Zväzok 1. OBSAH
ÚVOD REÁLNE ČÍSLA
§ 1. Oblasť racionálnych čísel 11
1. Predbežné poznámky 11
2. Usporiadanie oblasti racionálnych čísel 12
3. Sčítanie a odčítanie racionálnych čísel 12
4. Násobenie a delenie racionálnych čísel 14
5. Archimedova axióma 16
§ 2. Zavedenie iracionálnych čísel. Usporiadanie domény reálnych čísel
6. Definícia iracionálneho čísla 17
7. Usporiadanie domény reálnych čísel 19
8. Pomocné návrhy 21
9. Znázornenie reálneho čísla nekonečným desatinným zlomkom 22
10. Spojitosť definičného oboru reálnych čísel 24
11. Limity číselných množín 25
§ 3. Aritmetické operácie s reálnymi číslami 28
12. Určenie súčtu reálnych čísel 28
13. Vlastnosti sčítania 29
14. Definícia súčinu reálnych čísel 31
15. Vlastnosti násobenia 3 2
16. Záver 34
17. Absolútne veličiny 34 § 4. Ďalšie vlastnosti a aplikácie reálnych čísel 35
18. Existencia koreňa. Stupeň s racionálnym exponentom 35
19. Stupeň s ľubovoľným skutočným exponentom 37
20. Logaritmy 39
21. Meranie vzdialenosti 40
PRVÁ KAPITOLA. TEÓRIA LIMITOV
§ 1. Variant a jeho limit 43
22. Premenná, možnosť 43
23. Obmedzte možnosti 46
24. Infinitezimály 47
25. Príklady 48
26. Niektoré vety o variante s limitom 52
27. Nekonečne veľké množstvá 54
§ 2. Limitné vety, ktoré uľahčujú hľadanie limity 56
28. Prechod na limit v rovnosti a nerovnosti 56
29. Lemy o infinitezimáloch 57
30. Aritmetické operácie s premennými 58
31. Nedefinované výrazy 60
32. Príklady hľadania hraníc 62
33. Stolzova veta a jej aplikácie 67
§ 3. Monotónna verzia 70
34. Limit monotónnych variantov 70
35. Príklady 72
36. Číslo e 77
31. Približný výpočet čísla e 79
38. Lema na vnorených intervaloch 82
§ 4. Princíp konvergencie. Čiastočné limity 83
39. Princíp konvergencie 83
40. Čiastkové postupnosti a čiastkové limity 85
41. Bolzano-Weierstrass Lemma 87
42. Maximálne a minimálne limity 89
DRUHÁ KAPITOLA. FUNKCIE JEDINEJ PREMENNEJ
§ 1. Pojem funkcie 93
43. Premenná a jej rozsah 93
44. Funkčná závislosť medzi premennými. Príklady 94
45. Vymedzenie pojmu funkcia 95
46. Analytický spôsob definovania funkcie 98
47. Graf funkcií 100
48. Najdôležitejšie triedy funkcií 102
49. Pojem inverznej funkcie 108
50. Inverzné goniometrické funkcie 110
51. Superpozícia funkcií. Záverečné poznámky 114
§ 2. Hranica funkcie 115
52. Určenie limity funkcie 115
53. Redukcia na prípad variantov 117
54. Príklady 120
55. Rozšírenie teórie limitov 128
56. Príklady 130
57. Limita monotónnej funkcie 133
58. Spoločný znak Bolzano-Cauchy 134
59. Maximálne a minimálne limity funkcie 135
§ 3. Klasifikácia nekonečne malých a nekonečne veľkých veličín 136
60. Porovnanie infinitezimálov 136
61. Infinitezimálna mierka 137
62. Ekvivalentné infinitezimály 139
63. Zvýraznenie hlavnej časti 141
64. Úlohy 143
65. Klasifikácia nekonečne veľkých 145
§ 4. Kontinuita (a diskontinuity) funkcií 146
66. Určenie spojitosti funkcie v bode 146
67. Aritmetické operácie so spojitými funkciami 148
68. Príklady spojitých funkcií 148
69. Jednosmerná kontinuita. Klasifikácia prestávky 150
70. Príklady nespojitých funkcií 151
71. Spojitosť a diskontinuity monotónnej funkcie 154
72. Spojitosť elementárnych funkcií 155
73. Superpozícia spojitých funkcií 156
74. Riešenie jednej funkcionálnej rovnice 157
75. Funkčné charakteristiky exponenciálnych, logaritmických a mocninných funkcií
76. Funkčné charakteristiky trigonometrických a hyperbolických kosínusov
77. Použitie spojitosti funkcií na výpočet limitov 162
78. Výrazy s mocninou 165
79. Príklady 166
§ 5. Vlastnosti spojitých funkcií 168
80. Miznúca veta 168
81. Aplikácia na riešenie rovníc 170
82. Veta o strednej hodnote 171
83. Existencia inverznej funkcie 172
84. Veta o ohraničenosti 174
85. Najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie 175
86. Koncept rovnomernej kontinuity 178
87. Cantorova veta 179
88. Borel Lemma 180
89. Nové dôkazy hlavných viet 182
KAPITOLA TRETIA. DERIVÁTY A DIFERENCIÁLY
§ 1. Derivát a jeho výpočet 186
90. Problém výpočtu rýchlosti pohybujúceho sa bodu 186
91. Problém kreslenia dotyčnice ku krivke 187
92. Definícia derivátu 189
93. Príklady výpočtu derivátov 193
94. Derivácia inverznej funkcie 196
95. Súhrn vzorcov pre deriváty 198
96. Vzorec pre prírastok funkcie 198
97. Najjednoduchšie pravidlá na výpočet derivátov 199
98. Derivácia komplexnej funkcie 202
99. Príklady 203
100. Jednostranné deriváty 209
101. Nekonečné deriváty 209
102. Ďalšie príklady špeciálnych prípadov 211
§ 2. Diferenciál 211
103. Definícia diferenciálu 211
104. Súvislosť medzi diferencovateľnosťou a existenciou _ 1. derivácie
105. Základné vzorce a pravidlá diferenciácie 215
106. Invariantnosť diferenciálneho tvaru 216
107. Diferenciály ako zdroj približných vzorcov 218
108. Použitie rozdielov pri odhadovaní chýb 220
§ 3. Základné vety diferenciálneho počtu 223
109. Fermatova veta 223
110. Darbouxova veta 224
111. Rolleova veta 225
112. Lagrangeova formula 226
113. Hranica derivátu 228
114. Cauchyho formula 229
§ 4. Deriváty a diferenciály vyšších rádov 231
115. Definícia derivátov vyšších rádov 231
116. Všeobecné vzorce pre deriváty ľubovoľného rádu 232
117. Leibnizov vzorec 236
118. Príklady 238
119. Diferenciály vyššieho rádu 241
120. Porušenie tvarovej nemennosti pre diferenciály vyšších _ ._ rádov
121. Parametrická diferenciácia 243
122. Konečné rozdiely 244
§ 5. Taylorov vzorec 246
123. Taylorov vzorec pre polynóm 246
124. Dekompozícia ľubovoľnej funkcie; ďalší člen vo forme Peano
125. Príklady 251
126. Iné formy ďalšieho člena 254
127 Približné vzorce 257
§ 6. Interpolácia 263
128. Najjednoduchší problém interpolácie. Lagrangeova formula 263
129. Dodatočný výraz Lagrangeovho vzorca 264
130. Interpolácia s viacerými uzlami. Hermite vzorec 265
ŠTVRTÁ KAPITOLA. VYŠETROVANIE FUNKCIE S POMOCOU DERIVÁTOV
§ 1. Štúdium priebehu zmeny funkcie 268
131. Podmienka stálosti funkcie 268
132. Podmienka monotónnosti funkcie 270
133. Dôkaz nerovností 273
134. Vrcholy a pády; nevyhnutné podmienky 276
135. Dostatočné podmienky. Prvé pravidlo 278
136. Príklady 280
137. Druhé pravidlo 284
138. Použitie vyšších derivátov 286
139. Nájdenie najväčších a najmenších hodnôt 288
140. Úlohy 290
§ 2. Konvexné (a konkávne) funkcie 294
141. Definícia konvexnej (konkávnej) funkcie 294
142. Najjednoduchšie tvrdenia o konvexných funkciách 296
143. Podmienky konvexnosti funkcie 298
144. Jensenova nerovnosť a jej aplikácie 301
145. Inflexné body 303
§ 3. Konštrukcia grafov funkcií 305
146. Vyhlásenie problému 305
147. Schéma na zostrojenie grafu. Príklady 306
148. Nekonečné medzery, nekonečná medzera. Asymptoty 308
149. Príklady 311
§ 4 Zverejnenie neistôt 314
150. Neistota tvaru 0/0 314
151. Neistota tvaru oo / oo 320
152. Iné typy neistôt 322
§ 5. Približné riešenie rovnice 324
153. Úvodné poznámky 3 24
154. Pravidlo pomerných častí (metóda akordov) 325
155. Newtonovo pravidlo (metóda dotyčníc) 328
156. Príklady a cvičenia 331
157. Kombinovaný spôsob 335
158. Príklady a cvičenia 336
PIATA KAPITOLA. FUNKCIE VIAC PREMENNÝCH
§ 1. Základné pojmy 340
159. Funkčná závislosť medzi premennými. Príklady 340
160. Funkcie dvoch premenných a ich obory 341
161. Aritmetický n-rozmerný priestor 345
162. Príklady oblastí v n-rozmernom priestore 348
163. Všeobecná definícia otvoreného a uzavretého priestoru 350
164. Funkcie n premenných 352
165. Limita funkcie viacerých premenných 354
166. Redukcia na prípad variantov 356
167. Príklady 358
168. Limity opakovania 360
§ 2. Priebežné funkcie 362
169. Spojitosť a diskontinuita funkcií viacerých premenných 362
170. Operácie so spojitými funkciami 364
171. Funkcie spojité v doméne. Bolzanove-Cauchyho vety 365
172. Lema z Bolzano-Weierstrass 367
173. Weierstrassove vety 369
174. Jednotná kontinuita 370
175. Borel Lemma 372
176. Nové dôkazy hlavných viet 373
176. Derivácie a diferenciály funkcií viacerých premenných 373
177. Parciálne deriváty a parciálne diferenciály 375
178. Úplný prírastok funkcie 378
179. Úplný diferenciál 381
180. Geometrická interpretácia pre prípad funkcie dvoch _ R_ premenných
181. Deriváty komplexných funkcií 386
182. Príklady 388
183. Vzorec konečného prírastku 390
184. Derivát v danom smere 391
185. Invariantnosť tvaru (prvého) diferenciálu 394
186. Aplikácia celkového diferenciálu v približných výpočtoch 396
187. Homogénne funkcie 399
188. Eulerova formula 400
§ 4. Deriváty do diferenciálov vyššieho rádu 402
189. Deriváty vyšších rádov 402
190. Veta o zmiešaných derivátoch 404
191. Zovšeobecňovanie 407
192. Deriváty komplexnej funkcie vyššieho rádu 408
193. Diferenciály vyššieho rádu 410
194. Diferenciály komplexných funkcií 413
195. Formula Taylor 414
§ 5. Extrémy, maximálne a minimálne hodnoty 417
196. Extrémy funkcie viacerých premenných. Požadovaný. 17 podmienok
197. Dostatočné podmienky (prípad funkcie dvoch premenných) 419
198. Dostatočné podmienky (všeobecný prípad) 422
199. Podmienky absencie extrému 425
200. Najväčšie a najmenšie hodnoty funkcií. Príklady 427
201. Úlohy 431
ŠIESTA KAPITOLA. FUNKČNÉ URČOVAČE; ICH APLIKÁCIE
§ 1. Formálne vlastnosti funkčných determinantov 441
202. Definícia funkčných determinantov (jakobiáni) 441
203. Rozmnoženie Jakobiánov 442
204. Násobenie matíc funkcií (Jacobiho matice) 444
§ 2. Implicitné funkcie 447
205. Pojem implicitnej funkcie jednej premennej 447
206. Existencia implicitnej funkcie 449
207 Diferencovateľnosť implicitnej funkcie 451
208. Implicitné funkcie viacerých premenných 453
209 Výpočet derivácií implicitných funkcií 460
210. Príklady 463
§ 3. Niektoré aplikácie teórie implicitných funkcií 467
211. Relatívne extrémy 467
212. Metóda neurčitých Lagrangeových multiplikátorov 470
213. Dostatočné podmienky pre relatívny extrém 472
214. Príklady a úlohy 473
215. Koncepcia nezávislosti funkcií 477
216. 479. hodnosť matrice Jacobiho
§ 4. Zmena premenných 483
217. Funkcie jednej premennej 483
218. Príklady 485
219. Funkcie viacerých premenných. Zmena nezávislých.„„ premenných
220. Metóda výpočtu diferenciálov 489
221. Všeobecný prípad zmeny premenných 491
222. Príklady 493
SIEDMA KAPITOLA. APLIKÁCIE DIFERENCIÁLNEHO POČTU NA GEOMETRIU
§ 1. Analytické znázornenie kriviek a plôch 503
223. Krivky na rovine (v pravouhlych suradniciach) 503
224. Príklady 505
225. Krivky mechanického pôvodu 508
226. Krivky na rovine (v polárnych súradniciach). Príklady 511
227. Plochy a krivky v priestore 516
228. Parametrické zobrazenie 518
229. Príklady 520
§ 2. Dotyková a dotyková rovina 523
230. Tangenta k rovinnej krivke v pravouhlých súradniciach 523
231. Príklady 525
232. Tangenta v polárnych súradniciach 528
233. Príklady 529
234. Tangenta k priestorovej krivke. Dotyková rovina k povrchu
235. Príklady 534
236. Singulárne body rovinných kriviek 535
237. Prípad špecifikácie parametrickej krivky 540
§ 3. Tangenta medzi krivkami 542
238. Obálka rodiny kriviek 542
239. Príklady 545
240. Charakteristické body 549
241. Poradie dotyku dvoch kriviek 551
242. Prípad implicitnej špecifikácie jednej z kriviek 553
243. Súvislá krivka 554
244. Iný prístup k súvislým krivkám 556
§ 4. Dĺžka rovinného oblúka 557
245. Lemmy 557
246. Smer krivky 558
247. Dĺžka krivky. Aditivita dĺžky oblúka 560
248. Dostatočné podmienky na nápravu. Oblúkový diferenciál 562
249. Oblúk ako parameter. Smer kladnej dotyčnice 565
§ 5. Zakrivenie rovinnej krivky 568
250. Pojem zakrivenia 568
251. Kruh krivosti a polomer krivosti 571
252. Príklady 573
253. Súradnice stredu krivosti
254. Definícia evolúcie a evolúcie; hľadať evolúciu
255. Vlastnosti evolút a evolút
256. Hľadaj evolventy
DOPLNENIE. PROBLÉM ROZŠÍRENIA FUNKCIÍ
257. Prípad funkcie jednej premennej
258. Vyjadrenie problému pre dvojrozmerný prípad
259. Pomocné vety
260. Hlavná veta o šírení
261. Zovšeobecňovanie
262. Poznámky na záver
Abecedný index 600
Zväzok 2. OBSAH
ÔSMA KAPITOLA. DERIVÁTOVÁ FUNKCIA (NEURČITÝ INTEGRÁL)
§ 1. Neurčitý integrál a najjednoduchšie spôsoby jeho výpočtu 11
263. Pojem primitívnej funkcie (a neurčitého integrálu) 11
264. Integrálny a plošný problém 14
265. Tabuľka základných integrálov 17
266. Najjednoduchšie integračné pravidlá 18
267. Príklady 19
268. Integrácia zmenou premennej 23
269. Príklady 27
270. Integrácia po častiach 31
271. Príklady 32
§ 2. Integrácia racionálnych výrazov 36
272. Vyjadrenie k problému integrácie v konečnej podobe 36
273. Jednoduché zlomky a ich integrácia 37
274. Rozklad vlastných zlomkov na jednoduché 38
275. Stanovenie koeficientov. Integrácia vlastných zlomkov 42
276. Oddelenie racionálnej časti integrálu 43
277. Príklady 47
§ 3. Integrácia niektorých výrazov obsahujúcich radikály 50
278. Integrácia výrazov tvaru R .yx + 8
279. Integrácia binomických diferenciálov. Príklady 51
280. Redukčné vzorce 54
281. Integrácia výrazov tvaru K\x, liax2 + bx + c). Substitúcie -^ Euler
282. Geometrické spracovanie Eulerových substitúcií 59
283. Príklady 60
284. Iné spôsoby výpočtu 66
285. Príklady 72
§ 4. Integrácia výrazov obsahujúcich goniometrické a exponenciálne funkcie 74
286. Integrácia diferenciálov i?(sin x, cos x) dx 74
287. Integrácia výrazov sinv xcosto 76
288. Príklady 78
289. Prehľad iných prípadov 83 § 5. Eliptické integrály 84
290. Všeobecné poznámky a definície 84
291. Pomocné premeny 86
292. Redukcia na kánonickú formu 88
293. Eliptické integrály 1., 2. a 3. druhu 90
DEVIATA KAPITOLA. DEFINÍCIA INTEGRÁLNA
§ 1. Definícia a podmienky existencie určitého integrálu 94
294. Iný prístup k plošnému problému 94
295. Definícia 96
296. Darboux sčítava 97
297. Podmienka existencie integrálu 100
298 Triedy integrovateľných funkcií 101
299. Vlastnosti integrovateľných funkcií 103
300. Príklady a dodatky 105
301 Dolné a horné integrály ako limity 106
§ 2. Vlastnosti určitých integrálov 108
302. Integrál cez orientovaný interval 108
303. Vlastnosti vyjadrené rovnosťami 109
304. Vlastnosti vyjadrené nerovnicami 110
305 Určitý integrál ako funkcia hornej hranice 115
306. Druhá veta o strednej hodnote 117
§ 3. Výpočet a transformácia určitých integrálov 120
307. Výpočet pomocou celočíselných súčtov 120
308. Základný vzorec integrálneho počtu 123
309. Príklady 125
310. Iné odvodenie hlavného vzorca 128
311. Redukčné vzorce 130
312. Príklady 131
313. Vzorec na zmenu premennej v určitom integráli 134
314. Príklady 135
315. Gaussov vzorec. Landen Transform 141
316. Iné odvodenie zmeny premenného vzorca 143
§ 4. Niektoré aplikácie určitých integrálov 145
317. Wallis Formula 145
318. Taylorov vzorec s dodatočným výrazom 146
319. Presah čísla e 146
320. Legendrove mnohočleny 148
321. Integrálne nerovnosti 151
§ 5. Približný výpočet integrálov 153
322. Vyjadrenie problému. Vzorce obdĺžnikov a lichobežníkov 153
323. Parabolická interpolácia 156
324. Rozdelenie intervalu integrácie 158
325. Doplnkový člen vzorca obdĺžnikov 159
326. Doplnkový člen lichobežníkového vzorca 161
327. Dodatočný výraz Simpsonovho vzorca 162
328. Príklady 164
DESIATA KAPITOLA. APLIKÁCIE INTEGRÁLNEHO POČTU V GEOMETRII, MECHANIKE A FYZIKE
§ 1. Dĺžka oblúka 169
329 Výpočet dĺžky krivky 169
330. Iný prístup k definícii pojmu dĺžka krivky a jej výpočtu
331. Príklady 174
332. Prirodzená rovnica rovinnej krivky 180
333. Príklady 183
334. Dĺžka oblúka priestorovej krivky 185
§ 2. Plochy a zväzky 186
335. Vymedzenie pojmu plocha. Aditívna vlastnosť 186
336. Oblasť ako hranica 188
337. Triedy kvadratúrnych oblastí 190
338. Vyjadrenie plochy integrálom 192
339. Príklady 195
340. Vymedzenie pojmu objem. Jeho vlastnosti 202
341. Triedy telies s objemami 204
342. Vyjadrenie objemu integrálom 205
343. Príklady 208
344. Plocha rotácie 214
345. Príklady 217
346. Valcová plocha 220
347. Príklady 222
§ 3. Výpočet mechanických a fyzikálnych veličín 225
348. Schéma aplikovania určitého integrálu 225
349. Hľadanie statických momentov a ťažiska krivky 228
350. Príklady 229
351. Hľadanie statických momentov a ťažiska rovinného útvaru
352. Príklady 232
353. Mechanická práca 233
354. Príklady 235
355. Práca trecej sily v plochej nohe 237
356. Problémy so sčítaním nekonečne malých prvkov 239
§ 4. Najjednoduchšie diferenciálne rovnice 244
357. Základné pojmy. Rovnice prvého poriadku 244
358. Rovnice prvého stupňa vzhľadom na deriváciu. Separácia premenných
359. Úlohy 247
360. Poznámky k zostavovaniu diferenciálnych rovníc 253
361. Úlohy 254
JEDENÁSTA KAPITOLA. NEKONEČNÉ RADY S STÁLÝMI ČLENMI
§ 1. Úvod 257
362. Základné pojmy 257
363. Príklady 258
364. Základné vety 260
§ 2. Konvergencia kladných sérií 262
365. Podmienka konvergencie kladného radu 262
366. Vety o porovnávaní radov 264
367. Príklady 266
368. Známky Cauchyho a D'Alemberta 270
369. Znamenie Raabe 272
370. Príklady 274
371. Kummer znak 277
372. Gaussov znak 279
373. Maclaurinov-Cauchyho integrálny znak 281
374. Znak Ermakov 285
375. Prírastky 287
§ 3. Konvergencia ľubovoľného radu 293
376. Všeobecná podmienka pre konvergenciu radu 293
377 Absolútna konvergencia 294
378. Príklady 296
379. Mocninný rad, jeho interval konvergencie 298
380. Vyjadrenie polomeru konvergencie v koeficientoch 300
381. Striedavá séria 3 02
382. Príklady 303
383 Abelova premena 305
384. Znamenia Abela a Dirichleta 307
385. Príklady 308
§ 4. Vlastnosti konvergentných radov 313
386. Asociačná vlastnosť 313
3 87. Komutatívna vlastnosť absolútne konvergentných radov 315
388. Prípad neabsolútne konvergentných radov 316
389. Násobenie riadkov 320
390. Príklady 323
391. Všeobecná veta z teórie limitov 325
392. Ďalšie vety o násobení 327 radu
§ 5. Opakované a dvojrady 329
393. Opakujte riadky 329
394. Dvojrady 333
395. Príklady 338
396 Výkonový rad s dvoma premennými; oblasť konvergencie 346
397. Príklady 348
398. Viaceré riadky 350
§ 6. Nekonečné produkty 350
399. Základné pojmy 350
400. Príklady 351
401. Základné vety. Vzťah s riadkami 353
402. Príklady 356
§ 7. Rozšírenia elementárnych funkcií 364
403. rozšírenie funkcie v mocninnom rade; Taylor riadok 364
404. Expanzia v rade exponenciálnych, základných goniometrických funkcií atď.
405. Logaritmický rad 368
406. Vzorec šterlingov 369
407. Binomický rad 371
408. Rozklad sínusu a kosínusu na nekonečné súčiny 374
§ 8. Približné výpočty pomocou sérií. Konverzia série 378
409. Všeobecné poznámky 378
410. Výpočet čísla do 379
411 Výpočet logaritmov 381
412. Výpočet koreňov 383
413. Transformácia Eulerovej série 3 84
414. Príklady 386
415. Kummerova premena 388
416. Markovova premena 392
§ 9. Súčet divergentných radov 394
417. Úvod 394
418 Metóda výkonového radu 396
419. Tau Berova veta 398
420. Metóda aritmetických priemerov 401
421. Vzťah medzi Poisson-Abelovou a Cesarovou metódou 403
422. Hardyho-Landauova veta 405
423. Aplikácia zovšeobecneného súčtu na násobenie radu 407
424. Iné metódy zovšeobecneného sčítania radu 408
425. Príklady 413
426. Všeobecná trieda metód lineárneho pravidelného súčtu 416
KAPITOLA 12. FUNKČNÉ SEKVENCIE A SÉRIE
§ 1. Rovnomerná konvergencia 419
427. Úvodné poznámky 419
428. Rovnomerná a nerovnomerná konvergencia 421
429. Podmienka rovnomernej konvergencie 425
430. Kritériá rovnomernej konvergencie radu 427
§ 2. Funkčné vlastnosti súčtu radu 430
431. Spojitosť súčtu radu 430
432. Poznámka ku kvázi-jednotnej konvergencii 432
433. Obdobie za obdobím do limitu 434
434. Termínová integrácia série 436
435. Termínová diferenciácia radu 438
436. Hľadisko sekvencie 441
437. Spojitosť súčtu mocninového radu 444
438. Integrácia a diferenciácia mocninových radov 447
§ 3 dodatky 450
439. Príklady spojitosti súčtu radu a prechodu k limitnému členu po člene
440. Príklady integrácie série po členoch 457
441. Príklady na členenie série 468 podľa jednotlivých pojmov
442. Metóda postupných aproximácií v teórii implicitných funkcií 474
443. Analytická definícia goniometrických funkcií 477
444. Príklad spojitej funkcie bez derivácie 479
§ 4. Ďalšie informácie o mocninnom rade 481
445. Akcie na mocninnom rade 481
446. Nahradenie riadku riadkom 485
447. Príklady 487
448. Rozdelenie mocenského radu 492
449. Bernoulliho čísla a rozšírenia, v ktorých sa vyskytujú 494
450. Riešenie rovníc radom 498
451. Inverzia výkonového radu 502
452. Lagrangeova séria 505
§ 5. Elementárne funkcie komplexnej premennej 508
453. Komplexné čísla 508
454. Komplexný variant a jeho limit 511
455. Funkcie komplexnej premennej 513
456 Power Series 515
457. Exponenciálna funkcia 518
458. Logaritmická funkcia 520
459. Goniometrické funkcie a ich inverzné funkcie 522
460 Funkcia napájania 526
461. Príklady 527
§ 6. Obálkové a asymptotické rady. Euler-Maclaurin vzorec 531
462. Príklady 531
463. Definície 533
464. Základné vlastnosti asymptotických expanzií 536
465. Odvodenie Euler-Maclaurinovho vzorca 540
466. Štúdium dodatočného termínu 542
467. Príklady výpočtov pomocou Euler-Maclaurinovho vzorca 544
468. Iná forma Euler-Maclaurinovho vzorca 547
469. Sterlingov vzorec a rad 550
TRINÁSTA KAPITOLA. Nesprávne integrály
§ 1. Nevlastné integrály s nekonečnými limitami 552
470. Definícia integrálov s nekonečnými limitami 552
471. Aplikácia základného vzorca integrálneho počtu 554
472. Príklady 555
473. Analógia so sériou. Najjednoduchšie vety 558
474 Konvergencia integrálu v prípade kladnej funkcie 559
475 Konvergencia integrálu vo všeobecnom prípade 561
476. Znamenia Abela a Dirichleta 563
477. Redukcia nesprávneho integrálu na nekonečný rad 566
478. Príklady 569
§ 2. Nevlastné integrály neobmedzených funkcií 577
479. Definícia integrálov neobmedzených funkcií 577
480. Poznámka k singulárnym bodom 581
481. Aplikácia základného vzorca integrálneho počtu. Príklady
482. Podmienky a znaky existencie integrálu 584
483. Príklady 587
484. Hlavné hodnoty nesprávnych integrálov 590
485. Poznámka k zovšeobecneným hodnotám divergentných integrálov 595
§ 3. Vlastnosti a transformácia nevlastných integrálov 597
486. Najjednoduchšie vlastnosti 597
487. Vety o strednej hodnote 600
488 Integrácia po častiach v prípade nesprávnych integrálov 602
489. Príklady 602
490 Zmena premenných v nesprávnych integráloch 604
491. Príklady 605
§ 4. Špeciálne metódy na výpočet nevlastných integrálov 611
492 Niektoré pozoruhodné integrály 611
493. Výpočet nevlastných integrálov pomocou integrálnych súčtov. Prípad integrálov s konečnými limitami
494. Prípad integrálov s nekonečnou hranicou 617
495 Frullani Integrals 621
496. Integrály racionálnych funkcií medzi nekonečnými limitami
497. Zmiešané príklady a cvičenia 629
§ 5. Približný výpočet nevlastných integrálov 641
498. Integrály s konečnými limitami; zvýraznenie funkcií 641
499. Príklady 642
500. Poznámka o približnom výpočte vlastných integrálov
501. Približný výpočet nevlastných integrálov s nekonečnou limitou
502 Používanie asymptotických expanzií 650
KAPITOLA ŠTRNÁSŤ. INTEGRÁLY V ZÁVISLOSTI NA PARAMETRE
§ 1. Elementárna teória 654
503. Vyhlásenie problému 654
504. Rovnomerná aspirácia na limitnú funkciu 654
505. Permutácia dvoch priechodov na limit 657
506. Prechod na hranicu pod znamienkom integrálu 659
507. Diferenciácia podľa integrálneho znaku 661
508 Integrácia pod znakom integrálu 663
509. Prípad kedy a hranice integrálu závisia od parametra 665
510. Zavedenie násobiteľa v závislosti len od x 668
511. Príklady 669
512. Gaussovský dôkaz základnej vety algebry 680
§ 2. Rovnomerná konvergencia integrálov 682
513. Definícia rovnomernej konvergencie integrálov 682
514. Podmienka rovnomernej konvergencie. Vzťah s riadkami 684
515. Dostatočné testy na rovnomernú konvergenciu 684
516. Ďalší prípad rovnomernej konvergencie 687
517. Príklady 689
§ 3. Použitie rovnomernej konvergencie integrálov 694
518. Prechod na hranicu pod znamienkom integrálu 694
519. Príklady 697
520 Spojitosť a diferencovateľnosť integrálu vzhľadom na parameter 710
521 Integrácia integrálu vzhľadom na parameter 714
522. Aplikácia na výpočet určitých integrálov 717
523. Príklady na diferenciáciu podľa integrálneho znaku 723
524. Príklady integrácie pod integrálnym znakom 733
§ 4. Dodatky 743
525. Artzelova lemma 743
526. Prechod na hranicu pod znamienkom integrálu 745
527. Diferenciácia pod znakom integrálu 748
528 Integrácia pod znakom integrálu 749
§ 5. Eulerove integrály 750
529. Eulerov integrál prvého druhu 750
530. Eulerov integrál druhého druhu 753
531. Najjednoduchšie vlastnosti funkcie Г 754
532. Jedinečná definícia funkcie Γ jej vlastnosťami 760
533. Ďalšia funkčná charakteristika funkcie Г 762
534. Príklady 764
535. Logaritmická derivácia funkcie Г 770
536. Veta o násobení pre funkciu Г 772
537. Niektoré rozšírenia do sérií a produktov 774
538. Príklady a dodatky 775
539. Výpočet určitých určitých integrálov 782
540. Vzorec šterlingov 789
541 Výpočet Eulerovej konštanty 792
542. Zostavenie tabuľky desiatkových logaritmov funkcie Г 793
Abecedný register 795
Abecedný index
G. M. Fikhtengolts
KURZ DIFERENCIÁLNEHO A INTEGRÁLNEHO POČTU
ZVUK 1
Obsah
ÚVOD
REÁLNE ČÍSLA
§ 1. Oblasť racionálnych čísel 11 1. Úvodné poznámky 11 2. Usporiadanie oblasti racionálnych čísel 12 3. Sčítanie a odčítanie racionálnych čísel 12 4. Násobenie a delenie racionálnych čísel 14 5. Archimedova axióma 16
§ 2. Zavedenie iracionálnych čísel. Usporiadanie domény reálnych čísel
17 6. Definícia iracionálneho čísla 17 7. Usporiadanie definičného oboru reálnych čísel 19 8. Pomocné vety 21 9. Znázornenie reálneho čísla nekonečným desatinným zlomkom 22 10. Spojitosť definičného oboru reálnych čísel 24 11. Hranice číselných sád 25
§ 3. Aritmetické operácie s reálnymi číslami 28 12. Definícia súčtu reálnych čísel 28 13. Vlastnosti sčítania 29 14. Definícia súčinu reálnych čísel 31 15. Vlastnosti násobenia 32 16. Záver 34 17. Absolútne hodnoty 34
§ 4. Ďalšie vlastnosti a aplikácie reálnych čísel 35 18. Existencia koreňa. Mocnina s racionálnym exponentom 35 19. Mocnina s ľubovoľným reálnym exponentom 37 20. Logaritmy 39 21. Meranie segmentov 40
PRVÁ KAPITOLA. TEÓRIA LIMITOV
§ 1. Opcie a ich limit 43 22. Variabilná hodnota, opcie 43 23. Limit opcií 46
24. Nekonečne malé množstvá 47 25. Príklady 48 26. Niektoré vety o variante s limitou 52 27. Nekonečne veľké množstvá 54
§ 2. Limitné vety, ktoré uľahčujú hľadanie limity 56 28. Prechod na limitu v rovnosti a nerovnosti 56 29. Nekonečne malé lemy 57 30. Aritmetické operácie s premennými 58 31. Neurčité výrazy 60 32. Príklady na hľadanie limity 62 33 Stolzova veta a jej aplikácie 67
§ 3. Monotónny variant 70 34. Limit Monotónneho variantu 70 35. Príklady 72 36. Číslo e 77 37. Približný výpočet čísla e 79 38. Lema na vnorených intervaloch 82
§ 4. Princíp konvergencie. Parciálne limity 83 39. Princíp konvergencie 83 40. Parciálne postupnosti a parciálne limity 85 41. Bolzano-Weierstrassova lemma 87 42. Maximálne a minimálne limity 89
DRUHÁ KAPITOLA. FUNKCIE JEDINEJ PREMENNEJ
§ 1. Pojem funkcie 93 43. Premenná a jej rozsah 93 44. Funkčná závislosť medzi premennými. Príklady 94 45. Definícia pojmu funkcie 95 46. Analytický spôsob definovania funkcie 98 47. Graf funkcie 100 48. Najdôležitejšie triedy funkcií 102 49. Pojem inverznej funkcie 108 50. Inverzná goniometrické funkcie 110 51. Superpozícia funkcií. Záverečné poznámky 114
§ 2. Limita funkcie 115 52. Definícia limity funkcie 115
53. Redukcia na prípad variantov 117 54. Príklady 120 55. Rozšírenie teórie limitov 128 56. Príklady 130 57. Limita monotónnej funkcie 133 58. Spoločný test Bolzano-Cauchyho 134 59. Maximálne a minimálne limity funkcia 135
§ 3. Klasifikácia infinitezimál a infinitesimál 136 60. Porovnanie infinitezimál 136 61. Mierka infinitezimál 137 62. Ekvivalentné infinitezimály 139 63. Izolácia hlavnej časti 141 64. Úlohy 1655 finitesimál klasifikácia 143
§ 4. Spojitosť (a nespojitosti) funkcií 146 66. Určenie spojitosti funkcie v bode 146 67. Aritmetické operácie so spojitými funkciami 148 68. Príklady spojitých funkcií 148 69. Jednostranná spojitosť. Klasifikácia nespojitostí 150 70. Príklady nespojitých funkcií 151 71. Spojitosť a nespojitosti monotónnej funkcie 154 72. Spojitosť elementárnych funkcií 155 73. Superpozícia spojitých funkcií 156 74. Riešenie funkčnej rovnice 157 75. Funkčná charakteristika exponenciál, logaritmické a mocninové funkcie
158 76. Funkčné charakteristiky trigonometrických a hyperbolických kosínusov
160 77. Použitie spojitosti funkcií na výpočet limitov 162 78. Výrazy mocninového exponentu 165 79. Príklady 166
§ 5. Vlastnosti spojitých funkcií 168 80. Úbežná veta 168 81. Aplikácia na riešenie rovníc 170 82. Veta o strednej hodnote 171
83. Existencia inverznej funkcie 172 84. Veta o obmedzenosti funkcie 174 85. Najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie 175 86. Pojem rovnomernej spojitosti 178 87. Cantorova veta 179 88. Borelova lema 89 180 Nové dôkazy hlavných viet 182
KAPITOLA TRETIA. DERIVÁTY A DIFERENCIÁLY
§ 1. Derivácia a jej výpočet 186 90. Úloha výpočtu rýchlosti pohybujúceho sa bodu 186 91. Úloha kreslenia dotyčnice ku krivke 187 92. Definovanie derivácie 189 93. Príklady výpočtu derivácií 193 94. Derivácia inverznej funkcie 196 95. Súhrn vzorcov pre derivácie 198 96 Vzorec pre inkrementáciu funkcie 198 97 Jednoduché pravidlá pre výpočet derivácií 199 98 Derivácia komplexnej funkcie 202 99 Príklady 203 100 Jednostranné derivácie 209 101 Derivácia 201 Infinite 29 Ďalej špeciálnych prípadov 211
§ 2. Diferenciál 211 103. Definícia diferenciálu 211 104. Súvislosť medzi diferencovateľnosťou a existenciou derivácie
213 105. Základné vzorce a pravidlá diferenciácie 215 106. Invariantnosť tvaru diferenciálu 216 107. Diferenciály ako zdroj približných vzorcov 218 108. Aplikácia diferenciálov pri odhadovaní chýb 220
§ 3. Základné vety diferenciálneho počtu 223 109. Fermatova veta 223 110. Darbouxova veta 224 111. Rolleova veta 225 112. Lagrangeov vzorec 226
113 Hranica odvodenia 228 114 Cauchyho vzorec 229
§ 4. Deriváty a diferenciály vyšších rádov 231 115. Definícia derivátov vyšších rádov 231 116. Všeobecné vzorce pre deriváty ľubovoľného rádu 232 117. Leibnizov vzorec 236 118. Príklady 238 119. Diferenciály vyšších rádov 231 241 tvarová invariancia pre diferenciály vyšších rádov
242 121. Parametrická diferenciácia 243 122. Konečné rozdiely 244
§ 5. Taylorov vzorec 246 123. Taylorov vzorec pre polynóm 246 124. Rozklad ľubovoľnej funkcie; dodatočný termín vo formulári
Peano
248 125. Príklady 251 126. Iné tvary doplnkového pojmu 254 127. Približné vzorce 257
§ 6. Interpolácia 263 128. Najjednoduchší problém interpolácie. Lagrangeov vzorec 263 129. Doplnkový člen Lagrangeovho vzorca 264 130. Interpolácia s viacerými uzlami. Hermite vzorec 265
ŠTVRTÁ KAPITOLA. SKÚMANIE FUNKCIE S POMOCOU
DERIVÁTY
§ 1. Štúdium priebehu zmeny funkcie 268 131. Podmienka stálosti funkcie 268 132. Podmienka monotónnosti funkcie 270 133. Dôkaz nerovníc 273 134. Maximá a minimá; nevyhnutné podmienky 276 135. Dostatočné podmienky. Prvé pravidlo 278 136. Príklady 280 137. Druhé pravidlo 284 138. Použitie vyšších derivácií 286 139. Nájdenie najväčších a najmenších hodnôt 288
140. Úlohy 290
§ 2. Konvexné (a konkávne) funkcie 294 141. Definícia konvexnej (konkávnej) funkcie 294 142. Najjednoduchšie tvrdenia o konvexných funkciách 296 143. Podmienky konvexnosti funkcie 298 144. Jensenova nerovnosť a jej aplikácie 145 3.0 Inflexné body 303
§ 3. Zostrojenie grafov funkcií 305 146. Zadanie úlohy 305 147. Schéma na zostrojenie grafu. Príklady 306 148. Nekonečné medzery, nekonečná medzera. Asymptoty 308 149. Príklady 311
§ 4. Zverejnenie neistôt 314 150. Neistota tvaru 0/0 314 151. Neistota tvaru
∞
∞ /
320 152. Iné typy neistôt 322
§ 5. Približné riešenie rovnice 324 153. Úvodné poznámky 324 154. Pravidlo pomerných častí (metóda akordov) 325 155. Newtonovo pravidlo (metóda dotyčníc) 328 156. Príklady a cvičenia 331 1335. Kombinovaná metóda 51 Kombinovaná metóda a cvičenia 336
PIATA KAPITOLA. FUNKCIE VIAC PREMENNÝCH
§ 1. Základné pojmy 340 159. Funkčná závislosť medzi premennými. Príklady 340 160. Funkcie dvoch premenných a ich domény 341 161. Aritmetický n-rozmerný priestor 345 162. Príklady oblastí v n-rozmernom priestore 348 163. Všeobecná definícia otvorenej a uzavretej oblasti 350 164. Funkcie n premenných 352 165 Limita funkcie viacerých premenných 354 166. Redukcia na prípad variantov 356 167. Príklady 358 168. Opakované limity 360
§ 2. Spojité funkcie 362 169. Spojitosť a nespojitosť funkcií viacerých premenných 362 170. Operácie so spojitými funkciami 364 171. Funkcie spojité v obore. Bolzanove-Cauchyho vety 365 172. Bolzanova-Weierstrassova lemma 367 173. Weierstrassove vety 369 174. Rovnomerná spojitosť 370 175. Borelova lemma 372 176. Nové dôkazy 717. diferenciálnych funkcií a 37 hlavných funkcií. derivácie a parciálne diferenciály 375 178 Celkový prírastok funkcie 378 179 Celkový diferenciál 381 180 Geometrická interpretácia pre prípad funkcie dvoch premenných
383 181. Derivácie komplexných funkcií 386 182. Príklady 388 183. Konečný prírastkový vzorec 390 184. Derivácia v danom smere 391 185. Invariantnosť tvaru (prvého) diferenciálu 394 186. Aplikácia celkového diferenciálu 396 v približnom 187. Homogénne funkcie 399 188. Eulerov vzorec 400
§ 4. Derivácie k diferenciálom vyššieho rádu 402 189. Deriváty vyššieho rádu 402 190. Veta o zmiešaných deriváciách 404 191. Zovšeobecnenie 407 192. Deriváty vyšších rádov komplexnej funkcie 408 193. Diferenciály vyšších rádov 1941. funkcie 413 195. Formula Taylor 414
§ 5. Extrémy, maximálne a minimálne hodnoty 417 196. Extrémy funkcie viacerých premenných. Nevyhnutné podmienky
417 197. Dostatočné podmienky (prípad funkcie dvoch premenných) 419
198. Dostatočné podmienky (všeobecný prípad) 422 199. Podmienky neprítomnosti extrému 425 200. Najväčšie a najmenšie hodnoty funkcií. Príklady 427 201. Úlohy 431
ŠIESTA KAPITOLA. FUNKČNÉ URČOVAČE; ONI
APPS
§ 1. Formálne vlastnosti funkčných determinantov 441 202. Definícia funkčných determinantov (Jakobi) 441 203. Násobenie jakobiánov 442 204. Násobenie funkčných matíc (Jakobiho matice) 444
§ 2. Implicitné funkcie 447 205. Pojem implicitnej funkcie jednej premennej 447 206. Existencia implicitnej funkcie 449 207. Diferencovateľnosť implicitnej funkcie 451 208. Implicitné funkcie viacerých premenných 453 209. Výpočet implicitných derivácií funkcie 460 210. Príklady 463
§ 3. Niektoré aplikácie teórie implicitných funkcií 467 211. Relatívne extrémy 467 212. Metóda neurčitých Lagrangeových multiplikátorov 470 213. Dostatočné podmienky pre relatívne extrémy 472 214. Príklady a úlohy 473 215. Pojem nezávislosti funkcií 477 216. Hodnosť jakobijskej matrice 479
§ 4. Zmena premenných 483 217. Funkcie jednej premennej 483 218. Príklady 485 219. Funkcie viacerých premenných. Zmena nezávislých premenných
488 220. Metóda výpočtu rozdielov 489 221. Všeobecný prípad zmeny premenných 491 222. Príklady 493
SIEDMA KAPITOLA. APLIKÁCIE DIFERENCIÁLOV
POČET KU GEOMETRII
§ 1. Analytické znázornenie kriviek a plôch 503
223. Krivky v rovine (v pravouhlých súradniciach) 503 224. Príklady 505 225. Krivky mechanického pôvodu 508 226. Krivky v rovine (v polárnych súradniciach). Príklady 511 227. Plochy a krivky v priestore 516 228. Parametrické zobrazenie 518 229. Príklady 520
§ 2. Dotyčnica a dotyková rovina 523 230. Dotyčnica k rovinnej krivke v pravouhlých súradniciach 523 231. Príklady 525 232. Dotyčnica v polárnych súradniciach 528 233. Príklady 529 234. Dotyčnica k priestorovej krivke. Dotyková rovina k povrchu
530 235. Príklady 534 236. Singulárne body rovinných kriviek 535 237. Prípad parametrického definovania krivky 540
§ 3. Dotyčnosť kriviek 542 238. Obálka skupiny kriviek 542 239. Príklady 545 240. Charakteristické body 549 241. Poradie dotykovosti dvoch kriviek 551 242. Prípad implicitnej špecifikácie jednej z kriviek 24 353 Dotýkanie sa krivky 554 244. Iný prístup k dotyku kriviek 556
§ 4. Dĺžka rovinnej krivky 557 245. Lemmy 557 246. Smer na krivke 558 247. Dĺžka krivky. Aditivita dĺžky oblúka 560 248. Dostatočné podmienky pre rektifikovateľnosť. Oblúkový diferenciál 562 249. Oblúk ako parameter. Smer kladnej dotyčnice 565
§ 5. Zakrivenie rovinnej krivky 568 250. Pojem zakrivenia 568 251. Kruh zakrivenia a polomer zakrivenia 571 252. Príklady 573
253. Súradnice stredu krivosti 577 254. Definícia evolúty a evolúty; hľadanie evolventy 578 255. Vlastnosti evolút a evolvent 581 256. Vyhľadávanie evolút 585
DOPLNENIE. PROBLÉM ROZŠÍRENIA FUNKCIÍ
257 Prípad funkcie jednej premennej 587 258 Vyjadrenie úlohy pre dvojrozmerný prípad 588 259 Pomocné výroky 590 260 Hlavná veta o šírení 594 261 Zovšeobecnenie 595 262 Záverečné poznámky 597
Abecedný index 600
Abecedný index
Absolútna hodnota 14, 31, 34
Absolútny extrém 469
Algebraická funkcia 448
Analytický spôsob definovania funkcie 97, 98
Funkčné analytické vyjadrenie
98
- znázornenie kriviek 503, 517
-- povrchy 517
Anomália (excentrická) planéty
174
Argument funkcie 95, 341
Aritmetická hodnota koreňa
(radikálne) 36, 103
- priestor 345
Arcsine, arccosine atď. 110
Archimedes 64
Archimedova axióma 16, 34
Archimedova špirála 512, 529
Asymptota 309
Asymptotický bod 513, 514
Astroid 506, 511, 526, 546, 573, 583
Barometrický vzorec 95
Bernoulli, Ján 206, 314
- Jakub 38
- lemniskát 515, 530, 575, 577
Nekonečné desatinné číslo 22
- derivát 209
Nekonečne veľká hodnota 54,
117
- - - klasifikácia 145
--- objednávka 145
- malá hodnota 47, 117
- - - vyšší rád [označenie
O(
a)] 136,137
- - - klasifikácia 136
--- Lemmy 57
--- objednávka 137
--- rovnocennosť 139
Nekonečno
,
−∞
+∞
26, 55
Nekonečná medzera 94, 308
- medzera 309
Boyle-Mariottov zákon 94
Bolzano 84
Bolzanova metóda 88
Bolzano-Weierstrass Lemma 87,
367
Bolzanova-Cauchyova veta 1. a 2
168, 171, 182, 366
-- stav 84, 134
Borel Lemma 181, 372
Možnosť 44, 344
- rastúci (neklesajúci) 70
- s limitom 52
- ako funkčná ikona 96
Monotónne 70
- obmedzené 53
- klesajúci (nezvyšujúci sa) 70
Weierstrass-Bolzano Lemma 87,
367
- vety 1 a 2 175, 176, 183,
369, 370, 373
Vertikálna asymptota 309
Horná hranica nastaveného počtu 26
---- dobre 26
Reálne čísla 19
-- odčítanie 31
-- divízia 34
- - desatinná aproximácia 22
- - oblasť 24 súvislosť
- - oblasť hustoty (zvýšená) 21
-- rovnosť 19
-- doplnok 28
-- násobenie 31
-- objednávanie plôch 19
Vivianiho krivka 521, 535
Helix 521, 534
- povrch 523, 535
Vnorené rozpätia, Lemma 83
Vnútorný bod súpravy 350
Konkávne (konvexné nahor) funkcie alebo krivky 295
- - - - podmienky konkávnosti 298
Návratový bod 539, 541
Možnosť zvýšenia 70
- funkcia 133
Rotačná plocha 522
Konvexné (konvexné dole) funkcie alebo krivky 294
- - - - podmienky konvexnosti 298
- prísne funkcie alebo krivky 298
Infinitezimálne vyššieho rádu
[označenie o(
a)] 136,137
- - diferenciály 241
- - - funkcie viacerých premenných
410
- - deriváty 231, 232
245
--- súkromný 402
Harmonické 208
Gauss 74, 439
Holder-Cauchyho nerovnosť 275,
302
Zemepisné súradnice 522
Geometrická interpretácia diferenciálu 214
-- úplný diferenciál 386
- - derivát 190
Hyperbola 506, 575, 580
- rovnoramenné 102, 103
Hyperbolická špirála 529
Hyperbolický sínus, kosínus atď. 107
- funkcie, nadväznosť 149
-- spiatočka 108-109
- - deriváty 205
Hypocykloida 509
Hlavná vetva (hlavná hodnota) arcsínusu, arkkozínu atď.
