Prednáška 9

Analytická geometria v priestore.

Všeobecná rovnica roviny.

Definícia. lietadlo nazýva sa povrch, ktorého všetky body spĺňajú všeobecnú rovnicu:

Ax + By + Cz + D = 0,

kde A, B, C sú súradnice vektora -vektora normálnosti do lietadla.

Možné sú tieto špeciálne prípady:

A \u003d 0 - rovina je rovnobežná s osou Ox

B \u003d 0 - rovina je rovnobežná s osou Oy

C \u003d 0 - rovina je rovnobežná s osou Oz

D = 0 - rovina prechádza počiatkom

A \u003d B \u003d 0 - rovina je rovnobežná s rovinou xOy

A \u003d C \u003d 0 - rovina je rovnobežná s rovinou xOz

B = C = 0 - rovina je rovnobežná s rovinou yOz

A \u003d D \u003d 0 - rovina prechádza cez os Ox

B \u003d D \u003d 0 - rovina prechádza cez os Oy

C \u003d D \u003d 0 - rovina prechádza cez os Oz

A \u003d B \u003d D \u003d 0 - rovina sa zhoduje s rovinou xOy

A = C = D = 0 - rovina sa zhoduje s rovinou xOz

B = C = D = 0 - rovina sa zhoduje s rovinou yOz

Rovnica roviny prechádzajúcej tromi bodmi.

Aby mohla byť jedna rovina vedená cez ľubovoľné tri body v priestore, je potrebné, aby tieto body neležali na jednej priamke.

Uvažujme body M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) v karteziánskom súradnicovom systéme.

Aby ľubovoľný bod M(x, y, z) ležal v rovnakej rovine s bodmi M 1, M 2, M 3, je potrebné, aby vektory
boli koplanárne t.j. ich zmiešaný produkt:

(
) = 0

teda

Rovnica roviny prechádzajúcej tromi bodmi:

Rovnica roviny prechádzajúcej dvoma bodmi rovnobežnými s vektorom.

Nech body M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) a vektor
.

Zostavme rovnicu roviny prechádzajúcej danými bodmi M 1 a M 2 a ľubovoľným bodom M (x, y, z) rovnobežným s vektorom .

vektory
a vektor
musia byť koplanárne, t.j.

(
) = 0

Rovinná rovnica:

Rovnica roviny prechádzajúcej bodom rovnobežným s dvoma vektormi.

Nech sú dané dva vektory
a
, kolineárne roviny a bod M 1 (x 1, y 1, z 1). Potom pre ľubovoľný bod M(x, y, z) patriaci rovine, vektory
musia byť koplanárne.

Rovinná rovnica:

Rovnica roviny prechádzajúcej bodom kolmým na vektor.

Veta. Ak je bod M 0 daný v priestore (x 0, y 0, z 0), potom rovnica roviny prechádzajúcej bodom M 0 je kolmá na normálový vektor (A, B, C) má tvar:

A(X – X 0 ) + B(r – r 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Dôkaz. Pre ľubovoľný bod M(x, y, z) patriaci rovine zostavíme vektor . Pretože vektor - normálový vektor, potom je kolmý na rovinu, a teda kolmý na vektor
. Potom skalárny súčin

= 0

Tak dostaneme rovnicu roviny

Veta bola dokázaná.

Rovnica roviny v segmentoch.

Ak vo všeobecnej rovnici Ax + Wu + Cz + D = 0 vydeľte obe časti -D

,

nahradenie
, dostaneme rovnicu roviny v segmentoch:

Čísla a, b, c sú segmenty odrezané rovinou v priesečníku osí x, y, z karteziánskeho pravouhlého súradnicového systému.

Rovinná rovnica vo vektorovom tvare.

kde

- vektor polomeru aktuálneho bodu M(x, y, z),

Jednotkový vektor, ktorý má smer kolmice klesnutý k rovine z počiatku.

,  a  sú uhly, ktoré zviera tento vektor s osami x, y, z.

p je dĺžka tejto kolmice.

V súradniciach má táto rovnica tvar:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Parametrická rovinná rovnica

Nech je v priestore daný bod M 0 (x 0, y 0, z 0) a dva nekolineárne vektory

(p 1, p 2, p 3) a (q1, q2, q3). Nech M(x, y, z) je aktuálny bod roviny. Keďže vektory a sú nekolineárne, potom tvoria základ v rovine, v ktorej vektor rozširujeme
=t+ s, kde t,s sú parametre. Umiestnime do roviny ľubovoľne kartézsky pravouhlý súradnicový systém tak, aby osi Ox a Oy ležali v rovine. Zo stredu O nakreslíme vektory polomerov do bodov M 0 a M a . Potom
=-a

=+t+ s .

Toto je parametrická rovnica roviny vo vektorovej forme a v skalárnej forme

x = x 0 + p 1 t + q 1 s

y=yo + p2t + q2 s

z = z 0 + p 3 t + q 3 s

Vzdialenosť od bodu k rovine.

