Hindi wastong integral na may walang katapusang limitasyon sa pagsasama

Minsan ang ganitong hindi tamang integral ay tinatawag ding hindi tamang integral ng unang uri..gif" width="49" height="19 src=">.

Hindi gaanong karaniwan ang mga integral na may walang katapusang mas mababang limitasyon o may dalawang walang katapusang limitasyon: .

Isasaalang-alang namin ang pinakasikat na kaso https://pandia.ru/text/80/057/images/image005_1.gif" width="63" height="51"> ? Hindi hindi palagi. Integrandhttps://pandia.ru/text/80/057/images/image007_0.gif" width="47" height="23 src=">

Ilarawan natin ang graph ng integrand sa drawing. Ang isang tipikal na graph at isang curvilinear trapezoid para sa kasong ito ay ganito ang hitsura:

Hindi wastong integralhttps://pandia.ru/text/80/057/images/image009_0.gif" width="100" height="51">", sa madaling salita, ang lugar ay infinite din. Kaya maaaring ito ay. Sa kasong ito, sinasabi namin na ang hindi wastong integral diverges.

2) Pero. Bagama't kabalintunaan ito, ang lugar ng isang walang katapusang pigura ay maaaring katumbas ng ... isang may hangganang numero! Halimbawa: .. Sa pangalawang kaso, ang hindi wastong integral nagtatagpo.

Ano ang mangyayari kung ang isang walang katapusang curvilinear trapezoid ay matatagpuan sa ibaba ng axis?.gif" width="217" height="51 src=">.

: .

Halimbawa 1

Ang integrand https://pandia.ru/text/80/057/images/image017_0.gif" width="43" height="23">, na nangangahulugan na ang lahat ay maayos at ang hindi wastong integral ay maaaring kalkulahin gamit ang " regular" na pamamaraan.

Application ng aming formula https://pandia.ru/text/80/057/images/image018_0.gif" width="356" height="49">

Iyon ay, ang hindi wastong integral ay diverges, at ang lugar ng shaded curvilinear trapezoid ay katumbas ng infinity.

Kapag nilulutas ang mga hindi wastong integral, napakahalagang malaman kung ano ang hitsura ng mga graph ng mga pangunahing pag-andar ng elementarya!

Halimbawa 2

Kalkulahin ang hindi wastong integral o itatag ang divergence nito.

Gumawa tayo ng pagguhit:

Una, napansin namin ang sumusunod: ang integrand ay tuloy-tuloy sa kalahating pagitan . Maganda..gif" width="327" height="53">

(1) Kinukuha namin ang pinakasimpleng integral ng isang power function (ang espesyal na kaso na ito ay nasa maraming talahanayan). Mas mainam na agad na ilipat ang minus na lampas sa limit sign upang hindi ito mapunta sa mga karagdagang kalkulasyon.

(2) Pinapalitan namin ang upper at lower limit ayon sa Newton-Leibniz formula.

(3) Ipinapahiwatig namin na https://pandia.ru/text/80/057/images/image024.gif" width="56" height="19 src="> (Mga ginoo, matagal na itong naiintindihan) at pasimplehin sagot.

Dito, ang lugar ng isang walang katapusang curvilinear trapezoid ay katumbas ng isang may hangganang numero! Hindi kapani-paniwala pero totoo.

Halimbawa 3

Kalkulahin ang hindi wastong integral o itatag ang divergence nito.

Ang integrand ay tuloy-tuloy sa .

Una, subukan nating hanapin ang antiderivative function (indefinite integral).

Alin sa mga integral ng talahanayan ang hitsura ng integrand? Ito ay nagpapaalala sa akin ng arc tangent: . Mula sa mga pagsasaalang-alang na ito, ang pag-iisip ay nagmumungkahi mismo na ito ay magiging maganda upang makakuha ng isang parisukat sa denominator. Ginagawa ito sa pamamagitan ng pagpapalit.

Palitan natin:

Palaging kapaki-pakinabang na magsagawa ng tseke, iyon ay, upang maiiba ang resulta na nakuha:

Ngayon nakita namin ang hindi wastong integral:

(1) Sinusulat namin ang solusyon alinsunod sa formula . Mas mainam na agad na ilipat ang pare-pareho na lampas sa limitasyon ng pag-sign upang hindi ito makagambala sa karagdagang mga kalkulasyon.

(2) Pinapalitan namin ang upper at lower limit alinsunod sa Newton-Leibniz formula..gif" width="56" height="19 src=">?

(3) Nakukuha namin ang huling sagot. Ang katotohanan na ito ay kapaki-pakinabang na malaman sa pamamagitan ng puso.

Maaaring hindi mahanap ng mga advanced na mag-aaral ang indefinite integral nang hiwalay, at hindi gamitin ang paraan ng pagpapalit, ngunit gamitin ang paraan ng pagbubuod ng function sa ilalim ng differential sign at lutasin ang hindi tamang integral "kaagad". Sa kasong ito, ang solusyon ay dapat magmukhang ganito:

“

Ang integrand ay tuloy-tuloy sa https://pandia.ru/text/80/057/images/image041.gif" width="337" height="104">
“

Halimbawa 4

Kalkulahin ang hindi wastong integral o itatag ang divergence nito.

! Ito ay isang tipikal na halimbawa, at ang mga katulad na integral ay napakakaraniwan. Gawin mong mabuti! Ang antiderivative function ay matatagpuan dito sa pamamagitan ng full square na paraan ng pagpili.

Halimbawa 5

Kalkulahin ang hindi wastong integral o itatag ang divergence nito.

Ang integral na ito ay maaaring malutas nang detalyado, iyon ay, unang hanapin ang hindi tiyak na integral sa pamamagitan ng pagbabago ng variable. At maaari mong malutas ito "kaagad" - sa pamamagitan ng pagbubuod ng function sa ilalim ng tanda ng kaugalian ..

Mga hindi tamang integral ng walang hangganang function

Minsan ang mga hindi wastong integral ay tinatawag na hindi tamang integral ng pangalawang uri. Ang mga hindi wastong integral ng pangalawang uri ay tusong "naka-encrypt" sa ilalim ng karaniwang tiyak na integral at eksaktong pareho ang hitsura: ..gif" width="39" height="15 src=">, 2) o sa punto , 3) ​​​​o sa parehong mga punto nang sabay-sabay, 4) o kahit na sa pagitan ng pagsasama. Isasaalang-alang namin ang unang dalawang kaso, para sa mga kaso 3-4 sa dulo ng artikulo ay may link sa isang karagdagang aralin.

Isang halimbawa lang para gawing malinaw: https://pandia.ru/text/80/057/images/image048.gif" width="65 height=41" height="41">, pagkatapos ay magiging zero ang denominator namin, ibig sabihin, ang integrand ay hindi umiiral sa puntong ito!

Sa pangkalahatan, kapag sinusuri ang hindi wastong integral palaging kinakailangan na palitan ang parehong mga limitasyon sa pagsasama sa integrand..jpg" alt="(!LANG:Improper integral, discontinuity point sa lower limit ng integration" width="323" height="380">!}

Dito, halos lahat ay pareho sa integral ng unang uri.
Ang aming integral ay katumbas ng numero sa lugar ng may kulay na curvilinear trapezoid, na hindi nakatali mula sa itaas. Sa kasong ito, maaaring mayroong dalawang pagpipilian: ang hindi wastong integral ay nag-iiba (ang lugar ay walang hanggan) o ang hindi wastong integral ay katumbas ng isang may hangganan na numero (iyon ay, ang lugar ng isang walang katapusan na pigura ay may hangganan!).

Ito ay nananatiling lamang upang baguhin ang Newton-Leibniz formula. Ito rin ay binago sa tulong ng limitasyon, ngunit ang limitasyon ay hindi na may posibilidad na infinity, ngunit upang pahalagahanhttps://pandia.ru/text/80/057/images/image052.gif" width="28" height="19"> sa kanan.

Halimbawa 6

Kalkulahin ang hindi wastong integral o itatag ang divergence nito.

Ang integrand ay dumaranas ng walang katapusang pahinga sa isang punto (huwag kalimutang suriin sa salita o sa isang draft kung ang lahat ay maayos sa itaas na limitasyon!)

Una, kinakalkula namin ang hindi tiyak na integral:

Kapalit:

Kinakalkula namin ang hindi wastong integral:

(1) Ano ang bago dito? Halos wala sa mga tuntunin ng pamamaraan. Ang tanging bagay na nagbago ay ang entry sa ilalim ng icon ng limitasyon: . Ang pagdaragdag ay nangangahulugan na kami ay naglalayon para sa halaga sa kanan (na lohikal - tingnan ang graph). Ang nasabing limitasyon sa teorya ng mga limitasyon ay tinatawag na isang panig na limitasyon. Sa kasong ito, mayroon kaming limitasyon sa kanang kamay.

(2) Pinapalitan namin ang upper at lower limit ayon sa Newton-Leibniz formula.

(3) Pag-unawa sa https://pandia.ru/text/80/057/images/image058.gif" width="69" height="41 src=">. Paano matukoy kung saan dapat pumunta ang expression? Sa halos pagsasalita, sa kailangan mo lamang palitan ang halaga para dito, palitan ang tatlong quarter at ipahiwatig na... Sinusuklay namin ang sagot.

Sa kasong ito, ang hindi wastong integral ay katumbas ng isang negatibong numero.

Halimbawa 7

Kalkulahin ang hindi wastong integral o itatag ang divergence nito.

Halimbawa 8

Kalkulahin ang hindi wastong integral o itatag ang divergence nito.

Kung ang integrand ay hindi umiiral sa punto

Ang isang walang katapusang curvilinear trapezoid para sa isang hindi wastong integral sa panimula ay ganito ang hitsura:

Ang lahat ay eksaktong pareho dito, maliban sa limitasyon upang pahalagahanhttps://pandia.ru/text/80/057/images/image052.gif" width="28" height="19"> dapat tayong makalapit nang walang katapusan sa breaking point umalis.

Mga hindi wastong integral ng unang uri: extension ng konsepto ng isang tiyak na integral sa mga kaso ng integral na may walang katapusan na itaas o mas mababang mga limitasyon ng pagsasama, o ang parehong mga limitasyon ng pagsasama ay walang katapusan.

Mga hindi wastong integral ng pangalawang uri: extension ng konsepto ng isang tiyak na integral sa mga kaso ng mga integral ng walang hangganang pag-andar, ang integrand ay hindi umiiral sa isang may hangganang bilang ng mga punto ng may hangganang pagitan ng pagsasama, na nagiging infinity.

Para sa paghahambing. Kapag ipinakilala ang konsepto ng isang tiyak na integral, ipinapalagay na ang function f(x) ay tuloy-tuloy sa segment [ a, b], at ang pagitan ng pagsasama ay may hangganan, iyon ay, ito ay nililimitahan ng mga numero, at hindi ng infinity. Ang ilang mga gawain ay humahantong sa pangangailangan na iwanan ang mga paghihigpit na ito. Ganito lumilitaw ang mga hindi wastong integral.

Ang geometric na kahulugan ng hindi wastong integral lumalabas na medyo simple. Kapag ang graph ng function y = f(x) ay nasa itaas ng axis baka, ang tiyak na integral ay nagpapahayag ng lugar ng isang curvilinear trapezoid na napapaligiran ng isang curve y = f(x) , abscissa at ordinates x = a , x = b. Sa turn, ang hindi wastong integral ay nagpapahayag ng lugar ng isang walang hangganan (walang katapusan) curvilinear trapezoid na nakapaloob sa pagitan ng mga linya y = f(x) (nakalarawan sa ibaba ng pula) x = a at ang abscissa axis.

Ang mga hindi wastong integral ay parehong tinukoy para sa iba pang mga walang katapusang pagitan:

Ang lugar ng isang walang katapusan na curvilinear trapezoid ay maaaring isang may hangganan na numero, at sa kasong ito ang hindi wastong integral ay tinatawag na convergent. Ang lugar ay maaari ding maging infinity, kung saan ang hindi wastong integral ay tinatawag na divergent.

Gamit ang limitasyon ng isang integral sa halip na ang mismong hindi wastong integral. Upang makalkula ang hindi wastong integral, kailangan mong gamitin ang limitasyon ng tiyak na integral. Kung ang limitasyong ito ay umiiral at may hangganan (hindi katumbas ng infinity), kung gayon ang hindi wastong integral ay tinatawag na convergent, kung hindi, ito ay divergent. Ano ang posibilidad ng variable sa ilalim ng limit sign sa kung tayo ay nakikitungo sa isang hindi wastong integral ng unang uri o ng pangalawang uri. Alamin natin ang tungkol dito ngayon.

Mga hindi wastong integral ng unang uri - na may walang katapusang mga limitasyon at ang kanilang convergence

Mga hindi tamang integral na may walang katapusang limitasyon sa itaas

Kaya, ang talaan ng hindi wastong integral ay naiiba sa karaniwang tiyak na integral dahil ang itaas na limitasyon ng pagsasama ay walang katapusan.

Kahulugan. Isang hindi tamang integral na may walang katapusang itaas na limitasyon ng pagsasama mula sa tuluy-tuloy na function f(x) sa pagitan a dati ∞ ay tinatawag na limitasyon ng integral ng function na ito na may pinakamataas na limitasyon ng pagsasama b at ang mas mababang limitasyon ng pagsasama a sa kondisyon na ang pinakamataas na limitasyon ng pagsasama ay lumalaki nang walang katiyakan, ibig sabihin.

.

Kung umiiral ang limitasyong ito at katumbas ng ilang numero, at hindi sa infinity, kung gayon ang hindi wastong integral ay tinatawag na convergent, at ang bilang na katumbas ng limitasyon ay kinukuha bilang halaga nito. Kung hindi ang hindi wastong integral ay tinatawag na divergent at walang halaga ang iniuugnay dito.

Halimbawa 1. Kalkulahin ang Di-wastong Integral(kung ito ay nagtatagpo).

Desisyon. Batay sa kahulugan ng hindi wastong integral, makikita natin

Dahil ang limitasyon ay umiiral at katumbas ng 1, kung gayon ang ibinigay hindi wastong integral converges at katumbas ng 1.

Sa sumusunod na halimbawa, ang integrand ay halos pareho sa halimbawa 1, tanging ang antas ng x ay hindi dalawa, ngunit ang titik alpha, at ang gawain ay pag-aralan ang hindi wastong integral para sa convergence. Iyon ay, ang tanong ay nananatiling masagot: sa anong mga halaga ng alpha ang hindi wastong integral na ito ay nagtatagpo, at sa anong mga halaga ito nagkakaiba?

Halimbawa 2. Siyasatin ang convergence ng isang hindi wastong integral(ang mas mababang limitasyon sa pagsasama ay mas malaki kaysa sa zero).

Desisyon. Ipagpalagay muna iyon, pagkatapos

Sa resultang expression, pumasa kami sa limitasyon sa:

Madaling makita na ang limitasyon sa kanang bahagi ay umiiral at katumbas ng zero kapag , ibig sabihin, at hindi umiiral kapag , ibig sabihin.

Sa unang kaso, iyon ay, kapag . Kung , kung gayon at wala.

Ang konklusyon ng aming pag-aaral ay ang mga sumusunod: hindi wastong integral converges sa at diverges sa .

Paglalapat sa pinag-aralan na uri ng hindi wastong integral ang Newton-Leibniz formula , maaari nating makuha ang sumusunod na halos kaparehong formula:

.

Ito ang pangkalahatang formula ng Newton-Leibniz.

Halimbawa 3. Compute Improper Integral(kung ito ay nagtatagpo).

Ang limitasyon ng integral na ito ay umiiral:

Ang pangalawang integral, na siyang kabuuan na nagpapahayag ng orihinal na integral:

Ang limitasyon ng integral na ito ay umiiral din:

.

Nahanap namin ang kabuuan ng dalawang integral, na siyang halaga rin ng orihinal na hindi wastong integral na may dalawang walang katapusang limitasyon:

Mga hindi wastong integral ng pangalawang uri - mula sa walang hangganang mga pag-andar at ang kanilang tagpo

Hayaan ang function f(x) itinakda sa segment mula sa a dati b at walang limitasyon dito. Ipagpalagay na ang function ay napupunta sa infinity sa punto b , habang sa lahat ng iba pang mga punto ng segment ito ay tuloy-tuloy.

Kahulugan. Hindi wastong integral ng function f(x) sa segment mula sa a dati b ay tinatawag na limitasyon ng integral ng function na ito na may pinakamataas na limitasyon ng pagsasama c , kung kapag nagsusumikap c sa b ang pag-andar ay tumataas nang walang katiyakan, at sa punto x = b hindi tinukoy ang function, ibig sabihin.

.

Kung umiiral ang limitasyong ito, kung gayon ang hindi wastong integral ng pangalawang uri ay tinatawag na convergent, kung hindi man ay divergent.

Gamit ang formula ng Newton-Leibniz, nakukuha namin.

Mga tiyak na integral online sa site upang pagsama-samahin ang materyal na saklaw ng mga mag-aaral at mga mag-aaral. At sanayin ang iyong mga praktikal na kasanayan. Ang kumpletong solusyon ng mga tiyak na integral online para sa iyo sa ilang sandali ay makakatulong sa iyong matukoy ang lahat ng mga yugto ng proseso. Mga online na integral - online na tiyak na integral. Ilang mga online integral sa site para sa buong pagsasama-sama ng materyal na saklaw ng mga mag-aaral at mga mag-aaral at pagsasanay sa kanilang mga praktikal na kasanayan. Ang kumpletong solusyon ng mga tiyak na integral online para sa iyo sa ilang sandali ay makakatulong sa iyong matukoy ang lahat ng mga yugto ng proseso. Mga online na integral - online na tiyak na integral. Para sa amin, ang pagkuha ng isang tiyak na integral online ay tila hindi isang bagay na sobrang natural, na pinag-aralan ang paksang ito mula sa isang aklat ng mga kilalang may-akda. Maraming salamat sa kanila at ipinapahayag namin ang paggalang sa mga indibidwal na ito. Makakatulong ito upang matukoy ang tiyak na integral online na serbisyo para sa pagkalkula ng mga naturang problema sa isang sandali. Ipasok lamang ang tamang data at lahat ay magiging Maganda! Anumang tiyak na integral bilang solusyon sa problema ay magdaragdag sa literacy ng mga mag-aaral. Ito ang pangarap ng bawat sloth, at tayo ay walang exception, aminin natin ito nang tapat. Kung pinamamahalaan mo pa ring kalkulahin ang tiyak na integral online gamit ang solusyon nang libre, mangyaring isulat ang address ng website sa lahat ng gustong gumamit nito. Tulad ng sinasabi nila, magbahagi ng isang kapaki-pakinabang na link - at ang mga mababait na tao ay magpapasalamat sa iyo para sa regalo. Ito ay magiging lubhang kawili-wili upang pag-aralan ang isang problema kung saan ang isang tiyak na integral ay malulutas ng calculator sa sarili nitong, at hindi sa gastos ng pag-aaksaya ng iyong mahalagang oras. Kaya nga mga makina sila para ararohin ang mga tao. Gayunpaman, ang solusyon ng mga tiyak na integral online ay hindi para sa bawat site, at ito ay madaling suriin, ibig sabihin, ito ay sapat na upang kumuha ng isang kumplikadong halimbawa at subukang lutasin ito gamit ang bawat naturang serbisyo. Mararamdaman mo ang pagkakaiba sa sarili mong balat. Kadalasan, ang paghahanap ng isang tiyak na integral online nang walang anumang pagsisikap ay magiging mahirap at ang iyong sagot ay magiging katawa-tawa laban sa background ng pangkalahatang larawan ng resulta. Mas mainam na kunin muna ang kurso ng isang batang manlalaban. Anumang solusyon ng mga hindi wastong integral sa online ay binabawasan muna sa pagkalkula ng hindi tiyak, at pagkatapos, sa pamamagitan ng teorya ng mga limitasyon, upang kalkulahin, bilang panuntunan, ang mga one-sided na limitasyon mula sa mga expression na nakuha na may pinalit na mga hangganan A at B. Na isinasaalang-alang ang tiyak na integral online na may isang detalyadong solusyon na iyong ipinahiwatig, napagpasyahan namin na nagkamali ka sa ikalimang hakbang, lalo na kapag gumagamit ng formula ng pagbabago ng variable ng Chebyshev. Maging maingat sa iyong susunod na desisyon. Kung ang iyong online na calculator ay hindi makuha ang iyong tiyak na integral sa unang pagkakataon, pagkatapos ay una sa lahat ito ay nagkakahalaga ng pag-double check sa nakasulat na data sa naaangkop na mga form sa site. Siguraduhing maayos ang lahat at pumunta, Go-Go! Para sa bawat mag-aaral, ang balakid ay ang pagkalkula ng mga hindi wastong integral online kasama ang guro mismo, dahil isa itong pagsusulit, o isang colloquium, o isang pagsubok lamang sa isang pares. Sa sandaling ang ibinigay na hindi wastong integral online na calculator ay nasa iyong pagtatapon , pagkatapos ay agad na magmaneho sa ibinigay na function, palitan ang ibinigay na mga limitasyon sa pagsasama at mag-click sa pindutang Solve, pagkatapos nito ay magiging available sa iyo ang isang buong detalyadong sagot. At gayon pa man ito ay mabuti kapag mayroong isang kahanga-hangang site bilang isang site, dahil ito ay parehong libre at madaling gamitin, naglalaman din ito ng maraming mga seksyon. na ginagamit ng mga mag-aaral araw-araw, isa sa mga ito ay isang tiyak na integral online na may ganap na solusyon. Sa parehong seksyon, maaari mong kalkulahin ang hindi wastong integral online na may isang detalyadong solusyon para sa karagdagang aplikasyon ng sagot pareho sa instituto at sa gawaing pang-inhinyero. Mukhang hindi mahirap para sa lahat na matukoy ang isang tiyak na integral online, kung ang isang halimbawa ay malulutas nang maaga nang walang upper at lower bounds, iyon ay, hindi ang integral ng Leibniz, ngunit ang hindi tiyak na integral. Ngunit narito kami ay tiyak na hindi sumasang-ayon sa iyo, dahil sa unang tingin ay maaaring mukhang ganoon, ngunit mayroong isang makabuluhang pagkakaiba, paghiwalayin natin ang lahat. Ang solusyon ay nagbibigay ng tulad ng isang tiyak na integral hindi sa isang tahasang anyo, ngunit bilang isang resulta ng pagbabago ng expression sa isang limitasyon ng halaga. Sa madaling salita, dapat munang lutasin ng isa ang integral sa pagpapalit ng mga simbolikong halaga ng mga hangganan, at pagkatapos ay kalkulahin ang limitasyon alinman sa infinity o sa isang tiyak na punto. Mula dito, ang pagkalkula ng isang tiyak na integral online na may isang solusyon nang libre ay nangangahulugan ng walang iba kundi ang kumakatawan sa eksaktong solusyon gamit ang Newton-Leibniz formula. Kung isasaalang-alang namin ang aming tiyak na integral, tutulungan ka ng calculator na kalkulahin ito sa loob ng ilang segundo bago ang iyong mga mata. Ang ganitong pagmamadali ay kailangan ng lahat na gustong makayanan ang gawain sa lalong madaling panahon at mapalaya para sa mga personal na gawain. Hindi ka dapat maghanap ng mga site sa Internet na hihilingin sa iyo na magparehistro, pagkatapos ay maglagay muli ng pera sa balanse, at lahat para sa kapakanan ng ilang matalinong tao na naghahanda ng solusyon ng ilang mga integral na parang online. Tandaan na ang address na Math24 ay isang libreng serbisyo para sa paglutas ng maraming problema sa matematika, kabilang ang tutulungan ka naming makahanap ng isang tiyak na integral online, at upang matiyak ito, mangyaring suriin ang aming pahayag na may mga partikular na halimbawa. Ilagay ang integrand sa naaangkop na field, pagkatapos ay tukuyin ang alinman sa mga walang katapusang halaga ng limitasyon (sa kasong ito, ang solusyon ng mga hindi wastong integral ay kakalkulahin at makukuha online), o itakda ang iyong numerical o simbolikong mga hangganan at ang tiyak na online integral na may isang detalyadong solusyon ay ipapakita sa pahina pagkatapos ng pag-click sa pindutang "Solusyon ". Hindi ba ito totoo - ito ay napaka-simple, hindi nangangailangan ng anumang karagdagang mga aksyon mula sa iyo, nang walang bayad, na siyang pinakamahalagang bagay, at sa parehong oras ay epektibo. Magagamit mo mismo ang serbisyo upang ang tiyak na integral online na calculator ay magdadala sa iyo ng pinakamataas na benepisyo, at makakakuha ka ng komportableng estado nang hindi pinipigilan ang pagiging kumplikado ng lahat ng proseso ng pag-compute, hayaan kaming gawin ang lahat para sa iyo at ipakita ang buong kapangyarihan ng teknolohiya ng computer sa modernong mundo. Kung sumisid ka sa kagubatan ng pinaka kumplikadong mga formula at pag-aralan ang pagkalkula ng mga hindi wastong integral online sa iyong sarili, kung gayon ito ay kapuri-puri, at maaari mong kunin ang pagkakataong magsulat ng isang PhD thesis, ngunit bumalik tayo sa mga katotohanan ng buhay mag-aaral. . At sino ang isang mag-aaral? Una sa lahat, ito ay isang binata, masigla at masayahin, na gustong magkaroon ng oras upang makapagpahinga at gawin ang kanyang takdang-aralin! Samakatuwid, inalagaan namin ang mga mag-aaral na nagsisikap na makahanap ng hindi wastong integral online na calculator sa kalakhan ng pandaigdigang network, at narito ito para sa iyong pansin - ang site ay ang pinakakapaki-pakinabang na online solver para sa mga kabataan. Sa pamamagitan ng paraan, kahit na ang aming serbisyo ay ipinakita bilang isang katulong sa mga mag-aaral at mga mag-aaral, ito ay ganap na angkop para sa sinumang inhinyero, dahil maaari naming gawin ang anumang uri ng mga gawain at ang kanilang solusyon ay ipinakita sa isang propesyonal na format. Halimbawa, nag-aalok kami ng isang tiyak na integral online na may isang solusyon sa buong anyo sa mga yugto, iyon ay, ang bawat lohikal na bloke (subtask) ay itinalaga ng isang hiwalay na tala kasama ang lahat ng mga kalkulasyon sa kurso ng pangkalahatang proseso ng solusyon. Ito, siyempre, ay pinapasimple ang pang-unawa ng mga multi-stage na sequential na mga layout, at sa gayon ay ang bentahe ng proyekto ng site sa mga katulad na serbisyo para sa paghahanap ng isang hindi wastong integral online na may isang detalyadong solusyon.

PaksaMga hindi wastong integral

Sa paksang "Definite Integral", ang konsepto ng isang tiyak na integral ay isinasaalang-alang para sa kaso ng isang may hangganang pagitan.
at limitadong pag-andar
(tingnan ang Theorem 1 mula sa §3). I-generalize natin ngayon ang konseptong ito para sa mga kaso ng isang walang katapusang pagitan at isang walang hangganang function. Ang pangangailangan para sa gayong paglalahat ay ipinapakita, halimbawa, ng mga ganitong sitwasyon.

1. Kung, gamit ang formula para sa haba ng arko, subukang kalkulahin ang haba ng isang quarter na bilog
,
, pagkatapos ay dumating tayo sa integral ng walang hangganang function:

, saan
.

2. Hayaan ang masa ng katawan
gumagalaw sa pamamagitan ng pagkawalang-kilos sa isang daluyan na may puwersa ng pagkaladkad
, saan
ay ang bilis ng katawan. Gamit ang pangalawang batas ni Newton (
, saan
acceleration), nakuha namin ang equation:
, saan
. Madaling ipakita na ang solusyon sa equation na ito (differential!) ay ang function
Kung kailangan nating kalkulahin ang landas na nilakbay ng katawan sa isang kumpletong paghinto, i.e. hanggang sa sandaling
, pagkatapos ay dumating tayo sa integral sa isang walang katapusang pagitan:

§isa. Mga hindi wastong integral ng 1st kind

I Kahulugan

Hayaan ang function
ay tinukoy at tuloy-tuloy sa pagitan
. Pagkatapos ay para sa anumang
ito ay integrable sa pagitan
, ibig sabihin, mayroong isang integral
.

Kahulugan 1 . Ang may hangganan o walang katapusang limitasyon ng integral na ito sa
ay tinatawag na hindi wastong integral ng unang uri ng function
ayon sa pagitan
at sinasagisag
. Bukod dito, kung ang ipinahiwatig na limitasyon ay may hangganan, kung gayon ang hindi wastong integral ay tinatawag na convergent, kung hindi man (
o wala) - divergent.

Kaya ayon sa kahulugan

Mga halimbawa

2.
.

3.
- ay hindi umiiral.

Ang hindi wastong integral mula sa halimbawa 1 ay nagtatagpo, sa mga halimbawa 2 at 3 ang mga integral ay naghihiwalay.

II Newton-Leibniz formula para sa isang hindi wastong integral ng unang uri

Hayaan
- ilang antiderivative para sa function
(umiiral sa
, dahil
- tuloy-tuloy). Pagkatapos

Kaya't malinaw na ang convergence ng hindi wastong integral (1) ay katumbas ng pagkakaroon ng finite limit.
. Kung tinukoy ang limitasyong ito
, pagkatapos ay maaari nating isulat para sa integral (1) ang formula ng Newton-Leibniz:

, saan
.

Mga halimbawa .

5.
.

6. Mas kumplikadong halimbawa:
. Una, hanapin natin ang antiderivative:

Ngayon ay mahahanap natin ang integral , Kung ganoon

:

III Ari-arian

Ipakita natin ang isang bilang ng mga katangian ng hindi wastong integral (1), na sumusunod mula sa mga pangkalahatang katangian ng mga limitasyon at ang tiyak na integral:

IV Iba pang mga kahulugan

Kahulugan 2 . Kung ang
tuloy-tuloy sa
, pagkatapos

.

Kahulugan 3 . Kung ang
tuloy-tuloy sa
, pagkatapos ay sa pamamagitan ng kahulugan

(- di-makatwiran)

bukod pa rito, ang hindi wastong integral sa kaliwang bahagi ay nagtatagpo lamang kung ang parehong mga integral sa kanang bahagi ay nagtatagpo.

Para sa mga integral na ito, pati na rin para sa integral (1), maaaring isulat ng isa ang kaukulang mga formula ng Newton-Leibniz.

Halimbawa 7 .

§2. Pamantayan ng convergence para sa isang hindi wastong integral ng unang uri

Kadalasan, sa pamamagitan ng kahulugan, imposibleng kalkulahin ang hindi wastong integral, samakatuwid, ang tinatayang pagkakapantay-pantay ay ginagamit

(para sa malaki ).

Gayunpaman, ang kaugnayang ito ay may katuturan lamang para sa mga convergent integral. Kinakailangang magkaroon ng mga pamamaraan para sa pagpapaliwanag ng pag-uugali ng integral bypassing ang kahulugan.

ako Integrals ng Positibong Function

Hayaan
sa
. Pagkatapos ay ang tiyak na integral
bilang isang function ng itaas na limitasyon mayroong isang pagtaas ng function (ito ay sumusunod mula sa mga pangkalahatang katangian ng tiyak na integral).

Teorama 1 . Ang isang hindi wastong integral ng unang uri ng isang di-negatibong function ay nagtatagpo kung at kung ang function lamang
nananatiling limitado bilang .

Ang theorem na ito ay bunga ng mga pangkalahatang katangian ng monotone functions. Ang teorama ay halos walang praktikal na kahulugan, ngunit pinapayagan nito ang isa na makuha ang tinatawag na. mga palatandaan ng convergence.

Teorama 2 (1st sign ng paghahambing). Hayaan ang mga function
at
tuloy-tuloy sa
at bigyang-kasiyahan ang hindi pagkakapantay-pantay
. Pagkatapos:

1) kung ang integral
nagtatagpo, pagkatapos
nagtatagpo;

2) kung ang integral
diverges, pagkatapos
diverges.

Patunay . Ipahiwatig:
at
. Bilang
, pagkatapos

. Hayaan ang integral
nagtatagpo, pagkatapos (sa bisa ng Theorem 1) ang function
- limitado. Ngunit pagkatapos at
ay may hangganan, na nangangahulugan na ang integral
nagtatagpo rin. Ang ikalawang bahagi ng teorama ay napatunayang katulad.

Ang sign na ito ay hindi naaangkop sa kaso ng divergence ng integral ng
o ang tagpo ng integral ng
. Ang pagkukulang na ito ay wala sa 2nd sign ng paghahambing.

Teorama 3 (ika-2 tanda ng paghahambing). Hayaan ang mga function
at
tuloy-tuloy at di-negatibo sa
. Tapos kung
sa
, pagkatapos ay ang mga hindi wastong integral
at
magkasabay o mag-diverge.

Patunay . Mula sa kondisyon ng theorem, nakukuha natin ang sumusunod na hanay ng mga katumbas na pahayag:

, ,

.

Hayaan, halimbawa,
. Pagkatapos:

Inilapat namin ang Theorem 2 at property 1) mula sa §1 at makuha ang assertion ng Theorem 3.

Ang exponential function ay gumaganap bilang isang reference function kung saan ang isang ito ay inihambing
,
. Inaanyayahan namin ang mga mag-aaral na patunayan sa kanilang sarili na ang integral

nagtatagpo sa
at diverges sa
.

Mga halimbawa . 1.
.

Isaalang-alang ang integrand sa pagitan
:

,
.

integral
nagtatagpo, dahil
. Ayon sa pangalawang pamantayan ng paghahambing, ang integral ay nagtatagpo rin
, at dahil sa ari-arian 2) mula sa §1 ang orihinal na integral ay nagtatagpo rin.

2.
.

Bilang
, pagkatapos ay umiiral
tulad na sa

. Para sa mga naturang variable na halaga:

Ito ay kilala na ang logarithmic function ay lumalaki nang mas mabagal kaysa sa power function, i.e.

,

at samakatuwid, simula sa ilang halaga ng variable, ang fraction na ito ay mas mababa sa 1. Samakatuwid

.

integral nagtatagpo bilang isang sanggunian. Sa bisa ng 1st criterion ng paghahambing ay nagtatagpo at
. Sa paglalapat ng 2nd criterion, nakuha natin na ang integral
nagtatagpo. Muli, ang property 2) mula sa §1 ay nagpapatunay ng convergence ng orihinal na integral.

Tiyak na integral

\[ I=\int_a^bf(x)dx \]

ay binuo sa ilalim ng pagpapalagay na ang mga numerong $a,\,b$ ay may hangganan at ang $f(x)$ ay isang tuluy-tuloy na function. Kung ang isa sa mga pagpapalagay na ito ay nilabag, ang isa ay nagsasalita ng mga hindi wastong integral.

10.1 Mga hindi wastong integral ng unang uri

Lumilitaw ang hindi wastong integral ng unang uri kapag ang kahit isa sa mga numerong $a,\,b$ ay walang katapusan.

10.1.1 Kahulugan at mga pangunahing katangian

Isaalang-alang muna natin ang sitwasyon kapag ang mababang limitasyon ng pagsasama ay may hangganan at ang itaas na limitasyon ay katumbas ng $+\infty$; ang iba pang mga opsyon ay tatalakayin sa ibang pagkakataon. Para sa $f(x)$ tuloy-tuloy para sa lahat ng $x$ na interes sa amin, isaalang-alang ang integral

\begin(equation) I=\int _a^(+\infty)f(x)dx. \quad(19) \label(inf1) \end(equation)

Una sa lahat, ito ay kinakailangan upang maitaguyod ang kahulugan ng expression na ito. Upang gawin ito, ipinakilala namin ang function

\[ I(N)=\int _a^(N)f(x)dx \]

at isaalang-alang ang pag-uugali nito bilang $N\rightarrow +\infty$.

Kahulugan. Magkaroon ng limitasyon

\[ A=\lim_(N \rightarrow +\infty)I(N)=\lim_(N \rightarrow +\infty)\int _a^(N)f(x)dx. \]

Pagkatapos ang hindi tamang integral ng 1st kind (19) ay sinasabing nagtatagpo at ang halagang $A$ ay itinalaga dito, ang function mismo ay tinatawag na integrable sa pagitan na $\left[ a, \, +\infty \right)$ . Kung ang ipinahiwatig na limitasyon ay hindi umiiral o ito ay katumbas ng $\pm \infty$, kung gayon ang integral (19) ay sinasabing diverge.

Isaalang-alang ang integral

\[ I=\int _0^(+\infty) \frac(dx)(1+x^2). \]

\[ I(N)=\int _0^(N) \frac(dx)(1+x^2). \]

Sa kasong ito, ang antiderivative ng integrand ay kilala, kaya na

\[ I(N)=\int _0^(N) \frac(dx)(1+x^2)=arctgx|_0^(N)=arctgN. \]

Alam na ang $arctg N \rightarrow \pi /2 $ para sa $N \rightarrow +\infty$. Kaya, ang $I(N)$ ay may hangganan, ang aming hindi wastong integral ay nagtatagpo at katumbas ng $\pi /2$.

Ang converging improper integrals ng 1st kind ay mayroong lahat ng standard properties ng ordinary definite integrals.

1. Kung ang $f(x)$, $g(x)$ ay maisasama sa pagitan na $\left[ a, \, +\infty \right)$, kung gayon ang kanilang kabuuan ay $f(x)+g(x) Ang $ ay maisasama rin sa agwat na ito, at \[ \int _a^(+\infty)\left(f(x)+g(x)\right)dx=\int _a^(+\infty)f(x) )dx+\int _a^(+\infty)g(x)dx. \] 2. Kung ang $f(x)$ ay maisasama sa pagitan na $\left[ a, \, +\infty \right)$, kung gayon para sa anumang pare-parehong $C$ ang function na $C\cdot f(x)$ ay maisasama rin sa interval na ito, at \[ \int _a^(+\infty)C\cdot f(x)dx=C \cdot \int _a^(+\infty)f(x)dx. \] 3. Kung ang $f(x)$ ay maisasama sa pagitan na $\left[ a, \, +\infty \right)$ at $f(x)>0$ sa interval na ito, kung gayon ang \[ \int _a ^ (+\infty) f(x)dx\,>\,0. \] 4. Kung ang $f(x)$ ay maisasama sa pagitan na $\left[ a, \, +\infty \right)$, kung gayon para sa alinmang $b>a$ ang integral \[ \int _b^(+ \infty) f(x)dx \] ay nagtatagpo, at \[ \int _a^(+\infty)f(x)dx=\int _a^(b) f(x)dx+\int _b^(+\infty ) f( x)dx \] (additivity ng integral sa pagitan).

Ang mga pormula para sa pagbabago ng variable, pagsasama ng mga bahagi, atbp., ay wasto din. (na may natural na reserbasyon).

Isaalang-alang ang integral

\begin(equation) I=\int _1^(+\infty)\frac(1)(x^k)\,dx. \quad (20) \label(mod) \end(equation)

Ipinakilala namin ang pag-andar

\[ I(N)=\int _1^(N)\frac(1)(x^k)\,dx. \]

Sa kasong ito, ang antiderivative ay kilala, kaya na

\[ I(N)=\int _1^(N)\frac(1)(x^k)\,dx\,=\frac(x^(1-k))(1-k)|_1^N = \frac(N^(1-k))(1-k)-\frac(1)(1-k) \]

para sa $k \neq 1$,

\[ I(N)=\int _1^(N)\frac(1)(x)\,dx\,=lnx|_1^N= lnN \]

para sa $k = 1$. Isinasaalang-alang ang pag-uugali para sa $N \rightarrow +\infty$, kami ay dumating sa konklusyon na ang integral (20) ay nagtatagpo para sa $k>1$, at diverges para sa $k \leq 1$.

Isaalang-alang natin ngayon ang kaso kapag ang mas mababang limitasyon ng pagsasama ay katumbas ng $-\infty$ at ang nasa itaas ay may hangganan, i.e. isaalang-alang ang mga integral

\[ I=\int _(-\infty)^af(x)dx. \]

Gayunpaman, ang variant na ito ay maaaring bawasan sa nauna kung gagawin natin ang pagbabago ng mga variable $x=-s$ at pagkatapos ay palitan ang mga limitasyon ng pagsasama, upang

\[ I=\int _(-a)^(+\infty)g(s)ds, \]

$g(s)=f(-s)$. Isaalang-alang natin ngayon ang kaso kapag mayroong dalawang walang katapusang limitasyon, i.e. integral

\begin(equation) I=\int _(-\infty)^(+\infty)f(x)dx, \quad (21) \label(intr) \end(equation)

kung saan ang $f(x)$ ay tuloy-tuloy para sa lahat ng $x \in \mathbb(R)$. Hatiin natin ang pagitan sa dalawang bahagi: kunin ang $c \in \mathbb(R)$, at isaalang-alang ang dalawang integral,

\[ I_1=\int _(-\infty)^(c)f(x)dx, \quad I_2=\int _(c)^(+\infty)f(x)dx. \]

Kahulugan. Kung ang parehong integral na $I_1$, $I_2$ ay nagtatagpo, kung gayon ang integral (21) ay tinatawag na convergent, ito ay itinalaga ng halaga na $I=I_1+I_2$ (ayon sa interval additivity). Kung hindi bababa sa isa sa mga integral na $I_1$, $I_2$ ay nag-iiba, ang integral (21) ay sinasabing divergent.

Mapapatunayan na ang convergence ng integral (21) ay hindi nakasalalay sa pagpili ng puntong $c$.

Ang mga hindi tamang integral ng unang uri na may mga pagitan ng pagsasama $\left(-\infty, \, c \right]$ o $(-\infty, \, +\infty)$ ay mayroon ding lahat ng karaniwang katangian ng mga tiyak na integral (na may isang kaukulang repormulasyon na isinasaalang-alang ang pagpipiliang pagitan ng pagsasama).

10.1.2 Pamantayan para sa convergence ng mga hindi tamang integral ng unang uri

Theorem (ang unang tanda ng paghahambing). Hayaang maging tuluy-tuloy ang $f(x)$, $g(x)$ para sa $x>a$, at hayaang $0 a$. Pagkatapos

1. Kung ang integral na \[ \int _a^(+\infty)g(x)dx \] ay nagtatagpo, ang integral na \[ \int _a^(+\infty)f(x)dx ay nagtatagpo rin. \] 2. Kung ang integral na \[ \int _a^(+\infty)f(x)dx \] ay nag-iiba, ang integral na \[ \int _a^(+\infty)g(x)dx ay naghihiwalay din. \]

Theorem (ang pangalawang tanda ng paghahambing). Hayaang maging tuluy-tuloy at positibo ang $f(x)$, $g(x)$ para sa $x>a$, at magkaroon ng hangganang limitasyon

\[ \theta = \lim_(x \rightarrow +\infty) \frac(f(x))(g(x)), \quad \theta \neq 0, \, +\infty. \]

Pagkatapos ay ang mga integral

\[ \int _a^(+\infty)f(x)dx, \quad \int _a^(+\infty)g(x)dx \]

magkasabay o mag-diverge.

Isaalang-alang ang integral

\[ I=\int _1^(+\infty)\frac(1)(x+\sin x)\,dx. \]

Ang integrand ay isang positibong function sa integration interval. Dagdag pa, para sa $x \rightarrow +\infty$ mayroon kaming:

Ang $\sin x$ ay isang "maliit" na pagwawasto sa denominator. Mas tiyak, kung kukuha tayo ng $f(x)=1/(x+\sin x)$, \, $g(x)=1/x$, kung gayon

\[ \lim _(x \rightarrow +\infty)\frac(f(x))(g(x))=\lim _(x \rightarrow +\infty)\frac(x)(x+\sin x) =1. \]

Sa paglalapat ng pangalawang criterion ng paghahambing, nagkakaroon tayo ng konklusyon na ang ating integral ay nagtatagpo o nag-iiba nang sabay-sabay sa integral.

\[ \int _1^(+\infty)\frac(1)(x)\,dx . \]

Gaya ng ipinakita sa nakaraang halimbawa, ang integral na ito ay nag-iiba ($k=1$). Samakatuwid, ang orihinal na integral ay nagkakaiba.

Kalkulahin ang hindi wastong integral o itatag ang convergence nito (divergence).

1. \[ \int _(0)^(+\infty)e^(-ax)\,dx. \] 2. \[ \int _(0)^(+\infty)xe^(-x^2)\,dx. \] 3. \[ \int _(-\infty)^(+\infty)\frac(2xdx)(x^2+1). \] 4. \[ \int _(0)^(+\infty)\frac(xdx)((x+2)^3). \] 5. \[ \int _(-\infty)^(+\infty)\frac(dx)(x^2+2x+2). \] 6. \[ \int _(1)^(+\infty)\frac(lnx)(x^2)\,dx. \] 7. \[ \int _(1)^(+\infty)\frac(dx)((1+x)\sqrt(x)). \] 8. \[ \int _(0)^(+\infty)e^(-\sqrt(x))\,dx. \] 9. \[ \int _(0)^(+\infty)e^(-ax)\cos x\,dx. \] 10. \[ \int _(0)^(+\infty)\frac(xdx)(x^3+1). \]