Paano magpasok ng mga mathematical formula sa site?

Kung sakaling kailanganin mong magdagdag ng isa o dalawang mathematical formula sa isang web page, kung gayon ang pinakamadaling paraan upang gawin ito ay tulad ng inilarawan sa artikulo: ang mga mathematical formula ay madaling naipasok sa site sa anyo ng mga larawan na awtomatikong nabubuo ng Wolfram Alpha. Bilang karagdagan sa pagiging simple, ang unibersal na paraan na ito ay makakatulong na mapabuti ang visibility ng site sa mga search engine. Ito ay gumagana nang mahabang panahon (at sa tingin ko ito ay gagana magpakailanman), ngunit ito ay luma na sa moral.

Kung, sa kabilang banda, palagi kang gumagamit ng mga mathematical formula sa iyong site, pagkatapos ay inirerekomenda ko na gumamit ka ng MathJax, isang espesyal na JavaScript library na nagpapakita ng mathematical notation sa mga web browser gamit ang MathML, LaTeX, o ASCIIMathML markup.

Mayroong dalawang paraan upang simulan ang paggamit ng MathJax: (1) gamit ang isang simpleng code, maaari mong mabilis na ikonekta ang isang MathJax script sa iyong site, na awtomatikong mai-load mula sa isang malayong server sa tamang oras (listahan ng mga server); (2) i-upload ang MathJax script mula sa isang malayuang server patungo sa iyong server at ikonekta ito sa lahat ng pahina ng iyong site. Ang pangalawang paraan ay mas kumplikado at nakakaubos ng oras at magbibigay-daan sa iyong pabilisin ang pag-load ng mga pahina ng iyong site, at kung ang parent na MathJax server ay pansamantalang hindi magagamit sa ilang kadahilanan, hindi ito makakaapekto sa iyong sariling site sa anumang paraan. Sa kabila ng mga pakinabang na ito, pinili ko ang unang paraan, dahil ito ay mas simple, mas mabilis at hindi nangangailangan ng mga teknikal na kasanayan. Sundin ang aking halimbawa, at sa loob ng 5 minuto ay magagamit mo na ang lahat ng feature ng MathJax sa iyong site.

Maaari mong ikonekta ang script ng MathJax library mula sa isang malayuang server gamit ang dalawang opsyon sa code na kinuha mula sa pangunahing website ng MathJax o mula sa pahina ng dokumentasyon:

Ang isa sa mga pagpipilian sa code na ito ay kailangang kopyahin at i-paste sa iyong web page code, mas mabuti sa pagitan ng mga tag at o pagkatapos mismo ng tag . Ayon sa unang opsyon, ang MathJax ay naglo-load nang mas mabilis at nagpapabagal sa pahina nang mas kaunti. Ngunit awtomatikong sinusubaybayan at nilo-load ng pangalawang opsyon ang pinakabagong bersyon ng MathJax. Kung ilalagay mo ang unang code, kakailanganin itong i-update sa pana-panahon. Kung i-paste mo ang pangalawang code, ang mga pahina ay maglo-load nang mas mabagal, ngunit hindi mo kailangang patuloy na subaybayan ang mga update sa MathJax.

Ang pinakamadaling paraan upang ikonekta ang MathJax ay nasa Blogger o WordPress: sa control panel ng site, magdagdag ng widget na idinisenyo upang magpasok ng third-party na JavaScript code, kopyahin ang una o pangalawang bersyon ng load code na ipinakita sa itaas dito, at ilagay ang widget nang mas malapit. sa simula ng template (sa pamamagitan ng paraan, ito ay hindi sa lahat ng kailangan , dahil ang MathJax script ay load asynchronously). Iyon lang. Ngayon matutunan ang MathML, LaTeX, at ASCIIMathML markup syntax at handa ka nang mag-embed ng mga math formula sa iyong mga web page.

Ang anumang fractal ay binuo ayon sa isang tiyak na panuntunan, na patuloy na inilalapat ng walang limitasyong bilang ng beses. Ang bawat ganoong oras ay tinatawag na isang pag-ulit.

Ang umuulit na algorithm para sa paggawa ng isang Menger sponge ay medyo simple: ang orihinal na cube na may gilid 1 ay hinati ng mga eroplanong parallel sa mga mukha nito sa 27 pantay na cube. Ang isang gitnang kubo at 6 na kubo na katabi nito kasama ang mga mukha ay tinanggal mula dito. Ito ay lumiliko ang isang set na binubuo ng 20 natitirang mas maliliit na cubes. Ang paggawa ng pareho sa bawat isa sa mga cube na ito, nakakakuha kami ng isang set na binubuo ng 400 mas maliliit na cube. Ang pagpapatuloy ng prosesong ito nang walang katapusan, nakukuha namin ang Menger sponge.

Sa maraming mga kaso, ang pag-plot ng isang function ay mas madali kung una mong i-plot ang mga asymptotes ng curve.

Depinisyon 1. Ang mga asymptotes ay tinatawag na mga ganoong linya, kung saan ang graph ng function ay lumalapit nang mas malapit sa ninanais kapag ang variable ay may posibilidad na plus infinity o minus infinity.

Kahulugan 2. Ang isang tuwid na linya ay tinatawag na isang asymptote ng graph ng isang function kung ang distansya mula sa variable na punto M ang graph ng function hanggang sa linyang ito ay nagiging zero habang ang punto ay lumalayo nang walang katiyakan M mula sa pinagmulan ng mga coordinate kasama ang anumang sangay ng graph ng function.

Mayroong tatlong uri ng asymptotes: patayo, pahalang at pahilig.

Mga patayong asymptotes

Kahulugan. Diretso x = a ay isang vertical asymptote ng graph ng function kung punto x = a ay isang breaking point ng pangalawang uri para sa tampok na ito.

Ito ay sumusunod mula sa kahulugan na ang linya x = a ay ang patayong asymptote ng graph ng function f(x) kung matugunan ang hindi bababa sa isa sa mga sumusunod na kondisyon:

Kasabay nito, ang pag-andar f(x) ay maaaring hindi matukoy sa lahat, ayon sa pagkakabanggit, para sa x ≥ a at x ≤ a .

Komento:

Halimbawa 1 Function Graph y=ln x ay may patayong asymptote x= 0 (i.e., kasabay ng axis Oy) sa hangganan ng domain ng kahulugan, dahil ang limitasyon ng function bilang x ay may posibilidad na zero sa kanan ay katumbas ng minus infinity:

(fig. sa itaas).

sa iyong sarili at pagkatapos ay tingnan ang mga solusyon

Halimbawa 2 Hanapin ang mga asymptotes ng graph ng function.

Halimbawa 3 Maghanap ng mga asymptotes ng graph ng isang function

Mga pahalang na asymptotes

Kung (ang limitasyon ng function kapag ang argument ay may posibilidad na plus o minus infinity ay katumbas ng ilang halaga b), pagkatapos y = b – pahalang na asymptote baluktot y = f(x ) (pakanan kapag ang x ay may posibilidad na plus infinity, kaliwa kapag x ay may posibilidad na minus infinity, at dalawang-panig kung ang mga limitasyon kapag x ay may posibilidad na plus o minus infinity ay pantay).

Halimbawa 5 Function Graph

sa a Ang > 1 ay may kaliwang pahalang na asymptote y= 0 (i.e., kasabay ng axis baka), dahil ang limitasyon ng function kapag ang "x" ay may posibilidad na minus infinity ay katumbas ng zero:

Ang curve ay walang tamang pahalang na asymptote, dahil ang limitasyon ng function bilang x ay may posibilidad na plus infinity ay katumbas ng infinity:

Oblique asymptotes

Ang mga patayo at pahalang na asymptotes na aming isinasaalang-alang sa itaas ay kahanay sa mga coordinate axes, samakatuwid, upang mabuo ang mga ito, kailangan lang namin ng isang tiyak na numero - isang punto sa abscissa o ordinate axis kung saan dumadaan ang asymptote. Higit pa ang kailangan para sa pahilig na asymptote - slope k, na nagpapakita ng anggulo ng pagkahilig ng tuwid na linya, at ang intercept b, na nagpapakita kung gaano kalaki ang linya sa itaas o ibaba ng pinanggalingan. Ang mga walang oras upang makalimutan ang analytic geometry, at mula dito - ang mga equation ng isang tuwid na linya, ay mapapansin na para sa isang pahilig na asymptote ay nahanap nila slope equation. Ang pagkakaroon ng isang pahilig na asymptote ay tinutukoy ng sumusunod na theorem, batay sa kung saan matatagpuan ang mga coefficient na pinangalanan lang.

Teorama. Para gumawa ng curve y = f(x) nagkaroon ng asymptote y = kx + b , ito ay kinakailangan at sapat na mayroong may hangganang limitasyon k at b ng function na isinasaalang-alang bilang ang variable ay madalas na x sa plus infinity at minus infinity:

(1)

(2)

Ang mga numero kaya natagpuan k at b at ang mga coefficient ng oblique asymptote.

Sa unang kaso (kapag ang x ay may posibilidad na plus infinity), ang kanang pahilig na asymptote ay nakuha, sa pangalawa (kapag ang x ay may posibilidad na minus infinity), ito ay naiwan. Ang kanang pahilig na asymptote ay ipinapakita sa Fig. galing sa ibaba.

Kapag hinahanap ang equation ng oblique asymptote, kinakailangang isaalang-alang ang tendency ng x sa parehong plus infinity at minus infinity. Para sa ilang mga function, halimbawa, para sa mga fractional rationals, ang mga limitasyong ito ay nag-tutugma, ngunit para sa maraming mga function ay iba ang mga limitasyong ito, at isa lamang sa mga ito ang maaaring umiral.

Kapag ang mga limitasyon ay nag-tutugma sa x na may posibilidad na plus infinity at minus infinity, ang tuwid na linya y = kx + b ay isang dalawang panig na asymptote ng curve.

Kung hindi bababa sa isa sa mga limitasyon na tumutukoy sa asymptote y = kx + b , ay wala, kung gayon ang graph ng function ay walang pahilig na asymptote (ngunit maaaring may patayo).

Ito ay madaling makita na ang pahalang na asymptote y = b ay isang espesyal na kaso ng pahilig y = kx + b sa k = 0 .

Samakatuwid, kung ang isang curve ay may pahalang na asymptote sa anumang direksyon, kung gayon walang pahilig na asymptote sa direksyong iyon, at kabaliktaran.

Halimbawa 6 Maghanap ng mga asymptotes ng graph ng isang function

Desisyon. Ang function ay tinukoy sa buong linya ng numero maliban x= 0 , ibig sabihin.

Samakatuwid, sa breaking point x= 0 ang kurba ay maaaring may patayong asymptote. Sa katunayan, ang limitasyon ng function bilang x ay may posibilidad na zero mula sa kaliwa ay plus infinity:

Kaya naman, x Ang = 0 ay ang patayong asymptote ng graph ng function na ito.