Vzdialenosť od ľubovoľného bodu M 0 (x 0, y 0, z 0) k rovine Ax + Vy + Cz + D \u003d 0 je:

Príklad. Nájdite rovnicu roviny s vedomím, že bod P (4; -3; 12) je základňou kolmice spadnutej z počiatku do tejto roviny.

Takže A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, použite vzorec:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Príklad . Nájdite rovnicu roviny prechádzajúcej dvoma bodmi

P(2; 0; -1) a Q(1; -1; 3) sú kolmé na rovinu 3x + 2y - z + 5 = 0.

Normálny vektor k rovine 3x + 2y - z + 5 = 0
rovnobežne s požadovanou rovinou.

Dostaneme:

Príklad . Nájdite rovnicu roviny prechádzajúcej bodmi A(2, -1, 4) a

В(3, 2, -1) kolmo na rovinu X + pri + 2z – 3 = 0.

Požadovaná rovinná rovnica má tvar: A X+ B r+C z+ D = 0, normálový vektor k tejto rovine (A, B, C). Vektor
(1, 3, -5) patrí do roviny. Rovina, ktorá je nám daná, kolmá na požadovanú, má normálny vektor (1, 1, 2). Pretože body A a B patria obom rovinám a roviny sú teda navzájom kolmé

Takže normálny vektor (11, -7, -2). Pretože bod A patrí do želanej roviny, potom jeho súradnice musia spĺňať rovnicu tejto roviny, t.j. 112 + 71 - 24 + D = 0; D = -21.

Takže dostaneme rovnicu roviny: 11 X - 7r – 2z – 21 = 0.

Príklad . Nájdite rovnicu roviny s vedomím, že bod P(4, -3, 12) je základňou kolmice spadnutej z počiatku do tejto roviny.

Nájdenie súradníc normálového vektora
= (4, -3, 12). Požadovaná rovnica roviny má tvar: 4 X – 3r + 12z+ D = 0. Aby sme našli koeficient D, dosadíme súradnice bodu Р do rovnice:

16 + 9 + 144 + D = 0

Takže dostaneme požadovanú rovnicu: 4 X – 3r + 12z – 169 = 0

Príklad . Vzhľadom na súradnice vrcholov pyramídy

Ai (1; 0; 3), A2 (2; -1; 3), A3 (2; 1; 1), A4 (1; 2; 5).

Nájdite dĺžku hrany A 1 A 2 .

Nájdite uhol medzi hranami A 1 A 2 a A 1 A 4.

Nájdite uhol medzi hranou A 1 A 4 a plochou A 1 A 2 A 3 .

Najprv nájdite normálový vektor k ploche A 1 A 2 A 3 - ako krížový produkt vektorov
a
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Nájdite uhol medzi normálovým vektorom a vektorom
.

-4 – 4 = -8.

Požadovaný uhol  medzi vektorom a rovinou bude rovný  = 90 0 - .

Nájdite oblasť tváre A 1 A 2 A 3 .

Nájdite objem pyramídy.

Nájdite rovnicu roviny А 1 А 2 А 3 .

Vzorec používame na rovnicu roviny prechádzajúcej tromi bodmi.

2x + 2y + 2z - 8 = 0

Povrchová rovnica v priestore

Definícia. Akákoľvek rovnica týkajúca sa súradníc x, y, z akéhokoľvek bodu na povrchu je rovnicou tohto povrchu.

Všeobecná rovnica roviny

Definícia. Rovina je plocha, ktorej všetky body spĺňajú všeobecnú rovnicu:

Ax + By + Cz + D = 0,

kde A, B, C sú súradnice vektora

normálový vektor k rovine. Možné sú tieto špeciálne prípady:

A \u003d 0 - rovina je rovnobežná s osou Ox

B \u003d 0 - rovina je rovnobežná s osou Oy

C \u003d 0 - rovina je rovnobežná s osou Oz

D = 0 - rovina prechádza počiatkom

A \u003d B \u003d 0 - rovina je rovnobežná s rovinou xOy

A \u003d C \u003d 0 - rovina je rovnobežná s rovinou xOz

B \u003d C \u003d 0 - rovina je rovnobežná s rovinou yOz

A \u003d D \u003d 0 - rovina prechádza cez os Ox

B \u003d D \u003d 0 - rovina prechádza cez os Oy

C \u003d D \u003d 0 - rovina prechádza cez os Oz

A \u003d B \u003d D \u003d 0 - rovina sa zhoduje s rovinou xOy

A \u003d C \u003d D \u003d 0 - rovina sa zhoduje s rovinou xOz

B \u003d C \u003d D \u003d 0 - rovina sa zhoduje s rovinou yOz

Rovnica roviny prechádzajúcej tromi bodmi

Aby mohla byť jedna rovina vedená cez ľubovoľné tri body v priestore, je potrebné, aby tieto body neležali na jednej priamke. Uvažujme body М1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3) vo všeobecnom karteziánskom súradnicovom systéme. Aby ľubovoľný bod M(x, y, z) ležal v rovnakej rovine ako body M1, M2, M3, musia byť vektory koplanárne.

teda

Rovnica roviny prechádzajúcej tromi bodmi:

Rovnica roviny zadanej dvoma bodmi a vektorom kolineárnym s rovinou

Nech sú dané body M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2) a vektor.

Zostavme rovnicu roviny prechádzajúcej danými bodmi M1 a M2 a ľubovoľným bodom M(x, y, z) rovnobežným s vektorom.

Vektory a vektor musia byť koplanárne, t.j.

Rovinná rovnica:

Rovnica roviny vzhľadom na jeden bod a dva vektory kolineárne s rovinou

Nech sú dané dva vektory a kolineárne roviny. Potom pre ľubovoľný bod M(x, y, z) patriaci do roviny musia byť vektory koplanárne. Rovinná rovnica:

Rovinná rovnica podľa bodu a normálového vektora

Veta. Ak je v priestore daný bod M0 (x0, y0, z0), potom rovnica roviny prechádzajúcej bodom M0 kolmo na normálový vektor (A, B, C) má tvar:

A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0.

Dôkaz. Pre ľubovoľný bod M(x, y, z) patriaci rovine zostavíme vektor. Pretože Ak je vektor normálovým vektorom, potom je kolmý na rovinu, a teda aj kolmý na vektor. Potom skalárny súčin

Tak dostaneme rovnicu roviny

Veta bola dokázaná.

Všeobecná rovnica priamky sa nazýva kompletný, ak všetky jeho koeficienty nie sú rovné 0. V opačnom prípade sa volá rovnica neúplné.

D = 0 Ax+Vu+Сz=0- lietadlo, prechádzajúci počiatkom súradníc.

Zvyšné prípady sú určené polohou normálového vektora n=( A; B; C).

A = 0 Ву+Сz+D=0 je rovnica roviny, rovnobežná os Ox.(Pretože normálny vektor n=( 0;B;C) je kolmá na os Ox).

B = 0 Ah+Сz+D=0 - rovinná rovnica, rovnobežne s osou y.(Pretože normálny vektor n=( A; 0; C) je kolmá na os Oy).

C=0 Ah + Wu+D=0 - rovinná rovnica, rovnobežná os Oz. (Pretože normálny vektor n=( A; B; 0) je kolmá na os Oz).

A=B=0 Сz+D=0 – z = -D/C – rovnica roviny rovnobežnej s rovinou Oxy (pretože táto rovina je rovnobežná s osami Ox a Oy).

A=C=0 Wu+D=0 - y=-D/B- rovnica roviny rovnobežnej s rovinou Oxz (pretože táto rovina je rovnobežná s osami Ox a Oz).

B=C=0 Ah+D=0 – x=-D/A- rovnica roviny rovnobežnej s rovinou Oyz (pretože táto rovina je rovnobežná s osami Oy a Oz).

A=D=0 By+Cz=0 - rovnica roviny prechádzajúcej osou x.

B=D=0 Ax+Cz=0 - rovnica roviny prechádzajúcej osou Oy.

A=B=D=0 Cz=0 (z=0) – Rovina súradníc kyslíka.(pretože táto rovina je rovnobežná s Oxy a prechádza cez počiatok).

A=C=D=0 By=0 (y=0) – rovina súradníc Охz.(pretože táto rovina je rovnobežná s Oxz a prechádza cez počiatok).

B=C=D=0 ax=0 (x=0) – súradnicová rovina Оуz.(pretože táto rovina je rovnobežná s Oyz a prechádza cez počiatok).

Rovnica roviny prechádzajúcej tromi danými bodmi.

Odvodíme rovnicu roviny prechádzajúcej 3 rôznymi bodmi M 1 (x 1; y 1; z 1), M 2 (x 2; y 2; z 2), M 3 (x 3; y 3; z 3) , neleží na jednej priamke. Potom vektory M 1 M 2 \u003d (x 2 - x 1; y 2 ​​-y 1; z 2 - z 1) a M 1 M 3 \u003d (x 3 - x 1; y 3 - y 1; z 3 - z 1) nie sú kolineárne. Preto bod M(x, y, z) leží v rovnakej rovine s bodmi M 1 , M 2 a M 3 práve vtedy, ak sú vektory M 1 M 2 , M 1 M 3 a M 1 M\u003d (x-x 1; y-y 1; z-z 1) - koplanárna, t.j.  keď je ich zmiešaný súčin 0

(M 1 MM 1 M 2 M 1 M 3 =0) , t.j.

(4) Rovnica roviny prechádzajúcej 3 danými bodmi.

(Rozšírením determinantu pozdĺž 1. riadku a zjednodušením dostaneme všeobecnú rovnicu roviny: Ax + Vy + Cz + D \u003d 0).

