Ang mga sistema ng equation ay malawakang ginagamit sa industriya ng ekonomiya sa matematikal na pagmomodelo ng iba't ibang proseso. Halimbawa, kapag nilulutas ang mga problema sa pamamahala at pagpaplano ng produksyon, mga ruta ng logistik (problema sa transportasyon) o paglalagay ng kagamitan.

Ang mga sistema ng equation ay ginagamit hindi lamang sa larangan ng matematika, kundi pati na rin sa pisika, kimika at biology, kapag nilulutas ang mga problema sa paghahanap ng laki ng populasyon.

Ang isang sistema ng mga linear na equation ay isang termino para sa dalawa o higit pang mga equation na may ilang mga variable kung saan ito ay kinakailangan upang makahanap ng isang karaniwang solusyon. Ang ganitong pagkakasunud-sunod ng mga numero kung saan ang lahat ng mga equation ay nagiging tunay na pagkakapantay-pantay o nagpapatunay na ang pagkakasunod-sunod ay hindi umiiral.

Linear Equation

Ang mga equation ng anyong ax+by=c ay tinatawag na linear. Ang mga pagtatalagang x, y ay ang mga hindi alam, ang halaga nito ay dapat matagpuan, b, a ay ang mga coefficient ng mga variable, c ay ang libreng termino ng equation.
Ang paglutas ng equation sa pamamagitan ng paglalagay ng graph nito ay magmumukhang isang tuwid na linya, ang lahat ng mga punto ay ang solusyon ng polynomial.

Mga uri ng mga sistema ng mga linear na equation

Ang pinakasimple ay mga halimbawa ng mga sistema ng mga linear na equation na may dalawang variable na X at Y.

F1(x, y) = 0 at F2(x, y) = 0, kung saan F1,2 ay function at (x, y) ay function variable.

Lutasin ang isang sistema ng mga equation - nangangahulugan ito ng paghahanap ng mga ganoong halaga (x, y) kung saan ang sistema ay nagiging isang tunay na pagkakapantay-pantay, o upang maitaguyod na walang angkop na mga halaga ng x at y.

Ang isang pares ng mga halaga (x, y), na isinulat bilang mga coordinate ng punto, ay tinatawag na solusyon sa isang sistema ng mga linear na equation.

Kung ang mga sistema ay may isang karaniwang solusyon o walang solusyon, ang mga ito ay tinatawag na katumbas.

Ang mga homogenous na sistema ng mga linear equation ay mga sistema na ang kanang bahagi ay katumbas ng zero. Kung ang tamang bahagi pagkatapos ng "pantay" na tanda ay may halaga o ipinahayag ng isang function, ang naturang sistema ay hindi homogenous.

Ang bilang ng mga variable ay maaaring higit sa dalawa, pagkatapos ay dapat nating pag-usapan ang isang halimbawa ng isang sistema ng mga linear equation na may tatlong variable o higit pa.

Nahaharap sa mga sistema, ipinapalagay ng mga mag-aaral na ang bilang ng mga equation ay dapat na magkatugma sa bilang ng mga hindi alam, ngunit hindi ito ganoon. Ang bilang ng mga equation sa system ay hindi nakasalalay sa mga variable, maaaring mayroong isang di-makatwirang malaking bilang ng mga ito.

Simple at kumplikadong mga pamamaraan para sa paglutas ng mga sistema ng mga equation

Walang pangkalahatang analytical na paraan upang malutas ang mga naturang sistema, ang lahat ng mga pamamaraan ay batay sa mga numerical na solusyon. Detalyadong inilalarawan ng kursong matematika sa paaralan ang mga pamamaraan tulad ng permutation, algebraic addition, substitution, pati na rin ang graphical at matrix method, ang solusyon sa pamamagitan ng Gauss method.

Ang pangunahing gawain sa pagtuturo ng mga pamamaraan ng paglutas ay ang magturo kung paano wastong pag-aralan ang system at hanapin ang pinakamainam na algorithm ng solusyon para sa bawat halimbawa. Ang pangunahing bagay ay hindi kabisaduhin ang isang sistema ng mga patakaran at aksyon para sa bawat pamamaraan, ngunit upang maunawaan ang mga prinsipyo ng paglalapat ng isang partikular na pamamaraan.

Ang solusyon ng mga halimbawa ng mga sistema ng mga linear na equation ng ika-7 baitang ng pangkalahatang programa sa paaralan ng edukasyon ay medyo simple at ipinaliwanag nang detalyado. Sa anumang aklat-aralin sa matematika, ang bahaging ito ay binibigyan ng sapat na atensyon. Ang solusyon ng mga halimbawa ng mga sistema ng mga linear na equation sa pamamagitan ng pamamaraan ng Gauss at Cramer ay pinag-aralan nang mas detalyado sa mga unang kurso ng mas mataas na institusyong pang-edukasyon.

Solusyon ng mga sistema sa pamamagitan ng paraan ng pagpapalit

Ang mga aksyon ng paraan ng pagpapalit ay naglalayong ipahayag ang halaga ng isang variable hanggang sa pangalawa. Ang expression ay pinapalitan sa natitirang equation, pagkatapos ito ay nabawasan sa isang solong variable na anyo. Ang aksyon ay paulit-ulit depende sa bilang ng mga hindi alam sa system

Magbigay tayo ng isang halimbawa ng isang sistema ng mga linear na equation ng ika-7 klase sa pamamagitan ng paraan ng pagpapalit:

Tulad ng makikita mula sa halimbawa, ang variable na x ay ipinahayag sa pamamagitan ng F(X) = 7 + Y. Ang resultang expression, na pinalitan sa 2nd equation ng system sa halip ng X, ay nakatulong upang makakuha ng isang variable Y sa 2nd equation. . Ang solusyon ng halimbawang ito ay hindi nagdudulot ng mga kahirapan at nagbibigay-daan sa iyong makuha ang halaga ng Y. Ang huling hakbang ay suriin ang mga nakuhang halaga.

Hindi laging posible na lutasin ang isang halimbawa ng isang sistema ng mga linear na equation sa pamamagitan ng pagpapalit. Ang mga equation ay maaaring maging kumplikado at ang pagpapahayag ng variable sa mga tuntunin ng pangalawang hindi alam ay magiging masyadong masalimuot para sa karagdagang mga kalkulasyon. Kapag mayroong higit sa 3 hindi alam sa system, ang solusyon sa pagpapalit ay hindi rin praktikal.

Solusyon ng isang halimbawa ng isang sistema ng linear inhomogeneous equation:

Solusyon gamit ang algebraic na karagdagan

Kapag naghahanap ng solusyon sa mga system sa pamamagitan ng paraan ng pagdaragdag, ang termino-by-term na pagdaragdag at pagpaparami ng mga equation sa pamamagitan ng iba't ibang mga numero ay isinasagawa. Ang pangwakas na layunin ng mga pagpapatakbo ng matematika ay isang equation na may isang variable.

Ang mga aplikasyon ng paraang ito ay nangangailangan ng pagsasanay at pagmamasid. Hindi madaling lutasin ang isang sistema ng mga linear equation gamit ang paraan ng pagdaragdag na may bilang ng mga variable na 3 o higit pa. Ang pagdaragdag ng algebraic ay kapaki-pakinabang kapag ang mga equation ay naglalaman ng mga fraction at decimal na numero.

Algoritmo ng pagkilos ng solusyon:

1. I-multiply ang magkabilang panig ng equation sa ilang numero. Bilang resulta ng operasyon ng arithmetic, ang isa sa mga coefficient ng variable ay dapat maging katumbas ng 1.
2. Idagdag ang nagresultang termino ng expression sa pamamagitan ng termino at hanapin ang isa sa mga hindi alam.
3. I-substitute ang resultang value sa 2nd equation ng system para mahanap ang natitirang variable.

Pamamaraan ng solusyon sa pamamagitan ng pagpapakilala ng bagong variable

Ang isang bagong variable ay maaaring ipakilala kung ang sistema ay kailangang makahanap ng solusyon para sa hindi hihigit sa dalawang equation, ang bilang ng mga hindi alam ay dapat ding hindi hihigit sa dalawa.

Ang pamamaraan ay ginagamit upang gawing simple ang isa sa mga equation sa pamamagitan ng pagpapakilala ng bagong variable. Ang bagong equation ay nalutas na may kinalaman sa ipinasok na hindi alam, at ang resultang halaga ay ginagamit upang matukoy ang orihinal na variable.

Makikita mula sa halimbawa na sa pamamagitan ng pagpapakilala ng bagong variable t, posible na bawasan ang 1st equation ng system sa isang standard square trinomial. Maaari mong lutasin ang isang polynomial sa pamamagitan ng paghahanap ng discriminant.

