Numerator
quarters
- Kaayusan. a at b mayroong isang panuntunan na nagbibigay-daan sa iyong natatanging makilala sa pagitan nila ang isa at isa lamang sa tatlong mga relasyon: "<
», « >' o ' = '. Ang tuntuning ito ay tinatawag tuntunin sa pag-order at binabalangkas tulad ng sumusunod: dalawang di-negatibong mga numero at nauugnay sa parehong kaugnayan ng dalawang integer at ; dalawang di-positibong numero a at b ay nauugnay sa parehong kaugnayan ng dalawang di-negatibong numero at ; kung biglaan a hindi negatibo, at b- negatibo, kung gayon a > b. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">
pagsusuma ng mga fraction
- dagdag na operasyon. Para sa anumang mga rational na numero a at b may tinatawag na tuntunin sa pagbubuod c. Gayunpaman, ang numero mismo c tinawag sum numero a at b at ay denoted , at ang proseso ng paghahanap ng naturang numero ay tinatawag pagbubuod. Ang panuntunan sa pagbubuod ay may sumusunod na anyo:
.
- pagpaparami ng operasyon. Para sa anumang mga rational na numero a at b may tinatawag na tuntunin sa pagpaparami, na naglalagay sa kanila sa mga sulat na may ilang rational na numero c. Gayunpaman, ang numero mismo c tinawag trabaho numero a at b at ay denoted , at ang proseso ng paghahanap ng naturang numero ay tinatawag din pagpaparami. Ang panuntunan sa pagpaparami ay ang mga sumusunod:
.
- Transitivity ng ugnayan ng order. Para sa anumang triple ng mga rational na numero a , b at c kung a mas maliit b at b mas maliit c, pagkatapos a mas maliit c, at kung a katumbas b at b katumbas c, pagkatapos a katumbas c. 6435">Commutativity ng karagdagan. Ang kabuuan ay hindi nagbabago mula sa pagbabago ng mga lugar ng mga makatwirang termino.
- Pagkakaugnay ng karagdagan. Ang pagkakasunud-sunod kung saan idinagdag ang tatlong rational na numero ay hindi nakakaapekto sa resulta.
- Ang pagkakaroon ng zero. May rational number na 0 na nagpapanatili sa bawat iba pang rational number kapag pinagsama-sama.
- Ang pagkakaroon ng magkasalungat na numero. Ang anumang rational na numero ay may kabaligtaran na rational number, na, kapag summed, ay nagbibigay ng 0.
- Commutativity ng multiplikasyon. Sa pamamagitan ng pagbabago ng mga lugar ng mga makatwirang kadahilanan, ang produkto ay hindi nagbabago.
- Pagkakaugnay ng multiplikasyon. Ang pagkakasunud-sunod kung saan ang tatlong rational na numero ay pinarami ay hindi nakakaapekto sa resulta.
- Ang pagkakaroon ng isang yunit. Mayroong rational number 1 na nagpapanatili sa bawat iba pang rational number kapag pinarami.
- Ang pagkakaroon ng mga kapalit. Ang anumang rational number ay may inverse rational number, na, kapag pinarami, ay nagbibigay ng 1.
- Distributivity ng multiplikasyon na may kinalaman sa karagdagan. Ang pagpaparami ng pagpaparami ay pare-pareho sa pagpapatakbo ng karagdagan sa pamamagitan ng batas sa pamamahagi:
- Koneksyon ng kaugnayan ng pagkakasunud-sunod sa pagpapatakbo ng karagdagan. Ang parehong rational number ay maaaring idagdag sa kaliwa at kanang bahagi ng isang rational inequality. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
- Axiom ng Archimedes. Anuman ang makatwirang numero a, maaari kang kumuha ng napakaraming unit na lalampas ang kanilang kabuuan a. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">
Mga karagdagang katangian
Ang lahat ng iba pang mga katangian na likas sa mga makatwirang numero ay hindi tinutukoy bilang mga pangunahing, dahil, sa pangkalahatan, hindi na sila direktang nakabatay sa mga katangian ng mga integer, ngunit maaaring patunayan sa batayan ng mga ibinigay na pangunahing katangian o direkta sa pamamagitan ng kahulugan ng ilang bagay sa matematika. Mayroong maraming mga karagdagang pag-aari. Makatuwiran dito na banggitin lamang ang ilan sa mga ito.
Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">
Itakda ang countability
Pagbilang ng mga rational na numero
Upang matantya ang bilang ng mga rational na numero, kailangan mong hanapin ang cardinality ng kanilang set. Madaling patunayan na ang hanay ng mga rational na numero ay mabibilang. Upang gawin ito, sapat na ang pagbibigay ng algorithm na nagsasaad ng mga rational na numero, ibig sabihin, nagtatatag ng bijection sa pagitan ng mga hanay ng mga rational at natural na numero.
Ang pinakasimple sa mga algorithm na ito ay ang mga sumusunod. Ang isang walang katapusang talahanayan ng mga ordinaryong fraction ay pinagsama-sama, sa bawat isa i-ika-linya sa bawat isa j ika-kolum na kung saan ay isang fraction. Para sa katiyakan, ipinapalagay na ang mga row at column ng talahanayang ito ay binibilang mula sa isa. Ang mga cell ng talahanayan ay tinutukoy , kung saan i- ang row number ng table kung saan matatagpuan ang cell, at j- numero ng hanay.
Ang resultang talahanayan ay pinamamahalaan ng isang "ahas" ayon sa sumusunod na pormal na algorithm.