To. tri body jednoznačne definujú rovinu.

Rovnica roviny v segmentoch na osiach.

Rovina Π pretína súradnicové osi v bodoch M 1 (a; 0; 0), M 2 (0; b; 0), M 3 (0; 0; c).

M (x; y; z) je premenlivý bod roviny.

M 1 M=(x-a; y; z)

M 1 M 2 =(0-а;b;0) definuje danú rovinu

M 1 M 3 =(-a;0;c)

Tie. M 1 MM 1 M 2 M 1 M 3 =0

Rozvinieme prvý riadok: (х-а)bc-y(-ac)+zab=xbc-abc+yac+zab=0

Vydeľte rovnosť abc≠0. Dostaneme:

(5) rovnica roviny v segmentoch na osiach.

Rovnicu (5) možno získať zo všeobecnej rovnice roviny za predpokladu, že D≠0, delíme D

Označením –D/A=a, -D/B=b, -C/D=c dostaneme rovnicu 4.

Uhol medzi dvoma rovinami. Podmienky rovnobežnosti a kolmosti rovín.

Uhol φ medzi dvoma rovinami α 1 a α 2 sa meria plochým uhlom medzi 2 lúčmi kolmými na priamku, pozdĺž ktorej sa tieto roviny pretínajú. Akékoľvek dve pretínajúce sa roviny zvierajú dva uhly, ktorých súčet je . Stačí definovať jeden z týchto uhlov.

Nech sú roviny dané všeobecnými rovnicami:

 1 : A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 =0

 2 : A 2 X+ B 2 r+ C 2 z+ D 2 =0

Zvážte PDSC (O, i,j,k) v priestore R 3 . Nech  je nejaká rovina a vektor  N kolmo na a. Upevníme ľubovoľný bod M 0 na rovinu  a vezmeme aktuálny bod M priestoru. Označme ` r =
a` r 0 =
. Potom
=`r – `r 0 , a bod М práve vtedy, ak sú vektory ` N a
ortogonálne. To druhé je možné, keď

N .
= 0, t.j N . (`r-`r 0) = 0, (9)

táto rovnica sa nazýva vektorová rovnica lietadlá. Vektor ` N volal normálne rovinný vektor.

Ak ` N =(ALE, AT, S), M 0 ( X 0 , pri 0 , z 0), M( X, pri, z), potom rovnica (9) nadobúda tvar

ALE( X – X 0) + B( pri – pri 0) + C( z – z 0) = 0, (10).

Táto rovnica sa nazýva rovnica roviny prechádzajúcej daným bodom kolmým na daný vektor.

Komu Je známe, že cez tri body možno nakresliť jednu rovinu. Nechaj M 1 ( X 1 , pri 1 , z 1), M 3 ( X 2 , pri 2 , z 2), M 3 ( X 3 , pri 3 , z 3). Poďme nájsť rovnicu tejto roviny. Podľa vektorovej rovnice (9) na napísanie tejto rovnice je potrebné poznať bod roviny a normálový vektor. Máme bod (napríklad M 1). A ako normálny vektor poslúži akýkoľvek vektor kolmý na túto rovinu. Je známe, že krížový súčin dvoch vektorov je kolmý na rovinu, v ktorej tieto vektory ležia. Preto krížový súčin vektorov
a
možno brať ako normálny vektor roviny :

` N =


Potom rovnica roviny  vo vektorovom tvare má tvar

. (

) =
.
.
= 0.

(všimnite si, že sme získali podmienku komplanarity vektorov
,
,
).

Prostredníctvom súradníc bodov M 1, M 2, M 3 a M možno túto rovnicu zapísať ako

, (11)

a nazýva sa rovnica roviny, prechádza cez tri dané body M 1 ( X 1 , pri 1 , z 1), M 2 ( X 2 , pri 2 , z 2), M 3 ( X 3 , pri 3 , z 3).

Zvážte rovnicu (9) znova, transformujte ju:

Oh + Wu + cz +(–Oh 0 – Wu 0 – cz 0) = 0 ,

Oh + Wu + cz+D = 0, kde D = (– Oh 0 – Wu 0 – cz 0) .

Rovnica

Oh + Wu + cz+D = 0, (12)

volal všeobecná rovnica lietadlá. Tu je vektorN = ( A, B, C) je normálový vektor roviny (t. j. vektor kolmý na rovinu). Veta je pravdivá:

Veta 4.2.

V priestore R3 môže byť akákoľvek rovina opísaná lineárne vzhľadom na premenné X r, z rovnica a naopak. akákoľvek rovnica prvého stupňa definuje nejakú rovinu.

Pozrime sa na umiestnenie roviny vzhľadom na súradnicový systém podľa jeho všeobecnej rovnice Oh + Wu + cz+D = 0.

