. Potom ho znova ohnite na polovicu v rovnakom smere ako prvýkrát. Po niekoľkých opakovaniach (zvyčajne po piatich alebo šiestich prehyboch sa pás stane príliš hrubým na to, aby sa dal ďalej opatrne ohýbať), musíte pás narovnať späť a pokúsiť sa vytvoriť 90˚ uhly v záhyboch. Potom sa krivka draka ukáže v profile. Samozrejme, bude to len aproximácia, ako všetky naše pokusy o zobrazenie fraktálnych objektov. Počítač vám umožňuje zobraziť oveľa viac krokov v tomto procese a výsledkom je veľmi krásna postava.

Súprava Mandelbrot je konštruovaná trochu inak. Uvažujme funkciu fc (z) = z 2 +c, kde c je komplexné číslo. Zostrojme postupnosť tejto funkcie so z0=0, v závislosti od parametra c môže divergovať do nekonečna alebo zostať ohraničená. Okrem toho všetky hodnoty c, pre ktoré je táto sekvencia ohraničená, tvoria Mandelbrotovu množinu. Podrobne ju študoval sám Mandelbrot a ďalší matematici, ktorí objavili mnohé zaujímavé vlastnosti tejto množiny.

Je vidieť, že definície množín Julia a Mandelbrot sú si navzájom podobné. V skutočnosti tieto dva súbory spolu úzko súvisia. Menovite, Mandelbrotova množina sú všetky hodnoty komplexného parametra c, pre ktoré je pripojená množina Julia fc (z) (množina sa nazýva spojená, ak ju nemožno rozdeliť na dve nepretínajúce sa časti s niektorými ďalšími podmienkami).

fraktály a život

V súčasnosti je teória fraktálov široko používaná v rôznych oblastiach ľudskej činnosti. Okrem čisto vedeckého objektu na výskum a už spomínaného maľovania fraktálov sa fraktály využívajú v teórii informácie na kompresiu grafických dát (tu sa využíva hlavne vlastnosť sebapodobnosti fraktálov – predsa len, aby sme si zapamätali malý fragment výkresu a transformácií, pomocou ktorých môžete získať zvyšné časti, zaberie oveľa menej pamäte ako uloženie celého súboru). Pridaním náhodných porúch do vzorcov, ktoré definujú fraktál, je možné získať stochastické fraktály, ktoré veľmi hodnoverne sprostredkujú niektoré skutočné objekty - reliéfne prvky, povrch vodných plôch, niektoré rastliny, čo sa úspešne používa vo fyzike, geografii a počítačovej grafike na dosiahnutie väčšia podobnosť simulovaných objektov so skutočnými. V rádioelektronike začali v poslednom desaťročí vyrábať antény, ktoré majú fraktálny tvar. Zaberajú málo miesta a poskytujú celkom kvalitný príjem signálu. Ekonómovia používajú fraktály na opis kriviek fluktuácie meny (túto vlastnosť objavil Mandelbrot pred viac ako 30 rokmi). Týmto sa končí táto krátka exkurzia do sveta fraktálov, úžasných svojou krásou a rozmanitosťou.

MINISTERSTVO VYSOKÉHO A ODBORNÉHO ŠKOLSTVA

ŠTÁTNA HOSPODÁRSKA AKADÉMIA IRKUTSK

KATEDRA INFORMAČNÝCH SYSTÉMOV

Podľa ekonomických a matematických modelov a metód

FRAKTÁLNA TEÓRIA A JEJ APLIKÁCIE

Spracoval: Vedúci:

Pogodaeva E.A. Tolstikova T.V.

Chetverikov S.V.

IRKUTSK 1997

Všetky obrázky sú podobné a

Napriek tomu nie jeden na druhom

Goy nie je ako; ich zbory

Poukážem na tajný zákon

No, k svätej hádanke...

J. W. Goethe.

metamorfóza rastlín.

PREČO HOVORÍME O FRAKTÁLOCH?

V druhej polovici nášho storočia v prírodných vedách boli
zásadné zmeny, ktoré dali vznik teórii tzv
sebaorganizácia alebo synergetika. Narodila sa náhle, akoby ďalej
prekračovanie viacerých línií vedeckého výskumu. Jeden z rozhodujúcich
prvotné impulzy jej prezradili ruskí vedci na prelome r
päťdesiate - šesťdesiate roky. V päťdesiatych rokoch vedec
Analytický chemik B.P. Belousov objavil redox
chemická reakcia. Objav a štúdium vlastných oscilácií a autovĺn počas
Reakcie Belousovovej

S. E. Shnolem, A. M. Zhabotinsky, V.I. Krinsky, A.N. Zaikin, G.R.
Ivanitsky - možno najbrilantnejšia stránka zo základov
Ruská veda v povojnovom období. Rýchle a úspešné učenie
reakcia Belousov - Zhabotinsky pracoval vo vede ako spúšťač
hák: hneď si spomenuli, že procesy tohto druhu boli známe už skôr
druhu a mnohých prírodných javov od vzniku galaxií
na tornáda, cyklóny a hru svetla na reflexných povrchoch (napr
nazývané žieraviny), - v skutočnosti procesy samoorganizácie. Oni sú
môžu byť veľmi odlišného charakteru: chemické, mechanické,
optické, elektrické atď. Navyše sa ukázalo, že
má dávno hotovú a dokonale rozvinutú matematickú teóriu
sebaorganizácia. Jeho základ položili diela A. Poincarého a A. A.
Ljapunov na konci minulého storočia. Dizertačná práca „O udržateľnosti
hnutie“ napísal Ljapunov v roku 1892.

Matematická teória sebaorganizácie nás núti novým spôsobom
pozri sa na svet okolo nás. Vysvetlíme, v čom sa líši od
klasický svetonázor, pretože to budeme musieť vedieť kedy
štúdium fraktálnych objektov.

„Klasický jednoznačne deterministický svetonázor
môže byť symbolizovaný plochým, hladkým povrchom, na ktorom
loptičky sa zrazia po určitom pohybe.
Budúci osud každého takéhoto tela je jedinečne určený jeho
„minulosť“ v predchádzajúcom časovom okamihu (hybnosť, náboj) a
interakcie s inými orgánmi. Žiadna integrita takéhoto systému
nemá.“ (L. Belousov. Poslovia živej búrky. \\ Vedomosti sú sila. N
2. 1996. - str. 32). Klasická veda teda verila, že budúcnosť
takýto systém je pevne a jednoznačne určený svojou minulosťou a podlieha
poznanie minulosti, neobmedzene predvídateľné.

