Možnosť 1. pri

1. Graf funkcie y=f(X) znázornené na obrázku.

Zadajte najväčšiu hodnotu tejto funkcie 1

na segmente [ a; b]. a 0 1 b x

1) 2,5; 2) 3; 3) 4; 4) 2.

https://pandia.ru/text/78/524/images/image003_127.gif" width="242" height="133 src="> 1) -4; 2) -2; 3) 4; 4) 2.

4. Funkcie y=f(X) nastaviť na segmente [ a; b]. pri

Na obrázku je znázornený graf jeho derivácie

y=f ´(X). Hľadajte extrémy 1 b

funkciu y=f(X). V odpovedi uveďte množstvo. a 0 1 x

minimálny počet bodov.

1) 6; 2) 7; 3) 4;

5. Nájdite najväčšiu hodnotu funkcie y \u003d -2x2 + 8x -7.

1) -2; 2) 7; 3) 1;

6. Nájdite najmenšiu hodnotu funkcie na segmente .

1) https://pandia.ru/text/78/524/images/image005_87.gif" width="17" height="48 src=">.

7. Nájdite najmenšiu hodnotu funkcie y=|2x+3| - .

1) - https://pandia.ru/text/78/524/images/image006_79.gif" width="17" height="47"> ; 4) - .

https://pandia.ru/text/78/524/images/image009_67.gif" width="144" height="33 src="> má v bode minimum xo = 1,5?

1) 5; 2) -6; 3) 4; 4) 6.pri

9. Zadajte najväčšiu hodnotu funkcie y=f(X) ,

1 x

0 1

1) 2,5; 2) 3; 3) -3;

y=lg(100 – X2 ).

1) 10 ; 2) 100 ; 3) 2 ; 4) 1 .

11. Nájdite najmenšiu hodnotu funkcie y=2hriech-1.

1) -1 ; 2) -3 ; 3) -2 ; 4) - .

Test 14 Najväčšia (najmenšia) hodnota funkcie.

https://pandia.ru/text/78/524/images/image013_44.gif" width="130" height="115 src=">1. Graf funkcie y=f(X) znázornené na obrázku.

Zadajte najmenšiu hodnotu tejto funkcie 1

na segmente [ a; b]. a b

0 1 X

1) 0; 2) - 4 ,5; 3) -2; 4) - 3.

2. pri Na obrázku je znázornený graf funkcie y=f(X).

Koľko maximálnych bodov má funkcia?

1

0 1 x 1) 5; 2) 6; 3) 4; 4) 1.

3. V ktorom bode je funkcia y \u003d 2x2 + 24x -25 naberá najmenšiu hodnotu?

https://pandia.ru/text/78/524/images/image018_37.gif" width="76" height="48"> v segmente [-3;-1].

1) - https://pandia.ru/text/78/524/images/image020_37.gif" width="17" height="47 src=">; 2); 4) - 5.

https://pandia.ru/text/78/524/images/image022_35.gif" width="135" height="33 src="> má v bode minimum xo = -2?

; 2) -6;; 4) 6.pri

9. Zadajte najmenšiu hodnotu funkcie y=f(X) ,

ktorého graf je znázornený na obrázku. 1 x

0 1

1) -1,5; 2) -1; 3) -3;

10. Nájdite najväčšiu hodnotu funkcie y=log11 (121 – X2 ).

1) 11;; 3) 1;

11. Nájdite najväčšiu hodnotu funkcie y=2cos+3.

1) 5 ; 2) 3 ; 3) 2 ; 4) .

Odpovede :

A na jeho vyriešenie potrebujete minimálne znalosti danej témy. Ďalší akademický rok sa končí, každý chce ísť na dovolenku a aby som tento moment priblížil, hneď sa pustím do práce:

Začnime oblasťou. Oblasť uvedená v podmienke je obmedzené ZATVORENÉ množina bodov v rovine. Napríklad množina bodov ohraničená trojuholníkom vrátane CELÉHO trojuholníka (ak od hranice„Vystrčte“ aspoň jeden bod, potom už oblasť nebude uzavretá). V praxi sa vyskytujú aj plochy pravouhlých, okrúhlych a trochu zložitejších tvarov. Je potrebné poznamenať, že v teórii matematickej analýzy sú uvedené prísne definície obmedzenia, izolácia, hranice atď., ale myslím si, že každý si je vedomý týchto pojmov na intuitívnej úrovni a viac teraz nie je potrebné.

Plocha sa štandardne označuje písmenom a spravidla je daná analyticky - niekoľkými rovnicami (nie nevyhnutne lineárne); menej často nerovnosti. Typický slovný obrat: „uzavretý priestor ohraničený čiarami“.

Neoddeliteľnou súčasťou uvažovanej úlohy je konštrukcia plochy na výkrese. Ako to spraviť? Je potrebné nakresliť všetky uvedené čiary (v tomto prípade 3 rovno) a analyzujte, čo sa stalo. Požadovaná oblasť je zvyčajne jemne šrafovaná a jej okraj je zvýraznený hrubou čiarou:


Je možné nastaviť rovnakú oblasť lineárne nerovnosti: , ktoré sa z nejakého dôvodu častejšie píšu ako zoznam enumerácií, a nie systém.
Keďže hranica patrí regiónu, potom všetky nerovnosti, samozrejme, neprísne.

