Ngunit maraming natural na numero ang pantay na nahahati ng iba pang natural na numero.
Halimbawa:
Ang bilang na 12 ay nahahati ng 1, ng 2, ng 3, ng 4, ng 6, ng 12;
Ang bilang na 36 ay nahahati ng 1, ng 2, ng 3, ng 4, ng 6, ng 12, ng 18, ng 36.
Ang mga numero kung saan ang numero ay nahahati (para sa 12 ito ay 1, 2, 3, 4, 6 at 12) ay tinatawag mga divisors ng numero. Divisor ng isang natural na numero a ay ang natural na numero na naghahati sa ibinigay na numero a walang bakas. Ang isang natural na numero na may higit sa dalawang mga kadahilanan ay tinatawag pinagsama-sama. Tandaan na ang mga numero 12 at 36 ay may mga karaniwang divisors. Ito ang mga numero: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Ang pinakamalaking divisor ng mga numerong ito ay 12.
Karaniwang divisor ng dalawang ibinigay na numero a at b ay ang bilang kung saan ang parehong ibinigay na mga numero ay nahahati nang walang natitira a at b. Common Divisor of Multiple Numbers (GCD) ay ang bilang na nagsisilbing divisor para sa bawat isa sa kanila.
Sa madaling sabi ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numero a at b ay nakasulat tulad nito:
Halimbawa: gcd (12; 36) = 12.
Ang mga divisors ng mga numero sa talaan ng solusyon ay tinutukoy ng isang malaking titik na "D".
Halimbawa:
gcd (7; 9) = 1
Ang mga numero 7 at 9 ay mayroon lamang isang karaniwang divisor - ang numero 1. Ang mga naturang numero ay tinatawag coprimechi slam.
Mga numero ng koprime ay mga natural na numero na mayroon lamang isang karaniwang divisor - ang numero 1. Ang kanilang gcd ay 1.
Greatest Common Divisor (GCD), mga katangian.
- Pangunahing ari-arian: pinakamalaking karaniwang divisor m at n ay nahahati ng anumang karaniwang divisor ng mga numerong ito. Halimbawa: para sa mga numero 12 at 18 ang pinakamalaking karaniwang divisor ay 6; ito ay nahahati ng lahat ng karaniwang divisors ng mga numerong ito: 1, 2, 3, 6.
- Corollary 1: set ng mga karaniwang divisors m at n tumutugma sa hanay ng mga divisors gcd( m, n).
- Corollary 2: set ng common multiples m at n tumutugma sa hanay ng maraming LCM ( m, n).
Nangangahulugan ito, sa partikular, na upang mabawasan ang isang fraction sa isang hindi mababawasan na anyo, kinakailangan na hatiin ang numerator at denominator nito sa kanilang gcd.
- Pinakamahusay na Common Divisor of Numbers m at n ay maaaring tukuyin bilang ang pinakamaliit na positibong elemento ng hanay ng lahat ng kanilang mga linear na kumbinasyon:
at samakatuwid ay kumakatawan bilang isang linear na kumbinasyon ng mga numero m at n:
Ang ratio na ito ay tinatawag Ang ratio ni Bezout, at ang mga coefficient u at v — bezout coefficients. Ang mga koepisyent ng Bézout ay mahusay na nakalkula ng pinahabang Euclid algorithm. Ang pahayag na ito ay pangkalahatan sa mga hanay ng mga natural na numero - ang kahulugan nito ay ang subgroup ng pangkat na nabuo ng set ay paikot at nabuo ng isang elemento: gcd ( a 1 , a 2 , … , isang n).
Pagkalkula ng pinakamalaking karaniwang divisor (gcd).
