Ang pamilya ni Georg Kantor (1845-1918) ay lumipat mula sa Russia patungong Germany noong siya ay bata pa. Doon siya nagsimulang mag-aral ng matematika. Noong 1868 ipinagtanggol niya ang kanyang disertasyon sa teorya ng numero at natanggap ang kanyang titulo ng doktor mula sa Unibersidad ng Berlin. Sa edad na 27, naglathala si Kantor ng isang artikulo na naglalaman ng pangkalahatang solusyon sa isang napakakomplikadong problema sa matematika - at mga ideya na lumaki sa kanyang sikat na teorya - set theory. Noong 1878, siya ay nagpakilala at nagbalangkas ng isang makabuluhang bilang ng mga bagong konsepto, nagbigay ng kahulugan ng isang set at ang unang kahulugan ng isang continuum, at binuo ang mga prinsipyo ng paghahambing ng mga set. Nagbigay siya ng isang sistematikong pagtatanghal ng mga prinsipyo ng kanyang doktrina ng kawalang-hanggan noong 1879-1884.

Ang pagpupumilit ni Cantor na isaalang-alang ang infinity bilang isang bagay na aktwal na ibinigay ay malaking balita para sa oras na iyon. Inisip ni Kantor ang kanyang teorya bilang isang ganap na bagong calculus ng walang katapusan, "transfinite" (iyon ay, "superfinite") na matematika. Ayon sa kanyang ideya, ang paglikha ng naturang calculus ay dapat na baguhin hindi lamang ang matematika, kundi pati na rin ang metapisika at teolohiya, na mas interesado kay Cantor kaysa sa siyentipikong pananaliksik mismo. Siya ang tanging matematiko at pilosopo na naniniwala na ang aktwal na kawalang-hanggan ay hindi lamang umiiral, ngunit naiintindihan din ng tao sa buong kahulugan, at ang pag-unawang ito ay magtataas ng mga mathematician, at pagkatapos nila ay mga teologo, na mas mataas at mas malapit sa Diyos. Inialay niya ang kanyang buhay sa gawaing ito. Ang siyentipiko ay matatag na naniniwala na siya ay pinili ng Diyos upang gumawa ng isang mahusay na rebolusyon sa agham, at ang paniniwalang ito ay suportado ng mga mystical na pangitain. Gayunpaman, kakaibang natapos ang titanic na pagtatangka ni Georg Cantor: natuklasan ang hindi malulutas na mga kabalintunaan sa teorya, na nagdulot ng pagdududa sa kahulugan ng paboritong ideya ni Cantor - ang "hagdan ng mga aleph", isang sunud-sunod na serye ng mga transfinite na numero. (Ang mga numerong ito ay malawak na kilala sa pagtatalaga na kanyang pinagtibay: sa anyo ng titik aleph - ang unang titik ng alpabetong Hebreo.)

Ang hindi inaasahan at pagka-orihinal ng kanyang pananaw, sa kabila ng lahat ng mga pakinabang ng diskarte, ay humantong sa isang matalim na pagtanggi sa kanyang trabaho ng karamihan sa mga siyentipiko. Sa loob ng mga dekada, nakipagpunyagi siya sa halos lahat ng kanyang mga kontemporaryo, pilosopo at mathematician, na itinanggi ang pagiging lehitimo ng pagbuo ng matematika sa pundasyon ng aktwal na walang katapusan. Ito ay kinuha bilang isang hamon ng ilan, dahil ipinalagay ni Cantor ang pagkakaroon ng mga set o pagkakasunud-sunod ng mga numero na mayroong walang katapusang maraming elemento. Tinawag ng sikat na mathematician na si Poincaré ang teorya ng transfinite numbers na isang "sakit" kung saan ang matematika ay dapat gumaling balang araw. L. Kronecker - guro ni Cantor at isa sa mga pinakarespetadong mathematician sa Germany - inatake pa si Cantor, tinawag siyang "charlatan", "renegade" at "molester of youth"! Sa pamamagitan lamang ng 1890, kapag ang mga aplikasyon ng set theory sa pagsusuri at geometry ay nakuha, ang teorya ni Cantor ay kinilala bilang isang malayang sangay ng matematika.

Mahalagang tandaan na ang Kantor ay nag-ambag sa paglikha ng isang propesyonal na asosasyon - ang German Mathematical Society, na nag-ambag sa pag-unlad ng matematika sa Germany. Naniniwala siya na ang kanyang pang-agham na karera ay nagdusa mula sa pagtatangi laban sa kanyang trabaho, at umaasa siya na ang isang independiyenteng organisasyon ay magpapahintulot sa mga batang mathematician na independiyenteng hatulan ang mga bagong ideya at bumuo ng mga ito. Siya rin ang nagpasimula ng pagpupulong ng unang International Mathematical Congress sa Zurich.

Nahirapan si Kantor sa mga kontradiksyon ng kanyang teorya at sa kahirapan sa pagtanggap nito. Mula noong 1884 siya ay nagdusa mula sa isang malalim na depresyon at pagkatapos ng ilang taon siya ay nagretiro mula sa siyentipikong aktibidad. Namatay si Kantor sa heart failure sa isang psychiatric hospital sa Halle.

Pinatunayan ng Kantor ang pagkakaroon ng isang hierarchy ng mga infinity, na ang bawat isa ay "mas malaki" kaysa sa nauna. Ang kanyang teorya ng transfinite set, na nakaligtas sa mga taon ng pagdududa at pag-atake, sa kalaunan ay lumago sa isang napakagandang rebolusyonaryong puwersa sa ika-20 siglong matematika. at naging batong panulok nito.

Ang simula ng ika-19 na siglo ay minarkahan ng pagtuklas ng di-Euclidean geometry. Noong 1825 - Nikolai Vasilyevich Lobachevsky, ilang sandali, noong 1831 - Janos Bolyai. At ang kapalaran ng mga pagtuklas na ito ay napaka-trahedya. Wala ni isa o ang pangalawang pagtuklas ang nakilala. Hanggang sa 1860s, bago ang mga pagtuklas ng iba pang di-Euclidean geometry - Riemann at iba pa. At ang mga natuklasan ng non-Euclidean geometry ay namatay na! At ngayon - ang teorya ng mga set, na hindi rin kinikilala, ay pinagalitan ... Oh, ang kakaibang ika-19 na siglo na ito ...

