Sa artikulong ito, ang pamamaraan ay itinuturing bilang isang paraan upang malutas ang mga sistema ng linear equation (SLAE). Ang pamamaraan ay analytical, iyon ay, pinapayagan ka nitong magsulat ng isang pangkalahatang algorithm ng solusyon, at pagkatapos ay palitan ang mga halaga mula sa mga tiyak na halimbawa doon. Hindi tulad ng pamamaraan ng matrix o mga formula ng Cramer, kapag nilulutas ang isang sistema ng mga linear na equation gamit ang pamamaraang Gauss, maaari ka ring makipagtulungan sa mga may walang katapusang maraming solusyon. O wala sila nito.

Ano ang ibig sabihin ng Gauss?

Una kailangan mong isulat ang aming sistema ng mga equation sa Mukhang ganito. Ang sistema ay kinuha:

Ang mga coefficient ay nakasulat sa anyo ng isang talahanayan, at sa kanan sa isang hiwalay na hanay - mga libreng miyembro. Ang column na may mga libreng miyembro ay pinaghihiwalay para sa kaginhawahan. Ang matrix na kinabibilangan ng column na ito ay tinatawag na extended.

Dagdag pa, ang pangunahing matrix na may mga coefficient ay dapat na bawasan sa itaas na tatsulok na hugis. Ito ang pangunahing punto ng paglutas ng sistema sa pamamagitan ng pamamaraang Gauss. Sa madaling salita, pagkatapos ng ilang mga manipulasyon, ang matrix ay dapat magmukhang ganito, upang mayroong mga zero lamang sa ibabang kaliwang bahagi nito:

Pagkatapos, kung isusulat mo muli ang bagong matrix bilang isang sistema ng mga equation, mapapansin mo na ang huling hilera ay naglalaman na ng halaga ng isa sa mga ugat, na pagkatapos ay ihahalili sa equation sa itaas, isa pang ugat ang matatagpuan, at iba pa.

Ito ay isang paglalarawan ng solusyon sa pamamagitan ng pamamaraang Gauss sa mga pinaka-pangkalahatang termino. At ano ang mangyayari kung biglang walang solusyon ang sistema? O mayroon bang walang katapusang bilang ng mga ito? Upang masagot ang mga ito at marami pang mga katanungan, kinakailangang isaalang-alang nang hiwalay ang lahat ng mga elementong ginamit sa solusyon ng pamamaraang Gauss.

Matrices, ang kanilang mga katangian

Walang nakatagong kahulugan sa matris. Isa lang itong maginhawang paraan para mag-record ng data para sa mga operasyon sa ibang pagkakataon. Kahit na ang mga mag-aaral ay hindi dapat matakot sa kanila.

Ang matrix ay palaging hugis-parihaba, dahil ito ay mas maginhawa. Kahit na sa paraan ng Gauss, kung saan ang lahat ay bumababa sa pagbuo ng isang tatsulok na matrix, isang parihaba ang lilitaw sa entry, na may mga zero lamang sa lugar kung saan walang mga numero. Maaaring tanggalin ang mga zero, ngunit ipinahiwatig ang mga ito.

Ang matrix ay may sukat. Ang "lapad" nito ay ang bilang ng mga hilera (m), ang "haba" nito ay ang bilang ng mga hanay (n). Pagkatapos ay ang laki ng matrix A (kadalasang ginagamit ang malalaking letrang Latin para sa kanilang pagtatalaga) ay ilalarawan bilang A m×n . Kung m=n, ang matrix na ito ay parisukat, at m=n ang pagkakasunod-sunod nito. Alinsunod dito, ang anumang elemento ng matrix A ay maaaring tukuyin ng bilang ng row at column nito: a xy ; x - row number, pagbabago , y - column number, pagbabago .

Ang B ay hindi ang pangunahing punto ng solusyon. Sa prinsipyo, ang lahat ng mga operasyon ay maaaring isagawa nang direkta sa mga equation mismo, ngunit ang notasyon ay magiging mas masalimuot, at magiging mas madaling malito dito.

Determinant

Ang matrix ay mayroon ding determinant. Ito ay isang napakahalagang tampok. Ang paghahanap ng kahulugan nito ngayon ay hindi katumbas ng halaga, maaari mo lamang ipakita kung paano ito kinakalkula, at pagkatapos ay sabihin kung anong mga katangian ng matrix ang tinutukoy nito. Ang pinakamadaling paraan upang mahanap ang determinant ay sa pamamagitan ng mga diagonal. Ang mga haka-haka na diagonal ay iginuhit sa matrix; ang mga elemento na matatagpuan sa bawat isa sa kanila ay pinarami, at pagkatapos ay idinagdag ang mga nagresultang produkto: mga diagonal na may slope sa kanan - na may "plus" sign, na may slope sa kaliwa - na may "minus" sign.

Napakahalagang tandaan na ang determinant ay maaari lamang kalkulahin para sa isang square matrix. Para sa isang parihabang matrix, magagawa mo ang sumusunod: piliin ang pinakamaliit sa bilang ng mga row at ang bilang ng mga column (hayaan itong k), at pagkatapos ay random na markahan ang k column at k row sa matrix. Ang mga elementong matatagpuan sa intersection ng mga napiling column at row ay bubuo ng bagong square matrix. Kung ang determinant ng naturang matrix ay isang numero maliban sa zero, kung gayon ito ay tinatawag na batayang minor ng orihinal na hugis-parihaba na matrix.

Bago magpatuloy sa solusyon ng sistema ng mga equation sa pamamagitan ng pamamaraang Gauss, hindi masakit na kalkulahin ang determinant. Kung ito ay naging zero, pagkatapos ay maaari nating agad na sabihin na ang matrix ay may alinman sa isang walang katapusang bilang ng mga solusyon, o wala sa lahat. Sa ganitong malungkot na kaso, kailangan mong pumunta pa at alamin ang tungkol sa ranggo ng matrix.

Pag-uuri ng system

Mayroong isang bagay bilang ranggo ng isang matrix. Ito ang pinakamataas na pagkakasunud-sunod ng non-zero determinant nito (pag-alala sa batayang menor, maaari nating sabihin na ang ranggo ng isang matrix ay ang pagkakasunud-sunod ng batayang menor).

Ayon sa kung paano ang mga bagay ay may ranggo, ang SLAE ay maaaring hatiin sa:

• Pinagsama. Sa ng magkasanib na mga sistema, ang ranggo ng pangunahing matrix (na binubuo lamang ng mga coefficient) ay nag-tutugma sa ranggo ng pinalawig (na may isang haligi ng mga libreng miyembro). Ang ganitong mga sistema ay may isang solusyon, ngunit hindi kinakailangan isa, samakatuwid, ang magkasanib na mga sistema ay karagdagang nahahati sa:
• - tiyak- pagkakaroon ng natatanging solusyon. Sa ilang mga sistema, ang ranggo ng matrix at ang bilang ng mga hindi alam (o ang bilang ng mga column, na parehong bagay) ay pantay;
• - walang katiyakan - na may walang katapusang bilang ng mga solusyon. Ang ranggo ng mga matrice para sa mga naturang sistema ay mas mababa kaysa sa bilang ng mga hindi alam.
• Hindi magkatugma. Sa tulad ng mga sistema, ang mga ranggo ng pangunahing at pinalawig na matrice ay hindi nag-tutugma. Ang mga hindi katugmang sistema ay walang solusyon.

Ang pamamaraan ng Gauss ay mabuti dahil pinapayagan nito ang isa na makakuha ng alinman sa isang hindi malabo na patunay ng hindi pagkakapare-pareho ng system (nang hindi kinakalkula ang mga determinant ng malalaking matrice) o isang pangkalahatang solusyon para sa isang sistema na may walang katapusang bilang ng mga solusyon.

Mga pagbabago sa elementarya

Bago magpatuloy nang direkta sa solusyon ng system, posible na gawin itong mas mahirap at mas maginhawa para sa mga kalkulasyon. Ito ay nakakamit sa pamamagitan ng elementarya na pagbabago - na ang kanilang pagpapatupad ay hindi nagbabago sa panghuling sagot sa anumang paraan. Dapat pansinin na ang ilan sa mga pagbabagong elementarya sa itaas ay may bisa lamang para sa mga matrice, ang pinagmulan nito ay ang SLAE. Narito ang isang listahan ng mga pagbabagong ito:

1. String permutation. Malinaw na kung babaguhin natin ang pagkakasunud-sunod ng mga equation sa talaan ng system, hindi ito makakaapekto sa solusyon sa anumang paraan. Dahil dito, posible ring magpalitan ng mga hilera sa matrix ng sistemang ito, hindi nalilimutan, siyempre, ang tungkol sa hanay ng mga libreng miyembro.
2. Pagpaparami ng lahat ng elemento ng isang string sa pamamagitan ng ilang kadahilanan. Napaka-kapaki-pakinabang! Gamit ito, maaari mong bawasan ang malalaking numero sa matrix o alisin ang mga zero. Ang hanay ng mga solusyon, gaya ng dati, ay hindi magbabago, at magiging mas maginhawang magsagawa ng karagdagang mga operasyon. Ang pangunahing bagay ay ang koepisyent ay hindi katumbas ng zero.
3. Tanggalin ang mga row na may proportional coefficient. Ito ay bahagyang sumusunod mula sa nakaraang talata. Kung ang dalawa o higit pang mga hilera sa matrix ay may mga proporsyonal na koepisyent, kung gayon kapag ang pag-multiply / paghahati ng isa sa mga hilera sa pamamagitan ng koepisyent ng proporsyonalidad, dalawa (o, muli, higit pa) ganap na magkaparehong mga hilera ay nakuha, at maaari mong alisin ang mga dagdag, na naiwan lamang isa.
4. Pag-alis ng null line. Kung sa kurso ng mga pagbabagong-anyo ang isang string ay nakuha sa isang lugar kung saan ang lahat ng mga elemento, kabilang ang libreng miyembro, ay zero, kung gayon ang gayong string ay maaaring tawaging zero at itinapon sa labas ng matrix.
5. Pagdaragdag sa mga elemento ng isang hilera ng mga elemento ng isa pa (sa kaukulang mga haligi), na pinarami ng isang tiyak na koepisyent. Ang pinaka malabo at pinakamahalagang pagbabago sa lahat. Ito ay nagkakahalaga ng pag-iisip tungkol dito nang mas detalyado.

Pagdaragdag ng isang string na pinarami ng isang kadahilanan

Para sa kadalian ng pag-unawa, sulit na i-disassembling ang prosesong ito nang sunud-sunod. Dalawang hilera ang kinuha mula sa matrix:

isang 11 a 12 ... isang 1n | b1

isang 21 a 22 ... isang 2n | b 2

Ipagpalagay na kailangan mong idagdag ang una sa pangalawa, na pinarami ng koepisyent na "-2".

a" 21 \u003d a 21 + -2 × a 11

a" 22 \u003d a 22 + -2 × a 12

a" 2n \u003d a 2n + -2 × a 1n

Pagkatapos sa matrix ang pangalawang hilera ay pinalitan ng bago, at ang una ay nananatiling hindi nagbabago.

isang 11 a 12 ... isang 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Dapat tandaan na ang multiplication factor ay maaaring mapili sa paraang, bilang resulta ng pagdaragdag ng dalawang string, ang isa sa mga elemento ng bagong string ay katumbas ng zero. Samakatuwid, posibleng makakuha ng equation sa system, kung saan magkakaroon ng hindi gaanong kilala. At kung makakakuha ka ng dalawang tulad na mga equation, pagkatapos ay ang operasyon ay maaaring gawin muli at makakuha ng isang equation na naglalaman na ng dalawang mas kaunting hindi alam. At kung sa bawat oras na lumiko tayo sa zero isang koepisyent para sa lahat ng mga hilera na mas mababa kaysa sa orihinal, maaari tayong, tulad ng mga hakbang, bumaba sa pinakailalim ng matrix at makakuha ng isang equation na may isang hindi alam. Ito ay tinatawag na paglutas ng sistema gamit ang Gaussian method.

Sa pangkalahatan

Magkaroon ng sistema. Mayroon itong m equation at n hindi kilalang ugat. Maaari mong isulat ito tulad nito:

Ang pangunahing matrix ay pinagsama-sama mula sa mga coefficient ng system. Ang isang column ng mga libreng miyembro ay idinagdag sa pinalawig na matrix at pinaghihiwalay ng isang bar para sa kaginhawahan.

• ang unang hilera ng matrix ay pinarami ng koepisyent k = (-a 21 / a 11);
• ang unang binagong hilera at ang pangalawang hilera ng matrix ay idinagdag;
• sa halip na ang pangalawang hilera, ang resulta ng karagdagan mula sa nakaraang talata ay ipinasok sa matrix;
• ngayon ang unang koepisyent sa bagong pangalawang hanay ay isang 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Ngayon ang parehong serye ng mga pagbabagong-anyo ay ginaganap, ang una at ikatlong mga hanay lamang ang kasangkot. Alinsunod dito, sa bawat hakbang ng algorithm, ang elementong a 21 ay pinapalitan ng isang 31 . Pagkatapos ang lahat ay paulit-ulit para sa isang 41 , ... a m1 . Ang resulta ay isang matrix kung saan ang unang elemento sa mga hilera ay katumbas ng zero. Ngayon kailangan nating kalimutan ang tungkol sa numero unong linya at isagawa ang parehong algorithm simula sa pangalawang linya:

• koepisyent k \u003d (-a 32 / a 22);
• ang pangalawang binagong linya ay idinagdag sa "kasalukuyang" linya;
• ang resulta ng karagdagan ay pinapalitan sa ikatlo, ikaapat, at iba pa na mga linya, habang ang una at pangalawa ay nananatiling hindi nagbabago;
• sa mga hilera ng matrix, ang unang dalawang elemento ay katumbas na ng zero.

Dapat na ulitin ang algorithm hanggang lumitaw ang coefficient k = (-a m,m-1 /a mm). Nangangahulugan ito na ang huling beses na naisakatuparan ang algorithm ay para lamang sa mas mababang equation. Ngayon ang matrix ay mukhang isang tatsulok, o may isang stepped na hugis. Ang ilalim na linya ay naglalaman ng pagkakapantay-pantay a mn × x n = b m . Ang koepisyent at libreng termino ay kilala, at ang ugat ay ipinahayag sa pamamagitan ng mga ito: x n = b m /a mn. Ang resultang ugat ay pinapalitan sa itaas na hilera upang mahanap ang x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1 . At iba pa sa pamamagitan ng pagkakatulad: sa bawat susunod na linya mayroong isang bagong ugat, at, na naabot ang "tuktok" ng system, maaari kang makahanap ng maraming mga solusyon. Ito ay magiging isa lamang.

Kapag walang solusyon

Kung sa isa sa mga hilera ng matrix ang lahat ng mga elemento, maliban sa libreng termino, ay katumbas ng zero, kung gayon ang equation na naaayon sa hilera na ito ay mukhang 0 = b. Wala itong solusyon. At dahil ang naturang equation ay kasama sa system, kung gayon ang hanay ng mga solusyon ng buong sistema ay walang laman, iyon ay, ito ay degenerate.

Kapag mayroong walang katapusang bilang ng mga solusyon

Maaaring lumabas na sa pinababang triangular matrix ay walang mga hilera na may isang elemento-ang koepisyent ng equation, at isa - isang libreng miyembro. Mayroon lamang mga string na, kapag muling isinulat, ay magmumukhang isang equation na may dalawa o higit pang mga variable. Nangangahulugan ito na ang sistema ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon. Sa kasong ito, ang sagot ay maaaring ibigay sa anyo ng isang pangkalahatang solusyon. Paano ito gagawin?

Ang lahat ng mga variable sa matrix ay nahahati sa basic at libre. Basic - ito ang mga nakatayo "sa gilid" ng mga hilera sa stepped matrix. Ang iba ay libre. Sa pangkalahatang solusyon, ang mga pangunahing variable ay nakasulat sa mga tuntunin ng mga libre.

Para sa kaginhawahan, ang matrix ay unang muling isinulat pabalik sa isang sistema ng mga equation. Pagkatapos sa huli sa kanila, kung saan eksaktong isang pangunahing variable lamang ang natitira, nananatili ito sa isang panig, at lahat ng iba pa ay inilipat sa isa pa. Ginagawa ito para sa bawat equation na may isang pangunahing variable. Pagkatapos, sa iba pang mga equation, kung saan posible, sa halip na ang pangunahing variable, ang expression na nakuha para dito ay pinapalitan. Kung ang resulta ay muling isang expression na naglalaman lamang ng isang pangunahing variable, ito ay ipinahayag mula doon muli, at iba pa, hanggang sa ang bawat pangunahing variable ay nakasulat bilang isang expression na may mga libreng variable. Ito ang pangkalahatang solusyon ng SLAE.

Maaari mo ring mahanap ang pangunahing solusyon ng system - bigyan ang mga libreng variable ng anumang mga halaga, at pagkatapos ay para sa partikular na kaso kalkulahin ang mga halaga ng mga pangunahing variable. Mayroong walang katapusang maraming partikular na solusyon.

Solusyon na may mga tiyak na halimbawa

Narito ang sistema ng mga equation.

Para sa kaginhawahan, mas mahusay na agad na lumikha ng matrix nito

Ito ay kilala na kapag ang paglutas sa pamamagitan ng Gauss method, ang equation na tumutugma sa unang hilera ay mananatiling hindi nagbabago sa dulo ng mga pagbabagong-anyo. Samakatuwid, ito ay magiging mas kumikita kung ang itaas na kaliwang elemento ng matrix ay ang pinakamaliit - kung gayon ang mga unang elemento ng natitirang mga hilera pagkatapos ng mga operasyon ay magiging zero. Nangangahulugan ito na sa pinagsama-samang matrix ay magiging kapaki-pakinabang na ilagay ang pangalawa sa lugar ng unang hilera.

pangalawang linya: k = (-a 21 / a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 \u003d a 21 + k × a 11 \u003d 3 + (-3) × 1 \u003d 0

a" 22 \u003d a 22 + k × a 12 \u003d -1 + (-3) × 2 \u003d -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b "2 \u003d b 2 + k × b 1 \u003d 12 + (-3) × 12 \u003d -24

ikatlong linya: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b "3 \u003d b 3 + k × b 1 \u003d 3 + (-5) × 12 \u003d -57

Ngayon, upang hindi malito, kinakailangan na isulat ang matrix na may mga intermediate na resulta ng mga pagbabagong-anyo.

Malinaw na ang gayong matrix ay maaaring gawing mas maginhawa para sa pang-unawa sa tulong ng ilang mga operasyon. Halimbawa, maaari mong alisin ang lahat ng "minus" mula sa pangalawang linya sa pamamagitan ng pagpaparami ng bawat elemento sa "-1".

Kapansin-pansin din na sa ikatlong hilera ang lahat ng mga elemento ay multiple ng tatlo. Pagkatapos ay maaari mong bawasan ang string sa pamamagitan ng numerong ito, i-multiply ang bawat elemento sa "-1/3" (minus - sa parehong oras upang alisin ang mga negatibong halaga).

Mukhang mas maganda. Ngayon kailangan nating iwanan ang unang linya at magtrabaho kasama ang pangalawa at pangatlo. Ang gawain ay upang idagdag ang pangalawang hilera sa ikatlong hilera, na pinarami ng isang kadahilanan na ang elementong a 32 ay naging katumbas ng zero.

k = (-a 32 / a 22) = (-3/7) = -3/7 fraction, at pagkatapos lamang, kapag natanggap na ang mga sagot, magpasya kung i-round up at isasalin sa ibang anyo ng notasyon)

a" 32 = a 32 + k × a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 \u003d a 33 + k × a 23 \u003d 6 + (-3/7) × 11 \u003d -9/7

b "3 \u003d b 3 + k × b 2 \u003d 19 + (-3/7) × 24 \u003d -61/7

Ang matrix ay isinulat muli gamit ang mga bagong halaga.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

Tulad ng nakikita mo, ang resultang matrix ay mayroon nang stepped form. Samakatuwid, ang mga karagdagang pagbabago ng sistema sa pamamagitan ng pamamaraang Gauss ay hindi kinakailangan. Ang maaaring gawin dito ay alisin ang kabuuang koepisyent na "-1/7" mula sa ikatlong linya.

Ngayon ang lahat ay maganda. Ang punto ay maliit - isulat muli ang matrix sa anyo ng isang sistema ng mga equation at kalkulahin ang mga ugat

x + 2y + 4z = 12(1)

7y + 11z = 24 (2)

Ang algorithm kung saan matatagpuan ang mga ugat ay tinatawag na reverse move sa pamamaraang Gauss. Ang equation (3) ay naglalaman ng halaga ng z:

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

At ang unang equation ay nagpapahintulot sa iyo na mahanap ang x:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4x(61/9) - 2x(-65/9) = -6/9 = -2/3

May karapatan tayong tawagan ang naturang sistemang magkasanib, at maging tiyak, iyon ay, pagkakaroon ng natatanging solusyon. Ang tugon ay nakasulat sa sumusunod na anyo:

x 1 \u003d -2/3, y \u003d -65/9, z \u003d 61/9.

Isang halimbawa ng isang hindi tiyak na sistema

Ang variant ng paglutas ng isang tiyak na sistema sa pamamagitan ng paraan ng Gauss ay nasuri, ngayon ay kinakailangan na isaalang-alang ang kaso kung ang sistema ay hindi tiyak, iyon ay, walang hanggan maraming mga solusyon ang matatagpuan para dito.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Ang mismong anyo ng system ay nakakaalarma na, dahil ang bilang ng mga hindi alam ay n = 5, at ang ranggo ng matrix ng system ay eksaktong mas mababa kaysa sa numerong ito, dahil ang bilang ng mga hilera ay m = 4, iyon ay, ang pinakamalaking pagkakasunod-sunod ng square determinant ay 4. Nangangahulugan ito na mayroong walang katapusang bilang ng mga solusyon, at kinakailangang hanapin ang pangkalahatang anyo nito. Ginagawang posible ng pamamaraang Gauss para sa mga linear na equation na gawin ito.

Una, tulad ng dati, ang augmented matrix ay pinagsama-sama.

Pangalawang linya: koepisyent k = (-a 21 / a 11) = -3. Sa ikatlong linya, ang unang elemento ay bago ang mga pagbabagong-anyo, kaya hindi mo kailangang hawakan ang anumang bagay, kailangan mong iwanan ito bilang ito ay. Ikaapat na linya: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

Ang pagpaparami ng mga elemento ng unang hilera sa bawat isa sa kanilang mga coefficient sa turn at pagdaragdag ng mga ito sa nais na mga hilera, nakakakuha kami ng isang matrix ng sumusunod na anyo:

Tulad ng nakikita mo, ang pangalawa, pangatlo at ikaapat na hanay ay binubuo ng mga elemento na proporsyonal sa bawat isa. Ang pangalawa at ikaapat ay karaniwang pareho, kaya ang isa sa mga ito ay maaaring alisin kaagad, at ang natitira ay pinarami ng koepisyent na "-1" at makakuha ng numero ng linya 3. At muli, iwanan ang isa sa dalawang magkaparehong linya.

Ito ay naging tulad ng isang matrix. Ang sistema ay hindi pa naisulat, kinakailangan dito upang matukoy ang mga pangunahing variable - nakatayo sa mga coefficient ng isang 11 \u003d 1 at isang 22 \u003d 1, at libre - lahat ng iba pa.

Ang pangalawang equation ay mayroon lamang isang pangunahing variable - x 2 . Kaya, maaari itong ipahayag mula doon, pagsulat sa pamamagitan ng mga variable x 3 , x 4 , x 5 , na libre.

Pinapalitan namin ang nagresultang expression sa unang equation.

Ito ay naging isang equation kung saan ang tanging pangunahing variable ay x 1. Gawin natin ito tulad ng sa x 2 .

Ang lahat ng mga pangunahing variable, kung saan mayroong dalawa, ay ipinahayag sa mga tuntunin ng tatlong libre, ngayon ay maaari mong isulat ang sagot sa isang pangkalahatang anyo.

Maaari mo ring tukuyin ang isa sa mga partikular na solusyon ng system. Para sa mga ganitong kaso, bilang panuntunan, ang mga zero ay pinili bilang mga halaga para sa mga libreng variable. Pagkatapos ang sagot ay:

16, 23, 0, 0, 0.

Isang halimbawa ng hindi tugmang sistema

Ang solusyon ng hindi magkatugmang mga sistema ng mga equation sa pamamagitan ng pamamaraang Gauss ay ang pinakamabilis. Nagtatapos ito sa sandaling sa isa sa mga yugto ay nakuha ang isang equation na walang solusyon. Iyon ay, ang yugto na may pagkalkula ng mga ugat, na medyo mahaba at nakakapagod, ay nawawala. Ang sumusunod na sistema ay isinasaalang-alang:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Gaya ng dati, ang matrix ay pinagsama-sama:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

At ito ay nabawasan sa isang stepped form:

k 1 \u003d -2k 2 \u003d -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

Pagkatapos ng unang pagbabago, ang ikatlong linya ay naglalaman ng isang equation ng form

walang solusyon. Samakatuwid, ang sistema ay hindi pare-pareho, at ang sagot ay ang walang laman na hanay.

Mga kalamangan at kawalan ng pamamaraan

Kung pipiliin mo kung aling paraan upang malutas ang SLAE sa papel na may panulat, kung gayon ang pamamaraan na isinasaalang-alang sa artikulong ito ay mukhang pinaka-kaakit-akit. Sa elementarya na pagbabago, mas mahirap malito kaysa sa mangyayari kung kailangan mong manual na hanapin ang determinant o ilang nakakalito na inverse matrix. Gayunpaman, kung gumagamit ka ng mga programa para sa pagtatrabaho sa data ng ganitong uri, halimbawa, mga spreadsheet, lumalabas na ang mga naturang programa ay naglalaman na ng mga algorithm para sa pagkalkula ng mga pangunahing parameter ng mga matrice - determinant, menor de edad, kabaligtaran, at iba pa. At kung sigurado ka na kakalkulahin mismo ng makina ang mga halagang ito at hindi magkakamali, mas kapaki-pakinabang na gamitin ang pamamaraan ng matrix o mga formula ng Cramer, dahil ang kanilang aplikasyon ay nagsisimula at nagtatapos sa pagkalkula ng mga determinant at inverse matrice.

Aplikasyon

Dahil ang Gaussian solution ay isang algorithm, at ang matrix ay, sa katunayan, isang two-dimensional array, maaari itong magamit sa programming. Ngunit dahil inilalagay ng artikulo ang sarili bilang isang gabay "para sa mga dummies", dapat sabihin na ang pinakamadaling lugar upang itulak ang pamamaraan ay ang mga spreadsheet, halimbawa, Excel. Muli, ang anumang SLAE na ipinasok sa isang talahanayan sa anyo ng isang matrix ay ituturing ng Excel bilang isang two-dimensional na array. At para sa mga operasyon sa kanila, maraming magagandang utos: karagdagan (maaari ka lamang magdagdag ng mga matrice ng parehong laki!), Pagpaparami sa isang numero, pagpaparami ng matrix (kasama rin ang ilang mga paghihigpit), paghahanap ng mga inverse at transposed matrice at, pinaka-mahalaga , pagkalkula ng determinant. Kung ang gawaing nakakaubos ng oras na ito ay papalitan ng isang utos, mas mabilis na matukoy ang ranggo ng isang matrix at, samakatuwid, upang maitaguyod ang pagiging tugma o hindi pagkakapare-pareho nito.

Mula pa noong simula ng ika-16-18 na siglo, sinimulan ng mga mathematician na masinsinang pag-aralan ang mga function, salamat sa kung saan napakaraming nagbago sa ating buhay. Ang teknolohiya ng computer nang walang kaalamang ito ay hindi iiral. Upang malutas ang mga kumplikadong problema, mga linear na equation at function, ang iba't ibang mga konsepto, theorems at mga diskarte sa solusyon ay nilikha. Isa sa mga unibersal at makatwirang pamamaraan at pamamaraan para sa paglutas ng mga linear na equation at ang kanilang mga sistema ay ang Gauss method. Mga matrice, ang kanilang ranggo, determinant - lahat ay maaaring kalkulahin nang hindi gumagamit ng mga kumplikadong operasyon.

Ano ang SLAU

Sa matematika, mayroong konsepto ng SLAE - isang sistema ng mga linear algebraic equation. Ano ang kinakatawan niya? Ito ay isang hanay ng mga m equation na may mga kinakailangang n hindi alam, karaniwang tinutukoy bilang x, y, z, o x 1 , x 2 ... x n, o iba pang mga simbolo. Upang malutas ang sistemang ito sa pamamagitan ng pamamaraang Gaussian ay nangangahulugang hanapin ang lahat ng hindi kilalang di-kilala. Kung ang isang sistema ay may parehong bilang ng mga hindi alam at equation, kung gayon ito ay tinatawag na isang n-th order system.

Ang pinakasikat na paraan para sa paglutas ng SLAE

Sa mga institusyong pang-edukasyon ng sekundaryong edukasyon, pinag-aaralan ang iba't ibang paraan ng paglutas ng mga naturang sistema. Kadalasan, ito ay mga simpleng equation na binubuo ng dalawang hindi alam, kaya ang anumang umiiral na paraan para sa paghahanap ng sagot sa mga ito ay hindi magtatagal ng maraming oras. Maaari itong maging tulad ng isang paraan ng pagpapalit, kapag ang isa pang equation ay hinango mula sa isang equation at pinalitan sa orihinal na isa. O kataga ayon sa terminong pagbabawas at karagdagan. Ngunit ang paraan ng Gauss ay itinuturing na pinakamadali at pinaka-unibersal. Ginagawa nitong posible na malutas ang mga equation sa anumang bilang ng mga hindi alam. Bakit itinuturing na makatwiran ang pamamaraang ito? Simple lang ang lahat. Ang pamamaraan ng matrix ay mabuti dahil hindi ito nangangailangan ng maraming beses upang muling isulat ang mga hindi kinakailangang mga character sa anyo ng mga hindi alam, sapat na upang gawin ang mga operasyon ng aritmetika sa mga coefficient - at makakakuha ka ng isang maaasahang resulta.

Saan ginagamit ang mga SLAE sa pagsasanay?

Ang solusyon ng SLAE ay ang mga punto ng intersection ng mga linya sa mga graph ng mga function. Sa ating high-tech na panahon ng computer, ang mga taong malapit na kasangkot sa pagbuo ng mga laro at iba pang mga programa ay kailangang malaman kung paano lutasin ang mga naturang sistema, kung ano ang kanilang kinakatawan at kung paano suriin ang kawastuhan ng resultang resulta. Kadalasan, ang mga programmer ay bumuo ng mga espesyal na linear algebra calculators, kabilang dito ang isang sistema ng mga linear equation. Ang paraan ng Gauss ay nagpapahintulot sa iyo na kalkulahin ang lahat ng umiiral na mga solusyon. Ginagamit din ang iba pang pinasimpleng formula at teknik.

SLAE compatibility criterion

Ang ganitong sistema ay malulutas lamang kung ito ay magkatugma. Para sa kalinawan, ipinakita namin ang SLAE sa form na Ax=b. Ito ay may solusyon kung ang rang(A) ay katumbas ng rang(A,b). Sa kasong ito, ang (A,b) ay isang pinahabang form na matrix na maaaring makuha mula sa matrix A sa pamamagitan ng muling pagsulat nito ng mga libreng termino. Lumalabas na ang paglutas ng mga linear equation gamit ang Gaussian method ay medyo madali.

Marahil ang ilang notasyon ay hindi lubos na malinaw, kaya't kinakailangang isaalang-alang ang lahat ng may isang halimbawa. Sabihin nating mayroong isang sistema: x+y=1; 2x-3y=6. Binubuo lamang ito ng dalawang equation kung saan mayroong 2 hindi alam. Ang sistema ay magkakaroon lamang ng solusyon kung ang ranggo ng matrix nito ay katumbas ng ranggo ng augmented matrix. Ano ang isang ranggo? Ito ang bilang ng mga independiyenteng linya ng system. Sa aming kaso, ang ranggo ng matrix ay 2. Ang Matrix A ay bubuo ng mga coefficient na matatagpuan malapit sa mga hindi alam, at ang mga coefficient sa likod ng sign na "=" ay magkakasya din sa pinalawak na matrix.

Bakit maaaring katawanin ang SLAE sa anyong matrix

Batay sa compatibility criterion ayon sa napatunayang Kronecker-Capelli theorem, ang sistema ng linear algebraic equation ay maaaring katawanin sa matrix form. Gamit ang Gaussian cascade method, maaari mong lutasin ang matrix at makuha ang tanging maaasahang sagot para sa buong system. Kung ang ranggo ng isang ordinaryong matrix ay katumbas ng ranggo ng pinalawig na matrix nito, ngunit mas mababa sa bilang ng mga hindi alam, kung gayon ang sistema ay may walang katapusang bilang ng mga sagot.

Mga pagbabago sa matrix

Bago lumipat sa paglutas ng mga matrice, kinakailangang malaman kung anong mga aksyon ang maaaring gawin sa kanilang mga elemento. Mayroong ilang mga pangunahing pagbabago:

• Sa pamamagitan ng muling pagsulat ng system sa isang matrix form at pagsasagawa ng solusyon nito, posibleng i-multiply ang lahat ng elemento ng serye sa parehong koepisyent.
• Upang ma-convert ang isang matrix sa canonical form, dalawang parallel row ang maaaring palitan. Ang canonical form ay nagpapahiwatig na ang lahat ng mga elemento ng matrix na matatagpuan sa kahabaan ng pangunahing dayagonal ay nagiging isa, at ang mga natitira ay nagiging mga zero.
• Ang mga kaukulang elemento ng parallel row ng matrix ay maaaring idagdag ng isa sa isa.

Paraan ng Jordan-Gauss

Ang kakanyahan ng paglutas ng mga sistema ng linear homogenous at inhomogeneous equation sa pamamagitan ng Gauss method ay ang unti-unting pagtanggal ng mga hindi alam. Sabihin nating mayroon tayong sistema ng dalawang equation kung saan mayroong dalawang hindi alam. Upang mahanap ang mga ito, kailangan mong suriin ang system para sa pagiging tugma. Ang Gaussian equation ay nalutas nang napakasimple. Kinakailangan na isulat ang mga coefficient na matatagpuan malapit sa bawat hindi kilala sa isang matrix form. Upang malutas ang system, kailangan mong isulat ang augmented matrix. Kung ang isa sa mga equation ay naglalaman ng mas maliit na bilang ng mga hindi alam, dapat ilagay ang "0" sa lugar ng nawawalang elemento. Ang lahat ng kilalang paraan ng pagbabago ay inilalapat sa matrix: multiplikasyon, paghahati sa isang numero, pagdaragdag ng mga kaukulang elemento ng mga hilera sa bawat isa, at iba pa. Ito ay lumalabas na sa bawat hilera kinakailangan na mag-iwan ng isang variable na may halaga na "1", ang natitira ay dapat bawasan sa zero. Para sa isang mas tumpak na pag-unawa, kinakailangang isaalang-alang ang pamamaraang Gauss na may mga halimbawa.

Isang simpleng halimbawa ng paglutas ng 2x2 system

Upang magsimula, kunin natin ang isang simpleng sistema ng mga algebraic equation, kung saan magkakaroon ng 2 hindi alam.

Isulat muli natin ito sa isang augmented matrix.

Upang malutas ang sistemang ito ng mga linear na equation, dalawang operasyon lamang ang kinakailangan. Kailangan nating dalhin ang matrix sa canonical form upang mayroong mga unit kasama ang pangunahing dayagonal. Kaya, ang pagsasalin mula sa matrix form pabalik sa system, nakuha namin ang mga equation: 1x+0y=b1 at 0x+1y=b2, kung saan ang b1 at b2 ay ang mga sagot na nakuha sa proseso ng paglutas.

1. Ang unang hakbang sa paglutas ng augmented matrix ay ang mga sumusunod: ang unang hilera ay dapat na i-multiply sa -7 at ang mga kaukulang elemento ay idinagdag sa pangalawang hilera, ayon sa pagkakabanggit, upang maalis ang isang hindi kilala sa pangalawang equation.
2. Dahil ang solusyon ng mga equation sa pamamagitan ng Gauss method ay nagpapahiwatig ng pagdadala ng matrix sa canonical form, kung gayon kinakailangan na gawin ang parehong mga operasyon sa unang equation at alisin ang pangalawang variable. Upang gawin ito, ibawas namin ang pangalawang linya mula sa una at makuha ang kinakailangang sagot - ang solusyon ng SLAE. O, tulad ng ipinapakita sa figure, pinarami namin ang pangalawang hilera sa pamamagitan ng isang kadahilanan ng -1 at idagdag ang mga elemento ng pangalawang hilera sa unang hilera. Ito ay pareho.

Tulad ng nakikita mo, ang aming sistema ay nalutas sa pamamagitan ng pamamaraang Jordan-Gauss. Muli naming isinusulat ito sa kinakailangang anyo: x=-5, y=7.

Isang halimbawa ng paglutas ng SLAE 3x3

Ipagpalagay na mayroon tayong mas kumplikadong sistema ng mga linear equation. Ginagawang posible ng paraan ng Gauss na kalkulahin ang sagot kahit na para sa pinaka tila nakakalito na sistema. Samakatuwid, upang mas malalim ang pag-aaral sa pamamaraan ng pagkalkula, maaari tayong magpatuloy sa isang mas kumplikadong halimbawa na may tatlong hindi alam.

Tulad ng sa nakaraang halimbawa, muling isinulat namin ang system sa anyo ng isang pinalawak na matrix at sinimulan itong dalhin sa canonical form.

Upang malutas ang system na ito, kakailanganin mong magsagawa ng higit pang mga aksyon kaysa sa nakaraang halimbawa.

1. Una kailangan mong gumawa sa unang hanay ng isang solong elemento at ang natitirang mga zero. Upang gawin ito, i-multiply ang unang equation sa -1 at idagdag ang pangalawang equation dito. Mahalagang tandaan na muling isinulat namin ang unang linya sa orihinal nitong anyo, at ang pangalawa - nasa binagong anyo na.
2. Susunod, aalisin namin ang parehong unang hindi alam mula sa ikatlong equation. Upang gawin ito, pinarami namin ang mga elemento ng unang hilera sa pamamagitan ng -2 at idagdag ang mga ito sa ikatlong hilera. Ngayon ang una at pangalawang linya ay muling isinulat sa kanilang orihinal na anyo, at ang pangatlo - mayroon nang mga pagbabago. Tulad ng nakikita mo mula sa resulta, nakuha namin ang una sa simula ng pangunahing dayagonal ng matrix at ang natitira ay mga zero. Ang ilang higit pang mga aksyon, at ang sistema ng mga equation sa pamamagitan ng pamamaraang Gauss ay mapagkakatiwalaan na malulutas.
3. Ngayon ay kailangan mong gawin ang mga operasyon sa iba pang mga elemento ng mga hilera. Ang ikatlo at ikaapat na hakbang ay maaaring pagsamahin sa isa. Kailangan nating hatiin ang pangalawa at pangatlong linya sa -1 upang maalis ang mga negatibo sa dayagonal. Dinala na namin ang ikatlong linya sa kinakailangang form.
4. Susunod, i-canonicalize namin ang pangalawang linya. Upang gawin ito, pinarami namin ang mga elemento ng ikatlong hilera sa pamamagitan ng -3 at idagdag ang mga ito sa pangalawang linya ng matrix. Makikita mula sa resulta na ang pangalawang linya ay nabawasan din sa form na kailangan natin. Ito ay nananatiling gumawa ng ilang higit pang mga operasyon at alisin ang mga coefficient ng mga hindi alam mula sa unang hilera.
5. Upang makagawa ng 0 mula sa pangalawang elemento ng row, kailangan mong i-multiply ang ikatlong row sa -3 at idagdag ito sa unang row.
6. Ang susunod na mapagpasyang hakbang ay ang pagdaragdag ng mga kinakailangang elemento ng pangalawang hilera sa unang hilera. Kaya nakuha namin ang canonical form ng matrix, at, nang naaayon, ang sagot.

Tulad ng makikita mo, ang solusyon ng mga equation sa pamamagitan ng pamamaraang Gauss ay medyo simple.

Isang halimbawa ng paglutas ng 4x4 na sistema ng mga equation

Ang ilang mas kumplikadong sistema ng mga equation ay maaaring malutas sa pamamagitan ng Gaussian method gamit ang mga computer program. Kinakailangan na magmaneho ng mga coefficient para sa mga hindi alam sa mga umiiral nang walang laman na mga cell, at kakalkulahin ng programa ang kinakailangang resulta nang hakbang-hakbang, na naglalarawan sa bawat aksyon nang detalyado.

Ang sunud-sunod na mga tagubilin para sa paglutas ng naturang halimbawa ay inilarawan sa ibaba.

Sa unang hakbang, ang mga libreng coefficient at numero para sa mga hindi alam ay ipinasok sa mga walang laman na cell. Kaya, nakukuha namin ang parehong augmented matrix na isinusulat namin sa pamamagitan ng kamay.

At ang lahat ng kinakailangang operasyon ng aritmetika ay isinasagawa upang dalhin ang pinahabang matrix sa canonical form. Dapat itong maunawaan na ang sagot sa isang sistema ng mga equation ay hindi palaging integer. Minsan ang solusyon ay maaaring mula sa mga fractional na numero.

Sinusuri ang kawastuhan ng solusyon

Ang pamamaraan ng Jordan-Gauss ay nagbibigay para sa pagsuri sa kawastuhan ng resulta. Upang malaman kung ang mga coefficient ay kinakalkula nang tama, kailangan mo lamang na palitan ang resulta sa orihinal na sistema ng mga equation. Ang kaliwang bahagi ng equation ay dapat tumugma sa kanang bahagi, na nasa likod ng equals sign. Kung hindi tumugma ang mga sagot, kailangan mong kalkulahin muli ang system o subukang maglapat ng ibang paraan ng paglutas ng SLAE na alam mo, tulad ng pagpapalit o term-by-term na pagbabawas at karagdagan. Pagkatapos ng lahat, ang matematika ay isang agham na may malaking bilang ng iba't ibang paraan ng paglutas. Ngunit tandaan: ang resulta ay dapat palaging pareho, anuman ang paraan ng solusyon na iyong ginamit.

Gauss method: ang pinakakaraniwang error sa paglutas ng SLAE

Sa panahon ng solusyon ng mga linear na sistema ng mga equation, ang mga error ay kadalasang nangyayari, tulad ng hindi tamang paglipat ng mga coefficient sa isang matrix form. May mga sistema kung saan ang ilang mga hindi alam ay nawawala sa isa sa mga equation, pagkatapos, ang paglilipat ng data sa pinalawak na matrix, maaari silang mawala. Bilang isang resulta, kapag nilulutas ang sistemang ito, ang resulta ay maaaring hindi tumutugma sa tunay.

Ang isa pa sa mga pangunahing pagkakamali ay maaaring maling pagsulat ng huling resulta. Dapat itong malinaw na maunawaan na ang unang koepisyent ay tumutugma sa unang hindi alam mula sa system, ang pangalawa - sa pangalawa, at iba pa.

Ang pamamaraang Gauss ay inilalarawan nang detalyado ang solusyon ng mga linear na equation. Salamat sa kanya, madaling gawin ang mga kinakailangang operasyon at hanapin ang tamang resulta. Bilang karagdagan, ito ay isang unibersal na tool para sa paghahanap ng isang maaasahang sagot sa mga equation ng anumang kumplikado. Marahil iyon ang dahilan kung bakit madalas itong ginagamit sa paglutas ng SLAE.

Hayaang magbigay ng isang sistema ng mga linear algebraic equation, na dapat lutasin (hanapin ang mga naturang halaga ng mga hindi alam na хi na nagiging equation ng system sa isang pagkakapantay-pantay).

Alam namin na ang isang sistema ng mga linear algebraic equation ay maaaring:

1) Walang mga solusyon (maging hindi magkatugma).
2) Magkaroon ng walang katapusang maraming solusyon.
3) Magkaroon ng natatanging solusyon.

Tulad ng natatandaan natin, ang panuntunan ng Cramer at ang pamamaraan ng matrix ay hindi angkop sa mga kaso kung saan ang sistema ay may walang katapusang maraming solusyon o hindi pare-pareho. Pamamaraan ng Gauss – ang pinakamakapangyarihan at maraming nalalaman na tool para sa paghahanap ng mga solusyon sa anumang sistema ng mga linear equation, na sa bawat kaso humantong kami sa sagot! Ang algorithm ng pamamaraan sa lahat ng tatlong mga kaso ay gumagana sa parehong paraan. Kung ang mga pamamaraan ng Cramer at matrix ay nangangailangan ng kaalaman sa mga determinant, kung gayon ang aplikasyon ng pamamaraang Gauss ay nangangailangan ng kaalaman lamang sa mga operasyong aritmetika, na ginagawang naa-access ito kahit na sa mga mag-aaral sa elementarya.

Pinahabang pagbabago ng matrix ( ito ang matrix ng system - isang matrix na binubuo lamang ng mga coefficient ng mga hindi alam, kasama ang isang column ng mga libreng termino) mga sistema ng linear algebraic equation sa Gauss method:

1) kasama troky matrice pwede muling ayusin mga lugar.

2) kung mayroong (o may) proporsyonal (bilang isang espesyal na kaso - magkapareho) na mga hilera sa matrix, pagkatapos ay sumusunod ito tanggalin mula sa matrix, lahat ng mga row na ito maliban sa isa.

3) kung ang isang zero na hilera ay lumitaw sa matrix sa panahon ng mga pagbabagong-anyo, pagkatapos ay sumusunod din ito tanggalin.

4) ang hilera ng matrix ay maaaring multiply (divide) sa anumang numero maliban sa zero.

5) sa hilera ng matrix, maaari mong magdagdag ng isa pang string na pinarami ng isang numero, iba sa zero.

Sa pamamaraang Gauss, hindi binabago ng mga elementarya na pagbabago ang solusyon ng sistema ng mga equation.

Ang pamamaraang Gauss ay binubuo ng dalawang yugto:

1. "Direct move" - ​​​​gamit ang elementary transformations, dalhin ang extended matrix ng system ng linear algebraic equation sa isang "triangular" stepped form: ang mga elemento ng extended matrix na matatagpuan sa ibaba ng pangunahing diagonal ay katumbas ng zero (top-down na paglipat ). Halimbawa, sa ganitong uri:

Upang gawin ito, gawin ang mga sumusunod na hakbang:

1) Isaalang-alang natin ang unang equation ng isang sistema ng linear algebraic equation at ang coefficient sa x 1 ay katumbas ng K. Ang pangalawa, pangatlo, atbp. binabago namin ang mga equation bilang mga sumusunod: hinahati namin ang bawat equation (coefficients para sa mga hindi alam, kabilang ang mga libreng termino) sa pamamagitan ng coefficient para sa hindi kilalang x 1, na nasa bawat equation, at i-multiply sa K. Pagkatapos nito, ibawas ang una mula sa pangalawang equation ( coefficients para sa mga hindi alam at libreng termino). Nakukuha natin sa x 1 sa pangalawang equation ang coefficient 0. Mula sa ikatlong transformed equation ay ibawas natin ang unang equation, kaya hanggang sa lahat ng equation, maliban sa una, na may hindi kilalang x 1 ay hindi magkakaroon ng coefficient 0.

2) Lumipat sa susunod na equation. Hayaang ito ang pangalawang equation at ang coefficient sa x 2 ay katumbas ng M. Sa lahat ng "subordinate" na equation, magpapatuloy tayo gaya ng inilarawan sa itaas. Kaya, "sa ilalim" ng hindi kilalang x 2 sa lahat ng mga equation ay magiging mga zero.

3) Dumaan kami sa susunod na equation at iba pa hanggang sa mananatili ang isang huling hindi alam at binagong libreng termino.

1. Ang "reverse move" ng Gauss method ay upang makakuha ng solusyon sa isang sistema ng linear algebraic equation (ang "bottom-up" na paglipat). Mula sa huling "mas mababang" equation makakakuha tayo ng isang unang solusyon - ang hindi kilalang x n. Upang gawin ito, lutasin namin ang elementarya equation A * x n \u003d B. Sa halimbawa sa itaas, x 3 \u003d 4. Pinapalitan namin ang nahanap na halaga sa "itaas" na susunod na equation at lutasin ito na may paggalang sa susunod na hindi alam. Halimbawa, x 2 - 4 \u003d 1, i.e. x 2 \u003d 5. At iba pa hanggang sa mahanap namin ang lahat ng hindi alam.

Halimbawa.

Niresolba namin ang sistema ng mga linear na equation gamit ang Gauss method, gaya ng ipinapayo ng ilang may-akda:

Isinulat namin ang pinahabang matrix ng system at, gamit ang mga elementarya na pagbabago, dalhin ito sa isang hakbang na form:

Tinitingnan namin ang itaas na kaliwang "hakbang". Doon tayo dapat magkaroon ng unit. Ang problema ay walang sinuman sa unang hanay, kaya walang malulutas sa pamamagitan ng muling pagsasaayos ng mga hilera. Sa ganitong mga kaso, dapat ayusin ang yunit gamit ang elementarya na pagbabago. Ito ay karaniwang maaaring gawin sa maraming paraan. Gawin natin ito ng ganito:
1 hakbang . Sa unang linya idinagdag namin ang pangalawang linya, na pinarami ng -1. Iyon ay, pinarami namin sa isip ang pangalawang linya sa -1 at isinagawa ang pagdaragdag ng una at pangalawang linya, habang ang pangalawang linya ay hindi nagbago.

Ngayon sa itaas na kaliwang "minus one", na ganap na nababagay sa amin. Ang sinumang gustong makakuha ng +1 ay maaaring magsagawa ng karagdagang pagkilos: i-multiply ang unang linya sa -1 (palitan ang sign nito).

2 hakbang . Ang unang linya na pinarami ng 5 ay idinagdag sa pangalawang linya. Ang unang linya na pinarami ng 3 ay idinagdag sa ikatlong linya.

3 hakbang . Ang unang linya ay pinarami ng -1, sa prinsipyo, ito ay para sa kagandahan. Ang tanda ng ikatlong linya ay binago din at inilipat sa pangalawang lugar, kaya, sa pangalawang "hakbang, mayroon kaming nais na yunit.

4 na hakbang . Sa ikatlong linya, idagdag ang pangalawang linya, na pinarami ng 2.

5 hakbang . Ang ikatlong linya ay nahahati sa 3.

Ang isang palatandaan na nagpapahiwatig ng isang error sa mga kalkulasyon (mas madalas na isang typo) ay isang "masamang" ilalim na linya. Iyon ay, kung nakakuha tayo ng isang bagay na tulad ng (0 0 11 | 23) sa ibaba, at, nang naaayon, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, kung gayon na may mataas na antas ng posibilidad ay masasabi nating nagkamali noong elementarya. mga pagbabagong-anyo.

Nagsasagawa kami ng isang reverse move, sa disenyo ng mga halimbawa, ang system mismo ay madalas na hindi muling isinulat, at ang mga equation ay "direktang kinuha mula sa ibinigay na matrix". Ang reverse move, ipinaalala ko sa iyo, ay gumagana "mula sa ibaba pataas." Sa halimbawang ito, lumabas ang regalo:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, samakatuwid x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d -1

Sagot:x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.

Lutasin natin ang parehong sistema gamit ang iminungkahing algorithm. Nakukuha namin

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Hatiin ang pangalawang equation sa pamamagitan ng 5 at ang pangatlo sa pamamagitan ng 3. Nakukuha namin ang:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

I-multiply ang pangalawa at pangatlong equation sa pamamagitan ng 4, nakukuha natin ang:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Ibawas ang unang equation mula sa pangalawa at pangatlong equation, mayroon tayong:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Hatiin ang ikatlong equation sa pamamagitan ng 0.64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

I-multiply ang ikatlong equation sa pamamagitan ng 0.4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Ibawas ang pangalawang equation mula sa ikatlong equation, makuha natin ang "stepped" augmented matrix:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Kaya, dahil ang isang error ay naipon sa proseso ng mga kalkulasyon, nakakakuha kami ng x 3 \u003d 0.96, o humigit-kumulang 1.

x 2 \u003d 3 at x 1 \u003d -1.

Ang paglutas sa ganitong paraan, hindi ka malito sa mga kalkulasyon at, sa kabila ng mga pagkakamali sa pagkalkula, makukuha mo ang resulta.

Ang pamamaraang ito ng paglutas ng isang sistema ng mga linear algebraic equation ay madaling ma-program at hindi isinasaalang-alang ang mga partikular na tampok ng mga coefficient para sa mga hindi alam, dahil sa pagsasanay (sa pang-ekonomiya at teknikal na mga kalkulasyon) ang isang tao ay kailangang harapin ang mga non-integer coefficients.

Sana swertehin ka! Sa muling pagkikita sa klase! Tutor Dmitry Aistrakhanov.

site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, kinakailangan ang isang link sa pinagmulan.

Ang dalawang sistema ng mga linear equation ay sinasabing katumbas kung ang hanay ng lahat ng kanilang mga solusyon ay pareho.

Ang mga pangunahing pagbabago ng sistema ng mga equation ay:

1. Pagtanggal mula sa sistema ng mga trivial equation, i.e. ang mga kung saan ang lahat ng mga coefficient ay katumbas ng zero;
2. Pagpaparami ng anumang equation sa isang non-zero na numero;
3. Pagdaragdag sa anumang i -th equation ng anumang j -th equation, na pinarami ng anumang numero.

Ang variable na x i ay tinatawag na libre kung ang variable na ito ay hindi pinapayagan, at ang buong sistema ng mga equation ay pinapayagan.

Teorama. Binabago ng mga elementarya na pagbabago ang sistema ng mga equation sa isang katumbas.

Ang kahulugan ng pamamaraang Gauss ay upang baguhin ang orihinal na sistema ng mga equation at makakuha ng katumbas na pinapayagan o katumbas na hindi naaayon na sistema.

Kaya, ang pamamaraang Gauss ay binubuo ng mga sumusunod na hakbang:

1. Isaalang-alang ang unang equation. Pinipili namin ang unang non-zero coefficient at hatiin ang buong equation dito. Nakakuha tayo ng equation kung saan pumapasok ang ilang variable x i na may coefficient na 1;
2. Ibawas ang equation na ito mula sa lahat ng iba, i-multiply ito sa mga numero upang ang mga coefficient ng variable x i sa natitirang mga equation ay nakatakda sa zero. Nakakakuha tayo ng isang sistema na naresolba nang may paggalang sa variable na x i at katumbas ng orihinal;
3. Kung lumitaw ang mga maliit na equation (bihira, ngunit nangyayari ito; halimbawa, 0 = 0), tatanggalin namin ang mga ito sa system. Bilang isang resulta, ang mga equation ay nagiging isang mas mababa;
4. Ulitin namin ang mga nakaraang hakbang nang hindi hihigit sa n beses, kung saan ang n ay ang bilang ng mga equation sa system. Sa bawat oras na pumili kami ng bagong variable para sa "pagproseso". Kung lumitaw ang mga magkasalungat na equation (halimbawa, 0 = 8), hindi pare-pareho ang system.

Bilang resulta, pagkatapos ng ilang hakbang ay nakakuha kami ng alinman sa isang pinapayagang system (maaaring may mga libreng variable) o isang hindi naaayon. Ang mga pinapayagang system ay nahahati sa dalawang kaso:

1. Ang bilang ng mga variable ay katumbas ng bilang ng mga equation. Kaya ang sistema ay tinukoy;
2. Ang bilang ng mga variable ay mas malaki kaysa sa bilang ng mga equation. Kinokolekta namin ang lahat ng libreng variable sa kanan - nakakakuha kami ng mga formula para sa mga pinapayagang variable. Ang mga formula na ito ay nakasulat sa sagot.

Iyon lang! Ang sistema ng mga linear equation ay malulutas! Ito ay isang medyo simpleng algorithm, at upang makabisado ito, hindi mo kailangang makipag-ugnay sa isang tutor sa matematika. Isaalang-alang ang isang halimbawa:

Gawain. Lutasin ang sistema ng mga equation:

Paglalarawan ng mga hakbang:

1. Ibinabawas namin ang unang equation mula sa pangalawa at pangatlo - nakuha namin ang pinapayagang variable x 1;
2. I-multiply natin ang pangalawang equation sa (−1), at hatiin ang ikatlong equation sa (−3) - nakakakuha tayo ng dalawang equation kung saan pumapasok ang variable x 2 na may coefficient na 1;
3. Idinagdag namin ang pangalawang equation sa una, at ibawas mula sa pangatlo. Kunin natin ang pinapayagang variable x 2 ;
4. Sa wakas, ibawas namin ang ikatlong equation mula sa una - nakuha namin ang pinapayagang variable x 3 ;
5. Nakatanggap kami ng isang awtorisadong sistema, isinulat namin ang sagot.

Ang pangkalahatang solusyon ng magkasanib na sistema ng mga linear na equation ay isang bagong sistema, katumbas ng orihinal, kung saan ang lahat ng pinapayagang mga variable ay ipinahayag sa mga tuntunin ng mga libre.

Kailan maaaring kailanganin ang isang pangkalahatang solusyon? Kung kailangan mong gumawa ng mas kaunting mga hakbang kaysa sa k (k ay kung gaano karaming mga equation sa kabuuan). Gayunpaman, ang mga dahilan kung bakit nagtatapos ang proseso sa ilang hakbang l< k , может быть две:

1. Pagkatapos ng l -th step, nakakakuha tayo ng system na hindi naglalaman ng equation na may numero (l + 1). Sa katunayan, ito ay mabuti, dahil. ang nalutas na sistema ay natatanggap pa rin - kahit ilang hakbang na mas maaga.
2. Pagkatapos ng l -th step, isang equation ang nakuha kung saan ang lahat ng coefficient ng mga variable ay katumbas ng zero, at ang free coefficient ay iba sa zero. Ito ay isang hindi pare-parehong equation, at, samakatuwid, ang sistema ay hindi pare-pareho.

Mahalagang maunawaan na ang paglitaw ng isang hindi naaayon na equation ng pamamaraang Gauss ay isang sapat na dahilan para sa hindi pagkakapare-pareho. Kasabay nito, tandaan namin na bilang isang resulta ng ika-1 na hakbang, ang mga trivial na equation ay hindi maaaring manatili - lahat ng mga ito ay direktang tinanggal sa proseso.

Paglalarawan ng mga hakbang:

1. Ibawas ang unang equation na beses ng 4 mula sa pangalawa. At idagdag din ang unang equation sa pangatlo - nakukuha natin ang pinapayagang variable x 1;
2. Ibinabawas namin ang ikatlong equation, na pinarami ng 2, mula sa pangalawa - nakuha namin ang magkasalungat na equation 0 = −5.

Kaya, ang sistema ay hindi pare-pareho, dahil ang isang hindi pare-parehong equation ay natagpuan.

Gawain. Siyasatin ang pagiging tugma at hanapin ang pangkalahatang solusyon ng system:

Paglalarawan ng mga hakbang:

1. Ibinabawas namin ang unang equation mula sa pangalawa (pagkatapos ng pag-multiply ng dalawa) at ang pangatlo - nakuha namin ang pinapayagang variable x 1;
2. Ibawas ang pangalawang equation mula sa pangatlo. Dahil ang lahat ng mga coefficient sa mga equation na ito ay pareho, ang ikatlong equation ay nagiging walang halaga. Kasabay nito, pinaparami natin ang pangalawang equation sa (−1);
3. Ibinabawas namin ang pangalawang equation mula sa unang equation - nakuha namin ang pinapayagang variable x 2. Ang buong sistema ng mga equation ay nalutas na rin ngayon;
4. Dahil ang mga variable na x 3 at x 4 ay libre, inililipat namin ang mga ito sa kanan upang ipahayag ang mga pinapayagang variable. Ito ang sagot.

Kaya, ang sistema ay magkasanib at hindi tiyak, dahil mayroong dalawang pinapayagang mga variable (x 1 at x 2) at dalawang libre (x 3 at x 4).

Ang isa sa mga pinakasimpleng paraan upang malutas ang isang sistema ng mga linear na equation ay isang paraan batay sa pagkalkula ng mga determinant ( Ang panuntunan ni Cramer). Ang kalamangan nito ay pinapayagan ka nitong agad na i-record ang solusyon, lalo na itong maginhawa sa mga kaso kung saan ang mga coefficient ng system ay hindi mga numero, ngunit ilang mga parameter. Ang kawalan nito ay ang pagiging kumplikado ng mga kalkulasyon sa kaso ng isang malaking bilang ng mga equation, bukod pa rito, ang panuntunan ng Cramer ay hindi direktang naaangkop sa mga sistema kung saan ang bilang ng mga equation ay hindi nag-tutugma sa bilang ng mga hindi alam. Sa ganitong mga kaso, ito ay karaniwang ginagamit Pamamaraan ng Gauss.

Ang mga sistema ng mga linear na equation na may parehong hanay ng mga solusyon ay tinatawag katumbas. Malinaw, ang hanay ng mga solusyon ng isang linear system ay hindi magbabago kung ang anumang mga equation ay ipinagpapalit, o kung ang isa sa mga equation ay i-multiply sa ilang di-zero na numero, o kung ang isang equation ay idinagdag sa isa pa.

Pamamaraan ng Gauss (paraan ng sunud-sunod na pag-aalis ng mga hindi alam) ay nakasalalay sa katotohanan na, sa tulong ng mga elementarya na pagbabago, ang sistema ay nabawasan sa isang katumbas na stepwise na sistema. Una, sa tulong ng 1st equation, x 1 ng lahat ng kasunod na equation ng system. Pagkatapos, gamit ang 2nd equation, inaalis namin x 2 ng ika-3 at lahat ng kasunod na equation. Ang prosesong ito, tinatawag direktang pamamaraan ng Gauss, nagpapatuloy hanggang sa isang hindi kilalang natitira na lang sa kaliwang bahagi ng huling equation x n. Pagkatapos nito, ito ay ginawa Gaussian reverse– paglutas ng huling equation, nakita namin x n; pagkatapos nito, gamit ang halagang ito, mula sa penultimate equation ay kinakalkula namin x n-1 atbp. Huling nahanap namin x 1 mula sa unang equation.

Maginhawang magsagawa ng mga pagbabagong Gaussian sa pamamagitan ng pagsasagawa ng mga pagbabagong hindi sa mga equation mismo, ngunit sa mga matrice ng kanilang mga coefficient. Isaalang-alang ang matrix:

tinawag pinahabang sistema ng matrix, dahil bilang karagdagan sa pangunahing matrix ng system, kabilang dito ang isang hanay ng mga libreng miyembro. Ang paraan ng Gauss ay batay sa pagdadala ng pangunahing matrix ng system sa isang triangular na anyo (o trapezoidal form sa kaso ng mga non-square system) gamit ang elementary row transformations (!) ng extended matrix ng system.

Halimbawa 5.1. Lutasin ang system gamit ang Gauss method:

Desisyon. Isulat natin ang augmented matrix ng system at, gamit ang unang hilera, pagkatapos nito ay itatakda natin ang natitirang mga elemento sa zero:

nakakakuha tayo ng mga zero sa 2nd, 3rd at 4th row ng unang column:

Ngayon kailangan namin ang lahat ng mga elemento sa ikalawang hanay sa ibaba ng ika-2 hilera upang maging katumbas ng zero. Upang gawin ito, maaari mong i-multiply ang pangalawang linya sa -4/7 at idagdag sa ika-3 linya. Gayunpaman, upang hindi makitungo sa mga fraction, gagawa kami ng isang yunit sa ika-2 hilera ng pangalawang hanay at tanging

Ngayon, upang makakuha ng isang tatsulok na matrix, kailangan mong i-zero ang elemento ng ikaapat na hanay ng ika-3 haligi, para dito maaari mong i-multiply ang ikatlong hilera sa 8/54 at idagdag ito sa ikaapat. Gayunpaman, upang hindi makitungo sa mga fraction, ipapalit namin ang ika-3 at ika-4 na hanay at ang ika-3 at ika-4 na hanay, at pagkatapos lamang nito ay i-reset namin ang tinukoy na elemento. Tandaan na kapag ang mga column ay muling inayos, ang mga kaukulang variable ay pinapalitan, at ito ay dapat tandaan; ang iba pang mga pagbabagong elementarya na may mga column (pagdaragdag at pagpaparami sa isang numero) ay hindi maaaring gawin!

Ang huling pinasimple na matrix ay tumutugma sa isang sistema ng mga equation na katumbas ng orihinal:

Mula dito, gamit ang reverse course ng Gauss method, makikita natin mula sa ikaapat na equation x 3 = -1; mula sa ikatlo x 4 = -2, mula sa pangalawa x 2 = 2 at mula sa unang equation x 1 = 1. Sa anyong matrix, ang sagot ay isinusulat bilang

Isinaalang-alang namin ang kaso kapag ang sistema ay tiyak, i.e. kapag iisa lang ang solusyon. Tingnan natin kung ano ang mangyayari kung ang sistema ay hindi pare-pareho o hindi tiyak.

Halimbawa 5.2. I-explore ang system gamit ang Gaussian method:

Desisyon. Sinusulat namin at binabago ang augmented matrix ng system

Sumulat kami ng isang pinasimple na sistema ng mga equation:

Dito, sa huling equation, lumabas na 0=4, i.e. kontradiksyon. Samakatuwid, ang sistema ay walang solusyon, i.e. siya ay hindi magkatugma. à

Halimbawa 5.3. I-explore at lutasin ang system gamit ang Gaussian method:

Desisyon. Sinusulat namin at binago ang pinahabang matrix ng system:

Bilang resulta ng mga pagbabago, mga zero lamang ang nakuha sa huling linya. Nangangahulugan ito na ang bilang ng mga equation ay nabawasan ng isa:

Kaya, pagkatapos ng mga pagpapasimple, dalawang equation ang nananatili, at apat na hindi alam, i.e. dalawang hindi kilalang "dagdag". Hayaan ang "labis", o, gaya ng sinasabi nila, mga libreng variable, kalooban x 3 at x 4 . Pagkatapos

Ipagpalagay x 3 = 2a at x 4 = b, nakukuha namin x 2 = 1–a at x 1 = 2b–a; o sa anyo ng matrix

Ang isang solusyon na nakasulat sa ganitong paraan ay tinatawag pangkalahatan, dahil, sa pamamagitan ng pagbibigay ng mga parameter a at b iba't ibang mga halaga, posibleng ilarawan ang lahat ng posibleng solusyon ng system. a