Ang mga mahusay na paraan upang kalkulahin ang gcd ng dalawang numero ay Ang algorithm ni Euclid at binaryalgorithm. Bilang karagdagan, ang halaga ng GCD ( m,n) ay madaling makalkula kung ang canonical expansion ng mga numero ay kilala m at n para sa mga pangunahing kadahilanan:
kung saan ang mga natatanging prime at at ay mga di-negatibong integer (maaaring zero ang mga ito kung ang kaukulang prime ay wala sa decomposition). Tapos gcd ( m,n) at LCM ( m,n) ay ipinahayag ng mga formula:
Kung mayroong higit sa dalawang numero: , ang kanilang GCD ay makikita ayon sa sumusunod na algorithm:
- ito ang gustong GCD.
Gayundin, upang mahanap pinakamalaking karaniwang divisor, maaari mong i-decompose ang bawat isa sa mga ibinigay na numero sa prime factor. Pagkatapos ay isulat nang hiwalay ang mga salik lamang na kasama sa lahat ng ibinigay na numero. Pagkatapos ay pinarami namin ang mga numerong nakasulat sa kanilang mga sarili - ang resulta ng pagpaparami ay ang pinakamalaking karaniwang divisor .
Suriin natin ang pagkalkula ng pinakamalaking karaniwang divisor hakbang-hakbang:
1. I-decompose ang mga divisors ng mga numero sa prime factor:
Maginhawang isinusulat ang mga kalkulasyon gamit ang isang vertical bar. Sa kaliwa ng linya, isulat muna ang dibidendo, sa kanan - ang divisor. Karagdagan sa kaliwang hanay isinulat namin ang mga halaga ng pribado. Ipaliwanag natin kaagad sa isang halimbawa. I-factor natin ang mga numerong 28 at 64 sa prime factor.
2. Sinalungguhitan namin ang parehong pangunahing mga kadahilanan sa parehong mga numero:
28 = 2 . 2 . 7
64 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2
3. Hinahanap namin ang produkto ng magkaparehong prime factor at isulat ang sagot:
GCD (28; 64) = 2. 2 = 4
Sagot: GCD (28; 64) = 4
Maaari mong ayusin ang lokasyon ng GCD sa dalawang paraan: sa isang column (tulad ng ginawa sa itaas) o "sa isang linya."
Ang unang paraan ng pagsulat ng GCD:
Hanapin ang GCD 48 at 36.
GCD (48; 36) = 2 . 2. 3 = 12
Ang pangalawang paraan ng pagsulat ng GCD:
Ngayon, isulat natin ang solusyon sa paghahanap ng GCD sa isang linya. Hanapin ang GCD 10 at 15.
D(10) = (1, 2, 5, 10)
D(15) = (1, 3, 5, 15)
D(10, 15) = (1, 5)
Solusyonan natin ang problema. Mayroon kaming dalawang uri ng cookies. Ang iba ay tsokolate at ang iba ay plain. Mayroong 48 piraso ng tsokolate, at 36 na simple. Kinakailangang gawin ang maximum na posibleng bilang ng mga regalo mula sa mga cookies na ito, at dapat gamitin ang lahat ng ito.
Una, isulat natin ang lahat ng mga divisors ng bawat isa sa dalawang numerong ito, dahil ang parehong mga numerong ito ay dapat na mahahati sa bilang ng mga regalo.
Nakukuha namin
- 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
- 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
Hanapin natin sa mga divisors ang mga karaniwang mayroon ang una at pangalawang numero.
Ang mga karaniwang divisors ay magiging: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Ang pinakamalaking common divisor sa lahat ay 12. Ang numerong ito ay tinatawag na greatest common divisor ng 36 at 48.
Batay sa resulta, maaari nating tapusin na 12 regalo ang maaaring gawin mula sa lahat ng cookies. Ang isang ganoong regalo ay maglalaman ng 4 na chocolate cookies at 3 regular na cookies.
Paghahanap ng Pinakamahusay na Karaniwang Divisor
- Ang pinakamalaking natural na bilang kung saan ang dalawang numero a at b ay nahahati nang walang natitira ay tinatawag na pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numerong ito.
Minsan ginagamit ang pagdadaglat na GCD upang paikliin ang entry.
Ang ilang mga pares ng mga numero ay may isa bilang kanilang pinakamalaking karaniwang divisor. Ang mga naturang numero ay tinatawag mga numero ng coprime. Halimbawa, ang mga numero 24 at 35. Magkaroon ng GCD =1.
Paano mahahanap ang pinakadakilang karaniwang divisor
Upang mahanap ang pinakadakilang karaniwang divisor, hindi kinakailangang isulat ang lahat ng mga divisors ng mga numerong ito.
Maaari mong gawin kung hindi man. Una, i-factor ang parehong numero sa prime factor.
- 48 = 2*2*2*2*3,
- 36 = 2*2*3*3.
Ngayon, mula sa mga kadahilanan na kasama sa pagpapalawak ng unang numero, tinanggal namin ang lahat ng hindi kasama sa pagpapalawak ng pangalawang numero. Sa aming kaso, ito ay dalawang deuces.
- 48 = 2*2*2*2*3 ,
- 36 = 2*2*3 *3.
Nananatili ang mga salik 2, 2 at 3. Ang kanilang produkto ay 12. Ang bilang na ito ang magiging pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numerong 48 at 36.
Ang panuntunang ito ay maaaring palawigin sa kaso ng tatlo, apat, at iba pa. numero.
Pangkalahatang pamamaraan para sa paghahanap ng pinakamalaking karaniwang divisor
- 1. I-decompose ang mga numero sa prime factors.
- 2. Mula sa mga salik na kasama sa pagpapalawak ng isa sa mga bilang na ito, ekis ang mga hindi kasama sa pagpapalawak ng iba pang mga numero.
- 3. Kalkulahin ang produkto ng natitirang mga salik.
2 |
5 |
||||||
2 |
5 |
||||||
3 |
3 |
||||||
5 |
|||||||
60=2*2*3*5
75=3*5*5
2) Isinulat namin ang mga kadahilanan na kasama sa pagpapalawak ng una sa mga numerong ito at idinagdag sa kanila ang nawawalang kadahilanan 5 mula sa pagpapalawak ng pangalawang numero. Nakukuha namin ang: 2*2*3*5*5=300. Natagpuan ang NOC, i.e. ang kabuuan na ito = 300. Huwag kalimutan ang sukat at isulat ang sagot:
Sagot: Ang nanay ay nagbibigay ng 300 rubles bawat isa.
Kahulugan ng GCD: Greatest Common Divisor (GCD) natural na mga numero a at sa pangalanan ang pinakamalaking natural na bilang c, kung saan at a, at b hinati nang walang natitira. Yung. c ay ang pinakamaliit na natural na bilang kung saan at a at b ay maramihan.
Paalala: Mayroong dalawang mga diskarte sa kahulugan ng mga natural na numero
- mga numerong ginamit sa: enumeration (numbering) ng mga item (una, pangalawa, pangatlo, ...); - sa mga paaralan, kadalasan.
- na nagpapahiwatig ng bilang ng mga item (walang pokemon - zero, isang pokemon, dalawang pokemon, ...).
Ang mga negatibo at hindi integer (makatuwiran, totoo, ...) na mga numero ay hindi natural. Ang ilang mga may-akda ay nagsasama ng zero sa hanay ng mga natural na numero, ang iba ay hindi. Ang hanay ng lahat ng mga natural na numero ay karaniwang tinutukoy ng simbolo N
Paalala: Divisor ng isang natural na numero a tawagan ang numero b, kung saan a hinati nang walang natitira. Maramihang natural na numero b tinatawag na natural na numero a, na hinahati ng b walang bakas. Kung numero b- divisor ng numero a, pagkatapos a maramihan ng b. Halimbawa: Ang 2 ay isang divisor ng 4 at ang 4 ay isang multiple ng 2. Ang 3 ay isang divisor ng 12, at ang 12 ay isang multiple ng 3.
Paalala: Ang mga natural na numero ay tinatawag na prime kung sila ay nahahati nang walang natitira lamang sa kanilang mga sarili at sa pamamagitan ng 1. Ang Coprime ay mga numero na mayroon lamang isang karaniwang divisor na katumbas ng 1.