Hinahanap ang mga panuntunang ito mula sa itaas hanggang sa ibaba at ang susunod na posisyon ay pipiliin ng unang tugma.
Sa proseso ng naturang bypass, ang bawat bagong rational na numero ay itinalaga sa susunod na natural na numero. Iyon ay, ang mga praksyon 1 / 1 ay itinalaga ang numero 1, mga praksyon 2 / 1 - ang numero 2, atbp. Dapat tandaan na ang mga hindi mababawasan na mga praksiyon lamang ang binibilang. Ang pormal na tanda ng irreducibility ay ang pagkakapantay-pantay sa pagkakaisa ng pinakamalaking karaniwang divisor ng numerator at denominator ng fraction.
Kasunod ng algorithm na ito, maaaring isa-isahin ang lahat ng positibong rational na numero. Nangangahulugan ito na ang hanay ng mga positibong rational na numero ay mabibilang. Madaling magtatag ng bijection sa pagitan ng mga hanay ng positibo at negatibong mga rational na numero, sa pamamagitan lamang ng pagtatalaga sa bawat rational na numero na kabaligtaran nito. yun. ang hanay ng mga negatibong rational na numero ay mabibilang din. Ang kanilang unyon ay mabibilang din sa pamamagitan ng pag-aari ng mga mabibilang na hanay. Ang hanay ng mga rational na numero ay mabibilang din bilang pagsasama ng isang mabibilang na hanay na may isang may hangganan.
Ang pahayag tungkol sa countability ng hanay ng mga rational na numero ay maaaring magdulot ng ilang pagkalito, dahil sa unang tingin ay magkakaroon ng impresyon na ito ay mas malaki kaysa sa hanay ng mga natural na numero. Sa katunayan, hindi ito ang kaso, at may sapat na natural na mga numero upang mabilang ang lahat ng mga makatwiran.
Kakulangan ng mga makatwirang numero
Ang hypotenuse ng naturang tatsulok ay hindi ipinahayag ng anumang makatwirang numero
Mga rational na numero ng form 1 / n sa malaki n arbitraryong maliliit na dami ay maaaring masukat. Ang katotohanang ito ay lumilikha ng isang mapanlinlang na impresyon na ang mga makatwirang numero ay maaaring masukat ang anumang mga geometriko na distansya sa pangkalahatan. Madaling ipakita na hindi ito totoo.
Ito ay kilala mula sa Pythagorean theorem na ang hypotenuse ng isang right triangle ay ipinahayag bilang square root ng kabuuan ng mga parisukat ng mga binti nito. yun. ang haba ng hypotenuse ng isang isosceles right triangle na may unit leg ay katumbas ng, i.e., isang numero na ang parisukat ay 2.
Kung ipagpalagay natin na ang numero ay kinakatawan ng ilang rational na numero, kung gayon mayroong ganoong integer m at tulad ng isang natural na numero n, na, bukod dito, ang fraction ay hindi mababawasan, ibig sabihin, ang mga numero m at n ay coprime.
Gumagamit tayo ng mga fraction sa lahat ng oras sa ating buhay. Halimbawa, kapag kumakain kami ng cake kasama ang mga kaibigan. Maaaring hatiin ang cake sa 8 pantay na bahagi o 8 pagbabahagi. Ibahagi ay isang pantay na bahagi ng isang bagay na buo. Apat na magkakaibigan ang bawat isa ay kumain ng isang piraso ng cake. Apat na napili sa walong piraso ay maaaring isulat sa matematika bilang karaniwang fraction\(\frac(4)(8)\), ang fraction ay nagbabasa ng "four-eighths" o "four shared by eight". Ang karaniwang fraction ay tinatawag din simpleng fraction.
Pinapalitan ng fractional bar ang dibisyon:
\(4 \div 8 = \frac(4)(8)\)
Isinulat namin ang mga bahagi sa mga fraction. Sa literal na anyo ito ay magiging ganito:
\(\bf m \div n = \frac(m)(n)\)
4 – tagabilang o divisible, ay nasa itaas ng fractional bar at ipinapakita kung gaano karaming bahagi o bahagi mula sa kabuuan ang kinuha.
8 – denominador o divisor, na matatagpuan sa ibaba ng fractional bar at ipinapakita ang kabuuang bilang ng mga bahagi o bahagi.
Kung titingnan nating mabuti, makikita natin na ang magkakaibigan ay kumain ng kalahati ng cake, o isang bahagi sa dalawa. Sumulat kami sa anyo ng isang ordinaryong fraction \(\frac(1)(2)\), ito ay nagbabasa ng "isang segundo".
Isaalang-alang ang isa pang halimbawa:
May isang parisukat. Ang parisukat ay nahahati sa 5 pantay na bahagi. Nagpinta ng dalawang bahagi. Sumulat ng isang fraction para sa mga may kulay na bahagi? Isulat ang fraction para sa mga bahaging walang lilim?
Dalawang bahagi ang pininturahan, at mayroong limang bahagi sa kabuuan, kaya ang fraction ay magmumukhang \(\frac(2)(5)\), ang fraction na "two-fifths" ay binabasa.
Tatlong bahagi ang hindi pininturahan, mayroong limang bahagi sa kabuuan, kaya isinusulat namin ang fraction tulad nito \(\frac(3)(5)\), ang fraction na "three-fifths" ay nabasa.
Hatiin ang parisukat sa mas maliliit na parisukat at isulat ang mga praksyon para sa mga bahaging may kulay at walang lilim. 
May shaded 6 parts, at 25 parts lang. Nakukuha namin ang fraction \(\frac(6)(25)\) , ang fraction na "six twenty-fifths" ay nabasa.
