Mga produkto ng mga pangunahing numero. mga pangunahing numero

Ang artikulo ay tumatalakay sa mga konsepto ng prime at composite na mga numero. Ang mga kahulugan ng naturang mga numero na may mga halimbawa ay ibinigay. Nagbibigay kami ng isang patunay na ang bilang ng mga primes ay walang limitasyon at gumawa ng isang entry sa talahanayan ng mga primes gamit ang paraan ng Eratosthenes. Ang mga patunay ay ibibigay kung ang isang numero ay prime o composite.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Prime at Composite Numbers - Mga Kahulugan at Halimbawa

Ang mga prime at composite na numero ay inuri bilang positive integer. Dapat silang higit sa isa. Ang mga divisors ay nahahati din sa simple at compound. Upang maunawaan ang konsepto ng pinagsama-samang mga numero, kailangan munang pag-aralan ang mga konsepto ng divisors at multiples.

Kahulugan 1

Ang mga pangunahing numero ay mga integer na mas malaki sa isa at may dalawang positibong divisors, iyon ay, ang kanilang mga sarili at 1.

Kahulugan 2

Ang mga composite na numero ay mga integer na mas malaki sa isa at may hindi bababa sa tatlong positibong divisors.

Ang isa ay hindi prime o composite na numero. Mayroon lamang itong positibong divisor, kaya iba ito sa lahat ng iba pang positibong numero. Ang lahat ng mga positibong integer ay tinatawag na natural, ibig sabihin, ginagamit sa pagbibilang.

Kahulugan 3

mga pangunahing numero ay mga natural na numero na mayroon lamang dalawang positibong divisors.

Kahulugan 4

Composite number ay isang natural na numero na mayroong higit sa dalawang positibong divisors.

Ang anumang numerong mas malaki sa 1 ay prime o composite. Mula sa pag-aari ng divisibility, mayroon tayong 1 na iyon at ang numero a ay palaging magiging mga divisors para sa anumang numero a, iyon ay, ito ay mahahati nang mag-isa at ng 1. Ibinibigay namin ang kahulugan ng integer.

Kahulugan 5

Ang mga natural na numero na hindi prime ay tinatawag na composite numbers.

Mga pangunahing numero: 2, 3, 11, 17, 131, 523. Sila ay nahahati lamang sa kanilang sarili at sa pamamagitan ng 1. Mga pinagsama-samang numero: 6, 63, 121, 6697. Iyon ay, ang numero 6 ay maaaring mabulok sa 2 at 3, at 63 sa 1, 3, 7, 9, 21, 63, at 121 sa 11, 11, iyon ay, ang mga divisors nito ay magiging 1, 11, 121. Ang bilang na 6697 ay mabubulok sa 37 at 181. Tandaan na ang mga konsepto ng prime numbers at relatibong prime numbers ay magkaibang konsepto.

Upang gawing mas madaling gamitin ang mga prime number, kailangan mong gumamit ng table:

Ang isang talahanayan para sa lahat ng umiiral na natural na mga numero ay hindi makatotohanan, dahil mayroong isang walang katapusang bilang ng mga ito. Kapag ang mga numero ay umabot sa laki ng 10000 o 1000000000, dapat mong isipin ang tungkol sa paggamit ng salaan ng Eratosthenes.

Isaalang-alang ang isang teorama na nagpapaliwanag sa huling pahayag.

Teorama 1

Ang pinakamaliit na positibong divisor ng isang natural na bilang na higit sa 1 maliban sa 1 ay isang prime number.

Patunay 1

Ipagpalagay na ang a ay isang natural na bilang na mas malaki sa 1, ang b ay ang pinakamaliit na hindi isang divisor ng a. Dapat nating patunayan na ang b ay isang prime number gamit ang contradiction method.

Sabihin nating ang b ay isang composite number. Mula dito mayroon kaming na mayroong isang divisor para sa b , na iba sa 1 pati na rin sa b . Ang nasabing divisor ay tinutukoy bilang b 1 . Kinakailangan ang kundisyong 1< b 1 < b ay nakumpleto.

Ito ay makikita mula sa kondisyon na ang a ay nahahati ng b, ang b ay nahahati ng b 1, na nangangahulugan na ang konsepto ng divisibility ay ipinahayag sa ganitong paraan: a = b q at b = b 1 q 1 , kung saan a = b 1 (q 1 q) , kung saan ang q at q 1 ay mga integer. Ayon sa tuntunin ng multiplikasyon ng mga integer, mayroon kaming ang produkto ng mga integer ay isang integer na may pagkakapantay-pantay ng anyo a = b 1 · (q 1 · q) . Makikita na b 1 ay ang divisor ng a. Hindi pagkakapantay-pantay 1< b 1 < b hindi mga tugma, dahil nakuha namin na ang b ay ang pinakamaliit na positibong hindi-1 na divisor ng a.

