sumusunod:

1) gumuhit ng graph f(x) sa isang pagitan ng hindi bababa sa dalawang yugto ang haba, upang ipakita na ang ibinigay na function ay pana-panahon;

2) gumuhit ng graph S(x) katulad, upang ito ay makita sa kung anong mga punto f(x)¹S(x);

3) kalkulahin ang Fourier coefficients at isulat ang Fourier series.

Mga gawain

№1. Palawakin sa isang Fourier Series

Desisyon. pansinin mo yan f(x) ibinigay sa pagitan ng haba T=4. kasi f(x) ay ipinapalagay na panaka-nakang, kung gayon ang numerong ito ang panahon nito, pagkatapos - l = 2.

1) Graph f(x):

2) Graph S(x):

Ang mga arrow sa dulo ng mga linya ay nagpapakita na ang function ay hindi kumukuha sa mga dulo ng pagitan ng halaga na tinutukoy mula sa expression na ibinigay sa pagitan. Kapag naghahambing ng mga graph f(x) at S(x) malinaw na nakikita na sa mga discontinuity point f(x)¹S(x).

3) Kalkulahin ang Fourier coefficients. Magagawa ito gamit ang mga formula (3*): ; ; . Eksakto: ; kaya,

Pagkabulok f(x) sa isang seryeng Fourier ay may anyo:

Pangungusap . 1) Kapag nagsasama sa [-1;3] ang seksyong ito ay nahahati sa at , dahil sa mga segment na ito f(x) nakatakda sa iba't ibang halaga.

2) Kapag kinakalkula ang mga coefficient, ginamit ang mga integral: at , kung saan a = const.

№2 . Palawakin sa isang Fourier Series

Desisyon. Dito T=2, l = 1.

Ang seryeng Fourier ay may anyo: , kung saan ; ; , dahil l = 1.

1) Graph f(x):

2) Graph S(x):

№3. Palawakin sa isang seryeng Fourier sa mga tuntunin ng mga sine

Desisyon. Tandaan na ang mga kakaibang function lamang ang pinalawak sa seryeng Fourier sa mga tuntunin ng mga sine. kasi f(x) tinukoy lamang para sa x > 0, xн(0;2)И(2;3), pagkatapos ay nangangahulugan ito na sa simetriko agwat (-3;-2)È(-2;0) f(x) dapat ipagpatuloy sa paraang ang pagkakapantay-pantay f(-x) = -f(x). Samakatuwid, ang haba ng pagitan kung saan f(x) ibinigay bilang isang kakaibang function, katumbas ng 6. Samakatuwid T = 6, l = 3. Fourier series para sa f(x) ay may anyo: , kung saan , n = 1, 2, 3, (ayon sa mga formula (5")).

1) Graph f(x).

Upang gumuhit ng isang graph f(x) bilang isang kakaibang function, gumuhit muna kami ng graph sa (0;2)È(2;3), at pagkatapos ay samantalahin ang katotohanan na ang graph ng isang kakaibang function ay simetriko na may paggalang sa pinagmulan. Mula sa mga pagsasaalang-alang na ito, nakukuha namin ang graph f(x) sa (-3;-2)È(-2;0). Pagkatapos ay nagpatuloy kami f(x) T=6.

2) Graph S(x).

Iskedyul S(x) iba sa tsart f(x) sa mga break point ng function f(x). Halimbawa, sa t. x = 2f(x) hindi tinukoy, ngunit S(x) mayroon sa x=2 isang halaga na katumbas ng kalahati ng kabuuan ng mga one-sided na limitasyon ng function f(x), eksakto: , saan , .

Kaya, pagkatapos ay ang agnas f(x) sa isang seryeng Fourier ay may anyo: .

№4 . Palawakin sa isang seryeng Fourier sa mga cosine.

Desisyon. Tandaan na kahit na mga function lamang ang maaaring palawakin sa seryeng Fourier sa mga cosine. kasi f(x) itinakda para lamang sa x>0, xн(0;2)И(2;3], pagkatapos ito ay nangangahulugan na sa simetriko agwat [-3;-2)È(-2;0) f(x) kailangan nating magpatuloy sa paraang taglay ang pagkakapantay-pantay: f(-x) = f(x). Samakatuwid, ang haba ng pagitan kung saan f(x) ibinigay bilang isang kahit na function ay katumbas ng 6, pagkatapos T = 6, l = 3. Ang seryeng Fourier sa kasong ito ay may anyo:

saan ; ; n=1,2,...(ayon sa mga formula (4")).

1) Graph f(x).

Upang gumuhit ng isang graph f(x) bilang pantay na function, gumuhit muna kami ng graph f(x) sa (0;2)È(2;3], at pagkatapos ay samantalahin ang katotohanan na ang graph ng pantay na function ay simetriko tungkol sa y-axis. Mula sa mga pagsasaalang-alang na ito, nakukuha namin ang graph f(x) sa [-3;-2)È(-2;0). Pagkatapos ay nagpatuloy kami f(x) sa buong linya ng numero bilang isang periodic function na may period T=6.

Narito ang tsart f(x) iginuhit sa dalawang buong panahon ng function.

2) Graph S(x).

Iskedyul S(x) iba sa tsart f(x) sa mga break point ng function f(x). Halimbawa, sa t. x = 0 f(x) hindi tinukoy, ngunit S(x) ay may kahulugan: , kaya ang graph S(x) ay hindi nagambala sa x=0, sa kaibahan sa graph f(x).

Pagkabulok f(x) sa isang seryeng Fourier sa mga cosine ay may anyo: .

№5. Palawakin sa isang Fourier Series f(x) = |x|, xн(-2;2)..

Desisyon. Sa kondisyon, f(x) ay isang pantay na function sa (-2;2) ; mga. ang Fourier series nito ay naglalaman lamang ng mga cosine, habang T = 4, l = 2, ,

saan ; ; n = 1, 2,

1) Graph f(x):

2) Graph S(x):

3), dahil |x| = x para sa x > 0.; .

Tapos yung decomposition f(x) sa isang seryeng Fourier ay may anyo: . Tandaan na kapag nagsasama ng mga expression o , ang formula ng integration-by-parts ay ginagamit: , kung saan u=x; dv = cos(ax)dx o dv = sin(ax)dx.

№6. Palawakin ang function sa isang Fourier series: a) sa pagitan (-?,?); b) sa pagitan (0, 2?); c) sa pagitan (0, ?) sa isang serye ng mga sine.

Desisyon. a) Graph ng isang function na may 2? - ang pana-panahong pagpapatuloy ay may anyo

Ang pag-andar ay nakakatugon sa mga kondisyon ng Dirichlet theorem at samakatuwid ay maaari itong palawakin sa isang seryeng Fourier.

Kalkulahin natin ang Fourier coefficients. Dahil pantay ang function, bn = 0 (n = 0, 1, 2,…) at (n = 0, 1, 2,…).

Upang kalkulahin ang integral na ito, ginagamit ang formula para sa pagsasama ng mga bahagi sa isang tiyak na integral. Nakukuha namin

Ang seryeng Fourier ng function na ito ay may anyo. Sa bisa ng Dirichlet test, kinakatawan ng seryeng ito ang function x2 sa pagitan (-?,?).

b) Ang pagitan (0, 2?) ay hindi simetriko sa pinagmulan, at ang haba nito ay 2 l= 2?. Kinakalkula namin ang Fourier coefficients gamit ang mga formula:

Samakatuwid, ang seryeng Fourier ay may anyo . Sa bisa ng Dirichlet theorem, ang serye ay nagtatagpo sa isang generating function sa mga puntos na x?(0,2?), at sa mga puntos na 0 at 2? upang pahalagahan. Kamukha ng series sum graph

c) Ang function na pinalawak sa isang serye sa mga tuntunin ng mga sine ay dapat na kakaiba. Samakatuwid, pinalawak namin ang ibinigay na function na x2 sa (-π,π) sa isang kakaibang paraan, i.e. isaalang-alang ang function. Para sa function na ito f(x) mayroon kaming isang = 0 (n = 0, 1, 2,…) at

Ang nais na pagpapalawak ay may anyo.

Kamukha ng series sum graph

Tandaan na sa mga puntong x = (-π, π) ang serye ng Fourier ay nagtatagpo sa zero.

№7 Palawakin sa isang serye ng Fourier ang isang function na ibinigay nang graphical:

Desisyon . Nakukuha namin ang isang tahasang pagpapahayag para sa f(x). Ang graph ng function ay isang tuwid na linya, ginagamit namin ang equation ng isang tuwid na linya sa form. Tulad ng makikita mula sa pagguhit, i.e. f(x) = x - 1 (-1< x < 1) и период Т = 2.

Ang function na ito ay nakakatugon sa mga kondisyon ng Dirichlet test, kaya lumalawak ito sa isang seryeng Fourier. Kalkulahin natin ang Fourier coefficients ( l = 1):

; (n = 1, 2,…);

Ang seryeng Fourier para sa function na f(x) ay may anyo

Kinakatawan nito ang function na f(x) sa -1< x < 1, а в точках х0 = -1 и х0 = 1 ряд сходится к -1.

№8. Palawakin ang function sa isang trigonometric Fourier series sa isang segment at ipahiwatig ang function kung saan ang resultang serye ay nagtatagpo.

Desisyon. Gumuhit ng graph ng isang function, na ipagpatuloy ito sa pana-panahon na may tuldok o sa buong axis. Ang patuloy na pag-andar ay may panahon.

Suriin ang mga kondisyon para sa sapat na mga kondisyon para sa convergence ng seryeng Fourier (Dini-Lipschitz, Jordan, Dirichlet).

Ang function ay piecewise monotonic sa segment : ito ay tumataas sa at sa . Sa mga punto, ang function ay may mga discontinuities ng unang uri.

Alamin kung ang isang function ay even o odd: Ang function ay hindi even o odd.

a) kung ang function ay nakatakda sa

b) kung ang function ay nakatakda sa

Buuin ang Fourier series ng function: .

Tukuyin ang function kung saan ang seryeng ito ay magsasama-sama, gamit ang pointwise convergence na pamantayan: Ayon sa Dirichlet criterion, ang Fourier series ng function ay nagtatagpo sa kabuuan:

№9. Palawakin ang function sa isang seryeng Fourier sa mga tuntunin ng mga sine sa at gamitin ang pagpapalawak na ito upang mahanap ang kabuuan ng serye ng numero.

Desisyon. Ipagpatuloy ang function sa isang kahit na (kakaibang) paraan sa (- p,0) o (- l,0), at pagkatapos ay pana-panahon na may panahon 2 p o 2 l ipagpatuloy ang pag-andar sa buong axis.

Ipinagpapatuloy namin ang function sa isang kakaibang paraan sa , at pagkatapos ay pana-panahon, na may tuldok , ipinagpapatuloy namin ito sa buong axis.

Gumuhit ng periodic continuation graph. Makakakuha kami ng isang function ng form:

Suriin ang mga kondisyon para sa sapat na mga kondisyon para sa convergence ng seryeng Fourier (Dini-Lipitz, Jordan, Dirichlet).

Ang function ay piecewise constant sa interval : ito ay katumbas ng -1 on at 1 on . Sa mga punto, ang function ay may mga discontinuities ng unang uri.

Kalkulahin ang Fourier coefficients:

Ang mga Fourier coefficient nito ay kinakalkula ng mga formula:

Bumuo ng Fourier series ng function. .

Tukuyin ang function kung saan magsasama-sama ang seryeng ito, gamit ang pointwise convergence na pamantayan.

Ayon sa Dirichlet test, ang Fourier series ng function ay nagtatagpo sa kabuuan:

Samakatuwid, kapag

Ang pagpapalit sa mga halaga, ipahiwatig ang kabuuan ng ibinigay na serye ng numero.

Sa pag-aakala sa resultang agnas, makikita natin,

saan, mula noong , .

№10. Isulat ang pagkakapantay-pantay ng Parseval para sa function , at, batay sa pagkakapantay-pantay na ito, hanapin ang kabuuan ng serye ng numero .

Desisyon. Tukuyin kung ang ibinigay na function ay isang square integrable function sa .

Ang pag-andar ay tuloy-tuloy at, samakatuwid, maisasama sa . Para sa parehong dahilan, ang parisukat nito ay pinagsama sa .

Kalkulahin ang Fourier coefficients gamit ang mga formula:

Dahil ito ay isang kakaibang function, ang Fourier coefficients nito ay kinakalkula ng mga formula:

Kalkulahin ang integral .

Isulat ang Parseval formula:

Kaya, ang Parseval formula ay may anyo

Matapos maisagawa, kung kinakailangan, ang mga pagpapatakbo ng aritmetika sa kanan at kaliwang bahagi, makuha ang kabuuan ng ibinigay na serye ng numero.

Ang paghahati sa parehong bahagi ng nagresultang pagkakapantay-pantay ng 144, makikita natin ang: .

№11. Hanapin ang Fourier Integral ng isang Function

at buuin ang graph nito.

Desisyon. I-plot ang function.

Suriin ang katuparan ng mga kondisyon ng sapat na mga kondisyon para sa convergence ng Fourier integral (Dini, Dirichlet-Jordan o mga kahihinatnan mula sa kanila).

Ang function ay ganap na maisasama sa pagitan, tuloy-tuloy para sa at , at may discontinuity ng unang uri sa isang punto. Dagdag pa, ang para sa at ang function ay may hangganang hinalaw, at sa zero ay may hangganang kanan at kaliwang derivatives. Alamin kung ang function ay pantay o kakaiba. Ang function ay hindi kahit na o kakaiba. ; .

Kaya, o,

Fourier na serye ng mga periodic function na may period 2π.

Binibigyang-daan ka ng seryeng Fourier na pag-aralan ang mga pana-panahong pag-andar sa pamamagitan ng pag-decompose sa mga ito sa mga bahagi. Ang mga alternating current at voltages, displacements, speed at acceleration ng crank mechanisms, at acoustic waves ay mga tipikal na praktikal na aplikasyon ng periodic functions sa mga kalkulasyon ng engineering.

Ang pagpapalawak ng serye ng Fourier ay batay sa pagpapalagay na ang lahat ng mga function na may praktikal na kahalagahan sa pagitan -π ≤ x ≤ π ay maaaring ipahayag bilang convergent trigonometric series (ang isang serye ay itinuturing na convergent kung ang sequence ng mga partial sums na binubuo ng mga termino nito ay nagtatagpo) :

Karaniwang (=usual) na notasyon sa pamamagitan ng kabuuan ng sinx at cosx

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,

kung saan ang a o , a 1 ,a 2 ,...,b 1 ,b 2 ,.. ay tunay na mga pare-pareho, i.e.

Kung saan, para sa hanay mula -π hanggang π, ang mga coefficient ng seryeng Fourier ay kinakalkula ng mga formula:

Ang mga coefficient na a o ,a n at b n ay tinatawag Fourier coefficients, at kung mahahanap ang mga ito, tatawagin ang serye (1). malapit sa Fourier, naaayon sa function na f(x). Para sa serye (1), ang termino (a 1 cosx+b 1 sinx) ay tinatawag na una o pangunahing harmonica,

Ang isa pang paraan upang magsulat ng isang serye ay ang paggamit ng ugnayang acosx+bsinx=csin(x+α)

f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)

Kung saan ang a o ay pare-pareho, c 1 \u003d (a 1 2 +b 1 2) 1/2, c n \u003d (a n 2 +b n 2) 1/2 ay ang mga amplitude ng iba't ibang bahagi, at katumbas ng isang n \ u003d arctg a n /b n.

Para sa serye (1), ang termino (a 1 cosx + b 1 sinx) o c 1 sin (x + α 1) ay tinatawag na una o pangunahing harmonica,(a 2 cos2x+b 2 sin2x) o c 2 sin(2x+α 2) ay tinatawag pangalawang harmonic atbp.

Upang tumpak na kumatawan sa isang kumplikadong signal, karaniwang kinakailangan ang isang walang katapusang bilang ng mga termino. Gayunpaman, sa maraming praktikal na mga problema sapat na upang isaalang-alang lamang ang mga unang ilang termino.

Fourier series ng non-periodic functions na may period 2π.

Pagpapalawak ng mga non-periodic na function sa isang Fourier series.

Kung ang function na f(x) ay hindi pana-panahon, hindi ito maaaring palawakin sa isang seryeng Fourier para sa lahat ng mga halaga ng x. Gayunpaman, posibleng tumukoy ng seryeng Fourier na kumakatawan sa isang function sa anumang saklaw ng lapad na 2π.

Dahil sa isang non-periodic function, ang isa ay maaaring bumuo ng isang bagong function sa pamamagitan ng pagpili ng mga f(x) na halaga sa loob ng isang tiyak na hanay at pag-uulit ng mga ito sa labas ng hanay na ito sa 2π na mga pagitan. Dahil ang bagong function ay panaka-nakang may panahon na 2π, maaari itong palawakin sa isang seryeng Fourier para sa lahat ng mga halaga ng x. Halimbawa, ang function na f(x)=x ay hindi pana-panahon. Gayunpaman, kung ito ay kinakailangan upang palawakin ito sa isang seryeng Fourier sa pagitan mula 0 hanggang 2π, pagkatapos ay isang periodic function na may isang panahon ng 2π ay itinayo sa labas ng pagitan na ito (tulad ng ipinapakita sa figure sa ibaba).

Para sa mga non-periodic function tulad ng f(x)=x, ang kabuuan ng Fourier series ay katumbas ng halaga ng f(x) sa lahat ng puntos sa ibinigay na range, ngunit hindi ito katumbas ng f(x) para sa mga puntos sa labas ng saklaw. Upang mahanap ang serye ng Fourier ng isang non-periodic function sa hanay na 2π, ang parehong formula ng Fourier coefficients ay ginagamit.

Kahit at kakaibang mga function.

Sabi nila ang function na y=f(x) kahit kung f(-x)=f(x) para sa lahat ng value ng x. Ang mga graph ng kahit na mga function ay palaging simetriko tungkol sa y-axis (iyon ay, ang mga ito ay nakasalamin). Dalawang halimbawa ng even functions: y=x 2 at y=cosx.

Sinasabi nila na ang function na y=f(x) kakaiba, kung f(-x)=-f(x) para sa lahat ng value ng x. Ang mga graph ng mga kakaibang function ay palaging simetriko tungkol sa pinagmulan.

Maraming mga function ay hindi kahit na o kakaiba.

Pagpapalawak ng serye ng Fourier sa mga cosine.

Ang Fourier series ng even periodic function f(x) na may period 2π ay naglalaman lamang ng mga cosine terms (ibig sabihin, hindi naglalaman ng sine terms) at maaaring may kasamang constant term. Kaya naman,

nasaan ang mga coefficient ng seryeng Fourier,

Ang serye ng Fourier ng isang kakaibang periodic function na f(x) na may tuldok 2π ay naglalaman lamang ng mga terminong may mga sinus (ibig sabihin, hindi naglalaman ng mga terminong may mga cosine).

Kaya naman,

nasaan ang mga coefficient ng seryeng Fourier,

Fourier series sa isang kalahating cycle.

Kung ang isang function ay tinukoy sa isang hanay, sabihin nating 0 hanggang π, at hindi lamang 0 hanggang 2π, maaari itong palawakin sa isang serye lamang sa mga tuntunin ng mga sine o sa mga tuntunin lamang ng mga cosine. Ang nagresultang seryeng Fourier ay tinatawag malapit sa Fourier sa kalahating ikot.

Kung gusto mong makakuha ng decomposition Fourier sa isang kalahating cycle sa mga cosine function na f(x) sa hanay mula 0 hanggang π, pagkatapos ay kinakailangan na bumuo ng kahit na periodic function. Sa fig. sa ibaba ay ang function na f(x)=x na binuo sa pagitan mula x=0 hanggang x=π. Dahil ang even function ay simetriko tungkol sa f(x) axis, iginuhit namin ang linyang AB, tulad ng ipinapakita sa Fig. sa ibaba. Kung ipagpalagay natin na sa labas ng isinasaalang-alang na pagitan, ang nagreresultang triangular na hugis ay panaka-nakang may tuldok na 2π, kung gayon ang panghuling graph ay mayroong anyo, na ipinapakita. sa fig. sa ibaba. Dahil kinakailangan na makuha ang Fourier expansion sa mga cosine, tulad ng dati, kinakalkula namin ang Fourier coefficients a o at a n

Kung nais mong makakuha ng mga function na f (x) sa hanay mula 0 hanggang π, pagkatapos ay kailangan mong bumuo ng isang kakaibang periodic function. Sa fig. sa ibaba ay ang function na f(x)=x na binuo sa pagitan mula x=0 hanggang x=π. Dahil ang kakaibang pag-andar ay simetriko na may paggalang sa pinanggalingan, binubuo namin ang linya ng CD, tulad ng ipinapakita sa Fig. Kung ipagpalagay natin na sa labas ng isinasaalang-alang na agwat, ang natanggap na signal ng sawtooth ay panaka-nakang may panahon na 2π, kung gayon ang panghuling graph ay may form na ipinapakita sa Fig. Dahil kinakailangan upang makuha ang Fourier expansion sa isang kalahating cycle sa mga tuntunin ng mga sine, tulad ng dati, kinakalkula namin ang Fourier coefficient. b

Fourier series para sa arbitrary na pagitan.

Pagpapalawak ng periodic function na may period L.

Ang periodic function na f(x) ay umuulit habang ang x ay tumataas ng L, i.e. f(x+L)=f(x). Ang paglipat mula sa naunang itinuturing na mga function na may panahon 2π sa mga function na may panahon L ay medyo simple, dahil maaari itong gawin gamit ang isang pagbabago ng variable.

Upang mahanap ang serye ng Fourier ng function na f(x) sa hanay -L/2≤x≤L/2, ipinakilala namin ang isang bagong variable na u upang ang function na f(x) ay may panahon na 2π na may kinalaman sa u. Kung u=2πx/L, kung gayon ang x=-L/2 para sa u=-π at x=L/2 para sa u=π. Hayaan din ang f(x)=f(Lu/2π)=F(u). Ang seryeng Fourier F(u) ay may anyo

Nasaan ang mga coefficient ng seryeng Fourier,

Gayunpaman, mas madalas, ang formula sa itaas ay humahantong sa pag-asa sa x. Dahil u=2πх/L, du=(2π/L)dx, at ang mga limitasyon ng pagsasama ay mula -L/2 hanggang L/2 sa halip na -π hanggang π. Samakatuwid, ang seryeng Fourier para sa pagtitiwala sa x ay may anyo

kung saan sa hanay mula -L/2 hanggang L/2 ay ang mga coefficient ng seryeng Fourier,

(Maaaring palitan ang mga limitasyon sa pagsasama ng anumang pagitan ng haba L, halimbawa, mula 0 hanggang L)

Fourier series sa kalahating cycle para sa mga function na ibinigay sa interval L≠2π.

Para sa pagpapalit na u=πx/L, ang pagitan mula x=0 hanggang x=L ay tumutugma sa pagitan mula u=0 hanggang u=π. Samakatuwid, ang function ay maaaring palawakin sa isang serye lamang sa mga tuntunin ng mga cosine o lamang sa mga tuntunin ng mga sine, i.e. sa Fourier series sa kalahating cycle.

Ang pagpapalawak sa mga cosine sa hanay mula 0 hanggang L ay may anyo

Malapit sa Fourier Ang mga function na f (x) sa pagitan (-π; π) ay tinatawag na trigonometric series ng form:
, saan

Ang Fourier series ng function na f (x) sa interval (-l; l) ay tinatawag na trigonometric series ng form:
, saan

appointment. Ang online na calculator ay idinisenyo upang palawakin ang function na f(x) sa isang seryeng Fourier.

Para sa mga modulo function (hal. |x|), gamitin pagpapalawak ng cosine.

Mga panuntunan sa pagpasok ng function:

Para sa mga modulo function, gamitin ang cosine expansion. Halimbawa, para sa |x| ito ay kinakailangan upang ipakilala ang isang function na walang isang module, i.e. x .

Fourier series piecewise-continuous, piecewise-monotone at bounded sa pagitan (- l;l) ng function ay nagtatagpo sa buong tunay na axis.

Ang kabuuan ng seryeng Fourier S(x):

• ay isang periodic function na may period 2 l. Ang isang function na u(x) ay tinatawag na periodic na may period T (o T-periodic) kung para sa lahat ng x ng domain R, u(x+T)=u(x).
• sa pagitan (- l;l) kasabay ng function f(x), maliban sa mga break point
• sa mga discontinuity point (sa unang uri, dahil limitado ang function) ng function f(x) at kumukuha ng mga average na halaga sa mga dulo ng agwat:

.
Sinasabi nila na ang pagpapaandar ay lumalawak sa isang seryeng Fourier sa pagitan (- l;l): .

Kung ang f(x) ay isang pantay na pag-andar, kung gayon ang kahit na mga pag-andar lamang ang lumahok sa pagpapalawak nito, iyon ay, b n=0.
Kung ang f(x) ay isang kakaibang function, kung gayon ang mga kakaibang function lamang ang lumahok sa pagpapalawak nito, iyon ay, isang n=0

Malapit sa Fourier mga function f(x) sa pagitan (0; l) sa pamamagitan ng mga cosine ng maramihang mga arko ang hilera ay tinatawag na:
, saan
.
Malapit sa Fourier mga function f(x) sa pagitan (0; l) sa pamamagitan ng mga sine ng maramihang mga arko ang hilera ay tinatawag na:
, saan .
Ang kabuuan ng seryeng Fourier sa mga cosine ng maraming arko ay isang pantay na periodic function na may period 2 l, kasabay ng f(x) sa pagitan (0; l) sa mga punto ng pagpapatuloy.
Ang kabuuan ng seryeng Fourier sa mga sinus ng maraming arko ay isang kakaibang periodic function na may panahon na 2 l, kasabay ng f(x) sa pagitan (0; l) sa mga punto ng pagpapatuloy.
Ang serye ng Fourier para sa isang naibigay na function sa isang naibigay na agwat ay may pag-aari ng pagiging natatangi, iyon ay, kung ang pagpapalawak ay nakuha sa anumang iba pang paraan kaysa sa paggamit ng mga formula, halimbawa, sa pamamagitan ng pagpili ng mga coefficient, kung gayon ang mga coefficient na ito ay tumutugma sa mga kinakalkula ng mga formula. .

Halimbawa #1. Palawakin ang function na f(x)=1:
a) sa isang kumpletong serye ng Fourier sa pagitan(-π ;π);
b) sa isang serye kasama ang mga sine ng maramihang mga arko sa pagitan(0;π); i-plot ang resultang Fourier series
Desisyon:
a) Ang pagpapalawak sa seryeng Fourier sa pagitan (-π; π) ay may anyo:
,
at lahat ng mga coefficient b n=0, dahil ang function na ito ay pantay; kaya,

Malinaw, ang pagkakapantay-pantay ay masisiyahan kung tayo ay kukuha
a 0 =2, a 1 =a 2 =a 3 =…=0
Sa pamamagitan ng katangian ng pagiging natatangi, ito ang mga nais na koepisyent. Kaya, ang kinakailangang pagpapalawak ay: o 1=1 lang.
Sa kasong ito, kapag ang serye ay magkapareho sa function nito, ang graph ng Fourier series ay tumutugma sa graph ng function sa buong totoong linya.
b) Ang pagpapalawak sa pagitan (0;π) sa mga tuntunin ng mga sine ng maraming arko ay may anyo:
Malinaw na imposibleng pumili ng mga coefficient upang ang pagkakapantay-pantay ay hawakan nang magkapareho. Gamitin natin ang formula upang kalkulahin ang mga coefficient:


Kaya, para sa kahit na n (n=2k) meron kami b n=0, para sa kakaiba ( n=2k-1) -
Sa wakas, .
I-plot natin ang nagresultang serye ng Fourier gamit ang mga katangian nito (tingnan sa itaas).
Una sa lahat, bumuo kami ng isang graph ng function na ito sa isang naibigay na agwat. Dagdag pa, sinasamantala ang kakaiba ng kabuuan ng serye, ipinagpapatuloy namin ang graph nang simetriko sa pinanggalingan:

Nagpapatuloy kami sa pana-panahong paraan sa buong axis ng numero:


At sa wakas, sa mga break point, pinupunan namin ang average (sa pagitan ng kanan at kaliwang limitasyon) na mga halaga:

Halimbawa #2. Palawakin ang function sa pagitan (0;6) kasama ang mga sine ng maraming arko.
Desisyon: Ang nais na pagpapalawak ay may anyo:

Dahil ang parehong kaliwa at kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay ay naglalaman lamang ng mga function ng kasalanan ng iba't ibang mga argumento, dapat mong suriin kung ang mga argumento ng mga sine sa kaliwa at kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay ay nag-tutugma para sa anumang mga halaga ng n (natural!)
o , kung saan n =18. Nangangahulugan ito na ang naturang termino ay nakapaloob sa kanang bahagi at ang koepisyent para dito ay dapat na tumutugma sa koepisyent sa kaliwang bahagi: b 18 =1;
o , kung saan n =4. Ibig sabihin, b 4 =-5.
Kaya, gamit ang pagpili ng mga coefficient, posible na makuha ang nais na pagpapalawak.

Na medyo nagsawa na. At pakiramdam ko ay dumating na ang sandali kung kailan oras na upang kunin ang mga bagong de-latang pagkain mula sa mga strategic reserves ng teorya. Posible bang palawakin ang function sa isang serye sa ibang paraan? Halimbawa, upang ipahayag ang isang segment ng tuwid na linya sa mga tuntunin ng mga sine at cosine? Tila hindi kapani-paniwala, ngunit ang mga tila malayong pag-andar ay nagpapahiram sa kanilang sarili
"reunion". Bilang karagdagan sa mga pamilyar na degree sa teorya at kasanayan, may iba pang mga diskarte sa pagpapalawak ng isang function sa isang serye.

Sa araling ito, makikilala natin ang trigonometric Fourier series, hipuin ang isyu ng convergence at sum nito, at, siyempre, susuriin natin ang maraming halimbawa para sa pagpapalawak ng mga function sa isang Fourier series. Taos-puso kong nais na tawagan ang artikulong "Fourier Series for Dummies", ngunit ito ay magiging tuso, dahil ang paglutas ng mga problema ay mangangailangan ng kaalaman sa iba pang mga seksyon ng mathematical analysis at ilang praktikal na karanasan. Samakatuwid, ang preamble ay magiging katulad ng pagsasanay ng mga astronaut =)

Una, ang pag-aaral ng mga materyales sa pahina ay dapat na lapitan sa mahusay na hugis. Inaantok, pahinga at matino. Nang walang malakas na emosyon tungkol sa sirang paa ng isang hamster at obsessive na pag-iisip tungkol sa hirap ng buhay ng aquarium fish. Ang serye ng Fourier ay hindi mahirap mula sa punto ng view ng pag-unawa, gayunpaman, ang mga praktikal na gawain ay nangangailangan lamang ng isang pagtaas ng konsentrasyon ng pansin - sa isip, ang isa ay dapat na ganap na iwanan ang panlabas na stimuli. Ang sitwasyon ay pinalala ng katotohanan na walang madaling paraan upang suriin ang solusyon at ang sagot. Kaya, kung ang iyong kalusugan ay mas mababa sa average, pagkatapos ay mas mahusay na gumawa ng isang bagay na mas simple. Katotohanan.

Pangalawa, bago lumipad sa kalawakan, kinakailangang pag-aralan ang panel ng instrumento ng spacecraft. Magsimula tayo sa mga halaga ng mga pag-andar na dapat i-click sa makina:

Para sa anumang natural na halaga:

isa). At sa katunayan, ang sinusoid ay "nagkislap" ng x-axis sa bawat "pi":
. Sa kaso ng mga negatibong halaga ng argumento, ang resulta, siyempre, ay magiging pareho: .

2). Ngunit hindi alam ng lahat ito. Ang cosine na "pi en" ay katumbas ng "flashing light":

Ang isang negatibong argumento ay hindi nagbabago sa kaso: .

Marahil sapat na.

At pangatlo, mahal na kosmonaut corps, kailangan mong ... pagsamahin.
Sa partikular, sigurado magdala ng function sa ilalim ng differential sign, pagsamahin ayon sa mga bahagi at makipagkasundo sa iyo Formula ng Newton-Leibniz. Simulan natin ang mahahalagang pagsasanay bago ang paglipad. Lubos kong inirerekumenda na laktawan ito, upang sa ibang pagkakataon ay hindi ka ma-flatten sa zero gravity:

Halimbawa 1

Kalkulahin ang mga tiyak na integral

kung saan kumukuha ng mga natural na halaga.

Desisyon: Isinasagawa ang pagsasama sa variable na "x" at sa yugtong ito ang discrete variable na "en" ay itinuturing na pare-pareho. Sa lahat ng integral dalhin ang function sa ilalim ng sign ng differential:

Isang maikling bersyon ng solusyon, na magandang kunan, ganito ang hitsura:

Masanay sa:

Ang apat na natitirang puntos ay sa kanilang sarili. Subukang tratuhin ang gawain nang maingat at ayusin ang mga integral sa maikling paraan. Mga halimbawang solusyon sa pagtatapos ng aralin.

Pagkatapos ng KALIDAD na ehersisyo, nagsuot kami ng mga spacesuit
at naghahanda upang magsimula!

Pagpapalawak ng isang function sa isang Fourier series sa pagitan

Isaalang-alang natin ang isang function na determinado hindi bababa sa pagitan (at, posibleng, sa isang mas malaking agwat). Kung ang function na ito ay integrable sa segment , maaari itong palawakin sa isang trigonometriko Fourier serye:
, nasaan ang mga tinatawag na Fourier coefficients.

Sa kasong ito, ang numero ay tinatawag panahon ng agnas, at ang numero ay kalahating buhay na agnas.

Malinaw, sa pangkalahatang kaso, ang seryeng Fourier ay binubuo ng mga sine at cosine:

Sa katunayan, isulat natin ito nang detalyado:

Ang zero term ng serye ay karaniwang isinusulat bilang .

Ang mga fourier coefficient ay kinakalkula gamit ang mga sumusunod na formula:

Naiintindihan kong lubos na ang mga bagong termino ay malabo pa rin para sa mga nagsisimula upang pag-aralan ang paksa: panahon ng agnas, kalahating ikot, Fourier coefficients at iba pa. Huwag mag-panic, hindi ito maikukumpara sa excitement bago ang isang spacewalk. Alamin natin ang lahat sa pinakamalapit na halimbawa, bago isagawa kung saan ito ay lohikal na magtanong ng pagpindot sa mga praktikal na katanungan:

Ano ang kailangan mong gawin sa mga sumusunod na gawain?

Palawakin ang function sa isang seryeng Fourier. Bukod pa rito, madalas na kinakailangan na gumuhit ng isang graph ng isang function, isang graph ng kabuuan ng isang serye, isang bahagyang kabuuan, at sa kaso ng mga sopistikadong pantasyang propesor, gumawa ng iba pa.

Paano palawakin ang isang function sa isang serye ng Fourier?

Mahalaga, kailangan mong hanapin Fourier coefficients, iyon ay, bumuo at mag-compute ng tatlo mga tiyak na integral.

Mangyaring kopyahin ang pangkalahatang anyo ng seryeng Fourier at ang tatlong gumaganang formula sa iyong kuwaderno. Tuwang-tuwa ako na ang ilan sa mga bisita sa site ay may pangarap noong bata pa na maging isang astronaut na nagkatotoo sa harap ng aking mga mata =)

Halimbawa 2

Palawakin ang function sa isang seryeng Fourier sa pagitan. Bumuo ng isang graph, isang graph ng kabuuan ng isang serye at isang bahagyang kabuuan.

Desisyon: ang unang bahagi ng gawain ay upang palawakin ang function sa isang seryeng Fourier.

Ang simula ay pamantayan, siguraduhing isulat iyon:

Sa problemang ito, ang panahon ng pagpapalawak , kalahating panahon .

Pinalawak namin ang function sa isang serye ng Fourier sa pagitan:

Gamit ang naaangkop na mga formula, nakita namin Fourier coefficients. Ngayon kailangan nating bumuo at kalkulahin ang tatlo mga tiyak na integral. Para sa kaginhawahan, bibilangin ko ang mga puntos:

1) Ang unang integral ay ang pinakasimple, gayunpaman, nangangailangan na ito ng mata at mata:

2) Ginagamit namin ang pangalawang formula:

Ang integral na ito ay kilala at unti-unti niyang kinukuha:

Kapag natagpuang ginamit paraan ng pagdadala ng function sa ilalim ng differential sign.

Sa gawaing isinasaalang-alang, mas maginhawang gamitin kaagad formula para sa pagsasama ng mga bahagi sa isang tiyak na integral :

Isang pares ng mga teknikal na tala. Una, pagkatapos ilapat ang formula ang buong expression ay dapat na nakapaloob sa malalaking bracket, dahil mayroong isang pare-pareho sa harap ng orihinal na integral. Huwag nating mawala ito! Maaaring mabuksan ang mga panaklong sa anumang karagdagang hakbang, ginawa ko ito sa pinakahuling pagliko. Sa unang "piraso" nagpapakita kami ng matinding katumpakan sa pagpapalit, tulad ng nakikita mo, ang pare-pareho ay wala sa negosyo, at ang mga limitasyon ng pagsasama ay pinapalitan sa produkto. Ang aksyon na ito ay minarkahan ng mga square bracket. Well, ang integral ng pangalawang "piraso" ng formula ay kilala sa iyo mula sa gawain sa pagsasanay ;-)

At ang pinakamahalaga - ang sukdulang konsentrasyon ng atensyon!

3) Hinahanap namin ang ikatlong Fourier coefficient:

Ang isang kamag-anak ng nakaraang integral ay nakuha, na kung saan ay din isinama ng mga bahagi:

Ang pagkakataong ito ay medyo mas kumplikado, magkokomento ako sa mga karagdagang hakbang nang hakbang-hakbang:

(1) Ang buong expression ay nakapaloob sa malalaking bracket.. Hindi ko nais na mukhang isang mainip, nawala nila ang pare-pareho masyadong madalas.

(2) Sa kasong ito, agad kong pinalawak ang malalaking bracket na iyon. Espesyal na atensyon itinatalaga namin ang unang "piraso": ang patuloy na usok sa gilid at hindi nakikilahok sa pagpapalit ng mga limitasyon ng pagsasama (at) sa produkto. Dahil sa kalat ng rekord, ipinapayong muli na i-highlight ang pagkilos na ito sa mga square bracket. Gamit ang pangalawang "piraso" ang lahat ay mas simple: dito lumitaw ang fraction pagkatapos magbukas ng malalaking bracket, at ang pare-pareho - bilang resulta ng pagsasama ng pamilyar na integral ;-)

(3) Sa mga square bracket, nagsasagawa kami ng mga pagbabago, at sa tamang integral, pinapalitan namin ang mga limitasyon ng pagsasama.

(4) Inalis namin ang "flasher" mula sa mga square bracket: , pagkatapos ay binuksan namin ang mga panloob na bracket: .

(5) Kinansela namin ang 1 at -1 sa mga bracket at gumawa ng panghuling pagpapasimple.

Sa wakas ay natagpuan ang lahat ng tatlong Fourier coefficient:

Ipalit ang mga ito sa formula :

Huwag kalimutang hatiin sa kalahati. Sa huling hakbang, ang pare-pareho ("minus dalawa"), na hindi nakasalalay sa "en", ay kinuha mula sa kabuuan.

Kaya, nakuha namin ang pagpapalawak ng function sa isang serye ng Fourier sa pagitan:

Pag-aralan natin ang tanong ng convergence ng seryeng Fourier. Ipapaliwanag ko sa partikular ang teorya Dirichlet theorem, literal na "sa mga daliri", kaya kung kailangan mo ng mahigpit na formulations, mangyaring sumangguni sa isang aklat-aralin sa calculus (halimbawa, ang 2nd volume ng Bohan; o ang 3rd volume ng Fichtenholtz, ngunit mas mahirap dito).

Sa ikalawang bahagi ng gawain, kinakailangan na gumuhit ng isang graph, isang serye ng sum graph at isang bahagyang sum graph.

Ang graph ng function ay ang karaniwan tuwid na linya sa eroplano, na iginuhit gamit ang isang itim na tuldok na linya:

Nakikitungo kami sa kabuuan ng serye. Tulad ng alam mo, ang functional na serye ay nagtatagpo sa mga function. Sa aming kaso, ang itinayong serye ng Fourier para sa anumang halaga ng "x" converges sa function na ipinapakita sa pula. Ang pagpapaandar na ito ay napapailalim sa mga break ng 1st kind sa mga puntos , ngunit tinukoy din sa mga ito (mga pulang tuldok sa pagguhit)

kaya: . Madaling makita na kapansin-pansing naiiba ito sa orihinal na function , kaya naman sa notasyon isang tilde ang ginagamit sa halip na isang equals sign.

Pag-aralan natin ang isang algorithm kung saan ito ay maginhawa upang bumuo ng kabuuan ng isang serye.

Sa gitnang agwat, ang serye ng Fourier ay nagtatagpo sa mismong function (ang gitnang pulang segment ay kasabay ng itim na tuldok na linya ng linear na function).

Ngayon ay pag-usapan natin ang tungkol sa likas na katangian ng itinuturing na trigonometriko na pagpapalawak. Fourier serye kasama lang ang mga periodic function (constant, sines at cosine), kaya ang kabuuan ng serye ay isa ring periodic function.

Ano ang ibig sabihin nito sa ating partikular na halimbawa? At nangangahulugan ito na ang kabuuan ng serye –kinakailangang pana-panahon at ang pulang bahagi ng pagitan ay dapat na walang katapusan na ulitin sa kaliwa at kanan.

Sa tingin ko ngayon ay naging malinaw na sa wakas ang kahulugan ng pariralang "panahon ng agnas". Sa madaling salita, sa tuwing paulit-ulit ang sitwasyon.

Sa pagsasagawa, kadalasan ay sapat na upang ilarawan ang tatlong panahon ng agnas, tulad ng ginagawa sa pagguhit. Buweno, at higit pang "mga tuod" ng mga kalapit na panahon - upang gawing malinaw na ang tsart ay nagpapatuloy.

Ang partikular na interes ay mga discontinuity point ng 1st kind. Sa ganitong mga punto, ang serye ng Fourier ay nagtatagpo sa mga nakahiwalay na halaga, na eksaktong matatagpuan sa gitna ng discontinuity "jump" (mga pulang tuldok sa pagguhit). Paano mahahanap ang ordinate ng mga puntong ito? Una, hanapin natin ang ordinate ng "itaas na palapag": para dito, kinakalkula natin ang halaga ng function sa pinakakanang punto ng central expansion period: . Upang kalkulahin ang ordinate ng "ibabang palapag", ang pinakamadaling paraan ay kunin ang pinakakaliwang halaga ng parehong panahon: . Ang ordinate ng mean na halaga ay ang arithmetic mean ng kabuuan ng "itaas at ibaba": . Maganda ang katotohanan na kapag nagtatayo ng isang guhit, makikita mo kaagad kung ang gitna ay tama o hindi tama ang pagkalkula.

Bumuo tayo ng bahagyang kabuuan ng serye at sabay ulitin ang kahulugan ng terminong "convergence". Nalaman ang motibo mula sa aralin tungkol sa ang kabuuan ng serye ng numero. Ilarawan natin nang detalyado ang ating kayamanan:

Upang makagawa ng bahagyang kabuuan, kailangan mong isulat ang zero + dalawa pang termino ng serye. I.e,

Sa pagguhit, ang graph ng function ay ipinapakita sa berde, at, tulad ng nakikita mo, ito ay bumabalot sa kabuuang kabuuan nang medyo mahigpit. Kung isasaalang-alang namin ang isang bahagyang kabuuan ng limang termino ng serye, kung gayon ang graph ng function na ito ay tinatantya ang mga pulang linya nang mas tumpak, kung mayroong isang daang termino, kung gayon ang "berdeng ahas" ay talagang ganap na sumanib sa mga pulang segment, atbp. Kaya, ang seryeng Fourier ay nagtatagpo sa kabuuan nito.

Ito ay kagiliw-giliw na tandaan na ang anumang bahagyang kabuuan ay tuluy-tuloy na pag-andar, ngunit ang kabuuang kabuuan ng serye ay hindi pa rin nagpapatuloy.

Sa pagsasagawa, hindi karaniwan na bumuo ng isang bahagyang sum graph. Paano ito gagawin? Sa aming kaso, kinakailangang isaalang-alang ang pag-andar sa segment, kalkulahin ang mga halaga nito sa mga dulo ng segment at sa mga intermediate na punto (mas maraming puntos ang iyong isinasaalang-alang, mas tumpak ang graph). Pagkatapos ay dapat mong markahan ang mga puntong ito sa pagguhit at maingat na gumuhit ng isang graph sa tuldok , at pagkatapos ay "kopyahin" ito sa mga katabing agwat. Paano pa? Pagkatapos ng lahat, ang approximation ay isang periodic function din ... ... ang graph nito ay nagpapaalala sa akin ng isang pantay na ritmo ng puso sa pagpapakita ng isang medikal na aparato.

Siyempre, hindi masyadong maginhawa upang isagawa ang konstruksiyon, dahil kailangan mong maging maingat, na mapanatili ang katumpakan ng hindi bababa sa kalahating milimetro. Gayunpaman, pasayahin ko ang mga mambabasa na salungat sa pagguhit - sa isang "tunay" na gawain, malayo sa palaging kinakailangan na magsagawa ng pagguhit, sa isang lugar sa 50% ng mga kaso kinakailangan na palawakin ang function sa isang seryeng Fourier at iyon ay ito.

Matapos makumpleto ang pagguhit, nakumpleto namin ang gawain:

Sagot:

Sa maraming mga gawain, ang pag-andar ay naghihirap pagkalagot ng 1st kind mismo sa panahon ng agnas:

Halimbawa 3

Palawakin sa isang seryeng Fourier ang function na ibinigay sa pagitan . Gumuhit ng graph ng function at ang kabuuang kabuuan ng serye.

Ang iminungkahing function ay ibinibigay nang paisa-isa (at, bale, sa segment lang) at magtiis pagkalagot ng 1st kind sa puntong . Posible bang kalkulahin ang Fourier coefficients? Walang problema. Parehong ang kaliwa at kanang bahagi ng function ay pinagsama sa kanilang mga pagitan, kaya ang mga integral sa bawat isa sa tatlong mga formula ay dapat na kinakatawan bilang ang kabuuan ng dalawang integral. Tingnan natin, halimbawa, kung paano ito ginagawa para sa isang zero coefficient:

Ang pangalawang integral ay naging katumbas ng zero, na nagbawas ng trabaho, ngunit hindi ito palaging nangyayari.

Dalawang iba pang mga Fourier coefficient ang nakasulat nang magkatulad.

Paano ipakita ang kabuuan ng isang serye? Sa kaliwang pagitan gumuhit kami ng isang tuwid na linya ng segment , at sa pagitan - isang tuwid na linya ng segment (i-highlight ang seksyon ng axis sa bold-bold). Iyon ay, sa pagitan ng pagpapalawak, ang kabuuan ng serye ay tumutugma sa pag-andar sa lahat ng dako, maliban sa tatlong "masamang" puntos. Sa discontinuity point ng function, ang Fourier series ay nagtatagpo sa isang nakahiwalay na halaga, na eksaktong matatagpuan sa gitna ng "jump" ng discontinuity. Hindi mahirap makita ito nang pasalita: limitasyon sa kaliwang kamay:, limitasyon sa kanang kamay: at, malinaw naman, ang ordinate ng midpoint ay 0.5.

Dahil sa periodicity ng sum , ang larawan ay dapat na "multiplied" sa mga kalapit na panahon, sa partikular, ilarawan ang parehong bagay sa mga pagitan at . Sa kasong ito, sa mga punto, ang serye ng Fourier ay nagtatagpo sa mga median na halaga.

Sa totoo lang, wala namang bago dito.

Subukang lutasin ang problemang ito sa iyong sarili. Isang tinatayang sample ng magandang disenyo at pagguhit sa pagtatapos ng aralin.

Pagpapalawak ng isang function sa isang Fourier series sa isang arbitrary na panahon

Para sa isang arbitrary na panahon ng pagpapalawak, kung saan ang "el" ay anumang positibong numero, ang mga formula para sa Fourier series at Fourier coefficient ay naiiba sa isang bahagyang mas kumplikadong argumento ng sine at cosine:

Kung , pagkatapos ay makuha namin ang mga formula para sa pagitan kung saan kami nagsimula.

Ang algorithm at mga prinsipyo para sa paglutas ng problema ay ganap na napanatili, ngunit ang teknikal na pagiging kumplikado ng mga kalkulasyon ay nagdaragdag:

Halimbawa 4

Palawakin ang function sa isang seryeng Fourier at i-plot ang kabuuan.

Desisyon: sa katunayan, isang analogue ng Halimbawa No. 3 na may pagkalagot ng 1st kind sa puntong . Sa problemang ito, ang panahon ng pagpapalawak , kalahating panahon . Ang function ay tinukoy lamang sa kalahating pagitan , ngunit hindi nito binabago ang mga bagay - mahalaga na ang parehong bahagi ng function ay mapagsasama.

Palawakin natin ang function sa isang seryeng Fourier:

Dahil ang function ay hindi nagpapatuloy sa pinanggalingan, ang bawat Fourier coefficient ay dapat na malinaw na nakasulat bilang ang kabuuan ng dalawang integral:

1) Isusulat ko ang unang integral bilang detalyado hangga't maaari:

2) Maingat na sumilip sa ibabaw ng buwan:

Pangalawang integral kumuha ng mga bahagi:

Ano ang dapat mong bigyang-pansin pagkatapos naming buksan ang pagpapatuloy ng solusyon na may asterisk?

Una, hindi natin nawawala ang unang integral , kung saan agad naming pinaandar pagdadala sa ilalim ng tanda ng kaugalian. Pangalawa, huwag kalimutan ang malas na pare-pareho bago ang malaking bracket at huwag malito sa pamamagitan ng mga palatandaan kapag ginagamit ang formula . Malaking bracket, pagkatapos ng lahat, ito ay mas maginhawa upang buksan kaagad sa susunod na hakbang.

Ang natitira ay isang bagay ng pamamaraan, tanging ang hindi sapat na karanasan sa paglutas ng mga integral ay maaaring maging sanhi ng mga paghihirap.

Oo, hindi walang kabuluhan na ang mga kilalang kasamahan ng Pranses na matematiko na si Fourier ay nagalit - paano niya nangahas na i-decompose ang mga function sa trigonometrikong serye ?! =) Siyanga pala, malamang lahat ay interesado sa praktikal na kahulugan ng gawaing pinag-uusapan. Si Fourier mismo ay nagtrabaho sa isang matematikal na modelo ng pagpapadaloy ng init, at pagkatapos ay nagsimulang gamitin ang seryeng ipinangalan sa kanya upang pag-aralan ang maraming pana-panahong proseso, na tila hindi nakikita sa labas ng mundo. Ngayon, sa pamamagitan ng paraan, nahuli ko ang aking sarili na iniisip na hindi nagkataon na inihambing ko ang graph ng pangalawang halimbawa sa isang panaka-nakang ritmo ng puso. Ang mga interesado ay maaaring maging pamilyar sa praktikal na aplikasyon Nag-transform si Fourier mula sa mga mapagkukunan ng third party. ... Bagama't mas mabuting hindi - ito ay maaalala bilang Unang Pag-ibig =)

3) Dahil sa paulit-ulit na binanggit na mahinang mga link, nakikitungo kami sa ikatlong koepisyent:

Pagsasama ayon sa mga bahagi:

Pinapalitan namin ang natagpuang Fourier coefficients sa formula , hindi nakakalimutang hatiin ang zero coefficient sa kalahati:

I-plot natin ang kabuuan ng serye. Ulitin natin sandali ang pamamaraan: sa pagitan ay nagtatayo tayo ng isang linya, at sa pagitan - isang linya. Sa isang zero na halaga ng "x", inilalagay namin ang isang punto sa gitna ng "jump" ng gap at "kopyahin" ang tsart para sa mga kalapit na panahon:


Sa "mga junction" ng mga yugto, ang kabuuan ay magiging katumbas din ng mga midpoint ng "jump" ng gap.

handa na. Ipinapaalala ko sa iyo na ang function mismo ay may kondisyong tinukoy lamang sa kalahating pagitan at, malinaw naman, nag-tutugma sa kabuuan ng serye sa mga pagitan

Sagot:

Minsan ang isang piecewise na ibinigay na function ay tuloy-tuloy din sa panahon ng pagpapalawak. Ang pinakasimpleng halimbawa: . Desisyon (Tingnan ang Bohan Tomo 2) ay katulad ng sa dalawang naunang halimbawa: sa kabila pagpapatuloy ng pag-andar sa puntong , ang bawat Fourier coefficient ay ipinahayag bilang kabuuan ng dalawang integral.

Sa pagitan ng breakup mga discontinuity point ng 1st kind at / o "junction" na mga punto ng graph ay maaaring higit pa (dalawa, tatlo, at sa pangkalahatan anuman pangwakas halaga). Kung ang isang function ay integrable sa bawat bahagi, ito ay napapalawak din sa isang Fourier series. Ngunit mula sa praktikal na karanasan, hindi ko naaalala ang gayong lata. Gayunpaman, may mga mas mahirap na gawain kaysa sa isinasaalang-alang lamang, at sa dulo ng artikulo para sa lahat ay may mga link sa serye ng Fourier na mas kumplikado.

Pansamantala, magpahinga tayo, sumandal sa ating mga upuan at pagnilayan ang walang katapusang kalawakan ng mga bituin:

Halimbawa 5

Palawakin ang function sa isang seryeng Fourier sa pagitan at i-plot ang kabuuan ng serye.

Sa gawaing ito, ang function tuloy-tuloy sa kalahating pagitan ng agnas, na pinapasimple ang solusyon. Ang lahat ay halos kapareho sa Halimbawa Blg. 2. Walang pagtakas mula sa sasakyang pangalangaang - kailangan mong magpasya =) Isang tinatayang sample ng disenyo sa dulo ng aralin, ang iskedyul ay nakalakip.

Fourier series na pagpapalawak ng even at odd na function

Sa pantay at kakaibang mga pag-andar, ang proseso ng paglutas ng problema ay kapansin-pansing pinasimple. At dahil jan. Bumalik tayo sa pagpapalawak ng function sa isang seryeng Fourier sa panahon ng "dalawang pi" at arbitrary na panahon "dalawang ale" .

Ipagpalagay natin na ang ating function ay pantay. Ang pangkalahatang termino ng serye, tulad ng nakikita mo, ay naglalaman ng mga kahit na cosine at kakaibang sine. At kung nabubulok natin ang isang EVEN function, bakit kailangan natin ng mga kakaibang sine?! I-reset natin ang hindi kinakailangang koepisyent: .

kaya, ang isang even function ay lumalawak sa isang Fourier series lamang sa mga cosine:

Sa abot ng integral ng even functions sa isang segment ng integration symmetric na may paggalang sa zero ay maaaring madoble, pagkatapos ay ang iba pang mga Fourier coefficients ay pinasimple din.

Para sa span:

Para sa arbitrary na pagitan:

Ang mga halimbawa ng Textbook na makikita sa halos anumang calculus textbook ay kinabibilangan ng mga pagpapalawak ng even functions . Bilang karagdagan, paulit-ulit silang nagkita sa aking personal na pagsasanay:

Halimbawa 6

Nabigyan ng function. Kailangan:

1) palawakin ang function sa isang Fourier series na may period , kung saan ay isang arbitrary na positibong numero;

2) isulat ang pagpapalawak sa pagitan, bumuo ng isang function at i-graph ang kabuuang kabuuan ng serye.

Desisyon: sa unang talata, iminungkahi na lutasin ang problema sa pangkalahatang paraan, at ito ay napaka-maginhawa! Magkakaroon ng pangangailangan - palitan lamang ang iyong halaga.

1) Sa problemang ito, ang panahon ng pagpapalawak , kalahating panahon . Sa kurso ng mga karagdagang aksyon, lalo na sa panahon ng pagsasama, ang "el" ay itinuturing na pare-pareho

Ang function ay pantay, na nangangahulugan na ito ay lumalawak sa isang seryeng Fourier sa mga cosine lamang: .

Ang mga fourier coefficient ay hinahanap ng mga formula . Bigyang-pansin ang kanilang ganap na mga pakinabang. Una, ang pagsasama ay isinasagawa sa positibong bahagi ng pagpapalawak, na nangangahulugan na ligtas nating mapupuksa ang module , isinasaalang-alang lamang ang "x" mula sa dalawang piraso. At, pangalawa, ang pagsasama ay kapansin-pansing pinasimple.

Dalawa:

Pagsasama ayon sa mga bahagi:

kaya:
, habang ang constant , na hindi nakadepende sa "en", ay kinuha sa kabuuan.

Sagot:

2) Isinulat namin ang pagpapalawak sa pagitan, para dito pinapalitan namin ang nais na halaga ng kalahating panahon sa pangkalahatang formula:

Fourier series expansion ng even at odd function expansion ng isang function na ibinigay sa isang segment tungo sa isang series sa mga tuntunin ng mga sine o cosine Fourier series para sa isang function na may arbitrary period Complex na representasyon ng Fourier series Fourier series sa pangkalahatang orthogonal system ng mga function Fourier series sa isang orthogonal system Pinakamababang pag-aari ng Fourier coefficients Ang hindi pagkakapantay-pantay ni Bessel Pagkakapantay-pantay Parseval Closed systems Pagkumpleto at pagsasara ng mga system

Fourier series expansion ng even at odd functions Ang function na f(x), na tinukoy sa segment na \-1, kung saan I > 0, ay tinatawag kahit na ang Graph ng even function ay simetriko tungkol sa y-axis. Ang function na f(x) na tinukoy sa segment na J, kung saan ang I > 0, ay tinatawag na odd kung ang Graph ng odd na function ay simetriko na may kinalaman sa pinagmulan. Halimbawa. a) Ang function ay kahit sa segment |-jt, jt), dahil para sa lahat x e b) Ang function ay kakaiba, dahil ang Fourier series expansion ng even at odd function ay ang pagpapalawak ng isang function na ibinigay sa segment sa isang serye ng sines o cosines Fourier series para sa isang function na may arbitrary period Complex notation ng Fourier series Fourier series sa pangkalahatang orthogonal system of functions Fourier series sa isang orthogonal system Minimum property ng Fourier coefficients Bessel inequality Parseval equality Closed systems Completeness and closedness of systems not to kahit o sa mga kakaibang function, dahil Hayaan ang function na f(x) na nagbibigay-kasiyahan sa mga kondisyon ng Theorem 1 ay maging even sa segment x|. Pagkatapos para sa lahat i.e. Ang /(g) cos nx ay isang even na function, at ang f(x)sinnx ay isang kakaiba. Samakatuwid, ang Fourier coefficients ng even function /(x) ay magiging pantay.Samakatuwid, ang Fourier series ng even function ay may anyo na f(x) sin nx ay isang even function. Samakatuwid, magkakaroon tayo ng Kaya, ang serye ng Fourier ng isang kakaibang function ay may anyo Mayroon kaming Paglalapat ng integration sa pamamagitan ng mga bahagi nang dalawang beses, nakuha namin na Kaya, ang Fourier series ng function na ito ay ganito ang hitsura: o, sa pinalawak na anyo, Ang pagkakapantay-pantay na ito ay wasto para sa anumang x €, dahil sa mga puntong x = ±ir ang kabuuan ng ang serye ay tumutugma sa mga halaga ng function na f(x ) = x2, dahil ang mga graph ng function na f(x) = x at ang mga kabuuan ng resultang serye ay ibinibigay sa fig. Magkomento. Binibigyang-daan ka ng seryeng Fourier na ito na mahanap ang kabuuan ng isa sa convergent numerical series, ibig sabihin, para sa x \u003d 0, nakuha namin iyon Ang function /(x) ay nakakatugon sa mga kondisyon ng Theorem 1, samakatuwid maaari itong palawakin sa isang Fourier series, na, dahil sa kakaiba ng function na ito, ay magkakaroon ng form na Integrating by parts, nakita natin ang Fourier coefficients Samakatuwid, ang Fourier serye ng function na ito ay may anyo Ang pagkakapantay-pantay na ito ay humahawak para sa lahat ng x В puntos x - ±tg ang kabuuan ng seryeng Fourier ay hindi tumutugma sa mga halaga ng function / (x) = x, dahil ito ay katumbas ng Outside the segment [- *, n-] ang kabuuan ng serye ay isang pana-panahong pagpapatuloy ng function / (x) \u003d x; ang graph nito ay ipinapakita sa Fig. . Ang mga halaga ng function na ito sa pagitan 0| maaaring tukuyin sa iba't ibang paraan. Halimbawa, posibleng tukuyin ang function / sa segment mc] sa paraang /. Sa kasong ito, sinasabing) "ay pinalawak sa segment 0] sa pantay na paraan"; ang Fourier series nito ay maglalaman lamang ng mga cosine. Kung, gayunpaman, ang function na /(x) ay tinukoy sa segment [-x, mc] upang /(, pagkatapos ay isang kakaibang function ang nakuha, at pagkatapos ay sasabihin namin na / "ay pinalawak sa segment [-*, 0 ] sa kakaibang paraan"; sa kasong ito, ang seryeng Fourier ay maglalaman lamang ng mga sine. Kaya, ang bawat bounded na piecewise-monotone function /(x), na tinukoy sa segment , ay maaaring palawakin sa isang seryeng Fourier pareho sa mga tuntunin ng sines at cosines.Halimbawa 1. Palawakin ang function sa isang Fourier series: a) sa pamamagitan ng cosine; b) kasama ang mga sine. M Ang function na ito, kasama ang pantay at kakaibang mga extension nito sa segment |-x, 0) ay magiging bounded at piecewise monotonic. a) Nagpapatuloy kami / (z) sa segment 0) a) Nagpapatuloy kami sa j \ x) sa segment (-m, 0 | sa pantay na paraan (Larawan 7), pagkatapos ang Fourier series na i ay magkakaroon ng form na P \u003d 1 kung saan ang mga Fourier coefficient ay pantay, ayon sa pagkakabanggit para sa Samakatuwid, b) Magpatuloy tayo /(z) sa segment [-x,0] sa isang kakaibang paraan (Larawan 8). Pagkatapos ang seryeng Fourier nito §7. Fourier Series para sa Function na may Arbitrary Period Hayaang ang function fix) ay periodic na may period na 21.1 ^ 0. Para palawakin ito sa Fourier series sa interval kung saan I > 0, gumawa kami ng pagbabago ng variable sa pamamagitan ng pagtatakda ng x = jt . Pagkatapos ang function na F(t) = / ^tj ay magiging periodic function ng argument t na may period at maaari itong palawakin sa isang segment sa isang Fourier series Pagbabalik sa variable x, ibig sabihin, setting, makuha natin , mananatili sa puwersa din para sa mga periodic function na may arbitrary period 21. Sa partikular, ang sapat na criterion para sa pagpapalawak ng isang function sa isang Fourier series ay nananatiling wasto din. Halimbawa 1. Palawakin sa isang serye ng Fourier ang isang periodic function na may tuldok na 21, na ibinigay sa segment [-/,/] ng formula (Larawan 9). Dahil ang pagpapaandar na ito ay pantay, ang seryeng Fourier nito ay may anyo na Pinapalitan ang mga nahanap na halaga ng mga Fourier coefficient sa seryeng Fourier, nakuha namin ang isang mahalagang katangian ng mga periodic function. Theorem 5. Kung ang isang function ay may tuldok na T at mapagsasama, kung gayon para sa anumang numero a ang pagkakapantay-pantay na m ay hawak. Iyon ay, ang integral na walang segment, ang haba nito ay katumbas ng panahon T, ay may parehong halaga anuman ang posisyon ng segment na ito sa totoong axis. Sa katunayan, gumawa kami ng pagbabago ng variable sa pangalawang integral, sa pag-aakalang Ito ay nagbibigay at samakatuwid, Geometrically, ang ari-arian na ito ay nangangahulugan na sa kaso ng lugar na may kulay sa Fig. 10 mga lugar ay katumbas ng bawat isa. Sa partikular, para sa isang function na f(x) na may isang tuldok, nakukuha namin sa Fourier series na pagpapalawak ng even at odd na function ang pagpapalawak ng isang function na ibinigay sa isang segment sa isang serye sa mga tuntunin ng mga sine o cosine Fourier series para sa isang function na may isang arbitrary na panahon Kumplikadong representasyon ng seryeng Fourier Fourier series sa pangkalahatang orthogonal system na gumagana. x) na may panahon na 21 ay maaaring kalkulahin gamit ang mga formula kung saan ang a ay isang arbitrary na tunay na numero (tandaan na ang mga function cos - at sin ay may panahon na 2/). Halimbawa 3. Palawakin sa isang seryeng Fourier ang isang function na ibinigay sa isang pagitan na may tuldok na 2x (Larawan 11). 4 Hanapin ang Fourier coefficients ng function na ito. Ang paglalagay sa mga formula ay makikita natin na para sa Samakatuwid, ang seryeng Fourier ay magiging ganito: Sa puntong x = jt (discontinuity point ng unang uri) mayroon tayong §8. Kumplikadong notasyon ng seryeng Fourier Sa seksyong ito, ginagamit ang ilang elemento ng kumplikadong pagsusuri (tingnan ang Kabanata XXX, kung saan ang lahat ng operasyong isinagawa dito na may mga kumplikadong ekspresyon ay mahigpit na nabibigyang katwiran). Hayaang matugunan ng function na f(x) ang mga sapat na kundisyon para sa pagpapalawak sa isang seryeng Fourier. Pagkatapos sa pagitan ng x] maaari itong katawanin ng isang serye ng anyo Gamit ang mga formula ng Euler Ang pagpapalit ng mga expression na ito sa serye (1) sa halip na cos nx at sin xy ay magkakaroon tayo. tumatagal ang anyo Kaya, ang seryeng Fourier (1) ay ipinakita sa kumplikadong anyo (3). Maghanap tayo ng mga expression para sa mga coefficient sa mga tuntunin ng mga integral. Mayroon kaming Katulad, nakita namin Sa wakas, ang mga formula para sa с„, с_п at с ay maaaring isulat bilang mga sumusunod: . . Ang mga coefficients cn ay tinatawag na complex Fourier coefficients ng function Para sa isang periodic function na may period), ang kumplikadong anyo ng Fourier series ay kumukuha ng mga form na halaga w kung may mga limitasyon Halimbawa. Palawakin ang function ng period sa isang kumplikadong serye ng Fourier Ang function na ito ay nakakatugon sa sapat na mga kondisyon para sa pagpapalawak sa isang serye ng Fourier. Hayaang Hanapin ang mga kumplikadong Fourier coefficient ng function na ito. Mayroon kaming para sa kakaiba para sa kahit na n, o, sa madaling salita. Ang pagpapalit sa mga halaga), sa wakas ay nakuha namin Tandaan na ang seryeng ito ay maaari ding isulat bilang mga sumusunod: Fourier series sa pangkalahatang orthogonal system ng mga function 9.1. Orthogonal System of Functions Ipahiwatig sa pamamagitan ng hanay ng lahat ng (totoong) function na square-defined at integrable sa interval [a, 6], ibig sabihin, ang mga kung saan mayroong isang integral. Sa partikular, lahat ng function f(x) na ay tuluy-tuloy sa pagitan [a , 6], nabibilang sa 6], at ang mga halaga ng kanilang mga integral sa Lebesgue ay tumutugma sa mga halaga ng mga integral ng Riemann. Kahulugan. Ang sistema ng mga pag-andar, kung saan, ay tinatawag na orthogonal sa pagitan [a, b\, kung ang Kondisyon (1) ay ipinapalagay, sa partikular, na wala sa mga function ang kaparehong katumbas ng zero. Ang integral ay nauunawaan sa kahulugan ng Lebesgue. at tinatawag natin ang dami bilang pamantayan ng isang function. Kung mayroon tayo sa isang orthogonal system para sa anumang n, kung gayon ang sistema ng mga function ay tinatawag na orthonormal. Kung ang sistema (y>n(x)) ay orthogonal, kung gayon ang sistema Halimbawa 1. Ang isang trigonometric system ay orthogonal sa isang segment. Ang sistema ng mga function ay isang orthonormal na sistema ng mga function sa, Halimbawa 2. Ang cosine system at ang sine system ay orthonormal. Ipakilala natin ang notasyon na sila ay orthogonal sa segment (0, f|, ngunit hindi orthonormal (para sa I ↦ 2). Dahil ang kanilang mga pamantayan ay COS na ang mga function ay bumubuo ng isang orthonormal na sistema ng mga function sa isang segment. Ipakita natin, halimbawa, na ang mga polynomial ng Legendre ay orthogonal. Hayaan ang m > n. Sa kasong ito, ang pagsasama ng n beses sa pamamagitan ng mga bahagi, makikita natin, dahil para sa function na t/m = (z2 - I)m, lahat ng derivatives hanggang sa order m - Naglalaho ako kasama sa mga dulo ng segment [-1,1). Kahulugan. Ang sistema ng mga function (pn(x)) ay tinatawag na orthogonal sa pagitan (a, b) sa pamamagitan ng overhang p(x) kung: 1) may mga integral para sa lahat ng n = 1,2,... Dito ipinapalagay na ang weight function na p(x) ay tinukoy at positibo sa lahat ng dako sa pagitan (a, b), maliban sa isang may hangganang bilang ng mga puntos kung saan ang p(x) ay maaaring mawala. Pagkatapos magsagawa ng pagkita ng kaibhan sa formula (3), makikita natin. Maaaring ipakita na ang mga polynomial ng Chebyshev-Hermite ay orthogonal sa pagitan Halimbawa 4. Ang sistema ng mga function ng Bessel (jL(pix)^ ay orthogonal sa pagitan ng mga zero ng Bessel function system Hayaan ang isang orthogonal system ng mga function sa interval (a, 6) at hayaan ang serye (cj = const) na mag-converge sa interval na ito sa function na f(x): Sa bisa ng orthogonality ng system, nakuha natin na Ang operasyong ito ay, sa pangkalahatan, ay isang purong pormal na karakter. Gayunpaman, sa ilang mga kaso, halimbawa, kapag ang serye (4) ay magkakaugnay, ang lahat ng mga pag-andar ay tuluy-tuloy at ang pagitan (a, 6) ay may hangganan, ang operasyong ito ay legal. Ngunit ito ay ang pormal na interpretasyon na mahalaga para sa atin ngayon. Kaya sabihin nating isang function ang ibinigay. Binubuo namin ang mga numero c * ayon sa formula (5) at isulat Ang serye sa kanang bahagi ay tinatawag na Fourier series ng function na f (x) na may paggalang sa system (^n (n)) - Ang mga numero Cn ay tinatawag na Fourier coefficients ng function na f (x) sa sistemang ito. Ang sign na ~ sa formula (6) ay nangangahulugan lamang na ang mga numerong Cn ay nauugnay sa function /(x) sa pamamagitan ng formula (5) (hindi ipinapalagay na ang serye sa kanan ay nagtatagpo sa lahat, higit na mas mababa ang converge sa function na f (x)). Samakatuwid, ang tanong ay natural na lumitaw: ano ang mga katangian ng seryeng ito? Sa anong kahulugan ito ay "kumakatawan" sa function na f(x)? 9.3. Average na Kahulugan ng Convergence. Ang isang sequence ay nagtatagpo sa isang elemento ] sa karaniwan kung ang pamantayan ay nasa espasyo Theorem 6. Kung ang isang sequence ) ay nagtagpo nang pantay, kung gayon ito ay nagtatagpo rin sa karaniwan. M Hayaang magtagpo ang sequence ()) nang pare-pareho sa segment [a, b] sa function na f(x). Nangangahulugan ito na para sa alinman, para sa lahat ng sapat na malaking n, mayroon tayong Hence, kung saan sumusunod ang ating assertion. Ang kabaligtaran ay hindi totoo: ang sequence () ay maaaring magtagpo sa karaniwan sa /(x), ngunit hindi pare-parehong nagtatagpo. Halimbawa. Isaalang-alang natin ang pagkakasunud-sunod nx Madaling makita iyon Ngunit ang convergence na ito ay hindi pare-pareho: mayroong e, halimbawa, na kahit gaano kalaki ang n, sa pagitan ng seryeng Fourier para sa isang function na may arbitrary na panahon Complex notation ng ang Fourier series Fourier series in general orthogonal system of functions Fourier series in an orthogonal system Minimal property of Fourier coefficients Bessel inequality Parseval equality Closed systems Completeness and closedness of systems and let ) sa orthonormal system b Isaalang-alang ang isang linear na kumbinasyon kung saan ang n ^ 1 ay isang nakapirming integer, at hanapin ang mga halaga ng mga constant kung saan kinukuha ng integral ang pinakamababang halaga nito. Isulat natin ito nang mas detalyado Pagsasama-sama ng termino sa pamamagitan ng termino, dahil sa orthonormality ng system, makuha natin Ang unang dalawang termino sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay (7) ay independyente, at ang ikatlong termino ay hindi negatibo. Samakatuwid, ang integral (*) ay kumukuha ng pinakamababang halaga sa ak = sk. Ang integral ay tinatawag na root-mean-square approximation ng function na f(x) bilang isang linear na kumbinasyon ng Tn(x). Kaya, ang root-mean-square approximation ng function /\ ay tumatagal ng isang minimum na halaga kapag. kapag ang Tn(x) ay ang 71st partial sum ng Fourier series ng function /(x) sa system (. Setting ak = ck, mula sa (7) makuha natin ang Equality (9) ay tinatawag na Bessel identity. Dahil kaliwa ito side ay di-negatibo, pagkatapos ay mula dito ang hindi pagkakapantay-pantay ni Bessel ay sumusunod Dahil ang i ay arbitrary dito, ang hindi pagkakapantay-pantay ni Bessel ay maaaring katawanin sa isang pinalakas na anyo, ibig sabihin, para sa anumang function /, ang serye ng mga squared Fourier coefficients ng function na ito sa isang orthonormal system ) ay nagtatagpo . Dahil orthonormal ang sistema sa pagitan [-x, r], kung gayon ang hindi pagkakapantay-pantay (10), na isinalin sa karaniwang notasyon ng seryeng trigonometric Fourier, ay nagbibigay ng ugnayang do valid para sa anumang function na f(x) na may integrable square. Kung ang f2(x) ay mapagsasama, kung gayon, sa bisa ng kinakailangang kondisyon para sa tagpo ng serye sa kaliwang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay (11), makuha natin iyon. Parseval's equality Para sa ilang system (^n(x)) ang inequality sign sa formula (10) ay maaaring palitan (para sa lahat ng function f(x) 6 x) ng equals sign. Ang resultang pagkakapantay-pantay ay tinatawag na Parseval-Steklov equality (kondisyon ng pagkakumpleto). Ang pagkakakilanlan ng Bessel (9) ay nagpapahintulot sa amin na isulat ang kundisyon (12) sa isang katumbas na anyo sa pamamagitan ng space norm 6]. Kahulugan. Ang isang orthonormal system ( ay tinatawag na kumpleto sa b2[ay b] kung anumang function ay maaaring tantiyahin sa anumang katumpakan sa average sa pamamagitan ng linear na kumbinasyon ng form na may sapat na malaking bilang ng mga termino, ibig sabihin, kung para sa anumang function f(x) € b2[a, b\ at para sa alinmang e > 0 mayroong natural na bilang nq at mga numerong a\, a2y..., na ang No. Theorem 7. Kung ang sistema ) ay kumpleto sa espasyo sa pamamagitan ng orthonormalization, ang Fourier series ng anumang function / sa sistemang ito ay nagtatagpo sa f(x) sa karaniwan, ibig sabihin, ayon sa pamantayan Maaari itong ipakita na ang trigonometriko na sistema ay kumpleto sa espasyo. Ito ay nagpapahiwatig ng assertion. Theorem 8. Kung ang isang function /0 nito trigonometric Fourier series ay nagtatagpo dito sa average. 9.5. mga saradong sistema. Pagkakumpleto at pagsasara ng mga system Definition. Ang orthonormal system of functions \, ay tinatawag na closed kung sa space Li\a, b) walang non-zero function orthogonal sa lahat ng function. magkasabay. Mga Pagsasanay 1. Palawakin ang function sa Fourier series sa interval (-i-, x) 2. Palawakin ang function sa Fourier series sa interval (-r, r) 3. Palawakin ang function sa Fourier series sa interval (-r, r) 4. Palawakin sa isang Fourier series sa interval (-jt, r) function 5. Palawakin sa isang seryeng Fourier sa pagitan (-r, r) ang function na f(x) = x + x. 6. Palawakin sa isang serye ng Fourier sa pagitan (-jt, r) ang function n 7. Palawakin sa isang serye ng Fourier sa pagitan (-r, x) ang function / (x) \u003d sin2 x. 8. I-expand sa isang Fourier series sa interval (-m, jt) ang function f(x) = y 9. Expand sa isang Fourier series sa interval (-mm, -k) ang function f(x) = | sinx|. 10. Palawakin sa isang seryeng Fourier sa pagitan (-x-, r) ang function na f(x) = g. 11. Palawakin sa isang seryeng Fourier sa pagitan (-r, r) ang function f (x) \u003d sin §. 12. Palawakin sa isang seryeng Fourier ang function na f (x) = n -2x, na ibinigay sa pagitan (0, x), na ipagpatuloy ito sa pagitan (-x, 0): a) sa pantay na paraan; b) sa kakaibang paraan. 13. Palawakin sa isang seryeng Fourier sa mga tuntunin ng mga sine ang function / (x) \u003d x2, na ibinigay sa pagitan (0, x). 14. Palawakin sa isang serye ng Fourier ang function / (x) \u003d 3-x, na ibinigay sa pagitan (-2,2). 15. Palawakin sa isang serye ng Fourier ang function na f (x) \u003d |x |, na ibinigay sa pagitan (-1,1). 16. Palawakin sa isang seryeng Fourier sa mga tuntunin ng mga sine ang function f (x) \u003d 2x, na tinukoy sa pagitan (0,1).