Hindi naka-shade ng 19 parts, pero 25 parts lang. Nakukuha namin ang fraction \(\frac(19)(25)\), ang fraction na "labing siyam na dalawampu't lima" ay nabasa.
Naka-shaded ng 4 na bahagi, at 25 na bahagi lamang. Nakukuha namin ang fraction \(\frac(4)(25)\), ang fraction na "four twenty-fifths" ay nabasa.
Hindi naka-shade ng 21 parts, pero 25 parts lang. Nakukuha namin ang fraction \(\frac(21)(25)\), ang fraction na "dalawampu't isa dalawampu't lima" ay nabasa.
Ang anumang natural na numero ay maaaring ipahayag bilang isang fraction. Halimbawa:
\(5 = \frac(5)(1)\)
\(\bf m = \frac(m)(1)\)
Ang anumang numero ay nahahati sa isa, kaya ang numerong ito ay maaaring katawanin bilang isang fraction.
Mga tanong sa paksang "ordinaryong fraction":
Ano ang share?
Sagot: ibahagi ay isang pantay na bahagi ng isang bagay na buo.
Ano ang ipinapakita ng denominator?
Sagot: ang denominator ay nagpapakita kung ilang bahagi o bahagi ang nahahati.
Ano ang ipinapakita ng numerator?
Sagot: Ang numerator ay nagpapakita kung ilang bahagi o bahagi ang kinuha.
Ang kalsada ay 100m. Naglakad si Misha ng 31m. Isulat ang expression bilang isang fraction, gaano katagal pumunta si Misha?
Sagot:\(\frac(31)(100)\)
Ano ang karaniwang fraction?
Sagot: Ang karaniwang fraction ay ang ratio ng numerator sa denominator, kung saan ang numerator ay mas mababa sa denominator. Halimbawa, mga karaniwang fraction \(\frac(1)(4), \frac(3)(7), \frac(5)(13), \frac(9)(11)...\)
Paano i-convert ang isang natural na numero sa isang karaniwang fraction?
Sagot: anumang numero ay maaaring isulat bilang isang fraction, halimbawa, \(5 = \frac(5)(1)\)
Gawain 1:
Bumili ng 2kg 700g ng melon. Naputol ang \(\frac(2)(9)\) melon ni Misha. Ano ang masa ng hiwa na piraso? Ilang gramo ng melon ang natitira?
Desisyon:
I-convert ang mga kilo sa gramo.
2kg = 2000g
2000g + 700g = 2700g kabuuang timbang ng melon.
Naputol ang \(\frac(2)(9)\) melon ni Misha. Ang denominator ay 9, na nangangahulugang ang melon ay nahahati sa 9 na bahagi.
2700: 9 = 300g bigat ng isang piraso.
Ang numerator ay ang numero 2, kaya kailangan ni Misha na magbigay ng dalawang piraso.
300 + 300 = 600g o 300 ⋅ 2 = 600g ay kung ilang melon ang kinain ni Misha.
Upang malaman kung anong masa ng melon ang natitira, kailangan mong ibawas ang masa na kinakain mula sa kabuuang masa ng melon.
2700 - 600 = 2100g melon ang natitira.
Maliit na bahagi- isang anyo ng representasyon ng isang numero sa matematika. Ang slash ay nagpapahiwatig ng operasyon ng paghahati. tagabilang Ang mga fraction ay tinatawag na dibidendo, at denominador- divider. Halimbawa, sa isang fraction, ang numerator ay 5 at ang denominator ay 7.
Tama Ang isang fraction ay tinatawag kung ang modulus ng numerator ay mas malaki kaysa sa modulus ng denominator. Kung tama ang fraction, ang modulus ng value nito ay palaging mas mababa sa 1. Ang lahat ng iba pang fraction ay mali.
Fraction ay tinatawag magkakahalo, kung ito ay nakasulat bilang isang integer at isang fraction. Ito ay kapareho ng kabuuan ng numerong ito at isang fraction:
Pangunahing katangian ng isang fraction
Kung ang numerator at denominator ng isang fraction ay pinarami ng parehong numero, kung gayon ang halaga ng fraction ay hindi magbabago, iyon ay, halimbawa,
Ang pagdadala ng mga fraction sa isang karaniwang denominator
Para magdala ng dalawang fraction sa isang common denominator, kailangan mo:
- I-multiply ang numerator ng unang fraction sa denominator ng pangalawa
- I-multiply ang numerator ng pangalawang fraction sa denominator ng una
- Palitan ang mga denominator ng parehong fraction ng kanilang produkto
Mga aksyon na may mga fraction
Dagdag. Upang magdagdag ng dalawang fraction, kailangan mo
- Magdagdag ng mga bagong numerator ng parehong mga fraction, at iwanan ang denominator na hindi nagbabago
Halimbawa:
Pagbabawas. Upang ibawas ang isang fraction mula sa isa pa,
- Dalhin ang mga fraction sa isang common denominator
- Ibawas ang numerator ng pangalawang fraction mula sa numerator ng unang fraction, at iwanan ang denominator na hindi nagbabago.