Ak koeficient D = 0, potom súradnice bodu O(0, 0, 0) vyhovujú rovnici Oh + Wu + cz= 0, teda tento bod leží na rovine, t.j. rovina s rovnicou Oh + Wu + cz= 0 prechádza cez počiatok.

Ak vo všeobecnej rovnici roviny jeden chýba z premenných (príslušný koeficient sa rovná nule), potom je rovina rovnobežná s rovnomennou súradnicovou osou. Napríklad rovnica Oh + cz + D= 0 definuje rovinu rovnobežnú s osou y. Normálny vektor má súradnice ` N= (A, 0, C) a je ľahké to skontrolovať ` Nj. Ale ak sú rovina a vektor kolmé na ten istý vektor, potom sú rovnobežné. Rovina s rovnicou Wu + cz= 0, v tomto prípade prechádza cez os OX (to znamená, že táto os leží v rovine)

Neprítomnosť dvoch premenné v rovinnej rovnici znamenajú, že rovina je rovnobežná s príslušnou súradnicovou rovinou, napríklad rovnica v tvare Oh + D= 0 definuje rovinu rovnobežnú s rovinou YOZ. Normálny vektor má súradnice ` N= (A, 0, 0), je kolineárny s vektorom  i, a preto je rovina kolmá na vektor  i, alebo rovnobežne s rovinou UOZ.

Rovnice súradnicových rovín vyzerať ako: AKO: z= 0, pl. XOZ: r= 0, pl. YOZ: X = 0.

Rovina AKO totiž prechádza počiatkom (D = 0) a vektorom  k=(0, 0, 1) je jeho normálny vektor. Podobne roviny XOZ a YOZ prechádzajú počiatkom (D = 0) a vektormi  j=(0, 1, 0) a  i = (1,0,0) sú ich normály, resp.

Ak D0, potom všeobecnú rovnicu transformujeme nasledovne

Oh + Wu+C z = –D,
,
.

O označujúci tu
,
,
, dostaneme rovnicu
, (13)

ktorá sa nazýva rovinná rovnica v segmentoch na osiach. Tu a, b, c sú hodnoty segmentov odrezaných rovinou na súradnicových osiach (obr.). Túto rovnicu je vhodné použiť na zostavenie roviny v súradnicovom systéme. Je ľahké overiť, že body ( a, 0, 0), (0. b, 0), (0, 0, s) ležať v lietadle. Čiary prechádzajúce týmito bodmi sa nazývajú stopy roviny na rovinách súradníc.

Postavme si napríklad lietadlo

2X – 3pri + 4z –12 = 0.

Uveďme túto rovnicu do tvaru (13), ktorý dostaneme

D Na vytvorenie roviny v súradnicovom systéme označte bod (6, 0, 0) na osi OX, bod (0, -4, 0) na osi OY, (0, 0, 3) na osi OZ. , spojte ich rovnými úsečkami (rovinové stopy). Výsledný trojuholník je časťou požadovanej roviny, uzavretej medzi súradnicovými osami.

Takže to nájsť rovnicu roviny dosť vedieť

Buď normálový vektor tejto roviny a ktorýkoľvek z jej bodov (rovnica (10));

Alebo tri body ležiace na rovine (rovnica (11)).

Vzájomné usporiadanie rovín v priestore je vhodné študovať pomocou im zodpovedajúcich vektorov. Ak  je rovina s normálovým vektorom N, potom

.

Odvodenie vzorca je podobné, ako to bolo urobené pre priamku v rovine. Vykonajte to svojpomocne.

Môže byť špecifikovaný rôznymi spôsobmi (jeden bod a vektor, dva body a vektor, tri body atď.). S ohľadom na to môže mať rovnica roviny rôzne formy. Taktiež za určitých podmienok môžu byť roviny rovnobežné, kolmé, pretínajúce sa atď. Budeme o tom hovoriť v tomto článku. Naučíme sa písať všeobecnú rovnicu roviny a nielen to.

Normálny tvar rovnice

Povedzme, že existuje priestor R 3, ktorý má pravouhlý súradnicový systém XYZ. Nastavme vektor α, ktorý sa uvoľní z počiatočného bodu O. Cez koniec vektora α nakreslíme rovinu P, ktorá bude naň kolmá.

Označme P ľubovoľný bod Q=(x, y, z). Vektor polomeru bodu Q označíme písmenom p. Dĺžka vektora α je p=IαI a Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

Toto je jednotkový vektor, ktorý ukazuje nabok, rovnako ako vektor α. α, β a γ sú uhly, ktoré zvierajú vektor Ʋ a kladné smery priestorových osí x, y, z. Priemet nejakého bodu QϵП do vektora Ʋ je konštantná hodnota rovnajúca sa р: (р,Ʋ) = р(р≥0).

Táto rovnica dáva zmysel, keď p=0. Jedine, že rovina P bude v tomto prípade pretínať bod O (α=0), ktorý je počiatkom, a jednotkový vektor Ʋ uvoľnený z bodu O bude kolmý na P bez ohľadu na jeho smer, čo znamená, že vektor Ʋ je určený zo znamienkovej presnosti. Predchádzajúca rovnica je rovnica našej roviny P, vyjadrená vo vektorovej forme. Ale v súradniciach to bude vyzerať takto:

P je tu väčšie alebo rovné 0. Našli sme rovnicu roviny v priestore v jej normálnom tvare.

Všeobecná rovnica

Ak rovnicu v súradniciach vynásobíme ľubovoľným číslom, ktoré sa nerovná nule, dostaneme rovnicu ekvivalentnú danej, ktorá určuje tú istú rovinu. Bude to vyzerať takto:

Tu A, B, C sú čísla, ktoré sa súčasne líšia od nuly. Táto rovnica sa označuje ako všeobecná rovinná rovnica.

Rovinné rovnice. Špeciálne prípady

Rovnica vo všeobecnej forme môže byť modifikovaná za prítomnosti ďalších podmienok. Uvažujme o niektorých z nich.

Predpokladajme, že koeficient A je 0. To znamená, že daná rovina je rovnobežná s danou osou Ox. V tomto prípade sa tvar rovnice zmení: Ву+Cz+D=0.

Podobne sa tvar rovnice zmení za nasledujúcich podmienok:

• Po prvé, ak B = 0, potom sa rovnica zmení na Ax + Cz + D = 0, čo bude indikovať rovnobežnosť s osou Oy.
• Po druhé, ak С=0, potom sa rovnica transformuje na Ах+Ву+D=0, čo bude indikovať rovnobežnosť s danou osou Oz.
• Po tretie, ak D=0, rovnica bude vyzerať ako Ax+By+Cz=0, čo znamená, že rovina pretína O (počiatok).
• Po štvrté, ak A=B=0, potom sa rovnica zmení na Cz+D=0, čo bude paralelné s Oxy.
• Po piate, ak B=C=0, rovnica sa zmení na Ax+D=0, čo znamená, že rovina k Oyz je rovnobežná.
• Po šieste, ak A=C=0, rovnica bude mať tvar Ву+D=0, to znamená, že bude hlásiť rovnobežnosť s Oxz.

Typ rovnice v segmentoch

V prípade, že čísla A, B, C, D sú nenulové, tvar rovnice (0) môže byť nasledovný:

x/a + y/b + z/c = 1,

v ktorých a \u003d -D / A, b \u003d -D / B, c \u003d -D / C.

Dostaneme ako výsledok Stojí za zmienku, že táto rovina bude pretínať os Ox v bode so súradnicami (a,0,0), Oy - (0,b,0) a Oz - (0,0,c) .

Ak vezmeme do úvahy rovnicu x/a + y/b + z/c = 1, je ľahké vizuálne znázorniť umiestnenie roviny vzhľadom na daný súradnicový systém.

Normálne vektorové súradnice

Normálny vektor n k rovine P má súradnice, ktoré sú koeficientmi všeobecnej rovnice danej roviny, teda n (A, B, C).

Na určenie súradníc normály n stačí poznať všeobecnú rovnicu danej roviny.

Pri použití rovnice v segmentoch, ktorá má tvar x/a + y/b + z/c = 1, ako aj pri použití všeobecnej rovnice, je možné zapísať súradnice ľubovoľného normálového vektora danej roviny: (1 /a + 1/b + 1/ s).

Treba poznamenať, že normálny vektor pomáha riešiť rôzne problémy. Najčastejšie ide o úlohy, ktoré spočívajú v dokazovaní kolmosti alebo rovnobežnosti rovín, problémy s hľadaním uhlov medzi rovinami alebo uhlov medzi rovinami a priamkami.

Pohľad na rovnicu roviny podľa súradníc bodu a normálového vektora

Nenulový vektor n kolmý na danú rovinu sa nazýva normálny (normálny) pre danú rovinu.

Predpokladajme, že v súradnicovom priestore (pravouhlý súradnicový systém) sú Oxyz dané:

• bod Mₒ so súradnicami (xₒ,yₒ,zₒ);
• nulový vektor n=A*i+B*j+C*k.

Je potrebné zostaviť rovnicu pre rovinu, ktorá bude prechádzať bodom Mₒ kolmým na normálu n.

V priestore si vyberieme ľubovoľný bod a označíme ho M (x y, z). Nech je vektor polomeru ľubovoľného bodu M (x, y, z) r=x*i+y*j+z*k a vektor polomeru bodu Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. Bod M bude patriť do danej roviny, ak je vektor MₒM kolmý na vektor n. Podmienku ortogonality zapíšeme pomocou skalárneho súčinu:

[M2M, n] = 0.