Moderná matematika ukázala, že v niektorých prípadoch to tak nie je
takto: napríklad, ak loptičky zasiahnu konvexnú stenu, potom zanedbateľné
rozdiely v ich trajektóriách budú nekonečne rásť, takže
správanie systému sa v určitom bode stáva nepredvídateľným.
Tým boli dokonca podkopané pozície jednoznačného determinizmu
v relatívne jednoduchých situáciách.

Svetonázor založený na teórii samoorganizácie,
symbolizovaný obrazom hornatej krajiny s údoliami, ktorými pretekajú rieky,
a hrebene povodia. Táto krajina má silnú spätnú väzbu
- negatívne aj pozitívne. Ak sa telo skotúľa
sklon, potom existuje pozitívny vzťah medzi jeho rýchlosťou a polohou.
spätná väzba, ak sa pokúsi vyšplhať nahor, je negatívna.
Nelineárne (dostatočne silné) spätné väzby sú nevyhnutnou podmienkou
sebaorganizácia. Nelineárnosť v ideologickom zmysle znamená
multivariancia evolučných ciest, dostupnosť výberu z alternatívnych ciest
a určitú mieru evolúcie, ako aj nezvratnosť evolúcie
procesy. Zvážte napríklad interakciu dvoch telies: A a B. B -
elastický kmeň stromu, A je u nás horský potok. Tok sa ohýba
kmeň v smere pohybu vody, ale pri dosiahnutí určitého
ohýbanie trupu pod pôsobením elastickej sily sa môže narovnať, odpudzovať
častice vody späť. To znamená, že vidíme alternatívnu interakciu
dve telesá A a B. Navyše k tejto interakcii dochádza tak, že
že vzťah A-B je pozitívny a vzťah B-A negatívny. Podmienka je splnená
nelinearita.

Navyše v teórii sebaorganizácie si môžeme vynútiť svoje
hornatú krajinu „žiť“, teda meniť v čase. Zároveň je to dôležité
vyberte premenné rôzneho poradia. Taká hierarchia premenných
čas je nevyhnutnou podmienkou pre objednanie samoorganizácie.
Prelomte to, „premiešajte“ časy – príde chaos (napr. zemetrasenie,
keď sa posuny v geologickom poriadku vyskytnú v priebehu niekoľkých minút, a
by mal – už niekoľko tisícročí).Ako sa však ukazuje, žiť
systémy sa neboja chaosu: neustále žijú na hranici svojich možností,
niekedy do toho aj spadnú, ale aj tak z toho vedia, keď treba
vypadni. V tomto prípade sú najdôležitejšie tie najpomalšie
časové premenné (nazývajú sa parametre). Ide o hodnoty parametrov
určiť, aký súbor trvalo udržateľných riešení bude mať systém a
teda aké štruktúry sa v ňom vôbec dajú realizovať. AT
v rovnakom čase rýchlejšie

(dynamické) premenné sú zodpovedné za špecifický výber realizovateľných
stabilné stavy medzi možnými.

Princípy nelinearity a alternatívy výberu vývoja ľubovoľného
vývoj systému sa realizuje aj pri konštrukcii fraktálov.

Ako sa ukázalo v posledných desaťročiach (v dôsledku vývoja teórie
sebaorganizácia), sebapodobnosť sa vyskytuje v rôznych objektoch a
javov. Napríklad sebapodobnosť možno pozorovať na vetvách stromov a
kríky, pri delení oplodnenej zygoty, snehové vločky, kryštály
ľadu, s rozvojom ekonomických systémov (Kondratievove vlny), štruktúra
horské systémy, v štruktúre oblakov. Všetky vyššie uvedené a ďalšie
podobné im vo svojej štruktúre sa nazývajú fraktály. Teda oni
majú vlastnosti sebapodobnosti alebo škálovej invariantnosti. A to
znamená, že niektoré fragmenty ich štruktúry sa striktne opakujú
určité priestorové intervaly. Je jasné, že tieto objekty
môžu byť akejkoľvek povahy a ich vzhľad a forma zostávajú nezmenené
bez ohľadu na mierku.

Môžeme teda povedať, že fraktály ako modely sa používajú v
prípad, keď skutočný objekt nemožno reprezentovať v podobe klasickej
modelov. A to znamená, že máme do činenia s nelineárnymi vzťahmi a
nedeterministický charakter údajov. Nelinearita vo svetonázore
zmysel znamená mnohorozmernosť ciest rozvoja, dostupnosť výberu
alternatívne cesty a určité tempo evolúcie, ako aj nezvratnosť
evolučné procesy. Nelinearita v matematickom zmysle znamená
určitý druh matematických rovníc (nelineárny diferenciál
rovnice) obsahujúce požadované veličiny v mocninách väčších ako jedna resp
koeficienty v závislosti od vlastností média. Teda keď používame
klasické modely (napríklad trend, regresia atď.), my
hovoríme, že budúcnosť objektu je jednoznačne určená. A môžeme
predpovedať to, poznať minulosť objektu (vstupné údaje pre
modelovanie). A fraktály sa používajú, keď objekt má
niekoľko možností vývoja a určuje sa stav systému
pozíciu, v ktorej sa momentálne nachádza. Teda my
snaží simulovať chaotický vývoj.

Čo nám dáva použitie fraktálov?

Umožňujú vám výrazne zjednodušiť zložité procesy a objekty, čo je veľmi
dôležité pre modelovanie. Umožňuje popísať nestabilné systémy a
procesy a hlavne predpovedať budúcnosť takýchto objektov.

FRAKTÁLNA TEÓRIA

POZADIE VZHĽADU

Teória fraktálov má veľmi mladý vek. Objavila sa v
koniec šesťdesiatych rokov na priesečníku matematiky, informatiky a lingvistiky
a biológie. V tom čase do života čoraz viac prenikali počítače.
ľudí, vedci ich začali uplatňovať vo svojom výskume, počet
používateľov počítačov. Pre masové použitie
počítačov, bolo potrebné uľahčiť proces komunikácie medzi osobou a
stroj. Ak na samom začiatku počítačovej éry niekoľko
programátori-užívatelia nezištne zadávali príkazy do stroja
kódov a prijatých výsledkov v podobe nekonečných papierových pások, následne s
vznikol masívny a nabitý režim používania počítačov
potreba vynájsť programovací jazyk, ktorý bol
by bolo zrozumiteľné pre stroj a zároveň by sa dalo ľahko naučiť a
aplikácie. To znamená, že používateľ by musel zadať iba jeden
príkaz a počítač by ho rozložil na jednoduchšie a vykonal
už by ich mal. Uľahčiť písanie prekladateľov, na priesečníku informatiky
a lingvistiky vznikla teória fraktálov, ktorá umožňuje striktne stanoviť
vzťahy medzi algoritmickými jazykmi. A dánsky matematik a
S jednou takouto gramatikou prišiel v roku 1968 biológ A. Lindenmeer,
ktorý nazval L-systém, ktorý, ako veril, tiež modeluje rast
živých organizmov, najmä tvorba kríkov a konárov v rastlinách.