Kahulugan ng kung paano hanapin ang GCD sa pangkalahatang kaso: Para mahanap ang GCD (Greatest Common Divisor) Maraming mga natural na numero ang kailangan:
1) I-decompose ang mga ito sa pangunahing mga kadahilanan. (Ang Prime Number Chart ay maaaring maging kapaki-pakinabang para dito.)
2) Isulat ang mga salik na kasama sa pagpapalawak ng isa sa mga ito.
3) Tanggalin ang mga hindi kasama sa pagpapalawak ng mga natitirang numero.
4) I-multiply ang mga salik na nakuha sa talata 3).
Gawain 2 sa (NOK): Sa bagong taon, bumili si Kolya Puzatov ng 48 hamster at 36 na kaldero ng kape sa lungsod. Si Fekla Dormidontova, bilang pinakatapat na batang babae sa klase, ay binigyan ng gawain na hatiin ang ari-arian na ito sa pinakamalaking posibleng bilang ng mga set ng regalo para sa mga guro. Ano ang bilang ng mga hanay? Ano ang komposisyon ng mga set?
Halimbawa 2.1. paglutas ng problema sa paghahanap ng GCD. Paghahanap ng GCD sa pamamagitan ng pagpili.
Desisyon: Ang bawat isa sa mga numero 48 at 36 ay dapat na mahahati sa bilang ng mga regalo.
1) Isulat ang mga divisors 48: 48, 24, 16, 12
, 8, 6, 3, 2, 1
2) Isulat ang mga paghahati 36:36, 18, 12
, 9, 6, 3, 2, 1 Piliin ang pinakamalaking karaniwang divisor. Op-la-la! Natagpuan, ito ang bilang ng mga hanay ng 12 piraso.
3) Hatiin ang 48 sa 12, makakakuha tayo ng 4, hatiin ang 36 sa 12, makakakuha tayo ng 3. Huwag kalimutan ang dimensyon at isulat ang sagot:
Sagot: Makakakuha ka ng 12 set ng 4 na hamster at 3 coffee pot sa bawat set.
Ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng dalawang numero ay direktang nauugnay sa pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numerong iyon. Ito link sa pagitan ng GCD at NOC ay tinukoy ng sumusunod na teorama.
Teorama.
Ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ng dalawang positibong integer a at b ay katumbas ng produkto ng mga numerong a at b na hinati ng pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numerong a at b , iyon ay, LCM(a, b)=a b: GCM(a, b).
Patunay.
Hayaan Ang M ay ilang multiple ng mga numerong a at b. Iyon ay, ang M ay nahahati ng a, at sa pamamagitan ng kahulugan ng divisibility, mayroong ilang integer k na ang pagkakapantay-pantay na M=a·k ay totoo. Ngunit ang M ay nahahati din ng b, pagkatapos ang isang k ay nahahati ng b.
Tukuyin ang gcd(a, b) bilang d . Pagkatapos ay maaari nating isulat ang mga pagkakapantay-pantay na a=a 1 ·d at b=b 1 ·d, at ang a 1 =a:d at b 1 =b:d ay magiging mga coprime na numero. Samakatuwid, ang kundisyong nakuha sa nakaraang talata na ang a k ay nahahati ng b ay maaaring reformulated tulad ng sumusunod: a 1 d k ay nahahati ng b 1 d , at ito, dahil sa mga katangian ng divisibility, ay katumbas ng kondisyon na a 1 k ay nahahati sa b isa .
Kailangan din nating isulat ang dalawang mahalagang corollaries mula sa itinuturing na teorama.
Ang mga karaniwang multiple ng dalawang numero ay kapareho ng mga multiple ng kanilang hindi bababa sa karaniwang maramihang.
Ito ay totoo, dahil ang anumang karaniwang multiple ng M na numero a at b ay tinutukoy ng pagkakapantay-pantay na M=LCM(a, b) t para sa ilang integer value t .
Ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng coprime positive na mga numerong a at b ay katumbas ng kanilang produkto.