Kinakailangang hanapin ang halaga ng discriminant gamit ang kilalang formula: D = b2 - 4*a*c, kung saan ang D ay ang nais na discriminant, b, a, c ang mga multiplier ng polynomial. Sa ibinigay na halimbawa, a=1, b=16, c=39, kaya D=100. Kung mas malaki sa zero ang discriminant, mayroong dalawang solusyon: t = -b±√D / 2*a, kung mas mababa sa zero ang discriminant, may isang solusyon lang: x= -b / 2*a.

Ang solusyon para sa mga nagresultang sistema ay matatagpuan sa pamamagitan ng paraan ng pagdaragdag.

Isang visual na paraan para sa paglutas ng mga sistema

Angkop para sa mga system na may 3 equation. Ang pamamaraan ay binubuo sa paglalagay ng mga graph ng bawat equation na kasama sa system sa coordinate axis. Ang mga coordinate ng mga punto ng intersection ng mga curves ang magiging pangkalahatang solusyon ng system.

Ang graphic na pamamaraan ay may isang bilang ng mga nuances. Isaalang-alang ang ilang mga halimbawa ng paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation sa visual na paraan.

Tulad ng makikita mula sa halimbawa, dalawang puntos ang itinayo para sa bawat linya, ang mga halaga ng variable na x ay pinili nang arbitraryo: 0 at 3. Batay sa mga halaga ng x, ang mga halaga para sa y ay natagpuan: 3 at 0. Ang mga puntos na may mga coordinate (0, 3) at (3, 0) ay minarkahan sa graph at ikinonekta ng isang linya.

Ang mga hakbang ay dapat na ulitin para sa pangalawang equation. Ang punto ng intersection ng mga linya ay ang solusyon ng system.

Sa sumusunod na halimbawa, kinakailangan na makahanap ng isang graphical na solusyon sa sistema ng mga linear na equation: 0.5x-y+2=0 at 0.5x-y-1=0.

Tulad ng makikita mula sa halimbawa, ang sistema ay walang solusyon, dahil ang mga graph ay parallel at hindi nagsalubong sa kanilang buong haba.

Ang mga sistema mula sa Mga Halimbawa 2 at 3 ay magkatulad, ngunit kapag binuo, nagiging malinaw na ang kanilang mga solusyon ay magkaiba. Dapat tandaan na hindi laging posible na sabihin kung ang sistema ay may solusyon o wala, palaging kinakailangan na bumuo ng isang graph.

Matrix at mga varieties nito

Ginagamit ang mga matrice upang maikli ang pagsulat ng isang sistema ng mga linear na equation. Ang matrix ay isang espesyal na uri ng talahanayan na puno ng mga numero. Ang n*m ay may n - row at m - column.

Ang matrix ay parisukat kapag ang bilang ng mga column at row ay pantay. Ang matrix-vector ay isang single-column matrix na may walang katapusang posibleng bilang ng mga row. Ang isang matrix na may mga yunit kasama ang isa sa mga diagonal at iba pang mga zero na elemento ay tinatawag na pagkakakilanlan.

Ang isang kabaligtaran na matrix ay tulad ng isang matrix, kapag pinarami kung saan ang orihinal ay nagiging isang yunit, ang gayong matrix ay umiiral lamang para sa orihinal na parisukat.

Mga panuntunan para sa pagbabago ng isang sistema ng mga equation sa isang matrix

Tungkol sa mga sistema ng mga equation, ang mga coefficient at libreng mga miyembro ng mga equation ay nakasulat bilang mga numero ng matrix, isang equation ay isang hilera ng matrix.

Ang isang matrix row ay tinatawag na non-zero kung hindi bababa sa isang elemento ng row ay hindi katumbas ng zero. Samakatuwid, kung sa alinman sa mga equation ang bilang ng mga variable ay naiiba, pagkatapos ay kinakailangan na magpasok ng zero sa lugar ng nawawalang hindi alam.

Ang mga column ng matrix ay dapat na mahigpit na tumutugma sa mga variable. Nangangahulugan ito na ang mga coefficient ng variable x ay maaari lamang isulat sa isang column, halimbawa ang una, ang coefficient ng hindi kilalang y - sa pangalawa lamang.

Kapag nagpaparami ng isang matrix, ang lahat ng mga elemento ng matrix ay sunud-sunod na pinarami ng isang numero.

Mga opsyon para sa paghahanap ng inverse matrix

Ang formula para sa paghahanap ng inverse matrix ay medyo simple: K -1 = 1 / |K|, kung saan ang K -1 ay ang inverse matrix at |K| - determinant ng matrix. |K| hindi dapat katumbas ng zero, kung gayon ang sistema ay may solusyon.

Ang determinant ay madaling kalkulahin para sa isang two-by-two matrix, kinakailangan lamang na i-multiply ang mga elemento nang pahilis sa bawat isa. Para sa opsyong "three by three", mayroong formula |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Maaari mong gamitin ang formula, o maaari mong tandaan na kailangan mong kumuha ng isang elemento mula sa bawat row at bawat column para hindi na maulit ang column at row number ng mga elemento sa produkto.

Solusyon ng mga halimbawa ng mga sistema ng linear equation sa pamamagitan ng matrix method

Ang paraan ng matrix ng paghahanap ng solusyon ay ginagawang posible upang mabawasan ang masalimuot na mga entry kapag nilulutas ang mga system na may malaking bilang ng mga variable at equation.

Sa halimbawa, ang isang nm ay ang mga coefficient ng mga equation, ang matrix ay isang vector x n ang mga variable, at ang b n ay ang mga libreng termino.

Solusyon ng mga sistema sa pamamagitan ng pamamaraang Gauss

Sa mas mataas na matematika, ang Gauss method ay pinag-aaralan kasama ng Cramer method, at ang proseso ng paghahanap ng solusyon sa mga system ay tinatawag na Gauss-Cramer solution method. Ang mga pamamaraang ito ay ginagamit upang mahanap ang mga variable ng mga sistema na may malaking bilang ng mga linear equation.

Ang pamamaraang Gaussian ay halos kapareho sa mga solusyon sa pagpapalit at algebraic na karagdagan, ngunit mas sistematiko. Sa kurso ng paaralan, ang solusyong Gaussian ay ginagamit para sa mga sistema ng 3 at 4 na equation. Ang layunin ng pamamaraan ay upang dalhin ang sistema sa anyo ng isang baligtad na trapezoid. Sa pamamagitan ng algebraic transformations at substitutions, ang halaga ng isang variable ay matatagpuan sa isa sa mga equation ng system. Ang pangalawang equation ay isang expression na may 2 hindi alam, at 3 at 4 - na may 3 at 4 na variable, ayon sa pagkakabanggit.

Matapos dalhin ang system sa inilarawang anyo, ang karagdagang solusyon ay ibinababa sa sunud-sunod na pagpapalit ng mga kilalang variable sa mga equation ng system.

Sa mga aklat-aralin sa paaralan para sa ika-7 baitang, ang isang halimbawa ng solusyong Gaussian ay inilarawan bilang sumusunod:

Tulad ng makikita mula sa halimbawa, sa hakbang (3) dalawang equation ang nakuha 3x 3 -2x 4 =11 at 3x 3 +2x 4 =7. Ang solusyon ng alinman sa mga equation ay magbibigay-daan sa iyo upang malaman ang isa sa mga variable x n.

Ang Theorem 5, na binanggit sa teksto, ay nagsasabi na kung ang isa sa mga equation ng system ay papalitan ng isang katumbas, kung gayon ang resultang sistema ay magiging katumbas din ng orihinal.

Ang pamamaraang Gauss ay mahirap maunawaan ng mga mag-aaral sa gitnang paaralan, ngunit isa ito sa mga pinakakawili-wiling paraan upang mapaunlad ang katalinuhan ng mga batang nag-aaral sa advanced na programa sa pag-aaral sa mga klase sa matematika at pisika.

Para sa kadalian ng pag-record ng mga kalkulasyon, kaugalian na gawin ang mga sumusunod:

Ang mga equation coefficient at libreng termino ay nakasulat sa anyo ng isang matrix, kung saan ang bawat hilera ng matrix ay tumutugma sa isa sa mga equation ng system. naghihiwalay sa kaliwang bahagi ng equation mula sa kanang bahagi. Ang mga numerong Romano ay tumutukoy sa mga bilang ng mga equation sa sistema.

Una, isinulat nila ang matrix kung saan gagana, pagkatapos ay ang lahat ng mga aksyon na isinasagawa sa isa sa mga hilera. Ang resultang matrix ay isinulat pagkatapos ng "arrow" sign at patuloy na isagawa ang mga kinakailangang algebraic operation hanggang sa makamit ang resulta.

Bilang isang resulta, ang isang matrix ay dapat makuha kung saan ang isa sa mga diagonal ay 1, at lahat ng iba pang mga coefficient ay katumbas ng zero, iyon ay, ang matrix ay nabawasan sa isang solong anyo. Hindi natin dapat kalimutang gumawa ng mga kalkulasyon sa mga numero ng magkabilang panig ng equation.