Teorama 2

Mayroong walang katapusang maraming prime number.

Patunay 2

Ipagpalagay na kukuha tayo ng isang tiyak na bilang ng mga natural na numero n at ipahiwatig bilang p 1 , p 2 , … , p n . Isaalang-alang natin ang isang variant ng paghahanap ng prime number na iba sa mga ipinahiwatig.

Isaalang-alang ang bilang na p, na katumbas ng p 1 , p 2 , … , p n + 1 . Hindi ito katumbas ng bawat isa sa mga numerong tumutugma sa mga prime ng anyong p 1 , p 2 , … , p n . Ang numerong p ay prime. Pagkatapos ang teorama ay itinuturing na napatunayan. Kung ito ay pinagsama-sama, pagkatapos ay kailangan nating kunin ang notasyon p n + 1 at ipakita ang divisor mismatch sa alinman sa p 1 , p 2 , … , p n .

Kung hindi ito ganoon, kung gayon, batay sa divisibility property ng produkto p 1 , p 2 , … , p n , makuha namin na ito ay mahahati sa pamamagitan ng p n + 1 . Tandaan na ang expression na p n + 1 ang bilang na p ay hinati ay katumbas ng kabuuan p 1 , p 2 , … , p n + 1 . Nakukuha namin ang expression na p n + 1 ang pangalawang termino ng kabuuan na ito, na katumbas ng 1, ay dapat hatiin, ngunit ito ay imposible.

Makikita na ang anumang prime number ay matatagpuan sa alinmang bilang ng ibinigay na primes. Ito ay sumusunod na mayroong walang katapusang maraming prime number.

Dahil maraming prime number, ang mga talahanayan ay limitado sa mga numerong 100, 1000, 10000 at iba pa.

Kapag nag-compile ng isang talahanayan ng mga pangunahing numero, dapat isaalang-alang ng isa ang katotohanan na ang naturang gawain ay nangangailangan ng isang sunud-sunod na pagsusuri ng mga numero, simula 2 hanggang 100. Kung walang divisor, ito ay naitala sa talahanayan; kung ito ay pinagsama-sama, kung gayon hindi ito ipinasok sa talahanayan.

Isaalang-alang natin ang hakbang-hakbang.

Kung magsisimula ka sa numero 2, pagkatapos ay mayroon lamang itong 2 divisors: 2 at 1, na nangangahulugan na maaari itong maipasok sa talahanayan. Gayundin sa numero 3. Ang numero 4 ay pinagsama, dapat itong mabulok sa 2 at 2. Ang numero 5 ay prime, na nangangahulugang maaari itong ayusin sa talahanayan. Gawin ito hanggang sa numerong 100.

Ang pamamaraang ito ay hindi maginhawa at tumatagal ng oras. Maaari kang gumawa ng isang mesa, ngunit kakailanganin mong gumastos ng maraming oras. Kinakailangang gumamit ng pamantayan sa divisibility, na magpapabilis sa proseso ng paghahanap ng mga divisors.

Ang pamamaraan gamit ang salaan ng Eratosthenes ay itinuturing na pinaka maginhawa. Tingnan natin ang mga talahanayan sa ibaba. Upang magsimula, ang mga numero 2, 3, 4, ..., 50 ay nakasulat.

Ngayon ay kailangan mong i-cross out ang lahat ng mga numero na multiple ng 2. Gumawa ng sunud-sunod na strikethrough. Kumuha kami ng isang talahanayan ng form:

Lumipat tayo sa pagtawid sa mga numero na multiple ng 5. Nakukuha namin:

Pinuputol namin ang mga numero na multiple ng 7, 11. Sa wakas kamukha ng mesa

Dumaan tayo sa pagbabalangkas ng teorama.

Teorama 3

Ang pinakamaliit na positive at non-1 divisor ng base number a ay hindi lalampas sa a , kung saan ang a ay ang arithmetic root ng ibinigay na numero.

Patunay 3

Kinakailangang tukuyin ang b bilang ang pinakamaliit na divisor ng isang composite number a. Mayroong isang integer q , kung saan a = b · q , at mayroon kami na b ≤ q . Isang hindi pagkakapantay-pantay ng anyo b > q dahil nilabag ang kundisyon. Ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay b ≤ q ay dapat na i-multiply sa anumang positibong numero b na hindi katumbas ng 1 . Nakukuha natin na b b ≤ b q , kung saan b 2 ≤ a at b ≤ a .

Makikita mula sa napatunayang teorama na ang pagtanggal ng mga numero sa talahanayan ay humahantong sa katotohanan na kinakailangang magsimula sa isang numero na katumbas ng b 2 at natutugunan ang hindi pagkakapantay-pantay b 2 ≤ a . Ibig sabihin, kung tatawid mo ang mga numerong multiple ng 2, magsisimula ang proseso sa 4, at ang mga multiple ng 3 ay magsisimula sa 9, at hanggang 100.

Ang pagsasama-sama ng naturang talahanayan gamit ang Eratosthenes' theorem ay nagsasabi na kapag ang lahat ng pinagsama-samang mga numero ay na-cross out, mananatili ang mga prime na hindi lalampas sa n. Sa halimbawa kung saan n = 50 , mayroon tayong n = 50 . Mula dito ay nakuha namin na ang salaan ng Eratosthenes ay nagsasala ng lahat ng pinagsama-samang mga numero na hindi mas malaki sa halaga kaysa sa halaga ng ugat ng 50. Ang paghahanap para sa mga numero ay ginagawa sa pamamagitan ng pagtawid.

Bago ang paglutas, kinakailangan upang malaman kung ang numero ay prime o composite. Kadalasang ginagamit ang mga pamantayan sa divisibility. Tingnan natin ito sa halimbawa sa ibaba.

Halimbawa 1

Patunayan na ang 898989898989898989 ay isang composite number.

Desisyon

Ang kabuuan ng mga digit ng ibinigay na numero ay 9 8 + 9 9 = 9 17 . Kaya't ang bilang na 9 17 ay nahahati sa 9, batay sa tanda ng divisibility ng 9. Ito ay sumusunod na ito ay composite.

Ang gayong mga palatandaan ay hindi makapagpapatunay sa kalakasan ng isang numero. Kung kailangan ang pag-verify, dapat gawin ang iba pang mga hakbang. Ang pinaka-angkop na paraan ay ang pagbilang ng mga numero. Sa panahon ng proseso, makikita ang mga prime at composite na numero. Iyon ay, ang mga numero sa halaga ay hindi dapat lumampas sa isang . Iyon ay, ang bilang a ay dapat na mabulok sa mga pangunahing kadahilanan. kung ito ay totoo, kung gayon ang numero a ay maituturing na prime.

Halimbawa 2

Tukuyin ang composite o prime number na 11723.

Desisyon

Ngayon ay kailangan mong hanapin ang lahat ng mga divisors para sa numerong 11723. Kailangang suriin ang 11723 .

Mula dito makikita natin na 11723< 200 , то 200 2 = 40 000 , at 11 723< 40 000 . Получаем, что делители для 11 723 меньше числа 200 .

Para sa mas tumpak na pagtatantya ng numerong 11723, kinakailangang isulat ang expression na 108 2 = 11 664, at 109 2 = 11 881 , pagkatapos 108 2 < 11 723 < 109 2 . Ito ay sumusunod mula dito na 11723< 109 . Видно, что любое число, которое меньше 109 считается делителем для заданного числа.

Kapag nabubulok, nakukuha natin na 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 , 59 , 61 , 7 , 6 , 7 , 6 Ang 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 ay pawang mga prime number. Ang buong prosesong ito ay maaaring ilarawan bilang isang dibisyon sa pamamagitan ng isang hanay. Ibig sabihin, hatiin ang 11723 sa 19. Ang numero 19 ay isa sa mga kadahilanan nito, dahil nakakakuha tayo ng dibisyon nang walang nalalabi. Ilarawan natin ang paghahati sa pamamagitan ng isang hanay:

Kasunod nito na ang 11723 ay isang pinagsama-samang numero, dahil bilang karagdagan sa sarili nito at 1 mayroon itong divisor 19 .

Sagot: Ang 11723 ay isang composite number.

Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Listahan ng mga divisors. Sa pamamagitan ng kahulugan, ang numero n ay prime lamang kung ito ay hindi pantay na mahahati ng 2 at anumang integer maliban sa 1 at mismo. Ang formula sa itaas ay nag-aalis ng mga hindi kinakailangang hakbang at nakakatipid ng oras: halimbawa, pagkatapos suriin kung ang isang numero ay nahahati sa 3, hindi na kailangang suriin kung ito ay nahahati ng 9.

Ang floor(x) function ay iniikot sa x sa pinakamalapit na integer na mas mababa sa o katumbas ng x.

Alamin ang tungkol sa modular arithmetic. Ang operasyong "x mod y" (mod ay maikli para sa salitang Latin na "modulo", ibig sabihin ay "module") ay nangangahulugang "hatiin ang x sa y at hanapin ang natitira". Sa madaling salita, sa modular arithmetic, sa pag-abot sa isang tiyak na halaga, na tinatawag modyul, ang mga numero ay "bumalik" sa zero. Halimbawa, ang orasan ay sumusukat ng oras sa modulus 12: nagpapakita ito ng 10, 11, at 12 o'clock at pagkatapos ay babalik sa 1.

Maraming mga calculator ang may mod key. Ang dulo ng seksyong ito ay nagpapakita kung paano manu-manong kalkulahin ang function na ito para sa malalaking numero.

Alamin ang tungkol sa mga pitfalls ng Fermat's Little Theorem. Ang lahat ng mga numero kung saan ang mga kundisyon ng pagsubok ay hindi natutugunan ay pinagsama-sama, ngunit ang natitirang mga numero ay lamang malamang ay itinuturing na simple. Kung gusto mong maiwasan ang mga maling resulta, hanapin n sa listahan ng "Mga numero ng Carmichael" (mga pinagsama-samang numero na nakakatugon sa pagsusulit na ito) at "mga pseudo-prime na numero ng Fermat" (natutugunan ng mga numerong ito ang mga kundisyon ng pagsubok para lamang sa ilang mga halaga a).

Kung maginhawa, gamitin ang Miller-Rabin test. Kahit na ang pamamaraang ito ay medyo mahirap para sa mga manu-manong kalkulasyon, madalas itong ginagamit sa mga programa sa computer. Nagbibigay ito ng katanggap-tanggap na bilis at nagbibigay ng mas kaunting mga error kaysa sa pamamaraan ni Fermat. Ang isang pinagsama-samang numero ay hindi kukunin bilang isang pangunahing numero kung ang mga pagkalkula ay ginawa para sa higit sa ¼ mga halaga a. Kung random kang pumili ng iba't ibang mga halaga a at para sa kanilang lahat ang pagsubok ay magbibigay ng isang positibong resulta, maaari naming ipagpalagay na may isang medyo mataas na antas ng kumpiyansa na n ay isang prime number.

Para sa malalaking numero, gumamit ng modular arithmetic. Kung wala kang madaling gamiting mod calculator, o kung hindi idinisenyo ang iyong calculator para pangasiwaan ang mga ganoong kalaking numero, gamitin ang mga power properties at modular arithmetic para mapadali ang iyong mga kalkulasyon. Nasa ibaba ang isang halimbawa para sa 3 50 (\displaystyle 3^(50)) mod 50:

Isulat muli ang expression sa mas madaling paraan: mod 50. Kapag manu-mano ang pagkalkula, maaaring kailanganin ang karagdagang pagpapasimple.
(3 25 ∗ 3 25) (\displaystyle (3^(25)*3^(25))) mod 50 = mod 50 mod 50) mod 50. Dito namin isinasaalang-alang ang pag-aari ng modular multiplication.
3 25 (\displaystyle 3^(25)) mod 50 = 43.
(3 25 (\displaystyle (3^(25))) mod 50 ∗ 3 25 (\displaystyle *3^(25)) mod 50) mod 50 = (43 ∗ 43) (\displaystyle (43*43)) mod 50.
= 1849 (\displaystyle =1849) mod 50.
= 49 (\displaystyle=49).

Pagsasalin

Ang mga katangian ng prime numbers ay unang pinag-aralan ng mga mathematician ng sinaunang Greece. Ang mga mathematician ng Pythagorean school (500 - 300 BC) ay pangunahing interesado sa mystical at numerological na katangian ng mga prime number. Sila ang unang nakaisip ng mga ideya tungkol sa perpekto at magiliw na mga numero.

Ang isang perpektong numero ay may sariling mga divisors na katumbas ng sarili nito. Halimbawa, ang mga wastong divisors ng numero 6 ay: 1, 2 at 3. 1 + 2 + 3 = 6. Ang mga divisors ng number 28 ay 1, 2, 4, 7 at 14. Bukod dito, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Ang mga numero ay tinatawag na friendly kung ang kabuuan ng mga wastong divisors ng isang numero ay katumbas ng isa pa, at vice versa - halimbawa, 220 at 284. Masasabi nating ang perpektong numero ay palakaibigan sa sarili nito.

Sa oras ng paglitaw ng gawain ng "Mga Simula" ni Euclid noong 300 BC. Napatunayan na ang ilang mahahalagang katotohanan tungkol sa mga prime number. Sa Book IX of the Elements, pinatunayan ni Euclid na mayroong walang katapusang bilang ng mga prime number. Sa pamamagitan ng paraan, ito ay isa sa mga unang halimbawa ng paggamit ng patunay sa pamamagitan ng kontradiksyon. Pinatunayan din niya ang Basic Theorem of Arithmetic - bawat integer ay maaaring katawanin sa isang natatanging paraan bilang isang produkto ng mga prime number.

Ipinakita rin niya na kung ang numero 2 n -1 ay prime, kung gayon ang numero 2 n-1 * (2 n -1) ay magiging perpekto. Ang isa pang mathematician, si Euler, noong 1747 ay naipakita na ang lahat ng kahit na perpektong mga numero ay maaaring isulat sa form na ito. Hanggang ngayon, hindi alam kung may mga kakaibang perpektong numero.

Noong taong 200 B.C. Ang Greek Eratosthenes ay gumawa ng algorithm para sa paghahanap ng mga prime number na tinatawag na Sieve of Eratosthenes.

At pagkatapos ay nagkaroon ng malaking pahinga sa kasaysayan ng pag-aaral ng mga pangunahing numero na nauugnay sa Middle Ages.

Ang mga sumusunod na pagtuklas ay ginawa na sa simula ng ika-17 siglo ng mathematician na si Fermat. Pinatunayan niya ang haka-haka ni Albert Girard na ang anumang prime number ng anyong 4n+1 ay maaaring isulat nang natatangi bilang kabuuan ng dalawang parisukat, at nakabalangkas din ng teorama na anumang numero ay maaaring katawanin bilang kabuuan ng apat na parisukat.

Gumawa siya ng bagong paraan ng factorization para sa malalaking numero, at ipinakita ito sa numerong 2027651281 = 44021 × 46061. Pinatunayan din niya ang Fermat's Little Theorem: kung ang p ay isang prime number, kung gayon para sa anumang integer a, a p = a modulo p ay magiging totoo .

Ang pahayag na ito ay nagpapatunay sa kalahati ng kung ano ang kilala bilang "Chinese hypothesis" at nagsimula noong 2000 taon na ang nakaraan: ang isang integer n ay prime kung at kung ang 2n-2 ay nahahati sa n. Ang pangalawang bahagi ng hypothesis ay naging mali - halimbawa, 2341 - 2 ay nahahati sa 341, kahit na ang bilang na 341 ay pinagsama-sama: 341 = 31 × 11.

Ang Little Theorem ni Fermat ay ang batayan para sa maraming iba pang mga resulta sa teorya ng numero at mga pamamaraan para sa pagsubok kung ang mga numero ay prime, na marami sa mga ito ay ginagamit pa rin ngayon.

Si Fermat ay nakipag-ugnayan nang husto sa kanyang mga kontemporaryo, lalo na sa isang monghe na nagngangalang Marin Mersenne. Sa isa sa kanyang mga sulat, naisip niya na ang mga numero ng anyong 2 n + 1 ay palaging magiging prime kung ang n ay isang kapangyarihan ng dalawa. Sinubukan niya ito para sa n = 1, 2, 4, 8, at 16, at sigurado na kapag ang n ay hindi isang kapangyarihan ng dalawa, ang numero ay hindi kinakailangang prime. Ang mga numerong ito ay tinatawag na mga numero ng Fermat, at hanggang 100 taon na ang lumipas ay ipinakita ni Euler na ang susunod na numero, 232 + 1 = 4294967297, ay nahahati sa 641 at samakatuwid ay hindi prime.

Ang mga numero ng anyong 2 n - 1 ay naging paksa din ng pananaliksik, dahil madaling ipakita na kung ang n ay pinagsama-sama, kung gayon ang bilang mismo ay pinagsama din. Ang mga numerong ito ay tinatawag na mga numero ng Mersenne dahil aktibo niyang pinag-aralan ang mga ito.

Ngunit hindi lahat ng numero ng anyong 2 n - 1, kung saan ang n ay prime, ay prime. Halimbawa, 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89. Ito ay unang natuklasan noong 1536.

Sa loob ng maraming taon, ang mga bilang ng ganitong uri ay nagbigay sa mga mathematician ng pinakamalaking kilalang prime. Na ang bilang na M 19 ay pinatunayan ni Cataldi noong 1588, at sa loob ng 200 taon ay ang pinakamalaking kilalang prime number, hanggang sa napatunayan ni Euler na ang M 31 ay prime din. Ang rekord na ito ay hawak ng isa pang daang taon, at pagkatapos ay ipinakita ni Lucas na ang M 127 ay prime (at ito ay isang bilang na ng 39 na mga numero), at pagkatapos nito, ang pananaliksik ay nagpatuloy sa pagdating ng mga computer.

Noong 1952, napatunayan ang primeness ng mga numerong M 521 , M 607 , M 1279 , M 2203 at M 2281.

Noong 2005, 42 Mersenne prime ang natagpuan. Ang pinakamalaki sa kanila, M 25964951 , ay binubuo ng 7816230 digit.

Ang gawain ni Euler ay may malaking epekto sa teorya ng numero, kabilang ang mga pangunahing numero. Pinalawak niya ang Little Theorem ni Fermat at ipinakilala ang φ-function. Na-factor ang 5th Fermat number 2 32 +1, nakahanap ng 60 pares ng mga friendly na numero, at binuo (ngunit nabigong patunayan) ang quadratic na batas ng reciprocity.

Siya ang unang nagpakilala ng mga pamamaraan ng mathematical analysis at binuo ang analytic theory ng mga numero. Pinatunayan niya na hindi lamang ang maharmonya na serye ∑ (1/n), kundi pati na rin ang isang serye ng anyo

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…

Nakuha sa pamamagitan ng kabuuan ng mga dami na kabaligtaran sa mga pangunahing numero, nag-iiba din. Ang kabuuan ng n termino ng harmonic series ay lumalaki nang humigit-kumulang tulad ng log(n), habang ang pangalawang serye ay nag-iiba nang mas mabagal, tulad ng log[ log(n) ]. Nangangahulugan ito na, halimbawa, ang kabuuan ng mga reciprocal ng lahat ng mga prime number na natagpuan hanggang sa kasalukuyan ay magbibigay lamang ng 4, kahit na ang serye ay nag-iiba pa rin.

Sa unang tingin, tila random na ibinahagi ang mga prime number sa mga integer. Halimbawa, sa mga 100 na numero kaagad bago ang 10000000, mayroong 9 na prime, at kabilang sa 100 na mga numero kaagad pagkatapos ng halagang ito, mayroon lamang 2. Ngunit sa malalaking segment, ang mga prime na numero ay ibinahagi nang pantay-pantay. Hinarap nina Legendre at Gauss ang kanilang pamamahagi. Minsang sinabi ni Gauss sa isang kaibigan na sa anumang libreng 15 minuto ay palagi niyang binibilang ang bilang ng mga prime sa susunod na 1000 na numero. Sa pagtatapos ng kanyang buhay, binilang niya ang lahat ng prime number hanggang 3 milyon. Ang Legendre at Gauss ay pantay na kinakalkula na para sa malaking n ang density ng primes ay 1/log(n). Tinantya ni Legendre ang bilang ng mga prime sa pagitan ng 1 at n bilang

π(n) = n/(log(n) - 1.08366)

At Gauss - bilang isang logarithmic integral

π(n) = / 1/log(t) dt

Sa pagitan ng integration mula 2 hanggang n.

Ang pahayag tungkol sa density ng primes 1/log(n) ay kilala bilang Prime Numbers Theorem. Sinubukan nilang patunayan ito sa buong ika-19 na siglo, at si Chebyshev at Riemann ay sumulong. Ikinonekta nila ito sa Riemann Hypothesis, isang hindi pa napatunayang haka-haka tungkol sa pamamahagi ng mga zero ng Riemann zeta function. Ang density ng primes ay sabay na pinatunayan nina Hadamard at de la Vallée-Poussin noong 1896.

Sa teorya ng mga prime number, marami pa ring hindi nalutas na mga tanong, ang ilan sa mga ito ay maraming daan-daang taong gulang:

twin prime hypothesis - tungkol sa walang katapusang bilang ng mga pares ng prime number na may pagkakaiba sa bawat isa ng 2
Ang haka-haka ni Goldbach: anumang kahit na numero, simula sa 4, ay maaaring katawanin bilang kabuuan ng dalawang pangunahing numero
Mayroon bang walang katapusang bilang ng mga prime number ng anyong n 2 + 1 ?
laging posible bang makahanap ng prime number sa pagitan ng n 2 at (n + 1) 2 ? (ang katotohanan na palaging may pangunahing numero sa pagitan ng n at 2n ay pinatunayan ni Chebyshev)
Mayroon bang walang katapusang bilang ng Fermat primes? mayroon bang Fermat primes pagkatapos ng ika-4?
mayroon bang arithmetic progression ng magkakasunod na prime para sa anumang partikular na haba? halimbawa, para sa haba 4: 251, 257, 263, 269. Ang maximum na haba na natagpuan ay 26 .
Mayroon bang walang katapusang bilang ng mga set ng tatlong magkakasunod na prime sa isang pag-unlad ng arithmetic?
n 2 - n + 41 ay isang prime number para sa 0 ≤ n ≤ 40. Mayroon bang walang katapusang bilang ng naturang prime number? Ang parehong tanong para sa formula n 2 - 79 n + 1601. Ang mga numerong ito ay prime para sa 0 ≤ n ≤ 79.
Mayroon bang walang katapusang bilang ng mga prime number ng form n# + 1? (n# ay ang resulta ng pagpaparami ng lahat ng prime number na mas mababa sa n)
Mayroon bang walang katapusang bilang ng mga prime number ng form n# -1 ?
Mayroon bang walang katapusang bilang ng mga prime number ng anyong n! +1?
Mayroon bang walang katapusang bilang ng mga prime number ng anyong n! - isa?
kung ang p ay prime, ang 2 p -1 ba ay palaging hindi kasama sa mga factor ng squared primes
Naglalaman ba ang Fibonacci sequence ng walang katapusang bilang ng mga prime?

Ang pinakamalaking kambal na prime number ay 2003663613 × 2 195000 ± 1. Binubuo ang mga ito ng 58711 digit at natagpuan noong 2007.

Ang pinakamalaking factorial prime number (ng anyong n! ± 1) ay 147855! - 1. Binubuo ito ng 142891 digit at natagpuan noong 2002.

Ang pinakamalaking primorial prime number (isang numero ng anyong n# ± 1) ay 1098133# + 1.

Pagsasalin

At pagkatapos ay nagkaroon ng malaking pahinga sa kasaysayan ng pag-aaral ng mga pangunahing numero na nauugnay sa Middle Ages.

Ngunit hindi lahat ng numero ng anyong 2 n - 1, kung saan ang n ay prime, ay prime. Halimbawa, 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89. Ito ay unang natuklasan noong 1536.

Noong 1952, napatunayan ang primeness ng mga numerong M 521 , M 607 , M 1279 , M 2203 at M 2281.

Noong 2005, 42 Mersenne prime ang natagpuan. Ang pinakamalaki sa kanila, M 25964951 , ay binubuo ng 7816230 digit.

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…

π(n) = n/(log(n) - 1.08366)

At Gauss - bilang isang logarithmic integral

π(n) = / 1/log(t) dt

Sa pagitan ng integration mula 2 hanggang n.

Sa teorya ng mga prime number, marami pa ring hindi nalutas na mga tanong, ang ilan sa mga ito ay maraming daan-daang taong gulang:

twin prime hypothesis - tungkol sa walang katapusang bilang ng mga pares ng prime number na may pagkakaiba sa bawat isa ng 2
Ang haka-haka ni Goldbach: anumang kahit na numero, simula sa 4, ay maaaring katawanin bilang kabuuan ng dalawang pangunahing numero
Mayroon bang walang katapusang bilang ng mga prime number ng anyong n 2 + 1 ?
laging posible bang makahanap ng prime number sa pagitan ng n 2 at (n + 1) 2 ? (ang katotohanan na palaging may pangunahing numero sa pagitan ng n at 2n ay pinatunayan ni Chebyshev)
Mayroon bang walang katapusang bilang ng Fermat primes? mayroon bang Fermat primes pagkatapos ng ika-4?
mayroon bang arithmetic progression ng magkakasunod na prime para sa anumang partikular na haba? halimbawa, para sa haba 4: 251, 257, 263, 269. Ang maximum na haba na natagpuan ay 26 .
Mayroon bang walang katapusang bilang ng mga set ng tatlong magkakasunod na prime sa isang pag-unlad ng arithmetic?
n 2 - n + 41 ay isang prime number para sa 0 ≤ n ≤ 40. Mayroon bang walang katapusang bilang ng naturang prime number? Ang parehong tanong para sa formula n 2 - 79 n + 1601. Ang mga numerong ito ay prime para sa 0 ≤ n ≤ 79.
Mayroon bang walang katapusang bilang ng mga prime number ng form n# + 1? (n# ay ang resulta ng pagpaparami ng lahat ng prime number na mas mababa sa n)
Mayroon bang walang katapusang bilang ng mga prime number ng form n# -1 ?
Mayroon bang walang katapusang bilang ng mga prime number ng anyong n! +1?
Mayroon bang walang katapusang bilang ng mga prime number ng anyong n! - isa?
kung ang p ay prime, ang 2 p -1 ba ay palaging hindi kasama sa mga factor ng squared primes
Naglalaman ba ang Fibonacci sequence ng walang katapusang bilang ng mga prime?

Ang pinakamalaking kambal na prime number ay 2003663613 × 2 195000 ± 1. Binubuo ang mga ito ng 58711 digit at natagpuan noong 2007.

Ang pinakamalaking factorial prime number (ng anyong n! ± 1) ay 147855! - 1. Binubuo ito ng 142891 digit at natagpuan noong 2002.

Ang pinakamalaking primorial prime number (isang numero ng anyong n# ± 1) ay 1098133# + 1.

Mga Tag: Magdagdag ng mga tag

Ang lahat ng mga natural na numero, maliban sa isa, ay nahahati sa prime at composite. Ang prime number ay isang natural na numero na mayroon lamang dalawang divisors: isa at mismo.. Ang lahat ng iba ay tinatawag na composite. Ang pag-aaral ng mga katangian ng prime numbers ay tumatalakay sa isang espesyal na seksyon ng matematika - teorya ng numero. Sa teorya ng singsing, ang mga prime number ay nauugnay sa mga hindi mababawasang elemento.

Narito ang isang sequence ng mga prime number na nagsisimula sa 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73 , 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, ... atbp.