Ang katwiran para sa katotohanang ito ay medyo halata. Dahil ang a at b ay coprime, kung gayon gcd(a, b)=1 , samakatuwid, LCM(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.
Hindi bababa sa karaniwang multiple ng tatlo o higit pang mga numero
Ang paghahanap ng hindi bababa sa karaniwang multiple ng tatlo o higit pang mga numero ay maaaring bawasan sa sunud-sunod na paghahanap ng LCM ng dalawang numero. Kung paano ito ginagawa ay ipinahiwatig sa sumusunod na teorama: a 1 , a 2 , …, a k coincide with common multiples of numbers m k-1 at a k , samakatuwid, coincide with multiples of m k . At dahil ang hindi bababa sa positibong multiple ng numerong m k ay ang numerong m k mismo, kung gayon ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numerong a 1 , a 2 , …, a k ay m k .
Bibliograpiya.
- Vilenkin N.Ya. atbp. Matematika. Baitang 6: aklat-aralin para sa mga institusyong pang-edukasyon.
- Vinogradov I.M. Mga Batayan ng teorya ng numero.
- Mikhelovich Sh.Kh. Teorya ng numero.
- Kulikov L.Ya. at iba pa.Koleksyon ng mga suliranin sa algebra at teorya ng numero: Teksbuk para sa mga mag-aaral ng fiz.-mat. mga espesyalidad ng mga institusyong pedagogical.
Ang artikulong ito ay tungkol sa paghahanap ng pinakamalaking karaniwang divisor (gcd) dalawa o higit pang mga numero. Una, isaalang-alang ang Euclid algorithm, pinapayagan ka nitong mahanap ang GCD ng dalawang numero. Pagkatapos nito, tatalakayin natin ang isang paraan na nagbibigay-daan sa amin na kalkulahin ang GCD ng mga numero bilang produkto ng kanilang mga karaniwang prime factor. Susunod, haharapin natin ang paghahanap ng pinakamalaking karaniwang divisor ng tatlo o higit pang mga numero, at magbibigay din ng mga halimbawa ng pagkalkula ng GCD ng mga negatibong numero.
Pag-navigate sa pahina.
Euclid's algorithm para sa paghahanap ng GCD
Tandaan na kung tayo ay bumaling sa talahanayan ng mga primes mula pa sa simula, malalaman natin na ang mga numerong 661 at 113 ay prime, kung saan maaari nating agad na sabihin na ang kanilang pinakamalaking karaniwang divisor ay 1.
Sagot:
gcd(661, 113)=1 .
Paghahanap ng GCD sa pamamagitan ng Factoring Numbers into Prime Factors
Isaalang-alang ang isa pang paraan upang mahanap ang GCD. Ang pinakamalaking karaniwang divisor ay matatagpuan sa pamamagitan ng pag-factor ng mga numero sa prime factor. Bumuo tayo ng panuntunan: Ang gcd ng dalawang positive integer a at b ay katumbas ng produkto ng lahat ng karaniwang prime factor sa prime factorization ng a at b.
Magbigay tayo ng halimbawa para ipaliwanag ang panuntunan para sa paghahanap ng GCD. Ipaalam sa amin ang pagpapalawak ng mga numerong 220 at 600 sa prime factor, mayroon silang anyo na 220=2 2 5 11 at 600=2 2 2 3 5 5 . Ang mga karaniwang pangunahing salik na kasangkot sa pagpapalawak ng mga bilang na 220 at 600 ay 2 , 2 at 5 . Samakatuwid gcd(220, 600)=2 2 5=20 .
Kaya, kung ibubulok natin ang mga numerong a at b sa mga pangunahing kadahilanan at hanapin ang produkto ng lahat ng kanilang karaniwang mga kadahilanan, makikita nito ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numerong a at b.
Isaalang-alang ang isang halimbawa ng paghahanap ng GCD ayon sa inihayag na panuntunan.
Halimbawa.
Hanapin ang pinakamalaking karaniwang divisor ng 72 at 96.
Desisyon.
I-factorize natin ang mga numerong 72 at 96: 
Ibig sabihin, 72=2 2 2 3 3 at 96=2 2 2 2 2 3 . Ang mga karaniwang prime factor ay 2 , 2 , 2 at 3 . Kaya gcd(72, 96)=2 2 2 3=24 .
Sagot:
gcd(72, 96)=24 .
Sa pagtatapos ng seksyong ito, tandaan namin na ang bisa ng panuntunan sa itaas para sa paghahanap ng gcd ay sumusunod mula sa pag-aari ng pinakamalaking karaniwang divisor, na nagsasaad na GCD(m a 1 , m b 1)=m GCD(a 1 , b 1), kung saan ang m ay anumang positibong integer.
Paghahanap ng GCD ng tatlo o higit pang mga numero
Ang paghahanap ng pinakamalaking karaniwang divisor ng tatlo o higit pang mga numero ay maaaring bawasan sa sunud-sunod na paghahanap ng gcd ng dalawang numero. Nabanggit namin ito noong pinag-aaralan ang mga katangian ng GCD. Doon ay nabuo at napatunayan namin ang theorem: ang pinakamalaking karaniwang divisor ng ilang mga numero a 1 , a 2 , …, a k ay katumbas ng numero d k , na matatagpuan sa sunud-sunod na pagkalkula ng gcd(a 1 , a 2)=d 2 , gcd(d 2 , a 3) =d 3 , GCD(d 3 , a 4)=d 4 , …, GCD(d k-1 , a k)=d k .
Tingnan natin kung ano ang hitsura ng proseso ng paghahanap ng GCD ng ilang numero sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang sa solusyon ng halimbawa.
Halimbawa.
Hanapin ang pinakamalaking karaniwang divisor ng apat na numero 78 , 294 , 570 at 36 .
Desisyon.
Sa halimbawang ito a 1 =78 , a 2 =294 , a 3 =570 , a 4 =36 .
Una, gamit ang Euclid algorithm, tinutukoy namin ang pinakamalaking karaniwang divisor d 2 ng unang dalawang numero 78 at 294 . Kapag naghahati, nakukuha natin ang mga pagkakapantay-pantay 294=78 3+60 ; 78=60 1+18 ; 60=18 3+6 at 18=6 3 . Kaya, d 2 =GCD(78, 294)=6 .
Ngayon kalkulahin natin d 3 \u003d GCD (d 2, a 3) \u003d GCD (6, 570). Muli naming inilapat ang Euclid algorithm: 570=6·95 , samakatuwid, d 3 =GCD(6, 570)=6 .
Ito ay nananatiling kalkulahin d 4 \u003d GCD (d 3, a 4) \u003d GCD (6, 36). Dahil ang 36 ay nahahati sa 6, kung gayon d 4 \u003d GCD (6, 36) \u003d 6.
Kaya, ang pinakamalaking karaniwang divisor ng apat na ibinigay na mga numero ay d 4 =6 , iyon ay, gcd(78, 294, 570, 36)=6 .
Sagot:
gcd(78, 294, 570, 36)=6 .
Nagbibigay-daan din sa iyo ang pag-decompose ng mga numero sa prime factor na kalkulahin ang GCD ng tatlo o higit pang mga numero. Sa kasong ito, ang pinakamalaking karaniwang divisor ay makikita bilang produkto ng lahat ng karaniwang prime factor ng mga ibinigay na numero.
Halimbawa.
Kalkulahin ang GCD ng mga numero mula sa nakaraang halimbawa gamit ang kanilang mga prime factorization.
Desisyon.
Binubulok natin ang mga numerong 78 , 294 , 570 at 36 sa mga pangunahing salik, nakukuha natin ang 78=2 3 13 , 294=2 3 7 7 , 570=2 3 5 19 , 36=2 2 3 . 3 . Ang karaniwang mga pangunahing kadahilanan ng lahat ng ibinigay na apat na numero ay ang mga numero 2 at 3. Kaya naman, GCD(78, 294, 570, 36)=2 3=6.