Halimbawa:
Pagpaparami. Upang i-multiply ang isang fraction sa isa pa, i-multiply ang kanilang mga numerator at denominator:
Dibisyon. Upang hatiin ang isang fraction sa isa pa, i-multiply ang numerator ng unang fraction sa denominator ng pangalawa, at i-multiply ang denominator ng unang fraction sa numerator ng pangalawa:
Ang numerator at denominator ng isang fraction. Mga uri ng fraction. Ipagpatuloy natin ang mga fraction. Una, isang maliit na caveat - kami, isinasaalang-alang ang mga fraction at ang kaukulang mga halimbawa sa kanila, sa ngayon ay gagana lamang kami sa numerical na representasyon nito. Mayroon ding mga fractional literal na expression (may mga numero at walang).Gayunpaman, ang lahat ng "prinsipyo" at mga patakaran ay nalalapat din sa kanila, ngunit pag-uusapan natin ang tungkol sa mga naturang expression nang hiwalay sa hinaharap. Inirerekomenda ko ang pagbisita at pag-aaral (pag-alala) sa paksa ng mga fraction nang hakbang-hakbang.
Ang pinakamahalagang bagay ay maunawaan, tandaan at mapagtanto na ang isang FRACTION ay isang NUMERO!!!
Karaniwang fraction ay isang numero ng form:
Ang numerong matatagpuan "sa itaas" (sa kasong ito m) ay tinatawag na numerator, ang numerong nasa ibaba (number n) ay tinatawag na denominator. Madalas nalilito ang mga kaka-touch pa lang sa paksa - ano ang pangalan.
Narito ang isang trick para sa iyo, kung paano matandaan magpakailanman - nasaan ang numerator, at nasaan ang denominator. Ang pamamaraan na ito ay nauugnay sa verbal-figurative association. Isipin ang isang garapon ng maulap na tubig. Ito ay kilala na habang ang tubig ay naninirahan, ang malinis na tubig ay nananatili sa itaas, at ang labo (dumi) ay naninirahan, tandaan:
CHISSS natutunaw na tubig SA ITAAS (CHISSS pourer sa itaas)
putik ZZZNNN th water BOTTOM (ZZZNN Amenator sa ibaba)
Kaya, sa sandaling kinakailangan na matandaan kung nasaan ang numerator at kung nasaan ang denominator, pagkatapos ay agad nilang ipinakita ang isang garapon ng naayos na tubig, kung saan mayroong MALINIS na tubig sa itaas at maruming tubig sa ibaba. Mayroong iba pang mga trick na dapat tandaan, kung makakatulong sila sa iyo, pagkatapos ay mabuti.
Mga halimbawa ng ordinaryong fraction:
Ano ang ibig sabihin ng pahalang na linya sa pagitan ng mga numero? Ito ay walang iba kundi isang tanda ng dibisyon. Lumalabas na ang isang fraction ay maaaring isaalang-alang bilang isang halimbawa sa aksyon ng paghahati. Ang aksyon na ito ay naitala lamang sa form na ito. Ibig sabihin, ang nangungunang numero (numerator) ay hinati sa ilalim na numero (denominator):
Bilang karagdagan, mayroong isa pang anyo ng pag-record - ang isang bahagi ay maaaring isulat tulad nito (sa pamamagitan ng isang slash):
1/9, 5/8, 45/64, 25/9, 15/13, 45/64 at iba pa...
Maaari nating isulat ang mga fraction sa itaas tulad ng sumusunod:
Ang resulta ng dibisyon, tulad ng alam mo, ay ang numero.
Nilinaw - FRACTION ANG NUMERONG ITO !!!
Tulad ng napansin mo na, sa isang ordinaryong fraction, ang numerator ay maaaring mas mababa sa denominator, maaaring mas malaki kaysa sa denominator, at maaaring katumbas nito. Mayroong maraming mahahalagang punto na madaling maunawaan, nang walang anumang mga teoretikal na frills. Halimbawa:
1. Ang mga praksiyon 1 at 3 ay maaaring isulat bilang 0.5 at 0.01. Tumakbo tayo ng kaunti sa unahan - ito ay mga decimal fraction, pag-uusapan natin ang mga ito nang mas mababa ng kaunti.
2. Ang mga fraction 4 at 6 ay nagreresulta sa isang integer na 45:9=5, 11:1 = 11.
3. Ang Fraction 5 bilang resulta ay nagbibigay ng unit na 155:155 = 1.
Anong mga konklusyon ang nagmumungkahi sa kanilang sarili? Ang mga sumusunod:
1. Ang numerator, kapag hinati sa denominator, ay maaaring magbigay ng may hangganang numero. Maaaring hindi ito gumana, hatiin sa isang hanay na 7 sa 13 o 17 sa 11 - walang paraan! Maaari mong hatiin nang walang katiyakan, ngunit pag-uusapan din natin ito nang kaunti.
2. Ang isang fraction ay maaaring magresulta sa isang integer. Samakatuwid, maaari nating katawanin ang anumang integer bilang isang fraction, o sa halip ay isang walang katapusang serye ng mga fraction, tingnan mo, ang lahat ng mga fraction na ito ay katumbas ng 2:
Higit pa! Maaari naming palaging isulat ang anumang buong numero bilang isang fraction - ang numerong ito mismo ay nasa numerator, isa sa denominator:
3. Maaari naming palaging kumakatawan sa isang yunit bilang isang fraction na may anumang denominator:
*Ang mga puntos na ipinahiwatig ay lubhang mahalaga para sa pagtatrabaho sa mga fraction sa mga kalkulasyon at conversion.
Mga uri ng fraction.
At ngayon tungkol sa teoretikal na dibisyon ng mga ordinaryong fraction. Sila ay nahahati sa tama at mali.
Ang isang fraction na ang numerator ay mas mababa sa denominator ay tinatawag na wastong fraction. Mga halimbawa:
Ang isang fraction na ang numerator ay mas malaki sa o katumbas ng denominator ay tinatawag na hindi wastong fraction. Mga halimbawa:
halo-halong bahagi(halo-halong numero).
Ang mixed fraction ay isang fraction na nakasulat bilang isang whole number at isang proper fraction at nauunawaan bilang kabuuan ng numerong ito at ang fractional na bahagi nito. Mga halimbawa:
Ang isang mixed fraction ay maaaring palaging kinakatawan bilang isang hindi wastong fraction at vice versa. Tayo ay pumunta sa karagdagang!
Mga desimal.
Nahawakan na natin ang mga ito sa itaas, ito ang mga halimbawa (1) at (3), ngayon nang mas detalyado. Narito ang mga halimbawa ng mga decimal: 0.3 0.89 0.001 5.345.
Ang isang fraction na ang denominator ay isang kapangyarihan ng 10, tulad ng 10, 100, 1000, at iba pa, ay tinatawag na decimal. Hindi mahirap isulat ang unang tatlong ipinahiwatig na mga praksiyon bilang mga ordinaryong praksiyon:
Ang ikaapat ay isang mixed fraction (mixed number):
Ang isang decimal fraction ay may sumusunod na notasyon - na maynagsimula ang integer na bahagi, pagkatapos ang separator ng integer at fractional na bahagi ay isang tuldok o kuwit at pagkatapos ay ang fractional na bahagi, ang bilang ng mga digit ng fractional na bahagi ay mahigpit na tinutukoy ng dimensyon ng fractional na bahagi: kung ito ay mga ikasampu, ang fractional na bahagi ay nakasulat bilang isang digit; kung ikalibo - tatlo; sampung-libo - apat, atbp.
Ang mga fraction na ito ay may hangganan at walang hanggan.
Pangwakas na mga halimbawa ng decimal: 0.234; 0.87; 34.00005; 5.765.
Ang mga halimbawa ay walang katapusan. Halimbawa, ang numerong Pi ay isang infinite decimal fraction, ngunit - 0.333333333333...... 0.16666666666…. at iba pa. Gayundin ang resulta ng pagkuha ng ugat mula sa mga numero 3, 5, 7, atbp. ay magiging isang walang katapusang fraction.
Ang fractional na bahagi ay maaaring maging cyclic (mayroong isang cycle sa loob nito), ang dalawang halimbawa sa itaas ay eksaktong pareho, higit pang mga halimbawa:
0.123123123123...... cycle 123
0.781781781718...... cycle 781
0.0250102501…. cycle 02501
Maaari silang isulat bilang 0, (123) 0, (781) 0, (02501).
Ang numerong Pi ay hindi isang cyclic fraction, tulad ng, halimbawa, ang ugat ng tatlo.
Sa ibaba ng mga halimbawa, ang mga salitang tulad ng "ibaliktad" ang fraction ay tutunog - nangangahulugan ito na ang numerator at denominator ay ipinagpapalit. Sa katunayan, ang naturang fraction ay may pangalan - ang reciprocal fraction. Mga halimbawa ng reciprocal fraction:
Maliit na buod! Ang mga fraction ay:
Ordinaryo (tama at mali).
Mga desimal (may hangganan at walang katapusan).
Mixed (halo-halong numero).
Iyon lang!
Taos-puso, Alexander.
Sisimulan natin ang ating pagsasaalang-alang sa paksang ito sa pamamagitan ng pag-aaral ng konsepto ng isang fraction sa kabuuan, na magbibigay sa atin ng mas kumpletong pag-unawa sa kahulugan ng isang ordinaryong fraction. Ibigay natin ang mga pangunahing termino at ang kanilang kahulugan, pag-aralan ang paksa sa isang geometric na interpretasyon, i.e. sa linya ng coordinate, at tukuyin din ang isang listahan ng mga pangunahing aksyon na may mga fraction.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Pagbabahagi ng kabuuan
Isipin ang isang bagay na binubuo ng ilang, ganap na pantay na mga bahagi. Halimbawa, maaari itong maging isang orange, na binubuo ng ilang magkaparehong hiwa.
Kahulugan 1
Bahagi ng isang buo o bahagi ay ang bawat isa sa mga pantay na bahagi na bumubuo sa buong bagay.
Malinaw, ang mga pagbabahagi ay maaaring magkakaiba. Upang malinaw na ipaliwanag ang pahayag na ito, isipin ang dalawang mansanas, ang isa ay pinutol sa dalawang pantay na bahagi, at ang pangalawa sa apat. Ito ay malinaw na ang laki ng mga resultang pagbabahagi para sa iba't ibang mga mansanas ay mag-iiba.
Ang mga pagbabahagi ay may sariling mga pangalan, na nakasalalay sa bilang ng mga pagbabahagi na bumubuo sa buong paksa. Kung ang isang item ay may dalawang bahagi, ang bawat isa sa kanila ay tutukuyin bilang isang pangalawang bahagi ng item na ito; kapag ang isang bagay ay binubuo ng tatlong bahagi, ang bawat isa sa kanila ay isang-ikatlo, at iba pa.
Kahulugan 2
kalahati- isang pangalawang bahagi ng paksa.
Pangatlo- isang ikatlong bahagi ng paksa.
quarter- isang ikaapat na bahagi ng paksa.
Upang paikliin ang rekord, ang sumusunod na notasyon para sa mga pagbabahagi ay ipinakilala: kalahati - 1 2 o 1/2 ; pangatlo - 1 3 o 1 / 3 ; isang ikaapat na bahagi 1 4 o 1/4 at iba pa. Mas madalas na ginagamit ang mga entry na may pahalang na bar.
