Ang artikulong ito ay tumatalakay sa mga operasyon sa mga fraction. Ang mga panuntunan para sa pagdaragdag, pagbabawas, pagpaparami, paghahati o pagpapalawak ng mga fraction ng anyong A B ay mabubuo at mabibigyang katwiran, kung saan ang A at B ay maaaring mga numero, numeric na expression o mga expression na may mga variable. Sa konklusyon, isasaalang-alang ang mga halimbawa ng mga solusyon na may detalyadong paglalarawan.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Mga panuntunan para sa pagsasagawa ng mga operasyon na may mga numerical na fraction ng isang pangkalahatang anyo
Ang mga numerical fraction ng isang pangkalahatang anyo ay may numerator at denominator, kung saan mayroong mga natural na numero o numerical expression. Kung isasaalang-alang natin ang mga praksiyon gaya ng 3 5 , 2 , 8 4 , 1 + 2 3 4 (5-2) , 3 4 + 7 8 2 , 3-0 , 8 , 1 2 2 , π 1-2 3 + π , 2 0 , 5 ln 3 , pagkatapos ay malinaw na ang numerator at denominator ay maaaring magkaroon ng hindi lamang mga numero, kundi pati na rin ang mga expression ng ibang plano.
Kahulugan 1
May mga panuntunan kung saan ang mga aksyon ay ginagampanan gamit ang mga ordinaryong fraction. Ito ay angkop din para sa mga fraction ng isang pangkalahatang anyo:
- Kapag ang pagbabawas ng mga fraction na may parehong denominator, ang mga numerator lamang ang idinagdag, at ang denominator ay nananatiling pareho, ibig sabihin: a d ± c d \u003d a ± c d, ang mga halaga a, c at d ≠ 0 ay ilang mga numero o numerical expression.
- Kapag nagdaragdag o nagbabawas ng mga fraction na may iba't ibang denominator, kailangang bawasan sa isang karaniwan, at pagkatapos ay idagdag o ibawas ang mga resultang fraction na may parehong mga tagapagpahiwatig. Sa literal, ganito ang hitsura nito a b ± c d = a p ± c r s , kung saan ang mga value a , b ≠ 0 , c , d ≠ 0 , p ≠ 0 , r ≠ 0 , s ≠ 0 ay mga tunay na numero, at b p = d r = s. Kapag p = d at r = b, pagkatapos ay a b ± c d = a d ± c d b d.
- Kapag nagpaparami ng mga fraction, ang isang aksyon ay ginaganap sa mga numerator, pagkatapos nito kasama ang mga denominador, pagkatapos ay makakakuha tayo ng b c d \u003d a c b d, kung saan ang a, b ≠ 0, c, d ≠ 0 ay kumikilos bilang mga tunay na numero.
- Kapag hinahati ang isang fraction sa isang fraction, pinarami namin ang una sa pangalawang reciprocal, iyon ay, pinapalitan namin ang numerator at denominator: a b: c d \u003d a b d c.
Rationale para sa mga patakaran
Kahulugan 2Mayroong mga sumusunod na mathematical point na dapat mong umasa kapag nagkalkula:
- ang isang fractional bar ay nangangahulugang isang tanda ng paghahati;
- ang paghahati sa isang numero ay itinuturing bilang isang multiplikasyon sa pamamagitan ng katumbas nito;
- aplikasyon ng pag-aari ng mga aksyon na may totoong mga numero;
- aplikasyon ng pangunahing pag-aari ng isang fraction at mga hindi pagkakapantay-pantay ng numero.
Sa kanilang tulong, maaari kang gumawa ng mga pagbabago sa form:
a d ± c d = a d - 1 ± c d - 1 = a ± c d - 1 = a ± c d ; a b ± c d = a p b p ± c r d r = a p s ± c e s = a p ± c r s ; a b c d = a d b d b c b d = a d a d - 1 b c b d - 1 = = a d b c b d - 1 b d - 1 = a d b c b d b d - 1 = = (a c) (b d) - 1 = a c b d
Mga halimbawa
Sa nakaraang talata, sinabi tungkol sa mga aksyon na may mga fraction. Ito ay pagkatapos nito na ang fraction ay kailangang gawing simple. Ang paksang ito ay tinalakay nang detalyado sa seksyon sa pag-convert ng mga fraction.
Una, isaalang-alang ang halimbawa ng pagdaragdag at pagbabawas ng mga fraction na may parehong denominator.
Halimbawa 1
Ibinigay ang mga praksiyon 8 2 , 7 at 1 2 , 7 , pagkatapos ay ayon sa tuntunin ay kailangang idagdag ang numerator at muling isulat ang denamineytor.
Desisyon
Pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang fraction ng form 8 + 1 2 , 7 . Pagkatapos isagawa ang karagdagan, makakakuha tayo ng isang fraction ng form 8 + 1 2 , 7 = 9 2 , 7 = 90 27 = 3 1 3 . Kaya 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 8 + 1 2 , 7 = 9 2 , 7 = 90 27 = 3 1 3 .
Sagot: 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 3 1 3
May isa pang paraan upang malutas. Upang magsimula, ang isang paglipat ay ginawa sa anyo ng isang ordinaryong fraction, pagkatapos nito ay nagsasagawa kami ng isang pagpapasimple. Mukhang ganito:
8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 80 27 + 10 27 = 90 27 = 3 1 3
Halimbawa 2
Ibawas natin sa 1 - 2 3 log 2 3 log 2 5 + 1 fractions ng anyong 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1 .
Dahil ang mga pantay na denominador ay ibinibigay, nangangahulugan ito na tayo ay nagkalkula ng isang fraction na may parehong denominator. Nakukuha namin iyon
1 - 2 3 log 2 3 log 2 5 + 1 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1 = 1 - 2 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1
May mga halimbawa ng pagkalkula ng mga fraction na may iba't ibang denominator. Ang isang mahalagang punto ay ang pagbawas sa isang karaniwang denominator. Kung wala ito, hindi namin magagawa ang mga karagdagang aksyon na may mga fraction.
Ang proseso ay malayuang nagpapaalala ng pagbawas sa isang karaniwang denominator. Iyon ay, ang isang paghahanap ay ginawa para sa hindi bababa sa karaniwang divisor sa denominator, pagkatapos kung saan ang nawawalang mga kadahilanan ay idinagdag sa mga fraction.
Kung ang mga idinagdag na fraction ay walang karaniwang mga kadahilanan, kung gayon ang kanilang produkto ay maaaring maging isa.
Halimbawa 3
Isaalang-alang ang halimbawa ng pagdaragdag ng mga praksiyon 2 3 5 + 1 at 1 2 .
Desisyon
Sa kasong ito, ang karaniwang denominador ay ang produkto ng mga denominador. Pagkatapos ay makukuha natin iyon 2 · 3 5 + 1 . Pagkatapos, kapag nagtatakda ng mga karagdagang salik, mayroon tayo na sa unang bahagi ito ay katumbas ng 2, at sa pangalawang 3 5 + 1. Pagkatapos ng multiplikasyon, ang mga fraction ay binabawasan sa anyo 4 2 3 5 + 1. Ang pangkalahatang cast 1 2 ay magiging 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1 . Idinaragdag namin ang mga resultang fractional expression at makuha iyon
2 3 5 + 1 + 1 2 = 2 2 2 3 5 + 1 + 1 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = = 4 2 3 5 + 1 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 4 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1
Sagot: 2 3 5 + 1 + 1 2 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1
Kapag tayo ay nakikitungo sa mga fraction ng isang pangkalahatang anyo, kung gayon ang hindi bababa sa karaniwang denominator ay karaniwang hindi ang kaso. Hindi kapaki-pakinabang na kunin ang produkto ng mga numerator bilang denominator. Una kailangan mong suriin kung mayroong isang numero na mas mababa ang halaga kaysa sa kanilang produkto.
Halimbawa 4
Isaalang-alang ang halimbawa 1 6 2 1 5 at 1 4 2 3 5 kapag ang kanilang produkto ay katumbas ng 6 2 1 5 4 2 3 5 = 24 2 4 5 . Pagkatapos ay kunin natin ang 12 · 2 3 5 bilang isang karaniwang denominador.
Isaalang-alang ang mga halimbawa ng pagpaparami ng mga fraction ng isang pangkalahatang anyo.
Halimbawa 5
Upang gawin ito, kinakailangan upang i-multiply ang 2 + 1 6 at 2 · 5 3 · 2 + 1.
Desisyon
Kasunod ng tuntunin, kinakailangang muling isulat at isulat ang produkto ng mga numerator bilang denominator. Nakukuha natin na 2 + 1 6 2 5 3 2 + 1 2 + 1 2 5 6 3 2 + 1 . Kapag ang fraction ay pinarami, ang mga pagbawas ay maaaring gawin upang pasimplehin ito. Pagkatapos 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10 .
Gamit ang panuntunan ng paglipat mula sa paghahati hanggang sa multiplikasyon sa pamamagitan ng isang katumbasan, nakukuha natin ang kapalit ng ibinigay. Upang gawin ito, ang numerator at denominator ay baligtad. Tingnan natin ang isang halimbawa:
5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10
Pagkatapos nito, dapat silang magsagawa ng multiplikasyon at pasimplehin ang resultang fraction. Kung kinakailangan, alisin ang irrationality sa denominator. Nakukuha namin iyon
5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 9 3 10 2 + 1 = 5 2 10 2 + 1 = 3 2 2 + 1 = = 3 2 - 1 2 2 + 1 2 - 1 = 3 2 - 1 2 2 2 - 1 2 = 3 2 - 1 2
Sagot: 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 3 2 - 1 2
Naaangkop ang talatang ito kapag ang isang numero o numerical na expression ay maaaring katawanin bilang isang fraction na may denominator na katumbas ng 1, kung gayon ang operasyon na may ganoong fraction ay itinuturing na isang hiwalay na talata. Halimbawa, ang expression na 1 6 7 4 - 1 3 ay nagpapakita na ang ugat ng 3 ay maaaring palitan ng isa pang 3 1 expression. Kung gayon ang talaang ito ay magmumukhang isang multiplikasyon ng dalawang praksyon ng anyong 1 6 7 4 - 1 3 = 1 6 7 4 - 1 3 1 .
Gumagawa ng isang aksyon na may mga fraction na naglalaman ng mga variable
Ang mga tuntuning tinalakay sa unang artikulo ay naaangkop sa mga operasyong may mga fraction na naglalaman ng mga variable. Isaalang-alang ang panuntunan sa pagbabawas kapag ang mga denominador ay pareho.
Kinakailangang patunayan na ang A , C at D (D na hindi katumbas ng zero) ay maaaring maging anumang mga expression, at ang pagkakapantay-pantay A D ± C D = A ± C D ay katumbas ng saklaw ng mga wastong halaga nito.
Kinakailangang kumuha ng isang hanay ng mga variable ng ODZ. Pagkatapos ay dapat kunin ng A, C, D ang kaukulang mga halaga a 0 , c 0 at d0. Ang pagpapalit ng anyo A D ± C D ay nagreresulta sa pagkakaiba ng anyo a 0 d 0 ± c 0 d 0 , kung saan, ayon sa tuntunin sa karagdagan, nakakakuha tayo ng formula ng form na a 0 ± c 0 d 0 . Kung papalitan natin ang expression A ± C D , pagkatapos ay makukuha natin ang parehong fraction ng form na a 0 ± c 0 d 0 . Mula dito napagpasyahan namin na ang napiling halaga na nakakatugon sa ODZ, A ± C D at A D ± C D ay itinuturing na pantay.
Para sa anumang halaga ng mga variable, ang mga expression na ito ay magiging pantay, ibig sabihin, ang mga ito ay tinatawag na magkaparehong pantay. Nangangahulugan ito na ang expression na ito ay itinuturing na isang mapapatunayang pagkakapantay-pantay ng anyong A D ± C D = A ± C D .
Mga halimbawa ng pagdaragdag at pagbabawas ng mga fraction na may mga variable
Kapag may parehong denominator, kailangan lamang magdagdag o magbawas ng mga numerator. Ang fraction na ito ay maaaring gawing simple. Minsan kailangan mong magtrabaho sa mga fraction na magkapareho, ngunit sa unang tingin ay hindi ito kapansin-pansin, dahil ang ilang mga pagbabago ay dapat gawin. Halimbawa, x 2 3 x 1 3 + 1 at x 1 3 + 1 2 o 1 2 sin 2 α at sin a cos a. Kadalasan, kinakailangan ang pagpapasimple ng orihinal na expression upang makita ang parehong mga denominator.
Halimbawa 6
Kalkulahin: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 , 2) l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) , x - 1 x - 1 + x x + 1 .
Desisyon
- Upang makagawa ng kalkulasyon, kailangan mong ibawas ang mga fraction na may parehong denominator. Pagkatapos ay makukuha natin na x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 . Pagkatapos nito, maaari mong buksan ang mga bracket na may pagbabawas ng mga katulad na termino. Nakukuha natin na x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 + x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2
- Dahil ang mga denominator ay pareho, nananatili lamang ang pagdaragdag ng mga numerator, na iniiwan ang denominator: l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g 2 x + 4 + 4 x (l g x + 2)
Ang karagdagan ay natapos na. Ito ay makikita na ang fraction ay maaaring mabawasan. Ang numerator nito ay maaaring itiklop gamit ang sum square formula, pagkatapos ay makukuha natin ang (l g x + 2) 2 mula sa mga pinaikling pormula ng pagpaparami. Pagkatapos makuha namin iyon
l g 2 x + 4 + 2 l g x x (l g x + 2) = (l g x + 2) 2 x (l g x + 2) = l g x + 2 x - Ibinigay ang mga fraction ng anyong x - 1 x - 1 + x x + 1 na may magkakaibang denominador. Pagkatapos ng pagbabago, maaari kang magpatuloy sa pagdaragdag.
Isaalang-alang natin ang isang dalawang paraan na solusyon.
Ang unang paraan ay ang denominator ng unang fraction ay napapailalim sa factorization gamit ang mga parisukat, at kasama ang kasunod na pagbawas nito. Nakukuha namin ang isang fraction ng form
x - 1 x - 1 = x - 1 (x - 1) x + 1 = 1 x + 1
Kaya x - 1 x - 1 + x x + 1 = 1 x + 1 + x x + 1 = 1 + x x + 1 .
Sa kasong ito, kinakailangan upang mapupuksa ang hindi makatwiran sa denominator.
1 + x x + 1 = 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1
Ang pangalawang paraan ay paramihin ang numerator at denominator ng pangalawang fraction sa x - 1 . Kaya, inaalis natin ang irrationality at magpatuloy sa pagdaragdag ng fraction na may parehong denominator. Pagkatapos
x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 x - 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = = x - 1 x - 1 + x x - x x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1
Sagot: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g x + 2 x, 3) x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 + x x - x x - 1.
Sa huling halimbawa, nalaman namin na ang pagbabawas sa isang karaniwang denominator ay hindi maiiwasan. Upang gawin ito, kailangan mong gawing simple ang mga fraction. Upang magdagdag o magbawas, kailangan mong laging maghanap ng isang karaniwang denominator, na mukhang produkto ng mga denominador na may pagdaragdag ng mga karagdagang kadahilanan sa mga numerator.
Halimbawa 7
Kalkulahin ang mga halaga ng mga fraction: 1) x 3 + 1 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) (2 x - 4) - sin x x 5 ln (x + 1) ( 2 x - 4) , 3) 1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x
Desisyon
- Ang denominator ay hindi nangangailangan ng anumang kumplikadong mga kalkulasyon, kaya kailangan mong piliin ang kanilang produkto ng form na 3 x 7 + 2 2, pagkatapos ay sa unang fraction x 7 + 2 2 ay pinili bilang isang karagdagang kadahilanan, at 3 sa pangalawa. Kapag nagpaparami, nakakakuha tayo ng fraction ng anyong x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 3 x 7 + 2 2 + 3 1 3 x 7 + 2 2 = = x x 7 + 2 2 + 3 3 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2
- Makikita na ang mga denominator ay ipinakita bilang isang produkto, na nangangahulugan na ang mga karagdagang pagbabago ay hindi kailangan. Ang karaniwang denominator ay magiging produkto ng anyong x 5 · ln 2 x + 1 · 2 x - 4 . Mula dito x 4
ay isang karagdagang salik sa unang bahagi, at ln (x + 1)
sa pangalawa. Pagkatapos ay ibawas namin at makuha:
x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sin x x 5 ln (x + 1) 2 x - 4 = = x + 1 x 4 x 5 ln 2 (x + 1 ) 2 x - 4 - sin x ln x + 1 x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) = = x + 1 x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) = x x 4 + x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) ) - Makatuwiran ang halimbawang ito kapag nagtatrabaho sa mga denominador ng mga fraction. Kinakailangang ilapat ang mga pormula ng pagkakaiba ng mga parisukat at ang parisukat ng kabuuan, dahil gagawin nilang posible na maipasa sa isang pagpapahayag ng anyo 1 cos x - x · cos x + x + 1 (cos x + x ) 2 . Ito ay makikita na ang mga fraction ay nabawasan sa isang karaniwang denominator. Nakukuha namin na cos x - x cos x + x 2 .
Pagkatapos makuha namin iyon
1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = = 1 cos x - x cos x + x + 1 cos x + x 2 = = cos x + x cos x - x cos x + x 2 + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = = cos x + x + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = 2 cos x cos x - x cos x + x2
Sagot:
1) x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sin x x 5 ln ( x + 1) 2 x - 4 = = x x 4 + x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) ( 2 x - 4) , 3) 1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = 2 cos x cos x - x cos x + x 2 .
Mga halimbawa ng pagpaparami ng mga fraction na may mga variable
Kapag nagpaparami ng mga fraction, ang numerator ay pinarami ng numerator at ang denominator sa denominator. Pagkatapos ay maaari mong ilapat ang reduction property.
Halimbawa 8
Multiply fractions x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 at 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x.
Desisyon
Kailangan mong gawin ang pagpaparami. Nakukuha namin iyon
x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) = = x - 2 x 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 x 2 ln x 2 ln x + 1 sin (2 x - x)
Ang numero 3 ay inilipat sa unang lugar para sa kaginhawaan ng mga kalkulasyon, at maaari mong bawasan ang fraction ng x 2, pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang pagpapahayag ng form
3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 sin (2 x - x)
Sagot: x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) = 3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 sin (2 x - x) .
Dibisyon
Ang dibisyon ng mga fraction ay katulad ng multiplication, dahil ang unang fraction ay pinarami ng pangalawang reciprocal. Kung kukunin natin, halimbawa, ang fraction x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 at hatiin sa 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x, kung gayon maaari itong isulat bilang
x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1: 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) , pagkatapos ay palitan ng produkto ng anyong x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 kasalanan (2 x - x)
Exponentiation
Magpatuloy tayo upang isaalang-alang ang aksyon na may mga fraction ng isang pangkalahatang anyo na may exponentiation. Kung mayroong isang degree na may natural na index, kung gayon ang aksyon ay itinuturing bilang isang multiplikasyon ng magkatulad na mga fraction. Ngunit inirerekumenda na gumamit ng isang pangkalahatang diskarte batay sa mga katangian ng mga degree. Anumang mga expression na A at C, kung saan ang C ay hindi magkaparehong katumbas ng zero, at anumang real r sa ODZ para sa isang expression ng form A C r, ang pagkakapantay-pantay A C r = A r C r ay totoo. Ang resulta ay isang fraction na itinaas sa isang kapangyarihan. Halimbawa, isaalang-alang:
x 0 , 7 - π ln 3 x - 2 - 5 x + 1 2 , 5 = = x 0 , 7 - π ln 3 x - 2-5 2 , 5 x + 1 2 , 5
Ang pagkakasunud-sunod ng mga operasyon na may mga fraction
Ang mga aksyon sa mga fraction ay isinasagawa ayon sa ilang mga patakaran. Sa pagsasagawa, napapansin namin na ang isang expression ay maaaring maglaman ng ilang fraction o fractional na expression. Pagkatapos ito ay kinakailangan upang isagawa ang lahat ng mga aksyon sa isang mahigpit na pagkakasunud-sunod: itaas sa isang kapangyarihan, multiply, hatiin, pagkatapos ay idagdag at ibawas. Kung mayroong mga bracket, ang unang aksyon ay isinasagawa sa kanila.
Halimbawa 9
Kalkulahin ang 1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 x .
Desisyon
Dahil mayroon kaming parehong denominator, pagkatapos ay 1 - x cos x at 1 c o s x , ngunit imposibleng ibawas ayon sa panuntunan, una ang mga aksyon sa mga bracket ay ginanap, pagkatapos kung saan ang multiplikasyon, at pagkatapos ay ang karagdagan. Pagkatapos, kapag nagkalkula, nakuha namin iyon
1 + 1 x = 1 1 + 1 x = x x + 1 x = x + 1 x
Kapag pinapalitan ang expression sa orihinal, nakukuha natin na 1 - x cos x - 1 cos x · x + 1 x. Kapag nagpaparami ng mga fraction, mayroon tayong: 1 cos x x + 1 x = x + 1 cos x x . Nang magawa ang lahat ng mga pagpapalit, makakakuha tayo ng 1 - x cos x - x + 1 cos x · x . Ngayon ay kailangan mong magtrabaho sa mga fraction na may iba't ibang denominator. Nakukuha namin:
x 1 - x cos x x - x + 1 cos x x = x 1 - x - 1 + x cos x x = = x - x - x - 1 cos x x = - x + 1 cos x x
Sagot: 1 - x cos x - 1 c o s x 1 + 1 x = - x + 1 cos x x .
Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter
Maliit na bahagi- isang anyo ng representasyon ng isang numero sa matematika. Ang slash ay nagpapahiwatig ng operasyon ng paghahati. tagabilang Ang mga fraction ay tinatawag na dibidendo, at denominador- divider. Halimbawa, sa isang fraction, ang numerator ay 5 at ang denominator ay 7.
tama Ang isang fraction ay tinatawag kung ang modulus ng numerator ay mas malaki kaysa sa modulus ng denominator. Kung tama ang fraction, ang modulus ng value nito ay palaging mas mababa sa 1. Ang lahat ng iba pang fraction ay mali.
Fraction ay tinatawag magkakahalo, kung ito ay nakasulat bilang isang integer at isang fraction. Ito ay kapareho ng kabuuan ng numerong ito at isang fraction:
Pangunahing katangian ng isang fraction
Kung ang numerator at denominator ng isang fraction ay pinarami ng parehong numero, kung gayon ang halaga ng fraction ay hindi magbabago, iyon ay, halimbawa,
Ang pagdadala ng mga fraction sa isang karaniwang denominator
Para magdala ng dalawang fraction sa isang common denominator, kailangan mo:
- I-multiply ang numerator ng unang fraction sa denominator ng pangalawa
- I-multiply ang numerator ng pangalawang fraction sa denominator ng una
- Palitan ang mga denominator ng parehong fraction ng kanilang produkto
Mga aksyon na may mga fraction
Dagdag. Upang magdagdag ng dalawang fraction, kailangan mo
- Magdagdag ng mga bagong numerator ng parehong mga fraction, at iwanan ang denominator na hindi nagbabago
Halimbawa:
Pagbabawas. Upang ibawas ang isang fraction mula sa isa pa,
- Dalhin ang mga fraction sa isang common denominator
- Ibawas ang numerator ng pangalawang fraction mula sa numerator ng unang fraction, at iwanan ang denominator na hindi nagbabago.
Halimbawa:
Pagpaparami. Upang i-multiply ang isang fraction sa isa pa, i-multiply ang kanilang mga numerator at denominator:
Dibisyon. Upang hatiin ang isang fraction sa isa pa, i-multiply ang numerator ng unang fraction sa denominator ng pangalawa, at i-multiply ang denominator ng unang fraction sa numerator ng pangalawa:
Ngayong natutunan na natin kung paano magdagdag at magparami ng mga indibidwal na fraction, maaari nating isaalang-alang ang mas kumplikadong mga istruktura. Halimbawa, paano kung ang pagdaragdag, pagbabawas, at pagpaparami ng mga fraction ay nangyari sa isang problema?
Una sa lahat, kailangan mong i-convert ang lahat ng mga fraction sa hindi wasto. Pagkatapos ay sunud-sunod naming ginagawa ang mga kinakailangang aksyon - sa parehong pagkakasunud-sunod tulad ng para sa mga ordinaryong numero. Namely:
- Una, isinasagawa ang exponentiation - alisin ang lahat ng expression na naglalaman ng mga exponent;
- Pagkatapos - dibisyon at pagpaparami;
- Ang huling hakbang ay ang pagdaragdag at pagbabawas.
Siyempre, kung may mga bracket sa expression, nagbabago ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon - lahat ng nasa loob ng mga bracket ay dapat munang isaalang-alang. At tandaan ang tungkol sa mga hindi wastong fraction: kailangan mong piliin ang buong bahagi lamang kapag ang lahat ng iba pang mga aksyon ay nakumpleto na.
Isalin natin ang lahat ng mga fraction mula sa unang expression sa mga hindi wasto, at pagkatapos ay gawin ang mga sumusunod na aksyon:
Ngayon, hanapin natin ang halaga ng pangalawang expression. Walang mga fraction na may bahaging integer, ngunit may mga bracket, kaya nagsasagawa muna kami ng karagdagan, at pagkatapos lamang ng paghahati. Tandaan na 14 = 7 2 . Pagkatapos:
Panghuli, isaalang-alang ang ikatlong halimbawa. Mayroong mga bracket at isang degree dito - mas mahusay na bilangin ang mga ito nang hiwalay. Given na 9 = 3 3 , mayroon tayong:
Bigyang-pansin ang huling halimbawa. Upang itaas ang isang fraction sa isang kapangyarihan, dapat mong hiwalay na itaas ang numerator sa kapangyarihang ito, at hiwalay ang denominator.
Maaari kang magpasya nang iba. Kung aalalahanin natin ang kahulugan ng antas, ang problema ay mababawasan sa karaniwang pagpaparami ng mga fraction:
Mga multistoried fraction
Sa ngayon, isinasaalang-alang lamang natin ang mga "purong" fraction, kapag ang numerator at denominator ay mga ordinaryong numero. Ito ay naaayon sa kahulugan ng isang numerical fraction na ibinigay sa pinakaunang aralin.
Ngunit paano kung ang isang mas kumplikadong bagay ay inilagay sa numerator o denominator? Halimbawa, isa pang numerical fraction? Ang ganitong mga konstruksyon ay madalas na nangyayari, lalo na kapag nagtatrabaho sa mahabang expression. Ito ang ilang mga halimbawa:
Mayroon lamang isang panuntunan para sa pagtatrabaho sa mga multi-storey fraction: dapat mong agad na alisin ang mga ito. Ang pag-alis ng mga "dagdag" na sahig ay medyo simple, kung naaalala mo na ang fractional bar ay nangangahulugang ang karaniwang operasyon ng dibisyon. Samakatuwid, ang anumang fraction ay maaaring muling isulat tulad ng sumusunod:
Gamit ang katotohanang ito at pagsunod sa pamamaraan, madali nating mababawasan ang anumang multi-storey fraction sa isang regular. Tingnan ang mga halimbawa:
Gawain. I-convert ang mga multistory fraction sa mga karaniwang:
Sa bawat kaso, muling isinulat namin ang pangunahing bahagi, pinapalitan ang linya ng paghahati ng isang tanda ng dibisyon. Tandaan din na ang anumang integer ay maaaring katawanin bilang isang fraction na may denominator na 1. Ibig sabihin, 12 = 12/1; 3 = 3/1. Nakukuha namin:
Sa huling halimbawa, ang mga fraction ay nabawasan bago ang huling multiplikasyon.
Ang mga detalye ng pagtatrabaho sa mga multi-storey fraction
Mayroong isang subtlety sa mga multi-storey fraction na dapat palaging tandaan, kung hindi, makakakuha ka ng maling sagot, kahit na tama ang lahat ng mga kalkulasyon. Tingnan mo:
- Sa numerator mayroong isang hiwalay na numero 7, at sa denominator - ang bahagi na 12/5;
- Ang numerator ay ang fraction na 7/12, at ang denominator ay ang solong numero 5.
Kaya, para sa isang tala, nakakuha kami ng dalawang ganap na magkaibang interpretasyon. Kung magbibilang ka, iba rin ang mga sagot:
Upang matiyak na ang talaan ay palaging binabasa nang hindi malabo, gumamit ng isang simpleng panuntunan: ang linya ng paghahati ng pangunahing fraction ay dapat na mas mahaba kaysa sa nested na linya. Mas mabuti ng ilang beses.
Kung susundin mo ang panuntunang ito, ang mga fraction sa itaas ay dapat na isulat tulad ng sumusunod:
Oo, ito ay malamang na pangit at tumatagal ng masyadong maraming espasyo. Pero magbibilang ka ng tama. Panghuli, ilang mga halimbawa kung saan talagang nangyayari ang mga multi-level na fraction:
Gawain. Maghanap ng mga halaga ng expression:
Kaya, magtrabaho tayo sa unang halimbawa. I-convert natin ang lahat ng mga fraction sa hindi wasto, at pagkatapos ay gawin ang mga operasyon ng karagdagan at paghahati:
Gawin din natin ang pangalawang halimbawa. I-convert ang lahat ng fraction sa hindi wasto at gawin ang mga kinakailangang operasyon. Upang hindi mainip ang mambabasa, aalisin ko ang ilang malinaw na mga kalkulasyon. Meron kami:
Dahil sa katotohanan na ang numerator at denominator ng mga pangunahing fraction ay naglalaman ng mga kabuuan, ang panuntunan para sa pagsulat ng mga multi-storey na fraction ay awtomatikong sinusunod. Gayundin, sa huling halimbawa, sadyang iniwan namin ang numero 46/1 sa anyo ng isang fraction upang maisagawa ang paghahati.
Napansin ko rin na sa parehong mga halimbawa, ang fractional bar ay talagang pinapalitan ang mga bracket: una sa lahat, nakita namin ang kabuuan, at pagkatapos lamang - ang quotient.
May magsasabi na ang paglipat sa mga hindi wastong fraction sa pangalawang halimbawa ay malinaw na kalabisan. Marahil ay ganoon nga. Ngunit sa ganitong paraan sinisiguro natin ang ating mga sarili laban sa mga pagkakamali, dahil sa susunod na pagkakataon ang halimbawa ay maaaring maging mas kumplikado. Piliin para sa iyong sarili kung ano ang mas mahalaga: bilis o pagiging maaasahan.
Ang seksyong ito ay tumatalakay sa mga operasyon na may mga ordinaryong fraction. Kung kinakailangan upang magsagawa ng isang mathematical na operasyon na may halo-halong mga numero, kung gayon ito ay sapat na upang i-convert ang halo-halong bahagi sa isang pambihirang isa, isagawa ang mga kinakailangang operasyon at, kung kinakailangan, ipakita ang huling resulta bilang isang halo-halong numero muli. Ang operasyong ito ay ilalarawan sa ibaba.
Pagbabawas ng fraction
mathematical operation. Pagbabawas ng fraction
Upang bawasan ang fraction \frac(m)(n) kailangan mong hanapin ang pinakamalaking karaniwang divisor ng numerator at denominator nito: gcd(m,n), pagkatapos ay hatiin ang numerator at denominator ng fraction sa numerong ito. Kung gcd(m,n)=1, hindi mababawasan ang fraction. Halimbawa: \frac(20)(80)=\frac(20:20)(80:20)=\frac(1)(4)
Karaniwan, ang agad na paghahanap ng pinakadakilang karaniwang divisor ay isang mahirap na gawain, at sa pagsasanay ang fraction ay nababawasan sa ilang mga yugto, hakbang-hakbang na nagha-highlight ng halatang karaniwang mga kadahilanan mula sa numerator at denominator. \frac(140)(315)=\frac(28\cdot5)(63\cdot5)=\frac(4\cdot7\cdot5)(9\cdot7\cdot5)=\frac(4)(9)
Ang pagdadala ng mga fraction sa isang karaniwang denominator
mathematical operation. Ang pagdadala ng mga fraction sa isang karaniwang denominator
Upang bawasan ang dalawang fraction \frac(a)(b) at \frac(c)(d) sa isang common denominator, kailangan mo:
- hanapin ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga denominator: M=LCM(b,d);
- i-multiply ang numerator at denominator ng unang fraction sa M / b (pagkatapos nito ang denominator ng fraction ay magiging katumbas ng bilang M);
- multiply ang numerator at denominator ng pangalawang fraction sa M/d (pagkatapos nito ang denominator ng fraction ay magiging katumbas ng bilang M).
Kaya, kino-convert namin ang orihinal na mga fraction sa mga fraction na may parehong denominator (na magiging katumbas ng bilang M).
Halimbawa, ang mga fraction na \frac(5)(6) at \frac(4)(9) ay may LCM(6,9) = 18. Pagkatapos: \frac(5)(6)=\frac(5\cdot3) (6 \cdot3)=\frac(15)(18);\quad\frac(4)(9)=\frac(4\cdot2)(9\cdot2)=\frac(8)(18) . Kaya, ang mga resultang fraction ay may isang karaniwang denominator.
Sa pagsasagawa, ang paghahanap ng least common multiple (LCM) ng mga denominator ay hindi palaging isang madaling gawain. Samakatuwid, ang isang numero na katumbas ng produkto ng mga denominador ng orihinal na mga fraction ay pinili bilang isang karaniwang denominator. Halimbawa, ang mga fraction na \frac(5)(6) at \frac(4)(9) ay binabawasan sa isang common denominator N=6\cdot9:
\frac(5)(6)=\frac(5\cdot9)(6\cdot9)=\frac(45)(54);\quad\frac(4)(9)=\frac(4\cdot6)( 9\cdot6)=\frac(24)(54)
Paghahambing ng Fraction
mathematical operation. Paghahambing ng Fraction
Upang ihambing ang dalawang karaniwang fraction:
- ihambing ang mga numerator ng mga nagresultang fraction; ang isang fraction na may mas malaking numerator ay magiging mas malaki.
Kapag naghahambing ng mga fraction, mayroong ilang mga espesyal na kaso:
- Mula sa dalawang fraction na may parehong denominador ang mas malaki ay ang fraction na ang numerator ay mas malaki. Halimbawa \frac(3)(15)
- Mula sa dalawang fraction na may parehong mga numerator ang mas malaki ay ang fraction na ang denominator ay mas maliit. Halimbawa, \frac(4)(11)>\frac(4)(13)
- Iyon fraction, na sa parehong oras mas malaking numerator at mas maliit na denominator, higit pa. Halimbawa, \frac(11)(3)>\frac(10)(8)
Pansin! Nalalapat ang Panuntunan 1 sa anumang mga fraction kung ang kanilang karaniwang denominator ay isang positibong numero. Nalalapat ang mga Panuntunan 2 at 3 sa mga positibong fraction (na may parehong numerator at denominator na mas malaki kaysa sa zero).
Pagdaragdag at pagbabawas ng mga fraction
mathematical operation. Pagdaragdag at pagbabawas ng mga fraction
Upang magdagdag ng dalawang fraction, kailangan mo:
- dalhin ang mga ito sa isang karaniwang denominador;
- idagdag ang kanilang mga numerator at iwanan ang denominator na hindi nagbabago.
Halimbawa: \frac(7)(9)+\frac(4)(7)=\frac(7\cdot7)(9\cdot7)+\frac(4\cdot9)(7\cdot9)=\frac(49 )(63)+\frac(36)(63)=\frac(49+36)(63)=\frac(85)(63)
Upang ibawas ang isa pang fraction mula sa isa, kailangan mo:
- magdala ng mga fraction sa isang karaniwang denominator;
- ibawas ang numerator ng pangalawang fraction mula sa numerator ng unang fraction, at iwanan ang denominator na hindi nagbabago.
Halimbawa: \frac(4)(15)-\frac(3)(5)=\frac(4)(15)-\frac(3\cdot3)(5\cdot3)=\frac(4)(15) -\frac(9)(15)=\frac(4-9)(15)=\frac(-5)(15)=-\frac(5)(3\cdot5)=-\frac(1)( 3)
Kung ang orihinal na mga fraction sa una ay may isang karaniwang denominator, pagkatapos ay ang punto 1 (pagbawas sa isang karaniwang denominator) ay nilaktawan.
Pag-convert ng isang pinaghalong numero sa isang hindi tamang fraction at vice versa
mathematical operation. Pag-convert ng isang pinaghalong numero sa isang hindi tamang fraction at vice versa
Upang i-convert ang isang mixed fraction sa isang hindi wasto, ito ay sapat na upang isama ang buong bahagi ng mixed fraction sa fractional na bahagi. Ang resulta ng naturang kabuuan ay magiging isang hindi wastong fraction, ang numerator nito ay katumbas ng kabuuan ng produkto ng integer na bahagi at ang denominator ng fraction na may numerator ng mixed fraction, at ang denominator ay nananatiling pareho. Halimbawa, 2\frac(6)(11)=2+\frac(6)(11)=\frac(2\cdot11)(11)+\frac(6)(11)=\frac(2\cdot11+ 6)(11)=\frac(28)(11)
Upang i-convert ang isang hindi wastong fraction sa isang halo-halong numero:
- hatiin ang numerator ng isang fraction sa denominator nito;
- isulat ang natitirang bahagi ng dibisyon sa numerator, at iwanan ang denominator na pareho;
- isulat ang resulta ng dibisyon bilang isang integer na bahagi.
Halimbawa, ang fraction \frac(23)(4) . Kapag hinahati ang 23:4=5.75, ibig sabihin, ang integer na bahagi ay 5, ang natitira sa dibisyon ay 23-5*4=3. Pagkatapos ay isusulat ang pinaghalong numero: 5\frac(3)(4) . \frac(23)(4)=\frac(5\cdot4+3)(4)=5\frac(3)(4)
Pag-convert ng Decimal sa Common Fraction
mathematical operation. Pag-convert ng Decimal sa Common Fraction
Upang i-convert ang isang decimal sa isang karaniwang fraction:
- kunin ang n-th power ng sampu bilang denominator (narito n ang bilang ng mga decimal na lugar);
- bilang numerator, kunin ang numero pagkatapos ng decimal point (kung ang integer na bahagi ng orihinal na numero ay hindi katumbas ng zero, pagkatapos ay kunin din ang lahat ng nangungunang mga zero);
- ang non-zero integer na bahagi ay nakasulat sa numerator sa pinakadulo simula; ang zero integer na bahagi ay tinanggal.
Halimbawa 1: 0.0089=\frac(89)(10000) (4 na decimal na lugar, kaya ang denominator 10 4 =10000, dahil ang integer na bahagi ay 0, ang numerator ay ang numero pagkatapos ng decimal point na walang mga zero na nangunguna)
Halimbawa 2: 31.0109=\frac(310109)(10000) (sa numerator isusulat namin ang numero pagkatapos ng decimal point kasama ang lahat ng mga zero: "0109", at pagkatapos ay idinagdag namin ang integer na bahagi ng orihinal na numerong "31" bago ito)
Kung ang integer na bahagi ng isang decimal fraction ay iba sa zero, maaari itong ma-convert sa isang mixed fraction. Upang gawin ito, isinasalin namin ang numero sa isang ordinaryong fraction na parang ang integer na bahagi ay katumbas ng zero (mga puntos 1 at 2), at muling isulat ang integer na bahagi bago ang fraction - ito ang magiging bahagi ng integer ng pinaghalong numero. Halimbawa:
3.014=3\frac(14)(100)
Upang i-convert ang isang ordinaryong fraction sa isang decimal, ito ay sapat na upang hatiin lamang ang numerator sa pamamagitan ng denominator. Minsan nakakakuha ka ng walang katapusang decimal. Sa kasong ito, kinakailangan na i-round sa nais na lugar ng decimal. Mga halimbawa:
\frac(401)(5)=80.2;\quad \frac(2)(3)\approx0.6667
Pagpaparami at paghahati ng mga fraction
mathematical operation. Pagpaparami at paghahati ng mga fraction
Upang i-multiply ang dalawang karaniwang fraction, kailangan mong i-multiply ang mga numerator at denominator ng mga fraction.
\frac(5)(9)\cdot\frac(7)(2)=\frac(5\cdot7)(9\cdot2)=\frac(35)(18)
Upang hatiin ang isang karaniwang fraction sa isa pa, kailangan mong i-multiply ang unang fraction sa reciprocal ng pangalawa ( kapalit ay isang fraction kung saan ang numerator at denominator ay baligtad.
\frac(5)(9):\frac(7)(2)=\frac(5)(9)\cdot\frac(2)(7)=\frac(5\cdot2)(9\cdot7)= \frac(10)(63)
Kung ang isa sa mga fraction ay isang natural na numero, kung gayon ang mga tuntunin sa pagpaparami at paghahati sa itaas ay mananatiling may bisa. Tandaan lamang na ang isang integer ay ang parehong fraction, ang denominator nito ay katumbas ng isa. Halimbawa: 3:\frac(3)(7)=\frac(3)(1):\frac(3)(7)=\frac(3)(1)\cdot\frac(7)(3) = \frac(3\cdot7)(1\cdot3)=\frac(7)(1)=7
Mga aksyon na may mga fraction. Sa artikulong ito, susuriin namin ang mga halimbawa, ang lahat ay detalyado sa mga paliwanag. Isasaalang-alang namin ang mga ordinaryong fraction. Sa hinaharap, susuriin namin ang mga decimal. Inirerekomenda kong panoorin ang kabuuan at pag-aralan nang sunud-sunod.
1. Kabuuan ng mga praksiyon, pagkakaiba ng mga praksiyon.
Panuntunan: kapag nagdaragdag ng mga fraction na may pantay na denominador, ang resulta ay isang fraction - ang denominator nito ay nananatiling pareho, at ang numerator nito ay magiging katumbas ng kabuuan ng mga numerator ng mga fraction.
Panuntunan: kapag kinakalkula ang pagkakaiba ng mga fraction na may parehong denominator, nakakakuha tayo ng isang fraction - ang denominator ay nananatiling pareho, at ang numerator ng pangalawa ay ibawas mula sa numerator ng unang fraction.
Pormal na notasyon ng kabuuan at pagkakaiba ng mga fraction na may pantay na denominator:
Mga halimbawa (1):
Ito ay malinaw na kapag ang mga ordinaryong fraction ay ibinigay, kung gayon ang lahat ay simple, ngunit kung sila ay halo-halong? Walang kumplikado...
Pagpipilian 1- maaari mong i-convert ang mga ito sa mga ordinaryong at pagkatapos ay kalkulahin ang mga ito.
Opsyon 2- maaari mong hiwalay na "gumana" sa integer at fractional na mga bahagi.
Mga halimbawa (2):
Higit pa:
At kung ang pagkakaiba ng dalawang pinaghalong fraction ay ibinigay at ang numerator ng unang fraction ay mas mababa kaysa sa numerator ng pangalawa? Maaari rin itong gawin sa dalawang paraan.
Mga Halimbawa (3):
* Isinalin sa mga ordinaryong fraction, kinakalkula ang pagkakaiba, na-convert ang nagresultang improper fraction sa isang halo-halong bahagi.
* Hinati sa integer at fractional na mga bahagi, nakakuha ng tatlo, pagkatapos ay ipinakita ang 3 bilang kabuuan ng 2 at 1, kasama ang unit na ipinakita bilang 11/11, pagkatapos ay natagpuan ang pagkakaiba sa pagitan ng 11/11 at 7/11 at kinakalkula ang resulta. Ang kahulugan ng mga pagbabagong nasa itaas ay ang kumuha (pumili) ng isang yunit at ipakita ito bilang isang fraction na may denominator na kailangan natin, pagkatapos mula sa fraction na ito ay maaari na nating ibawas ang isa pa.
Isa pang halimbawa:
Konklusyon: mayroong isang unibersal na diskarte - upang makalkula ang kabuuan (pagkakaiba) ng mga halo-halong mga fraction na may pantay na denominator, maaari silang palaging ma-convert sa mga hindi wasto, pagkatapos ay isagawa ang kinakailangang aksyon. Pagkatapos nito, kung bilang isang resulta ay nakakakuha tayo ng hindi wastong bahagi, isinasalin natin ito sa isang halo-halong bahagi.
Sa itaas, tumingin kami sa mga halimbawa na may mga fraction na may pantay na denominator. Paano kung magkaiba ang mga denominador? Sa kasong ito, ang mga fraction ay binabawasan sa parehong denominator at ang tinukoy na aksyon ay ginanap. Upang baguhin (ibahin ang anyo) ng isang fraction, ang pangunahing katangian ng fraction ay ginagamit.
Isaalang-alang ang mga simpleng halimbawa:
Sa mga halimbawang ito, makikita natin kaagad kung paano mako-convert ang isa sa mga fraction upang makakuha ng pantay na denominator.
Kung magtatalaga tayo ng mga paraan upang bawasan ang mga fraction sa isang denominator, kung gayon ito ang tatawagin UNANG PARAAN.
Iyon ay, kaagad kapag "pagsusuri" ng bahagi, kailangan mong malaman kung gagana ang gayong diskarte - sinusuri namin kung ang mas malaking denominator ay nahahati sa mas maliit. At kung ito ay nahahati, pagkatapos ay isinasagawa namin ang pagbabagong-anyo - pinarami namin ang numerator at denominator upang ang mga denominador ng parehong mga fraction ay maging pantay.
Ngayon tingnan ang mga halimbawang ito:
Ang pamamaraang ito ay hindi naaangkop sa kanila. Mayroong iba pang mga paraan upang bawasan ang mga fraction sa isang karaniwang denominator, isaalang-alang ang mga ito.
Pamamaraan PANGALAWA.
I-multiply ang numerator at denominator ng unang fraction sa denominator ng pangalawa, at ang numerator at denominator ng pangalawang fraction sa denominator ng una:
*Sa katunayan, dinadala namin ang mga fraction sa anyo kapag ang mga denominator ay naging pantay. Susunod, ginagamit namin ang panuntunan ng pagdaragdag ng mahiyain na may pantay na denominator.
Halimbawa:
*Maaaring tawaging unibersal ang paraang ito, at palagi itong gumagana. Ang negatibo lang ay pagkatapos ng mga kalkulasyon, maaaring lumabas ang isang fraction na kailangang bawasan pa.
Isaalang-alang ang isang halimbawa:
Makikita na ang numerator at denominator ay nahahati sa 5:
Pamamaraan PANGATLO.
Hanapin ang least common multiple (LCM) ng mga denominator. Ito ang magiging common denominator. Ano ang numerong ito? Ito ang pinakamaliit na natural na numero na nahahati sa bawat isa sa mga numero.
Tingnan, narito ang dalawang numero: 3 at 4, maraming mga numero na nahahati sa kanila - ito ay 12, 24, 36, ... Ang pinakamaliit sa kanila ay 12. O 6 at 15, 30, 60, 90 ay mahahati sa kanila.... Hindi bababa sa 30. Tanong - paano matukoy ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ito?
Mayroong isang malinaw na algorithm, ngunit kadalasan ito ay maaaring gawin kaagad nang walang mga kalkulasyon. Halimbawa, ayon sa mga halimbawa sa itaas (3 at 4, 6 at 15), walang algorithm na kailangan, kumuha kami ng malalaking numero (4 at 15), dinoble ang mga ito at nakita na sila ay nahahati sa pangalawang numero, ngunit mga pares ng mga numero. maaaring iba, gaya ng 51 at 119.
Algorithm. Upang matukoy ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng ilang mga numero, kailangan mong:
- I-decompose ang bawat isa sa mga numero sa SIMPLE na mga kadahilanan
- isulat ang pagkabulok ng MAS MALAKI sa kanila
- i-multiply ito sa MISSING factor ng iba pang numero
Isaalang-alang ang mga halimbawa:
50 at 60 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5
sa pagpapalawak ng mas malaking bilang, nawawala ang isa lima
=> LCM(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300
48 at 72 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3
sa pagpapalawak ng mas malaking bilang, dalawa at tatlo ang nawawala
=> LCM(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144
* Ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng dalawang prime number ay katumbas ng kanilang produkto
Tanong! At bakit kapaki-pakinabang upang mahanap ang hindi bababa sa karaniwang maramihang, dahil maaari mong gamitin ang pangalawang paraan at bawasan lamang ang resultang fraction? Oo, maaari mo, ngunit hindi ito palaging maginhawa. Tingnan kung ano ang magiging denominator para sa mga numerong 48 at 72 kung pararamihin mo lang ang mga ito 48∙72 = 3456. Sumang-ayon na mas kaaya-aya na magtrabaho sa mas maliliit na numero.
Isaalang-alang ang mga halimbawa:
*51 = 3∙17 119 = 7∙17
sa pagpapalawak ng mas malaking bilang, isang triple ang nawawala
=> LCM(51,119) = 3∙7∙17
At ngayon inilalapat namin ang unang paraan:
* Tingnan ang pagkakaiba sa mga kalkulasyon, sa unang kaso mayroong isang minimum ng mga ito, at sa pangalawa kailangan mong magtrabaho nang hiwalay sa isang piraso ng papel, at kahit na ang bahagi na nakuha mo ay kailangang bawasan. Ang paghahanap ng LCM ay lubos na nagpapasimple sa gawain.
Higit pang mga halimbawa:
* Sa pangalawang halimbawa, malinaw na ang pinakamaliit na bilang na nahahati sa 40 at 60 ay 120.
KABUUAN! PANGKALAHATANG PAGKUKULANG ALGORITHM!
- nagdadala kami ng mga fraction sa mga ordinaryong, kung mayroong isang integer na bahagi.
- dinadala natin ang mga fraction sa isang common denominator (tinitingnan muna natin kung ang isang denominator ay nahahati sa isa pa, kung ito ay nahahati, pagkatapos ay i-multiply natin ang numerator at denominator ng ibang fraction na ito; kung hindi ito mahahati, kumikilos tayo gamit ang iba pang mga pamamaraan na ipinahiwatig sa itaas).
- pagkakaroon ng natanggap na mga fraction na may pantay na denominator, nagsasagawa kami ng mga aksyon (pagdaragdag, pagbabawas).
- kung kinakailangan, binabawasan namin ang resulta.
- kung kinakailangan, piliin ang buong bahagi.
2. Produkto ng mga fraction.
Simple lang ang panuntunan. Kapag nagpaparami ng mga fraction, ang kanilang mga numerator at denominator ay pinaparami:
Mga halimbawa:
