Pagkatapos makatanggap ng pangkalahatang impormasyon tungkol sa mga pagkakapantay-pantay sa matematika, nagpapatuloy kami sa mas makitid na mga paksa. Ang materyal ng artikulong ito ay magbibigay ng ideya ng mga katangian ng mga pagkakapantay-pantay ng numero.

Ano ang numerical equality

Sa unang pagkakataon na makatagpo tayo ng mga pagkakapantay-pantay ng numero sa elementarya, kapag nakilala natin ang mga numero at ang konsepto ng "pareho". Yung. ang pinaka-primitive na pagkakapantay-pantay ng numero ay: 2 = 2, 5 = 5, atbp. At sa antas ng pag-aaral na iyon, tinawag namin silang mga simpleng pagkakapantay-pantay, nang hindi tinukoy ang "numerical", at inilatag sa kanila ang isang dami o ordinal na kahulugan (na dala ng mga natural na numero). Halimbawa, ang equation 2 = 2 ay tumutugma sa isang imahe na may dalawang bulaklak at dalawang bumblebee na nakadapo sa bawat isa. O, halimbawa, dalawang pila, kung saan ang Vasya at Vanya ay pangalawa sa pagkakasunud-sunod.

Habang lumilitaw ang kaalaman sa mga pagpapatakbo ng aritmetika, ang mga pagkakapantay-pantay ng numero ay nagiging mas kumplikado: 5 + 7 \u003d 12; 6 - 1 = 5; 2 1 = 2; 21:7 = 3, atbp. Pagkatapos ay magsisimulang magkaroon ng pagkakapantay-pantay, sa pagtatala kung saan lumalahok ang mga numerical na expression ng iba't ibang uri. Halimbawa, (2 + 2) + 5 = 2 + (5 + 2) ; 4 (4 − (1 + 2)) + 12: 4 − 1 = 4 1 + 3 − 1, atbp. Pagkatapos ay nakikilala natin ang iba pang mga uri ng mga numero, at ang mga pagkakapantay-pantay ng numero ay nagiging mas kawili-wili at magkakaibang.

Kahulugan 1

Pagkakapantay-pantay ng numero ay isang pagkakapantay-pantay, ang parehong bahagi nito ay binubuo ng mga numero at/o mga numerical na expression.

Mga katangian ng mga pagkakapantay-pantay ng numero

Mahirap na labis na timbangin ang kahalagahan ng mga katangian ng mga pagkakapantay-pantay ng numero sa matematika: ang mga ito ang batayan ng maraming bagay, tinutukoy ang prinsipyo ng pagtatrabaho sa mga pagkakapantay-pantay ng numero, mga pamamaraan ng solusyon, mga panuntunan para sa pagtatrabaho sa mga formula, at marami pang iba. Malinaw, mayroong isang pangangailangan para sa isang detalyadong pag-aaral ng mga katangian ng numerical equalities.

Ang mga katangian ng mga pagkakapantay-pantay sa numero ay ganap na naaayon sa kung paano tinukoy ang mga aksyon na may mga numero, gayundin sa kahulugan ng mga pantay na numero sa pamamagitan ng pagkakaiba: numero a ay katumbas ng bilang b lamang kapag ang pagkakaiba a-b mayroong zero. Dagdag pa sa paglalarawan ng bawat ari-arian, susubaybayan namin ang koneksyon na ito.

Mga pangunahing katangian ng mga pagkakapantay-pantay ng numero

Simulan nating pag-aralan ang mga katangian ng mga numerical equalities na may tatlong pangunahing katangian na likas sa lahat ng equalities. Inililista namin ang mga pangunahing katangian ng mga pagkakapantay-pantay ng numero:

• pag-aari ng reflexivity: a = a;
• katangian ng simetrya: kung a = b, pagkatapos b = a;
• transitivity property: kung a = b at b=c, pagkatapos a = c, kung saan ang a , b at c ay mga arbitrary na numero.

Kahulugan 2

Ang pag-aari ng reflexivity ay nagpapahiwatig ng katotohanan na ang isang numero ay katumbas ng sarili nito: halimbawa, 6 = 6, - 3 = - 3, 4 3 7 = 4 3 7, atbp.

Patunay 1

Madaling ipakita ang bisa ng pagkakapantay-pantay a − a = 0 para sa anumang numero a: pagkakaiba a - a maaaring isulat bilang kabuuan a + (− a), at ang pag-aari ng karagdagan ng mga numero ay nagbibigay sa amin ng pagkakataong igiit ang anumang numero a tumutugma sa tanging kabaligtaran na numero − a, at ang kanilang kabuuan ay zero.

Kahulugan 3

Ayon sa symmetry property ng mga numerical equalities: kung ang numero a ay katumbas ng bilang b,
ang numerong iyon b ay katumbas ng bilang a. Halimbawa, 4 3 = 64 , pagkatapos 64 = 4 3 .

Patunay 2

Maaari mong bigyang-katwiran ang property na ito sa pamamagitan ng pagkakaiba ng mga numero. kundisyon a = b tumutugma sa pagkakapantay-pantay a − b = 0. Patunayan natin yan b − a = 0.

Isulat natin ang pagkakaiba b - a bilang - (a - b), umaasa sa panuntunan para sa pagbubukas ng mga bracket na pinangungunahan ng minus sign. Ang bagong entry para sa expression ay - 0 , at ang kabaligtaran ng zero ay zero. kaya, b − a = 0, kaya: b = a.

Kahulugan 4

Ang property ng transitivity ng mga numerical equalities ay nagsasaad na ang dalawang numero ay pantay-pantay sa isa't isa kung sila ay magkasabay na katumbas ng ikatlong numero. Halimbawa, kung 81 = 9 at 9 = 3 2 , pagkatapos 81 = 3 2 .

Ang pag-aari ng transitivity ay tumutugma din sa kahulugan ng pantay na mga numero sa pamamagitan ng pagkakaiba at mga katangian ng mga operasyon na may mga numero. Pagkakapantay-pantay a = b at b=c tumutugma sa mga pagkakapantay-pantay a − b = 0 at b − c = 0.

Patunay 3

Patunayan natin ang pagkakapantay-pantay a − c = 0, kung saan susundan ang pagkakapantay-pantay ng mga numero a at c. Dahil ang pagdaragdag ng isang numero sa zero ay hindi nagbabago sa numero mismo, kung gayon a - c isulat sa form a + 0 − c. Sa halip na zero, pinapalitan namin ang kabuuan ng magkasalungat na numero −b at b, pagkatapos ang panghuling expression ay magiging: a + (− b + b) − c. Ipangkat natin ang mga tuntunin: (a − b) + (b − c). Ang mga pagkakaiba sa mga bracket ay katumbas ng zero, pagkatapos ay ang kabuuan (a − b) + (b − c) mayroong zero. Ito ay nagpapatunay na kapag a − b = 0 at b − c = 0, ang pagkakapantay-pantay a − c = 0, saan a = c.

Iba pang mahahalagang katangian ng mga pagkakapantay-pantay ng numero

Ang mga pangunahing katangian ng mga pagkakapantay-pantay ng numero na tinalakay sa itaas ay ang batayan para sa ilang karagdagang mga katangian na lubos na mahalaga sa konteksto ng pagsasanay. Ilista natin sila:

Kahulugan 5

Sa pamamagitan ng pagdaragdag sa (o pagbabawas mula sa) parehong bahagi ng pagkakapantay-pantay ng numero, na totoo, sa parehong numero, nakukuha namin ang tamang pagkakapantay-pantay sa numero. Isulat natin ito nang literal: kung a = b, saan a at b ay ilang mga numero, kung gayon a + c = b + c para sa anumang c.

Patunay 4

Bilang katwiran, isinusulat namin ang pagkakaiba (a + c) − (b + c).
Ang expression na ito ay madaling ma-convert sa form (a − b) + (c − c).
Mula sa a = b sa pamamagitan ng kondisyon ay sinusunod iyon a − b = 0 at c − c = 0, pagkatapos (a - b) + (c - c) = 0 + 0 = 0. Ito ay nagpapatunay na (a + c) − (b + c) = 0, samakatuwid, a + c = b + c;

Kahulugan 6

Kung ang parehong bahagi ng tamang pagkakapantay-pantay ng numero ay i-multiply sa anumang numero o hinati sa isang numero na hindi katumbas ng zero, makukuha natin ang tamang pagkakapantay-pantay sa numero.
Isulat natin ito nang literal: kailan a = b, pagkatapos a c = b c para sa anumang numero c. Kung c ≠ 0 kung gayon at a:c = b:c.

Patunay 5

Ang pagkakapantay-pantay ay totoo: a c − b c = (a − b) c = 0 c = 0, at ito ay nagpapahiwatig ng pagkakapantay-pantay ng mga produkto isang c at b c. At ang paghahati sa isang di-zero na numero c ay maaaring isulat bilang isang multiplikasyon ng katumbas ng 1 c;

Kahulugan 7

Sa a at b, naiiba mula sa zero at katumbas ng bawat isa, ang kanilang mga kapalit ay pantay din.
Isulat natin: kapag a ≠ 0 , b ≠ 0 at a = b, pagkatapos 1 a = 1 b. Ang matinding pagkakapantay-pantay ay hindi mahirap patunayan: para sa layuning ito, hinahati natin ang magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay a = b sa pamamagitan ng isang numero na katumbas ng produkto a b at hindi katumbas ng zero.

Itinuturo din namin ang ilang mga katangian na nagbibigay-daan sa pagdaragdag at pagpaparami ng mga kaukulang bahagi ng tamang pagkakapantay-pantay ng numero:

Kahulugan 8

Sa pamamagitan ng termino-by-term na pagdaragdag ng tamang mga pagkakapantay-pantay ng numero, ang tamang pagkakapantay-pantay ay makukuha. Ang ari-arian na ito ay nakasulat tulad ng sumusunod: kung a = b at c = d, pagkatapos a + c = b + d para sa anumang mga numero a , b , c at d.

Patunay 6

Posibleng patunayan ang kapaki-pakinabang na ari-arian na ito batay sa mga naunang nabanggit na katangian. Alam namin na ang anumang numero ay maaaring idagdag sa magkabilang panig ng isang tunay na pagkakapantay-pantay.
Patungo sa pagkakapantay-pantay a = b idagdag ang numero c, at sa pagkakapantay-pantay c = d- numero b, ang magiging resulta ay ang tamang mga pagkakapantay-pantay ng numero: a + c = b + c at c + b = d + b. Sinusulat namin ang huli sa form: b + c = b + d. Mula sa pagkakapantay-pantay a + c = b + c at b + c = b + d ayon sa pag-aari ng transitivity, ang pagkakapantay-pantay ay sumusunod a + c = b + d. Alin ang kailangang patunayan.

Kinakailangang linawin ang terminong iyon sa pamamagitan ng termino na posibleng magdagdag ng hindi lamang dalawang tunay na pagkakapantay-pantay ng numero, kundi tatlo o higit pa;

Kahulugan 7

Sa wakas, inilalarawan namin ang naturang property: ang term-by-term multiplication ng dalawang tamang numerical equalities ay nagbibigay ng tamang pagkakapantay-pantay. Isulat natin sa mga titik: kung a = b at c = d, pagkatapos a c = b d.

Patunay 7

Ang patunay ng ari-arian na ito ay katulad ng patunay ng nauna. I-multiply ang magkabilang panig ng equation sa anumang numero, i-multiply a = b sa c, a c = d sa b, nakukuha namin ang tamang mga pagkakapantay-pantay ng numero a c = b c at c b = d b. Sinusulat namin ang huling bilang b c = b d. Ang pag-aari ng transitivity ay ginagawang posible mula sa pagkakapantay-pantay a c = b c at b c = b d nakakakuha ng pagkakapantay-pantay a c = b d na kailangan nating patunayan.

At muli, nililinaw namin na ang property na ito ay naaangkop para sa dalawa, tatlo o higit pang mga pagkakapantay-pantay ng numero.
Kaya, maaaring isulat ng isa: kung a = b, pagkatapos a n = b n para sa anumang mga numero a at b, at anumang natural na numero n.

Tapusin natin ang artikulong ito sa pamamagitan ng pagkolekta ng lahat ng itinuturing na mga katangian para sa kalinawan:

Kung a = b , kung gayon b = a .

Kung a = b at b = c , kung gayon a = c .

Kung a = b , pagkatapos ay a + c = b + c .

Kung a = b, kung gayon a c = b c.

Kung a = b at c ≠ 0, a: c = b: c.

Kung a = b , a = b , a ≠ 0 at b ≠ 0 , pagkatapos ay 1 a = 1 b .

Kung a = b at c = d, pagkatapos ay a c = b d.

Kung a = b , pagkatapos ay a n = b n .

Kung may napansin kang pagkakamali sa teksto, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Ang pagkakaroon ng pangkalahatang ideya ng pagkakapantay-pantay sa matematika, maaari tayong magpatuloy sa isang mas detalyadong pag-aaral ng isyung ito. Sa artikulong ito, ipaliwanag natin, una, kung ano ang mga pagkakapantay-pantay ng numero, at, pangalawa, pag-aaralan natin.

Pag-navigate sa pahina.

Ano ang numerical equality?

Ang pagkilala sa mga pagkakapantay-pantay ng numero ay nagsisimula sa pinakaunang yugto ng pag-aaral ng matematika sa paaralan. Karaniwan itong nangyayari sa grade 1 pagkatapos na malaman ang mga unang numero mula 1 hanggang 9 at pagkatapos magkaroon ng kahulugan ang pariralang "the same". Pagkatapos ay lilitaw ang unang mga pagkakapantay-pantay ng numero, halimbawa, 1=1, 3=3, atbp., na sa yugtong ito ay karaniwang tinatawag na mga pagkakapantay-pantay nang walang paglilinaw na kahulugan ng "numerical".

Ang mga pagkakapantay-pantay ng tinukoy na uri sa yugtong ito ay binibigyan ng quantitative o ordinal na kahulugan, na naka-embed sa . Halimbawa, ang numerical equation 3=3 ay tumutugma sa larawan, na nagpapakita ng dalawang sanga ng isang puno, bawat isa ay may 3 ibon na nakaupo dito. O kapag ang ating mga kasama na sina Petya at Kolya ay pangatlo sa linya sa dalawang linya.

Pagkatapos pag-aralan ang mga operasyong aritmetika, mas maraming magkakaibang talaan ng mga pagkakapantay-pantay ng numero, halimbawa, 3+1=4, 7−2=5, 3 2=6, 8:4=2, atbp. Dagdag pa rito, ang mga numerical equalities ng isang mas kawili-wiling anyo ay nagsisimulang mangyari, na naglalaman ng iba't ibang bahagi sa kanilang mga bahagi, halimbawa, (2+1)+3=2+(1+3) , 4 (4−(1+2))+12:4−1=4 1+3−1 at mga katulad nito. Pagkatapos ay mayroong isang kakilala sa iba pang mga uri ng mga numero, at ang mga pagkakapantay-pantay ng numero ay nagiging mas magkakaibang.

Kaya, sapat na upang matalo sa paligid ng bush, oras na upang magbigay ng isang kahulugan ng pagkakapantay-pantay ng numero:

Kahulugan.

Pagkakapantay-pantay ng numero ay isang pagkakapantay-pantay, sa parehong bahagi kung saan mayroong mga numero at / o mga numerical na expression.

Mga katangian ng mga pagkakapantay-pantay ng numero

Ang mga prinsipyo ng pagtatrabaho sa mga numerical equalities ay tinutukoy ng kanilang mga katangian. At marami ang nakatali sa mga katangian ng mga pagkakapantay-pantay ng numero sa matematika: mula sa mga katangian ng paglutas ng mga equation at ilang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga sistema ng mga equation hanggang sa mga patakaran para sa pagtatrabaho sa mga formula na nag-uugnay sa iba't ibang dami. Ipinapaliwanag nito ang pangangailangan para sa isang detalyadong pag-aaral ng mga katangian ng mga pagkakapantay-pantay ng numero.

Ang mga katangian ng mga pagkakapantay-pantay ng numero ay ganap na sumasang-ayon sa kung paano tinukoy ang mga operasyon na may mga numero, at sumasang-ayon din sa kahulugan ng pantay na mga numero sa pamamagitan ng pagkakaiba: ang bilang a ay katumbas ng bilang b kung at kung ang pagkakaiba a−b ay katumbas ng zero. Sa ibaba, kapag inilalarawan ang bawat pag-aari, susubaybayan namin ang koneksyon na ito.

Mga pangunahing katangian ng mga pagkakapantay-pantay ng numero

Ang pagsusuri sa mga katangian ng mga pagkakapantay-pantay ng numero ay dapat magsimula sa tatlong pangunahing katangian na katangian ng lahat ng pagkakapantay-pantay nang walang pagbubukod. Kaya, pangunahing katangian ng mga pagkakapantay-pantay ng numero ito:

• reflexivity property: a=a ;
• katangian ng simetrya: kung a=b , kung gayon b=a ;
• at ang transitivity property: kung a=b at b=c , pagkatapos a=c ,

kung saan ang a , b at c ay mga arbitrary na numero.

Ang reflexivity property ng mga numerical equalities ay tumutukoy sa katotohanan na ang isang numero ay katumbas ng sarili nito. Halimbawa, 5=5 , −2=−2 , atbp.

Madaling ipakita na para sa anumang numero a ang pagkakapantay-pantay a−a=0 ay totoo. Sa katunayan, ang pagkakaiba a−a ay maaaring muling isulat bilang kabuuan a+(−a) , at mula sa mga katangian ng pagdaragdag ng numero alam natin na para sa anumang numero a mayroong isang natatanging −a , at ang kabuuan ng magkasalungat na mga numero ay katumbas ng zero .

Ang symmetry property ng mga numerical equalities ay nagsasaad na kung ang numero a ay katumbas ng numero b, kung gayon ang numero b ay katumbas ng numero a. Halimbawa, kung 2 3 =8 (tingnan ang ), pagkatapos ay 8=2 3 .

Binibigyang-katwiran namin ang pag-aari na ito sa pamamagitan ng pagkakaiba ng mga numero. Ang kundisyon a=b ay tumutugma sa pagkakapantay-pantay a−b=0 . Ipakita natin na b−a=0 . Ang panuntunan para sa pagbubukas ng mga bracket na pinangungunahan ng isang minus sign ay nagpapahintulot sa amin na muling isulat ang pagkakaiba b−a bilang −(a−b) , na kung saan ay katumbas ng −0 , at ang bilang na kabaligtaran ng zero ay zero. Samakatuwid, b−a=0 , na nagpapahiwatig na b=a .

Ang property ng transitivity ng mga numerical equalities ay nagsasaad na ang dalawang numero ay pantay-pantay kapag pareho silang katumbas ng ikatlong numero. Halimbawa, ito ay sumusunod mula sa mga pagkakapantay-pantay (tingnan ) at 4=2 2 na .

Ang pag-aari na ito ay naaayon din sa kahulugan ng pantay na mga numero sa pamamagitan ng pagkakaiba at mga katangian ng mga operasyon na may mga numero. Sa katunayan, ang mga pagkakapantay-pantay na a=b at b=c ay tumutugma sa mga pagkakapantay-pantay na a−b=0 at b−c=0 . Ipakita natin na a−c=0 , kung saan susunod na ang mga numerong a at c ay pantay. Dahil ang pagdaragdag ng zero ay hindi nagbabago sa numero, ang a−c ay maaaring muling isulat bilang a+0−c . Ang zero ay pinalitan ng kabuuan ng magkasalungat na numero −b at b , habang ang huling expression ay nasa anyong a+(−b+b)−c . Ngayon ay maaari nating pangkatin ang mga termino tulad ng sumusunod: (a−b)+(b−c) . At ang mga pagkakaiba sa mga bracket ay mga zero, kaya ang kabuuan (a−b)+(b−c) ay katumbas ng zero. Ito ay nagpapatunay na, sa ilalim ng kondisyong a−b=0 at b−c=0, ang pagkakapantay-pantay na a−c=0 ay humahawak, kung saan a=c .

Iba pang mahahalagang katangian

Mula sa mga pangunahing katangian ng mga pagkakapantay-pantay ng numero, na sinuri sa nakaraang talata, sumusunod ang ilang mga katangian na may nasasalat na praktikal na halaga. Hatiin natin sila.

Magsimula tayo sa property na ito: kung idaragdag mo (o ibawas) ang parehong numero sa parehong bahagi ng isang tunay na pagkakapantay-pantay ng numero, makakakuha ka ng tunay na pagkakapantay-pantay ng numero. Gamit ang mga titik, maaari itong isulat tulad nito: kung a=b , kung saan ang a at b ay ilang mga numero, pagkatapos ay a+c=b+c para sa anumang numero c .

Upang bigyang-katwiran, binubuo namin ang pagkakaiba (a+c)−(b+c) . Maaari itong i-convert sa anyo (a−b)+(c−c) . Dahil a=b ​​sa pamamagitan ng convention, kung gayon a−b=0 , at c−c=0 , kaya (a−b)+(c−c)=0+0=0 . Ito ay nagpapatunay na (a+c)−(b+c)=0 , kaya a+c=b+c .

Higit pa tayo: kung ang parehong bahagi ng isang tunay na pagkakapantay-pantay ng numero ay i-multiply sa anumang numero o hinati sa isang hindi-zero na numero, pagkatapos ay makukuha natin ang tamang pagkakapantay-pantay ng numero. Iyon ay, kung a=b , pagkatapos ay a c=b c para sa anumang numero c , at kung c ay isang hindi-zero na numero, kung gayon a:c=b:c .

Sa katunayan, ang a·c−b·c=(a−b)·c=0·c=0 , na nagpapahiwatig na ang mga produkto ng a·c at b·c ay pantay. At ang paghahati sa isang di-zero na numerong c ay maaaring isipin bilang pagpaparami ng 1/c.

Mula sa nasuri na pag-aari ng mga pagkakapantay-pantay ng numero, sumusunod ang isang kapaki-pakinabang na kahihinatnan: kung ang a at b ay naiiba sa zero at magkaparehong mga numero, kung gayon ang kanilang mga kapalit ay pantay din. Iyon ay, kung a≠0 , b≠0 at a=b , pagkatapos ay 1/a=1/b . Ang huling pagkakapantay-pantay ay madaling patunayan: para dito, sapat na upang hatiin ang parehong bahagi ng orihinal na pagkakapantay-pantay a=b sa isang hindi-zero na numero na katumbas ng produkto a b .

At pag-isipan natin ang dalawa pang pag-aari na nagbibigay-daan sa atin na idagdag at i-multiply ang mga kaukulang bahagi ng tamang pagkakapantay-pantay ng numero.

Kung idinagdag mo ang tamang termino ng pagkakapantay-pantay ng numero ayon sa termino, makukuha mo ang tamang pagkakapantay-pantay. Iyon ay, kung a=b at c=d , pagkatapos ay a+c=b+d para sa anumang mga numero a , b , c at d .

Bigyan natin ng katwiran ang property na ito ng mga numerical equalities, simula sa mga property na alam na natin. Alam na maaari tayong magdagdag ng anumang numero sa parehong bahagi ng isang tunay na pagkakapantay-pantay. Sa pagkakapantay-pantay a=b idinaragdag namin ang numerong c, at sa pagkakapantay-pantay c+d idinaragdag namin ang numerong b, bilang isang resulta ay nakukuha namin ang tamang mga pagkakapantay-pantay ng numero a+c=b+c at c+b=d+b , ang huling kung saan muli naming isinusulat bilang b+c= b+d. Mula sa mga pagkakapantay-pantay na a+c=b+c at b+c=b+d, sa pamamagitan ng katangian ng transitivity, ang pagkakapantay-pantay na a+c=b+d ay sumusunod, na dapat patunayan.

Tandaan na posibleng magdagdag ng termino sa pamamagitan ng termino hindi lamang ng dalawang tamang pagkakapantay-pantay ng numero, kundi pati na rin sa tatlo, at apat, at anumang may hangganang bilang ng mga ito.

Kinukumpleto namin ang pagsusuri ng mga katangian ng mga pagkakapantay-pantay ng numero na may sumusunod na katangian: kung i-multiply namin ang dalawang tamang termino ng pagkakapantay-pantay sa numero sa pamamagitan ng termino, makukuha namin ang tamang pagkakapantay-pantay. Pormal na bumalangkas tayo: kung a=b at c=d , pagkatapos ay a c=b d .

Ang patunay ng ari-arian na ito ay katulad ng patunay ng nauna. Maaari nating i-multiply ang magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay sa anumang numero, i-multiply ang a=b sa c, at c=d sa b, nakukuha natin ang tamang mga pagkakapantay-pantay ng numero a c=b c at c b=d b , ang huli ay isinusulat nating muli bilang b c=b d . Pagkatapos, sa pamamagitan ng pag-aari ng transitivity, ang mga pagkakapantay-pantay na a·c=b·c at b·c=b·d ay nagpapahiwatig ng kinakailangang pagkakapantay-pantay a·c=b·d .

Tandaan na ang voiced property ay totoo para sa term-by-term multiplication ng tatlo o higit pang tamang numerical equalities. Ito ay sumusunod mula sa pahayag na ito na kung a=b , pagkatapos ay a n =b n para sa anumang mga numero a at b , at anumang natural na numero n .

Sa dulo ng artikulong ito, isinusulat namin ang lahat ng nasuri na katangian ng mga pagkakapantay-pantay ng numero sa isang talahanayan:

Bibliograpiya.

• Moro M.I.. Mathematics. Proc. para sa 1 cl. maaga paaralan Sa 2 p. Bahagi 1. (Unang kalahating taon) / M. I. Moro, S. I. Volkova, S. V. Stepanova. - ika-6 na ed. - M.: Enlightenment, 2006. - 112 p.: ill. + App. (2 magkahiwalay na l. may sakit). - ISBN 5-09-014951-8.
• Algebra: aklat-aralin para sa 7 mga cell. Pangkalahatang edukasyon institusyon / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teleyakovsky. - ika-17 na ed. - M. : Edukasyon, 2008. - 240 p. : may sakit. - ISBN 978-5-09-019315-3.

At ngayon suriin natin ang gawaing ito nang detalyado.

Isaalang-alang ang susunod na cell sa pyramid.

Alam natin na ang 11 ay ang kabuuan ng 7 at isa pang hindi kilalang numero. Malinaw, ang pangalawang numero ay 4, kaya maaari naming punan ang cell sa kanan sa unang hilera.

May isang walang laman na cell na natitira sa pyramid. Dapat itong maglaman ng isang numero, pagdaragdag sa kung saan ang 7 ay dapat makakuha ng 12. Kaya. sa walang laman na cell sa kaliwa sa unang hilera ay dapat ang numero 5.

Isaalang-alang ang mga cell sa pangalawang hilera. Dapat mayroong dalawang numero sa kabuuan na dapat ay katumbas ng 24. Kasabay nito, tandaan na upang makuha ang ninanais na dalawang numero sa pangalawang hanay, kailangan mong magdagdag ng 3 at 5 sa ilang hindi kilalang numero, na kung saan ay na matatagpuan sa gitnang cell ng unang hilera, iyon ay, ang pagkakaiba ng dalawang numerong ito ay dapat na katumbas ng 2. Ang mga numero 11 at 13 ay angkop para sa mga kundisyong ito, dahil 11 + 13 \u003d 24, at sa kabilang banda 13 - 11 \ u003d 2. Kaya, maaari nating punan ang mga cell ng 2nd row.

At nananatili itong hanapin ang huling numero sa unang hilera. Ang numerong ito ay maaaring makuha kung ito ay idinagdag sa 3 at pagkatapos ay makakakuha tayo ng 11. Kaya. ang numerong ito ay 8.