Ang graph ng function na ito ay walang pahalang na asymptote, dahil ang limitasyon ng function kapag ang x ay may posibilidad na plus infinity ay katumbas ng plus infinity:

Alamin natin ang pagkakaroon ng isang pahilig na asymptote:

Nakakuha ng may hangganang limitasyon k= 2 at b= 0 . Diretso y = 2x ay isang two-sided oblique asymptote ng graph ng function na ito (fig. sa loob ng halimbawa).

Halimbawa 7 Maghanap ng mga asymptotes ng graph ng isang function

Desisyon. Ang function ay may isang break point x= −1 . Kalkulahin natin ang mga one-sided na limitasyon at tukuyin ang uri ng discontinuity:

Konklusyon: x Ang = −1 ay isang discontinuity point ng pangalawang uri, kaya ang linya x Ang = −1 ay ang patayong asymptote ng graph ng function na ito.

Naghahanap ng oblique asymptotes. Dahil ang function na ito ay fractionally rational, ang mga limitasyon para sa at para ay magkakasabay. Kaya, nakita namin ang mga coefficient para sa pagpapalit ng tuwid na linya - oblique asymptote sa equation:

Ang pagpapalit ng mga natagpuang coefficient sa equation ng isang tuwid na linya na may slope, nakuha namin ang equation ng oblique asymptote:

y = −3x + 5 .

Sa figure, ang graph ng function ay minarkahan ng burgundy, at ang mga asymptotes ay nasa itim.

Halimbawa 8 Maghanap ng mga asymptotes ng graph ng isang function

Desisyon. Dahil tuloy-tuloy ang function na ito, walang vertical asymptotes ang graph nito. Naghahanap kami ng mga oblique asymptotes:

.

Kaya, ang graph ng function na ito ay may asymptote y= 0 sa at walang asymptote sa .

Halimbawa 9 Maghanap ng mga asymptotes ng graph ng isang function

Desisyon. Una, naghahanap kami ng mga vertical asymptotes. Upang gawin ito, hinahanap namin ang domain ng function. Ang function ay tinukoy kapag ang hindi pagkakapantay-pantay ay humahawak at . variable sign x tumutugma sa tanda. Samakatuwid, isaalang-alang ang katumbas na hindi pagkakapantay-pantay . Mula dito nakukuha namin ang saklaw ng pag-andar: . Ang vertical asymptote ay maaari lamang nasa hangganan ng domain ng function. Pero x Ang = 0 ay hindi maaaring isang vertical asymptote, dahil ang function ay tinukoy para sa x = 0 .

Isaalang-alang ang kanang-kamay na limitasyon sa (kaliwang-kamay na limitasyon ay hindi umiiral):

.

Dot x Ang = 2 ay isang discontinuity point ng pangalawang uri, kaya ang linya x= 2 - vertical asymptote ng graph ng function na ito.

Naghahanap kami ng mga oblique asymptotes:

Kaya, y = x+ 1 - oblique asymptote ng graph ng function na ito sa . Naghahanap kami ng isang pahilig na asymptote para sa:

Kaya, y = −x − 1 - pahilig na asymptote sa .

Halimbawa 10 Maghanap ng mga asymptotes ng graph ng isang function

Desisyon. Ang function ay may saklaw . Dahil ang patayong asymptote ng graph ng function na ito ay maaari lamang nasa hangganan ng domain ng kahulugan, makikita natin ang isang panig na limitasyon ng function sa .

Asymptotes ng graph ng isang function

Ang multo ng asymptote ay gumagala sa site sa loob ng mahabang panahon upang sa wakas ay magkatotoo sa isang artikulo at magdala ng espesyal na kasiyahan sa mga mambabasa na nalilito full function study. Ang paghahanap ng mga asymptotes ng graph ay isa sa ilang bahagi ng tinukoy na gawain, na saklaw sa kurso ng paaralan sa isang pangkalahatang-ideya na pagkakasunud-sunod, dahil ang mga kaganapan ay umiikot sa pagkalkula mga limitasyon sa pag-andar, ngunit nabibilang pa rin sila sa mas mataas na matematika. Mga bisitang hindi gaanong bihasa sa mathematical analysis, sa tingin ko ang pahiwatig ay naiintindihan ;-) ... stop-stop, saan ka pupunta? mga limitasyon- madali lang!

Mga halimbawa ng asymptotes na nakilala kaagad sa unang aralin tungkol sa mga graph ng elementarya function, at ngayon ang paksa ay tumatanggap ng detalyadong pagsasaalang-alang.

Kaya ano ang isang asymptote?

Imagine variable na punto, na "naglalakbay" kasama ang graph ng function. Ang asymptote ay tuwid, sa whcih walang limitasyong malapit lumalapit ang graph ng function habang papunta sa infinity ang variable point nito.

Tandaan : ang kahulugan ay makabuluhan, kung kailangan mo ng pormulasyon sa notasyon ng mathematical analysis, mangyaring sumangguni sa aklat-aralin.

Sa isang eroplano, ang mga asymptote ay inuri ayon sa kanilang natural na pagsasaayos:

1) Mga patayong asymptotes, na ibinibigay ng isang equation ng form , kung saan ang "alpha" ay isang tunay na numero. Tinutukoy ng sikat na kinatawan ang y-axis mismo,
na may pag-atake ng banayad na pagduduwal, naaalala namin ang hyperbole.

2) Oblique asymptotes tradisyonal na nakasulat straight line equation na may slope factor. Kung minsan ang isang espesyal na kaso ay tinutukoy bilang isang hiwalay na grupo - pahalang na asymptotes. Halimbawa, ang parehong hyperbola na may asymptote .

Mabilis na umalis, pindutin natin ang paksa sa isang maikling awtomatikong pagsabog:

Ilang asymptotes ang maaaring mayroon ang isang graph ng isang function?

Wala, isa, dalawa, tatlo... o isang walang katapusang bilang. Hindi tayo lalayo para sa mga halimbawa, tatandaan natin elementarya na pag-andar. Ang parabola, cubic parabola, sinusoid ay walang asymptotes. Ang graph ng isang exponential, logarithmic function ay may isang solong asymptote. Ang arctangent, arccotangent ay may dalawa sa kanila, at ang tangent, cotangent ay may walang katapusang bilang. Karaniwan na ang isang graph ay may parehong pahalang at patayong mga asymptotes. Hyperbole, mamahalin ka palagi.

Ano ang ibig sabihin?

Vertical asymptotes ng isang graph ng isang function

Ang patayong asymptote ng isang graph ay karaniwang sa punto ng kawalang-hanggan mga function. Ito ay simple: kung sa isang punto ang function ay dumaranas ng walang katapusang break, ang tuwid na linya na ibinigay ng equation ay ang vertical asymptote ng graph.

Tandaan : tandaan na ang notasyon ay ginagamit upang sumangguni sa dalawang ganap na magkaibang konsepto. Ang punto ay ipinahiwatig o ang equation ng isang tuwid na linya - depende sa konteksto.

Kaya, upang maitaguyod ang pagkakaroon ng isang patayong asymptote sa isang punto, sapat na upang ipakita iyon kahit isa mula sa unilateral na mga limitasyon walang katapusan. Kadalasan, ito ang punto kung saan ang denominator ng function ay katumbas ng zero. Sa katunayan, nakakita na tayo ng mga patayong asymptotes sa mga huling halimbawa ng aralin. sa pagpapatuloy ng pag-andar. Ngunit sa ilang mga kaso mayroon lamang isang panig na limitasyon, at kung ito ay walang hanggan, pagkatapos ay muli - mahalin at pabor sa vertical asymptote. Ang pinakasimpleng paglalarawan: at ang y-axis (tingnan. Mga graph at katangian ng elementarya na pag-andar).

Mula sa itaas, ang malinaw na katotohanan ay sumusunod din: kung tuluy-tuloy ang function, pagkatapos ay walang mga patayong asymptotes. Para sa ilang kadahilanan, isang parabola ang naisip. Sa katunayan, saan ka maaaring "magdikit" ng isang tuwid na linya dito? ... oo ... naiintindihan ko ... ang mga tagasunod ni Uncle Freud ay naghugpong sa hysterics =)

Ang kabaligtaran na pahayag ay karaniwang hindi totoo: halimbawa, ang function ay hindi tinukoy sa buong totoong linya, ngunit ito ay ganap na pinagkaitan ng mga asymptotes.

Oblique asymptotes ng isang graph ng isang function

Oblique (bilang isang espesyal na kaso - pahalang) asymptotes ay maaaring iguguhit kung ang function argument ay may posibilidad na "plus infinity" o "minus infinity". Kaya ang graph ng isang function ay hindi maaaring magkaroon ng higit sa dalawang oblique asymptotes. Halimbawa, ang graph ng isang exponential function ay may isang pahalang na asymptote sa , at ang graph ng arc tangent sa ay may dalawang ganoong asymptote, at magkaiba.

Kapag ang graph dito at doon ay lumalapit sa nag-iisang pahilig na asymptote, kung gayon kaugalian na pag-isahin ang "infinities" sa ilalim ng isang entry. Halimbawa, ... tama ang nahulaan mo: .

Pangkalahatang tuntunin ng hinlalaki:

Kung may dalawa pangwakas limitasyon , pagkatapos ay ang tuwid na linya ay ang pahilig na asymptote ng graph ng function sa . Kung ang kahit isa ng mga limitasyon sa itaas ay walang hanggan, pagkatapos ay walang pahilig na asymptote.

Tandaan : ang mga formula ay mananatiling wasto kung ang "x" ay may posibilidad na "plus infinity" o "minus infinity" lamang.

Ipakita natin na ang parabola ay walang oblique asymptotes:

Ang limitasyon ay walang hanggan, kaya walang oblique asymptote. Tandaan na sa paghahanap ng limitasyon hindi na kailangan dahil natanggap na ang sagot.

Tandaan : kung ikaw ay nahihirapan (o magkakaroon) ng kahirapan sa pag-unawa sa plus-minus, minus-plus sign, mangyaring tingnan ang tulong sa simula ng aralin
tungkol sa infinitesimal functions, kung saan sinabi ko kung paano tama ang pagbibigay kahulugan sa mga palatandaang ito.

Malinaw na ang anumang quadratic, cubic function, polynomial ng ika-4 at mas mataas na degree ay wala ring oblique asymptotes.

At ngayon tiyakin natin na sa graph ay wala ring oblique asymptote. Upang alisan ng takip ang kawalan ng katiyakan, ginagamit namin Ang panuntunan ng L'Hopital:
, na dapat i-verify.

Kapag ang function ay lumalaki nang walang katiyakan, gayunpaman, walang ganoong tuwid na linya kung saan lalapit ang graph nito malapit nang walang katapusan.

Lumipat tayo sa praktikal na bahagi ng aralin:

Paano mahahanap ang mga asymptotes ng isang graph ng isang function?

Ito ay kung paano nabuo ang isang tipikal na gawain, at kinabibilangan ito ng paghahanap ng LAHAT ng mga asymptotes ng graph (vertical, oblique / horizontal). Bagaman, upang maging mas tumpak sa pagbabalangkas ng tanong, pinag-uusapan natin ang tungkol sa isang pag-aaral para sa pagkakaroon ng mga asymptotes (pagkatapos ng lahat, maaaring wala man lang). Magsimula tayo sa isang simpleng bagay:

Halimbawa 1

Maghanap ng mga asymptotes ng graph ng isang function

Desisyon Ito ay maginhawa upang hatiin ito sa dalawang punto:

1) Una naming suriin kung mayroong mga vertical asymptotes. Ang denominator ay naglalaho sa , at ito ay agad na malinaw na sa puntong ito ang function ay naghihirap walang katapusang agwat, at ang tuwid na linya na ibinigay ng equation ay ang patayong asymptote ng graph ng function. Ngunit bago gumuhit ng gayong konklusyon, kinakailangan upang makahanap ng isang panig na mga limitasyon:

Ipinaaalala ko sa iyo ang pamamaraan ng pagkalkula, na tinalakay ko rin sa artikulo Pagpapatuloy ng pag-andar. break points. Sa expression sa ilalim ng limit sign, sa halip na "x" ay pinapalitan namin ang . Walang kawili-wili sa numerator:
.

Pero sa denominator pala infinitesimal na negatibong numero:
, tinutukoy nito ang kapalaran ng limitasyon.

Ang limitasyon sa kaliwang kamay ay walang hanggan, at, sa prinsipyo, posible nang magpasa ng hatol sa pagkakaroon ng isang patayong asymptote. Ngunit ang isang panig na mga limitasyon ay kailangan hindi lamang para dito - nakakatulong silang MAUNAWAAN, AS ang graph ng function ay matatagpuan at i-plot ito TAMA. Samakatuwid, dapat din nating kalkulahin ang limitasyon sa kanang kamay:

Konklusyon: ang mga one-sided na limitasyon ay walang katapusan, na nangangahulugan na ang linya ay isang patayong asymptote ng graph ng function sa .

Unang limitasyon may hangganan, na nangangahulugang kinakailangan na "ipagpatuloy ang pag-uusap" at hanapin ang pangalawang limitasyon:

Ang pangalawang limitasyon din may hangganan.

Kaya ang aming asymptote ay:

Konklusyon: ang tuwid na linya na ibinigay ng equation ay ang pahalang na asymptote ng graph ng function sa .

Upang mahanap ang pahalang na asymptote
Maaari mong gamitin ang pinasimpleng formula:

Kung meron may hangganan limitahan , kung gayon ang linya ay ang pahalang na asymptote ng graph ng function sa .

Madaling makita na ang numerator at denominator ng function isang pagkakasunud-sunod ng paglago, na nangangahulugan na ang nais na limitasyon ay magiging may hangganan:

Sagot:

Ayon sa kondisyon, hindi kinakailangan upang makumpleto ang pagguhit, ngunit kung puspusan pananaliksik sa tungkulin, pagkatapos ay sa draft agad kaming gumawa ng sketch:

Batay sa tatlong limitasyon na natagpuan, subukang mag-isa na malaman kung paano matatagpuan ang graph ng function. Medyo mahirap? Maghanap ng 5-6-7-8 puntos at markahan ang mga ito sa guhit. Gayunpaman, ang graph ng function na ito ay binuo gamit ang pagbabago ng elementarya function graph, at ang mga mambabasa na maingat na nagsuri sa Halimbawa 21 ng artikulong ito ay madaling mahulaan kung anong uri ng kurba ito.

Halimbawa 2

Maghanap ng mga asymptotes ng graph ng isang function

Ito ay isang halimbawa ng do-it-yourself. Ang proseso, ipinaalala ko sa iyo, ay maginhawang nahahati sa dalawang punto - vertical asymptotes at oblique asymptotes. Sa sample na solusyon, ang pahalang na asymptote ay matatagpuan gamit ang isang pinasimple na pamamaraan.

Sa pagsasagawa, ang mga fractional-rational function ay madalas na nakatagpo, at pagkatapos ng pagsasanay sa hyperbolas, gagawin naming kumplikado ang gawain:

Halimbawa 3

Maghanap ng mga asymptotes ng graph ng isang function

Desisyon: Isa, dalawa at tapos na:

1) Ang mga patayong asymptotes ay matatagpuan sa mga punto ng walang katapusang discontinuity, kaya kailangan mong suriin kung ang denominator ay napupunta sa zero. Kami ang magpapasya quadratic equation:

Ang discriminant ay positibo, kaya ang equation ay may dalawang tunay na ugat, at ang trabaho ay idinagdag nang malaki =)

Upang higit pang makahanap ng isang panig na mga limitasyon, ito ay maginhawa upang i-factorize ang square trinomial:
(para sa compact notation, ang "minus" ay ipinakilala sa unang bracket). Para sa safety net, magsasagawa kami ng pagsusuri, sa isip o sa draft, na binubuksan ang mga bracket.

Isulat muli natin ang function sa form

Maghanap ng mga one-sided na limitasyon sa puntong :

At sa puntong:

Kaya, ang mga tuwid na linya ay ang mga patayong asymptotes ng graph ng function na isinasaalang-alang.

2) Kung titingnan mo ang function , pagkatapos ay medyo halata na ang limitasyon ay magiging may hangganan at mayroon kaming pahalang na asymptote. Ipakita natin ito sa maikling paraan:

Kaya, ang tuwid na linya (abscissa) ay ang pahalang na asymptote ng graph ng function na ito.

Sagot:

Ang mga nahanap na limitasyon at asymptotes ay nagbibigay ng maraming impormasyon tungkol sa graph ng function. Subukang isipin ang pagguhit, na isinasaalang-alang ang mga sumusunod na katotohanan:

I-sketch ang iyong bersyon ng graph sa isang draft.

Siyempre, ang mga limitasyon na natagpuan ay hindi malinaw na tinutukoy ang uri ng graph, at maaari kang magkamali, ngunit ang ehersisyo mismo ay magiging napakahalagang tulong sa panahon ng full function study. Ang tamang larawan ay nasa katapusan ng aralin.

Halimbawa 4

Maghanap ng mga asymptotes ng graph ng isang function

Halimbawa 5

Maghanap ng mga asymptotes ng graph ng isang function

Ito ay mga gawain para sa independiyenteng desisyon. Ang parehong mga graph ay may mga pahalang na asymptotes, na agad na natukoy ng mga sumusunod na tampok: sa Halimbawa 4 pagkakasunud-sunod ng paglago denominador higit pa kaysa sa pagkakasunud-sunod ng paglago ng numerator, at sa Halimbawa 5 ang numerator at denominator isang pagkakasunud-sunod ng paglago. Sa sample na solusyon, ang unang function ay sinisiyasat para sa pagkakaroon ng mga pahilig na asymptotes sa buong paraan, at ang pangalawa - sa pamamagitan ng limitasyon .

Ang mga pahalang na asymptote, sa aking pansariling impression, ay kapansin-pansing mas karaniwan kaysa sa mga "tunay na nakatagilid". Matagal nang hinihintay na pangkalahatang kaso:

Halimbawa 6

Maghanap ng mga asymptotes ng graph ng isang function

Desisyon: mga klasiko ng genre:

1) Dahil ang denominator ay positibo, ang function tuloy-tuloy sa buong linya ng numero, at walang mga patayong asymptotes. …Maganda ba? Hindi ang tamang salita - mahusay! Ang item #1 ay sarado.

2) Suriin ang pagkakaroon ng mga pahilig na asymptotes:

Unang limitasyon may hangganan, kaya magpatuloy tayo. Sa panahon ng pagkalkula ng pangalawang limitasyon upang maalis kawalan ng katiyakan "infinity minus infinity" dinadala namin ang expression sa isang karaniwang denominator:

Ang pangalawang limitasyon din may hangganan, samakatuwid, ang graph ng function na isinasaalang-alang ay may oblique asymptote:

Konklusyon:

Kaya, para sa graph ng function malapit nang walang katapusan lumalapit sa isang tuwid na linya:

Tandaan na ito ay intersects nito oblique asymptote sa pinanggalingan, at ang mga naturang intersection point ay lubos na katanggap-tanggap - ito ay mahalaga na "lahat ay normal" sa infinity (sa totoo lang, ito ay doon na pinag-uusapan natin ang tungkol sa asymptotes).

Halimbawa 7

Maghanap ng mga asymptotes ng graph ng isang function

Desisyon: walang gaanong maikomento, kaya gagawa ako ng tinatayang sample ng panghuling solusyon:

1) Mga patayong asymptotes. Tuklasin natin ang punto.

Ang tuwid na linya ay ang patayong asymptote para sa plot sa .

2) Oblique asymptotes:

Ang tuwid na linya ay ang pahilig na asymptote para sa graph sa .

Sagot:

Ang mga nakitang one-sided na limitasyon at asymptotes ay nagbibigay-daan sa amin na ipagpalagay nang may mataas na katiyakan kung ano ang hitsura ng graph ng function na ito. Tamang pagguhit sa pagtatapos ng aralin.

Halimbawa 8

Maghanap ng mga asymptotes ng graph ng isang function

Ito ay isang halimbawa para sa isang independiyenteng solusyon, para sa kaginhawaan ng pagkalkula ng ilang mga limitasyon, maaari mong hatiin ang numerator sa pamamagitan ng termino ng denominator ayon sa termino. At muli, pag-aralan ang mga resulta, subukang gumuhit ng isang graph ng function na ito.

Malinaw, ang mga may-ari ng "totoong" oblique asymptotes ay ang mga graph ng mga fractional-rational na function kung saan ang pinakamataas na antas ng numerator. isa pa ang pinakamataas na antas ng denominator. Kung higit pa, hindi magkakaroon ng oblique asymptote (halimbawa, ).

Ngunit ang iba pang mga himala ay nangyayari sa buhay:

Halimbawa 9

Halimbawa 11

Suriin ang graph ng isang function para sa mga asymptotes

Desisyon: halata naman eh , samakatuwid, isinasaalang-alang lamang namin ang tamang kalahating eroplano, kung saan mayroong isang graph ng function.

Kaya, ang tuwid na linya (y-axis) ay ang patayong asymptote para sa graph ng function sa .

2) Ang pag-aaral ng oblique asymptote ay maaaring isagawa ayon sa buong pamamaraan, ngunit sa artikulo Mga Panuntunan ng L'Hospital nalaman namin na ang isang linear na function ng isang mas mataas na pagkakasunud-sunod ng paglago kaysa sa isang logarithmic, samakatuwid: (tingnan ang halimbawa 1 ng parehong aralin).

Konklusyon: ang abscissa axis ay ang pahalang na asymptote ng graph ng function sa .

Sagot:
, kung ;
, kung .

Pagguhit para sa kalinawan:

Nang kawili-wili, ang isang tila katulad na pag-andar ay walang mga asymptotes sa lahat (maaaring suriin ito ng mga nais).

Dalawang huling halimbawa ng pag-aaral sa sarili:

Halimbawa 12

Suriin ang graph ng isang function para sa mga asymptotes

Ilang asymptotes ang maaaring mayroon ang isang graph ng isang function?

Wala, isa, dalawa, tatlo... o isang walang katapusang bilang. Hindi tayo lalayo para sa mga halimbawa, aalalahanin natin ang mga pag-andar ng elementarya. Ang parabola, cubic parabola, sinusoid ay walang asymptotes. Ang graph ng isang exponential, logarithmic function ay may isang solong asymptote. Ang arctangent, arccotangent ay may dalawa sa kanila, at ang tangent, cotangent ay may walang katapusang bilang. Karaniwan na ang isang graph ay may parehong pahalang at patayong mga asymptotes. Hyperbole, mamahalin ka palagi.

Ano ang ibig sabihin ng paghahanap ng mga asymptotes ng isang graph ng isang function?

Nangangahulugan ito na alamin ang kanilang mga equation, at pagguhit ng mga tuwid na linya kung kinakailangan ito ng kondisyon ng problema. Ang proseso ay nagsasangkot ng paghahanap ng mga limitasyon ng function.

Vertical asymptotes ng isang graph ng isang function

Ang patayong asymptote ng graph, bilang panuntunan, ay nasa punto ng walang katapusang discontinuity ng function. Ito ay simple: kung sa isang punto ang function ay dumaranas ng walang katapusang break, ang tuwid na linya na ibinigay ng equation ay ang vertical asymptote ng graph.

Tandaan: Pakitandaan na ang notasyon ay ginagamit upang sumangguni sa dalawang ganap na magkaibang konsepto. Ang punto ay ipinahiwatig o ang equation ng isang tuwid na linya - depende sa konteksto.

Kaya, upang maitaguyod ang pagkakaroon ng isang patayong asymptote sa isang punto, sapat na upang ipakita na hindi bababa sa isa sa mga one-sided na limitasyon ay walang katapusan. Kadalasan, ito ang punto kung saan ang denominator ng function ay katumbas ng zero. Sa katunayan, nakahanap na kami ng mga vertical asymptotes sa mga huling halimbawa ng aralin sa pagpapatuloy ng isang function. Ngunit sa ilang mga kaso mayroon lamang isang panig na limitasyon, at kung ito ay walang hanggan, pagkatapos ay muli - mahalin at pabor sa vertical asymptote. Ang pinakasimpleng paglalarawan: at ang y-axis.

Ang halatang katotohanan ay sumusunod din mula sa itaas: kung ang function ay tuloy-tuloy, kung gayon walang mga vertical asymptotes. Para sa ilang kadahilanan, isang parabola ang naisip. Sa katunayan, saan ka maaaring "magdikit" ng isang tuwid na linya dito? ... oo ... naiintindihan ko ... ang mga tagasunod ni Uncle Freud ay naghugpong sa hysterics =)

Ang kabaligtaran na pahayag ay karaniwang hindi totoo: halimbawa, ang function ay hindi tinukoy sa buong totoong linya, ngunit ito ay ganap na pinagkaitan ng mga asymptotes.

Oblique asymptotes ng isang graph ng isang function

Oblique (bilang isang espesyal na kaso - pahalang) asymptotes ay maaaring iguguhit kung ang function argument ay may posibilidad na "plus infinity" o "minus infinity". Samakatuwid, ang graph ng isang function ay hindi maaaring magkaroon ng higit sa 2 oblique asymptotes. Halimbawa, ang graph ng isang exponential function ay may isang pahalang na asymptote sa, at ang graph ng arctangent at ay may dalawang ganoong asymptotes, at magkaiba.

Asymptote ng graph ng isang function y \u003d f (x) ay tinatawag na isang linya na may katangian na ang distansya mula sa punto (x, f (x)) hanggang sa linyang ito ay may posibilidad na zero na may walang limitasyong pag-alis ng graph point mula sa pinanggalingan.

Larawan 3.10. graphical na mga halimbawa ay ibinigay patayo, pahalang at pahilig asymptote.

Ang paghahanap ng mga asymptotes ng graph ay batay sa sumusunod na tatlong theorems.

Ang vertical asymptote theorem. Hayaang tukuyin ang function na y \u003d f (x) sa ilang kapitbahayan ng point x 0 (maaaring hindi kasama ang puntong ito mismo) at hindi bababa sa isa sa mga one-sided na limitasyon ng function ay katumbas ng infinity, i.e. Pagkatapos ang linya x \u003d x 0 ay ang vertical asymptote ng graph ng function na y \u003d f (x).

Malinaw, ang linya x \u003d x 0 ay hindi maaaring maging isang patayong asymptote kung ang function ay tuloy-tuloy sa puntong x 0, dahil sa kasong ito . Samakatuwid, ang mga patayong asymptote ay dapat hanapin sa mga discontinuity point ng isang function o sa mga dulo ng domain nito.

Theorem sa pahalang na asymptote. Hayaang tukuyin ang function na y \u003d f (x) para sa sapat na malaking x at mayroong isang may hangganang limitasyon ng function . Pagkatapos ang linyang y = b ay ang pahalang na asymptote ng graph ng function.

Magkomento. Kung isa lamang sa mga limitasyon ang may hangganan, kung gayon ang function ay mayroong, ayon sa pagkakabanggit, kaliwa-panig o kanang bahagi pahalang na asymptote.

Kung sakaling ang , ang function ay maaaring magkaroon ng oblique asymptote.

Pahilig na asymptote theorem. Hayaang tukuyin ang function na y = f(x) para sa sapat na malaking x at may mga limitasyon . Pagkatapos ang linyang y = kx + b ay isang oblique asymptote ng graph ng function.

Nang walang patunay.

Ang pahilig na asymptote, tulad ng pahalang, ay maaaring kanang kamay o kaliwang kamay kung ang batayan ng kaukulang mga limitasyon ay infinity ng isang tiyak na tanda.

Ang pag-aaral ng mga function at ang pagbuo ng kanilang mga graph ay karaniwang kasama ang mga sumusunod na hakbang:

1. Hanapin ang domain ng function.

2. Siyasatin ang function para sa even-odd.

3. Hanapin ang mga patayong asymptotes sa pamamagitan ng pagsusuri sa mga discontinuity point at ang pag-uugali ng function sa mga hangganan ng domain ng kahulugan, kung ang mga ito ay may hangganan.

4. Maghanap ng mga pahalang o pahilig na asymptotes sa pamamagitan ng pagsusuri sa gawi ng function sa infinity.

5. Maghanap ng extrema at mga pagitan ng monotonicity ng function.

6. Hanapin ang mga pagitan ng convexity ng function at ang mga inflection point.

7. Maghanap ng mga punto ng intersection sa mga coordinate axes at, posibleng, ilang karagdagang mga punto na nagpapadalisay sa graph.

Pagkakaiba ng pag-andar

Mapapatunayan na kung ang isang function ay may limitasyon na katumbas ng isang may hangganan na numero para sa isang tiyak na base, maaari itong irepresenta bilang kabuuan ng numerong ito at isang infinitesimal na halaga para sa parehong base (at kabaliktaran): .

Ilapat natin ang theorem na ito sa isang differentiable function: .

Kaya, ang pagtaas ng function na Dy ay binubuo ng dalawang termino: 1) linear na may paggalang sa Dx, i.e. f`(x)Dx; 2) non-linear na may paggalang sa Dx, i.e. a(Dx)Dx. Kasabay nito, mula noon , ang pangalawang terminong ito ay isang infinitesimal ng isang mas mataas na pagkakasunud-sunod kaysa sa Dx (dahil ang Dx ay may posibilidad na zero, ito ay may posibilidad na maging zero kahit na mas mabilis).

Differential Ang function ay tinatawag na pangunahing bahagi ng pagtaas ng function, linear na may kinalaman sa Dx, katumbas ng produkto ng derivative at ang pagtaas ng independent variable na dy = f `(x)Dx.

Hanapin ang kaugalian ng function na y = x.

Dahil dy = f `(x)Dx = x`Dx = Dx, pagkatapos dx = Dx, i.e. ang differential ng isang independent variable ay katumbas ng increment ng variable na iyon.

Samakatuwid, ang formula para sa kaugalian ng isang function ay maaaring isulat bilang dy = f `(x)dх. Kaya naman ang isa sa mga simbolo para sa derivative ay ang fraction na dy/dх.

Ang geometric na kahulugan ng kaugalian ay inilalarawan
figure 3.11. Kumuha ng arbitrary point M(x, y) sa graph ng function na y = f(x). Bigyan natin ang argumentong x ng dagdag na Dx. Pagkatapos ang function na y = f(x) ay makakatanggap ng increment Dy = f(x + Dх) - f(x). Gumuhit tayo ng tangent sa graph ng function sa puntong M, na bumubuo ng isang anggulo a na may positibong direksyon ng x-axis, i.e. f `(x) = tg a. Mula sa kanang tatsulok MKN
KN \u003d MN * tg a \u003d Dx * tg a \u003d f `(x) Dx \u003d dy.

Kaya, ang kaugalian ng isang function ay ang pagtaas sa ordinate ng tangent na iginuhit sa graph ng function sa isang naibigay na punto kapag ang x ay dinagdagan ng Dx.

Ang mga katangian ng isang kaugalian ay karaniwang pareho sa mga katangian ng isang hinalaw:

3. d(u ± v) = du ± dv.

4. d(uv) = v du + u dv.

5. d(u/v) = (v du - u dv)/v 2 .

Gayunpaman, mayroong isang mahalagang katangian ng kaugalian ng isang function na wala ang hinango nito - ito ay pagkakaiba-iba ng pagkakaiba-iba ng anyo.

Mula sa kahulugan ng differential para sa function na y = f(x), ang differential ay dy = f`(x)dх. Kung ang function na ito y ay kumplikado, i.e. y = f(u), kung saan u = j(x), pagkatapos ay y = f at f `(x) = f `(u)*u`. Pagkatapos dy = f`(u)*u`dx. Ngunit para sa pag-andar
u = j(x) differential du = u`dx. Kaya dy = f `(u)*du.

Paghahambing ng mga pagkakapantay-pantay na dy = f `(x)dх at dy = f `(u)*du, tinitiyak namin na hindi magbabago ang differential formula kung sa halip na isang function ng independent variable x ay isasaalang-alang namin ang isang function ng dependent variable u. Ang katangiang ito ng pagkakaiba ay tinatawag na invariance (i.e., invariance) ng anyo (o formula) ng differential.

Gayunpaman, mayroon pa ring pagkakaiba sa dalawang formula na ito: sa una sa mga ito, ang pagkakaiba ng independent variable ay katumbas ng pagtaas ng variable na ito, i.e. dx = Dx, at sa pangalawa, ang kaugalian ng function na du ay ang linear na bahagi lamang ng pagtaas ng function na ito Du, at para lamang sa maliit na Dх du » Du.