Ang pinakasimpleng konsepto ng probability theory. Mga Batayan ng Teorya ng Probability at Mga Istatistika ng Matematika

Marami, na nahaharap sa konsepto ng "teorya ng probabilidad", ay natatakot, iniisip na ito ay isang bagay na napakalaki, napakasalimuot. Ngunit ito ay talagang hindi lahat na tragic. Ngayon ay isasaalang-alang natin ang pangunahing konsepto ng teorya ng posibilidad, alamin kung paano lutasin ang mga problema gamit ang mga tiyak na halimbawa.

Ang agham

Ano ang pinag-aaralan ng sangay ng matematika bilang "teoryang probabilidad"? Naitala niya ang mga pattern at magnitude. Sa unang pagkakataon, naging interesado ang mga siyentipiko sa isyung ito noong ikalabing walong siglo, nang mag-aral sila ng pagsusugal. Ang pangunahing konsepto ng teorya ng posibilidad ay isang kaganapan. Ito ay anumang katotohanan na tinitiyak ng karanasan o pagmamasid. Ngunit ano ang karanasan? Isa pang pangunahing konsepto ng probability theory. Nangangahulugan ito na ang komposisyon ng mga pangyayari ay hindi nilikha ng pagkakataon, ngunit para sa isang tiyak na layunin. Tulad ng para sa obserbasyon, dito ang mananaliksik mismo ay hindi nakikilahok sa eksperimento, ngunit simpleng saksi sa mga kaganapang ito, hindi niya naiimpluwensyahan ang nangyayari sa anumang paraan.

Mga kaganapan

Nalaman namin na ang pangunahing konsepto ng teorya ng posibilidad ay isang kaganapan, ngunit hindi isinasaalang-alang ang pag-uuri. Ang lahat ng mga ito ay nabibilang sa mga sumusunod na kategorya:

Maaasahan.
Imposible.
Random.

Anuman ang uri ng mga kaganapan na naobserbahan o nilikha sa kurso ng karanasan, lahat sila ay napapailalim sa pag-uuri na ito. Nag-aalok kami upang maging pamilyar sa bawat isa sa mga species nang hiwalay.

Kapanipaniwalang Kaganapan

Ito ay isang pangyayari bago naisagawa ang kinakailangang hanay ng mga hakbang. Upang mas maunawaan ang kakanyahan, mas mahusay na magbigay ng ilang mga halimbawa. Ang pisika, kimika, ekonomiya, at mas mataas na matematika ay napapailalim sa batas na ito. Ang teorya ng posibilidad ay kinabibilangan ng isang mahalagang konsepto bilang isang tiyak na kaganapan. Narito ang ilang halimbawa:

Nagtatrabaho tayo at tumatanggap ng kabayaran sa anyo ng sahod.
Naipasa namin nang maayos ang mga pagsusulit, naipasa ang kumpetisyon, para dito nakatanggap kami ng gantimpala sa anyo ng pagpasok sa isang institusyong pang-edukasyon.
Nag-invest kami ng pera sa bangko, kung kinakailangan, babawi kami.

Ang mga ganitong kaganapan ay maaasahan. Kung natupad natin ang lahat ng kinakailangang kondisyon, tiyak na makukuha natin ang inaasahang resulta.

Mga pangyayaring imposible

Isinasaalang-alang namin ngayon ang mga elemento ng teorya ng posibilidad. Iminumungkahi naming magpatuloy sa isang paliwanag ng susunod na uri ng kaganapan, ibig sabihin, ang imposible. Upang magsimula, itatakda namin ang pinakamahalagang tuntunin - ang posibilidad ng isang imposibleng kaganapan ay zero.

Imposibleng lumihis mula sa pagbabalangkas na ito kapag nilulutas ang mga problema. Upang linawin, narito ang mga halimbawa ng mga naturang kaganapan:

Ang tubig ay nagyelo sa temperatura na plus sampu (ito ay imposible).
Ang kakulangan ng kuryente ay hindi nakakaapekto sa produksyon sa anumang paraan (tulad ng imposible tulad ng sa nakaraang halimbawa).

Higit pang mga halimbawa ang hindi dapat ibigay, dahil ang mga inilarawan sa itaas ay napakalinaw na sumasalamin sa kakanyahan ng kategoryang ito. Ang imposibleng kaganapan ay hindi mangyayari sa panahon ng karanasan sa anumang pagkakataon.

mga random na pangyayari

Kapag pinag-aaralan ang mga elemento ng probability theory, dapat bigyan ng espesyal na atensyon ang partikular na uri ng kaganapang ito. Iyan ang pinag-aaralan ng siyensya. Bilang resulta ng karanasan, maaaring may mangyari o hindi. Bilang karagdagan, ang pagsubok ay maaaring ulitin ng walang limitasyong bilang ng beses. Ang mga kilalang halimbawa ay:

Ang paghagis ng barya ay isang karanasan, o isang pagsubok, ang heading ay isang kaganapan.
Ang paghila ng bola mula sa bag nang walang taros ay isang pagsubok, ang isang pulang bola ay nahuli ay isang kaganapan, at iba pa.

Maaaring mayroong isang walang limitasyong bilang ng mga naturang halimbawa, ngunit, sa pangkalahatan, ang kakanyahan ay dapat na malinaw. Upang maibuod at ma-systematize ang kaalaman na nakuha tungkol sa mga kaganapan, isang talahanayan ang ibinigay. Pinag-aaralan lamang ng teorya ng probabilidad ang huling uri ng lahat ng ipinakita.

pamagat	kahulugan
Credible	Mga kaganapang nagaganap na may 100% na garantiya, napapailalim sa ilang partikular na kundisyon.	Pagpasok sa isang institusyong pang-edukasyon na may mahusay na pagpasa sa pagsusulit sa pasukan.
Imposible	Mga kaganapang hindi mangyayari sa anumang pagkakataon.	Umuulan ng niyebe sa temperatura ng hangin na plus tatlumpung degrees Celsius.
Random	Isang kaganapan na maaaring mangyari o hindi sa panahon ng isang eksperimento/pagsusulit.	Hit o miss kapag naghahagis ng basketball sa hoop.

Ang mga batas

Ang teorya ng probabilidad ay isang agham na nag-aaral ng posibilidad ng isang pangyayaring naganap. Tulad ng iba, mayroon itong ilang mga patakaran. Mayroong mga sumusunod na batas ng teorya ng posibilidad:

Convergence ng mga sequence ng random variables.
Ang batas ng malalaking numero.

Kapag kinakalkula ang posibilidad ng kumplikado, ang isang kumplikadong mga simpleng kaganapan ay maaaring magamit upang makamit ang resulta sa isang mas madali at mas mabilis na paraan. Tandaan na ang mga batas ay madaling napatunayan sa tulong ng ilang theorems. Magsimula tayo sa unang batas.

Convergence ng mga sequence ng random variables

Tandaan na mayroong ilang uri ng convergence:

Ang pagkakasunod-sunod ng mga random na variable ay nagtatagpo sa posibilidad.
Halos imposible.
RMS convergence.
Distribution Convergence.

Kaya, sa mabilisang, napakahirap na makarating sa ilalim nito. Narito ang ilang mga kahulugan upang matulungan kang maunawaan ang paksang ito. Magsimula tayo sa unang tingin. Ang pagkakasunod-sunod ay tinatawag convergent in probability, kung ang sumusunod na kundisyon ay natutugunan: n ay may posibilidad na infinity, ang bilang kung saan ang sequence ay may posibilidad na mas malaki kaysa sa zero at malapit sa isa.

Lumipat tayo sa susunod, halos tiyak. Ang pagkakasunod-sunod ay sinasabing nagtatagpo halos tiyak sa isang random na variable na may n tending to infinity, at P tending sa isang value na malapit sa unity.

Ang susunod na uri ay RMS convergence. Kapag gumagamit ng SC convergence, ang pag-aaral ng mga random na proseso ng vector ay binabawasan sa pag-aaral ng kanilang mga random na proseso ng coordinate.

Ang huling uri ay nananatili, pag-aralan natin ito nang maikli upang direktang magpatuloy sa paglutas ng mga problema. May isa pang pangalan ang convergence ng pamamahagi - "mahina", ipapaliwanag namin kung bakit sa ibaba. Mahinang convergence ay ang convergence ng distribution functions sa lahat ng punto ng continuity ng limiting distribution function.

Talagang tutuparin natin ang pangako: ang mahinang convergence ay naiiba sa lahat ng nasa itaas dahil ang random variable ay hindi tinukoy sa probability space. Posible ito dahil ang kundisyon ay nabuo nang eksklusibo gamit ang mga function ng pamamahagi.

Batas ng Malaking Bilang

Ang mga mahuhusay na katulong sa pagpapatunay ng batas na ito ay ang mga theorems ng probability theory, tulad ng:

Ang hindi pagkakapantay-pantay ni Chebyshev.
Ang teorama ni Chebyshev.
Pangkalahatan ang teorama ni Chebyshev.
Ang teorama ni Markov.

Kung isasaalang-alang namin ang lahat ng mga theorems na ito, ang tanong na ito ay maaaring mag-drag sa ilang sampu-sampung mga sheet. Ang aming pangunahing gawain ay ilapat ang teorya ng posibilidad sa pagsasanay. Iniimbitahan ka naming gawin ito ngayon. Ngunit bago iyon, isaalang-alang natin ang mga axioms ng probability theory, sila ang magiging pangunahing katulong sa paglutas ng mga problema.

Mga Axiom

Nagkita na kami nung una nung napag-usapan namin ang imposibleng pangyayari. Tandaan natin: ang posibilidad ng isang imposibleng kaganapan ay zero. Nagbigay kami ng napakatingkad at di malilimutang halimbawa: bumagsak ang snow sa temperatura ng hangin na tatlumpung degrees Celsius.

Ang pangalawa ay ang mga sumusunod: ang isang tiyak na kaganapan ay nangyayari na may posibilidad na katumbas ng isa. Ngayon ay ipakita natin kung paano ito isulat gamit ang matematikal na wika: P(B)=1.

Pangatlo: Ang isang random na kaganapan ay maaaring mangyari o hindi, ngunit ang posibilidad ay palaging mula sa zero hanggang isa. Kung mas malapit ang halaga sa isa, mas malaki ang pagkakataon; kung ang halaga ay lumalapit sa zero, ang posibilidad ay napakababa. Isulat natin ito sa wikang matematika: 0<Р(С)<1.

Isaalang-alang ang huling, ikaapat na aksiom, na parang ganito: ang posibilidad ng kabuuan ng dalawang kaganapan ay katumbas ng kabuuan ng kanilang mga probabilidad. Sumulat kami sa wikang matematika: P (A + B) \u003d P (A) + P (B).

Ang mga axioms ng probability theory ay ang pinakasimpleng panuntunan na madaling matandaan. Subukan nating lutasin ang ilang mga problema, batay sa kaalaman na nakuha na.

Ticket sa lottery

Upang magsimula, isaalang-alang ang pinakasimpleng halimbawa - ang loterya. Isipin na bumili ka ng isang tiket sa lottery para sa suwerte. Ano ang posibilidad na manalo ka ng hindi bababa sa dalawampung rubles? Sa kabuuan, isang libong tiket ang lumahok sa sirkulasyon, ang isa ay may premyo na limang daang rubles, sampu sa isang daang rubles, limampu sa dalawampung rubles, at isang daan sa lima. Ang mga problema sa probability theory ay batay sa paghahanap ng posibilidad ng suwerte. Sama-sama nating tingnan ang solusyon sa problema sa itaas.

Kung tinukoy natin sa pamamagitan ng titik A ang isang panalo ng limang daang rubles, kung gayon ang posibilidad na makakuha ng A ay magiging 0.001. Paano natin ito nakuha? Kailangan mo lamang na hatiin ang bilang ng "masaya" na mga tiket sa kanilang kabuuang bilang (sa kasong ito: 1/1000).

Ang B ay isang panalo ng isang daang rubles, ang posibilidad ay magiging katumbas ng 0.01. Ngayon ay kumilos kami sa parehong prinsipyo tulad ng sa nakaraang aksyon (10/1000)

C - ang mga panalo ay katumbas ng dalawampung rubles. Nahanap namin ang posibilidad, ito ay katumbas ng 0.05.

Ang natitirang mga tiket ay walang interes sa amin, dahil ang kanilang premyong pondo ay mas mababa kaysa sa tinukoy sa kundisyon. Ilapat natin ang ikaapat na axiom: Ang posibilidad na manalo ng hindi bababa sa dalawampung rubles ay P(A)+P(B)+P(C). Ang titik P ay nagsasaad ng posibilidad ng paglitaw ng kaganapang ito, nahanap na namin ang mga ito sa mga nakaraang hakbang. Ito ay nananatiling lamang upang magdagdag ng mga kinakailangang data, sa sagot ay makakakuha tayo ng 0.061. Ang numerong ito ang magiging sagot sa tanong ng gawain.

deck ng card

Ang mga problema sa teorya ng posibilidad ay mas kumplikado, halimbawa, gawin ang sumusunod na gawain. Bago ka ay isang deck ng tatlumpu't anim na baraha. Ang iyong gawain ay upang gumuhit ng dalawang card sa isang hilera nang hindi paghahalo ng pile, ang una at pangalawang card ay dapat na aces, ang suit ay hindi mahalaga.

Upang magsimula, nakita namin ang posibilidad na ang unang card ay isang ace, para dito hinahati namin ang apat sa tatlumpu't anim. Itinabi nila ito. Inalis namin ang pangalawang card, ito ay magiging isang alas na may posibilidad na tatlong tatlumpu't lima. Ang posibilidad ng pangalawang kaganapan ay nakasalalay sa kung aling card ang una naming iginuhit, interesado kami kung ito ay isang alas o hindi. Kasunod nito na ang kaganapan B ay nakasalalay sa kaganapan A.

Ang susunod na hakbang ay upang mahanap ang posibilidad ng sabay-sabay na pagpapatupad, iyon ay, pinarami namin ang A at B. Ang kanilang produkto ay matatagpuan tulad ng sumusunod: pinarami namin ang posibilidad ng isang kaganapan sa kondisyon na posibilidad ng isa pa, na aming kinakalkula, sa pag-aakalang ang una nangyari ang kaganapan, ibig sabihin, gumuhit kami ng isang ace gamit ang unang card.

Upang maging malinaw ang lahat, bigyan natin ng pagtatalaga ang naturang elemento bilang mga kaganapan. Kinakalkula ito sa pag-aakalang naganap ang kaganapan A. Kinakalkula bilang sumusunod: P(B/A).

Ipagpatuloy natin ang solusyon sa ating problema: P (A * B) \u003d P (A) * P (B / A) o P (A * B) \u003d P (B) * P (A / B). Ang posibilidad ay (4/36) * ((3/35)/(4/36). Kalkulahin sa pamamagitan ng pag-round sa hundredths. Mayroon tayong: 0.11 * (0.09/0.11)=0.11 * 0, 82 = 0.09 Ang posibilidad na tayo ay gumuhit ng dalawang ace sa isang hilera ay siyam na raan. Ang halaga ay napakaliit, mula dito sumusunod na ang posibilidad ng paglitaw ng kaganapan ay napakaliit.

Nakalimutang numero

Iminumungkahi naming suriin ang ilang higit pang mga opsyon para sa mga gawain na pinag-aaralan ng probability theory. Nakakita ka na ng mga halimbawa ng paglutas ng ilan sa mga ito sa artikulong ito, subukan nating lutasin ang sumusunod na problema: nakalimutan ng batang lalaki ang huling digit ng numero ng telepono ng kanyang kaibigan, ngunit dahil napakahalaga ng tawag, sinimulan niyang i-dial ang lahat. Kailangan nating kalkulahin ang posibilidad na tatawag siya nang hindi hihigit sa tatlong beses. Ang solusyon sa problema ay ang pinakasimpleng kung ang mga tuntunin, batas at axioms ng probability theory ay alam.

Bago tingnan ang solusyon, subukang lutasin ito sa iyong sarili. Alam namin na ang huling digit ay maaaring mula sa zero hanggang siyam, iyon ay, mayroong sampung halaga sa kabuuan. Ang posibilidad na makuha ang tama ay 1/10.

Susunod, kailangan nating isaalang-alang ang mga pagpipilian para sa pinagmulan ng kaganapan, ipagpalagay na ang batang lalaki ay nahulaan ng tama at agad na nakapuntos ng tama, ang posibilidad ng naturang kaganapan ay 1/10. Ang pangalawang opsyon: ang unang tawag ay isang miss, at ang pangalawa ay nasa target. Kinakalkula namin ang posibilidad ng naturang kaganapan: i-multiply ang 9/10 sa 1/9, bilang isang resulta nakakakuha din kami ng 1/10. Ang pangatlong opsyon: ang una at pangalawang tawag ay nasa maling address, mula lamang sa pangatlo nakuha ng batang lalaki kung saan niya gusto. Kinakalkula namin ang posibilidad ng naturang kaganapan: pinarami namin ang 9/10 sa 8/9 at sa pamamagitan ng 1/8, nakakuha kami ng 1/10 bilang isang resulta. Ayon sa kondisyon ng problema, hindi kami interesado sa iba pang mga pagpipilian, kaya nananatili para sa amin na magdagdag ng mga resulta, bilang isang resulta mayroon kaming 3/10. Sagot: Ang posibilidad na tumawag ang batang lalaki ng hindi hihigit sa tatlong beses ay 0.3.

Mga card na may mga numero

Mayroong siyam na card sa harap mo, ang bawat isa ay naglalaman ng isang numero mula isa hanggang siyam, ang mga numero ay hindi nauulit. Inilagay ang mga ito sa isang kahon at pinaghalo nang maigi. Kailangan mong kalkulahin ang posibilidad na iyon

lalabas ang isang even na numero;
dalawang-digit.

Bago lumipat sa solusyon, itakda natin na ang m ay ang bilang ng mga matagumpay na kaso, at ang n ay ang kabuuang bilang ng mga opsyon. Hanapin ang posibilidad na ang numero ay pantay. Hindi magiging mahirap na kalkulahin na mayroong apat na kahit na mga numero, ito ang magiging aming m, mayroong siyam na pagpipilian sa kabuuan, iyon ay, m = 9. Pagkatapos ang posibilidad ay 0.44 o 4/9.

Isinasaalang-alang namin ang pangalawang kaso: ang bilang ng mga pagpipilian ay siyam, at maaaring walang matagumpay na mga resulta, iyon ay, ang m ay katumbas ng zero. Ang posibilidad na ang iginuhit na card ay naglalaman ng dalawang-digit na numero ay zero din.

Nizhny Novgorod State Technical University

sila. A.E. Alekseeva

Sanaysay sa discipline theory of probability

Nakumpleto ni: Ruchina N.A gr 10MENz

Sinuri: Gladkov V.V.

Nizhny Novgorod, 2011

Teorya ng probabilidad……………………………………

Ang paksa ng teorya ng posibilidad …………………………………

Pangunahing konsepto ng teorya ng probabilidad ……………

Random na mga kaganapan, mga posibilidad ng mga kaganapan……………………………………………………

Limitahan ang theorems……………………………………

Mga random na proseso……………………………………

Sanggunian sa kasaysayan…………………………………………

Mga Gamit na Aklat…………………………………………

Teorya ng posibilidad

Teorya ng posibilidad - isang matematikal na agham na nagpapahintulot, sa pamamagitan ng mga probabilidad ng ilang random na kaganapan, upang mahanap ang mga probabilidad ng iba pang random na mga kaganapan na nauugnay sa ilang paraan sa una.

Pahayag na may posibilidad na mangyari ang isang kaganapan , katumbas ng, halimbawa, 0.75, ay hindi pa kumakatawan sa kanyang sarili ang pangwakas na halaga, dahil kami ay nagsusumikap para sa maaasahang kaalaman. Ang panghuling halaga ng nagbibigay-malay ay ang mga resulta ng teorya ng posibilidad, na nagpapahintulot sa amin na igiit na ang posibilidad ng paglitaw ng anumang kaganapan. PERO napakalapit sa pagkakaisa o (na pareho) ang posibilidad na hindi mangyari ang kaganapan PERO napakaliit. Alinsunod sa prinsipyo ng "pagpapabaya sa sapat na maliliit na probabilidad", ang naturang kaganapan ay wastong itinuturing na halos tiyak. Ang mga konklusyon ng pang-agham at praktikal na interes ng ganitong uri ay karaniwang batay sa pagpapalagay na ang paglitaw o hindi paglitaw ng isang kaganapan. PERO depende sa isang malaking bilang ng mga random, maliit na nauugnay na mga kadahilanan . Samakatuwid, maaari rin nating sabihin na ang teorya ng posibilidad ay isang agham sa matematika na nagpapaliwanag ng mga pattern na lumitaw kapag ang isang malaking bilang ng mga random na kadahilanan ay nakikipag-ugnayan.

Ang paksa ng teorya ng posibilidad

Ang paksa ng teorya ng posibilidad. Upang ilarawan ang isang regular na relasyon sa pagitan ng ilang partikular na kundisyon S at kaganapan PERO, ang paglitaw o hindi paglitaw kung saan sa ilalim ng mga ibinigay na kundisyon ay maaaring tiyak na maitatag, ang natural na agham ay karaniwang gumagamit ng isa sa mga sumusunod na dalawang pamamaraan:

a) sa tuwing natutugunan ang mga kundisyon S nangyayari ang isang pangyayari PERO. Halimbawa, ang lahat ng mga batas ng klasikal na mekanika ay may ganitong anyo, na nagsasaad na sa ilalim ng ibinigay na mga paunang kondisyon at pwersang kumikilos sa isang katawan o sistema ng mga katawan, ang paggalaw ay magaganap sa isang natatanging tinukoy na paraan.

b) Sa ilalim ng mga kondisyon S kaganapan PERO ay may tiyak na posibilidad P(A/S), katumbas ng R. Kaya, halimbawa, ang mga batas ng radioactive radiation ay nagsasaad na para sa bawat radioactive substance ay may isang tiyak na posibilidad na mula sa isang naibigay na halaga ng substance ang isang tiyak na numero ay mabulok sa isang naibigay na tagal ng panahon. N mga atomo.

Tawagan natin ang dalas ng kaganapan PERO sa seryeng ito ng n mga pagsubok (hal. n muling pagpapatupad ng mga kondisyon S) kaugnayan h = m/n numero m ang mga pagsubok kung saan PERO ay dumating, sa kanilang kabuuang bilang n. Ang presensya ng kaganapan PERO sa ilalim ng mga kondisyon S tiyak na posibilidad na katumbas ng R, nagpapakita mismo sa katotohanan na sa halos bawat sapat na mahabang serye ng mga pagsubok, ang dalas ng kaganapan PERO humigit-kumulang katumbas ng R.

Ang mga regular na istatistika, iyon ay, ang mga regular na inilarawan ng isang scheme ng uri (b), ay unang natuklasan sa halimbawa ng mga laro sa pagsusugal tulad ng dice. Ang mga istatistikal na regularidad ng kapanganakan at kamatayan ay kilala rin sa napakatagal na panahon (halimbawa, ang posibilidad ng isang bagong panganak na lalaki ay 0.515). Huling bahagi ng ika-19 na siglo at unang kalahati ng ika-20 siglo. minarkahan ng pagtuklas ng isang malaking bilang ng mga istatistikal na regularidad sa pisika, kimika, biology, atbp.

Ang posibilidad ng paggamit ng mga pamamaraan ng teorya ng probabilidad sa pag-aaral ng mga istatistikal na regularidad na may kaugnayan sa napakalayo na larangan ng agham ay batay sa katotohanan na ang mga probabilidad ng mga kaganapan ay palaging nakakatugon sa ilang mga simpleng ugnayan. Ang pag-aaral ng mga katangian ng mga probabilidad ng mga pangyayari batay sa mga simpleng ugnayang ito ay ang paksa ng teorya ng posibilidad.

Mga pangunahing konsepto ng teorya ng posibilidad

Mga pangunahing konsepto ng teorya ng posibilidad. Ang mga pangunahing konsepto ng probability theory, bilang isang matematikal na disiplina, ay pinakasimpleng tinukoy sa loob ng balangkas ng tinatawag na elementary probability theory. Bawat pagsubok T, isinasaalang-alang sa elementarya teorya ng posibilidad ay tulad na ito ay nagtatapos sa isa at isa lamang sa mga kaganapan E 1 , E 2 ,...,E S (isa o isa pa, depende sa kaso). Ang mga kaganapang ito ay tinatawag na mga resulta ng pagsubok. Sa bawat kinalabasan E k nagbubuklod ng positibong numero R sa - ang posibilidad ng kinalabasan na ito. Numero p k dapat magdagdag ng hanggang isa. Pagkatapos ay isinasaalang-alang ang mga kaganapan. PERO, na binubuo ng katotohanang "dumating o E i , o E j ,..., o E k". kinalabasan E i , E j ,...,E k ay tinatawag na pabor PERO, at sa pamamagitan ng kahulugan ay ipinapalagay ang posibilidad R(PERO) mga pangyayari PERO katumbas ng kabuuan ng mga probabilidad ng mga kanais-nais na resulta:

P(A) =p i +p s +… +p k . (1)

espesyal na kaso p 1 =p 2 =...p s= 1/S humahantong sa formula

R(PERO) =r/s.(2)

Ang Formula (2) ay nagpapahayag ng tinatawag na klasikal na kahulugan ng posibilidad, ayon sa kung saan ang posibilidad ng isang kaganapan PERO ay katumbas ng ratio ng numero r kanais-nais na mga kinalabasan PERO, sa numero s lahat ng "pantay na posibleng" resulta. Ang klasikal na kahulugan ng probabilidad ay binabawasan lamang ang paniwala ng "probability" sa paniwala ng "equipossibility", na nananatiling walang malinaw na kahulugan.

Halimbawa. Kapag naghahagis ng dalawang dice, ang bawat isa sa 36 na posibleng resulta ay maaaring lagyan ng label ( i,j), saan i- ang bilang ng mga puntos na ibinaba sa unang die, j- Sa pangalawa. Ang mga resulta ay ipinapalagay na pantay na posibilidad. kaganapan PERO-"ang kabuuan ng mga puntos ay 4", tatlong resulta pabor (1; 3), (2; 2), (3; 1). Kaya naman, R(A) = 3/36= 1/12.

Batay sa anumang data ng mga kaganapan, dalawang bagong kaganapan ang maaaring tukuyin: ang kanilang unyon (kabuuan) at kumbinasyon (produkto).