Takto vyzerá jeho model. Sada abecedy - ľubovoľná sada
postavy. Priraďte jedno, počiatočné slovo, nazývané axióma, - môžete
uvažovať, že zodpovedá počiatočnému stavu organizmu – embryu.
A potom popisujú pravidlá pre nahradenie každého znaku abecedy určitým
súbor symbolov, to znamená, že určujú zákon vývoja embrya. Prevádzkovať
pravidlá sú nasledovné: čítame každý symbol axiómy v poradí a nahrádzame
na slovo uvedené v pravidle nahrádzania.

Takže po prečítaní axiómy raz dostaneme nový riadok
znaky, na ktoré opäť aplikujeme rovnaký postup. Krok za krokom
objavuje sa čoraz dlhší reťazec – každý z týchto krokov môže byť
považovaný za jednu z po sebe nasledujúcich etáp vo vývoji „organizmu“.
Obmedzením počtu krokov určite, kedy sa vývoj považuje za dokončený.

VZNIK TEÓRIE FRAKTÁLOV

Benoita Mandelbrota možno právom považovať za otca fraktálov.
Mandelbrot je vynálezcom pojmu „fraktál“. Mandelbrot
napísal: „Prišiel som so slovom „fraktál“ založeným na latinčine
prídavné meno „fractus“, čo znamená nepravidelný, rekurzívny,
fragmentárne. Prvú definíciu fraktálov uviedol aj B. Mandelbrot:

Fraktál je sebepodobná štruktúra, od ktorej obraz nezávisí
stupnica. Ide o rekurzívny model, ktorého každá časť sa opakuje vo svojom
vývoj vývoj celého modelu ako celku.

K dnešnému dňu existuje veľa rôznych matematických modelov
fraktály. Charakteristickým znakom každého z nich je to
sú založené na nejakej rekurzívnej funkcii, napríklad: xi=f(xi-1).
S využitím počítačov majú výskumníci možnosť získať
grafické obrázky fraktálov. Najjednoduchšie modely nevyžadujú veľké
výpočty a možno ich realizovať priamo na hodine informatiky, pričom
iné modely sú také náročné na výkon počítača, že sú
implementácia sa vykonáva pomocou superpočítača. Mimochodom, v USA
fraktálne modely študuje Národné aplikačné centrum
pre superpočítače (NCSA). V tejto práci chceme iba ukázať
niekoľko fraktálových modelov, ktoré sa nám podarilo získať.

Model Mandelbrot.

Benoit Mandelbrot navrhol fraktálny model, ktorý sa už stal
klasické a často sa používa na predvedenie toho, aké typické
príklad samotného fraktálu a demonštrovať krásu fraktálov,
čo láka aj výskumníkov, umelcov, len
záujemcov.

Matematický popis modelu je nasledovný: na komplexnej rovine v
vypočíta sa nejaký interval pre každý bod s rekurzívnou funkciou
Z=Z2+c. Zdalo by sa, čo je na tejto funkcii také zvláštne? Ale po N
opakovania tohto postupu pre výpočet súradníc bodov, na
zložitá rovina, objaví sa prekvapivo krásna postava, niečo
hruškovitý.

V Mandelbrotovom modeli je meniaci sa faktor východiskovým bodom
c a parameter z je závislý. Preto zostaviť fraktál
Mandelbrot existuje pravidlo: počiatočná hodnota z je nula (z=0)!
Toto obmedzenie je zavedené tak, že prvá derivácia funkcie
z v počiatočnom bode sa rovnalo nule. A to znamená, že v úvodnom
bod, funkcia má minimum a odteraz bude trvať len
veľké hodnoty.

Chceme poznamenať, že ak má fraktálny rekurzívny vzorec iný
zobrazenie, potom by ste mali zvoliť inú hodnotu počiatočného bodu
parameter Z. Napríklad, ak vzorec vyzerá ako z=z2+z+c, potom počiatočné
bod bude:

2*z+1=0???z= -1/2.

V tejto práci máme možnosť priniesť obrázky fraktálov,
ktoré boli postavené v NCSA. Obrázkové súbory sme dostali cez
Internetová sieť.

Obr.1 Mandelbrotov fraktál

Matematický model Mandelbrotovho fraktálu už poznáte. teraz my
Ukážme si, ako je to implementované graficky. Východiskový bod modelu
rovná sa nule. Graficky zodpovedá stredu tela hrušky. Prostredníctvom N
kroky vyplnia celé telo hrušky aj v mieste, kde končila
pri poslednej iterácii sa začína formovať „hlava“ fraktálu.
„Hlava“ fraktálu bude presne štyrikrát menšia ako telo
matematický vzorec fraktálu je štvorec
polynóm. Potom sa opäť po N iteráciách začne formovať „telo“.
„oblička“ (vpravo a naľavo od „tela“). Atď. Čím viac daný
počet iterácií N, tým detailnejší bude obraz fraktálu,
tým viac rôznych procesov bude mať. Schematické znázornenie
Rastové štádiá Mandelbrotovho fraktálu sú znázornené na obr. 2:

Obr.2 Schéma vzniku Mandelbrotovho fraktálu

Obrázky 1 a 2 ukazujú, že každá nasledujúca formácia na "telo"
presne opakuje vo svojej štruktúre samotné telo. Toto je charakteristické
vlastnosť, že tento model je fraktál.

Nasledujúce obrázky ukazujú, ako sa zmení poloha bodu,
zodpovedajúce parametru z, pre rôzne počiatočné polohy bodu
c.

A) Východiskový bod v „tele“ B) Východiskový bod
bodka v hlave

C) Východiskový bod v „obličke“ D) Východiskový bod v
„oblička“ druhej úrovne

E) Východiskový bod v „obličke“ tretej úrovne

Z obrázkov A - E je jasne vidieť, ako s každým krokom viac a viac
štruktúra fraktálu sa stáva komplikovanejšou a parameter z je čoraz zložitejší
trajektórie.

Obmedzenia Mandelbrotovho modelu: existujú dôkazy, že v
model Mandelbrot |z|

Model Julia (súprava Julia)

Fraktálny model Julia má rovnakú rovnicu ako model
Mandelbrot: Z=Z2+c, len tu je premenný parameter
nie c, ale z.

