• 05.10.2014

  Kung hindi dapat gumamit ng higit sa dalawang pinagmumulan ng signal, makatuwirang gumamit ng awtomatikong tagapili na kumokonekta sa input ng preamplifier ang pinagmulan sa output kung saan lumitaw ang signal. Tulad ng makikita mula sa diagram, ang tagapili ay naglalaman ng isang trigger sa mga transistors VT1, VT2 at dalawang generator ng mga signal na kumokontrol dito. Sa turn, ang bawat isa sa mga shapers ...

• 29.10.2014

  Chip - Ang TDA2822 ay isang low-power stereo amplifier, ang op-amp na ito ay ginagamit sa mga Walkman player at hearing aid. Ang TDA2822 ay maaaring mag-output ng hanggang 0.25W Ang TDA2822 ay isang mahusay na solusyon sa mababang impedance na output. May-akda — D. Mohankumar Source — http://electroschematics.com

• 04.10.2014

  Ang circuit na walang choke supply ng fluorescent lamp ay ipinapakita sa figure. Ang incandescent lamp ay konektado sa serye sa rectifier (ang rectifier ay binuo ayon sa boltahe doubler circuit). Ang paggamit ng isang incandescent lamp sa halip na mga ballast capacitor ay mas praktikal, ito ay nasusunog sa glow floor, kapag ang isa sa mga capacitor ay nasira, ito ay nasusunog sa buong init, at sa gayon ay nagsenyas ng isang malfunction. Ang mga filament...

• 06.10.2014

  Ang preamplifier ay ginawa sa isang IC K1401UD2A, na naglalaman ng 4 na op-amp, sa isang stereo na bersyon, 2 op-amp bawat channel. Ang kabuuang transfer coefficient (gain) ay katumbas ng 5, ang maximum na input boltahe ay 0.5V, ang nominal ay 0.2V. Input impedance 100 kOhm. Ang frequency range ay 30 ... 20000 Hz na may frequency response na hindi pantay na 2 dB. Pagsasaayos ng frequency response 6-band na may center frequency 60, 200, 1000, ...

Sa artikulong ito, mauunawaan natin kung ano ang antas ng. Dito ay magbibigay kami ng mga kahulugan ng antas ng isang numero, habang isinasaalang-alang nang detalyado ang lahat ng posibleng mga exponent ng antas, na nagsisimula sa isang natural na exponent, na nagtatapos sa isang hindi makatwiran. Sa materyal ay makakahanap ka ng maraming mga halimbawa ng mga degree na sumasaklaw sa lahat ng mga subtleties na lumabas.

Pag-navigate sa pahina.

Degree na may natural na exponent, square ng isang numero, cube ng isang numero

Magsimula tayo sa . Sa hinaharap, sabihin natin na ang kahulugan ng antas ng a na may natural na exponent n ay ibinigay para sa a , na tatawagin natin base ng degree, at n , na tatawagin natin exponent. Tandaan din namin na ang antas na may natural na tagapagpahiwatig ay tinutukoy sa pamamagitan ng produkto, kaya upang maunawaan ang materyal sa ibaba, kailangan mong magkaroon ng ideya tungkol sa pagpaparami ng mga numero.

Kahulugan.

Kapangyarihan ng numero a na may natural na exponent n ay isang pagpapahayag ng anyong a n , na ang halaga ay katumbas ng produkto ng n salik, na ang bawat isa ay katumbas ng a , iyon ay, .
Sa partikular, ang antas ng isang numero a na may exponent 1 ay ang numero a mismo, iyon ay, a 1 =a.

Kaagad ito ay nagkakahalaga ng pagbanggit ng mga patakaran para sa pagbabasa ng mga degree. Ang unibersal na paraan upang basahin ang entry a n ay: "a sa kapangyarihan ng n". Sa ilang mga kaso, katanggap-tanggap din ang mga ganitong opsyon: "a to the nth power" at "nth power of the number a". Halimbawa, kunin natin ang kapangyarihan ng 8 12, ito ay "walo sa kapangyarihan ng labindalawa", o "walo hanggang sa ikalabindalawang kapangyarihan", o "ikalabindalawang kapangyarihan ng walo".

Ang pangalawang kapangyarihan ng isang numero, pati na rin ang pangatlong kapangyarihan ng isang numero, ay may sariling mga pangalan. Ang pangalawang kapangyarihan ng isang numero ay tinatawag ang parisukat ng isang numero, halimbawa, ang 7 2 ay binabasa bilang "pitong parisukat" o "parisukat ng bilang pito". Ang ikatlong kapangyarihan ng isang numero ay tinatawag numero ng kubo, halimbawa, ang 5 3 ay maaaring basahin bilang "limang kubo" o sabihing "kubo ng numero 5".

Oras na para magdala mga halimbawa ng mga degree na may mga pisikal na tagapagpahiwatig. Magsimula tayo sa kapangyarihan ng 5 7 , kung saan 5 ang base ng kapangyarihan at 7 ang exponent. Magbigay tayo ng isa pang halimbawa: 4.32 ang base, at ang natural na numero 9 ay ang exponent (4.32) 9 .

Pakitandaan na sa huling halimbawa, ang base ng degree 4.32 ay nakasulat sa mga bracket: upang maiwasan ang mga pagkakaiba, kukunin namin sa mga bracket ang lahat ng mga base ng degree na naiiba sa natural na mga numero. Bilang halimbawa, binibigyan namin ang mga sumusunod na degree na may mga natural na tagapagpahiwatig , ang kanilang mga base ay hindi natural na mga numero, kaya ang mga ito ay nakasulat sa panaklong. Buweno, para sa kumpletong kalinawan sa puntong ito, ipapakita namin ang pagkakaiba na nakapaloob sa mga talaan ng form (−2) 3 at −2 3 . Ang expression (−2) 3 ay ang kapangyarihan ng −2 na may natural na exponent 3, at ang expression na −2 3 (maaari itong isulat bilang −(2 3) ) ay tumutugma sa numero, ang halaga ng kapangyarihan 2 3 .

Tandaan na mayroong notasyon para sa antas ng a na may exponent n ng anyong a^n . Bukod dito, kung ang n ay isang multivalued na natural na numero, kung gayon ang exponent ay kinuha sa mga bracket. Halimbawa, ang 4^9 ay isa pang notasyon para sa kapangyarihan ng 4 9 . At narito ang higit pang mga halimbawa ng pagsulat ng mga degree gamit ang simbolong “^”: 14^(21) , (−2,1)^(155) . Sa mga sumusunod, pangunahing gagamitin natin ang notasyon ng antas ng anyo a n .

Ang isa sa mga problema, ang kabaligtaran ng exponent na may natural na exponent, ay ang problema sa paghahanap ng base ng degree mula sa isang kilalang halaga ng degree at isang kilalang exponent. Ang gawaing ito ay humahantong sa .

Alam na ang hanay ng mga rational na numero ay binubuo ng mga integer at fractional na numero, at ang bawat fractional na numero ay maaaring katawanin bilang positibo o negatibong ordinaryong fraction. Tinukoy namin ang degree na may integer exponent sa nakaraang talata, samakatuwid, upang makumpleto ang kahulugan ng degree na may rational exponent, kailangan naming ibigay ang kahulugan ng degree ng numero a na may fractional exponent m / n, kung saan ang m ay isang integer at ang n ay isang natural na numero. Gawin natin.

Isaalang-alang ang isang degree na may fractional exponent ng form. Upang ang pag-aari ng degree sa degree ay manatiling wasto, ang pagkakapantay-pantay ay dapat hawakan . Kung isasaalang-alang natin ang nagresultang pagkakapantay-pantay at kung paano natin tinukoy ang , lohikal na tanggapin, sa kondisyon na para sa ibinigay na m, n at a, ang expression ay may katuturan.

Madaling i-verify na ang lahat ng katangian ng isang degree na may integer exponent ay wasto para sa bilang (ito ay ginagawa sa seksyon ng mga katangian ng isang degree na may rational exponent).

Ang pangangatwiran sa itaas ay nagpapahintulot sa amin na gawin ang mga sumusunod konklusyon: kung para sa ibinigay na m, n at a ang expression ay may katuturan, kung gayon ang kapangyarihan ng numero a na may fractional exponent m / n ay tinatawag na ugat ng ika-n degree mula sa a hanggang sa kapangyarihan m.

Inilalapit tayo ng pahayag na ito sa kahulugan ng isang degree na may fractional exponent. Ito ay nananatiling lamang upang ilarawan kung saan ang m, n at a ang ekspresyon ay may katuturan. Depende sa mga paghihigpit na ipinataw sa m , n at a, mayroong dalawang pangunahing diskarte.

Ang pinakamadaling paraan upang hadlangan ang a ay ang pagpapalagay na a≥0 para sa positibong m at a>0 para sa negatibong m (dahil ang m≤0 ay walang kapangyarihan na 0 m). Pagkatapos ay makukuha natin ang sumusunod na kahulugan ng degree na may fractional exponent.

Kahulugan.

Kapangyarihan ng isang positibong numero a na may fractional exponent m/n, kung saan ang m ay isang integer, at ang n ay isang natural na numero, ay tinatawag na ugat ng nth ng numero a sa kapangyarihan ng m, iyon ay, .

Ang fractional degree ng zero ay tinukoy din na may tanging caveat na ang exponent ay dapat na positibo.

Kahulugan.

Power ng zero na may fractional positive exponent m/n, kung saan ang m ay isang positibong integer at n ay isang natural na numero, ay tinukoy bilang .
Kapag ang degree ay hindi tinukoy, ibig sabihin, ang antas ng numerong zero na may fractional na negatibong exponent ay hindi makatwiran.

Dapat pansinin na sa gayong kahulugan ng antas na may fractional exponent, mayroong isang nuance: para sa ilang negatibong a at ilang m at n, ang expression ay may katuturan, at itinapon namin ang mga kasong ito sa pamamagitan ng pagpapakilala ng kundisyon a≥0 . Halimbawa, makatuwirang magsulat o , at pinipilit tayo ng kahulugang ibinigay sa itaas na sabihin na ang mga degree na may fractional exponent ng form ay walang kabuluhan, dahil ang batayan ay hindi dapat negatibo.

Ang isa pang diskarte sa pagtukoy ng degree na may fractional exponent m / n ay ang hiwalay na isaalang-alang ang pantay at kakaibang exponent ng ugat. Nangangailangan ang diskarteng ito ng karagdagang kundisyon: ang antas ng numero a, na ang exponent ay , ay itinuturing na antas ng numero a, ang exponent nito ay ang katumbas na hindi mababawasang bahagi (ang kahalagahan ng kundisyong ito ay ipapaliwanag sa ibaba). Iyon ay, kung ang m/n ay isang irreducible fraction, kung gayon para sa anumang natural na numero k ang degree ay unang pinalitan ng .

Para sa kahit na n at positibong m, ang expression ay may katuturan para sa anumang hindi negatibong a (ang ugat ng pantay na antas mula sa negatibong numero ay walang katuturan), para sa negatibong m, ang bilang a ay dapat na iba pa rin mula sa zero (kung hindi, doon ay magiging dibisyon ng zero). At para sa kakaibang n at positibong m, ang numero a ay maaaring maging anuman (ang ugat ng isang kakaibang antas ay tinukoy para sa anumang tunay na numero), at para sa negatibong m, ang bilang a ay dapat na iba sa zero (upang walang paghahati sa pamamagitan ng zero).

Ang pangangatwiran sa itaas ay humahantong sa amin sa gayong kahulugan ng antas na may fractional exponent.

Kahulugan.

Hayaang ang m/n ay isang irreducible fraction, m isang integer, at n isang natural na numero. Para sa anumang mababawas na ordinaryong fraction, ang antas ay pinapalitan ng . Ang kapangyarihan ng a na may hindi mababawasan na fractional exponent m / n ay para sa



Ipaliwanag natin kung bakit ang isang degree na may reducible fractional exponent ay unang pinapalitan ng isang degree na may hindi mababawasang exponent. Kung tinukoy lang namin ang degree bilang , at hindi gumawa ng reserbasyon tungkol sa irreducibility ng fraction m / n , pagkatapos ay makakatagpo kami ng mga sitwasyong katulad ng sumusunod: dahil 6/10=3/5 , pagkatapos ay ang pagkakapantay-pantay , ngunit , isang .

pangunahing layunin

Upang ipaalam sa mga mag-aaral ang mga katangian ng mga degree na may natural na mga tagapagpahiwatig at turuan silang magsagawa ng mga aksyon na may mga degree.

Paksang "Degree at mga katangian nito" may kasamang tatlong tanong:

• Pagpapasiya ng antas na may natural na tagapagpahiwatig.
• Pagpaparami at paghahati ng mga kapangyarihan.
• Exponentiation ng produkto at degree.

mga tanong sa pagsusulit

1. Bumuo ng kahulugan ng isang degree na may natural na exponent na higit sa 1. Magbigay ng isang halimbawa.
2. Bumuo ng kahulugan ng digri na may indicator na 1. Magbigay ng halimbawa.
3. Ano ang pagkakasunud-sunod ng mga operasyon kapag sinusuri ang halaga ng isang expression na naglalaman ng mga kapangyarihan?
4. Bumuo ng pangunahing pag-aari ng degree. Magbigay ng halimbawa.
5. Bumuo ng isang panuntunan para sa pagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong base. Magbigay ng halimbawa.
6. Bumuo ng isang panuntunan para sa paghahati ng mga kapangyarihan na may parehong mga batayan. Magbigay ng halimbawa.
7. Bumuo ng panuntunan para sa exponentiation ng isang produkto. Magbigay ng halimbawa. Patunayan ang pagkakakilanlan (ab) n = a n b n .
8. Bumuo ng isang panuntunan para sa pagtaas ng antas sa isang kapangyarihan. Magbigay ng halimbawa. Patunayan ang pagkakakilanlan (a m) n = a m n .

Kahulugan ng degree.

antas ng bilang a na may natural na tagapagpahiwatig n, higit sa 1, ay tinatawag na produkto ng n mga kadahilanan, na ang bawat isa ay katumbas ng a. antas ng bilang a na may exponent 1 ang numero mismo ay tinatawag a.

Degree na may base a at tagapagpahiwatig n ay nakasulat na ganito: isang n. May nakasulat na" a hanggang sa n”; “ n-th power ng isang numero a ”.

Sa pamamagitan ng kahulugan ng degree:

a 4 = a a a a

. . . . . . . . . . . .

Ang paghahanap ng halaga ng antas ay tinatawag pagpaparami .

1. Mga halimbawa ng exponentiation:

3 3 = 3 3 3 = 27

0 4 = 0 0 0 0 = 0

(-5) 3 = (-5) (-5) (-5) = -125

25 ; 0,09 ;

25 = 5 2 ; 0,09 = (0,3) 2 ; .

27 ; 0,001 ; 8 .

27 = 3 3 ; 0,001 = (0,1) 3 ; 8 = 2 3 .

4. Maghanap ng mga value ng expression:

a) 3 10 3 = 3 10 10 10 = 3 1000 = 3000

b) -2 4 + (-3) 2 = 7
2 4 = 16
(-3) 2 = 9
-16 + 9 = 7

Pagpipilian 1

a) 0.3 0.3 0.3

c) b b b b b b b

d) (-x) (-x) (-x) (-x)

e) (ab) (ab) (ab)

2. Kuwadrado ang mga numero:

3. Cube ang mga numero:

4. Maghanap ng mga value ng expression:

c) -1 4 + (-2) 3

d) -4 3 + (-3) 2

e) 100 - 5 2 4

Pagpaparami ng kapangyarihan.

Para sa anumang numero a at arbitrary na mga numero m at n, ang sumusunod ay totoo:

a m a n = a m + n .

Patunay:

tuntunin : Kapag nagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong base, ang mga base ay nananatiling pareho, at ang mga exponent ay idinagdag.

a m a n a k = a m + n a k = a (m + n) + k = a m + n + k

a) x 5 x 4 = x 5 + 4 = x 9

b) y y 6 = y 1 y 6 = y 1 + 6 = y 7

c) b 2 b 5 b 4 \u003d b 2 + 5 + 4 \u003d b 11

d) 3 4 9 = 3 4 3 2 = 3 6

e) 0.01 0.1 3 = 0.1 2 0.1 3 = 0.1 5

a) 2 3 2 = 2 4 = 16

b) 3 2 3 5 = 3 7 = 2187

Pagpipilian 1

1. Ipakita bilang isang degree:

a) x 3 x 4 e) x 2 x 3 x 4

b) a 6 a 2 g) 3 3 9

c) y 4 y h) 7 4 49

d) a a 8 i) 16 2 7

e) 2 3 2 4 j) 0.3 3 0.09

2. Ipakita bilang isang degree at hanapin ang halaga sa talahanayan:

a) 2 2 2 3 c) 8 2 5

b) 3 4 3 2 d) 27 243

Dibisyon ng mga degree.

Para sa anumang bilang na a0 at di-makatwirang natural na mga numerong m at n tulad ng m>n, ang sumusunod ay taglay:

a m: a n = a m - n

Patunay:

a m - n a n = a (m - n) + n = a m - n + n = a m

sa pamamagitan ng kahulugan ng pribado:

a m: a n \u003d a m - n.

tuntunin: Kapag naghahati ng mga kapangyarihan na may parehong base, ang base ay naiwang pareho, at ang exponent ng divisor ay ibabawas mula sa exponent ng dibidendo.

Kahulugan: Ang antas ng isang hindi zero na numero na may zero exponent ay katumbas ng isa:

kasi a n: a n = 1 para sa a0 .

a) x 4: x 2 \u003d x 4 - 2 \u003d x 2

b) y 8: y 3 = y 8 - 3 = y 5

c) a 7: a \u003d a 7: a 1 \u003d a 7 - 1 \u003d a 6

d) s 5:s 0 = s 5:1 = s 5

a) 5 7:5 5 = 5 2 = 25

b) 10 20:10 17 = 10 3 = 1000

sa)

G)

e)

Pagpipilian 1

1. Ipahayag ang quotient bilang isang kapangyarihan:

2. Hanapin ang mga halaga ng mga expression:

Pagtaas sa kapangyarihan ng isang produkto.

Para sa anumang a at b at isang arbitrary na natural na numero n:

(ab) n = a n b n

Patunay:

Sa pamamagitan ng kahulugan ng degree

(ab) n =

Pag-grupo ng mga salik a at salik b nang magkahiwalay, nakukuha natin ang:

=

Ang napatunayang pag-aari ng antas ng produkto ay umaabot sa antas ng produkto ng tatlo o higit pang mga kadahilanan.

Halimbawa:

(a b c) n = a n b n c n ;

(a b c d) n = a n b n c n d n .

tuntunin: Kapag tinataas ang isang produkto sa isang kapangyarihan, ang bawat kadahilanan ay itataas sa kapangyarihan na iyon at ang resulta ay pinarami.

1. Itaas sa isang kapangyarihan:

a) (a b) 4 = a 4 b 4

b) (2 x y) 3 \u003d 2 3 x 3 y 3 \u003d 8 x 3 y 3

c) (3 a) 4 = 3 4 a 4 = 81 a 4

d) (-5 y) 3 \u003d (-5) 3 y 3 \u003d -125 y 3

e) (-0.2 x y) 2 \u003d (-0.2) 2 x 2 y 2 \u003d 0.04 x 2 y 2

f) (-3 a b c) 4 = (-3) 4 a 4 b 4 c 4 = 81 a 4 b 4 c 4

2. Hanapin ang halaga ng expression:

a) (2 10) 4 = 2 4 10 4 = 16 1000 = 16000

b) (3 5 20) 2 = 3 2 100 2 = 9 10000= 90000

c) 2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10000

d) 0.25 11 4 11 = (0.25 4) 11 = 1 11 = 1

e)

Pagpipilian 1

1. Itaas sa isang kapangyarihan:

b) (2 a c) 4

e) (-0.1 x y) 3

2. Hanapin ang halaga ng expression:

b) (5 7 20) 2

Exponentiation.

Para sa anumang numero a at arbitrary na natural na mga numero m at n:

(a m) n = isang m n

Patunay:

Sa pamamagitan ng kahulugan ng degree

(a m) n =

Panuntunan: Kapag itinaas ang isang kapangyarihan sa isang kapangyarihan, ang base ay naiwang pareho, at ang mga exponent ay pinarami.

1. Itaas sa isang kapangyarihan:

(a 3) 2 = a 6 (x 5) 4 = x 20

(y 5) 2 = y 10 (b 3) 3 = b 9

2. Pasimplehin ang mga expression:

a) a 3 (a 2) 5 = a 3 a 10 = a 13

b) (b 3) 2 b 7 \u003d b 6 b 7 \u003d b 13

c) (x 3) 2 (x 2) 4 \u003d x 6 x 8 \u003d x 14

d) (y y 7) 3 = (y 8) 3 = y 24

a)

b)

Pagpipilian 1

1. Itaas sa isang kapangyarihan:

a) (a 4) 2 b) (x 4) 5

c) (y 3) 2 d) (b 4) 4

2. Pasimplehin ang mga expression:

a) a 4 (a 3) 2

b) (b 4) 3 b 5+

c) (x 2) 4 (x 4) 3

d) (y y 9) 2

3. Hanapin ang kahulugan ng mga expression:

Apendise

Kahulugan ng degree.

Opsyon 2

1 Isulat ang produkto sa anyo ng isang degree:

a) 0.4 0.4 0.4

c) a a a a a a a a

d) (-y) (-y) (-y) (-y)

e) (bc) (bc) (bc)

2. Kuwadrado ang mga numero:

3. Cube ang mga numero:

4. Maghanap ng mga value ng expression:

c) -1 3 + (-2) 4

d) -6 2 + (-3) 2

e) 4 5 2 – 100

Opsyon 3

1. Isulat ang produkto bilang isang antas:

a) 0.5 0.5 0.5

c) c c c c c c c c c

d) (-x) (-x) (-x) (-x)

e) (ab) (ab) (ab)

2. Ipakita sa anyo ng isang parisukat ng bilang: 100; 0.49; .

3. Cube ang mga numero:

4. Maghanap ng mga value ng expression:

c) -1 5 + (-3) 2

d) -5 3 + (-4) 2

e) 5 4 2 - 100

Opsyon 4

1. Isulat ang produkto bilang isang antas:

a) 0.7 0.7 0.7

c) x x x x x x

d) (-а) (-а) (-а)

e) (bc) (bc) (bc) (bc)

2. Kuwadrado ang mga numero:

3. Cube ang mga numero:

4. Maghanap ng mga value ng expression:

c) -1 4 + (-3) 3

d) -3 4 + (-5) 2

e) 100 - 3 2 5

Pagpaparami ng kapangyarihan.

Opsyon 2

1. Ipakita bilang isang degree:

a) x 4 x 5 e) x 3 x 4 x 5

b) a 7 a 3 g) 2 3 4

c) y 5 y h) 4 3 16

d) a a 7 i) 4 2 5

e) 2 2 2 5 j) 0.2 3 0.04

2. Ipakita bilang isang degree at hanapin ang halaga sa talahanayan:

a) 3 2 3 3 c) 16 2 3

b) 2 4 2 5 d) 9 81

Opsyon 3

1. Ipakita bilang isang degree:

a) a 3 a 5 e) y 2 y 4 y 6

b) x 4 x 7 g) 3 5 9

c) b 6 b h) 5 3 25

d) y 8 i) 49 7 4

e) 2 3 2 6 j) 0.3 4 0.27

2. Ipakita bilang isang degree at hanapin ang halaga sa talahanayan:

a) 3 3 3 4 c) 27 3 4

b) 2 4 2 6 d) 16 64

Opsyon 4

1. Ipakita bilang isang degree:

a) a 6 a 2 e) x 4 x x 6

b) x 7 x 8 g) 3 4 27

c) y 6 y h) 4 3 16

d) x x 10 i) 36 6 3

e) 2 4 2 5 j) 0.2 2 0.008

2. Ipakita bilang isang degree at hanapin ang halaga sa talahanayan:

a) 2 6 2 3 c) 64 2 4

b) 3 5 3 2 d) 81 27

Dibisyon ng mga degree.

Opsyon 2

1. Ipahayag ang quotient bilang isang kapangyarihan:

2. Hanapin ang kahulugan ng mga expression.

ay matatagpuan gamit ang multiplikasyon. Halimbawa: 5+5+5+5+5+5=5x6. Sinasabi nila ang tungkol sa gayong pagpapahayag na ang kabuuan ng pantay na mga termino ay natiklop sa isang produkto. At kabaliktaran, kung babasahin natin ang pagkakapantay-pantay na ito mula kanan pakaliwa, malalaman natin na pinalawak natin ang kabuuan ng mga katumbas na termino. Katulad nito, maaari mong tiklop ang produkto ng ilang pantay na salik 5x5x5x5x5x5=5 6 .

Iyon ay, sa halip na i-multiply ang anim na magkaparehong salik 5x5x5x5x5x5, isinulat nila ang 5 6 at sinasabing "lima hanggang ikaanim na kapangyarihan."

Ang expression na 5 6 ay isang kapangyarihan ng isang numero, kung saan:

5 - base ng degree;

6 - exponent.

Ang mga operasyon kung saan ang produkto ng pantay na mga kadahilanan ay nakatiklop sa isang kapangyarihan ay tinatawag pagpaparami.

Sa pangkalahatan, ang isang kapangyarihan na may base na "a" at exponent "n" ay nakasulat bilang

Ang pagtaas ng bilang a sa kapangyarihan ng n ay nangangahulugan ng paghahanap ng produkto ng n mga kadahilanan, na ang bawat isa ay katumbas ng a

Kung ang base ng degree na "a" ay 1, kung gayon ang halaga ng degree para sa anumang natural na n ay magiging katumbas ng 1. Halimbawa, 1 5 \u003d 1, 1 256 \u003d 1

Kung itataas mo ang numerong "a" itaas sa unang degree, pagkatapos ay makuha natin ang numero mismo: a 1 = a

Kung magtataas ka ng anumang numero sa zero degree, pagkatapos bilang resulta ng mga kalkulasyon nakakakuha kami ng isa. a 0 = 1

Ang pangalawa at pangatlong kapangyarihan ng isang numero ay itinuturing na espesyal. Nakabuo sila ng mga pangalan para sa kanila: ang pangalawang degree ay tinatawag ang parisukat ng isang numero, pangatlo - kubo itong numero.

Anumang numero ay maaaring itaas sa isang kapangyarihan - positibo, negatibo o zero. Gayunpaman, ang mga sumusunod na patakaran ay hindi ginagamit:

Kapag hinahanap ang antas ng isang positibong numero, isang positibong numero ang nakuha.

Kapag kinakalkula ang zero sa uri, makakakuha tayo ng zero.

x m х n = x m + n

halimbawa: 7 1.7 7 - 0.9 = 7 1.7+(- 0.9) = 7 1.7 - 0.9 = 7 0.8

Upang hatiin ang mga kapangyarihan na may parehong base hindi namin binabago ang base, ngunit ibawas ang mga exponent:

x m / x n \u003d x m - n , saan, m > n

hal: 13 3.8 / 13 -0.2 = 13 (3.8 -0.2) = 13 3.6

Kapag nagkalkula pagpaparami Hindi namin binabago ang base, ngunit pinaparami namin ang mga exponent sa bawat isa.

(sa m )n = y m n

halimbawa: (2 3) 2 = 2 3 2 = 2 6

(X · y) n = x n · m ,

halimbawa: (2 3) 3 = 2 n 3 m ,

Kapag nagsasagawa ng mga kalkulasyon para sa exponentiation ng isang fraction itinataas natin ang numerator at denominator ng fraction sa ibinigay na kapangyarihan

(x/y)n = x n / y n

halimbawa: (2/5) 3 = (2/5) (2/5) (2/5) = 2 3/5 3 .

Ang pagkakasunud-sunod ng pagsasagawa ng mga kalkulasyon kapag nagtatrabaho sa mga expression na naglalaman ng isang degree.

Kapag nagsasagawa ng mga kalkulasyon ng mga expression na walang mga bracket, ngunit naglalaman ng mga kapangyarihan, una sa lahat, ang exponentiation ay ginaganap, pagkatapos ay ang pagpaparami at paghahati ng mga operasyon, at pagkatapos lamang ang mga pagpapatakbo ng karagdagan at pagbabawas.

Kung kinakailangan upang suriin ang isang expression na naglalaman ng mga bracket, pagkatapos ay una, sa pagkakasunud-sunod na ipinahiwatig sa itaas, ginagawa namin ang mga kalkulasyon sa mga bracket, at pagkatapos ay ang natitirang mga aksyon sa parehong pagkakasunud-sunod mula kaliwa hanggang kanan.

Napakalawak sa mga praktikal na kalkulasyon, upang gawing simple ang mga kalkulasyon, ginagamit ang mga yari na talahanayan ng mga degree.

Unang antas

Degree at mga katangian nito. Comprehensive Guide (2019)

Bakit kailangan ang mga degree? Saan mo sila kailangan? Bakit kailangan mong maglaan ng oras sa pag-aaral ng mga ito?

Upang matutunan ang lahat tungkol sa mga degree, para saan ang mga ito, kung paano gamitin ang iyong kaalaman sa pang-araw-araw na buhay, basahin ang artikulong ito.

At, siyempre, ang pag-alam sa mga degree ay maglalapit sa iyo sa matagumpay na pagpasa sa OGE o sa Unified State Examination at pagpasok sa unibersidad na iyong mga pangarap.

Tara na... (Let's go!)

Mahalagang paalaala! Kung sa halip na mga formula ang nakikita mong kalokohan, i-clear ang iyong cache. Upang gawin ito, pindutin ang CTRL+F5 (sa Windows) o Cmd+R (sa Mac).

UNANG ANTAS

Ang exponentiation ay ang parehong mathematical operation bilang karagdagan, pagbabawas, multiplikasyon o paghahati.

Ngayon ay ipapaliwanag ko ang lahat sa wika ng tao gamit ang napakasimpleng mga halimbawa. Bigyang-pansin. Ang mga halimbawa ay elementarya, ngunit ipaliwanag ang mahahalagang bagay.

Magsimula tayo sa karagdagan.

Walang maipaliwanag dito. Alam mo na ang lahat: walo kami. Bawat isa ay may dalawang bote ng cola. Magkano ang cola? Tama iyon - 16 na bote.

Ngayon multiplication.

Ang parehong halimbawa sa cola ay maaaring isulat sa ibang paraan: . Ang mga mathematician ay tuso at tamad na tao. Una nilang napansin ang ilang mga pattern, at pagkatapos ay gumawa ng isang paraan upang "mabilang" ang mga ito nang mas mabilis. Sa aming kaso, napansin nila na ang bawat isa sa walong tao ay may parehong bilang ng mga bote ng cola at nakaisip sila ng isang pamamaraan na tinatawag na multiplication. Sumang-ayon, ito ay itinuturing na mas madali at mas mabilis kaysa.

Kaya, upang mabilang nang mas mabilis, mas madali at walang mga error, kailangan mo lang tandaan talaan ng multiplikasyon. Siyempre, magagawa mo ang lahat nang mas mabagal, mas mahirap at may mga pagkakamali! Pero…

Narito ang talahanayan ng pagpaparami. Ulitin.

At isa pa, mas maganda:

At anong iba pang nakakalito na trick sa pagbibilang ang naisip ng mga tamad na mathematician? tama - pagtataas ng isang numero sa isang kapangyarihan.

Pagtaas ng isang numero sa isang kapangyarihan

Kung kailangan mong i-multiply ang isang numero sa sarili nitong limang beses, pagkatapos ay sinabi ng mga mathematician na kailangan mong itaas ang numerong ito sa ikalimang kapangyarihan. Halimbawa, . Naaalala ng mga mathematician na dalawa hanggang ikalimang kapangyarihan ay. At nalulutas nila ang mga naturang problema sa kanilang isip - mas mabilis, mas madali at walang mga pagkakamali.

Upang gawin ito, kailangan mo lamang tandaan kung ano ang naka-highlight sa kulay sa talahanayan ng mga kapangyarihan ng mga numero. Maniwala ka sa akin, gagawin nitong mas madali ang iyong buhay.

Nga pala, bakit second degree ang tawag parisukat mga numero, at ang pangatlo kubo? Ano ang ibig sabihin nito? Isang napakagandang tanong. Ngayon ay magkakaroon ka ng parehong mga parisukat at mga cube.

Halimbawa sa totoong buhay #1

Magsimula tayo sa isang parisukat o sa pangalawang kapangyarihan ng isang numero.

Isipin ang isang parisukat na pool na may sukat na metro bawat metro. Ang pool ay nasa iyong likod-bahay. Ang init at gusto ko talagang lumangoy. Ngunit ... isang pool na walang ilalim! Kinakailangan na takpan ang ilalim ng pool na may mga tile. Ilang tile ang kailangan mo? Upang matukoy ito, kailangan mong malaman ang lugar ng ilalim ng pool.

Mabibilang mo lang sa pamamagitan ng pagsundot ng iyong daliri na ang ilalim ng pool ay binubuo ng mga cube metro bawat metro. Kung ang iyong mga tile ay metro bawat metro, kakailanganin mo ng mga piraso. Madali lang... Pero saan ka nakakita ng ganyang tile? Ang tile ay mas magiging cm sa cm. At pagkatapos ay pahihirapan ka sa pamamagitan ng "pagbibilang gamit ang iyong daliri". Pagkatapos ay kailangan mong magparami. Kaya, sa isang gilid ng ilalim ng pool, magkakasya kami ng mga tile (piraso) at sa kabilang banda, din, mga tile. Kapag nagpaparami, makakakuha ka ng mga tile ().

Napansin mo ba na pinarami namin ang parehong numero sa pamamagitan ng kanyang sarili upang matukoy ang lugar ng ilalim ng pool? Ano ang ibig sabihin nito? Dahil ang parehong numero ay pinarami, maaari naming gamitin ang exponentiation technique. (Siyempre, kapag dalawa lang ang numero mo, kailangan mo pa ring i-multiply o itaas sa power. Pero kung marami ka, mas madali ang pagtaas sa power at mas kaunti rin ang error sa kalkulasyon. Para sa pagsusulit, ito ay napakahalaga).
Kaya, tatlumpu hanggang ikalawang antas ay magiging (). O maaari mong sabihin na tatlumpung squared ang magiging. Sa madaling salita, ang pangalawang kapangyarihan ng isang numero ay maaaring palaging kinakatawan bilang isang parisukat. At vice versa, kung makakita ka ng isang parisukat, ito ay palaging ang pangalawang kapangyarihan ng ilang numero. Ang parisukat ay isang imahe ng pangalawang kapangyarihan ng isang numero.

Halimbawa sa totoong buhay #2

Narito ang isang gawain para sa iyo, bilangin kung gaano karaming mga parisukat ang nasa chessboard gamit ang parisukat ng numero ... Sa isang gilid ng mga cell at sa kabilang panig din. Upang mabilang ang kanilang numero, kailangan mong i-multiply ang walo sa walo, o ... kung mapapansin mo na ang isang chessboard ay isang parisukat na may gilid, maaari mong kuwadrado ang walo. Kumuha ng mga cell. () Kaya?

Halimbawa sa totoong buhay #3

Ngayon ang kubo o ang ikatlong kapangyarihan ng isang numero. Ang parehong pool. Ngunit ngayon kailangan mong malaman kung gaano karaming tubig ang kailangang ibuhos sa pool na ito. Kailangan mong kalkulahin ang lakas ng tunog. (Ang mga volume at likido, sa pamamagitan ng paraan, ay sinusukat sa metro kubiko. Hindi inaasahan, tama?) Gumuhit ng isang pool: isang ilalim na isang metro ang laki at isang metro ang lalim at subukang kalkulahin kung gaano karaming metro bawat metrong cube ang papasok sa iyong pool.

Ituro lamang ang iyong daliri at magbilang! Isa, dalawa, tatlo, apat...dalawampu't dalawa, dalawampu't tatlo... Magkano ang naging resulta? Hindi nawala? Mahirap bang magbilang gamit ang iyong daliri? Kaya yun! Kumuha ng isang halimbawa mula sa mga mathematician. Ang mga ito ay tamad, kaya napansin nila na upang makalkula ang dami ng pool, kailangan mong i-multiply ang haba, lapad at taas nito sa bawat isa. Sa aming kaso, ang dami ng pool ay magiging katumbas ng mga cube ... Mas madali, tama?

Ngayon isipin kung gaano katamad at tuso ang mga mathematician kung gagawin nilang napakadali. Binawasan ang lahat sa isang aksyon. Napansin nila na ang haba, lapad at taas ay pantay at ang parehong bilang ay pinarami ng sarili nito ... At ano ang ibig sabihin nito? Nangangahulugan ito na maaari mong gamitin ang degree. Kaya, ang minsan mong binilang gamit ang isang daliri, ginagawa nila sa isang aksyon: tatlo sa isang cube ay pantay. Ito ay nakasulat tulad nito:

Nananatili lamang kabisaduhin ang talahanayan ng mga degree. Maliban kung, siyempre, ikaw ay tamad at tuso bilang mga mathematician. Kung gusto mong magtrabaho nang husto at magkamali, maaari mong patuloy na magbilang gamit ang iyong daliri.

Kaya, upang sa wakas ay makumbinsi ka na ang mga degree ay naimbento ng mga loafers at tusong tao upang malutas ang kanilang mga problema sa buhay, at hindi upang lumikha ng mga problema para sa iyo, narito ang ilang higit pang mga halimbawa mula sa buhay.

Halimbawa sa totoong buhay #4

Mayroon kang isang milyong rubles. Sa simula ng bawat taon, kumikita ka ng isa pang milyon para sa bawat milyon. Ibig sabihin, doble ang bawat isa sa iyong milyon sa simula ng bawat taon. Magkano ang pera mo sa mga taon? Kung nakaupo ka ngayon at "nagbibilang gamit ang iyong daliri", kung gayon ikaw ay isang napakasipag na tao at .. tanga. Ngunit malamang na magbibigay ka ng sagot sa loob ng ilang segundo, dahil matalino ka! Kaya, sa unang taon - dalawang beses dalawa ... sa ikalawang taon - kung ano ang nangyari, sa pamamagitan ng dalawa pa, sa ikatlong taon ... Stop! Napansin mo na ang bilang ay na-multiply sa sarili nitong isang beses. Kaya ang dalawa hanggang ikalimang kapangyarihan ay isang milyon! Ngayon isipin na mayroon kang isang kumpetisyon at ang isa na mas mabilis na nagkalkula ay makakakuha ng mga milyon-milyong ito ... Ito ba ay nagkakahalaga ng pag-alala sa mga antas ng mga numero, ano sa palagay mo?

Halimbawa sa totoong buhay #5

Mayroon kang isang milyon. Sa simula ng bawat taon, kikita ka pa ng dalawa sa bawat milyon. Ang galing diba? Bawat milyon ay triple. Magkano ang pera mo sa isang taon? Magbilang tayo. Ang unang taon - i-multiply sa pamamagitan ng, pagkatapos ay ang resulta sa pamamagitan ng isa pa ... Ito ay mayamot na, dahil naiintindihan mo na ang lahat: tatlo ay pinarami ng sarili nitong beses. Kaya ang pang-apat na kapangyarihan ay isang milyon. Kailangan mo lang tandaan na ang tatlo hanggang ikaapat na kapangyarihan ay o.

Ngayon alam mo na na sa pamamagitan ng pagtaas ng isang numero sa isang kapangyarihan, gagawin mong mas madali ang iyong buhay. Tingnan natin kung ano ang maaari mong gawin sa mga degree at kung ano ang kailangan mong malaman tungkol sa mga ito.

Mga tuntunin at konsepto ... para hindi malito

Kaya, una, tukuyin natin ang mga konsepto. Ano sa tingin mo, ano ang exponent? Ito ay napaka-simple - ito ang numero na "nasa itaas" ng kapangyarihan ng numero. Hindi siyentipiko, ngunit malinaw at madaling tandaan ...

Well, at the same time, ano tulad ng isang base ng degree? Kahit na mas simple ay ang numero na nasa ibaba, sa base.

Narito ang isang larawan para makasigurado ka.

Buweno, sa mga pangkalahatang tuntunin, upang mas maging pangkalahatan at matandaan ... Ang isang degree na may base na "" at isang indicator "" ay binabasa bilang "sa degree" at nakasulat tulad ng sumusunod:

Kapangyarihan ng isang numero na may natural na exponent

Marahil ay nahulaan mo na: dahil ang exponent ay isang natural na numero. Oo, pero ano natural na numero? elementarya! Ang mga natural na numero ay ang mga ginagamit sa pagbibilang kapag naglilista ng mga item: isa, dalawa, tatlo ... Kapag nagbibilang kami ng mga item, hindi namin sinasabi: "minus five", "minus six", "minus seven". Hindi rin namin sinasabing "one third" o "zero point five tenths". Ang mga ito ay hindi natural na mga numero. Ano sa palagay mo ang mga numerong ito?

Ang mga numero tulad ng "minus five", "minus six", "minus seven" ay tumutukoy sa buong numero. Sa pangkalahatan, kasama sa mga integer ang lahat ng natural na numero, mga numerong kabaligtaran ng mga natural na numero (iyon ay, kinuha gamit ang minus sign), at isang numero. Madaling maunawaan ang Zero - ito ay kapag wala. At ano ang ibig sabihin ng mga negatibong ("minus") na numero? Ngunit sila ay naimbento lalo na upang tukuyin ang mga utang: kung mayroon kang balanse sa iyong telepono sa rubles, nangangahulugan ito na may utang ka sa operator na rubles.

Ang lahat ng mga fraction ay mga rational na numero. Paano sila nangyari, sa tingin mo? Napakasimple. Ilang libong taon na ang nakalilipas, natuklasan ng ating mga ninuno na wala silang sapat na natural na mga numero upang sukatin ang haba, timbang, lawak, atbp. At nakaisip sila mga rational na numero… Kawili-wili, hindi ba?

Mayroon ding mga hindi makatwirang numero. Ano ang mga numerong ito? Sa madaling salita, isang infinite decimal fraction. Halimbawa, kung hahatiin mo ang circumference ng isang bilog sa diameter nito, makakakuha ka ng hindi makatwirang numero.

Buod:

Tukuyin natin ang konsepto ng degree, ang exponent nito ay isang natural na numero (iyon ay, integer at positibo).

1. Anumang numero sa unang kapangyarihan ay katumbas ng sarili nito:
2. Ang pag-square ng isang numero ay ang pagpaparami nito sa sarili nito:
3. Ang pag-cube ng isang numero ay ang pagpaparami nito sa sarili nitong tatlong beses:

Kahulugan. Upang itaas ang isang numero sa isang natural na kapangyarihan ay upang i-multiply ang numero sa sarili nitong mga beses:
.

Mga katangian ng degree

Saan nagmula ang mga ari-arian na ito? Ipapakita ko sa iyo ngayon.

Tingnan natin kung ano at ?

A-priory:

Ilang multiplier ang kabuuan?

Ito ay napaka-simple: nagdagdag kami ng mga kadahilanan sa mga kadahilanan, at ang resulta ay mga kadahilanan.

Ngunit sa pamamagitan ng kahulugan, ito ang antas ng isang numero na may exponent, iyon ay: , na kinakailangang patunayan.

Halimbawa: Pasimplehin ang expression.

Desisyon:

Halimbawa: Pasimplehin ang expression.

Desisyon: Mahalagang tandaan na sa ating panuntunan kinakailangan dapat pareho ang dahilan!
Samakatuwid, pinagsama namin ang mga degree sa base, ngunit nananatiling isang hiwalay na kadahilanan:

para lamang sa mga produkto ng kapangyarihan!

Sa anumang pagkakataon dapat mong isulat iyon.

2. ibig sabihin -ika-kapangyarihan ng isang numero

Tulad ng sa nakaraang pag-aari, buksan natin ang kahulugan ng antas:

Ito ay lumalabas na ang expression ay pinarami ng kanyang sarili nang isang beses, iyon ay, ayon sa kahulugan, ito ang ika-kapangyarihan ng numero:

Sa katunayan, ito ay matatawag na "bracketing the indicator". Ngunit hindi mo ito magagawa sa kabuuan:

Alalahanin natin ang mga pormula para sa pinaikling multiplikasyon: ilang beses natin gustong sumulat?

Pero hindi totoo yun.

Degree na may negatibong base

Hanggang sa puntong ito, tinalakay lang natin kung ano ang dapat na exponent.

Ngunit ano ang dapat na maging batayan?

Sa mga degree mula sa natural na tagapagpahiwatig maaaring maging batayan kahit anong numero. Sa katunayan, maaari nating i-multiply ang anumang numero sa bawat isa, maging sila ay positibo, negatibo, o kahit na.

Isipin natin kung anong mga palatandaan ("" o "") ang magkakaroon ng mga antas ng positibo at negatibong mga numero?

Halimbawa, magiging positibo ba o negatibo ang numero? PERO? ? Sa una, malinaw ang lahat: gaano man karaming positibong numero ang i-multiply natin sa isa't isa, magiging positibo ang resulta.

Ngunit ang mga negatibo ay medyo mas kawili-wili. Pagkatapos ng lahat, natatandaan namin ang isang simpleng panuntunan mula sa ika-6 na baitang: "ang isang minus na beses ang isang minus ay nagbibigay ng isang plus." Iyon ay, o. Pero kung paramihin tayo, lumalabas.

Tukuyin para sa iyong sarili kung anong senyales ang magkakaroon ng mga sumusunod na expression:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Inayos mo ba?

Narito ang mga sagot: Sa unang apat na halimbawa, sana ay malinaw ang lahat? Tinitingnan lang namin ang base at exponent, at inilalapat ang naaangkop na panuntunan.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Sa halimbawa 5), ​​ang lahat ay hindi rin nakakatakot gaya ng tila: hindi mahalaga kung ano ang katumbas ng batayan - ang antas ay pantay, na nangangahulugan na ang resulta ay palaging magiging positibo.

Well, maliban kung ang base ay zero. Ang batayan ay hindi pareho, di ba? Malinaw na hindi, dahil (dahil).

Halimbawa 6) ay hindi na napakasimple!

6 mga halimbawa ng pagsasanay

Pagsusuri ng solusyon 6 na halimbawa

Kung hindi natin papansinin ang ikawalong antas, ano ang makikita natin dito? Tingnan natin ang programa sa ika-7 baitang. Kaya, tandaan? Ito ang pinaikling formula ng multiplikasyon, lalo na ang pagkakaiba ng mga parisukat! Nakukuha namin:

Maingat naming tinitingnan ang denominator. Mukha itong isa sa mga kadahilanan ng numerator, ngunit ano ang mali? Maling pagkakasunud-sunod ng mga tuntunin. Kung sila ay ipinagpalit, maaaring ilapat ang panuntunan.

Ngunit paano gawin iyon? Ito ay lumiliko na ito ay napakadali: ang pantay na antas ng denominator ay tumutulong sa amin dito.

Ang mga termino ay nakapagpalit ng mga lugar. Ang "phenomenon" na ito ay nalalapat sa anumang expression sa isang pantay na antas: maaari nating malayang baguhin ang mga palatandaan sa mga bracket.

Ngunit mahalagang tandaan: lahat ng mga palatandaan ay nagbabago sa parehong oras!

Bumalik tayo sa halimbawa:

At muli ang formula:

buo pinangalanan namin ang mga natural na numero, ang kanilang mga kabaligtaran (iyon ay, kinuha gamit ang sign "") at ang numero.

positibong integer, at ito ay hindi naiiba mula sa natural, kung gayon ang lahat ay mukhang eksaktong katulad sa nakaraang seksyon.

Ngayon tingnan natin ang mga bagong kaso. Magsimula tayo sa isang tagapagpahiwatig na katumbas ng.

Ang anumang numero sa zero na kapangyarihan ay katumbas ng isa:

Gaya ng dati, tinatanong natin ang ating sarili: bakit ganito?

Isaalang-alang ang ilang kapangyarihan na may base. Kunin, halimbawa, at i-multiply sa:

Kaya, pinarami namin ang numero sa pamamagitan ng, at nakuha ang parehong bilang ito ay -. Anong numero ang dapat i-multiply para walang magbago? Tama iyon, sa. ibig sabihin.

Magagawa natin ang parehong sa isang arbitrary na numero:

Ulitin natin ang panuntunan:

Ang anumang numero sa zero na kapangyarihan ay katumbas ng isa.

Ngunit may mga pagbubukod sa maraming mga patakaran. At narito din doon - ito ay isang numero (bilang base).

Sa isang banda, ito ay dapat na katumbas ng anumang antas - gaano man karami mong i-multiply ang zero sa sarili mo, makakakuha ka pa rin ng zero, malinaw ito. Ngunit sa kabilang banda, tulad ng anumang numero sa zero degree, dapat itong pantay. Kaya ano ang katotohanan nito? Nagpasya ang mga mathematician na huwag makisali at tumanggi na itaas ang zero sa zero na kapangyarihan. Iyon ay, ngayon ay hindi lamang natin mahahati sa zero, ngunit itaas din ito sa zero na kapangyarihan.

Tayo ay pumunta sa karagdagang. Bilang karagdagan sa mga natural na numero at numero, kasama sa mga integer ang mga negatibong numero. Upang maunawaan kung ano ang isang negatibong antas, gawin natin ang katulad ng huling pagkakataon: minu-multiply natin ang ilang normal na numero sa pareho sa isang negatibong antas:

Mula dito madali nang ipahayag ang ninanais:

Ngayon ay pinalawak namin ang nagresultang panuntunan sa isang di-makatwirang antas:

Kaya, buuin natin ang panuntunan:

Ang isang numero sa isang negatibong kapangyarihan ay ang kabaligtaran ng parehong numero sa isang positibong kapangyarihan. Ngunit sa parehong oras hindi maaaring null ang base:(dahil imposibleng hatiin).

Ibuod natin:

I. Ang pagpapahayag ay hindi tinukoy sa kaso. Kung, kung gayon.

II. Ang anumang numero sa zero na kapangyarihan ay katumbas ng isa: .

III. Ang isang numero na hindi katumbas ng zero sa isang negatibong kapangyarihan ay ang kabaligtaran ng parehong numero sa isang positibong kapangyarihan: .

Mga gawain para sa independiyenteng solusyon:

Well, gaya ng dati, mga halimbawa para sa isang independiyenteng solusyon:

Pagsusuri ng mga gawain para sa independiyenteng solusyon:

Alam ko, alam ko, ang mga numero ay nakakatakot, ngunit sa pagsusulit kailangan mong maging handa sa anumang bagay! Lutasin ang mga halimbawang ito o suriin ang kanilang solusyon kung hindi mo ito malutas at matututunan mo kung paano madaling harapin ang mga ito sa pagsusulit!

Patuloy nating palawakin ang hanay ng mga numerong "angkop" bilang isang exponent.

Ngayon isaalang-alang mga rational na numero. Anong mga numero ang tinatawag na rational?

Sagot: lahat ng iyon ay maaaring katawanin bilang isang fraction, kung saan at mga integer, bukod dito.

Upang maunawaan kung ano ang "fractional degree" Isaalang-alang natin ang isang fraction:

Itaas natin ang magkabilang panig ng equation sa isang kapangyarihan:

Ngayon tandaan ang panuntunan "degree to degree":

Anong numero ang dapat itaas sa isang kapangyarihan para makuha?

Ang pagbabalangkas na ito ay ang kahulugan ng ugat ng ika-degree.

Paalalahanan ko kayo: ang ugat ng ika-kapangyarihan ng isang numero () ay isang numero na, kapag itinaas sa isang kapangyarihan, ay katumbas.

Iyon ay, ang ugat ng ika-degree ay ang kabaligtaran na operasyon ng exponentiation: .

Lumalabas na. Malinaw, ang espesyal na kaso na ito ay maaaring palawigin: .

Ngayon idagdag ang numerator: ano ito? Ang sagot ay madaling makuha gamit ang power-to-power rule:

Ngunit maaari bang maging anumang numero ang base? Pagkatapos ng lahat, ang ugat ay hindi maaaring makuha mula sa lahat ng mga numero.

wala!

Tandaan ang panuntunan: anumang numero na itinaas sa pantay na kapangyarihan ay isang positibong numero. Iyon ay, imposibleng kunin ang mga ugat ng pantay na antas mula sa mga negatibong numero!

At nangangahulugan ito na ang mga naturang numero ay hindi maaaring itaas sa isang fractional na kapangyarihan na may pantay na denominator, iyon ay, ang expression ay walang kahulugan.

Paano naman ang expression?

Ngunit narito ang isang problema ay lumitaw.

Ang numero ay maaaring kinakatawan bilang iba, pinababang mga fraction, halimbawa, o.

At lumalabas na ito ay umiiral, ngunit hindi umiiral, at ito ay dalawang magkaibang mga talaan ng parehong numero.

O isa pang halimbawa: isang beses, pagkatapos ay maaari mo itong isulat. Ngunit sa sandaling isulat namin ang tagapagpahiwatig sa ibang paraan, muli kaming nagkakaproblema: (iyon ay, nakakuha kami ng ganap na kakaibang resulta!).

Upang maiwasan ang gayong mga kabalintunaan, isaalang-alang positibong base exponent lamang na may fractional exponent.

Kaya kung:

• - natural na numero;
• ay isang integer;

Mga halimbawa:

Ang mga kapangyarihan na may rational exponent ay lubhang kapaki-pakinabang para sa pagbabago ng mga expression na may mga ugat, halimbawa:

5 mga halimbawa ng pagsasanay

Pagsusuri ng 5 halimbawa para sa pagsasanay

Well, ngayon - ang pinakamahirap. Ngayon ay susuriin natin degree na may hindi makatwirang exponent.

Ang lahat ng mga panuntunan at katangian ng mga degree dito ay eksaktong kapareho ng para sa mga degree na may isang rational exponent, maliban sa

Sa katunayan, ayon sa kahulugan, ang mga hindi makatwirang numero ay mga numero na hindi maaaring katawanin bilang isang fraction, kung saan at mga integer (iyon ay, ang mga hindi makatwirang numero ay lahat ng tunay na numero maliban sa mga makatwiran).

Kapag nag-aaral ng mga degree na may natural, integer at rational na indicator, sa bawat oras na bumubuo kami ng isang partikular na "larawan", "analogy", o paglalarawan sa mas pamilyar na mga termino.

Halimbawa, ang natural na exponent ay isang numero na pinarami ng sarili nitong ilang beses;

...walang kapangyarihan- ito ay, tulad ng, isang numero na pinarami ng kanyang sarili nang isang beses, iyon ay, hindi pa nagsisimulang dumami, na nangangahulugang ang bilang mismo ay hindi pa lumitaw - samakatuwid, ang resulta ay isang tiyak na "paghahanda ng isang numero”, ibig sabihin ay isang numero;

...negatibong integer exponent- para bang isang tiyak na "reverse process" ang naganap, iyon ay, ang bilang ay hindi pinarami ng sarili nito, ngunit hinati.

Sa pamamagitan ng paraan, ang agham ay madalas na gumagamit ng isang degree na may isang kumplikadong exponent, iyon ay, ang isang exponent ay hindi kahit isang tunay na numero.

Ngunit sa paaralan, hindi namin iniisip ang mga ganitong paghihirap; magkakaroon ka ng pagkakataong maunawaan ang mga bagong konseptong ito sa institute.

KUNG SAAN KAMI SIGURO PUPUNTA KA! (kung matutunan mo kung paano lutasin ang mga ganitong halimbawa :))

Halimbawa:

Magpasya para sa iyong sarili:

Pagsusuri ng mga solusyon:

1. Magsimula tayo sa dati nang panuntunan para sa pagpapataas ng degree sa isang degree:

Ngayon tingnan ang iskor. May naaalala ba siya sa iyo? Naaalala namin ang formula para sa pinaikling pagpaparami ng pagkakaiba ng mga parisukat:

Sa kasong ito,

Lumalabas na:

Sagot: .

2. Dinadala namin ang mga fraction sa exponents sa parehong anyo: alinman sa parehong decimal o parehong ordinaryo. Nakukuha namin, halimbawa:

Sagot: 16

3. Walang espesyal, inilalapat namin ang karaniwang katangian ng mga degree:

ADVANCED LEVEL

Kahulugan ng degree

Ang antas ay isang pagpapahayag ng anyo: , kung saan:

• — base ng degree;
• - exponent.

Degree na may natural na exponent (n = 1, 2, 3,...)

Ang pagtaas ng isang numero sa natural na kapangyarihan n ay nangangahulugan ng pagpaparami ng numero sa sarili nitong beses:

Power na may integer exponent (0, ±1, ±2,...)

Kung ang exponent ay positibong integer numero:

paninigas sa zero na kapangyarihan:

Ang expression ay hindi tiyak, dahil, sa isang banda, sa anumang antas ay ito, at sa kabilang banda, anumang numero sa ika-degree ay ito.

Kung ang exponent ay negatibong integer numero:

(dahil imposibleng hatiin).

Isa pang beses tungkol sa nulls: ang expression ay hindi tinukoy sa kaso. Kung, kung gayon.

Mga halimbawa:

Degree na may rational exponent

• - natural na numero;
• ay isang integer;

Mga halimbawa:

Mga katangian ng degree

Upang gawing mas madali ang paglutas ng mga problema, subukan nating maunawaan: saan nagmula ang mga katangiang ito? Patunayan natin sila.

Tingnan natin: ano ang at?

A-priory:

Kaya, sa kanang bahagi ng expression na ito, ang sumusunod na produkto ay nakuha:

Ngunit ayon sa kahulugan, ito ay isang kapangyarihan ng isang numero na may exponent, iyon ay:

Q.E.D.

Halimbawa : Pasimplehin ang expression.

Desisyon : .

Halimbawa : Pasimplehin ang expression.

Desisyon : Mahalagang tandaan na sa ating tuntunin kinakailangan dapat may parehong batayan. Samakatuwid, pinagsama namin ang mga degree sa base, ngunit nananatiling isang hiwalay na kadahilanan:

Isa pang mahalagang tala: ang panuntunang ito - para lamang sa mga produkto ng kapangyarihan!

Sa anumang pagkakataon ay hindi ko dapat isulat iyon.

Tulad ng sa nakaraang pag-aari, buksan natin ang kahulugan ng antas:

Ayusin natin ito tulad nito:

Ito ay lumalabas na ang expression ay pinarami ng kanyang sarili nang isang beses, iyon ay, ayon sa kahulugan, ito ang -th na kapangyarihan ng numero:

Sa katunayan, ito ay matatawag na "bracketing the indicator". Ngunit hindi mo ito magagawa sa kabuuan:!

Alalahanin natin ang mga pormula para sa pinaikling multiplikasyon: ilang beses natin gustong sumulat? Pero hindi totoo yun.

Power na may negatibong base.

Hanggang sa puntong ito, napag-usapan lang natin kung ano ang dapat tagapagpahiwatig degree. Ngunit ano ang dapat na maging batayan? Sa mga degree mula sa natural tagapagpahiwatig maaaring maging batayan kahit anong numero .

Sa katunayan, maaari nating i-multiply ang anumang numero sa bawat isa, maging sila ay positibo, negatibo, o kahit na. Isipin natin kung anong mga palatandaan ("" o "") ang magkakaroon ng mga antas ng positibo at negatibong mga numero?

Halimbawa, magiging positibo ba o negatibo ang numero? PERO? ?

Sa una, malinaw ang lahat: gaano man karaming positibong numero ang i-multiply natin sa isa't isa, magiging positibo ang resulta.

Ngunit ang mga negatibo ay medyo mas kawili-wili. Pagkatapos ng lahat, naaalala namin ang isang simpleng panuntunan mula sa ika-6 na baitang: "ang isang minus na beses ang isang minus ay nagbibigay ng isang plus." Iyon ay, o. Ngunit kung i-multiply natin sa (), makakakuha tayo ng -.

At iba pa ang ad infinitum: sa bawat kasunod na pagpaparami, magbabago ang tanda. Maaari mong balangkasin ang mga simpleng panuntunang ito:

1. kahit degree, - numero positibo.
2. Negatibong numero itinaas sa kakaiba degree, - numero negatibo.
3. Ang isang positibong numero sa anumang kapangyarihan ay isang positibong numero.
4. Ang zero sa anumang kapangyarihan ay katumbas ng zero.

Tukuyin para sa iyong sarili kung anong senyales ang magkakaroon ng mga sumusunod na expression:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Inayos mo ba? Narito ang mga sagot:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Sa unang apat na halimbawa, sana ay malinaw ang lahat? Tinitingnan lang namin ang base at exponent, at inilalapat ang naaangkop na panuntunan.

Sa halimbawa 5), ​​ang lahat ay hindi rin nakakatakot gaya ng tila: hindi mahalaga kung ano ang katumbas ng batayan - ang antas ay pantay, na nangangahulugan na ang resulta ay palaging magiging positibo. Well, maliban kung ang base ay zero. Ang batayan ay hindi pareho, di ba? Malinaw na hindi, dahil (dahil).

Halimbawa 6) ay hindi na gaanong simple. Dito kailangan mong malaman kung alin ang mas kaunti: o? Kung naaalala mo iyon, nagiging malinaw iyon, na nangangahulugan na ang base ay mas mababa sa zero. Ibig sabihin, inilalapat namin ang panuntunan 2: magiging negatibo ang resulta.

At muli ginagamit namin ang kahulugan ng degree:

Ang lahat ay tulad ng dati - isinulat namin ang kahulugan ng mga degree at hatiin ang mga ito sa isa't isa, hatiin ang mga ito sa mga pares at makuha:

Bago pag-aralan ang huling tuntunin, lutasin natin ang ilang mga halimbawa.

Kalkulahin ang mga halaga ng mga expression:

Mga solusyon :

Kung hindi natin papansinin ang ikawalong antas, ano ang makikita natin dito? Tingnan natin ang programa sa ika-7 baitang. Kaya, tandaan? Ito ang pinaikling formula ng multiplikasyon, lalo na ang pagkakaiba ng mga parisukat!

Nakukuha namin:

Maingat naming tinitingnan ang denominator. Mukha itong isa sa mga kadahilanan ng numerator, ngunit ano ang mali? Maling pagkakasunud-sunod ng mga tuntunin. Kung mababaligtad ang mga ito, maaaring ilapat ang panuntunan 3. Ngunit paano ito gagawin? Ito ay lumiliko na ito ay napakadali: ang pantay na antas ng denominator ay tumutulong sa amin dito.

Kung i-multiply mo ito, walang magbabago di ba? Ngunit ngayon ay ganito ang hitsura:

Ang mga termino ay nakapagpalit ng mga lugar. Ang "phenomenon" na ito ay nalalapat sa anumang expression sa isang pantay na antas: maaari nating malayang baguhin ang mga palatandaan sa mga bracket. Ngunit mahalagang tandaan: lahat ng mga palatandaan ay nagbabago nang sabay-sabay! Hindi ito mapapalitan ng pagbabago lamang ng isang hindi kanais-nais na minus sa amin!

Bumalik tayo sa halimbawa:

At muli ang formula:

Kaya ngayon ang huling tuntunin:

Paano natin ito mapapatunayan? Siyempre, gaya ng dati: palawakin natin ang konsepto ng degree at pasimplehin:

Well, ngayon buksan natin ang mga bracket. Gaano karaming mga titik ang magkakaroon? beses sa pamamagitan ng mga multiplier - ano ang hitsura nito? Ito ay walang iba kundi ang kahulugan ng isang operasyon pagpaparami: total nagkaroon pala ng multipliers. Iyon ay, ito ay, sa pamamagitan ng kahulugan, isang kapangyarihan ng isang numero na may isang exponent:

Halimbawa:

Degree na may hindi makatwirang exponent

Bilang karagdagan sa impormasyon tungkol sa mga degree para sa average na antas, susuriin namin ang degree na may hindi makatwiran na tagapagpahiwatig. Ang lahat ng mga patakaran at katangian ng mga degree dito ay eksaktong kapareho ng para sa isang degree na may rational exponent, maliban sa lahat - pagkatapos ng lahat, sa pamamagitan ng kahulugan, ang mga hindi makatwiran na numero ay mga numero na hindi maaaring katawanin bilang isang fraction, kung saan at mga integer (iyon ay , ang mga hindi makatwirang numero ay lahat ng tunay na numero maliban sa mga makatwiran).

Kapag nag-aaral ng mga degree na may natural, integer at rational na indicator, sa bawat oras na bumubuo kami ng isang partikular na "larawan", "analogy", o paglalarawan sa mas pamilyar na mga termino. Halimbawa, ang natural na exponent ay isang numero na pinarami ng sarili nitong ilang beses; ang isang numero sa zero degree ay, kumbaga, isang numero na pinarami ng kanyang sarili nang isang beses, iyon ay, hindi pa ito nagsisimulang i-multiply, na nangangahulugang ang numero mismo ay hindi pa lumitaw - samakatuwid, ang resulta ay isang tiyak na "paghahanda ng isang numero", katulad ng isang numero; isang degree na may isang integer na negatibong tagapagpahiwatig - para bang ang isang tiyak na "reverse na proseso" ay naganap, iyon ay, ang numero ay hindi pinarami ng kanyang sarili, ngunit hinati.

Napakahirap isipin ang isang degree na may hindi makatwiran na exponent (tulad ng mahirap isipin ang isang 4-dimensional na espasyo). Sa halip, ito ay isang purong matematikal na bagay na nilikha ng mga mathematician upang palawigin ang konsepto ng isang antas sa buong espasyo ng mga numero.

Sa pamamagitan ng paraan, ang agham ay madalas na gumagamit ng isang degree na may isang kumplikadong exponent, iyon ay, ang isang exponent ay hindi kahit isang tunay na numero. Ngunit sa paaralan, hindi namin iniisip ang mga ganitong paghihirap; magkakaroon ka ng pagkakataong maunawaan ang mga bagong konseptong ito sa institute.

Kaya ano ang gagawin natin kung makakita tayo ng hindi makatwiran na exponent? Sinusubukan namin ang aming makakaya upang mapupuksa ito! :)

Halimbawa:

Magpasya para sa iyong sarili:

1)

2)

3)

Mga sagot:

1. Tandaan ang pagkakaiba ng formula ng mga parisukat. Sagot: .
2. Dinadala namin ang mga fraction sa parehong anyo: alinman sa parehong mga decimal, o parehong mga ordinaryong. Nakukuha namin, halimbawa: .
3. Walang espesyal, inilalapat namin ang karaniwang mga katangian ng mga degree:

BUOD NG SEKSYON AT BATAYANG FORMULA

Degree ay tinatawag na pagpapahayag ng anyo: , kung saan:

Degree na may integer exponent

degree, ang exponent nito ay isang natural na numero (i.e. integer at positive).

Degree na may rational exponent

degree, ang indicator kung saan ay negatibo at fractional na mga numero.

Degree na may hindi makatwirang exponent

exponent na ang exponent ay isang infinite decimal fraction o ugat.

Mga katangian ng degree

Mga tampok ng degree.

• Negatibong numero itinaas sa kahit degree, - numero positibo.
• Negatibong numero itinaas sa kakaiba degree, - numero negatibo.
• Ang isang positibong numero sa anumang kapangyarihan ay isang positibong numero.
• Ang zero ay katumbas ng anumang kapangyarihan.
• Ang anumang numero sa zero na kapangyarihan ay katumbas.

NGAYON MAY SALITA KA NA...

Paano mo gusto ang artikulo? Ipaalam sa akin sa mga komento sa ibaba kung nagustuhan mo ito o hindi.

Sabihin sa amin ang tungkol sa iyong karanasan sa mga katangian ng kapangyarihan.

Marahil ay mayroon kang mga katanungan. O mga mungkahi.

Sumulat sa mga komento.

At good luck sa iyong mga pagsusulit!