A teraz jadro veci. Predstavte si, že os ide priamo k vám z počiatku súradníc. Zvážte funkciu, ktorá nepretržitý v každom plošný bod. Graf tejto funkcie je povrch, a malým šťastím je, že na vyriešenie dnešného problému vôbec nemusíme vedieť, ako tento povrch vyzerá. Môže byť umiestnený nad, pod, cez rovinu - to všetko nie je dôležité. A dôležité je nasledovné: podľa Weierstrassove vety, nepretržitý v obmedzené zatvorené oblasti, funkcia dosahuje maximum (z "najvyšších") a najmenej (z "najnižších") hodnoty, ktoré treba nájsť. Tieto hodnoty sa dosahujú alebo v stacionárne body, patriace do regiónuD , alebo v bodoch, ktoré ležia na hranici tohto regiónu. Z toho vyplýva jednoduchý a prehľadný algoritmus riešenia:

Príklad 1

V obmedzenom uzavretom priestore

rozhodnutie: Najprv musíte na výkrese znázorniť oblasť. Bohužiaľ je pre mňa technicky náročné urobiť interaktívny model problému, a preto hneď uvediem finálnu ilustráciu, na ktorej sú zobrazené všetky „podozrivé“ body zistené pri štúdiu. Zvyčajne sa ukladajú jeden po druhom, keď sa nájdu:

Na základe preambuly možno rozhodnutie pohodlne rozdeliť do dvoch bodov:

I) Nájdite stacionárne body. Ide o štandardný úkon, ktorý sme na lekcii opakovane vykonávali. o extrémoch viacerých premenných:

Nájdený stacionárny bod patrí oblasti: (označte to na výkrese), čo znamená, že by sme mali vypočítať hodnotu funkcie v danom bode:

- ako v článku Najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie v segmente, dôležité výsledky zvýrazním tučným písmom. V zošite je vhodné ich zakrúžkovať ceruzkou.

Venujte pozornosť nášmu druhému šťastiu - nemá zmysel kontrolovať postačujúca podmienka pre extrém. prečo? Aj keď v bode funkcia dosiahne napr. miestne minimum, tak to NEZNAMENÁ, že výsledná hodnota bude minimálne v celom regióne (pozri začiatok lekcie o bezpodmienečných extrémoch) .

Čo ak stacionárny bod NEPATRÍ do oblasti? Takmer nič! Treba poznamenať, že a prejdite na ďalší odsek.

II) Skúmame hranicu regiónu.

Keďže hranica pozostáva zo strán trojuholníka, je vhodné rozdeliť štúdiu na 3 pododseky. Ale je lepšie to urobiť nie. Z môjho pohľadu je najskôr výhodnejšie uvažovať o segmentoch rovnobežných so súradnicovými osami a v prvom rade o tých, ktoré ležia na samotných osiach. Ak chcete zachytiť celú postupnosť a logiku akcií, skúste si naštudovať koniec „jedným dychom“:

1) Poďme sa zaoberať spodnou stranou trojuholníka. Aby sme to dosiahli, dosadíme priamo do funkcie:

Prípadne to môžete urobiť takto:

Geometricky to znamená, že súradnicová rovina (čo je dané aj rovnicou)„vystrihnúť“ z povrchy„priestorová“ parabola, ktorej vrchol okamžite padne do podozrenia. Poďme zistiť kde je:

- výsledná hodnota "zasiahla" oblasť a pokojne to môže byť aj bod (značka na výkrese) funkcia dosahuje najväčšiu alebo najmenšiu hodnotu v celej oblasti. V každom prípade urobme výpočty:

Ďalšími „kandidátmi“ sú samozrejme konce segmentu. Vypočítajte hodnoty funkcie v bodoch (značka na výkrese):

Tu, mimochodom, môžete vykonať ústnu mini-kontrolu na „oblečenej“ verzii:

2) Aby sme preštudovali pravú stranu trojuholníka, dosadíme ju do funkcie a „dáme tam veci do poriadku“:

Tu okamžite vykonáme hrubú kontrolu a „prezvoníme“ už spracovaný koniec segmentu:
, perfektné.

Geometrická situácia súvisí s predchádzajúcim bodom:

- výsledná hodnota tiež „vstúpila do rozsahu našich záujmov“, čo znamená, že musíme vypočítať, čomu sa funkcia rovná v bode, ktorý sa objavil:

Pozrime sa na druhý koniec segmentu:

Pomocou funkcie , Skontrolujme to:

3) Každý asi vie, ako preskúmať zvyšnú stranu. Do funkcie nahrádzame a vykonávame zjednodušenia:

Linka končí už boli preskúmané, ale na koncepte stále kontrolujeme, či sme funkciu našli správne :
– zhoduje sa s výsledkom podľa prvého pododseku;
– sa zhoduje s výsledkom podľa druhého pododseku.

Zostáva zistiť, či je v segmente niečo zaujímavé:

- existuje! Nahradením priamky do rovnice dostaneme ordinátu tejto „zaujímavosti“:

Označíme bod na výkrese a nájdeme zodpovedajúcu hodnotu funkcie:

Ovládajme výpočty podľa „rozpočtovej“ verzie :
, objednať.

A posledný krok: POZORNE si prezrite všetky „tučné“ čísla, odporúčam aj začiatočníkom urobiť si jeden zoznam:

z ktorých vyberáme najväčšie a najmenšie hodnoty. Odpoveď napíš štýlom problém nájsť najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie v segmente:

Pre každý prípad sa ešte raz vyjadrím ku geometrickému významu výsledku:
– tu je najvyšší bod povrchu v regióne;
- tu je najnižší bod povrchu v oblasti.

V analyzovanom probléme sme našli 7 „podozrivých“ bodov, no ich počet sa líši od úlohy k úlohe. V prípade trojuholníkovej oblasti sa minimálna „množina prieskumov“ skladá z troch bodov. To sa stane, keď sa funkcia napr lietadlo- je celkom jasné, že neexistujú žiadne stacionárne body a funkcia môže dosiahnuť maximálne / minimálne hodnoty iba vo vrcholoch trojuholníka. Ale neexistujú také príklady raz, dvakrát - zvyčajne sa s nejakým musíte vyrovnať povrch 2. rádu.

Ak takéto úlohy trochu riešite, tak z trojuholníkov sa vám môže zakrútiť hlava, a preto som pre vás pripravil nevšedné príklady, ako to mať hranaté :))

Príklad 2

Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie v uzavretom priestore ohraničenom čiarami

Príklad 3

Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie v ohraničenej uzavretej oblasti.

Venujte zvláštnu pozornosť racionálnemu poradiu a technike skúmania hranice oblasti, ako aj reťazcu medzikontrol, ktoré takmer úplne zabránia výpočtovým chybám. Vo všeobecnosti to môžete vyriešiť, ako chcete, ale v niektorých problémoch, napríklad v rovnakom príklade 2, existuje šanca výrazne skomplikovať váš život. Približný príklad dokončovania úloh na konci hodiny.

Algoritmus riešenia systematizujeme, inak sa s mojou usilovnosťou pavúka akosi stratil v dlhom vlákne komentárov prvého príkladu:

- V prvom kroku vybudujeme oblasť, je žiaduce ju zatieniť a zvýrazniť hranicu hrubou čiarou. Počas riešenia sa objavia body, ktoré je potrebné umiestniť na výkres.

- Nájdite stacionárne body a vypočítajte hodnoty funkcie len v tých, ktoré patria do oblasti . Získané hodnoty sú v texte zvýraznené (napríklad zakrúžkované ceruzkou). Ak stacionárny bod NEPATRÍ do oblasti, tak túto skutočnosť označíme ikonou alebo slovne. Ak neexistujú žiadne stacionárne body, vyvodíme písomný záver, že chýbajú. V každom prípade túto položku nie je možné preskočiť!

– Prieskum pohraničnej oblasti. Najprv je výhodné zaoberať sa priamkami, ktoré sú rovnobežné so súradnicovými osami (ak nejaké existujú). Zvýraznené sú aj funkčné hodnoty vypočítané v "podozrivých" bodoch. O technike riešenia už bolo povedané veľa a niečo iné bude povedané nižšie - čítajte, znova čítajte, ponorte sa do toho!

- Z vybraných čísel vyberte najväčšiu a najmenšiu hodnotu a odpovedzte. Niekedy sa stáva, že funkcia dosiahne takéto hodnoty v niekoľkých bodoch naraz - v tomto prípade by sa všetky tieto body mali prejaviť v odpovedi. Nech napr. a ukázalo sa, že je to najmenšia hodnota. Potom to napíšeme

Záverečné príklady sú venované ďalším užitočným nápadom, ktoré sa budú hodiť v praxi:

Príklad 4

Nájdite najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie v uzavretej oblasti .

Ponechal som autorovu formuláciu, v ktorej je plocha uvedená ako dvojitá nerovnosť. Táto podmienka môže byť napísaná v ekvivalentnom systéme alebo v tradičnejšej forme pre tento problém:

Pripomínam, že s nelineárne na nerovnosť sme narazili a ak nerozumiete geometrickému významu zadania, tak prosím neodkladajte a objasnite situáciu hneď teraz ;-)

rozhodnutie, ako vždy, začína výstavbou plochy, ktorá je akousi „podrážkou“:

Hmm, niekedy treba hlodať nielen žulu vedy....

I) Nájdite stacionárne body:

Systém snov idiota :)

Stacionárny bod patrí do regiónu, konkrétne leží na jeho hranici.

A tak to nie je nič ... prebehla zábavná lekcia - to znamená piť správny čaj =)

II) Skúmame hranicu regiónu. Bez ďalších okolkov začnime s osou x:

1) Ak , tak

Zistite, kde je vrchol paraboly:
- Oceňujte takéto momenty - "trafte" až do bodu, z ktorého je už všetko jasné. Ale nezabudnite skontrolovať:

Vypočítajme hodnoty funkcie na koncoch segmentu:

2) Spodnú časť „podrážky“ zvládneme „na jedno posedenie“ - bez komplexov ju dosadíme do funkcie, navyše nás bude zaujímať len segment:

Kontrola:

To už teraz prináša oživenie do monotónnej jazdy na ryhovanej trati. Poďme nájsť kritické body:

My rozhodujeme kvadratická rovnica pamätáš si tento? ... Pamätajte však, samozrejme, inak by ste tieto riadky nečítali =) Ak v dvoch predchádzajúcich príkladoch boli výpočty v desatinných zlomkoch pohodlné (čo je mimochodom zriedkavé), potom tu čakáme na obvyklé obyčajné zlomky. Nájdeme korene „x“ a pomocou rovnice určíme zodpovedajúce „herné“ súradnice „kandidátskych“ bodov:


Vypočítajme hodnoty funkcie v nájdených bodoch:

Skontrolujte funkciu sami.

Teraz pozorne študujeme získané trofeje a zapisujeme si ich odpoveď:

Tu sú „kandidáti“, teda „kandidáti“!

Pre samostatné riešenie:

Príklad 5

Nájdite najmenšie a najväčšie hodnoty funkcie v uzavretom priestore

Záznam so zloženými zátvorkami znie takto: „množina bodov takých, že“.

Niekedy v takýchto príkladoch používajú Lagrangeova multiplikačná metóda, ale skutočná potreba jeho použitia pravdepodobne nevznikne. Takže napríklad, ak je daná funkcia s rovnakou oblasťou "de", potom po dosadení do nej - s deriváciou bez ťažkostí; navyše je všetko nakreslené v „jednom riadku“ (so znakmi) bez toho, aby bolo potrebné posudzovať horný a dolný polkruh oddelene. Existujú však samozrejme aj komplikovanejšie prípady, keď funkcia Lagrange chýba (kde je napríklad rovnaká kruhová rovnica) je ťažké sa zaobísť – aké ťažké je zaobísť sa bez dobrého odpočinku!

Všetko najlepšie, aby ste prešli reláciou a čoskoro sa uvidíme v budúcej sezóne!

Riešenia a odpovede:

Príklad 2: rozhodnutie: nakreslite oblasť na výkres:

Z praktického hľadiska je najzaujímavejšie použitie derivácie na nájdenie najväčšej a najmenšej hodnoty funkcie. S čím to súvisí? Maximalizácia zisku, minimalizácia nákladov, určenie optimálneho zaťaženia zariadení... Inými slovami, v mnohých oblastiach života treba riešiť problém optimalizácie niektorých parametrov. A to je problém nájsť najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie.

Treba si uvedomiť, že najväčšia a najmenšia hodnota funkcie sa zvyčajne hľadá na nejakom intervale X , čo je buď celý definičný obor funkcie alebo časť definičného oboru. Samotný interval X môže byť úsečka, otvorený interval , nekonečný interval .

V tomto článku budeme hovoriť o hľadaní najväčších a najmenších hodnôt explicitne danej funkcie jednej premennej y=f(x) .

Navigácia na stránke.

Najväčšia a najmenšia hodnota funkcie - definície, ilustrácie.

Zastavme sa krátko pri hlavných definíciách.

Najväčšia hodnota funkcie , ktorý pre hociktorý nerovnosť je pravdivá.

Najmenšia hodnota funkcie y=f(x) na intervale X sa nazýva takáto hodnota , ktorý pre hociktorý nerovnosť je pravdivá.

Tieto definície sú intuitívne: najväčšia (najmenšia) hodnota funkcie je najväčšia (najmenšia) hodnota akceptovaná v uvažovanom intervale s osou x.

Stacionárne body sú hodnoty argumentu, pri ktorom derivácia funkcie zaniká.

Prečo potrebujeme stacionárne body pri hľadaní najväčších a najmenších hodnôt? Odpoveď na túto otázku dáva Fermatova veta. Z tejto vety vyplýva, že ak má diferencovateľná funkcia v určitom bode extrém (lokálne minimum alebo lokálne maximum), potom je tento bod stacionárny. Funkcia teda často nadobúda svoju maximálnu (najmenšiu) hodnotu na intervale X v jednom zo stacionárnych bodov z tohto intervalu.

Funkcia môže tiež často nadobúdať najväčšie a najmenšie hodnoty v bodoch, kde prvá derivácia tejto funkcie neexistuje a je definovaná samotná funkcia.

Hneď si odpovedzme na jednu z najčastejších otázok na túto tému: „Je vždy možné určiť najväčšiu (najmenšiu) hodnotu funkcie“? Nie vždy. Niekedy sa hranice intervalu X zhodujú s hranicami definičného oboru funkcie alebo je interval X nekonečný. A niektoré funkcie v nekonečne a na hraniciach oblasti definície môžu nadobúdať nekonečne veľké aj nekonečne malé hodnoty. V týchto prípadoch nemožno nič povedať o najväčšej a najmenšej hodnote funkcie.

Pre prehľadnosť uvádzame grafické znázornenie. Pozrite sa na obrázky - a veľa bude jasné.

Na segmente

Na prvom obrázku funkcia naberá najväčšie (max y) a najmenšie (min y) hodnoty v stacionárnych bodoch vo vnútri segmentu [-6;6].

Zvážte prípad zobrazený na druhom obrázku. Zmeňte segment na . V tomto príklade sa najmenšia hodnota funkcie dosiahne v stacionárnom bode a najväčšia - v bode s osou zodpovedajúcou pravej hranici intervalu.

Na obrázku č. 3 sú hraničné body úsečky [-3; 2] úsečkami bodov zodpovedajúcich najväčšej a najmenšej hodnote funkcie.

Vo voľnom výbehu

Na štvrtom obrázku funkcia naberá najväčšie (max y) a najmenšie (min y) hodnoty v stacionárnych bodoch v rámci otvoreného intervalu (-6;6).

Pri intervale nemožno vyvodiť závery o najväčšej hodnote.

V nekonečne

V príklade znázornenom na siedmom obrázku má funkcia najväčšiu hodnotu (max y ) v stacionárnom bode s os x=1 a najmenšiu hodnotu (min y ) dosiahne na pravej hranici intervalu. V mínus nekonečne sa hodnoty funkcie asymptoticky blížia k y=3.

Na intervale funkcia nedosahuje ani najmenšiu, ani najväčšiu hodnotu. Keďže x=2 smeruje doprava, funkčné hodnoty majú tendenciu k mínus nekonečnu (priama čiara x=2 je vertikálna asymptota) a keďže úsečka smeruje k plus nekonečnu, funkčné hodnoty sa asymptoticky približujú k y=3 . Grafické znázornenie tohto príkladu je znázornené na obrázku 8.

Algoritmus na nájdenie najväčších a najmenších hodnôt spojitej funkcie na segmente.

Napíšeme algoritmus, ktorý nám umožní nájsť najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie na segmente.

1. Nájdeme doménu funkcie a skontrolujeme, či obsahuje celý segment.
2. Nájdeme všetky body, v ktorých prvá derivácia neexistuje a ktoré sú obsiahnuté v segmente (zvyčajne sa takéto body vyskytujú vo funkciách s argumentom pod znamienkom modulu a v mocninných funkciách s zlomkovo-racionálnym exponentom). Ak takéto body neexistujú, prejdite na ďalší bod.
3. Určujeme všetky stacionárne body, ktoré spadajú do segmentu. Aby sme to dosiahli, vyrovnáme sa nule, vyriešime výslednú rovnicu a vyberieme príslušné korene. Ak neexistujú žiadne stacionárne body alebo žiadny z nich nespadá do segmentu, prejdite na ďalší krok.
4. Hodnoty funkcie vypočítame vo vybraných stacionárnych bodoch (ak existujú), v bodoch, kde prvá derivácia neexistuje (ak existuje), a tiež v x=a a x=b.
5. Zo získaných hodnôt funkcie vyberieme najväčšiu a najmenšiu - budú to požadované maximálne a najmenšie hodnoty funkcie.

Poďme analyzovať algoritmus pri riešení príkladu na nájdenie najväčších a najmenších hodnôt funkcie na segmente.

Príklad.

Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie

• na segmente;
• na intervale [-4;-1] .

rozhodnutie.

Definičný obor funkcie je celá množina reálnych čísel okrem nuly, teda . Oba segmenty spadajú do oblasti definície.

Nájdeme deriváciu funkcie vzhľadom na:

Je zrejmé, že derivácia funkcie existuje vo všetkých bodoch segmentov a [-4;-1] .

Stacionárne body sa určia z rovnice . Jediný skutočný koreň je x=2 . Tento stacionárny bod spadá do prvého segmentu.

V prvom prípade vypočítame hodnoty funkcie na koncoch segmentu a v stacionárnom bode, teda pre x=1, x=2 a x=4:

Preto najväčšia hodnota funkcie sa dosiahne pri x=1 a najmenšia hodnota – pri x=2.

V druhom prípade vypočítame hodnoty funkcie iba na koncoch segmentu [-4;-1] (keďže neobsahuje jediný stacionárny bod):

rozhodnutie.

Začnime rozsahom funkcie. Štvorcová trojčlenka v menovateli zlomku nesmie zaniknúť:

Je ľahké skontrolovať, či všetky intervaly z podmienky problému patria do domény funkcie.

Rozlišujme funkciu:

Je zrejmé, že derivácia existuje v celej doméne funkcie.

Nájdite stacionárne body. Derivát zmizne o . Tento stacionárny bod spadá do intervalov (-3;1] a (-3;2) .

A teraz môžete porovnať výsledky získané v každom bode s grafom funkcie. Modré bodkované čiary označujú asymptoty.

Môže to skončiť nájdením najväčšej a najmenšej hodnoty funkcie. Algoritmy opísané v tomto článku vám umožňujú dosiahnuť výsledky s minimom akcií. Môže však byť užitočné najskôr určiť intervaly nárastu a poklesu funkcie a až potom vyvodiť závery o najväčšej a najmenšej hodnote funkcie na ľubovoľnom intervale. To poskytuje jasnejší obraz a presné zdôvodnenie výsledkov.

V mnohých úlohách je potrebné vypočítať maximálnu alebo minimálnu hodnotu kvadratickej funkcie. Maximum alebo minimum možno nájsť, ak je pôvodná funkcia napísaná v štandardnom tvare: alebo prostredníctvom súradníc vrcholu paraboly: f (x) = a (x − h) 2 + k (\displaystyle f(x)=a(x-h)^(2)+k). Okrem toho je možné pomocou matematických operácií vypočítať maximum alebo minimum akejkoľvek kvadratickej funkcie.

Kroky

Kvadratická funkcia je zapísaná v štandardnom tvare

Napíšte funkciu v štandardnom tvare. Kvadratická funkcia je funkcia, ktorej rovnica obsahuje premennú x 2 (\displaystyle x^(2)). Rovnica môže alebo nemusí obsahovať premennú x (\displaystyle x). Ak rovnica obsahuje premennú s exponentom väčším ako 2, neopisuje kvadratickú funkciu. Ak je to potrebné, prineste podobné výrazy a usporiadajte ich tak, aby bola funkcia napísaná v štandardnom tvare.

Graf kvadratickej funkcie je parabola. Vetvy paraboly smerujú nahor alebo nadol. Ak koeficient a (\displaystyle a) s premennou x 2 (\displaystyle x^(2)) a (\displaystyle a)

Vypočítajte -b/2a. Význam − b 2 a (\displaystyle -(\frac (b)(2a))) je súradnica x (\displaystyle x) vrchol paraboly. Ak je kvadratická funkcia zapísaná v štandardnom tvare a x 2 + b x + c (\displaystyle ax^(2)+bx+c), použite koeficienty pre x (\displaystyle x) a x 2 (\displaystyle x^(2)) nasledujúcim spôsobom:

• Vo funkčných koeficientoch a = 1 (\displaystyle a=1) a b = 10 (\displaystyle b=10)
• Ako druhý príklad zvážte funkciu . Tu a = − 3 (\displaystyle a=-3) a b = 6 (\displaystyle b=6). Preto vypočítajte súradnicu x vrcholu paraboly takto:

1. Nájdite zodpovedajúcu hodnotu f(x). Nahraďte nájdenú hodnotu "x" do pôvodnej funkcie, aby ste našli zodpovedajúcu hodnotu f(x). Takto zistíte minimum alebo maximum funkcie.

   • V prvom príklade f (x) = x 2 + 10 x − 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+10x-1) vypočítali ste, že x-ová súradnica vrcholu paraboly je x = − 5 (\displaystyle x=-5). V pôvodnej funkcii namiesto x (\displaystyle x) náhrada − 5 (\displaystyle -5)
   • V druhom príklade f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+6x-4) zistili ste, že x-ová súradnica vrcholu paraboly je x = 1 (\displaystyle x=1). V pôvodnej funkcii namiesto x (\displaystyle x) náhrada 1 (\displaystyle 1) nájsť jeho maximálnu hodnotu:

2. Zapíšte si odpoveď. Znovu si prečítajte stav problému. Ak potrebujete nájsť súradnice vrcholu paraboly, zapíšte si do odpovede obe hodnoty x (\displaystyle x) a y (\displaystyle y)(alebo f (x) (\displaystyle f(x))). Ak potrebujete vypočítať maximum alebo minimum funkcie, zapíšte si do odpovede iba hodnotu y (\displaystyle y)(alebo f (x) (\displaystyle f(x))). Pozrite sa znova na znamienko koeficientu a (\displaystyle a) skontrolovať, či ste vypočítali maximum alebo minimum.

   Kvadratická funkcia je zapísaná v zmysle súradníc vrcholu paraboly

   1. Napíšte kvadratickú funkciu z hľadiska súradníc vrcholu paraboly. Takáto rovnica má nasledujúci tvar:

      Určte smer paraboly. Ak to chcete urobiť, pozrite sa na znamienko koeficientu a (\displaystyle a). Ak koeficient a (\displaystyle a) kladná, parabola smeruje nahor. Ak koeficient a (\displaystyle a) záporná, parabola smeruje nadol. Napríklad:

      Nájdite minimálnu alebo maximálnu hodnotu funkcie. Ak je funkcia zapísaná v súradniciach vrcholu paraboly, minimum alebo maximum sa rovná hodnote koeficientu k (\displaystyle k). Vo vyššie uvedených príkladoch:

      Nájdite súradnice vrcholu paraboly. Ak je v úlohe potrebné nájsť vrchol paraboly, jej súradnice sú (h, k) (\displaystyle (h,k)). Všimnite si, že keď je kvadratická funkcia napísaná z hľadiska súradníc vrcholu paraboly, operácia odčítania musí byť uzavretá v zátvorkách (x − h) (\displaystyle (x-h)), teda hodnotu h (\displaystyle h) brané s opačným znamienkom.

   Ako vypočítať minimum alebo maximum pomocou matematických operácií

   Najprv zvážime štandardný tvar rovnice. Napíšte kvadratickú funkciu v štandardnom tvare: f (x) = a x 2 + b x + c (\displaystyle f(x)=ax^(2)+bx+c). Ak je to potrebné, prineste podobné výrazy a preusporiadajte ich, aby ste získali štandardnú rovnicu.

   Nájdite prvú deriváciu. Prvá derivácia kvadratickej funkcie, ktorá je zapísaná v štandardnom tvare, sa rovná f ′ (x) = 2 a x + b (\displaystyle f^(\prime )(x)=2ax+b).

   Nastavte deriváciu na nulu. Pripomeňme, že derivácia funkcie sa rovná sklonu funkcie v určitom bode. Pri minime alebo maxime je sklon nulový. Preto, aby sme našli minimálnu alebo maximálnu hodnotu funkcie, derivácia sa musí rovnať nule. V našom príklade:

Niekedy sa v problémoch B15 vyskytujú "zlé" funkcie, pre ktoré je ťažké nájsť derivát. Predtým to bolo len na sondách, ale teraz sú tieto úlohy také bežné, že ich už nemožno ignorovať pri príprave na túto skúšku.

V tomto prípade fungujú iné triky, z ktorých jeden je - monotónna.

Funkcia f (x) sa nazýva monotónne rastúca na segmente, ak pre ľubovoľné body x 1 a x 2 tohto segmentu platí nasledovné:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) < f (x2).

Funkcia f (x) sa na segmente nazýva monotónne klesajúca, ak pre ľubovoľné body x 1 a x 2 tohto segmentu platí nasledovné:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) > f ( x2).

Inými slovami, pre rastúcu funkciu platí, že čím väčšie x, tým väčšie je f(x). Pre klesajúcu funkciu platí opak: čím viac x, tým menšie f(x).

Napríklad logaritmus rastie monotónne, ak základ a > 1 a klesá monotónne, ak je 0< a < 1. Не забывайте про область допустимых значений логарифма: x > 0.

f (x) = log a x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)

Aritmetická druhá mocnina (a nielen druhá mocnina) rastie monotónne v celej oblasti definície:

Exponenciálna funkcia sa správa podobne ako logaritmus: zvyšuje sa pre a > 1 a klesá pre 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только для x > 0:

f (x) = a x (a > 0)

Nakoniec stupne so záporným exponentom. Môžete ich napísať ako zlomok. Majú bod zlomu, kde je narušená monotónnosť.

Všetky tieto funkcie sa nikdy nenachádzajú vo svojej čistej forme. Pridávajú sa k nim polynómy, zlomky a iné nezmysly, kvôli ktorým je ťažké vypočítať deriváciu. Čo sa stane v tomto prípade - teraz budeme analyzovať.

Súradnice vrcholov paraboly

Najčastejšie sa argument funkcie nahrádza výrazom štvorcový trojčlen tvaru y = ax 2 + bx + c . Jeho graf je štandardná parabola, ktorá nás zaujíma:

1. Vetvy paraboly - môžu ísť hore (pre a > 0) alebo dole (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
2. Vrchol paraboly je extrémnym bodom kvadratickej funkcie, v ktorom má táto funkcia svoj najmenší (pre a > 0) alebo najväčší (a< 0) значение.

Najväčším záujmom je vrchol paraboly, ktorého úsečka sa vypočíta podľa vzorca:

Takže sme našli extrémny bod kvadratickej funkcie. Ak je však pôvodná funkcia monotónna, bod x 0 bude pre ňu tiež extrémnym bodom. Preto formulujeme kľúčové pravidlo:

Extrémne body štvorcového trinomu a komplexná funkcia, do ktorej vstupuje, sa zhodujú. Preto môžete hľadať x 0 pre štvorcovú trojčlenku a zabudnúť na funkciu.

Z vyššie uvedeného uvažovania zostáva nejasné, aký druh bodu získame: maximum alebo minimum. Úlohy sú však špeciálne navrhnuté tak, aby to nevadilo. Veď posúďte sami:

1. V stave problému nie je žiadny segment. Preto nie je potrebné počítať f(a) a f(b). Zostáva zvážiť iba extrémne body;
2. Ale taký bod je len jeden – ide o vrchol paraboly x 0, ktorej súradnice sú vypočítané doslova ústne a bez akýchkoľvek derivácií.

Riešenie problému je teda značne zjednodušené a zredukované len na dva kroky:

1. Napíšte rovnicu paraboly y = ax 2 + bx + c a nájdite jej vrchol pomocou vzorca: x 0 = −b /2a;
2. Nájdite hodnotu pôvodnej funkcie v tomto bode: f (x 0). Ak neexistujú žiadne ďalšie podmienky, toto bude odpoveď.

Na prvý pohľad sa tento algoritmus a jeho odôvodnenie môže zdať komplikované. Zámerne neuverejňujem schému „holého“ riešenia, pretože nepremyslené uplatňovanie takýchto pravidiel je plné chýb.

Zvážte skutočné úlohy zo skúšobnej skúšky z matematiky - tu je táto technika najbežnejšia. Zároveň sa postaráme o to, aby sa týmto spôsobom mnohé problémy B15 stali takmer verbálnymi.

Pod koreňom je kvadratická funkcia y \u003d x 2 + 6x + 13. Graf tejto funkcie je parabola s vetvami nahor, pretože koeficient a \u003d 1\u003e 0.

Vrchol paraboly:

x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -6 / (2 1) \u003d -6 / 2 \u003d -3

Pretože vetvy paraboly sú nasmerované nahor, v bode x 0 \u003d −3 nadobúda funkcia y \u003d x 2 + 6x + 13 najmenšiu hodnotu.

Odmocnina sa monotónne zvyšuje, takže x 0 je minimálny bod celej funkcie. Máme:

Úloha. Nájdite najmenšiu hodnotu funkcie:

y = log 2 (x 2 + 2x + 9)

Pod logaritmom je opäť kvadratická funkcia: y \u003d x 2 + 2x + 9. Graf je parabola s vetvami nahor, pretože a = 1 > 0.

Vrchol paraboly:

x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -2 / (2 1) \u003d -2/2 \u003d -1

Takže v bode x 0 = −1 nadobudne kvadratická funkcia najmenšiu hodnotu. Ale funkcia y = log 2 x je monotónna, takže:

y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3

Exponent je kvadratická funkcia y = 1 − 4x − x 2 . Prepíšme to do normálneho tvaru: y = −x 2 − 4x + 1.

Je zrejmé, že grafom tejto funkcie je parabola, ktorá sa vetví nadol (a = −1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 = −b /(2a ) = −(−4)/(2 (−1)) = 4/(−2) = −2

Pôvodná funkcia je exponenciálna, je monotónna, takže najväčšia hodnota bude v nájdenom bode x 0 = −2:

Pozorný čitateľ si určite všimne, že sme nezapísali oblasť prípustných hodnôt koreňa a logaritmu. Nebolo to však potrebné: vo vnútri sú funkcie, ktorých hodnoty sú vždy pozitívne.

Dôsledky z rozsahu funkcie

Niekedy na vyriešenie problému B15 nestačí len nájsť vrchol paraboly. Požadovaná hodnota môže ležať na konci segmentu, ale nie v extrémnom bode. Ak úloha vôbec nešpecifikuje segment, pozrite sa na rozsah tolerancie pôvodná funkcia. menovite:

Venujte pozornosť znova: nula môže byť pod koreňom, ale nikdy nie v logaritme alebo menovateľovi zlomku. Pozrime sa, ako to funguje na konkrétnych príkladoch:

Úloha. Nájdite najväčšiu hodnotu funkcie:

Pod koreňom je opäť kvadratická funkcia: y \u003d 3 - 2x - x 2. Jeho graf je parabola, ale vetví sa nadol, pretože a = −1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический квадратный корень из отрицательного числа не существует.

Vypíšeme oblasť prípustných hodnôt (ODZ):

3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3) (x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; jeden]

Teraz nájdite vrchol paraboly:

x 0 = −b /(2a ) = −(−2)/(2 (−1)) = 2/(−2) = −1

Bod x 0 = −1 patrí do segmentu ODZ - a to je dobré. Teraz zvážime hodnotu funkcie v bode x 0, ako aj na koncoch ODZ:

y(-3) = y(1) = 0

Dostali sme teda čísla 2 a 0. Mali by sme nájsť najväčšie - toto je číslo 2.

Úloha. Nájdite najmenšiu hodnotu funkcie:

y = log 0,5 (6x - x 2 - 5)

Vo vnútri logaritmu je kvadratická funkcia y \u003d 6x - x 2 - 5. Toto je parabola s vetvami nadol, ale v logaritme nemôžu byť záporné čísla, takže vypíšeme ODZ:

6x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

Pozor: nerovnosť je prísna, preto konce nepatria do ODZ. Týmto sa logaritmus líši od koreňa, kde nám konce segmentu celkom vyhovujú.

Hľadá sa vrchol paraboly:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 (−1)) = −6/(−2) = 3

Vrch paraboly zapadá pozdĺž ODZ: x 0 = 3 ∈ (1; 5). Ale keďže nás konce segmentu nezaujímajú, uvažujeme hodnotu funkcie iba v bode x 0:

y min = y (3) = log 0,5 (6 3 − 3 2 − 5) = log 0,5 (18 − 9 − 5) = log 0,5 4 = −2