Ang konsepto ng isang bahagi ay natural na lumalawak mula sa mga bagay hanggang sa magnitude. Kaya, maaari kang gumamit ng mga fraction ng isang metro (isang ikatlo o isang daan) upang sukatin ang maliliit na bagay, bilang isa sa mga yunit ng haba. Ang mga pagbabahagi ng iba pang dami ay maaaring ilapat sa katulad na paraan.
Mga karaniwang fraction, kahulugan at mga halimbawa
Ang mga ordinaryong fraction ay ginagamit upang ilarawan ang bilang ng mga bahagi. Isaalang-alang ang isang simpleng halimbawa na maglalapit sa atin sa kahulugan ng isang ordinaryong fraction.
Isipin ang isang orange, na binubuo ng 12 hiwa. Ang bawat bahagi ay magiging - isang ikalabindalawa o 1 / 12. Dalawang bahagi - 2/12; tatlong bahagi - 3 / 12, atbp. Ang lahat ng 12 bahagi o isang integer ay magiging ganito: 12 / 12 . Ang bawat isa sa mga entry na ginamit sa halimbawa ay isang halimbawa ng isang karaniwang fraction.
Kahulugan 3
Karaniwang fraction ay isang talaan ng form m n o m / n , kung saan ang m at n ay anumang natural na numero.
Ayon sa kahulugan na ito, ang mga halimbawa ng mga ordinaryong fraction ay maaaring mga entry: 4 / 9, 1134, 91754. At ang mga entry na ito: Ang 11 5 , 1 , 9 4 , 3 ay hindi ordinaryong fraction.
Numerator at denominator
Kahulugan 4tagabilang karaniwang fraction Ang m n o m / n ay isang natural na bilang na m .
denominador karaniwang fraction Ang m n o m / n ay isang natural na numero n .
Yung. ang numerator ay ang numero sa itaas ng bar ng isang ordinaryong fraction (o sa kaliwa ng slash), at ang denominator ay ang numero sa ibaba ng bar (sa kanan ng slash).
Ano ang kahulugan ng numerator at denominator? Ang denominator ng isang ordinaryong fraction ay nagpapahiwatig kung gaano karaming mga bahagi ang binubuo ng isang item, at ang numerator ay nagbibigay sa amin ng impormasyon tungkol sa kung gaano karaming mga bahagi ang isinasaalang-alang. Halimbawa, ang karaniwang fraction 7 54 ay nagpapahiwatig sa amin na ang isang partikular na bagay ay binubuo ng 54 na bahagi, at para sa pagsasaalang-alang ay kumuha kami ng 7 tulad ng mga bahagi.
Natural na numero bilang isang fraction na may denominator 1
Ang denominator ng isang ordinaryong fraction ay maaaring katumbas ng isa. Sa kasong ito, posibleng sabihin na ang bagay (halaga) na isinasaalang-alang ay hindi mahahati, ay isang bagay na buo. Ang numerator sa naturang fraction ay magsasaad kung gaano karaming mga bagay ang kinuha, i.e. isang ordinaryong fraction ng anyong m 1 ay may kahulugan ng natural na bilang na m . Ang pahayag na ito ay nagsisilbing katwiran para sa pagkakapantay-pantay m 1 = m .
Isulat natin ang huling pagkakapantay-pantay tulad nito: m = m 1 . Bibigyan tayo nito ng pagkakataong gumamit ng anumang natural na numero sa anyo ng isang ordinaryong fraction. Halimbawa, ang bilang na 74 ay isang ordinaryong bahagi ng anyo 74 1 .
Kahulugan 5
Anumang natural na bilang na m ay maaaring isulat bilang isang ordinaryong fraction, kung saan ang denominator ay isa: m 1 .
Sa turn, ang anumang ordinaryong fraction ng form m 1 ay maaaring katawanin ng isang natural na numero m .
Fraction bar bilang tanda ng dibisyon
Ang representasyon sa itaas ng isang ibinigay na bagay bilang n pagbabahagi ay hindi hihigit sa isang paghahati sa n pantay na bahagi. Kapag ang isang bagay ay nahahati sa n bahagi, mayroon tayong pagkakataon na hatiin ito nang pantay-pantay sa n tao - lahat ay nakakakuha ng kanilang bahagi.
Sa kaso kapag sa una ay mayroon tayong m magkakahawig na mga bagay (bawat isa ay nahahati sa n bahagi), ang m mga bagay na ito ay maaaring pantay na hatiin sa n tao, na nagbibigay sa bawat isa sa kanila ng isang bahagi mula sa bawat m bagay. Sa kasong ito, ang bawat tao ay magkakaroon ng m share 1 n , at m share 1 n ay magbibigay ng ordinaryong fraction m n . Samakatuwid, ang karaniwang fraction m n ay maaaring gamitin upang kumatawan sa paghahati ng m aytem sa mga n tao.
Ang resultang pahayag ay nagtatatag ng koneksyon sa pagitan ng mga ordinaryong fraction at paghahati. At ang relasyon na ito ay maaaring ipahayag bilang mga sumusunod : posibleng ibig sabihin ang linya ng isang fraction bilang tanda ng paghahati, i.e. m/n=m:n.
Sa tulong ng isang ordinaryong fraction, maaari nating isulat ang resulta ng paghahati ng dalawang natural na numero. Halimbawa, ang paghahati ng 7 mansanas sa 10 tao ay isusulat bilang 7 10: bawat tao ay makakakuha ng pitong ikasampu.