110, 114
- časť (hlavný člen) nekonečne malého 141
Hladká krivka 594
Horizontálna asymptota 309
Funkčný gradient 394
Hranica oblasti 351
- sada čísel (horná, dolná) 25-28
--- dobre 26
Graf funkcií 100
-- budova 305
-- priestorové 343
Huygens vzorec 260
Darbouxova veta 224
Pohybová rovnica 187
Bod dvojitej krivky 538
Dvojitý limit funkcie 360
Funkcia dvoch premenných 341
Dedekind 17
Dedekindova hlavná veta 25
Reálne čísla, viď
Reálne čísla
Kartézsky list 507, 538
Desatinná aproximácia reálneho čísla 22
Desatinné logaritmy 79
Priemer sady bodov 371
Dirichletova funkcia 99, 102, 153
Diskriminačná krivka 545, 550
Diferenciál 211, 215
- poradie, 1., 2., n 241
- geometrický výklad 214
- oblúky 562, 567
- tvarová invariancia 216
- celých 382
-- poradie, 1., 2., n 410
- - geometrický výklad 386
- - tvarová invariancia 394
- - spôsob výpočtu (pri zmene premenných) 489
- aplikácia na približné výpočty 218, 220, 396
- súkromná 378, 411
Diferenciácia 215
- parametrické 243
- pravidlá 215, 395
Diferencovateľná funkcia 212, 382
Diferencovateľnosť implicitnej funkcie 451
Dĺžka segmentov 40
- plochá krivka 560
--- aditívnosť 560
- priestorová krivka 567
Dodatočný výraz vzorca
Taylor 249, 257, 415
--- Lagrange 263
--- Ermita 266
Zlomková racionálna funkcia 103
---- kontinuita 148
- - - viac premenných 353
e(číslo) 78, 148
- iracionalita 82
- približný výpočet 81
Jednotka 14, 32
Závislé funkcie 478
Zmena premenných 483
Uzavretý priestor 351
- guľa 351
Uzavretá súprava 351
Uzavretý box 351
Uzavretá medzera 93
- simplex 351
Bodový bod 539
Tlmené kmitanie 208, 282
Pravidlo znamienok (pri násobení) 16,
32
Jensen 295
Jensenova nerovnosť 301
Meranie vzdialenosti 40
Izolovaný bod krivky 536, 539
Invariantnosť diferenciálneho tvaru 216, 394
Interpolácia 263
Interpolácia uzlov 263
- - násobky 266
Interpolačný vzorec
Lagrange 263
-- Ermita 266
Iracionálne čísla 19
Cantorova veta 179, 184, 370, 374
Kardioidný 510, 515, 530
Dotykové krivky 542
-- objednávka 551
Tangenta 188, 210, 386, 523, 530,
533, 555
- jednostranný 209
- strih 524
-- polárna 528
- lietadlo 384, 532
- kladný smer 567
Tangentová transformácia 485,
487, 493, 500
Tangentová metóda (približné riešenie rovníc) 328
Cassini ovál 515
Kvadratický tvar 423
Maximálne a minimálne hodnoty 476
-- nedefinované 425
-- definované 423
- - polodefinované 427
Keplerova rovnica 174
Clapeyronov vzorec 340, 377
Hladká krivka triedy 594
Klasifikácia nekonečne veľkých
145
-- malý 136
Funkčné triedy 102
Harmonické kmitanie 208
- tlmené 208, 282
- funkcie 177, 370
Kombinovaná metóda
(približné riešenie rovníc) 335
Kompresor 433
Konečné rozdiely 244
Vzorec konečných prírastkov 227,
390
Cone go, order, 2, 535
Súradnicové čiary (plochy)
520
Súradnice n- merací bod 345
Koreň reálneho čísla, existencia 35
- rovnice (funkcie), existencia 170
- - približný výpočet 170,
324
Kosínus 103
- funkčná charakteristika
160
- hyperbolický 107
160
Kosekant 103
Kotangens 103
- hyperbolický 107
Cauchy 67, 69, 84, 192
Cauchyho-Bolzanove vety 1 a 2
168, 171, 182, 366
-- stav 84, 134
- ďalší členský formulár 257
- vzorec 229
Viacnásobný bod krivky 505, 519, 538,
540
Zakrivenie 568
- kruh 571
- polomer 571
- priemer 568
- stred 571
Krivky, pozri príslušný názov
- vo vesmíre 517, 518
- v n-rozmerný priestor 347
- v lietadle 503, 508, 511
- prechodný 576
Kronecker 99
Kocka n-rozmerná 348
Po častiach hladká krivka 595
Lagrange 192, 257, 470
Lagrangeov interpolačný vzorec 263
--- dodatočný člen 265
- veta, vzorec 226, 227
- ďalší členský formulár 257,
415
Lebesgue 181
Legendreove polynómy 240
Legendre transformácia 487, 499,
500
Leibniz 192, 215, 241
Leibnizov vzorec 238, 241
Lemniscate Bernoulli 515, 530, 575,
577
Logaritmus, existencia 39
- desatinné číslo 50, 79
- prírodný (alebo neperov) 78
- - zmeniť na desatinné číslo 79
Logaritmická špirála 514, 529,
574, 581
- funkcia 103
- - kontinuita 155, 174
- - derivát 195, 197
Funkčná charakteristika
159
prerušovaná čiara (v n-rozmerný priestor)
347
L'Hopitalovo pravidlo 314, 320
Maclaurin vzorec 247, 251
Maximum, pozri extrém
Funkčná matica (Jacobi)
444, 478
-- stupeň 468, 471, 479
Matice násobenia 444
Len 44
Minimum, pozri extrém
Minkowského nerovnosť 276
Viachodnotová funkcia 96, 109, 341,
447, 453
Množina bodov je uzavretá 351
-- limitované 352
- numerické, obmedzené zhora, zdola 26
Násobiče neurčité, metóda
470
Modul prevodu z prirodzených logaritmov na desiatkové logaritmy 79
Monotónna možnosť 70
- funkcia 133
- - kontinuita, preruší 154
Podmienka monotónnosti funkcie 270
n premenná funkcia 352
n- bod s viacerými krivkami 540
n- viacnásobný limit 360
n-rozmerná guľa 349, 351
n-rozmerný priestor 345
n-rozmerná krabica 348, 351
n-rozmerný simplex 349, 351
Najvyššia hodnota funkcie je 176,
286
Možnosti najvyššieho limitu 89
-- funkcie 136
Najmenšia hodnota funkcie je 176,
289
- - - viac premenných 427
Možnosti najmenšieho limitu 89
-- funkcie 136
Metóda najmenších štvorcov 438
Šikmá asymptota 310
Prekrytie funkcií 114
Smer krivky 558
Prirodzený logaritmus 78
Nezávislosť funkcií 478
Nezávisle premenné 94, 341,
352
Zverejnenie neistôt 62, 314
- typ 0/0 60, 314
- -
∞
∞ / 61, 320
- -
∞
⋅
0 61, 322
- -
∞
−
∞
62, 323
- -
0 0
,
0
,
1
∞
∞
166, 323
Neurčité multiplikátory, metóda
470
Napier, Napierove logaritmy 78
Spojitosť definičného oboru reálnych čísel 24
- rovno 42
- pôsobí v oblasti 365
- - v intervale 148
-- v bode 146, 362
-- jednostranné 150
-- uniforma 178, 370
Spojité funkcie, operácie s nimi 148, 364
-- nehnuteľnosti 168-185, 365-374
- - superpozícia 114, 364
Nerovnosti, dôkaz 122,
273, 302
Cauchyho nerovnosť 275,346
- Cauchy-Gelder 275, 302
- Jensen 301
- Minkowski 276
Nesprávne čísla (body) 26, 55,
355
Implicitné funkcie 447, 453
- - výpočet derivátov 460
- - existencia a vlastnosti 449,
451, 453
Dolná hranica nastaveného počtu 26
---- dobre 26
Krivka normálna 523
--- strih 524
----- polárna 528
Normálny povrch 532, 534
Newtonova metóda (približné riešenie rovníc) 328
Relatívny extrém 467
Sekcia, meranie 40
- dotyčnica, normálna 524
--- polárna 528
Odhad chyby 220, 396
Región v n-rozmerný priestor
350
- premenlivé zmeny
(premenné) 95, 341
- zatvorené 351
- definície funkcií 95, 341
- otvorené 350
- spojenie 352
Inverzná funkcia 108
--- kontinuita 172
- - derivát 196
-- existencia 172
Inverzné goniometrické funkcie 110
- - - kontinuita 156, 174
- - - deriváty 197
Obyčajný bod (krivka alebo plocha) 504, 505, 520
Oválne Cassini 515
Curve Family Envelope 543
Obmedzená možnosť 53
Ohraničený bodový súbor
352
-- číselné 26
Ohraničenosť spojitej funkcie, Vety 175, 183,
369, 373
Funkcia jednej hodnoty 96, 341
Homogénna funkcia 399
Jednosmerná spojitosť a diskontinuity funkcie 150
Jednostranná dotyčnica 209
- derivát 209
- - vyššieho rádu 232
Okolie bodu 115
- -n-rozmerná 348, 349
Determinant, derivát 388
- funkčný (Jacobi) 441
Singulárny bod (krivka alebo plocha) 504, 505, 517, 518,
519, 531, 533, 535, 537
-- zateplené 536
-- dvojité 538
- - násobok 505, 519, 538, 540
Ostrohradský 442
Otvorená plocha 350
- guľa 349, 350
Otvorené rozpätie 93
- krabica 348, 350
- simplex 349, 350
Relatívna chyba 140, 218,
397
Parabola 64, 103, 525, 546, 575, 579
Paraboloid revolúcie 344
Rovnobežníkovité n-rozmerná 348
Parameter 217, 504
Parametrická diferenciácia 243
- znázornenie krivky 217, 504, 512
--- vo vesmíre 518
-- povrchy 519
Peano forma dodatočného termínu
249
Inflexný bod 303
Premenná 43, 93
- nezávislá 94, 341, 352
Variabilná náhrada 483
Komutatívna vlastnosť sčítania, násobenia 12, 14,
29, 32
Permutačná diferenciácia
405, 407
- limitné prechody 361, 406
Špirály 576