Kaganapan AT ay tinatawag na unyon ng mga pangyayari A 1 , A 2 ,..., A r ,-, kung mukhang: "darating o A 1 , o PERO 2 ,..., o A r ».

Ang pangyayari C ay tinatawag na coincidence of events A 1 , PERO. 2 ,..., A r , kung mukhang: "dumating at A 1 , at A 2 ,..., at A r » . Ang kumbinasyon ng mga pangyayari ay tinutukoy ng tanda , at ang kumbinasyon - ng tanda . Kaya, isinulat nila:

B = A 1  A 2  …  A r , C = A 1  A 2  …  A r .

Mga kaganapan PERO at AT ay tinatawag na hindi magkatugma kung ang kanilang sabay-sabay na pagpapatupad ay imposible, iyon ay, kung walang isang pabor at PERO at SA.

Dalawang pangunahing theorems ng teorya ng probabilidad ay konektado sa ipinakilala na mga operasyon ng pagsasama-sama at pagsasama-sama ng mga kaganapan - ang theorems ng karagdagan at pagpaparami ng mga probabilities.

Probability addition theorem: Kung mga pangyayari A 1 ,A 2 ,...,A r ay tulad na ang bawat dalawa sa kanila ay hindi magkatugma, kung gayon ang posibilidad ng kanilang pagsasama ay katumbas ng kabuuan ng kanilang mga probabilidad.

Kaya, sa halimbawa sa itaas na may paghagis ng dalawang dice, ang kaganapan SA -"ang kabuuan ng mga puntos ay hindi lalampas sa 4", mayroong isang unyon ng tatlong hindi magkatugma na mga kaganapan A 2 ,A 3 ,A 4 , na binubuo sa katotohanan na ang kabuuan ng mga puntos ay katumbas ng 2, 3, 4, ayon sa pagkakabanggit. Ang mga probabilidad ng mga kaganapang ito ay 1/36; 2/36; 3/36. Sa pamamagitan ng karagdagan theorem, ang posibilidad R(AT) ay katumbas ng

1/36 + 2/36 + 3/36 = 6/36 = 1/6.

Mga kaganapan A 1 ,A 2 ,...,A r ay tinatawag na independiyente kung ang kondisyon na posibilidad ng bawat isa sa kanila, sa kondisyon na ang alinman sa iba ay nangyari, ay katumbas ng "walang kondisyon" na posibilidad nito.

Probability multiplication theorem: Probability ng coincidence ng mga pangyayari A 1 ,A 2 ,...,A r ay katumbas ng posibilidad ng kaganapan A 1 , pinarami ng posibilidad ng kaganapan A 2 kinuha sa ilalim ng kondisyon na PERO 1 ang nangyari,..., na pinarami ng posibilidad ng kaganapan A r ibinigay na A 1 ,A 2 ,...,A dumating na si r-1. Para sa mga independiyenteng kaganapan, ang multiplication theorem ay humahantong sa formula:

P(A 1 A 2 …A r) =P(A 1 )P(A 2 )· … · P(A r), (3)

ibig sabihin, ang posibilidad ng pagsasama-sama ng mga independiyenteng kaganapan ay katumbas ng produkto ng mga probabilidad ng mga kaganapang ito. Ang formula (3) ay nananatiling wasto kung ang ilan sa mga kaganapan sa magkabilang bahagi nito ay papalitan ng magkasalungat.

Halimbawa. Nagpaputok ng 4 na putok sa target na may posibilidad na matamaan na 0.2 sa isang putok. Ang mga target na hit para sa iba't ibang mga shot ay ipinapalagay na mga independyenteng kaganapan. Ano ang posibilidad na tamaan ang target ng eksaktong tatlong beses?

Ang bawat resulta ng pagsubok ay maaaring ipahiwatig sa pamamagitan ng pagkakasunod-sunod ng apat na letra [hal., (y, n, n, y) ay nangangahulugan na ang una at ikaapat na shot ay tumama (tagumpay), at ang pangalawa at pangatlong hit ay hindi (nabigo)]. Sa kabuuan ay magkakaroon ng 2 2 2 2 = 16 na resulta. Alinsunod sa pagpapalagay ng kalayaan ng mga resulta ng mga indibidwal na pag-shot, formula (3) at isang tala dito ay dapat gamitin upang matukoy ang mga probabilidad ng mga resultang ito. Kaya, ang posibilidad ng kinalabasan (y, n. n, n) ay dapat itakda na katumbas ng 0.2 0.8 0.8 0.8 = 0.1024; dito 0.8 \u003d 1-0.2 - ang posibilidad ng isang miss na may isang solong shot. Ang kaganapang "natamaan ang target ng tatlong beses" ay pinapaboran ng mga kinalabasan (y, y, y, n), (y, y, n, y), (y, n, y, y). (n, y, y, y), ang posibilidad ng bawat isa ay pareho:

0.2 0.2 0.2 0.8 =...... = 0.8 0.2 0.2 0.2 = 0.0064;

samakatuwid, ang nais na posibilidad ay katumbas ng

4 0.0064 = 0.0256.

Sa pangkalahatan ang pangangatwiran ng nasuri na halimbawa, maaari nating makuha ang isa sa mga pangunahing pormula ng teorya ng posibilidad: kung ang mga kaganapan A 1 , A 2 ,..., A n ay independyente at bawat isa ay may posibilidad R, pagkatapos ay ang posibilidad ng eksakto m na kung saan ay katumbas ng

P n (m)=C n m p m (1-p) n-m ; (4)

dito C n m nagsasaad ng bilang ng mga kumbinasyon ng n mga elemento sa pamamagitan ng m. Sa kabuuan n nagiging mahirap ang mga kalkulasyon sa pamamagitan ng formula (4).

Kabilang sa mga pangunahing pormula ng elementarya probability theory ay ang tinatawag ding kabuuang pormula ng posibilidad: kung mga pangyayari A 1 , A 2 ,..., A r ay magkapares na hindi magkatugma at ang kanilang unyon ay isang partikular na kaganapan, pagkatapos ay para sa anumang kaganapan AT ang posibilidad nito ay katumbas ng kanilang kabuuan.

Ang probabilities multiplication theorem ay lalong kapaki-pakinabang kapag isinasaalang-alang ang mga compound test. Sinasabi nila ang pagsubok T binubuo ng mga pagsubok T 1 , T 2 ,..., T n-1 , T n, kung bawat resulta ng pagsusulit T mayroong isang kumbinasyon ng ilang mga kinalabasan A i , B j ,..., X k , Y l mga kaugnay na pagsusulit T 1 , T 2 ,..., T n-1 , T n. Mula sa isang kadahilanan o iba pa, ang mga probabilidad ay madalas na kilala

P(A i), P(B j /A i), …,P(Y l /A i B j …X k). (5)

Maaaring gamitin ang mga probabilidad (5) upang matukoy ang mga probabilidad R(E) para sa lahat ng kinalabasan E pinagsama-samang pagsubok, at sa parehong oras ang mga probabilidad ng lahat ng mga kaganapan na nauugnay sa pagsusulit na ito. Mula sa praktikal na pananaw, dalawang uri ng pinagsama-samang pagsubok ang tila ang pinakamahalaga:

a) ang mga bahagi ng pagsusulit ay independyente, iyon ay, ang mga probabilidad (5) ay katumbas ng mga walang kondisyong probabilidad P(A i), P(B j),...,P(Y l);

b) ang mga probabilidad ng mga kinalabasan ng anumang pagsubok ay apektado ng mga resulta lamang ng naunang pagsubok, iyon ay, ang mga probabilidad (5) ay pantay, ayon sa pagkakabanggit: P(A i), P(B j /A i),...,P(Y i / X k). Sa kasong ito, ang isa ay nagsasalita ng mga pagsubok na konektado sa isang Markov chain. Ang mga probabilidad ng lahat ng kaganapan na nauugnay sa isang pinagsama-samang pagsubok ay ganap na tinutukoy dito ng mga paunang probabilidad R(PERO i) at mga posibilidad ng paglipat P(B j /A i),...,P(Y l / X k).

Mga pangunahing pormula sa teorya ng posibilidad

Mga pormula ng teorya ng posibilidad.

1. Mga pangunahing pormula ng combinatorics

a) mga permutasyon.

\b) pagkakalagay

c) mga kumbinasyon .

2. Klasikal na kahulugan ng posibilidad.

Nasaan ang bilang ng mga kanais-nais na resulta para sa kaganapan, ang bilang ng lahat ng elementarya ay pantay na posibleng mga resulta.

3. Probability ng kabuuan ng mga pangyayari

Ang karagdagan theorem para sa mga probabilidad ng hindi magkatugma na mga kaganapan:

Ang theorem ng pagdaragdag ng mga probabilidad ng magkasanib na mga kaganapan:

4. Probability ng paggawa ng mga kaganapan

Ang theorem ng multiplikasyon ng mga probabilidad ng mga independiyenteng kaganapan:

Ang teorama ng pagpaparami ng mga probabilidad ng mga umaasa na kaganapan:

Ang kondisyon na posibilidad ng isang kaganapan na ibinigay na ang kaganapan ay naganap,

Ang kondisyon na posibilidad ng isang kaganapan na ibinigay na ang kaganapan ay naganap.

Ang Combinatorics ay isang sangay ng matematika na nag-aaral ng mga tanong tungkol sa kung gaano karaming iba't ibang kumbinasyon, napapailalim sa ilang mga kundisyon, ang maaaring gawin mula sa mga ibinigay na bagay. Ang mga pangunahing kaalaman ng combinatorics ay napakahalaga para sa pagtantya ng mga probabilidad ng mga random na kaganapan, dahil sila ang gumagawang posible na kalkulahin ang pangunahing posibleng bilang ng iba't ibang mga sitwasyon para sa pagbuo ng mga kaganapan.

Pangunahing pormula ng combinatorics

Hayaang magkaroon ng k pangkat ng mga elemento, at ang i-th na pangkat ay binubuo ng ni elemento. Pumili tayo ng isang elemento mula sa bawat pangkat. Pagkatapos ay ang kabuuang bilang ng N ng mga paraan kung saan maaaring gawin ang gayong pagpili ay tinutukoy ng kaugnayan N=n1*n2*n3*...*nk.

Halimbawa 1 Ipaliwanag natin ang panuntunang ito sa isang simpleng halimbawa. Hayaang magkaroon ng dalawang pangkat ng mga elemento, ang unang pangkat na binubuo ng n1 elemento, at ang pangalawang pangkat na binubuo ng n2 elemento. Ilang magkakaibang pares ng mga elemento ang maaaring gawin mula sa dalawang pangkat na ito upang ang pares ay naglalaman ng isang elemento mula sa bawat pangkat? Ipagpalagay na kinuha namin ang unang elemento mula sa unang pangkat at, nang hindi binabago ito, dumaan sa lahat ng posibleng mga pares, na binago lamang ang mga elemento mula sa pangalawang pangkat. Mayroong n2 tulad na mga pares para sa elementong ito. Pagkatapos ay kinuha namin ang pangalawang elemento mula sa unang pangkat at ginagawa din ang lahat ng posibleng mga pares para dito. Magkakaroon din ng n2 ganoong pares. Dahil mayroon lamang n1 na mga elemento sa unang pangkat, magkakaroon ng n1 * n2 na posibleng mga opsyon.

Halimbawa 2. Ilang tatlong-digit na even na mga numero ang maaaring gawin mula sa mga digit na 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 kung ang mga digit ay maaaring ulitin?

Solusyon: n1=6 (dahil maaari kang kumuha ng anumang digit mula sa 1, 2, 3, 4, 5, 6 bilang unang digit), n2=7 (dahil maaari kang kumuha ng anumang digit mula sa 0 bilang pangalawang digit , 1, 2 , 3, 4, 5, 6), n3=4 (dahil maaari kang kumuha ng anumang digit mula sa 0, 2, 4, 6 bilang ikatlong digit).

Kaya, N=n1*n2*n3=6*7*4=168.

Sa kaso kapag ang lahat ng mga grupo ay binubuo ng parehong bilang ng mga elemento, i.e. n1=n2=...nk=n maaari nating ipagpalagay na ang bawat pagpipilian ay ginawa mula sa parehong grupo, at ang elemento pagkatapos ng pagpili ay ibabalik muli sa pangkat. Kung gayon ang bilang ng lahat ng paraan ng pagpili ay katumbas ng nk.Ang ganitong paraan ng pagpili ay tinatawag na sampling with return.

Halimbawa. Ilang apat na digit na numero ang maaaring gawin mula sa mga numero 1, 5, 6, 7, 8?

Desisyon. Mayroong limang mga posibilidad para sa bawat digit ng isang apat na digit na numero, kaya N=5*5*5*5=54=625.

Isaalang-alang ang isang set na binubuo ng n elemento. Ang set na ito ay tatawaging pangkalahatang populasyon.

Kahulugan 1. Ang pagsasaayos ng n elemento sa pamamagitan ng m ay anumang nakaayos na hanay ng m iba't ibang elemento na pinili mula sa populasyon ng n elemento.

Halimbawa. Iba't ibang kaayusan ng tatlong elemento (1, 2, 3) dalawa sa dalawa ang magiging set (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3). , 2). Maaaring magkaiba ang mga placement sa isa't isa sa mga elemento at sa kanilang pagkakasunud-sunod.

Ang bilang ng mga pagkakalagay ay tinutukoy ng A, m mula sa n at kinakalkula ng formula:

Tandaan: n!=1*2*3*...*n (basahin: "en factorial"), bukod pa rito, ipinapalagay na 0!=1.

Halimbawa 5. Ilang dalawang-digit na numero ang mayroon kung saan ang sampu-sampung digit at ang units na digit ay magkaiba at kakaiba?

Solusyon: kasi mayroong limang kakaibang numero, katulad ng 1, 3, 5, 7, 9, pagkatapos ang problemang ito ay nabawasan sa pagpili at paglalagay ng dalawa sa limang magkakaibang digit sa dalawang magkaibang posisyon, i.e. ang mga ibinigay na numero ay:

Kahulugan 2. Ang kumbinasyon ng n elemento sa pamamagitan ng m ay anumang unordered set ng m iba't ibang elemento na pinili mula sa pangkalahatang populasyon ng n elemento.

Halimbawa 6. Para sa set (1, 2, 3), ang mga kumbinasyon ay (1, 2), (1, 3), (2, 3).

Ang bilang ng mga kumbinasyon ay tinutukoy ng Cnm at kinakalkula ng formula:

Kahulugan 3. Ang permutasyon ng n elemento ay anumang nakaayos na hanay ng mga elementong ito.

Halimbawa 7a. Ang lahat ng posibleng permutasyon ng isang set na binubuo ng tatlong elemento (1, 2, 3) ay: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3) , ( 3, 2, 1), (3, 1, 2).

Ang bilang ng iba't ibang permutasyon ng n elemento ay tinutukoy ng Pn at kinakalkula ng formula na Pn=n!.

Halimbawa 8. Sa ilang paraan maaaring ayusin ang pitong aklat ng iba't ibang may-akda sa isang istante sa isang hanay?

Solusyon: Ang problemang ito ay tungkol sa bilang ng mga permutasyon ng pitong magkakaibang aklat. Mayroong P7=7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 na paraan upang ayusin ang mga aklat.

Pagtalakay. Nakikita namin na ang bilang ng mga posibleng kumbinasyon ay maaaring kalkulahin ayon sa iba't ibang mga panuntunan (mga permutasyon, kumbinasyon, pagkakalagay), at ang resulta ay magkakaiba, dahil ang prinsipyo ng pagbibilang at ang mga pormula mismo ay magkaiba. Kung titingnang mabuti ang mga kahulugan, makikita mo na ang resulta ay depende sa ilang mga kadahilanan sa parehong oras.

Una, mula sa kung gaano karaming mga elemento ang maaari nating pagsamahin ang kanilang mga hanay (kung gaano kalaki ang pangkalahatang populasyon ng mga elemento).

Pangalawa, ang resulta ay depende sa kung anong laki ng mga hanay ng mga elemento ang kailangan natin.

Sa wakas, mahalagang malaman kung ang pagkakasunud-sunod ng mga elemento sa set ay makabuluhan para sa atin. Ipaliwanag natin ang huling salik sa sumusunod na halimbawa.

Halimbawa. Mayroong 20 tao sa pulong ng mga magulang. Gaano karaming iba't ibang mga pagpipilian para sa komposisyon ng komite ng magulang ang mayroon kung dapat itong magsama ng 5 tao?

Solusyon: Sa halimbawang ito, hindi kami interesado sa pagkakasunud-sunod ng mga pangalan sa listahan ng komite. Kung, bilang isang resulta, ang parehong mga tao ay lilitaw sa komposisyon nito, kung gayon sa mga tuntunin ng kahulugan para sa amin ito ay ang parehong pagpipilian. Samakatuwid, maaari nating gamitin ang formula upang mabilang ang bilang ng mga kumbinasyon ng 20 elemento sa pamamagitan ng 5.

Magiiba ang mga bagay kung ang bawat miyembro ng komite ay unang responsable para sa isang partikular na lugar ng trabaho. Pagkatapos, sa parehong payroll ng komite, 5 ang posible sa loob nito! mga opsyon sa permutasyon na mahalaga. Ang bilang ng iba't ibang (kapwa sa mga tuntunin ng komposisyon at lugar ng responsibilidad) ay tinutukoy sa kasong ito sa pamamagitan ng bilang ng mga pagkakalagay ng 20 elemento sa pamamagitan ng 5.

Geometric na kahulugan ng posibilidad

Hayaang isipin ang random na pagsubok bilang paghahagis ng isang punto nang random sa ilang geometric na rehiyon G (sa isang linya, eroplano, o espasyo). Ang mga resulta ng elementarya ay mga indibidwal na puntos na G, ang anumang kaganapan ay isang subset ng lugar na ito, ang espasyo ng mga elementarya na kinalabasan G. Maaari nating ipagpalagay na ang lahat ng mga puntong G ay "pantay" at pagkatapos ay ang posibilidad ng isang puntong mahulog sa isang partikular na subset ay proporsyonal sa nito sukat (haba, lugar, volume) at independiyente sa lokasyon at hugis nito.

Ang geometric na probabilidad ng kaganapan A ay tinutukoy ng kaugnayan: , kung saan ang m(G), m(A) ay mga geometric na sukat (mga haba, lugar o volume) ng buong espasyo ng elementarya na mga resulta at kaganapan A.

Halimbawa. Ang isang bilog na radius r () ay itinapon nang random sa isang eroplano na hinati sa parallel strips ng lapad 2d, ang distansya sa pagitan ng mga axial lines na katumbas ng 2D. Hanapin ang posibilidad na ang bilog ay nag-intersect sa ilang strip.

Desisyon. Bilang isang elementarya na kinalabasan ng pagsusulit na ito, isasaalang-alang namin ang distansya x mula sa gitna ng bilog hanggang sa gitnang linya ng strip na pinakamalapit sa bilog. Kung gayon ang buong espasyo ng mga elementarya na kinalabasan ay isang segment . Ang intersection ng isang bilog na may strip ay magaganap kung ang sentro nito ay bumagsak sa strip, ibig sabihin, o matatagpuan sa layo na mas mababa sa radius mula sa gilid ng strip, i.e.

Para sa ninanais na posibilidad, makuha namin ang: .

Pag-uuri ng mga kaganapan sa posible, malamang at random. Ang mga konsepto ng simple at kumplikadong mga pangyayari sa elementarya. Mga operasyon sa mga kaganapan. Ang klasikal na kahulugan ng posibilidad ng isang random na kaganapan at mga katangian nito. Mga elemento ng combinatorics sa probability theory. geometric na posibilidad. Axioms ng theory of probability.

1. Pag-uuri ng mga pangyayari

Ang isa sa mga pangunahing konsepto ng teorya ng posibilidad ay ang konsepto ng isang kaganapan. Ang isang kaganapan ay nauunawaan na nangangahulugan ng anumang katotohanan na maaaring mangyari bilang isang resulta ng isang karanasan o pagsubok. Sa ilalim ng karanasan, o pagsubok, ay nauunawaan ang pagpapatupad ng isang tiyak na hanay ng mga kundisyon.

Mga halimbawa ng kaganapan:

- pagtama sa target kapag nagpaputok mula sa isang baril (karanasan - ang produkto ng isang pagbaril; kaganapan - pagtama sa target);

- ang pagkawala ng dalawang coats of arms sa tatlong beses na paghagis ng barya (karanasan - tatlong beses na paghagis ng barya; isang kaganapan - ang pagkawala ng dalawang coat of arms);

- ang hitsura ng isang error sa pagsukat sa loob ng tinukoy na mga limitasyon kapag sinusukat ang distansya sa target (eksperimento - pagsukat ng distansya; kaganapan - error sa pagsukat).

Hindi mabilang na mga halimbawa ang maaaring banggitin. Ang mga kaganapan ay ipinahiwatig ng malalaking titik ng alpabetong Latin, atbp.

Matukoy ang pagkakaiba sa pagitan ng magkasanib at hindi magkasanib na mga kaganapan. Ang mga kaganapan ay tinatawag na magkasanib na kung ang paglitaw ng isa sa mga ito ay hindi ibinubukod ang paglitaw ng isa pa. Kung hindi, ang mga kaganapan ay tinatawag na hindi magkatugma. Halimbawa, dalawang dice ang itinatapon. Event - pagkawala ng tatlong puntos sa unang dice, event - pagkawala ng tatlong puntos sa pangalawang die. at - joint event. Hayaang makatanggap ang tindahan ng isang batch ng mga sapatos na may parehong estilo at laki, ngunit may ibang kulay. Isang kaganapan - isang kahon na kinuha nang random ay may itim na sapatos, isang kaganapan - isang kahon ay may brown na sapatos, at - hindi tugmang mga kaganapan.

Ang isang kaganapan ay tinatawag na tiyak kung ito ay kinakailangang mangyari sa ilalim ng mga kondisyon ng isang naibigay na eksperimento.

Ang isang kaganapan ay sinasabing imposible kung hindi ito maaaring mangyari sa ilalim ng mga kondisyon ng ibinigay na karanasan. Halimbawa, ang kaganapan na ang isang karaniwang bahagi ay kinuha mula sa isang batch ng mga karaniwang bahagi ay tiyak, ngunit ang isang hindi karaniwang bahagi ay imposible.

Ang isang kaganapan ay tinatawag na posible o random kung, bilang resulta ng karanasan, ito ay maaaring mangyari o hindi. Ang isang halimbawa ng isang random na kaganapan ay ang pagtuklas ng mga depekto ng produkto sa panahon ng kontrol ng isang batch ng mga natapos na produkto, ang pagkakaiba sa pagitan ng laki ng naprosesong produkto at ang ibinigay na isa, ang pagkabigo ng isa sa mga link ng automated control system.

Sinasabing magkapareho ang posibilidad ng mga kaganapan kung, sa ilalim ng mga kondisyon ng pagsubok, wala sa mga kaganapang ito ang mas malamang kaysa sa iba. Halimbawa, ipagpalagay na ang isang tindahan ay binibigyan ng mga bombilya (at sa pantay na dami) ng ilang mga tagagawa. Ang mga kaganapan na binubuo ng pagbili ng bombilya mula sa alinman sa mga pabrika na ito ay pantay na posibilidad.

Ang isang mahalagang konsepto ay ang kumpletong pangkat ng mga kaganapan. Ang ilang mga kaganapan sa isang partikular na eksperimento ay bumubuo ng isang kumpletong pangkat kung hindi bababa sa isa sa mga ito ay kinakailangang lumitaw bilang isang resulta ng eksperimento. Halimbawa, mayroong sampung bola sa isang urn, kung saan anim ang pula at apat ang puti, lima sa mga ito ay may bilang. - ang hitsura ng isang pulang bola na may isang guhit, - ang hitsura ng isang puting bola, - ang hitsura ng isang bola na may isang numero. Ang mga kaganapan ay bumubuo ng isang kumpletong pangkat ng magkasanib na mga kaganapan.

Ipakilala natin ang konsepto ng isang kabaligtaran, o karagdagang, kaganapan. Ang kabaligtaran na kaganapan ay isang kaganapan na dapat mangyari kung ang ilang kaganapan ay hindi nangyari. Ang mga magkasalungat na kaganapan ay hindi magkatugma at ang mga posible lamang. Bumubuo sila ng isang kumpletong grupo ng mga kaganapan. Halimbawa, kung ang isang batch ng mga manufactured na produkto ay binubuo ng mabuti at may sira, kung gayon kapag ang isang produkto ay tinanggal, maaari itong maging maganda - isang kaganapan, o may sira - isang kaganapan.

2. Mga operasyon sa mga kaganapan

Kapag bumubuo ng aparato at pamamaraan para sa pag-aaral ng mga random na kaganapan sa teorya ng posibilidad, ang konsepto ng kabuuan at produkto ng mga kaganapan ay napakahalaga.

Ang teorya ng probabilidad ay isang sangay ng matematika na nag-aaral ng mga pattern ng mga random na phenomena: mga random na kaganapan, mga random na variable, ang kanilang mga katangian at mga operasyon sa kanila.

Sa mahabang panahon, ang teorya ng posibilidad ay walang malinaw na kahulugan. Ito ay nabuo lamang noong 1929. Ang paglitaw ng teorya ng probabilidad bilang isang agham ay iniuugnay sa Middle Ages at ang mga unang pagtatangka sa mathematical analysis ng pagsusugal (toss, dice, roulette). Natuklasan ng mga French mathematician noong ika-17 siglo na sina Blaise Pascal at Pierre de Fermat ang unang probabilistic pattern na lumitaw kapag naghahagis ng dice habang pinag-aaralan ang hula ng mga panalo sa pagsusugal.

Ang teorya ng probabilidad ay lumitaw bilang isang agham mula sa paniniwala na ang ilang mga regularidad ay sumasailalim sa napakalaking random na mga kaganapan. Pinag-aaralan ng teorya ng probabilidad ang mga pattern na ito.

Ang teorya ng probabilidad ay tumatalakay sa pag-aaral ng mga pangyayari, na ang paglitaw nito ay hindi tiyak na alam. Pinapayagan ka nitong hatulan ang antas ng posibilidad ng paglitaw ng ilang mga kaganapan kumpara sa iba.

Halimbawa: imposibleng malinaw na matukoy ang resulta ng paghuhugas ng mga ulo o buntot ng barya, ngunit sa paulit-ulit na paghagis, humigit-kumulang sa parehong bilang ng mga ulo at buntot ang nahuhulog, na nangangahulugan na ang posibilidad na mahulog ang mga ulo o buntot ", ay pantay. hanggang 50%.

pagsusulit sa kasong ito, ang pagpapatupad ng isang tiyak na hanay ng mga kondisyon ay tinatawag, iyon ay, sa kasong ito, ang paghuhugas ng isang barya. Ang hamon ay maaaring laruin ng walang limitasyong bilang ng beses. Sa kasong ito, ang kumplikado ng mga kondisyon ay kinabibilangan ng mga random na kadahilanan.

Ang resulta ng pagsusulit ay kaganapan. Nangyayari ang kaganapan:

Maaasahan (palaging nangyayari bilang resulta ng pagsubok).
Imposible (hindi mangyayari).
Random (maaaring mangyari o hindi bilang resulta ng pagsubok).

Halimbawa, kapag naghahagis ng barya, isang imposibleng kaganapan - ang barya ay mapupunta sa gilid, isang random na kaganapan - ang pagkawala ng "mga ulo" o "mga buntot". Ang tiyak na resulta ng pagsubok ay tinatawag kaganapan sa elementarya. Bilang resulta ng pagsusulit, mga elementarya lamang na kaganapan ang nagaganap. Tinatawag ang kabuuan ng lahat ng posibleng, iba, partikular na resulta ng pagsubok elementarya na espasyo ng kaganapan.

Pangunahing konsepto ng teorya

Probability- ang antas ng posibilidad ng paglitaw ng kaganapan. Kapag ang mga dahilan para sa ilang posibleng pangyayari ay aktwal na naganap kaysa sa kabaligtaran na mga dahilan, kung gayon ang kaganapang ito ay tinatawag na probable, kung hindi - malamang o hindi malamang.

Random na halaga- ito ay isang halaga na, bilang resulta ng pagsubok, ay maaaring tumagal ng isa o isa pang halaga, at hindi alam nang maaga kung alin. Halimbawa: ang bilang ng mga istasyon ng bumbero bawat araw, ang bilang ng mga hit na may 10 putok, atbp.

Ang mga random na variable ay maaaring nahahati sa dalawang kategorya.

Discrete random variable ang naturang dami ay tinatawag, na, bilang resulta ng pagsubok, ay maaaring tumagal sa ilang mga halaga na may isang tiyak na posibilidad, na bumubuo ng isang mabibilang na hanay (isang set na ang mga elemento ay maaaring bilangin). Ang hanay na ito ay maaaring may hangganan o walang katapusan. Halimbawa, ang bilang ng mga shot bago ang unang hit sa target ay isang discrete random variable, dahil ang halagang ito ay maaaring tumagal sa isang walang katapusan, bagama't mabibilang, bilang ng mga halaga.
Patuloy na random variable ay isang dami na maaaring kumuha ng anumang halaga mula sa ilang may hangganan o walang katapusang pagitan. Malinaw, ang bilang ng mga posibleng halaga ng isang tuluy-tuloy na random na variable ay walang hanggan.

Lugar ng posibilidad- ang konseptong ipinakilala ni A.N. Kolmogorov noong 1930s upang gawing pormal ang konsepto ng probabilidad, na nagbunga ng mabilis na pag-unlad ng probability theory bilang isang mahigpit na disiplina sa matematika.

Ang probability space ay isang triple (minsan naka-frame sa mga angle bracket: , kung saan

Ito ay isang arbitrary set, ang mga elemento nito ay tinatawag na elementarya na mga kaganapan, kinalabasan o puntos;
- sigma-algebra ng mga subset na tinatawag na (random) na mga kaganapan;
- probabilistic measure o probabilidad, i.e. sigma-additive na may hangganan na sukat tulad na .

De Moivre-Laplace theorem- isa sa mga naglilimitang theorems ng probability theory, na itinatag ni Laplace noong 1812. Sinabi niya na ang bilang ng mga tagumpay sa pag-uulit ng parehong random na eksperimento na may dalawang posibleng resulta ay humigit-kumulang na karaniwang ipinamamahagi. Pinapayagan ka nitong makahanap ng tinatayang halaga ng posibilidad.

Kung, para sa bawat isa sa mga independiyenteng pagsubok, ang posibilidad ng paglitaw ng ilang random na kaganapan ay katumbas ng () at ang bilang ng mga pagsubok kung saan ito aktwal na nangyayari, kung gayon ang posibilidad ng bisa ng hindi pagkakapantay-pantay ay malapit (para sa malaki ) sa halaga ng integral ng Laplace.

Distribution function sa probability theory- isang function na nagpapakilala sa pamamahagi ng isang random variable o isang random vector; ang posibilidad na ang isang random na variable na X ay kukuha ng isang halaga na mas mababa sa o katumbas ng x, kung saan ang x ay isang arbitrary na tunay na numero. Sa ilalim ng ilang mga kundisyon, ganap nitong tinutukoy ang isang random na variable.

Inaasahang halaga- ang average na halaga ng isang random variable (ito ang probability distribution ng isang random variable, na isinasaalang-alang sa probability theory). Sa panitikang Ingles, ito ay tinutukoy ng, sa Russian -. Sa mga istatistika, madalas na ginagamit ang notasyon.

Hayaang magbigay ng probability space at isang random variable na tinukoy dito. Iyon ay, sa pamamagitan ng kahulugan, isang masusukat na function. Pagkatapos, kung mayroong Lebesgue integral ng over space , kung gayon ito ay tinatawag na mathematical expectation, o mean value, at tinutukoy ng .

Pagkakaiba-iba ng isang random na variable- isang sukatan ng pagkalat ng isang naibigay na random na variable, ibig sabihin, ang paglihis nito mula sa inaasahan sa matematika. Itinalaga sa panitikang Ruso at sa dayuhan. Sa mga istatistika, ang pagtatalaga o ay kadalasang ginagamit. Ang square root ng variance ay tinatawag na standard deviation, standard deviation, o standard spread.

Hayaan ang isang random na variable na tinukoy sa ilang probability space. Pagkatapos

kung saan ang simbolo ay nagsasaad ng matematikal na inaasahan.

Sa teorya ng posibilidad, dalawang random na kaganapan ang tinatawag malaya kung ang paglitaw ng isa sa kanila ay hindi nagbabago sa posibilidad ng paglitaw ng isa pa. Katulad nito, dalawang random na variable ang tinatawag umaasa kung ang halaga ng isa sa mga ito ay nakakaapekto sa posibilidad ng mga halaga ng isa pa.

Ang pinakasimpleng anyo ng batas ng malalaking numero ay ang theorem ni Bernoulli, na nagsasaad na kung ang posibilidad ng isang kaganapan ay pareho sa lahat ng mga pagsubok, kung gayon habang ang bilang ng mga pagsubok ay tumataas, ang dalas ng kaganapan ay may posibilidad na mangyari ang kaganapan at huminto sa pagiging random.

Ang batas ng malalaking numero sa probability theory ay nagsasaad na ang arithmetic mean ng isang finite sample mula sa fixed distribution ay malapit sa theoretical mean ng distribution na iyon. Depende sa uri ng convergence, ang isang mahinang batas ng malalaking numero ay nakikilala, kapag ang convergence sa probability ay naganap, at isang malakas na batas ng malalaking numero, kapag ang convergence ay halos tiyak na magaganap.

Ang pangkalahatang kahulugan ng batas ng malalaking numero ay ang magkasanib na pagkilos ng isang malaking bilang ng magkapareho at independiyenteng random na mga kadahilanan ay humahantong sa isang resulta na, sa limitasyon, ay hindi nakasalalay sa pagkakataon.

Ang mga pamamaraan para sa pagtatantya ng probabilidad batay sa pagsusuri ng isang limitadong sample ay batay sa property na ito. Ang isang magandang halimbawa ay ang hula ng mga resulta ng halalan batay sa isang survey ng isang sample ng mga botante.

Central limit theorems- isang klase ng theorems sa probability theory na nagsasaad na ang kabuuan ng isang sapat na malaking bilang ng mahinang umaasa na random variable na may humigit-kumulang sa parehong sukat (wala sa mga termino ang nangingibabaw, hindi gumagawa ng isang mapagpasyang kontribusyon sa kabuuan) ay may distribusyon na malapit sa normal.

Dahil maraming mga random na variable sa mga aplikasyon ang nabuo sa ilalim ng impluwensya ng ilang mahinang umaasa na random na mga kadahilanan, ang kanilang pamamahagi ay itinuturing na normal. Sa kasong ito, dapat na obserbahan ang kondisyon na wala sa mga salik ang nangingibabaw. Ang mga sentral na teorema ng limitasyon sa mga kasong ito ay nagbibigay-katwiran sa paggamit ng normal na pamamahagi.

"Ang pagiging random ay hindi sinasadya"... Parang sinabi ng isang pilosopo, ngunit sa katunayan, ang pag-aaral ng mga aksidente ay ang tadhana ng mahusay na agham ng matematika. Sa matematika, ang pagkakataon ay ang teorya ng posibilidad. Ang mga pormula at mga halimbawa ng mga gawain, pati na rin ang mga pangunahing kahulugan ng agham na ito ay ipapakita sa artikulo.

Ano ang Probability Theory?

Ang teorya ng posibilidad ay isa sa mga disiplina sa matematika na nag-aaral ng mga random na kaganapan.

Upang gawing mas malinaw ito, magbigay tayo ng isang maliit na halimbawa: kung maghagis ka ng barya pataas, maaari itong mahulog sa ulo o buntot. Hangga't ang barya ay nasa himpapawid, ang parehong mga posibilidad na ito ay posible. Iyon ay, ang posibilidad ng mga posibleng kahihinatnan ay nauugnay sa 1:1. Kung ang isa ay iginuhit mula sa isang deck na may 36 na baraha, ang posibilidad ay ipahiwatig bilang 1:36. Tila walang dapat tuklasin at mahulaan, lalo na sa tulong ng mga mathematical formula. Gayunpaman, kung uulitin mo ang isang tiyak na aksyon nang maraming beses, maaari mong matukoy ang isang tiyak na pattern at, sa batayan nito, mahulaan ang kinalabasan ng mga kaganapan sa ibang mga kundisyon.

Upang ibuod ang lahat ng nasa itaas, pinag-aaralan ng teorya ng probabilidad sa klasikal na kahulugan ang posibilidad ng paglitaw ng isa sa mga posibleng kaganapan sa isang numerical na kahulugan.

Mula sa mga pahina ng kasaysayan

Ang teorya ng probabilidad, mga formula at mga halimbawa ng mga unang gawain ay lumitaw sa malayong Middle Ages, nang ang mga pagtatangka na hulaan ang kinalabasan ng mga laro ng card ay unang lumitaw.

Sa una, ang teorya ng probabilidad ay walang kinalaman sa matematika. Ito ay nabigyang-katwiran sa pamamagitan ng mga empirical na katotohanan o mga katangian ng isang kaganapan na maaaring kopyahin sa pagsasanay. Ang mga unang gawa sa lugar na ito bilang isang disiplina sa matematika ay lumitaw noong ika-17 siglo. Ang mga tagapagtatag ay sina Blaise Pascal at Pierre Fermat. Sa mahabang panahon nag-aral sila ng pagsusugal at nakakita ng ilang mga pattern, na nagpasya silang sabihin sa publiko.

Ang parehong pamamaraan ay naimbento ni Christian Huygens, bagaman hindi siya pamilyar sa mga resulta ng pananaliksik nina Pascal at Fermat. Ang konsepto ng "teorya ng posibilidad", mga pormula at mga halimbawa, na itinuturing na una sa kasaysayan ng disiplina, ay ipinakilala niya.

Walang maliit na kahalagahan ang mga gawa ni Jacob Bernoulli, Laplace at Poisson's theorems. Ginawa nila ang probability theory na mas katulad ng isang matematikal na disiplina. Ang teorya ng posibilidad, mga pormula at mga halimbawa ng mga pangunahing gawain ay nakuha ang kanilang kasalukuyang anyo salamat sa mga axiom ni Kolmogorov. Bilang resulta ng lahat ng mga pagbabago, ang teorya ng probabilidad ay naging isa sa mga sangay ng matematika.

Mga pangunahing konsepto ng teorya ng posibilidad. Mga kaganapan

Ang pangunahing konsepto ng disiplinang ito ay "kaganapan". Ang mga kaganapan ay may tatlong uri:

Maaasahan. Yung mangyayari pa rin (malalaglag ang barya).
Imposible. Mga kaganapang hindi mangyayari sa anumang senaryo (ang barya ay mananatiling nakabitin sa hangin).
Random. Yung mangyayari o hindi. Maaari silang maimpluwensyahan ng iba't ibang mga kadahilanan na napakahirap hulaan. Kung pinag-uusapan natin ang tungkol sa isang barya, kung gayon ang mga random na kadahilanan na maaaring makaapekto sa resulta: ang mga pisikal na katangian ng barya, hugis nito, paunang posisyon, puwersa ng paghagis, atbp.

Ang lahat ng mga kaganapan sa mga halimbawa ay tinutukoy ng malalaking titik na Latin, maliban sa R, na may ibang tungkulin. Halimbawa:

A = "dumating ang mga mag-aaral sa lecture."
Ā = "hindi dumating ang mga mag-aaral sa lecture".

Sa mga praktikal na gawain, ang mga kaganapan ay karaniwang naitala sa mga salita.

Ang isa sa pinakamahalagang katangian ng mga kaganapan ay ang kanilang pantay na posibilidad. Iyon ay, kung ihagis mo ang isang barya, ang lahat ng mga variant ng unang pagkahulog ay posible hanggang sa ito ay bumagsak. Ngunit ang mga kaganapan ay hindi rin pantay na posibilidad. Nangyayari ito kapag ang isang tao ay sadyang nakakaimpluwensya sa kinalabasan. Halimbawa, "minarkahan" ang paglalaro ng mga baraha o dice, kung saan inililipat ang sentro ng grabidad.

Ang mga kaganapan ay magkatugma at hindi magkatugma. Ang mga magkatugmang kaganapan ay hindi ibinubukod ang paglitaw ng bawat isa. Halimbawa:

A = "dumating ang estudyante sa lecture."
B = "dumating ang estudyante sa lecture."

Ang mga kaganapang ito ay independyente sa bawat isa, at ang hitsura ng isa sa mga ito ay hindi nakakaapekto sa hitsura ng isa pa. Ang mga hindi tugmang kaganapan ay tinutukoy ng katotohanan na ang paglitaw ng isa ay humahadlang sa paglitaw ng isa pa. Kung pinag-uusapan natin ang parehong barya, kung gayon ang pagkawala ng "mga buntot" ay ginagawang imposible para sa hitsura ng "mga ulo" sa parehong eksperimento.

Mga aksyon sa mga kaganapan

Ang mga kaganapan ay maaaring paramihin at idagdag, ayon sa pagkakabanggit, ang mga lohikal na connective na "AT" at "O" ay ipinakilala sa disiplina.

Ang halaga ay natutukoy sa pamamagitan ng katotohanan na ang alinman sa kaganapan A, o B, o pareho ay maaaring mangyari sa parehong oras. Sa kaso kapag ang mga ito ay hindi tugma, ang huling opsyon ay imposible, alinman sa A o B ay mawawala.

Ang pagpaparami ng mga kaganapan ay binubuo sa hitsura ng A at B sa parehong oras.

Ngayon ay maaari kang magbigay ng ilang mga halimbawa upang mas matandaan ang mga pangunahing kaalaman, teorya ng posibilidad at mga formula. Mga halimbawa ng paglutas ng problema sa ibaba.

Ehersisyo 1: Ang kumpanya ay nagbi-bid para sa mga kontrata para sa tatlong uri ng trabaho. Mga posibleng kaganapan na maaaring mangyari:

A = "tatanggap ng kompanya ang unang kontrata."
A 1 = "hindi matatanggap ng kompanya ang unang kontrata."
B = "ang kompanya ay makakatanggap ng pangalawang kontrata."
B 1 = "ang kompanya ay hindi makakatanggap ng pangalawang kontrata"
C = "ang kompanya ay makakatanggap ng ikatlong kontrata."
C 1 = "ang kompanya ay hindi makakatanggap ng ikatlong kontrata."

Subukan nating ipahayag ang mga sumusunod na sitwasyon gamit ang mga aksyon sa mga kaganapan:

K = "tatanggap ng kompanya ang lahat ng kontrata."

Sa mathematical form, ang equation ay magiging ganito: K = ABC.

M = "ang kompanya ay hindi makakatanggap ng isang kontrata."

M \u003d A 1 B 1 C 1.

Ginagawa naming kumplikado ang gawain: H = "ang kompanya ay makakatanggap ng isang kontrata." Dahil hindi alam kung aling kontrata ang matatanggap ng kompanya (ang una, pangalawa o pangatlo), kinakailangang itala ang buong hanay ng mga posibleng kaganapan:

H \u003d A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

At ang 1 BC 1 ay isang serye ng mga kaganapan kung saan ang kompanya ay hindi tumatanggap ng una at ikatlong kontrata, ngunit natatanggap ang pangalawa. Ang iba pang posibleng mga kaganapan ay naitala din sa pamamagitan ng kaukulang pamamaraan. Ang simbolo υ sa disiplina ay nagpapahiwatig ng isang grupo ng "O". Kung isasalin natin ang halimbawa sa itaas sa wika ng tao, ang kumpanya ay makakatanggap ng alinman sa ikatlong kontrata, o ang pangalawa, o ang una. Katulad nito, maaari kang sumulat ng iba pang mga kundisyon sa disiplina na "Teorya ng Probability". Ang mga pormula at mga halimbawa ng paglutas ng mga problema na ipinakita sa itaas ay makakatulong sa iyo na gawin ito sa iyong sarili.

Sa totoo lang, ang posibilidad

Marahil, sa mathematical na disiplina na ito, ang posibilidad ng isang kaganapan ay isang sentral na konsepto. Mayroong 3 kahulugan ng posibilidad:

klasiko;
istatistika;
geometriko.

Ang bawat isa ay may lugar sa pag-aaral ng mga probabilidad. Ang teorya ng posibilidad, mga formula, at mga halimbawa (Grade 9) ay kadalasang gumagamit ng klasikong kahulugan, na parang ganito:

Ang posibilidad ng sitwasyon A ay katumbas ng ratio ng bilang ng mga kinalabasan na pumapabor sa paglitaw nito sa bilang ng lahat ng posibleng resulta.

Ang formula ay ganito ang hitsura: P (A) \u003d m / n.

At, sa totoo lang, isang kaganapan. Kung ang kabaligtaran ng A ay nangyayari, maaari itong isulat bilang Ā o A 1 .

m ay ang bilang ng mga posibleng paborableng kaso.

n - lahat ng pangyayari na maaaring mangyari.

Halimbawa, A \u003d "hugot ng heart suit card." Mayroong 36 na card sa isang karaniwang deck, 9 sa mga ito ay mga puso. Alinsunod dito, ang formula para sa paglutas ng problema ay magiging ganito:

P(A)=9/36=0.25.

Bilang resulta, ang posibilidad na makuha ang isang card na angkop sa puso mula sa deck ay magiging 0.25.

sa mas mataas na matematika

Ngayon ay medyo kilala na kung ano ang teorya ng probabilidad, mga pormula at mga halimbawa ng paglutas ng mga gawain na makikita sa kurikulum ng paaralan. Gayunpaman, ang teorya ng probabilidad ay matatagpuan din sa mas mataas na matematika, na itinuturo sa mga unibersidad. Kadalasan, gumagana ang mga ito sa mga geometriko at istatistikal na kahulugan ng teorya at mga kumplikadong formula.

Ang teorya ng posibilidad ay lubhang kawili-wili. Ang mga pormula at halimbawa (mas mataas na matematika) ay mas mahusay na magsimulang matuto mula sa isang maliit - mula sa isang istatistikal (o dalas) na kahulugan ng posibilidad.

Ang diskarte sa istatistika ay hindi sumasalungat sa klasikal na diskarte, ngunit bahagyang pinalawak ito. Kung sa unang kaso kinakailangan upang matukoy kung anong antas ng posibilidad ang isang kaganapan ay magaganap, kung gayon sa pamamaraang ito kinakailangan upang ipahiwatig kung gaano kadalas ito mangyayari. Dito ipinakilala ang isang bagong konsepto ng "relative frequency", na maaaring tukuyin ng W n (A). Ang formula ay hindi naiiba sa klasiko:

Kung ang klasikal na formula ay kinakalkula para sa pagtataya, ang istatistika ay kinakalkula ayon sa mga resulta ng eksperimento. Kunin, halimbawa, ang isang maliit na gawain.

Sinusuri ng departamento ng teknolohikal na kontrol ang mga produkto para sa kalidad. Sa 100 produkto, 3 ang nakitang hindi maganda ang kalidad. Paano mahahanap ang dalas ng posibilidad ng isang kalidad na produkto?

A = "ang hitsura ng isang kalidad na produkto."

W n (A)=97/100=0.97

Kaya, ang dalas ng isang kalidad na produkto ay 0.97. Saan mo nakuha ang 97? Sa 100 mga produkto na nasuri, 3 ay naging mahina ang kalidad. Ibawas natin ang 3 mula sa 100, makakakuha tayo ng 97, ito ang dami ng isang kalidad na produkto.

Medyo tungkol sa combinatorics

Ang isa pang paraan ng probability theory ay tinatawag na combinatorics. Ang pangunahing prinsipyo nito ay kung ang isang tiyak na pagpipilian A ay maaaring gawin sa m iba't ibang paraan, at isang pagpipilian B sa n iba't ibang paraan, kung gayon ang pagpili ng A at B ay maaaring gawin sa pamamagitan ng pagpaparami.

Halimbawa, mayroong 5 kalsada mula sa lungsod A hanggang sa lungsod B. Mayroong 4 na ruta mula sa lungsod B patungo sa lungsod C. Ilang paraan ang mayroon upang makapunta mula sa lungsod A patungo sa lungsod C?

Ito ay simple: 5x4 = 20, ibig sabihin, mayroong dalawampung magkakaibang paraan upang makarating mula sa punto A hanggang sa punto C.

Gawin nating mas mahirap ang gawain. Ilang paraan ang mayroon para maglaro ng mga baraha sa solitaire? Sa isang deck ng 36 card, ito ang panimulang punto. Upang malaman ang bilang ng mga paraan, kailangan mong "ibawas" ang isang card mula sa panimulang punto at i-multiply.

Iyon ay, 36x35x34x33x32…x2x1= ang resulta ay hindi magkasya sa screen ng calculator, kaya maaari lamang itong tukuyin bilang 36!. Tanda "!" sa tabi ng numero ay nagpapahiwatig na ang buong serye ng mga numero ay pinarami sa kanilang mga sarili.

Sa combinatorics, mayroong mga konsepto tulad ng permutation, placement at combination. Ang bawat isa sa kanila ay may sariling formula.

Ang isang nakaayos na hanay ng mga elemento ng hanay ay tinatawag na layout. Maaaring paulit-ulit ang mga placement, ibig sabihin, ang isang elemento ay maaaring gamitin nang maraming beses. At nang walang pag-uulit, kapag ang mga elemento ay hindi paulit-ulit. n ang lahat ng elemento, ang m ay ang mga elementong lumalahok sa paglalagay. Ang formula para sa paglalagay nang walang pag-uulit ay magiging ganito:

A n m =n!/(n-m)!

Ang mga koneksyon ng n elemento na naiiba lamang sa pagkakasunud-sunod ng pagkakalagay ay tinatawag na permutations. Sa matematika, ganito ang hitsura: P n = n!

Ang mga kumbinasyon ng n elemento sa pamamagitan ng m ay mga compound kung saan mahalaga kung aling mga elemento sila at kung ano ang kanilang kabuuang bilang. Magiging ganito ang formula:

A n m =n!/m!(n-m)!

Bernoulli formula

Sa teorya ng probabilidad, gayundin sa bawat disiplina, may mga gawa ng mga natitirang mananaliksik sa kanilang larangan na nagdala nito sa isang bagong antas. Ang isa sa mga gawang ito ay ang Bernoulli formula, na nagbibigay-daan sa iyo upang matukoy ang posibilidad ng isang partikular na kaganapan na nagaganap sa ilalim ng mga independiyenteng kondisyon. Iminumungkahi nito na ang hitsura ng A sa isang eksperimento ay hindi nakasalalay sa hitsura o hindi paglitaw ng parehong kaganapan sa mga nauna o kasunod na mga pagsubok.

Bernoulli equation:

P n (m) = C n m ×p m ×q n-m .

Ang posibilidad (p) ng paglitaw ng kaganapan (A) ay hindi nagbabago para sa bawat pagsubok. Ang posibilidad na ang sitwasyon ay mangyayari nang eksakto m beses sa n bilang ng mga eksperimento ay kakalkulahin ng formula na ipinakita sa itaas. Alinsunod dito, ang tanong ay lumitaw kung paano malalaman ang numero q.

Kung ang kaganapan A ay nangyari p bilang ng beses, naaayon, ito ay maaaring hindi mangyari. Ang unit ay isang numero na ginagamit upang italaga ang lahat ng resulta ng isang sitwasyon sa isang disiplina. Samakatuwid, ang q ay isang numero na nagsasaad ng posibilidad na hindi mangyari ang kaganapan.

Ngayon alam mo na ang Bernoulli formula (probability theory). Ang mga halimbawa ng paglutas ng problema (ang unang antas) ay isasaalang-alang sa ibaba.

Gawain 2: Ang isang bisita sa tindahan ay bibili na may posibilidad na 0.2. 6 na bisita ang pumasok sa tindahan nang nakapag-iisa. Ano ang posibilidad na bibili ang isang bisita?

Solusyon: Dahil hindi alam kung ilang bisita ang dapat bumili, isa o lahat ng anim, kinakailangang kalkulahin ang lahat ng posibleng probabilidad gamit ang Bernoulli formula.

A = "mamimili ang bisita."

Sa kasong ito: p = 0.2 (tulad ng ipinahiwatig sa gawain). Alinsunod dito, q=1-0.2 = 0.8.

n = 6 (dahil mayroong 6 na customer sa tindahan). Ang bilang na m ay magbabago mula 0 (walang customer na bibili) hanggang 6 (lahat ng mga bisita sa tindahan ay bibili ng isang bagay). Bilang resulta, nakuha namin ang solusyon:

P 6 (0) \u003d C 0 6 × p 0 × q 6 \u003d q 6 \u003d (0.8) 6 \u003d 0.2621.

Wala sa mga mamimili ang bibili na may posibilidad na 0.2621.

Paano pa ginagamit ang Bernoulli formula (probability theory)? Mga halimbawa ng paglutas ng problema (ikalawang antas) sa ibaba.

Pagkatapos ng halimbawa sa itaas, lumitaw ang mga tanong tungkol sa kung saan napunta ang C at p. Sa paggalang sa p, ang isang numero sa kapangyarihan ng 0 ay magiging katumbas ng isa. Tulad ng para sa C, ito ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:

C n m = n! /m!(n-m)!

Dahil sa unang halimbawa m = 0, ayon sa pagkakabanggit, C=1, na sa prinsipyo ay hindi nakakaapekto sa resulta. Gamit ang bagong formula, subukan nating alamin kung ano ang posibilidad ng pagbili ng mga kalakal ng dalawang bisita.

P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0.2) 2 × ( 0.8) 4 = 15 × 0.04 × 0.4096 = 0.246.

Ang teorya ng posibilidad ay hindi masyadong kumplikado. Ang Bernoulli formula, ang mga halimbawa nito ay ipinakita sa itaas, ay isang direktang patunay nito.

Poisson formula

Ang Poisson equation ay ginagamit upang kalkulahin ang mga hindi malamang na random na sitwasyon.

Pangunahing formula:

P n (m)=λ m /m! × e (-λ) .

Sa kasong ito, λ = n x p. Narito ang isang simpleng Poisson formula (probability theory). Ang mga halimbawa ng paglutas ng problema ay isasaalang-alang sa ibaba.

Gawain 3 A: Ang pabrika ay gumawa ng 100,000 bahagi. Ang hitsura ng isang may sira na bahagi = 0.0001. Ano ang posibilidad na magkakaroon ng 5 may sira na bahagi sa isang batch?

Tulad ng nakikita mo, ang kasal ay isang hindi malamang na kaganapan, at samakatuwid ang Poisson formula (probability theory) ay ginagamit para sa pagkalkula. Ang mga halimbawa ng paglutas ng mga problema ng ganitong uri ay hindi naiiba sa iba pang mga gawain ng disiplina, pinapalitan namin ang kinakailangang data sa formula sa itaas:

A = "isang random na napiling bahagi ay may depekto."

p = 0.0001 (ayon sa kondisyon ng pagtatalaga).

n = 100000 (bilang ng mga bahagi).

m = 5 (mga may sira na bahagi). Pinapalitan namin ang data sa formula at makuha ang:

R 100000 (5) = 10 5 / 5! X e -10 = 0.0375.

Tulad ng Bernoulli formula (probability theory), mga halimbawa ng mga solusyon na ginagamit na nakasulat sa itaas, ang Poisson equation ay may hindi kilalang e. Sa esensya, ito ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:

e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .

Gayunpaman, mayroong mga espesyal na talahanayan na naglalaman ng halos lahat ng mga halaga ng e.

De Moivre-Laplace theorem

Kung sa scheme ng Bernoulli ang bilang ng mga pagsubok ay sapat na malaki, at ang posibilidad ng paglitaw ng kaganapan A sa lahat ng mga scheme ay pareho, kung gayon ang posibilidad ng paglitaw ng kaganapan A sa isang tiyak na bilang ng beses sa isang serye ng mga pagsubok ay matatagpuan sa pamamagitan ng ang Laplace formula:

Р n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

Xm = m-np/√npq.

Para mas matandaan ang Laplace formula (probability theory), mga halimbawa ng mga gawaing makakatulong sa ibaba.

Una naming mahanap X m , pinapalitan namin ang data (lahat sila ay ipinahiwatig sa itaas) sa formula at makakuha ng 0.025. Gamit ang mga talahanayan, makikita natin ang numerong ϕ (0.025), ang halaga nito ay 0.3988. Ngayon ay maaari mong palitan ang lahat ng data sa formula:

P 800 (267) \u003d 1 / √ (800 x 1/3 x 2/3) x 0.3988 \u003d 3/40 x 0.3988 \u003d 0.03.

Kaya ang posibilidad na ang flyer ay tamaan ng eksaktong 267 beses ay 0.03.

Formula ng Bayes

Ang pormula ng Bayes (teoryang probabilidad), mga halimbawa ng paglutas ng mga gawain gamit ang ibibigay sa ibaba, ay isang equation na naglalarawan sa posibilidad ng isang kaganapan batay sa mga pangyayari na maaaring maiugnay dito. Ang pangunahing formula ay ang mga sumusunod:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

Ang A at B ay mga tiyak na pangyayari.

P(A|B) - conditional probability, ibig sabihin, maaaring mangyari ang event A, basta't totoo ang event B.

Р (В|А) - may kondisyong posibilidad ng kaganapan В.

Kaya, ang huling bahagi ng maikling kurso na "Teorya ng Probability" ay ang pormula ng Bayes, mga halimbawa ng paglutas ng mga problema na nasa ibaba.

Gawain 5: Dinala sa bodega ang mga telepono mula sa tatlong kumpanya. Kasabay nito, ang bahagi ng mga teleponong ginawa sa unang halaman ay 25%, sa pangalawa - 60%, sa pangatlo - 15%. Alam din na ang average na porsyento ng mga may sira na produkto sa unang pabrika ay 2%, sa pangalawa - 4%, at sa pangatlo - 1%. Ito ay kinakailangan upang mahanap ang posibilidad na ang isang random na napiling telepono ay may depekto.

A = "randomly taken phone."

B 1 - ang telepono na ginawa ng unang pabrika. Alinsunod dito, lalabas ang panimulang B 2 at B 3 (para sa pangalawa at pangatlong pabrika).

Bilang resulta, nakukuha namin ang:

P (B 1) \u003d 25% / 100% \u003d 0.25; P (B 2) \u003d 0.6; P (B 3) \u003d 0.15 - kaya natagpuan namin ang posibilidad ng bawat pagpipilian.

Ngayon ay kailangan mong hanapin ang mga kondisyon na probabilidad ng nais na kaganapan, iyon ay, ang posibilidad ng mga may sira na produkto sa mga kumpanya:

P (A / B 1) \u003d 2% / 100% \u003d 0.02;

P (A / B 2) \u003d 0.04;

P (A / B 3) \u003d 0.01.

Ngayon ay pinapalitan namin ang data sa formula ng Bayes at makuha ang:

P (A) \u003d 0.25 x 0.2 + 0.6 x 0.4 + 0.15 x 0.01 \u003d 0.0305.

Ang artikulo ay nagpapakita ng teorya ng posibilidad, mga pormula at mga halimbawa ng paglutas ng problema, ngunit ito ay dulo lamang ng malaking bato ng yelo ng isang malawak na disiplina. At pagkatapos ng lahat ng naisulat, magiging lohikal na itanong kung kailangan ba ang teorya ng posibilidad sa buhay. Mahirap sumagot ang isang simpleng tao, mas mabuting magtanong sa taong naka-jackpot ng higit sa isang beses sa tulong niya.

PANIMULA

Maraming bagay ang hindi natin maintindihan, hindi dahil mahina ang ating mga konsepto;
ngunit dahil ang mga bagay na ito ay hindi pumapasok sa bilog ng ating mga konsepto.
Kozma Prutkov

Ang pangunahing layunin ng pag-aaral ng matematika sa pangalawang dalubhasang institusyong pang-edukasyon ay upang bigyan ang mga mag-aaral ng isang hanay ng kaalaman at kasanayan sa matematika na kinakailangan para sa pag-aaral ng iba pang mga disiplina ng programa na gumagamit ng matematika sa isang antas o iba pa, para sa kakayahang magsagawa ng mga praktikal na kalkulasyon, para sa pagbuo at pag-unlad. ng lohikal na pag-iisip.

Sa papel na ito, ang lahat ng mga pangunahing konsepto ng seksyon ng matematika na "Mga Pundamental ng Probability Theory at Mathematical Statistics", na ibinigay ng programa at ang State Educational Standards of Secondary Vocational Education (Ministry of Education of the Russian Federation. M., 2002). ), ay patuloy na ipinakilala, ang mga pangunahing theorems ay nabalangkas, karamihan sa mga ito ay hindi napatunayan. Ang mga pangunahing gawain at pamamaraan para sa kanilang solusyon at mga teknolohiya para sa paglalapat ng mga pamamaraang ito sa paglutas ng mga praktikal na problema ay isinasaalang-alang. Ang pagtatanghal ay sinamahan ng mga detalyadong komento at maraming mga halimbawa.

Ang mga tagubiling pamamaraan ay maaaring gamitin para sa paunang pagkilala sa pinag-aralan na materyal, kapag kumukuha ng mga tala ng mga lektura, para sa paghahanda para sa mga praktikal na pagsasanay, para sa pagsasama-sama ng nakuha na kaalaman, kasanayan at kakayahan. Bilang karagdagan, ang manwal ay magiging kapaki-pakinabang para sa mga undergraduate na mag-aaral bilang isang reference tool na nagbibigay-daan sa iyo upang mabilis na maibalik sa memorya ang naunang pinag-aralan.

Sa pagtatapos ng gawain, ibinibigay ang mga halimbawa at gawain na maaaring gawin ng mga mag-aaral sa self-control mode.

Ang mga tagubiling metodolohikal ay inilaan para sa mga mag-aaral ng sulat at full-time na mga anyo ng edukasyon.

MGA BATAYANG KONSEPTO

Pinag-aaralan ng teorya ng probabilidad ang mga layunin na regularidad ng mass random na mga kaganapan. Ito ay isang teoretikal na batayan para sa mga istatistika ng matematika, na tumatalakay sa pagbuo ng mga pamamaraan para sa pagkolekta, paglalarawan at pagproseso ng mga resulta ng mga obserbasyon. Sa pamamagitan ng mga obserbasyon (mga pagsubok, eksperimento), i.e. karanasan sa malawak na kahulugan ng salita, mayroong isang kaalaman sa mga phenomena ng tunay na mundo.

Sa aming mga praktikal na aktibidad, madalas kaming nakatagpo ng mga phenomena, ang kinalabasan nito ay hindi mahuhulaan, ang resulta nito ay nakasalalay sa pagkakataon.

Ang isang random na kababalaghan ay maaaring mailalarawan sa pamamagitan ng ratio ng bilang ng mga paglitaw nito sa bilang ng mga pagsubok, sa bawat isa, sa ilalim ng parehong mga kondisyon ng lahat ng mga pagsubok, maaari itong mangyari o hindi mangyari.

Ang teorya ng probabilidad ay isang sangay ng matematika kung saan ang mga random na phenomena (mga pangyayari) ay pinag-aaralan at ang mga regularidad ay inilalantad kapag ang mga ito ay napakalaking inuulit.

Ang matematikal na istatistika ay isang sangay ng matematika na ang paksa nito ay ang pag-aaral ng mga pamamaraan para sa pagkolekta, pagsasaayos, pagpoproseso at paggamit ng mga istatistikal na datos upang makakuha ng mga konklusyong nakabatay sa siyentipiko at gumawa ng mga desisyon.

Kasabay nito, ang istatistikal na data ay nauunawaan bilang isang hanay ng mga numero na kumakatawan sa mga quantitative na katangian ng mga tampok ng mga pinag-aralan na bagay na interesado sa amin. Ang data ng istatistika ay nakuha bilang resulta ng mga espesyal na idinisenyong eksperimento at obserbasyon.

Ang data ng istatistika sa kakanyahan nito ay nakasalalay sa maraming random na mga kadahilanan, kaya ang mga istatistika ng matematika ay malapit na nauugnay sa teorya ng posibilidad, na siyang teoretikal na batayan.

I. PROBABILIDAD. THEOREMS NG ADDITION AT PROBABILITY MULTIPLICATION

1.1. Mga pangunahing konsepto ng combinatorics

Sa seksyon ng matematika na tinatawag na combinatorics, ang ilang mga problema ay nalutas na may kaugnayan sa pagsasaalang-alang ng mga set at ang pagsasama-sama ng iba't ibang kumbinasyon ng mga elemento ng mga set na ito. Halimbawa, kung kukuha tayo ng 10 magkakaibang numero 0, 1, 2, 3,:, 9 at gagawa tayo ng mga kumbinasyon ng mga ito, makakakuha tayo ng iba't ibang numero, halimbawa 143, 431, 5671, 1207, 43, atbp.

Nakikita namin na ang ilan sa mga kumbinasyong ito ay naiiba lamang sa pagkakasunud-sunod ng mga digit (halimbawa, 143 at 431), ang iba sa mga numerong kasama sa mga ito (halimbawa, 5671 at 1207), at ang iba ay iba rin sa bilang ng mga digit ( halimbawa, 143 at 43).

Kaya, ang nakuha na mga kumbinasyon ay nakakatugon sa iba't ibang mga kondisyon.

Depende sa mga patakaran ng compilation, tatlong uri ng mga kumbinasyon ay maaaring makilala: permutasyon, pagkakalagay, kumbinasyon.

Kilalanin muna natin ang konsepto factorial.

Ang produkto ng lahat ng natural na numero mula 1 hanggang n inclusive ay tinatawag n-paktoral at magsulat.

Kalkulahin: a); b); sa) .

Desisyon. a) .

b) pati na rin , pagkatapos ay maaari mo itong alisin sa mga bracket

Pagkatapos makuha namin

sa) .

Mga permutasyon.

Ang kumbinasyon ng n elemento na naiiba sa isa't isa lamang sa pagkakasunud-sunod ng mga elemento ay tinatawag na permutation.

Ang mga permutasyon ay tinutukoy ng simbolo P n , kung saan ang n ay ang bilang ng mga elemento sa bawat permutation. ( R- ang unang titik ng salitang Pranses permutasyon- permutasyon).

Ang bilang ng mga permutasyon ay maaaring kalkulahin gamit ang formula

o may factorial:

Tandaan natin yan 0!=1 at 1!=1.

Halimbawa 2. Sa ilang paraan maaaring ayusin ang anim na magkakaibang aklat sa isang istante?

Desisyon. Ang nais na bilang ng mga paraan ay katumbas ng bilang ng mga permutasyon ng 6 na elemento, i.e.

Mga tirahan.

Mga pagkakalagay mula sa m mga elemento sa n sa bawat isa, ang mga naturang compound ay tinatawag na naiiba sa bawat isa alinman sa pamamagitan ng mga elemento mismo (kahit isa), o sa pagkakasunud-sunod ng lokasyon.

Ang mga lokasyon ay tinutukoy ng simbolo , kung saan m ay ang bilang ng lahat ng magagamit na elemento, n ay ang bilang ng mga elemento sa bawat kumbinasyon. ( PERO- unang titik ng salitang Pranses kaayusan, na nangangahulugang "paglalagay, pag-aayos").

Kasabay nito, ipinapalagay na nm.

Maaaring kalkulahin ang bilang ng mga placement gamit ang formula

mga. ang bilang ng lahat ng posibleng pagkakalagay mula sa m mga elemento sa pamamagitan ng n ay katumbas ng produkto n magkakasunod na integer, kung saan ang pinakamalaki ay m.

Isinulat namin ang formula na ito sa factorial form:

Halimbawa 3. Ilang mga opsyon para sa pamamahagi ng tatlong voucher sa isang sanatorium ng iba't ibang profile ang maaaring gawin para sa limang aplikante?

Desisyon. Ang nais na bilang ng mga opsyon ay katumbas ng bilang ng mga pagkakalagay ng 5 elemento ng 3 elemento, i.e.

Mga kumbinasyon.

Ang mga kumbinasyon ay lahat ng posibleng kumbinasyon ng m mga elemento sa pamamagitan ng n, na naiiba sa bawat isa sa pamamagitan ng hindi bababa sa isang elemento (dito m at n- natural na mga numero, at nm).

Bilang ng mga kumbinasyon mula sa m mga elemento sa pamamagitan ng n ay tinutukoy ( Sa- ang unang titik ng salitang Pranses kumbinasyon- kumbinasyon).

Sa pangkalahatan, ang bilang ng m mga elemento sa pamamagitan ng n katumbas ng bilang ng mga pagkakalagay mula sa m mga elemento sa pamamagitan ng n hinati sa bilang ng mga permutasyon mula sa n mga elemento:

Gamit ang mga factorial na formula para sa placement at permutation number, nakukuha namin ang:

Halimbawa 4. Sa isang pangkat ng 25 tao, kailangan mong maglaan ng apat para magtrabaho sa isang partikular na lugar. Sa ilang paraan ito magagawa?

Desisyon. Dahil ang pagkakasunud-sunod ng napiling apat na tao ay hindi mahalaga, ito ay maaaring gawin sa mga paraan.

Natagpuan namin sa pamamagitan ng unang formula

Bilang karagdagan, kapag nilutas ang mga problema, ginagamit ang mga sumusunod na formula na nagpapahayag ng mga pangunahing katangian ng mga kumbinasyon:

(sa pamamagitan ng kahulugan, at ipinapalagay);

1.2. Paglutas ng mga problemang kombinatorial

Gawain 1. 16 na asignatura ang pinag-aaralan sa faculty. Sa Lunes, kailangan mong maglagay ng 3 paksa sa iskedyul. Sa ilang paraan ito magagawa?

Desisyon. Mayroong maraming mga paraan upang mag-iskedyul ng tatlong item sa 16 dahil mayroong mga pagkakalagay ng 16 na elemento ng 3 bawat isa.

Gawain 2. Sa 15 bagay, 10 bagay ang dapat piliin. Sa ilang paraan ito magagawa?

Gawain 3. Apat na pangkat ang lumahok sa kompetisyon. Gaano karaming mga pagpipilian para sa pamamahagi ng mga upuan sa pagitan nila ang posible?

Suliranin 4. Sa ilang paraan mabubuo ang patrol ng tatlong sundalo at isang opisyal kung mayroong 80 sundalo at 3 opisyal?

Desisyon. Maaaring pumili ng sundalong nagpapatrol

paraan, at paraan ng mga opisyal. Dahil ang sinumang opisyal ay maaaring sumama sa bawat pangkat ng mga sundalo, mayroon lamang mga paraan.

Gawain 5. Hanapin kung alam na .

Since , nakukuha namin

Sa pamamagitan ng kahulugan ng kumbinasyon ito ay sumusunod na , . yun. .

1.3. Ang konsepto ng isang random na kaganapan. Mga uri ng kaganapan. Probability ng Kaganapan

Anumang aksyon, kababalaghan, pagmamasid na may iba't ibang mga resulta, na natanto sa ilalim ng isang ibinigay na hanay ng mga kundisyon, ay tatawagin pagsusulit.

Ang resulta ng aksyon o pagmamasid na ito ay tinatawag kaganapan .

Kung ang isang kaganapan sa ilalim ng mga ibinigay na kondisyon ay maaaring mangyari o hindi mangyari, kung gayon ito ay tinatawag random . Kung sakaling tiyak na maganap ang isang kaganapan, ito ay tinatawag maaasahan , at sa kaso kung kailan tiyak na hindi ito mangyayari, - imposible.

Tinatawag ang mga pangyayari hindi magkatugma kung isa lamang sa kanila ang maaaring lumitaw sa bawat oras.

Tinatawag ang mga pangyayari magkadugtong kung, sa ilalim ng mga ibinigay na kundisyon, ang paglitaw ng isa sa mga kaganapang ito ay hindi ibinubukod ang paglitaw ng isa pa sa parehong pagsubok.

Tinatawag ang mga pangyayari kabaligtaran , kung sa ilalim ng mga kundisyon ng pagsubok ang mga ito, bilang mga resulta lamang nito, ay hindi magkatugma.

Ang mga kaganapan ay karaniwang tinutukoy ng malalaking titik ng alpabetong Latin: A B C D, : .

Ang isang kumpletong sistema ng mga kaganapan A 1 , A 2 , A 3 , : , A n ay isang set ng mga hindi tugmang kaganapan, ang paglitaw ng hindi bababa sa isa sa mga ito ay sapilitan para sa isang naibigay na pagsubok.

Kung ang isang kumpletong sistema ay binubuo ng dalawang hindi magkatugma na mga kaganapan, kung gayon ang mga naturang kaganapan ay tinatawag na kabaligtaran at tinutukoy ng A at .

Halimbawa. Mayroong 30 may bilang na bola sa isang kahon. Tukuyin kung alin sa mga sumusunod na kaganapan ang imposible, tiyak, kabaligtaran:

nakakuha ng numbered ball (PERO);

gumuhit ng pantay na bilang na bola (AT);

gumuhit ng bola na may kakaibang numero (MAY);

nakakuha ng bola na walang numero (D).

Sino sa kanila ang bumubuo ng isang kumpletong grupo?

Desisyon . PERO- tiyak na kaganapan; D- imposibleng kaganapan;

Sa at Sa- kasalungat na mga pangyayari.

Ang kumpletong pangkat ng mga kaganapan ay PERO at D, V at Sa.

Ang posibilidad ng isang kaganapan ay isinasaalang-alang bilang isang sukatan ng layunin na posibilidad ng paglitaw ng isang random na kaganapan.

1.4. Ang klasikal na kahulugan ng posibilidad

Ang numero, na isang pagpapahayag ng sukatan ng layunin na posibilidad ng paglitaw ng isang kaganapan, ay tinatawag probabilidad kaganapang ito at ipinapahiwatig ng simbolo P(A).

Kahulugan. Probability ng isang kaganapan PERO ay ang ratio ng bilang ng mga resulta m na pabor sa paglitaw ng isang naibigay na kaganapan PERO, sa numero n lahat ng kinalabasan (hindi tugma, natatangi at pantay na posible), i.e. .

Samakatuwid, upang mahanap ang posibilidad ng isang kaganapan, kinakailangan, pagkatapos isaalang-alang ang iba't ibang mga resulta ng pagsubok, upang kalkulahin ang lahat ng posibleng hindi magkatugma na mga resulta. n, piliin ang bilang ng mga resulta na interesado kami sa m at kalkulahin ang ratio m sa n.

Ang mga sumusunod na katangian ay sumusunod mula sa kahulugang ito:

Ang posibilidad ng anumang pagsubok ay isang hindi negatibong numero na hindi hihigit sa isa.

Sa katunayan, ang bilang m ng mga gustong kaganapan ay nasa loob ng . Hinahati ang dalawang bahagi sa n, nakukuha namin

2. Ang posibilidad ng isang tiyak na kaganapan ay katumbas ng isa, dahil .

3. Ang posibilidad ng isang imposibleng kaganapan ay zero dahil .

Problema 1. Mayroong 200 nanalo sa 1000 na tiket sa lottery. Ang isang tiket ay iginuhit nang random. Ano ang posibilidad na manalo ang tiket na ito?

Desisyon. Ang kabuuang bilang ng iba't ibang resulta ay n=1000. Ang bilang ng mga resulta na pumapabor sa panalo ay m=200. Ayon sa formula, nakukuha natin

Gawain 2. Sa isang batch ng 18 bahagi, mayroong 4 na may sira. 5 piraso ay pinili nang random. Hanapin ang posibilidad na dalawa sa 5 bahaging ito ay may depekto.

Desisyon. Bilang ng lahat ng pantay na posibleng independiyenteng resulta n ay katumbas ng bilang ng mga kumbinasyon mula 18 hanggang 5 i.e.

Kalkulahin natin ang bilang na m na pabor sa kaganapan A. Sa 5 random na napiling bahagi, dapat mayroong 3 mataas ang kalidad at 2 may sira. Ang bilang ng mga paraan upang pumili ng dalawang may sira na bahagi mula sa 4 na magagamit na may sira na mga bahagi ay katumbas ng bilang ng mga kumbinasyon mula 4 hanggang 2:

Ang bilang ng mga paraan upang pumili ng tatlong bahagi ng kalidad mula sa 14 na magagamit na mga bahagi ng kalidad ay katumbas ng

Anumang pangkat ng mga de-kalidad na bahagi ay maaaring isama sa anumang pangkat ng mga may sira na bahagi, kaya ang kabuuang bilang ng mga kumbinasyon m ay

Ang gustong probabilidad ng kaganapan A ay katumbas ng ratio ng bilang ng mga resulta m na pumapabor sa kaganapang ito sa bilang n ng lahat ng pantay na posibleng independiyenteng mga resulta:

Ang kabuuan ng isang may hangganang bilang ng mga kaganapan ay isang kaganapan na binubuo sa paglitaw ng hindi bababa sa isa sa mga ito.

Ang kabuuan ng dalawang kaganapan ay tinutukoy ng simbolong A + B, at ang kabuuan n simbolo ng mga pangyayari A 1 +A 2 + : +A n .

Ang teorama ng pagdaragdag ng mga probabilidad.

Ang posibilidad ng kabuuan ng dalawang hindi magkatugma na mga kaganapan ay katumbas ng kabuuan ng mga posibilidad ng mga kaganapang ito.

Corollary 1. Kung ang kaganapan А 1 , А 2 , : , А n ay bumubuo ng isang kumpletong sistema, kung gayon ang kabuuan ng mga probabilidad ng mga kaganapang ito ay katumbas ng isa.

Corollary 2. Ang kabuuan ng mga probabilidad ng magkasalungat na pangyayari at katumbas ng isa.

Problema 1. Mayroong 100 tiket sa lottery. Ito ay kilala na ang 5 tiket ay makakakuha ng panalo ng 20,000 rubles, 10 - 15,000 rubles, 15 - 10,000 rubles, 25 - 2,000 rubles. at wala para sa iba. Hanapin ang posibilidad na ang binili na tiket ay manalo ng hindi bababa sa 10,000 rubles.

Desisyon. Hayaang ang A, B, at C ay mga kaganapan na binubuo ng katotohanan na ang isang premyo na katumbas ng 20,000, 15,000 at 10,000 rubles ay nahuhulog sa binili na tiket. dahil ang mga kaganapan A, B at C ay hindi magkatugma, kung gayon

Gawain 2. Ang departamento ng pagsusulatan ng paaralang teknikal ay tumatanggap ng mga pagsusulit sa matematika mula sa mga lungsod A, B at Sa. Ang posibilidad ng pagtanggap ng control work mula sa lungsod PERO katumbas ng 0.6, mula sa lungsod AT- 0.1. Hanapin ang posibilidad na ang susunod na gawaing kontrol ay magmumula sa lungsod Sa.

Portal para sa mag-aaral. Pagsasanay sa sarili