V tomto článku sa pokúsime čo najúplnejšie odrážať vlastnosti lichobežníka. Budeme hovoriť najmä o všeobecných znakoch a vlastnostiach lichobežníka, ako aj o vlastnostiach vpísaného lichobežníka a o kruhu vpísanom do lichobežníka. Dotkneme sa aj vlastností rovnoramenného a pravouhlého lichobežníka.
Príklad riešenia problému pomocou uvažovaných vlastností vám pomôže utriediť si veci v hlave a lepšie si zapamätať materiál.
Hrazda a všetko-všetko
Na začiatok si stručne pripomeňme, čo je lichobežník a aké ďalšie pojmy sú s ním spojené.
Lichobežník je teda štvoruholníkový obrazec, ktorého dve strany sú navzájom rovnobežné (toto sú základne). A dve nie sú rovnobežné - to sú strany.
V lichobežníku možno výšku vynechať - kolmo na základne. Stredná čiara a diagonály sú nakreslené. A tiež z akéhokoľvek uhla lichobežníka je možné nakresliť os.
Teraz budeme hovoriť o rôznych vlastnostiach spojených so všetkými týmito prvkami a ich kombináciami.
Vlastnosti uhlopriečok lichobežníka
Aby to bolo jasnejšie, pri čítaní si načrtnite ACME lichobežník na papier a nakreslite doň uhlopriečky.
- Ak nájdete stredy každej z uhlopriečok (nazvime ich X a T) a spojíte ich, získate segment. Jednou z vlastností uhlopriečok lichobežníka je, že segment XT leží na stredovej čiare. A jeho dĺžku možno získať vydelením rozdielu základov dvoma: XT \u003d (a - b) / 2.
- Pred nami je rovnaký lichobežník ACME. Uhlopriečky sa pretínajú v bode O. Uvažujme trojuholníky AOE a IOC tvorené segmentmi uhlopriečok spolu so základňami lichobežníka. Tieto trojuholníky sú podobné. Koeficient podobnosti k trojuholníkov je vyjadrený pomerom základov lichobežníka: k = AE/KM.
Pomer plôch trojuholníkov AOE a IOC popisuje koeficient k 2 . - Všetky rovnaké lichobežníky, rovnaké uhlopriečky pretínajúce sa v bode O. Tentoraz budeme uvažovať o trojuholníkoch, ktoré segmenty uhlopriečok tvorili spolu so stranami lichobežníka. Plochy trojuholníkov AKO a EMO sú rovnaké - ich plochy sú rovnaké.
- Ďalšou vlastnosťou lichobežníka je konštrukcia uhlopriečok. Ak teda budeme pokračovať po stranách AK a ME v smere menšej základne, tak sa skôr či neskôr do nejakého bodu pretnú. Ďalej nakreslite priamku cez stredy základne lichobežníka. Pretína základne v bodoch X a T.
Ak teraz predĺžime priamku XT, potom spojí priesečník uhlopriečok lichobežníka O, bod, v ktorom sa pretínajú predĺženia strán a stredy základní X a T. - Cez priesečník uhlopriečok nakreslíme segment, ktorý spája základne lichobežníka (T leží na menšej základni KM, X - na väčšom AE). Priesečník uhlopriečok rozdeľuje tento segment v nasledujúcom pomere: TO/OH = KM/AE.
- A teraz cez priesečník uhlopriečok nakreslíme segment rovnobežný so základňami lichobežníka (a a b). Priesečník ho rozdelí na dve rovnaké časti. Dĺžku segmentu môžete nájsť pomocou vzorca 2ab/(a + b).
Vlastnosti stredovej čiary lichobežníka
Nakreslite strednú čiaru v lichobežníku rovnobežne s jeho základňami.
- Dĺžku stredovej čiary lichobežníka možno vypočítať sčítaním dĺžok základne a ich rozdelením na polovicu: m = (a + b)/2.
- Ak nakreslíte ľubovoľný segment (napríklad výšku) cez obe základne lichobežníka, stredná čiara ho rozdelí na dve rovnaké časti.
Vlastnosť osi lichobežníka
Vyberte ľubovoľný uhol lichobežníka a nakreslite os. Vezmite si napríklad uhol KAE nášho lichobežníka ACME. Po dokončení konštrukcie na vlastnú päsť môžete ľahko vidieť, že os odrezáva od základne (alebo jej pokračovania na priamke mimo samotnej postavy) segment rovnakej dĺžky ako strana.
Vlastnosti lichobežníkového uhla
- Ktorýkoľvek z dvoch párov uhlov susediacich so stranou si vyberiete, súčet uhlov v páre je vždy 180 0: α + β = 180 0 a γ + δ = 180 0 .
- Spojte stredy základov lichobežníka so segmentom TX. Teraz sa pozrime na uhly na základniach lichobežníka. Ak je súčet uhlov pre ktorýkoľvek z nich 90 0, dĺžka segmentu TX sa dá ľahko vypočítať na základe rozdielu v dĺžkach základní, rozdelených na polovicu: TX \u003d (AE - KM) / 2.