Pravidelné desatinné číslo 24
Povrch 343, 517, 519
- otáčky 522
Opakovaná limita funkcie viacerých premenných 360
Subtangens 207,524
- polárna 528
Podnormálne 524
- polárna 528
Následná sekvencia 85
Hraničný bod 351
Absolútna chyba, relatívna 139, 140, 218,
221, 397
exponenciálna funkcia 103
- - kontinuita 149, 155
- - derivát 194
- - funkčná charakteristika
158
Plne funkčný prírastok 378
Úplný diferenciál 381, 396
- - vyššieho rádu 410, 413
- - geometrický výklad 386
- - tvarová invariancia 394
- - aplikácie na približné výpočty 396
Polokubická parabola 506, 540,
548, 579
Polootvorené rozpätie 93
Polárny subtangens, subnormálny 528
Rovnica polárnej krivky 511
Polárne súradnice 493, 495, 512
Polárny segment dotyčnice, normálny 528
Rádovo nekonečná magnitúda 145
-- malá veľkosť 137
- diferenciál 241
- dotykové krivky 551
- derivát 231
Sekvencia 44
Stav stálosti funkcie 268
Pravidlo, pozri súvisiaci nadpis
Obmedzené možnosti 46, 48
-- nekonečný 55
- - jedinečnosť 54
- - monotónny 71
- - najväčší, najmenší 89
-- čiastočné 86
- vzťah 59
- práca 59
- derivát 228
- rozdiely 59
- čiastka 59
- funkcie 115, 117
- - monotónny 139
- - najväčší, najmenší 135
- - viac premenných 354, 357
- - - - opakované 360
-- Čiastočná 135
Prechod na hranicu v rovnosti, v nerovnosti 56
Legendre transformácia 487, 499,
500
- bod (roviny, priestory)
485, 493
Približné riešenie rovnice
324
Približné výpočty, diferenciálna aplikácia
218, 220, 396
Približné vzorce 140, 143,
218, 257-263
Variabilný prírastok 147
- funkcie, vzorec 199
- dokončené viaceré premenné, vzorec 379
----- súkromný 375
Zvýšte konečný vzorec 227,
390
Variant produktu, limit 59, 61
- funkcie, limit 129, 130
- - kontinuita 148, 364
216, 236, 241, 395
Súčin čísel 14, 31
Derivát pozri tiež názov, funkcie, 189
- nekonečný 209
- vyššieho rádu 231
- - - spojenie s konečnými rozdielmi
245
- geometrický výklad 190
- neexistencia 211
- jednostranný 209
- v danom smere 391
- pravidlá výpočtu 199
- medzera 211
- súkromný 375
- - vyššieho rádu 402
Medzera 82
- uzavretý, polootvorený, otvorený, konečný, nekonečný 93, 94
Medzihodnota, veta
171
Proporcionálne časti, pravidlo
325
Jednoduchý bod (krivka alebo plocha) 505, 520
Priestorový graf funkcie
343
priestor n-rozmerný
(aritmetický) 345
Priamo na n-rozmerný priestor 347
Rovnomerná spojitosť funkcie 178, 370
Radikálna, aritmetická hodnota
36, 103
Polomer zakrivenia 571
rozdielová možnosť atď., pozri súč
- čísla 13, 31
Derivačný zlom 211
- 146 funkcií
- - monotónna 154
- - obyčajný, milý, choď, a choď, 1, 2,
151
- - viac premenných 362
Poradie matice 468, 471, 479
Zverejnenie neistôt 62,
314
Distribučná vlastnosť násobenia 15, 34
Rozdelenie funkcií 587
Vzdialenosť medzi bodmi v n- dimenzionálny priestor 345
Racionálna funkcia 102
--- kontinuita 148
- - viac premenných 353
- - - - kontinuita 358, 563
Racionálne čísla, odčítanie 13
Delenie racionálnych čísel 15
-- hustota 12
-- doplnok 12
-- násobenie 14
-- objednávka 12
Riemann 154
Rolleova veta 225
Rosha a Schlemilha ďalší člen formulára 257
Odkazy na rovnicu 467
Pripojená oblasť 352
Kondenzačný bod 115, 116, 117, 351
Sekans 103
Rodina krivky 542
Úsek v číselnej oblasti 17, 24
Signum (funkcia) 29
Aktuálne 192
Silvester 423
Simplexné n-rozmerná 349, 351
Sínus 103
- hyperbolický 107
- hranica vzťahu k oblúku 122
Sínusoida 106, 304
Rýchlosť pohybu bodu 186
- momentálne 187 190
- stredná 186
Komplexná funkcia 115, 353
- - kontinuita 156, 365
- - derivácie a diferenciály
202, 216, 242, 386, 395, 413, 414
Zmiešané deriváty, veta
404
Súvislá krivka 554
- rovno 555
Kontaktný kruh 555, 571
Asociačná vlastnosť sčítania, násobenia 13, 14, 29, 32
Porovnanie nekonečne malých 136
Aritmecko-harmonický priemer
74
- - - geometrický 74
- aritmetika 275, 430
- harmonická 74, 303
- geometrická 74, 275, 303, 430
- hodnota, veta 227
- - zovšeobecnená veta 230
Priemerné zakrivenie 568
- rýchlosť 186, 190
Stacionárny bod 277, 418
Funkcia napájania 103
--- kontinuita 156
- - derivát 194
- - funkčná charakteristika
158
exponenciálna funkcia
(dve premenné) 353
Limit exponenciálnej funkcie mocniny 358, 359
- - - - kontinuita 363
- - - - diferenciácia 376
Exponenciálne vyjadrenie mocniny, limit 165
- - - - derivát 206, 388
Stupeň so skutočným exponentom 37
Možnosť súčtu, limit 59, 62
- funkcie, limit 129, 130
- funkcie, nadväznosť 148, 364
- - derivačný a diferenciálny 200,
216, 233, 395
- čísla 12, 28
Superpozícia funkcií 114, 353, 364
Sféra 344
-n-rozmerná 349, 350
Sférické súradnice 495
Princíp konvergencie 84, 134
Tabuľkový spôsob definovania funkcie
97
Tangenta 103
- hyperbolický 107
Geometrické telo 345
Tepelná kapacita 191
Bod, pozri súvisiaci názov
Funkčné body 352
Jemná hranica (horná, dolná) 26
Goniometrické funkcie 103
--- kontinuita 149
- - deriváty 195
Trojitý bod 540
Trojitý limit 360
Taylorov vzorec 246, 249, 257, 415
Možnosť zostupu 70
- funkcia 133
Rohový bod 209
Interpolačné uzly 263
- - násobky 266
Whitney 590
Slimák 514, 529
Krivková rovnica 100, 230, 503, 511,
518
- povrchy 343, 517, 519
- približné riešenie 170, 324
- existencia koreňov 170
Zrýchlenie 191, 231
Farmárska veta 223
Kvadratický formulár 423
Vzorec pozri tiež, zodpovedajúci, názov, 97,
98
Funkčná závislosť 94, 340
- matrica 444, 478
Funkčná rovnica 157, 158,
160
Funkčný identifikátor 441
Funkcia pozri tiež, názov, funkcie, 95
- štúdium 268
- viaceré premenné 341, 352
- z funkcie (alebo z funkcií) 115,
353
Charakteristický bod na krivke
539
Hestins 590
Priebeh zmeny funkcie 268
Akordová metóda približného riešenia rovníc 325
Celá racionálna funkcia 102
--- kontinuita 149
- - - niekoľko premenných 353
- - - - - kontinuita 358, 363
- časť čísla [ E(R)] 48
Stred zakrivenia 571, 577
Reťazová linka 207, 505, 573
Cykloid 508, 526, 574, 581
Vyčnievajúci valec 518
Čiastočná sekvencia 85
Možnosti čiastočného limitu 86
-- funkcie 135
Čiastočná derivácia 375
- - vyššieho rádu 402
Súkromná možnosť, limit 59, 60
- funkčná hodnota 96
- prírastok 375
- funkcie, limit 129, 130
- - kontinuita 148, 364
- - derivačný a diferenciálny 201,
216, 395
- čísla 15
Čiastočný diferenciál 378,411
Čebyševova formula 262
Čísla, pozri Rational,
iracionálne,
Reálne čísla
Číselná os 42
- sekvencia 44
Schwarz 407
Schlemilha a Rocha ďalší člen formulára 257
Stolzova veta 67
Evoluta 578, 582-583, 585
- okruh 511, 527, 574
Evolucia 579, 582, 583, 585
Euler 78
Eulerov vzorec 401
Ekvivalentné infinitezimály (znamienko) 139
Extrémne (maximum, minimum) 277
- pravidlá vyhľadávania 277, 278, 284,
287
- vlastný, nevlastný 277
- funkcie viacerých premenných
417
----- absolútne 469
- - - - príbuzný 467
Elektrická sieť 436, 474
Elementárne funkcie 102
--- kontinuita 155
- - deriváty 193, 197, 233
Elipsa 448, 506, 525, 547, 575, 579
Elipsoid 535
Hermitov interpolačný vzorec
266
--- dodatočný člen 267
Epicykloida 509, 527
Jacobi 376
- matrica 444, 478
- determinant (jakobický) 441
knihy. Stiahnite si knihy DJVU, PDF zadarmo. Bezplatná elektronická knižnica
G.M. Fikhtengoltz, Kurz diferenciálneho a integrálneho počtu (zväzok 2)
Môžete (program to označí žltou farbou)
Zoznam kníh o vyššej matematike si môžete pozrieť zoradený podľa abecedy.
Môžete si pozrieť zoznam kníh o vyššej fyzike zoradený podľa abecedy.
Dámy a páni!! Ak chcete stiahnuť súbory elektronických publikácií bez „závadov“, kliknite na podčiarknutý odkaz so súborom PRAVÉ tlačidlo myši vyberte príkaz "Uložiť cieľ ako ..." ("Uložiť cieľ ako...") a uložte súbor e-pub do svojho lokálneho počítača. Elektronické publikácie sú zvyčajne vo formátoch Adobe PDF a DJVU.
ÔSMA KAPITOLA. DERIVÁTOVÁ FUNKCIA (NEURČITÝ INTEGRÁL)
§ 1. Neurčitý integrál a najjednoduchšie spôsoby jeho výpočtu
263. Pojem primitívnej funkcie (a neurčitého integrálu)
264. Integrálny a plošný problém
265. Tabuľka základných integrálov
266. Najjednoduchšie integračné pravidlá
267. Príklady
268. Integrácia zmenou premennej
269. Príklady
270. Integrácia po častiach
271. Príklady
§ 2. Integrácia racionálnych výrazov
272. Vyhlásenie o integračnom probléme v konečnej podobe
273. Jednoduché zlomky a ich integrácia
274. Rozklad vlastných zlomkov na jednoduché
275. Stanovenie koeficientov. Integrácia vlastných zlomkov
276. Oddelenie racionálnej časti integrálu
277. Príklady
§ 3. Integrácia niektorých výrazov obsahujúcich radikály
278. Integrácia výrazov
279. Integrácia binomických diferenciálov. Príklady
280. Redukčné vzorce
281. Integrácia výrazov. Eulerove substitúcie
282. Geometrické spracovanie Eulerových substitúcií
283. Príklady
284. Iné metódy výpočtu
285. Príklady
§ 4. Integrácia výrazov obsahujúcich goniometrické a exponenciálne funkcie
286. Integrácia diferenciálov R(sin x, cos x)
287. Integrácia výrazov
288. Príklady
289. Prehľad iných prípadov
§ 5. Eliptické integrály
290. Všeobecné poznámky a definície
291. Pomocné premeny
292. Redukcia na kánonickú formu
293. Eliptické integrály 1., 2. a 3. druhu
DEVIATA KAPITOLA. DEFINÍCIA INTEGRÁLNA
§ 1. Definícia a podmienky existencie určitého integrálu
294. Iný prístup k plošnému problému
295. Definícia
296. Darboux sumy
297. Podmienka existencie integrálu
298. Triedy integrovateľných funkcií
299. Vlastnosti integrovateľných funkcií
300. Príklady a dodatky
301. Dolné a horné integrály ako limity
§ 2. Vlastnosti určitých integrálov
302. Integrál cez orientovaný interval
303. Vlastnosti vyjadrené rovnosťami
304. Vlastnosti vyjadrené nerovnosťami PO
305. Určitý integrál ako funkcia hornej hranice
306. Druhá veta o strednej hodnote
§ 3. Výpočet a transformácia určitých integrálov
307. Výpočet pomocou celočíselných súčtov
308. Základný vzorec integrálneho počtu
309. Príklady
310. Iné odvodenie hlavného vzorca
311. Redukčné vzorce
312. Príklady
313. Vzorec na zmenu premennej v určitom integráli
314. Príklady
315. Gaussov vzorec. Landenova transformácia
316. Iné odvodenie zmeny vzorca premennej
§ 4. Niektoré aplikácie určitých integrálov
317. Wallisova formula
318. Taylorov vzorec s dodatočným členom
319. Transcendencia čísla e
320. Legendrove mnohočleny
321. Integrálne nerovnosti
§ 5. Približný výpočet integrálov
322. Vyjadrenie problému. Vzorce pre obdĺžniky a lichobežníky
323 Parabolická interpolácia
324. Rozdelenie intervalu integrácie
325. Doplnkový člen vzorca obdĺžnikov
326. Doplnkový člen lichobežníkového vzorca
327. Dodatočný termín Simpsonovho vzorca
328. Príklady
DESIATA KAPITOLA. APLIKÁCIE INTEGRÁLNEHO POČTU V GEOMETRII, MECHANIKE A FYZIKE
§ 1. Dĺžka krivky
329 Výpočet dĺžky krivky
330. Iný prístup k definícii pojmu dĺžka krivky a jej výpočtu
331. Príklady
332. Prirodzená rovnica rovinnej krivky
333. Príklady
334. Dĺžka oblúka priestorovej krivky
§ 2. Plochy a objemy
335. Vymedzenie pojmu plocha. Aditívna vlastnosť
336. Oblasť ako limit
337. Triedy kvadratúrnych oblastí
338. Vyjadrenie plochy integrálom
339. Príklady
340. Vymedzenie pojmu objem. Jeho vlastnosti
341. Triedy telies s objemom
342. Vyjadrenie objemu integrálom
343. Príklady
344. Plocha rotácie
345. Príklady
346. Plocha valcového povrchu
347. Príklady
§ 3. Výpočet mechanických a fyzikálnych veličín
348. Schéma aplikácie určitého integrálu
349. Hľadanie statických momentov a ťažiska krivky
350. Príklady
351. Hľadanie statických momentov a ťažiska rovinného útvaru
352. Príklady
353. Mechanická práca
354. Príklady
355. Práca trecej sily v plochej päte
356. Úlohy na sčítanie nekonečne malých prvkov
§ 4. Najjednoduchšie diferenciálne rovnice
357. Základné pojmy. Rovnice prvého poriadku
358. Rovnice prvého stupňa vzhľadom na deriváciu. Separácia premenných
359. Úlohy
360. Poznámky k zostavovaniu diferenciálnych rovníc
361. Úlohy
JEDENÁSTA KAPITOLA. NEKONEČNÉ RADY S STÁLÝMI ČLENMI
§ 1. Úvod
362. Základné pojmy
363. Príklady
364. Základné vety
§ 2. Konvergencia kladných sérií
365. Podmienka pre konvergenciu pozitívneho radu
366. Vety o porovnávaní sérií
367. Príklady
368. Cauchyho a D'Alembertove znaky
369. Znamenie Raabe
370. Príklady
371. Znamenie Kummer
372. Gaussov príznak
373. Integrálny znak Maclaurina-Cauchyho
374. Znak Ermakov
375. Dodatky
§ 3. Konvergencia ľubovoľných sérií
376. Všeobecná podmienka pre konvergenciu radu
377. Absolútna konvergencia
378. Príklady
379. Mocninný rad, jeho interval konvergencie
380. Vyjadrenie polomeru konvergencie pomocou koeficientov
381. Striedavé série
382. Príklady
383. Ábelova premena
384. Znamenia Abela a Dirichleta
385. Príklady
§ 4. Vlastnosti konvergentných radov
386. Asociačné vlastníctvo
387. Komutatívna vlastnosť absolútne konvergentných radov
388. Prípad neabsolútne konvergentných sérií
389. Násobenie riadkov
390. Príklady
391. Všeobecná veta z teórie limitov
392. Ďalšie vety o násobení radov
§ 5. Opakované a dvojrady
393. Opakované riadky
394. Dvojrady
395. Príklady
396 Výkonový rad s dvoma premennými; oblasti konvergencie
397. Príklady
398. Viaceré riadky
§ 6. Nekonečné produkty
399. Základné pojmy
400. Príklady
401. Základné vety. Vzťah s riadkami
402. Príklady
§ 7. Rozšírenia elementárnych funkcií
403. rozšírenie funkcie v mocninnom rade; Taylorova séria
404. Expanzia v rade exponenciálnych, základných goniometrických funkcií atď.
405. Logaritmický rad
406. Stirlingova formula
407. Binomický rad
408. Rozklad sínusu a kosínusu na nekonečné súčiny
§ 8. Približné výpočty pomocou sérií. Konverzia série
409. Všeobecné poznámky
410. Výpočet počtu tt
411. Výpočet logaritmov
412. Výpočet koreňov
413. Transformácia Eulerovej série
414. Príklady
415. Kummerova premena
416. Markovova premena
§ 9. Sčítanie divergentných radov
417. Úvod
418. Metóda mocninových radov
419. Tauberova veta
420. Metóda aritmetických priemerov
421. Vzťah medzi Poisson-Abelovou a Cesarovou metódou
422. Hardy-Landauova veta
423. Aplikácia zovšeobecneného sčítania na násobenie radov
424. Iné metódy zovšeobecneného sčítania radov
425. Príklady
426. Všeobecná trieda metód lineárneho pravidelného súčtu
KAPITOLA 12. FUNKČNÉ SEKVENCIE A SÉRIE
§ 1. Rovnomerná konvergencia
427. Úvodné poznámky
428. Rovnomerná a nejednotná konvergencia
429. Podmienka rovnomernej konvergencie
430. Kritériá pre rovnomernú konvergenciu sérií
§ 2. Funkčné vlastnosti súčtu radu
431. Spojitosť súčtu radu
432. Poznámka ku kvázi-jednotnej konvergencii
433. Prechod na limitný termín po termíne
434. Termínová integrácia sérií
435. Termínová diferenciácia sérií
436. Uhol pohľadu sekvencie
437. Spojitosť súčtu mocninového radu
438. Integrácia a diferenciácia mocninných radov
§ 3. Prihlášky
439. Príklady spojitosti súčtu radu a prechodu k limitnému členu po člene
440. Príklady integrácie sérií po členoch
441. Príklady členenia radov podľa členenia
442. Metóda postupných aproximácií v teórii implicitných funkcií
443. Analytická definícia goniometrických funkcií
444. Príklad spojitej funkcie bez derivácie
§ 4. Ďalšie informácie o mocninných radoch
445. Akcie na mocninných radoch
446. Nahradenie riadku radom
447. Príklady
448. Delenie mocninových radov
449. Bernoulliho čísla a rozšírenia, v ktorých sa vyskytujú
450. Riešenie rovníc v sérii
451. Inverzia mocninového radu
452. Lagrangeova séria
§ 5. Elementárne funkcie komplexnej premennej
453. Komplexné čísla
454. Komplexný variant a jeho limit
455. Funkcie komplexnej premennej
456. Mocninný rad
457. Exponenciálna funkcia
458. Logaritmická funkcia
459. Goniometrické funkcie a ich inverze
460. Funkcia napájania
461. Príklady
§ 6. Obálkové a asymptotické rady. Euler-Maclaurin vzorec
462. Príklady
463. Definície
464. Základné vlastnosti asymptotických expanzií
465. Odvodenie Euler-Maclaurinovho vzorca
466. Štúdium dodatočného termínu
467. Príklady výpočtov pomocou Euler-Maclaurinovho vzorca
468. Iná forma Euler-Maclaurinovho vzorca
469. Sterlingov vzorec a séria
TRINÁSTA KAPITOLA. Nesprávne integrály
§ 1. Nevlastné integrály s nekonečnými limitami
470. Definícia integrálov s nekonečnými limitami
471. Aplikácia základného vzorca integrálneho počtu
472. Príklady
473. Analógia so sériou. Najjednoduchšie vety
474. Konvergencia integrálu v prípade kladnej funkcie
475. Konvergencia integrálu vo všeobecnom prípade
476. Znamenia Abela a Dirichleta
477. Redukcia nesprávneho integrálu na nekonečný rad
478. Príklady
§ 2. Nevlastné integrály neobmedzených funkcií
479. Definícia integrálov neobmedzených funkcií
480. Poznámka o jednotných bodoch
481. Aplikácia základného vzorca integrálneho počtu Príklady
482. Podmienky a znaky existencie integrálu
483. Príklady
484. Hlavné hodnoty nesprávnych integrálov
485. Poznámka k zovšeobecneným hodnotám divergentných integrálov
§ 3. Vlastnosti a transformácia nevlastných integrálov
486. Najjednoduchšie vlastnosti
487. Vety o strednej hodnote
488 Integrácia po častiach v prípade nesprávnych integrálov
489. Príklady
490. Zmena premenných v nevlastných integráloch
491. Príklady
§ 4. Špeciálne metódy na výpočet nevlastných integrálov
492. Niektoré pozoruhodné integrály
493. Výpočet nevlastných integrálov pomocou integrálnych súčtov. Prípad integrálov s konečnými limitami
494. Prípad integrálov s nekonečnou hranicou
495 Frullani Integrals
496. Integrály racionálnych funkcií medzi nekonečnými limitami
497. Zmiešané príklady a cvičenia
§ 5. Približný výpočet nevlastných integrálov
498. Integrály s konečnými limitami; zvýraznenie funkcií
499. Príklady
500. Poznámka o približnom výpočte vlastných integrálov
501. Približný výpočet nevlastných integrálov s nekonečnou limitou
502. Použitie asymptotických expanzií
KAPITOLA ŠTRNÁSŤ. INTEGRÁLY V ZÁVISLOSTI NA PARAMETRE
§ 1. Elementárna teória
503. Vyhlásenie problému
504. Rovnomerná aspirácia na limitnú funkciu
505. Permutácia dvoch prechodov na limit
506. Prechod na hranicu pod znamienkom integrálu
507. Diferenciácia pod znakom integrálu
508. Integrácia pod znakom integrálu
509. Prípad, kedy a hranice integrálu závisia od parametra
510. Zavedenie násobiteľa závislého len od x
511. Príklady
512. Gaussovský dôkaz základnej vety algebry
§ 2. Rovnomerná konvergencia integrálov
513. Definícia rovnomernej konvergencie integrálov
514. Podmienka rovnomernej konvergencie. Vzťah s riadkami
515. Dostatočné testy na rovnomernú konvergenciu
516. Ďalší prípad rovnomernej konvergencie
517. Príklady
§ 3. Použitie rovnomernej konvergencie integrálov
518. Prechod na limitu pod znamienkom integrálu
519. Príklady
520. Spojitosť a diferencovateľnosť integrálu vzhľadom na parameter
521. Integrácia cez parameter
522. Aplikácia na výpočet určitých integrálov
523. Príklady na diferenciáciu podľa integrálneho znaku
524. Príklady integrácie pod znamienkom integrálu
§ 4. Dodatky
525. Arzelova lemma
526. Prechod na limitu pod znamienkom integrálu
527. Diferenciácia pod znakom integrálu
528. Integrácia pod znakom integrálu
§ 5. Eulerove integrály
529. Eulerov integrál prvého druhu
530. Eulerov integrál druhého druhu
531. Najjednoduchšie vlastnosti funkcie Γ
532. Jedinečná definícia funkcie Γ jej vlastnosťami
533. Ďalšia funkčná charakteristika funkcie Г
534. Príklady
535. Logaritmická derivácia funkcie Г
536. Veta o násobení pre funkciu Г
537. Niektoré rozšírenia do sérií a produktov
538. Príklady a dodatky
539. Výpočet určitých určitých integrálov
540. Stirlingova formula 9
541 Výpočet Eulerovej konštanty
542. Zostavenie tabuľky desiatkových logaritmov funkcie G
knihy. Stiahnite si knihy DJVU, PDF zadarmo. Bezplatná elektronická knižnica
G.M. Fikhtengoltz, Kurz diferenciálneho a integrálneho počtu (1. zväzok)
Môžete (program to označí žltou farbou)
Zoznam kníh o vyššej matematike si môžete pozrieť zoradený podľa abecedy.
Môžete si pozrieť zoznam kníh o vyššej fyzike zoradený podľa abecedy.
Dámy a páni!! Ak chcete stiahnuť súbory elektronických publikácií bez „závadov“, kliknite na podčiarknutý odkaz so súborom PRAVÉ tlačidlo myši vyberte príkaz "Uložiť cieľ ako ..." ("Uložiť cieľ ako...") a uložte súbor e-pub do svojho lokálneho počítača. Elektronické publikácie sú zvyčajne vo formátoch Adobe PDF a DJVU.
ÚVOD REÁLNE ČÍSLA
§ 1. Oblasť racionálnych čísel
1. Predbežné poznámky
2. Usporiadanie oblasti racionálnych čísel
3. Sčítanie a odčítanie racionálnych čísel
4. Násobenie a delenie racionálnych čísel
5. Archimedova axióma
§ 2. Zavedenie iracionálnych čísel. Usporiadanie domény reálnych čísel
6. Definícia iracionálneho čísla
7. Usporiadanie v obore reálnych čísel
8. Pomocné vety
9. Znázornenie reálneho čísla nekonečným desatinným zlomkom
10. Spojitosť v obore reálnych čísel
11. Hranice číselných množín
§ 3. Aritmetické operácie s reálnymi číslami
12. Určenie súčtu reálnych čísel
13. Vlastnosti sčítania
14. Definícia súčinu reálnych čísel
15. Vlastnosti násobenia
16. Záver
17. Absolútne hodnoty
§ 4. Ďalšie vlastnosti a aplikácie reálnych čísel
18. Existencia koreňa. Stupeň s racionálnym exponentom
19. Stupeň s akýmkoľvek skutočným exponentom
20. Logaritmy
21. Meracie segmenty
PRVÁ KAPITOLA. TEÓRIA LIMITOV
§ 1. Varianty a jeho limit
22. Premenná, možnosti
23. Obmedzte možnosti
24. Infinitezimály
25. Príklady
26. Niektoré vety o variante s limitou
27. Nekonečne veľké množstvá
§ 2. Limitné vety, ktoré uľahčujú hľadanie limity
28. Prechod na limit v rovnosti a nerovnosti
29. Lemy o infinitezimáloch
30. Aritmetické operácie s premennými
31. Neurčité výrazy
32. Príklady hľadania limitov
33. Stolzova veta a jej aplikácie
§ 3. Monotónny variant
34. Limit monotónnych variantov
35. Príklady
36. Číslo e
31. Približný výpočet počtu e
38. Lema na vnorených intervaloch
§ 4. Princíp konvergencie. Čiastočné limity
39. Princíp konvergencie
40. Čiastkové postupnosti a čiastkové limity
41. Bolzano-Weierstrass Lemma
42. Najväčšie a najmenšie limity
DRUHÁ KAPITOLA. FUNKCIE JEDINEJ PREMENNEJ
§ 1. Pojem funkcie
43. Premenná a oblasť jej zmeny
44. Funkčná závislosť medzi premennými. Príklady
45. Vymedzenie pojmu funkcia
46. Analytický spôsob definovania funkcie
47. Graf funkcií
48. Najdôležitejšie triedy funkcií
49. Pojem inverznej funkcie
50. Inverzné goniometrické funkcie
51. Superpozícia funkcií. Záverečné poznámky
§ 2. Limit funkcie
52. Definícia limity funkcie
53. Redukcia na prípad variantov
54. Príklady
55. Rozšírenie teórie limitov
56. Príklady
57. Limita monotónnej funkcie
58. Spoločný znak Bolzano-Cauchy
59. Najväčšia a najmenšia hranica funkcie
§ 3. Klasifikácia nekonečne malých a nekonečne veľkých veličín
60. Porovnanie infinitezimálov
61. Stupnica infinitezimálov
62. Ekvivalentné infinitezimály
63. Zvýraznenie hlavnej časti
64. Úlohy
65. Klasifikácia nekonečne veľkých
§ 4. Kontinuita (a diskontinuity) funkcií
66. Určenie spojitosti funkcie v bode
67. Aritmetické operácie so spojitými funkciami
68. Príklady spojitých funkcií
69. Jednosmerná kontinuita. Klasifikácia prestávok
70. Príklady nespojitých funkcií
71. Spojitosť a diskontinuity monotónnej funkcie
72. Spojitosť elementárnych funkcií
73. Superpozícia spojitých funkcií
74. Riešenie jednej funkcionálnej rovnice
75. Funkčné charakteristiky exponenciálnych, logaritmických a mocninných funkcií
76. Funkčné charakteristiky trigonometrických a hyperbolických kosínusov
77. Použitie spojitosti funkcií na výpočet limitov
78. Mocninné a exponenciálne výrazy
§ 5. Vlastnosti spojitých funkcií
80. Miznúca veta
81. Aplikácia na riešenie rovníc
82. Veta o strednej hodnote
83. Existencia inverznej funkcie
84. Veta o ohraničenosti
85. Najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie
86. Pojem rovnomernej kontinuity
87. Cantorova veta
88. Borel Lemma
89. Nové dôkazy hlavných viet
KAPITOLA TRETIA. DERIVÁTY A DIFERENCIÁLY
§ 1. Derivát a jeho výpočet
90. Problém výpočtu rýchlosti pohybujúceho sa bodu
91. Problém kreslenia dotyčnice ku krivke
92. Definícia derivátu
93. Príklady výpočtu derivátov
94. Derivácia inverznej funkcie
95. Súhrn vzorcov pre deriváty
96. Vzorec pre prírastok funkcie
97. Najjednoduchšie pravidlá pre výpočet derivátov
98. Derivácia komplexnej funkcie
99. Príklady
100. Jednostranné deriváty
101. Nekonečné derivácie
102. Ďalšie príklady špeciálnych prípadov
§ 2. Diferenciál
103. Definícia diferenciálu
104. Vzťah medzi diferencovateľnosťou a existenciou derivátu
105. Základné vzorce a pravidlá diferenciácie
106. Invariantnosť diferenciálneho tvaru
107. Diferenciály ako zdroj približných vzorcov
108. Použitie diferenciálov pri odhadovaní chýb
§ 3. Základné teorémy diferenciálneho počtu
109. Fermatova veta
110. Darbouxova veta
111. Rolleova veta
112. Lagrangeov vzorec
113. Derivačná hranica
114. Cauchyho vzorec
§ 4. Deriváty a diferenciály vyšších rádov
115. Definícia derivátov vyšších rádov
116. Všeobecné vzorce pre deriváty ľubovoľného rádu
117. Leibnizov vzorec
118. Príklady
119. Diferenciály vyššieho rádu
120. Porušenie invariantnosti formulára pre diferenciály vyššieho rádu
121. Parametrická diferenciácia
122. Konečné rozdiely
§ 5. Taylorov vzorec
123. Taylorov vzorec pre polynóm
124. Dekompozícia ľubovoľnej funkcie; ďalší člen vo forme Peano
125. Príklady
126. Iné formy dodatočného termínu
127. Približné vzorce
§ 6. Interpolácia
128. Najjednoduchší problém interpolácie. Lagrangeov vzorec
129. Dodatočný výraz Lagrangeovho vzorca
130. Interpolácia s viacerými uzlami. Hermite vzorec
ŠTVRTÁ KAPITOLA. VYŠETROVANIE FUNKCIE S POMOCOU DERIVÁTOV
§ 1. Štúdium priebehu zmeny funkcie
131. Podmienka stálosti funkcie
132. Podmienka monotónnosti funkcie
133. Dôkaz nerovností
134. Vrcholy a pády; potrebné podmienky
135. Dostatočné podmienky. Prvé pravidlo
136. Príklady
137. Druhé pravidlo
138. Použitie vyšších derivátov
139. Hľadanie najväčších a najmenších hodnôt
140. Úlohy
§ 2. Konvexné (a konkávne) funkcie
141. Definícia konvexnej (konkávnej) funkcie
142. Najjednoduchšie tvrdenia o konvexných funkciách
143. Podmienky konvexnosti funkcie
144. Jensenova nerovnosť a jej aplikácie
145. Inflexné body
§ 3. Konštrukcia grafov funkcií
146. Vyjadrenie problému
147. Schéma na zostrojenie grafu. Príklady
148. Nekonečné medzery, nekonečná medzera. Asymptoty
149. Príklady
§ 4. Zverejnenie neistôt
150. Neistota tvaru 0/0
151. Neistota tvaru oo/oo
152. Iné typy neistôt
§ 5. Približné riešenie rovnice
153. Úvodné poznámky
154. Pravidlo pomerných častí (metóda akordov)
155. Newtonovo pravidlo (metóda dotyčnice)
156. Príklady a cvičenia
157. Kombinovaná metóda
158. Príklady a cvičenia
PIATA KAPITOLA. FUNKCIE VIAC PREMENNÝCH
§ 1. Základné pojmy
159. Funkčná závislosť medzi premennými. Príklady
160. Funkcie dvoch premenných a ich domény
161. Aritmetický n-rozmerný priestor
162. Príklady oblastí v n-rozmernom priestore
163. Všeobecná definícia otvoreného a uzavretého priestoru
164. Funkcie n premenných
165. Limita funkcie viacerých premenných
166. Redukcia na prípad variantov
167. Príklady
168. Limity opakovania
§ 2. Priebežné funkcie
169. Spojitosť a diskontinuita funkcií viacerých premenných
170. Operácie so spojitými funkciami
171. Funkcie spojité v doméne. Bolzanove-Cauchyho vety
172. Bolzano-Weierstrass Lemma
173. Weierstrassove vety
174. Jednotná kontinuita
175. Borel Lemma
176. Nové dôkazy hlavných viet. Derivácie a diferenciály funkcií viacerých premenných
177. Parciálne deriváty a parciálne diferenciály
178. Úplný prírastok funkcie
179. Úplný diferenciál
180. Geometrická interpretácia pre prípad funkcie dvoch premenných
181. Deriváty komplexných funkcií
182. Príklady
183. Vzorec konečného prírastku
184. Derivácia vzhľadom na daný smer
185. Invariantnosť tvaru (prvého) diferenciálu
186. Aplikácia celkového diferenciálu v približných výpočtoch
187. Homogénne funkcie
188. Eulerova formula
§ 4. Deriváty na diferenciály vyššieho rádu
189. Deriváty vyšších rádov
190. Veta o zmiešaných derivátoch
191. Zovšeobecňovanie
192. Deriváty komplexnej funkcie vyššieho rádu
193. Diferenciály vyššieho rádu
194. Diferenciály komplexných funkcií
195. Taylorov vzorec
§ 5. Extrémy, maximálne a minimálne hodnoty
196. Extrémy funkcie viacerých premenných. Nevyhnutné podmienky
197. Dostatočné podmienky (prípad funkcie dvoch premenných)
198. Dostatočné podmienky (všeobecný prípad)
199. Podmienky absencie extrému
200. Najväčšie a najmenšie hodnoty funkcií. Príklady
201. Úlohy
ŠIESTA KAPITOLA. FUNKČNÉ URČOVAČE; ICH APLIKÁCIE
§ 1. Formálne vlastnosti funkčných determinantov
202. Definícia funkčných determinantov (jakobijci)
203. Násobenie Jakobiánov
204. Násobenie funkčných matíc (Jacobiho matice)
§ 2. Implicitné funkcie
205. Pojem implicitnej funkcie jednej premennej
206. Existencia implicitnej funkcie
207. Diferencovateľnosť implicitnej funkcie
208. Implicitné funkcie viacerých premenných
209. Výpočet derivácií implicitných funkcií
210. Príklady
§ 3. Niektoré aplikácie teórie implicitných funkcií
211. Relatívne extrémy
212. Metóda neurčitých Lagrangeových multiplikátorov
213. Dostatočné podmienky pre relatívny extrém
214. Príklady a úlohy
215. Koncepcia nezávislosti funkcií
216. Hodnosť jakobijskej matice
§ 4. Zmena premenných
217. Funkcie jednej premennej
218. Príklady
219. Funkcie viacerých premenných. Zmena nezávislých premenných
220. Metóda výpočtu diferenciálov
221. Všeobecný prípad zmeny premenných
222. Príklady
SIEDMA KAPITOLA. APLIKÁCIE DIFERENCIÁLNEHO POČTU NA GEOMETRIU
§ 1. Analytické znázornenie kriviek a plôch
223. Krivky v rovine (v pravouhlých súradniciach)
224. Príklady
225. Krivky mechanického pôvodu
226. Krivky na rovine (v polárnych súradniciach). Príklady
227. Plochy a krivky v priestore
228. Parametrická reprezentácia
229. Príklady
§ 2. Dotyková a dotyková rovina
230. Dotyčnica k rovinnej krivke v pravouhlých súradniciach
231. Príklady
232. Tangenta v polárnych súradniciach
233. Príklady
234. Tangenta k priestorovej krivke. Dotyková rovina k povrchu
235. Príklady
236. Singulárne body rovinných kriviek
237. Prípad špecifikácie parametrickej krivky
§ 3. Tangenta medzi krivkami
238. Obálka rodiny kriviek
239. Príklady
240. Charakteristické body
241. Poradie dotyku dvoch kriviek
242. Prípad implicitnej špecifikácie jednej z kriviek
243. Súvislá krivka
244. Iný prístup k súvislým krivkám
§ 4. Dĺžka rovinnej krivky
245. Lemy
246. Smer krivky
247. Dĺžka krivky. Aditíva dĺžky oblúka
248. Dostatočné podmienky na nápravu. Oblúkový diferenciál
249. Oblúk ako parameter. Smer kladnej dotyčnice
§ 5. Zakrivenie rovinnej krivky
250. Pojem zakrivenia
251. Kruh krivosti a polomer krivosti
252. Príklady
253. Súradnice stredu krivosti
254. Definícia evolúcie a evolúcie; hľadať evolúciu
255. Vlastnosti evolút a evolút
256. Hľadaj evolventy
DOPLNENIE. PROBLÉM ROZŠÍRENIA FUNKCIÍ
257. Prípad funkcie jednej premennej
258. Vyjadrenie problému pre dvojrozmerný prípad
259. Pomocné vety
260. Hlavná veta o šírení