V súlade s tým sa odteraz mení celá štruktúra fraktálov
štartovacia pozícia nepodlieha žiadnym obmedzeniam. Medzi
modely Mandelbrot a Julia, tam je taký rozdiel: ak model
Mandelbrot je statický (keďže počiatočné z je vždy
nula), potom model Julia je dynamický fraktálový model. Na
ryža. 4 znázorňuje grafické znázornenie fraktálu Julia.

Ryža. 4 Modelka Júlia

Ako vidno z kresby fraktálu, je symetrický vzhľadom k stredu
bodkovaný tvar, zatiaľ čo Mandelbrotov fraktál má tvar, ktorý je symetrický
okolo osi.

Sierpinski koberec

Koberec Sierpinski je považovaný za ďalší fraktálny model. Je vo výstavbe
takto: vezme sa štvorec, ktorý sa rozdelí na deväť štvorcov,
vystrihnite centrálny štvorec. Potom s každým z ôsmich zostávajúcich
štvorcov sa vykonáva podobný postup. A tak ďalej do nekonečna. AT
Výsledkom je, že namiesto celého štvorca dostaneme koberec so zvláštnosťou
symetrický vzor. Tento model prvýkrát navrhol matematik
Sierpinsky, po ktorom dostal svoje meno. Príklad koberca
Sierpinského je možné vidieť na obr. 4d.

Obr.4 Konštrukcia koberca Sierpinski

4. Kochova krivka

Začiatkom 20. storočia hľadali matematici krivky, ktoré nikde inde nenašli.
body nemajú dotyčnicu. To znamenalo, že krivka sa náhle zmenila
smere a navyše enormne vysokou rýchlosťou (deriv
sa rovná nekonečnu). Hľadanie týchto kriviek nebolo spôsobené jednoducho tým
nečinný záujem matematikov. Faktom je, že na začiatku dvadsiateho storočia veľmi
kvantová mechanika sa rýchlo rozvíjala. Výskumník M.Brown
načrtol trajektóriu pohybu suspendovaných častíc vo vode a vysvetlil to
jav je nasledovný: náhodne sa pohybujúce atómy kvapaliny sa zrážajú s
suspendované častice a tým ich uviesť do pohybu. Po takomto
vysvetlenia Brownovho pohybu boli vedci postavení pred úlohu nájsť taký
krivka, ktorá najlepšie aproximuje pohyb
Brownove častice. Na to musela krivka zodpovedať nasledujúcemu
vlastnosti: nemajú v žiadnom bode dotyčnicu. Matematik Koch
navrhol jednu takúto krivku. Nebudeme zachádzať do vysvetľovania
pravidlá pre jeho konštrukciu, ale jednoducho dať svoj obraz, z ktorého všetky
sa vyjasní (obr. 5).

Obr.5 Etapy konštrukcie Kochovej krivky

Kochova krivka je ďalším príkladom fraktálu, pretože každý z nich
časť je zmenšený obraz celej krivky.

6. Grafické obrázky rôznych fraktálov

V tomto odseku sme sa rozhodli umiestniť grafické obrázky rôznych
fraktály, ktoré sme dostali z internetu. Bohužiaľ nie sme
dokázali nájsť matematický popis týchto fraktálov, ale aby
na pochopenie ich krásy stačia iba kresby.

Ryža. 6 Príklady grafického znázornenia fraktálov

II ODDIEL

APLIKÁCIA TEÓRIE FRAKTÁLOV V EKONOMIKE

TECHNICKÁ ANALÝZA FINANČNÝCH TRHOV

Finančný trh vo vyspelých krajinách sveta existuje už viac ako sto
rokov. Po stáročia ľudia kupovali a predávali cenné papiere.
Tento typ obchodov s cennými papiermi prinášal účastníkom trhu príjem
pretože ceny akcií a dlhopisov neustále kolísali,
sa neustále menili. Po stáročia ľudia kupovali cenné papiere na
rovnakú cenu a predávali sa, keď zdraželi. Ale niekedy
očakávania kupujúceho sa nenaplnili a ceny za nakúpené papiere sa spustili
pád, teda nielenže nedostával príjem, ale aj trpel
straty. Po veľmi dlhú dobu nikto nepremýšľal o tom, prečo sa to deje:
cena stúpa a potom klesá. Ľudia jednoducho videli výsledok akcie a nevideli
premýšľal o kauzálnom mechanizme, ktorý to generuje.

To sa stalo, kým americký finančník, jeden z
vydavateľov známych novín „Financial Times“, Charles Dow nie
publikoval množstvo článkov, v ktorých vysvetlil svoje názory
fungovanie finančného trhu. Dow si všimol, že ceny akcií
podlieha cyklickým výkyvom: po dlhom období rastu,
dlhý pád, potom ďalší vzostup a pád. teda
Charles Dow si prvýkrát všimol, že je možné predpovedať budúcnosť
správanie sa ceny akcie, ak je pre niektorých známy jej smer
posledné obdobie.

Obr.1 Cenové správanie podľa Ch.Dowa

Následne na základe objavov Ch.Dowa vznikol celok
teória technickej analýzy finančného trhu, ktorú získala
s názvom Dow Theory. Táto teória sa datuje do deväťdesiatych rokov
devätnástom storočí, keď C. Dow publikoval svoje články.

Technická analýza trhov je metóda predpovedania budúcnosti
správanie cenového trendu, na základe poznania histórie jeho správania.
Technická analýza na predpovedanie využíva matematické
vlastnosti trendov, nie ekonomická výkonnosť cenných papierov.

V polovici dvadsiateho storočia, keď sa celý vedecký svet zaujímal iba o
že vznikajúca teória fraktálov, ďalší známy Američan
finančník Ralph Elliot navrhol svoju teóriu správania sa cien akcií,
ktorá bola založená na použití teórie fraktálov.

Elliot vychádzal z toho, že geometria fraktálov neexistuje.
nielen v živej prírode, ale aj v spoločenských procesoch. verejnosti
Procesy pripisoval obchodovaniu s akciami na burze.

ELLIOTOVÁ TEÓRIA VLNOV

Elliot Wave Theory je jednou z najstarších technických teórií.
analýza. Od jej vzniku do nej neprispieval nikto z užívateľov
akékoľvek výrazné zmeny. Naopak, všetko úsilie smerovalo k
že princípy sformulované Elliotom sa rysovali viac a
jasnejšie. Výsledok je zrejmý. S pomocou Elliotovej teórie,
najlepšie predpovede pre pohyb amerického indexu Dow Jones.

Základom teórie je takzvaný vlnový diagram. Vlna je
rozoznateľný pohyb cien. Dodržiavanie pravidiel rozvoja hmoty
psychologické správanie, všetky cenové pohyby sú rozdelené do piatich vĺn v
smer silnejšieho trendu a tri vlny v opačnom smere
smer. Napríklad v prípade dominantného trendu uvidíme päť
vlny pri pohybe ceny nahor a tri - pri pohybe (korekcii) nadol.

Na označenie päťvlnového trendu sa používajú čísla a pre
opačná trojvlna - písmená. Každý z piatich vlnových pohybov
nazývaný impulz, a každý z troch vyhral - opravný. Takže
každá z vĺn 1,3,5, A a C je impulzná a 2,4 a B -
nápravné.

Ryža. 7 Elliottova vlnová tabuľka

Elliot bol jedným z prvých, ktorí jasne definovali fungovanie geometrie
Fraktály v prírode, v tomto prípade - v cenovom grafe. On
naznačil, že v každom z práve zobrazených impulzov a
korekčné vlny je tiež Elliotova vlnová tabuľka.
Na druhej strane môžu byť tieto vlny tiež rozložené na zložky atď
Ďalej. Elliot teda aplikoval teóriu fraktálov na rozklad
trend do menších a zrozumiteľnejších častí. Znalosť týchto častí vo viac
menšia mierka ako najväčší priebeh je dôležitá, pretože
že obchodníci (účastníci finančného trhu), vediac v akej časti
grafy, v ktorých sa nachádzajú, môžu s istotou predať cenné papiere, keď
spustí sa korekčná vlna a mala by si ich kúpiť, keď sa rozbehne
impulzná vlna.

Obr.8 Fraktálna štruktúra Elliottovho diagramu

FIBONACCCIHO ČÍSLA A VLNY CHARAKTERISTIKA

Ralph Elliot prvýkrát prišiel s myšlienkou použitia číselnej postupnosti
Fibonacciho za tvorbu prognóz v rámci technickej analýzy. S
pomocou Fibonacciho čísel a koeficientov môžete predpovedať dĺžku
každú vlnu a čas jej ukončenia. Bez toho, aby sme sa dotkli otázky času,
Prejdime k najčastejšie používaným pravidlám na určenie dĺžky
Elliot máva. Pod dĺžkou v tomto prípade myslíme
rast alebo pokles cien.

impulzné vlny.

Vlna 3 má zvyčajne dĺžku 1,618 vlny 1, menej často - rovná
jej.

Dve z impulzných vĺn majú často rovnakú dĺžku, zvyčajne vlny 5
a 1. Zvyčajne sa to stane, ak je vlnová dĺžka 3 menšia ako 1,618
vlnová dĺžka 1.

Často existuje pomer, v ktorom sa vlnová dĺžka 5 rovná 0,382
alebo 0,618 vzdialenosť prejdenú cenou od začiatku vlny 1 do konca
vlny 3.

Opravy

Dĺžky korekčných vĺn tvoria určitý koeficient
Fibonacciho z dĺžky predchádzajúcej impulznej vlny. V súlade s
podľa pravidla o striedaní sa vlny 2 a 4 musia striedať v percentách
pomer. Najbežnejší príklad je nasledujúci:
vlna 2 bola 61,8 % vlny 1, zatiaľ čo vlna 4 mohla byť
len 38,2 % alebo 50 % vlny 3.

ZÁVER

V našej práci nie sú dané všetky oblasti ľudského poznania,
kde našla svoje uplatnenie teória fraktálov. Len to chceme povedať
od vzniku teórie neuplynulo viac ako tretina storočia, ale pre toto
časové fraktály sa pre mnohých výskumníkov stali náhlym jasným svetlom
v nociach, ktoré osvetľovali dosiaľ neznáme skutočnosti a vzorce v
špecifické dátové oblasti. Pomocou teórie fraktálov sa začalo vysvetľovať
vývoj galaxií a vývoj bunky, vznik hôr a formovanie
mraky, pohyb cien na burze a rozvoj spoločnosti a rodiny. Možno
možno spočiatku bola táto vášeň pre fraktály dokonca príliš
búrlivé a pokusy všetko vysvetliť pomocou teórie fraktálov boli
neopodstatnené. Ale táto teória má na to bezpochyby právo
existencie a ľutujeme, že sa na to v poslednom čase akosi zabúda
a zostal údelom vyvolených. Pri príprave tejto práce sme
Je veľmi zaujímavé nájsť aplikácie TEÓRIE v PRAXI. pretože
veľmi často vzniká pocit, že teoretické vedomosti sú in
ďaleko od skutočného života.

Na záver našej práce chceme priniesť nadšené slová
krstný otec teórie fraktálov, Benoit Mandelbrot: „Geometria prírody
fraktál! V súčasnosti to znie rovnako odvážne a absurdne
slávne zvolanie G. Galilea: „Ale stále sa točí!“ v XVI
storočí.

ZOZNAM POUŽITÝCH ZDROJOV

Sheipak ​​I.A. Fraktály, graftály, kríky… //Chémia a život. 1996 №6

Pochopenie chaosu //Chémia a život. 1992 №8

Erlich A. Technická analýza komoditných a akciových trhov, M: Infra-M, 1996

Materiály z internetu.

Fibonacciho sekvencia - sekvencia navrhnutá v roku 1202
od stredovekého matematika Leonarda Fibonacciho. Vzťahuje sa na druh
návratové sekvencie. a1=1, a2=1, ai=ai-1+ai-2.
Fibonacciho koeficienty - podiel delenia dvoch susedných členov
Fibonacciho sekvencie: K1=ai/ai-1=1,618,

K2=ai-1/ai=0,618. Tieto koeficienty sú tzv
„zlatý rez“.

cena akcií

graf cien akcií

Brilantné objavy vo vede často môžu radikálne zmeniť naše životy. Takže napríklad vynález vakcíny môže zachrániť veľa ľudí a vytvorenie novej zbrane vedie k vražde. Doslova včera (v meradle histórie) človek „skrotil“ elektrinu a dnes si už bez nej nevie predstaviť svoj život. Sú však aj také objavy, ktoré, ako sa hovorí, zostávajú v tieni, a to aj napriek tomu, že aj ony majú určitý vplyv na náš život. Jedným z týchto objavov bol fraktál. Väčšina ľudí o takomto pojme ani nepočula a nebude si vedieť vysvetliť jeho význam. V tomto článku sa pokúsime vysporiadať s otázkou, čo je fraktál, zvážiť význam tohto pojmu z hľadiska vedy a prírody.

Poriadok v chaose

Aby sme pochopili, čo je fraktál, mali by sme začať s debriefingom z pozície matematiky, ale skôr ako sa do toho ponoríme, trochu si zafilozofujeme. Každý človek má v sebe prirodzenú zvedavosť, vďaka ktorej spoznáva svet okolo seba. V túžbe po poznaní sa často snaží vo svojich úsudkoch operovať s logikou. Takže analyzujúc procesy, ktoré prebiehajú okolo, sa pokúša vypočítať vzťahy a odvodiť určité vzorce. Najväčšie mysle na planéte sú zaneprázdnené riešením týchto problémov. Zhruba povedané, naši vedci hľadajú vzory tam, kde nie sú a ani by nemali byť. Napriek tomu aj v chaose existuje spojenie medzi určitými udalosťami. Toto spojenie je fraktál. Ako príklad si uveďme zlomený konár ležiaci na ceste. Ak sa naň pozrieme pozorne, uvidíme, že so všetkými svojimi vetvami a uzlami sám vyzerá ako strom. Táto podobnosť samostatnej časti s jediným celkom svedčí o takzvanom princípe rekurzívnej sebapodobnosti. Fraktály v prírode možno nájsť neustále, pretože mnoho anorganických a organických foriem vzniká podobným spôsobom. Sú to oblaky a morské ulity, ulity slimákov a koruny stromov a dokonca aj obehový systém. Tento zoznam môže pokračovať donekonečna. Všetky tieto náhodné tvary sú ľahko opísané fraktálnym algoritmom. Tu sa dostávame k úvahe o tom, čo je fraktál z hľadiska exaktných vied.

Pár suchých faktov

Samotné slovo „fraktál“ je preložené z latinčiny ako „čiastočný“, „rozdelený“, „fragmentovaný“ a pokiaľ ide o obsah tohto pojmu, neexistuje žiadne znenie ako také. Zvyčajne sa s ňou zaobchádza ako so sebepodobnou zostavou, časťou celku, ktorá sa svojou štruktúrou opakuje na mikroúrovni. Tento termín zaviedol v sedemdesiatych rokoch dvadsiateho storočia Benoit Mandelbrot, ktorý je uznávaný ako otec. Dnes pojem fraktál znamená grafické znázornenie určitej štruktúry, ktorá po zväčšení bude podobná sebe samej. Matematický základ pre vytvorenie tejto teórie bol však položený ešte pred narodením samotného Mandelbrota, ale nemohol sa rozvíjať, kým sa neobjavili elektronické počítače.

Historický odkaz alebo ako to všetko začalo

Na prelome 19. a 20. storočia bolo štúdium povahy fraktálov epizodické. Je to spôsobené tým, že matematici uprednostňovali štúdium objektov, ktoré možno skúmať na základe všeobecných teórií a metód. V roku 1872 zostrojil nemecký matematik K. Weierstrass príklad spojitej funkcie, ktorá nie je nikde diferencovateľná. Táto konštrukcia sa však ukázala ako úplne abstraktná a ťažko pochopiteľná. Ďalej prišiel Švéd Helge von Koch, ktorý v roku 1904 postavil súvislú krivku, ktorá nikde nemá dotyčnicu. Je celkom ľahké ho kresliť a ako sa ukázalo, vyznačuje sa fraktálnymi vlastnosťami. Jeden z variantov tejto krivky bol pomenovaný po jej autorovi – „Kochova vločka“. Ďalej myšlienku sebapodobnosti postáv rozvinul budúci mentor B. Mandelbrota, Francúz Paul Levy. V roku 1938 publikoval prácu „Rovina a priestorové krivky a povrchy pozostávajúce z častí ako celku“. V ňom opísal nový druh – Levyho C-krivku. Všetky vyššie uvedené obrázky podmienečne označujú takúto formu ako geometrické fraktály.

Dynamické alebo algebraické fraktály

Do tejto triedy patrí súprava Mandelbrot. Prvými výskumníkmi v tomto smere sa stali francúzski matematici Pierre Fatou a Gaston Julia. V roku 1918 Julia publikovala prácu založenú na štúdiu iterácií racionálnych komplexných funkcií. Tu opísal rodinu fraktálov, ktoré úzko súvisia s Mandelbrotovou množinou. Napriek tomu, že toto dielo preslávilo autora medzi matematikmi, rýchlo sa naň zabudlo. A len o pol storočia neskôr vďaka počítačom dostala Juliina práca druhý život. Počítače umožnili každému človeku zviditeľniť krásu a bohatstvo sveta fraktálov, ktoré mohli matematici „vidieť“ tým, že ich zobrazovali prostredníctvom funkcií. Mandelbrot ako prvý použil počítač na výpočty (manuálne nie je možné takýto objem vykonať), čo umožnilo vytvoriť obraz o týchto číslach.

Muž s priestorovou predstavivosťou

Mandelbrot začal svoju vedeckú kariéru vo výskumnom stredisku IBM. Pri skúmaní možností prenosu údajov na veľké vzdialenosti vedci čelili skutočnosti veľkých strát, ktoré vznikli v dôsledku rušenia šumom. Benoit hľadal spôsoby, ako tento problém vyriešiť. Pri pohľade na výsledky meraní upozornil na zvláštny vzorec, konkrétne: grafy hluku vyzerali rovnako v rôznych časových mierkach.

Podobný obraz bol pozorovaný tak počas jedného dňa, ako aj počas siedmich dní alebo počas jednej hodiny. Sám Benoit Mandelbrot často opakoval, že nepracuje so vzorcami, ale hrá sa s obrázkami. Tento vedec sa vyznačoval nápaditým myslením, preložil akýkoľvek algebraický problém do geometrickej oblasti, kde je zrejmá správna odpoveď. Nie je teda prekvapujúce, že sa vyznamenal bohatými a stal sa otcom fraktálnej geometrie. Koniec koncov, uvedomenie si tejto postavy môže prísť len vtedy, keď budete študovať kresby a premýšľať o význame týchto zvláštnych vírov, ktoré tvoria vzor. Fraktálne kresby nemajú identické prvky, ale sú podobné v akejkoľvek mierke.

Júlia - Mandelbrot

Jednou z prvých kresieb tejto figúry bola grafická interpretácia výpravy, ktorá sa zrodila vďaka dielu Gastona Juliu a finalizoval ju Mandelbrot. Gaston sa snažil predstaviť si, ako vyzerá súprava, keď je zostavená z jednoduchého vzorca, ktorý je opakovaný spätnou väzbou. Pokúsme sa vysvetliť, čo bolo povedané ľudskou rečou, takpovediac na prstoch. Pre konkrétnu číselnú hodnotu pomocou vzorca nájdeme novú hodnotu. Dosadíme ho do vzorca a zistíme nasledovné. Výsledok je veľký. Ak chcete reprezentovať takýto súbor, musíte túto operáciu vykonať veľakrát: stovky, tisíce, milióny. Toto urobil Benoit. Postupnosť spracoval a výsledky preniesol do grafickej podoby. Následne výsledný obrazec vyfarbil (každá farba zodpovedá určitému počtu opakovaní). Tento grafický obrázok sa nazýva Mandelbrotov fraktál.

L. Carpenter: umenie vytvorené prírodou

Teória fraktálov rýchlo našla praktické uplatnenie. Keďže to veľmi úzko súvisí s vizualizáciou sebepodobných obrazov, prví, ktorí prijali princípy a algoritmy na zostavenie týchto nezvyčajných foriem, boli umelci. Prvou z nich bola budúca zakladateľka štúdia Pixar Lauren Carpenter. Pri práci na prezentácii prototypov lietadiel prišiel na nápad použiť ako pozadie obrázok hôr. S takouto úlohou si dnes poradí takmer každý používateľ počítača a v sedemdesiatych rokoch minulého storočia počítače takéto procesy vykonávať nedokázali, pretože v tom čase ešte neexistovali grafické editory a aplikácie pre trojrozmernú grafiku. Loren natrafil na Mandelbrotove fraktály: tvar, náhodnosť a dimenzia. Benois v ňom uviedol mnoho príkladov, ktoré ukazujú, že v prírode existujú fraktály (fiva), opísal ich rôzne formy a dokázal, že sa dajú ľahko opísať matematickými výrazmi. Matematik uviedol túto analógiu ako argument pre užitočnosť teórie, ktorú rozvíjal v reakcii na vlnu kritiky od svojich kolegov. Tvrdili, že fraktál je len krásnym bezcenným obrazom, vedľajším produktom elektronických strojov. Carpenter sa rozhodol vyskúšať túto metódu v praxi. Po dôkladnom preštudovaní knihy budúci animátor začal hľadať spôsob, ako implementovať fraktálnu geometriu v počítačovej grafike. Vykreslenie úplne realistického obrazu horskej krajiny na počítači mu trvalo len tri dni. A dnes je tento princíp široko používaný. Ako sa ukázalo, vytváranie fraktálov nezaberie veľa času a úsilia.

Tesárske rozhodnutie

Princíp, ktorý použila Lauren, sa ukázal byť jednoduchý. Spočíva v rozdelení väčších na menšie prvky a tie na podobné menšie atď. Carpenter ich pomocou veľkých trojuholníkov rozdrvil na 4 malé a tak ďalej, až kým nezískal realistickú horskú krajinu. Stal sa tak prvým umelcom, ktorý použil fraktálny algoritmus v počítačovej grafike na vytvorenie požadovaného obrazu. Dnes sa tento princíp používa na simuláciu rôznych realistických prírodných foriem.

Prvá 3D vizualizácia založená na fraktálnom algoritme

O niekoľko rokov neskôr Lauren aplikoval svoju prácu vo veľkom projekte - animovanom videu Vol Libre, uvedenom na Siggraph v roku 1980. Toto video mnohých šokovalo a jeho tvorca bol pozvaný do Lucasfilmu. Tu sa animátor mohol plne realizovať, vytvoril trojrozmerné krajiny (celú planétu) pre celovečerný film "Star Trek". Akýkoľvek moderný program ("Fractals") alebo aplikácia na vytváranie trojrozmernej grafiky (Terragen, Vue, Bryce) používa rovnaký algoritmus na modelovanie textúr a povrchov.

Tom Beddard

Beddard, bývalý laserový fyzik a teraz digitálny umelec a umelec, vytvoril sériu veľmi zaujímavých geometrických tvarov, ktoré nazval Fabergeho fraktály. Navonok pripomínajú dekoratívne vajcia ruského klenotníka, majú rovnaký brilantný zložitý vzor. Beddard použil metódu šablóny na vytvorenie svojich digitálnych stvárnení modelov. Výsledné produkty sú pozoruhodné svojou krásou. Hoci mnohí odmietajú porovnávať handmade výrobok s počítačovým programom, treba uznať, že výsledné formy sú neobyčajne krásne. Vrcholom je, že každý môže vytvoriť takýto fraktál pomocou softvérovej knižnice WebGL. Umožňuje vám skúmať rôzne fraktálne štruktúry v reálnom čase.

fraktály v prírode

Len málo ľudí venuje pozornosť, ale tieto úžasné postavy sú všade. Prírodu tvoria sebepodobné postavy, len si to nevšímame. Stačí sa pozrieť cez lupu na našu kožu alebo list stromu a uvidíme fraktály. Alebo si vezmite napríklad ananás alebo dokonca páví chvost - pozostávajú z podobných figúrok. A odroda brokolice Romanescu je vo všeobecnosti pozoruhodná svojim vzhľadom, pretože ju možno skutočne nazvať zázrakom prírody.

Hudobná pauza

Ukazuje sa, že fraktály nie sú len geometrické tvary, môžu to byť aj zvuky. Hudobník Jonathan Colton teda píše hudbu pomocou fraktálnych algoritmov. Tvrdí, že zodpovedá prirodzenej harmónii. Skladateľ zverejňuje všetky svoje diela pod licenciou CreativeCommons Attribution-Noncommerce, ktorá zabezpečuje bezplatné šírenie, kopírovanie, prenos diel inými osobami.

Fraktálny indikátor

Táto technika našla veľmi neočakávané uplatnenie. Na jeho základe bol vytvorený nástroj na analýzu burzového trhu a vďaka tomu sa začal používať na devízovom trhu. Fraktálový indikátor sa teraz nachádza na všetkých obchodných platformách a používa sa v obchodnej technike nazývanej prelomenie cien. Túto techniku ​​vyvinul Bill Williams. Ako autor komentuje svoj vynález, tento algoritmus je kombináciou niekoľkých „sviec“, v ktorých centrálna odráža maximálny alebo naopak minimálny krajný bod.

Konečne

Takže sme zvážili, čo je fraktál. Ukazuje sa, že v chaose, ktorý nás obklopuje, sú v skutočnosti ideálne formy. Príroda je najlepší architekt, ideálny staviteľ a inžinier. Je usporiadaný veľmi logicky a ak nenájdeme vzor, ​​neznamená to, že neexistuje. Možno sa budete musieť pozrieť na inú škálu. Môžeme s istotou povedať, že fraktály stále uchovávajú veľa tajomstiev, ktoré ešte musíme objaviť.

Ahoj všetci! Moje meno je, Ribenek Valeria, Uljanovsk a dnes uverejním niekoľko svojich vedeckých článkov na stránke LCI.

Môj prvý vedecký článok na tomto blogu bude venovaný fraktály. Hneď poviem, že moje články sú určené takmer každému publiku. Tie. Dúfam, že budú zaujímavé pre školákov aj študentov.

Nedávno som sa dozvedel o takých zaujímavých objektoch matematického sveta, ako sú fraktály. Ale existujú nielen v matematike. Obklopujú nás všade. Fraktály sú prirodzené. O tom, čo sú fraktály, o typoch fraktálov, o príkladoch týchto objektov a ich aplikácii, poviem v tomto článku. Na začiatok vám stručne poviem, čo je to fraktál.

Fraktál(lat. fractus - rozdrvený, zlomený, zlomený) je zložitý geometrický útvar, ktorý má vlastnosť sebapodobnosti, to znamená, že sa skladá z niekoľkých častí, z ktorých každá je podobná celej postave ako celku. V širšom zmysle sú fraktály chápané ako množiny bodov v euklidovskom priestore, ktoré majú zlomkovú metrickú dimenziu (v zmysle Minkowského alebo Hausdorffa), alebo inú ako topologickú dimenziu. Napríklad vložím obrázok štyroch rôznych fraktálov.

Dovoľte mi povedať vám niečo o histórii fraktálov. Koncepty fraktálnej a fraktálnej geometrie, ktoré sa objavili koncom 70. rokov, pevne vstúpili do každodenného života matematikov a programátorov od polovice 80. rokov. Slovo „fraktál“ zaviedol Benoit Mandelbrot v roku 1975 na označenie nepravidelných, ale sebe podobných štruktúr, ktoré študoval. Zrod fraktálnej geometrie sa zvyčajne spája s vydaním Mandelbrotovej knihy The Fractal Geometry of Nature v roku 1977. Vo svojich prácach využíval vedecké výsledky iných vedcov, ktorí pôsobili v období 1875-1925 v rovnakej oblasti (Poincaré, Fatou, Julia, Kantor, Hausdorff). Ale iba v našej dobe bolo možné spojiť ich prácu do jedného systému.

Existuje veľa príkladov fraktálov, pretože, ako som povedal, obklopujú nás všade. Podľa mňa aj celý náš Vesmír je jeden obrovský fraktál. Koniec koncov, všetko v ňom, od štruktúry atómu až po štruktúru samotného vesmíru, sa presne opakuje. Existujú však, samozrejme, aj konkrétnejšie príklady fraktálov z rôznych oblastí. Fraktály sú napríklad prítomné v komplexnej dynamike. Tam sa prirodzene objavujú pri štúdiu nelineárnych dynamických systémov. Najviac študovaný je prípad, keď je dynamický systém špecifikovaný iteráciami polynóm alebo holomorfné funkcia komplexu premenných na povrchu. Niektoré z najznámejších fraktálov tohto druhu sú Julia množina, Mandelbrotova množina a Newtonove panvy. Nižšie, v poradí, obrázky zobrazujú každý z vyššie uvedených fraktálov.

Ďalším príkladom fraktálov sú fraktálne krivky. Najlepšie je vysvetliť, ako zostaviť fraktál na príklade fraktálových kriviek. Jednou takouto krivkou je takzvaná Kochova snehová vločka. Na získanie fraktálnych kriviek v rovine existuje jednoduchý postup. Definujeme ľubovoľnú prerušovanú čiaru s konečným počtom väzieb, nazývanú generátor. Ďalej v ňom nahradíme každý segment generátorom (presnejšie prerušovanou čiarou podobnou generátoru). Vo výslednej prerušovanej čiare opäť nahradíme každý segment generátorom. Pokračujúc do nekonečna, v limite dostaneme fraktálnu krivku. Nižšie je znázornená Kochova snehová vločka (alebo krivka).

Existuje tiež veľa fraktálnych kriviek. Najznámejšie z nich sú už spomínaná Kochova snehová vločka, ďalej Levyho krivka, Minkowského krivka, zlomený drak, klavírna krivka a Pythagorejský strom. Obraz týchto fraktálov a ich históriu, myslím, ak chcete, ľahko nájdete na Wikipédii.

Tretím príkladom alebo druhom fraktálov sú stochastické fraktály. Medzi takéto fraktály patrí trajektória Brownovho pohybu v rovine a v priestore, Schramm-Löwnerove evolúcie, rôzne typy randomizovaných fraktálov, teda fraktály získané pomocou rekurzívnej procedúry, v ktorej sa v každom kroku zavádza náhodný parameter.

Existujú aj čisto matematické fraktály. Ide napríklad o sadu Cantor, hubku Menger, trojuholník Sierpinski a iné.

Ale možno najzaujímavejšie fraktály sú prírodné. Prírodné fraktály sú objekty v prírode, ktoré majú fraktálne vlastnosti. A už existuje veľký zoznam. Nebudem uvádzať všetko, pretože pravdepodobne nemôžem vymenovať všetky, ale o niektorých poviem. Napríklad v živej prírode medzi takéto fraktály patrí náš obehový systém a pľúca. A tiež koruny a listy stromov. Tiež tu možno pripísať hviezdice, morské ježovky, koraly, morské mušle, niektoré rastliny, ako je kapusta alebo brokolica. Nižšie je jasne zobrazených niekoľko takýchto prirodzených fraktálov z voľne žijúcich živočíchov.

Ak vezmeme do úvahy neživú prírodu, potom existuje oveľa zaujímavejších príkladov ako v živej prírode. Blesky, snehové vločky, oblaky, každému známe, vzory na oknách v mrazivých dňoch, kryštály, pohoria - to všetko sú príklady prírodných fraktálov z neživej prírody.

Zvažovali sme príklady a typy fraktálov. Čo sa týka využitia fraktálov, tie sa využívajú v rôznych oblastiach poznania. Vo fyzike fraktály prirodzene vznikajú pri modelovaní nelineárnych procesov, ako je turbulentné prúdenie tekutín, zložité difúzno-adsorpčné procesy, plamene, oblaky atď. Fraktály sa používajú pri modelovaní poréznych materiálov, napríklad v petrochémii. V biológii sa používajú na modelovanie populácií a na popis systémov vnútorných orgánov (systém krvných ciev). Po vytvorení Kochovej krivky sa navrhlo použiť ju pri výpočte dĺžky pobrežia. Fraktály sa tiež aktívne používajú v rádiovom inžinierstve, v informatike a výpočtovej technike, telekomunikáciách a dokonca aj v ekonomike. A samozrejme, fraktálne videnie sa aktívne používa v súčasnom umení a architektúre. Tu je jeden príklad fraktálnych malieb:

A tak si myslím, že týmto dokončím svoj príbeh o takom nezvyčajnom matematickom jave, akým je fraktál. Dnes sme sa dozvedeli o tom, čo je fraktál, ako sa objavil, o typoch a príkladoch fraktálov. A tiež som hovoril o ich aplikácii a názorne som demonštroval niektoré fraktály. Dúfam, že sa vám táto krátka exkurzia do sveta úžasných a očarujúcich fraktálnych objektov páčila.