Cantor), Georg (Marso 3, 1845 - Enero 6, 1918) - mathematician at palaisip, tagalikha ng set theory, na may sariling batayan. bagay ng walang katapusang set. Genus. Sa Petersburg. Mula 1872 - prof. unibersidad sa Halle. Namatay siya sa Halle sa isang psychiatric hospital. klinika. Sa paglikha ng teorya ng mga set (1870), pinamunuan siya ng mga pag-aaral ng trigonometriko. mga hilera. Ang panahon ng paglikha sa buhay ni K., na tumagal hanggang 1897 (nagambala ng isang espirituwal na krisis noong 1885), ay minarkahan ng Op. "Sa walang katapusang linear point manifolds" ("?ber unendliche, lineare Punktmannigfaltigkeiten", 1879–84), "Sa pagbibigay-katwiran ng teorya ng transfinite set" ("Beitr?ge zur Begr?ndung der transfiniten Mengenlehre", 1895–97 ), atbp. Inilatag ni K. ang mga pundasyon bilang isang abstract na teorya ng mga set [pag-aaral ng mga set lamang mula sa punto ng view. kanilang "mga numero" (cardinality ng hanay) at pagkakasunud-sunod ng mga ugnayan sa pagitan ng kanilang mga elemento (mga uri ng pagkakasunud-sunod ng mga hanay)], at ang teorya ng mga set ng punto (ibig sabihin, mga hanay na binubuo ng mga punto ng linya ng numero at, sa pangkalahatan, isang numerong n-dimensional space). K. ay isa sa mga unang bumuo ng teorya ng tunay na mga numero, na kung saan ay pa rin (kasama ang mga teorya ng mga Aleman na siyentipiko na sina R. Dedekind at K. Weierstrass) ay karaniwang ginagamit bilang batayan para sa pagbuo ng matematika. pagsusuri. Ang set theory ni Cantor ay minarkahan ang isang mahalagang hakbang pasulong sa pag-aaral ng konsepto ng infinity; ang paglikha nito ay isang rebolusyon sa lahat ng bagay sa matematika. kaalaman. Sa simula. ika-20 siglo ang lahat ng matematika ay muling binago sa batayan ng set theory; ang pag-unlad at pagtagos nito sa iba't ibang larangan ng matematika ay humantong sa paglitaw ng bagong siyentipiko. mga disiplina, halimbawa. topology, abstract algebra, atbp. Nang maglaon, natuklasan ang mga paradox sa set theory, na nagbigay ng bagong impetus sa pag-aaral ng lohikal. pundasyon ng matematika at humantong sa paglitaw ng mga bagong uso sa pilosopiya nito. interpretasyon (hal., intuitionism). Ang isa sa mga unang kabalintunaan ng ganitong uri (na nauugnay sa konsepto ng kapangyarihan ng hanay ng lahat ng hanay) ay natuklasan mismo ni K. noong 1899. Ang matematika, batay sa walang kondisyong aplikasyon ng teorya ng hanay ni K., sa kasalukuyan. Ang oras ay madalas na tinatawag na klasiko. Tingnan ang Mathematics, Set Theory, Mathematical Infinity. Philos. aspeto ng mga ideya ni K. ay binubuo sa pagkilala sa ganap na pagiging lehitimo ng konsepto ng aktuwal na walang hanggan. K. nakilala ang dalawang uri ng matematika. infinity: ang hindi wastong infinite (potensyal, o syncategorematic, infinite) at ang wastong infinite (aktwal na infinite), naiintindihan ni K. bilang isang bagay na kumpleto, bilang isang mahigpit na limitadong kabuuan. Kaugnay ng tanong ng realidad, ang mathematical konsepto K. nakikilala: ang kanilang intrasubjective, o immanent, realidad (ang kanilang panloob na lohikal. pagkakapare-pareho) at ang kanilang transsubjective, o lumilipas, katotohanan, kung saan naunawaan niya ang pagsusulatan sa pagitan ng matematika. mga konsepto at proseso ng totoong mundo. Sa kaibahan sa Kronecker, na tinanggihan ang mga pamamaraan ng pagpapatunay ng pagkakaroon ng matematika. bagay, to-rye na hindi nauugnay sa kanilang konstruksiyon o pagkalkula, K. ilagay sa harap ng thesis: "ang kakanyahan ng matematika - sa kalayaan nito," DOS. ibig sabihin ang to-rogo ay binawasan sa pagpapalagay ng pagbuo ng anumang lohikal na pare-parehong abstract mathematical. sistema, ang tanong ng "lumilipas na katotohanan" sa-rykh ay nalutas sa pamamagitan ng paghahambing ng mga ito sa mga proseso ng katotohanan. Ang pagiging mabunga ng kaisipang ito ni K. ay napatunayan ng pag-unlad ng matematika noong ika-20 siglo, na nagdala ng maraming halimbawa ng aplikasyon ng mga bagong umuusbong na abstract na konseptong matematika. at lohikal. mga teorya sa pisika, teknolohiya, lingguwistika, at iba pang larangan. Sa pamamagitan ng kanilang pilosopiya. views K. ay isang layunin idealist. Itinuring niya ang aktwal na walang katapusan sa matematika na isa lamang sa mga anyo ng pagkakaroon ng aktwal na walang katapusan sa pangkalahatan; ang huli ay nakakuha ng "pinakamataas na pagkakumpleto" sa isang ganap na independyente, sa labas ng mundo na pag-iral - sa Diyos; ang diyos ay ganap na walang hanggan o ganap; bilang karagdagan, ang aktwal na walang hanggan, ayon kay K., ay may layunin na umiiral sa panlabas na mundo. Pinuna ni K. si Hegel, tinatanggihan ang kanyang dialectic sa mga batayan na ang core nito ay isang kontradiksyon. Samakatuwid, pansin, lalo na sa huling yugto ng kanyang buhay, K. binayaran sa teolohiya. Ang kanyang pilosopiya sa relihiyon. Ang mga pananaw ay nabuo sa ilalim ng impluwensya ni Aristotle, Plato at ng mga eskolastiko. Op.: Gesammelte Abhandlungen..., V., 1932. Lit.: Fraenkel?., Georg Cantor, Lpz., 1930. A. Konoplyankin. Moscow.

Mahusay na Kahulugan

Hindi kumpletong kahulugan ↓

KANTOR Georg (1845-1918)

German mathematician, logician, theologian, lumikha ng theory of transfinite (infinite) sets, na nagkaroon ng mapagpasyang impluwensya sa pag-unlad ng matematikal na agham sa pagliko ng ika-19 at ika-20 siglo. Nagtapos mula sa Unibersidad ng Berlin (1867), propesor sa Unibersidad ng Halle (1879-1913). Pangunahing gawain: "Mga Batayan ng Pangkalahatang Doktrina ng mga Iba't-ibang" (1902). Ang pananaliksik ni K., na pinasimulan ng pangangailangan upang malutas ang mga problema sa pagpindot sa teorya ng walang katapusang serye ng Fourier, ay naging batayan para sa karagdagang pangunahing pananaliksik sa direksyon ng teorya ng mga numerical set, kung saan ipinakilala niya ang: ang pangkalahatang kahulugan ng isang set, mga transfinite na numero, ang pangkalahatang konsepto ng "kapangyarihan ng isang set" (bilang ang bilang ng mga elemento ng isang set), mga cardinalidad ng iba't ibang transfinite set. Sa ilalim ng set, naunawaan ni K. "... sa pangkalahatan, anumang maraming bagay na maaaring isipin bilang isang yunit, iyon ay, anumang hanay ng ilang mga elemento na maaaring konektado sa isang kabuuan sa tulong ng ilang batas .. .". Pangunahin sa konsepto ng isang set ay ang pagkilos ng pagsasama-sama ng iba't ibang mga bagay sa isang solong kabuuan, na tinukoy bilang isang set. Ang mga elemento ng set ay maaaring maging anumang bagay ng tunay na realidad, intuwisyon ng tao o talino. Ang presensya sa kahulugan ng K. ng pariralang "... isang hanay ng ilang mga elemento na maaaring konektado sa isang kabuuan sa tulong ng isang tiyak na batas ..." ganap na tinutukoy ang hanay ng mga elemento o batas nito (mga tampok na katangian , mga katangian), ayon sa kung saan ang pagkilos ng pagsasama-sama ng iba't ibang mga bagay ay nagaganap sa isang solong kabuuan - isang karamihan. Samakatuwid, ang pangunahing konsepto ng set theory ay hindi ang konsepto ng isang set mismo, ngunit ang kaugnayan ng pag-aari ng mga bagay sa isang set. Ang tradisyon ng paghahati ng kawalang-hanggan sa aktwal at potensyal ay bumalik kay Aristotle: "Ang kahalili ay nananatili, ayon sa kung saan ang walang katapusan ay may potensyal na pag-iral ... Sa totoo lang ang walang katapusan ay hindi umiiral" (Aristotle, "Physics"). Ang tradisyong ito ay ipinagpatuloy ni Descartes (“Infinity is recognizable, but not cognizable”) at maging sa panahon ni K. Gauss (“Sa matematika, ang isang walang katapusang halaga ay hindi kailanman magagamit bilang isang bagay na pangwakas; ang infinity ay walang iba kundi ang facon de parle / paraan ng pagpapahayag - С.С / , ibig sabihin ang limitasyon kung saan ang ilang mga dami ay may posibilidad, kapag ang iba ay bumaba nang walang katiyakan"). K., gaya ng isinulat ni M. Kline, ay umalis mula sa isang mahabang tradisyon "sa pamamagitan ng katotohanan na itinuturing niyang walang katapusan na mga hanay bilang mga solong entidad, bukod pa rito, mga entidad na naa-access sa isip ng tao." Talagang hindi sumasang-ayon sa kanyang mga kapwa mathematician sa kanyang mga pananaw sa mathematical infinity, si K. nag-udyok sa pangangailangang ipakilala ang aktwal na mga infinite set sa pamamagitan ng katotohanang "ang potensyal na infinity ay talagang nakasalalay sa aktwal na infinity na lohikal na nauuna rito." Ang isang klasikong halimbawa ng isang aktwal na infinite set ayon sa K. ay ang mga pagpapalawak ng desimal ng mga hindi makatwirang numero, dahil bawat "may hangganang bahagi ng naturang agnas ay nagbibigay lamang ng isang may hangganang pagtatantya sa isang hindi makatwirang numero." Noong 1873, sinimulan ni K. ang pagsasaliksik sa pag-uuri ng aktuwal na walang katapusang mga hanay. Maya-maya, tinukoy ni K. ang isang walang katapusang set bilang isang set kung saan mayroong one-to-one na sulat na may sarili nitong subset (iyon ay, naiiba sa buong set). Ang isa sa mga kahihinatnan ng diskarteng ito ay, halimbawa, ang posibilidad ng pagtatatag ng isa-sa-isang sulat sa pagitan ng mga punto ng isang tuwid na linya at mga punto ng isang sari-sari ng anumang dimensyon. Batay sa kanyang sariling depinisyon ng mga infinite set, nagawang itatag ni K. para sa bawat pares ng mga ito ang ugnayan ng equivalence (equal power). Noong 1874, pinatunayan ni K. ang hindi mabilang na hanay ng lahat ng tunay na numero, na nagtatag ng pagkakaroon ng mga pares ng walang katapusan na hanay na may magkakaibang mga kardinal (walang katumbas na hanay). Sistematiko ang mga pundasyon ng kanyang teorya ng mathematical infinity K. na binalangkas noong 1879-1884. Ang batayan ng hierarchy ng infinities K. ay napatunayan sa unang kalahati ng 1890s ng kilalang teorama ni K.-Bernstein: "kung ang dalawang set A at B ay ganoon na mayroong one-to-one na pagsusulatan sa pagitan ang set A at isang subset ng set B at sa pagitan ng set B at ang subset ng set A , pagkatapos posible ring magtatag ng one-to-one na pagsusulatan sa pagitan ng set A at ng set B", i.e. itatag ang equivalence (equivalence) ng set A at B. Kasabay nito, natukoy ni K. na kung ang set A ay maaaring ilagay sa one-to-one na sulat na may sarili nitong subset B, at ang set B ay hindi maaaring ilagay sa one-to-one na sulat na may sarili nitong subset A, pagkatapos ay ang set B ayon sa kahulugan ay mas malaki kaysa sa set A. Ayon kay M. Klein, ang ganitong kahulugan ay nag-generalize sa kaso ng walang katapusan na mga set kung ano ang "agad na halata sa kaso ng mga may hangganang hanay." Kasunod ng diskarteng ito, pinatunayan ni K. na para sa anumang "ibinigay na hanay ay palaging may isang hanay na mas malaki kaysa sa orihinal" (halimbawa, ang hanay ng lahat ng mga subset ng isang ibinigay na hanay ay mas malaki kaysa sa orihinal na hanay). Ang katotohanan na sa pagitan ng dalawang kapangyarihan ay posible na magtatag ng mga relasyon na "pagkakapantay-pantay", "higit pa" at "mas kaunti", nagbigay kay K. may dahilan para tawagin ang "mga numero" na mga simbolo para sa pagtatalaga ng mga kardinalidad ng mga walang katapusan na hanay (para sa mga may hangganan na hanay, ang mga simbolo para sa pagtatalaga ng kanilang mga kardinalidad ay ang mga numero ng natural na serye na tumutukoy sa bilang ng mga elemento sa bawat katumbas na hanay na may hangganan). Sa kaibahan sa mga numero ng natural na serye [ordinal na mga numero / mula sa kanya. Die Ordinalzahl (Ordnungzahl) - ordinal numerals - C.C.I, K. tinatawag na cardinal number (mula sa German Die Kardinalzahl - quantitative number)] "mga numero" na nagtatalaga ng kapangyarihan ng walang katapusang set. Naniniwala si K. na ang lugar ng ilang mga halaga ay hindi limitado sa mga may hangganan na halaga, tk. tungkol sa "ang aktwal na walang hanggan ay posible ring demonstrative na kaalaman". Kung ang konsepto ng cardinality ay isang pinalawig na konsepto ng "dami" para sa mga walang katapusang set, kung gayon ang konsepto ng isang cardinal number ay naging isang pinahabang generalization ng konsepto ng "mga numero sa pangkalahatan". K. pagpapalawak ng konsepto ng "numero" sa kaharian ng Walang-hanggan ay minarkahan ang paglipat ng matematika sa isang qualitatively bagong antas ng pag-iisip. Sa katunayan, ang kapangyarihan ng mga hanay ayon kay K. ay sumasalamin sa isipan ng isang taong mananaliksik ng ilang mga ugnayan ng mga hanay, i.e. ang kardinalidad ng mga set sa K. ay ang pinaka-pangkalahatang katangian ng katumbas na mga set na walang katapusan. Bolzano noong unang bahagi ng ika-19 na siglo. dumating sa konsepto ng isang isa-sa-isang pagsusulatan sa pagitan ng mga hanay (at, dahil dito, sa konsepto ng mga kardinalidad ng mga hanay at ang kanilang pagpapahayag sa pamamagitan ng mga numero ng kardinal). Gayunpaman, sa ilalim ng "dami" hanggang sa kalagitnaan ng ika-19 na siglo. naiintindihan ang laki. At dahil ang bawat dami ay maaaring ipahayag bilang isang numero sa pamamagitan ng napiling yunit ng pagsukat, ang ideya ng dami ay nauugnay sa konsepto ng numero. Ang makata na si Bolzano ay napilitang umatras bago ang mga seryosong paghihirap na nagmumula sa konsepto ng "dami". Ang matematika noong panahong iyon ay karaniwang tinukoy bilang isang agham na nag-aaral ng mga ugnayan sa pagitan ng mga dami at mga numerong nagpapahayag ng mga ito. Gayunpaman, gaya ng isinulat ni VA Volkov, "gaano man kahalaga ang iba't ibang uri ng dami at ugnayan sa pagitan ng mga ito para sa mga praktikal na aplikasyon ng matematika, hindi nila saklaw ang lahat ng kayamanan ng iba't ibang quantitative na relasyon at spatial na anyo ng totoong mundo." Ipinakilala rin ni K. ang konsepto ng "limit point of a derived set" sa matematika, gumawa ng halimbawa ng perpektong set ("set K."), at bumalangkas ng isa sa mga axioms of continuity ("axiom K."). Ang mga kahihinatnan mula sa teorya ng K. nagsiwalat ng mga kontradiksyon sa medyo seryosong pinag-aralan na mga lugar ng mga pundasyon ng matematika. Tinawag ng mga pinuno ng matematika noong panahong iyon ang mga kontradiksyon na ito na mga kabalintunaan (antinomies) para sa nag-iisang dahilan na ang kabalintunaan ay "maaaring ipaliwanag, at ang mga mathematician ay hindi nag-iwan ng pag-asa na sa kalaunan ay malulutas nila ang lahat ng mga paghihirap na kanilang naranasan." Ang teorya ng matematikal na kawalang-hanggan ng K., hindi tulad ng karamihan sa mga nangungunang mathematicians ng oras na iyon, ay suportado ng Russell at Hilbert. Si Russell, kung isasaalang-alang si K. na isa sa mga dakilang palaisip noong ika-19 na siglo, ay sumulat noong 1910 na ang solusyon sa mga problemang K., “na matagal nang bumabalot sa misteryo ng kawalang-hanggan sa matematika, ay marahil ang pinakamalaking tagumpay na dapat maabot ng ating siglo / ika-20 siglo. ipinagmamalaki. - S.S./". Naisip ni Hilbert noong 1926 na ang teorya ng K. - ay "ang pinaka-kagiliw-giliw na bulaklak ng pag-iisip sa matematika at isa sa mga pinakadakilang tagumpay ng aktibidad ng tao sa larangan ng dalisay na pag-iisip." At E. Borel at A. Lebesgue na sa pinakadulo simula ng ika-20 siglo. pangkalahatan ang konsepto ng integral at binuo ang teorya ng pagsukat at pagsukat, na batay sa teorya ng K. Noong 1897, napilitan si K. na ihinto ang aktibong pananaliksik sa matematika dahil sa matinding pagtutol sa kanyang mga ideya (sa partikular, mula kay L. Kronecker, na tinawag si K. isang charlatan), na naglalagay ng pasulong na tinatawag na "batas ng konserbasyon ng kamangmangan": "hindi madaling pabulaanan ang anumang maling konklusyon, kapag ito ay narating na at ito ay naging sapat na kalat, at mas mababa ito. ay nauunawaan, mas matigas ang ulo nito ay sinusunod." Laging ibinahagi ni K. ang mga pilosopikal na ideya ni Plato at naniniwala na sa mundo sa paligid natin "ang mga ideya ay umiiral nang independyente ng tao. At upang mapagtanto ang katotohanan ng mga ideyang ito, kailangan mo lamang na isipin ang tungkol sa mga ito." K., bilang isang masigasig na Lutheran alinsunod sa matagal nang relihiyosong tradisyon ng kanyang pamilya, ay madalas na gumamit ng teolohikong argumento sa kanyang mga pahayag. Ito ay lalong maliwanag pagkatapos ng kanyang pag-alis mula sa matematika.

Si Georg Cantor (ibinigay ang larawan sa ibang pagkakataon sa artikulo) ay isang German mathematician na lumikha ng set theory at nagpakilala ng konsepto ng transfinite numbers, walang hanggan malaki, ngunit magkaiba sa isa't isa. Tinukoy din niya ang ordinal at cardinal na mga numero at nilikha ang kanilang arithmetic.

Georg Kantor: isang maikling talambuhay

Ipinanganak sa St. Petersburg noong 03/03/1845. Ang kanyang ama ay isang Dane ng pananampalatayang Protestante, si Georg-Valdemar Kantor, na nakikibahagi sa kalakalan, kabilang ang stock exchange. Ang kanyang ina na si Maria Bem ay isang Katoliko at nagmula sa pamilya ng mga kilalang musikero. Nang magkasakit ang ama ni Georg noong 1856, lumipat muna ang pamilya sa Wiesbaden at pagkatapos ay sa Frankfurt para maghanap ng mas banayad na klima. Ang mga talento sa matematika ng batang lalaki ay nagpakita bago ang kanyang ika-15 na kaarawan habang nag-aaral sa mga pribadong paaralan at gymnasium sa Darmstadt at Wiesbaden. Sa huli, kinumbinsi ni Georg Cantor ang kanyang ama sa kanyang matatag na intensyon na maging isang matematiko, hindi isang inhinyero.

Pagkatapos ng maikling pag-aaral sa Unibersidad ng Zurich, noong 1863 inilipat ni Kantor sa Unibersidad ng Berlin upang mag-aral ng pisika, pilosopiya at matematika. Doon siya tinuruan:

• Karl Theodor Weierstrass, na ang pagdadalubhasa sa pagsusuri ay marahil ang pinakamalaking impluwensya ni Georg;
• Ernst Eduard Kummer, na nagturo ng mas mataas na aritmetika;
• Leopold Kronecker, number theorist na kalaunan ay sumalungat kay Cantor.

Pagkatapos gumugol ng isang semestre sa Unibersidad ng Göttingen noong 1866, nang sumunod na taon ay sumulat si Georg ng isang disertasyong pang-doktoral na pinamagatang "Sa matematika ang sining ng pagtatanong ay higit na mahalaga kaysa paglutas ng mga problema", tungkol sa isang suliraning iniwan ni Carl Friedrich Gauss na hindi nalutas sa kanyang Disquisitiones Arithmeticae (1801) . Pagkatapos ng maikling pagtuturo sa Berlin School for Girls, nagsimulang magtrabaho si Kantor sa Unibersidad ng Halle, kung saan nanatili siya hanggang sa katapusan ng kanyang buhay, una bilang isang guro, mula 1872 bilang isang assistant professor, at mula 1879 bilang isang propesor.

Pananaliksik

Sa simula ng isang serye ng 10 mga papel mula 1869 hanggang 1873, isinasaalang-alang ni Georg Cantor ang teorya ng numero. Ang trabaho ay sumasalamin sa kanyang pagkahilig para sa paksa, ang kanyang pag-aaral ng Gauss at ang impluwensya ni Kronecker. Sa mungkahi ni Heinrich Eduard Heine, kasamahan ni Cantor sa Halle, na kinilala ang kanyang talento sa matematika, bumaling siya sa teorya ng serye ng trigonometriko, kung saan pinalawak niya ang konsepto ng mga tunay na numero.

Batay sa gawain sa pag-andar ng isang kumplikadong variable ng Aleman na matematiko na si Bernhard Riemann noong 1854, noong 1870 ipinakita ng Kantor na ang naturang function ay maaaring katawanin sa isang paraan lamang - sa pamamagitan ng trigonometriko na serye. Ang pagsasaalang-alang ng isang hanay ng mga numero (puntos) na hindi sumasalungat sa gayong representasyon ay humantong sa kanya, una, noong 1872 sa isang kahulugan sa mga tuntunin ng mga makatwirang numero (mga fraction ng integer) at pagkatapos ay sa simula ng trabaho sa kanyang buhay, itinakda. teorya at ang konsepto ng transfinite na mga numero.

set theory

Si Georg Cantor, na ang set theory ay nagmula sa pakikipagsulatan kay Richard Dedekind, isang mathematician sa Technical Institute of Braunschweig, ay naging kaibigan niya mula pagkabata. Dumating sila sa konklusyon na ang mga set, may hangganan man o walang hanggan, ay mga koleksyon ng mga elemento (hal. mga numero, (0, ±1, ±2 . . .)) na mayroong isang partikular na katangian habang pinapanatili ang kanilang indibidwalidad. Ngunit nang gumamit si Georg Cantor ng isa-sa-isang sulat (halimbawa, (A, B, C) hanggang (1, 2, 3)) upang pag-aralan ang kanilang mga katangian, agad niyang napagtanto na magkaiba sila sa antas ng kanilang pagiging miyembro, kahit na ang mga ito ay mga infinite set , ibig sabihin, mga set, isang bahagi o subset kung saan kasama ang kasing dami ng mga object nito. Ang kanyang pamamaraan sa lalong madaling panahon ay nagbigay ng kamangha-manghang mga resulta.

Noong 1873, ipinakita ni Georg Cantor (mathematician) na ang mga rational na numero, bagama't walang katapusan, ay mabibilang dahil maaari silang ilagay sa isa-sa-isang sulat na may natural na mga numero (i.e. 1, 2, 3, atbp.). Ipinakita niya na ang hanay ng mga tunay na numero, na binubuo ng mga hindi makatwiran at makatwiran, ay walang hanggan at hindi mabilang. Higit na kabalintunaan, pinatunayan ni Cantor na ang hanay ng lahat ng algebraic na numero ay naglalaman ng maraming elemento gaya ng hanay ng lahat ng integer, at ang hindi algebraic na transendental na numero, na isang subset ng mga hindi makatwirang numero, ay hindi mabilang at samakatuwid ay mas marami kaysa sa mga integer. , at dapat ituring na walang hanggan.

Mga kalaban at tagasuporta

Ngunit ang papel ni Kantor, kung saan una niyang inilagay ang mga resultang ito, ay hindi nai-publish sa journal Krell, dahil ang isa sa mga tagasuri, si Kronecker, ay tiyak na laban dito. Ngunit pagkatapos ng interbensyon ng Dedekind, nai-publish ito noong 1874 sa ilalim ng pamagat na On the Characteristic Properties of All Real Algebraic Numbers.

Agham at personal na buhay

Sa parehong taon, sa panahon ng kanyang hanimun kasama ang kanyang asawang si Valli Gutman, nakilala ni Kantor si Dedekind, na nagsalita nang pabor sa kanyang bagong teorya. Maliit ang suweldo ni George, ngunit sa pera ng kanyang ama, na namatay noong 1863, nagpatayo siya ng bahay para sa kanyang asawa at limang anak. Marami sa kanyang mga papel ay nai-publish sa Sweden sa bagong journal Acta Mathematica, na-edit at itinatag ni Gesta Mittag-Leffler, na isa sa mga unang nakilala ang talento ng German mathematician.

Koneksyon sa metapisika

Ang teorya ni Cantor ay naging isang ganap na bagong paksa ng pag-aaral tungkol sa matematika ng walang hanggan (hal. serye 1, 2, 3, atbp., at mas kumplikadong mga set), na nakadepende nang husto sa isa-sa-isang sulat. Ang pagbuo ni Cantor ng mga bagong pamamaraan para sa pagtatanong tungkol sa pagpapatuloy at kawalang-hanggan ay nagbigay sa kanyang pananaliksik ng isang hindi tiyak na karakter.

Nang mangatwiran siya na walang hanggan na mga numero ang talagang umiiral, bumaling siya sa sinaunang at medyebal na pilosopiya tungkol sa aktwal at potensyal na kawalang-hanggan, gayundin sa maagang relihiyosong edukasyon na ibinigay sa kanya ng kanyang mga magulang. Noong 1883, sa kanyang aklat na Foundations of General Set Theory, pinagsama ni Cantor ang kanyang konsepto sa metapisika ni Plato.

Kronecker, na nag-claim na ang mga integer lamang ang "umiiral" ("Nilikha ng Diyos ang mga integer, ang natitira ay gawa ng tao"), sa loob ng maraming taon ay taimtim na tinanggihan ang kanyang pangangatwiran at pinigilan ang kanyang appointment sa Unibersidad ng Berlin.

mga transfinite na numero

Noong 1895-97. Ganap na nabuo ni Georg Cantor ang kanyang ideya ng pagpapatuloy at kawalang-hanggan, kabilang ang walang katapusang ordinal at kardinal na mga numero, sa kanyang pinakatanyag na gawain, na inilathala bilang Contributions to the Establishment of the Theory of Transfinite Numbers (1915). Ang sanaysay na ito ay naglalaman ng kanyang konsepto, kung saan siya ay pinangunahan sa pamamagitan ng pagpapakita na ang isang walang katapusang set ay maaaring ilagay sa isang isa-sa-isang sulat sa isa sa mga subset nito.

Sa pamamagitan ng hindi bababa sa transfinite cardinal number, ang ibig niyang sabihin ay ang cardinality ng anumang set na maaaring ilagay sa isang one-to-one na pagsusulatan sa mga natural na numero. Tinawag ito ni Cantor na aleph-null. Large transfinite sets are denoted, etc. Lalo niyang binuo ang arithmetic ng transfinite numbers, na kahalintulad sa finite arithmetic. Kaya, pinayaman niya ang konsepto ng infinity.

Ang pagsalungat na nakatagpo niya, at ang oras na inabot para ganap na matanggap ang kanyang mga ideya, ay ipinaliwanag ng kahirapan sa muling pagsusuri sa sinaunang tanong kung ano ang isang numero. Ipinakita ni Cantor na ang hanay ng mga puntos sa isang linya ay may mas mataas na cardinality kaysa sa aleph-zero. Ito ay humantong sa kilalang problema ng continuum hypothesis - walang mga cardinal na numero sa pagitan ng aleph-zero at ang kapangyarihan ng mga puntos sa linya. Ang problemang ito sa una at ikalawang kalahati ng ika-20 siglo ay pumukaw ng malaking interes at pinag-aralan ng maraming mathematician, kabilang sina Kurt Gödel at Paul Cohen.

Depresyon

Ang talambuhay ni Georg Kantor mula noong 1884 ay natabunan ng kanyang sakit sa pag-iisip, ngunit patuloy siyang aktibong nagtatrabaho. Noong 1897 tumulong siya na humawak ng unang internasyonal na kongreso sa matematika sa Zurich. Bahagyang dahil siya ay sinalungat ni Kronecker, madalas siyang nakikiramay sa mga batang baguhang matematiko at naghangad na makahanap ng isang paraan upang iligtas sila mula sa panliligalig ng mga guro na nakaramdam ng pagbabanta ng mga bagong ideya.

Pagtatapat

Sa pagpasok ng siglo, ang kanyang gawain ay ganap na kinilala bilang batayan para sa teorya ng pag-andar, pagsusuri, at topolohiya. Bilang karagdagan, ang mga libro ng Cantor Georg ay nagsilbing impetus para sa karagdagang pag-unlad ng mga intuitionist at formalist na paaralan ng mga lohikal na pundasyon ng matematika. Ito ay makabuluhang nagbago sa sistema ng pagtuturo at madalas na nauugnay sa "bagong matematika".

Noong 1911, kabilang si Kantor sa mga inanyayahan sa pagdiriwang ng ika-500 anibersaryo ng Unibersidad ng St. Andrews sa Scotland. Siya ay nagpunta doon sa pag-asa na makatagpo kung kanino, sa kanyang kamakailang nai-publish na trabaho na Principia Mathematica, paulit-ulit niyang tinutukoy ang isang Aleman na matematiko, ngunit hindi ito nangyari. Ginawaran ng unibersidad si Kantor ng isang honorary degree, ngunit dahil sa sakit, hindi niya natanggap nang personal ang award.

Nagretiro si Kantor noong 1913, nabuhay sa kahirapan at nagutom noong Unang Digmaang Pandaigdig. Ang mga pagdiriwang bilang parangal sa kanyang ika-70 kaarawan noong 1915 ay nakansela dahil sa digmaan, ngunit isang maliit na seremonya ang naganap sa kanyang tahanan. Namatay siya noong 01/06/1918 sa Halle, sa isang psychiatric hospital, kung saan ginugol niya ang mga huling taon ng kanyang buhay.

Georg Kantor: talambuhay. Pamilya

Noong Agosto 9, 1874, pinakasalan ng German mathematician si Wally Gutman. Ang mag-asawa ay may 4 na anak na lalaki at 2 anak na babae. Ang huling anak ay ipinanganak noong 1886 sa isang bagong bahay na binili ng Kantor. Ang mana ng kanyang ama ay nakatulong sa kanya upang masuportahan ang kanyang pamilya. Ang kalagayan ng kalusugan ni Kantor ay lubhang naapektuhan ng pagkamatay ng kanyang bunsong anak noong 1899 - mula noon ay hindi na siya iniwan ng depresyon.

Ed., Gesammelte Abhandlungen mathematical und pilosopo inhalts, mit erlä uterden anmerkungen sowie mit ergä nzungen aus dem briefwechsel Cantor- Dedekind, Berlin, Verlag von Julius Springer, 1932

1. Panahon ng pag-unlad (1845−1871)

Si Georg Ferdinand Ludwig Philipp Kantor, ang lumikha ng set theory, isa sa pinakadakilang bagong phenomena sa mundo ng agham, ay isinilang sa St. Petersburg noong Pebrero 19, o.s. istilo (Marso 3, bagong istilo) 1845. Ang kanyang ama na si Georg Voldemar Kantor, na nagmula sa Copenhagen, ay dumating sa St. Petersburg noong kanyang kabataan; pinananatili niya ang isang brokerage doon sa ilalim ng kanyang sariling pangalan, minsan sa ilalim ng pangalang "Kantor at K." Isang masipag at matagumpay na negosyante, nakamit niya ang mahusay na tagumpay at umalis pagkatapos ng kanyang kamatayan (1863) isang napakalaking kapalaran; maliwanag, natamasa niya ang mataas na paggalang kapwa sa St. Petersburg at nang maglaon sa Alemanya. Dahil sa sakit sa baga, noong 1856 lumipat siya kasama ang kanyang pamilya sa Germany; doon ay pinili niyang manatili sa Frankfurt am Main, kung saan siya nanirahan sa posisyon ng isang nangungupahan. Ang ina ni Kantor, si Maria née Boehm, ay nagmula sa isang pamilya na marami sa mga miyembro ay likas na matalino sa iba't ibang larangan ng sining; ang kanyang impluwensya ay maliwanag, walang duda, sa mayamang pantasya ng kanyang anak. Ang kanyang lolo, si Ludwig Böhm, ay isang bandmaster; ang kapatid ng lolo na si Joseph, na nakatira sa Vienna, ay ang guro ng sikat na virtuoso cellist na si Joachim; Ang kapatid ni Maria Kantor ay isa ring musikero, at ang kanyang kapatid na si Annette ay may anak na artista na nagturo sa Munich School of Artistic Crafts. Ang isang masining na ugat ay kapansin-pansin din sa kapatid ni Georg Kantor na si Konstantin, na isang mahuhusay na pianist, at sa kanyang kapatid na si Sophia, na lalo na mahilig sa pagguhit.

Isang matalinong batang lalaki na nag-aral sa elementarya sa St. Petersburg, na napakaaga ay nagpakita ng isang marubdob na pagnanais na simulan ang pag-aaral ng matematika. Ang kanyang ama, gayunpaman, ay hindi sumang-ayon dito, isinasaalang-alang ang propesyon ng isang inhinyero na mas promising sa mga tuntunin ng mga kita. Ang anak noong una ay sumunod; sa ilang panahon ay dumalo siya sa gymnasium sa Wiesbaden, gayundin sa mga pribadong paaralan sa Frankfurt am Main; pagkatapos ay pumasok siya, noong tagsibol ng 1859, ang provincial real school ng Grand Duchy of Hesse sa Darmstadt, kung saan nagturo din sila ng Latin; mula roon ay lumipat siya noong 1860 sa pangkalahatang kurso ng Higher Craft School (na kalaunan ay Higher Technical School). Itinuro ng kanyang ama ang kanyang pag-aaral na may hindi pangkaraniwang mataas na pamantayan; binigyan niya ng espesyal na kahalagahan ang edukasyon ng enerhiya, katatagan ng pagkatao at pagiging relihiyoso, na tumatagos sa buong buhay; sa partikular, binigyang-diin niya ang kahalagahan ng isang kumpletong karunungan ng mga pangunahing modernong wika. Inutusan siya ng kanyang ama (sa kanyang liham ng kumpirmasyon noong 1860) na tumayong matatag, sa kabila ng lahat ng poot, at laging sundin ang kanyang paraan; ang panawagang ito ay naalala ng anak nang higit sa isang beses sa mga oras ng mahihirap na pagsubok, at, marahil, sa pagpapalaki ng ama na ito ay utang natin ang katotohanan na ang kanyang malikhaing espiritu ay hindi napaaga na nasira at ang mga bunga nito ay hindi nawala sa mga inapo.

Sa paglipas ng panahon, ang malalim na pagkahumaling ng anak sa matematika ay hindi makakaapekto sa kanyang ama, na ang mga liham ay nagpapatotoo din sa kanyang paggalang sa agham. Sa isang liham mula sa Darmstadt, na may petsang Mayo 25, 1862, na kumakatawan sa unang nakaligtas na liham mula sa Kantor, maaari nang pasalamatan ng anak ang kanyang ama sa kanyang pag-apruba sa kanyang mga plano: “Mahal kong tatay! Maiisip mo kung gaano ako natuwa sa sulat mo; ito ang nagtatakda ng aking kinabukasan. Ginugol ko ang mga huling araw sa pagdududa at kawalan ng katiyakan; at hindi makagawa ng anumang desisyon. Ang tungkulin at atraksyon ay palaging nasa digmaan. Ngayon ay natutuwa akong makita na hindi kita ipagdalamhati sa pamamagitan ng pagsunod sa aking sariling hilig sa aking pinili. Umaasa ako, mahal na ama, na ako pa rin ang makapagbigay sa iyo ng kagalakan, sapagkat ang aking kaluluwa, ang aking buong pagkatao ay nabubuhay sa aking pagkatawag; ginagawa ng isang tao kung ano ang gusto at magagawa niya, at kung ano ang dinadala sa kanya ng kanyang hindi kilalang, misteryosong boses! .. "

Noong taglagas ng 1862, sinimulan ni Kantor ang kanyang pag-aaral sa Zurich, kung saan, gayunpaman, umalis siya pagkatapos ng unang semestre dahil sa pagkamatay ng kanyang ama. Mula noong taglagas ng 1863 nag-aral siya ng matematika, pisika at pilosopiya sa Berlin, kung saan ang triumvirate ng Kummer, Weierstrass at Kronecker ay umakit ng pinakamahuhusay na talento, na nagpapasigla sa isipan ng (noo'y makitid pa rin) na bilog ng mga tagapakinig sa pinaka magkakaibang direksyon. Siya na ginugol lamang ang tagsibol semestre ng 1866 sa Göttingen. Si Weierstrass ay walang alinlangan na may pinakamalakas na impluwensya sa kanyang siyentipikong pag-unlad. Ito ay kapansin-pansin at katangian ng lawak ng mga pananaw ni Weierstrass, para sa kanyang walang kinikilingan at insightful na paghuhusga, sa kung anong simpatikong pag-unawa at kung gaano kaaga niya pinahahalagahan ang hindi kinaugalian na mga ideya ng kanyang mag-aaral, sa gayon ay tumutugon sa malalim na paggalang na palagi niyang ipinakita sa kanya sa buong buhay niya, sa kabila ng pansamantalang pag-aaway. Sa panahon ng kanyang Berlin taon, Kantor ay hindi lamang isang miyembro ng Mathematical Society, ngunit din ng isang mas makitid na bilog ng mga batang kasamahan na nakilala lingguhan sa Remel's tavern; Kasama sa bilog na ito, bukod sa paminsan-minsang mga panauhin, si Henoch (ang magiging publisher ng Fortschritte (Mga Tagumpay), Lampe, Mertens, Max Simon, Thoma; ang huli sa kanila ay lalong malapit sa Kantor. Dagdag pa, si G A. Schwartz, na dalawang taon mas matanda, nang maglaon, gayunpaman, nakilala niya ang mga ideya ng Cantor na may pinakamalakas na kawalan ng tiwala, sa kaibahan ng kanyang guro na si Weierstrass, at hanggang sa pinakadulo ng kanyang buhay, tulad ni Kronecker, lalo niyang binalaan ang kanyang mga estudyante laban sa kanila. Disyembre 14, 1867 Ang dalawampu't -Ang dalawang taong gulang na mag-aaral ay nakatapos ng isang thesis sa Unibersidad ng Berlin, na nagmula sa isang malalim na pag-aaral ng Disquisitiones arithmeticae ni Legendre (Mga Pag-aaral sa Arithmetic) at Teorya ng Numero ni Legendre at na-rate ng faculty bilang "dissertatio docta et ingeniosa " (Scholarly at mapanlikhang pangangatwiran) * Ang gawaing ito ay kadugtong sa mga pormula ng Gauss para sa paglutas ng Diophantine equation palakol 2 + a"x" 2 + a"x" 2 = 0; ang ilang ugnayan ay itinatag dito, na hindi tahasang ibinigay ni Gauss. Ang isang detalyadong talakayan sa gawa ni Cantor ay nakapaloob sa isang detalyadong talambuhay na isinulat ko tungkol sa kanya, na inilathala sa Jahresbericht der Deutschen Mathematikervereininung, tomo 39 (1930), pp. 189−266, at gayundin sa isang hiwalay na aklat: Georg Kantor, Leipzig at Berlin , 1930; inialay niya ito sa kanyang mga tagapag-alaga (kasabay ng mga tagapag-alaga ng kanyang kapatid na lalaki at babae). Sa oral exam, nakatanggap siya ng "magna cum laude" ("with special distinction"). Sa tatlong tesis na iminungkahi niyang ipagtanggol, ang pangatlo ay partikular na katangian: “In re mathematica ars propenendi questionem pluris facienda est quam solvendi” (Sa matematika, ang sining ng pagtatanong ay mas mahalaga kaysa sa sining ng paglutas nito.) Marahil kahit na ang mga resultang nakuha niya sa set theory ay mas mababa ang halaga sa mga isyu ng rebolusyonaryong formulations na hanggang ngayon ay umaabot sa kanilang impluwensya lampas sa sarili niyang mga sinulat.

Tila nagturo si Kantor sa maikling panahon sa isang paaralan ng mga babae sa Berlin; sa anumang kaso, noong 1868, na pumasa sa pagsusulit ng estado, pumasok siya sa kilalang Schelbach Seminary, na nagsanay ng mga guro ng matematika.

Ang tesis ng doktor, na nagbigay kay Kantor ng pagkakataon na maging Privatdozent sa Unibersidad ng Halle noong tagsibol ng 1869, ay kabilang, kasama ng ilang maikling tala na inilathala noong 1868-72, sa kanyang una, aritmetika na bilog ng mga interes, kung saan siya ay bihira. Ang mga pag-aaral na ito ay teorya ng numero sa ilalim ng direksyon at sa pag-apruba ni Kronecker, gayunpaman, para sa Cantor ay hindi isang aksidenteng episode lamang. Sa kabaligtaran, naranasan niya ang malalim na panloob na epekto ng disiplinang ito, kasama ang espesyal na kadalisayan at biyaya nito. Ito ay pinatunayan, kasama ng una, ng ikatlong tesis na iniharap niya para sa pagtatanggol: “Numeris integros simili modo atque corpora coelestia totum quoddam legibus et relationibus compositum efficere” (“Ang mga integer na numero, tulad ng mga celestial na katawan, ay dapat bigyang-kahulugan bilang isang solong buo, nakatali sa mga batas at relasyon "). Ang pagtatatag ng mga koneksyon sa pagitan ng iba't ibang mga function na theoretic na numero at ang function ng Riemann zeta (katabi ng gawain ni Riemann sa mga prime number) ay nabibilang din sa isang maagang panahon, posibleng nasa panahong ito; ang gawaing ito ay inilathala ng Kantor noong 1880 lamang, sa ilalim ng impluwensya ng tala ni Lipschitz sa Paris Comptes Rendus ("Mga Ulat"). Ang karagdagang number-theoretic na interes ni Cantor, bilang karagdagan sa kanyang numerical table, ay napanatili din hanggang 1884, ngunit hindi ipinatupad, ang planong i-publish sa Acta Mathematica, isang gawa sa quadratic forms.

Si E. Heine, na isang ordinaryong propesor sa Halle noong panahong ipinagtanggol ni Kantor ang kanyang disertasyon doon, ay agad na napagtanto na sa kanyang kabataang kasamahan ang isang pambihirang talas ng isip ay masayang pinagsama sa pinakamayamang imahinasyon. Ang pinakamahalagang kahalagahan ay ang katotohanan na sa lalong madaling panahon pagkatapos lumipat si Cantor sa Halle, hinimok siya ni Heine na pag-aralan ang teorya ng trigonometric series. Ang masigasig na gawain sa paksang ito ay hindi lamang nagresulta sa isang bilang ng mga makabuluhang tagumpay, ngunit pinangunahan din ni Cantor ang landas patungo sa teorya ng mga point set at transfinite ordinal na mga numero. Ang mga gawa , , at ay nakatuon sa pagpipino ng isa sa mga pahayag ni Riemann tungkol sa trigonometriko serye (at ang kasamang kontrobersya sa Appel, kung saan ang konsepto ng pare-parehong tagpo ay isinasaalang-alang nang detalyado); sa kanyang trabaho, pinatunayan ni Kantor ang isang teorama sa pagiging natatangi ng representasyong trigonometriko * Nakapagtataka na si Kronecker, na noong una ay may positibong saloobin sa pagiging natatangi ng teorama ng Cantor (cf.), pagkatapos ay ganap na binabalewala ang resultang ito; halimbawa, sa "Vorlesungen über die Theorie der einfachen und mehrfachen Inegrale" ("Lectures on the Theory of Simple and Multiple Integrals") (1894) ipinakita niya ang tanong ng uniqueness bilang bukas pa rin!. Hinahangad niyang gawing pangkalahatan ang resultang ito sa pamamagitan ng pagbibigay ng anumang mga pagpapalagay tungkol sa pag-uugali ng serye sa ilang natatanging hanay; ito ay nagpipilit sa kanya na maglahad sa gawain ng isang maikling balangkas ng mga ideya "na maaaring maging kapaki-pakinabang para sa paglilinaw ng mga ugnayang lumitaw sa lahat ng mga kaso kapag ang mga numerical na dami ay ibinibigay sa isang may hangganan o walang katapusang bilang. Dito, para sa mga set ng punto, limitahan ang mga puntos at derivatives ( ng may hangganang pagkakasunud-sunod) ay ipinakilala. Sa layuning ito, si Cantor, sa isang banda, ay bumuo ng kanyang teorya ng hindi makatwiran na mga numero * . Sa Heine's Elements of the Theory of Functions (J. Math., 74, pp. 172-188, 1872), ang mga hindi makatwirang numero ay ipinakilala sa paraang eksaktong sumusunod sa mga ideya ni Cantor; cf. isang panimula sa artikulo ni Heine, gayundin ang gawain ni Kantor na "Mitteilungen zur Lehre vom Transfiniten" ("Tungo sa Doktrina ng Transfinite"), kasunod ng teorya ng mga set na nag-imortal sa kanyang pangalan, kung saan ang mga hindi makatwirang numero ay itinuturing na pangunahing serye. Sa kabilang banda, para sa paglipat sa geometry, ipinakilala niya ang isang espesyal na axiom (axiom ni Cantor), na sabay-sabay at independiyenteng lumitaw sa isang bahagyang naiibang pagbabalangkas sa aklat ni Dedekind na Continuity and Irrational Numbers.