- Ak sú cez strany uhla lichobežníka nakreslené rovnobežné čiary, rozdelia strany uhla na proporcionálne segmenty.
Vlastnosti rovnoramenného (rovnoramenného) lichobežníka
- V rovnoramennom lichobežníku sú uhly na ktorejkoľvek základni rovnaké.
- Teraz znova postavte lichobežník, aby ste si ľahšie predstavili, o čo ide. Pozorne sa pozrite na základňu AE - vrchol opačnej základne M sa premieta do určitého bodu na priamke, ktorá obsahuje AE. Vzdialenosť od vrcholu A k bodu premietania vrcholu M a stredová čiara rovnoramenného lichobežníka sú rovnaké.
- Niekoľko slov o vlastnosti uhlopriečok rovnoramenného lichobežníka - ich dĺžky sú rovnaké. A tiež uhly sklonu týchto uhlopriečok k základni lichobežníka sú rovnaké.
- Kruh možno opísať len v blízkosti rovnoramenného lichobežníka, pretože súčet protiľahlých uhlov štvoruholníka 180° je na to predpokladom.
- Vlastnosť rovnoramenného lichobežníka vyplýva z predchádzajúceho odseku – ak sa dá v blízkosti lichobežníka opísať kružnica, ide o rovnoramenný.
- Z vlastností rovnoramenného lichobežníka vyplýva vlastnosť výšky lichobežníka: ak sa jeho uhlopriečky pretínajú v pravom uhle, potom sa dĺžka výšky rovná polovici súčtu základní: h = (a + b)/2.
- Nakreslite čiaru TX znova cez stredy základov lichobežníka - v rovnoramennom lichobežníku je kolmá na základne. A zároveň je TX osou symetrie rovnoramenného lichobežníka.
- Tentoraz nižšie k väčšej základni (nazvime to a) na výšku od protiľahlého vrcholu lichobežníka. Dostanete dva rezy. Dĺžku jedného možno nájsť, ak sa dĺžky základne spočítajú a rozdelia na polovicu: (a+b)/2. Druhý dostaneme, keď odčítame menší od väčšieho základu a výsledný rozdiel vydelíme dvoma: (a – b)/2.
Vlastnosti lichobežníka vpísaného do kruhu
Keďže už hovoríme o lichobežníku vpísanom do kruhu, poďme sa venovať tejto problematike podrobnejšie. Najmä, kde je stred kruhu vo vzťahu k lichobežníku. Aj tu sa odporúča, aby ste neboli príliš leniví na to, aby ste zobrali ceruzku a nakreslili to, o čom sa bude diskutovať nižšie. Takže rýchlejšie pochopíte a lepšie si zapamätáte.
- Umiestnenie stredu kruhu je určené uhlom sklonu uhlopriečky lichobežníka k jeho strane. Napríklad uhlopriečka môže vychádzať z vrcholu lichobežníka v pravom uhle na stranu. V tomto prípade väčšia základňa pretína stred opísanej kružnice presne v strede (R = ½AE).
- Uhlopriečka a strana sa môžu stretnúť aj v ostrom uhle - vtedy je stred kruhu vo vnútri lichobežníka.
- Stred opísanej kružnice môže byť mimo lichobežníka, za jeho veľkou základňou, ak je medzi uhlopriečkou lichobežníka a bočnou stranou tupý uhol.
- Uhol tvorený uhlopriečkou a veľkou základňou lichobežníka ACME (vpísaný uhol) je polovicou stredového uhla, ktorý mu zodpovedá: MAE = ½ MY.
- Stručne o dvoch spôsoboch, ako zistiť polomer kružnice opísanej. Prvý spôsob: pozorne sa pozrite na svoj výkres – čo vidíte? Ľahko si všimnete, že uhlopriečka rozdeľuje lichobežník na dva trojuholníky. Polomer možno zistiť pomerom strany trojuholníka k sínusu opačného uhla, vynásobeným dvoma. Napríklad, R \u003d AE / 2 * sinNAME. Podobne možno vzorec napísať pre ktorúkoľvek zo strán oboch trojuholníkov.
- Metóda dva: nájdeme polomer opísanej kružnice cez oblasť trojuholníka tvoreného uhlopriečkou, stranou a základňou lichobežníka: R \u003d AM * ME * AE / 4 * S AME.
Vlastnosti lichobežníka opísaného okolo kruhu
Kruh môžete vpísať do lichobežníka, ak je splnená jedna podmienka. Viac o tom nižšie. A dokopy má táto kombinácia figúrok množstvo zaujímavých vlastností.
- Ak je kruh vpísaný do lichobežníka, dĺžku jeho stredovej čiary možno ľahko zistiť sčítaním dĺžok strán a vydelením výsledného súčtu na polovicu: m = (c + d)/2.
- Pre lichobežník ACME opísaný okolo kruhu sa súčet dĺžok základní rovná súčtu dĺžok strán: AK + ME = KM + AE.
- Z tejto vlastnosti základov lichobežníka vyplýva opačné tvrdenie: do tohto lichobežníka možno vpísať kruh, ktorého súčet základov sa rovná súčtu strán.
- Dotykový bod kružnice s polomerom r vpísaným do lichobežníka rozdeľuje bočnú stranu na dva segmenty, nazvime ich a a b. Polomer kruhu možno vypočítať pomocou vzorca: r = √ab.
- A ešte jedna nehnuteľnosť. Aby ste neboli zmätení, nakreslite tento príklad sami. Máme starý dobrý lichobežník ACME opísaný okolo kruhu. Sú v ňom nakreslené uhlopriečky, pretínajúce sa v bode O. Trojuholníky AOK a EOM tvorené segmentmi uhlopriečok a strán sú pravouhlé.
Výšky týchto trojuholníkov, znížených na prepony (t. j. strany lichobežníka), sa zhodujú s polomermi vpísanej kružnice. A výška lichobežníka je rovnaká ako priemer vpísanej kružnice.
Vlastnosti pravouhlého lichobežníka
Lichobežník sa nazýva obdĺžnikový, ktorého jeden z rohov je pravý. A z tejto okolnosti pramenia aj jeho vlastnosti.
- Obdĺžnikový lichobežník má jednu zo strán kolmú na základne.
- Výška a strana lichobežníka susediaceho s pravým uhlom sú rovnaké. To vám umožní vypočítať plochu pravouhlého lichobežníka (všeobecný vzorec S = (a + b) * h/2) nielen cez výšku, ale aj cez stranu susediacu s pravým uhlom.
- Pre pravouhlý lichobežník sú dôležité všeobecné vlastnosti lichobežníkových uhlopriečok, ktoré už boli opísané vyššie.
Dôkazy niektorých vlastností lichobežníka
Rovnosť uhlov na základni rovnoramenného lichobežníka:
- Pravdepodobne ste už uhádli, že tu opäť potrebujeme lichobežník ACME - nakreslite rovnoramenný lichobežník. Nakreslite čiaru MT z vrcholu M rovnobežnú so stranou AK (MT || AK).
Výsledný štvoruholník AKMT je rovnobežník (AK || MT, KM || AT). Pretože ME = KA = MT, ∆ MTE je rovnoramenné a MET = MTE.
AK || MT, teda MTE = KAE, MET = MTE = KAE.
Kde AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.
Q.E.D.
Teraz to dokážeme na základe vlastnosti rovnoramenného lichobežníka (rovnosť uhlopriečok). lichobežník ACME je rovnoramenný:
- Na začiatok nakreslíme priamku МХ – МХ || KE. Dostaneme rovnobežník KMHE (základ - MX || KE a KM || EX).
∆AMH je rovnoramenný, pretože AM = KE = MX a MAX = MEA.
MX || KE, KEA = MXE, teda MAE = MXE.
Ukázalo sa, že trojuholníky AKE a EMA sú si navzájom rovné, pretože AM \u003d KE a AE je spoločná strana týchto dvoch trojuholníkov. A tiež MAE \u003d MXE. Môžeme dospieť k záveru, že AK = ME, a z toho vyplýva, že lichobežník AKME je rovnoramenný.
Úloha na zopakovanie
Základy lichobežníka ACME sú 9 cm a 21 cm, strana KA, rovná 8 cm, zviera uhol 150 0 s menšou základňou. Musíte nájsť oblasť lichobežníka.
Riešenie: Z vrcholu K znížime výšku k väčšej základni lichobežníka. A začnime sa pozerať na uhly lichobežníka.
Uhly AEM a KAN sú jednostranné. To znamená, že ich je spolu 1800. Preto KAN = 30 0 (na základe vlastnosti uhlov lichobežníka).
Uvažujme teraz o obdĺžnikovom ∆ANK (myslím, že tento bod je čitateľom zrejmý bez ďalšieho dôkazu). Z nej zistíme výšku lichobežníka KH - v trojuholníku je to noha, ktorá leží oproti uhlu 30 0. Preto KN \u003d ½AB \u003d 4 cm.
Oblasť lichobežníka sa nachádza podľa vzorca: S AKME \u003d (KM + AE) * KN / 2 \u003d (9 + 21) * 4/2 \u003d 60 cm 2.
Doslov
Ak ste si pozorne a premyslene preštudovali tento článok, neboli príliš leniví na to, aby ste ceruzkou v rukách nakreslili lichobežníky pre všetky vyššie uvedené vlastnosti a analyzovali ich v praxi, mali by ste mať materiál dobre zvládnutý.
Samozrejme, je tu veľa informácií, rôznorodých a niekedy aj mätúcich: zameniť vlastnosti opísaného lichobežníka s vlastnosťami vpísaného nie je také ťažké. Sami ste však videli, že rozdiel je obrovský.
Teraz máte podrobné zhrnutie všetkých všeobecných vlastností lichobežníka. Rovnako ako špecifické vlastnosti a znaky rovnoramenných a pravouhlých lichobežníkov. Je veľmi výhodné použiť na prípravu na testy a skúšky. Vyskúšajte to sami a zdieľajte odkaz so svojimi priateľmi!
stránky, s úplným alebo čiastočným kopírovaním materiálu, je potrebný odkaz na zdroj.
Vaše súkromie je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si prosím naše zásady ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.
Zhromažďovanie a používanie osobných údajov
Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu konkrétnej osoby alebo jej kontaktovanie.
Kedykoľvek nás budete kontaktovať, môžete byť požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.
Nasleduje niekoľko príkladov typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.
Aké osobné údaje zhromažďujeme:
- Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.
Ako používame vaše osobné údaje:
- Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás a informovať vás o jedinečných ponukách, akciách a iných akciách a pripravovaných akciách.
- Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a správ.
- Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
- Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobného stimulu, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na spravovanie takýchto programov.
Sprístupnenie tretím stranám
Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.
Výnimky:
- V prípade, že je potrebné – v súlade so zákonom, súdnym poriadkom, v súdnom konaní a/alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí štátnych orgánov na území Ruskej federácie – zverejniť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak usúdime, že takéto zverejnenie je nevyhnutné alebo vhodné z dôvodu bezpečnosti, presadzovania práva alebo iného verejného záujmu.
- V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušného nástupcu tretej strany.
Ochrana osobných údajov
Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj pred neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.
Zachovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti
Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o postupoch ochrany osobných údajov a zabezpečenia a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.
- Segment spájajúci stredy uhlopriečok lichobežníka sa rovná polovici rozdielu základní
- Trojuholníky tvorené základňami lichobežníka a úsečkami uhlopriečok až po ich priesečník sú podobné
- Trojuholníky tvorené segmentmi uhlopriečok lichobežníka, ktorých strany ležia na stranách lichobežníka - rovnaká plocha (majú rovnakú plochu)
- Ak predĺžime strany lichobežníka smerom k menšej základni, potom sa budú pretínať v jednom bode s priamkou spájajúcou stredy základov.
- Segment spájajúci základne lichobežníka a prechádzajúci priesečníkom uhlopriečok lichobežníka je rozdelený týmto bodom v pomere, ktorý sa rovná pomeru dĺžok základov lichobežníka.
- Segment rovnobežný so základňami lichobežníka a pretiahnutý cez priesečník uhlopriečok je rozpolený týmto bodom a jeho dĺžka je 2ab / (a + b), kde a a b sú základne lichobežníka.
Vlastnosti segmentu spájajúceho stredy uhlopriečok lichobežníka
Pripojte stredy uhlopriečok lichobežníka ABCD, v dôsledku čoho budeme mať segment LM.
Úsečka, ktorá spája stredy uhlopriečok lichobežníka leží na strednej čiare lichobežníka.
Tento segment rovnobežne so základňami lichobežníka.
Dĺžka segmentu spájajúceho stredy uhlopriečok lichobežníka sa rovná polovičnému rozdielu jeho základní.
LM = (AD - BC)/2
alebo
LM = (a-b)/2
Vlastnosti trojuholníkov tvorených uhlopriečkami lichobežníka
Trojuholníky, ktoré sú tvorené základňami lichobežníka a priesečníkom uhlopriečok lichobežníka - sú podobné.
Trojuholníky BOC a AOD sú podobné. Pretože uhly BOC a AOD sú vertikálne, sú rovnaké.
Uhly OCB a OAD sú vnútorné priečne ležiace na rovnobežných priamkach AD a BC (základy lichobežníka sú navzájom rovnobežné) a sečnici AC sú teda rovnaké.
Uhly OBC a ODA sú rovnaké z rovnakého dôvodu (vnútorné priečne ležiace).
Pretože všetky tri uhly jedného trojuholníka sa rovnajú zodpovedajúcim uhlom iného trojuholníka, tieto trojuholníky sú podobné.
Čo z toho vyplýva?
Na riešenie problémov v geometrii sa podobnosť trojuholníkov používa nasledovne. Ak poznáme dĺžky dvoch zodpovedajúcich prvkov podobných trojuholníkov, potom nájdeme koeficient podobnosti (jeden delíme druhým). Odkiaľ sú dĺžky všetkých ostatných prvkov vo vzájomnom vzťahu presne rovnakou hodnotou.
Vlastnosti trojuholníkov ležiacich na bočnej strane a uhlopriečok lichobežníka
Uvažujme dva trojuholníky ležiace po stranách lichobežníka AB a CD. Sú to trojuholníky AOB a COD. Napriek tomu, že veľkosti jednotlivých strán týchto trojuholníkov môžu byť úplne odlišné, ale plochy trojuholníkov tvorené stranami a priesečníkom uhlopriečok lichobežníka sú, to znamená, že trojuholníky sú rovnaké.
Ak sú strany lichobežníka predĺžené smerom k menšej základni, potom bude priesečník strán sa zhodujú s priamkou, ktorá prechádza strednými bodmi základov.
Akýkoľvek lichobežník sa teda môže rozšíriť na trojuholník. kde:
- Trojuholníky tvorené základňami lichobežníka so spoločným vrcholom v priesečníku predĺžených strán sú podobné
- Priamka spájajúca stredy podstav lichobežníka je zároveň stredom zostrojeného trojuholníka.
Vlastnosti segmentu spájajúceho základne lichobežníka
Ak nakreslíte segment, ktorého konce ležia na základniach lichobežníka, ktorý leží v priesečníku uhlopriečok lichobežníka (KN), potom pomer jeho základných segmentov od strany základne k priesečníku uhlopriečky (KO / ON) sa bude rovnať pomeru základov lichobežníka(BC/AD).
KO/ON=BC/AD
Táto vlastnosť vyplýva z podobnosti zodpovedajúcich trojuholníkov (pozri vyššie).
Vlastnosti segmentu rovnobežného so základňami lichobežníka
Ak nakreslíme segment rovnobežný so základňami lichobežníka a prechádzajúci priesečníkom uhlopriečok lichobežníka, bude mať nasledujúce vlastnosti:
- Prednastavená vzdialenosť (KM) rozpolí priesečník uhlopriečok lichobežníka
- Dĺžka rezu, prechádzajúci priesečníkom uhlopriečok lichobežníka a rovnobežný so základňami, sa rovná KM = 2ab/(a + b)
Vzorce na nájdenie uhlopriečok lichobežníka
a, b- základy lichobežníka
c, d- strany lichobežníka
d1 d2- uhlopriečky lichobežníka
α β - uhly s väčšou základňou lichobežníka
Vzorce na nájdenie uhlopriečok lichobežníka cez základne, strany a uhly na základni
Prvá skupina vzorcov (1-3) odráža jednu z hlavných vlastností lichobežníkových uhlopriečok:
1. Súčet druhých mocnín uhlopriečok lichobežníka sa rovná súčtu druhých mocnín strán plus dvojnásobku súčinu jeho základní. Túto vlastnosť uhlopriečok lichobežníka možno dokázať ako samostatnú vetu
2 . Tento vzorec sa získa transformáciou predchádzajúceho vzorca. Druhá mocnina druhej uhlopriečky sa prehodí cez znamienko rovnosti a potom sa z ľavej a pravej strany výrazu vyberie druhá odmocnina.
3 . Tento vzorec na zistenie dĺžky uhlopriečky lichobežníka je podobný predchádzajúcemu s tým rozdielom, že na ľavej strane výrazu je ponechaná ďalšia uhlopriečka.
Ďalšia skupina vzorcov (4-5) je významovo podobná a vyjadruje podobný vzťah.
Skupina vzorcov (6-7) vám umožňuje nájsť uhlopriečku lichobežníka, ak poznáte väčšiu základňu lichobežníka, jednu stranu a uhol v základni.
Vzorce na nájdenie uhlopriečok lichobežníka z hľadiska výšky
Úloha.
Uhlopriečky lichobežníka ABCD (AD | | BC) sa pretínajú v bode O. Nájdite dĺžku základne BC lichobežníka, ak základňa AD = 24 cm, dĺžka AO = 9 cm, dĺžka OS = 6 cm.
rozhodnutie.
Riešenie tejto úlohy je z hľadiska ideológie absolútne totožné s predchádzajúcimi úlohami.
Trojuholníky AOD a BOC sú podobné v troch uhloch - AOD a BOC sú vertikálne a ostatné uhly sú párovo rovnaké, pretože sú tvorené priesečníkom jednej čiary a dvoch rovnobežných čiar.
Keďže trojuholníky sú podobné, všetky ich geometrické rozmery spolu súvisia, ako nám známe geometrické rozmery úsečiek AO a OC podľa stavu úlohy. T.j
AO/OC=AD/BC
9 / 6 = 24 / pred Kr.
BC = 24 * 6 / 9 = 16
Odpoveď: 16 cm
Úloha .
V lichobežníku ABCD je známe, že AD=24, BC=8, AC=13, BD=5√17. Nájdite oblasť lichobežníka. 
Rozhodnutie .
Aby sme našli výšku lichobežníka z vrcholov menšej základne B a C, znížime dve výšky na väčšiu základňu. Keďže lichobežník je nerovný, označíme dĺžku AM = a, dĺžku KD = b ( nezamieňať so symbolmi vo vzorci nájdenie oblasti lichobežníka). Keďže základne lichobežníka sú rovnobežné a vynechali sme dve výšky kolmé na väčšiu základňu, potom MBCK je obdĺžnik.
Prostriedky
AD=AM+BC+KD
a + 8 + b = 24
a = 16 - b
Trojuholníky DBM a ACK sú pravouhlé, takže ich pravé uhly tvoria výšky lichobežníka. Označme výšku lichobežníka ako h. Potom podľa Pytagorovej vety
H 2 + (24 - a) 2 \u003d (5√17) 2
a
h 2 + (24 - b) 2 \u003d 13 2
Zvážte, že a \u003d 16 - b, potom v prvej rovnici
h 2 + (24 - 16 + b) 2 \u003d 425
h 2 \u003d 425 - (8 + b) 2
Dosaďte hodnotu druhej mocniny výšky do druhej rovnice získanej Pytagorovou vetou. Dostaneme:
425 - (8 + b) 2 + (24 - b) 2 = 169
-(64 + 16b + b) 2 + (24 - b) 2 = -256
-64 - 16b - b 2 + 576 - 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12
Takže KD = 12
Kde
h 2 \u003d 425 - (8 + b) 2 \u003d 425 - (8 + 12) 2 \u003d 25
h = 5
Nájdite plochu lichobežníka pomocou jeho výšky a polovice súčtu základov
, kde a b - základy lichobežníka, h - výška lichobežníka
S \u003d (24 + 8) * 5 / 2 \u003d 80 cm 2
Odpoveď: plocha lichobežníka je 80 cm2.
Hrazda je štvoruholník s dvoma rovnobežnými stranami, ktoré sú základňami, a dvoma nerovnobežnými stranami, ktoré sú stranami.
Nechýbajú ani mená ako napr rovnoramenné alebo rovnoramenné.
Je to lichobežník s pravými uhlami na bočnej strane.
Trapézové prvky
a, b základne lichobežníka(rovnobežka s b),
m, n — strany hrazda,
d 1 , d 2 — uhlopriečky hrazda,
h- výška lichobežník (segment spájajúci základne a súčasne na ne kolmý),
MN- stredná čiara(segment spájajúci stredy strán).
Oblasť trapézu
- Cez polovicu súčtu báz a, b a výšky h : S = \frac(a + b)(2)\cdot h
- Cez stredovú čiaru MN a výšku h : S = MN\cdot h
- Cez uhlopriečky d 1 , d 2 a uhol (\sin \varphi ) medzi nimi: S = \frac(d_(1) d_(2) \sin \varphi)(2)
Vlastnosti lichobežníka
Stredná čiara lichobežníka
stredná čiara rovnobežne so základňami, rovnajúcimi sa ich polovičnému súčtu, a rozdeľuje každý segment s koncami umiestnenými na priamych čiarach, ktoré obsahujú základne (napríklad výšku postavy) na polovicu:
MN || a, MN || b, MN = \frac(a + b)(2)
Súčet uhlov lichobežníka
Súčet uhlov lichobežníka, susediace s každou stranou, sa rovná 180^(\circ) :
\alpha + \beta = 180^(\circ)
\gamma + \delta =180^(\circ)
Rovnoplošné trojuholníky lichobežníka
Rovnako veľké, to znamená, že majú rovnaké plochy, sú segmenty uhlopriečok a trojuholníky AOB a DOC tvorené stranami.
Podobnosť vytvorených lichobežníkových trojuholníkov
podobné trojuholníky sú AOD a COB, ktoré sú tvorené ich základňami a diagonálnymi segmentmi.
\triangle AOD \sim \triangle COB
koeficient podobnosti k sa zistí podľa vzorca:
k = \frac(AD)(BC)
Navyše, pomer plôch týchto trojuholníkov sa rovná k^(2) .
Pomer dĺžok segmentov a základní
Každý segment spájajúci základne a prechádzajúci priesečníkom uhlopriečok lichobežníka je rozdelený týmto bodom vo vzťahu k:
\frac(OX)(OY) = \frac(BC)(AD)
To bude platiť aj pre výšku so samotnými uhlopriečkami.
S takou formou, ako je lichobežník, sa v živote stretávame pomerne často. Napríklad každý most, ktorý je vyrobený z betónových blokov, je ukážkovým príkladom. Za vizuálnejšiu možnosť možno považovať riadenie každého vozidla a pod. Vlastnosti postavy boli známe už v starovekom Grécku., ktorú podrobnejšie opísal Aristoteles vo svojej vedeckej práci „Začiatky“. A poznatky, ktoré boli vyvinuté pred tisíckami rokov, sú aktuálne aj dnes. Preto sa s nimi bližšie zoznámime.
V kontakte s
Základné pojmy
Obrázok 1. Klasický tvar lichobežníka.
Lichobežník je v podstate štvoruholník pozostávajúci z dvoch segmentov, ktoré sú rovnobežné a dvoch ďalších, ktoré nie sú rovnobežné. Keď už hovoríme o tomto obrázku, vždy je potrebné pamätať na také pojmy, ako sú: základy, výška a stredná čiara. Dva segmenty štvoruholníka, ktoré sa navzájom nazývajú základne (segmenty AD a BC). Výška sa nazýva úsečka kolmá na každú zo základní (EH), t.j. pretínajú pod uhlom 90° (ako je znázornené na obr. 1).
Ak spočítame všetky miery vnútorného, potom sa súčet uhlov lichobežníka bude rovnať 2π (360 °), ako každý štvoruholník. Segment, ktorého konce sú stredmi bočných stien (IF) nazývaná stredná čiara. Dĺžka tohto segmentu je súčet základov BC a AD delený 2.
Existujú tri typy geometrických tvarov: rovné, pravidelné a rovnoramenné. Ak je aspoň jeden uhol vo vrcholoch základne pravý (napríklad, ak ABD = 90 °), potom sa takýto štvoruholník nazýva pravý lichobežník. Ak sú bočné segmenty rovnaké (AB a CD), potom sa to nazýva rovnoramenné (respektíve uhly na základniach sú rovnaké).
Ako nájsť oblasť
pre, nájsť oblasť štvoruholníka ABCD používa nasledujúci vzorec:
Obrázok 2. Riešenie problému s nájdením oblasti
Pre názornejší príklad vyriešme jednoduchý problém. Napríklad nech je horná a spodná základňa rovná 16 a 44 cm a strany sú 17 a 25 cm Postavme kolmý segment z vrcholu D tak, aby DE II BC (ako je znázornené na obrázku 2). Preto to chápeme
Nech DF - bude. Z ΔADE (ktorý bude rovnostranný) dostaneme nasledovné:
Zjednodušene povedané, najskôr sme našli výšku ΔADE, ktorá je zároveň výškou lichobežníka. Odtiaľ vypočítame plochu štvoruholníka ABCD s už známou hodnotou výšky DF pomocou už známeho vzorca.
Požadovaná plocha ABCD je teda 450 cm³. Teda dá sa s istotou povedať, že Na výpočet plochy lichobežníka potrebujete iba súčet základov a dĺžku výšky.
Dôležité! Pri riešení úlohy nie je potrebné samostatne zisťovať hodnotu dĺžok, je celkom možné, ak sa použijú iné parametre obrazca, ktoré sa pri príslušnom dôkaze budú rovnať súčtu základov.
Druhy lichobežníka
V závislosti od toho, aké strany má postava, aké uhly sú vytvorené na základniach, existujú tri typy štvoruholníka: obdĺžnikový, bočný a rovnostranný.
Všestranný
Existujú dve formy: akútne a tupé. ABCD je akútna len vtedy, ak sú základné uhly (AD) ostré a dĺžky strán sú rozdielne. Ak je hodnota jedného uhla číslo Pi / 2 viac (miera stupňov je väčšia ako 90 °), dostaneme tupý uhol.
Ak sú strany rovnako dlhé
Obrázok 3. Pohľad na rovnoramenný lichobežník
Ak majú nerovnobežné strany rovnakú dĺžku, potom sa ABCD nazýva rovnoramenné (správne). Navyše pre takýto štvoruholník je miera uhlov v základni rovnaká, ich uhol bude vždy menší ako ten správny. Z tohto dôvodu sa rovnoramenné nikdy nerozdeľujú na akútne a tupé. Štvoruholník tohto tvaru má svoje špecifické rozdiely, medzi ktoré patria:
- Segmenty spájajúce opačné vrcholy sú rovnaké.
- Ostré uhly s väčšou základňou sú 45° (ilustračný príklad na obrázku 3).
- Ak pridáte stupne opačných uhlov, potom celkovo dajú 180 °.
- Okolo akéhokoľvek pravidelného lichobežníka je možné postaviť.
- Ak pridáte mieru opačných uhlov, potom sa rovná π.
Navyše, vzhľadom na ich geometrické usporiadanie bodov, existujú základné vlastnosti rovnoramenného lichobežníka:
Hodnota uhla pri základni 90°
Kolmosť bočnej strany základne je veľkou charakteristikou konceptu "obdĺžnikového lichobežníka". Na základni nemôžu byť dve strany s rohmi, pretože inak to už bude obdĺžnik. V štvoruholníkoch tohto typu bude druhá strana vždy tvoriť ostrý uhol s veľkou základňou a s menšou - tupý. V tomto prípade bude kolmá strana zároveň výškou.
Segment medzi stredom bočných stien
Ak spojíme stredy strán a výsledný segment bude rovnobežný so základňami a bude mať dĺžku rovnajúcu sa polovici ich súčtu, vytvorí sa priamka bude stredná čiara. Hodnota tejto vzdialenosti sa vypočíta podľa vzorca:
Pre názornejší príklad zvážte problém pomocou strednej čiary.
Úloha. Stredová čiara lichobežníka je 7 cm, je známe, že jedna zo strán je o 4 cm väčšia ako druhá (obr. 4). Nájdite dĺžky základov.
Obrázok 4. Riešenie problému hľadania základných dĺžok
rozhodnutie. Nech je menšia základňa DC rovná x cm, potom väčšia základňa bude rovná (x + 4) cm, v tomto poradí, pomocou vzorca pre strednú čiaru lichobežníka, dostaneme:
Ukazuje sa, že menšia základňa DC je 5 cm a väčšia je 9 cm.
Dôležité! Koncept strednej čiary je kľúčom k riešeniu mnohých problémov v geometrii. Na základe jeho definície je vytvorených mnoho dôkazov pre iné postavy. Použitím konceptu v praxi je možné racionálnejšie riešenie a hľadanie požadovanej hodnoty.
Určenie výšky a ako ju nájsť
Ako už bolo uvedené vyššie, výška je segment, ktorý pretína základne pod uhlom 2Pi / 4 a je medzi nimi najkratšia vzdialenosť. Pred zistením výšky lichobežníka je potrebné určiť, aké vstupné hodnoty sú uvedené. Pre lepšie pochopenie zvážte problém. Nájdite výšku lichobežníka za predpokladu, že základne sú 8 a 28 cm, strany sú 12 a 16 cm.
Obrázok 5. Riešenie úlohy hľadania výšky lichobežníka
Nakreslíme segmenty DF a CH v pravom uhle k základni AD Podľa definície bude každý z nich výškou daného lichobežníka (obr. 5). V tomto prípade, keď poznáme dĺžku každej bočnej steny pomocou Pytagorovej vety, zistíme, aká je výška v trojuholníkoch AFD a BHC.
Súčet segmentov AF a HB sa rovná rozdielu báz, t.j.:
Nech je dĺžka AF rovná x cm, potom dĺžka segmentu HB = (20 - x) cm. Ako bolo stanovené, DF=CH , teda .
Potom dostaneme nasledujúcu rovnicu:
Ukazuje sa, že segment AF v trojuholníku AFD je 7,2 cm, odtiaľ vypočítame výšku lichobežníka DF pomocou rovnakej Pytagorovej vety:
Tie. výška lichobežníka ADCB bude 9,6 cm Ako vidíte, výpočet výšky je viac mechanický proces a je založený na výpočtoch strán a uhlov trojuholníkov. Ale v mnohých problémoch v geometrii môžu byť známe iba stupne uhlov, v takom prípade sa výpočty budú robiť pomocou pomeru strán vnútorných trojuholníkov.
Dôležité! V podstate sa lichobežník často chápe ako dva trojuholníky alebo ako kombinácia obdĺžnika a trojuholníka. Na vyriešenie 90% všetkých problémov nájdených v školských učebniciach, vlastnosti a charakteristiky týchto postáv. Väčšina vzorcov pre tento GMT je odvodená na základe „mechanizmov“ pre tieto dva typy čísel.
Ako rýchlo vypočítať dĺžku základne
Predtým, ako nájdete základňu lichobežníka, musíte určiť, aké parametre sú už dané a ako ich racionálne používať. Praktickým prístupom je extrahovať dĺžku neznámej základne zo vzorca strednej čiary. Pre jasnejšie vnímanie obrázku si ukážeme, ako sa to dá urobiť na príklade úlohy. Nech je známe, že stredná čiara lichobežníka je 7 cm a jedna zo základov je 10 cm. Nájdite dĺžku druhej základne.
Riešenie: Keď vieme, že stredná čiara sa rovná polovici súčtu základov, môžeme tvrdiť, že ich súčet je 14 cm.
(14 cm = 7 cm x 2). Z podmienky úlohy vieme, že jedna z je rovná 10 cm, teda menšia strana lichobežníka bude rovná 4 cm (4 cm = 14 - 10).
Navyše, pre pohodlnejšie riešenie problémov tohto druhu, odporúčame, aby ste sa dobre naučili také vzorce z oblasti lichobežníka ako:
- stredná čiara;
- námestie;
- výška;
- uhlopriečky.
Keď poznáte podstatu (presne podstatu) týchto výpočtov, môžete ľahko zistiť požadovanú hodnotu.
Video: lichobežník a jeho vlastnosti
Video: lichobežníkové prvky
Záver
Z uvažovaných príkladov problémov môžeme vyvodiť jednoduchý záver, že lichobežník, pokiaľ ide o výpočet problémov, je jedným z najjednoduchších útvarov v geometrii. Na úspešné vyriešenie problémov v prvom rade nie je potrebné rozhodnúť, aké informácie sú známe o popisovanom objekte, v akých vzorcoch ich možno použiť a rozhodnúť, čo je potrebné nájsť. Po vykonaní tohto jednoduchého algoritmu nebude žiadna úloha s použitím tohto geometrického útvaru jednoduchá.