Pantay at hindi pantay na karaniwang mga fraction
Ang lohikal na aksyon ay upang ihambing ang mga ordinaryong fraction, dahil ito ay malinaw na, halimbawa, 1 8 ng isang mansanas ay iba sa 7 8 .
Ang resulta ng paghahambing ng mga ordinaryong fraction ay maaaring: pantay o hindi pantay.
Kahulugan 6
Equal Common Fractions ay mga ordinaryong fraction a b at c d , kung saan ang pagkakapantay-pantay ay totoo: a d = b c .
Mga hindi pantay na karaniwang fraction- mga ordinaryong fraction a b at c d , kung saan ang pagkakapantay-pantay: a · d = b · c ay hindi totoo.
Isang halimbawa ng pantay na fraction: 1 3 at 4 12 - dahil ang pagkakapantay-pantay 1 12 \u003d 3 4 ay totoo.
Sa kaso kapag lumalabas na ang mga praksiyon ay hindi pantay, kadalasan ay kinakailangan ding malaman kung alin sa mga ibinigay na praksiyon ang mas kaunti at alin ang mas malaki. Upang masagot ang mga tanong na ito, ang mga ordinaryong fraction ay inihahambing sa pamamagitan ng pagdadala sa kanila sa isang karaniwang denominator at pagkatapos ay paghahambing ng mga numerator.
Mga fractional na numero
Ang bawat fraction ay isang talaan ng isang fractional na numero, na sa katunayan ay isang "shell" lamang, isang visualization ng semantic load. Ngunit gayon pa man, para sa kaginhawahan, pinagsasama namin ang mga konsepto ng isang fraction at isang fractional na numero, sa simpleng pagsasalita - isang fraction.
Ang lahat ng fractional na numero, tulad ng iba pang numero, ay may sariling natatanging lokasyon sa coordinate ray: mayroong one-to-one na pagsusulatan sa pagitan ng mga fraction at point sa coordinate ray.
Upang makahanap ng isang punto sa coordinate ray, na nagsasaad ng fraction m n , kinakailangan na ipagpaliban ang m segment sa positibong direksyon mula sa pinanggalingan ng mga coordinate, ang haba ng bawat isa ay magiging 1 n isang fraction ng isang unit segment. Maaaring makuha ang mga segment sa pamamagitan ng paghahati ng isang segment sa n magkaparehong bahagi.
Bilang halimbawa, tukuyin natin ang puntong M sa coordinate ray, na tumutugma sa fraction 14 10 . Ang haba ng segment, ang mga dulo nito ay ang punto O at ang pinakamalapit na punto, na minarkahan ng isang maliit na stroke, ay katumbas ng 1 10 fractions ng unit segment. Ang punto na tumutugma sa fraction 14 10 ay matatagpuan sa layo mula sa pinanggalingan ng mga coordinate sa layo na 14 tulad ng mga segment.
Kung ang mga fraction ay pantay, i.e. tumutugma sila sa parehong fractional number, pagkatapos ang mga fraction na ito ay nagsisilbing coordinate ng parehong punto sa coordinate ray. Halimbawa, ang mga coordinate sa anyo ng mga pantay na fraction 1 3 , 2 6 , 3 9 , 5 15 , 11 33 ay tumutugma sa parehong punto sa coordinate ray, na matatagpuan sa layo na isang katlo ng bahagi ng yunit, na ipinagpaliban mula sa pinagmulan sa positibong direksyon.
Ang parehong prinsipyo ay gumagana dito tulad ng sa mga integer: sa isang pahalang na coordinate ray na nakadirekta sa kanan, ang punto kung saan tumutugma ang malaking fraction ay matatagpuan sa kanan ng punto kung saan tumutugma ang mas maliit na fraction. At kabaligtaran: ang punto, ang coordinate kung saan ay ang mas maliit na bahagi, ay matatagpuan sa kaliwa ng punto, na tumutugma sa mas malaking coordinate.
Wasto at hindi wastong mga praksiyon, kahulugan, halimbawa
Ang paghahati ng mga fraction sa wasto at hindi wasto ay batay sa paghahambing ng numerator at denominator sa loob ng parehong fraction.
Kahulugan 7
Wastong fraction ay isang ordinaryong fraction kung saan ang numerator ay mas mababa sa denominator. Iyon ay, kung ang hindi pagkakapantay-pantay m< n , то обыкновенная дробь m n является правильной.
Hindi tamang fraction ay isang fraction na ang numerator ay mas malaki o katumbas ng denominator. Iyon ay, kung ang hindi pagkakapantay-pantay na hindi natukoy ay totoo, kung gayon ang ordinaryong fraction m n ay hindi wasto.
Narito ang ilang mga halimbawa: - mga wastong praksiyon:
Halimbawa 1
5 / 9 , 3 67 , 138 514 ;
Mga hindi wastong fraction:
Halimbawa 2
13 / 13 , 57 3 , 901 112 , 16 7 .
Posible ring magbigay ng kahulugan ng wasto at hindi wastong mga praksiyon, batay sa paghahambing ng isang praksiyon sa isang yunit.
Kahulugan 8
Wastong fraction ay isang karaniwang fraction na mas mababa sa isa.
Hindi tamang fraction ay isang karaniwang fraction na katumbas o mas malaki sa isa.
Halimbawa, ang fraction 8 12 ay tama, dahil 8 12< 1 . Дроби 53 2 и 14 14 являются неправильными, т.к. 53 2 >1 , at 14 14 = 1 .
Palalimin pa natin ang pag-iisip kung bakit ang mga fraction kung saan ang numerator ay mas malaki o katumbas ng denominator ay tinatawag na "mali".
