Lecture: "Mga paraan para sa paglutas ng mga exponential equation."
1 . mga exponential equation.
Ang mga equation na naglalaman ng mga hindi alam sa exponent ay tinatawag na exponential equation. Ang pinakasimple sa mga ito ay ang equation na ax = b, kung saan ang a > 0 at a ≠ 1.
1) Para sa b< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.
2) Para sa b > 0, gamit ang monotonicity ng function at ang root theorem, ang equation ay may iisang ugat. Upang mahanap ito, ang b ay dapat na kinakatawan bilang b = aс, ax = bс ó x = c o x = logab.
Ang mga exponential equation, sa pamamagitan ng algebraic transformations, ay humahantong sa mga karaniwang equation, na nalutas gamit ang mga sumusunod na pamamaraan:
1) paraan ng pagbabawas sa isang base;
2) paraan ng pagtatasa;
3) graphic na paraan;
4) ang paraan ng pagpapakilala ng mga bagong variable;
5) paraan ng factorization;
6) exponential - mga equation ng kapangyarihan;
7) exponential na may parameter.
2 . Paraan ng pagbabawas sa isang batayan.
Ang pamamaraan ay batay sa sumusunod na pag-aari ng mga degree: kung ang dalawang degree ay pantay at ang kanilang mga base ay pantay, kung gayon ang kanilang mga exponent ay pantay, ibig sabihin, ang equation ay dapat subukan na bawasan sa anyo
Mga halimbawa. Lutasin ang equation:
1 . 3x=81;
Katawanin natin ang kanang bahagi ng equation sa anyong 81 = 34 at isulat ang equation na katumbas ng orihinal na 3 x = 34; x = 4. Sagot: 4.
2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49"> at pumunta sa equation para sa mga exponent na 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; x = 0.5 Sagot: 0.5
3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">
Tandaan na ang mga numerong 0.2, 0.04, √5, at 25 ay mga kapangyarihan ng 5. Samantalahin natin ito at baguhin ang orihinal na equation gaya ng sumusunod:
,
kung saan ang 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x - 1 = - 2x - 2, kung saan matatagpuan natin ang solusyon x = -1. Sagot: -1.
5. 3x = 5. Sa kahulugan ng logarithm, x = log35. Sagot: log35.
6. 62x+4 = 33x. 2x+8.
Isulat muli ang equation bilang 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, i.e..png" width="181" height="49 src="> Samakatuwid x - 4 =0, x = 4. Sagot: 4.
7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Gamit ang mga katangian ng mga kapangyarihan, isinusulat namin ang equation sa anyong e.x+1 = 2, x =1. Sagot: 1.
Bangko ng mga gawain No. 1.
Lutasin ang equation:
Pagsubok bilang 1.
1) 0 2) 4 3) -2 4) -4 |
|
A2 32x-8 = √3. | 1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4 |
A3 | 1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) walang ugat |
1) 7;1 2) walang ugat 3) -7;1 4) -1;-7 |
|
A5 | 1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0 |
A6 | 1) -1 2) 0 3) 2 4) 1 |
Pagsubok #2
A1 | 1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1 |
A2 | 1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11 |
A3 | 1) 2;-1 2) walang ugat 3) 0 4) -2;1 |
A4 | 1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2 |
A5 | 1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3 |
3 Paraan ng pagtatasa.
Ang root theorem: kung ang function na f (x) ay tumaas (bumababa) sa interval I, ang numero a ay anumang halaga na kinuha ng f sa interval na ito, kung gayon ang equation na f (x) = a ay may isang ugat sa interval I.
Kapag nilulutas ang mga equation sa pamamagitan ng pamamaraan ng pagtatantya, ang teorama na ito at ang mga katangian ng monotonicity ng function ay ginagamit.
Mga halimbawa. Lutasin ang mga Equation: 1. 4x = 5 - x.
Desisyon. Isulat muli natin ang equation bilang 4x + x = 5.
1. kung ang x \u003d 1, kung gayon ang 41 + 1 \u003d 5, 5 \u003d 5 ay totoo, kung gayon ang 1 ay ang ugat ng equation.
Ang function na f(x) = 4x ay tumataas sa R at g(x) = x ay tumataas sa R => h(x)= f(x)+g(x) ay tumataas sa R bilang ang kabuuan ng pagtaas ng mga function, kaya ang x = 1 ay ang tanging ugat ng equation na 4x = 5 – x. Sagot: 1.
2.
Desisyon. Muli naming isinusulat ang equation sa form 
.
1. kung x = -1, kung gayon 
, 3 = 3-totoo, kaya ang x = -1 ay ang ugat ng equation.
2. patunayan na ito ay natatangi.
3. Ang function na f(x) = - bumababa sa R, at g(x) = - x - bumababa sa R => h(x) = f(x) + g(x) - bumababa sa R, bilang kabuuan ng nagpapababa ng mga function. Kaya sa pamamagitan ng root theorem, x = -1 ang tanging ugat ng equation. Sagot: -1.
Bangko ng mga gawain Blg. 2. lutasin ang equation
a) 4x + 1 = 6 - x;
b) 
c) 2x – 2 =1 – x;
4. Paraan para sa pagpapakilala ng mga bagong variable.
Ang pamamaraan ay inilarawan sa seksyon 2.1. Ang pagpapakilala ng isang bagong variable (pagpapalit) ay karaniwang isinasagawa pagkatapos ng mga pagbabagong-anyo (pagpapasimple) ng mga tuntunin ng equation. Isaalang-alang ang mga halimbawa.
Mga halimbawa.
R kumain ng equation: 1.
.
Isulat muli natin ang equation sa ibang paraan: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> i.e..png" width="210" height = "45">
Desisyon. Isulat muli natin ang equation sa ibang paraan: 
Ipahiwatig ang https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - hindi angkop.
t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> ay isang hindi makatwirang equation. Tandaan na 
Ang solusyon sa equation ay x = 2.5 ≤ 4, kaya 2.5 ang ugat ng equation. Sagot: 2.5.
Desisyon. Isulat muli natin ang equation sa anyo at hatiin ang magkabilang panig ng 56x+6 ≠ 0. Nakukuha natin ang equation
2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, so..png" width="118" height="56">
Ang mga ugat ng quadratic equation - t1 = 1 at t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.
Desisyon . Muli naming isinusulat ang equation sa form
at tandaan na ito ay isang homogenous na equation ng pangalawang degree.
Hatiin ang equation sa pamamagitan ng 42x, nakukuha natin 
Palitan ang https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .
Sagot: 0; 0.5.
Task Bank #3. lutasin ang equation
b) 
G) 
Pagsubok #3 na may pagpipilian ng mga sagot. Pinakamababang antas.
A1 | 1) -0.2;2 2) log52 3) –log52 4) 2 |
А2 0.52x – 3 0.5x +2 = 0. | 1) 2;1 2) -1;0 3) walang ugat 4) 0 |
1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5 |
|
A4 52x-5x - 600 = 0. | 1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2 |
1) walang ugat 2) 2;4 3) 3 4) -1;2 |
Pagsubok #4 na may pagpipilian ng mga sagot. Pangkalahatang antas.
A1 | 1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0 |
А2 2x – (0.5)2x – (0.5)x + 1 = 0 | 1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1 |
1) 64 2) -14 3) 3 4) 8 |
|
1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0 |
|
A5 | 1) 0 2) 1 3) 0;1 4) walang ugat |
5. Paraan ng factorization.
1. Lutasin ang equation: 5x+1 - 5x-1 = 24.
Solution..png" width="169" height="69"> , saan galing
2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.
Desisyon. Ilabas natin ang 6x sa kaliwang bahagi ng equation, at 2x sa kanang bahagi. Nakukuha namin ang equation na 6x(1+6) = 2x(1+2+4) o 6x = 2x.
Dahil 2x >0 para sa lahat ng x, maaari nating hatiin ang magkabilang panig ng equation na ito ng 2x nang walang takot na mawala ang mga solusyon. Nakukuha namin ang 3x = 1ó x = 0.
3. 
Desisyon. Lutasin namin ang equation sa pamamagitan ng factoring.
Pinipili namin ang parisukat ng binomial 
4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">
x = -2 ang ugat ng equation.
Equation x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">
A1 5x-1 +5x -5x+1 = -19.
1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1
A2 3x+1 +3x-1 =270.
1) 2 2) -4 3) 0 4) 4
A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1.5
1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3
1) 1 2) -3 3) -1 4) 0
A5 2x -2x-4 = 15.x=4
1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2
Pagsubok #6 Pangkalahatang antas.
A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7. | 1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0.2 |
A2 | 1) 2.5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0 |
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2. | 1) 2 2) -1 3) 3 4) -3 |
A4 | 1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4 |
A5 | 1) 2 2) -2 3) 5 4) 0 |
6. Exponential - mga equation ng kapangyarihan.
Ang mga exponential equation ay pinagsama ng tinatawag na exponential-power equation, ibig sabihin, ang mga equation ng form (f(x))g(x) = (f(x))h(x).
Kung alam na ang f(x)>0 at f(x) ≠ 1, kung gayon ang equation, tulad ng exponential, ay malulutas sa pamamagitan ng equating ng mga exponent g(x) = f(x).
Kung hindi ibinubukod ng kundisyon ang posibilidad ng f(x)=0 at f(x)=1, dapat nating isaalang-alang ang mga kasong ito kapag nilulutas ang exponential power equation.
1..png" width="182" height="116 src=">
2. 
Desisyon. x2 +2x-8 - may katuturan para sa anumang x, dahil isang polynomial, kaya ang equation ay katumbas ng set
https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">
b) 
7. Exponential equation na may mga parameter.
1. Para sa anong mga halaga ng parameter p ang equation 4 (5 – 3) 2 +4p2–3p = 0 (1) ay may natatanging solusyon?
Desisyon. Ipakilala natin ang pagbabagong 2x = t, t > 0, pagkatapos ang equation (1) ay magkakaroon ng anyong t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)
Ang discriminant ng equation (2) ay D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.
Ang equation (1) ay may natatanging solusyon kung ang equation (2) ay may isang positibong ugat. Posible ito sa mga sumusunod na kaso.
1. Kung D = 0, ibig sabihin, p = 1, ang equation (2) ay magkakaroon ng anyong t2 – 2t + 1 = 0, kaya t = 1, samakatuwid, ang equation (1) ay may natatanging solusyon x = 0.
2. Kung p1, pagkatapos ay 9(p – 1)2 > 0, kung gayon ang equation (2) ay may dalawang magkaibang ugat t1 = p, t2 = 4p – 3. Ang set ng mga sistema ay nakakatugon sa kondisyon ng problema
Ang pagpapalit ng t1 at t2 sa mga sistema, mayroon kami
https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="(!LANG:no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}
Desisyon. Hayaan 
ang equation (3) ay kukuha ng anyong t2 – 6t – a = 0. (4)
Hanapin natin ang mga halaga ng parameter a kung saan kahit isang ugat ng equation (4) ay nakakatugon sa kundisyon t > 0.
Ipakilala natin ang function f(t) = t2 – 6t – a. Posible ang mga sumusunod na kaso.
https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}
https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}
Kaso 2. Ang equation (4) ay may natatanging positibong solusyon kung
D = 0, kung a = – 9, ang equation (4) ay magkakaroon ng anyo (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.
Kaso 3. Ang equation (4) ay may dalawang ugat, ngunit ang isa sa mga ito ay hindi nakakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay t > 0. Ito ay posible kung
https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="(!LANG:no35_17" width="267" height="63">!}
Kaya, sa a 0 equation (4) ay may isang positibong ugat 
. Pagkatapos ang equation (3) ay may natatanging solusyon 
Para sa< – 9 уравнение (3) корней не имеет.
kung ang< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
kung a = – 9, kung gayon x = – 1;
kung a 0, kung gayon
Ihambing natin ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation (1) at (3). Tandaan na kapag ang paglutas ng equation (1) ay binawasan sa isang quadratic equation, ang discriminant na kung saan ay isang full square; kaya, ang mga ugat ng equation (2) ay agad na kinakalkula ng formula ng mga ugat ng quadratic equation, at pagkatapos ay ginawa ang mga konklusyon tungkol sa mga ugat na ito. Ang equation (3) ay binawasan sa isang quadratic equation (4), ang discriminant na kung saan ay hindi isang perpektong parisukat, samakatuwid, kapag nilutas ang equation (3), ipinapayong gumamit ng theorems sa lokasyon ng mga ugat ng isang square trinomial at isang graphical na modelo. Tandaan na ang equation (4) ay maaaring malutas gamit ang Vieta theorem.
Lutasin natin ang mas kumplikadong mga equation.
Gawain 3. Lutasin ang equation 
Desisyon. ODZ: x1, x2.
Magpakilala tayo ng kapalit. Hayaan ang 2x = t, t > 0, pagkatapos, bilang resulta ng mga pagbabagong-anyo, ang equation ay magkakaroon ng anyong t2 + 2t – 13 – a = 0. (*) Hanapin ang mga halaga ng a kung saan kahit isang ugat ng ang equation (*) ay nakakatugon sa kundisyon t > 0.
https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}
https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}
https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}
Sagot: kung a > - 13, a 11, a 5, kung gayon kung a - 13,
a = 11, a = 5, pagkatapos ay walang mga ugat.
Bibliograpiya.
1. Guzeev pundasyon ng teknolohiyang pang-edukasyon.
2. Teknolohiya ng Guzeev: mula sa pagtanggap hanggang sa pilosopiya.
M. "Punong Guro" Blg. 4, 1996
3. Guzeev at organisasyonal na anyo ng edukasyon.
4. Guzeev at ang pagsasagawa ng integral na teknolohiyang pang-edukasyon.
M. "Edukasyon ng mga tao", 2001
5. Guzeev mula sa mga anyo ng aralin - seminar.
Matematika sa paaralan Blg. 2, 1987, pp. 9 - 11.
6. Mga teknolohiyang pang-edukasyon ng Selevko.
M. "Edukasyon ng mga tao", 1998
7. Ang mga mag-aaral sa Episheva ay natututo ng matematika.
M. "Enlightenment", 1990
8. Ivanov upang maghanda ng mga aralin - mga workshop.
Matematika sa Paaralan Blg. 6, 1990, p. 37-40.
9. Smirnov modelo ng pagtuturo ng matematika.
Matematika sa Paaralan Blg. 1, 1997, p. 32-36.
10. Tarasenko paraan ng pag-aayos ng praktikal na gawain.
Mathematics at School No. 1, 1993, p. 27 - 28.
11. Tungkol sa isa sa mga uri ng indibidwal na gawain.
Mathematics at School No. 2, 1994, pp. 63 - 64.
12. Khazankin malikhaing kakayahan ng mga mag-aaral.
Matematika sa Paaralan Blg. 2, 1989, p. sampu.
13. Scanavi. Publisher, 1997
14. et al. Algebra at ang simula ng pagsusuri. Didactic na materyales para sa
15. Mga gawain sa Krivonogov sa matematika.
M. "Una ng Setyembre", 2002
16. Cherkasov. Handbook para sa mga mag-aaral sa high school at
pagpasok sa mga unibersidad. "A S T - press school", 2002
17. Zhevnyak para sa mga aplikante sa mga unibersidad.
Minsk at RF "Repasuhin", 1996
18. Nakasulat D. Paghahanda para sa pagsusulit sa matematika. M. Rolf, 1999
19. at iba pa.Pag-aaral na lutasin ang mga equation at hindi pagkakapantay-pantay.
M. "Intellect - Center", 2003
20. at iba pa. Mga materyales na pang-edukasyon at pagsasanay para sa paghahanda para sa E G E.
M. "Intellect - Center", 2003 at 2004
21 at iba pa. Mga variant ng CMM. Testing Center ng Ministry of Defense ng Russian Federation, 2002, 2003
22. Goldberg equation. "Quantum" No. 3, 1971
23. Volovich M. Paano matagumpay na magturo ng matematika.
Mathematics, 1997 No. 3.
24 Okunev para sa aralin, mga bata! M. Enlightenment, 1988
25. Yakimanskaya - oriented na edukasyon sa paaralan.
26. Nagtatrabaho si Liimets sa aralin. M. Kaalaman, 1975
Sa yugto ng paghahanda para sa huling pagsubok, kailangang pagbutihin ng mga mag-aaral sa high school ang kanilang kaalaman sa paksang "Exponential Equation". Ang karanasan ng mga nakaraang taon ay nagpapahiwatig na ang gayong mga gawain ay nagdudulot ng ilang mga paghihirap para sa mga mag-aaral. Samakatuwid, ang mga mag-aaral sa high school, anuman ang kanilang antas ng paghahanda, ay kailangang maingat na makabisado ang teorya, kabisaduhin ang mga formula at maunawaan ang prinsipyo ng paglutas ng mga naturang equation. Ang pagkakaroon ng natutunan upang makayanan ang ganitong uri ng mga gawain, ang mga nagtapos ay makakaasa sa matataas na marka kapag pumasa sa pagsusulit sa matematika.
Maghanda para sa pagsusulit sa pagsusulit kasama si Shkolkovo!
Kapag inuulit ang mga materyal na sakop, maraming mga mag-aaral ang nahaharap sa problema sa paghahanap ng mga formula na kailangan upang malutas ang mga equation. Ang isang aklat-aralin sa paaralan ay hindi palaging nasa kamay, at ang pagpili ng kinakailangang impormasyon sa isang paksa sa Internet ay tumatagal ng mahabang panahon.
Iniimbitahan ng portal na pang-edukasyon ng Shkolkovo ang mga mag-aaral na gamitin ang aming base ng kaalaman. Nagpapatupad kami ng isang ganap na bagong paraan ng paghahanda para sa huling pagsubok. Ang pag-aaral sa aming site, magagawa mong matukoy ang mga puwang sa kaalaman at bigyang-pansin ang tiyak na mga gawaing nagdudulot ng pinakamalaking paghihirap.
Ang mga guro ng "Shkolkovo" ay nakolekta, na-systematize at ipinakita ang lahat ng materyal na kinakailangan para sa matagumpay na pagpasa ng pagsusulit sa pinakasimple at naa-access na form.
Ang mga pangunahing kahulugan at formula ay ipinakita sa seksyong "Theoretical Reference".
Para sa isang mas mahusay na asimilasyon ng materyal, inirerekomenda namin na sanayin mo ang mga takdang-aralin. Maingat na suriin ang mga halimbawa ng mga exponential equation na may mga solusyon na ipinakita sa pahinang ito upang maunawaan ang algorithm ng pagkalkula. Pagkatapos nito, magpatuloy sa mga gawain sa seksyong "Mga Catalog". Maaari kang magsimula sa pinakamadaling gawain o dumiretso sa paglutas ng mga kumplikadong exponential equation na may ilang hindi alam o . Ang database ng mga pagsasanay sa aming website ay patuloy na pupunan at ina-update.
Ang mga halimbawang iyon na may mga tagapagpahiwatig na nagdulot sa iyo ng mga paghihirap ay maaaring idagdag sa "Mga Paborito". Upang mabilis mong mahanap ang mga ito at talakayin ang solusyon sa guro.
Upang matagumpay na makapasa sa pagsusulit, mag-aral sa portal ng Shkolkovo araw-araw!
Belgorod State University
upuan algebra, teorya ng numero at geometry
Tema ng trabaho: Exponential-power equation at hindi pagkakapantay-pantay.
Graduate work mag-aaral ng Faculty of Physics and Mathematics
Superbisor:
______________________________
Tagasuri: ______________________________
________________________
Belgorod. 2006
| Panimula | 3 | ||
| Paksa ako. | Pagsusuri ng literatura sa paksa ng pananaliksik. | ||
| Paksa II. | Mga function at ang kanilang mga katangian na ginagamit sa paglutas ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay ng exponential-power. | ||
| I.1. | Power function at mga katangian nito. | ||
| I.2. | Ang exponential function at ang mga katangian nito. | ||
| Paksa III. | Solusyon ng mga equation ng exponential-power, algorithm at mga halimbawa. | ||
| Paksa IV. | Paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng exponential-power, plano ng solusyon at mga halimbawa. | ||
| Paksa v. | Karanasan sa pagsasagawa ng mga klase sa mga mag-aaral sa paksang: "Solusyon ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay ng exponential-power." | ||
| v. 1. | Mga materyal sa pagturo. | ||
| v. 2. | Mga gawain para sa malayang solusyon. | ||
| Konklusyon. | Mga konklusyon at alok. | ||
| Bibliograpiya. | |||
| Mga aplikasyon | |||
Panimula.
"... ang kagalakan ng makita at maunawaan ..."
A. Einstein.
Sa gawaing ito, sinubukan kong ihatid ang aking karanasan bilang isang guro ng matematika, upang ihatid, kahit sa ilang lawak, ang aking saloobin sa pagtuturo nito - isang bagay ng tao kung saan ang agham sa matematika, pedagogy, didactics, sikolohiya, at maging ang pilosopiya ay nakakagulat. magkakaugnay.
Nagkaroon ako ng pagkakataon na magtrabaho kasama ang mga bata at nagtapos, kasama ang mga bata na nakatayo sa mga poste ng pag-unlad ng intelektwal: ang mga nakarehistro sa isang psychiatrist at talagang interesado sa matematika
Kinailangan kong lutasin ang maraming mga problema sa pamamaraan. Susubukan kong pag-usapan ang mga nalutas ko. Ngunit higit pa - hindi ito posible, at sa mga tila nalutas, lumitaw ang mga bagong katanungan.
Ngunit ang mas mahalaga kaysa sa mismong karanasan ay ang mga pagninilay at pagdududa ng guro: bakit eksaktong ganito, ang karanasang ito?
At ang tag-araw ay iba na ngayon, at ang pagliko ng edukasyon ay naging mas kawili-wili. "Sa ilalim ng Jupiters" ngayon ay hindi ang paghahanap para sa isang gawa-gawa na pinakamainam na sistema ng pagtuturo ng "lahat at lahat", ngunit ang bata mismo. Ngunit pagkatapos - na may pangangailangan - at ang guro.
Sa kurso ng paaralan ng algebra at simula ng pagsusuri, mga baitang 10 - 11, kapag pumasa sa pagsusulit para sa isang kurso sa high school at sa mga pagsusulit sa pasukan sa mga unibersidad, mayroong mga equation at hindi pagkakapantay-pantay na naglalaman ng hindi alam sa base at exponent - ito ay exponential -power equation at hindi pagkakapantay-pantay.
Ang maliit na pansin ay binabayaran sa kanila sa paaralan, halos walang mga gawain sa paksang ito sa mga aklat-aralin. Gayunpaman, ang pag-master ng pamamaraan para sa paglutas ng mga ito, tila sa akin, ay lubhang kapaki-pakinabang: pinatataas nito ang mga kakayahan sa pag-iisip at malikhain ng mga mag-aaral, ganap na bagong mga abot-tanaw ang nagbubukas sa harap natin. Kapag nilulutas ang mga problema, nakukuha ng mga mag-aaral ang mga unang kasanayan sa gawaing pananaliksik, ang kanilang kultura sa matematika ay pinayaman, at ang kakayahang mag-isip ng lohikal na bubuo. Ang mga mag-aaral ay nagkakaroon ng mga katangian ng personalidad tulad ng pagiging may layunin, pagtatakda ng layunin, kalayaan, na magiging kapaki-pakinabang sa kanila sa susunod na buhay. At mayroon ding pag-uulit, pagpapalawak at malalim na asimilasyon ng materyal na pang-edukasyon.
Sinimulan kong gawin ang paksang ito ng aking thesis research sa pagsulat ng isang term paper. Sa kurso kung saan ko pinag-aralan at sinuri ang matematikal na literatura sa paksang ito nang mas malalim, natukoy ko ang pinakaangkop na pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng exponential-power at hindi pagkakapantay-pantay.
Ito ay nakasalalay sa katotohanan na bilang karagdagan sa pangkalahatang tinatanggap na diskarte kapag nilulutas ang mga equation ng exponential-power (ang base ay kinukuha na mas malaki kaysa sa 0) at kapag nilutas ang parehong mga hindi pagkakapantay-pantay (ang base ay kinuha na mas malaki kaysa sa 1 o mas malaki kaysa sa 0, ngunit mas mababa sa 1), ang mga kaso ay isinasaalang-alang din kapag ang mga base ay negatibo, ay 0 at 1.
Ang isang pagsusuri sa mga nakasulat na papel sa pagsusulit ng mga mag-aaral ay nagpapakita na ang kakulangan ng saklaw ng isyu ng negatibong halaga ng argumento ng exponential-power function sa mga aklat-aralin sa paaralan ay nagdudulot ng ilang mga paghihirap para sa kanila at humahantong sa mga pagkakamali. At mayroon din silang mga problema sa yugto ng systematization ng mga resulta na nakuha, kung saan, dahil sa paglipat sa equation - isang kinahinatnan o hindi pagkakapantay-pantay - isang kinahinatnan, ang mga extraneous na ugat ay maaaring lumitaw. Upang maalis ang mga error, gumagamit kami ng pagsusuri sa orihinal na equation o hindi pagkakapantay-pantay at isang algorithm para sa paglutas ng mga exponential-power equation, o isang plano para sa paglutas ng mga exponential-power inequalities.
Upang matagumpay na makapasa ang mga mag-aaral sa mga panghuling pagsusulit at pasukan, sa palagay ko ay kailangang bigyan ng higit na pansin ang paglutas ng mga equation ng exponential-power at hindi pagkakapantay-pantay sa silid-aralan, o bukod pa sa mga elective at bilog.
Sa gayon paksa , ang aking thesis ay tinukoy bilang mga sumusunod: "Exponential-power equation and inequalities."
Mga layunin ng gawaing ito ay:
1. Suriin ang panitikan sa paksang ito.
2. Magbigay ng kumpletong pagsusuri ng solusyon ng exponential-power equation at inequalities.
3. Magbigay ng sapat na bilang ng mga halimbawa sa paksang ito ng iba't ibang uri.
4. Suriin sa aralin, opsyonal at bilog na mga klase kung paano malalaman ang mga iminungkahing pamamaraan para sa paglutas ng mga exponential-power equation at hindi pagkakapantay-pantay. Magbigay ng mga angkop na rekomendasyon para sa pag-aaral ng paksang ito.
Paksa ang aming pananaliksik ay upang bumuo ng isang pamamaraan para sa paglutas ng mga exponential-power equation at hindi pagkakapantay-pantay.
Ang layunin at paksa ng pag-aaral ay nangangailangan ng solusyon sa mga sumusunod na gawain:
1. Pag-aralan ang literatura sa paksang: "Exponential-power equation and inequalities."
2. Master ang mga paraan ng paglutas ng exponential-power equation at inequalities.
3. Pumili ng materyal sa pagsasanay at bumuo ng isang sistema ng mga pagsasanay sa iba't ibang antas sa paksang: "Paglutas ng mga exponential-power equation at hindi pagkakapantay-pantay."
Sa panahon ng pananaliksik sa diploma, higit sa 20 mga papel ang nasuri, na nakatuon sa aplikasyon ng iba't ibang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng exponential-power at hindi pagkakapantay-pantay. Mula dito nakukuha natin.
Thesis plan:
Panimula.
Kabanata I. Pagsusuri ng literatura sa paksa ng pananaliksik.
Kabanata II. Mga function at ang kanilang mga katangian na ginagamit sa paglutas ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay ng exponential-power.
II.1. Power function at mga katangian nito.
II.2. Ang exponential function at ang mga katangian nito.
Kabanata III. Solusyon ng mga equation ng exponential-power, algorithm at mga halimbawa.
Kabanata IV. Paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng exponential-power, plano ng solusyon at mga halimbawa.
Kabanata V. Karanasan sa pagsasagawa ng mga klase sa mga mag-aaral sa paksang ito.
1. Materyal na pang-edukasyon.
2. Mga gawain para sa malayang solusyon.
Konklusyon. Mga konklusyon at alok.
Listahan ng ginamit na panitikan.
Sinuri ang panitikan sa Kabanata I
Ang araling ito ay inilaan para sa mga nagsisimula pa lamang matuto ng mga exponential equation. Gaya ng nakasanayan, magsimula tayo sa isang kahulugan at mga simpleng halimbawa.
Kung binabasa mo ang araling ito, pinaghihinalaan ko na mayroon ka nang hindi bababa sa kaunting pag-unawa sa pinakasimpleng mga equation - linear at square: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ atbp. Upang malutas ang mga naturang konstruksiyon ay ganap na kinakailangan upang hindi "mag-hang" sa paksang tatalakayin ngayon.
Kaya, ang mga exponential equation. Hayaan akong bigyan ka ng ilang halimbawa:
\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]
Ang ilan sa kanila ay maaaring mukhang mas kumplikado sa iyo, ang ilan sa kanila, sa kabaligtaran, ay masyadong simple. Ngunit lahat ng mga ito ay pinagsama ng isang mahalagang tampok: naglalaman ang mga ito ng exponential function $f\left(x \right)=((a)^(x))$. Kaya, ipinakilala namin ang kahulugan:
Ang exponential equation ay anumang equation na naglalaman ng exponential function, i.e. isang pagpapahayag ng anyong $((a)^(x))$. Bilang karagdagan sa tinukoy na function, ang mga naturang equation ay maaaring maglaman ng anumang iba pang mga algebraic constructions - polynomials, roots, trigonometry, logarithms, atbp.
Sige. Naunawaan ang kahulugan. Ngayon ang tanong ay: kung paano malutas ang lahat ng crap na ito? Ang sagot ay parehong simple at kumplikado sa parehong oras.
Magsimula tayo sa magandang balita: mula sa aking karanasan sa maraming estudyante, masasabi kong para sa karamihan sa kanila, ang mga exponential equation ay mas madali kaysa sa parehong logarithms, at higit pa sa trigonometrya.
Ngunit mayroon ding masamang balita: kung minsan ang mga nagtitipon ng mga problema para sa lahat ng uri ng mga aklat-aralin at pagsusulit ay binibisita ng "inspirasyon", at ang kanilang utak na namumula sa droga ay nagsisimulang gumawa ng mga malupit na equation na nagiging problema hindi lamang para sa mga mag-aaral na lutasin ang mga ito - kahit na maraming mga guro ang naipit sa mga ganitong problema.
Gayunpaman, huwag nating pag-usapan ang mga malungkot na bagay. At bumalik tayo sa tatlong equation na ibinigay sa pinakasimula ng kwento. Subukan nating lutasin ang bawat isa sa kanila.
Unang equation: $((2)^(x))=4$. Buweno, sa anong kapangyarihan dapat itaas ang numero 2 upang makuha ang numero 4? Marahil ang pangalawa? Pagkatapos ng lahat, $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ — at nakuha namin ang tamang pagkakapantay-pantay ng numero, i.e. talaga $x=2$. Well, salamat, cap, ngunit ang equation na ito ay napakasimple na kahit na ang aking pusa ay malulutas ito. :)
Tingnan natin ang sumusunod na equation:
\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]
Ngunit dito ito ay medyo mas mahirap. Alam ng maraming estudyante na ang $((5)^(2))=25$ ay ang multiplication table. Pinaghihinalaan din ng ilan na ang $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ ay mahalagang kahulugan ng mga negatibong exponent (katulad ng formula na $((a)^(-n))= \ frac(1)(((a)^(n)))$).
Sa wakas, ilang pili lamang ang hulaan na ang mga katotohanang ito ay maaaring pagsamahin at ang output ay ang sumusunod na resulta:
\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]
Kaya, ang aming orihinal na equation ay muling isusulat tulad ng sumusunod:
\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]
At ngayon ito ay ganap na nalutas na! Sa kaliwang bahagi ng equation mayroong isang exponential function, sa kanang bahagi ng equation mayroong isang exponential function, walang iba maliban sa kanila kahit saan pa. Samakatuwid, posible na "itapon" ang mga base at hangal na katumbas ng mga tagapagpahiwatig:
Nakuha namin ang pinakasimpleng linear equation na kayang lutasin ng sinumang mag-aaral sa loob lamang ng ilang linya. Okay, sa apat na linya:
\[\begin(align)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(align)\]
Kung hindi mo maintindihan kung ano ang nangyari sa huling apat na linya, siguraduhing bumalik sa paksang "linear equation" at ulitin ito. Dahil kung walang malinaw na asimilasyon ng paksang ito, masyadong maaga para sa iyo na kumuha ng mga exponential equation.
\[((9)^(x))=-3\]
Well, paano ka magdedesisyon? Unang naisip: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, kaya ang orihinal na equation ay maaaring muling isulat nang ganito:
\[((\kaliwa(((3)^(2)) \kanan))^(x))=-3\]
Pagkatapos ay naaalala namin na kapag nagtataas ng isang antas sa isang kapangyarihan, ang mga tagapagpahiwatig ay pinarami:
\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\Rightarrow ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]
\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(align)\]
At para sa ganoong desisyon, nakakakuha tayo ng isang matapat na nararapat na deuce. Para sa amin, na may equanimity ng isang Pokémon, ipinadala ang minus sign sa harap ng tatlo sa kapangyarihan ng tatlong ito. At hindi mo magagawa iyon. At dahil jan. Tingnan ang iba't ibang kapangyarihan ng triple:
\[\begin(matrix) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matrix)\]
Pag-compile ng tablet na ito, hindi ako nag-pervert sa sandaling ginawa ko: Itinuring ko ang mga positibong degree, at negatibo, at kahit na fractional ... well, nasaan ang kahit isang negatibong numero dito? Siya ay hindi! At hindi ito maaaring, dahil ang exponential function na $y=((a)^(x))$, una, palaging kumukuha lamang ng mga positibong halaga (kahit gaano mo i-multiply ang isa o hatiin sa dalawa, ito ay magiging isang positibong numero), at pangalawa, ang base ng naturang function, ang numerong $a$, ay ayon sa kahulugan ay isang positibong numero!
Well, kung gayon paano malutas ang equation na $((9)^(x))=-3$? Hindi, walang mga ugat. At sa ganitong diwa, ang mga exponential equation ay halos kapareho sa mga quadratic - maaaring wala ring mga ugat. Ngunit kung sa quadratic equation ang bilang ng mga ugat ay tinutukoy ng discriminant (ang discriminant ay positibo - 2 ugat, negatibo - walang ugat), kung gayon sa mga exponential equation ang lahat ay nakasalalay sa kung ano ang nasa kanan ng pantay na tanda.
Kaya, binubuo namin ang pangunahing konklusyon: ang pinakasimpleng exponential equation ng form na $((a)^(x))=b$ ay may ugat kung at kung $b>0$ lamang. Alam ang simpleng katotohanang ito, madali mong matukoy kung ang equation na iminungkahi sa iyo ay may mga ugat o wala. Yung. sulit bang lutasin ito o agad na isulat na walang mga ugat.
Ang kaalamang ito ay makakatulong sa atin nang maraming beses kapag kailangan nating lutasin ang mas kumplikadong mga problema. Pansamantala, sapat na lyrics - oras na para pag-aralan ang pangunahing algorithm para sa paglutas ng mga exponential equation.
Paano malutas ang mga exponential equation
Kaya, bumalangkas tayo ng problema. Ito ay kinakailangan upang malutas ang exponential equation:
\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]
Ayon sa "naive" na algorithm na ginamit namin kanina, kinakailangang katawanin ang numerong $b$ bilang kapangyarihan ng numerong $a$:
Bilang karagdagan, kung sa halip na ang variable na $x$ mayroong anumang expression, makakakuha tayo ng isang bagong equation, na maaari nang malutas. Halimbawa:
\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(3))\Rightarrow x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Rightarrow ((3)^(-x))=((3)^(4))\Rightarrow -x=4\Rightarrow x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Rightarrow ((5)^(2x))=((5)^(3))\Rightarrow 2x=3\Rightarrow x=\frac(3)( 2). \\\end(align)\]
At kakatwa, gumagana ang scheme na ito sa halos 90% ng mga kaso. Paano ang iba pang 10% kung gayon? Ang natitirang 10% ay bahagyang "schizophrenic" exponential equation ng form:
\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]
Sa anong kapangyarihan kailangan mong itaas ang 2 upang makakuha ng 3? Sa una? Ngunit hindi: $((2)^(1))=2$ ay hindi sapat. Sa pangalawa? Ni: $((2)^(2))=4$ ay sobra. Ano ngayon?
Marahil ay nahulaan na ng mga maalam na mag-aaral: sa mga ganitong kaso, kapag imposibleng malutas ang "maganda", ang "mabigat na artilerya" ay konektado sa kaso - logarithms. Hayaan mong ipaalala ko sa iyo na gamit ang logarithms, anumang positibong numero ay maaaring katawanin bilang kapangyarihan ng anumang iba pang positibong numero (maliban sa isa):
Tandaan ang formula na ito? Kapag sinabi ko sa aking mga mag-aaral ang tungkol sa logarithm, palagi kitang binabalaan: ang pormula na ito (ito rin ang pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan o, kung gusto mo, ang kahulugan ng logarithm) ay magmumulto sa iyo sa napakatagal na panahon at "lalabas" sa karamihan. mga hindi inaasahang lugar. Well, lumabas siya. Tingnan natin ang aming equation at ang formula na ito:
\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(align) \]
Kung ipagpalagay namin na ang $a=3$ ay ang aming orihinal na numero sa kanan, at ang $b=2$ ay ang pinaka-base ng exponential function kung saan gusto naming bawasan ang kanang bahagi, makukuha namin ang sumusunod:
\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Rightarrow x=( (\log )_(2))3. \\\end(align)\]
Nakakuha kami ng medyo kakaibang sagot: $x=((\log )_(2))3$. Sa ilang iba pang gawain, sa ganoong sagot, marami ang magdududa at magsisimulang mag-double check sa kanilang solusyon: paano kung may pagkakamali sa isang lugar? Nagmamadali akong pasayahin ka: walang error dito, at ang logarithms sa mga ugat ng exponential equation ay isang pangkaraniwang sitwasyon. Kaya masanay ka na. :)
Ngayon malulutas namin sa pamamagitan ng pagkakatulad ang natitirang dalawang equation:
\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Rightarrow ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Rightarrow x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Rightarrow ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Rightarrow 2x=( (\log )_(4))11\Rightarrow x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\end(align)\]
Iyon lang! Sa pamamagitan ng paraan, ang huling sagot ay maaaring maisulat sa ibang paraan:
Kami ang nagpakilala ng multiplier sa argumento ng logarithm. Ngunit walang pumipigil sa amin na idagdag ang salik na ito sa base:
Bukod dito, ang lahat ng tatlong mga pagpipilian ay tama - ang mga ito ay iba't ibang paraan ng pagsulat ng parehong numero. Alin ang pipiliin at isusulat sa desisyong ito ay nasa iyo.
Kaya, natutunan nating lutasin ang anumang exponential equation ng anyong $((a)^(x))=b$, kung saan ang mga numerong $a$ at $b$ ay mahigpit na positibo. Gayunpaman, ang malupit na katotohanan ng ating mundo ay ang gayong mga simpleng gawain ay makakatagpo sa iyo nang napakabihirang. Mas madalas makakatagpo ka ng ganito:
\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09. \\\end(align)\]
Well, paano ka magdedesisyon? Maaari ba itong malutas sa lahat? At kung gayon, paano?
Walang panic. Ang lahat ng mga equation na ito ay mabilis at simpleng nabawasan sa mga simpleng formula na napag-isipan na natin. Kailangan mo lang malaman upang matandaan ang ilang mga trick mula sa kursong algebra. At siyempre, walang mga patakaran para sa pagtatrabaho sa mga degree dito. Pag-uusapan ko ang lahat ng ito ngayon. :)
Pagbabago ng mga exponential equation
Ang unang bagay na dapat tandaan ay ang anumang exponential equation, gaano man ito kakumplikado, ang isang paraan o iba pa ay dapat na bawasan sa pinakasimpleng mga equation - ang mismong mga napag-isipan na natin at alam natin kung paano lutasin. Sa madaling salita, ang scheme para sa paglutas ng anumang exponential equation ay ganito:
- Isulat ang orihinal na equation. Halimbawa: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
- Gumawa ng ilang katangahan. O kahit ilang crap na tinatawag na "ibahin ang anyo ng equation";
- Sa output, kunin ang pinakasimpleng expression tulad ng $((4)^(x))=4$ o iba pang katulad niyan. Bukod dito, ang isang paunang equation ay maaaring magbigay ng ilang ganoong mga expression nang sabay-sabay.
Sa unang punto, ang lahat ay malinaw - kahit na ang aking pusa ay maaaring isulat ang equation sa isang dahon. Sa ikatlong punto, masyadong, tila, ito ay higit pa o hindi gaanong malinaw - nalutas na natin ang isang buong grupo ng mga naturang equation sa itaas.
Ngunit ano ang tungkol sa pangalawang punto? Ano ang mga pagbabago? Ano ang iko-convert sa ano? At kung paano?
Well, pag-isipan natin ito. Una sa lahat, nais kong ituro ang mga sumusunod. Ang lahat ng exponential equation ay nahahati sa dalawang uri:
- Ang equation ay binubuo ng mga exponential function na may parehong base. Halimbawa: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
- Ang formula ay naglalaman ng mga exponential function na may iba't ibang base. Mga halimbawa: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ at $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09$.
Magsimula tayo sa mga equation ng unang uri - ang mga ito ang pinakamadaling lutasin. At sa kanilang solusyon ay tutulungan tayo ng isang pamamaraan tulad ng pagpili ng mga matatag na expression.
Nagha-highlight ng isang matatag na expression
Tingnan natin muli ang equation na ito:
\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]
Ano ang nakikita natin? Ang apat ay itinaas sa iba't ibang antas. Ngunit ang lahat ng kapangyarihang ito ay mga simpleng kabuuan ng variable na $x$ sa iba pang mga numero. Samakatuwid, kinakailangang tandaan ang mga patakaran para sa pagtatrabaho sa mga degree:
\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a )^(y))). \\\end(align)\]
Sa madaling salita, ang pagdaragdag ng mga exponent ay maaaring ma-convert sa isang produkto ng mga kapangyarihan, at ang pagbabawas ay madaling ma-convert sa dibisyon. Subukan nating ilapat ang mga formula na ito sa mga kapangyarihan mula sa ating equation:
\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\end(align)\]
Isinulat namin muli ang orihinal na equation na isinasaalang-alang ang katotohanang ito, at pagkatapos ay kinokolekta namin ang lahat ng mga termino sa kaliwa:
\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -labing-isa; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\end(align)\]
Ang unang apat na termino ay naglalaman ng elementong $((4)^(x))$ — alisin natin ito sa bracket:
\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\end(align)\]
Ito ay nananatiling hatiin ang parehong bahagi ng equation sa pamamagitan ng fraction na $-\frac(11)(4)$, i.e. mahalagang i-multiply sa baligtad na fraction - $-\frac(4)(11)$. Nakukuha namin:
\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\&x=1. \\\end(align)\]
Iyon lang! Binawasan namin ang orihinal na equation sa pinakasimpleng at nakuha ang huling sagot.
Kasabay nito, sa proseso ng paglutas, natuklasan namin (at inalis pa sa bracket) ang karaniwang kadahilanan na $((4)^(x))$ - ito ang matatag na expression. Maaari itong italaga bilang isang bagong variable, o maaari mo lamang itong ipahayag nang tumpak at makakuha ng sagot. Sa anumang kaso, ang pangunahing prinsipyo ng solusyon ay ang mga sumusunod:
Hanapin sa orihinal na equation ang isang stable na expression na naglalaman ng variable na madaling makilala sa lahat ng exponential function.
Ang mabuting balita ay halos lahat ng exponential equation ay umamin ng ganoong matatag na expression.
Ngunit mayroon ding masamang balita: ang gayong mga ekspresyon ay maaaring maging lubhang nakakalito, at maaaring maging mahirap na makilala ang mga ito. Kaya tingnan natin ang isa pang problema:
\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]
Marahil ay may magtatanong na ngayon: “Pasha, binato ka ba? Narito ang iba't ibang mga base - 5 at 0.2. Ngunit subukan nating i-convert ang isang kapangyarihan na may base na 0.2. Halimbawa, alisin natin ang decimal fraction, dalhin ito sa karaniwan:
\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\kaliwa(x+1 \kanan)))=((\kaliwa(\frac(2)(10) ) \kanan))^(-\kaliwa(x+1 \kanan)))=((\kaliwa(\frac(1)(5) \kanan))^(-\kaliwa(x+1 \kanan)) )\]
Tulad ng makikita mo, ang numero 5 ay lumitaw pa rin, kahit na sa denominator. Kasabay nito, muling isinulat ang indicator bilang negatibo. At ngayon naaalala namin ang isa sa pinakamahalagang panuntunan para sa pagtatrabaho sa mga degree:
\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]
Dito, siyempre, dinaya ko ng kaunti. Dahil para sa isang kumpletong pag-unawa, ang pormula para sa pag-alis ng mga negatibong tagapagpahiwatig ay kailangang isulat tulad ng sumusunod:
\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\kaliwa(\frac(1)(a) \kanan))^(n ))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \ kanan))^(x+1))=((5)^(x+1))\]
Sa kabilang banda, walang pumigil sa amin na magtrabaho sa isang bahagi lamang:
\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(((5)^(-1)) \ kanan))^(-\left(x+1 \right)))=((5)^(\left(-1 \right)\cdot \left(-\left(x+1 \right) \right) ))=((5)^(x+1))\]
Ngunit sa kasong ito, kailangan mong mapataas ang isang antas sa isa pang antas (Ipapaalala ko sa iyo: sa kasong ito, ang mga tagapagpahiwatig ay idinagdag). Ngunit hindi ko kailangang "i-flip" ang mga fraction - marahil para sa isang tao ay magiging mas madali ito. :)
Sa anumang kaso, ang orihinal na exponential equation ay muling isusulat bilang:
\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\end(align)\]
Kaya't lumalabas na ang orihinal na equation ay mas madaling malutas kaysa sa naunang isinasaalang-alang: dito hindi mo na kailangang mag-isa ng isang matatag na expression - lahat ay nabawasan nang mag-isa. Nananatili lamang na tandaan na $1=((5)^(0))$, kung saan natin makukuha:
\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\&x+2=0; \\&x=-2. \\\end(align)\]
Iyan ang buong solusyon! Nakuha namin ang huling sagot: $x=-2$. Kasabay nito, nais kong tandaan ang isang trick na lubos na pinasimple ang lahat ng mga kalkulasyon para sa amin:
Sa mga exponential equation, siguraduhing alisin ang mga decimal fraction, isalin ang mga ito sa mga ordinaryong. Papayagan ka nitong makita ang parehong mga base ng mga degree at lubos na pasimplehin ang solusyon.
Ngayon ay lumipat tayo sa mas kumplikadong mga equation kung saan mayroong iba't ibang mga base, na sa pangkalahatan ay hindi mababawasan sa bawat isa gamit ang mga kapangyarihan.
Gamit ang exponent property
Hayaan mong ipaalala ko sa iyo na mayroon tayong dalawa pang partikular na malupit na equation:
\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09. \\\end(align)\]
Ang pangunahing kahirapan dito ay hindi malinaw kung ano at sa anong batayan ang mamumuno. Nasaan ang mga nakapirming expression? Nasaan ang mga karaniwang batayan? Walang ganito.
Ngunit subukan nating pumunta sa ibang paraan. Kung walang yari na magkaparehong base, maaari mong subukang hanapin ang mga ito sa pamamagitan ng pagsasaliksik sa mga magagamit na base.
Magsimula tayo sa unang equation:
\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Rightarrow ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot ((3)^(3x)). \\\end(align)\]
Ngunit pagkatapos ng lahat, maaari mong gawin ang kabaligtaran - gumawa ng numero 21 mula sa mga numero 7 at 3. Ito ay lalong madaling gawin ito sa kaliwa, dahil ang mga tagapagpahiwatig ng parehong mga degree ay pareho:
\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\&x+6=3x; \\& 2x=6; \\&x=3. \\\end(align)\]
Iyon lang! Inalis mo ang exponent sa produkto at agad na nakakuha ng magandang equation na malulutas sa ilang linya.
Ngayon haharapin natin ang pangalawang equation. Narito ang lahat ay mas kumplikado:
\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09\]
\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]
Sa kasong ito, ang mga fraction ay naging hindi mababawasan, ngunit kung ang isang bagay ay maaaring mabawasan, siguraduhing bawasan ito. Madalas itong magreresulta sa mga kawili-wiling batayan na maaari mo nang gawin.
Sa kasamaang palad, wala kaming naisip. Ngunit nakikita namin na ang mga exponent sa kaliwa sa produkto ay kabaligtaran:
Paalalahanan kita: para maalis ang minus sign sa exponent, kailangan mo lang "i-flip" ang fraction. Kaya't muling isulat natin ang orihinal na equation:
\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\end(align)\]
Sa pangalawang linya, na-bracket lang namin ang kabuuan mula sa produkto ayon sa panuntunang $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right ))^ (x))$, at sa huli ay pinarami lang nila ang bilang na 100 sa isang fraction.
Ngayon tandaan na ang mga numero sa kaliwa (sa base) at sa kanan ay medyo magkatulad. paano? Oo, malinaw naman: sila ay mga kapangyarihan ng parehong bilang! Meron kami:
\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \right))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \kanan))^(2)). \\\end(align)\]
Kaya, ang aming equation ay muling isusulat tulad ng sumusunod:
\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right)))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3 )(10) \kanan))^(2))\]
\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right)))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10 )(3) \kanan))^(3\kaliwa(x-1 \kanan)))=((\kaliwa(\frac(10)(3) \kanan))^(3x-3))\]
Kasabay nito, sa kanan, maaari ka ring makakuha ng isang degree na may parehong base, kung saan sapat lamang na "i-flip" ang bahagi:
\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]
Sa wakas, ang aming equation ay kukuha ng anyo:
\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\end(align)\]
Iyan ang buong solusyon. Ang pangunahing ideya nito ay nagmumula sa katotohanan na kahit na may iba't ibang mga kadahilanan, sinusubukan naming bawasan ang mga kadahilanang ito sa parehong dahilan. Dito tayo ay tinutulungan ng mga elementarya na pagbabago ng mga equation at mga patakaran para sa pagtatrabaho sa mga kapangyarihan.
Ngunit anong mga patakaran at kailan gagamitin? Paano maunawaan na sa isang equation kailangan mong hatiin ang magkabilang panig sa isang bagay, at sa isa pa - upang i-factor ang base ng exponential function?
Ang sagot sa tanong na ito ay darating na may karanasan. Subukan ang iyong kamay sa una sa mga simpleng equation, at pagkatapos ay unti-unting gawing kumplikado ang mga gawain - at sa lalong madaling panahon ang iyong mga kasanayan ay magiging sapat upang malutas ang anumang exponential equation mula sa parehong PAGGAMIT o anumang independiyenteng / pagsubok na trabaho.
At upang matulungan ka sa mahirap na gawaing ito, iminumungkahi kong mag-download ng isang hanay ng mga equation sa aking website para sa isang malayang solusyon. Ang lahat ng mga equation ay may mga sagot, kaya maaari mong palaging suriin ang iyong sarili.
Sa araling ito, isasaalang-alang natin ang solusyon ng mas kumplikadong mga exponential equation, alalahanin ang mga pangunahing probisyon ng teoretikal tungkol sa exponential function.
1. Kahulugan at katangian ng isang exponential function, isang pamamaraan para sa paglutas ng pinakasimpleng exponential equation
Alalahanin ang kahulugan at pangunahing katangian ng isang exponential function. Ito ay sa mga katangian na ang solusyon ng lahat ng exponential equation at hindi pagkakapantay-pantay ay nakabatay.
Exponential function ay isang function ng form , kung saan ang base ay ang degree at Narito ang x ay isang independent variable, isang argument; y - dependent variable, function.
kanin. 1. Graph ng exponential function
Ang graph ay nagpapakita ng pagtaas at pagbaba ng exponent, na naglalarawan ng exponential function sa isang base na mas malaki sa isa at mas mababa sa isa, ngunit mas malaki sa zero, ayon sa pagkakabanggit.
Ang parehong mga kurba ay dumadaan sa punto (0;1)
Mga katangian ng exponential function:
Domain: ;
Saklaw ng mga halaga: ;
Ang function ay monotonic, tumataas bilang , bumababa bilang .
Ang isang monotonikong function ay tumatagal ng bawat isa sa mga halaga nito na may isang solong halaga ng argumento.
Kapag ang argument ay tumaas mula minus hanggang plus infinity, ang function ay tataas mula sa zero, inclusive, hanggang plus infinity. Sa kabaligtaran, kapag tumaas ang argumento mula minus hanggang plus infinity, bumababa ang function mula sa infinity hanggang zero, inclusive.
2. Solusyon ng mga tipikal na exponential equation
Alalahanin kung paano lutasin ang pinakasimpleng mga exponential equation. Ang kanilang solusyon ay batay sa monotonicity ng exponential function. Halos lahat ng mga kumplikadong exponential equation ay binabawasan sa mga naturang equation.
Ang pagkakapantay-pantay ng mga exponent na may pantay na base ay dahil sa pag-aari ng exponential function, lalo na ang monotonicity nito.
Paraan ng Solusyon:
I-equalize ang mga base ng mga degree;
Ipantay ang mga exponent.
Lumipat tayo sa mas kumplikadong mga exponential equation, ang layunin natin ay bawasan ang bawat isa sa kanila sa pinakasimpleng.
Tanggalin natin ang ugat sa kaliwang bahagi at bawasan ang mga degree sa parehong base:
Upang mabawasan ang isang kumplikadong exponential equation sa isang simple, isang pagbabago ng mga variable ay madalas na ginagamit.
Gamitin natin ang degree property:
Nagpakilala kami ng kapalit. Hayaan mo na 
I-multiply namin ang nagresultang equation sa dalawa at ilipat ang lahat ng mga termino sa kaliwang bahagi:
Ang unang ugat ay hindi nakakatugon sa pagitan ng mga halaga ng y, itinatapon namin ito. Nakukuha namin:
Dalhin natin ang mga degree sa parehong indicator:
Ipinakilala namin ang isang kapalit:
Hayaan mo na 
. Sa pagpapalit na ito, kitang-kita na ang y ay kumukuha ng mahigpit na mga positibong halaga. Nakukuha namin:
Alam namin kung paano lutasin ang mga katulad na quadratic equation, isinulat namin ang sagot:
Upang matiyak na ang mga ugat ay matatagpuan nang tama, maaari mong suriin ayon sa Vieta theorem, iyon ay, hanapin ang kabuuan ng mga ugat at ang kanilang produkto at suriin sa kaukulang coefficient ng equation.
Nakukuha namin:
3. Pamamaraan para sa paglutas ng mga homogenous exponential equation ng pangalawang degree
Pag-aralan natin ang sumusunod na mahalagang uri ng mga exponential equation:
Ang mga equation ng ganitong uri ay tinatawag na homogenous ng pangalawang degree na may paggalang sa mga function f at g. Sa kaliwang bahagi nito ay mayroong isang parisukat na trinomial na may paggalang sa f na may parameter na g o isang parisukat na trinomial na may paggalang sa g na may parameter na f.
Paraan ng Solusyon:
Ang equation na ito ay maaaring malutas bilang isang quadratic, ngunit mas madaling gawin ito sa kabaligtaran. Dalawang kaso ang dapat isaalang-alang:
Sa unang kaso, nakukuha namin
Sa pangalawang kaso, may karapatan tayong hatiin ayon sa pinakamataas na antas at makuha natin ang:
Dapat kang magpakilala ng pagbabago ng mga variable , nakakakuha kami ng quadratic equation para sa y:
Tandaan na ang mga function na f at g ay maaaring maging arbitrary, ngunit kami ay interesado sa kaso kung ang mga ito ay exponential function.
4. Mga halimbawa ng paglutas ng mga homogenous na equation
Ilipat natin ang lahat ng termino sa kaliwang bahagi ng equation:
Dahil ang mga exponential function ay nakakuha ng mahigpit na positibong mga halaga, may karapatan kaming agad na hatiin ang equation sa pamamagitan ng , nang hindi isinasaalang-alang ang kaso kapag:
Nakukuha namin:
Ipinakilala namin ang isang kapalit: 
(ayon sa mga katangian ng exponential function)
Nakakuha kami ng isang quadratic equation:
Tinutukoy namin ang mga ugat ayon sa Vieta theorem:
Ang unang ugat ay hindi nakakatugon sa pagitan ng mga halaga ng y, itinatapon namin ito, nakukuha namin:
Gamitin natin ang mga katangian ng degree at bawasan ang lahat ng degree sa mga simpleng base:
Madaling mapansin ang mga function f at g:
Dahil ang mga exponential function ay nakakuha ng mahigpit na positibong mga halaga, mayroon kaming karapatan na agad na hatiin ang equation sa pamamagitan ng , nang hindi isinasaalang-alang ang kaso kung kailan .
