Ang mga katawan ng rebolusyon na pinag-aralan sa paaralan ay isang silindro, isang kono at isang bola.

Kung sa isang USE na gawain sa matematika kailangan mong kalkulahin ang dami ng isang kono o ang lugar ng isang globo, isaalang-alang ang iyong sarili na masuwerte.

Mag-apply ng mga formula para sa volume at surface area ng isang cylinder, cone, at sphere. Lahat sila nasa table namin. Isapuso. Dito nagsisimula ang kaalaman sa stereometry.

Minsan magandang gumuhit ng top view. O, tulad ng sa problemang ito, mula sa ibaba.

2. Gaano karaming beses ang volume ng isang cone na naka-circumscribe malapit sa tama quadrangular pyramid, mas malaki kaysa sa dami ng kono na nakasulat sa pyramid na ito?

Ang lahat ay simple - gumuhit kami ng isang view mula sa ibaba. Nakikita natin na ang radius ng mas malaking bilog ay ilang beses na mas malaki kaysa sa radius ng mas maliit. Ang taas ng parehong cones ay pareho. Samakatuwid, ang lakas ng tunog mas malaking kono ay magiging doble.

Isa pa mahalagang punto. Tandaan na sa mga gawain ng bahagi B GAMITIN ang mga opsyon sa matematika, ang sagot ay nakasulat bilang integer o finite decimal fraction. Samakatuwid, hindi ka dapat magkaroon ng anuman o sa iyong sagot sa bahagi B. Ang pagpapalit ng tinatayang halaga ng numero ay hindi rin kailangan! Dapat bawasan! Ito ay para dito na sa ilang mga gawain ang gawain ay nabuo, halimbawa, tulad ng sumusunod: "Hanapin ang lugar ng lateral surface ng cylinder na hinati ng".

At saan pa ginagamit ang mga pormula para sa dami at lugar sa ibabaw ng mga katawan ng rebolusyon? Siyempre, sa problema C2 (16). Sasabihin din namin sa iyo ang tungkol dito.

Alam natin kung ano ang cone, subukan nating hanapin ang surface area nito. Bakit kailangang lutasin ang ganitong problema? Halimbawa, kailangan mong maunawaan kung magkano pupunta ang pagsubok para gumawa ng waffle cone? O gaano karaming mga ladrilyo ang kinakailangan upang mailagay ang ladrilyo na bubong ng isang kastilyo?

Hindi madaling sukatin ang lateral surface area ng isang kono. Ngunit isipin ang parehong sungay na nakabalot sa tela. Upang mahanap ang lugar ng isang piraso ng tela, kailangan mong i-cut at ikalat ito sa mesa. Iyon pala patag na pigura, mahahanap natin ang lugar nito.

kanin. 1. Seksyon ng kono sa kahabaan ng generatrix

Gawin din natin ang kono. "I-cut" natin ang lateral surface nito kasama ang anumang generatrix, halimbawa, (tingnan ang Fig. 1).

Ngayon ay "i-unwind" namin ang gilid na ibabaw sa isang eroplano. Kumuha kami ng isang sektor. Ang sentro ng sektor na ito ay ang tuktok ng kono, ang radius ng sektor ay katumbas ng generatrix ng kono, at ang haba ng arko nito ay tumutugma sa circumference ng base ng kono. Ang nasabing sektor ay tinatawag na pag-unlad ng lateral surface ng kono (tingnan ang Fig. 2).

kanin. 2. Pag-unlad ng ibabaw ng gilid

kanin. 3. Pagsusukat ng anggulo sa radians

Subukan nating hanapin ang lugar ng sektor ayon sa magagamit na data. Una, ipakilala natin ang isang notasyon: hayaang ang anggulo sa tuktok ng sektor ay nasa radians (tingnan ang Fig. 3).

Madalas nating makatagpo ang anggulo sa tuktok ng sweep sa mga gawain. Samantala, subukan nating sagutin ang tanong: hindi ba maaaring lumampas sa 360 degrees ang anggulong ito? Ibig sabihin, hindi ba lalabas na ang sweep ay magpapatong sa sarili? Syempre hindi. Patunayan natin ito sa matematika. Hayaang "magpatong" mismo ang sweep. Nangangahulugan ito na ang haba ng sweep arc ay mas malaki kaysa sa circumference ng radius. Ngunit, tulad ng nabanggit na, ang haba ng sweep arc ay ang circumference ng radius. At ang radius ng base ng kono, siyempre, ay mas mababa kaysa sa generatrix, halimbawa, dahil ang binti ng isang right triangle ay mas mababa kaysa sa hypotenuse.

Pagkatapos ay tandaan natin ang dalawang formula mula sa kurso ng planimetry: haba ng arko. Lugar ng sektor: .

Sa aming kaso, ang papel ay ginampanan ng generatrix , at ang haba ng arko ay katumbas ng circumference ng base ng kono, iyon ay. Meron kami:

Sa wakas makuha namin:

Kasama ang lateral surface area, mahahanap din ng isa ang lugar buong ibabaw. Upang gawin ito, idagdag ang base area sa lateral surface area. Ngunit ang base ay isang bilog ng radius , na ang lugar, ayon sa formula, ay .

Sa wakas mayroon kaming: , kung saan ang radius ng base ng silindro, ay ang generatrix.

Lutasin natin ang ilang problema sa ibinigay na mga formula.

kanin. 4. Ninanais na anggulo

Halimbawa 1. Ang pag-unlad ng lateral surface ng kono ay isang sektor na may anggulo sa tuktok. Hanapin ang anggulong ito kung ang taas ng kono ay 4 cm at ang radius ng base ay 3 cm (tingnan ang Fig. 4).

kanin. 5. Kanang tatsulok bumubuo ng isang kono

Sa pamamagitan ng unang aksyon, ayon sa Pythagorean theorem, nakita natin ang generatrix: 5 cm (tingnan ang Fig. 5). Dagdag pa, alam natin iyon .

Halimbawa 2. parisukat seksyon ng ehe ang kono ay , ang taas ay . Hanapin ang kabuuang lugar sa ibabaw (tingnan ang Fig. 6).

Narito ang mga problema sa cones, ang kondisyon ay nauugnay sa ibabaw na lugar nito. Sa partikular, sa ilang mga problema ay may tanong tungkol sa pagbabago ng lugar na may pagtaas (pagbaba) sa taas ng isang kono o ang radius ng base nito. Teorya para sa paglutas ng problema sa . Isaalang-alang ang mga sumusunod na gawain:

27135. Ang circumference ng base ng kono ay 3, ang generatrix ay 2. Hanapin ang lugar ng lateral surface ng kono.

Ang lugar ng lateral surface ng kono ay:

Pag-plug sa data:

75697. Ilang beses tataas ang lugar ng lateral surface ng cone kung ang generatrix nito ay tataas ng 36 beses, at ang radius ng base ay nananatiling pareho?

Ang lugar ng lateral surface ng kono:

Ang generatrix ay tumaas ng 36 beses. Ang radius ay nananatiling pareho, na nangangahulugang ang circumference ng base ay hindi nagbago.

Kaya ang lugar ng lateral surface ng binagong kono ay magiging ganito:

Kaya, tataas ito ng 36 beses.

*Ang pag-asa ay diretso, kaya ang problemang ito ay madaling malutas sa bibig.

27137. Ilang beses bababa ang lugar ng lateral surface ng cone kung ang radius ng base nito ay mababawasan ng 1.5 beses?

Ang lugar ng lateral surface ng kono ay:

Ang radius ay nabawasan ng 1.5 beses, iyon ay:

Napag-alaman na ang lateral surface area ay bumaba ng 1.5 beses.

27159. Ang taas ng kono ay 6, ang generatrix ay 10. Hanapin ang lugar ng kabuuang ibabaw nito na hinati sa pi.

Buong ibabaw ng kono:

Hanapin ang radius:

Ang taas at generatrix ay kilala, sa pamamagitan ng Pythagorean theorem kinakalkula namin ang radius:

kaya:

Hatiin ang resulta sa Pi at isulat ang sagot.

76299. Ang kabuuang lugar sa ibabaw ng kono ay 108. Ang isang seksyon ay iginuhit parallel sa base ng kono, na hinahati ang taas sa kalahati. Hanapin ang kabuuang lugar sa ibabaw ng pinutol na kono.

Ang seksyon ay dumadaan sa kalagitnaan ng taas na kahanay sa base. Kaya ang radius ng base at ang generatrix ng pinutol na kono ay magiging 2 beses mas mababa sa radius at ang generatrix ng orihinal na kono. Isulat natin kung ano ang katumbas ng surface area ng cut-off cone:

Pinapunta siya ng 4 na beses mas kaunting lugar ibabaw ng orihinal, ibig sabihin, 108:4 = 27.

* Dahil ang orihinal at cut off cone ay magkatulad na katawan, posible ring gamitin ang pagkakatulad na katangian:

27167. Ang radius ng base ng kono ay 3, ang taas ay 4. Hanapin ang kabuuang lugar ng ibabaw ng kono na hinati sa pi.

Ang formula para sa kabuuang ibabaw ng isang kono ay:

Ang radius ay kilala, ito ay kinakailangan upang mahanap ang generatrix.

Ayon sa Pythagorean theorem:

kaya:

Hatiin ang resulta sa Pi at isulat ang sagot.

Gawain. Ang lateral surface area ng cone ay apat na beses mas maraming lugar bakuran. Hanapin ang ano katumbas ng cosine ang anggulo sa pagitan ng generatrix ng kono at ng eroplano ng base.

Ang lugar ng base ng kono ay:

Iyon ay, ang cosine ay magiging katumbas ng:

Sagot: 0.25

Magpasya sa iyong sarili:

27136. Ilang beses tataas ang lugar ng lateral surface ng cone kung ang generatrix nito ay tataas ng 3 beses?

27160. Ang lugar ng lateral surface ng kono ay dalawang beses sa lugar ng base. Hanapin ang anggulo sa pagitan ng generatrix ng kono at ng eroplano ng base. Ibigay ang iyong sagot sa antas. .

27161. Ang kabuuang lugar sa ibabaw ng kono ay 12. Ang isang seksyon ay iginuhit parallel sa base ng kono, na hinahati ang taas sa kalahati. Hanapin ang kabuuang lugar sa ibabaw ng pinutol na kono.

Iyon lang. Good luck sa iyo!

Taos-puso, Alexander.

*Ibahagi ang impormasyon tungkol sa site sa mga kaibigan sa pamamagitan ng mga social network.

Ang ibabaw na lugar ng isang kono (o simpleng ibabaw ng isang kono) ay katumbas ng kabuuan ng mga lugar ng base at ng gilid na ibabaw.

Ang lugar ng lateral surface ng kono ay kinakalkula ng formula: S = πR l, kung saan ang R ay ang radius ng base ng kono, at l- generatrix ng isang kono.

Dahil ang lugar ng base ng kono ay πR 2 (bilang ang lugar ng isang bilog), kung gayon ang lugar ng buong ibabaw ng kono ay magiging katumbas ng: πR 2 + πR l= πR (R + l).

Ang pagkuha ng formula para sa lugar ng lateral surface ng isang kono ay maaaring ipaliwanag sa pamamagitan ng naturang pangangatwiran. Hayaang magpakita ang pagguhit ng pag-unlad ng lateral surface ng kono. Hatiin ang arko AB sa posible higit pa pantay na bahagi at ikonekta ang lahat ng mga dibisyon ng mga punto sa gitna ng arko, at ang mga kalapit sa bawat isa na may mga chord.

Kumuha kami ng isang serye pantay na tatsulok. Ang lugar ng bawat tatsulok ay Ah / 2, kung saan a- haba ng base ng tatsulok, a h- ang kanyang mataas.

Ang kabuuan ng mga lugar ng lahat ng mga tatsulok ay: Ah / 2 n = anh / 2, kung saan n ay ang bilang ng mga tatsulok.

Sa malalaking numero mga dibisyon, ang kabuuan ng mga lugar ng mga tatsulok ay nagiging napakalapit sa lugar ng pag-unlad, i.e., ang lugar ng lateral surface ng kono. Ang kabuuan ng mga base ng mga tatsulok, i.e. isang, ay nagiging napakalapit sa haba ng arko AB, ibig sabihin, sa circumference ng base ng kono. Ang taas ng bawat tatsulok ay nagiging napakalapit sa radius ng arko, iyon ay, sa generatrix ng kono.

Ang pagpapabaya sa mga menor de edad na pagkakaiba sa mga sukat ng mga dami na ito, nakuha namin ang formula para sa lugar ng pag-ilid na ibabaw ng kono (S):

S=C l / 2, kung saan ang C ay ang circumference ng base ng kono, l- generatrix ng isang kono.

Alam na ang C \u003d 2πR, kung saan ang R ay ang radius ng bilog ng base ng kono, nakuha namin: S \u003d πR l.

Tandaan. Sa formula S = C l / 2, ang tanda ng eksaktong, at hindi tinatayang, pagkakapantay-pantay ay ibinigay, bagama't sa batayan ng pangangatwiran sa itaas, maaari nating isaalang-alang ang pagkakapantay-pantay na ito bilang tinatayang. Pero noong high school mataas na paaralan ito ay pinatunayan na ang pagkakapantay-pantay

S=C l / 2 ay eksakto, hindi tinatayang.

Teorama. Ang lateral surface ng kono ay katumbas ng produkto ng circumference ng base at kalahati ng generatrix.

Isulat natin sa isang kono (Fig.) ang ilan tamang pyramid at ipahiwatig sa pamamagitan ng mga titik R at l mga numerong nagpapahayag ng mga haba ng perimeter ng base at ang apothem ng pyramid na ito.

Pagkatapos ibabaw ng gilid ito ay ipapakita ng produkto 1/2 R l .

Ipagpalagay natin ngayon na ang bilang ng mga gilid ng polygon na nakasulat sa base ay tumataas nang walang katiyakan. Pagkatapos ang perimeter R ay may posibilidad sa limitasyon na kinuha bilang ang haba C ng circumference ng base, at ang apothem l magkakaroon ng cone generator bilang limitasyon nito (dahil ang ΔSAK ay nagpapahiwatig na ang SA - SK
1 / 2 R l, ay aabot sa limitasyon na 1/2 C L. Ang limitasyong ito ay kinuha bilang ang halaga ng lateral surface ng kono. Ang pagtukoy sa lateral surface ng cone na may letrang S, maaari nating isulat:

S = 1 / 2 C L = C 1/2L

Mga kahihinatnan.
1) Mula noong C \u003d 2 π R, kung gayon ang lateral surface ng kono ay ipinahayag ng formula:

S=1/2 2π R L= π RL

2) Nakukuha namin ang buong ibabaw ng kono kung idaragdag namin ang lateral surface sa base area; samakatuwid, na tumutukoy sa kumpletong ibabaw ng T, magkakaroon tayo ng:

T= π RL+ π R2= π R(L+R)

Teorama. Ibabaw sa gilid pinutol na kono ay katumbas ng produkto ng kalahati ng kabuuan ng mga circumference ng mga base at generatrix.

Isulat natin sa isang pinutol na kono (Fig.) ang ilang regular pinutol na pyramid at ipahiwatig sa pamamagitan ng mga titik r, r 1 at l mga numerong nagpapahayag sa parehong mga linear na yunit ng mga haba ng mga perimeter ng ibaba at itaas na mga base at ang apothem ng pyramid na ito.

Pagkatapos ang lateral surface ng inscribed pyramid ay 1/2 ( p + p 1) l

Sa isang walang limitasyong pagtaas sa bilang ng mga lateral na mukha ng inscribed na pyramid, ang mga perimeter R at R 1 ay may posibilidad sa mga limitasyon na kinuha bilang ang mga haba C at C 1 ng mga bilog ng mga base, at ang apothem l ay bilang limitasyon nito ang generatrix L ng pinutol na kono. Dahil dito, ang halaga ng lateral surface ng inscribed pyramid ay may kaugaliang limitasyon na katumbas ng (С + С 1) L. Ang limitasyong ito ay kinuha bilang ang halaga ng lateral surface ng truncated cone. Ang pagtukoy sa gilid na ibabaw ng pinutol na kono na may titik S, magkakaroon tayo ng:

S \u003d 1 / 2 (C + C 1) L

Mga kahihinatnan.
1) Kung ang ibig sabihin ng R at R 1 ay ang radii ng mga bilog ng ibaba at itaas na mga base, kung gayon ang lateral surface ng pinutol na kono ay magiging:

S = 1/2 (2 π R+2 π R 1) L = π (R+R1)L.

2) Kung sa trapezoid OO 1 A 1 A (Fig.), Mula sa pag-ikot kung saan nakuha ang isang pinutol na kono, gumuhit kami gitnang linya BC, nakukuha namin:

BC \u003d 1 / 2 (OA + O 1 A 1) \u003d 1 / 2 (R + R 1),

R + R 1 = 2BC.

Kaya naman,

S=2 π BC L,

i.e. ang lateral surface ng isang pinutol na kono ay katumbas ng produkto ng circumference ng average na seksyon at ang generatrix.

3) Ang kabuuang ibabaw na T ng isang pinutol na kono ay ipinahayag tulad ng sumusunod:

T= π (R 2 + R 1 2 + RL + R 1 L)