Isaalang-alang ang improper fraction 8 8: sinasabi nito sa atin na 8 bahagi ng isang bagay na binubuo ng 8 bahagi ang kinuha. Kaya, mula sa magagamit na walong pagbabahagi, maaari tayong bumuo ng isang buong bagay, i.e. ang ibinigay na fraction 8 8 ay mahalagang kumakatawan sa buong bagay: 8 8 \u003d 1. Ang mga fraction kung saan ang numerator at denominator ay pantay na ganap na pinapalitan ang natural na numero 1.
Isaalang-alang din ang mga praksiyon kung saan ang numerator ay lumampas sa denominator: 11 5 at 36 3 . Malinaw na ang fraction 11 5 ay nagpapahiwatig na maaari tayong gumawa ng dalawang buong bagay mula dito at magkakaroon pa rin ng isang ikalimang bahagi nito. Yung. Ang fraction 11 5 ay 2 bagay at isa pang 1 5 mula dito. Sa turn, ang 36 3 ay isang fraction, na mahalagang nangangahulugang 12 buong bagay.
Ginagawang posible ng mga halimbawang ito na tapusin na ang mga hindi wastong fraction ay maaaring mapalitan ng mga natural na numero (kung ang numerator ay nahahati ng denominator nang walang natitira: 8 8 \u003d 1; 36 3 \u003d 12) o ang kabuuan ng isang natural na numero at isang wastong fraction (kung ang numerator ay hindi mahahati ng denominator nang walang nalalabi: 11 5 = 2 + 1 5). Ito marahil ang dahilan kung bakit ang mga naturang fraction ay tinatawag na "hindi wasto".
Dito rin, nakatagpo tayo ng isa sa pinakamahalagang kasanayan sa numero.
Kahulugan 9
Pag-extract ng integer na bahagi mula sa isang hindi tamang fraction ay isang improper fraction na isinulat bilang kabuuan ng natural na bilang at tamang fraction.
Tandaan din na mayroong malapit na kaugnayan sa pagitan ng mga hindi wastong fraction at pinaghalong numero.
Positibo at negatibong mga praksiyon
Sa itaas sinabi namin na ang bawat ordinaryong fraction ay tumutugma sa isang positibong fractional number. Yung. Ang mga ordinaryong praksyon ay mga positibong praksyon. Halimbawa, ang mga fraction na 5 17 , 6 98 , 64 79 ay positibo, at kapag kinakailangan na bigyang-diin ang "positibo" ng isang fraction, isinulat ito gamit ang plus sign: + 5 17 , + 6 98 , + 64 79 .
Kung magtatalaga tayo ng minus sign sa isang ordinaryong fraction, ang resultang record ay magiging talaan ng negatibong fractional number, at sa kasong ito ay pinag-uusapan natin ang mga negatibong fraction. Halimbawa, - 8 17 , - 78 14 atbp.
Ang mga positibo at negatibong praksiyon m n at - m n ay magkasalungat na mga numero. Halimbawa, ang mga praksiyon 7 8 at - 7 8 ay magkasalungat.
Ang mga positibong fraction, tulad ng anumang positibong numero sa pangkalahatan, ay nangangahulugang isang karagdagan, isang pagbabago pataas. Sa turn, ang mga negatibong fraction ay tumutugma sa pagkonsumo, isang pagbabago sa direksyon ng pagbaba.
Kung isasaalang-alang natin ang linya ng coordinate, makikita natin na ang mga negatibong fraction ay matatagpuan sa kaliwa ng reference point. Ang mga punto kung saan tumutugma ang mga praksiyon, na magkasalungat (m n at - m n), ay matatagpuan sa parehong distansya mula sa pinagmulan ng mga coordinate ng O, ngunit sa magkabilang panig nito.
Dito rin tayo magkahiwalay na pinag-uusapan ang mga fraction na nakasulat sa anyong 0 n . Ang nasabing fraction ay katumbas ng zero, i.e. 0 n = 0 .
Sa pagbubuod ng lahat ng nasa itaas, nakarating na tayo sa pinakamahalagang konsepto ng mga rational na numero.
Kahulugan 10
Mga rational na numero ay isang set ng positive fractions, negative fractions at fractions ng form 0 n .
Mga aksyon na may mga fraction
Ilista natin ang mga pangunahing operasyon na may mga fraction. Sa pangkalahatan, ang kanilang kakanyahan ay pareho sa kaukulang mga operasyon na may mga natural na numero
- Paghahambing ng mga fraction - tinalakay namin ang aksyon na ito sa itaas.
- Pagdaragdag ng mga fraction - ang resulta ng pagdaragdag ng mga ordinaryong fraction ay isang ordinaryong fraction (sa isang partikular na kaso, nabawasan sa isang natural na numero).
- Ang pagbabawas ng mga fraction ay isang aksyon, ang kabaligtaran ng karagdagan, kapag ang isang hindi kilalang fraction ay tinutukoy mula sa isang kilalang fraction at isang naibigay na kabuuan ng mga fraction.
- Multiplikasyon ng mga fraction - ang aksyon na ito ay maaaring ilarawan bilang paghahanap ng isang fraction mula sa isang fraction. Ang resulta ng pagpaparami ng dalawang ordinaryong fraction ay isang ordinaryong fraction (sa partikular na kaso, katumbas ng natural na numero).
- Ang dibisyon ng mga fraction ay ang kabaligtaran ng multiplikasyon, kapag tinutukoy natin ang fraction kung saan kinakailangan upang i-multiply ang ibinigay na isa upang makakuha ng isang kilalang produkto ng dalawang fraction.
Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter
