Midperpendicular sa segment
Kahulugan 1 . Midperpendicular sa segment tinatawag, isang tuwid na linya na patayo sa segment na ito at dumadaan sa gitna nito (Larawan 1).
Teorama 1. Ang bawat punto ng perpendicular bisector sa segment ay sa parehong distansya mula sa mga dulo ang segment na ito.
Patunay . Isaalang-alang ang isang di-makatwirang punto D na nakahiga sa perpendicular bisector sa segment AB (Fig. 2), at patunayan na ang mga tatsulok na ADC at BDC ay pantay.
Sa katunayan, ang mga tatsulok na ito ay mga right-angled na tatsulok na ang mga binti ay AC at BC ay pantay, habang ang mga binti DC ay karaniwan. Mula sa pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok na ADC at BDC, ang pagkakapantay-pantay ng mga segment na AD at DB ay sumusunod. Ang Theorem 1 ay napatunayan.
Theorem 2 (Balik sa Theorem 1). Kung ang isang punto ay nasa parehong distansya mula sa mga dulo ng isang segment, ito ay nasa perpendicular bisector sa segment na ito.
Patunay . Patunayan natin ang Theorem 2 sa pamamaraang "sa pamamagitan ng kontradiksyon". Sa layuning ito, ipagpalagay na ang ilang puntong E ay nasa parehong distansya mula sa mga dulo ng segment, ngunit hindi nakalagay sa perpendicular bisector sa segment na ito. Dalhin natin ang pagpapalagay na ito sa isang kontradiksyon. Isaalang-alang muna natin ang kaso kapag ang mga puntong E at A ay nasa magkabilang panig ng perpendicular bisector (Larawan 3). Sa kasong ito, ang segment na EA ay nag-intersect sa perpendicular bisector sa ilang mga punto, na aming tutukuyin ng titik D.
Patunayan natin na ang segment na AE ay mas mahaba kaysa sa segment na EB . Talaga,
Kaya, sa kaso kapag ang mga puntong E at A ay nasa magkabilang panig ng perpendicular bisector, nakakuha tayo ng kontradiksyon.
Ngayon isaalang-alang ang kaso kapag ang mga puntong E at A ay nasa magkabilang panig ng perpendicular bisector (Larawan 4). Patunayan natin na ang segment na EB ay mas mahaba kaysa sa segment na AE . Talaga,
Ang resultang kontradiksyon ay kumukumpleto sa patunay ng Theorem 2
Bilog na nagpapaligid sa isang tatsulok
Kahulugan 2 . Isang bilog na nakapaligid sa isang tatsulok, tawagan ang bilog na dumadaan sa lahat ng tatlong vertice ng tatsulok (Larawan 5). Sa kasong ito ang tatsulok ay tinatawag isang tatsulok na nakasulat sa isang bilog o may nakasulat na tatsulok.
Mga katangian ng isang bilog na naka-circumscribe sa isang tatsulok. Sine theorem
| Pigura | Larawan | Ari-arian |
| Mga midperpendicular sa mga gilid ng tatsulok |  |
bumalandra sa isang punto
. |
 |
|
|
| Gitna circumscribed tungkol sa isang talamak na tatsulok ng isang bilog | Inilarawan sa gitna ang tungkol sa acute-angled sa loob tatsulok. | |
| Gitna bilog na nakapaligid sa isang tamang tatsulok |  | Ang sentro ng inilarawan tungkol sa hugis-parihaba
gitnang punto ng hypotenuse
. |
| Gitna circumscribed tungkol sa isang obtuse triangle ng isang bilog |  | Inilarawan sa gitna ang tungkol sa mahina ang ulo bilog na tatsulok ay namamalagi sa labas tatsulok. |
 |
|
|
| parisukat tatsulok |  | S= 2R 2 kasalanan A kasalanan B kasalanan C , |
| Radius ng circumscribed na bilog | Para sa anumang tatsulok, ang pagkakapantay-pantay ay totoo: |
,| Midperpendicular sa mga gilid ng isang tatsulok |
Lahat ng perpendicular bisectors iginuhit sa mga gilid ng isang arbitrary na tatsulok, bumalandra sa isang punto . |
| Bilog na nagpapaligid sa isang tatsulok |
Anumang tatsulok ay maaaring ma-circumscribe ng isang bilog. . Ang gitna ng bilog na nakapaligid sa tatsulok ay ang punto kung saan ang lahat ng mga perpendicular bisector na iginuhit sa mga gilid ng tatsulok ay nagsalubong. |
| Gitna ng isang bilog na nakapaligid sa isang talamak na tatsulok |
Inilarawan sa gitna ang tungkol sa acute-angled bilog na tatsulok ay namamalagi sa loob tatsulok. |
| Gitna ng isang bilog na nakapaligid sa isang tamang tatsulok |
Ang sentro ng inilarawan tungkol sa hugis-parihaba bilog na tatsulok ay gitnang punto ng hypotenuse . |
| Gitna ng isang bilog na nakapaligid sa isang malabo na tatsulok |
Inilarawan sa gitna ang tungkol sa mahina ang ulo bilog na tatsulok ay namamalagi sa labas tatsulok. |
Para sa anumang tatsulok, ang mga pagkakapantay-pantay ay wasto (sine theorem):
kung saan ang a, b, c ay ang mga gilid ng tatsulok, A, B, C ay ang mga anggulo ng tatsulok, R ay ang radius ng circumscribed na bilog. |
| Lugar ng isang tatsulok |
Para sa anumang tatsulok, ang pagkakapantay-pantay ay totoo: S= 2R 2 kasalanan A kasalanan B kasalanan C , kung saan ang A, B, C ay ang mga anggulo ng tatsulok, S ay ang lugar ng tatsulok, R ay ang radius ng circumscribed na bilog. |
| Radius ng circumscribed na bilog |
Para sa anumang tatsulok, ang pagkakapantay-pantay ay totoo: kung saan ang a, b, c ay ang mga gilid ng tatsulok, ang S ay ang lugar ng tatsulok, ang R ay ang radius ng circumscribed na bilog. |
Mga patunay ng theorems sa mga katangian ng isang bilog na nakapaligid sa isang tatsulok
Teorama 3. Ang lahat ng mga midperpendicular na iginuhit sa mga gilid ng isang arbitrary na tatsulok ay nagsalubong sa isang punto.