Ayon sa pangunahing teorama ng arithmetic, ang bawat natural na bilang na mas malaki sa isa ay maaaring katawanin bilang isang produkto ng mga prime number. Gayunpaman, ito ang tanging paraan upang kumatawan sa mga natural na numero hanggang sa pagkakasunud-sunod ng mga kadahilanan. Batay dito, masasabi natin na ang mga prime number ay ang elementarya na bahagi ng natural na mga numero.

Ang nasabing representasyon ng isang natural na numero ay tinatawag na decomposition ng isang natural na numero sa prime number o ang factorization ng isang numero.

Isa sa mga pinakaluma at pinaka-epektibong paraan upang makalkula ang mga prime number ay ang "sieve of Erastothenes".

Ipinakita ng pagsasanay na pagkatapos kalkulahin ang mga prime number gamit ang Erastofen sieve, kinakailangang suriin kung prime ang ibinigay na numero. Para dito, ang mga espesyal na pagsubok, ang tinatawag na mga pagsubok sa pagiging simple, ay binuo. Ang algorithm ng mga pagsubok na ito ay probabilistic. Kadalasan ginagamit ang mga ito sa cryptography.

Sa pamamagitan ng paraan, para sa ilang mga klase ng mga numero mayroong mga espesyal na epektibong pagsubok sa primality. Halimbawa, upang subukan ang mga numero ng Mersenne para sa pagiging simple, ginagamit ang pagsubok na Lucas-Lehmer, at upang subukan ang pagiging simple ng mga numero ng Fermat, ginagamit ang pagsubok na Pepin.

Alam nating lahat na mayroong walang katapusang maraming numero. Ang tanong ay wastong lumitaw: kung gaano karaming mga pangunahing numero ang naroon? Mayroon ding walang katapusang bilang ng mga prime number. Ang pinaka sinaunang patunay ng paghatol na ito ay ang patunay ng Euclid, na nakalagay sa Mga Elemento. Ang patunay ni Euclid ay ang mga sumusunod:

Isipin na ang bilang ng mga primes ay may hangganan. Paramihin natin sila at magdagdag ng isa. Ang resultang numero ay hindi maaaring hatiin ng alinman sa may hangganan na hanay ng mga prime number, dahil ang natitira sa paghahati sa alinman sa mga ito ay nagbibigay ng isa. Kaya, ang numero ay dapat na mahahati ng ilang prime na hindi kasama sa set na ito.

Ang prime number distribution theorem ay nagsasaad na ang bilang ng mga primes na mas mababa sa n, na tinutukoy na π(n), ay lumalaki bilang n / ln(n).

Sa libu-libong taon ng pag-aaral ng mga prime number, napag-alaman na ang pinakamalaking kilalang prime number ay 243112609 − 1. Ang numerong ito ay may 12,978,189 decimal digit at isang Mersenne prime (M43112609). Ang pagtuklas na ito ay ginawa noong Agosto 23, 2008 sa uCLA University Mathematics Department bilang bahagi ng GIMPS distributed search for Mersenne primes.

Ang pangunahing natatanging tampok ng mga numero ng Mersenne ay ang pagkakaroon ng isang napakahusay na pagsubok sa primality ng Luc-Lehmer. Kasama nito, ang mga prime ng Mersenne ay, sa loob ng mahabang panahon, ang pinakamalaking kilalang prime.

Gayunpaman, hanggang ngayon, maraming mga katanungan tungkol sa mga pangunahing numero ang hindi nakatanggap ng eksaktong mga sagot. Sa 5th International Mathematical Congress, binalangkas ni Edmund Landau ang mga pangunahing problema sa larangan ng prime numbers:

Ang problema sa Goldbach, o ang unang problema ng Landau, ay upang patunayan o pabulaanan na ang bawat kahit na bilang na higit sa dalawa ay maaaring katawanin bilang kabuuan ng dalawang prima, at bawat kakaibang bilang na higit sa 5 ay maaaring katawanin bilang kabuuan ng tatlong prima.
Ang pangalawang problema ng Landau ay nangangailangan ng paghahanap ng sagot sa tanong: mayroon bang walang katapusang hanay ng "simpleng kambal" - mga pangunahing numero, ang pagkakaiba sa pagitan ng kung saan ay katumbas ng 2?
Ang haka-haka ni Legendre o ang pangatlong problema ng Landau ay: totoo ba na sa pagitan ng n2 at (n + 1)2 ay laging may prime number?
Pang-apat na problema ng Landau: Ang hanay ba ng mga prime number ng form na n2 + 1 ay walang katapusan?
Bilang karagdagan sa mga problema sa itaas, mayroong problema sa pagtukoy ng walang katapusang bilang ng mga prime sa maraming integer sequence tulad ng Fibonacci number, Fermat number, atbp.

Portal para sa mag-aaral. Pagsasanay sa sarili

Prime at Composite Numbers - Mga Kahulugan at Halimbawa

MGA KAUGNAY NA ARTIKULO