Ang notasyong ito ay hindi gaanong masalimuot at nagbibigay-daan sa iyo na huwag magambala sa pamamagitan ng paglilista ng maraming hindi alam.

Ang libreng aplikasyon ng anumang paraan ng solusyon ay mangangailangan ng pangangalaga at isang tiyak na dami ng karanasan. Hindi lahat ng mga pamamaraan ay inilalapat. Ang ilang mga paraan ng paghahanap ng mga solusyon ay mas kanais-nais sa isang partikular na lugar ng aktibidad ng tao, habang ang iba ay umiiral para sa layunin ng pag-aaral.

Ang mga linear equation ay medyo hindi nakakapinsala at naiintindihan na paksa sa matematika ng paaralan. Ngunit, kakaiba, ang bilang ng mga error sa labas ng asul kapag ang paglutas ng mga linear equation ay bahagyang mas mababa kaysa sa iba pang mga paksa - quadratic equation, logarithms, trigonometry at iba pa. Ang mga sanhi ng karamihan sa mga pagkakamali ay ang mga karaniwang pagbabagong-anyo ng mga equation. Una sa lahat, ito ay pagkalito sa mga palatandaan kapag naglilipat ng mga termino mula sa isang bahagi ng equation patungo sa isa pa, pati na rin ang mga error kapag nagtatrabaho sa mga fraction at fractional coefficient. Oo Oo! Nagaganap din ang mga fraction sa linear equation! Sa paligid. Medyo mas mababa, susuriin din natin ang mga masasamang equation.)

Well, huwag nating hilahin ang pusa sa pamamagitan ng buntot at simulan upang malaman ito, hindi ba? Pagkatapos ay basahin at unawain natin.)

Ano ang isang linear equation? Mga halimbawa.

Karaniwan, ang isang linear equation ay may sumusunod na anyo:

palakol + b = 0,

Kung saan ang a at b ay anumang numero. Kahit ano: integer, fractional, negatibo, hindi makatwiran - lahat ay maaaring maging!

Halimbawa:

7x + 1 = 0 (dito a = 7, b = 1)

x - 3 = 0 (dito a = 1, b = -3)

x/2 - 1.1 = 0 (dito a = 1/2, b = -1.1)

Sa pangkalahatan, naiintindihan mo, umaasa ako.) Ang lahat ay simple, tulad ng sa isang fairy tale. Pansamantala... At kung titingnan natin ang karaniwang notasyong ax+b=0, at mag-isip nang kaunti? Dahil ang a at b anumang numero! At kung mayroon tayo, sabihin nating, a = 0 at b = 0 (maaaring kunin ang anumang numero!), ano ang makukuha natin?

0 = 0

Ngunit hindi lahat ng iyon ay masaya! At kung, sabihin nating, a = 0, b = -10? Pagkatapos ito ay lumalabas na medyo walang kapararakan:

0 = 10.

Na napaka, nakakainis at nakakasira ng tiwala sa matematika na napanalunan ng pawis at dugo ... Lalo na sa mga pagsusulit at pagsusulit. Ngunit sa mga hindi maintindihan at kakaibang pagkakapantay-pantay na ito, kailangan mo ring hanapin ang X! Na wala sa lahat! At dito kahit na ang mga estudyanteng handa nang mabuti, kung minsan, ay maaaring mahulog, gaya ng sinasabi nila, sa pagkahilo ... Ngunit huwag mag-alala! Sa araling ito, isasaalang-alang din natin ang lahat ng gayong mga sorpresa. At ang x mula sa gayong mga pagkakapantay-pantay ay tiyak na mahahanap din.) Bukod dito, ang mismong x na ito ay hinahanap nang napakasimple. Oo Oo! Nakakagulat pero totoo.)

Okay, understandable naman. Ngunit paano mo malalaman sa pamamagitan ng hitsura ng gawain na mayroon tayong linear equation, at hindi sa iba? Sa kasamaang palad, malayo sa laging posible na makilala ang uri ng equation sa pamamagitan lamang ng hitsura. Ang bagay ay hindi lamang ang mga equation ng form na ax + b = 0 ay tinatawag na linear, kundi pati na rin ang anumang iba pang mga equation na, sa pamamagitan ng magkatulad na mga pagbabago, isang paraan o iba pa, ay nabawasan sa form na ito. Paano mo malalaman kung kasya ito o hindi? Hanggang sa halos malutas mo ang halimbawa - halos wala. Nakakainis. Ngunit para sa ilang mga uri ng mga equation, posible, sa isang mabilis na sulyap, upang agad na sabihin nang may katiyakan kung ito ay linear o hindi.

Upang gawin ito, muli tayong bumaling sa pangkalahatang istraktura ng anumang linear equation:

palakol + b = 0

Tandaan na sa isang linear equation palagi mayroon lamang variable x sa unang antas at ilang mga numero! At ayun na nga! Walang iba. Kasabay nito, walang x squared, cubed, sa ilalim ng root, sa ilalim ng logarithm at iba pang exotics. At (pinaka-mahalaga!) walang fractions na may x sa mga denominador! Ngunit ang mga praksyon na may mga numero sa mga denominador o dibisyon bawat numero- madali!

Halimbawa:

Ito ay isang linear equation. Ang equation ay naglalaman lamang ng mga x sa unang kapangyarihan at mga numero. At walang mga x sa mas mataas na kapangyarihan - squared, cubed, at iba pa. Oo, mayroong mga fraction dito, ngunit sa parehong oras ay nakaupo sila sa mga denominator ng mga fraction mga numero lamang. Ibig sabihin, dalawa at tatlo. Sa madaling salita, wala paghahati sa pamamagitan ng x.

At narito ang equation

Hindi na ito matatawag na linear, bagama't dito rin, mayroon lamang mga numero at x sa unang antas. Para sa, bukod sa iba pang mga bagay, mayroon ding mga fraction na may mga x sa mga denominador. At pagkatapos ng mga pagpapasimple at pagbabago, ang gayong equation ay maaaring maging anuman: linear, at square - kahit sino.

Paano malutas ang mga linear na equation? Mga halimbawa.

Kaya paano mo malulutas ang mga linear na equation? Magbasa at mabigla.) Ang buong solusyon ng mga linear na equation ay nakabatay lamang sa dalawang pangunahing bagay. Ilista natin sila.

1) Isang hanay ng mga elementarya na aksyon at panuntunan ng matematika.

Ito ay ang paggamit ng mga bracket, pambungad na mga bracket, nagtatrabaho sa mga fraction, nagtatrabaho sa mga negatibong numero, ang multiplication table, at iba pa. Ang kaalaman at kasanayang ito ay kinakailangan hindi lamang para sa paglutas ng mga linear na equation, ngunit para sa lahat ng matematika sa pangkalahatan. At, kung ito ay isang problema, tandaan ang mas mababang mga marka. Kung hindi, mahihirapan ka...

2)

Dalawa lang sila. Oo Oo! Bukod dito, ang mga napakapangunahing magkatulad na pagbabagong ito ay sumasailalim sa solusyon ng hindi lamang linear, ngunit sa pangkalahatan ng anumang mga equation ng matematika! Sa isang salita, ang solusyon ng anumang iba pang equation - quadratic, logarithmic, trigonometric, irrational, atbp. - bilang panuntunan, nagsisimula sa mga pangunahing pagbabagong ito. Ngunit ang solusyon ng mga tiyak na linear equation, sa katunayan, ay nagtatapos sa kanila (mga pagbabagong-anyo). Handa nang sagot.) Kaya huwag maging tamad at maglakad-lakad sa link.) Bukod dito, ang mga linear equation ay sinusuri din nang detalyado doon.

Buweno, sa palagay ko ay oras na upang simulan ang pagsusuri ng mga halimbawa.

Upang magsimula sa, bilang isang warm-up, isaalang-alang ang ilang elementarya. Nang walang anumang mga fraction at iba pang mga kampana at sipol. Halimbawa, ang equation na ito:

x - 2 \u003d 4 - 5x

Ito ay isang klasikong linear equation. Ang lahat ng x ay maximum sa unang kapangyarihan at walang dibisyon ng x kahit saan. Ang scheme ng solusyon sa mga naturang equation ay palaging pareho at simple sa kakila-kilabot: ang lahat ng mga terminong may x ay dapat kolektahin sa kaliwa, at lahat ng mga terminong walang x (ibig sabihin, mga numero) ay dapat kolektahin sa kanan. Kaya simulan na natin ang pagkolekta.

Upang gawin ito, inilunsad namin ang unang magkaparehong pagbabago. Kailangan nating ilipat -5x sa kaliwa at -2 upang lumipat sa kanan. Sa pagbabago ng sign, siyempre.) Kaya inilipat namin:

x + 5x = 4 + 2

Well. Ang kalahati ng labanan ay tapos na: ang mga x ay natipon sa isang tumpok, ang mga numero, masyadong. Ngayon ay nagbibigay kami ng mga katulad sa kaliwa, at binibilang namin sa kanan. Nakukuha namin:

6x = 6

Ano ang kulang natin ngayon para sa ganap na kaligayahan? Oo, para may malinis na X sa kaliwa! At nakikialam ang anim. Paano ito mapupuksa? Ngayon sisimulan natin ang pangalawang magkaparehong pagbabagong-anyo - hinahati natin ang magkabilang panig ng equation sa 6. At - voila! Handa na ang sagot.)

x = 1

Siyempre, ang halimbawa ay medyo primitive. Upang makuha ang pangkalahatang ideya. Well, gawin natin ang isang bagay na mas matibay. Halimbawa, isaalang-alang ang sumusunod na equation:

Suriin natin ito nang detalyado.) Ito rin ay isang linear na equation, bagama't tila may mga fraction dito. Ngunit sa mga praksyon ay may dibisyon ng dalawa at mayroong dibisyon ng tatlo, ngunit walang paghahati ng isang expression na may x! Kaya nagpasya kami. Gamit ang lahat ng magkaparehong pagbabago, oo.)

Ano ang una nating gagawin? May X - sa kaliwa, walang X - sa kanan? Sa prinsipyo, posible at kaya. Lumipad sa Sochi sa pamamagitan ng Vladivostok.) O maaari mong gawin ang pinakamaikling landas, kaagad gamit ang unibersal at makapangyarihang paraan. Kung alam mo ang magkatulad na pagbabago, siyempre.)

Upang magsimula, nagtatanong ako ng isang mahalagang tanong: ano ang pinakanapapansin at hindi mo gusto tungkol sa equation na ito? 99 sa 100 tao ang nagsabi: mga fraction! At magiging tama sila.) Kaya tanggalin muna natin sila. Safe para sa equation mismo.) Kaya simulan natin kaagad sa pangalawang magkaparehong pagbabago- mula sa pagpaparami. Sa pamamagitan ng ano ang kaliwang bahagi ay dapat i-multiply upang ang denominator ay ligtas na mabawasan? Tama, doble. At ang kanang bahagi? Para sa tatlo! Ngunit ... Mathematics ay isang paiba-iba na babae. Siya, alam mo, ay nangangailangan ng pagpaparami ng parehong bahagi lamang para sa parehong numero! I-multiply ang bawat bahagi sa sarili nitong numero - hindi ito gumagana ... Ano ang gagawin natin? Isang bagay... Maghanap ng kompromiso. Upang matugunan ang ating mga kagustuhan (alisin ang mga fraction) at hindi masaktan ang matematika.) At i-multiply natin ang parehong bahagi sa anim!) Iyon ay, sa pamamagitan ng karaniwang denominator ng lahat ng mga fraction na kasama sa equation. Pagkatapos, sa isang iglap, ang dalawa ay mababawasan, at ang tatlo!)

Dito tayo dumami. Ang buong kaliwang bahagi at ang buong kanang bahagi ay ganap! Samakatuwid, gumagamit kami ng mga bracket. Ito ang hitsura ng pamamaraan:

Ngayon buksan natin ang mga panaklong ito:

Ngayon, na kumakatawan sa 6 bilang 6/1, i-multiply ang anim sa bawat isa sa mga fraction sa kaliwa at kanan. Ito ang karaniwang pagpaparami ng mga praksyon, ngunit, gayunpaman, isusulat ko nang detalyado:

At narito - pansin! Kinuha ko ang numerator (x-3) sa mga bracket! Ito ay lahat dahil kapag nagpaparami ng mga fraction, ang numerator ay pinarami sa kabuuan nito, nang buo at ganap! At sa expression na x-3 ito ay kinakailangan upang gumana tulad ng sa isang solidong konstruksyon. Ngunit kung isusulat mo ang numerator tulad nito:

6x - 3,

Pero tama na ang lahat at kailangan natin itong tapusin. Ano ang susunod na gagawin? Buksan ang mga bracket sa numerator sa kaliwa? Sa anumang kaso! Ikaw at ako ay pinarami ang parehong bahagi ng 6 upang maalis ang mga praksyon, at hindi maligo sa singaw na may mga pambungad na bracket. Sa yugtong ito, kailangan natin bawasan ang aming mga fraction. Sa isang pakiramdam ng malalim na kasiyahan, binabawasan namin ang lahat ng mga denominator at makuha ang equation nang walang anumang mga fraction, sa isang ruler:

3(x-3) + 6x = 30 - 4x

At ngayon ang natitirang mga bracket ay maaaring mabuksan:

3x - 9 + 6x = 30 - 4x

Ang equation ay patuloy na nagiging mas mahusay at mas mahusay! Ngayon naaalala natin muli ang unang magkaparehong pagbabago. Sa isang mukha ng bato, inuulit namin ang spell mula sa mas mababang mga grado: may x - sa kaliwa, walang x - sa kanan. At ilapat ang pagbabagong ito:

3x + 6x + 4x = 30 + 9

Nagbibigay kami ng mga katulad sa kaliwa at binibilang sa kanan:

13x = 39

Ito ay nananatiling hatiin ang parehong bahagi ng 13. Iyon ay, ilapat muli ang pangalawang pagbabago. Hinahati namin at makuha ang sagot:

x = 3

Tapos na ang trabaho. Tulad ng nakikita mo, sa equation na ito, kinailangan naming ilapat ang unang pagbabagong-anyo (paglipat ng mga termino) isang beses at ang pangalawa ay dalawang beses: sa simula ng solusyon ginamit namin ang multiplikasyon (sa pamamagitan ng 6) upang mapupuksa ang mga fraction, at sa dulo ng solusyon ginamit namin ang paghahati (sa pamamagitan ng 13), upang mapupuksa ang koepisyent bago ang x. At ang solusyon ng alinmang (oo, anuman!) na linear equation ay binubuo ng kumbinasyon ng mga parehong pagbabagong ito sa isang sequence o iba pa. Kung saan eksaktong magsisimula ay depende sa tiyak na equation. Sa isang lugar ay mas kumikita ang magsimula sa isang paglipat, at sa isang lugar (tulad ng sa halimbawang ito) - na may multiplikasyon (o dibisyon).

Nagtatrabaho kami mula sa simple hanggang sa kumplikado. Isaalang-alang ngayon si frank tin. Sa isang bungkos ng mga fraction at bracket. At sasabihin ko sa iyo kung paano huwag mag-overstrain.)

Halimbawa, narito ang isang equation:

Tinitingnan namin ang equation nang isang minuto, natatakot kami, ngunit pinagsasama-sama pa rin namin ang aming sarili! Ang pangunahing problema ay kung saan magsisimula? Maaari kang magdagdag ng mga fraction sa kanang bahagi. Maaari mong ibawas ang mga fraction sa panaklong. Maaari mong i-multiply ang parehong bahagi sa isang bagay. O ibahagi ... Kaya ano ang posible pa? Sagot: lahat ay posible! Hindi ipinagbabawal ng matematika ang alinman sa mga nakalistang aksyon. At anuman ang pagkakasunod-sunod ng mga aksyon at pagbabagong pipiliin mo, ang sagot ay palaging pareho - ang tama. Maliban kung, siyempre, sa ilang hakbang ay hindi mo nilalabag ang pagkakakilanlan ng iyong mga pagbabago at, sa gayon, huwag magkamali ...

At, upang hindi magkamali, sa mga magarbong halimbawa tulad ng isang ito, ito ay palaging pinaka-kapaki-pakinabang upang suriin ang hitsura nito at malaman sa iyong isip: kung ano ang maaaring gawin sa isang halimbawa upang maximum pasimplehin ito sa isang hakbang?

Dito kami naghuhula. Sa kaliwa ay ang anim sa mga denominador. Sa personal, hindi ko gusto ang mga ito, ngunit napakadaling alisin. I-multiply ko ang magkabilang panig ng equation sa 6! Pagkatapos ang mga anim sa kaliwa ay ligtas na mababawasan, ang mga fraction sa mga bracket ay hindi pa mapupunta kahit saan. Well, no big deal. Haharapin natin sila sa ibang pagkakataon.) Ngunit sa kanan, bababa ang denominator 2 at 3. Sa pagkilos na ito (multiplikasyon sa 6) na nakakamit natin ang pinakamataas na pagpapasimple sa isang hakbang!

Pagkatapos ng multiplikasyon, ang ating buong masamang equation ay magiging ganito:

Kung hindi mo eksaktong naiintindihan kung paano nangyari ang equation na ito, kung gayon hindi mo naiintindihan nang mabuti ang pagsusuri ng nakaraang halimbawa. At sinubukan ko, sa pamamagitan ng paraan ...

Kaya't buksan natin ito:

Ngayon ang pinakalohikal na hakbang ay ang paghiwalayin ang mga fraction sa kaliwa, at ipadala ang 5x sa kanang bahagi. Kasabay nito, nagbibigay kami ng mga katulad sa kanang bahagi. Nakukuha namin:

Mas maganda na. Ngayon ang kaliwang bahagi ay inihanda ang sarili para sa pagpaparami. Ano ang dapat na i-multiply sa kaliwang bahagi upang ang lima at ang apat ay agad na mabawasan? Sa 20! Ngunit mayroon din kaming mga downside sa magkabilang panig ng equation. Samakatuwid, ito ay magiging pinaka-maginhawa upang i-multiply ang magkabilang panig ng equation hindi sa pamamagitan ng 20, ngunit sa pamamagitan ng -20. Pagkatapos, sa isang iglap, mawawala ang mga minus, at ang mga fraction.

Dito tayo paramihin:

Para sa mga hindi pa rin nakakaunawa sa hakbang na ito, nangangahulugan ito na ang mga problema ay wala sa mga equation. Ang mga problema ay nasa kaibuturan! Muli, tandaan ang ginintuang tuntunin ng pagbubukas ng mga panaklong:

Kung ang numero ay pinarami ng ilang expression sa mga bracket, dapat na sunud-sunod na i-multiply ang numerong ito sa bawat termino ng mismong expression na ito. Bukod dito, kung ang numero ay positibo, kung gayon ang mga palatandaan ng mga expression pagkatapos ng pagpapalawak ay napanatili. Kung negatibo, mababaligtad ang mga ito:

a(b+c) = ab+ac

-a(b+c) = -ab-ac

Ang mga minus ay nawala pagkatapos na i-multiply ang parehong bahagi sa -20. At ngayon pinarami namin ang mga bracket na may mga fraction sa kaliwa ng aming sarili positibong numero 20. Samakatuwid, kapag binubuksan ang mga bracket na ito, ang lahat ng mga palatandaan na nasa loob nito ay napanatili. Ngunit saan nagmula ang mga bracket sa mga numerator ng mga fraction, ipinaliwanag ko nang detalyado sa nakaraang halimbawa.

At ngayon maaari mong bawasan ang mga fraction:

4(3-5x)-5(3x-2) = 20

Palawakin ang natitirang mga panaklong. Muli, nagbubukas kami ng tama. Ang mga unang bracket ay pinarami ng positibong numero 4 at, samakatuwid, ang lahat ng mga palatandaan ay napanatili kapag binuksan ang mga ito. Ngunit ang pangalawang bracket ay pinarami ng negatibo ang numero ay -5 at, samakatuwid, ang lahat ng mga palatandaan ay baligtad:

12 - 20x - 15x + 10 = 20

May natitira pang mga bakanteng espasyo. May x sa kaliwa, walang x sa kanan:

-20x - 15x = 20 - 10 - 12

-35x = -2

Halos lahat yan. Sa kaliwa, kailangan mo ng malinis na X, at ang numero -35 ay humahadlang. Kaya hinati namin ang parehong bahagi sa pamamagitan ng (-35). Ipinapaalala ko sa iyo na ang pangalawang pagbabago ng pagkakakilanlan ay nagpapahintulot sa amin na dumami at hatiin ang parehong bahagi sa pamamagitan ng kahit ano numero. Kasama ang negatibo.) Kung hindi lang sa zero! Huwag mag-atubiling ibahagi at makuha ang sagot:

X=2/35

Sa pagkakataong ito, naging fractional ang X. ayos lang. Isang halimbawa.)

Tulad ng nakikita natin, ang prinsipyo ng paglutas ng mga linear na equation (kahit na ang mga pinaka-twisted na equation) ay medyo simple: kinukuha natin ang orihinal na equation at, sa pamamagitan ng magkatulad na pagbabago, sunud-sunod nating pinapasimple ito hanggang sa sagot. Sa mga pangunahing kaalaman, siyempre! Ang mga pangunahing problema dito ay tiyak sa hindi pagsunod sa mga pangunahing kaalaman (sabihin, mayroong isang minus bago ang mga bracket, at nakalimutan nilang baguhin ang mga palatandaan kapag binubuksan), pati na rin sa banal na aritmetika. Kaya huwag pabayaan ang mga pangunahing kaalaman! Sila ang pundasyon ng lahat ng iba pang matematika!

Ang ilang mga trick sa paglutas ng mga linear equation. O mga espesyal na okasyon.

Ang lahat ay magiging wala. Gayunpaman ... Kabilang sa mga linear na equation, mayroon ding mga nakakatawang perlas na, sa proseso ng paglutas ng mga ito, ay maaaring magdala sa kanila sa isang malakas na pagkahilo. Kahit na isang mahusay na mag-aaral.)

Halimbawa, narito ang isang hindi nakakapinsalang equation:

7x + 3 = 4x + 5 + 3x - 2

Humikab ng malawak at bahagyang naiinip, kinokolekta namin ang lahat ng X sa kaliwa, at lahat ng numero sa kanan:

7x-4x-3x = 5-2-3

Nagbibigay kami ng mga katulad, isaalang-alang at kunin:

0 = 0

Ayan yun! Inisyu ang primerchik focus! Sa kanyang sarili, ang pagkakapantay-pantay na ito ay hindi nagtataas ng mga pagtutol: ang zero ay talagang katumbas ng zero. Pero wala na si X! Walang bakas! At dapat nating isulat sa sagot, ano ang katumbas ng x. Kung hindi, ang desisyon ay hindi isinasaalang-alang, oo.) Ano ang gagawin?

Walang panic! Sa ganitong mga hindi karaniwang mga kaso, ang pinaka-pangkalahatang mga konsepto at prinsipyo ng matematika ay nakakatipid. Ano ang isang equation? Paano malutas ang mga equation? Ano ang ibig sabihin ng paglutas ng equation?

Ang paglutas ng isang equation ay nangangahulugan ng paghahanap lahat mga halaga ng variable x, na, kapag pinalitan sa inisyal ang equation ay magbibigay sa atin ng tamang pagkakapantay-pantay (pagkakakilanlan)!

Ngunit mayroon tayong tamang pagkakapantay-pantay tapos na! 0=0, o sa halip ay wala kahit saan!) Nananatili itong hulaan kung aling x ang nakukuha natin ang pagkakapantay-pantay na ito. Anong uri ng x ang maaaring palitan inisyal equation kung, kapag pinapalitan, lahat sila shrink to zero pa rin? Hindi mo pa ba naiisip?

Oo naman! Maaaring palitan ang Xs anuman!!! Ganap na kahit ano. Anuman ang gusto mo, ilagay ang mga ito. Hindi bababa sa 1, hindi bababa sa -23, hindi bababa sa 2.7 - anuman! Mababawasan pa rin sila at dahil dito mananatili ang wagas na katotohanan. Subukan ito, palitan ito at tingnan para sa iyong sarili.)

Narito ang iyong sagot:

x ay anumang numero.

Sa notasyong pang-agham, ang pagkakapantay-pantay na ito ay nakasulat tulad nito:

Ang entry na ito ay nagbabasa ng ganito: "Ang X ay anumang totoong numero."

O sa ibang anyo, sa pagitan:

Kung gusto mo, ayusin ito. Ito ang tama at kumpletong sagot!

At ngayon babaguhin ko ang isang numero lamang sa aming orihinal na equation. Lutasin natin ang equation na ito ngayon:

7x + 2 = 4x + 5 + 3x - 2

Muli naming inilipat ang mga tuntunin, binibilang at nakuha:

7x - 4x - 3x = 5 - 2 - 2

0 = 1

At paano mo gusto ang biro na ito? Nagkaroon ng ordinaryong linear equation, ngunit mayroong hindi maintindihang pagkakapantay-pantay

0 = 1…

Sa mga terminong pang-agham, mayroon tayo maling pagkakapantay-pantay. Ngunit sa Russian hindi ito totoo. kalokohan. Kalokohan.) Para sa zero ay hindi katumbas ng isa!

At ngayon muli nating iniisip kung anong uri ng x ang ibibigay sa atin kapag pinapalitan sa orihinal na equation tamang pagkakapantay-pantay? alin? Pero wala! Kahit anong X ang i-substitute mo, mababawasan pa rin ang lahat at magkakaroon ng kalokohan.)

Narito ang sagot: walang solusyon.

Sa mathematical notation, ang ganitong sagot ay iginuhit tulad nito:

May nakasulat na: "X belongs to the empty set."

Ang ganitong mga sagot sa matematika ay karaniwan din: hindi palaging ang anumang equation ay may mga ugat sa prinsipyo. Ang ilang mga equation ay maaaring walang mga ugat. Sa lahat.

Narito ang dalawang sorpresa. Umaasa ako na ngayon ang biglaang pagkawala ng X sa equation ay hindi ka malito magpakailanman. Ang kaso ay medyo pamilyar.)

At pagkatapos ay naririnig ko ang isang lohikal na tanong: sila ba ay nasa OGE o sa PAGGAMIT? Sa pagsusulit, sa kanilang sarili bilang isang gawain - hindi. Masyadong simple. Ngunit sa OGE o sa mga problema sa text - madali! Kaya ngayon - nagsasanay kami at nagpasya:

Mga sagot (magulo): -2; -isa; kahit anong numero; 2; walang solusyon; 7/13.

Nagtagumpay ang lahat? ayos lang! Mayroon kang magandang pagkakataon sa pagsusulit.

May hindi kasya? Hm ... Kalungkutan, siyempre. Kaya may mga gaps sa isang lugar. Sa mga base man o sa magkatulad na pagbabago. O ito ay isang bagay ng banal na kawalan ng pansin. Basahin muli ang aralin. Sapagkat ito ay hindi isang paksa na magagawa ng isang tao nang hindi ganoon kadali sa matematika ...

Good luck! Siguradong ngingiti siya sa iyo, maniwala ka sa akin!)

Mga equation. Sa madaling salita, ang solusyon ng lahat ng equation ay nagsisimula sa mga pagbabagong ito. Kapag nilulutas ang mga linear na equation, ito (solusyon) sa magkaparehong pagbabago at nagtatapos sa panghuling sagot.

Ang kaso ng isang non-zero coefficient para sa isang hindi kilalang variable.

ax+b=0, a ≠ 0

Inilipat namin ang mga miyembrong may x sa isang gilid, at mga numero sa kabilang panig. Tiyaking tandaan na kapag inililipat ang mga termino sa kabaligtaran ng equation, kailangan mong baguhin ang sign:

palakol:(a)=-b:(a)

Binabawasan namin a sa X at makuha namin:

x=-b:(a)

Ito ang sagot. Kung gusto mong suriin kung ang isang numero ay -b:(a) ugat ng ating equation, pagkatapos ay kailangan nating palitan sa inisyal na equation sa halip na X ito ang parehong numero:

a(-b:(a))+b=0 ( mga. 0=0)

kasi ang pagkakapantay-pantay na ito ay totoo, kung gayon -b:(a) at katotohanan ang ugat ng equation.

Sagot: x=-b:(a), a ≠ 0.

Unang halimbawa:

5x+2=7x-6

Inilipat namin sa isang tabi ang mga tuntunin mula sa X, at sa kabilang panig ng numero:

5x-7x=-6-2

-2x :(-2)=-8:(-2)

Sa isang hindi kilalang koepisyent, binawasan nila ito at nakuha ang sagot:

Ito ang sagot. Kung kailangan mong suriin kung ang numero 4 ay talagang ugat ng aming equation, pinapalitan namin ang numerong ito sa halip na x sa orihinal na equation:

5*4+2=7*4-6 ( mga. 22=22)

kasi ang pagkakapantay-pantay na ito ay totoo, pagkatapos ay 4 ang ugat ng equation.

Pangalawang halimbawa:

Lutasin ang equation:

5x+14=x-49

Ang paglilipat ng mga hindi alam at ang mga numero sa iba't ibang direksyon, nakuha namin ang:

Hinahati namin ang mga bahagi ng equation sa pamamagitan ng coefficient sa x(sa 4) at makakuha ng:

Pangatlong halimbawa:

Lutasin ang equation:

Una, inaalis natin ang hindi makatwiran sa koepisyent ng hindi alam sa pamamagitan ng pagpaparami ng lahat ng mga termino sa pamamagitan ng:

Ang form na ito ay itinuturing na pinasimple, dahil ang numero ay may ugat ng numero sa denominator. Kailangan nating gawing simple ang sagot sa pamamagitan ng pagpaparami ng numerator at denominator sa parehong numero, mayroon tayo nito:

Kaso walang solusyon.

Lutasin ang equation:

2x+3=2x+7

Para sa lahat x ang ating equation ay hindi magiging isang tunay na pagkakapantay-pantay. Ibig sabihin, walang ugat ang ating equation.

Sagot: Walang solusyon.

Ang isang espesyal na kaso ay isang walang katapusang bilang ng mga solusyon.

Lutasin ang equation:

2x+3=2x+3

Ang paglilipat ng mga x at mga numero sa iba't ibang direksyon at nagdadala ng mga katulad na termino, nakukuha natin ang equation:

Dito rin, hindi posibleng hatiin ang parehong bahagi ng 0, dahil ito ay bawal. Gayunpaman, ang paglalagay sa lugar X anumang numero, nakukuha namin ang tamang pagkakapantay-pantay. Ibig sabihin, ang bawat numero ay isang solusyon sa naturang equation. Kaya, mayroong isang walang katapusang bilang ng mga solusyon.

Sagot: isang walang katapusang bilang ng mga solusyon.

Ang kaso ng pagkakapantay-pantay ng dalawang kumpletong anyo.

ax+b=cx+d

ax-cx=d-b

(a-c)x=d-b

x=(d-b):(a-c)

Sagot: x=(d-b):(a-c), kung d≠b at a≠c, kung hindi man mayroong walang katapusang maraming mga solusyon, ngunit kung a=c, a d≠b, pagkatapos ay walang mga solusyon.

Ang linear equation ay isang algebraic equation na ang buong antas ng polynomials ay katumbas ng isa. Ang paglutas ng mga linear equation ay bahagi ng kurikulum ng paaralan, at hindi ang pinakamahirap. Gayunpaman, ang ilan ay nakakaranas pa rin ng mga paghihirap sa pagpasa ng paksang ito. Inaasahan namin na pagkatapos basahin ang materyal na ito, ang lahat ng mga paghihirap para sa iyo ay mananatili sa nakaraan. Kaya, alamin natin ito. paano lutasin ang mga linear equation.

Pangkalahatang anyo

Ang linear equation ay kinakatawan bilang:

• ax + b = 0, kung saan ang a at b ay anumang mga numero.

Kahit na ang a at b ay maaaring maging anumang numero, ang kanilang mga halaga ay nakakaapekto sa bilang ng mga solusyon sa equation. Mayroong ilang mga espesyal na kaso ng solusyon:

• Kung a=b=0, ang equation ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon;
• Kung a=0, b≠0, ang equation ay walang solusyon;
• Kung a≠0, b=0, ang equation ay may solusyon: x = 0.

Kung ang parehong mga numero ay may mga non-zero na halaga, ang equation ay kailangang lutasin upang makuha ang panghuling expression para sa variable.

Paano magdesisyon?

Ang paglutas ng isang linear equation ay nangangahulugan ng paghahanap kung ano ang katumbas ng isang variable. Paano ito gagawin? Oo, ito ay napaka-simple - gamit ang mga simpleng algebraic na operasyon at pagsunod sa mga patakaran ng paglipat. Kung ang equation ay lumitaw sa harap mo sa isang pangkalahatang anyo, ikaw ay swerte, ang kailangan mo lang gawin ay:

1. Ilipat ang b sa kanang bahagi ng equation, hindi nalilimutang baguhin ang sign (transfer rule!), Kaya, mula sa isang expression ng form na ax + b = 0, isang expression ng form na ax = -b ay dapat makuha.
2. Ilapat ang panuntunan: upang mahanap ang isa sa mga kadahilanan (x - sa aming kaso), kailangan mong hatiin ang produkto (-b sa aming kaso) sa pamamagitan ng isa pang kadahilanan (a - sa aming kaso). Kaya, ang isang expression ng form ay dapat makuha: x \u003d -b / a.

Iyon lang - ang solusyon ay natagpuan!

Ngayon tingnan natin ang isang partikular na halimbawa:

1. 2x + 4 = 0 - ilipat b, na sa kasong ito ay 4, sa kanan
2. 2x = -4 - hatiin ang b sa a (huwag kalimutan ang minus sign)
3. x=-4/2=-2

Iyon lang! Ang aming solusyon: x = -2.

Tulad ng nakikita mo, ang paghahanap ng solusyon sa isang linear equation na may isang variable ay medyo simple, ngunit ang lahat ay napakasimple kung tayo ay mapalad na matugunan ang equation sa isang pangkalahatang anyo. Sa karamihan ng mga kaso, bago lutasin ang equation sa dalawang hakbang na inilarawan sa itaas, kinakailangan ding dalhin ang umiiral na expression sa isang pangkalahatang anyo. Gayunpaman, hindi rin ito isang nakakatakot na gawain. Tingnan natin ang ilang mga espesyal na kaso na may mga halimbawa.

Paglutas ng mga espesyal na kaso

Una, tingnan natin ang mga kaso na inilarawan namin sa simula ng artikulo at ipaliwanag kung ano ang ibig sabihin ng magkaroon ng walang katapusang bilang ng mga solusyon at walang solusyon.

• Kung a=b=0, ang equation ay magmumukhang: 0x + 0 = 0. Ang pagsasagawa ng unang hakbang, makakakuha tayo ng: 0x = 0. Ano ang ibig sabihin ng kalokohang ito, bulalas mo! Pagkatapos ng lahat, kahit anong numero ang i-multiply mo sa zero, palagi kang makakakuha ng zero! Tama! Samakatuwid, sinasabi nila na ang equation ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon - anuman ang bilang na kunin mo, ang pagkakapantay-pantay ay magiging totoo, 0x \u003d 0 o 0 \u003d 0.
• Kung a=0, b≠0, ang equation ay magmumukhang: 0x + 3 = 0. Ginagawa namin ang unang hakbang, nakukuha namin ang 0x = -3. Kalokohan na naman! Malinaw na ang pagkakapantay-pantay na ito ay hindi magiging totoo! Kaya nga sinasabi nila na ang equation ay walang solusyon.
• Kung a≠0, b=0, ang equation ay magmumukhang: 3x + 0 = 0. Sa pagsasagawa ng unang hakbang, makakakuha tayo ng: 3x = 0. Ano ang solusyon? Madali lang, x = 0.

Mga kahirapan sa pagsasalin

Ang mga inilarawang partikular na kaso ay hindi lahat ng mga linear equation na maaaring ikagulat natin. Minsan ang equation ay karaniwang mahirap tukuyin sa unang tingin. Kumuha tayo ng isang halimbawa:

• 12x - 14 = 2x + 6

Ito ba ay isang linear equation? Ngunit ano ang tungkol sa zero sa kanang bahagi? Hindi kami magmadali sa mga konklusyon, kikilos kami - ililipat namin ang lahat ng mga bahagi ng aming equation sa kaliwang bahagi. Nakukuha namin:

• 12x - 2x - 14 - 6 = 0

Ngayon pagbabawas ng like mula sa like, nakukuha natin:

• 10x - 20 = 0

Natutunan? Ang pinaka-linear na equation kailanman! Kaninong solusyon: x = 20/10 = 2.

Paano kung mayroon tayong ganitong halimbawa:

• 12((x + 2)/3) + x) = 12 (1 - 3x/4)

Oo, ito rin ay isang linear equation, mas maraming pagbabago lang ang kailangang gawin. Palawakin muna natin ang mga bracket:

1. (12(x+2)/3) + 12x = 12 - 36x/4
2. 4(x+2) + 12x = 12 - 36x/4
3. 4x + 8 + 12x = 12 - 9x - gawin ngayon ang paglipat:
4. 25x - 4 = 0 - nananatili itong makahanap ng solusyon ayon sa kilalang pamamaraan:
5. 25x=4
6. x = 4/25 = 0.16

Tulad ng nakikita mo, ang lahat ay nalutas, ang pangunahing bagay ay hindi mag-alala, ngunit kumilos. Tandaan, kung ang iyong equation ay naglalaman lamang ng mga variable ng unang antas at mga numero, ito ay isang linear na equation, na, gaano man ito hitsura sa simula, ay maaaring bawasan sa isang pangkalahatang anyo at lutasin. Umaasa kami na ang lahat ay gagana para sa iyo! Good luck!

Sa artikulong ito, isinasaalang-alang namin ang prinsipyo ng paglutas ng mga naturang equation bilang mga linear equation. Isulat natin ang kahulugan ng mga equation na ito at itakda ang pangkalahatang anyo. Susuriin namin ang lahat ng mga kondisyon para sa paghahanap ng mga solusyon sa mga linear na equation, gamit, bukod sa iba pang mga bagay, mga praktikal na halimbawa.

Pakitandaan na ang materyal sa ibaba ay naglalaman ng impormasyon sa mga linear equation na may isang variable. Ang mga linear na equation na may dalawang variable ay isinasaalang-alang sa isang hiwalay na artikulo.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ano ang isang linear equation

Kahulugan 1

Linear Equation ay isang equation na nakasulat tulad nito:
a x = b, saan x- variable, a at b- ilang mga numero.

Ang pormulasyon na ito ay ginamit sa algebra textbook (grade 7) ni Yu.N. Makarychev.

Halimbawa 1

Ang mga halimbawa ng mga linear na equation ay:

3x=11(isang variable na equation x sa a = 5 at b = 10);

− 3 , 1 y = 0 ( linear equation na may variable y, saan isang \u003d - 3, 1 at b = 0);

x = -4 at − x = 5 , 37(linear equation, kung saan ang numero a nakasulat nang tahasan at katumbas ng 1 at - 1, ayon sa pagkakabanggit. Para sa unang equation b = - 4 ; para sa pangalawa- b = 5, 37) atbp.

Ang iba't ibang kagamitan sa pagtuturo ay maaaring maglaman ng iba't ibang kahulugan. Halimbawa, si Vilenkin N.Ya. Kasama rin sa linear ang mga equation na maaaring ibahin sa anyo a x = b sa pamamagitan ng paglilipat ng mga termino mula sa isang bahagi patungo sa isa pa na may pagbabago ng tanda at pagdadala ng mga katulad na termino. Kung susundin natin ang interpretasyong ito, ang equation 5 x = 2 x + 6 – linear din.

At narito ang aklat-aralin ng algebra (Grade 7) Mordkovich A.G. tumutukoy sa sumusunod na paglalarawan:

Kahulugan 2

Ang isang linear equation na may isang variable x ay isang equation ng form a x + b = 0, saan a at b ay ilang mga numero, na tinatawag na mga coefficient ng linear equation.

Halimbawa 2

Ang isang halimbawa ng mga linear na equation ng ganitong uri ay maaaring:

3 x - 7 = 0 (a = 3 , b = - 7) ;

1 , 8 y + 7 , 9 = 0 (a = 1 , 8 , b = 7 , 9) .

Ngunit mayroon ding mga halimbawa ng mga linear na equation na nagamit na natin sa itaas: a x = b, Halimbawa, 6 x = 35.

Agad kaming sasang-ayon na sa artikulong ito, sa ilalim ng isang linear na equation na may isang variable, mauunawaan natin ang equation ng pagsulat a x + b = 0, saan x– variable; a , b ay mga coefficient. Nakikita namin ang form na ito ng isang linear equation bilang ang pinaka-makatwiran, dahil ang mga linear equation ay mga algebraic equation ng unang degree. At ang iba pang mga equation na ipinahiwatig sa itaas, at ang mga equation na ibinigay ng mga katumbas na pagbabago sa anyo a x + b = 0, tinutukoy namin bilang mga equation na bumabawas sa mga linear na equation.

Sa diskarteng ito, ang equation na 5 x + 8 = 0 ay linear, at 5 x = −8- isang equation na bumababa sa isang linear.

Ang prinsipyo ng paglutas ng mga linear equation

Isaalang-alang kung paano matukoy kung ang isang ibinigay na linear equation ay magkakaroon ng mga ugat at, kung gayon, kung ilan at kung paano matukoy ang mga ito.

Kahulugan 3

Ang katotohanan ng pagkakaroon ng mga ugat ng isang linear equation ay tinutukoy ng mga halaga ng mga coefficient a at b. Isulat natin ang mga kundisyong ito:

• sa isang ≠ 0 ang linear equation ay may iisang ugat x = - b a ;
• sa a = 0 at b ≠ 0 ang isang linear na equation ay walang mga ugat;
• sa a = 0 at b = 0 ang isang linear na equation ay may walang katapusang maraming ugat. Sa katunayan, sa kasong ito, ang anumang numero ay maaaring maging ugat ng isang linear equation.

Magbigay tayo ng paliwanag. Alam namin na sa proseso ng paglutas ng isang equation, posible na ibahin ang anyo ng isang ibinigay na equation sa isang katumbas, na nangangahulugang mayroon itong parehong mga ugat tulad ng orihinal na equation, o wala ring mga ugat. Maaari naming gawin ang mga sumusunod na katumbas na pagbabago:

• ilipat ang termino mula sa isang bahagi patungo sa isa pa, binabago ang tanda sa kabaligtaran;
• multiply o hatiin ang magkabilang panig ng isang equation sa parehong di-zero na numero.

Kaya, binabago namin ang linear equation a x + b = 0, inililipat ang termino b mula sa kaliwang bahagi hanggang sa kanang bahagi na may pagbabago ng tanda. Nakukuha namin: a · x = - b .

Kaya, hinahati namin ang parehong bahagi ng equation sa isang hindi-zero na numero a, na nagreresulta sa pagkakapantay-pantay ng anyong x = - b a . Ibig sabihin, kapag isang ≠ 0 orihinal na equation a x + b = 0 ay katumbas ng pagkakapantay-pantay x = - b a , kung saan ang ugat - b a ay halata.

Sa pamamagitan ng pagkakasalungatan, posible na ipakita na ang natagpuang ugat ay nag-iisa. Itinakda namin ang pagtatalaga ng nahanap na ugat - b a bilang x 1 . Ipagpalagay natin na may isa pang ugat ng linear equation na may notasyon x 2 . At syempre: x 2 ≠ x 1, at ito naman, batay sa kahulugan ng pantay na mga numero sa pamamagitan ng pagkakaiba, ay katumbas ng kondisyon x 1 - x 2 ≠ 0. Sa pagtingin sa itaas, maaari nating isulat ang mga sumusunod na pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga ugat:
a x 1 + b = 0 at a · x 2 + b = 0 .
Ang pag-aari ng mga numerical equalities ay ginagawang posible na magsagawa ng term-by-term na pagbabawas ng mga bahagi ng equalities:

a x 1 + b - (a x 2 + b) = 0 - 0, mula rito: a (x 1 - x 2) + (b - b) = 0 at higit pa a (x 1 - x 2) = 0 . Pagkakapantay-pantay a (x 1 − x 2) = 0 ay mali, dahil ang kundisyon ay ibinigay noon isang ≠ 0 at x 1 - x 2 ≠ 0. Ang nakuhang kontradiksyon ay nagsisilbing patunay na sa isang ≠ 0 linear equation a x + b = 0 may isang ugat lamang.

Patunayan natin ang dalawa pang sugnay ng mga kondisyong naglalaman a = 0 .

Kailan a = 0 linear equation a x + b = 0 isusulat bilang 0 x + b = 0. Ang pag-aari ng pagpaparami ng numero sa zero ay nagbibigay sa atin ng karapatang igiit na kahit anong numero ang kunin x, pinapalitan ito sa pagkakapantay-pantay 0 x + b = 0, nakukuha natin ang b = 0 . Ang pagkakapantay-pantay ay may bisa para sa b = 0; sa ibang pagkakataon kapag b ≠ 0 nagiging invalid ang pagkakapantay-pantay.

Kaya, kapag a = 0 at b = 0 , anumang numero ay maaaring maging ugat ng isang linear equation a x + b = 0, dahil sa ilalim ng mga kundisyong ito, pinapalitan sa halip na x anumang numero, nakukuha namin ang tamang pagkakapantay-pantay ng numero 0 = 0 . Kailan a = 0 at b ≠ 0 linear equation a x + b = 0 ay hindi magkakaroon ng mga ugat sa lahat, dahil sa ilalim ng tinukoy na mga kondisyon, pagpapalit sa halip na x anumang numero, nakakakuha tayo ng maling pagkakapantay-pantay ng numero b = 0.

Ang lahat ng pangangatwiran sa itaas ay nagbibigay sa amin ng pagkakataong magsulat ng isang algorithm na ginagawang posible na makahanap ng solusyon sa anumang linear equation:

• sa pamamagitan ng uri ng talaan natutukoy namin ang mga halaga ng mga coefficient a at b at pag-aralan ang mga ito;
• sa a = 0 at b = 0 ang equation ay magkakaroon ng walang katapusang maraming ugat, i.e. anumang numero ang magiging ugat ng ibinigay na equation;
• sa a = 0 at b ≠ 0
• sa a, naiiba sa zero, sinimulan naming hanapin ang tanging ugat ng orihinal na linear equation:

1. koepisyent ng paglipat b sa kanang bahagi na may pagbabago ng sign sa kabaligtaran, na dinadala ang linear equation sa anyo a x = −b;
2. hatiin ang parehong bahagi ng resultang pagkakapantay-pantay sa bilang a, na magbibigay sa atin ng gustong ugat ng ibinigay na equation: x = - b a .

Sa totoo lang, ang inilarawan na pagkakasunud-sunod ng mga aksyon ay ang sagot sa tanong kung paano makahanap ng solusyon sa isang linear equation.

Sa wakas, nilinaw namin ang mga equation ng form a x = b ay nalutas sa pamamagitan ng isang katulad na algorithm na may pagkakaiba lamang sa numero b sa naturang notasyon ay nailipat na sa nais na bahagi ng equation, at kung kailan isang ≠ 0 maaari mong agad na hatiin ang mga bahagi ng equation sa isang numero a.

Kaya, upang makahanap ng solusyon sa equation a x = b, ginagamit namin ang sumusunod na algorithm:

• sa a = 0 at b = 0 ang equation ay magkakaroon ng walang katapusang maraming ugat, i.e. anumang numero ay maaaring maging ugat nito;
• sa a = 0 at b ≠ 0 ang ibinigay na equation ay hindi magkakaroon ng mga ugat;
• sa a, hindi katumbas ng zero, ang magkabilang panig ng equation ay nahahati sa numero a, na ginagawang posible na makahanap ng isang ugat na katumbas ng b a.

Mga halimbawa ng paglutas ng mga linear equation

Halimbawa 3

Ito ay kinakailangan upang malutas ang isang linear equation 0 x - 0 = 0.

Desisyon

Sa pamamagitan ng pagsulat ng ibinigay na equation, makikita natin iyon a = 0 at b = -0(o b = 0 na pareho). Kaya, ang isang ibinigay na equation ay maaaring magkaroon ng walang katapusang maraming ugat o anumang numero.

Sagot: x- kahit anong numero.

Halimbawa 4

Ito ay kinakailangan upang matukoy kung ang equation ay may mga ugat 0 x + 2, 7 = 0.

Desisyon

Mula sa rekord, tinutukoy namin na ang isang \u003d 0, b \u003d 2, 7. Kaya, ang ibinigay na equation ay hindi magkakaroon ng mga ugat.

Sagot: ang orihinal na linear equation ay walang mga ugat.

Halimbawa 5

Nabigyan ng linear equation 0 , 3 x − 0 , 027 = 0 . Kailangan itong malutas.

Desisyon

Sa pamamagitan ng pagsulat ng equation, tinutukoy namin na ang isang \u003d 0, 3; b = - 0 , 027 , na nagpapahintulot sa amin na igiit na ang ibinigay na equation ay may iisang ugat.

Kasunod ng algorithm, inilipat namin ang b sa kanang bahagi ng equation, binabago ang sign, nakukuha namin: 0.3 x = 0.027. Susunod, hinahati namin ang parehong bahagi ng nagresultang pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng isang \u003d 0, 3, pagkatapos ay: x \u003d 0, 027 0, 3.

Hatiin natin ang mga decimal:

0.027 0.3 = 27300 = 3 9 3 100 = 9 100 = 0.09

Ang resultang nakuha ay ang ugat ng ibinigay na equation.

Maikling isulat ang solusyon tulad ng sumusunod:

0, 3 x - 0, 027 = 0, 0, 3 x = 0, 027, x = 0, 027 0, 3, x = 0, 09.

Sagot: x = 0 , 09 .

Para sa kalinawan, ipinakita namin ang solusyon ng equation ng record a x = b.

Halimbawa N

Ang mga equation ay ibinigay: 1) 0 x = 0 ; 2) 0 x = − 9 ; 3) - 3 8 x = - 3 3 4 . Ito ay kinakailangan upang malutas ang mga ito.

Desisyon

Ang lahat ng ibinigay na equation ay tumutugma sa talaan a x = b. Isaalang-alang natin ito sa turn.

Sa equation na 0 x = 0 , a = 0 at b = 0, na nangangahulugang: anumang numero ay maaaring maging ugat ng equation na ito.

Sa pangalawang equation 0 x = − 9: a = 0 at b = − 9 , kaya, ang equation na ito ay hindi magkakaroon ng mga ugat.

Sa pamamagitan ng anyo ng huling equation - 3 8 x = - 3 3 4 isinusulat natin ang mga coefficient: a = - 3 8 , b = - 3 3 4 , i.e. ang equation ay may iisang ugat. Hanapin natin siya. Hatiin natin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng a , nakukuha natin bilang resulta: x = - 3 3 4 - 3 8 . Pasimplehin natin ang fraction sa pamamagitan ng paglalapat ng panuntunan para sa paghahati ng mga negatibong numero, pagkatapos ay i-convert ang mixed number sa isang ordinaryong fraction at paghahati ng mga ordinaryong fraction:

3 3 4 - 3 8 = 3 3 4 3 8 = 15 4 3 8 = 15 4 8 3 = 15 8 4 3 = 10

Maikling isulat ang solusyon tulad ng sumusunod:

3 8 x = - 3 3 4 , x = - 3 3 4-3 8 , x = 10 .

Sagot: 1) x- anumang numero, 2) ang equation ay walang mga ugat, 3) x = 10 .

Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter