Isaalang-alang natin ang kahulugan ng isang linya sa eroplano, kung saan ang mga variable na x, y ay mga function ng ikatlong variable t (tinatawag na parameter):

Para sa bawat halaga t mula sa ilang agwat ay tumutugma sa ilang mga halaga x at y, at, kaya isang tiyak na punto M(x, y) ng eroplano. Kailan t tumatakbo sa lahat ng mga halaga mula sa isang naibigay na agwat, pagkatapos ay ang punto M (x, y) naglalarawan ng ilang linya L. Ang mga equation (2.2) ay tinatawag na parametric equation ng linya L.

Kung ang function na x = φ(t) ay may kabaligtaran na t = Ф(x), pagkatapos ay palitan ang expression na ito sa equation na y = g(t), makuha namin ang y = g(Ф(x)), na tumutukoy y bilang isang katangian ng x. Sa kasong ito, ang mga equation (2.2) ay sinasabing tumutukoy sa function y parametrically.

Halimbawa 1 Hayaan M (x, y) ay isang arbitrary na punto ng bilog ng radius R at nakasentro sa pinanggalingan. Hayaan t- ang anggulo sa pagitan ng axis baka at radius OM(Tingnan ang Larawan 2.3). Pagkatapos x, y ipinahayag sa pamamagitan ng t:

Ang mga equation (2.3) ay mga parametric equation ng bilog. Huwag nating isama ang parameter t mula sa mga equation (2.3). Upang gawin ito, parisukat namin ang bawat isa sa mga equation at idagdag ito, nakukuha namin: x 2 + y 2 \u003d R 2 (cos 2 t + sin 2 t) o x 2 + y 2 \u003d R 2 - ang bilog na equation sa Cartesian coordinate system. Tinutukoy nito ang dalawang function: Ang bawat isa sa mga function na ito ay ibinibigay ng mga parametric equation (2.3), ngunit para sa unang function , at para sa pangalawa .

Halimbawa 2. Parametric equation

tukuyin ang isang ellipse na may mga semiax a, b(Larawan 2.4). Pag-aalis ng parameter mula sa mga equation t, nakukuha natin ang canonical equation ng ellipse:

Halimbawa 3. Ang cycloid ay isang linya na inilalarawan ng isang puntong nakahiga sa isang bilog kung ang bilog na ito ay gumulong nang hindi nadudulas sa isang tuwid na linya (Larawan 2.5). Ipakilala natin ang mga parametric equation ng cycloid. Hayaang maging ang radius ng umiikot na bilog a, tuldok M, na naglalarawan sa cycloid, sa simula ng kilusan ay kasabay ng pinagmulan.

Tukuyin natin ang mga coordinate x, y puntos M pagkatapos umikot ang bilog sa isang anggulo t
(Larawan 2.5), t = ÐMCB. Haba ng arko MB katumbas ng haba ng segment OB, dahil ang bilog ay gumulong nang hindi nadulas, kaya

OB = at, AB = MD = asint, CD = acost, x = OB – AB = at – asint = a(t – sint),

y = AM = CB - CD = a - acost = a(1 - gastos).

Kaya, ang mga parametric equation ng cycloid ay nakuha:

Kapag binabago ang parameter t mula 0 hanggang 2π ang bilog ay pinaikot ng isang rebolusyon, habang ang punto M naglalarawan ng isang arko ng cycloid. Tinutukoy ng mga equation (2.5). y bilang isang katangian ng x. Bagaman ang pag-andar x = a(t - sint) ay may kabaligtaran na pag-andar, ngunit hindi ito ipinahayag sa mga tuntunin ng elementarya na pag-andar, kaya ang pag-andar y = f(x) ay hindi ipinahayag sa mga tuntunin ng elementarya function.

Isaalang-alang ang pagkita ng kaibhan ng function na ibinigay parametrically ng mga equation (2.2). Ang function na x = φ(t) sa isang tiyak na pagitan ng pagbabago t ay may kabaligtaran na function t = Ф(x), pagkatapos y = g(Ф(x)). Hayaan x = φ(t), y = g(t) may mga derivatives, at x"t≠0. Ayon sa panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng isang kumplikadong function y"x=y"t×t"x. Batay sa inverse function differentiation rule, samakatuwid:

Ang resultang formula (2.6) ay nagpapahintulot sa isa na mahanap ang derivative para sa isang function na ibinigay parametrically.

Halimbawa 4. Hayaan ang function y, depende sa x, ay nakatakda nang parametric:

Desisyon. .
Halimbawa 5 Maghanap ng Slope k padaplis sa cycloid sa puntong M 0 na tumutugma sa halaga ng parameter .
Desisyon. Mula sa cycloid equation: y" t = asint, x" t = a(1 - gastos), kaya lang

Slope ng tangent sa isang punto M0 katumbas ng halaga sa t 0 \u003d π / 4:

FUNCTION DIFFERENTIAL

Hayaan ang function sa isang punto x0 may derivative. A-priory:
samakatuwid, sa pamamagitan ng mga katangian ng limitasyon (Sec. 1.8) , kung saan a ay walang katapusang maliit sa ∆x → 0. Mula rito

Δy = f "(x0)Δx + α×Δx. (2.7)

Bilang Δx → 0, ang pangalawang termino sa pagkakapantay-pantay (2.7) ay isang infinitesimal na mas mataas na pagkakasunud-sunod, kung ihahambing sa , samakatuwid Δy at f "(x 0) × Δx ay katumbas, infinitesimal (para sa f "(x 0) ≠ 0).

Kaya, ang pagtaas ng function na Δy ay binubuo ng dalawang termino, kung saan ang unang f "(x 0) × Δx ay pangunahing bahagi increments Δy, linear na may kinalaman sa Δx (para sa f "(x 0) ≠ 0).

Differential ang function na f(x) sa puntong x 0 ay tinatawag na pangunahing bahagi ng pagtaas ng function at ipinapahiwatig: dy o df(x0). Kaya naman,

df (x0) =f "(x0)×Δx. (2.8)

Halimbawa 1 Hanapin ang kaugalian ng isang function dy at ang pagtaas ng function Δy para sa function y \u003d x 2 kapag:
1) arbitraryo x at Δ x; 2) x 0 \u003d 20, Δx \u003d 0.1.

Desisyon

1) Δy \u003d (x + Δx) 2 - x 2 \u003d x 2 + 2xΔx + (Δx) 2 - x 2 \u003d 2xΔx + (Δx) 2, dy \u003d 2xΔx.

2) Kung x 0 \u003d 20, Δx \u003d 0.1, pagkatapos ay Δy \u003d 40 × 0.1 + (0.1) 2 \u003d 4.01; dy = 40×0.1= 4.

Sinusulat namin ang pagkakapantay-pantay (2.7) sa anyo:

Δy = dy + a×Δx. (2.9)

Ang pagtaas ng Δy ay naiiba sa kaugalian dy sa isang infinitesimal na mas mataas na order, kumpara sa Δx, samakatuwid, sa tinatayang mga kalkulasyon, ang tinatayang pagkakapantay-pantay Δy ≈ dy ay ginagamit kung ang Δx ay sapat na maliit.

Isinasaalang-alang na Δy \u003d f (x 0 + Δx) - f (x 0), nakakuha kami ng tinatayang formula:

f(x 0 + Δx) ≈ f(x 0) + dy. (2.10)

Halimbawa 2. Kalkulahin ang humigit-kumulang.

Desisyon. Isaalang-alang:

Gamit ang formula (2.10), nakukuha natin ang:

Kaya naman, ≈ 2.025.

Isaalang-alang ang geometric na kahulugan ng kaugalian df(x0)(Larawan 2.6).

Gumuhit ng tangent sa graph ng function na y = f (x) sa puntong M 0 (x0, f (x 0)), hayaang φ ang anggulo sa pagitan ng tangent KM0 at ng axis na Ox, pagkatapos ay f "(x 0) ) = tgφ. Mula sa ΔM0NP:
PN \u003d tgφ × Δx \u003d f "(x 0) × Δx \u003d df (x 0). Ngunit ang PN ay ang pagtaas ng tangent ordinate kapag ang x ay nagbabago mula sa x 0 hanggang x 0 + Δx.

Samakatuwid, ang pagkakaiba ng function na f(x) sa puntong x 0 ay katumbas ng pagtaas ng tangent ordinate.

Hanapin natin ang differential ng function
y=x. Dahil (x)" = 1, kung gayon dx = 1 × Δx = Δx. Ipinapalagay namin na ang pagkakaiba ng independent variable x ay katumbas ng pagtaas nito, ibig sabihin, dx = Δx.

Kung ang x ay isang di-makatwirang numero, kung gayon mula sa pagkakapantay-pantay (2.8) makuha natin ang df(x) = f "(x)dx, kung saan .
Kaya, ang derivative para sa function na y = f(x) ay katumbas ng ratio ng differential nito sa differential ng argument.

Isaalang-alang ang mga katangian ng kaugalian ng isang function.

Kung ang u(x), v(x) ay mga differentiable function, ang mga sumusunod na formula ay totoo:

Upang patunayan ang mga formula na ito, ginagamit ang mga derivative formula para sa kabuuan, produkto, at quotient. Patunayan natin, halimbawa, ang formula (2.12):

d(u×v) = (u×v)"Δx = (u×v" + u"×v)Δx = u×v"Δx + u"Δx×v = u×dv + v×du.

Isaalang-alang ang kaugalian ng isang kumplikadong function: y = f(x), x = φ(t), i.e. y = f(φ(t)).

Pagkatapos dy = y" t dt, ngunit y" t = y" x ×x" t , kaya dy =y" x x" t dt. Isinasaalang-alang,

na x" t = dx, makuha namin ang dy = y" x dx =f "(x)dx.

Kaya, ang kaugalian ng isang kumplikadong function na y \u003d f (x), kung saan ang x \u003d φ (t), ay may anyo na dy \u003d f "(x) dx, katulad ng kapag ang x ay isang independent variable. Ang property na ito ay tinatawag na hugis invariant differential a.

Sa ngayon, isinasaalang-alang namin ang mga equation ng mga linya sa eroplano, na direktang nauugnay sa kasalukuyang mga coordinate ng mga punto ng mga linyang ito. Gayunpaman, ang isa pang paraan ng pagtukoy ng linya ay madalas na ginagamit, kung saan ang kasalukuyang mga coordinate ay itinuturing bilang mga function ng isang ikatlong variable.

Hayaang ibigay ang dalawang function ng isang variable

isinasaalang-alang para sa parehong mga halaga ng t. Pagkatapos ang alinman sa mga halagang ito ng t ay tumutugma sa isang tiyak na halaga at isang tiyak na halaga ng y, at, dahil dito, sa isang tiyak na punto. Kapag ang variable t ay tumatakbo sa lahat ng mga value mula sa function definition area (73), ang punto ay naglalarawan ng ilang linya С sa eroplano. Ang mga equation (73) ay tinatawag na parametric equation ng linyang ito, at ang variable ay tinatawag na isang parameter.

Ipagpalagay na ang function ay may kabaligtaran na pag-andar Ang pagpapalit ng function na ito sa pangalawa ng mga equation (73), makuha natin ang equation

pagpapahayag ng y bilang isang function

Sumang-ayon tayo na sabihin na ang function na ito ay ibinibigay sa parametrically ng mga equation (73). Ang paglipat mula sa mga equation na ito sa equation (74) ay tinatawag na pag-aalis ng parameter. Kapag isinasaalang-alang ang mga function na tinukoy sa parametrically, ang pagbubukod ng parameter ay hindi lamang hindi kinakailangan, ngunit hindi rin palaging halos posible.

Sa maraming mga kaso, ito ay mas maginhawa, bibigyan ng iba't ibang mga halaga ng parameter, upang pagkatapos ay kalkulahin, gamit ang mga formula (73), ang kaukulang mga halaga ng argumento at function na y.

Isaalang-alang ang mga halimbawa.

Halimbawa 1. Hayaan ay isang di-makatwirang punto ng isang bilog na nakasentro sa pinanggalingan at radius R. Ang Cartesian coordinate x at y ng puntong ito ay ipinahayag sa mga tuntunin ng kanyang polar radius at polar angle, na tinutukoy namin dito sa pamamagitan ng t, tulad ng sumusunod ( tingnan ang Ch. I, § 3, aytem 3):

Ang mga equation (75) ay tinatawag na parametric equation ng bilog. Ang parameter sa kanila ay ang polar angle, na nag-iiba mula 0 hanggang.

Kung ang mga equation (75) ay squared at idinagdag ang term sa pamamagitan ng term, kung gayon, dahil sa pagkakakilanlan, ang parameter ay aalisin at ang circle equation sa Cartesian coordinate system ay makukuha, na tumutukoy sa dalawang elementarya na function:

Ang bawat isa sa mga function na ito ay tinukoy sa parametrically ng mga equation (75), ngunit ang mga hanay ng pagkakaiba-iba ng parameter para sa mga function na ito ay iba. Para sa una; ang graph ng function na ito ay ang itaas na kalahating bilog. Para sa pangalawang function, ang graph nito ay ang mas mababang kalahating bilog.

Halimbawa 2. Isaalang-alang ang isang ellipse sa parehong oras

at isang bilog na nakasentro sa pinanggalingan at radius a (Larawan 138).

Sa bawat punto M ng ellipse, iniuugnay namin ang isang punto N ng bilog, na may parehong abscissa bilang punto M, at matatagpuan kasama nito sa parehong bahagi ng axis ng Ox. Ang posisyon ng point N, at samakatuwid ang point M, ay ganap na tinutukoy ng polar angle t ng point. Sa kasong ito, para sa kanilang karaniwang abscissa, nakuha namin ang sumusunod na expression: x \u003d a. Nahanap namin ang ordinate sa punto M mula sa equation ng ellipse:

Ang sign ay pinili dahil ang ordinate sa point M at ang ordinate sa point N ay dapat magkaroon ng parehong mga sign.

Kaya, ang mga sumusunod na parametric equation ay nakuha para sa ellipse:

Dito nagbabago ang parameter t mula 0 hanggang .

Halimbawa 3. Isaalang-alang ang isang bilog na may sentro sa punto a) at radius a, na, malinaw naman, ay humahawak sa x-axis sa pinanggalingan (Larawan 139). Ipagpalagay na ang bilog na ito ay gumulong nang hindi nadulas sa x-axis. Pagkatapos ang punto M ng bilog, na nag-tutugma sa paunang sandali sa pinagmulan, ay naglalarawan ng isang linya, na tinatawag na cycloid.

Nakukuha namin ang mga parametric equation ng cycloid, na kinukuha bilang parameter t ang anggulo ng pag-ikot ng bilog na MSW kapag inililipat ang nakapirming punto nito mula sa posisyon O patungo sa posisyon M. Pagkatapos ay para sa mga coordinate at y ng punto M nakukuha namin ang mga sumusunod na expression:

Dahil sa ang katunayan na ang bilog ay gumulong sa kahabaan ng axis nang hindi dumudulas, ang haba ng segment na OB ay katumbas ng haba ng arc VM. Dahil ang haba ng VM arc ay katumbas ng produkto ng radius a at ang gitnang anggulo t, kung gayon . Kaya . Ngunit, samakatuwid,

Ang mga equation na ito ay ang mga parametric equation ng cycloid. Kapag binago ang parameter t mula 0 sa bilog ay gagawa ng isang kumpletong rebolusyon. Ilalarawan ng Point M ang isang arko ng cycloid.

Ang pagbubukod ng parameter t ay humahantong dito sa masalimuot na mga expression at halos hindi praktikal.

Ang parametric na kahulugan ng mga linya ay kadalasang ginagamit sa mekanika, at ang oras ay gumaganap ng papel ng isang parameter.

Halimbawa 4. Tukuyin natin ang tilapon ng isang projectile na pinaputok mula sa isang baril na may paunang bilis sa isang anggulo a sa abot-tanaw. Ang paglaban ng hangin at mga sukat ng projectile, na isinasaalang-alang ito bilang isang materyal na punto, ay napapabayaan.

Pumili tayo ng coordinate system. Para sa pinagmulan ng mga coordinate, kinukuha namin ang punto ng pag-alis ng projectile mula sa muzzle. Idirekta natin ang Ox axis nang pahalang, at ang Oy axis - patayo, ilagay ang mga ito sa parehong eroplano na may nguso ng baril. Kung walang gravitational force, kung gayon ang projectile ay lilipat sa isang tuwid na linya na gagawa ng isang anggulo a sa Ox axis, at sa oras na t ang projectile ay maglalakbay sa layo. Dahil sa gravity ng earth, ang projectile sa sandaling ito ay dapat na patayong bumaba ng isang value. Samakatuwid, sa katotohanan, sa oras na t, ang mga coordinate ng projectile ay tinutukoy ng mga formula:

Ang mga equation na ito ay mga pare-pareho. Kapag nagbago ang t, magbabago din ang mga coordinate ng projectile trajectory point. Ang mga equation ay parametric equation ng projectile trajectory, kung saan ang parameter ay oras

Pagpapahayag mula sa unang equation at pagpapalit nito sa

ang pangalawang equation, makuha natin ang equation ng projectile trajectory sa anyo Ito ang equation ng isang parabola.

Ang derivative ng isang function na implicitly na ibinigay.
Derivative ng isang parametrically tinukoy na function

Sa artikulong ito, isasaalang-alang natin ang dalawa pang karaniwang gawain na kadalasang makikita sa mga pagsusulit sa mas mataas na matematika. Upang matagumpay na makabisado ang materyal, kinakailangan na makahanap ng mga derivatives ng hindi bababa sa isang average na antas. Maaari mong matutunan kung paano maghanap ng mga derivatives mula sa simula sa dalawang pangunahing aralin at Derivative ng isang compound function. Kung ang lahat ay maayos na may mga kasanayan sa pagkita ng kaibhan, pagkatapos ay pumunta tayo.

Derivative ng isang function na implicitly na tinukoy

O, sa madaling salita, ang derivative ng isang implicit function. Ano ang implicit function? Alalahanin muna natin ang mismong kahulugan ng isang function ng isang variable:

Function ng isang variable ay ang panuntunan na ang bawat halaga ng independent variable ay tumutugma sa isa at isang halaga lamang ng function.

Ang variable ay tinatawag malayang baryabol o argumento.
Ang variable ay tinatawag dependent variable o function .

Sa ngayon, isinasaalang-alang namin ang mga function na tinukoy sa tahasan anyo. Ano ang ibig sabihin nito? Ayusin natin ang isang debriefing sa mga partikular na halimbawa.

Isaalang-alang ang function

Nakita namin na sa kaliwa mayroon kaming nag-iisang "y", at sa kanan - mga x lang. Iyon ay, ang pag-andar tahasan ipinahayag sa mga tuntunin ng malayang baryabol.

Isaalang-alang natin ang isa pang function:

Narito ang mga variable at matatagpuan "halo-halong". At imposible sa anumang paraan ipahayag ang "Y" sa pamamagitan lamang ng "X". Ano ang mga pamamaraang ito? Paglilipat ng mga termino mula sa bahagi patungo sa bahagi na may pagbabago ng sign, bracketing, throwing factors ayon sa tuntunin ng proporsyon, atbp. Isulat muli ang pagkakapantay-pantay at subukang ipahayag ang "y" nang tahasan:. Maaari mong i-twist at iikot ang equation nang maraming oras, ngunit hindi ka magtatagumpay.

Pahintulutan akong ipakilala: - isang halimbawa implicit function.

Sa kurso ng mathematical analysis, napatunayan na ang implicit function umiral(ngunit hindi palaging), mayroon itong graph (tulad ng isang "normal" na function). Ito ay pareho para sa isang implicit na function. umiral unang derivative, pangalawang derivative, atbp. Tulad ng sinasabi nila, ang lahat ng mga karapatan ng mga sekswal na minorya ay iginagalang.

At sa araling ito ay matututunan natin kung paano hanapin ang derivative ng isang function na ibinigay nang hindi malinaw. Hindi naman ganoon kahirap! Ang lahat ng mga panuntunan sa pagkita ng kaibhan, ang talahanayan ng mga derivatives ng elementarya ay nananatiling may bisa. Ang pagkakaiba ay nasa isang kakaibang punto, na isasaalang-alang natin ngayon.

Oo, at sasabihin ko sa iyo ang mabuting balita - ang mga gawain na tinalakay sa ibaba ay isinasagawa ayon sa isang medyo matibay at malinaw na algorithm na walang bato sa harap ng tatlong mga track.

Halimbawa 1

1) Sa unang yugto, nag-hang kami ng mga stroke sa parehong bahagi:

2) Ginagamit namin ang mga tuntunin ng linearity ng derivative (ang unang dalawang panuntunan ng aralin Paano mahahanap ang derivative? Mga halimbawa ng solusyon):

3) Direktang pagkita ng kaibhan.
Paano makilala at lubos na mauunawaan. Ano ang gagawin kung saan may mga "laro" sa ilalim ng mga stroke?

- para lang sa kahihiyan, ang derivative ng isang function ay katumbas ng derivative nito: .

Paano mag-iba
Nandito na tayo kumplikadong pag-andar. Bakit? Tila sa ilalim ng sine ay may isang letra lamang na "Y". Ngunit, ang katotohanan ay isang titik lamang na "y" - AY ISANG FUNCTION SA SARILI(tingnan ang kahulugan sa simula ng aralin). Kaya, ang sine ay isang panlabas na function, ay isang panloob na function. Ginagamit namin ang panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng isang kumplikadong function :

Naiiba ang produkto ayon sa karaniwang tuntunin :

Tandaan na isa ring kumplikadong function, anumang "twist toy" ay isang kumplikadong function:

Ang disenyo ng solusyon mismo ay dapat magmukhang ganito:


Kung may mga bracket, buksan ang mga ito:

4) Sa kaliwang bahagi, kinokolekta namin ang mga termino kung saan mayroong "y" na may isang stroke. Sa kanang bahagi - inililipat namin ang lahat ng iba pa:

5) Sa kaliwang bahagi, inaalis namin ang derivative sa mga bracket:

6) At ayon sa tuntunin ng proporsyon, ibinabagsak namin ang mga bracket na ito sa denominator ng kanang bahagi:

Nahanap na ang derivative. handa na.

Ito ay kagiliw-giliw na tandaan na ang anumang pag-andar ay maaaring muling isulat nang hindi malinaw. Halimbawa, ang function maaaring isulat muli tulad nito: . At ibahin ito ayon sa algorithm na isinasaalang-alang lamang. Sa katunayan, ang mga pariralang "implicit function" at "implicit function" ay naiiba sa isang semantic nuance. Ang pariralang "implicitly na tinukoy na function" ay mas pangkalahatan at tama, - ang function na ito ay implicitly na ibinibigay, ngunit dito maaari mong ipahayag ang "y" at ipakita ang function na tahasan. Ang pariralang "implicit function" ay nangangahulugang isang "classical" implicit function, kapag ang "y" ay hindi maipahayag.

Ang pangalawang paraan ng paglutas

Pansin! Maaari mong gawing pamilyar ang iyong sarili sa pangalawang paraan kung alam mo kung paano kumpiyansa na maghanap mga partial derivatives. Calculus Beginners and Dummies Please huwag basahin at laktawan ang talatang ito, kung hindi, ang ulo ay magiging ganap na gulo.

Hanapin ang derivative ng implicit function sa pangalawang paraan.

Inilipat namin ang lahat ng mga termino sa kaliwang bahagi:

At isaalang-alang ang isang function ng dalawang variable:

Pagkatapos ang aming derivative ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula
Maghanap tayo ng mga partial derivatives:

kaya:

Ang pangalawang solusyon ay nagpapahintulot sa iyo na magsagawa ng tseke. Ngunit hindi kanais-nais na gumuhit ng isang pangwakas na bersyon ng gawain para sa kanila, dahil ang mga bahagyang derivatives ay pinagkadalubhasaan sa ibang pagkakataon, at ang isang mag-aaral na nag-aaral ng paksang "Derivative ng isang function ng isang variable" ay hindi dapat malaman ang mga bahagyang derivatives.

Tingnan natin ang ilan pang halimbawa.

Halimbawa 2

Hanapin ang derivative ng isang function na implicitly na ibinigay

Nag-hang kami ng mga stroke sa parehong bahagi:

Ginagamit namin ang mga patakaran ng linearity:

Paghahanap ng mga derivatives:

Pagpapalawak ng lahat ng panaklong:

Inilipat namin ang lahat ng mga termino sa kaliwang bahagi, ang natitira - sa kanang bahagi:

Panghuling sagot:

Halimbawa 3

Hanapin ang derivative ng isang function na implicitly na ibinigay

Buong solusyon at sample ng disenyo sa pagtatapos ng aralin.

Karaniwang lumilitaw ang mga fraction pagkatapos ng pagkita ng kaibhan. Sa ganitong mga kaso, ang mga fraction ay dapat itapon. Tingnan natin ang dalawa pang halimbawa.

Halimbawa 4

Hanapin ang derivative ng isang function na implicitly na ibinigay

Tinatapos namin ang parehong bahagi sa ilalim ng mga stroke at ginagamit ang linearity rule:

Nag-iiba kami gamit ang panuntunan ng pagkita ng kaibahan ng isang kumplikadong function at ang tuntunin ng pagkita ng kaibhan ng quotient :

Pagpapalawak ng mga bracket:

Ngayon kailangan nating alisin ang fraction. Magagawa ito sa ibang pagkakataon, ngunit mas makatuwiran na gawin ito kaagad. Ang denominator ng fraction ay . Paramihin sa . Sa detalye, magiging ganito ang hitsura:

Minsan pagkatapos ng pagkita ng kaibhan, 2-3 fraction ang lilitaw. Kung mayroon tayong isa pang fraction, halimbawa, kung gayon ang operasyon ay kailangang ulitin - multiply bawat termino ng bawat bahagi sa

Sa kaliwang bahagi, inilabas namin ito sa mga bracket:

Panghuling sagot:

Halimbawa 5

Hanapin ang derivative ng isang function na implicitly na ibinigay

Ito ay isang halimbawa ng do-it-yourself. Ang tanging bagay dito, bago mapupuksa ang fraction, kakailanganin mo munang alisin ang tatlong palapag na istraktura ng fraction mismo. Buong solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.

Derivative ng isang parametrically tinukoy na function

Huwag pilitin, sa talatang ito, masyadong, ang lahat ay medyo simple. Maaari mong isulat ang pangkalahatang formula ng isang parametrically na ibinigay na function, ngunit, upang gawin itong malinaw, agad kong isusulat ang isang tiyak na halimbawa. Sa parametric form, ang function ay ibinibigay ng dalawang equation: . Kadalasan, ang mga equation ay isinulat hindi sa ilalim ng mga kulot na braces, ngunit sunud-sunod:,.

Ang variable ay tinatawag na isang parameter at maaaring kumuha ng mga halaga mula sa "minus infinity" hanggang sa "plus infinity". Isaalang-alang, halimbawa, ang halaga at palitan ito sa parehong mga equation: . O makatao: "kung ang x ay katumbas ng apat, kung gayon ang y ay katumbas ng isa." Maaari mong markahan ang isang punto sa coordinate plane, at ang puntong ito ay tumutugma sa halaga ng parameter. Katulad nito, makakahanap ka ng isang punto para sa anumang halaga ng parameter na "te". Tulad ng para sa "ordinaryong" function, para sa American Indians ng isang parametrically given function, ang lahat ng karapatan ay iginagalang din: maaari kang mag-plot ng graph, maghanap ng mga derivatives, at iba pa. Sa pamamagitan ng paraan, kung may pangangailangan na bumuo ng isang graph ng isang parametrically na ibinigay na function, maaari mong gamitin ang aking programa.

Sa pinakasimpleng mga kaso, posibleng ilarawan ang function nang tahasan. Ipinapahayag namin ang parameter mula sa unang equation: at palitan ito sa pangalawang equation: . Ang resulta ay isang ordinaryong cubic function.

Sa mas "malubhang" mga kaso, ang gayong panlilinlang ay hindi gumagana. Ngunit hindi ito mahalaga, dahil mayroong isang pormula upang mahanap ang derivative ng isang parametric function:

Nahanap namin ang derivative ng "ang manlalaro na may paggalang sa variable na te":

Ang lahat ng mga patakaran ng pagkita ng kaibhan at ang talahanayan ng mga derivative ay wasto, siyempre, para sa titik , kaya, walang bago sa proseso ng paghahanap ng mga derivatives. Itak lang palitan lahat ng "x" sa table ng letrang "te".

Nahanap namin ang derivative ng "x na may paggalang sa variable na te":

Ngayon ay nananatili na lamang na palitan ang mga nahanap na derivatives sa aming formula:

handa na. Ang derivative, tulad ng mismong function, ay nakasalalay din sa parameter .

Tulad ng para sa notasyon, sa halip na isulat sa pormula, maaari lamang itong isulat nang walang subscript, dahil ito ang "ordinaryong" derivative "ni x". Ngunit palaging may variant sa panitikan, kaya hindi ako lilihis sa pamantayan.

Halimbawa 6

Ginagamit namin ang formula

Sa kasong ito:

kaya:

Ang isang tampok ng paghahanap ng derivative ng isang parametric function ay ang katotohanan na sa bawat hakbang, kapaki-pakinabang na gawing simple ang resulta hangga't maaari. Kaya, sa isinasaalang-alang na halimbawa, kapag naghahanap, binuksan ko ang mga bracket sa ilalim ng ugat (bagaman maaaring hindi ko ito nagawa). Malaki ang pagkakataon na kapag pinalitan at sa formula, maraming bagay ang mababawasan nang husto. Bagama't mayroong, siyempre, mga halimbawa na may malamya na mga sagot.

Halimbawa 7

Hanapin ang derivative ng isang function na ibinigay parametrically

Ito ay isang halimbawa ng do-it-yourself.

Sa artikulo Ang pinakasimpleng karaniwang mga problema sa isang derivative isinaalang-alang namin ang mga halimbawa kung saan kinakailangan upang mahanap ang pangalawang derivative ng isang function. Para sa isang parametrically given function, maaari mo ring mahanap ang pangalawang derivative, at ito ay matatagpuan sa pamamagitan ng sumusunod na formula: . Halatang halata na upang mahanap ang pangalawang derivative, kailangan munang hanapin ang unang derivative.

Halimbawa 8

Hanapin ang una at pangalawang derivatives ng isang function na ibinigay parametrically

Hanapin muna natin ang unang derivative.
Ginagamit namin ang formula

Sa kasong ito:

Pinapalitan namin ang mga nahanap na derivatives sa formula. Para sa kapakanan ng pagiging simple, ginagamit namin ang trigonometric formula:

Logarithmic differentiation

Derivatives ng elementarya function

Mga pangunahing tuntunin ng pagkita ng kaibhan

Pagkakaiba ng pag-andar

Pangunahing linear na bahagi ng pagtaas ng function A D x sa kahulugan ng differentiability ng isang function

D f=f(x)-f(x 0)=A(x-x 0)+o(x-x 0), x®x 0

ay tinatawag na differential ng function f(x) sa punto x 0 at may denotasyon

df(x 0)=f¢(x 0)D x= A D x.

Ang pagkakaiba ay depende sa punto x 0 at mula sa pagtaas D x. Sa D x habang tinitingnan ito bilang isang malayang variable, kaya na sa bawat punto ang differential ay isang linear function ng increment D x.

Kung isasaalang-alang natin bilang isang function f(x)=x, pagkatapos makuha namin dx= D x, dy=Adx. Ito ay pare-pareho sa Leibniz notation

Geometrical na interpretasyon ng differential bilang isang pagtaas ng tangent ordinate.

kanin. 4.3

1) f= const , f¢= 0, df= 0D x= 0.

2) f=u+v, f¢=u¢+v¢, df = du+dv.

3) f=uv, f¢=u¢v+v¢u, df = u dv + v du.

Bunga. (cf(x))¢=cf¢(x), (c 1 f 1 (x)+…+c n f n(x))¢= c 1 f¢ 1 (x)+…+ c n f¢ n(x)

4) f=u/v, v(x 0)¹0 at ang derivative ay umiiral, kung gayon f¢=(u¢v-v¢ u)/v 2 .

Para sa kaiklian, kami ay magsasaad u=u(x), ikaw 0 =u(x 0), pagkatapos

Pagpasa sa limitasyon sa D x® 0 nakukuha natin ang kinakailangang pagkakapantay-pantay.

5) Derivative ng isang kumplikadong function.

Teorama. Kung mayroong f¢(x 0), g¢(x 0)at x 0 =g(t 0), pagkatapos ay sa ilang kapitbahayan t 0 isang kumplikadong function f(g(t)), ito ay naiba sa puntong t 0 at

Patunay.

f(x)-f(x 0)=f¢(x 0)(x-x 0)+ a( x)(x-x 0), xÎ U(x 0).

f(g(t))-f(g(t 0))= f¢(x 0)(g(t)-g(t 0))+ a( g(t))(g(t)-g(t 0)).

Hatiin ang magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay na ito sa pamamagitan ng ( t - t 0) at pumasa sa limitasyon sa t®t 0 .

6) Pagkalkula ng derivative ng inverse function.

Teorama. Hayaang tuluy-tuloy ang f at mahigpit na naka-on[a,b]. Hayaan sa puntong x 0 Î( a,b)umiiral f¢(x 0)¹ 0 , pagkatapos ay ang inverse function na x=f -1 (y)ay nasa puntong y 0 derivative katumbas ng

Patunay. Naniniwala kami f mahigpit na monotonically pagtaas, pagkatapos f -1 (y) ay tuloy-tuloy, monotonically tumataas sa [ f(a),f(b)]. Ilagay natin y 0 =f(x 0), y=f(x), x - x 0=D x,

y-y 0=D y. Dahil sa pagpapatuloy ng inverse function D y®0 Þ D x®0, mayroon kami

Ang pagpasa sa limitasyon, nakuha namin ang kinakailangang pagkakapantay-pantay.

7) Ang derivative ng even function ay odd, ang derivative ng odd function ay even.

Sa katunayan, kung x®-x 0 , tapos- x® x 0 , kaya lang

Para sa isang even function para sa isang kakaibang function

1) f= const, f¢(x)=0.

2) f(x)=x, f¢(x)=1.

3) f(x)=e x, f¢(x)= e x ,

4) f(x)=a x ,(isang x)¢ = x ln a.

5) ln a.

6) f(x)=ln x ,

Bunga. (ang derivative ng even function ay kakaiba)

7) (x m )¢= m x m-1 , x>0, x m =e m ln x .

8) (kasalanan x)¢= cos x,

9) (cos x)¢=- kasalanan x,(cos x)¢= (kasalanan( x+ p/2)) ¢= kasi( x+ p/2)=-kasalanan x.