Patunay . Isaalang-alang ang dalawang perpendicular bisector na iginuhit sa mga gilid AC at AB ng tatsulok na ABC , at tukuyin ang punto ng kanilang intersection sa titik O (Larawan 6).
Dahil ang puntong O ay nasa perpendicular bisector sa segment AC , kung gayon, sa bisa ng Theorem 1, ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay humahawak:
Dahil ang punto O ay nasa perpendicular bisector sa segment AB , kung gayon, sa bisa ng Theorem 1, ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay humahawak:
Samakatuwid, ang pagkakapantay-pantay ay totoo:
kung saan, gamit ang Theorem 2, napagpasyahan namin na ang punto O ay nasa perpendicular bisector sa segment na BC. Kaya, lahat ng tatlong perpendicular bisector ay dumadaan sa parehong punto, na dapat patunayan.
Bunga. Anumang tatsulok ay maaaring ma-circumscribe ng isang bilog. . Ang gitna ng bilog na nakapaligid sa tatsulok ay ang punto kung saan ang lahat ng mga perpendicular bisector na iginuhit sa mga gilid ng tatsulok ay nagsalubong.
Patunay . Isaalang-alang natin ang punto O, kung saan ang lahat ng mga perpendicular bisector na iginuhit sa mga gilid ng tatsulok na ABC ay nagsalubong (Larawan 6).
Kapag pinatutunayan ang Theorem 3, ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay nakuha:
mula sa kung saan ito ay sumusunod na ang bilog na nakasentro sa punto O at radii OA , OB , OC ay dumadaan sa lahat ng tatlong vertices ng tatsulok na ABC , na dapat patunayan.
Ang tatsulok ay ang pinakasimple sa mga flat polygonal figure. Kung ang halaga ng anumang anggulo sa mga vertices nito ay katumbas ng 90 °, kung gayon ang tatsulok ay tinatawag na right-angled. Malapit sa gayong polygon, pinapayagang gumuhit ng bilog sa paraang ang bawat isa sa 3 vertices ay may isang karaniwang punto kasama ang hangganan nito (bilog). Ang bilog na ito ay tatawaging circumscribed, at ang pagkakaroon ng tamang anggulo ay lubos na nagpapadali sa gawain ng pagbuo nito.
Kakailanganin mong
- Ruler, compass, calculator.
Pagtuturo
1. Magsimula sa pamamagitan ng pagtukoy sa radius ng bilog na gusto mong iguhit. Kung posible na sukatin ang mga haba ng mga gilid ng isang tatsulok, pagkatapos ay bigyang-pansin ang hypotenuse nito - ang gilid na nakahiga sa tapat ng tamang anggulo. Sukatin ito at hatiin ang resultang halaga sa kalahati - ito ang magiging radius ng bilog na inilarawan malapit sa kanang tatsulok.
2. Kung ang haba ng hypotenuse ay hindi alam, ngunit may mga haba (a at b) ng mga binti (2 gilid na katabi ng tamang anggulo), pagkatapos ay hanapin ang radius (R) gamit ang Pythagorean theorem. Ito ay sumusunod mula dito na ang parameter na ito ay magiging katumbas ng kalahati ng square root na nakuha mula sa kabuuan ng mga haba ng mga legs squared: R=?*?(a?+b?).
3. Kung ang haba ng isa lamang sa mga binti (a) at ang halaga ng talamak na anggulo na katabi nito (?) ay kilala, pagkatapos ay upang matukoy ang radius ng circumscribed na bilog (R), gamitin ang trigonometric function - cosine. Sa isang tamang tatsulok, tinutukoy nito ang ratio ng mga haba ng hypotenuse at binti na ito. Kalkulahin ang kalahati ng quotient ng haba ng binti na hinati sa cosine ng sikat na anggulo: R=?*a/cos(?).
4. Kung, bilang karagdagan sa haba ng isa sa mga binti (a), ang halaga ng isang talamak na anggulo (?) na nakahiga sa tapat nito ay kilala, pagkatapos ay upang kalkulahin ang radius (R), gumamit ng isa pang trigonometric function - ang sine. Bilang karagdagan sa pagpapalit ng function at sa gilid, walang magbabago sa formula - hatiin ang haba ng binti sa pamamagitan ng sine ng kilalang talamak na anggulo, at hatiin ang resulta sa kalahati: R =? * b / sin (?).
5. Matapos mahanap ang radius sa pamamagitan ng alinman sa mga nakalistang pamamaraan, tukuyin ang gitna ng inilarawan na bilog. Upang gawin ito, itabi ang resultang halaga sa compass at itakda ito sa anumang vertex ng tatsulok. Hindi na kailangang ilarawan ang isang buong bilog, madaling walisin ang lugar kung saan ito intersect sa hypotenuse - ang puntong ito ay magiging sentro ng bilog. Ganyan ang kalidad ng isang tamang tatsulok - ang gitna ng nakapaligid na bilog sa paligid nito ay palaging matatagpuan sa gitna ng pinakamahabang bahagi nito. Gumuhit ng bilog ng radius na naka-plot sa compass na ang gitna ay nasa nakitang punto. Kinukumpleto nito ang pagbuo.
Paminsan-minsan, malapit sa isang convex polygon, pinapayagan na gumuhit ng isang bilog sa paraang ang mga vertices ng lahat ng sulok ay nakahiga dito. Ang nasabing bilog na may paggalang sa polygon ay dapat na tinatawag na circumscribed. kanya Gitna ay hindi kinakailangang nasa loob ng perimeter ng inscribed figure, ngunit gamit ang mga katangian ng inilarawan mga bilog, upang matukoy ang puntong ito, gaya ng dati, ay hindi napakahirap.
Kakailanganin mong
- Ruler, lapis, protractor o square, compass.
Pagtuturo
1. Kung ang polygon sa paligid kung saan ito ay kinakailangan upang ilarawan ang bilog ay iguguhit sa papel, upang mahanap Gitna at ang isang bilog ay sapat na sa isang ruler, isang lapis at isang protractor o isang parisukat. Sukatin ang haba ng bawat panig ng figure, tukuyin ang gitna nito at maglagay ng pantulong na punto sa lugar na ito ng pagguhit. Gamit ang suporta ng isang parisukat o isang protractor, gumuhit ng isang segment na patayo sa gilid na ito sa loob ng polygon hanggang sa mag-intersect ito sa kabaligtaran.
2. Gawin ang parehong operasyon sa anumang iba pang bahagi ng polygon. Ang intersection ng 2 constructed na mga segment ay ang gustong punto. Ito ay sumusunod mula sa pangunahing ari-arian ng inilarawan mga bilog- kanya Gitna sa isang matambok na polygon na may anumang bilang ng mga gilid ay palaging namamalagi sa punto ng intersection ng mga perpendicular bisector na iginuhit sa mga panig na ito.
3. Para sa mga totoong polygon ang kahulugan ay Gitna ngunit nakasulat mga bilog maaaring maging mas madali. Sabihin natin kung ito ay isang parisukat, pagkatapos ay gumuhit ng dalawang diagonal - ang kanilang intersection ay magiging Gitna nakasulat ohm mga bilog. Sa isang positibong polygon na may kahit na bilang ng mga panig, sapat na upang pagsamahin ang dalawang pares ng mga anggulo na nakahiga sa tapat ng bawat isa na may mga auxiliary na mga segment - Gitna inilarawan mga bilog dapat tumugma sa punto ng kanilang intersection. Sa isang tamang tatsulok, upang malutas ang problema, madaling matukoy ang gitna ng pinakamahabang bahagi ng figure - ang hypotenuse.
4. Kung hindi alam mula sa mga kundisyon kung pinapayagan sa thesis na gumuhit ng isang circumscribed na bilog para sa isang partikular na polygon, pagkatapos matukoy ang ipinapalagay na punto Gitna at sa pamamagitan ng alinman sa mga inilarawang pamamaraan na maaari mong malaman. Itabi sa compass ang distansya sa pagitan ng nakitang punto at bawat isa sa mga vertices, itakda ang compass sa kinakailangang Gitna mga bilog at gumuhit ng isang bilog - ang buong vertex ay dapat na nakahiga dito mga bilog. Kung hindi ito ang kaso, kung gayon ang isa sa mga pangunahing katangian ay hindi nasisiyahan at imposibleng ilarawan ang isang bilog sa paligid ng isang naibigay na polygon.
Ayon sa kahulugan, inilarawan bilog dapat dumaan sa lahat ng sulok ng vertices ng ibinigay na polygon. Kasabay nito, hindi mahalaga kung anong uri ng polygon ito - isang tatsulok, isang parisukat, isang parihaba, isang trapezoid, o iba pa. Hindi rin mahalaga kung ito ay totoo o maling polygon. Kinakailangan lamang na isaalang-alang na mayroong mga polygon sa paligid kung saan bilog imposibleng ilarawan. Ito ay palaging posible upang ilarawan bilog sa paligid ng tatsulok. Para sa quadrilaterals, bilog pinapayagan itong ilarawan ang tungkol sa isang parisukat o isang parihaba o isang isosceles trapezoid.
Kakailanganin mong
- Binigyan ng polygon
- Tagapamahala
- parisukat
- Lapis
- Kumpas
- Protractor
- Mga talahanayan ng mga sine at cosine
- Mga representasyon at formula sa matematika
- Pythagorean theorem
- Sine theorem
- Cosine theorem
- Mga palatandaan ng pagkakatulad ng mga tatsulok
Pagtuturo
1. Bumuo ng polygon na may ibinigay na mga parameter at tukuyin kung pinapayagan itong ilarawan sa paligid nito bilog. Kung bibigyan ka ng quadrilateral, kalkulahin ang kabuuan ng mga magkasalungat na anggulo nito. Ang bawat isa sa kanila ay dapat na katumbas ng 180°.
2. Upang mailarawan bilog, kailangan mong kalkulahin ang radius nito. Alalahanin kung saan ang gitna ng circumscribed na bilog ay nasa iba't ibang polygon. Sa isang tatsulok, ito ay matatagpuan sa punto ng intersection ng lahat ng taas ng ibinigay na tatsulok. Sa isang parisukat at mga parihaba - sa intersection point ng mga diagonal, para sa isang trapezoid - sa intersection point ng axis ng symmetry sa linya na nagkokonekta sa mga midpoint ng mga gilid, at para sa anumang iba pang convex polygon - sa intersection point ng perpendicular bisectors sa mga gilid.
3. Kalkulahin ang diameter ng isang bilog na nakapaligid sa isang parisukat at isang parihaba gamit ang Pythagorean theorem. Ito ay magiging katumbas ng square root ng kabuuan ng mga parisukat ng mga gilid ng parihaba. Para sa isang parisukat na ang lahat ng panig ay pantay, ang dayagonal ay katumbas ng parisukat na ugat ng dalawang beses ang parisukat ng gilid. Hatiin ang diameter ng 2 upang makuha ang radius.
4. Kalkulahin ang radius ng circumscribed na bilog para sa tatsulok. Mula sa katotohanan na ang mga parameter ng tatsulok ay ibinigay sa mga kondisyon, kalkulahin ang radius gamit ang formula R = a / (2 sinA), kung saan ang a ay isa sa mga gilid ng tatsulok, ? ay ang kabaligtaran na anggulo. Sa halip na sa panig na ito, pinahihintulutan na kunin ang anumang iba pang panig at ang anggulo sa tapat nito.
5. Kalkulahin ang radius ng isang bilog na nakapaligid sa isang trapezoid. R = a*d*c / 4 v(p*(p-a)*(p-d)*(p-c)) /2*(a+d+c) . Kalkulahin ang mga nawawalang halaga. Ang taas ay maaaring kalkulahin gamit ang theorem ng mga sine o cosine, mula sa katotohanan na ang mga haba ng mga gilid ng trapezoid at ang mga anggulo ay ibinibigay sa mga kondisyon ng problema. Pag-alam sa taas at pagsasaalang-alang sa mga palatandaan ng pagkakapareho ng mga tatsulok, kalkulahin ang dayagonal. Sa paglaon, nananatili lamang upang kalkulahin ang radius gamit ang formula sa itaas.
Mga kaugnay na video
Nakatutulong na payo
Upang makalkula ang radius ng isang bilog na nakapaligid sa isa pang polygon, magsagawa ng ilang karagdagang mga konstruksyon. Kumuha ng higit pang mga primitive na figure na pamilyar sa iyo ang mga parameter.
Tip 4: Paano gumuhit ng isang tamang tatsulok mula sa isang matinding anggulo at isang hypotenuse
Ang right triangle ay isang tatsulok na ang anggulo sa isa sa mga vertices nito ay 90°. Ang gilid sa tapat ng anggulong ito ay tinatawag na hypotenuse, at ang mga gilid sa tapat ng dalawang talamak na anggulo ng tatsulok ay tinatawag na mga binti. Kung ang haba ng hypotenuse at ang halaga ng isa sa mga talamak na anggulo ay kilala, kung gayon ang mga datos na ito ay sapat na upang bumuo ng isang tatsulok gamit ang hindi bababa sa dalawang pamamaraan.
Kakailanganin mong
- Sheet ng papel, lapis, ruler, compass, calculator.
Pagtuturo
1. Ang 1st na paraan ay nangangailangan, bilang karagdagan sa isang lapis at papel, isang ruler, isang protractor at isang parisukat. Una, iguhit ang gilid na hypotenuse - ilagay ang punto A, itabi ang kilalang haba ng hypotenuse mula dito, ilagay ang punto C at pagsamahin ang mga puntos.
2. Ikabit ang protractor sa iginuhit na segment sa paraang ang zero mark ay tumutugma sa punto A, sukatin ang halaga ng hinihimok na talamak na anggulo at magtakda ng isang pantulong na punto. Gumuhit ng linya na magsisimula sa punto A at dumaan sa pantulong na punto.
3. Ikabit ang parisukat sa segment na AC sa paraang nagsisimula ang tamang anggulo mula sa punto C. Markahan ang intersection point ng linya na iginuhit sa nakaraang hakbang na may titik B at pagsamahin ito sa punto C. Nakumpleto nito ang pagbuo ng isang kanan tatsulok na may sikat na side length AC (hypotenuse) at ang matalim na sulok sa vertex A ay makukumpleto.
4. Ang isa pang paraan, bilang karagdagan sa lapis at papel, ay mangangailangan ng ruler, compass at calculator. Magsimula sa pamamagitan ng pagkalkula ng mga haba ng mga binti - alam ang laki ng isang matinding anggulo at ang haba ng hypotenuse ay ganap na sapat para dito.
5. Kalkulahin ang haba ng paa na iyon (AB), ang isa na nasa tapat ng anggulo ng kilalang halaga (β) - ito ay magiging katumbas ng produkto ng haba ng hypotenuse (AC) at ang sine ng sikat na anggulo AB= AC*sin(β).
6. Tukuyin ang haba ng kabilang binti (BC) - ito ay magiging katumbas ng produkto ng haba ng hypotenuse at ang cosine ng driven angle BC=AC*cos(β).
7. Ilagay ang point A, sukatin ang haba ng hypotenuse mula dito, ilagay ang point C at gumuhit ng linya sa pagitan nila.
8. Itabi ang haba ng binti AB, na kinakalkula sa ikalimang hakbang, sa compass at gumuhit ng pantulong na kalahating bilog na nakasentro sa punto A.
9. Itabi ang haba ng binti BC na kinalkula sa ikaanim na hakbang sa compass at gumuhit ng pantulong na kalahating bilog na nakasentro sa punto C.
10. Markahan ang intersection point ng 2 kalahating bilog na may letrang B at gumuhit ng mga segment sa pagitan ng mga punto A at B, C at B. Nakumpleto nito ang pagbuo ng isang tamang tatsulok.
Payo 5: Ano ang mga pangalan ng mga gilid ng isang tamang tatsulok
Interesado ang mga tao sa mga nakamamanghang katangian ng mga right triangle mula noong sinaunang panahon. Marami sa mga katangiang ito ay inilarawan ng sinaunang Griyegong siyentipiko na si Pythagoras. Sa sinaunang Greece, lumitaw din ang mga pangalan ng mga gilid ng isang kanang tatsulok.
Aling tatsulok ang tinatawag na right triangle?
Mayroong ilang mga uri ng mga tatsulok. Ang ilan ay may lahat ng matutulis na sulok, ang iba ay may isang mahina at dalawang matalim, at ang iba ay may dalawang matalim at isang tuwid. Ayon sa sign na ito, ang bawat uri ng mga geometric na figure na ito ay nakatanggap ng pangalan: acute-angled, obtuse-angled at rectangular. Iyon ay, ang isang tatsulok ay tinatawag na isang tamang tatsulok, kung saan ang isa sa mga anggulo ay 90 °. May isa pang kahulugan na katulad ng una. Ang tamang tatsulok ay isang tatsulok na ang dalawang panig ay patayo.
Hypotenuse at binti
Sa acute at obtuse triangles, ang mga segment na nagkokonekta sa vertices ng mga sulok ay tinatawag na primitive sides. Ang mga gilid ng isang hugis-parihaba na tatsulok ay may iba pang mga pangalan. Ang mga nasa tabi ng tamang anggulo ay tinatawag na mga binti. Ang gilid sa tapat ng tamang anggulo ay tinatawag na hypotenuse. Isinalin mula sa Greek, ang salitang "hypotenuse" ay nangangahulugang "stretched", at "leg" - "perpendicular".
Mga ugnayan sa pagitan ng hypotenuse at mga binti
Ang mga gilid ng isang right-angled na tatsulok ay magkakaugnay ng ilang mga ratio, na ginagawang mas madali ang mga kalkulasyon. Sabihin, alam ang mga sukat ng mga binti, posibleng kalkulahin ang haba ng hypotenuse. Ang ratio na ito, sa pangalan ng mathematician na nakatuklas nito, ay tinawag na Pythagorean theorem at ganito ang hitsura nito: c2=a2+b2, kung saan ang c ay ang hypotenuse, a at b ang mga binti. Iyon ay, ang hypotenuse ay magiging katumbas ng square root ng kabuuan ng mga parisukat ng mga binti. Upang mahanap ang bawat isa sa mga binti, sapat na upang ibawas ang parisukat ng kabilang binti mula sa parisukat ng hypotenuse at kunin ang square root mula sa nagresultang pagkakaiba.
Katabi at tapat na binti
Gumuhit ng isang tamang tatsulok na ACB. Ang letrang C ay ginagamit upang tukuyin ang vertex ng isang tamang anggulo, A at B ay ang mga vertex ng matinding anggulo. Ang mga gilid sa tapat ng buong anggulo ay maginhawang tinatawag na a, b at c, ayon sa mga pangalan ng mga anggulo na nasa tapat ng mga ito. Isaalang-alang ang anggulo A. Leg a para sa ito ay magiging kabaligtaran, binti b - katabi. Ang ratio ng kabaligtaran na binti sa hypotenuse ay tinatawag na sine. Ang trigonometrikong function na ito ay maaaring kalkulahin gamit ang formula: sinA=a/c. Ang ratio ng katabing paa sa hypotenuse ay tinatawag na cosine. Kinakalkula ito ng formula: cosA=b/c. Kaya, alam ang anggulo at isa sa mga panig, posible na kalkulahin ang kabilang panig gamit ang mga formula na ito. Ang parehong mga binti ay konektado din sa pamamagitan ng trigonometriko relasyon. Ang ratio ng kabaligtaran sa katabi ay tinatawag na tangent, at ang ratio ng katabi sa kabaligtaran ay tinatawag na cotangent. Ang mga ratio na ito ay maaaring ipahayag ng mga formula na tgA=a/b o ctgA=b/a.
Ang circumcircle ng isang right triangle. Sa publikasyong ito, isasaalang-alang natin ang patunay ng isang "mathematical fact", na malawakang ginagamit sa paglutas ng mga problema sa geometry. Sa ilang mga mapagkukunan, ang katotohanang ito ay tinutukoy bilang isang teorama, sa iba bilang isang pag-aari, mayroong iba't ibang mga pormulasyon, ngunit ang kanilang kakanyahan ay pareho:
Anumang tatsulok na binuo sa diameter ng isang bilog na ang ikatlong vertex ay nasa bilog na ito ay right-angled!
Ibig sabihin, ang pattern sa geometric pattern na ito ay, saanman mo ilagay ang vertex ng triangle, ang anggulo sa vertex na ito ay palaging magiging tama:
Mayroong maraming mga gawain ng mga naroroon na may komposisyon ng pagsusulit sa matematika, sa kurso kung saan ginagamit ang ari-arian na ito.
Sa palagay ko ang karaniwang patunay ay napaka-nakalilito at napuno ng mga simbolo ng matematika, makikita mo ito sa aklat-aralin. Isasaalang-alang namin ang simple at intuitive. Natuklasan ko ito sa isang kahanga-hangang sanaysay na tinatawag na " umiiyak na math Inirerekomenda ko ito para sa mga guro at mag-aaral na basahin.
Tingnan muna natin ang ilang teoretikal na punto:
Palatandaan ng paralelogram. Ang isang paralelogram ay may magkabilang panig na pantay. Iyon ay, kung ang isang may apat na gilid ay may parehong pares ng magkasalungat na panig na pantay, kung gayon ang quadrilateral na ito ay isang paralelogram.
Parihaba na tanda. Ang parihaba ay isang paralelogram at ang mga dayagonal nito ay pantay. Iyon ay, kung ang mga diagonal ng isang paralelogram ay pantay, kung gayon ito ay isang parihaba.
* Ang isang parihaba ay isang paralelogram, ito ang espesyal na kaso nito.
Kaya magsimula tayo:
Kumuha ng tatsulok at paikutin ito ng 180 0 na may kaugnayan sa gitna ng bilog (baligtarin ito). Nakakakuha kami ng quadrilateral na nakasulat sa isang bilog:
Dahil pinaikot lang namin ang tatsulok, ang magkabilang panig ng quadrilateral ay pantay, na nangangahulugang ito ay isang paralelogram. Dahil ang tatsulok ay iniikot nang eksakto sa 180 degrees, ang vertex nito ay diametrically na kabaligtaran sa vertex ng "orihinal" na tatsulok.
Ito ay lumalabas na ang mga diagonal ng quadrilateral ay pantay, kaya ang mga ito ay mga diameter. Mayroon kaming isang quadrilateral kung saan ang magkabilang panig ay pantay at ang mga diagonal ay pantay, samakatuwid ito ay isang parihaba, at lahat ng mga anggulo nito ay tama.
Yan lang ang patunay!
Maaari mo ring isaalang-alang ito, simple din at naiintindihan:
Tingnan ang higit pang patunay =>>
Mula sa punto C ay bumubuo kami ng isang segment na dumadaan sa gitna ng bilog, ang kabilang dulo nito ay matatagpuan sa kabaligtaran na punto ng bilog (point D). Ikonekta ang point D sa vertices A at B:
Nakakuha ng quadrilateral. Ang Triangle AOD ay katumbas ng triangle COB sa dalawang panig at ang anggulo sa pagitan ng mga ito:
Ito ay sumusunod mula sa pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok na AD = CB.
Katulad nito, AC = DB.
Maaari nating tapusin na ang quadrilateral ay isang paralelogram. Bilang karagdagan, ang mga diagonal nito ay pantay - Ang AB ay unang ibinigay bilang diameter, ang CD ay diameter din (dumadaan sa punto O).
Kaya, ang ACBD ay isang parihaba, na nangangahulugan na ang lahat ng mga anggulo nito ay mga tamang anggulo. Napatunayan!
Isa pang kapansin-pansing diskarte na nagsasabi sa atin ng malinaw at "maganda" na ang anggulong pinag-uusapan ay palaging tama.
Tumingin at tandaan ang impormasyon tungkol sa. Ngayon tingnan ang sketch:
Ang anggulong AOB ay walang iba kundi ang gitnang anggulo batay sa arko ADB, at ito ay katumbas ng 180 degrees. Oo, ang AB ay ang diameter ng isang bilog, ngunit walang pumipigil sa amin na isaalang-alang ang AOB na isang sentral na anggulo (ito ay isang nabuong anggulo). Ang anggulong ACB ay nakasulat para dito, ito rin ay nakasalalay sa parehong arko sa ADB.
At alam natin na ang naka-inscribe na anggulo ay katumbas ng kalahati ng gitnang isa, iyon ay, kahit paano natin ilagay ang point C sa bilog, ang anggulo ng DIA ay palaging magiging katumbas ng 90 degrees, iyon ay, ito ay tama.
Anong mga konklusyon ang maaaring makuha kaugnay sa paglutas ng mga problema, lalo na ang mga kasama sa pagsusulit?
Kung ang kondisyon ay tumutukoy sa isang tatsulok na nakasulat sa isang bilog at binuo sa diameter ng bilog na ito, kung gayon ang tatsulok na ito ay tiyak na isang tamang tatsulok.
Kung sinabi na ang isang tamang tatsulok ay nakasulat sa isang bilog, nangangahulugan ito na ang hypotenuse nito ay kapareho ng diameter nito (katumbas nito) at ang gitna ng hypotenuse ay tumutugma sa gitna ng bilog.
Iyon lang. Good luck sa iyo!
Taos-puso, Alexander Krutitskikh.
Unang antas
circumscribed na bilog. Gabay sa Visual (2019)
Ang unang tanong na maaaring lumabas ay: inilarawan - sa paligid ng ano?
Sa katunayan, kung minsan ito ay nangyayari sa paligid ng anumang bagay, at pag-uusapan natin ang tungkol sa isang bilog na nakapaligid sa paligid (kung minsan ay sinasabi nila ang "tungkol sa") isang tatsulok. Ano ito?
At ngayon, isipin, isang kamangha-manghang katotohanan ang nagaganap:
Bakit kamangha-mangha ang katotohanang ito?
Ngunit ang mga tatsulok ay naiiba!
At para sa lahat ay may isang bilog na dadaan sa lahat ng tatlong taluktok, iyon ay, ang circumscribed circle.
Ang patunay ng kamangha-manghang katotohanang ito ay matatagpuan sa mga sumusunod na antas ng teorya, ngunit dito lamang natin napapansin na kung kukuha tayo, halimbawa, isang quadrilateral, kung gayon hindi para sa lahat mayroong isang bilog na dumadaan sa apat na vertices. Dito, sabihin natin, ang parallelogram ay isang mahusay na may apat na gilid, ngunit ang isang bilog na dumadaan sa lahat ng apat na vertices nito ay hindi!
At mayroon lamang para sa isang parihaba:
Well, at ang bawat tatsulok ay palaging may sariling circumscribed na bilog! At kahit na palaging napakadaling mahanap ang gitna ng bilog na ito.
Alam mo ba kung ano ang midperpendicular?
Ngayon tingnan natin kung ano ang mangyayari kung isasaalang-alang natin ang kasing dami ng tatlong perpendicular bisector sa mga gilid ng tatsulok.
Ito ay lumalabas (at ito mismo ang kailangang patunayan, bagaman hindi namin gagawin) iyon Ang lahat ng tatlong perpendicular ay nagsalubong sa isang punto. Tingnan ang larawan - lahat ng tatlong median na perpendicular ay nagsalubong sa isang punto.
Sa palagay mo ba ang gitna ng circumscribed na bilog ay laging nasa loob ng tatsulok? Isipin - hindi palaging!
Ngunit kung acute-angled, pagkatapos - sa loob:
Ano ang gagawin sa isang tamang tatsulok?
At may dagdag na bonus:
Dahil pinag-uusapan natin ang radius ng circumscribed circle: ano ang katumbas nito para sa isang arbitrary triangle? At may sagot sa tanong na ito: ang tinatawag.
Namely:
At syempre,
1. Existence at center ng circumscribed circle
Dito lumitaw ang tanong: umiiral ba ang gayong bilog para sa anumang tatsulok? Lumalabas na oo, para sa lahat. At higit pa rito, bubuo tayo ngayon ng isang teorama na sumasagot din sa tanong, kung saan ang sentro ng bilog na bilog.
Kamukha nito:
Mag-ipon tayo ng lakas ng loob at patunayan ang teorama na ito. Kung nabasa mo na ang paksang "", nalaman kung bakit ang tatlong bisector ay nagsalubong sa isang punto, kung gayon ito ay magiging mas madali para sa iyo, ngunit kung hindi mo pa ito nabasa, huwag mag-alala: ngayon ay aalamin natin ang lahat. palabas.
Isasagawa natin ang patunay gamit ang konsepto ng locus of points (LPT).
Buweno, halimbawa, ang hanay ng mga bola ay isang "geometric na lugar" ng mga bilog na bagay? Hindi, siyempre, dahil may mga bilog ... mga pakwan. Ngunit ang isang hanay ng mga tao, isang "geometric na lugar", ay nakakapagsalita? Hindi rin, dahil may mga sanggol na hindi makapagsalita. Sa buhay, sa pangkalahatan ay mahirap makahanap ng isang halimbawa ng isang tunay na "geometric na lugar ng mga puntos". Mas madali ang geometry. Narito, halimbawa, ang kailangan natin:
Narito ang set ay ang gitnang patayo, at ang property na "" ay "maging katumbas ng distansya (punto) mula sa mga dulo ng segment."
Suriin natin? Kaya, kailangan mong tiyakin ang dalawang bagay:
- Ang anumang punto na katumbas ng layo mula sa mga dulo ng isang segment ay nasa perpendicular bisector dito.
Kumonekta sa at kay. Pagkatapos ang linya ay ang median at taas sa. Kaya, - isosceles, - tiniyak namin na ang anumang puntong nakahiga sa perpendicular bisector ay pantay na malayo sa mga punto at.
Kunin - sa gitna at kumonekta at. Nakuha ang median. Ngunit - isosceles ayon sa kondisyon, hindi lamang ang median, kundi pati na rin ang taas, iyon ay, ang median na patayo. Nangangahulugan ito na ang punto ay eksaktong namamalagi sa perpendicular bisector.
Lahat! Ganap naming napatunayan ang katotohanang iyon ang perpendicular bisector sa isang segment ay ang locus ng mga puntos na katumbas ng layo mula sa mga dulo ng segment.
Iyon ay mabuti at mabuti, ngunit nakalimutan na ba natin ang tungkol sa circumscribed circle? Hindi naman, inihanda lang namin ang sarili namin ng "bridgehead for the attack."
Isaalang-alang ang isang tatsulok. Gumuhit tayo ng dalawang median na patayo at, sabihin nating, sa mga segment at. Magsa-intersect sila sa isang punto, na ating pangalanan.
At ngayon, pansin!
Ang punto ay nasa perpendicular bisector;
ang punto ay nasa perpendicular bisector.
At ibig sabihin at.
Maraming mga bagay ang sumusunod mula dito:
Una, ang punto ay dapat na nasa ikatlong perpendicular bisector, sa segment.
Iyon ay, ang perpendicular bisector ay dapat ding dumaan sa punto, at lahat ng tatlong perpendicular bisector ay nagsalubong sa isang punto.
Pangalawa: kung gumuhit tayo ng isang bilog na may sentro sa isang punto at isang radius, kung gayon ang bilog na ito ay dadaan din sa punto at sa pamamagitan ng punto, iyon ay, ito ang magiging inilarawan na bilog. Nangangahulugan ito na umiiral na na ang intersection ng tatlong perpendicular bisector ay ang sentro ng circumscribed na bilog para sa anumang tatsulok.
At ang huling bagay: tungkol sa pagiging natatangi. Ito ay malinaw (halos) na ang punto ay maaaring makuha sa isang natatanging paraan, at samakatuwid ang bilog ay natatangi. Well, "halos" - ipaubaya namin ito sa iyo. Dito natin napatunayan ang teorama. Maaari kang sumigaw ng "Hurrah!".
At kung ang problema ay ang tanong na "hanapin ang radius ng circumscribed circle"? Or vice versa, binigay ang radius, pero gusto mong maghanap ng iba? Mayroon bang formula na nauugnay ang radius ng circumscribed na bilog sa iba pang elemento ng isang tatsulok?
Tandaan na ang sine theorem ay nagsasabi na upang mahanap ang radius ng circumscribed na bilog, kailangan mo ng isang gilid (anuman!) at ang anggulo sa tapat nito. At ayun na nga!
3. Gitna ng bilog - sa loob o labas
At ngayon ang tanong ay: maaari bang ang gitna ng circumscribed na bilog ay nasa labas ng tatsulok.
Sagot: hangga't maaari. Bukod dito, ito ay palaging nangyayari sa isang mahinang tatsulok.
At sa pangkalahatan:
ANG BILOG. MAIKLING TUNGKOL SA PANGUNAHING
1. Bilog na naka-circumscribe sa isang tatsulok
Ito ay isang bilog na dumadaan sa lahat ng tatlong vertice ng tatsulok na ito.
2. Existence at ang gitna ng circumscribed circle
Well, tapos na ang topic. Kung binabasa mo ang mga linyang ito, napaka-cool mo.
Dahil 5% lamang ng mga tao ang nakakabisa ng isang bagay sa kanilang sarili. At kung nabasa mo na hanggang dulo, ikaw ay nasa 5%!
Ngayon ang pinakamahalagang bagay.
Naisip mo na ang teorya sa paksang ito. At, uulitin ko, ito ay ... super lang! Mas mahusay ka na kaysa sa karamihan ng iyong mga kapantay.
Ang problema ay maaaring hindi ito sapat ...
Para saan?
Para sa matagumpay na pagpasa sa pagsusulit, para sa pagpasok sa instituto sa badyet at, PINAKA MAHALAGA, habang buhay.
Hindi kita kukumbinsihin sa anumang bagay, isa lang ang sasabihin ko ...
Ang mga taong nakatanggap ng magandang edukasyon ay kumikita ng higit pa kaysa sa mga hindi nakatanggap nito. Ito ay mga istatistika.
Ngunit hindi ito ang pangunahing bagay.
Ang pangunahing bagay ay MAS MASAYA sila (may mga ganyang pag-aaral). Marahil dahil marami pang pagkakataon ang nagbubukas sa harap nila at ang buhay ay nagiging mas maliwanag? hindi ko alam...
Pero isipin mo ang sarili mo...
Ano ang kinakailangan upang makatiyak na maging mas mahusay kaysa sa iba sa pagsusulit at sa huli ay ... mas masaya?
PUNO ANG IYONG KAMAY, PAGLUTAS NG MGA PROBLEMA SA PAKSANG ITO.
Sa pagsusulit, hindi ka tatanungin ng teorya.
Kakailanganin mong lutasin ang mga problema sa oras.
At, kung hindi mo pa nasolusyunan ang mga ito (MARAMING!), Tiyak na gagawa ka ng isang hangal na pagkakamali sa isang lugar o hindi mo ito gagawin sa tamang oras.
Parang sa sports - kailangan mong ulitin ng maraming beses para siguradong manalo.
Maghanap ng koleksyon kahit saan mo gusto kinakailangang may mga solusyon, detalyadong pagsusuri at magpasya, magpasya, magpasya!
Maaari mong gamitin ang aming mga gawain (hindi kinakailangan) at tiyak na inirerekomenda namin ang mga ito.
Upang makakuha ng tulong sa tulong ng aming mga gawain, kailangan mong tumulong na palawigin ang buhay ng YouClever textbook na kasalukuyan mong binabasa.
paano? Mayroong dalawang mga pagpipilian:
- I-unlock ang access sa lahat ng mga nakatagong gawain sa artikulong ito - 299 kuskusin.
- I-unlock ang access sa lahat ng nakatagong gawain sa lahat ng 99 na artikulo ng tutorial - 999 kuskusin.
Oo, mayroon kaming 99 na ganoong mga artikulo sa aklat-aralin at ang pag-access sa lahat ng mga gawain at lahat ng mga nakatagong teksto sa mga ito ay mabubuksan kaagad.
Sa pangalawang kaso bibigyan ka namin simulator "6000 mga gawain na may mga solusyon at sagot, para sa bawat paksa, para sa lahat ng antas ng pagiging kumplikado." Ito ay tiyak na sapat upang makuha ang iyong kamay sa paglutas ng mga problema sa anumang paksa.
Sa katunayan, ito ay higit pa sa isang simulator - isang buong programa ng pagsasanay. Kung kinakailangan, maaari mo ring gamitin ito nang LIBRE.
Ang access sa lahat ng mga teksto at programa ay ibinibigay para sa buong buhay ng site.
Sa konklusyon...
Kung hindi mo gusto ang aming mga gawain, maghanap ng iba. Huwag lang tumigil sa teorya.
Ang "Naiintindihan" at "Alam ko kung paano lutasin" ay ganap na magkaibang mga kasanayan. Kailangan mo pareho.
Maghanap ng mga problema at lutasin!