Pretože MₒM \u003d r-rₒ, vektorová rovnica roviny bude vyzerať takto:

Táto rovnica môže mať inú podobu. Na tento účel sa používajú vlastnosti skalárneho súčinu a transformuje sa ľavá strana rovnice. = - . Ak je označené ako c, získame nasledujúcu rovnicu: - c \u003d 0 alebo \u003d c, ktorá vyjadruje stálosť projekcií na normálny vektor polomerových vektorov daných bodov, ktoré patria do roviny.

Teraz môžete získať súradnicový tvar zápisu vektorovej rovnice našej roviny = 0. Pretože r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, an = A*i+B *j+C*k, máme:

Ukazuje sa, že máme rovnicu pre rovinu prechádzajúcu bodom kolmým na normálu n:

A*(x-xₒ)+B*(y-yₒ)C*(z-zₒ)=0.

Pohľad na rovinnú rovnicu podľa súradníc dvoch bodov a vektora kolineárne s rovinou

Definujeme dva ľubovoľné body M′ (x′,y′,z′) a M″ (x″,y″,z″), ako aj vektor a (a′,a″,a‴).

Teraz môžeme zostaviť rovnicu pre danú rovinu, ktorá bude prechádzať dostupnými bodmi M′ a M″, ako aj ľubovoľným bodom M so súradnicami (x, y, z) rovnobežnými s daným vektorom a.

V tomto prípade musia byť vektory M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) a M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) v jednej rovine s vektorom a=(a′,a″,a‴), čo znamená, že (M′M, M″M, a)=0.

Takže naša rovnica roviny vo vesmíre bude vyzerať takto:

Typ rovnice roviny pretínajúcej tri body

Predpokladajme, že máme tri body: (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), ktoré nepatria do tej istej priamky. Je potrebné napísať rovnicu roviny prechádzajúcej danými tromi bodmi. Teória geometrie tvrdí, že tento druh roviny skutočne existuje, len je jediný a nenapodobiteľný. Keďže táto rovina pretína bod (x′, y′, z′), tvar jej rovnice bude takýto:

Tu sú A, B, C odlišné od nuly súčasne. Daná rovina tiež pretína dva ďalšie body: (x″,y″,z″) a (x‴,y‴,z‴). V tejto súvislosti musia byť splnené tieto podmienky:

Teraz môžeme zostaviť homogénny systém s neznámymi u, v, w:

V našom prípade je x, y alebo z ľubovoľný bod, ktorý spĺňa rovnicu (1). Ak vezmeme do úvahy rovnicu (1) a sústavu rovníc (2) a (3), sústava rovníc naznačená na obrázku vyššie vyhovuje vektoru N (A, B, C), ktorý je netriviálny. Preto je determinant tohto systému rovný nule.

Rovnica (1), ktorú sme získali, je rovnica roviny. Prechádza presne cez 3 body a to sa dá ľahko skontrolovať. Aby sme to dosiahli, musíme rozšíriť náš determinant o prvky v prvom riadku. Z existujúcich vlastností determinantu vyplýva, že naša rovina súčasne pretína tri pôvodne dané body (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . To znamená, že sme vyriešili úlohu, ktorá je pred nami.

Dihedrálny uhol medzi rovinami

Dihedrálny uhol je priestorový geometrický útvar tvorený dvoma polrovinami, ktoré vychádzajú z jednej priamky. Inými slovami, toto je časť priestoru, ktorá je obmedzená týmito polrovinami.

Povedzme, že máme dve roviny s nasledujúcimi rovnicami:

Vieme, že vektory N=(A,B,C) a N¹=(A¹,B¹,C¹) sú kolmé podľa daných rovín. V tomto ohľade je uhol φ medzi vektormi N a N¹ rovný uhlu (dihedrálnemu), ktorý je medzi týmito rovinami. Skalárny súčin má tvar:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

práve preto

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

Stačí vziať do úvahy, že 0≤φ≤π.

V skutočnosti dve roviny, ktoré sa pretínajú, zvierajú dva (dihedrálne) uhly: φ 1 a φ 2 . Ich súčet sa rovná π (φ 1 + φ 2 = π). Pokiaľ ide o ich kosínusy, ich absolútne hodnoty sú rovnaké, ale líšia sa znamienkami, to znamená cos φ 1 =-cos φ 2. Ak v rovnici (0) nahradíme A, B a C číslami -A, -B a -C, potom rovnica, ktorú dostaneme, určí rovnakú rovinu, jediný uhol φ v rovnici cos φ= NN 1 /| N||N 1 | sa nahradí π-φ.

Rovnica kolmej roviny

Roviny sa nazývajú kolmé, ak je uhol medzi nimi 90 stupňov. Pomocou vyššie uvedeného materiálu môžeme nájsť rovnicu roviny kolmej na druhú. Povedzme, že máme dve roviny: Ax+By+Cz+D=0 a A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Môžeme konštatovať, že budú kolmé, ak cosφ=0. To znamená, že NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.

Rovnica rovnobežnej roviny

Rovnobežné sú dve roviny, ktoré neobsahujú spoločné body.

Podmienkou (ich rovnice sú rovnaké ako v predchádzajúcom odseku) je, že vektory N a N¹, ktoré sú na ne kolmé, sú kolineárne. To znamená, že sú splnené tieto podmienky proporcionality:

A/A1=B/B1=C/C1.

Ak sa rozšíria podmienky proporcionality - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

to naznačuje, že tieto roviny sa zhodujú. To znamená, že rovnice Ax+By+Cz+D=0 a A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 opisujú jednu rovinu.

Vzdialenosť k rovine od bodu

Povedzme, že máme rovinu P, ktorá je daná rovnicou (0). Je potrebné nájsť vzdialenosť k nemu od bodu so súradnicami (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. Aby ste to dosiahli, musíte uviesť rovnicu roviny P do normálneho tvaru:

(ρ,v)=p (p≥0).

V tomto prípade je ρ(x,y,z) vektor polomeru nášho bodu Q umiestneného na P, p je dĺžka kolmice k P, ktorá sa uvoľnila z nulového bodu, v je jednotkový vektor, ktorý sa nachádza v smer a.

Rozdiel ρ-ρº vektora polomeru niektorého bodu Q \u003d (x, y, z) patriaceho k P, ako aj vektora polomeru daného bodu Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) je taký vektor, ktorého absolútna hodnota projekcie na v sa rovná vzdialenosti d, ktorú treba nájsť od Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) po P:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, ale

(ρ-ρo,v)= (ρ,v)-(ρo,v) =R-(ρo,v).

Tak sa ukazuje

d=|(ρ0,v)-p|.

Nájdeme teda absolútnu hodnotu výsledného výrazu, teda želané d.

Pomocou jazyka parametrov dostaneme zrejmé:

d=|Axₒ+Vuₒ+Czₒ|/√(A²+B²+C²).

Ak je daný bod Q 0 na druhej strane roviny P, rovnako ako počiatok, potom medzi vektorom ρ-ρ 0 a v je teda:

d=-(ρ-ρo,v)=(ρo,v)-p>0.

V prípade, že sa bod Q 0 spolu s počiatkom nachádza na tej istej strane P, potom je vytvorený uhol ostrý, to znamená:

d \u003d (ρ-ρ 0, v) \u003d p - (ρ 0, v)>0.

Výsledkom je, že v prvom prípade (ρ 0 ,v)> р, v druhom (ρ 0 ,v)<р.

Dotyková rovina a jej rovnica

Dotyková rovina k povrchu v bode dotyku Mº je rovina obsahujúca všetky možné dotyčnice ku krivkám nakresleným cez tento bod na povrchu.

S týmto tvarom povrchovej rovnice F (x, y, z) \u003d 0 bude rovnica dotykovej roviny v dotykovom bode Mº (xº, yº, zº) vyzerať takto:

Fx(xº, yº, zº)(x-xº)+ Fx(xº, yº, zº)(y-yº)+ Fx(xº, yº, zº)(z-zº)=0.

Ak zadáte povrch v explicitnom tvare z=f (x, y), dotyková rovina bude opísaná rovnicou:

z-z° = f(xº, yº)(x-xº)+f(xº, yº)(y-yº).

Priesečník dvoch rovín

V súradnicovom systéme (obdĺžnikovom) sa nachádza Oxyz, sú dané dve roviny П′ a П″, ktoré sa pretínajú a nezhodujú sa. Pretože každá rovina umiestnená v pravouhlom súradnicovom systéme je určená všeobecnou rovnicou, budeme predpokladať, že P′ a P″ sú dané rovnicami A′x+B′y+C′z+D′=0 a A″x +B″y+ С″z+D″=0. V tomto prípade máme normálu n′ (A′, B′, C′) roviny P′ a normálu n″ (A″, B″, C″) roviny P″. Keďže naše roviny nie sú rovnobežné a nezhodujú sa, tieto vektory nie sú kolineárne. Pomocou jazyka matematiky môžeme túto podmienku zapísať takto: n′≠ n″ ↔ (A′, B′, C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. Čiara, ktorá leží v priesečníku P′ a P″, nech je označená písmenom a, v tomto prípade a = P′ ∩ P″.

a je priamka pozostávajúca z množiny všetkých bodov (spoločných) rovín П′ a П″. To znamená, že súradnice ktoréhokoľvek bodu patriaceho do priamky a musia súčasne spĺňať rovnice A′x+B′y+C′z+D′=0 a A″x+B″y+C″z+D″= 0. To znamená, že súradnice bodu budú konkrétnym riešením nasledujúceho systému rovníc:

V dôsledku toho sa ukazuje, že (všeobecné) riešenie tohto systému rovníc určí súradnice každého z bodov priamky, ktorá bude pôsobiť ako priesečník П′ a П″, a určí priamku. priamka a v súradnicovom systéme Oxyz (obdĺžnikový) v priestore.