10) (tg x)¢= 1/cos 2 x.

11) (ctg x)¢= -1/kasalanan2 x.

16) sh x, ch x.

f(x),, kung saan sinusundan iyon f¢(x)=f(x)(ln f(x))¢ .

Ang parehong formula ay maaaring makuha nang iba f(x)=e ln f(x) , f¢=e ln f(x) (ln f(x))¢.

Halimbawa. Kalkulahin ang derivative ng isang function f=x x .

=x x = x x = x x = x x(ln x + 1).

Locus ng mga punto sa isang eroplano

ay tatawaging graph ng function, ibinigay parametrically. Pinag-uusapan din nila ang tungkol sa parametric na kahulugan ng isang function.

Puna 1. Kung ang x, y tuloy-tuloy sa [a,b] at x(t) mahigpit na monotoniko sa segment (halimbawa, mahigpit na monotonically pagtaas), pagkatapos ay sa [ a,b], a=x(a) ,b=x(b) tinukoy ang function f(x)=y(t(x)), kung saan t(x) – function na baligtad sa x(t). Ang graph ng function na ito ay kapareho ng graph ng function

Kung ang saklaw Ang function na tinukoy ng parametric ay maaaring hatiin sa isang may hangganan na bilang ng mga segment ,k= 1,2,…,n, sa bawat isa kung saan ang function x(t) ay mahigpit na monotoniko, pagkatapos ang parametrically na tinukoy na function ay nabubulok sa isang limitadong bilang ng mga ordinaryong function fk(x)=y(t -1 (x)) may mga saklaw [ x(a k), x(b k)] para sa mga pataas na lugar x(t) at may mga domain [ x(b k), x(a k)] para sa mga pababang seksyon ng function x(t). Ang mga function na nakuha sa ganitong paraan ay tinatawag na single-valued na mga sangay ng isang parametrically tinukoy na function.

Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng isang parametrically tinukoy na function

Gamit ang napiling parametrization, ang domain ng kahulugan ay nahahati sa limang seksyon ng mahigpit na monotonicity ng function na sin(2 t), eksakto: tÎ tÎ ,tÎ ,tÎ , at, nang naaayon, hahati-hati ang graph sa limang sangay na may iisang halaga na naaayon sa mga seksyong ito.

kanin. 4.4

kanin. 4.5

Maaari kang pumili ng isa pang parametrization ng parehong locus ng mga puntos

Sa kasong ito, magkakaroon lamang ng apat na mga sangay. Sila ay tumutugma sa mga lugar na may mahigpit na monotonicity tÎ ,tÎ , tÎ ,tÎ mga function kasalanan(2 t).

kanin. 4.6

Apat na seksyon ng monotonicity ng function na sin(2 t) sa isang segment na mahaba.

kanin. 4.7

Ang larawan ng parehong mga graph sa isang figure ay nagbibigay-daan sa iyo upang humigit-kumulang na ilarawan ang graph ng isang parametrically na ibinigay na function, gamit ang monotonicity na mga lugar ng parehong mga function.

Isaalang-alang, halimbawa, ang unang sangay na tumutugma sa segment tÎ . Sa dulo ng seksyong ito, ang function x= kasalanan(2 t) kinukuha ang mga halaga -1 at 1 , kaya ang sangay na ito ay tutukuyin sa [-1,1] . Pagkatapos nito, kailangan mong tingnan ang mga lugar ng monotonicity ng pangalawang function y= kasi( t), meron siyang dalawang lugar ng monotonicity . Ito ay nagpapahintulot sa amin na sabihin na ang unang sangay ay may dalawang mga segment ng monotonicity. Kapag nahanap mo na ang mga dulo ng graph, maaari mong ikonekta ang mga ito sa mga tuwid na linya upang ipahiwatig ang likas na katangian ng monotony ng graph. Matapos magawa ito sa bawat sangay, nakakakuha kami ng mga lugar ng monotony ng mga single-valued na sangay ng graph (sa figure na naka-highlight ang mga ito sa pula)

kanin. 4.8

Unang solong sangay f 1 (x)=y(t(x)) , naaayon sa seksyon ay matutukoy para sa xн[-1,1] . Unang solong sangay tÎ , xО[-1,1].

Ang lahat ng iba pang tatlong sangay ay magkakaroon din ng set [-1,1] bilang kanilang domain .

kanin. 4.9

Pangalawang sangay tÎ xО[-1,1].

kanin. 4.10

Pangatlong sangay tÎ xн[-1,1]

kanin. 4.11

Pang-apat na sangay tÎ xн[-1,1]

kanin. 4.12

Magkomento 2. Ang parehong function ay maaaring magkaroon ng iba't ibang parametric na takdang-aralin. Ang mga pagkakaiba ay maaaring may kinalaman sa parehong mga pag-andar mismo x(t),y(t) , at mga domain ng kahulugan mga function na ito.

Halimbawa ng iba't ibang parametric na pagtatalaga ng parehong function

at tн[-1, 1] .

Puna 3. Kung ang x,y ay tuloy-tuloy sa , x(t)- mahigpit na monotoniko sa segment at may mga derivatives y¢(t 0),x¢(t 0)¹0, pagkatapos ay mayroon f¢(x 0)= .

Talaga, .

Ang huling pahayag ay umaabot din sa mga single-valued na sangay ng isang parametrically na tinukoy na function.

4.2 Derivatives at differentials ng mas mataas na mga order

Mas mataas na derivatives at differentials. Differentiation ng mga function na ibinigay parametrically. Leibniz formula.

Maaaring tukuyin ang function sa maraming paraan. Depende ito sa panuntunang ginagamit kapag itinatakda ito. Ang tahasang anyo ng kahulugan ng function ay y = f (x) . May mga kaso kapag ang paglalarawan nito ay imposible o hindi maginhawa. Kung mayroong isang set ng mga pares (x; y) na kailangang kalkulahin para sa parameter na t sa pagitan ng (a; b). Upang malutas ang sistema x = 3 cos t y = 3 sin t na may 0 ≤ t< 2 π необходимо задавать окружность с центром координат с радиусом равным 3 .

Kahulugan ng parametric function

Kaya't mayroon tayong x = φ (t) , y = ψ (t) ay tinukoy sa para sa halagang t ∈ (a ; b) at may inverse function t = Θ (x) para sa x = φ (t) , pagkatapos pinag-uusapan natin ang pagtatakda ng parametric equation ng isang function ng form na y = ψ (Θ (x)) .

May mga kaso kung kailan, upang pag-aralan ang isang function, kinakailangan na hanapin ang derivative na may paggalang sa x. Isaalang-alang ang formula para sa derivative ng isang parametrically given function ng form na y x " = ψ " (t) φ " (t) , pag-usapan natin ang derivative ng ika-2 at ika-2 na order.

Derivation ng formula para sa derivative ng isang parametrically given function

Mayroon kaming na x = φ (t) , y = ψ (t) , tinukoy at naiba para sa t ∈ a ; b , kung saan ang x t " = φ " (t) ≠ 0 at x = φ (t) , pagkatapos ay mayroong isang kabaligtaran na function ng form na t = Θ (x) .

Upang magsimula, dapat kang lumipat mula sa isang parametric na gawain patungo sa isang tahasang gawain. Upang gawin ito, kailangan mong makakuha ng isang kumplikadong function ng form y = ψ (t) = ψ (Θ (x)) , kung saan mayroong isang argument x .

Batay sa panuntunan para sa paghahanap ng derivative ng isang kumplikadong function, nakuha namin na y "x \u003d ψ Θ (x) \u003d ψ " Θ x Θ" x.

Ipinapakita nito na ang t = Θ (x) at x = φ (t) ay inverse function mula sa inverse function formula Θ "(x) = 1 φ" (t) , pagkatapos ay y "x = ψ" Θ (x) Θ " (x) = ψ " (t) φ " (t) .

Magpatuloy tayo upang isaalang-alang ang paglutas ng ilang mga halimbawa gamit ang isang talahanayan ng mga derivatives ayon sa tuntunin ng pagkita ng kaibhan.

Halimbawa 1

Hanapin ang derivative para sa function na x = t 2 + 1 y = t .

Desisyon

Sa pamamagitan ng kundisyon, mayroon tayong φ (t) = t 2 + 1, ψ (t) = t, kaya't nakuha natin na φ "(t) = t 2 + 1" , ψ "(t) = t" = 1. Kinakailangang gamitin ang hinangong pormula at isulat ang sagot sa anyo:

y "x = ψ" (t) φ "(t) = 1 2 t

Sagot: y x " = 1 2 t x = t 2 + 1 .

Kapag nagtatrabaho sa derivative ng isang function, tinutukoy ng parameter t ang expression ng argument x sa pamamagitan ng parehong parameter t upang hindi mawala ang koneksyon sa pagitan ng mga value ng derivative at parametrically na tinukoy na function kasama ang argumento kung saan ang mga ito. katumbas ng mga halaga.

Upang matukoy ang second-order derivative ng isang parametrically given function, kailangan mong gamitin ang formula para sa first-order derivative sa resultang function, pagkatapos ay makuha natin iyon

y""x = ψ"(t)φ"(t)"φ"(t) = ψ""(t) φ"(t) - ψ"(t) φ""(t)φ"( t) 2 φ "(t) = ψ "" (t) φ "(t) - ψ "(t) φ "" (t) φ "(t) 3 .

Halimbawa 2

Hanapin ang 2nd at 2nd order derivatives ng ibinigay na function x = cos (2 t) y = t 2 .

Desisyon

Sa pamamagitan ng kundisyon, nakukuha natin na φ (t) = cos (2 t) , ψ (t) = t 2 .

Pagkatapos pagkatapos ng pagbabago

φ "(t) \u003d cos (2 t)" \u003d - kasalanan (2 t) 2 t " \u003d - 2 kasalanan (2 t) ψ (t) \u003d t 2 " \u003d 2 t

Kasunod nito na y x "= ψ" (t) φ "(t) = 2 t - 2 sin 2 t = - t sin (2 t) .

Nakukuha namin na ang anyo ng derivative ng 1st order ay x = cos (2 t) y x " = - t sin (2 t) .

Upang malutas ito, kailangan mong ilapat ang second-order derivative formula. Nakakakuha tayo ng expression na parang

y x "" \u003d - t kasalanan (2 t) φ "t \u003d - t " kasalanan (2 t) - t (kasalanan (2 t)) " kasalanan 2 (2 t) - 2 kasalanan (2 t) = = 1 kasalanan (2 t) - t cos (2 t) (2 t) " 2 sin 3 (2 t) = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)

Pagkatapos ay itakda ang 2nd order derivative gamit ang parametric function

x = cos (2 t) y x "" = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)

Ang isang katulad na solusyon ay maaaring malutas sa pamamagitan ng isa pang pamamaraan. Pagkatapos

φ "t \u003d (cos (2 t)) " \u003d - kasalanan (2 t) 2 t " \u003d - 2 kasalanan (2 t) ⇒ φ "" t \u003d - 2 kasalanan (2 t) " \u003d - 2 kasalanan (2 t) "= - 2 cos (2 t) (2 t)" = - 4 cos (2 t) ψ "(t) = (t 2)" = 2 t ⇒ ψ "" (t) = ( 2 t) " = 2

Kaya nakukuha namin iyon

y "" x = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " (t) 3 = 2 - 2 sin (2 t) - 2 t (- 4 cos (2 t)) - 2 kasalanan 2 t 3 \u003d \u003d kasalanan (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)

Sagot: y "" x \u003d kasalanan (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)

Katulad nito, matatagpuan ang mga derivative na may mataas na pagkakasunod-sunod na may mga function na tinukoy sa parametric.

Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter